Ano ang kasama sa mathematical model. Pagmomodelo sa matematika

Matematikal na modelo b ay ang matematikal na representasyon ng realidad.

Pagmomodelo sa matematika- ang proseso ng pagbuo at pag-aaral ng mga modelo ng matematika.

Lahat natural at mga agham panlipunan, gamit ang mathematical apparatus, sa katunayan, ay nakikibahagi sa mathematical modelling: pinapalitan nila ang tunay na bagay ng mathematical model nito at pagkatapos ay pinag-aaralan ang huli.

Mga Kahulugan.

Walang depinisyon ang ganap na makakasakop sa totoong buhay na aktibidad ng pagmomolde ng matematika. Sa kabila nito, kapaki-pakinabang ang mga kahulugan sa pagtatangka nilang i-highlight ang mga pinaka makabuluhang feature.

Kahulugan ng isang modelo ayon kay A. A. Lyapunov: Ang pagmomodelo ay isang hindi direktang praktikal o teoretikal na pag-aaral bagay, kung saan hindi ang object ng interes sa amin ang direktang pinag-aaralan, ngunit ang ilang auxiliary na artipisyal o natural na sistema:

matatagpuan sa ilang layunin na pagsusulatan sa nakikilalang bagay;

kayang palitan siya sa ilang mga aspeto;

na, sa panahon ng pag-aaral nito, sa huli ay nagbibigay ng impormasyon tungkol sa bagay na ginagaya.

Ayon sa aklat-aralin ng Sovetov at Yakovlev: "ang isang modelo ay isang object-substitute ng orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal." "Ang pagpapalit ng isang bagay sa isa pa upang makakuha ng impormasyon tungkol sa pinakamahalagang katangian ng orihinal na bagay gamit ang object ng modelo ay tinatawag na pagmomolde." "Sa ilalim ng pagmomodelo ng matematika, mauunawaan natin ang proseso ng pagtatatag ng mga sulat sa isang naibigay na tunay na bagay ng ilang bagay sa matematika, na tinatawag na modelo ng matematika, at ang pag-aaral ng modelong ito, na ginagawang posible upang makuha ang mga katangian ng tunay na bagay na isinasaalang-alang. Tingnan matematikal na modelo depende pareho sa likas na katangian ng tunay na bagay, at ang mga gawain ng pag-aaral ng bagay at ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng paglutas ng problemang ito.

Ayon kina Samarsky at Mikhailov, ang isang matematikal na modelo ay isang "katumbas" ng isang bagay, na sumasalamin sa matematikal na anyo ng mga pinakamahalagang katangian nito: ang mga batas na sinusunod nito, ang mga koneksyon na likas sa mga bahagi nito, atbp. Ito ay umiiral sa mga triad " modelo-algorithm-programa” . Nang magawa ang triad na "model-algorithm-program", ang mananaliksik ay nakakakuha ng isang unibersal, nababaluktot at murang tool, na unang na-debug at nasubok sa mga pagsubok na eksperimento sa computational. Matapos maitatag ang kasapatan ng triad sa orihinal na bagay, ang iba't ibang at detalyadong "mga eksperimento" ay isinasagawa kasama ang modelo, na nagbibigay ng lahat ng kinakailangang husay at dami ng mga katangian at katangian ng bagay.

Ayon sa monograph ni Myshkis: "Tumugon tayo sa isang pangkalahatang kahulugan. Hayaan nating tuklasin ang ilang hanay ng S ng mga katangian ng isang tunay na bagay na may

tulong ng matematika. Upang gawin ito, pumili kami ng isang "mathematical object" a" - isang sistema ng mga equation, o mga ugnayang aritmetika, o mga geometric na hugis, o isang kumbinasyon ng pareho, atbp., ang pag-aaral kung saan sa pamamagitan ng matematika ay dapat sumagot sa mga tanong na ibinibigay tungkol sa mga katangian ng S. Sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang a "ay tinatawag na mathematical model ng object a na may paggalang sa kabuuang S. ng mga ari-arian nito."

Ayon kay A. G. Sevostyanov: "Ang isang modelo ng matematika ay isang hanay ng mga relasyon sa matematika, mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, atbp., na naglalarawan sa mga pangunahing pattern na likas sa proseso, bagay o sistema na pinag-aaralan."

Medyo kulang pangkalahatang kahulugan isang modelong matematikal na batay sa ideyalisasyon ng "input - output - state", na hiniram mula sa automata theory, ay nagbibigay sa Wiktionary: "Isang abstract mathematical na representasyon ng isang proseso, aparato, o teoretikal na ideya; gumagamit ito ng set ng mga variable para kumatawan sa mga input, output, at panloob na estado, pati na rin ang isang hanay ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay upang ilarawan ang kanilang pakikipag-ugnayan."

Panghuli, ang pinaka-maigsi na kahulugan ng isang mathematical model: "Isang equation na nagpapahayag ng ideya."

Pormal na pag-uuri ng mga modelo.

Ang pormal na pag-uuri ng mga modelo ay batay sa pag-uuri ng mga kasangkapang pangmatematika na ginamit. Madalas na binuo sa anyo ng mga dichotomies. Halimbawa, ang isa sa mga sikat na hanay ng mga dichotomies ay:

Linear o non-linear na mga modelo; Mga sistemang puro o distributed; Deterministic o stochastic; Static o dynamic; discrete o tuloy-tuloy.

at iba pa. Ang bawat itinayong modelo ay linear o non-linear, deterministic o stochastic, ... Natural, ang mga halo-halong uri ay posible rin: puro sa isang paggalang, ipinamahagi na mga modelo sa isa pa, atbp.

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay.

Kasama ang pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay nagkakaiba sa paraan ng pagkatawan nila sa bagay:

Ang mga istrukturang modelo ay kumakatawan sa isang bagay bilang isang sistema na may sariling aparato at mekanismo ng paggana. mga functional na modelo huwag gumamit ng gayong mga representasyon at sumasalamin lamang sa panlabas na perceived na pag-uugali ng bagay. Sa kanilang matinding pagpapahayag, tinatawag din silang mga modelong "black box." Posible rin ang mga pinagsamang uri ng mga modelo, na kung minsan ay tinatawag na mga modelong "grey box."

Halos lahat ng mga may-akda na naglalarawan sa proseso ng pagmomolde ng matematika ay nagpapahiwatig na una ang isang espesyal na perpektong konstruksyon, isang makabuluhang modelo, ay binuo. Walang itinatag na terminolohiya dito, at tinatawag ng ibang mga may-akda ang ideal na bagay na ito bilang isang konseptwal na modelo, isang speculative na modelo, o isang premodel. Sa kasong ito, ang panghuling konstruksyon ng matematika ay tinatawag na isang pormal na modelo o simpleng modelo ng matematika na nakuha bilang resulta ng pormalisasyon ng modelong ito ng nilalaman. Ang isang makabuluhang modelo ay maaaring itayo gamit ang isang hanay ng mga nakahandang ideyalisasyon, tulad ng sa mekanika, kung saan ang mga ideal na bukal, matibay na katawan, perpektong pendulum, nababanat na media, atbp. ay nagbibigay ng mga nakahandang elemento ng istruktura para sa makabuluhang pagmomodelo. Gayunpaman, sa mga lugar ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong pormal na mga teorya, ang paglikha ng mga makabuluhang modelo ay nagiging mas kumplikado.

Sa gawa ni R. Peierls, isang klasipikasyon ng mga modelong matematikal na ginagamit sa pisika at, sa mas malawak, sa mga likas na agham. Sa aklat nina A. N. Gorban at R. G. Khlebopros, ang klasipikasyong ito ay sinuri at pinalawak. Ang pag-uuri na ito ay pangunahing nakatuon sa yugto ng pagbuo ng isang makabuluhang modelo.

Ang mga modelong ito ay "kumakatawan sa isang pagsubok na paglalarawan ng kababalaghan, at ang may-akda ay naniniwala sa posibilidad nito, o kahit na itinuturing itong totoo." Ayon kay R. Peierls, ito ay, halimbawa, isang modelo solar system ayon kay Ptolemy at sa modelong Copernican, sa modelong Rutherford ng atom at sa modelong Big Bang.

Walang hypothesis sa agham ang mapapatunayan minsan at para sa lahat. Malinaw itong inilagay ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may kakayahang pabulaanan ang isang teorya, ngunit tandaan na hindi namin mapapatunayan na ito ay tama. Ipagpalagay natin na naglagay ka ng isang matagumpay na hypothesis, kalkulahin kung saan ito humahantong, at makita na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma sa eksperimentong paraan. Nangangahulugan ba ito na tama ang iyong teorya? Hindi, nangangahulugan lamang ito na nabigo kang pabulaanan ito.

Kung ang isang modelo ng unang uri ay binuo, nangangahulugan ito na ito ay pansamantalang kinikilala bilang totoo at ang isa ay maaaring tumutok sa iba pang mga problema. Gayunpaman, hindi ito maaaring maging punto sa pananaliksik, ngunit pansamantalang paghinto lamang: ang status ng modelo ng unang uri ay maaari lamang pansamantala.

Ang phenomenological model ay naglalaman ng isang mekanismo para sa paglalarawan ng phenomenon. Gayunpaman, ang mekanismong ito ay hindi sapat na nakakumbinsi, hindi sapat na makumpirma ng magagamit na data, o hindi sumasang-ayon nang maayos sa mga magagamit na teorya at naipon na kaalaman tungkol sa bagay. Samakatuwid, ang mga phenomenological na modelo ay may katayuan ng mga pansamantalang solusyon. Ito ay pinaniniwalaan na ang sagot ay hindi pa rin alam at ito ay kinakailangan upang ipagpatuloy ang paghahanap para sa "true mechanisms". Ang Peierls ay tumutukoy, halimbawa, ang caloric na modelo at ang quark na modelo ng elementarya na mga particle sa pangalawang uri.

Ang papel na ginagampanan ng modelo sa pananaliksik ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon, maaaring mangyari na ang mga bagong data at teorya ay nagpapatunay sa mga phenomenological na modelo at sila ay maa-upgrade sa

kalagayan ng hypothesis. Gayundin, ang bagong kaalaman ay maaaring unti-unting sumalungat sa mga modelo-hypotheses ng unang uri, at maaari silang ilipat sa pangalawa. Kaya, ang modelo ng quark ay unti-unting lumilipat sa kategorya ng mga hypotheses; Ang atomismo sa pisika ay lumitaw bilang isang pansamantalang solusyon, ngunit sa takbo ng kasaysayan ay naipasa ito sa unang uri. Ngunit ang mga modelo ng ether ay napunta mula sa uri 1 hanggang sa uri 2, at ngayon ay wala na sila sa agham.

Ang ideya ng pagpapasimple ay napakapopular kapag nagtatayo ng mga modelo. Ngunit iba ang pagpapasimple. Tinutukoy ni Peierls ang tatlong uri ng pagpapasimple sa pagmomodelo.

Kung posible na bumuo ng mga equation na naglalarawan sa sistemang pinag-aaralan, hindi ito nangangahulugan na maaari silang malutas kahit na sa tulong ng isang computer. Ang isang karaniwang pamamaraan sa kasong ito ay ang paggamit ng mga approximation. Kabilang sa mga ito ang mga linear na modelo ng pagtugon. Ang mga equation ay pinalitan ng mga linear. Ang karaniwang halimbawa ay ang batas ng Ohm.

Kung gagamitin natin ang perpektong modelo ng gas upang ilarawan ang mga sapat na rarefied na mga gas, kung gayon ito ay isang modelo ng uri 3. Sa mas mataas na densidad ng gas, kapaki-pakinabang din na isipin ang isang mas simple na ideal na sitwasyon ng gas para sa husay na pag-unawa at pagsusuri, ngunit ito ay uri na 4. .

Sa isang type 4 na modelo, ang mga detalye ay itinatapon na maaaring kapansin-pansin at hindi palaging makokontrol na makaapekto sa resulta. Ang parehong mga equation ay maaaring magsilbi bilang isang Type 3 o Type 4 na modelo, depende sa phenomenon na ginagamit ng modelo sa pag-aaral. Kaya, kung ang mga linear na modelo ng pagtugon ay ginagamit sa kawalan ng mas kumplikadong mga modelo, kung gayon ang mga ito ay mga phenomenological na linear na modelo, at sila ay kabilang sa sumusunod na uri 4.

Mga halimbawa: paglalapat ng isang perpektong modelo ng gas sa isang hindi perpekto, ang van der Waals equation ng estado, karamihan sa mga modelo ng solid state, likido at nuclear physics. Ang landas mula sa microdescription hanggang sa mga katangian ng mga katawan na binubuo ng isang malaking bilang mga particle, napakahaba. Maraming detalye ang kailangang iwan. Ito ay humahantong sa mga modelo ng ika-4 na uri.

Ang heuristic na modelo ay nagpapanatili lamang ng isang qualitative na pagkakatulad sa katotohanan at gumagawa lamang ng mga hula "sa pagkakasunud-sunod ng magnitude". Ang isang tipikal na halimbawa ay ang mean free path approximation sa kinetic theory. Nagbibigay ito mga simpleng formula para sa mga coefficients ng lagkit, pagsasabog, thermal conductivity, pare-pareho sa realidad sa pagkakasunud-sunod ng magnitude.

Ngunit kapag nagtatayo ng isang bagong pisika, ito ay malayo mula sa agad na nakuha ng isang modelo na nagbibigay ng hindi bababa sa isang husay na paglalarawan ng isang bagay - isang modelo ng ikalimang uri. Sa kasong ito, ang isang modelo ay kadalasang ginagamit sa pamamagitan ng pagkakatulad, na sumasalamin sa katotohanan kahit sa ilang paraan.

Binanggit ni R. Peierls ang kasaysayan ng paggamit ng mga pagkakatulad sa unang artikulo ni W. Heisenberg sa kalikasan ng mga puwersang nukleyar. "Nangyari ito pagkatapos ng pagkatuklas ng neutron, at bagaman naunawaan mismo ni W. Heisenberg na ang nuclei ay maaaring ilarawan bilang binubuo ng mga neutron at proton, hindi pa rin niya maalis ang ideya na ang neutron ay dapat na sa huli ay binubuo ng isang proton at isang elektron. . Sa kasong ito, lumitaw ang isang pagkakatulad sa pagitan ng pakikipag-ugnayan sa neutron-proton system at ng pakikipag-ugnayan ng hydrogen atom at ng proton. Ang pagkakatulad na ito ang nagbunsod sa kanya sa konklusyon na dapat mayroong exchange forces ng interaksyon sa pagitan ng neutron at proton, na kahalintulad sa exchange forces sa H − H system, dahil sa paglipat ng isang electron sa pagitan ng dalawang proton. ... Nang maglaon, napatunayan ang pagkakaroon ng mga puwersa ng palitan ng interaksyon sa pagitan ng isang neutron at isang proton, bagaman hindi sila ganap na naubos.

pakikipag-ugnayan sa pagitan ng dalawang particle ... Ngunit, kasunod ng parehong pagkakatulad, napagpasyahan ni W. Heisenberg na walang mga puwersang nuklear ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng dalawang proton at sa postulation ng repulsion sa pagitan ng dalawang neutron. Pareho sa mga huling natuklasang ito ay salungat sa mga natuklasan ng mga susunod na pag-aaral.

A. Si Einstein ay isa sa mga dakilang masters ng thought experiment. Narito ang isa sa kanyang mga eksperimento. Ito ay naimbento sa kabataan at kalaunan ay humantong sa pagbuo ng espesyal na teorya ng relativity. Ipagpalagay na sa klasikal na pisika ay sinusundan natin ang isang liwanag na alon sa bilis ng liwanag. Mapapansin natin ang isang electromagnetic field na pana-panahong nagbabago sa espasyo at pare-pareho sa oras. Ayon sa mga equation ni Maxwell, hindi ito maaaring mangyari. Mula dito, ang batang Einstein ay nagtapos: alinman sa mga batas ng kalikasan ay nagbabago kapag ang frame ng sanggunian ay nagbabago, o ang bilis ng liwanag ay hindi nakasalalay sa frame ng sanggunian. Pinili niya ang pangalawa - higit pa magandang pagpipilian. Ang isa pang sikat na eksperimento sa pag-iisip ng Einstein ay ang Einstein-Podolsky-Rosen Paradox.

At narito ang uri 8, na malawakang ginagamit sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Ito rin ay mga eksperimento sa pag-iisip na may mga haka-haka na nilalang, na nagpapakita na ang di-umano'y kababalaghan ay naaayon sa pangunahing mga prinsipyo at panloob na pare-pareho. Ito ang pangunahing pagkakaiba mula sa mga modelo ng uri 7, na nagpapakita ng mga nakatagong kontradiksyon.

Ang isa sa pinakatanyag na gayong mga eksperimento ay ang geometry ni Lobachevsky. Ang isa pang halimbawa ay ang mass production ng mga pormal na kinetic na modelo ng chemical at biological oscillations, autowaves, atbp. Ang Einstein-Podolsky-Rosen na kabalintunaan ay naisip bilang isang type 7 na modelo upang ipakita ang hindi pagkakapare-pareho ng quantum mechanics. Sa isang ganap na hindi planadong paraan, sa kalaunan ay naging isang type 8 na modelo - isang pagpapakita ng posibilidad ng quantum teleportation ng impormasyon.

Isaalang-alang ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang spring na naayos sa isang dulo at isang load ng mass m na nakakabit sa libreng dulo ng spring. Ipagpalagay namin na ang load ay maaari lamang ilipat sa direksyon ng spring axis. Bumuo tayo ng mathematical model ng system na ito. Ilalarawan namin ang estado ng system sa pamamagitan ng distansya x mula sa gitna ng load hanggang sa posisyon ng equilibrium nito. Inilalarawan namin ang interaksyon ng isang spring at isang load gamit ang batas ni Hooke, pagkatapos nito ay ginagamit namin ang pangalawang batas ni Newton upang ipahayag ito sa anyo ng isang differential equation:

kung saan nangangahulugang ang pangalawang derivative ng x na may paggalang sa oras..

Ang resultang equation ay naglalarawan ng mathematical model ng itinuturing na pisikal na sistema. Ang pattern na ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Ayon sa pormal na pag-uuri, ang modelong ito ay linear, deterministic, dynamic, concentrated, tuluy-tuloy. Sa proseso ng pagbuo nito, gumawa kami ng maraming mga pagpapalagay na maaaring hindi totoo sa katotohanan.

Kaugnay ng realidad, ito ay, kadalasan, isang modelo ng uri 4 na pagpapasimple, dahil ang ilang mahalaga mga unibersal na tampok. Sa ilang pagtatantya, ang gayong modelo ay naglalarawan ng isang tunay na sistema ng makina nang maayos, dahil

Ang mga itinapon na salik ay may maliit na impluwensya sa pag-uugali nito. Gayunpaman, ang modelo ay maaaring pinuhin sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilan sa mga salik na ito. Ito ay hahantong sa isang bagong modelo, na may mas malawak na saklaw.

Gayunpaman, kapag ang modelo ay pino, ang pagiging kumplikado ng pag-aaral sa matematika nito ay maaaring tumaas nang malaki at gawing halos walang silbi ang modelo. Madalas pa simpleng modelo ay nagbibigay-daan sa iyo upang mas mahusay at mas malalim na galugarin ang tunay na sistema kaysa sa isang mas kumplikado.

Kung ilalapat natin ang harmonic oscillator model sa mga bagay na malayo sa physics, maaaring iba ang makabuluhang katayuan nito. Halimbawa, kapag inilalapat ang modelong ito sa mga biyolohikal na populasyon, malamang na maiugnay ito sa uri 6 na pagkakatulad.

Matigas at malambot na mga modelo.

Ang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng tinatawag na "hard" na modelo. Ito ay nakuha bilang isang resulta ng isang malakas na idealization ng isang tunay na pisikal na sistema. Upang malutas ang isyu ng pagiging angkop nito, kailangang maunawaan kung gaano kahalaga ang mga salik na napabayaan natin. Sa madaling salita, ito ay kinakailangan upang siyasatin ang "malambot" na modelo, na kung saan ay nakuha sa pamamagitan ng isang maliit na perturbation ng "mahirap" isa. Maaari itong ibigay, halimbawa, sa pamamagitan ng sumusunod na equation:

Dito - ilang function, na maaaring isaalang-alang ang friction force o ang pagtitiwala ng koepisyent ng higpit ng spring sa antas ng pag-uunat nito, ε - ilang maliit na parameter. Ang tahasang anyo ng function f us in sa sandaling ito Hindi interesado. Kung patunayan natin na ang pag-uugali ng isang malambot na modelo ay hindi pangunahing naiiba sa pag-uugali ng isang matigas na modelo, ang problema ay mababawasan sa pag-aaral ng isang matigas na modelo. Kung hindi, ang aplikasyon ng mga resulta na nakuha sa pag-aaral ng matibay na modelo ay mangangailangan ng karagdagang pananaliksik. Halimbawa, ang solusyon sa equation ng isang harmonic oscillator ay mga function ng form

Iyon ay, mga oscillations na may pare-pareho ang amplitude. Sinusundan ba ito mula dito na ang isang tunay na oscillator ay mag-oscillate nang walang katiyakan na may palaging amplitude? Hindi, dahil isinasaalang-alang ang isang sistema na may arbitraryong maliit na friction, nakakakuha tayo ng mga damped oscillations. Ang pag-uugali ng sistema ay nagbago nang husay.

Kung ang isang sistema ay nagpapanatili ng kanyang husay na pag-uugali sa ilalim ng isang maliit na kaguluhan, ito ay sinasabing structurally stable. Ang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng isang sistemang hindi matatag sa istruktura. Gayunpaman, ang modelong ito ay maaaring gamitin upang pag-aralan ang mga proseso sa limitadong agwat ng oras.

Ang kakayahang magamit ng modelo.

Ang pinakamahalagang modelo ng matematika ay karaniwang may mahalagang pag-aari ng pagiging pandaigdigan: ang pangunahing magkakaibang tunay na phenomena ay maaaring ilarawan ng parehong modelo ng matematika. Halimbawa, inilalarawan ng isang harmonic oscillator hindi lamang ang pag-uugali ng isang load sa isang spring, kundi pati na rin ang iba pang mga proseso ng oscillatory, kadalasan ay may ganap na kakaibang kalikasan: maliliit na oscillations ng isang pendulum, mga pagbabago sa antas ng likido sa isang hugis-U na sisidlan, o isang pagbabago sa kasalukuyang lakas sa isang oscillatory circuit. Kaya, ang pag-aaral ng isang modelo ng matematika, pinag-aaralan namin nang sabay-sabay ang isang buong klase ng mga phenomena na inilarawan nito. Ito ang isomorphism ng mga batas na ipinahayag ng mga modelo ng matematika sa iba't ibang mga segment siyentipikong kaalaman, ang gawa ni Ludwig von Bertalanffy na lumikha ng "General Systems Theory".

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

katawan mula sa iba't ibang mga materyales, ang bawat materyal ay tinukoy bilang ang karaniwang mekanikal na idealization nito, pagkatapos kung saan ang mga equation ay pinagsama-sama, kasama ang ilang mga detalye ay itinapon bilang hindi gaanong mahalaga, ang mga kalkulasyon ay ginawa, kumpara sa mga sukat, ang modelo ay pino, at iba pa. Gayunpaman, para sa pagbuo ng mga teknolohiya sa pagmomodelo ng matematika, kapaki-pakinabang na i-disassemble ang prosesong ito sa mga pangunahing elemento ng bumubuo nito.

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Direktang gawain: ang istraktura ng modelo at lahat ng mga parameter nito ay itinuturing na kilala, ang pangunahing gawain ay pag-aralan ang modelo upang makuha ang kapaki-pakinabang na kaalaman tungkol sa bagay. Ano static na pagkarga hahawakan ba ang tulay? Paano ito tutugon sa isang dynamic na pagkarga, kung paano malalampasan ng eroplano ang sound barrier, kung ito ay babagsak sa flutter - ito ay mga tipikal na halimbawa ng isang direktang problema. Ang pagbabalangkas ng isang tamang direktang problema ay nangangailangan ng espesyal na kasanayan. Kung ang mga tamang tanong ay hindi itatanong, ang tulay ay maaaring gumuho, kahit na ang isang magandang modelo ay binuo para sa pag-uugali nito. Kaya, noong 1879 sa UK, isang metal na tulay sa kabila ng River Tay ang gumuho, ang mga taga-disenyo kung saan nagtayo ng isang modelo ng tulay, kinakalkula ito para sa isang 20-tiklop na margin ng kaligtasan para sa pagkilos. payload, ngunit nakalimutan ang tungkol sa patuloy na pag-ihip ng hangin sa mga lugar na iyon. At pagkatapos ng isang taon at kalahati ay bumagsak ito.

AT Sa pinakasimpleng kaso, ang direktang problema ay napakasimple at bumababa sa isang tahasang solusyon ng equation na ito.

Kabaligtaran na problema: ang isang hanay ng mga posibleng modelo ay kilala, ito ay kinakailangan upang pumili ng isang tiyak na modelo batay sa karagdagang data tungkol sa bagay. Kadalasan, ang istraktura ng modelo ay kilala at ang ilang hindi kilalang mga parameter ay kailangang matukoy. karagdagang impormasyon maaaring binubuo ng karagdagang empirical data, o sa mga kinakailangan para sa bagay. Ang karagdagang data ay maaaring dumating nang hiwalay sa proseso ng paglutas ng baligtad na problema o maging resulta ng isang eksperimento na espesyal na binalak sa kurso ng paglutas.

Ang isa sa mga unang halimbawa ng isang birtuoso na solusyon ng isang kabaligtaran na problema na may ganap na posibleng paggamit ng magagamit na data ay ang paraan na binuo ni I. Newton para sa muling pagtatayo ng mga puwersa ng friction mula sa naobserbahang damped oscillations.

AT Isa pang halimbawa ay mga istatistika ng matematika. Ang gawain ng agham na ito ay ang pagbuo ng mga pamamaraan para sa pagtatala, paglalarawan at pagsusuri ng obserbasyonal at pang-eksperimentong data upang makabuo ng mga probabilistikong modelo ng mass random phenomena. Yung. ang hanay ng mga posibleng modelo ay nililimitahan ng mga probabilistikong modelo. Sa mga partikular na problema, ang hanay ng mga modelo ay mas limitado.

Mga sistema ng computer ng pagmomodelo.

Upang suportahan ang pagmomodelo ng matematika, binuo ang mga sistema ng matematika ng computer, halimbawa, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, atbp. Nagbibigay-daan sa iyo ang mga ito na lumikha ng pormal at harang na mga modelo ng parehong simple at kumplikadong proseso at mga device at madaling baguhin ang mga parameter ng modelo sa panahon ng simulation. Ang mga modelo ng block ay kinakatawan ng mga bloke, ang hanay at koneksyon nito ay tinukoy ng diagram ng modelo.

Karagdagang mga halimbawa.

Ang rate ng paglago ay proporsyonal sa kasalukuyang laki ng populasyon. Inilalarawan ito ng differential equation

kung saan ang α ay ilang parameter na tinutukoy ng pagkakaiba sa pagitan ng fertility at mortality. Ang solusyon sa equation na ito ay ang exponential function x = x0 e. Kung ang rate ng kapanganakan ay lumampas sa rate ng pagkamatay, ang laki ng populasyon ay tumataas nang walang katiyakan at napakabilis. Malinaw na sa katotohanan ay hindi ito maaaring mangyari dahil sa limitado

mapagkukunan. Kapag naabot ang isang partikular na kritikal na laki ng populasyon, ang modelo ay titigil na maging sapat, dahil hindi nito isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan. Ang isang refinement ng modelong Malthus ay maaaring ang logistic model, na inilalarawan ng Verhulst differential equation

kung saan ang xs ay ang "equilibrium" na laki ng populasyon, kung saan ang rate ng kapanganakan ay eksaktong binabayaran ng rate ng pagkamatay. Ang laki ng populasyon sa naturang modelo ay may kaugaliang equilibrium value xs , at ang gawi na ito ay structurally stable.

Ipagpalagay natin na dalawang uri ng hayop ang nakatira sa isang partikular na teritoryo: mga kuneho at mga fox. Hayaang ang bilang ng mga kuneho ay x, ang bilang ng mga fox y. Gamit ang modelo ng Malthus na may mga kinakailangang pagwawasto, na isinasaalang-alang ang pagkain ng mga kuneho ng mga fox, nakarating kami sa sumusunod na sistema, na nagtataglay ng pangalan ng modelong Lotka-Volterra:

Ang sistemang ito ay may equilibrium na estado kapag ang bilang ng mga kuneho at mga fox ay pare-pareho. Ang paglihis mula sa estadong ito ay humahantong sa mga pagbabago sa bilang ng mga kuneho at mga fox, katulad ng mga pagbabago sa harmonic oscillator. Tulad ng kaso ng isang harmonic oscillator, ang pag-uugali na ito ay hindi matatag sa istruktura: ang isang maliit na pagbabago sa modelo ay maaaring humantong sa isang husay na pagbabago sa pag-uugali. Halimbawa, ang estado ng ekwilibriyo ay maaaring maging matatag, at ang pagbabagu-bago ng populasyon ay mawawala. Posible rin ang kabaligtaran na sitwasyon, kapag ang anumang maliit na paglihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo ay hahantong sa mga sakuna na kahihinatnan, hanggang sa kumpletong pagkalipol ng isa sa mga species. Sa tanong kung alin sa mga sitwasyong ito ang natanto, ang modelo ng Volterra-Lotka ay hindi nagbibigay ng sagot: kinakailangan ang karagdagang pananaliksik dito.

Upang makabuo ng isang mathematical model, kailangan mo:

maingat na pag-aralan ang tunay na bagay o proseso;
i-highlight ang pinakamahalagang katangian at katangian nito;
tukuyin ang mga variable, i.e. mga parameter na ang mga halaga ay nakakaapekto sa mga pangunahing tampok at katangian ng bagay;
ilarawan ang pag-asa ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema sa halaga ng mga variable gamit ang lohikal at matematikal na relasyon (mga equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal at matematikal na mga konstruksyon);
i-highlight ang mga panloob na koneksyon ng isang bagay, proseso o sistema gamit ang mga paghihigpit, equation, equalities, inequalities, lohikal at mathematical constructions;
tukuyin mga panlabas na link at ilarawan ang mga ito sa tulong ng mga paghihigpit, equation, equalities, inequalities, logical at mathematical constructions.

Ang pagmomodelo ng matematika, bilang karagdagan sa pag-aaral ng isang bagay, proseso o sistema at pagsasama-sama ng kanilang paglalarawan sa matematika, ay kinabibilangan din ng:

pagbuo ng isang algorithm na nagmomodelo sa gawi ng isang bagay, proseso o sistema;
pagpapatunay ng kasapatan ng modelo at bagay, proseso o sistema batay sa computational at natural na eksperimento;
pagsasaayos ng modelo;
gamit ang modelo.

Ang matematikal na paglalarawan ng mga proseso at sistemang pinag-aaralan ay nakasalalay sa:

ang likas na katangian ng isang tunay na proseso o sistema at pinagsama-sama batay sa mga batas ng pisika, kimika, mekanika, thermodynamics, hydrodynamics, electrical engineering, theory of plasticity, theory of elasticity, atbp.
ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng pag-aaral at pag-aaral ng mga tunay na proseso at sistema.

Ang pagbuo ng isang mathematical model ay karaniwang nagsisimula sa pagbuo at pagsusuri ng pinakasimpleng, pinaka-magaspang na mathematical model ng bagay, proseso o sistemang isinasaalang-alang. Sa hinaharap, kung kinakailangan, ang modelo ay pino, ang pagsusulatan nito sa bagay ay gagawing mas kumpleto.

Kumuha tayo ng isang simpleng halimbawa. Kailangan mong matukoy ang ibabaw na lugar ng desk. Karaniwan, para dito, ang haba at lapad nito ay sinusukat, at pagkatapos ay ang mga resultang numero ay pinarami. Ang gayong pamamaraan sa elementarya ay talagang nangangahulugan ng sumusunod: ang tunay na bagay (ibabaw ng talahanayan) ay pinalitan ng isang abstract na modelo ng matematika - isang parihaba. Ang mga sukat na nakuha bilang isang resulta ng pagsukat ng haba at lapad ng ibabaw ng talahanayan ay iniuugnay sa parihaba, at ang lugar ng naturang parihaba ay tinatayang kinuha bilang ang nais na lugar ng talahanayan. Gayunpaman, ang modelo ng desk rectangle ay ang pinakasimple, pinaka-magaspang na modelo. Sa isang mas seryosong diskarte sa problema, bago gamitin ang rectangle model upang matukoy ang lugar ng talahanayan, kailangang suriin ang modelong ito. Maaaring isagawa ang mga tseke tulad ng sumusunod: sukatin ang mga haba ng magkabilang panig ng talahanayan, pati na rin ang mga haba ng mga diagonal nito at ihambing ang mga ito sa bawat isa. Kung, sa kinakailangang antas ng katumpakan, ang mga haba ng magkabilang panig at ang mga haba ng mga dayagonal ay magkapares na magkapareho, kung gayon ang ibabaw ng talahanayan ay talagang maituturing na isang rektanggulo. Kung hindi, ang rectangle model ay kailangang tanggihan at palitan ng quadrilateral na modelo. pangkalahatang pananaw. Sa isang mas mataas na kinakailangan para sa katumpakan, maaaring kinakailangan upang pinuhin pa ang modelo, halimbawa, upang isaalang-alang ang pag-ikot ng mga sulok ng talahanayan.

Sa tulong nito isang simpleng halimbawa ipinakita na ang modelong matematikal ay hindi natatanging tinutukoy ng inimbestigahang bagay, proseso o sistema.

O (kukumpirma bukas)

Mga paraan upang malutas ang banig. Mga modelo:

1, Konstruksyon ng m. sa batayan ng mga batas ng kalikasan (analytical method)

2. Pormal na paraan sa tulong ng istatistika. Pagproseso at mga resulta ng pagsukat (statistical approach)

3. Paggawa ng isang metro batay sa isang modelo ng mga elemento (mga kumplikadong sistema)

1, Analytical - gamitin nang may sapat na pag-aaral. Pangkalahatang pattern Izv. mga modelo.

2. eksperimento. Sa kawalan ng impormasyon

3. Imitasyon m.- ginagalugad ang mga katangian ng bagay sst. Sa pangkalahatan.

Isang halimbawa ng pagbuo ng isang mathematical model.

Matematikal na modelo ay isang matematikal na representasyon ng katotohanan.

Pagmomodelo sa matematika ay ang proseso ng pagbuo at pag-aaral ng mga modelo ng matematika.

Ang lahat ng natural at panlipunang agham na gumagamit ng mathematical apparatus ay, sa katunayan, ay nakikibahagi sa mathematical modelling: pinapalitan nila ang isang bagay ng mathematical model nito at pagkatapos ay pinag-aaralan ang huli. Ang koneksyon ng isang modelo ng matematika na may katotohanan ay isinasagawa sa tulong ng isang hanay ng mga hypotheses, idealization at pagpapagaan. Sa tulong ng mga pamamaraan ng matematika, bilang panuntunan, ang isang perpektong bagay ay inilarawan, na binuo sa yugto ng makabuluhang pagmomolde.

Bakit kailangan ang mga modelo?

Kadalasan, kapag nag-aaral ng isang bagay, ang mga paghihirap ay lumitaw. Ang orihinal mismo ay minsan hindi magagamit, o ang paggamit nito ay hindi ipinapayong, o ang paglahok ng orihinal ay magastos. Ang lahat ng mga problemang ito ay maaaring malutas sa tulong ng simulation. Model sa sa isang tiyak na kahulugan maaaring palitan ang bagay na pinag-aaralan.

Ang pinakasimpleng mga halimbawa ng mga modelo

§ Ang isang larawan ay maaaring tawaging modelo ng isang tao. Upang makilala ang isang tao, sapat na upang makita ang kanyang larawan.

§ Ginawa ng arkitekto ang layout ng bagong residential area. Maaari niyang ilipat ang isang mataas na gusali mula sa isang bahagi patungo sa isa pa sa pamamagitan ng paggalaw ng kanyang kamay. Sa katotohanan, hindi ito magiging posible.

Mga uri ng modelo

Ang mga modelo ay maaaring nahahati sa materyal" at perpekto. ang mga halimbawa sa itaas ay materyal na mga modelo. Ang mga ideal na modelo ay kadalasang may iconic na hugis. Kasabay nito, ang mga tunay na konsepto ay pinalitan ng ilang mga palatandaan, na madaling maayos sa papel, sa memorya ng computer, atbp.

Pagmomodelo sa matematika

Ang pagmomodelo ng matematika ay kabilang sa klase ng pagmomolde ng tanda. Kasabay nito, maaaring malikha ang mga modelo mula sa anumang mga bagay sa matematika: mga numero, function, equation, atbp.

Pagbuo ng isang modelo ng matematika

§ Mayroong ilang mga yugto ng pagbuo ng isang mathematical model:

1. Pag-unawa sa gawain, pag-highlight sa pinakamahalagang katangian, katangian, halaga at parameter para sa amin.

2. Pagpapakilala ng notasyon.

3. Pagbubuo ng isang sistema ng mga paghihigpit na dapat matugunan ng mga inilagay na halaga.

4. Pagbubuo at pagtatala ng mga kondisyon na dapat matugunan ng nais na pinakamainam na solusyon.

Ang proseso ng pagmomodelo ay hindi nagtatapos sa pagsasama-sama ng modelo, ngunit nagsisimula lamang dito. Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang isang modelo, pumili sila ng isang paraan para sa paghahanap ng sagot, lutasin ang problema. pagkatapos mahanap ang sagot, ihambing ito sa katotohanan. At posible na ang sagot ay hindi nasiyahan, kung saan ang modelo ay binago o kahit isang ganap na naiibang modelo ang napili.

Halimbawa ng isang modelo ng matematika

Isang gawain

Kailangang i-upgrade ng production association, na kinabibilangan ng dalawang pabrika ng muwebles, ang machine park nito. Bukod dito, ang unang pabrika ng muwebles ay kailangang palitan ang tatlong makina, at ang pangalawang pito. Ang mga order ay maaaring ilagay sa dalawang pabrika ng machine tool. Ang unang pabrika ay maaaring makagawa ng hindi hihigit sa 6 na makina, at ang pangalawang pabrika ay tatanggap ng isang order kung mayroong hindi bababa sa tatlo sa kanila. Ito ay kinakailangan upang matukoy kung paano maglagay ng mga order.

Matematikal na modelo - ito ay isang sistema ng mga mathematical na relasyon - mga formula, equation, hindi pagkakapantay-pantay, atbp., na sumasalamin sa mga mahahalagang katangian ng isang bagay o phenomenon.

Ang bawat kababalaghan ng kalikasan ay walang hanggan sa pagiging kumplikado nito.. Ilarawan natin ito sa tulong ng isang halimbawang kinuha mula sa aklat ni V.N. Trostnikov "Tao at impormasyon" (Publishing house "Nauka", 1970).

Binubalangkas ng karaniwang tao ang problema sa matematika tulad ng sumusunod: "Gaano katagal mahuhulog ang isang bato mula sa taas na 200 metro?" Ang mathematician ay magsisimulang lumikha ng kanyang bersyon ng problema tulad nito: "Aming ipagpalagay na ang bato ay nahuhulog sa walang laman at ang acceleration ng grabidad ay 9.8 metro bawat segundo bawat segundo. Pagkatapos..."

- Hayaan mo ako- masasabing "customer", - Hindi ko gusto ang pagpapasimpleng ito. Gusto kong malaman nang eksakto kung gaano katagal ang bato ay mahuhulog sa totoong mga kondisyon, at hindi sa isang hindi umiiral na walang bisa.

- mabuti, sumang-ayon ang mathematician. - Ipagpalagay natin na ang bato ay may spherical na hugis at diameter... Ano ang tinatayang diameter nito?

- Mga limang sentimetro. Ngunit hindi ito spherical sa lahat, ngunit pahaba.

- Pagkatapos ay ipagpalagay natin iyonay may hugis ng isang ellipsoid na may mga axle shaft apat, tatlo at tatlong sentimetro at na siyabumagsak upang ang semi-major axis ay nananatiling patayo sa lahat ng oras . Kinukuha namin ang presyon ng hangin na katumbas ng760 mmHg , mula dito makikita natin ang density ng hangin...

Kung ang nagtakda ng problema sa wikang "tao" ay hindi na makikialam pa sa tren ng pag-iisip ng isang matematiko, ang huli ay magbibigay ng numerical na sagot pagkaraan ng ilang sandali. Ngunit ang "consumer" ay maaaring tumutol tulad ng dati: ang bato ay talagang hindi ellipsoidal, ang presyon ng hangin sa lugar na iyon at sa sandaling iyon ay hindi katumbas ng 760 mm ng mercury, atbp. Ano ang isasagot sa kanya ng mathematician?

Sasagutin niya yan ang isang eksaktong solusyon ng isang tunay na problema ay karaniwang imposible. Hindi lang iyon hugis bato, na nakakaapekto sa resistensya ng hangin, hindi maaaring ilarawan ng anumang mathematical equation; ang pag-ikot nito sa paglipad ay lampas din sa kontrol ng matematika dahil sa pagiging kumplikado nito. Dagdag pa, hindi pare-pareho ang hangin, dahil bilang isang resulta ng pagkilos ng mga random na kadahilanan, ang mga pagbabagu-bago ng mga pagbabagu-bago ng density ay lumitaw dito. Kung mas malalim pa, dapat isaalang-alang iyon ayon sa batas ng unibersal na grabitasyon, ang bawat katawan ay kumikilos sa bawat iba pang katawan. Ito ay sumusunod na kahit na ang pendulum orasan sa dingding nagbabago ang tilapon ng bato sa paggalaw nito.

Sa madaling salita, kung seryoso nating nais na tumpak na siyasatin ang pag-uugali ng anumang bagay, kailangan muna nating malaman ang lokasyon at bilis ng lahat ng iba pang mga bagay sa uniberso. At ito, siyempre. imposible .

Ang pinaka-epektibong modelo ng matematika ay maaaring ipatupad sa isang computer sa anyo ng isang algorithmic na modelo - ang tinatawag na "computational experiment" (tingnan ang [1], talata 26).

Siyempre, ang mga resulta ng isang eksperimento sa computational ay maaaring hindi tumutugma sa katotohanan kung ang ilang mahahalagang aspeto ng katotohanan ay hindi isinasaalang-alang sa modelo.

Kaya, ang paglikha ng isang modelo ng matematika para sa paglutas ng isang problema, kailangan mong:

Kapag gumagawa ng mga mathematical na modelo, malayo sa laging posible na makahanap ng mga formula na tahasang nagpapahayag ng nais na dami sa pamamagitan ng data. Sa ganitong mga kaso, ang mga pamamaraan ng matematika ay ginagamit upang magbigay ng mga sagot na may iba't ibang antas ng katumpakan. Mayroong hindi lamang mathematical modeling ng anumang phenomenon, kundi pati na rin ang visual-natural na pagmomodelo, na ibinibigay sa pamamagitan ng pagpapakita ng mga phenomena na ito sa pamamagitan ng computer graphics, i.e. ipinakita sa mananaliksik ang isang uri ng "computer cartoon" na kinukunan ng real time. Napakataas ng visibility dito.

Iba pang mga entry

10.06.2016. 8.3. Ano ang mga pangunahing hakbang sa proseso ng pagbuo ng software? 8.4. Paano kontrolin ang teksto ng programa bago ang output sa computer?

8.3. Ano ang mga pangunahing hakbang sa proseso ng pagbuo ng software? Ang proseso ng pagbuo ng isang programa ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng sumusunod na pormula: Ang pagkakaroon ng mga error sa isang bagong binuo na programa ay medyo normal ...

10.06.2016. 8.5. Para saan ang pag-debug at pagsubok? 8.6. Ano ang debugging? 8.7. Ano ang pagsubok at pagsubok? 8.8. Ano ang dapat na data ng pagsubok? 8.9. Ano ang mga hakbang sa proseso ng pagsubok?

8.5. Para saan ang pag-debug at pagsubok? Ang pag-debug sa isang program ay ang proseso ng paghahanap at pag-aalis ng mga error sa isang programa batay sa mga resulta ng pagtakbo nito sa isang computer. Pagsubok…

10.06.2016. 8.10. Ano ang mga karaniwang error sa programming? 8.11. Ang kawalan ba ng mga error sa syntax ay nagpapahiwatig ng kawastuhan ng programa? 8.12. Anong mga pagkakamali ang hindi nakita ng tagasalin? 8.13. Ano ang suporta sa programa?

8.10. Ano ang mga karaniwang error sa programming? Ang mga pagkakamali ay maaaring gawin sa lahat ng mga yugto ng paglutas ng isang problema - mula sa pagbabalangkas nito hanggang sa pagpapatupad. Ang mga pagkakaiba-iba ng mga pagkakamali at kaukulang mga halimbawa ay ibinigay ...

Ayon sa aklat-aralin ng Sovetov at Yakovlev: "isang modelo (lat. modulus - sukat) ay isang object-substitute ng orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal." (p. 6) "Ang pagpapalit ng isang bagay sa isa pa upang makakuha ng impormasyon tungkol sa pinakamahalagang katangian ng orihinal na bagay sa tulong ng isang modelong bagay ay tinatawag na pagmomolde." (p. 6) “Sa ilalim ng mathematical modelling mauunawaan natin ang proseso ng pagtatatag ng mga sulat sa isang naibigay na tunay na object ng ilang mathematical object, na tinatawag na mathematical model, at ang pag-aaral ng modelong ito, na nagpapahintulot sa pagkuha ng mga katangian ng tunay na object na isinasaalang-alang. . Ang uri ng modelo ng matematika ay nakasalalay pareho sa likas na katangian ng tunay na bagay at ang mga gawain ng pag-aaral ng bagay at ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng paglutas ng problemang ito.

Sa wakas, ang pinaka-maigsi na kahulugan ng isang modelo ng matematika: "Isang equation na nagpapahayag ng ideya».

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

at iba pa. Ang bawat itinayong modelo ay linear o non-linear, deterministic o stochastic, ... Natural, ang mga halo-halong uri ay posible rin: puro sa isang paggalang (sa mga tuntunin ng mga parameter), ipinamahagi na mga modelo sa isa pa, atbp.

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay

Kasama ang pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay nagkakaiba sa paraan ng pagkatawan nila sa bagay:

Estruktural o functional na mga modelo

Mga Modelong Pang-istruktura kumakatawan sa isang bagay bilang isang sistema na may sariling aparato at mekanismo ng paggana. mga functional na modelo huwag gumamit ng gayong mga representasyon at sumasalamin lamang sa panlabas na perceived na pag-uugali (paggana) ng bagay. Sa kanilang matinding pagpapahayag, tinatawag din silang mga "black box" na mga modelo. Posible rin ang mga pinagsamang uri ng mga modelo, na kung minsan ay tinutukoy bilang "mga modelo" kulay abong kahon».

Nilalaman at pormal na mga modelo

Halos lahat ng mga may-akda na naglalarawan sa proseso ng pagmomolde ng matematika ay nagpapahiwatig na una ang isang espesyal na perpektong konstruksyon ay itinayo, modelo ng nilalaman. Walang itinatag na terminolohiya dito, at tinatawag ng ibang mga may-akda ang perpektong bagay na ito modelong konseptwal , speculative na modelo o premodel. Sa kasong ito, ang pangwakas na pagtatayo ng matematika ay tinatawag pormal na modelo o isang mathematical model lang na nakuha bilang resulta ng pormalisasyon ng content model na ito (pre-model). Ang isang makabuluhang modelo ay maaaring itayo gamit ang isang hanay ng mga nakahandang ideyalisasyon, tulad ng sa mekanika, kung saan ang mga ideal na bukal, matibay na katawan, perpektong pendulum, nababanat na media, atbp. ay nagbibigay ng mga nakahandang elemento ng istruktura para sa makabuluhang pagmomodelo. Gayunpaman, sa mga lugar ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong pormal na mga teorya (ang cutting edge ng physics, biology, economics, sociology, psychology, at karamihan sa iba pang larangan), ang paglikha ng mga makabuluhang modelo ay higit na kumplikado.

Makabuluhang pag-uuri ng mga modelo

Walang hypothesis sa agham ang mapapatunayan minsan at para sa lahat. Malinaw itong inilagay ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may kakayahang pabulaanan ang isang teorya, ngunit tandaan na hindi namin mapapatunayan na ito ay tama. Ipagpalagay natin na naglagay ka ng isang matagumpay na hypothesis, kalkulahin kung saan ito humahantong, at makita na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma sa eksperimentong paraan. Nangangahulugan ba ito na tama ang iyong teorya? Hindi, nangangahulugan lamang ito na nabigo kang pabulaanan ito.

Uri 2: Phenomenological na modelo (kumilos na parang…)

Ang papel ng modelo sa pananaliksik ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon, maaaring mangyari na ang mga bagong data at teorya ay nagpapatunay ng mga phenomenological na modelo at sila ay na-promote sa katayuan ng isang hypothesis. Gayundin, ang bagong kaalaman ay maaaring unti-unting sumalungat sa mga modelo-hypotheses ng unang uri, at maaari silang ilipat sa pangalawa. Kaya, ang modelo ng quark ay unti-unting lumilipat sa kategorya ng mga hypotheses; Ang atomismo sa pisika ay lumitaw bilang isang pansamantalang solusyon, ngunit sa takbo ng kasaysayan ay naipasa ito sa unang uri. Ngunit ang mga modelo ng ether ay napunta mula sa uri 1 hanggang sa uri 2, at ngayon ay wala na sila sa agham.

Ang ideya ng pagpapasimple ay napakapopular kapag nagtatayo ng mga modelo. Ngunit iba ang pagpapasimple. Tinutukoy ni Peierls ang tatlong uri ng pagpapasimple sa pagmomodelo.

Uri 3: Pagtataya (ang isang bagay ay itinuturing na napakalaki o napakaliit)

Kung posible na bumuo ng mga equation na naglalarawan sa sistemang pinag-aaralan, hindi ito nangangahulugan na maaari silang malutas kahit na sa tulong ng isang computer. Ang isang karaniwang pamamaraan sa kasong ito ay ang paggamit ng mga approximation (mga modelo ng uri 3). Sa kanila mga linear na modelo ng pagtugon. Ang mga equation ay pinalitan ng mga linear. Ang karaniwang halimbawa ay ang batas ng Ohm.

At narito ang uri 8, na malawakang ginagamit sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Uri 8: Pagpapakita ng posibilidad (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Ito rin ay mga eksperimento sa pag-iisip. na may mga haka-haka na entity na nagpapakita nito dapat na phenomenon pare-pareho sa mga pangunahing prinsipyo at panloob na pare-pareho. Ito ang pangunahing pagkakaiba mula sa mga modelo ng uri 7, na nagpapakita ng mga nakatagong kontradiksyon.

Ang isa sa pinakatanyag sa mga eksperimentong ito ay ang geometry ni Lobachevsky (tinawag itong "imaginary geometry" ni Lobachevsky). Ang isa pang halimbawa ay ang mass production ng mga pormal na kinetic na modelo ng chemical at biological oscillations, autowaves, atbp. Ang Einstein-Podolsky-Rosen na kabalintunaan ay naisip bilang isang type 7 na modelo upang ipakita ang hindi pagkakapare-pareho ng quantum mechanics. Sa isang ganap na hindi planadong paraan, sa kalaunan ay naging isang type 8 na modelo - isang pagpapakita ng posibilidad ng quantum teleportation ng impormasyon.

Halimbawa

Isaalang-alang natin ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang spring na naayos sa isang dulo at isang load ng mass , na nakakabit sa libreng dulo ng spring. Ipagpalagay namin na ang pag-load ay maaaring ilipat lamang sa direksyon ng spring axis (halimbawa, ang paggalaw ay nangyayari sa kahabaan ng baras). Bumuo tayo ng mathematical model ng system na ito. Ilalarawan namin ang estado ng system sa pamamagitan ng distansya mula sa gitna ng load hanggang sa posisyon ng equilibrium nito. Ilarawan natin ang interaksyon ng isang spring at isang load gamit Batas ni Hooke() pagkatapos nito ay ginagamit natin ang pangalawang batas ni Newton upang ipahayag ito sa anyo ng isang differential equation:

kung saan nangangahulugang ang pangalawang derivative ng may paggalang sa oras: .

Ang resultang equation ay naglalarawan ng mathematical model ng itinuturing na pisikal na sistema. Ang pattern na ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Ayon sa pormal na pag-uuri, ang modelong ito ay linear, deterministic, dynamic, concentrated, tuluy-tuloy. Sa proseso ng pagtatayo nito, gumawa kami ng maraming mga pagpapalagay (tungkol sa kawalan ng mga panlabas na puwersa, kawalan ng alitan, ang liit ng mga paglihis, atbp.), Na sa katotohanan ay maaaring hindi matupad.

May kaugnayan sa katotohanan, ito ay kadalasang isang uri ng 4 na modelo. pagpapasimple(“inaalis namin ang ilang detalye para sa kalinawan”), dahil ang ilang mahahalagang unibersal na tampok (halimbawa, pagwawaldas) ay inalis. Sa ilang pagtatantya (sabihin, hangga't ang paglihis ng load mula sa ekwilibriyo ay maliit, na may kaunting alitan, sa loob ng hindi masyadong mahabang panahon at napapailalim sa ilang iba pang mga kundisyon), ang gayong modelo ay naglalarawan ng isang tunay na sistemang mekanikal, dahil ang Ang mga itinapon na salik ay may maliit na epekto sa pag-uugali nito. Gayunpaman, ang modelo ay maaaring pinuhin sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilan sa mga salik na ito. Ito ay hahantong sa isang bagong modelo, na may mas malawak (bagaman muli ay limitado) na saklaw.

Gayunpaman, kapag ang modelo ay pino, ang pagiging kumplikado ng pag-aaral sa matematika nito ay maaaring tumaas nang malaki at gawing halos walang silbi ang modelo. Kadalasan, ang isang mas simpleng modelo ay nagbibigay-daan sa iyo upang mas mahusay at mas malalim na galugarin ang tunay na sistema kaysa sa isang mas kumplikado (at, pormal na, "mas tama") isa.

Matigas at malambot na mga modelo

Dito - ilang function, na maaaring isaalang-alang ang friction force o ang pagtitiwala ng koepisyent ng higpit ng tagsibol sa antas ng pag-uunat nito - ilang maliit na parameter. Ang tahasang anyo ng function ay hindi interesado sa amin sa ngayon. Kung patunayan natin na ang pag-uugali ng isang malambot na modelo ay hindi sa panimula ay naiiba sa pag-uugali ng isang matigas na modelo (anuman ang tahasang anyo ng mga nakababagabag na salik, kung sila ay sapat na maliit), ang problema ay mababawasan sa pag-aaral ng mahirap na modelo. Kung hindi, ang aplikasyon ng mga resulta na nakuha sa pag-aaral ng matibay na modelo ay mangangailangan ng karagdagang pananaliksik. Halimbawa, ang solusyon sa equation ng isang harmonic oscillator ay mga function ng form , iyon ay, mga oscillations na may pare-pareho ang amplitude. Sinusundan ba ito mula dito na ang isang tunay na oscillator ay mag-oscillate nang walang katiyakan na may palaging amplitude? Hindi, dahil kung isasaalang-alang ang isang sistema na may arbitraryong maliit na friction (palaging naroroon sa isang tunay na sistema), makakakuha tayo ng mga damped oscillations. Ang pag-uugali ng sistema ay nagbago nang husay.

Kung ang isang sistema ay nagpapanatili ng kanyang husay na pag-uugali sa ilalim ng isang maliit na kaguluhan, ito ay sinasabing structurally stable. Ang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng isang hindi matatag na sistema (hindi magaspang) na istruktura. Gayunpaman, ang modelong ito ay maaaring gamitin upang pag-aralan ang mga proseso sa limitadong agwat ng oras.

Universality ng mga modelo

Ang pinakamahalagang modelo ng matematika ay karaniwang may mahalagang katangian pagiging pangkalahatan: sa panimula iba't ibang tunay na phenomena ay maaaring inilarawan sa pamamagitan ng parehong mathematical modelo. Halimbawa, inilalarawan ng isang harmonic oscillator hindi lamang ang pag-uugali ng isang load sa isang spring, kundi pati na rin ang iba pang mga proseso ng oscillatory, kadalasan ay may ganap na kakaibang kalikasan: maliliit na oscillations ng isang pendulum, mga pagbabago sa antas ng likido sa isang hugis na sisidlan, o isang pagbabago sa kasalukuyang lakas sa isang oscillatory circuit. Kaya, ang pag-aaral ng isang modelo ng matematika, pinag-aaralan namin nang sabay-sabay ang isang buong klase ng mga phenomena na inilarawan nito. Ito ang isomorphism ng mga batas na ipinahayag ng mga modelo ng matematika sa iba't ibang bahagi ng kaalamang pang-agham ang nagbunsod kay Ludwig von Bertalanffy na lumikha ng "General Systems Theory".

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Maraming mga problema na nauugnay sa pagmomodelo ng matematika. Una, kinakailangan na makabuo ng pangunahing pamamaraan ng bagay na ginagaya, upang kopyahin ito sa loob ng balangkas ng mga ideyalisasyon ng agham na ito. Kaya, ang isang kotse ng tren ay nagiging isang sistema ng mga plato at mas kumplikadong mga katawan na gawa sa iba't ibang mga materyales, ang bawat materyal ay ibinibigay bilang pamantayang mekanikal na ideyalisasyon nito (densidad, nababanat na moduli, karaniwang mga katangian ng lakas), pagkatapos kung saan ang mga equation ay iginuhit, kasama ang paraan. ang ilang mga detalye ay itinatapon bilang hindi gaanong mahalaga , ang mga kalkulasyon ay ginawa, kumpara sa mga sukat, ang modelo ay pino, at iba pa. Gayunpaman, para sa pagbuo ng mga teknolohiya sa pagmomodelo ng matematika, kapaki-pakinabang na i-disassemble ang prosesong ito sa mga pangunahing elemento ng bumubuo nito.

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Direktang problema: ang istraktura ng modelo at lahat ng mga parameter nito ay itinuturing na kilala, ang pangunahing gawain ay pag-aralan ang modelo upang kunin ang kapaki-pakinabang na kaalaman tungkol sa bagay. Anong static load ang kayang tiisin ng tulay? Paano ito magiging reaksyon sa isang dinamikong pagkarga (halimbawa, sa martsa ng isang kumpanya ng mga sundalo, o sa pagpasa ng isang tren sa iba't ibang bilis), kung paano malalampasan ng eroplano ang sound barrier, kung ito ay babagsak sa flutter - ito ay karaniwang mga halimbawa ng isang direktang gawain. Ang pagtatakda ng tamang direktang problema (pagtatanong ng tamang tanong) ay nangangailangan ng espesyal na kasanayan. Kung ang mga tamang tanong ay hindi itatanong, ang tulay ay maaaring gumuho, kahit na ang isang magandang modelo ay binuo para sa pag-uugali nito. Kaya, noong 1879, ang isang metal na tulay sa kabila ng River Tey ay gumuho sa Great Britain, ang mga taga-disenyo kung saan nagtayo ng isang modelo ng tulay, kinakalkula ito para sa isang 20-tiklop na margin ng kaligtasan para sa kargamento, ngunit nakalimutan ang tungkol sa mga hangin na patuloy na umiihip sa mga lugar na iyon. . At pagkatapos ng isang taon at kalahati ay bumagsak ito.

Sa pinakasimpleng kaso (isang oscillator equation, halimbawa), ang direktang problema ay napaka-simple at bumababa sa isang tahasang solusyon ng equation na ito.

Baliktad na problema: maraming posibleng mga modelo ay kilala, ito ay kinakailangan upang pumili ng isang tiyak na modelo batay sa karagdagang data tungkol sa bagay. Kadalasan, ang istraktura ng modelo ay kilala at ang ilang hindi kilalang mga parameter ay kailangang matukoy. Ang karagdagang impormasyon ay maaaring binubuo ng karagdagang empirical na data, o sa mga kinakailangan para sa bagay ( gawain sa disenyo). Maaaring dumating ang karagdagang data anuman ang proseso ng paglutas ng kabaligtaran na problema ( pasibong pagmamasid) o maging resulta ng isang eksperimento na espesyal na binalak sa panahon ng solusyon ( aktibong pagsubaybay).

Ang isa pang halimbawa ay ang mga istatistika ng matematika. Ang gawain ng agham na ito ay ang pagbuo ng mga pamamaraan para sa pagtatala, paglalarawan at pagsusuri ng obserbasyonal at pang-eksperimentong data upang makabuo ng mga probabilistikong modelo ng mass random phenomena. Yung. ang hanay ng mga posibleng modelo ay nililimitahan ng mga probabilistikong modelo. Sa mga partikular na problema, ang hanay ng mga modelo ay mas limitado.

Mga sistema ng simulation ng computer

Upang suportahan ang mathematical modeling, binuo ang mga computer mathematics system, halimbawa, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, atbp. Nagbibigay-daan sa iyo ang mga ito na lumikha ng pormal at harangan ang mga modelo ng parehong simple at kumplikadong mga proseso at device at madaling baguhin ang mga parameter ng modelo habang kunwa. I-block ang mga Modelo ay kinakatawan ng mga bloke (madalas na graphical), ang hanay at koneksyon nito ay tinukoy ng diagram ng modelo.

Karagdagang mga halimbawa

Modelo ng Malthus

Ang rate ng paglago ay proporsyonal sa kasalukuyang laki ng populasyon. Inilalarawan ito ng differential equation

kung saan ang isang tiyak na parameter ay tinutukoy ng pagkakaiba sa pagitan ng rate ng kapanganakan at rate ng pagkamatay. Ang solusyon sa equation na ito ay isang exponential function. Kung ang rate ng kapanganakan ay lumampas sa rate ng pagkamatay (), ang laki ng populasyon ay tumataas nang walang katiyakan at napakabilis. Malinaw na sa katotohanan ay hindi ito maaaring mangyari dahil sa limitadong mapagkukunan. Kapag naabot ang isang partikular na kritikal na laki ng populasyon, ang modelo ay titigil na maging sapat, dahil hindi nito isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan. Ang isang refinement ng modelong Malthus ay maaaring ang logistic model, na inilalarawan ng Verhulst differential equation.

kung saan ang laki ng populasyon ng "equilibrium", kung saan ang rate ng kapanganakan ay eksaktong binabayaran ng rate ng pagkamatay. Ang laki ng populasyon sa naturang modelo ay may kaugaliang equilibrium value , at ang gawi na ito ay structurally stable.

sistema ng predator-prey

Sabihin nating dalawang uri ng hayop ang nakatira sa isang partikular na lugar: kuneho (kumakain ng mga halaman) at fox (kumakain ng mga kuneho). Hayaan ang bilang ng mga kuneho, ang bilang ng mga fox. Gamit ang modelo ng Malthus na may mga kinakailangang pagwawasto, na isinasaalang-alang ang pagkain ng mga kuneho ng mga fox, nakarating kami sa sumusunod na sistema, na nagtataglay ng pangalan mga modelo ng tray - Volterra:

Ang sistemang ito ay may equilibrium state kung saan pare-pareho ang bilang ng mga kuneho at fox. Ang paglihis mula sa estadong ito ay humahantong sa mga pagbabago sa bilang ng mga kuneho at mga fox, katulad ng mga pagbabago sa harmonic oscillator. Tulad ng kaso ng harmonic oscillator, ang pag-uugali na ito ay hindi matatag sa istruktura: ang isang maliit na pagbabago sa modelo (halimbawa, isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan na kailangan ng mga kuneho) ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa husay sa pag-uugali. Halimbawa, ang estado ng ekwilibriyo ay maaaring maging matatag, at ang pagbabagu-bago ng populasyon ay mawawala. Posible rin ang kabaligtaran na sitwasyon, kapag ang anumang maliit na paglihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo ay hahantong sa mga sakuna na kahihinatnan, hanggang sa kumpletong pagkalipol ng isa sa mga species. Sa tanong kung alin sa mga sitwasyong ito ang natanto, ang modelo ng Volterra-Lotka ay hindi nagbibigay ng sagot: kinakailangan ang karagdagang pananaliksik dito.

Mga Tala

"Isang mathematical na representasyon ng katotohanan" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., Sa mga pilosopikal na tanong ng cybernetic modeling. M., Kaalaman, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng Sistema: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Pagmomodelo sa matematika. Mga ideya. Paraan. Mga halimbawa. - 2nd ed., naitama. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Pagmomodelo ng mga teknolohikal na proseso: aklat-aralin / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. - M .: Madali at industriya ng pagkain, 1984. - 344 p.
Wiktionary: mga modelo ng matematika
CliffsNotes.com. Glossary ng Earth Science. 20 Set 2010
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
"Ang isang teorya ay itinuturing na linear o non-linear, depende sa kung ano - linear o non-linear - mathematical apparatus, ano - linear o non-linear - mathematical models na ginagamit nito. ... nang hindi tinatanggihan ang huli. Ang isang modernong physicist, kung sakaling muling tukuyin niya ang isang mahalagang entity bilang non-linearity, ay malamang na kumilos nang iba, at, mas pinipili ang non-linearity bilang mas mahalaga at karaniwan sa dalawang magkasalungat, ay tutukuyin ang linearity bilang "non-non- linearity”. Danilov Yu. A., Mga lektura sa nonlinear dynamics. Panimula sa elementarya. Synergetics: mula sa nakaraan hanggang sa hinaharap na serye. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
"Ang mga dynamic na sistema na namodelo ng isang may hangganang bilang ng mga ordinaryong differential equation ay tinatawag na lumped o point system. Inilalarawan ang mga ito gamit ang isang may hangganang dimensyon na puwang ng bahagi at nailalarawan sa pamamagitan ng isang may hangganang bilang ng mga antas ng kalayaan. Ang parehong sistema sa iba't ibang kondisyon maaaring ituring na puro o distributed. Ang mga modelo ng matematika ng mga distributed system ay differential equation sa mga partial derivatives, integral equation o ordinaryong equation na may retarded argument. Ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng isang distributed system ay walang hanggan, at isang walang katapusang bilang ng data ang kinakailangan upang matukoy ang estado nito. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, No. 11, p. 77-84.
"Depende sa likas na katangian ng mga pinag-aralan na proseso sa system S, lahat ng uri ng pagmomodelo ay maaaring hatiin sa deterministic at stochastic, static at dynamic, discrete, tuloy-tuloy at discrete-continuous. Ang deterministic modeling ay nagpapakita ng mga deterministikong proseso, iyon ay, mga proseso kung saan ang kawalan ng anumang random na impluwensya ay ipinapalagay; Ang stochastic modeling ay nagpapakita ng mga probabilistikong proseso at kaganapan. … Ginagamit ang static na pagmomodelo upang ilarawan ang pag-uugali ng isang bagay sa anumang punto ng oras, at dynamic na simulation sumasalamin sa pag-uugali ng isang bagay sa paglipas ng panahon. Ang discrete modeling ay nagsisilbing ilarawan ang mga prosesong ipinapalagay na discrete, ayon sa pagkakabanggit, ang tuloy-tuloy na pagmomodelo ay nagbibigay-daan sa iyo na ipakita ang mga tuluy-tuloy na proseso sa mga system, at ang discrete-continuous modeling ay ginagamit para sa mga kaso kung saan gusto mong i-highlight ang pagkakaroon ng parehong discrete at tuloy-tuloy na mga proseso. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Karaniwan, ang modelong matematikal ay sumasalamin sa istruktura (aparato) ng bagay na ginagaya, ang mga katangian at pagkakaugnay ng mga bahagi ng bagay na ito na mahalaga para sa mga layunin ng pag-aaral; ang ganitong modelo ay tinatawag na istruktura. Kung ang modelo ay sumasalamin lamang kung paano gumagana ang bagay - halimbawa, kung paano ito tumutugon sa mga panlabas na impluwensya - kung gayon ito ay tinatawag na functional o, sa makasagisag na paraan, isang itim na kahon. Posible rin ang mga pinagsamang modelo. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
“Obvious pero importante Unang yugto ang pagbuo o pagpili ng modelong matematikal ay nagiging mas malinaw hangga't maaari tungkol sa bagay na ginagaya at nililinaw ang modelo ng nilalaman nito batay sa mga impormal na talakayan. Ang oras at pagsisikap ay hindi dapat ilaan sa yugtong ito; ang tagumpay ng buong pag-aaral ay higit na nakasalalay dito. Higit sa isang beses nangyari na ang malaking trabaho na ginugol sa paglutas ng isang problema sa matematika ay naging hindi epektibo o kahit na nasayang dahil sa hindi sapat na atensyon sa bahaging ito ng bagay. Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
« Paglalarawan ng konseptwal na modelo ng system. Sa sub-stage na ito ng pagbuo ng system model: a) ang konseptwal na modelo M ay inilalarawan sa abstract na mga termino at konsepto; b) ang isang paglalarawan ng modelo ay ibinigay gamit ang mga tipikal na mathematical scheme; c) ang mga hypotheses at pagpapalagay ay sa wakas ay tinatanggap; d) ang pagpili ng isang pamamaraan para sa pagtatantya ng mga tunay na proseso kapag ang pagbuo ng isang modelo ay napatunayan. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng Sistema: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Applied Mathematics: Paksa, lohika, mga tampok ng mga diskarte. Sa mga halimbawa mula sa mekanika: Pagtuturo. - 3rd ed., Rev. at karagdagang - M.: URSS, 2006. - 376 p. ISBN 5-484-00163-3, Kabanata 2.