Pagpili ng mga ugat mula sa sine. Mga entry na may tag na "roots of a trigonometric equation on an interval"

Bilang sa ay isang integer, kung gayon k=1. Pagkatapos x = ay ang solusyon ng orihinal na equation.

Isaalang-alang ang pangalawang sistema ng koleksyon

Kung ang n=0, pagkatapos . Sa n = -1; -2;… walang magiging solusyon.

Kung ang n=1, ay ang solusyon ng sistema at, dahil dito, ng orihinal na equation.

Kung ang n=2, pagkatapos

Walang magiging desisyon.

Sa pakiusap mo!

13. Lutasin ang equation na 3-4cos 2 x=0. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat nito na kabilang sa pagitan.

Ibaba natin ang cosine degree sa pamamagitan ng formula: 1+cos2α=2cos 2 α. Kumuha kami ng katumbas na equation:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (-2) at makuha ang pinakasimpleng trigonometric equation:

14. Hanapin ang b 5 geometric progression kung b 4 =25 at b 6 =16.

Ang bawat miyembro ng geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng mga miyembrong katabi nito:

(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . Mayroon tayong (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25 16 ⇒ b 5 =±5 4 ⇒ b 5 =±20.

15. Hanapin ang derivative ng function: f(x)=tgx-ctgx.

16. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function y(x)=x 2 -12x+27

sa segment.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function y=f(x) sa segment, kailangan mong hanapin ang mga halaga ng function na ito sa mga dulo ng segment at sa mga kritikal na punto na kabilang sa segment na ito, at pagkatapos ay piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit mula sa lahat ng nakuhang halaga.

Hanapin natin ang mga halaga ng function sa x=3 at sa x=7, i.e. sa dulo ng segment.

y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

Hanapin ang derivative ng function na ito: y'(x)=(x 2 -12x+27)' =2x-12=2(x-6); ang kritikal na punto x=6 ay kabilang sa ibinigay na pagitan. Hanapin ang halaga ng function sa x=6.

y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. At ngayon pumili kami mula sa tatlong nakuhang halaga: 0; -8 at -9 ang pinakamalaki at pinakamaliit: pinakamarami. =0; sa pagkuha =-9.

17. Hanapin ang pangkalahatang anyo ng mga antiderivative para sa function:

Ang interval na ito ay ang domain ng kahulugan ng function na ito. Ang mga sagot ay dapat magsimula sa F(x), hindi f(x) dahil naghahanap kami ng isang antiderivative. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang function na F(x) ay antiderivative para sa function na f(x) kung ang pagkakapantay-pantay ay: F’(x)=f(x). Kaya makakahanap ka lang ng mga derivatives ng mga iminungkahing sagot hanggang makuha mo ang function na ito. Ang isang mahigpit na solusyon ay ang pagkalkula ng integral ng isang naibigay na function. Naglalapat kami ng mga formula:

19. Buuin ang equation ng isang tuwid na linya na naglalaman ng median BD ng triangle ABC kung ang mga vertices nito ay A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).

Upang i-compile ang equation ng isang tuwid na linya, kailangan mong malaman ang mga coordinate ng 2 puntos ng tuwid na linya na ito, at alam lang natin ang mga coordinate ng point B. Dahil hinahati ng median BD ang kabaligtaran sa kalahati, ang point D ay ang midpoint. ng segment na AC. Ang mga midpoint ng isang segment ay ang kalahating kabuuan ng mga katumbas na coordinate ng mga dulo ng segment. Hanapin natin ang mga coordinate ng point D.

20. Kalkulahin:

24. Ang lugar ng isang regular na tatsulok sa base ng isang tamang prisma ay

Ang problemang ito ay ang kabaligtaran ng problema 24 mula sa opsyon 0021.

25. Maghanap ng pattern at ipasok ang nawawalang numero: 1; 4; siyam; labing-anim; …

Malinaw na ang numerong ito 25 , dahil binibigyan tayo ng pagkakasunod-sunod ng mga parisukat ng mga natural na numero:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

Good luck at tagumpay sa lahat!

No. 10 (757) NA-publish SINCE 1992 mat.1september.ru Tema ng isyu Pagsusulit sa kaalaman Ang aming proyekto Mga Kumpetisyon Atensyon - Malikhaing Pagsusuri ng aralin sa Ural Cup para sa isang malakas na pagsusulit "Axiom ng isang mag-aaral ng parallel lines" c. 16 c. 20 c. 44 7 6 5 4 3 bersyon ng magazine 2 n e r. w w maging w. 1 m septe Oktubre 1september.ru 2014 math Subscription sa website www.1september.ru o ayon sa Russian Post catalog: 79073 (papel na bersyon); 12717 (CD-version) Grades 10–11 Selection training S. MUGALLIMOVA, pos. Bely Yar, rehiyon ng Tyumen ng root trigonometric equation Trigonometry sa kursong paaralan ng matematika ay sumasakop sa isang espesyal na lugar at ayon sa kaugalian ay itinuturing na mahirap kapwa para sa pagtatanghal ng guro at para sa asimilasyon ng mga mag-aaral. Ito ay isa sa mga seksyon, ang pag-aaral kung saan ay madalas na nakikita ng marami bilang "matematika para sa kapakanan ng matematika", bilang pag-aaral ng materyal na walang praktikal na halaga. Samantala, ang trigonometric apparatus ay ginagamit sa maraming aplikasyon ng matematika, at ang pagpapatakbo ng trigonometric function ay kinakailangan para sa pagpapatupad ng intra- at interdisciplinary na koneksyon sa pagtuturo ng matematika. Tandaan na ang trigonometriko na materyal ay lumilikha ng matabang lupa para sa pagbuo ng iba't ibang kasanayan sa metasubject. Halimbawa, ang pag-aaral na pumili ng mga ugat ng isang trigonometric equation at mga solusyon sa isang trigonometric inequality ay nagbibigay-daan sa isa na bumuo ng kasanayang nauugnay sa paghahanap ng mga solusyon na nakakatugon sa paraan ng pagsasama-sama ng mga ibinigay na kondisyon. Ang paraan ng pagtuturo ng pagpili ng mga ugat ay batay sa mga katotohanang nakalista sa ibaba. Kaalaman: - lokasyon ng mga puntos sa isang trigonometriko na bilog; - mga palatandaan ng trigonometriko function; – mga lokasyon ng mga puntos na tumutugma sa pinakakaraniwang mga halaga ng mga anggulo, at mga anggulo na nauugnay sa kanila sa pamamagitan ng mga formula ng pagbabawas; – mga graph ng trigonometriko function at ang kanilang mga katangian. Pag-unawa: – na ang isang punto sa isang trigonometric na bilog ay nailalarawan sa pamamagitan ng tatlong mga tagapagpahiwatig: 1) ang anggulo ng pag-ikot ng puntong P (1; 0); 2) ang abscissa, na tumutugma sa cosine ng anggulong ito, at 3) ang ordinate, na tumutugma sa sine ng anggulong ito; – polysemy ng talaan ng ugat ng trigonometriko equation at ang pagtitiwala ng isang tiyak na halaga ng ugat sa halaga ng isang integer na parameter; – pag-asa ng halaga ng anggulo ng pag-ikot ng radius sa bilang ng mga kumpletong rebolusyon o sa panahon ng pag-andar. Kakayahang: – markahan ang mga punto sa isang trigonometric na bilog na tumutugma sa positibo at negatibong mga anggulo ng pag-ikot ng radius; – iugnay ang mga halaga ng trigonometric function sa lokasyon ng isang punto sa isang trigonometric na bilog; matematika Oktubre 2014 - isulat ang mga halaga ng mga anggulo ng pag-ikot ng punto 3. 3. Markahan ang maraming puntos hangga't maaari, na tumutugma sa P (1; 0), na tumutugma sa mga simetriko na puntos na tumutugma sa mga ibinigay na halaga ng function kam sa trigonometric na bilog; 1 (hal. | sin x | =). – isulat ang mga halaga ng mga argumento ng trigono- 2 metric function ayon sa mga punto ng graph ng function- 3.4. Markahan ang mga agwat na naaayon sa pag-andar, na isinasaalang-alang ang periodicity ng function, pati na rin ang tinukoy na mga paghihigpit sa mga halaga ng function ng kahit at kakaiba; 3 1 (halimbawa, − ≤ cos x ≤). – sa pamamagitan ng mga halaga ng mga variable upang mahanap ang kaukulang mga punto sa mga graph ng mga function; 3.5. Para sa mga ibinigay na halaga ng function at limitasyon - upang pagsamahin ang isang serye ng mga ugat ng trigonometriko sa mga halaga ng argumento, tandaan ang kaukulang mga equation. katumbas na mga punto at isulat ang mga halaga ng argumento. Kaya, sa proseso ng pag-aaral ng trigono-ment (halimbawa, upang ipahiwatig sa graph at gumawa ng metric na materyal, kinakailangan na gumawa ng naaangkop na mga entry para sa mga puntos na bigyang kasiyahan ang mga sumusunod na pagsasanay.< x <). 1. При изучении начал тригонометрии (в пря- 2 моугольном треугольнике) заполнить (и запом- Перечисленные выше действия полезны при нить!) таблицу значений тригонометрических решении задачи С1 ЕГЭ по математике. В этой функций для углов 30°, 45°, 60° и 90°. задаче, помимо решения тригонометрического 2. При введении понятия тригонометрической уравнения, требуется произвести отбор корней, окружности: и для успешного выполнения этого задания на 2.1. Отметить точки, соответствующие по- экзамене, помимо перечисленных знаний и уме- воротам радиуса на 30°, 45°, 60°, затем на 0, ний, ученик должен владеть следующими навы- π 3π π π π π π π 5π 3π ками: , π, 2π, − , − , − , 2 2 6 4 3 6 4 3 6 4 – решать простейшие тригонометрические 2π 7π 5π 4π уравнения и неравенства; , . 3 6 4 3 – применять тригонометрические тождества; 2.2. Записать значения углов для указанных – использовать различные методы решения выше точек с учетом периодичности движения уравнений; по окружности. – решать двойные линейные неравенства; 2.3. Записать значения углов для указанных – оценивать значение иррационального числа. выше точек с учетом периодичности движения Перечислим способы отбора корней в подоб- по окружности при заданных значениях параме- ных заданиях. тра (например, при n = 2, n = –1, n = –5). 2.4. Найти с помощью тригонометрической Способ перевода в градусную меру окружности значения синуса, косинуса, танген- 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- са и котангенса для указанных выше углов. 2 2.5. Отметить на окружности точки, соответ-  3π 5π  ряющие условию x ∈  − ;  . ствующие требуемым значениям тригонометри-  2 2  ческих функций. Решение. Корни уравнения имеют вид 2.6. Записать числовые промежутки, удовлет- π x = (−1)n + πn, где n ∈ Z. воряющие заданным ограничениям значения 6 3 2 Это значит, что функции (например, − ≤ sin α ≤). 2 2 x = 30° + 360°жn или x = 150° + 360°жn. 2.7. Подобрать формулу для записи углов, со-  3π 5π  ответствующих нескольким точкам на тригоно- Условие x ∈  − ; можно записать в виде метрической окружности (например, объединить  2 2  π 3π x ∈ [–270°; 450°]. Указанному промежутку при- записи x = ± + 2πn, n ∈ Z, и x = ± + 2πk, k ∈ Z). 4 4 надлежат следующие значения: 3. При изучении тригонометрических функ- ций, их свойств и графиков: 30°, 150°, –210°, 390°. 3.1. Отметить на графике функции точки, со- Выразим величины этих углов в радианах: ответствующие указанным выше значениям ар- π 5π 7π 13π , − , . гументов. 6 6 6 6 3.2. При заданном значении функции (напри- Это не самый изящный способ решения по- мер, ctg x = 1) отметить как можно больше точек добных заданий, но он полезен на первых порах на графике функции и записать соответствую- освоения действия и в работе со слабыми учени- щие значения аргумента. ками. 31 математика октябрь 2014 Способ движения по окружности Способ оценки 3 Решить уравнение Найти корни уравнения tg x = , удовлетво- tg x − 1 3 = 0.  π  − cos x ряющие условию x ∈  − ; 2π  .  2  Решение. Данное уравнение равносильно си- 3 Решение. Корни уравнения tg x = имеют стеме  tg x = 1, π 3  вид x = + πn, n ∈ Z. Потребуем выполнения 6  cos x < 0.  π  условия x ∈  − ; 2π  , для этого решим двойное Отметим на тригонометрической окружности  2  корни уравнения tg x = 1, соответствующие зна- неравенство: π π π 2 5 чениям углов поворота x = + πn, n ∈ Z (рис. 1). − ≤ + πn ≤ 2π, − ≤ n ≤ 1 . 4 2 6 3 6 Выделим также дуги окружности, лежащие во II π 7π Отсюда n = 0 или n = 1. Значит x = или x = . и III координатных четвертях, так как в этих чет- 6 6 вертях выполнено условие cos x < 0. Графический способ 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- 2  3π 5π  ряющие условию x ∈  − ;  .  2 2  Решение. Построим график функции y = sin x (рис. 2). Корни данного уравнения являются абс- циссами точек пересечения графика с прямой практикум 1 y= . Отметим такие точки, выделив фрагмент 2  3π 5π  графика на промежутке  − ;  .  2 2  Рис. 1 Из рисунка видно, что решениями системы, а значит, и решениями данного уравнения явля- / π ются значения x = + π(2n + 1), n ∈ Z. м е то д о б ъ е д и н е н и е 4 Рис. 2 Способ перебора Здесь cos x π π 5π π 13π Решить уравнение = 0. x0 = , x1 = π − = , x2 = + 2π = , 16 − x 2 6 6 6 6 6 Решение. Данное уравнение равносильно си- 5π 7π стеме x3 = − 2π = − . 6 6  cos x = 0,  16 − x >0. 2 Kaya, sa isang naibigay na pagitan, ang equation na π ay may apat na ugat: Mula sa equation na cos x = 0 nakukuha natin ang: x = + πn, n ∈ Z. 2 π 5π 13π 7π , − . Ang mga solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay 16 – x2 > 0 ay nabibilang sa 6 6 6 6 na pagitan (–4; 4). Sa konklusyon, itinatampok namin ang ilang mga punto. Isa-isahin natin: Ang kasanayang nauugnay sa paghahanap ng mga solusyon na nagbibigay-kasiyahan sa ibinigay na mga halaga ng argumento π π 3, 14, kung n = 0, kung gayon x = + π ⋅ 0 = ≈ ∈(−4; 4); 2 2 2 ay mahalaga sa paglutas ng maraming inilapat na mga problema, at ito ay kinakailangan upang mabuo ang kasanayang ito kung n = 1, pagkatapos x = + π = ≈ ∉(−4; 4); 2 2 2 mo sa proseso ng pag-aaral ng lahat ng trigonometrically, kung n ≥ 1, pagkatapos ay makakakuha tayo ng mga halaga ng x na higit sa 4; materyal. π π 3, 14 Sa proseso ng pag-aaral upang malutas ang mga problema, kung saan kung n = –1, kung gayon x = −π= − ≈ − ∈(−4; 4); 2 2 2 kinakailangang piliin ang mga ugat ng trigonometric equation π 3π 3 ⋅ 3, 14, talakayin sa mga mag-aaral kung n = –2, pagkatapos x = − 2π = − ≈− ∉(−4; 4); 2 2 2 iba't ibang paraan upang maisagawa ang pagkilos na ito, at kung n ≤ –2, makakakuha tayo ng mga x value na mas mababa sa –4. alamin din ang mga kaso kapag ang isa o ibang paraan ay maaaring ang pinaka-maginhawa o, sa- Ang equation na ito ay may dalawang ugat: at − . 2 2 turnover, hindi magagamit. matematika Oktubre 2014 32

Upang gamitin ang preview ng mga presentasyon, lumikha ng isang Google account (account) at mag-sign in: https://accounts.google.com

Mga slide caption:

Pagpili ng mga ugat sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko

1. Kalkulahin: b) arccos c) arcsin 2 e) arccos f) ar na may ctg a) arcsin (-1) d) arctg (wala); (hindi umiiral);

2. Lutasin ang mga equation: b) sin x = c) cos x = 0; d) tg x = a) cos x = - 1;

1. Pagpili ng mga ugat sa isang trigonometric equation gamit ang isang bilog na numero. Halimbawa 1. cos x + cos 2 x – cos 3 x = 1. Solusyon. cos x - cos 3 x - (1 - cos 2 x) = 0, 2sin x sin 2 x - 2sin 2 x = 0, 2sin x (sin 2 x - sin x) = 0,

Gumuhit tayo ng isang serye ng mga ugat sa isang trigonometric na bilog. 0 x y Nakita namin na ang unang serye () ay kinabibilangan ng mga ugat ng pangalawang serye (), at ang ikatlong serye () ay kinabibilangan ng mga numero ng anyo mula sa mga ugat ng unang serye (). 0

Halimbawa 2. tg x + tg 2 x – tg 3 x = 0. Solusyon.

tg x tg 2 x tg 3 x = 0; Ilarawan natin ang ODZ at isang serye ng mga ugat sa isang bilog na numero. 0 x y 0 Mula sa pangalawang serye ng mga ugat (), ang mga numero ng form ay hindi nakakatugon sa ODZ, ngunit ang mga numero ng form. ay kasama sa ikatlong serye () Ang unang serye () ay kasama rin sa ikatlong serye ng mga ugat (), kaya ang sagot ay maaaring isulat sa isang pormula.

Halimbawa 3. Solusyon. Minsan nangyayari na ang bahagi ng serye ay kasama sa sagot, at ang bahagi ay hindi. Inilalagay namin ang lahat ng mga numero ng serye sa bilog ng numero at hindi kasama ang mga ugat na nagbibigay-kasiyahan Ang natitirang mga solusyon mula sa serye ng mga ugat ay maaaring pagsamahin sa formula 0 x y 0 sa kondisyon

2. Pagpili ng mga ugat sa isang trigonometric equation sa paraang algebraic Halimbawa 1. Solusyon. Dahil ang pinakamalaking halaga ng function na y \u003d cos t ay 1, kung gayon ang equation ay katumbas ng system Ang solusyon sa equation ay ang intersection ng serye, iyon ay, kailangan nating lutasin ang equation Nakuha natin Kaya,

Halimbawa 2. Solusyon. Ang solusyon sa equation ay ang intersection ng serye, iyon ay, kailangan nating lutasin ang equation kung saan ang isang integer. pagkatapos Hayaan Kaya

3. Pagpili ng mga ugat sa isang trigonometric equation na may ilang kundisyon Halimbawa 1. Hanapin ang mga ugat ng equation sin 2 x = cos x | cos x | na nakakatugon sa kundisyon x . cos x (2sin x - | cos x |)=0; Desisyon. kasalanan 2 x = cos x | cos x |; 2sin x · cos x - cos x | cos x |=0;

0 y x 0 y x cos x ≥ 0 cos x

Halimbawa 2 . Hanapin ang lahat ng mga solusyon ng equation na kabilang sa interval Solution. ODZ: cos 3x ≥ 0; Pansinin ang ODZ sa trigonometriko na bilog: 0 y x Isang pagitan lamang mula sa ODZ ang nabibilang sa segment, ibig sabihin, Lutasin natin ang equation at piliin ang mga ugat na kabilang sa pagitan na ito: 1 + sin 2 x = 2cos 2 3 x ; kasalanan 2x = cos 6x; kasalanan 2 x - cos 6 x \u003d 0;

Pinipili namin ang mga ugat na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ng problema. Mula sa unang serye: Kaya n =2, i.e. Mula sa pangalawang serye: Kaya n =5, i.e.

Halimbawa 3. Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyong Solusyon. 10sin 2 x \u003d - cos 2 x + 3; 10sin 2 x = 2sin 2 x - 1 + 3, 8sin 2 x = 2; 0 y x

Pinipili namin ang mga ugat na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ng problema. Mula sa unang serye: Kaya n =0 o n =1, i.e. Mula sa pangalawang serye: Samakatuwid n =0 o n =1, i.e.