Ano ang lateral surface ng isang straight prism? Dami at lugar ng ibabaw ng isang regular na quadrangular prism

Polyhedra

Ang pangunahing bagay ng pag-aaral ng stereometry ay spatial body. Katawan kumakatawan sa isang bahagi ng espasyo na nililimitahan ng isang tiyak na ibabaw.

Polyhedron ay isang katawan na ang ibabaw ay binubuo ng isang may hangganang bilang ng mga flat polygon. Ang polyhedron ay tinatawag na convex kung ito ay matatagpuan sa isang gilid ng eroplano ng bawat plane polygon sa ibabaw nito. Ang karaniwang bahagi ng naturang eroplano at ang ibabaw ng isang polyhedron ay tinatawag gilid. Ang mga mukha ng isang convex polyhedron ay flat convex polygons. Ang mga gilid ng mga mukha ay tinatawag mga gilid ng polyhedron, at ang mga vertex ay vertices ng polyhedron.

Halimbawa, ang isang kubo ay binubuo ng anim na parisukat, na siyang mga mukha nito. Naglalaman ito ng 12 gilid (mga gilid ng mga parisukat) at 8 vertices (mga tuktok ng mga parisukat).

Ang pinakasimpleng polyhedra ay prisms at pyramids, na pag-aaralan pa natin.

Prisma

Kahulugan at katangian ng isang prisma

Prisma ay isang polyhedron na binubuo ng dalawang flat polygons na nakahiga parallel na eroplano magkatugma parallel transfer, at lahat ng mga segment na nagkokonekta sa mga kaukulang punto ng mga polygon na ito. Tinatawag na polygons mga base ng prisma, at ang mga segment na nagkokonekta sa kaukulang vertices ng mga polygon ay lateral na mga gilid ng prisma.

Taas ng prisma ay tinatawag na distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base nito (). Ang isang segment na nag-uugnay sa dalawang vertices ng isang prisma na hindi kabilang sa parehong mukha ay tinatawag dayagonal na prisma(). Ang prisma ay tinatawag n-carbon, kung ang base nito ay naglalaman ng n-gon.

Anumang prisma ay may mga sumusunod na katangian, na nagreresulta mula sa katotohanan na ang mga base ng prisma ay pinagsama ng parallel na pagsasalin:

1. Ang mga base ng prisma ay pantay.

2. Ang mga lateral edge ng prism ay parallel at pantay.

Ang ibabaw ng prisma ay binubuo ng mga base at lateral surface. Ang lateral surface ng prism ay binubuo ng parallelograms (ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng prisma). Ang lugar ng lateral surface ng prism ay ang kabuuan ng mga lugar ng lateral faces.

Tuwid na prisma

Ang prisma ay tinatawag tuwid, kung ang mga lateral edge nito ay patayo sa mga base. Kung hindi, ang prisma ay tinatawag hilig.

Ang mga mukha ng isang kanang prisma ay mga parihaba. Ang taas ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng mga gilid na mukha nito.

Buong prism na ibabaw ay tinatawag na kabuuan ng lateral surface area at ang mga lugar ng mga base.

Gamit ang tamang prisma tinatawag na right prism na may regular na polygon sa base nito.

Teorama 13.1. Ang lugar ng lateral surface ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng produkto ng perimeter at ang taas ng prisma (o, na pareho, sa gilid ng gilid).

Patunay. Ang mga gilid na mukha ng isang kanang prisma ay mga parihaba, ang mga base nito ay ang mga gilid ng mga polygon sa mga base ng prisma, at ang mga taas ay ang mga gilid na gilid ng prisma. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan, ang lateral surface area ay:

,

saan ang perimeter ng base ng isang tuwid na prisma.

Parallelepiped

Kung ang mga parallelogram ay namamalagi sa mga base ng isang prisma, kung gayon ito ay tinatawag parallelepiped. Ang lahat ng mga mukha ng isang parallelepiped ay parallelograms. Sa kasong ito, ang kabaligtaran ng mga mukha ng parallelepiped ay parallel at pantay.

Teorama 13.2. Ang mga diagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at nahahati sa kalahati ng intersection point.

Patunay. Isaalang-alang ang dalawang di-makatwirang diagonal, halimbawa, at . kasi ang mga mukha ng isang parallelepiped ay parallelograms, pagkatapos at , na nangangahulugang ayon sa Upang mayroong dalawang tuwid na linya na kahanay sa pangatlo. Bilang karagdagan, nangangahulugan ito na ang mga tuwid na linya at nakahiga sa parehong eroplano (eroplano). Ang eroplanong ito ay nag-intersect ng mga parallel na eroplano at kasama ng mga parallel na linya at . Kaya, ang isang quadrilateral ay isang parallelogram, at sa pamamagitan ng pag-aari ng isang parallelogram, ang mga diagonal nito ay bumalandra at nahahati sa kalahati ng intersection point, na kung ano ang kailangan upang mapatunayan.

Ang isang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba ay tinatawag parihabang parallelepiped. Ang lahat ng mga mukha ng isang parihabang parallelepiped ay mga parihaba. Ang mga haba ng hindi magkatulad na mga gilid ng isang hugis-parihaba na parallelepiped ay tinatawag na mga linear na sukat nito (mga sukat). Mayroong tatlong ganoong laki (lapad, taas, haba).

Teorama 13.3. Sa isang parihabang parallelepiped, ang parisukat ng anumang dayagonal katumbas ng kabuuan mga parisukat ng tatlong sukat nito (napatunayan sa pamamagitan ng paglalapat ng Pythagorean T dalawang beses).

Parihabang parallelepiped, na may pantay na mga gilid, ay tinatawag kubo.

Mga gawain

13.1 Ilang diagonal mayroon ito? n-carbon prism

13.2 Sa isang inclined triangular prism, ang mga distansya sa pagitan ng mga gilid na gilid ay 37, 13 at 40. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mas malaking gilid ng gilid at ang kabaligtaran na gilid ng gilid.

13.3 Ang isang eroplano ay iginuhit sa gilid ng ibabang base ng isang regular na tatsulok na prisma, na nagsalubong sa mga gilid na mukha kasama ang mga segment na may isang anggulo sa pagitan ng mga ito. Hanapin ang anggulo ng pagkahilig ng eroplanong ito sa base ng prisma.

Kasama sa kursong "Kumuha ng A" na video ang lahat ng paksang kailangan mo matagumpay na pagtatapos Pinag-isang State Examination sa matematika para sa 60-65 puntos. Ganap na lahat ng problema 1-13 Profile Unified State Examination matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa grade 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na paraan mga solusyon, mga pitfalls at mga lihim ng Unified State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Malinaw na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.

Kahulugan.

Ito ay isang heksagono, ang mga base nito ay dalawang pantay na parisukat, at ang mga gilid ng mukha ay pantay na mga parihaba

Tadyang sa gilid- ay ang karaniwang bahagi ng dalawang magkatabing gilid na mukha

Taas ng prisma- ito ay isang segment na patayo sa mga base ng prisma

Prism dayagonal- isang segment na nagkokonekta sa dalawang vertice ng mga base na hindi kabilang sa parehong mukha

Diagonal na eroplano- isang eroplano na dumadaan sa dayagonal ng prism at sa mga gilid nito

Diagonal na seksyon- ang mga hangganan ng intersection ng prism at ang diagonal na eroplano. Ang diagonal na cross section ng isang regular na quadrangular prism ay isang parihaba

Perpendicular section (orthogonal section)- ito ang intersection ng isang prisma at isang eroplanong iginuhit patayo sa mga gilid nito.

Mga elemento ng isang regular na quadrangular prism

Ang figure ay nagpapakita ng dalawang regular na quadrangular prisms, na ipinahiwatig ng kaukulang mga titik:

• Ang mga batayang ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 ay pantay at magkatulad sa isa't isa
• Nakaharap sa gilid AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C at CC 1 D 1 D, bawat isa ay parihaba
• Lateral surface - ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng lateral na mukha ng prisma
• Kabuuang ibabaw - ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga base at gilid na mukha (kabuuan ng lugar ng gilid na ibabaw at mga base)
• Mga tadyang sa gilid AA 1, BB 1, CC 1 at DD 1.
• Diagonal B 1 D
• Base dayagonal BD
• Diagonal na seksyon BB 1 D 1 D
• Perpendikular na seksyon A 2 B 2 C 2 D 2.

Mga katangian ng isang regular na quadrangular prism

• Ang mga base ay dalawang pantay na parisukat
• Ang mga base ay parallel sa bawat isa
• Ang mga gilid na mukha ay parihaba
• Ang mga gilid ng gilid ay pantay sa bawat isa
• Ang mga gilid na mukha ay patayo sa mga base
• Ang mga lateral ribs ay parallel sa isa't isa at pantay
• Perpendicular section patayo sa lahat ng side ribs at parallel sa bases
• Ang mga anggulo ng patayong seksyon - tuwid
• Ang diagonal na cross section ng isang regular na quadrangular prism ay isang parihaba
• Perpendicular (orthogonal section) parallel sa mga base

Mga formula para sa isang regular na quadrangular prism

Mga tagubilin para sa paglutas ng mga problema

Tamang prisma- isang prisma sa base kung saan matatagpuan ang isang regular na polygon, at ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga eroplano ng base. Iyon ay, ang isang regular na quadrangular prism ay naglalaman sa base nito parisukat. (tingnan ang mga katangian ng isang regular na quadrangular prism sa itaas) Tandaan. Ito ay bahagi ng isang aralin na may mga problema sa geometry (section stereometry - prism). Narito ang mga problemang mahirap lutasin. Kung kailangan mong lutasin ang isang problema sa geometry na wala dito, isulat ang tungkol dito sa forum. Upang ipahiwatig ang pagkilos ng pagkuha parisukat na ugat ang simbolo ay ginagamit sa paglutas ng mga suliranin√ .

Gawain.

Ang dayagonal ng isang regular na prism ay bumubuo ng isang tamang tatsulok na may dayagonal ng base at ang taas ng prisma. Alinsunod dito, ayon sa Pythagorean theorem, ang dayagonal ng isang regular na quadrangular prism ay magiging katumbas ng:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Sagot: 22 cm

Gawain

Solusyon.
Dahil ang base ng isang regular na quadrangular prism ay isang parisukat, makikita natin ang gilid ng base (na tinukoy bilang a) gamit ang Pythagorean theorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Ang taas ng gilid na mukha (na tinukoy bilang h) ay magiging katumbas ng:

H 2 + 12.5 = 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 = 3.5
h = √3.5

Ang kabuuang lugar sa ibabaw ay magiging katumbas ng kabuuan ng lateral surface area at dalawang beses sa base area

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Sagot: 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Ang iba't ibang mga prisma ay naiiba sa bawat isa. Kasabay nito, marami silang pagkakatulad. Upang mahanap ang lugar ng base ng prisma, kakailanganin mong maunawaan kung anong uri ito.

Pangkalahatang teorya

Ang prisma ay anumang polyhedron panig na may hugis ng paralelogram. Bukod dito, ang base nito ay maaaring maging anumang polyhedron - mula sa isang tatsulok hanggang sa isang n-gon. Bukod dito, ang mga base ng prisma ay palaging pantay sa bawat isa. Ang hindi naaangkop sa mga mukha sa gilid ay maaari silang mag-iba nang malaki sa laki.

Kapag nilulutas ang mga problema, hindi lamang ang lugar ng base ng prisma ang nakatagpo. Maaaring mangailangan ito ng kaalaman sa lateral surface, iyon ay, lahat ng mga mukha na hindi base. Ang kumpletong ibabaw ay magiging unyon ng lahat ng mga mukha na bumubuo sa prisma.

Minsan ang mga problema ay may kinalaman sa taas. Ito ay patayo sa mga base. Ang dayagonal ng isang polyhedron ay isang segment na nag-uugnay sa mga pares ng anumang dalawang vertices na hindi kabilang sa parehong mukha.

Dapat pansinin na ang base area ng isang tuwid o hilig na prisma ay hindi nakasalalay sa anggulo sa pagitan ng mga ito at ng mga gilid na mukha. Kung mayroon silang parehong mga numero sa itaas at ibabang mga mukha, kung gayon ang kanilang mga lugar ay magiging pantay.

Triangular na prisma

Sa base nito ay may isang pigura na may tatlong vertices, iyon ay, isang tatsulok. Tulad ng alam mo, maaaring iba ito. Kung gayon, sapat na tandaan na ang lugar nito ay tinutukoy ng kalahati ng produkto ng mga binti.

Ang mathematical notation ay ganito ang hitsura: S = ½ av.

Upang malaman ang lugar ng base sa pangkalahatang pananaw, ang mga formula ay magiging kapaki-pakinabang: Heron at ang isa kung saan ang kalahati ng gilid ay dadalhin sa taas na iginuhit dito.

Ang unang formula ay dapat na nakasulat tulad ng sumusunod: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Ang notasyong ito ay naglalaman ng isang semi-perimeter (p), iyon ay, ang kabuuan ng tatlong panig na hinati ng dalawa.

Pangalawa: S = ½ n a * a.

Kung nais mong malaman ang lugar ng base ng isang tatsulok na prisma, na regular, kung gayon ang tatsulok ay nagiging equilateral. Mayroong formula para dito: S = ¼ a 2 * √3.

Quadrangular prism

Ang base nito ay alinman sa mga kilalang quadrangles. Maaari itong maging isang parihaba o parisukat, parallelepiped o rhombus. Sa bawat kaso, upang makalkula ang lugar ng base ng prisma, kakailanganin mo ang iyong sariling formula.

Kung ang base ay isang parihaba, ang lugar nito ay tinutukoy bilang mga sumusunod: S = ab, kung saan ang a, b ay ang mga gilid ng parihaba.

Kailan pinag-uusapan natin tungkol sa isang quadrangular prism, pagkatapos ay ang lugar ng base ng isang regular na prism ay kinakalkula gamit ang formula para sa isang parisukat. Dahil siya ang namamalagi sa pundasyon. S = a 2.

Sa kaso kapag ang base ay parallelepiped, kakailanganin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: S = a * n a. Ito ay nangyayari na ang gilid ng isang parallelepiped at isa sa mga anggulo ay ibinigay. Pagkatapos, upang kalkulahin ang taas, kakailanganin mong gumamit ng karagdagang formula: n a = b * sin A. Bukod dito, ang anggulo A ay katabi ng gilid na "b", at ang taas n ay kabaligtaran ng anggulong ito.

Kung mayroong isang rhombus sa base ng prisma, pagkatapos ay upang matukoy ang lugar nito kakailanganin mo ang parehong formula tulad ng para sa isang paralelogram (dahil ito ay isang espesyal na kaso nito). Ngunit maaari mo ring gamitin ito: S = ½ d 1 d 2. Narito ang d 1 at d 2 ay dalawang dayagonal ng rhombus.

Regular na pentagonal prism

Ang kasong ito ay nagsasangkot ng paghahati ng polygon sa mga tatsulok, ang mga lugar kung saan mas madaling malaman. Bagama't nangyayari na ang mga numero ay maaaring magkaroon ng ibang bilang ng mga vertex.

Dahil ang base ng prisma ay isang regular na pentagon, maaari itong hatiin sa limang equilateral triangles. Kung gayon ang lugar ng base ng prisma ay katumbas ng lugar ng isang naturang tatsulok (ang formula ay makikita sa itaas), pinarami ng lima.

Regular na hexagonal prism

Gamit ang prinsipyong inilarawan para sa isang pentagonal prism, posibleng hatiin ang hexagon ng base sa 6 equilateral triangles. Ang formula para sa base area ng naturang prisma ay katulad ng nauna. Dapat lang itong i-multiply sa anim.

Magiging ganito ang formula: S = 3/2 a 2 * √3.

Mga gawain

Hindi.

Solusyon. Ang base ng prisma ay isang parisukat, ngunit ang gilid nito ay hindi kilala. Mahahanap mo ang halaga nito mula sa dayagonal ng parisukat (x), na nauugnay sa dayagonal ng prisma (d) at taas nito (h). x 2 = d 2 - n 2. Sa kabilang banda, ang segment na ito na "x" ay ang hypotenuse sa isang tatsulok na ang mga binti ay katumbas ng gilid ng parisukat. Iyon ay, x 2 = a 2 + a 2. Kaya lumalabas na ang isang 2 = (d 2 - n 2)/2.

Palitan ang numero 22 sa halip na d, at palitan ang "n" ng halaga nito - 14, lumalabas na ang gilid ng parisukat ay 12 cm. Ngayon alamin lamang ang lugar ng base: 12 * 12 = 144 cm 2.

Upang malaman ang lugar ng buong ibabaw, kailangan mong magdagdag ng dalawang beses sa base area at quadruple ang side area. Ang huli ay madaling mahanap gamit ang formula para sa isang parihaba: i-multiply ang taas ng polyhedron at ang gilid ng base. Iyon ay, 14 at 12, ang bilang na ito ay magiging katumbas ng 168 cm 2. Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma ay lumalabas na 960 cm 2.

Sagot. Ang lugar ng base ng prism ay 144 cm 2. Ang buong ibabaw ay 960 cm 2.

Hindi.

Solusyon. Dahil regular ang prisma, ang base nito ay equilateral triangle. Samakatuwid, ang lugar nito ay lumalabas na 6 squared, pinarami ng ¼ at ang square root ng 3. Ang isang simpleng pagkalkula ay humahantong sa resulta: 9√3 cm 2. Ito ang lugar ng isang base ng prisma.

Ang lahat ng mga gilid na mukha ay pareho at mga parihaba na may mga gilid na 6 at 10 cm. Upang kalkulahin ang kanilang mga lugar, i-multiply lang ang mga numerong ito. Pagkatapos ay i-multiply ang mga ito sa tatlo, dahil ang prisma ay may eksaktong ganoong karaming mga mukha sa gilid. Pagkatapos ang lugar ng lateral surface ng sugat ay lumalabas na 180 cm 2.

Sagot. Mga lugar: base - 9√3 cm 2, lateral surface ng prism - 180 cm 2.

"Aralin Pythagorean theorem" - Pythagorean theorem. Tukuyin ang uri ng quadrilateral KMNP. Warm up. Panimula sa teorama. Tukuyin ang uri ng tatsulok: Lesson plan: Historical excursion. Paglutas ng mga simpleng problema. At makakahanap ka ng hagdan na 125 talampakan ang haba. Kalkulahin ang taas CF ng trapezoid ABCD. Patunay. Magpakita ng mga larawan. Katibayan ng teorama.

"Dami ng prisma" - Ang konsepto ng isang prisma. Tuwid na prisma. Dami ng orihinal na prisma katumbas ng produkto S·h. Paano mahahanap ang dami ng isang tuwid na prisma? Ang prisma ay maaaring hatiin sa tuwid na tatsulok na prisma na may taas h. Hawak ang altitude tatsulok ABC. Ang solusyon sa problema. Mga layunin ng aralin. Mga pangunahing hakbang sa pagpapatunay ng direktang prism theorem? Pag-aaral ng theorem tungkol sa volume ng isang prisma.

"Prism polyhedra" - Ibigay ang kahulugan ng polyhedron. DABC - tetrahedron, convex polyhedron. Paglalapat ng prisms. Saan ginagamit ang mga prisma? Ang ABCDMP ay isang octahedron na binubuo ng walong tatsulok. ABCDA1B1C1D1 – parallelepiped, convex polyhedron. Matambok na polyhedron. Ang konsepto ng isang polyhedron. Polyhedron А1А2..АnB1B2..Bn - prisma.

"Prism 10th grade" - Ang prism ay isang polyhedron na ang mga mukha ay nasa parallel na eroplano. Paggamit ng prisma sa pang-araw-araw na buhay. Sside = Base + h Para sa isang tuwid na prisma: Sp.p = Pbas. h + 2Sbas. hilig. Tama. Diretso. Prisma. Mga formula para sa paghahanap ng lugar. Paglalapat ng prisma sa arkitektura. Sp.p = Sside + 2Sbase

"Patunay ng Pythagorean Theorem" - Geometric proof. Ang kahulugan ng Pythagorean theorem. Pythagorean theorem. Patunay ni Euclid. "SA kanang tatsulok Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti." Katibayan ng teorama. Ang kahalagahan ng theorem ay ang karamihan sa mga theorems ng geometry ay maaaring mahihinuha mula dito o sa tulong nito.