At ang pag-andar ay tumataas sa pagitan. Ang pagtaas at pagbaba ng mga function, extrema

Upang maunawaan ang paksang ito, isaalang-alang ang function na ipinapakita sa graph // Ipakita natin kung paano pinapayagan ka ng function graph na matukoy ang mga katangian nito.

Sinusuri namin ang mga katangian ng isang function gamit ang isang halimbawa

Ang saklaw ng function ay yavl. pagitan [3.5; 5.5].

Ang saklaw ng function na yavl. pagitan [ 1; 3].

1. Sa x = -3, x = - 1, x = 1.5, x = 4.5, ang halaga ng function ay zero.

Ang halaga ng argument, kung saan ang halaga ng function ay zero, ay tinatawag na zero ng function.

//mga. para sa function na ito ang mga numero -3;-1;1.5; 4.5 ay mga zero.

2. Sa mga pagitan [ 4.5; 3) at (1; 1.5) at (4.5; 5.5] ang graph ng function na f ay matatagpuan sa itaas ng abscissa axis, at sa mga pagitan (-3; -1) at (1.5; 4.5) sa ilalim ng axis abscissa, ito ay ipinaliwanag tulad ng sumusunod - sa mga pagitan[4.5; 3) at (1; 1.5) at (4.5; 5.5] ang function ay kumukuha ng mga positibong halaga, at sa mga pagitan (-3; -1) at (1.5; 4.5) negatibo.

Ang bawat isa sa mga ipinahiwatig na mga agwat (kung saan ang pag-andar ay kumukuha ng mga halaga ng parehong tanda) ay tinatawag na agwat ng palaging pag-sign ng pag-andar f.//i.e. halimbawa, kung kukunin natin ang pagitan (0; 3), kung gayon ito ay hindi isang pare-parehong-sign interval ng ibinigay na function.

Sa matematika, kapag naghahanap ng mga pagitan ng palaging pag-sign ng isang function, kaugalian na ipahiwatig ang mga pagitan ng maximum na haba. //Yung. ang pagitan (2; 3) ay tuluy-tuloy na pagitan function f, ngunit ang sagot ay dapat isama ang pagitan [4,5; 3) na naglalaman ng pagitan (2; 3).

3. Kung lilipat ka sa x-axis mula 4.5 hanggang 2, mapapansin mo na bumababa ang graph ng function, ibig sabihin, bumababa ang mga value ng function. //Sa matematika, kaugalian na sabihin na sa pagitan [ 4,5; 2] bumababa ang function.

Habang tumataas ang x mula 2 hanggang 0, tumataas ang graph ng function, i.e. tumaas ang mga halaga ng pag-andar. //Sa matematika, kaugalian na sabihin na sa pagitan [ 2; 0] tumataas ang function.

Tinatawag ang function na f kung para sa alinmang dalawang value ng argument x1 at x2 mula sa interval na ito kung kaya't x2 > x1, ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x2) > f (x1) ay nasiyahan. // o Tinatawag ang function pagtaas sa ilang pagitan, kung para sa anumang mga value ng argument mula sa interval na ito, ang mas malaking value ng argument ay tumutugma sa mas malaking value ng function.//i.e. mas maraming x, mas maraming y.

Tinatawag ang function na f bumababa sa ilang pagitan, kung para sa alinmang dalawang halaga ng argumentong x1 at x2 mula sa agwat na ito na ang x2 > x1, ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x2) ay bumababa sa ilang pagitan, kung para sa anumang mga halaga ng argumento mula sa pagitan na ito ang mas malaking halaga ng ang argument ay tumutugma sa mas maliit na halaga ng function. //mga. mas maraming x, mas kaunti ang y.

Kung ang isang function ay tumataas sa buong domain ng kahulugan, kung gayon ito ay tinatawag dumarami.

Kung ang isang function ay bumababa sa buong domain ng kahulugan, kung gayon ito ay tinatawag humihina.

Halimbawa 1 graph ng pagtaas at pagbaba ng mga function, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa 2

Tukuyin ang yavl. ang linear function na f(x) = 3x + 5 ay tumataas o bumababa?

Patunay. Gamitin natin ang mga kahulugan. Hayaan ang x1 at x2 na maging mga arbitrary na halaga ng argumento, at x1< x2., например х1=1, х2=7

Sa batayan ng sapat na mga palatandaan, ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng pag-andar ay matatagpuan.

Narito ang mga salita ng mga palatandaan:

• kung ang derivative ng function y = f(x) positibo para sa alinman x mula sa pagitan X, pagkatapos ay tataas ang function ng X;
• kung ang derivative ng function y = f(x) negatibo para sa alinman x mula sa pagitan X, pagkatapos ay bumababa ang function ng X.

Kaya, upang matukoy ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng isang function, ito ay kinakailangan:

• hanapin ang saklaw ng pag-andar;

• hanapin ang derivative ng isang function;

• sa mga resultang agwat, idagdag ang mga hangganan kung saan ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy.

Isaalang-alang ang isang halimbawa upang linawin ang algorithm.

Halimbawa.

Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function.

Desisyon.

Ang unang hakbang ay upang mahanap ang saklaw ng kahulugan ng function. Sa aming halimbawa, ang expression sa denominator ay hindi dapat maglaho, samakatuwid, .

Lumipat tayo sa derivative function:

Upang matukoy ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng pag-andar sa pamamagitan ng isang sapat na pamantayan, malulutas namin ang mga hindi pagkakapantay-pantay at sa domain ng kahulugan. Gamitin natin ang generalization ng interval method. Ang tanging tunay na ugat ng numerator ay x=2, at ang denominator ay naglalaho sa x=0. Hinahati ng mga puntong ito ang domain ng kahulugan sa mga pagitan kung saan ang derivative ng function ay nagpapanatili ng sign nito. Markahan natin ang mga puntong ito sa linya ng numero. Sa pamamagitan ng mga plus at minus, may kondisyon kaming tinutukoy ang mga pagitan kung saan ang derivative ay positibo o negatibo. Ang mga arrow sa ibaba ay schematically na nagpapakita ng pagtaas o pagbaba ng function sa kaukulang agwat.

kaya, at .

Sa punto x=2 ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy, kaya dapat itong idagdag sa parehong pagtaas ng pagitan at ang pagbaba ng pagitan. Sa punto x=0 ang function ay hindi tinukoy, kaya ang puntong ito ay hindi kasama sa mga kinakailangang agwat.

Ipinakita namin ang graph ng function upang ihambing ang mga nakuhang resulta dito.

Sagot: ang pag-andar ay tumataas nang may , bumababa sa pagitan (0; 2] .

- Extremum point ng isang function ng isang variable. Sapat na mga kondisyon para sa isang extremum

Hayaang ang function na f(x), na tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan , ay hindi monotone dito. May mga ganoong bahagi [ , ] ng agwat , kung saan ang maximum at minimum na mga halaga ay naabot ng function sa panloob na punto, i.e. sa pagitan ng i.

Sinasabi na ang function na f(x) ay may maximum (o minimum) sa isang punto kung ang puntong ito ay maaaring mapalibutan ng naturang kapitbahayan (x 0 - , x 0 +) na nakapaloob sa pagitan kung saan ibinigay ang function, na ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasisiyahan para sa lahat ng mga punto nito.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x0))

Sa madaling salita, binibigyan ng puntong x 0 ang function na f (x) ng maximum (minimum) kung ang value f (x 0) ay lumalabas na pinakamalaki (pinakamaliit) sa mga value na kinuha ng function sa ilan (sa hindi bababa sa maliit) kapitbahayan ng puntong ito. Tandaan na ang mismong kahulugan ng maximum (minimum) ay ipinapalagay na ang function ay ibinibigay sa magkabilang panig ng punto x 0 .

Kung mayroong ganoong kapitbahayan kung saan (para sa x=x 0) mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay

f(x) f(x0)

pagkatapos ay sinasabi nila na ang pag-andar ay may sariling maximum (minimum) sa puntong x 0, kung hindi man ay mayroon itong hindi wasto.

Kung ang function ay may maxima sa mga puntos na x 0 at x 1, kung gayon, ang paglalapat ng pangalawang Weierstrass theorem sa pagitan, makikita natin na ang function ay umabot sa pinakamaliit na halaga nito sa pagitan na ito sa ilang punto x 2 sa pagitan ng x 0 at x 1 at may isang minimum doon. Gayundin, sa pagitan ng dalawang mababa ay tiyak na may mataas. Sa pinakasimpleng (at, sa pagsasagawa, ang pinakamahalaga) na kaso, kapag ang isang function sa pangkalahatan ay may hangganan lamang na bilang ng maxima at minima, sila ay kahalili.

Tandaan na para magtalaga ng maximum o minimum, mayroon ding termino na nag-uugnay sa kanila - extremum.

Ang mga konsepto ng maximum (max f(x)) at minimum (min f(x)) ay mga lokal na katangian ng function at nagaganap sa isang tiyak na punto x 0 . Ang mga konsepto ng maximum (sup f(x)) at minimum (inf f(x)) na mga halaga ay tumutukoy sa isang may hangganang segment at mga pandaigdigang katangian ng isang function sa isang segment.

Ipinapakita ng Figure 1 na sa mga puntong x 1 at x 3 ay mayroong lokal na maxima, at sa mga puntos na x 2 at x 4 - lokal na minima. Gayunpaman, naabot ng function ang pinakamababang halaga nito sa puntong x=a, at ang pinakamataas na halaga sa puntong x=b.

Ibigay natin ang problema sa paghahanap ng lahat ng mga halaga ng argumento na nagbibigay ng function na may isang extremum. Kapag nilulutas ito, ang derivative ang gaganap sa pangunahing papel.

Ipagpalagay muna na para sa function na f(x) sa pagitan (a,b) ay mayroong isang finite derivative. Kung sa puntong x 0 ang function ay may extremum, kung gayon, ang paglalapat sa pagitan (x 0 -, x 0 +), na tinalakay sa itaas, ang teorama ni Fermat, napagpasyahan namin na f (x) \u003d 0 ito ang kinakailangan kondisyon para sa extremum. Ang extremum ay dapat lamang hanapin sa mga puntong iyon kung saan ang derivative ay katumbas ng zero.

Gayunpaman, hindi dapat isipin na ang bawat punto kung saan ang derivative ay katumbas ng zero ay naghahatid ng extremum sa function: ang ipinahiwatig na kinakailangang kondisyon ay hindi sapat.

Upang matukoy ang likas na katangian ng isang function at pag-usapan ang tungkol sa pag-uugali nito, kinakailangan upang mahanap ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba. Ang prosesong ito ay tinatawag na function exploration at plotting. Ang extremum point ay ginagamit kapag naghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function, dahil pinapataas o binabawasan nila ang function mula sa pagitan.

Ang artikulong ito ay nagpapakita ng mga kahulugan, bumubuo kami ng isang sapat na tanda ng pagtaas at pagbaba sa pagitan at ang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum. Nalalapat ito sa paglutas ng mga halimbawa at problema. Ang seksyon sa pagkita ng kaibhan ng mga pag-andar ay dapat na ulitin, dahil kapag ang paglutas ay kinakailangan na gamitin ang paghahanap ng derivative.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Depinisyon 1

Ang function na y = f (x) ay tataas sa pagitan ng x kapag para sa alinmang x 1 ∈ X at x 2 ∈ X , x 2 > x 1 ang hindi pagkakapantay-pantay f (x 2) > f (x 1) ay magiging magagawa. Sa madaling salita, ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.

Kahulugan 2

Ang function na y = f (x) ay itinuturing na bumababa sa pagitan ng x kapag para sa alinmang x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 ang equality f (x 2) > f (x 1) ay isinasaalang-alang magagawa. Sa madaling salita, ang isang mas malaking halaga ng function ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng argumento. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Komento: Kapag ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa mga dulo ng pataas at pababang pagitan, ibig sabihin, (a; b) kung saan ang x = a, x = b, ang mga puntos ay kasama sa pataas at pababang pagitan. Hindi ito sumasalungat sa kahulugan, na nangangahulugan na ito ay nagaganap sa pagitan ng x.

Mga pangunahing katangian elementarya na pag-andar ng uri y = sin x - katiyakan at pagpapatuloy para sa mga tunay na halaga ng mga argumento. Mula dito nakuha namin na ang pagtaas sa sine ay nangyayari sa pagitan - π 2; π 2, pagkatapos ay ang pagtaas sa segment ay may anyo - π 2; π 2 .

Ang puntong x 0 ay tinatawag pinakamataas na punto para sa isang function na y = f (x) kapag para sa lahat ng mga halaga ng x ang hindi pagkakapantay-pantay f (x 0) ≥ f (x) ay totoo. Pinakamataas na Tampok ay ang halaga ng function sa punto, at ipinapahiwatig ng y m a x .

Ang punto x 0 ay tinatawag na pinakamababang punto para sa function na y \u003d f (x) kapag para sa lahat ng mga halaga ng x ang hindi pagkakapantay-pantay f (x 0) ≤ f (x) ay totoo. Tampok na Minimum ay ang halaga ng function sa punto, at may notasyon ng form na y m i n .

Ang mga kapitbahayan ng punto x 0 ay isinasaalang-alang matinding puntos, at ang halaga ng function na tumutugma sa mga extremum point. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Ang extrema ng function na may pinakamalaki at may ang pinakamaliit na halaga mga function. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Ang unang larawan ay nagsasabi kung ano ang kailangang hanapin pinakamataas na halaga mga function mula sa segment [ a ; b] . Ito ay matatagpuan gamit ang maximum na mga puntos at katumbas ng maximum na halaga ng function, at ang pangalawang figure ay mas katulad ng paghahanap ng isang maximum na punto sa x = b.

Sapat na mga kondisyon para sa pagtaas at pagbaba ng mga function

Upang mahanap ang maxima at minima ng isang function, kinakailangan na ilapat ang mga palatandaan ng isang extremum sa kaso kapag ang function ay nakakatugon sa mga kundisyong ito. Ang unang tampok ay ang pinakakaraniwang ginagamit.

Ang unang sapat na kondisyon para sa isang extremum

Hayaang maibigay ang isang function na y = f (x), na naiba sa ε kapitbahayan ng puntong x 0 , at may pagpapatuloy sa ibinigay na punto x 0 . Kaya nakukuha namin iyon

• kapag f "(x) > 0 na may x ∈ (x 0 - ε; x 0) at f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• kapag f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 para sa x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , pagkatapos ay x 0 ang pinakamababang punto.

Sa madaling salita, nakukuha namin ang kanilang mga kundisyon sa pagtatakda ng sign:

• kapag ang pag-andar ay tuloy-tuloy sa puntong x 0, kung gayon mayroon itong hinalaw na may nagbabagong tanda, iyon ay, mula + hanggang -, na nangangahulugang ang punto ay tinatawag na pinakamataas;
• kapag ang function ay tuloy-tuloy sa puntong x 0, pagkatapos ay mayroon itong derivative na may nagbabagong sign mula - hanggang +, na nangangahulugan na ang punto ay tinatawag na minimum.

Upang matukoy nang tama ang maximum at minimum na mga punto ng function, dapat mong sundin ang algorithm para sa paghahanap ng mga ito:

• hanapin ang domain ng kahulugan;
• hanapin ang derivative ng function sa lugar na ito;
• tukuyin ang mga zero at punto kung saan wala ang function;
• pagtukoy ng tanda ng derivative sa mga pagitan;
• piliin ang mga punto kung saan nagbabago ang function ng sign.

Isaalang-alang ang algorithm sa halimbawa ng paglutas ng ilang mga halimbawa ng paghahanap ng extrema ng function.

Halimbawa 1

Maghanap ng Mataas at Mababang Puntos ibinigay na function y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Desisyon

Ang domain ng function na ito ay lahat ng tunay na numero maliban sa x = 2. Una, hinahanap namin ang derivative ng function at makuha ang:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

Mula dito nakita natin na ang mga zero ng function ay x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, iyon ay, ang bawat bracket ay dapat na katumbas ng zero. Markahan sa linya ng numero at makuha ang:

Ngayon tinutukoy namin ang mga palatandaan ng derivative mula sa bawat pagitan. Kinakailangang pumili ng isang punto na kasama sa pagitan, palitan ito sa expression. Halimbawa, ang mga puntos na x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Nakukuha namin iyon

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2 ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, samakatuwid, ang pagitan - ∞; - 1 ay may positibong derivative. Sa katulad na paraan, nakuha namin iyon

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Dahil ang pangalawang pagitan ay naging mas mababa sa zero, nangangahulugan ito na ang derivative sa segment ay magiging negatibo. Ang pangatlo ay may minus, ang pang-apat ay may plus. Upang matukoy ang pagpapatuloy, kinakailangang bigyang-pansin ang pag-sign ng derivative, kung ito ay nagbabago, kung gayon ito ay isang extremum point.

Nakukuha namin na sa puntong x = - 1 ang function ay magiging tuluy-tuloy, na nangangahulugan na ang derivative ay magbabago ng sign mula + hanggang -. Ayon sa unang palatandaan, mayroon tayong x = - 1 ang pinakamataas na punto, na nangangahulugang nakukuha natin

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Ang puntong x = 5 ay nagpapahiwatig na ang function ay tuloy-tuloy, at ang derivative ay magbabago ng sign mula - hanggang +. Samakatuwid, ang x=-1 ay ang pinakamababang punto, at ang paghahanap nito ay may anyo

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Graphic na larawan

Sagot: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .

Ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay pansin sa katotohanan na ang paggamit ng unang sapat na pag-sign ng isang extremum ay hindi nangangailangan ng pag-andar upang maging differentiable mula sa punto x 0 , at ito ay pinapasimple ang pagkalkula.

Halimbawa 2

Hanapin ang pinakamataas at pinakamababang puntos ng function na y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 .

Desisyon.

Ang domain ng isang function ay lahat ng tunay na numero. Ito ay maaaring isulat bilang isang sistema ng mga equation ng anyo:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Pagkatapos ay kailangan mong hanapin ang derivative:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Ang puntong x = 0 ay walang derivative, dahil ang mga halaga ng mga one-sided na limitasyon ay iba. Nakukuha namin iyon:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Ito ay sumusunod na ang function ay tuloy-tuloy sa puntong x = 0, pagkatapos ay kinakalkula namin

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Kinakailangang magsagawa ng mga kalkulasyon upang mahanap ang halaga ng argumento kapag ang derivative ay naging zero:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Ang lahat ng mga puntos na nakuha ay dapat markahan sa linya upang matukoy ang tanda ng bawat pagitan. Samakatuwid, kinakailangang kalkulahin ang derivative sa mga arbitrary na punto para sa bawat pagitan. Halimbawa, maaari tayong kumuha ng mga puntos na may mga halaga x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Nakukuha namin iyon

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Ang imahe sa isang tuwid na linya ay may anyo

Kaya, dumating tayo sa punto na kinakailangan na mag-resort sa unang tanda ng isang extremum. Kinakalkula namin at nakuha iyon

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , pagkatapos mula dito ang pinakamataas na puntos ay may mga halaga x = - 4 + 2 3 3 , x = 4-2 3 3

Magpatuloy tayo sa pagkalkula ng mga minimum:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Kalkulahin natin ang maxima ng function. Nakukuha namin iyon

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Graphic na larawan

Sagot:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 x 3 y m = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Kung ang function na f "(x 0) = 0 ay ibinigay, kung gayon kasama ang f "" (x 0) > 0 natin na ang x 0 ay ang pinakamababang punto kung f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Halimbawa 3

Hanapin ang maxima at minima ng function na y = 8 x x + 1 .

Desisyon

Una, hanapin natin ang domain ng kahulugan. Nakukuha namin iyon

D (y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Ito ay kinakailangan upang pag-iba-ibahin ang pag-andar, pagkatapos na makuha namin

y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Kapag x = 1, ang derivative ay magiging katumbas ng zero, na nangangahulugan na ang punto ay posibleng extremum. Para sa paglilinaw, kinakailangan upang mahanap ang pangalawang derivative at kalkulahin ang halaga sa x \u003d 1. Nakukuha namin:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

Samakatuwid, gamit ang 2 sapat na kondisyon para sa extremum, nakuha namin na ang x = 1 ay ang pinakamataas na punto. Kung hindi, ang entry ay y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Graphic na larawan

Sagot: y m a x = y (1) = 4 ..

Ang function na y = f(x) ay may derivative nito hanggang sa ika-n order sa ε neighborhood ibinigay na punto x 0 at ang derivative hanggang sa n + 1st order sa punto x 0 . Pagkatapos f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Kasunod nito na kapag ang n ay isang even na numero, kung gayon ang x 0 ay itinuturing na isang inflection point, kapag ang n ay isang kakaibang numero, kung gayon ang x 0 ay isang extremum point, at ang f (n + 1) (x 0) > 0, pagkatapos ay x Ang 0 ay isang minimum na punto, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Halimbawa 4

Hanapin ang maximum at minimum na puntos ng function na y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 .

Desisyon

Ang orihinal na function ay isang buong makatwiran, kaya sumusunod na ang domain ng kahulugan ay ang lahat ng tunay na mga numero. Ang pag-andar ay kailangang maiiba. Nakukuha namin iyon

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Ang derivative na ito ay mapupunta sa zero sa x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Iyon ay, ang mga puntos ay maaaring mga punto ng isang posibleng extremum. Ito ay kinakailangan upang ilapat ang ikatlong sapat na extremum kondisyon. Ang paghahanap ng pangalawang derivative ay nagbibigay-daan sa iyo upang tumpak na matukoy ang pagkakaroon ng maximum at minimum ng isang function. Ang pangalawang derivative ay kinakalkula sa mga punto ng posibleng extremum nito. Nakukuha namin iyon

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Nangangahulugan ito na ang x 2 \u003d 5 7 ay ang pinakamataas na punto. Paglalapat ng 3 sapat na pamantayan, makuha natin iyon para sa n = 1 at f (n + 1) 5 7< 0 .

Ito ay kinakailangan upang matukoy ang likas na katangian ng mga puntos x 1 = - 1, x 3 = 3. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang pangatlong derivative, kalkulahin ang mga halaga sa mga puntong ito. Nakukuha namin iyon

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Kaya, ang x 1 = - 1 ay ang inflection point ng function, dahil para sa n = 2 at f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Kinakailangang siyasatin ang punto x 3 = 3 . Upang gawin ito, hanapin namin ang ika-4 na derivative at magsagawa ng mga kalkulasyon sa puntong ito:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Mula sa itaas, napagpasyahan namin na ang x 3 \u003d 3 ay ang pinakamababang punto ng function.

Graphic na larawan

Sagot: Ang x 2 \u003d 5 7 ay ang pinakamataas na punto, x 3 \u003d 3 - ang pinakamababang punto ng ibinigay na function.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Extreme ang function

Kahulugan 2

Ang isang puntong $x_0$ ay tinatawag na isang punto ng maximum ng function na $f(x)$ kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito na para sa lahat ng $x$ mula sa kapitbahayan na ito ang hindi pagkakapantay-pantay $f(x)\le f(x_0 )$ ay nasiyahan.

Kahulugan 3

Ang isang puntong $x_0$ ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function na $f(x)$ kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito na para sa lahat ng $x$ mula sa kapitbahayang ito ang hindi pagkakapantay-pantay $f(x)\ge f(x_0) $ ay nasiyahan.

Ang konsepto ng isang extremum ng isang function ay malapit na nauugnay sa konsepto ng isang kritikal na punto ng isang function. Ipakilala natin ang kahulugan nito.

Kahulugan 4

Ang $x_0$ ay tinatawag na kritikal na punto ng function na $f(x)$ kung:

1) $x_0$ - panloob na punto ng domain ng kahulugan;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ o wala.

Para sa konsepto ng isang extremum, maaari isa bumalangkas theorems sa sapat at kinakailangang mga kondisyon para sa pagkakaroon nito.

Teorama 2

Sapat na kondisyon sukdulan

Hayaang maging kritikal ang puntong $x_0$ para sa function na $y=f(x)$ at nasa pagitan ng $(a,b)$. Hayaan sa bawat pagitan na $\left(a,x_0\right)\ at\ (x_0,b)$ ang derivative na $f"(x)$ ay umiiral at panatilihin ang isang pare-parehong sign. Pagkatapos:

1) Kung sa pagitan ng $(a,x_0)$ ang derivative na $f"\left(x\right)>0$, at sa interval na $(x_0,b)$ ang derivative na $f"\left(x\ tama)

2) Kung ang derivative na $f"\left(x\right)0$ ay nasa pagitan ng $(a,x_0)$, kung gayon ang point na $x_0$ ay ang pinakamababang punto para sa function na ito.

3) Kung pareho sa interval $(a,x_0)$ at sa interval $(x_0,b)$ ang derivative na $f"\left(x\right) >0$ o ang derivative $f"\left(x \right)

Ang theorem na ito ay inilalarawan sa Figure 1.

Figure 1. Sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng extrema

Mga halimbawa ng mga sukdulan (Fig. 2).

Figure 2. Mga halimbawa ng extremum point

Ang panuntunan para sa pagsusuri ng isang function para sa isang extremum

2) Hanapin ang derivative na $f"(x)$;

7) Gumawa ng mga konklusyon tungkol sa pagkakaroon ng maxima at minima sa bawat pagitan, gamit ang Theorem 2.

Pag-andar na Pataas at Bumababa

Ipakilala muna natin ang mga kahulugan ng pagtaas at pagbaba ng mga function.

Kahulugan 5

Ang isang function na $y=f(x)$ na tinukoy sa isang interval $X$ ay tinatawag na pagtaas kung para sa anumang mga puntos na $x_1,x_2\in X$ para sa $x_1

Kahulugan 6

Ang isang function na $y=f(x)$ na tinukoy sa isang interval na $X$ ay tinatawag na pagbaba kung para sa anumang puntos na $x_1,x_2\in X$ para sa $x_1f(x_2)$.

Pagsusuri sa isang Tungkulin para sa Pagtaas at Pagbaba

Maaari mong imbestigahan ang mga function para sa pagtaas at pagbaba gamit ang derivative.

Upang masuri ang isang function para sa mga pagitan ng pagtaas at pagbaba, dapat mong gawin ang sumusunod:

1) Hanapin ang domain ng function na $f(x)$;

2) Hanapin ang derivative na $f"(x)$;

3) Hanapin ang mga punto kung saan ang pagkakapantay-pantay $f"\left(x\right)=0$;

4) Maghanap ng mga punto kung saan ang $f"(x)$ ay wala;

5) Markahan sa linya ng coordinate ang lahat ng mga nahanap na punto at ang domain ng ibinigay na function;

6) Tukuyin ang tanda ng derivative na $f"(x)$ sa bawat resultang pagitan;

7) Tapusin: sa mga pagitan kung saan ang $f"\left(x\right)0$ ay tumataas ang function.

Mga halimbawa ng mga problema para sa pag-aaral ng mga function para sa pagtaas, pagbaba at pagkakaroon ng mga extremum point

Halimbawa 1

Siyasatin ang function para sa pagtaas at pagbaba, at ang pagkakaroon ng mga punto ng maxima at minima: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Dahil ang unang 6 na puntos ay pareho, kami ay gumuhit muna.

1) Domain ng kahulugan - lahat ng tunay na numero;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ ay umiiral sa lahat ng mga punto ng domain ng kahulugan;

5) Coordinate line:

Larawan 3

6) Tukuyin ang tanda ng derivative na $f"(x)$ sa bawat pagitan:

\ \}