Mga katangian ng mga aksyon na may mga makatwirang numero - Hypermarket ng kaalaman.

REAL NUMBERS II

Seksyon 36 mga rational na numero

Tulad ng alam mo, dalawang fraction m / n at k / l ay pantay, ibig sabihin, kumakatawan sa parehong rational number kung at kung lamang ml = nk .

Halimbawa, 1 / 3 = 2 / 6 mula noong 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14 dahil (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5 mula noong 0 5 = 1 0 atbp.

Malinaw, para sa anumang integer r , hindi katumbas ng 0,

: m / n = m r / n r

Ito ay sumusunod mula sa halatang pagkakapantay-pantay t (P r ) = P (t r ). Samakatuwid, ang anumang rational na numero ay maaaring katawanin bilang isang ratio ng dalawang numero sa isang walang katapusang bilang ng mga paraan. Halimbawa,

5 \u003d 5 / 1 \u003d -10 / -2 \u003d 15 / 3, atbp.,

1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 atbp.

0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 atbp.

Sa hanay ng lahat ng mga rational na numero, ang mga operasyon ng pagdaragdag, pagpaparami, pagbabawas, at paghahati (maliban sa paghahati sa pamamagitan ng zero) ay magagawa. Alalahanin kung paano tinukoy ang mga pagkilos na ito.

Kabuuan ng dalawang rational na numero m / n at k / l ay tinutukoy ng formula:

Produkto ng dalawang rational na numero m / n at k / l ay tinutukoy ng formula:

m / n k / l = mk / nl (2)

Dahil ang parehong rational na numero ay umamin ng ilang mga entry (halimbawa, 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...) ito ay kinakailangan upang ipakita na ang kabuuan at produkto ng mga rational na numero ay hindi nakadepende sa kung paano ang mga termino o mga kadahilanan ay nakasulat. Halimbawa,

1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6

atbp. Gayunpaman, ang pagsasaalang-alang sa mga tanong na ito ay lampas sa saklaw ng aming programa.

Kapag nagdaragdag at nagpaparami ng mga rational na numero, ang mga sumusunod na pangunahing batas ay sinusunod:

1) commutative(o commutative) batas ng karagdagan

m / n + k / l = k / l + m / n

2) nag-uugnay(o nag-uugnay) batas ng karagdagan:

( m / n + k / l ) + p / q = m / n + ( k / l + p / q )

3) commutative(o commutative) batas ng multiplikasyon:

m / n k / l = k / l m / n

4) nag-uugnay(o nag-uugnay) batas ng pagpaparami:

( m / n k / l ) p / q = m / n ( k / l p / q )

5) distributive(o distributive) batas ng multiplikasyon patungkol sa karagdagan:

( m / n + k / l ) p / q = m / n p / q + k / l p / q

Ang pagdaragdag at pagpaparami ay pangunahing mga operasyong algebraic. Tulad ng para sa pagbabawas at paghahati, ang mga operasyong ito ay tinukoy bilang kabaligtaran ng pagdaragdag at pagpaparami.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang rational na numero m / n at k / l ang numerong ito ay tinatawag X , na kasama ng k / l nagbibigay m / n . Sa madaling salita, ang pagkakaiba m / n - k / l

k / l + x = m / n

Mapapatunayan na ang gayong equation ay palaging may ugat at, bukod dito, isa lamang:

Kaya ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang numero m / n at k / l ay matatagpuan ayon sa pormula:

Kung mga numero m / n at k / l ay pantay sa isa't isa, pagkatapos ang kanilang pagkakaiba ay naglalaho; kung ang mga numerong ito ay hindi pantay sa isa't isa, ang kanilang pagkakaiba ay alinman sa positibo o negatibo. Sa m / n - k / l > 0 sabihin ang numero m / n mas maraming numero k / l ; kung m / n - k / l < 0, то говорят, что число m / n mas mababa sa bilang k / l .

Ang quotient ng paghahati ng rational number m / n sa isang rational na numero k / l ang numerong ito ay tinatawag X, na nasa produkto na may k / l nagbibigay m / n . Sa madaling salita, pribado m / n : k / l tinukoy bilang ugat ng equation

k / l X = m / n .

Kung ang k / l =/= 0, pagkatapos ang equation na ito ay may iisang ugat

X = ml / nk

Kung k / l = 0, kung gayon ang equation na ito ay alinman sa walang mga ugat (para sa m / n =/= 0), o may walang katapusang maraming ugat (para sa m / n = 0). Sa pagnanais na gawing katangi-tanging magagawa ang pagpapatakbo ng dibisyon, sumasang-ayon kaming hindi na isaalang-alang ang paghahati sa pamamagitan ng zero. Kaya, paghahati ng isang rational na numero m / n sa isang rational na numero k / l palaging tinukoy maliban kung k / l =/= 0. Sa kasong ito

m / n : k / l = ml / nk

Mga ehersisyo

295. Kalkulahin sa pinakanakapangangatwiran na paraan at ipahiwatig kung aling mga batas ng pagkilos ang dapat gamitin sa kasong ito;

a) (5 1/12 - 3 1/4) 24; c) (333 1/3 4) (3/125 1/16).

b) (1/10 - 3 1/2) + 9/10

Sa araling ito, aalalahanin natin ang mga pangunahing katangian ng mga aksyon na may mga numero. Hindi lamang namin uulitin ang mga pangunahing katangian, ngunit matutunan din kung paano ilapat ang mga ito sa mga makatwirang numero. Pagsasama-samahin namin ang lahat ng kaalaman na nakuha sa pamamagitan ng paglutas ng mga halimbawa.

Mga pangunahing katangian ng mga operasyon na may mga numero:

Ang unang dalawang katangian ay mga katangian ng karagdagan, ang susunod na dalawa ay mga katangian ng pagpaparami. Nalalapat ang ikalimang ari-arian sa parehong mga operasyon.

Walang bago sa mga property na ito. Ang mga ito ay wasto para sa parehong natural at integer na mga numero. Totoo rin ang mga ito para sa mga rational na numero at magiging totoo para sa mga numero na pag-aaralan pa natin (halimbawa, mga irrational na numero).

Mga katangian ng permutation:

Mula sa muling pagsasaayos ng mga termino o salik, hindi nagbabago ang resulta.

Mga katangian ng kumbinasyon:, .

Ang pagdaragdag o pagpaparami ng maramihang mga numero ay maaaring gawin sa anumang pagkakasunud-sunod.

Pamamahagi ng ari-arian:.

Ang ari-arian ay nag-uugnay sa parehong mga operasyon - pagdaragdag at pagpaparami. Gayundin, kung babasahin mo ito mula kaliwa hanggang kanan, kung gayon ito ay tinatawag na panuntunan para sa pagbubukas ng mga bracket, at kung ito ay binabasa sa tapat na direksyon, ito ay tinatawag na panuntunan para sa paglalagay ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket.

Ang susunod na dalawang katangian ay naglalarawan neutral na elemento para sa pagdaragdag at pagpaparami: ang pagdaragdag ng zero at pagpaparami ng isa ay hindi nagbabago sa orihinal na numero.

Dalawa pang katangian na naglalarawan simetriko elemento para sa pagdaragdag at pagpaparami, ang kabuuan ng magkasalungat na numero ay zero; ang produkto ng reciprocals ay katumbas ng isa.

Susunod na property: . Kung ang isang numero ay i-multiply sa zero, ang resulta ay palaging magiging zero.

Ang huling property na titingnan natin ay .

Ang pagpaparami ng isang numero sa pamamagitan ng , makuha natin ang kabaligtaran na numero. May feature ang property na ito. Ang lahat ng iba pang itinuturing na pag-aari ay hindi mapapatunayan gamit ang iba. Ang parehong ari-arian ay maaaring patunayan gamit ang mga nauna.

Pagpaparami sa pamamagitan ng

Pinatunayan namin na kung i-multiply namin ang isang numero sa , nakukuha namin ang kabaligtaran na numero. Ginagamit namin ang distribution property para dito: .

Ito ay totoo para sa anumang mga numero. Palitan sa halip na ang numero at :

Sa kaliwa sa mga bracket ay ang kabuuan ng magkasalungat na numero. Ang kanilang kabuuan ay zero (mayroon kaming ganoong pag-aari). Umalis na ngayon. Sa kanan, makukuha natin: .

Ngayon mayroon kaming zero sa kaliwa, at ang kabuuan ng dalawang numero sa kanan. Ngunit kung ang kabuuan ng dalawang numero ay zero, ang mga numerong ito ay magkasalungat. Ngunit ang numero ay mayroon lamang isang kabaligtaran na numero: . Kaya - ito ay: .

Ang ari-arian ay napatunayan na.

Ang nasabing pag-aari, na maaaring mapatunayan gamit ang mga nakaraang pag-aari, ay tinatawag teorama

Bakit walang mga katangian ng pagbabawas at paghahati dito? Halimbawa, maaaring isulat ng isa ang distributive property para sa pagbabawas: .

Ngunit mula noong:

• ang pagbabawas ng anumang numero ay maaaring katumbas na nakasulat bilang karagdagan, na pinapalitan ang numero ng kabaligtaran nito:

• Ang dibisyon ay maaaring isulat bilang multiplikasyon sa pamamagitan ng kapalit ng isang numero:

Nangangahulugan ito na ang mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ay maaaring ilapat sa pagbabawas at paghahati. Bilang resulta, ang listahan ng mga katangian na kailangang tandaan ay mas maikli.

Ang lahat ng mga katangian na aming isinaalang-alang ay hindi eksklusibong mga katangian ng mga rational na numero. Ang lahat ng mga patakarang ito ay napapailalim sa iba pang mga numero, halimbawa, mga hindi makatwiran. Halimbawa, ang kabuuan at ang kabaligtaran na numero nito ay katumbas ng zero:.

Ngayon ay magpapatuloy tayo sa praktikal na bahagi, malulutas natin ang ilang mga halimbawa.

Mga rational na numero sa buhay

Ang mga katangian ng mga bagay na maaari nating ilarawan sa dami, na tinutukoy ng ilang numero, ay tinatawag dami: haba, timbang, temperatura, dami.

Ang isa at ang parehong halaga ay maaaring tukuyin ng parehong integer at isang fractional na numero, positibo o negatibo.

Halimbawa, ang iyong taas m ay isang fractional number. Ngunit maaari mong sabihin na ito ay katumbas ng cm - isa na itong integer (Larawan 1).

kanin. 1. Ilustrasyon halimbawa

Isa pang halimbawa. Ang negatibong temperatura sa sukat ng Celsius ay magiging positibo sa sukat ng Kelvin (Larawan 2).

kanin. 2. Ilustrasyon halimbawa

Kapag nagtatayo ng dingding ng bahay, maaaring sukatin ng isang tao ang lapad at taas sa metro. Gumagawa ito ng mga fractional na halaga. Lahat ng karagdagang kalkulasyon ay isasagawa niya gamit ang mga fractional (rational) na numero. Maaaring sukatin ng ibang tao ang lahat sa bilang ng mga brick sa lapad at taas. Ang pagkakaroon lamang ng natanggap na mga halaga ng integer, magsasagawa siya ng mga kalkulasyon gamit ang mga integer.

Ang mga halaga mismo ay hindi buo, o fractional, o negatibo, o positibo. Ngunit ang bilang kung saan inilalarawan namin ang halaga ng isang dami ay medyo tiyak na (halimbawa, negatibo at praksyonal). Depende ito sa sukat ng pagsukat. At kapag lumipat tayo mula sa mga tunay na halaga sa matematikal na modelo, pagkatapos ay nagtatrabaho kami sa isang partikular na uri ng mga numero

Magsimula tayo sa karagdagan. Ang mga tuntunin ay maaaring muling ayusin ayon sa gusto namin, at ang mga aksyon ay maaaring isagawa sa anumang pagkakasunud-sunod. Kung ang mga tuntunin ng iba't ibang mga palatandaan ay nagtatapos sa isang digit, kung gayon ito ay maginhawa upang magsagawa ng mga aksyon sa kanila muna. Para magawa ito, pinapalitan namin ang mga tuntunin. Halimbawa:

Ang mga karaniwang fraction na may parehong denominator ay madaling madagdagan.

Ang magkasalungat na numero ay nagdaragdag ng hanggang sero. Ang mga numerong may parehong decimal na "tails" ay madaling ibawas. Gamit ang mga pag-aari na ito, pati na rin ang commutative na batas ng karagdagan, posible na mapadali ang pagkalkula ng isang halaga, halimbawa, ang sumusunod na expression:

Ang mga numerong may komplementaryong decimal tail ay madaling madagdagan. Sa kabuuan at fractional na mga bahagi magkahalong numero maginhawang magtrabaho nang hiwalay. Ginagamit namin ang mga katangiang ito kapag sinusuri ang halaga ng sumusunod na expression:

Lumipat tayo sa multiplikasyon. May mga pares ng mga numero na madaling i-multiply. Gamit ang commutative property, maaari mong muling ayusin ang mga salik upang magkatabi ang mga ito. Ang bilang ng mga minus sa produkto ay maaaring kalkulahin kaagad at gumuhit ng isang konklusyon tungkol sa tanda ng resulta.

Isaalang-alang ang halimbawang ito:

Kung mula sa mga salik sero, kung gayon ang produkto ay katumbas ng zero, halimbawa: .

Ang produkto ng mga katumbas na numero ay katumbas ng isa, at ang pagpaparami ng isa ay hindi nagbabago sa halaga ng produkto. Isaalang-alang ang halimbawang ito:

Isaalang-alang ang isang halimbawa gamit ang distributive property. Kung bubuksan mo ang mga bracket, ang bawat multiplikasyon ay madaling maisagawa.

Aral 4
DEGREE NA MAY NATURAL NA INDICATOR

Mga layunin: upang itaguyod ang pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan sa pagkalkula, ang akumulasyon ng kaalaman tungkol sa mga degree batay sa karanasan sa pagkalkula; Alamin kung paano magsulat ng malaki at maliit na mga numero gamit ang mga kapangyarihan ng 10.

Sa panahon ng mga klase

I. Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman.

Sinusuri ng guro ang mga resulta gawain sa pagpapatunay, ang bawat mag-aaral ay tumatanggap ng mga rekomendasyon sa pagbuo ng isang indibidwal na plano para sa pagwawasto ng mga kasanayan at kakayahan sa computational.

Pagkatapos ay hinihiling sa mga mag-aaral na magsagawa ng mga kalkulasyon at basahin ang mga pangalan ng mga sikat na mathematician na nag-ambag sa pagtatayo ng teorya ng mga degree:

0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .

Susi:

Sa tulong ng isang computer o isang epiprojector, ang mga larawan ng mga siyentipiko na sina Diophantus, Rene Descartes, Simon Stevin ay ipinapakita sa screen. Inaanyayahan ang mga mag-aaral na maghanda, kung nais nila, ang makasaysayang impormasyon tungkol sa buhay at gawain ng mga mathematician na ito.

II. Pagbuo ng mga bagong konsepto at pamamaraan ng pagkilos.

Isulat ng mga mag-aaral ang mga sumusunod na expression sa kanilang kuwaderno:

1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;

2. 2 + 2 + 2 + … + 2;

a mga tuntunin

3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;

4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;

n mga multiplier

5. a∙ a∙ … ∙ a;

n mga multiplier

Inaanyayahan ang mga mag-aaral na sagutin ang tanong na: "Paano maipapakita ang mga rekord na ito nang mas siksik upang maging "makikita" ang mga ito?

Pagkatapos ay magsasagawa ng talakayan ang guro bagong paksa, nagpapakilala sa mga mag-aaral sa konsepto ng unang kapangyarihan ng isang numero. Maaaring maghanda ang mga mag-aaral ng pagsasadula ng isang sinaunang alamat ng India tungkol sa imbentor ng chess na sina Seth, at King Sheram. Kinakailangang tapusin ang pag-uusap sa isang kuwento tungkol sa paggamit ng mga kapangyarihan ng 10 kapag nagsusulat ng malaki at maliit na mga halaga at, na nag-alok sa mga mag-aaral ng ilang mga sangguniang libro sa pisika, teknolohiya, astronomiya, upang mabigyan sila ng pagkakataong makahanap ng mga halimbawa ng ganoong dami sa mga aklat.

III. Pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan.

1. Solusyon ng mga pagsasanay No. 40 d), e), f); 51.

Sa panahon ng solusyon, napagpasyahan ng mga mag-aaral na kapaki-pakinabang na tandaan: digri c negatibong base positive kung ang exponent ay even at negative kung ang exponent ay odd.

2. Solusyon ng mga pagsasanay Blg. 41, 47.

IV. Pagbubuod.

Ang guro ay nagkomento at nagsusuri sa gawain ng mga mag-aaral sa aralin.

Takdang aralin: sugnay 1.3, Blg. 42, 43, 52; opsyonal: maghanda ng mga mensahe tungkol kay Diophantus, Descartes, Stevin.

Sanggunian sa kasaysayan

Diophantus- Sinaunang Greek mathematician mula sa Alexandria (III siglo). Ang isang bahagi ng kanyang mathematical treatise na "Arithmetic" (6 na mga libro sa 13) ay napanatili, kung saan ang solusyon ng mga problema ay ibinigay, karamihan sa mga ito ay humantong sa tinatawag na "Diophantine equation", na ang solusyon ay hinahanap sa makatwiran. positibong numero (Walang negatibong numero ang Diophantus).

Upang italaga ang hindi alam at ang mga antas nito (hanggang sa ikaanim), ang katumbas na tanda na Diophantus ay gumamit ng pinaikling notasyon ng mga katumbas na salita. Natuklasan din ng mga siyentipiko ang Arabic na teksto ng 4 pang aklat ng Diophantus' Arithmetic. Ang mga sinulat ni Diophantus ay ang panimulang punto para sa pananaliksik ni P. Fermat, L. Euler, K. Gauss at iba pa.

Descartes René (31.03.159 6 –11. 02. 1650) - Pranses pilosopo at matematiko, ay nagmula sa sinaunang marangal na pamilya. Siya ay nag-aral sa Jesuit school na La Flèche sa Anjou. Sa simula ng Tatlumpung Taong Digmaan ay naglingkod siya sa hukbo, na iniwan niya noong 1621; pagkatapos ng ilang taon ng paglalakbay ay lumipat siya sa Netherlands (1629), kung saan gumugol siya ng dalawampung taon sa nag-iisang siyentipikong pag-aaral. Noong 1649, sa paanyaya ng reyna ng Suweko, lumipat siya sa Stockholm, ngunit namatay sa lalong madaling panahon.

Inilatag ni Descartes ang mga pundasyon ng analytic geometry at nagpakilala ng maraming modernong algebraic notation. Lubos na pinahusay ni Descartes ang notasyon sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga karaniwang tinatanggap na palatandaan para sa mga variable.
(X, sa,z…) at mga coefficient ( a, b, kasama…), pati na rin ang notasyon ng mga degree ( X 4 , a 5 …). Ang pagsulat ng mga pormula ni Descartes ay halos hindi naiiba sa makabago.

Sa analytical geometry, ang pangunahing tagumpay ni Descartes ay ang paraan ng mga coordinate na kanyang nilikha.

Stevin Simon (1548–1620) ay isang Dutch scientist at engineer. Mula 1583 nagturo siya sa Unibersidad ng Leiden, noong 1600 ay nag-organisa siya ng isang paaralang inhinyero sa Unibersidad ng Leiden, kung saan nagturo siya sa matematika. Ang Stevin's Tithing (1585) ay tumatalakay sa decimal system at decimal fraction na ipinakilala ni Simon Stevin sa Europe.

Badamshi sekondaryang paaralan №2

Pag-unlad ng pamamaraan

matematika
sa ika-6 na baitang

"Mga pagkilos na may mga makatwirang numero"

pinaghandaan

guro sa matematika

Babenko Larisa Grigorievna

kasama. Badamsha
2014

Paksa ng aralin:« Mga operasyon na may mga rational na numero».

Uri ng aralin :

Aral ng generalization at systematization ng kaalaman.

Layunin ng Aralin:

pang-edukasyon:

I-generalize at i-systematize ang kaalaman ng mga mag-aaral tungkol sa mga tuntunin ng pagkilos sa positibo at negatibong mga numero;

Upang pagsamahin ang kakayahang ilapat ang mga patakaran sa proseso ng pagsasagawa ng mga pagsasanay;

Bumuo ng mga kasanayan para sa malayang trabaho;

pagbuo:

Paunlarin lohikal na pag-iisip, mathematical speech, computational skills; - bumuo ng kakayahang ilapat ang nakuhang kaalaman sa solusyon mga inilapat na gawain; - pagpapalawak ng mga abot-tanaw;

mga tagapagturo:

Pagpapalaki interes na nagbibigay-malay sa paksa.

Kagamitan:

Mga sheet na may mga teksto ng mga gawain, mga takdang-aralin para sa bawat mag-aaral;

Mathematics. Textbook para sa grade 6 institusyong pang-edukasyon/

N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - M., 2010.

Plano ng aralin:

Oras ng pag-aayos.

Magtrabaho nang pasalita

Pag-uulit ng mga tuntunin ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga numero na may iba't ibang palatandaan. Pag-update ng kaalaman.

Paglutas ng mga gawain sa aklat-aralin

Pagpapatupad ng pagsubok

Pagbubuod ng aralin. Pagtatakda ng takdang-aralin

Pagninilay

Sa panahon ng mga klase

Oras ng pag-aayos.

Pagbati ng guro at mga mag-aaral.

Paglalahad ng paksa ng aralin, ang plano ng trabaho sa aralin.

Ngayon ay mayroon tayong hindi pangkaraniwang aral. Sa araling ito, tatandaan natin ang lahat ng mga alituntunin ng mga operasyon na may mga makatwirang numero at ang kakayahang magsagawa ng mga operasyon ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati.

Ang motto ng ating aralin ay isang talinghaga ng Tsino:

“Sabihin mo sa akin at makakalimutan ko;

Ipakita mo sa akin at aalalahanin ko;

Hayaan mo at maiintindihan ko"

Gusto kitang anyayahan sa isang paglalakbay.

Sa gitna ng espasyo kung saan kitang-kita ang pagsikat ng araw, isang makitid, walang nakatirang bansa ang nakaunat - isang linya ng numero. Walang nakakaalam kung saan nagsimula at walang nakakaalam kung saan nagtatapos. At ang unang nanirahan sa bansang ito ay mga integer. Ano ang mga natural na numero at paano ito kinakatawan?

Sagot:

Ang mga numerong 1, 2, 3, 4, ... .. na ginagamit upang magbilang ng mga bagay o upang ipahiwatig ang serial number ng isang bagay sa mga homogenous na bagay, ay tinatawag na natural (N ).

Berbal na pagbibilang

88-19 72:8 200-60

Mga sagot: 134; 61; 2180.

Mayroong walang hanggan marami sa kanila, ngunit ang bansa, bagama't maliit ang lapad, ay walang hanggan ang haba, upang ang lahat ay magkasya mula sa isa hanggang sa kawalang-hanggan at nabuo ang unang estado, isang hanay ng mga natural na numero.

Paggawa sa isang gawain.

Ang bansa ay napakaganda. Ang mga nakamamanghang hardin ay matatagpuan sa buong teritoryo nito. Ito ay cherry, apple, peach. Isa rito ay titingnan natin ngayon.

Sa cherry tuwing tatlong araw mayroong 20 porsiyentong higit pang hinog na mga seresa. Ilang hinog na prutas ang magkakaroon ng cherry na ito sa loob ng 9 na araw kung mayroon itong 250 hinog na cherry sa simula ng pagmamasid?

Sagot: 432 hinog na prutas ang makikita sa cherry na ito sa loob ng 9 na araw (300; 360; 432).

Pansariling gawain.

Ang ilang mga bagong numero ay nagsimulang manirahan sa teritoryo ng unang estado, at ang mga numerong ito, kasama ang mga natural na numero, ay nabuo ng isang bagong estado, malalaman natin kung alin sa pamamagitan ng paglutas ng gawain.

Mayroong dalawang mga sheet sa talahanayan ng mga mag-aaral:

1. Kalkulahin:

1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7.5:(-0.5) 4)-4x(-15)

1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12

1) 48-54 2) 37-(-37) 3) -52.7+42.7 4) -6x1/3

1) -12x (-6) 2) -90: (-15) 3) -25 + 45 4) 6 - (-10)

Pagsasanay: magkasunod na kumonekta nang hindi inaalis ang iyong mga kamay sa lahat ng natural na numero at pangalanan ang resultang titik.

Mga sagot sa pagsusulit:

5 68 15 60

72 6 20 16

Tanong: Ano ang ibig sabihin ng simbolong ito? Anong mga numero ang tinatawag na integer?

Mga sagot: 1) Sa kaliwa, mula sa teritoryo ng unang estado, ang numero 0 ay nanirahan, sa kaliwa nito -1, kahit sa kaliwa -2, atbp. sa kawalang-hanggan. Kasama ng mga natural na numero, ang mga numerong ito ay bumuo ng isang bagong pinahabang estado, ang hanay ng mga integer.

2) Ang mga natural na numero, ang kanilang kabaligtaran na mga numero at zero ay tinatawag na mga integer ( Z ).

Pag-uulit ng mga natutunan.

1) Ang susunod na pahina ng aming fairy tale ay enchanted. Iwawala natin ito, itatama ang mga pagkakamali.

27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0

63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124

50 · 8 27 -18: (-2)

Mga sagot:

-27 4 27 0 (-27) = 0

-50 8 4 -36: 6

2) Patuloy kaming nakikinig sa kwento.

Sa mga libreng lugar sa linya ng numero, ang mga praksyon na 2/5 ay idinagdag sa kanila; −4/5; 3.6; −2,2;… Ang mga fraction, kasama ang mga unang nanirahan, ay bumuo ng isa pang pinahabang estado ng hanay ng mga rational na numero. ( Q)

1) Anong mga numero ang tinatawag na rational?

2) Ang anumang integer, decimal fraction, isang rational na numero?

3) Ipakita na ang anumang integer, anumang decimal fraction ay isang rational na numero.

Gawain sa pisara: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .

Mga sagot:

1) Isang numero na maaaring isulat bilang ratio , kung saan ang a ay isang integer at ang p ay isang natural na numero, ay tinatawag na isang rational na numero .

2) Oo.

3) .

Alam mo na ngayon ang buo at fractional, positibo at mga negatibong numero, bukod dito, ang numero ay zero. Ang lahat ng mga numerong ito ay tinatawag na rational, na sa pagsasalin sa Russian ay nangangahulugang " masunurin sa isip."

Mga rational na numero

positibo zero negatibo

integer fractional integer fractional

Upang matagumpay na mapag-aralan ang matematika (at hindi lamang ang matematika) sa hinaharap, kailangan mong malaman nang mabuti ang mga tuntunin mga operasyon sa aritmetika na may mga makatwirang numero, kabilang ang mga patakaran ng mga palatandaan. At magkaiba sila! Magulo sandali.

Fizkultminutka.

Dynamic na pag-pause.

Guro: Ang bawat trabaho ay nangangailangan ng pahinga. Magpahinga na tayo!

Gumawa tayo ng ilang pagsasanay sa pagbawi:

1) Isa, dalawa, tatlo, apat, lima -

minsan! Bumangon ka, bumangon

Dalawa! yumuko, yumuko,

Tatlo! Tatlong palakpak sa kamay

Tatlong tango ang ulo.

Apat - mas malawak na braso.

Lima - iwagayway ang iyong mga kamay. Anim - tahimik na umupo sa desk.

(Sinusundan ng mga bata ang guro ayon sa nilalaman ng teksto.)

2) Mabilis na kumurap, ipikit ang iyong mga mata at umupo nang ganito sa bilang ng lima. Ulitin ng 5 beses.

3) Ipikit ang iyong mga mata ng mahigpit, magbilang ng hanggang tatlo, buksan ang mga ito at tumingin sa malayo, pagbibilang ng hanggang lima. Ulitin ng 5 beses.

Makasaysayang pahina.

Sa buhay, tulad ng sa isang fairy tale, unti-unting "natuklasan" ng mga tao ang mga makatwirang numero. Sa una, kapag nagbibilang ng mga bagay, lumitaw ang mga natural na numero. Noong una, kakaunti lang sila. Sa una, ang mga numero 1 at 2 lamang ang lumitaw. Ang mga salitang "soloist", "sun", "solidarity" ay nagmula sa Latin na "solus" (isa). Sa maraming tribo ay walang ibang mga numero. Sa halip na "3" ang sinabi nilang "isa-dalawa", sa halip na "4" - "dalawa-dalawa". At iba pa hanggang anim. At pagkatapos ay nagkaroon ng maraming. Ang mga tao ay nakatagpo ng mga fraction kapag hinahati ang nadambong, kapag nagsusukat ng mga dami. Upang mapadali ang mga operasyon na may mga fraction, ay naimbento mga decimal. Sa Europa, sila ay ipinakilala noong 1585 ng isang Dutch mathematician.

Paggawa ng equation

Matututuhan mo ang apelyido ng isang mathematician sa pamamagitan ng paglutas ng mga equation, at paghahanap ng titik na tumutugma sa ibinigay na coordinate sa linya ng coordinate.

1) -2.5 + x \u003d 3.5 2) -0.3 x \u003d 0.6 3) y - 3.4 \u003d -7.4

4) - 0.8: x \u003d -0.4 5) a (-8) \u003d 0 6)m + (- )=

E AT M I O V R N U S

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Mga sagot:

6 (C) 4)2 (B)

-2 (T) 5) 0 (I)

-4(E) 6)4(H)

STEVIN - Dutch mathematician at engineer (Simon Stevin)

Makasaysayang pahina.

Guro:

Nang hindi nalalaman ang nakaraan sa pag-unlad ng agham, imposibleng maunawaan ang kasalukuyan nito. Natuto ang mga tao na magsagawa ng mga aksyon na may mga negatibong numero bago pa man ang ating panahon. Naisip ng mga Indian mathematician mga positibong numero bilang "pag-aari", at mga negatibong numero bilang "utang". Narito kung paano binalangkas ng Indian mathematician na si Brahmagupta (ika-7 siglo) ang ilang mga patakaran para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may positibo at negatibong mga numero:

"Ang kabuuan ng dalawang ari-arian ay ari-arian"

"Ang kabuuan ng dalawang utang ay utang"

"Ang kabuuan ng ari-arian at utang ay katumbas ng kanilang pagkakaiba",

"Ang produkto ng dalawang ari-arian o dalawang utang ay ari-arian", "Ang produkto ng ari-arian at utang ay utang".

Guys, paki-translate ang mga sinaunang Indian rules sa modernong wika.

Mensahe ng guro:

Dahil walang init sa mundo kung walang araw,

Nang walang niyebe ng taglamig at walang mga dahon ng mga bulaklak,

Kaya walang mga aksyon sa matematika na walang mga palatandaan!

Hinihiling sa mga bata na hulaan kung aling action sign ang nawawala.

Mag-ehersisyo. Ipasok ang nawawalang karakter.

− 1,3 2,8 = 1,5

1. − 1,2 1,4 = − 2,6

   3,2 (− 8) = − 0,4

   1 (− 1,7) = 2,7

   − 4,5 (− 0,5) = 9

Mga Sagot: 1) + 2) ∙ 3) - 4) : 5) - 6) :

Pansariling gawain(sa sheet isulat ang mga sagot sa mga gawain):

Paghambingin ang mga numero

hanapin ang kanilang mga module

ihambing sa zero

hanapin ang kanilang kabuuan

hanapin ang kanilang pagkakaiba

maghanap ng piraso

maghanap ng private

isulat ang kasalungat na mga numero

hanapin ang distansya sa pagitan ng mga numerong ito

10) kung gaano karaming mga integer ang matatagpuan sa pagitan nila

11) hanapin ang kabuuan ng lahat ng integer na matatagpuan sa pagitan nila.

Pamantayan sa pagsusuri: lahat ay napagpasyahan nang tama - "5"

1-2 error - "4"

3-4 na mga error - "3"

higit sa 4 na mga error - "2"

Indibidwal na trabaho sa pamamagitan ng mga kard(dagdag pa).

Card 1. Lutasin ang equation: 8.4 - (x - 3.6) \u003d 18

Card 2. Lutasin ang equation: -0.2x · (-4) = -0,8

Card 3. Lutasin ang equation: =

Mga sagot sa mga card :

1) 6; 2) -1; 3) 4/15.

Laro "Pagsusulit".

Ang mga naninirahan sa bansa ay namuhay nang masaya, naglaro, nilutas ang mga problema, mga equation, at nag-aalok sa amin na maglaro upang buod.

Pumunta ang mga mag-aaral sa pisara, kumuha ng card at sagutin ang tanong na nakasulat reverse side.

Mga Tanong:

1. Alin sa dalawang negatibong numero ang itinuturing na malaki?

2. Bumuo ng panuntunan para sa paghahati ng mga negatibong numero.

3. Bumuo ng panuntunan para sa pagpaparami ng mga negatibong numero.

4. Bumuo ng isang panuntunan para sa pagpaparami ng mga numero na may iba't ibang mga palatandaan.

5. Bumuo ng isang panuntunan para sa paghahati ng mga numero na may iba't ibang mga palatandaan.

6. Bumuo ng panuntunan para sa pagdaragdag ng mga negatibong numero.

7. Bumuo ng isang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga numero na may iba't ibang mga palatandaan.

8. Paano mahahanap ang haba ng isang segment sa isang linya ng coordinate?

9. Anong mga numero ang tinatawag na integer?

10. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Pagbubuod.

Guro: Ngayong araw takdang aralin magiging malikhain:

Maghanda ng mensaheng "Positibo at negatibong mga numero sa paligid natin" o gumawa ng isang fairy tale.

« Salamat sa leksyon!!!"

Pagkatapos a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c.

Ang pagdaragdag ng zero ay hindi nagbabago sa numero, at ang kabuuan ng magkasalungat na numero ay zero.

Kaya, para sa anumang rational na numero mayroon tayo: a + 0 = a, a + (- a) = 0.

Ang multiplikasyon ng mga rational na numero ay mayroon ding commutative at associative properties. Sa madaling salita, kung ang a, b at c ay anumang mga rational na numero, kung gayon ang ab - ba, a(bc) - (ab)c.

Hindi binabago ng multiplikasyon ng 1 ang isang rational na numero, ngunit ang produkto ng isang numero at ang kapalit nito ay 1.

Kaya para sa anumang makatwirang numero na mayroon kami:

a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12 + a -12; d) 6.1 -k + 2.8 + p - 8.8 + k - p.

1190. Ang pagpili ng isang maginhawang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon, hanapin ang halaga ng expression:

1191. Bumuo sa mga salita ng commutative property ng multiplication ab = ba at suriin ito para sa:

1192. Bumuo sa mga salita ng nag-uugnay na katangian ng multiplikasyon a(bc)=(ab)c at suriin ito para sa:

1193. Pagpili ng isang maginhawang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon, hanapin ang halaga ng expression:

1194. Ano ang magiging numero (positibo o negatibo) kung magpaparami ka:

a) isang negatibong numero at dalawang positibong numero;
b) dalawang negatibo at isang positibong numero;
c) 7 negatibo at maraming positibong numero;
d) 20 negatibo at ilang positibo? Gumawa ng konklusyon.

1195. Tukuyin ang tanda ng produkto:

a) - 2 (- 3) (- 9) (-1.3) 14 (- 2.7) (- 2.9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.

a) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha at Maxim ay nagtipon sa gym (Larawan 91, a). Dalawa lang pala ang kilala ng bawat lalaki. Sino ang nakakaalam kung sino? (Ang gilid ng graph ay nangangahulugang "kilala natin ang isa't isa.")

b) Naglalakad sa bakuran ang magkapatid na magkakapatid sa iisang pamilya. Alin sa mga batang ito ang mga lalaki at alin ang mga babae (Fig. 91, b)? (Ang mga may tuldok na gilid ng graph ay nangangahulugang - "Ako ay isang kapatid na babae", at ang mga solid ay - "Ako ay isang kapatid na lalaki".)

1205. Kalkulahin:

1206. Paghambingin:

a) 2 3 at 3 2 ; b) (-2) 3 at (-3) 2; c) 1 3 at 1 2 ; d) (-1) 3 at (-1) 2.

1207. Round 5.2853 hanggang thousandths; dati daanan; hanggang sa ikasampu; hanggang sa mga unit.

1208. Lutasin ang problema:

1) Naabutan ng nakamotorsiklo ang nagbibisikleta. Ngayon sa pagitan nila ay 23.4 km. Bilis ng nakamotorsiklo 3.6 beses mas bilis siklista. Hanapin ang mga tulin ng nagbibisikleta at nagmomotorsiklo kung alam na ang nakamotorsiklo ay aabutan ang nagbibisikleta sa ilang oras.
2) Isang sasakyan ang humahabol sa isang bus. Ngayon sa pagitan nila ay 18 km. Ang bilis ng bus ay ang bilis ng sasakyan. Hanapin ang mga bilis ng bus at ang sasakyan kung alam na ang sasakyan ay aabutan ang bus sa ilang oras.

1209. Hanapin ang halaga ng expression:

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

Suriin ang iyong mga kalkulasyon gamit ang calculator.
1210. Ang pagpili ng isang maginhawang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon, hanapin ang halaga ng expression:

1211. Pasimplehin ang expression:

1212. Hanapin ang halaga ng expression:

1213. Gawin ang sumusunod:

1214. Binigyan ng gawain ang mga mag-aaral na mangolekta ng 2.5 toneladang scrap metal. Nakakolekta sila ng 3.2 tonelada ng scrap metal. Sa anong porsyento nakumpleto ng mga mag-aaral ang gawain at ilang porsyento ang kanilang labis na nakumpleto ang gawain?

1215. Naglakbay ang sasakyan ng 240 km. Sa mga ito, 180 km ang nilakad niya sa kahabaan ng isang kalsada sa bansa, at ang natitirang bahagi ng daan - kasama ang highway. Ang pagkonsumo ng gasolina para sa bawat 10 km ng isang kalsada sa bansa ay 1.6 litro, at sa highway - 25% na mas mababa. Ilang litro ng gasolina ang natupok sa karaniwan para sa bawat 10 km ng paglalakbay?

1216. Pag-alis sa nayon, napansin ng siklista ang isang pedestrian na naglalakad sa parehong direksyon sa tulay, at naabutan siya sa loob ng 12 minuto. Hanapin ang bilis ng pedestrian kung ang bilis ng siklista ay 15 km/h at ang distansya mula sa nayon hanggang sa tulay ay 1 km 800 m?

1217. Gawin ang sumusunod:

a) - 4.8 3.7 - 2.9 8.7 - 2.6 5.3 + 6.2 1.9;
b) -14.31:5.3 - 27.81:2.7 + 2.565:3.42+4.1 0.8;
c) 3.5 0.23 - 3.5 (- 0.64) + 0.87 (- 2.5).

Tulad ng alam mo, unti-unting nakilala ng mga tao ang mga makatwirang numero. Sa una, kapag nagbibilang ng mga bagay, lumitaw ang mga natural na numero. Noong una, kakaunti lang sila. Kaya, hanggang kamakailan, ang mga katutubo ng mga isla sa Torres Strait (naghihiwalay sa New Guinea mula sa Australia) ay mayroon lamang dalawang numero sa kanilang wika: "urapun" (isa) at "okaza" (dalawa). Naisip ng mga taga-isla: "okaza-urapun" (tatlo), "okaza-okaza" (apat), atbp. Lahat ng mga numero, simula sa pito, tinawag ng mga katutubo ang salitang nangangahulugang "marami".

Naniniwala ang mga siyentipiko na ang salita para sa isang daan ay lumitaw higit sa 7,000 taon na ang nakalilipas, para sa isang libo - 6,000 taon na ang nakalilipas, at 5,000 taon na ang nakalilipas noong Sinaunang Ehipto at sa sinaunang Babylon ay may lumilitaw na mga pangalan para sa napakalaking bilang - hanggang sa isang milyon. Ngunit sa mahabang panahon, ang natural na serye ng mga numero ay itinuturing na may hangganan: inisip ng mga tao na mayroong pinakamaraming numero malaking numero.

Ang pinakadakilang sinaunang Greek mathematician at physicist na si Archimedes (287-212 BC) ay gumawa ng paraan upang ilarawan ang napakalaking bilang. Ang pinakamalaking bilang na alam ni Archimedes kung paano pangalanan ay napakalaki na kukuha ng tape ng dalawang libong beses na mas mahaba kaysa sa distansya mula sa Earth hanggang sa Araw upang maitala ito nang digital.

Ngunit hindi pa rin nila alam kung paano isulat ang napakalaking bilang. Ito ay naging posible lamang pagkatapos ng mga Indian mathematician noong ika-6 na siglo. naimbento ang numerong zero at nagsimula itong tukuyin ang kawalan ng mga yunit sa mga digit ng decimal notation ng isang numero.

Kapag hinahati ang nadambong at sa paglaon kapag nagsusukat ng mga halaga, at sa iba pang katulad na mga kaso, natugunan ng mga tao ang pangangailangan na ipakilala ang "sirang mga numero" - mga karaniwang fraction. Ang mga aksyon sa mga fraction ay itinuturing na pinakamahirap na lugar ng matematika noong Middle Ages. Hanggang ngayon, sinabi ng mga Aleman tungkol sa isang tao na nasa isang mahirap na sitwasyon, na siya ay "nahulog sa mga fraction."

Upang gawing mas madali ang paggamit ng mga fraction, naimbento ang mga decimal. mga fraction. Sa Europa, ipinakilala sila sa X585 ng Dutch mathematician at engineer na si Simon Stevin.

Ang mga negatibong numero ay lumitaw sa ibang pagkakataon kaysa sa mga fraction. Matagal na panahon ang mga naturang numero ay itinuturing na "hindi umiiral", "maling", pangunahin dahil sa ang katunayan na ang tinatanggap na interpretasyon para sa positibo at negatibong mga numero na "ari-arian - utang" ay humantong sa pagkalito: maaari mong idagdag o ibawas ang "pag-aari" o "mga utang", ngunit paano maintindihan ang produkto o pribadong "pag-aari" at "utang"?

Gayunpaman, sa kabila ng gayong mga pagdududa at kaguluhan, ang mga patakaran para sa pagpaparami at paghahati ng mga positibo at negatibong numero ay iminungkahi noong ika-3 siglo. ng Greek mathematician na si Diophantus (sa anyong: "Ang bawas, pinarami ng idinagdag, ay nagbibigay ng subtrahend; ang ibinawas ng bawas ay nagbibigay ng idinagdag," atbp.), at nang maglaon ay ang Indian mathematician na si Bhaskara (XII siglo) ay nagpahayag ng parehong mga tuntunin sa mga konsepto ng "pag-aari", "utang" ("Ang produkto ng dalawang ari-arian o dalawang utang ay ari-arian; ang produkto ng ari-arian at utang ay utang." Ang parehong tuntunin ay naaangkop sa paghahati).

Napag-alaman na ang mga katangian ng mga aksyon sa mga negatibong numero ay kapareho ng sa mga positibo (halimbawa, ang pagdaragdag at pagpaparami ay may commutative na katangian). At sa wakas, mula noong simula ng huling siglo, ang mga negatibong numero ay naging katumbas ng mga positibo.

Nang maglaon, lumitaw ang mga bagong numero sa matematika - hindi makatwiran, kumplikado, at iba pa. Malalaman mo ang tungkol sa kanila sa high school.

N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Mathematics para sa Grade 6, Textbook para sa mataas na paaralan

Mga aklat at aklat-aralin ayon sa plano sa kalendaryo para sa pag-download ng matematika grade 6, tulungan ang mag-aaral online