Hindi makatwiran at hindi makatwiran na mga numero. Makatuwiran at hindi makatwiran na mga numero

Kahulugan ng isang hindi makatwirang numero

Ang mga irrational na numero ay ang mga numerong iyon na sa decimal notation ay kumakatawan sa walang katapusang non-periodic decimal fraction.

Kaya, halimbawa, ang mga numerong nakuha sa pamamagitan ng pagkuha ng square root ng natural na mga numero, ay hindi makatwiran at hindi mga parisukat ng mga natural na numero. Ngunit hindi lahat ng hindi makatwirang numero ay nakukuha sa pamamagitan ng pagkuha ng mga square root, dahil ang numerong pi na nakuha sa pamamagitan ng dibisyon ay hindi rin makatwiran, at malamang na hindi mo ito makuha sa pamamagitan ng pagsubok na kunin ang square root ng isang natural na numero.

Mga katangian ng mga hindi makatwirang numero

Hindi tulad ng mga numerong isinulat bilang infinite decimal, ang mga irrational na numero lang ang isinusulat bilang non-periodic infinite decimal.
Ang kabuuan ng dalawang di-negatibong irrational na numero ay maaaring maging isang rational na numero.
Ang mga irrational na numero ay tumutukoy sa mga seksyon ng Dedekind sa hanay ng mga rational na numero, sa mas mababang uri na walang Malaking numero, at sa itaas ay walang kulang.
Anumang tunay na transendental na numero ay hindi makatwiran.
Ang lahat ng hindi makatwirang numero ay alinman sa algebraic o transendental.
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero sa isang linya ay makapal na matatagpuan, at sa pagitan ng alinman sa dalawa sa mga numero nito ay tiyak na mayroong isang hindi makatwiran na numero. makatwirang numero.
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay walang hanggan, hindi mabilang at isang hanay ng ika-2 kategorya.
Kapag nagsasagawa ng anumang operasyong aritmetika sa mga rational na numero, maliban sa paghahati ng 0, ang resulta ay isang rational na numero.
Kapag nagdadagdag ng rational number sa isang irrational na numero, ang resulta ay palaging isang irrational na numero.
Kapag nagdadagdag ng mga hindi makatwirang numero, maaari tayong magkaroon ng rational na numero.
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay hindi pantay.

Ang mga numero ay hindi makatwiran

Minsan medyo mahirap sagutin ang tanong kung ang isang numero ay hindi makatwiran, lalo na sa mga kaso kung saan ang numero ay may anyo decimal o sa anyo numerical expression, ugat o logarithm.

Samakatuwid, hindi magiging labis na malaman kung aling mga numero ang hindi makatwiran. Kung susundin natin ang kahulugan ng mga irrational na numero, alam na natin na ang mga rational na numero ay hindi maaaring maging hindi makatwiran.

Ang mga hindi makatwirang numero ay hindi:

Una, lahat ng natural na numero;
Pangalawa, integers;
pangatlo, mga karaniwang fraction;
Pang-apat, iba magkahalong numero;
Ikalima, ito ay walang katapusang periodic decimal fraction.

Bilang karagdagan sa lahat ng nasa itaas, ang isang hindi makatwirang numero ay hindi maaaring maging anumang kumbinasyon ng mga rational na numero na ginagawa ng mga palatandaan ng mga operasyong aritmetika, tulad ng +, -, , :, dahil sa kasong ito ang resulta ng dalawang rational na numero ay magiging isang rational na numero.

Ngayon tingnan natin kung aling mga numero ang hindi makatwiran:

Alam mo ba ang tungkol sa pagkakaroon ng isang fan club kung saan ang mga tagahanga ng mahiwagang mathematical phenomenon na ito ay naghahanap ng higit at higit pang impormasyon tungkol sa Pi, na sinusubukang i-unravel ang misteryo nito? Maaaring maging miyembro ng club na ito ang sinumang tao na nakakaalam ng tiyak na bilang ng Pi number pagkatapos ng decimal point;

Alam mo ba na sa Germany, sa ilalim ng proteksyon ng UNESCO, mayroong Castadel Monte palace, salamat sa mga proporsyon kung saan maaari mong kalkulahin ang Pi. Inialay ni Haring Frederick II ang buong palasyo sa bilang na ito.

Ito ay lumabas na sinubukan nilang gamitin ang numerong Pi sa pagtatayo ng Tore ng Babel. Ngunit sa kasamaang-palad, ito ay humantong sa pagbagsak ng proyekto, dahil sa oras na iyon ang eksaktong pagkalkula ng halaga ng Pi ay hindi sapat na pinag-aralan.

Ang mang-aawit na si Kate Bush sa kanyang bagong disc ay nag-record ng isang kanta na tinatawag na "Pi", kung saan isang daan at dalawampu't apat na numero mula sa sikat na serye ng numero 3, 141… ang narinig.

Hindi makatwiran na numero- Ito totoong numero, na hindi makatwiran, ibig sabihin, ay hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan ang mga integer, . Hindi makatwiran na numero ay maaaring katawanin bilang isang walang katapusang non-periodic decimal.

Ang hanay ng mga hindi makatwiran na numero ay karaniwang tinutukoy ng isang malaking titik na Latin sa naka-bold na istilo nang walang pagtatabing. Kaya: , i.e. maraming irrational na numero pagkakaiba sa pagitan ng mga hanay ng tunay at rational na mga numero.

Tungkol sa pagkakaroon ng mga hindi makatwirang numero, mas tiyak Ang mga segment na hindi katumbas ng isang segment ng haba ng yunit ay kilala na ng mga sinaunang mathematician: alam nila, halimbawa, ang incommensurability ng dayagonal at ang gilid ng square, na katumbas ng irrationality ng numero.

Ari-arian

Ang anumang tunay na numero ay maaaring isulat bilang isang infinite decimal fraction, habang ang mga irrational na numero at ang mga ito lamang ang isinulat bilang non-periodic infinite decimal fraction.
Ang mga hindi makatwirang numero ay tumutukoy sa mga pagbawas ng Dedekind sa hanay ng mga rational na numero na walang pinakamalaking bilang sa mas mababang klase at walang pinakamaliit na numero sa mas mataas na klase.
Ang bawat tunay na transendental na numero ay hindi makatwiran.
Ang bawat hindi makatwirang numero ay alinman sa algebraic o transendental.
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay siksik sa lahat ng dako sa linya ng numero: sa pagitan ng alinmang dalawang numero ay mayroong isang hindi makatwirang numero.
Ang pagkakasunud-sunod sa hanay ng mga hindi makatwirang numero ay isomorphic sa pagkakasunud-sunod sa hanay ng mga tunay na transendental na numero.
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay hindi mabilang at isang set ng pangalawang kategorya.

Mga halimbawa

Hindi nakapangangatwiran numero
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Ang hindi makatwiran ay:

Mga halimbawa ng patunay ng irrationality

ugat ng 2

Ipagpalagay natin ang kabaligtaran: ito ay makatwiran, iyon ay, ito ay kinakatawan sa anyo ng isang hindi mababawasang bahagi, kung saan ay isang integer at isang natural na numero. I-square natin ang dapat na pagkakapantay-pantay:

Ito ay sumusunod na kahit na ay kahit na at . Hayaan ito kung nasaan ang kabuuan. Pagkatapos

Samakatuwid, ang ibig sabihin ng kahit ay kahit na at . Natagpuan namin iyon at pantay-pantay, na sumasalungat sa irreducibility ng fraction . Nangangahulugan ito na ang orihinal na palagay ay hindi tama, at ito ay isang hindi makatwirang numero.

Binary logarithm ng numero 3

Ipagpalagay natin ang kabaligtaran: ito ay makatwiran, iyon ay, ito ay kinakatawan bilang isang fraction, kung saan at mga integer. Dahil , at maaaring piliin na maging positibo. Pagkatapos

Ngunit kahit na at kakaiba. Nakakakuha tayo ng kontradiksyon.

e

Kwento

Ang konsepto ng hindi makatwiran na mga numero ay tahasang pinagtibay ng mga Indian mathematician noong ika-7 siglo BC, nang malaman ni Manava (c. 750 BC - c. 690 BC) na square roots Ang ilang mga natural na numero, tulad ng 2 at 61, ay hindi maaaring ipahayag nang tahasan.

Ang unang patunay ng pagkakaroon ng mga hindi makatwirang numero ay karaniwang iniuugnay kay Hippasus ng Metapontus (c. 500 BC), isang Pythagorean na nakahanap ng patunay na ito sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga haba ng mga gilid ng pentagram. Sa panahon ng mga Pythagorean, pinaniniwalaan na mayroong isang yunit ng haba, sapat na maliit at hindi mahahati, na pumasok sa anumang segment ng integer na bilang ng beses. Gayunpaman, ipinagtalo ni Hippasus na walang iisang yunit ng haba, dahil ang pag-aakala ng pagkakaroon nito ay humahantong sa isang kontradiksyon. Ipinakita niya na kung ang hypotenuse ng isang isosceles kanang tatsulok naglalaman ng integer na bilang ng mga segment ng unit, kung gayon ang numerong ito ay dapat na pareho at kakaiba. Ang patunay ay ganito:

Ang ratio ng haba ng hypotenuse sa haba ng binti ng isosceles right triangle ay maaaring ipahayag bilang a:b, Saan a At b pinili bilang pinakamaliit na posible.
Ayon sa Pythagorean theorem: a² = 2 b².
kasi a- kahit, a dapat ay kahit na (dahil ang parisukat ng isang kakaibang numero ay magiging kakaiba).
Dahil ang a:b hindi mababawasan b dapat kakaiba.
kasi a kahit, tinutukoy namin a = 2y.
Pagkatapos a² = 4 y² = 2 b².
b² = 2 y², samakatuwid b- kahit na, pagkatapos b kahit.
Gayunpaman, ito ay napatunayan na b kakaiba. Kontradiksyon.

Tinawag ng mga Greek mathematician ang ratio na ito ng hindi matutumbasan na dami alogos(hindi masabi), ngunit ayon sa mga alamat ay hindi sila nagbigay ng nararapat na paggalang kay Hippasus. May isang alamat na si Hippasus ay nakatuklas habang nasa isang paglalakbay-dagat at itinapon sa dagat ng iba pang mga Pythagorean "para sa paglikha ng isang elemento ng sansinukob na tumatanggi sa doktrina na ang lahat ng mga entidad sa uniberso ay maaaring mabawasan sa mga integer at ang kanilang mga ratios." Ang pagtuklas sa Hippasus ay nagdulot ng isang seryosong problema para sa Pythagorean na matematika, na sinisira ang pinagbabatayan na palagay na ang mga numero at geometric na bagay ay iisa at hindi mapaghihiwalay.

Alam na ng mga sinaunang mathematician ang tungkol sa isang bahagi ng haba ng yunit: alam nila, halimbawa, ang incommensurability ng dayagonal at gilid ng parisukat, na katumbas ng irrationality ng numero.

Ang hindi makatwiran ay:

Mga halimbawa ng patunay ng irrationality

ugat ng 2

Ipagpalagay natin ang kabaligtaran: ito ay makatwiran, iyon ay, ito ay kinakatawan sa anyo ng isang hindi mababawasan na bahagi, kung saan at mga integer. I-square natin ang dapat na pagkakapantay-pantay:

Ito ay sumusunod na kahit na ay kahit na at . Hayaan ito kung nasaan ang kabuuan. Pagkatapos

Binary logarithm ng numero 3

Ipagpalagay natin ang kabaligtaran: ito ay makatwiran, iyon ay, ito ay kinakatawan bilang isang fraction, kung saan at mga integer. Dahil , at maaaring piliin na maging positibo. Pagkatapos

Ngunit kahit na at kakaiba. Nakakakuha tayo ng kontradiksyon.

e

Kwento

Ang konsepto ng hindi makatwiran na mga numero ay tahasang pinagtibay ng mga Indian mathematician noong ika-7 siglo BC, nang malaman ni Manava (c. 750 BC - c. 690 BC) na ang mga square root ng ilang natural na numero, tulad ng 2 at 61 ay hindi maaaring ipahayag nang tahasan .

Ang unang patunay ng pagkakaroon ng mga hindi makatwirang numero ay karaniwang iniuugnay kay Hippasus ng Metapontus (c. 500 BC), isang Pythagorean na nakahanap ng patunay na ito sa pamamagitan ng pag-aaral sa mga haba ng mga gilid ng pentagram. Sa panahon ng mga Pythagorean, pinaniniwalaan na mayroong isang yunit ng haba, sapat na maliit at hindi mahahati, na pumasok sa anumang segment ng integer na bilang ng beses. Gayunpaman, ipinagtalo ni Hippasus na walang iisang yunit ng haba, dahil ang pag-aakala ng pagkakaroon nito ay humahantong sa isang kontradiksyon. Ipinakita niya na kung ang hypotenuse ng isang isosceles right triangle ay naglalaman ng isang integer na bilang ng mga segment ng unit, ang bilang na ito ay dapat na pareho at kakaiba. Ang patunay ay ganito:

Ang ratio ng haba ng hypotenuse sa haba ng binti ng isosceles right triangle ay maaaring ipahayag bilang a:b, Saan a At b pinili bilang pinakamaliit na posible.
Ayon sa Pythagorean theorem: a² = 2 b².
kasi a- kahit, a dapat ay kahit na (dahil ang parisukat ng isang kakaibang numero ay magiging kakaiba).
Dahil ang a:b hindi mababawasan b dapat kakaiba.
kasi a kahit, tinutukoy namin a = 2y.
Pagkatapos a² = 4 y² = 2 b².
b² = 2 y², samakatuwid b- kahit na, pagkatapos b kahit.
Gayunpaman, ito ay napatunayan na b kakaiba. Kontradiksyon.

Tingnan din

Mga Tala

Numerical system
Nagbibilang set	Mga natural na numero () Integer ()

Ang hindi makatwiran ay:

Mga halimbawa ng patunay ng irrationality

ugat ng 2

Ito ay sumusunod na kahit na ay kahit na at . Hayaan ito kung nasaan ang kabuuan. Pagkatapos

Binary logarithm ng numero 3

Ipagpalagay natin ang kabaligtaran: ito ay makatwiran, iyon ay, ito ay kinakatawan bilang isang fraction, kung saan at mga integer. Dahil , at maaaring piliin na maging positibo. Pagkatapos

Ngunit kahit na at kakaiba. Nakakakuha tayo ng kontradiksyon.

e

Kwento

Ang unang patunay ng pagkakaroon ng mga hindi makatwirang numero ay karaniwang iniuugnay kay Hippasus ng Metapontus (c. 500 BC), isang Pythagorean na nakahanap ng patunay na ito sa pamamagitan ng pag-aaral sa mga haba ng mga gilid ng pentagram. Sa panahon ng mga Pythagorean, pinaniniwalaan na mayroong isang yunit ng haba, sapat na maliit at hindi mahahati, na pumasok sa anumang segment ng integer na bilang ng beses. Gayunpaman, ipinagtalo ni Hippasus na walang iisang yunit ng haba, dahil ang pag-aakala ng pagkakaroon nito ay humahantong sa isang kontradiksyon. Ipinakita niya na kung ang hypotenuse ng isang isosceles right triangle ay naglalaman ng isang integer na bilang ng mga segment ng unit, ang bilang na ito ay dapat na pareho at kakaiba. Ang patunay ay ganito:

Ang ratio ng haba ng hypotenuse sa haba ng binti ng isosceles right triangle ay maaaring ipahayag bilang a:b, Saan a At b pinili bilang pinakamaliit na posible.
Ayon sa Pythagorean theorem: a² = 2 b².
kasi a- kahit, a dapat ay kahit na (dahil ang parisukat ng isang kakaibang numero ay magiging kakaiba).
Dahil ang a:b hindi mababawasan b dapat kakaiba.
kasi a kahit, tinutukoy namin a = 2y.
Pagkatapos a² = 4 y² = 2 b².
b² = 2 y², samakatuwid b- kahit na, pagkatapos b kahit.
Gayunpaman, ito ay napatunayan na b kakaiba. Kontradiksyon.

Tingnan din

Mga Tala

Numerical system
Nagbibilang set	Mga natural na numero () Integer ()

- π

Kaya, ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay ang pagkakaiba I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ) set ng tunay at rational na mga numero.

Ang pagkakaroon ng mga hindi makatwiran na numero, o mas tiyak na mga segment, na hindi matutumbasan sa isang bahagi ng haba ng yunit, ay kilala na ng mga sinaunang matematiko: alam nila, halimbawa, ang hindi pagkakapantay-pantay ng dayagonal at gilid ng parisukat, na katumbas ng irrationality ng numero 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Ari-arian

Ang kabuuan ng dalawang positibong irrational na numero ay maaaring maging isang rational na numero.
Ang mga hindi makatwirang numero ay tumutukoy sa mga seksyon ng Dedekind sa hanay ng mga rational na numero na walang pinakamalaking bilang sa mas mababang klase at walang pinakamaliit na numero sa itaas na klase.
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay siksik sa lahat ng dako sa linya ng numero: sa pagitan ng alinmang dalawang natatanging numero ay mayroong isang hindi makatwirang numero.
Ang pagkakasunud-sunod sa hanay ng mga hindi makatwirang numero ay isomorphic sa pagkakasunud-sunod sa hanay ng mga tunay na transendental na numero. [ ]

Algebraic at transendental na mga numero

Ang bawat hindi makatwirang numero ay alinman sa algebraic o transendental. Isang grupo ng algebraic na mga numero ay isang mabibilang na hanay. Dahil ang hanay ng mga tunay na numero ay hindi mabilang, ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay hindi mabilang.

Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay isang hanay ng pangalawang kategorya.

I-square natin ang dapat na pagkakapantay-pantay:

2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

Kwento

Sinaunang panahon

Ang konsepto ng hindi makatwiran na mga numero ay tahasang pinagtibay ng mga Indian mathematician noong ika-7 siglo BC, nang malaman ni Manava (ca. 750-690 BC) na ang mga square root ng ilang natural na numero, tulad ng 2 at 61, ay hindi maipahayag nang tahasan [ ] .

Ang unang patunay ng pagkakaroon ng hindi makatwiran na mga numero, o mas tiyak ang pagkakaroon ng hindi matutumbasan na mga segment, ay karaniwang iniuugnay sa Pythagorean Hippasus ng Metapontum (humigit-kumulang 470 BC). Sa panahon ng mga Pythagorean, pinaniniwalaan na mayroong isang yunit ng haba, sapat na maliit at hindi mahahati, na kasama ang isang integer na bilang ng beses sa anumang segment [ ] .

Walang eksaktong data kung aling numero ang napatunayang hindi makatwiran ni Hippasus. Ayon sa alamat, natagpuan niya ito sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga haba ng mga gilid ng pentagram. Samakatuwid, makatuwirang ipagpalagay na ito ang ginintuang ratio dahil ito ang ratio ng dayagonal sa gilid sa isang regular na pentagon.

Nang maglaon, si Eudoxus ng Cnidus (410 o 408 BC - 355 o 347 BC) ay bumuo ng isang teorya ng mga proporsyon na isinasaalang-alang ang parehong makatwiran at hindi makatwiran na mga relasyon. Nagsilbi itong batayan para sa pag-unawa sa pangunahing kakanyahan ng hindi makatwiran na mga numero. Ang dami ay nagsimulang isaalang-alang hindi bilang isang numero, ngunit bilang isang pagtatalaga ng mga entity, tulad ng mga segment ng linya, anggulo, lugar, volume, agwat ng oras - mga entidad na maaaring patuloy na magbago (sa modernong kahulugan ng salita). Ang mga magnitude ay ikinukumpara sa mga numero, na maaari lamang magbago sa pamamagitan ng "paglukso" mula sa isang numero patungo sa susunod, halimbawa, mula 4 hanggang 5. Ang mga numero ay binubuo ng pinakamaliit na hindi mahahati na dami, habang ang mga dami ay maaaring bawasan nang walang katiyakan.

Dahil walang quantitative value ang naiugnay sa magnitude, nagawang sakop ng Eudoxus ang parehong commensurate at incommensurable na dami kapag tinukoy ang isang fraction bilang ratio ng dalawang quantity, at proportion bilang pagkakapantay-pantay ng dalawang fraction. Sa pamamagitan ng pag-alis ng mga quantitative values (mga numero) mula sa mga equation, naiwasan niya ang bitag na kailangang tawagan ang isang hindi makatwiran na dami bilang isang numero. Pinahintulutan ng teorya ni Eudoxus ang mga Greek mathematician na gumawa ng hindi kapani-paniwalang pag-unlad sa geometry, na nagbibigay sa kanila ng kinakailangang lohikal na batayan para sa pagtatrabaho sa hindi matutumbasan na dami. Ang ikasampung aklat ng Euclid's Elements ay nakatuon sa pag-uuri ng mga di-makatuwirang dami.

Middle Ages

Ang Middle Ages ay minarkahan ng pag-ampon ng mga konsepto tulad ng zero, mga negatibong numero, mga integer at fraction, una ng Indian at pagkatapos ay ng mga Chinese mathematician. Nang maglaon ay sumali ang mga Arab mathematician, na siyang unang nagkunsider ng mga negatibong numero bilang mga algebraic na bagay (kasama ang at sa mga katumbas na termino ng mga positibong numero), na naging posible upang mabuo ang disiplina na ngayon ay tinatawag na algebra.

Pinagsama ng mga Arab mathematician ang mga sinaunang konsepto ng Greek ng "numero" at "magnitude" sa isang solong, mas pangkalahatang ideya ng mga tunay na numero. Sila ay kritikal sa mga ideya ni Euclid tungkol sa mga relasyon; sa kaibahan nito, binuo nila ang teorya ng mga relasyon ng mga arbitrary na dami at pinalawak ang konsepto ng numero sa mga relasyon. tuloy-tuloy na dami. Sa kanyang komentaryo sa Book 10 Elements ni Euclid, ang Persian mathematician na si Al Makhani (c. 800 CE) ay ginalugad at inuri ang mga quadratic irrational na numero (mga numero ng anyo) at ang mas pangkalahatang cubic irrational na mga numero. Tinukoy niya ang mga rational at irrational na dami, na tinawag niyang irrational number. Madali niyang pinaandar ang mga bagay na ito, ngunit pinag-usapan ang mga ito bilang hiwalay na mga bagay, halimbawa:

Kabaligtaran sa konsepto ni Euclid na ang mga dami ay pangunahing mga segment ng linya, itinuturing ni Al Makhani ang mga integer at fraction bilang mga rational na dami, at ang mga square at cube na ugat ay hindi makatwiran. Ipinakilala din niya ang diskarte sa aritmetika sa hanay ng mga hindi makatwirang numero, dahil siya ang nagpakita ng hindi makatwiran ng mga sumusunod na dami:

Ang Egyptian mathematician na si Abu Kamil (c. 850 CE - c. 930 CE) ang unang nag-isip na katanggap-tanggap na kilalanin ang mga hindi makatwirang numero bilang mga solusyon quadratic equation o mga coefficient sa mga equation - higit sa lahat sa anyo ng square o cubic roots, pati na rin ang mga ugat ng ika-apat na degree. Noong ika-10 siglo, ang Iraqi mathematician na si Al Hashimi ay gumawa ng mga pangkalahatang patunay (sa halip na visual na geometric na mga demonstrasyon) ng irrationality ng produkto, quotient, at mga resulta ng iba pang mathematical transformations sa irrational at rational na mga numero. Ang Al Khazin (900 AD - 971 AD) ay nagbibigay ng sumusunod na kahulugan ng rational at irrational na dami:

Hayaang mapaloob ang isang unit quantity sa isang naibigay na dami ng isa o higit pang beses, pagkatapos ang [ibinigay na] quantity ay tumutugma sa isang buong numero... Bawat dami na kalahati, o isang ikatlo, o isang quarter ng isang unit quantity, o, kapag kumpara sa isang unit quantity, ay three-fifths nito, ay rational quantity. At sa pangkalahatan, ang anumang dami na nauugnay sa isang yunit bilang isang numero sa isa pa ay makatuwiran. Kung ang isang dami ay hindi maaaring katawanin bilang ilang o isang bahagi (l/n), o ilang bahagi (m/n) ng haba ng yunit, ito ay hindi makatwiran, iyon ay, hindi maipahayag maliban sa tulong ng mga ugat.

Marami sa mga ideyang ito ang kalaunan ay pinagtibay ng mga European mathematician pagkatapos ng pagsasalin ng mga tekstong Arabe sa Latin noong ika-12 siglo. Si Al Hassar, isang Arabong matematiko mula sa Maghreb na dalubhasa sa mga batas sa pamana ng Islam, ay nagpakilala ng modernong simbolikong matematikal na notasyon para sa mga praksyon noong ika-12 siglo, na hinahati ang numerator at denominator sa isang pahalang na bar. Ang parehong notasyon ay lumitaw sa mga gawa ng Fibonacci noong ika-13 siglo. Sa panahon ng XIV-XVI siglo. Si Madhava mula sa Sangamagrama at mga kinatawan ng Kerala School of Astronomy and Mathematics ay nag-imbestiga walang katapusang mga hilera, nagtatagpo sa ilang mga hindi makatwirang numero, halimbawa, sa π, at nagpakita rin ng irrationality ng ilang trigonometriko function. Iniharap ni Jestadeva ang mga resultang ito sa aklat na Yuktibhaza. (nagpapatunay sa parehong oras ng pagkakaroon ng transendental na mga numero), sa gayon muling pag-iisip sa gawain ni Euclid sa pag-uuri ng mga hindi makatwirang numero. Ang mga gawa sa paksang ito ay nai-publish noong 1872

Ang mga patuloy na fraction, malapit na nauugnay sa mga hindi makatwirang numero (ang patuloy na fraction na kumakatawan binigay na numero, ay walang hanggan kung at kung ang bilang ay hindi makatwiran), ay unang ginalugad ni Cataldi noong 1613, pagkatapos ay muling binigyang pansin sa gawain ni Euler, at noong maagang XIX siglo - sa mga gawa ni Lagrange. Gumawa rin si Dirichlet ng makabuluhang kontribusyon sa pagbuo ng teorya ng patuloy na mga praksiyon. Noong 1761, gumamit si Lambert ng patuloy na mga praksyon upang ipakita iyon π (\displaystyle \pi ) ay hindi isang makatwirang numero, at gayon din e x (\displaystyle e^(x)) At tg ⁡ x (\displaystyle \operatorname (tg) x) ay hindi makatwiran para sa anumang non-zero rational x (\displaystyle x). Bagama't matatawag na hindi kumpleto ang patunay ni Lambert, sa pangkalahatan ay itinuturing itong medyo mahigpit, lalo na kung isasaalang-alang ang oras na isinulat ito. Ang Legendre noong 1794, pagkatapos na ipakilala ang Bessel-Clifford function, ay nagpakita na π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) irrational, saan nanggagaling ang irrationality? π (\displaystyle \pi ) sumusunod nang walang kabuluhan (isang rational number na naka-square ay magbibigay ng rational).

Ang pagkakaroon ng transendental na mga numero ay napatunayan ni Liouville noong 1844-1851. Nang maglaon, ipinakita ni Georg Cantor (1873) ang kanilang pag-iral gamit ang ibang paraan, at nagtalo na ang anumang pagitan ng totoong serye ay naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga transendental na numero. Pinatunayan ni Charles Hermite noong 1873 iyon e transendental, at Ferdinand Lindemann noong 1882, batay sa resultang ito, ay nagpakita ng transcendence π (\displaystyle \pi ) Panitikan