Power function at ang mga katangian nito. Power function, mga katangian at mga graph nito

1) Saklaw ng pag-andar at saklaw ng pag-andar.

Ang saklaw ng isang function ay ang hanay ng lahat ng wastong wastong halaga ng argumento x(variable x) kung saan ang function y = f(x) tinukoy. Ang hanay ng isang function ay ang hanay ng lahat ng tunay na halaga y na tinatanggap ng function.

Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero.

2) Mga function na zero.

Ang function na zero ay halaga ng argumento, kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero.

3) Mga pagitan ng sign constancy ng isang function.

Ang mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng isang function ay tulad ng mga hanay ng mga halaga ng argumento kung saan ang mga halaga ng function ay positibo lamang o negatibo lamang.

4) Monotonicity ng function.

Ang pagtaas ng function (sa isang tiyak na agwat) ay isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.

Pababa ng function (sa ilang interval) - isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa pagitan na ito ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

5) Kahit (kakaibang) function.

Ang even function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = f(x). Ang graph ng kahit na function ay simetriko tungkol sa y-axis.

Ang kakaibang function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = - f(x). Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

6) Limitado at walang limitasyong mga pag-andar.

Ang isang function ay tinatawag na bounded kung mayroong isang positibong numero M tulad na |f(x)| ≤ M para sa lahat ng halaga ng x . Kung walang ganoong numero, ang function ay walang hangganan.

7) Periodicity ng function.

Ang isang function na f(x) ay panaka-nakang kung mayroong hindi-zero na numerong T na para sa alinmang x mula sa domain ng function, f(x+T) = f(x). Ang pinakamaliit na bilang na ito ay tinatawag na panahon ng pagpapaandar. Ang lahat ng trigonometriko function ay panaka-nakang. (Mga formula ng trigonometriko).

19. Mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ang kanilang mga katangian at mga graph. Paglalapat ng mga tungkulin sa ekonomiya.

Mga pangunahing pag-andar ng elementarya. Ang kanilang mga katangian at mga graph

1. Linear function.

Linear function ay tinatawag na function ng form , kung saan ang x ay isang variable, at at ang b ay mga tunay na numero.

Numero a tinawag salik ng slope tuwid na linya, ito ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linyang ito sa positibong direksyon ng x-axis. Ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya. Ito ay tinukoy ng dalawang puntos.

Mga Katangian ng Linear na Function

1. Domain ng kahulugan - ang hanay ng lahat ng tunay na numero: D (y) \u003d R

2. Ang hanay ng mga halaga ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero: E(y)=R

3. Ang function ay tumatagal ng isang zero na halaga para sa o.

4. Ang function ay tumataas (bumababa) sa buong domain ng kahulugan.

5. Ang linear function ay tuloy-tuloy sa buong domain ng definition, differentiable at .

2. Quadratic function.

Ang isang function ng form, kung saan ang x ay isang variable, ang coefficients a, b, c ay tunay na mga numero, ay tinatawag parisukat.

Ang mga katangian at graph ng mga function ng kapangyarihan ay ipinakita para sa iba't ibang mga halaga ng exponent. Mga pangunahing formula, domain at hanay ng mga halaga, parity, monotonicity, pagtaas at pagbaba, extrema, convexity, inflections, mga punto ng intersection na may mga coordinate axes, mga limitasyon, mga partikular na halaga.

Mga Formula ng Power Function

Sa domain ng power function na y = x p, ang mga sumusunod na formula ay hawak:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Mga katangian ng mga function ng kapangyarihan at ang kanilang mga graph

Power function na may exponent na katumbas ng zero, p = 0

Kung ang exponent ng power function y = x p ay katumbas ng zero, p = 0 , kung gayon ang power function ay tinukoy para sa lahat ng x ≠ 0 at pare-pareho, katumbas ng isa:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Power function na may natural na kakaibang exponent, p = n = 1, 3, 5, ...

Isaalang-alang ang power function na y = x p = x n na may natural na kakaibang exponent n = 1, 3, 5, ... . Ang nasabing indicator ay maaari ding isulat bilang: n = 2k + 1, kung saan ang k = 0, 1, 2, 3, ... ay isang non-negative integer. Nasa ibaba ang mga katangian at mga graph ng mga naturang function.

Graph ng power function na y = x n na may natural na kakaibang exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = 1, 3, 5, ... .

Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: -∞ < y < ∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: tumataas monotonically
Extremes: Hindi
Matambok:
sa -∞< x < 0 выпукла вверх
sa 0< x < ∞ выпукла вниз
Mga breakpoint: x=0, y=0
x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
sa x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
para sa x = 0, y(0) = 0 n = 0
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = 1 , ang function ay kabaligtaran sa sarili nito: x = y
para sa n ≠ 1, baligtad na pag-andar ay isang ugat ng degree n:

Power function na may natural even exponent, p = n = 2, 4, 6, ...

Isaalang-alang ang isang power function na y = x p = x n na may natural even exponent n = 2, 4, 6, ... . Ang nasabing indicator ay maaari ding isulat bilang: n = 2k, kung saan ang k = 1, 2, 3, ... ay isang natural na numero. Ang mga katangian at mga graph ng naturang mga function ay ibinigay sa ibaba.

Graph ng power function na y = x n na may natural even exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = 2, 4, 6, ... .

Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: 0 ≤ y< ∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
para sa x ≤ 0 monotonically bumababa
para sa x ≥ 0 monotonically pagtaas
Extremes: pinakamababa, x=0, y=0
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
para sa x = 0, y(0) = 0 n = 0
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = 2, Kuwadrado na ugat:
para sa n ≠ 2, ugat ng degree n:

Power function na may integer negative exponent, p = n = -1, -2, -3, ...

Isaalang-alang ang power function na y = x p = x n na may integer negatibong tagapagpahiwatig degree n = -1, -2, -3, ... . Kung ilalagay natin ang n = -k, kung saan ang k = 1, 2, 3, ... ay isang natural na numero, kung gayon maaari itong katawanin bilang:

Graph ng power function y = x n na may negatibong integer exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = -1, -2, -3, ... .

Kakaibang exponent, n = -1, -3, -5, ...

Nasa ibaba ang mga katangian ng function na y = x n na may kakaibang negatibong exponent n = -1, -3, -5, ... .

Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y ≠ 0
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: bumababa nang monotoniko
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0 : выпукла вверх
para sa x > 0 : matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = -1,
para sa n< -2 ,

Kahit exponent, n = -2, -4, -6, ...

Nasa ibaba ang mga katangian ng function na y = x n na may pantay na negatibong exponent n = -2, -4, -6, ... .

Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y > 0
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0 : монотонно возрастает
para sa x > 0 : monotonically bumababa
Extremes: Hindi
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda: y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = -2,
para sa n< -2 ,

Power function na may rational (fractional) exponent

Isaalang-alang ang power function na y = x p na may rational (fractional) exponent , kung saan ang n ay isang integer, ang m > 1 ay isang natural na numero. Bukod dito, ang n, m ay walang mga karaniwang divisors.

Ang denominator ng fractional indicator ay kakaiba

Hayaang kakaiba ang denominator ng fractional exponent: m = 3, 5, 7, ... . Sa kasong ito, ang power function x p ay tinukoy para sa parehong positibo at mga negatibong halaga argumento x . Isaalang-alang ang mga katangian ng naturang mga function ng kapangyarihan kapag ang exponent p ay nasa loob ng ilang mga limitasyon.

p ay negatibo, p< 0

Hayaang ang rational exponent (na may kakaibang denominator m = 3, 5, 7, ... ) ay mas mababa sa zero: .

Mga graph ng exponential function na may rational negative exponent para sa iba't ibang value ng exponent , kung saan ang m = 3, 5, 7, ... ay kakaiba.

Kakaibang numerator, n = -1, -3, -5, ...

Narito ang mga katangian ng power function na y = x p na may rasyonal na negatibong exponent , kung saan ang n = -1, -3, -5, ... ay isang kakaibang negatibong integer, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero.

Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y ≠ 0
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: bumababa nang monotoniko
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0 : выпукла вверх
para sa x > 0 : matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:

Kahit numerator, n = -2, -4, -6, ...

Mga katangian ng power function na y = x p na may rasyonal na negatibong exponent, kung saan ang n = -2, -4, -6, ... ay isang kahit na negatibong integer, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero .

Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y > 0
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0 : монотонно возрастает
para sa x > 0 : monotonically bumababa
Extremes: Hindi
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda: y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:

Ang p-value ay positibo, mas mababa sa isa, 0< p < 1

Graph ng power function na may rational exponent (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Kakaibang numerator, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Maramihang mga halaga: -∞ < y < +∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: tumataas monotonically
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0 : выпукла вниз
para sa x > 0 : matambok pataas
Mga breakpoint: x=0, y=0
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = -1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:

Kahit numerator, n = 2, 4, 6, ...

Ang mga katangian ng power function na y = x p na may rational exponent , na nasa loob ng 0 ay ipinakita.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Maramihang mga halaga: 0 ≤ y< +∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0 : монотонно убывает
para sa x > 0 : monotonically pagtaas
Extremes: pinakamababa sa x = 0, y = 0
Matambok: matambok paitaas sa x ≠ 0
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Tanda: para sa x ≠ 0, y > 0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = 1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:

Ang exponent p ay mas malaki sa isa, p > 1

Graph ng power function na may rational exponent (p > 1 ) para sa iba't ibang value ng exponent , kung saan ang m = 3, 5, 7, ... ay kakaiba.

Kakaibang numerator, n = 5, 7, 9, ...

Mga katangian ng power function na y = x p na may rational exponent na mas malaki sa isa: . Kung saan ang n = 5, 7, 9, ... ay isang kakaibang natural na numero, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero.

Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: -∞ < y < ∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: tumataas monotonically
Extremes: Hindi
Matambok:
sa -∞< x < 0 выпукла вверх
sa 0< x < ∞ выпукла вниз
Mga breakpoint: x=0, y=0
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = -1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:

Kahit numerator, n = 4, 6, 8, ...

Mga katangian ng power function na y = x p na may rational exponent na mas malaki sa isa: . Kung saan ang n = 4, 6, 8, ... ay isang natural na numero, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero.

Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: 0 ≤ y< ∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0 монотонно убывает
para sa x > 0 monotonically tumataas
Extremes: pinakamababa sa x = 0, y = 0
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = 1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:

Ang denominator ng fractional indicator ay pantay

Hayaang maging pantay ang denominator ng fractional exponent: m = 2, 4, 6, ... . Sa kasong ito, ang power function x p ay hindi tinukoy para sa mga negatibong halaga ng argumento. Ang mga katangian nito ay nag-tutugma sa mga katangian ng isang power function na may hindi makatwiran na exponent (tingnan ang susunod na seksyon).

Power function na may hindi makatwirang exponent

Isaalang-alang ang isang power function na y = x p na may hindi makatwirang exponent p . Ang mga katangian ng naturang mga pag-andar ay naiiba sa mga isinasaalang-alang sa itaas dahil hindi sila tinukoy para sa mga negatibong halaga ng x argument. Para sa mga positibong halaga ng argumento, ang mga katangian ay nakasalalay lamang sa halaga ng exponent na p at hindi nakadepende sa kung ang p ay integer, makatwiran, o hindi makatwiran.

y = x p para sa iba't ibang mga halaga ng exponent p .

Power function na may negatibong p< 0

Domain: x > 0
Maramihang mga halaga: y > 0
Monotone: bumababa nang monotoniko
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Mga limitasyon: ;
pribadong halaga: Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1

Power function na may positibong exponent p > 0

Ang tagapagpahiwatig ay mas mababa sa isang 0< p < 1

Domain: x ≥ 0
Maramihang mga halaga: y ≥ 0
Monotone: tumataas monotonically
Matambok: matambok
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
Mga pribadong halaga: Para sa x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1

Ang indicator ay mas malaki sa isang p > 1

Domain: x ≥ 0
Maramihang mga halaga: y ≥ 0
Monotone: tumataas monotonically
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
Mga pribadong halaga: Para sa x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.