Mga sistema ng linear algebraic equation sa isang matrix na paraan. Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation gamit ang isang inverse matrix

(kung minsan ang pamamaraang ito ay tinatawag ding matrix method o ang inverse matrix method) ay nangangailangan ng paunang pamilyar sa naturang konsepto bilang matrix form ng pagsulat ng SLAE. Ang inverse matrix na pamamaraan ay idinisenyo upang malutas ang mga sistema ng linear algebraic equation, kung saan ang determinant ng matrix ng system ay iba sa zero. Naturally, ito ay nagpapahiwatig na ang matrix ng system ay parisukat (ang konsepto ng determinant ay umiiral lamang para sa mga square matrice). Ang kakanyahan ng inverse matrix na pamamaraan ay maaaring ipahayag sa tatlong puntos:

1. Isulat ang tatlong matrice: ang system matrix $A$, ang matrix ng mga hindi alam na $X$, ang matrix ng mga libreng termino na $B$.
2. Hanapin ang inverse matrix na $A^(-1)$.
3. Gamit ang pagkakapantay-pantay na $X=A^(-1)\cdot B$ makuha ang solusyon ng ibinigay na SLAE.

Ang anumang SLAE ay maaaring isulat sa anyong matrix bilang $A\cdot X=B$, kung saan ang $A$ ay ang matrix ng system, ang $B$ ay ang matrix ng mga libreng termino, ang $X$ ay ang matrix ng mga hindi alam. Hayaang umiral ang matrix na $A^(-1)$. I-multiply ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na $A\cdot X=B$ sa matrix na $A^(-1)$ sa kaliwa:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Dahil ang $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ ay ang identity matrix), kung gayon ang pagkakapantay-pantay na nakasulat sa itaas ay magiging:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Dahil $E\cdot X=X$, kung gayon:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Halimbawa #1

Lutasin ang SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ gamit ang inverse matrix.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

Hanapin natin ang inverse matrix sa matrix ng system, i.e. kalkulahin ang $A^(-1)$. Sa halimbawa #2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan) . $$

Ngayon, palitan natin ang lahat ng tatlong matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) sa equation na $X=A^(-1)\cdot B$. Pagkatapos ay nagsasagawa kami ng matrix multiplication

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$

Kaya nakuha namin ang $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array )\ tama)$. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito mayroon tayo: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Sagot: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Halimbawa #2

Lutasin ang SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ sa pamamagitan ng inverse matrix method.

Isulat natin ang matrix ng system na $A$, ang matrix ng mga libreng termino na $B$ at ang matrix ng mga hindi alam na $X$.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

Ngayon ay oras na upang mahanap ang inverse matrix ng system matrix, i.e. hanapin ang $A^(-1)$. Sa halimbawa #3 sa page na nakatuon sa paghahanap ng mga inverse matrice, natagpuan na ang inverse matrix. Gamitin natin ang natapos na resulta at isulat ang $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 at 37\end(array)\kanan). $$

Ngayon ay pinapalitan namin ang lahat ng tatlong matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) sa pagkakapantay-pantay na $X=A^(-1)\cdot B$, pagkatapos nito ay nagsasagawa kami ng matrix multiplication sa kanan panig ng pagkakapantay-pantay na ito.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

Kaya nakuha namin ang $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 \end(array)\right)$. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito mayroon tayo: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

• ang determinant ng matrix A ay kinakalkula;
• sa pamamagitan ng algebraic na mga karagdagan, ang inverse matrix A -1 ay matatagpuan;
• isang template ng solusyon ay nilikha sa Excel;

Pagtuturo. Upang makakuha ng solusyon sa pamamagitan ng inverse matrix method, kinakailangan na tukuyin ang dimensyon ng matrix. Susunod, sa bagong dialog box, punan ang matrix A at ang resultang vector B .

Algoritmo ng solusyon

1. Ang determinant ng matrix A ay kinakalkula. Kung ang determinant sero, pagkatapos ay ang dulo ng solusyon. Ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
2. Kapag ang determinant ay iba sa zero, ang inverse matrix A -1 ay matatagpuan sa pamamagitan ng algebraic na mga karagdagan.
3. Ang decision vector X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng inverse matrix sa resultang vector B .

Ang mga equation sa pangkalahatan, ang mga linear algebraic equation at ang kanilang mga sistema, pati na rin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, ay sumasakop sa isang espesyal na lugar sa matematika, parehong teoretikal at inilapat.

Ito ay dahil sa ang katunayan na ang karamihan ng pisikal, pang-ekonomiya, teknikal at kahit na mga gawaing pedagogical maaaring ilarawan at malutas gamit ang iba't ibang mga equation at kanilang mga sistema. AT kamakailang mga panahon nakakuha ng partikular na katanyagan sa mga mananaliksik, siyentipiko at practitioner pagmomodelo ng matematika sa halos lahat ng mga paksa, na kung saan ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng malinaw na mga pakinabang nito sa iba pang mga kilalang at napatunayang pamamaraan para sa pag-aaral ng mga bagay ng iba't ibang kalikasan, sa partikular, ang tinatawag na mga kumplikadong sistema. Mayroong maraming iba't ibang mga kahulugan ng isang modelo ng matematika na ibinigay ng mga siyentipiko sa magkaibang panahon, ngunit sa aming opinyon, ang pinakamatagumpay ay ang sumusunod na pahayag. Matematikal na modelo ay isang ideya na ipinahayag ng isang equation. Kaya, ang kakayahang bumuo at malutas ang mga equation at ang kanilang mga sistema ay isang mahalagang katangian ng isang modernong espesyalista.

Upang malutas ang mga sistema ng linear algebraic equation, ang pinakakaraniwang ginagamit na pamamaraan ay: Cramer, Jordan-Gauss at ang matrix method.

Paraan ng matrix solusyon - isang paraan ng paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation na may non-zero determinant gamit ang inverse matrix.

Kung isusulat namin ang mga coefficient para sa hindi kilalang mga halaga xi sa matrix A, kolektahin ang hindi kilalang mga halaga sa column X vector, at ang mga libreng termino sa column B vector, kung gayon ang sistema ng linear algebraic equation ay maaaring isulat bilang ang sumusunod na matrix equation A X = B, na may natatanging solusyon lamang kapag ang determinant ng matrix A ay hindi katumbas ng zero. Sa kasong ito, ang solusyon ng sistema ng mga equation ay matatagpuan sa sumusunod na paraan X = A-isa · B, saan A-1 - baligtad na matris.

Ang pamamaraan ng solusyon sa matrix ay ang mga sumusunod.

Hayaan ang sistema linear na equation kasama n hindi alam:

Maaari itong muling isulat sa anyong matrix: AX = B, saan A- ang pangunahing matrix ng system, B at X- mga hanay ng mga libreng miyembro at solusyon ng system, ayon sa pagkakabanggit:

I-multiply itong matrix equation sa kaliwa ng A-1 - matrix kabaligtaran sa matrix A: A -1 (AX) = A -1 B

Bilang A -1 A = E, nakukuha namin X= A -1 B. Ang kanang bahagi ng equation na ito ay magbibigay ng hanay ng mga solusyon sa orihinal na sistema. Kondisyon ng pagkakalapat paraang ito(pati na rin sa pangkalahatan ang pagkakaroon ng solusyon ay hindi homogenous na sistema mga linear na equation na may bilang ng mga equation, katumbas ng bilang unknowns) ay ang nonsingularity ng matrix A. Kailangan at sapat na kondisyon ito ang inequality zero ng determinant ng matrix A: det A≠ 0.

Para sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation, iyon ay, kapag ang vector B = 0 , sa katunayan ang kabaligtaran ng panuntunan: ang sistema AX = 0 ay may di-trivial (iyon ay, non-zero) na solusyon lamang kung det A= 0. Ang ganitong koneksyon sa pagitan ng mga solusyon ng homogenous at inhomogeneous na mga sistema ng linear equation ay tinatawag na Fredholm alternative.

Halimbawa mga solusyon ng isang hindi magkakatulad na sistema ng mga linear algebraic equation.

Siguraduhin natin na ang determinant ng matrix, na binubuo ng mga coefficient sa hindi kilalang mga sistema ang mga linear algebraic equation ay hindi katumbas ng zero.

Ang susunod na hakbang ay kalkulahin ang algebraic complements para sa mga elemento ng matrix na binubuo ng mga coefficient ng mga hindi alam. Kakailanganin ang mga ito upang mahanap ang inverse matrix.

Hayaang magkaroon ng isang parisukat na matrix ng ika-1 order

Ang Matrix A -1 ay tinatawag baligtad na matris na may paggalang sa matrix A, kung A * A -1 = E, kung saan ang E ay ang identity matrix ng nth order.

Matrix ng pagkakakilanlan- tulad ng isang parisukat na matrix, kung saan ang lahat ng mga elemento kasama ang pangunahing dayagonal, na dumadaan mula sa itaas na kaliwang sulok hanggang sa ibabang kanang sulok, ay isa, at ang natitira ay mga zero, halimbawa:

baligtad na matris maaaring umiral para lamang sa mga square matrice mga. para sa mga matrice na may parehong bilang ng mga row at column.

Inverse Matrix Existence Condition Theorem

Para magkaroon ng inverse matrix ang isang matrix, kinakailangan at sapat na ito ay hindi nabubulok.

Ang matrix A = (A1, A2,...A n) ay tinatawag hindi nabubulok kung ang mga column vector ay linearly independent. Ang bilang ng mga linearly independent column vectors ng isang matrix ay tinatawag na ranggo ng matrix. Samakatuwid, maaari nating sabihin na upang magkaroon ng isang inverse matrix, kinakailangan at sapat na ang ranggo ng matrix ay katumbas ng sukat nito, i.e. r = n.

Algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix

1. Isulat ang matrix A sa talahanayan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss at sa kanan (kapalit ng mga tamang bahagi ng mga equation) italaga ang matrix E dito.
2. Gamit ang mga pagbabagong Jordan, dalhin ang matrix A sa isang matrix na binubuo ng mga solong column; sa kasong ito, kinakailangan na sabay na ibahin ang anyo ng matrix E.
3. Kung kinakailangan, muling ayusin ang mga hilera (equation) ng huling talahanayan upang ang identity matrix E ay makuha sa ilalim ng matrix A ng orihinal na talahanayan.
4. Isulat ang inverse matrix A -1, na nasa huling talahanayan sa ilalim ng matrix E ng orihinal na talahanayan.

Para sa matrix A, hanapin ang inverse matrix A -1

Solusyon: Isinulat namin ang matrix A at sa kanan namin itinalaga ang identity matrix E. Gamit ang Jordan transformations, binabawasan namin ang matrix A sa identity matrix E. Ang mga kalkulasyon ay ipinapakita sa Table 31.1.

Suriin natin ang kawastuhan ng mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagpaparami ng orihinal na matrix A at ang inverse matrix A -1.

Bilang resulta ng pagpaparami ng matrix, nakuha ang identity matrix. Samakatuwid, ang mga kalkulasyon ay tama.

Sagot:

Solusyon ng matrix equation

Ang mga equation ng matrix ay maaaring magmukhang:

AX = B, XA = B, AXB = C,

kung saan ang A, B, C ay binibigyan ng mga matrice, ang X ay ang nais na matrix.

Ang mga equation ng matrix ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng equation sa pamamagitan ng mga inverse matrice.

Halimbawa, upang mahanap ang matrix mula sa isang equation, kailangan mong i-multiply ang equation na ito sa kaliwa.

Samakatuwid, upang makahanap ng solusyon sa equation, kailangan mong hanapin ang inverse matrix at i-multiply ito sa matrix sa kanang bahagi ng equation.

Ang iba pang mga equation ay nalutas nang katulad.

Lutasin ang equation na AX = B kung

Desisyon: Dahil ang kabaligtaran ng matrix ay katumbas (tingnan ang halimbawa 1)

Paraan ng matrix sa pagsusuri sa ekonomiya

Kasama ng iba, nakakahanap din sila ng aplikasyon mga pamamaraan ng matrix. Ang mga pamamaraang ito ay batay sa linear at vector-matrix algebra. Ang ganitong mga pamamaraan ay ginagamit para sa mga layunin ng pagsusuri ng kumplikado at multidimensional na pang-ekonomiyang phenomena. Kadalasan, ang mga pamamaraang ito ay ginagamit kapag kinakailangan upang ihambing ang paggana ng mga organisasyon at ang kanilang mga dibisyon sa istruktura.

Sa proseso ng paglalapat ng mga pamamaraan ng pagsusuri ng matrix, maraming mga yugto ang maaaring makilala.

Sa unang yugto nabubuo ang sistema mga tagapagpahiwatig ng ekonomiya at sa batayan nito, ang isang matrix ng paunang data ay pinagsama-sama, na isang talahanayan kung saan ang mga numero ng system ay ipinapakita sa mga indibidwal na linya nito (i = 1,2,....,n), at kasama ang mga patayong graph - bilang ng mga indicator (j = 1,2,....,m).

Sa ikalawang yugto para sa bawat patayong haligi, ang pinakamalaking ng magagamit na mga halaga ng mga tagapagpahiwatig ay ipinahayag, na kinuha bilang isang yunit.

Pagkatapos nito, ang lahat ng halagang makikita sa column na ito ay hinati sa pinakamataas na halaga at isang matrix ng standardized coefficients ay nabuo.

Sa ikatlong yugto ang lahat ng mga bahagi ng matrix ay parisukat. Kung mayroon silang iba't ibang kahalagahan, kung gayon ang bawat tagapagpahiwatig ng matrix ay itinalaga ng isang tiyak na koepisyent ng timbang k. Ang halaga ng huli ay tinutukoy ng isang dalubhasa.

Sa huli ikaapat na yugto natagpuan ang mga halaga ng mga rating Rj pinagsama-sama sa pagkakasunud-sunod ng pagtaas o pagbaba.

Ang mga pamamaraan sa itaas ng matrix ay dapat gamitin, halimbawa, kapag paghahambing na pagsusuri iba't ibang mga proyekto sa pamumuhunan, pati na rin kapag sinusuri ang iba pang mga tagapagpahiwatig ng pagganap ng ekonomiya ng mga organisasyon.

Paksa 2. MGA SISTEMA NG LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS.

Pangunahing konsepto.

Kahulugan 1. sistema m linear equation na may n Ang hindi kilala ay isang sistema ng anyo:

saan at mga numero.

Kahulugan 2. Ang solusyon ng sistema (I) ay isang hanay ng mga hindi alam, kung saan ang bawat equation ng sistemang ito ay nagiging isang pagkakakilanlan.

Kahulugan 3. System (I) ay tinatawag magkadugtong kung mayroon itong kahit isang solusyon at hindi magkatugma kung wala itong solusyon. magkasanib na sistema tinawag tiyak kung mayroon itong natatanging solusyon, at hindi sigurado kung hindi.

Kahulugan 4. Uri ng equation

tinawag sero, at isang equation ng form

tinawag hindi magkatugma. Malinaw, ang isang sistema ng mga equation na naglalaman ng isang hindi pare-parehong equation ay hindi pare-pareho.

Kahulugan 5. Ang dalawang sistema ng mga linear na equation ay tinatawag katumbas kung ang bawat solusyon ng isang sistema ay solusyon ng isa pa at, sa kabaligtaran, bawat solusyon ng pangalawang sistema ay solusyon ng una.

Matrix notation para sa isang sistema ng mga linear equation.

Isaalang-alang ang sistema (I) (tingnan ang §1).

Ipahiwatig:

Coefficient matrix para sa mga hindi alam

Matrix - column ng mga libreng miyembro

Matrix - haligi ng mga hindi alam

.

Kahulugan 1. Ang matrix ay tinatawag ang pangunahing matrix ng system(I), at ang matrix ay ang augmented matrix ng system (I).

Sa pamamagitan ng kahulugan ng matrix equality, ang system (I) ay tumutugma sa matrix equality:

.

Kanang bahagi ang pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng kahulugan ng produkto ng mga matrice ( tingnan ang kahulugan 3 § 5 kabanata 1) ay maaaring i-factor:

, ibig sabihin.

Pagkakapantay-pantay (2) tinawag matrix notation ng system (I).

Paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ni Cramer.

Ipasok ang system (I) (tingnan ang §1) m=n, ibig sabihin. ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, at ang pangunahing matrix ng system ay nondegenerate, i.e. . Pagkatapos ang system (I) mula sa §1 ay may natatanging solusyon

kung saan ∆ = det A tinatawag na pangunahing determinant ng sistema(I), ∆ i ay nakuha mula sa determinant Δ sa pamamagitan ng pagpapalit i-th column sa column ng mga libreng miyembro ng system (I).

Halimbawa. Lutasin ang system sa pamamagitan ng paraan ng Cramer:

.

Sa pamamagitan ng mga formula (3) .

Kinakalkula namin ang mga determinant ng system:

,

,

.

Upang makuha ang determinant, pinalitan namin ang unang column sa determinant ng column ng mga libreng termino; pinapalitan ang 2nd column sa determinant ng column ng mga libreng miyembro, nakuha namin; katulad nito, pinapalitan ang ika-3 column sa determinant ng column ng mga libreng miyembro, nakukuha namin . Solusyon sa system:

Paglutas ng mga sistema ng mga linear equation gamit ang isang inverse matrix.

Ipasok ang system (I) (tingnan ang §1) m=n at ang pangunahing matrix ng system ay hindi nabubulok. Sinusulat namin ang system (I) sa matrix form ( tingnan ang §2):

kasi matris A ay nondegenerate, pagkatapos ay mayroon itong inverse matrix ( tingnan ang Theorem 1 §6 ng Kabanata 1). I-multiply ang magkabilang panig ng equation (2) sa matrix, kung gayon

Sa pamamagitan ng kahulugan ng inverse matrix . Mula sa pagkakapantay-pantay (3) meron kami

Lutasin ang system gamit ang inverse matrix

.

Magpakilala

Sa halimbawa (§ 3) kinakalkula namin ang determinant , samakatuwid, ang matrix A may inverse matrix. Pagkatapos sa puwersa (4) , ibig sabihin.

. (5)

Hanapin ang matrix ( tingnan ang §6 kabanata 1)

, , ,

, , ,

,

.

Pamamaraan ng Gauss.

Hayaang ibigay ang sistema ng mga linear na equation:

. (ako)

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang lahat ng mga solusyon ng system (I) o upang matiyak na ang sistema ay hindi pare-pareho.

Kahulugan 1.Tawagin natin ang elementarya na pagbabago ng sistema(I) alinman sa tatlong aksyon:

1) pagtanggal ng zero equation;

2) pagdaragdag sa magkabilang bahagi ng equation ng mga kaukulang bahagi ng iba pang equation, na pinarami ng numerong l;

3) pagpapalit ng mga termino sa mga equation ng system upang ang mga hindi alam na may parehong mga numero sa lahat ng mga equation ay sumasakop sa parehong mga lugar, i.e. kung, halimbawa, sa 1st equation binago natin ang 2nd at 3rd terms, dapat ganun din ang gawin sa lahat ng equation ng system.

Ang pamamaraan ng Gauss ay binubuo sa katotohanan na ang sistema (I) sa tulong ng mga pagbabagong elementarya ay nabawasan sa isang katumbas na sistema, ang solusyon na kung saan ay matatagpuan nang direkta o ang unsolvability nito ay itinatag.

Gaya ng inilarawan sa §2, ang system (I) ay natatanging tinutukoy ng pinahabang matrix nito, at anumang elementarya na pagbabago ng system (I) ay tumutugma sa isang elementarya na pagbabago ng pinalawig na matrix:

.

Ang pagbabagong-anyo 1) ay tumutugma sa pagtanggal ng zero na hilera sa matrix , ang pagbabagong-anyo 2) ay katumbas ng pagdaragdag sa katumbas na hilera ng matrix ang iba pang hilera nito na pinarami ng numero l, pagbabagong-anyo 3) ay katumbas ng muling pagsasaayos ng mga haligi sa matrix .

Madaling makita na, sa kabaligtaran, ang bawat elementarya na pagbabago ng matrix ay tumutugma sa isang elementarya na pagbabago ng sistema (I). Sa view ng kung ano ang sinabi, sa halip na mga operasyon sa system (I), kami ay gagana sa augmented matrix ng system na ito.

Sa matrix, ang 1st column ay binubuo ng mga coefficient sa x 1, 2nd column - mula sa coefficients sa x 2 atbp. Sa kaso ng muling pagsasaayos ng mga haligi, dapat itong isaalang-alang na ang kundisyong ito ay nilabag. Halimbawa, kung papalitan natin ang 1st at 2nd column, ngayon sa 1st column magkakaroon ng coefficients sa x 2, at sa 2nd column - coefficients sa x 1.

Lutasin natin ang system (I) sa pamamagitan ng Gauss method.

1. I-cross out ang lahat ng zero row sa matrix, kung mayroon man (i.e., cross out ang lahat ng zero equation sa system (I).

2. Suriin kung mayroong isang hilera sa mga hilera ng matrix kung saan ang lahat ng mga elemento maliban sa huli ay katumbas ng zero (tawagin natin ang gayong hilera na hindi naaayon). Malinaw, ang gayong linya ay tumutugma sa isang hindi pantay na equation sa system (I), samakatuwid, ang system (I) ay walang mga solusyon, at dito nagtatapos ang proseso.

3. Hayaang ang matrix ay hindi maglaman ng hindi magkatugma na mga hilera (ang system (I) ay hindi naglalaman ng hindi magkatugma na mga equation). Kung ang a 11 =0, pagkatapos ay makikita natin sa 1st row ang ilang elemento (maliban sa huli) na iba sa zero at muling ayusin ang mga column para walang zero sa 1st row sa 1st place. Ipinapalagay na natin ngayon na (i.e., pinapalitan natin ang mga kaukulang termino sa mga equation ng system (I)).

4. I-multiply ang 1st row at idagdag ang resulta sa 2nd row, pagkatapos ay i-multiply ang 1st row at idagdag ang resulta sa 3rd row, atbp. Malinaw, ang prosesong ito ay katumbas ng pag-aalis ng hindi alam x 1 mula sa lahat ng equation ng system (I), maliban sa 1st. Sa bagong matrix, nakakakuha tayo ng mga zero sa 1st column sa ilalim ng elemento isang 11:

.

5. I-cross out ang lahat ng zero na row sa matrix, kung mayroon man, suriin kung mayroong hindi pantay-pantay na row (kung mayroon man, inconsistent ang system at nakumpleto nito ang solusyon). Suriin natin kung isang 22 / =0, kung oo, pagkatapos ay makakahanap kami ng isang elemento sa ika-2 hilera na iba sa zero at muling ayusin ang mga hanay upang . Susunod, pinarami namin ang mga elemento ng 2nd row sa pamamagitan ng at idagdag kasama ang mga kaukulang elemento ng ika-3 hilera, pagkatapos - ang mga elemento ng ika-2 hilera sa at idagdag kasama ang mga kaukulang elemento ng ika-4 na hilera, atbp., hanggang sa makakuha tayo ng mga zero sa ilalim isang 22 /

.

Ang mga ginawang aksyon ay katumbas ng pag-aalis ng hindi alam x 2 mula sa lahat ng equation ng system (I), maliban sa 1st at 2nd. Dahil ang bilang ng mga hilera ay may hangganan, samakatuwid, pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga hakbang, makukuha natin na ang system ay hindi pare-pareho, o pupunta tayo sa isang step matrix ( tingnan ang kahulugan 2 §7 kabanata 1) :

,

Isulat natin ang sistema ng mga equation na naaayon sa matrix . Ang sistemang ito ay katumbas ng sistema (I)

.

Mula sa huling equation ipinapahayag namin; pinapalitan natin ang nakaraang equation, hanapin, atbp., hanggang makuha natin ang .

Puna 1. Kaya, kapag nilulutas ang sistema (I) sa pamamaraang Gauss, nakarating tayo sa isa sa mga sumusunod na kaso.

1. Ang sistema (I) ay hindi pare-pareho.

2. Ang System (I) ay may natatanging solusyon kung ang bilang ng mga hilera sa matrix ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam ().

3. Ang System (I) ay may hindi mabilang solusyon kung ang bilang ng mga hilera sa matrix ay mas mababa sa bilang ng mga hindi alam ().

Samakatuwid ang sumusunod na teorama ay humahawak.

Teorama. Ang sistema ng mga linear na equation ay maaaring hindi pare-pareho, o may natatanging solusyon, o mayroong walang katapusang hanay ng mga solusyon.

Mga halimbawa. Lutasin ang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng Gauss method o patunayan ang hindi pagkakapare-pareho nito:

b) ;

a) Isulat muli natin ang ibinigay na sistema sa anyo:

.

Pinalitan namin ang 1st at 2nd equation ng orihinal na system para pasimplehin ang mga kalkulasyon (sa halip na mga fraction, tatakbo lang kami sa mga integer gamit ang naturang permutation).

Bumubuo kami ng pinalawak na matrix:

.

Walang mga null na linya; walang mga linyang hindi magkatugma, ; ibinubukod namin ang 1st unknown sa lahat ng equation ng system, maliban sa 1st one. Upang gawin ito, pinarami namin ang mga elemento ng 1st row ng matrix sa pamamagitan ng "-2" at idagdag ang mga ito sa mga kaukulang elemento ng 2nd row, na katumbas ng pagpaparami ng 1st equation sa "-2" at pagdaragdag nito sa 2nd equation. Pagkatapos ay pinarami namin ang mga elemento ng 1st row sa pamamagitan ng "-3" at idagdag ang mga ito sa kaukulang mga elemento ng ikatlong hilera, i.e. i-multiply ang 2nd equation ng ibinigay na system sa "-3" at idagdag ito sa 3rd equation. Kunin

.

Ang matrix ay tumutugma sa isang sistema ng mga equation). - (tingnan ang Depinisyon 3 § 7 ng Kabanata 1).