Paano kalkulahin ang limitasyon ng mga halimbawa ng sequence. Online Function Limit Calculation

Teorya ng mga limitasyon- isa sa mga seksyon ng mathematical analysis, kung saan ang isa ay maaaring makabisado, ang iba ay halos hindi kalkulahin ang mga limitasyon. Ang tanong ng paghahanap ng mga limitasyon ay medyo pangkalahatan, dahil mayroong dose-dosenang mga trick limitahan ang mga solusyon iba't ibang uri. Ang parehong mga limitasyon ay matatagpuan pareho sa pamamagitan ng panuntunan ng L'Hopital at wala nito. Nangyayari na ang iskedyul sa isang serye ng mga infinitesimal na pag-andar ay nagbibigay-daan sa mabilis mong makuha ang nais na resulta. Mayroong isang hanay ng mga trick at trick na nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang limitasyon ng isang function ng anumang kumplikado. Sa artikulong ito, susubukan naming maunawaan ang mga pangunahing uri ng mga limitasyon na madalas na nakatagpo sa pagsasanay. Hindi namin ibibigay ang teorya at kahulugan ng limitasyon dito, maraming mapagkukunan sa Internet kung saan ito ay ngumunguya. Samakatuwid, gawin natin ang mga praktikal na pagkalkula, dito ka magsisimula ng "Hindi ko alam! Hindi ko alam kung paano! Hindi tayo tinuruan!"

Pagkalkula ng mga limitasyon sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

Halimbawa 1 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Solusyon: Sa teorya, ang mga halimbawa ng ganitong uri ay kinakalkula sa pamamagitan ng karaniwang pagpapalit

Ang limitasyon ay 18/11.
Walang kumplikado at matalino sa loob ng gayong mga limitasyon - pinalitan nila ang halaga, kinakalkula, isinulat ang limitasyon bilang tugon. Gayunpaman, sa batayan ng naturang mga limitasyon, ang lahat ay itinuro na, una sa lahat, kailangan mong palitan ang isang halaga sa function. Dagdag pa, ang mga limitasyon ay nagpapalubha, ipinakilala ang konsepto ng infinity, uncertainty, at mga katulad nito.

Limitahan na may kawalan ng katiyakan ng uri ng infinity na hinati ng infinity. Mga paraan ng pagsisiwalat ng kawalan ng katiyakan

Halimbawa 2 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinity).
Solusyon: Ang isang limitasyon ng form na polynomial na hinati sa isang polynomial ay ibinibigay, at ang variable ay may posibilidad na infinity

Ang isang simpleng pagpapalit ng halaga kung saan dapat mahanap ng variable ang mga limitasyon ay hindi makakatulong, nakakakuha tayo ng kawalan ng katiyakan ng form na infinity na hinati ng infinity.
Pot theory of limits Ang algorithm para sa pagkalkula ng limitasyon ay upang mahanap ang pinakamalaking antas ng "x" sa numerator o denominator. Susunod, ang numerator at denominator ay pinasimple dito at ang limitasyon ng function ay matatagpuan

Dahil ang halaga ay may posibilidad na zero kapag ang variable ay napupunta sa infinity, sila ay napapabayaan, o nakasulat sa huling expression bilang mga zero

Kaagad mula sa pagsasanay, maaari kang makakuha ng dalawang konklusyon na isang pahiwatig sa mga kalkulasyon. Kung ang variable ay may posibilidad na infinity at ang antas ng numerator ay mas malaki kaysa sa antas ng denominator, kung gayon ang limitasyon ay katumbas ng infinity. Kung hindi, kung ang polynomial sa denominator ay mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa sa numerator, ang limitasyon ay zero.
Ang formula ng limitasyon ay maaaring isulat bilang

Kung mayroon tayong function ng anyo ng isang ordinaryong log na walang mga fraction, kung gayon ang limitasyon nito ay katumbas ng infinity

Ang susunod na uri ng mga limitasyon ay may kinalaman sa pag-uugali ng mga function na malapit sa zero.

Halimbawa 3 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Solusyon: Dito hindi kinakailangang kunin ang nangungunang multiplier ng polynomial. Eksakto sa kabaligtaran, ito ay kinakailangan upang mahanap ang pinakamaliit na kapangyarihan ng numerator at denominator at kalkulahin ang limitasyon

halaga ng x^2; x ay may posibilidad na zero kapag ang variable ay may posibilidad na zero Samakatuwid, sila ay napapabayaan, kaya nakuha namin

na ang limitasyon ay 2.5.

Ngayon alam mo na kung paano hanapin ang limitasyon ng isang function uri ng isang polynomial na hinati sa isang polynomial kung ang variable ay may posibilidad na infinity o 0. Ngunit ito ay maliit at madaling bahagi lamang ng mga halimbawa. Mula sa sumusunod na materyal ay matututuhan mo kung paano alisan ng takip ang mga kawalan ng katiyakan ng mga limitasyon ng isang function.

Limitahan na may kawalan ng katiyakan ng uri 0/0 at mga pamamaraan para sa pagkalkula nito

Kaagad na naaalala ng lahat ang panuntunan ayon sa kung saan hindi mo maaaring hatiin sa zero. Gayunpaman, ang teorya ng mga limitasyon sa kontekstong ito ay nangangahulugan ng mga infinitesimal na function.
Tingnan natin ang ilang halimbawa upang mailarawan.

Halimbawa 4 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Solusyon: Kapag pinapalitan ang halaga ng variable x = -1 sa denominator, nakukuha natin ang zero, nakukuha natin ang pareho sa numerator. Kaya mayroon kami kawalan ng katiyakan ng form 0/0.
Madaling harapin ang gayong kawalan ng katiyakan: kailangan mong i-factor ang polynomial, o sa halip, pumili ng isang kadahilanan na nagiging zero ang function.

Pagkatapos ng agnas, ang limitasyon ng function ay maaaring isulat bilang

Iyan ang buong pamamaraan para sa pagkalkula ng limitasyon ng isang function. Gayon din ang gagawin natin kung may limitasyon ang anyo ng polynomial na hinati ng polynomial.

Halimbawa 5 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Solusyon: Direktang pagpapalit na palabas
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
anong meron tayo uri ng kawalan ng katiyakan 0/0.
Hatiin ang mga polynomial sa pamamagitan ng salik na nagpapakilala sa singularity


May mga guro na nagtuturo na ang mga polynomial ng 2nd order, iyon ay, ang uri ng "quadratic equation" ay dapat lutasin sa pamamagitan ng discriminant. Ngunit ang tunay na kasanayan ay nagpapakita na ito ay mas mahaba at mas kumplikado, kaya alisin ang mga tampok sa loob ng mga limitasyon ayon sa tinukoy na algorithm. Kaya, isinusulat namin ang function sa form pangunahing mga kadahilanan at bilangin hanggang sa limitasyon

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado sa pagkalkula ng mga naturang limitasyon. Alam mo kung paano hatiin ang mga polynomial sa oras ng pag-aaral ng mga limitasyon, hindi bababa sa ayon sa programa, dapat kang pumasa.
Kabilang sa mga gawain para sa uri ng kawalan ng katiyakan 0/0 mayroong mga kung saan ito ay kinakailangan upang ilapat ang mga formula ng pinaikling multiplikasyon. Ngunit kung hindi mo sila kilala, pagkatapos ay sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial sa monomial, maaari mong makuha ang nais na formula.

Halimbawa 6 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Solusyon: Mayroon kaming hindi tiyak na uri 0/0 . Sa numerator, ginagamit namin ang formula para sa pinaikling multiplikasyon

at kalkulahin ang nais na limitasyon

Paraan ng pagsisiwalat ng kawalan ng katiyakan sa pamamagitan ng pagpaparami ng conjugate

Ang pamamaraan ay inilapat sa mga limitasyon kung saan ang mga hindi makatwiran na pag-andar ay bumubuo ng kawalan ng katiyakan. Ang numerator o denominator ay nagiging sero sa punto ng pagkalkula at hindi alam kung paano hanapin ang hangganan.

Halimbawa 7 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Solusyon: Katawanin natin ang variable sa limit formula

Kapag nagpapalit, nakakakuha tayo ng hindi tiyak na uri 0/0.
Ayon sa teorya ng mga limitasyon, ang pamamaraan para sa pag-bypass sa singularity na ito ay binubuo sa pagpaparami ng isang hindi makatwiran na pagpapahayag sa pamamagitan ng conjugate nito. Upang panatilihing hindi nagbabago ang expression, ang denominator ay dapat na hatiin sa parehong halaga

Sa pamamagitan ng pagkakaiba ng panuntunan ng mga parisukat, pinapasimple namin ang numerator at kinakalkula ang limitasyon ng function

Pinapasimple namin ang mga terminong lumilikha ng singularity sa limitasyon at ginagawa ang pagpapalit

Halimbawa 8 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Solusyon: Ipinapakita ng direktang pagpapalit na ang limitasyon ay may singularity ng form na 0/0.

Upang palawakin, i-multiply at hatiin ng conjugate sa numerator

Isulat ang pagkakaiba ng mga parisukat

Pinapasimple namin ang mga terminong nagpapakilala ng singularity at hinahanap ang limitasyon ng function

Halimbawa 9 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Solusyon: Palitan ang deuce sa formula

Kunin kawalan ng katiyakan 0/0.
Dapat na i-multiply ang denominator sa conjugate expression, at sa numerator na solve quadratic equation o factorize, isinasaalang-alang ang singularity. Dahil alam na ang 2 ay isang ugat, kung gayon ang pangalawang ugat ay matatagpuan ng Vieta theorem

Kaya, isinusulat namin ang numerator sa form

at ilagay sa limitasyon

Ang pagkakaroon ng pagbawas sa pagkakaiba ng mga parisukat, inaalis namin ang mga tampok sa numerator at denominator

Sa itaas na paraan, maaari mong mapupuksa ang singularity sa maraming mga halimbawa, at ang aplikasyon ay dapat mapansin sa lahat ng dako kung saan ang ibinigay na pagkakaiba ng mga ugat ay nagiging zero kapag pinapalitan. Iba pang mga uri ng limitasyon na alalahanin exponential function, infinitesimal function, logarithms, singular na limitasyon, at iba pang mga diskarte. Ngunit maaari mong basahin ang tungkol dito sa mga artikulo sa ibaba sa mga limitasyon.

Ang matematika ay ang agham na bumubuo sa mundo. Parehong siyentipiko at karaniwang tao - walang magagawa kung wala ito. Una, ang mga bata ay tinuturuan na magbilang, pagkatapos ay magdagdag, magbawas, magparami, at hatiin, sa mataas na paaralan pumapasok ang mga pagtatalaga ng titik, at sa mas matanda ay hindi mo na magagawa kung wala sila.

Ngunit ngayon ay pag-uusapan natin kung ano ang batayan ng lahat ng kilalang matematika. Tungkol sa komunidad ng mga numero na tinatawag na "mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod".

Ano ang mga sequence at nasaan ang kanilang limitasyon?

Ang kahulugan ng salitang "sequence" ay hindi mahirap bigyang kahulugan. Ito ay tulad ng isang konstruksiyon ng mga bagay, kung saan ang isang tao o isang bagay ay matatagpuan sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod o pila. Halimbawa, ang pila para sa mga tiket sa zoo ay isang pagkakasunod-sunod. At maaari lamang magkaroon ng isa! Kung, halimbawa, titingnan mo ang pila sa tindahan, ito ay isang sequence. At kung ang isang tao ay biglang umalis sa pila na ito, kung gayon ito ay ibang pila, ibang pagkakasunud-sunod.

Ang salitang "limitasyon" ay madaling bigyang-kahulugan - ito ang katapusan ng isang bagay. Gayunpaman, sa matematika, ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay ang mga halaga sa linya ng numero kung saan ang pagkakasunud-sunod ng mga numero. Bakit nagsusumikap at hindi nagtatapos? Ito ay simple, ang linya ng numero ay walang katapusan, at karamihan sa mga sequence, tulad ng mga ray, ay may simula lamang at ganito ang hitsura:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Samakatuwid ang kahulugan ng isang sequence ay isang function ng natural na argumento. Higit pa sa simpleng salita ay isang serye ng mga miyembro ng ilang set.

Paano nabuo ang isang pagkakasunud-sunod ng numero?

Ang pinakasimpleng halimbawa pagkakasunod-sunod ng numero maaaring ganito ang hitsura: 1, 2, 3, 4, …n...

Sa karamihan ng mga kaso, para sa mga praktikal na layunin, ang mga pagkakasunud-sunod ay binuo mula sa mga numero, at bawat susunod na miyembro ng serye, sabihin natin ito sa pamamagitan ng X, ay may sariling pangalan. Halimbawa:

x 1 - ang unang miyembro ng sequence;

x 2 - ang pangalawang miyembro ng sequence;

x 3 - ang ikatlong miyembro;

x n ay ang ika-na miyembro.

Sa mga praktikal na pamamaraan, ibinibigay ang pagkakasunud-sunod pangkalahatang pormula, na naglalaman ng ilang variable. Halimbawa:

X n \u003d 3n, kung gayon ang mga serye ng mga numero mismo ay magiging ganito:

Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na sa pangkalahatang notasyon ng mga pagkakasunud-sunod, maaari mong gamitin ang anumang mga Latin na titik, at hindi lamang X. Halimbawa: y, z, k, atbp.

Arithmetic progression bilang bahagi ng mga sequence

Bago hanapin ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ipinapayong suriin nang mas malalim ang mismong konsepto ng naturang serye ng numero, na naranasan ng lahat noong sila ay nasa gitnang klase. Ang arithmetic progression ay isang serye ng mga numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing termino ay pare-pareho.

Gawain: "Hayaan ang isang 1 \u003d 15, at ang hakbang ng pag-unlad ng serye ng numero d \u003d 4. Buuin ang unang 4 na miyembro ng row na ito"

Solusyon: a 1 = 15 (ayon sa kundisyon) ay ang unang miyembro ng progression (serye ng numero).

at 2 = 15+4=19 ang pangalawang miyembro ng progression.

at 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 ang ikatlong termino.

at 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 ang pang-apat na termino.

Gayunpaman, sa pamamaraang ito ay mahirap maabot ang malalaking halaga, halimbawa, hanggang sa isang 125. . Lalo na para sa mga ganitong kaso, ang isang formula na maginhawa para sa pagsasanay ay nakuha: a n \u003d a 1 + d (n-1). Sa kasong ito, isang 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Mga uri ng pagkakasunud-sunod

Karamihan sa mga pagkakasunud-sunod ay walang katapusang, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa buong buhay. Mayroong dalawang kawili-wiling mga species linya ng numero. Ang una ay ibinigay ng formula a n =(-1) n . Madalas na tinutukoy ng mga mathematician ang mga sequence ng flasher na ito. Bakit? Suriin natin ang mga numero nito.

1, 1, -1 , 1, -1, 1, atbp. Sa halimbawang ito, nagiging malinaw na ang mga numero sa pagkakasunud-sunod ay madaling maulit.

factorial sequence. Madaling hulaan na mayroong factorial sa formula na tumutukoy sa sequence. Halimbawa: at n = (n+1)!

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ay magiging ganito:

at 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

at 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, atbp.

Pagkakasunod-sunod na ibinigay pag-unlad ng aritmetika, ay tinatawag na walang katapusan na pagbaba kung ang hindi pagkakapantay-pantay -1

at 3 \u003d - 1/8, atbp.

Mayroong kahit isang sequence na binubuo ng parehong numero. Kaya, at n \u003d 6 ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga anim.

Pagtukoy sa Limitasyon ng isang Sequence

Matagal nang umiral ang mga sequence limit sa matematika. Siyempre, karapat-dapat sila sa kanilang sariling karampatang disenyo. Kaya, oras na upang matutunan ang kahulugan ng mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod. Una, isaalang-alang ang limitasyon para sa isang linear function nang detalyado:

1. Ang lahat ng limitasyon ay dinaglat bilang lim.
2. Ang pagpasok ng limitasyon ay binubuo ng abbreviation lim, ang ilang variable na tumutukoy sa isang tiyak na numero, zero o infinity, pati na rin ang mismong function.

Madaling maunawaan na ang kahulugan ng limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: ito ay isang tiyak na numero, kung saan ang lahat ng mga miyembro ng pagkakasunud-sunod ay walang katapusan na lumalapit. Simpleng halimbawa: at x = 4x+1. Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod mismo ay magiging ganito.

5, 9, 13, 17, 21…x...

Kaya, ang sequence na ito ay tataas nang walang katiyakan, na nangangahulugan na ang limitasyon nito ay katumbas ng infinity bilang x→∞, at dapat itong isulat bilang sumusunod:

Kung kukuha tayo ng katulad na pagkakasunud-sunod, ngunit ang x ay may posibilidad na 1, makakakuha tayo ng:

At ang serye ng mga numero ay magiging ganito: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, atbp. Sa bawat oras na kailangan mong palitan ang numero nang higit pa at mas malapit sa isa (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Makikita mula sa seryeng ito na ang limitasyon ng function ay lima.

Mula sa bahaging ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala kung ano ang limitasyon ng isang numerical sequence, ang kahulugan at pamamaraan para sa paglutas ng mga simpleng gawain.

Pangkalahatang notasyon para sa limitasyon ng mga sequence

Ang pagkakaroon ng pagsusuri sa limitasyon ng numerical sequence, ang kahulugan nito at mga halimbawa, maaari tayong magpatuloy sa isang mas kumplikadong paksa. Ganap na lahat ng mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay maaaring buuin ng isang pormula, na karaniwang sinusuri sa unang semestre.

Kaya, ano ang ibig sabihin ng set ng mga titik, module at hindi pagkakapantay-pantay na ito?

Ang ∀ ay isang unibersal na quantifier, na pinapalitan ang mga pariralang "para sa lahat", "para sa lahat", atbp.

Ang ∃ ay isang existant quantifier, sa kasong ito, nangangahulugan ito na mayroong ilang value N na kabilang sa set ng mga natural na numero.

Ang isang mahabang vertical stick na sumusunod sa N ay nangangahulugan na ang ibinigay na set N ay "ganyan". Sa pagsasagawa, maaari itong mangahulugan ng "ganyan", "ganyan", atbp.

Upang pagsama-samahin ang materyal, basahin nang malakas ang formula.

Kawalang-katiyakan at katiyakan ng limitasyon

Ang paraan ng paghahanap ng limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, na tinalakay sa itaas, bagama't simpleng gamitin, ay hindi masyadong makatwiran sa pagsasanay. Subukang hanapin ang limitasyon para sa function na ito:

Kung papalitan natin ang iba't ibang mga halaga ng x (tumataas sa bawat oras: 10, 100, 1000, atbp.), pagkatapos ay makakakuha tayo ng ∞ sa numerator, ngunit ∞ din sa denominator. Ito ay lumalabas na isang medyo kakaibang bahagi:

Pero ganun ba talaga? Ang pagkalkula ng limitasyon ng numerical sequence sa kasong ito ay tila madaling sapat. Posibleng iwanan ang lahat nang ito, dahil handa na ang sagot, at natanggap ito sa mga makatwirang termino, ngunit may isa pang paraan partikular para sa mga ganitong kaso.

Una, hanapin natin ang pinakamataas na antas sa numerator ng fraction - ito ay 1, dahil ang x ay maaaring katawanin bilang x 1.

Ngayon hanapin natin ang pinakamataas na antas sa denominator. Gayundin 1.

Hatiin ang numerator at ang denominator ng variable sa pinakamataas na antas. Sa kasong ito, hinati namin ang fraction sa x 1.

Susunod, hanapin natin kung ano ang halaga ng bawat terminong naglalaman ng variable. Sa kasong ito, ang mga fraction ay isinasaalang-alang. Bilang x→∞, ang halaga ng bawat isa sa mga fraction ay may posibilidad na zero. Kapag gumagawa ng isang papel sa pagsulat, ito ay nagkakahalaga ng paggawa ng mga sumusunod na footnote:

Ang sumusunod na expression ay nakuha:

Siyempre, ang mga fraction na naglalaman ng x ay hindi naging mga zero! Ngunit ang kanilang halaga ay napakaliit na medyo pinahihintulutan na huwag isaalang-alang ito sa mga kalkulasyon. Sa katunayan, ang x ay hindi kailanman magiging katumbas ng 0 sa kasong ito, dahil hindi mo maaaring hatiin sa zero.

Ano ang kapitbahayan?

Ipagpalagay natin na ang propesor ay may sa kanyang pagtatapon ng isang kumplikadong pagkakasunud-sunod, na ibinigay, malinaw naman, sa pamamagitan ng isang hindi gaanong kumplikadong formula. Nahanap ng propesor ang sagot, ngunit kasya ba ito? Pagkatapos ng lahat, lahat ng tao ay nagkakamali.

Gumawa si Auguste Cauchy ng isang mahusay na paraan upang patunayan ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod. Ang kanyang pamamaraan ay tinatawag na operasyon ng kapitbahayan.

Ipagpalagay na mayroong ilang punto a, ang kapitbahayan nito sa magkabilang direksyon sa totoong linya ay katumbas ng ε ("epsilon"). Dahil ang huling variable ay distansya, ang halaga nito ay palaging positibo.

Ngayon ay magtakda tayo ng ilang sequence x n at ipagpalagay na ang ikasampung miyembro ng sequence (x 10) ay kasama sa kapitbahayan ng a. Paano isulat ang katotohanang ito sa wikang matematika?

Ipagpalagay na ang x 10 ay nasa kanan ng point a, pagkatapos ay ang distansya x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Ngayon ay oras na upang ipaliwanag sa pagsasanay ang formula na binanggit sa itaas. Makatarungang tawagan ang isang tiyak na numero bilang dulong punto ng isang pagkakasunud-sunod kung ang hindi pagkakapantay-pantay na ε>0 ay nananatili para sa alinman sa mga limitasyon nito, at ang buong kapitbahayan ay may sariling natural na numerong N, upang ang lahat ng miyembro ng sequence na may mas matataas na numero ay nasa loob ng pagkakasunod-sunod |x n - a|< ε.

Sa gayong kaalaman, madaling malutas ang mga limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod, upang patunayan o pabulaanan ang isang handa na sagot.

Theorems

Ang mga teorema sa mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay isang mahalagang bahagi ng teorya, kung wala ang pagsasanay ay imposible. Mayroon lamang apat na pangunahing theorems, na naaalala kung alin, maaari mong makabuluhang mapadali ang proseso ng paglutas o pagpapatunay:

1. Kakaiba ng limitasyon ng isang sequence. Ang anumang pagkakasunud-sunod ay maaaring magkaroon lamang ng isang limitasyon o wala. Ang parehong halimbawa na may isang pila na maaari lamang magkaroon ng isang dulo.
2. Kung may limitasyon ang isang serye ng mga numero, limitado ang pagkakasunod-sunod ng mga numerong ito.
3. Ang limitasyon ng kabuuan (pagkakaiba, produkto) ng mga sequence ay katumbas ng kabuuan (pagkakaiba, produkto) ng kanilang mga limitasyon.
4. Ang quotient na limitasyon ng dalawang sequence ay katumbas ng quotient ng mga limitasyon kung at kung ang denominator ay hindi mawala.

Patunay ng Pagkakasunod-sunod

Minsan kinakailangan upang malutas ang isang baligtad na problema, upang patunayan ang isang ibinigay na limitasyon ng isang numerical sequence. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Patunayan na ang limitasyon ng sequence na ibinigay ng formula ay katumbas ng zero.

Ayon sa tuntunin sa itaas, para sa anumang pagkakasunod-sunod ang hindi pagkakapantay-pantay |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Ipahayag natin ang n sa mga tuntunin ng "epsilon" upang ipakita ang pagkakaroon ng isang tiyak na numero at patunayan ang pagkakaroon ng isang limitasyon ng pagkakasunud-sunod.

Sa yugtong ito, mahalagang alalahanin na ang "epsilon" at "en" ay mga positibong numero at hindi katumbas ng zero. Ngayon ay maaari mong ipagpatuloy ang karagdagang pagbabago gamit ang kaalaman tungkol sa mga hindi pagkakapantay-pantay na nakuha sa mataas na paaralan.

Saan lumalabas na n > -3 + 1/ε. Dahil ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga natural na numero, ang resulta ay maaaring bilugan sa pamamagitan ng paglalagay nito sa mga square bracket. Kaya, napatunayan na para sa anumang halaga ng "epsilon" na kapitbahayan ng punto a = 0, ang isang halaga ay natagpuan na ang paunang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan. Mula dito maaari nating ligtas na igiit na ang numero a ay ang limitasyon ng ibinigay na pagkakasunud-sunod. Q.E.D.

Sa ganitong maginhawang paraan, maaari mong patunayan ang limitasyon ng isang numerical sequence, gaano man ito kakomplikado sa unang tingin. Ang pangunahing bagay ay hindi mag-panic sa paningin ng gawain.

O baka naman wala siya?

Ang pagkakaroon ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod ay hindi kinakailangan sa pagsasanay. Madaling makahanap ng mga ganitong serye ng mga numero na talagang walang katapusan. Halimbawa, ang parehong flasher x n = (-1) n . malinaw na ang isang sequence na binubuo lamang ng dalawang digit na paulit-ulit na paikot ay hindi maaaring magkaroon ng limitasyon.

Ang parehong kuwento ay paulit-ulit na may mga pagkakasunud-sunod na binubuo ng isang solong numero, fractional, pagkakaroon sa kurso ng mga kalkulasyon ng isang kawalan ng katiyakan ng anumang pagkakasunud-sunod (0/0, ∞/∞, ∞/0, atbp.). Gayunpaman, dapat tandaan na ang maling pagkalkula ay nagaganap din. Kung minsan, ang muling pagsuri sa sarili mong solusyon ay makakatulong sa iyong mahanap ang limitasyon ng mga paghalili.

monotonikong pagkakasunud-sunod

Sa itaas, isinasaalang-alang namin ang ilang mga halimbawa ng mga pagkakasunud-sunod, mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, at ngayon subukan nating kumuha ng isang mas tiyak na kaso at tawagan itong isang "monotone sequence".

Depinisyon: makatarungang tawagan ang anumang pagkakasunod-sunod na monotonically na tumataas kung natutugunan nito ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Kasama ng dalawang kundisyong ito, mayroon ding mga katulad na hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Alinsunod dito, x n ≤ x n +1 (hindi bumababa na pagkakasunud-sunod) at x n ≥ x n +1 (hindi tumataas na pagkakasunud-sunod).

Ngunit mas madaling maunawaan ito sa mga halimbawa.

Ang pagkakasunud-sunod na ibinigay ng formula x n \u003d 2 + n ay bumubuo ng mga sumusunod na serye ng mga numero: 4, 5, 6, atbp. Ito ay isang monotonically pagtaas ng pagkakasunod-sunod.

At kung kukuha tayo ng x n \u003d 1 / n, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang serye: 1/3, ¼, 1/5, atbp. Ito ay isang monotonically decreasing sequence.

Limitasyon ng convergent at bounded sequence

Ang bounded sequence ay isang sequence na may limitasyon. Ang convergent sequence ay isang serye ng mga numero na may infinitesimal na limitasyon.

Kaya, ang limitasyon ng isang bounded sequence ay anumang tunay o kumplikadong numero. Tandaan na maaari lamang magkaroon ng isang limitasyon.

Ang limitasyon ng isang convergent sequence ay isang infinitesimal na dami (real o complex). Kung gumuhit ka ng isang diagram ng pagkakasunud-sunod, pagkatapos ay sa isang tiyak na punto, ito ay, bilang ito ay, magtatagpo, ay may posibilidad na maging isang tiyak na halaga. Kaya ang pangalan - convergent sequence.

Monotonic sequence limit

Ang ganitong pagkakasunod-sunod ay maaaring may limitasyon o wala. Una, ito ay kapaki-pakinabang upang maunawaan kung kailan ito, mula dito maaari kang magsimula kapag nagpapatunay ng kawalan ng limitasyon.

Kabilang sa mga monotonic sequence, ang convergent at divergent ay nakikilala. Convergent - ito ay isang sequence na nabuo ng set x at may real o complex na limitasyon sa set na ito. Divergent - isang sequence na walang limitasyon sa set nito (ni real or complex).

Bukod dito, ang pagkakasunud-sunod ay nagtatagpo kung ang itaas at mas mababang mga limitasyon ay nagtatagpo sa isang geometric na representasyon.

Ang limitasyon ng isang convergent sequence sa maraming pagkakataon ay maaaring katumbas ng zero, dahil ang anumang infinitesimal na sequence ay may alam na limitasyon (zero).

Alinmang convergent sequence ang kukunin mo, lahat sila ay may hangganan, ngunit malayo sa lahat ng bounded sequence ay nagtatagpo.

Ang kabuuan, pagkakaiba, produkto ng dalawang convergent sequence ay isa ring convergent sequence. Gayunpaman, ang quotient ay maaari ding magtagpo kung ito ay tinukoy!

Iba't ibang aksyon na may limitasyon

Ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay ang parehong makabuluhang (sa karamihan ng mga kaso) na halaga ng mga numero at numero: 1, 2, 15, 24, 362, atbp. Lumalabas na ang ilang mga operasyon ay maaaring isagawa nang may mga limitasyon.

Una, tulad ng mga digit at numero, ang mga limitasyon ng anumang sequence ay maaaring idagdag at ibawas. Batay sa ikatlong teorama sa mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: ang limitasyon ng kabuuan ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga limitasyon.

Pangalawa, batay sa ikaapat na teorama sa mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: ang limitasyon ng produkto ng ika-n na bilang ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng produkto ng kanilang mga limitasyon. Ang parehong ay totoo para sa paghahati: ang limitasyon ng quotient ng dalawang sequence ay katumbas ng quotient ng kanilang mga limitasyon, sa kondisyon na ang limitasyon ay hindi katumbas ng zero. Pagkatapos ng lahat, kung ang limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng zero, kung gayon ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay lalabas, na imposible.

Mga Katangian ng Sequence Value

Mukhang nasuri na sa ilang detalye ang limitasyon ng numerical sequence, ngunit ang mga pariralang tulad ng "walang hanggan maliit" at "walang hanggan na malaki" na mga numero ay binanggit nang higit sa isang beses. Malinaw, kung mayroong isang sequence 1/x, kung saan ang x→∞, kung gayon ang naturang fraction ay walang katapusan na maliit, at kung ang parehong sequence, ngunit ang limitasyon ay may posibilidad na zero (x→0), kung gayon ang fraction ay magiging isang walang katapusang malaking halaga. . At ang mga naturang halaga ay may sariling mga katangian. Ang mga katangian ng limitasyon ng isang sequence na may di-makatwirang maliit o malalaking halaga ay ang mga sumusunod:

1. Ang kabuuan ng anumang bilang ng arbitraryong maliliit na dami ay magiging maliit din.
2. Ang kabuuan ng anumang bilang ng malalaking halaga ay magiging isang walang katapusang malaking halaga.
3. Ang produkto ng di-makatwirang maliit na dami ay walang katapusang maliit.
4. Ang produkto ng di-makatwirang malalaking numero ay isang walang katapusang malaking dami.
5. Kung ang orihinal na pagkakasunod-sunod ay may posibilidad sa isang walang katapusang numero, kung gayon ang kapalit nito ay magiging infinitesimal at malamang na zero.

Sa katunayan, ang pagkalkula ng limitasyon ng isang sequence ay hindi isang mahirap na gawain kung alam mo ang isang simpleng algorithm. Ngunit ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay isang paksa na nangangailangan ng pinakamataas na atensyon at tiyaga. Siyempre, sapat na upang maunawaan lamang ang kakanyahan ng solusyon ng gayong mga ekspresyon. Simula sa maliit, sa paglipas ng panahon, maaabot mo ang malalaking taas.

Solusyon mga limitasyon sa online na function. Hanapin ang limitasyon na halaga ng isang function o functional sequence sa isang punto, kalkulahin naglilimita halaga ng function sa infinity. matukoy ang convergence ng isang serye ng numero at marami pang magagawa salamat sa aming online na serbisyo -. Pinapayagan ka naming mahanap ang mga limitasyon sa paggana online nang mabilis at tumpak. Ikaw mismo ang pumasok sa variable ng function at ang limitasyon kung saan ito naghahangad, ginagawa ng aming serbisyo ang lahat ng mga kalkulasyon para sa iyo, na nagbibigay ng tumpak at simpleng sagot. At para sa paghahanap ng limitasyon online maaari mong ipasok ang parehong numerical series at analytic function na naglalaman ng mga constant sa literal na expression. Sa kasong ito, ang nahanap na limitasyon ng function ay maglalaman ng mga constant na ito bilang mga pare-parehong argumento sa expression. Niresolba ng aming serbisyo ang anumang kumplikadong problema sa paghahanap mga limitasyon online, ito ay sapat na upang tukuyin ang function at ang punto kung saan ito ay kinakailangan upang makalkula limitasyon ng pag-andar. Pag-compute mga limitasyon online, maaari kang gumamit ng iba't ibang pamamaraan at panuntunan para sa paglutas ng mga ito, habang inihahambing ang resulta sa limitahan ang solusyon sa online sa www.site, na hahantong sa matagumpay na pagkumpleto ng gawain - maiiwasan mo ang sarili mong mga pagkakamali at typo. O maaari mo kaming lubos na pagkatiwalaan at gamitin ang aming resulta sa iyong trabaho, nang hindi gumugugol ng labis na pagsisikap at oras sa mga independiyenteng pagkalkula ng limitasyon ng paggana. Pinapayagan namin ang pag-input ng mga halaga ng limitasyon tulad ng infinity. Dapat kang maglagay ng karaniwang termino ng numerical sequence at www.site ay kalkulahin ang halaga limitasyon online sa plus o minus infinity.

Isa sa mga pangunahing konsepto ng mathematical analysis ay limitasyon ng pag-andar at limitasyon ng pagkakasunud-sunod sa isang punto at sa kawalang-hanggan, mahalagang makapag-solve nang tama mga limitasyon. Sa aming serbisyo hindi ito magiging mahirap. Isang desisyon ang ginagawa mga limitasyon online sa loob ng ilang segundo, tumpak at kumpleto ang sagot. Ang pag-aaral ng calculus ay nagsisimula sa pagpasa sa limitasyon, mga limitasyon ay ginagamit sa halos lahat ng mga seksyon ng mas mataas na matematika, kaya kapaki-pakinabang na magkaroon ng isang server sa kamay para sa limitahan ang mga solusyon sa online alin ang site.

Sequence member.

Ang numerong a ay tinatawag na limitasyon ng sequence (xn) kung para sa alinmang ε>0 mayroong isang numero n=n(ε) simula sa kung saan |xn-a |

Halimbawa 2. Patunayan na sa halimbawa 1 ang bilang na a=1 ay hindi ang limitasyon ng pagkakasunod-sunod ng nakaraang halimbawa. Solusyon. Pasimplehin muli ang karaniwang termino ng sequence. Kunin ang ε=1 (ito ay anumang numero >

Ang mga problema sa direktang pagkalkula ng limitasyon ng isang sequence ay medyo monotonous. Lahat ng mga ito ay naglalaman ng mga ratio ng polynomial na may paggalang sa n o mga expression na may paggalang sa mga polynomial na ito. Kapag nagsimulang mag-solve, alisin sa mga bracket (radical sign) ang component na matatagpuan sa senior. Ipagpalagay na para sa numerator ng orihinal na expression ito ay hahantong sa paglitaw ng salik na a^p, at para sa denominator b^q. Malinaw, ang lahat ng natitirang termino ay may anyo C / (n-k) at may posibilidad na zero kapag n>

Ang unang paraan upang makalkula ang limitasyon ng isang sequence ay batay sa kahulugan nito. Totoo, dapat tandaan na hindi ito nagbibigay ng mga paraan upang direktang maghanap para sa limitasyon, ngunit pinapayagan ka lamang na patunayan na ang ilang numero a ay (o hindi) isang limitasyon. Halimbawa 1. Patunayan na ang pagkakasunud-sunod (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1)/(n^2-n-2)) ay may limitasyon a=3. Solusyon. Magsagawa sa pamamagitan ng paglalapat ng kahulugan sa baligtarin ang pagkakasunod-sunod. Ibig sabihin, mula kanan hanggang kaliwa. Suriin muna kung posibleng gawing simple ang formula para sa xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+ 2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2). Isaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay |(3n+1)/(n+2)-3|0 na mahahanap mo ang anumang natural na numero nε mas malaki kaysa sa -2+5/ε.

Halimbawa 2. Patunayan na sa halimbawa 1 ang bilang na a=1 ay hindi ang limitasyon ng pagkakasunod-sunod ng nakaraang halimbawa. Solusyon. Pasimplehin muli ang karaniwang termino ng sequence. Kunin ang ε=1 (ito ay anumang numero >0). Isulat ang huling hindi pagkakapantay-pantay pangkalahatang kahulugan|(3n+1)/(n+2)-1|

Ang mga problema sa direktang pagkalkula ng limitasyon ng isang sequence ay medyo monotonous. Lahat ng mga ito ay naglalaman ng mga ratio ng polynomial na may paggalang sa n o mga expression na may paggalang sa mga polynomial na ito. Kapag nagsimulang mag-solve, alisin sa mga bracket (radical sign) ang component na matatagpuan sa senior. Ipagpalagay na para sa numerator ng orihinal na expression ito ay hahantong sa paglitaw ng salik na a^p, at para sa denominator b^q. Malinaw, ang lahat ng natitirang termino ay may anyong С/(n-k) at may posibilidad na zero para sa n>k (n ay may posibilidad na infinity). Pagkatapos ay isulat ang sagot: 0 kung pq.

Ipahiwatig natin ang isang di-tradisyonal na paraan ng paghahanap ng limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod at walang katapusang mga kabuuan. Gagamit tayo ng mga functional sequence (ang kanilang mga miyembro ng function ay tinukoy sa ilang pagitan (a,b)).Halimbawa 3. Hanapin ang kabuuan ng form 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Solusyon. Anumang numero a^0=1. Ilagay ang 1=exp(0) at isaalang-alang ang sequence ng function (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Tip 2: Sa anong pagkakasunud-sunod mo dapat panoorin ang mga pelikulang Marvel Avengers?

Ang Marvel universe ay batay sa Marvel comics, ngunit hindi lahat ng comic book adaptation ay bahagi ng MCU. Kasama lang ang footage na ginawa ng o kasama ng Marvel Studios. Ang Marvel Cinematic Universe ay nahahati sa mga yugto, bawat pelikula ay may sariling lugar dito. Gayunpaman, ang mga serye sa TV at maikling pelikula, bilang bahagi ng uniberso, sa kronolohiya ay maaaring nasa pagitan ng mga yugto. Yung. maaaring hindi kabilang sa mga partikular na bahagi ng MCU.

Ang Netflix at abc series ay iba sa Marvel universe. Ang MCU ay may dalawang tampok:

• bawat pelikula ay may sariling kwento;
• ang pandaigdigang balangkas ay gumagalaw mula sa isang pelikula patungo sa isa pa, bilang isang resulta, ang bawat isa sa kanila ay nagpapasulong sa balangkas na ito.

Ang serye ng abc channel ay konektado sa pandaigdigang balangkas ng cinematic universe, ngunit huwag sumulong, ngunit dagdagan lamang ito. Ang mga serye ng Netflix ay ganap na independiyenteng mga kuwento, na may sariling balangkas at sariling pandaigdigang mundo.

Sa paglipas ng mga taon, ang Marvel Universe ay lumago at patuloy na lumalawak. Samakatuwid, mahirap para sa isang hindi handa na tao na harapin ang kronolohiya ng kanyang mga pelikula, dahil hindi lahat ay naiintindihan na hindi mo mapapanood kaagad ang Iron Man 3 pagkatapos ng Iron Man 2. At upang maunawaan, kinakailangang pag-aralan ang kronolohiya, na kinabibilangan ng tatlong yugto.

Unang bahagi:

1. Ang pelikulang "Iron Man", 2008. Inilatag ng larawang ito ang pundasyon at pangkalahatang tono para sa mga sumusunod na adaptasyon ng pelikula, naganap ang aksyon nito noong 2010.
2. Ang Incredible Hulk na pelikula noong 2008. Sa adaptasyon ng pelikulang ito, naiintindihan ng mga manonood na ang mga kuwento ng dalawa iba't ibang bayani nangyayari sa parehong uniberso, dahil parehong binanggit ng Iron Man at The Incredible Hulk ang S.H.I.E.L.D., ang super-soldier program, ang StarkIndusries logo, atbp. Nakatakda ang pelikula noong 2011. Ang larawan ay hindi nagpatuloy sa kuwento ng pelikulang "Hulk" noong 2003.
3. Ang pelikulang "Iron Man 2", 2010. Ang kwentong ito ay isang uri ng binhi para sa Avengers, ipinakilala nito ang Black Widow sa balangkas, nagbibigay ng maraming mga kinakailangan para sa mga proyekto sa hinaharap at mga pag-uusap tungkol sa mga bagong problema na hinarap ni Tony Stark isang taon pagkatapos ng unang bahagi ng Iron Man.
4. Pelikulang Thor 2011. Isa rin itong paghahanda para sa Avengers, at ang pangunahing layunin ng larawan ay ipakilala ang manonood kay Thor at Loki. Ang kwento ay naganap sa parallel sa kuwento ng The Incredible Hulk at Iron Man 2.
5. Ang pelikulang "The First Avenger", 2011. Ito ay nagsasabi tungkol sa Captain America - ang unang superhero ng Earth, na, tulad ng Hulk, ay lumitaw dahil sa "sobrang sundalo" na serum. Ang una at huling mga eksena ng pelikula ay naganap noong 2011, at ang pangunahing aksyon ay naganap sa pagitan ng 1943 at 1945. Ang Tesseract, isa sa anim na Infinity Stones, ay lilitaw sa pelikula, at ipinahayag na ang "ama" ni S.H.I.E.L.D. ay ang SNR (Strategic Science Reserve).
6. Maikling pelikulang "Consultant", 2011. Dito ipinaliwanag huling eksena pelikulang The Incredible Hulk.
7. Maikling pelikula "Isang nakakatawang insidente sa daan patungo sa martilyo ni Thor", 2011.
8. Ang pelikulang Avengers, 2012. Naganap ang kuwento noong 2012, nang ang S.H.I.E.L.D. para sa kapakanan ng pagliligtas sa mundo ay nagpahayag ng isang "pangkalahatang koleksyon".

Ikalawang yugto:

1. Ang pelikulang "Iron Man 3", 2013. Nagaganap ang aksyon sa taglamig ng 2012, nang umuwi si Tony Stark pagkatapos ng Labanan sa New York, ngunit pinahirapan siya ng mga bangungot. Hindi siya makatulog, at inilalaan ang kanyang oras sa paglikha ng mga bagong costume.
2. Ang seryeng "Agents of SHIELD", 2013.
3. Thor 2: Ang Madilim na Mundo, 2013. Ang pelikula ay nagsasabi kung paano bumalik si Thor sa bahay at nalaman na ang lahat ng siyam na mundo ay nahulog sa kaguluhan. At tungkol sa kung paano inayos ni Thor ang mga bagay.
4. Maikling pelikulang "Mabuhay ang Hari", 2014. Ito ay isang kuwento tungkol kay Trevor Sletty na nagaganap pagkatapos ng mga kaganapan sa Iron Man 3.
5. Captain America: Another War, 2014 na pelikula. Ito ay isang kuwento tungkol kay Captain America, na hindi makakauwi, kaya naghahanap siya ng bagong trabaho at naging ahente ng S.H.I.E.L.D., na nagtatrabaho sa isang team kasama ang Black Widow. Pinakamahusay na mapanood ang pelikula sa pagitan ng 16 at 17 na yugto ng Agents of SHIELD.
6. Ang pelikulang Guardians of the Galaxy 2014. Kailangan mong manood pagkatapos ng 1st season ng seryeng "Agents of S.H.I.E.L.D." Ito ang kwento ng mga kriminal sa labas ng lupa na bumuo ng isang team para pigilan ang mas mapanganib na kriminal na si Ronan sa pagkuha ng Infinity Stone.
7. Ang seryeng "Agents of SHIELD", ikalawang season, 2014.
8. Ang seryeng "Agent Carter", 2016. Ito ang kwento kung paano tinulungan ni Peggy Carter at butler na si Edwin Jarvis si Howard Stark na maibalik ang kanyang magandang pangalan.
9. Avengers: Age of Ultron movie 2015. Sa pelikulang ito, ang Avengers ay muling magkasama upang iligtas ang mundo, ngunit sa pagkakataong ito sila ay naging isang ganap na koponan. Mas magandang panoorin sa pagitan ng 19 at 20 episodes ng ikalawang season ng "Agents of SHIELD".
10. Ang pelikulang "Ant-Man", 2015. Panoorin pagkatapos ng season 2 ng seryeng "Agents of S.H.I.E.L.D."

Ikatlong yugto:

1. Ang pelikulang "The First Avenger: Confrontation", 2016. Pagkatapos ng Sokovia Treaty, ang Avengers ay kinakailangang sumunod sa gobyerno, ngunit ito ay nahahati sa kanila sa dalawang kampo: ang mga pabor sa pagpaparehistro at ang mga laban dito.

Ito ay ang lahat ng mga pelikula na nai-release na. Ngunit hindi ang buong kwento. Sa ikatlong yugto, 14 pang pelikula ang binalak, at pagkatapos - ang ikaapat na yugto.

Kaugnay na artikulo

Para sa mga nais malaman kung paano hanapin ang mga limitasyon sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ito. Hindi natin sisilipin ang teorya, karaniwan itong ibinibigay sa mga lektura ng mga guro. Kaya yun" boring theory"Dapat nakabalangkas sa iyong mga notebook. Kung hindi ito ang kaso, maaari mong basahin ang mga aklat-aralin na kinuha mula sa aklatan institusyong pang-edukasyon o iba pang online na mapagkukunan.

Kaya, ang konsepto ng limitasyon ay lubos na mahalaga sa pag-aaral ng kurso ng mas mataas na matematika, lalo na kapag nakita mo ang integral calculus at nauunawaan ang kaugnayan sa pagitan ng limitasyon at integral. Sa kasalukuyang materyal ay isasaalang-alang mga simpleng halimbawa, pati na rin ang mga paraan upang malutas ang mga ito.

Mga halimbawa ng solusyon

Ano ang gagawin sa kawalan ng katiyakan ng form: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Dalhin natin ang limitasyon sa huling dalawang halimbawa sa infinity at isaalang-alang ang kawalan ng katiyakan: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Algorithm para sa pagkalkula ng mga limitasyon

Kaya, maikling buod natin ang nasuri na mga halimbawa at gumawa ng algorithm para sa paglutas ng mga limitasyon:

1. Palitan ang point x sa expression na sumusunod sa limit sign. Kung ang isang tiyak na numero ay nakuha, o infinity, ang limitasyon ay ganap na malulutas. Kung hindi, mayroon tayong kawalan ng katiyakan: "zero na hinati ng zero" o "infinity na hinati ng infinity" at magpatuloy sa susunod na mga talata ng pagtuturo.
2. Upang maalis ang kawalan ng katiyakan "zero divide by zero" kailangan mong i-factor ang numerator at denominator. Bawasan ang katulad. Palitan ang point x sa expression sa ilalim ng limit sign.
3. Kung ang kawalan ng katiyakan ay "infinity na hinati ng infinity", pagkatapos ay kinuha namin pareho sa numerator at sa denominator x ng pinakamalaking degree. Pinaikli namin ang mga x. Pinapalitan namin ang mga halaga ng x mula sa ilalim ng limitasyon sa natitirang expression.

Sa artikulong ito, nakilala mo ang mga pangunahing kaalaman sa paglutas ng mga limitasyon, kadalasang ginagamit sa kursong Calculus. Siyempre, hindi ito lahat ng mga uri ng problema na inaalok ng mga tagasuri, ngunit ang pinakasimpleng mga limitasyon lamang. Pag-uusapan natin ang tungkol sa iba pang mga uri ng mga gawain sa mga artikulo sa hinaharap, ngunit kailangan mo munang matutunan ang araling ito upang magpatuloy. Tatalakayin natin kung ano ang gagawin kung may mga ugat, degree, pag-aaralan natin ang infinitesimal equivalent function, kahanga-hangang mga limitasyon, ang panuntunan ng L'Hopital.

Kung hindi mo maisip ang mga limitasyon sa iyong sarili, huwag mag-panic. Kami ay palaging masaya na tumulong!