Paano patunayan na ang isang sequence ay may hangganan mula sa ibaba. Mga limitasyon ng mga monotonikong function

Tandaan na ang lahat ng mga kahulugan ay may kasamang numeric set X, na bahagi ng domain ng function: X na may D(f). Sa pagsasagawa, kadalasang may mga kaso kapag ang X ay isang numerical interval (segment, interval, ray, atbp.).

Kahulugan 1.

Ang isang function na y \u003d f (x) ay tinatawag na pagtaas sa isang set X na may D (f) kung para sa anumang dalawang puntos x 1 at x 2 ng set X tulad na x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Kahulugan 2.

Ang isang function na y \u003d f (x) ay tinatawag na bumababa sa isang set X na may D (f) kung para sa anumang monotonicity ng dalawang puntos x 1 at x 2 ng set X, tulad na x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

Sa pagsasagawa, mas maginhawang gamitin ang mga sumusunod na formulations: tumataas ang function kung tumutugma ang mas malaking value ng argument sa mas malaking value ng function; ang function ay bumababa kung ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas maliit na halaga ng function.

Sa ika-7 at ika-8 na baitang, ginamit namin ang sumusunod na geometric na interpretasyon ng mga konsepto ng pagtaas o pagbaba ng mga function: gumagalaw sa kahabaan ng graph ng pagtaas ng function mula kaliwa hanggang kanan, umakyat kami sa burol (Larawan 55); gumagalaw sa kahabaan ng graph ng isang bumababa na function mula kaliwa pakanan, na parang bababa tayo sa isang burol (Larawan 56).
Karaniwan ang mga terminong "increasing function", "decreasing function" ay pinagsama karaniwang pangalan monotonikong function, at ang pag-aaral ng isang function para sa pagtaas o pagbaba ay tinatawag na pag-aaral ng isang function para sa monotonicity.

Napansin namin ang isa pang pangyayari: kung ang isang function ay tumataas (o bumababa) sa natural na domain ng kahulugan nito, kung gayon karaniwang sinasabi na ang function ay tumataas (o bumababa) - nang hindi tinukoy ang numerical set X.

Halimbawa 1

Suriin ang function para sa monotonicity:

a) y \u003d x 3 + 2; b) y \u003d 5 - 2x.

Desisyon:

a) Kumuha ng mga di-makatwirang halaga ng argumento x 1 at x 2 at hayaan ang x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na ang f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Kaya mula sa x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), na nangangahulugan na ang ibinigay na function ay bumababa (sa buong linya ng numero).

Kahulugan 3.

Ang function na y - f(x) ay tinatawag na bounded mula sa ibaba sa set X na may D (f) kung ang lahat ng mga value ng function sa set X ay mas malaki kaysa sa ilang numero (sa madaling salita, kung mayroong isang numero m tulad na para sa anumang halaga x є X ang hindi pagkakapantay-pantay f(x) >m).

Kahulugan 4.

Ang function na y \u003d f (x) ay tinatawag na bounded mula sa itaas sa set X na may D (f) kung ang lahat ng mga halaga ng function ay mas mababa sa isang tiyak na numero (sa madaling salita, kung mayroong isang numero M tulad na para sa anumang halaga x є X ang hindi pagkakapantay-pantay f (x)< М).

Kung ang set X ay hindi tinukoy, pagkatapos ay ipinapalagay na ang function ay bounded mula sa ibaba o mula sa itaas sa buong domain ng kahulugan.

Kung ang isang function ay bounded parehong mula sa ibaba at mula sa itaas, pagkatapos ito ay tinatawag na bounded.

Ang boundedness ng isang function ay madaling basahin mula sa graph nito: kung ang function ay bounded mula sa ibaba, kung gayon ang graph nito ay ganap na matatagpuan sa itaas ng ilang pahalang na linya y \u003d m (Larawan 57); kung ang function ay nakatali mula sa itaas, ang graph nito ay ganap na matatagpuan sa ibaba ng ilang pahalang na linya y \u003d M (Larawan 58).

Halimbawa 2 Siyasatin ang isang function para sa boundedness
Desisyon. Sa isang banda, ang hindi pagkakapantay-pantay ay medyo halata (sa pamamagitan ng kahulugan parisukat na ugat Nangangahulugan ito na ang function ay bounded mula sa ibaba. Sa kabilang banda, mayroon tayo at samakatuwid
Nangangahulugan ito na ang function ay bounded mula sa itaas. Ngayon tingnan ang graph ng ibinigay na function (Larawan 52 mula sa nakaraang talata). Ang boundedness ng function parehong mula sa itaas at mula sa ibaba ay medyo madaling basahin mula sa graph.

Kahulugan 5.

Ang bilang na m ay tinatawag na pinakamaliit na halaga ng function na y \u003d f (x) sa set X C D (f), kung:

1) sa X mayroong isang puntong x 0 na f(x 0) = m;

2) para sa lahat ng x mula sa X ang hindi pagkakapantay-pantay m>f(х 0) ay natupad.

Kahulugan 6.

Ang numerong M ay tinatawag na pinakamalaking halaga ng function y \u003d f (x) sa set X C D (f), kung:
1) sa X mayroong isang puntong x 0 na f(x 0) = M;
2) para sa lahat ng x mula sa X, ang hindi pagkakapantay-pantay
Tinukoy namin ang pinakamaliit na halaga ng function pareho sa ika-7 at ika-8 na baitang sa pamamagitan ng simbolo na y, at ang pinakamalaking halaga sa pamamagitan ng simbolo na y.

Kung ang set X ay hindi tinukoy, pagkatapos ay ipinapalagay na pinag-uusapan natin ang paghahanap ng pinakamaliit o pinakamalaking halaga ng function sa buong domain ng kahulugan.

Ang mga sumusunod na kapaki-pakinabang na pahayag ay medyo halata:

1) Kung ang isang function ay may Y, pagkatapos ito ay bounded mula sa ibaba.
2) Kung ang isang function ay may Y, pagkatapos ito ay bounded mula sa itaas.
3) Kung ang function ay hindi nakatali sa ibaba, kung gayon ang Y ay wala.
4) Kung ang function ay hindi nakatali mula sa itaas, kung gayon ang Y ay wala.

Halimbawa 3

Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function
Desisyon.

Ito ay medyo halata, lalo na kung gagamitin mo ang graph ng function (Larawan 52), na = 0 (ang function ay umabot sa halagang ito sa mga puntong x = -3 at x = 3), a = 3 (ang function ay umabot sa ang halagang ito sa puntong x = 0.
Sa ika-7 at ika-8 baitang, binanggit namin ang dalawa pang katangian ng mga pag-andar. Ang una ay tinawag na convexity property ng isang function. Itinuturing na ang isang function ay matambok pababa sa pagitan ng X kung, sa pamamagitan ng pagkonekta ng alinmang dalawang punto ng graph nito (na may abscissas mula sa X) na may isang tuwid na segment ng linya, nalaman namin na ang kaukulang bahagi ng graph ay nasa ibaba ng iginuhit na segment ( Larawan 59). continuity Ang isang function ay matambok pataas sa pagitan ng X kung, sa pamamagitan ng pagkonekta sa alinmang dalawang punto ng graph nito (na may abscissas mula sa X) sa pamamagitan ng isang tuwid na linya ng segment, nalaman namin na ang kaukulang bahagi ng graph ay nasa itaas ng iginuhit na segment (Fig. 60 ).

Ang pangalawang pag-aari - ang pagpapatuloy ng function sa interval X - ay nangangahulugan na ang graph ng function sa interval X ay tuloy-tuloy, i.e. ay walang mga butas at pagtalon.

Magkomento.

Sa katunayan, sa matematika, ang lahat ay, tulad ng sinasabi nila, "eksaktong kabaligtaran": ang graph ng isang function ay inilalarawan bilang isang solidong linya (nang walang mga punctures at jumps) lamang kapag ang pagpapatuloy ng function ay napatunayan. Ngunit ang pormal na kahulugan ng pagpapatuloy ng isang function, na medyo kumplikado at banayad, ay lampas pa sa ating kapangyarihan. Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa convexity ng isang function. Sa pagtalakay sa dalawang katangian ng mga function na ito, patuloy tayong aasa sa mga visual-intuitive na representasyon.

Ngayon suriin natin ang ating kaalaman. Ang pag-alala sa mga function na aming pinag-aralan sa ika-7 at ika-8 na baitang, linawin namin kung paano tumingin ang kanilang mga graph at ilista ang mga katangian ng function, na sumusunod sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, halimbawa: domain ng kahulugan; monotone; limitasyon; , ; pagpapatuloy; hanay ng mga halaga; matambok.

Kasunod nito, lilitaw ang mga bagong katangian ng mga pag-andar, at ang listahan ng mga katangian ay magbabago nang naaayon.

1. Constant function y \u003d C

Ang graph ng function y \u003d C ay ipinapakita sa fig. 61 - tuwid na linya, parallel sa x-axis. Ito ay isang hindi kawili-wiling pag-andar na walang saysay na ilista ang mga katangian nito.

Ang graph ng function na y \u003d kx + m ay isang tuwid na linya (Larawan 62, 63).

Mga katangian ng function y \u003d kx + m:

1)
2) tataas kung k > 0 (Larawan 62), bumababa kung k< 0 (рис. 63);

4) wala ang pinakamalaking o ang pinakamaliit na halaga;
5) ang function ay tuloy-tuloy;
6)
7) walang saysay na pag-usapan ang tungkol sa convexity.

Ang graph ng function na y \u003d kx 2 ay isang parabola na may vertex sa pinanggalingan at may mga sanga na nakadirekta pataas kung k\u003e O (Fig. 64), at pababa kung k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Mga katangian ng function y - kx 2:

Para sa kaso k > 0 (Larawan 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = ay hindi umiiral;
5) tuloy-tuloy;
6) Е(f) = bumababa ang function, at sa interval , bumababa sa ray;
7) matambok pataas.

Ang graph ng function na y \u003d f (x) ay binuo point by point; ang mas maraming puntos ng form (x; f (x)) na kinukuha natin, mas tumpak na ideya ng graph na nakukuha natin. Kung kukuha tayo ng maraming mga puntong ito, kung gayon ang ideya ng graph ay magiging mas kumpleto. Sa kasong ito, sinasabi sa amin ng intuwisyon na ang graph ay dapat iguhit bilang isang solidong linya (sa kasong ito, bilang isang parabola). At pagkatapos, sa pagbabasa ng graph, gumawa kami ng mga konklusyon tungkol sa pagpapatuloy ng function, tungkol sa convexity nito pababa o pataas, tungkol sa hanay ng function. Dapat mong maunawaan na sa nakalistang pitong pag-aari, tanging ang mga katangian 1), 2), 3), 4) ay "lehitimo" sa diwa na mapapatunayan natin ang mga ito sa pamamagitan ng pagtukoy sa mga tiyak na kahulugan. Mayroon lang kaming visual-intuitive na representasyon tungkol sa mga natitirang katangian. By the way, wala namang masama dun. Mula sa kasaysayan ng pag-unlad ng matematika, alam na ang sangkatauhan ay madalas at sa mahabang panahon ay gumagamit ng iba't ibang mga katangian ng ilang mga bagay, hindi alam ang eksaktong mga kahulugan. Pagkatapos, kapag ang gayong mga kahulugan ay maaaring mabalangkas, ang lahat ay nahulog sa lugar.

Ang graph ng function ay isang hyperbola, ang mga coordinate axes ay nagsisilbing asymptotes ng hyperbola (Fig. 66, 67).

1) D(f) = (-00.0)1U (0.+oo);
2) kung k > 0, ang function ay bumababa sa open ray (-oo, 0) at sa open ray (0, +oo) (Fig. 66); kung sa< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) ay hindi limitado alinman mula sa ibaba o mula sa itaas;
4) walang pinakamaliit o pinakamalaking halaga;
5) ang function ay tuloy-tuloy sa open ray (-oo, 0) at sa open ray (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) kung k > 0, kung gayon ang function ay matambok paitaas sa x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, ibig sabihin. sa bukas na sinag (0, +oo) (Larawan 66). Kung sa< 0, то функция выпукла вверх при х >o at matambok pababa sa x< О (рис. 67).
Ang graph ng function ay isang sangay ng parabola (Fig. 68). Mga Katangian ng Paggana:
1) D(f) = , ay tumataas sa ray (set A), pagkatapos ay ito ay bounded parehong mula sa itaas at mula sa ibaba.

Sa katunayan, upang ipakita na ito ay may hangganan mula sa itaas, dapat nating isaalang-alang ang panaguri

at ipakita na mayroong (umiiral) M na para sa lahat ng x na kinuha sa segment [–2;1], ito ay magiging totoo

Hindi mahirap hanapin ang gayong M. Maaari nating ipagpalagay na M = 7, ang existential quantifier ay nagpapahiwatig ng paghahanap ng hindi bababa sa isang halaga ng M. Ang pagkakaroon ng naturang M ay nagpapatunay sa katotohanan na ang function sa segment [–2;1] ay nakatali mula sa itaas.

Upang patunayan ang hangganan nito mula sa ibaba, kailangan nating isaalang-alang ang panaguri

Ang halaga ng M, na nagsisiguro sa katotohanan ng panaguri na ito, ay, halimbawa, M = -100.

Mapapatunayan na ang function ay magiging bounded modulo din: para sa lahat ng x mula sa segment [–2;1], ang mga halaga ng function ay tumutugma sa mga halaga ng , samakatuwid, bilang M, maaari nating kunin , halimbawa, ang dating halaga ng M = 7.

Ipakita natin na ang parehong function, ngunit sa pagitan , ay magiging walang hangganan, iyon ay,

Upang ipakita na ang gayong x ay umiiral, isaalang-alang ang pahayag

Ang paghahanap para sa mga kinakailangang halaga ng x sa mga positibong halaga ng argumento, nakukuha namin

Nangangahulugan ito na anuman ang positibong kunin ni Mwe, ang mga halaga ng x na tumitiyak sa katuparan ng hindi pagkakapantay-pantay

ay nakuha mula sa ratio.

Isinasaalang-alang ang isang function sa buong tunay na axis, maaaring ipakita ng isa na ito ay walang hangganan sa ganap na halaga.

Sa katunayan, mula sa hindi pagkakapantay-pantay

Ibig sabihin, gaano man kalaki ang positibong M, o titiyakin ang katuparan ng hindi pagkakapantay-pantay .

SOBRANG FUNCTION.

Ang function ay nasa punto kasama lokal na maximum (minimum) kung mayroong ganoong kapitbahayan ng puntong ito na para sa x¹ kasama ang kapitbahayan na ito ay natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay

lalo na na ang extremum point ay maaari lamang maging isang panloob na punto ng gap, at ang f(x) ay dapat tukuyin dito. Ang mga posibleng kaso ng kawalan ng extremum ay ipinapakita sa Fig. 8.8.

Kung ang isang function ay tumataas (bumababa) sa ilang pagitan at bumababa (tumataas) sa ilang pagitan , kung gayon ang punto kasama ay ang lokal na maximum (minimum) na punto.

Ang kawalan ng maximum ng function na f(x) sa isang punto kasama ay maaaring formulated tulad nito:

_______________________

Ang f(x) ay may maximum sa c

Nangangahulugan ito na kung ang puntong c ay hindi isang lokal na pinakamataas na punto, kung gayon anuman ang kapitbahayan na kinabibilangan ng puntong c bilang isang panloob, mayroong hindi bababa sa isang halaga ng x na hindi katumbas ng c, kung saan . Kaya, kung walang maximum sa punto c, pagkatapos ay sa puntong ito ay maaaring walang extremum sa lahat, o ito ay isang minimum na punto (Larawan 8.9).

Ang konsepto ng isang extremum ay nagbibigay ng isang paghahambing na pagtatasa ng halaga ng isang function sa anumang punto na may kaugnayan sa mga malapit. Ang isang katulad na paghahambing ng mga halaga ng function ay maaaring gawin para sa lahat ng mga punto ng ilang pagitan.

Ang PINAKAMALAKING (MINIMUM) na halaga ng isang function sa isang set ay ang halaga nito sa isang punto mula sa set na ito tulad na – sa . Ang pinakamalaking halaga ng function ay naabot sa panloob na punto ng segment , at ang pinakamaliit – sa kaliwang dulo nito.

Upang matukoy ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function na ibinigay sa isang segment, kinakailangang piliin ang pinakamalaking (pinakamaliit) na numero sa lahat ng mga halaga ng maxima nito (mga minimum), pati na rin ang mga halaga na kinuha sa ang mga dulo ng pagitan. Ito ang magiging pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function. Ang panuntunang ito ay tutukuyin sa ibang pagkakataon.

Ang problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang bukas na pagitan ay hindi laging madaling malutas. Halimbawa, ang function

sa pagitan (Larawan 8.11) ay wala ang mga ito.

Siguraduhin natin, halimbawa, na ang function na ito ay walang pinakamalaking halaga. Sa katunayan, dahil sa monotonicity ng function, maaari itong pagtalunan na gaano man kalapit ang itakda natin ang mga halaga ng x sa kaliwa ng pagkakaisa, magkakaroon ng iba pang x kung saan ang mga halaga ng function ay mas malaki kaysa sa ang mga halaga nito sa ibinigay na mga nakapirming punto, ngunit mas mababa pa sa pagkakaisa.

Aralin at presentasyon sa paksa: "Mga katangian ng isang function. Tumataas at bumababa ang function"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 9
Interactive na gabay sa pag-aaral para sa grade 9 "Mga Panuntunan at pagsasanay sa geometry"
Elektronikong aklat-aralin na "Understandable geometry" para sa mga baitang 7-9

Guys, patuloy kaming nag-aaral ng numerical functions. Ngayon kami ay tumutuon sa isang paksa bilang mga katangian ng pag-andar. Ang mga pag-andar ay may maraming mga katangian. Alalahanin kung anong mga pag-aari ang napag-aralan natin kamakailan. Tama, saklaw at saklaw, isa sila sa mga pangunahing katangian. Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ito at tandaan na ang isang function ay palaging may ganitong mga katangian.

Sa seksyong ito, tutukuyin natin ang ilang mga katangian ng mga pag-andar. Ang pagkakasunud-sunod kung saan matutukoy namin ang mga ito, inirerekumenda kong sundin kapag nilulutas ang mga problema.

Pag-andar na Pataas at Bumababa

Ang unang property na tutukuyin natin ay ang pagtaas at pagbaba ng function.

Ang mga konsepto ng "pagtaas" at "pagbaba" ng isang function ay napakadaling maunawaan kung titingnan mong mabuti ang mga graph ng function. Para sa isang pagtaas ng function: kami ay umakyat sa burol, para sa isang bumababa na function, ayon sa pagkakabanggit, kami ay bumaba. Pangkalahatang anyo Ang pagtaas at pagbaba ng mga function ay ipinakita sa mga graph sa ibaba.

Ang pagtaas at pagbaba ng isang function ay karaniwang tinatawag na monotonicity. Iyon ay, ang aming gawain ay upang mahanap ang mga agwat ng pagbaba at pagtaas ng mga pag-andar. Sa pangkalahatang kaso, ito ay nabuo bilang mga sumusunod: maghanap ng mga pagitan ng monotonicity o suriin ang isang function para sa monotonicity.

Siyasatin ang monotonicity ng function $y=3x+2$.
Solusyon: Suriin ang function para sa anumang x1 at x2 at hayaan ang x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Dahil, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Limitasyon sa pag-andar

Ang isang function na $y=f(x)$ ay sinasabing bounded mula sa ibaba sa isang set X⊂D(f) kung mayroong isang numero na para sa alinmang xϵX ang hindi pagkakapantay-pantay f(x)< a.

Ang isang function na $y=f(x)$ ay sinasabing bounded mula sa itaas sa isang set X⊂D(f) kung mayroong isang numero na para sa alinmang xϵX ang hindi pagkakapantay-pantay f(x)< a.

Kung ang interval X ay hindi ipinahiwatig, kung gayon ito ay itinuturing na ang function ay limitado sa buong domain ng kahulugan. Ang isang function na nakatali sa itaas at sa ibaba ay tinatawag na bounded.

Ang limitasyon ng function ay madaling basahin mula sa graph. Posible upang gumuhit ng isang tuwid na linya
$y=a$, at kung ang function ay mas mataas kaysa sa linyang ito, ito ay bounded mula sa ibaba. Kung nasa ibaba, pagkatapos ay ayon sa pagkakabanggit sa itaas. Nasa ibaba ang isang graph ng isang lower bounded function. Graph ng isang bounded function, guys, subukan mong iguhit ito sa iyong sarili.

Siyasatin ang boundedness ng function na $y=\sqrt(16-x^2)$.
Solusyon: Ang square root ng ilang numero ay mas malaki kaysa sa alinman sero. Malinaw, ang aming function ay mas malaki kaysa sa o katumbas ng zero, iyon ay, ito ay bounded mula sa ibaba.
Maaari lamang nating i-extract ang square root mula sa di-negatibong numero, pagkatapos ay $16-x^2≥0$.
Ang solusyon sa ating hindi pagkakapantay-pantay ay ang pagitan [-4;4]. Sa segment na ito $16-x^2≤16$ o $\sqrt(16-x^2)≤4$, ngunit nangangahulugan ito ng hangganan mula sa itaas.
Sagot: ang aming function ay limitado ng dalawang linya $y=0$ at $y=4$.

Pinakamataas at pinakamababang halaga

Ang pinakamaliit na halaga ng function na y= f(x) sa set na Х⊂D(f) ay ilang bilang na m, tulad ng:

b) Para sa anumang xϵX, $f(x)≥f(x0)$ hold.

Ang pinakamalaking halaga ng function na y=f(x) sa set na Х⊂D(f) ay ilang bilang na m, tulad ng:
a) Mayroong ilang x0 na $f(x0)=m$.
b) Para sa anumang xϵX, ang $f(x)≤f(x0)$ ay nasiyahan.

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ay karaniwang tinutukoy ng y max. at y pangalan. .

Ang mga konsepto ng boundedness at ang pinakamalaking may pinakamaliit na halaga ng isang function ay malapit na nauugnay. Ang mga sumusunod na pahayag ay totoo:
a) Kung mayroong pinakamaliit na halaga para sa isang function, ito ay bounded mula sa ibaba.
b) Kung mayroon pinakamataas na halaga function, pagkatapos ito ay bounded mula sa itaas.
c) Kung ang function ay hindi bounded mula sa itaas, pagkatapos ay walang maximum na halaga.
d) Kung ang function ay hindi nakatali sa ibaba, kung gayon ang pinakamaliit na halaga ay hindi umiiral.

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Solusyon: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Para sa $x=4$ $f(4)=5$, para sa lahat ng iba pang value, ang function ay kumukuha ng mas maliliit na value o wala, iyon ay, ito ang pinakamalaking value ng function.
Ayon sa kahulugan: $9-4x^2+16x≥0$. Hanapin ang mga ugat ng square trinomial $(2x+1)(2x-9)≥0$. Sa $x=-0.5$ at $x=4.5$ nawawala ang function, sa lahat ng iba pang punto ay mas malaki ito sa zero. Pagkatapos, ayon sa kahulugan, ang pinakamaliit na halaga ng function ay zero.
Sagot: y max. =5 at y min. =0.

Guys, napag-aralan na rin natin ang mga konsepto ng convexity ng isang function. Kapag nilulutas ang ilang problema, maaaring kailanganin natin ang property na ito. Madaling matukoy ang property na ito gamit ang mga graph.

Ang function ay convex pababa kung ang alinmang dalawang punto ng graph ng orihinal na function ay konektado, at ang graph ng function ay nasa ibaba ng linya na nagkokonekta sa mga punto.

Ang function ay matambok paitaas kung anumang dalawang punto ng graph ng orihinal na function ay konektado, at ang graph ng function ay nasa itaas ng linya na nagkokonekta sa mga punto.

Ang isang function ay tuloy-tuloy kung ang graph ng aming function ay walang mga discontinuities, tulad ng graph ng function sa itaas.

Kung nais mong mahanap ang mga katangian ng isang function, ang pagkakasunud-sunod ng paghahanap para sa mga katangian ay ang mga sumusunod:
a) Domain ng kahulugan.
b) Monotony.
c) limitasyon.
d) Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.
e) Pagpapatuloy.
f) Saklaw ng mga halaga.

Hanapin ang mga katangian ng function na $y=-2x+5$.
Desisyon.
a) Domain ng kahulugan D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotony. Suriin natin ang anumang mga halaga ng x1 at x2 at hayaan ang x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Dahil x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) limitasyon. Malinaw, ang pag-andar ay hindi limitado.
d) Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga. Dahil ang function ay hindi bounded, walang maximum o minimum na halaga.
e) Pagpapatuloy. Ang graph ng aming function ay walang gaps, pagkatapos ay ang function ay tuloy-tuloy.
f) Saklaw ng mga halaga. E(y)=(-∞;+∞).

Mga gawain sa mga katangian ng isang function para sa independiyenteng solusyon

Ang konsepto ng isang function. Limitadong mga tampok.

Depinisyon ng function: Kung ang bawat numero x mula sa hanay ng mga numero D ay itinalaga isahan y, pagkatapos ay sinasabi nila na ang function f ay ibinibigay sa set D at isulat ang y = f (x), kung saan ang x ay tinatawag na independent variable o argumento ng function na ito, at ang set D ay ang domain ng function na ito.

Limitado at walang limitasyong mga pag-andar. Tinatawag ang function limitado kung may ganyan positibong numero M ano | f(x) | M para sa lahat ng halaga x . Kung walang ganoong numero, kung gayon ang function ay walang limitasyon.

MGA HALIMBAWA.

Ang mga function ay pantay, kakaiba, monotoniko.

Kahit at kakaibang mga function. Kung para sa anumang x mula sa saklaw ng kahulugan ng function ay nagaganap: f(- x) = f (x), pagkatapos ay tinawag ang function kahit; kung ito ay: f(- x) = - f (x), pagkatapos ay tinawag ang function kakaiba. Graph ng pantay na function simetriko tungkol sa Y axis(Fig.5), isang graph ng isang kakaibang function simetriko tungkol sa pinagmulan(Larawan 6).

monotonikong pag-andar. Kung para sa alinmang dalawang halaga ng argumento x 1 at x 2 ng kondisyon x 2 >x 1 ang sumusunod f(x 2 ) >f(x 1), pagkatapos ay ang pag-andar f(x) tinawag dumarami; kung para sa alinman x 1 at x 2 ng kondisyon x 2 >x 1 ang sumusunod f(x 2 ) <f(x 1 ), pagkatapos ay ang function f(x) ay tinatawag na humihina. Ang isang function na tumataas lamang o bumababa lamang ay tinatawag monotonous.

3. Numerical sequence. Kahulugan at mga halimbawa.

Sasabihin natin na ang variable x meron iniutos na variable, kung ang lugar ng pagbabago nito ay kilala, at para sa bawat isa sa alinman sa dalawa sa mga halaga nito posible na sabihin kung alin sa kanila ang nauna at alin ang susunod. Ang isang espesyal na kaso ng isang iniutos na variable ay isang variable na ang mga halaga ay nabuo pagkakasunud-sunod ng numero x 1 ,x 2 ,…,x n ,… Para sa mga naturang halaga sa i< j, i, j Î N , ibig sabihin x i itinuturing na nauna, xj– kasunod, hindi alintana kung alin sa mga halagang ito ang mas malaki. Kaya, ang isang numerical sequence ay isang variable na ang mga sunud-sunod na halaga ay maaaring palitan ng numero. Ang numerical sequence ay ilalarawan ng . Ang mga indibidwal na numero ng isang sequence ay tinatawag nito mga elemento.

Halimbawa, ang numerical sequence ay nabuo ng mga sumusunod na dami:

3. , saan Ad ay pare-pareho ang mga numero.

limitasyon pagkakasunud-sunod ng numero.

Numero a tinawag limitasyon mga pagkakasunod-sunod x = {x n) kung para sa isang arbitrary na paunang itinalaga arbitraryong maliit na positibong numero ε mayroong ganoon natural na numero N, para sa lahat yan n>N ang hindi pagkakapantay-pantay |x n - a|< ε.

Kung numero a may sequence limit x = {x n), tapos sasabihin nila yan x n may posibilidad na a, at magsulat .

Upang mabuo ang kahulugang ito sa mga geometric na termino, ipinakilala namin ang sumusunod na paniwala. Kapitbahayan ng punto x 0 ay tinatawag na arbitrary interval ( a, b) na naglalaman ng puntong ito sa loob mismo. Ang kapitbahayan ng isang punto ay madalas na isinasaalang-alang x0, para sa x0 ay ang gitna, pagkatapos x0 tinawag gitna kapitbahayan, at ang dami ( b–a)/2 – radius kapitbahayan.

Kaya, alamin natin kung ano ang ibig sabihin ng konsepto ng limitasyon ng isang numerical sequence sa geometrically. Upang gawin ito, isinulat namin ang huling hindi pagkakapantay-pantay mula sa kahulugan sa anyo Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nangangahulugan na ang lahat ng mga elemento ng pagkakasunud-sunod na may mga numero n>N dapat nasa pagitan (a – ε; a + ε).

Samakatuwid, isang pare-parehong numero a ay ang limitasyon ng numerical sequence ( x n) kung para sa anumang maliit na kapitbahayan na nakasentro sa isang punto a radius ε (ε ay mga kapitbahayan ng punto a) mayroong ganoong elemento ng sequence na may numero N na ang lahat ng kasunod na elemento ay may mga numero n>N ay nasa loob ng lugar na ito.

Mga halimbawa.

1. Hayaan ang variable x tumatagal ng mga halaga nang sunud-sunod

Patunayan natin na ang limitasyon ng numerical sequence na ito ay katumbas ng 1. Kumuha ng arbitrary positive number na ε. Kailangan nating makahanap ng ganoong natural na numero N, para sa lahat yan n>N ang hindi pagkakapantay-pantay | x n - 1| < ε. Действительно, т.к.

pagkatapos ay upang matupad ang kaugnayan |x n - a|< ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N anumang natural na numero na nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay , nakukuha namin ang kailangan namin. Kaya kung kukunin natin, halimbawa, , pagkatapos, setting N= 6, para sa lahat n>6 magkakaroon tayo ng .

2. Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng isang numerical sequence, patunayan na .

Kumuha ng arbitrary ε > 0. Isaalang-alang ang Pagkatapos , kung o , i.e. . Samakatuwid, pipili kami ng anumang natural na numero na nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay .

Mga halimbawa.

3. Isaalang-alang. Sa x→1 ang numerator ng fraction ay may posibilidad na 1, at ang denominator ay may posibilidad na 0. Ngunit dahil, i.e. ay isang infinitesimal function para sa x→ 1, pagkatapos

Teorama 4. Hayaang ibigay ang tatlong function f(x), u(x) at v(x), nagbibigay-kasiyahan sa mga hindi pagkakapantay-pantay u (x)≤f(x)≤v(x). Kung functions u(x) at v(x) may parehong limitasyon x→a(o x→∞), pagkatapos ay ang function f(x) may gawi sa parehong limitasyon, i.e. kung

Teorama 5. Kung sa x→a(o x→∞) function y=f(x) kumukuha ng mga hindi negatibong halaga y≥0 at umaayon sa limitasyon b, kung gayon ang limitasyong ito ay hindi maaaring negatibo: b≥0.

Patunay. Ang patunay ay isasagawa sa pamamagitan ng kontradiksyon. Magpanggap na tayo b<0 , pagkatapos |y – b|≥|b| at, samakatuwid, ang modulus ng pagkakaiba ay hindi malamang na zero sa x→a. Ngunit pagkatapos y hindi napupunta sa limitasyon b sa x→a, na sumasalungat sa kondisyon ng theorem.

Teorama 6. Kung dalawang function f(x) at g(x) para sa lahat ng mga halaga ng argumento x masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay f(x)≥ g(x) at may mga limitasyon, pagkatapos ay mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay b≥c.

Patunay. Ayon sa theorem f(x)-g(x) ≥0, samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 5 , o .

6. Pagbubunyag ng mga kawalan ng katiyakan (0/0), ∞ -∞

ako. Kawalang-katiyakan.

Kapag nabubulok ang numerator sa mga kadahilanan, ginamit namin ang panuntunan para sa paghahati ng isang polynomial sa isang polynomial sa pamamagitan ng isang "anggulo". Dahil ang bilang x=1 ay ang ugat ng polynomial x 3 – 6x2 + 11x– 6, tapos kapag dividing nakuha namin

7. Limitasyon ng pagkakasunud-sunod . Ang konsepto ng natural logarithm.

IKALAWANG KATANGIANG LIMIT

Mga halimbawa:

batayang logarithm e (e- isang transendental na numero na tinatayang katumbas ng 2.718281828 ...) ay tinatawag natural na logarithm. Natural logarithm ng isang numero x denoted ln x. Ang mga natural na logarithm ay malawakang ginagamit sa matematika, pisika at mga kalkulasyon ng engineering.

Ang logarithms ay malawakang ginagamit

base, tinatawag na natural. Ang mga natural na logarithm ay tinutukoy ng simbolo

Ang konsepto ng limitasyon ng isang function.

Ang konsepto ng pagpapatuloy ng isang function ay direktang nauugnay sa konsepto ng limitasyon ng isang function.

Ang isang numero A ay tinatawag na limitasyon ng isang function f sa isang punto a, na naglilimita para sa isang set E, kung para sa anumang kapitbahayan V(A) ng punto A, mayroong isang butas na kapitbahayan ng punto a na ang imahe nito sa ilalim ng pagmamapa f ay isang subset ng ibinigay na kapitbahayan V(A) ng punto A.

Ang limitasyon ng function f sa puntong a, na siyang limitasyon para sa set E, ay tinutukoy bilang mga sumusunod: o , kung posible na alisin ang pagbanggit ng set E.

Dahil ang bawat kapitbahayan ay maaaring iugnay sa sarili nitong regular (simetriko) na kapitbahayan, ang kahulugan ng limitasyon ay maaaring buuin sa wikang -δ sa anyo na karaniwan sa pagsusuri sa matematika:

Ang limitasyon ng isang function sa punto f sa punto a, na naglilimita para sa set E, ay direktang nauugnay sa limitasyon ng sequence.

Isasaalang-alang namin ang lahat ng posibleng pagkakasunud-sunod ng mga punto ng set E na may punto a bilang kanilang limitasyon, at ang kaukulang mga pagkakasunud-sunod ng mga halaga ng pag-andar sa mga punto ng pagkakasunud-sunod. Kung umiiral ang limitasyon ng function na f sa puntong a, ang limitasyong ito ang magiging limitasyon ng bawat sequence.

Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang lahat ng mga pagkakasunud-sunod ay nagtatagpo sa parehong halaga, ang function ay may limitasyon na katumbas ng ibinigay na halaga.

UNANG KATANGAHAN NA LIMIT

Ang function ay hindi tinukoy kung kailan x=0, dahil ang numerator at denominator ng fraction ay nawala. Ang graph ng function ay ipinapakita sa figure.

Gayunpaman, mahahanap ng isa ang limitasyon ng function na ito sa X→0.

Ipinakita namin ang patunay ng nakasulat na pormula. Isaalang-alang ang isang bilog ng radius 1 at ipagpalagay na ang anggulo α, na ipinahayag sa radians, ay nasa loob ng 0< α < π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α >0.) Makikita sa pigura na

SΔOAC .