Nagtutulungan ba ang system. Mga sistema ng linear equation

Ang mga sistema ng mga equation ay malawakang ginagamit sa industriya ng ekonomiya na may pagmomolde ng matematika iba't ibang proseso. Halimbawa, kapag nilulutas ang mga problema sa pamamahala at pagpaplano ng produksyon, mga ruta ng logistik (problema sa transportasyon) o paglalagay ng kagamitan.

Ang mga sistema ng equation ay ginagamit hindi lamang sa larangan ng matematika, kundi pati na rin sa pisika, kimika at biology, kapag nilulutas ang mga problema sa paghahanap ng laki ng populasyon.

sistema linear na equation pangalanan ang dalawa o higit pang mga equation na may ilang mga variable kung saan ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang karaniwang solusyon. Ang ganitong pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang lahat ng mga equation ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay o nagpapatunay na ang pagkakasunod-sunod ay hindi umiiral.

Linear Equation

Ang mga equation ng anyong ax+by=c ay tinatawag na linear. Ang mga pagtatalaga ng x, y ay ang mga hindi alam, ang halaga nito ay dapat matagpuan, b, a ay ang mga coefficient ng mga variable, c ay ang libreng termino ng equation.
Ang paglutas ng equation sa pamamagitan ng paglalagay ng graph nito ay magmumukhang isang tuwid na linya, ang lahat ng mga punto ay ang solusyon ng polynomial.

Mga uri ng mga sistema ng mga linear na equation

Ang pinakasimple ay mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable na X at Y.

F1(x, y) = 0 at F2(x, y) = 0, kung saan F1,2 ay function at (x, y) ay function variable.

Lutasin ang isang sistema ng mga equation - nangangahulugan ito ng paghahanap ng mga ganoong halaga (x, y) kung saan ang sistema ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay, o upang maitaguyod na walang angkop na mga halaga ng x at y.

Ang isang pares ng mga halaga (x, y), na isinulat bilang mga coordinate ng punto, ay tinatawag na solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation.

Kung ang mga sistema ay may isang karaniwang solusyon o walang solusyon, ang mga ito ay tinatawag na katumbas.

Ang mga homogenous na sistema ng mga linear na equation ay mga sistema kanang bahagi na katumbas ng zero. Kung ang tamang bahagi pagkatapos ng "pantay" na tanda ay may halaga o ipinahayag ng isang function, ang naturang sistema ay hindi homogenous.

Ang bilang ng mga variable ay maaaring higit sa dalawa, pagkatapos ay dapat nating pag-usapan ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear equation na may tatlong variable o higit pa.

Nahaharap sa mga sistema, ipinapalagay ng mga mag-aaral na ang bilang ng mga equation ay dapat na nag-tutugma sa bilang ng mga hindi alam, ngunit hindi ito ganoon. Ang bilang ng mga equation sa system ay hindi nakasalalay sa mga variable, maaaring mayroong isang di-makatwirang malaking bilang ng mga ito.

Simple at kumplikadong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation

Walang pangkalahatang analytical na paraan upang malutas ang mga naturang sistema, ang lahat ng mga pamamaraan ay batay sa mga solusyon sa numero. Ang kurso sa matematika ng paaralan ay naglalarawan nang detalyado tulad ng mga pamamaraan tulad ng permutation, algebraic addition, substitution, pati na rin ang graphical at pamamaraan ng matrix, solusyon sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss.

Ang pangunahing gawain sa pagtuturo ng mga pamamaraan ng paglutas ay ang magturo kung paano wastong pag-aralan ang system at hanapin ang pinakamainam na algorithm ng solusyon para sa bawat halimbawa. Ang pangunahing bagay ay hindi kabisaduhin ang isang sistema ng mga patakaran at aksyon para sa bawat pamamaraan, ngunit upang maunawaan ang mga prinsipyo ng paglalapat ng isang partikular na pamamaraan.

Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation ng ika-7 baitang ng pangkalahatang programa sa paaralan ng edukasyon ay medyo simple at ipinaliwanag nang detalyado. Sa anumang aklat-aralin sa matematika, ang bahaging ito ay binibigyan ng sapat na atensyon. Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng Gauss at Cramer ay pinag-aralan nang mas detalyado sa mga unang kurso ng mas mataas na institusyong pang-edukasyon.

Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

Ang mga aksyon ng paraan ng pagpapalit ay naglalayong ipahayag ang halaga ng isang variable hanggang sa pangalawa. Ang expression ay pinapalitan sa natitirang equation, pagkatapos ito ay nabawasan sa isang solong variable na anyo. Ang aksyon ay paulit-ulit depende sa bilang ng mga hindi alam sa system

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation ng ika-7 klase sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang variable na x ay ipinahayag sa pamamagitan ng F(X) = 7 + Y. Ang resultang expression, na pinalitan sa 2nd equation ng system sa halip ng X, ay nakatulong upang makakuha ng isang variable Y sa 2nd equation. . Ang solusyon ng halimbawang ito ay hindi nagdudulot ng mga paghihirap at nagbibigay-daan sa iyong makuha ang halaga ng Y. Ang huling hakbang ay suriin ang mga nakuhang halaga.

Hindi laging posible na lutasin ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagpapalit. Ang mga equation ay maaaring kumplikado at ang pagpapahayag ng variable sa mga tuntunin ng pangalawang hindi alam ay magiging napakahirap para sa karagdagang mga kalkulasyon. Kapag mayroong higit sa 3 hindi alam sa system, ang solusyon sa pagpapalit ay hindi rin praktikal.

Solusyon ng isang halimbawa ng isang sistema ng linear inhomogeneous equation:

Solusyon gamit ang algebraic na karagdagan

Kapag naghahanap ng solusyon sa mga system sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag, ang termino-by-term na pagdaragdag at pagpaparami ng mga equation sa pamamagitan ng iba't ibang mga numero ay isinasagawa. pangwakas na layunin mga operasyong matematikal ay isang equation na may isang variable.

Ang mga aplikasyon ng paraang ito ay nangangailangan ng pagsasanay at pagmamasid. Hindi madaling lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagdaragdag na may bilang ng mga variable na 3 o higit pa. Ang algebraic na karagdagan ay kapaki-pakinabang kapag ang mga equation ay naglalaman ng mga fraction at decimal na numero.

Algoritmo ng pagkilos ng solusyon:

1. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa ilang numero. Ang resulta operasyon ng aritmetika ang isa sa mga coefficient ng variable ay dapat maging katumbas ng 1.
2. Idagdag ang nagresultang termino ng expression ayon sa termino at hanapin ang isa sa mga hindi alam.
3. I-substitute ang resultang value sa 2nd equation ng system para mahanap ang natitirang variable.

Paraan ng solusyon sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable

Ang isang bagong variable ay maaaring ipakilala kung ang sistema ay kailangang makahanap ng solusyon para sa hindi hihigit sa dalawang equation, ang bilang ng mga hindi alam ay dapat ding hindi hihigit sa dalawa.

Ang pamamaraan ay ginagamit upang gawing simple ang isa sa mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable. Ang bagong equation ay nalutas na may kinalaman sa ipinasok na hindi alam, at ang resultang halaga ay ginagamit upang matukoy ang orihinal na variable.

Makikita mula sa halimbawa na sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable t, posible na bawasan ang 1st equation ng system sa isang standard square trinomial. Maaari mong lutasin ang isang polynomial sa pamamagitan ng paghahanap ng discriminant.

Kinakailangang hanapin ang halaga ng discriminant gamit ang kilalang formula: D = b2 - 4*a*c, kung saan ang D ay ang nais na discriminant, b, a, c ang mga multiplier ng polynomial. Sa ibinigay na halimbawa, a=1, b=16, c=39, kaya D=100. Kung mas malaki sa zero ang discriminant, may dalawang solusyon: t = -b±√D / 2*a, kung mas mababa sa zero ang discriminant, may isang solusyon lang: x= -b / 2*a.

Ang solusyon para sa mga nagresultang sistema ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.

Isang visual na paraan para sa paglutas ng mga sistema

Angkop para sa mga system na may 3 equation. Ang pamamaraan ay binubuo sa paglalagay ng mga graph ng bawat equation na kasama sa system sa coordinate axis. Ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga curves at magiging karaniwang solusyon mga sistema.

Ang graphic na pamamaraan ay may isang bilang ng mga nuances. Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa isang visual na paraan.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, dalawang puntos ang itinayo para sa bawat linya, ang mga halaga ng variable na x ay pinili nang arbitraryo: 0 at 3. Batay sa mga halaga ng x, ang mga halaga para sa y ay natagpuan: 3 at 0. Ang mga puntos na may mga coordinate (0, 3) at (3, 0) ay minarkahan sa graph at ikinonekta ng isang linya.

Ang mga hakbang ay dapat na ulitin para sa pangalawang equation. Ang punto ng intersection ng mga linya ay ang solusyon ng system.

Sa sumusunod na halimbawa, kinakailangan na makahanap ng isang graphical na solusyon sa sistema ng mga linear na equation: 0.5x-y+2=0 at 0.5x-y-1=0.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang sistema ay walang solusyon, dahil ang mga graph ay parallel at hindi nagsalubong sa kanilang buong haba.

Ang mga sistema mula sa Mga Halimbawa 2 at 3 ay magkatulad, ngunit kapag binuo, nagiging malinaw na ang kanilang mga solusyon ay magkaiba. Dapat tandaan na hindi laging posible na sabihin kung ang sistema ay may solusyon o wala, palaging kinakailangan na bumuo ng isang graph.

Matrix at mga varieties nito

Ginagamit ang mga matrice para sa pagdadaglat sistema ng mga linear na equation. Ang matrix ay isang espesyal na uri ng talahanayan na puno ng mga numero. Ang n*m ay may n - row at m - column.

Ang matrix ay parisukat kapag ang bilang ng mga column at row ay pantay. Ang matrix-vector ay isang single-column matrix na may walang katapusang posibleng bilang ng mga row. Ang isang matrix na may mga yunit kasama ang isa sa mga diagonal at iba pang mga zero na elemento ay tinatawag na pagkakakilanlan.

Ang isang kabaligtaran na matrix ay tulad ng isang matrix, kapag pinarami kung saan ang orihinal ay nagiging isang yunit, ang gayong matrix ay umiiral lamang para sa orihinal na parisukat.

Mga panuntunan para sa pagbabago ng isang sistema ng mga equation sa isang matrix

Tungkol sa mga sistema ng mga equation, ang mga coefficient at libreng mga miyembro ng mga equation ay nakasulat bilang mga numero ng matrix, isang equation ay isang hilera ng matrix.

Ang isang matrix row ay tinatawag na non-zero kung hindi bababa sa isang elemento ng row ay hindi katumbas ng zero. Samakatuwid, kung sa alinman sa mga equation ang bilang ng mga variable ay naiiba, pagkatapos ay kinakailangan na magpasok ng zero sa lugar ng nawawalang hindi alam.

Ang mga column ng matrix ay dapat na mahigpit na tumutugma sa mga variable. Nangangahulugan ito na ang mga coefficient ng variable x ay maaari lamang isulat sa isang column, halimbawa ang una, ang coefficient ng hindi kilalang y - sa pangalawa lamang.

Kapag nagpaparami ng isang matrix, ang lahat ng mga elemento ng matrix ay sunud-sunod na pinarami ng isang numero.

Mga opsyon para sa paghahanap ng inverse matrix

Ang formula para sa paghahanap ng inverse matrix ay medyo simple: K -1 = 1 / |K|, kung saan ang K -1 ay ang inverse matrix at |K| - determinant ng matrix. |K| hindi dapat katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay may solusyon.

Ang determinant ay madaling kalkulahin para sa isang two-by-two matrix, kinakailangan lamang na i-multiply ang mga elemento nang pahilis sa bawat isa. Para sa opsyong "three by three", mayroong formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Maaari mong gamitin ang formula, o maaari mong tandaan na kailangan mong kumuha ng isang elemento mula sa bawat row at bawat column upang ang mga numero ng column at row ng mga elemento ay hindi na maulit sa produkto.

Solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng matrix method

Ginagawang posible ng matrix na paraan ng paghahanap ng solusyon na bawasan ang masalimuot na mga notasyon kapag nilulutas ang mga system gamit ang malaking dami mga variable at equation.

Sa halimbawa, ang isang nm ay ang mga coefficient ng mga equation, ang matrix ay isang vector x n ang mga variable, at ang b n ay ang mga libreng termino.

Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss

Sa mas mataas na matematika, ang Gauss method ay pinag-aaralan kasama ng Cramer method, at ang proseso ng paghahanap ng solusyon sa mga system ay tinatawag na Gauss-Cramer method of solving. Ang mga pamamaraang ito ay ginagamit upang mahanap mga variable ng system na may maraming linear equation.

Ang pamamaraang Gaussian ay halos kapareho sa mga solusyon sa pagpapalit at algebraic na karagdagan, ngunit mas sistematiko. Sa kurso ng paaralan, ang solusyong Gaussian ay ginagamit para sa mga sistema ng 3 at 4 na equation. Ang layunin ng pamamaraan ay upang dalhin ang sistema sa anyo ng isang baligtad na trapezoid. Sa pamamagitan ng algebraic transformations at substitutions, ang halaga ng isang variable ay matatagpuan sa isa sa mga equation ng system. Ang pangalawang equation ay isang expression na may 2 hindi alam, at 3 at 4 - na may 3 at 4 na variable, ayon sa pagkakabanggit.

Pagkatapos dalhin ang system sa inilarawang anyo, ang karagdagang solusyon ay ibinababa sa sunud-sunod na pagpapalit ng mga kilalang variable sa mga equation ng system.

Sa mga aklat-aralin sa paaralan para sa ika-7 baitang, ang isang halimbawa ng solusyong Gaussian ay inilarawan bilang sumusunod:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, sa hakbang (3) dalawang equation ang nakuha 3x 3 -2x 4 =11 at 3x 3 +2x 4 =7. Ang solusyon ng alinman sa mga equation ay magbibigay-daan sa iyo upang malaman ang isa sa mga variable x n.

Ang Theorem 5, na binanggit sa teksto, ay nagsasaad na kung ang isa sa mga equation ng sistema ay papalitan ng katumbas, ang resultang sistema ay magiging katumbas din ng orihinal.

Ang pamamaraang Gauss ay mahirap maunawaan ng mga mag-aaral mataas na paaralan, ngunit isa sa mga pinakakawili-wiling paraan upang mabuo ang katalinuhan ng mga batang naka-enroll sa isang advanced na programa sa pag-aaral sa mga klase sa matematika at pisika.

Para sa kadalian ng pag-record ng mga kalkulasyon, kaugalian na gawin ang mga sumusunod:

Ang mga equation coefficient at libreng termino ay nakasulat sa anyo ng isang matrix, kung saan ang bawat hilera ng matrix ay tumutugma sa isa sa mga equation ng system. naghihiwalay sa kaliwang bahagi ng equation mula sa kanang bahagi. Ang mga numerong Romano ay tumutukoy sa mga bilang ng mga equation sa sistema.

Una, isinulat nila ang matrix kung saan gagana, pagkatapos ay ang lahat ng mga aksyon na isinasagawa sa isa sa mga hilera. Ang resultang matrix ay isinulat pagkatapos ng "arrow" sign at patuloy na isagawa ang kinakailangan algebraic na aksyon hanggang sa makamit ang resulta.

Bilang isang resulta, ang isang matrix ay dapat makuha kung saan ang isa sa mga diagonal ay 1, at lahat ng iba pang mga coefficient ay katumbas ng zero, iyon ay, ang matrix ay nabawasan sa isang solong anyo. Hindi natin dapat kalimutang gumawa ng mga kalkulasyon sa mga numero ng magkabilang panig ng equation.

Ang notasyong ito ay hindi gaanong masalimuot at nagbibigay-daan sa iyo na huwag magambala sa pamamagitan ng paglilista ng maraming hindi alam.

Ang libreng aplikasyon ng anumang paraan ng solusyon ay mangangailangan ng pangangalaga at isang tiyak na dami ng karanasan. Hindi lahat ng pamamaraan ay inilalapat. Ang ilang mga paraan ng paghahanap ng mga solusyon ay mas kanais-nais sa isang partikular na lugar ng aktibidad ng tao, habang ang iba ay umiiral para sa layunin ng pag-aaral.

Upang siyasatin ang isang sistema ng linear agebraic equation (SLAE) para sa compatibility ay nangangahulugan na malaman kung ang sistemang ito ay may mga solusyon o wala. Well, kung may mga solusyon, pagkatapos ay ipahiwatig kung gaano karami sa kanila.

Kakailanganin namin ang impormasyon mula sa paksang "System of linear algebraic equation. Basic terms. Matrix notation". Sa partikular, ang mga konsepto tulad ng matrix ng system at ang pinalawig na matrix ng system ay kinakailangan, dahil ang pagbabalangkas ng Kronecker-Capelli theorem ay batay sa kanila. Gaya ng dati, ang matrix ng system ay ilalarawan ng letrang $A$, at ang extended na matrix ng system sa pamamagitan ng letrang $\widetilde(A)$.

Kronecker-Capelli theorem

Linear na sistema algebraic equation ay pare-pareho kung at kung ang ranggo ng system matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix ng system, i.e. $\ranggo A=\rang\widetilde(A)$.

Ipaalala ko sa iyo na ang isang sistema ay tinatawag na joint kung mayroon itong kahit isang solusyon. Ang Kronecker-Capelli theorem ay nagsasabi nito: kung $\rang A=\rang\widetilde(A)$, kung gayon mayroong solusyon; kung $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, ang SLAE na ito ay walang mga solusyon (ay hindi pare-pareho). Ang sagot sa tanong tungkol sa bilang ng mga solusyong ito ay ibinibigay ng isang corollary ng Kronecker-Capelli theorem. Ang pahayag ng corollary ay gumagamit ng titik $n$, na katumbas ng bilang ng mga variable sa ibinigay na SLAE.

Corollary mula sa Kronecker-Capelli theorem

1. Kung $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, kung gayon ang SLAE ay hindi pare-pareho (walang mga solusyon).
2. Kung $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Kung $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, kung gayon ang SLAE ay tiyak (ito ay may eksaktong isang solusyon).

Tandaan na ang formulated theorem at ang corollary nito ay hindi nagpapahiwatig kung paano hanapin ang solusyon sa SLAE. Sa tulong nila, malalaman mo lang kung mayroon o wala ang mga solusyong ito, at kung mayroon sila, ilan.

Halimbawa #1

I-explore ang SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ para sa consistency Kung pare-pareho ang SLAE, ipahiwatig ang bilang ng mga solusyon.

Upang malaman ang pagkakaroon ng mga solusyon sa isang ibinigay na SLAE, ginagamit namin ang Kronecker-Capelli theorem. Kailangan namin ang matrix ng system na $A$ at ang extended na matrix ng system na $\widetilde(A)$, isusulat namin ang mga ito:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(array)\kanan). $$

Kailangan nating hanapin ang $\rang A$ at $\rang\widetilde(A)$. Mayroong maraming mga paraan upang gawin ito, ang ilan ay nakalista sa seksyon ng Matrix Rank. Karaniwan, dalawang pamamaraan ang ginagamit upang pag-aralan ang mga naturang sistema: "Pagkalkula ng ranggo ng isang matrix sa pamamagitan ng kahulugan" o "Pagkalkula ng ranggo ng isang matrix sa pamamagitan ng paraan ng mga pagbabagong elementarya".

Paraan numero 1. Pagkalkula ng mga ranggo sa pamamagitan ng kahulugan.

Ayon sa kahulugan, ang ranggo ay ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga menor de edad ng matrix , kung saan mayroong hindi bababa sa isa maliban sa zero. Karaniwan, ang pag-aaral ay nagsisimula sa mga menor de edad na nasa unang pagkakasunud-sunod, ngunit narito ito ay mas maginhawa upang magpatuloy kaagad sa pagkalkula ng ikatlong-order na menor ng matrix na $A$. Ang mga elemento ng third-order minor ay nasa intersection ng tatlong row at tatlong column ng matrix na isinasaalang-alang. Dahil ang matrix $A$ ay naglalaman lamang ng 3 row at 3 column, ang third order minor ng matrix na $A$ ay ang determinant ng matrix na $A$, i.e. $\DeltaA$. Upang kalkulahin ang determinant, inilalapat namin ang formula No. 2 mula sa paksang "Mga formula para sa pagkalkula ng mga determinant ng pangalawa at pangatlong order":

$$ \Delta A=\kaliwa| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Kaya, mayroong isang third-order minor ng matrix na $A$, na hindi katumbas ng zero. Hindi maaaring buuin ang 4th-order minor, dahil nangangailangan ito ng 4 na row at 4 na column, at ang matrix na $A$ ay may 3 row at 3 column lang. Kaya, ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga menor de edad ng matrix na $A$, kung saan mayroong hindi bababa sa isang hindi sero, ay katumbas ng 3. Samakatuwid, $\rang A=3$.

Kailangan din nating hanapin ang $\rang\widetilde(A)$. Tingnan natin ang istraktura ng $\widetilde(A)$ matrix. Hanggang sa linya sa matrix $\widetilde(A)$ mayroong mga elemento ng matrix na $A$, at nalaman namin na $\Delta A\neq 0$. Samakatuwid, ang matrix na $\widetilde(A)$ ay may third-order minor na hindi katumbas ng zero. Hindi kami makakabuo ng mga pang-apat na ayos na menor de edad ng matrix na $\widetilde(A)$, kaya nagtatapos kami: $\rang\widetilde(A)=3$.

Dahil $\rang A=\rang\widetilde(A)$, ayon sa Kronecker-Capelli theorem, pare-pareho ang sistema, i.e. ay may solusyon (kahit isa). Upang ipahiwatig ang bilang ng mga solusyon, isinasaalang-alang namin na ang aming SLAE ay naglalaman ng 3 hindi alam: $x_1$, $x_2$ at $x_3$. Dahil ang bilang ng mga hindi alam ay $n=3$, napagpasyahan namin: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, samakatuwid, ayon sa corollary ng Kronecker-Capelli theorem, ang sistema ay tiyak, i.e. ay may natatanging solusyon.

Nalutas ang problema. Ano ang mga disadvantages at advantages ng sa ganitong paraan? Una, pag-usapan natin ang tungkol sa mga kalamangan. Una, kailangan naming makahanap ng isang determinant lamang. Pagkatapos nito, agad kaming gumawa ng konklusyon tungkol sa bilang ng mga solusyon. Karaniwan, sa karaniwang karaniwang mga kalkulasyon, ang mga sistema ng mga equation ay ibinibigay na naglalaman ng tatlong hindi alam at may isang solong solusyon. Para sa mga ganitong sistema ang pamamaraang ito napaka-maginhawa, dahil alam namin nang maaga na mayroong isang solusyon (kung hindi, walang halimbawa sa isang tipikal na pagkalkula). Yung. ito ay nananatili lamang para sa amin upang ipakita na mayroong isang solusyon sa karamihan mabilis na paraan. Pangalawa, ang kinakalkula na halaga ng determinant ng system matrix (i.e. $\Delta A$) ay magiging kapaki-pakinabang mamaya: kapag sinimulan nating lutasin ang ibinigay na system gamit ang Cramer method o gamit ang inverse matrix .

Gayunpaman, ayon sa kahulugan, ang paraan ng pagkalkula ng ranggo ay hindi kanais-nais kung ang system matrix $A$ ay parihaba. Sa kasong ito, mas mahusay na ilapat ang pangalawang paraan, na tatalakayin sa ibaba. Bukod pa rito, kung $\Delta A=0$, hindi namin masasabi ang anumang bagay tungkol sa bilang ng mga solusyon para sa isang ibinigay na hindi magkakatulad na SLAE. Marahil ang SLAE ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, o maaaring wala. Kung $\Delta A=0$, kailangan ng karagdagang pananaliksik, na kadalasang nakakapagod.

Sa pagbubuod ng sinabi, tandaan ko na ang unang paraan ay mabuti para sa mga SLAE na ang system matrix ay parisukat. Kasabay nito, ang SLAE mismo ay naglalaman ng tatlo o apat na hindi alam at kinuha mula sa mga karaniwang karaniwang kalkulasyon o mga gawaing pangkontrol.

Paraan numero 2. Pagkalkula ng ranggo sa pamamagitan ng paraan ng mga pagbabagong elementarya.

Ang pamamaraang ito ay inilarawan nang detalyado sa kaukulang paksa. Kakalkulahin namin ang ranggo ng matrix $\widetilde(A)$. Bakit ang mga matrice ay $\widetilde(A)$ at hindi $A$? Ang punto ay ang matrix na $A$ ay bahagi ng matrix $\widetilde(A)$, kaya sa pamamagitan ng pagkalkula ng ranggo ng matrix $\widetilde(A)$ ay sabay-sabay nating makikita ang ranggo ng matrix na $A$ .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(magpalit ng una at pangalawang linya)\kanan| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(aligned)

Binawasan namin ang matrix na $\widetilde(A)$ sa isang trapezoidal form . Sa pangunahing dayagonal ng resultang matrix $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ ay naglalaman ng tatlong di-zero na elemento: -1, 3 at -7. Konklusyon: ang ranggo ng matrix $\widetilde(A)$ ay 3, i.e. $\rank\widetilde(A)=3$. Sa paggawa ng mga pagbabago sa mga elemento ng matrix $\widetilde(A)$, sabay-sabay naming binago ang mga elemento ng matrix na $A$ na matatagpuan bago ang linya. Ang matrix na $A$ ay trapezoidal din: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right ) $. Konklusyon: ang ranggo ng matrix na $A$ ay katumbas din ng 3, i.e. $\ranggo A=3$.

Dahil $\rang A=\rang\widetilde(A)$, ayon sa Kronecker-Capelli theorem, pare-pareho ang sistema, i.e. may solusyon. Upang ipahiwatig ang bilang ng mga solusyon, isinasaalang-alang namin na ang aming SLAE ay naglalaman ng 3 hindi alam: $x_1$, $x_2$ at $x_3$. Dahil ang bilang ng mga hindi alam ay $n=3$, napagpasyahan namin: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, samakatuwid, ayon sa corollary ng Kronecker-Capelli theorem, ang sistema ay tinukoy, i.e. ay may natatanging solusyon.

Ano ang mga pakinabang ng pangalawang pamamaraan? Ang pangunahing bentahe nito ay ang kakayahang magamit. Hindi mahalaga sa amin kung ang matrix ng system ay parisukat o hindi. Bilang karagdagan, aktwal na nagsagawa kami ng mga pagbabago sa paraan ng Gauss pasulong. Ilang hakbang na lang ang natitira, at makukuha natin ang solusyon ng SLAE na ito. Upang maging matapat, mas gusto ko ang pangalawang paraan kaysa sa una, ngunit ang pagpili ay isang bagay ng panlasa.

Sagot: Ang ibinigay na SLAE ay pare-pareho at tinukoy.

Halimbawa #2

Galugarin ang SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(aligned) \right.$ para sa consistency.

Hahanapin natin ang mga ranggo ng system matrix at ang extended matrix ng system sa pamamagitan ng paraan ng elementary transformations. Extended system matrix: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Hanapin natin ang mga kinakailangang ranggo sa pamamagitan ng pagbabago ng augmented matrix ng system:

Ang pinalawig na matrix ng system ay binabawasan sa isang stepped form. Kung ang matrix ay nabawasan sa isang stepped form, ang ranggo nito ay katumbas ng bilang ng mga non-zero row. Samakatuwid, $\ranggo A=3$. Ang matrix na $A$ (hanggang sa linya) ay binabawasan sa isang trapezoidal form at ang ranggo nito ay katumbas ng 2, $\rang A=2$.

Dahil $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, pagkatapos, ayon sa Kronecker-Capelli theorem, ang sistema ay hindi pare-pareho (ibig sabihin, walang mga solusyon).

Sagot: Ang sistema ay hindi pare-pareho.

Halimbawa #3

I-explore ang SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ para sa compatibility.

Ang extended system matrix ay: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array)\right)$. Pagpalitin ang una at ikalawang hanay ng matrix na ito upang ang unang elemento ng unang hilera ay isa: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

Binawasan namin ang pinahabang matrix ng system at ang matrix ng system mismo sa isang trapezoidal form. Ang ranggo ng pinalawig na matrix ng system ay katumbas ng tatlo, ang ranggo ng matrix ng system ay katumbas din ng tatlo. Dahil ang system ay naglalaman ng $n=5$ na hindi alam, ibig sabihin. $\rang\widetilde(A)=\ranggo A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Sagot: ang sistema ay walang katiyakan.

Sa pangalawang bahagi, susuriin namin ang mga halimbawa na madalas na kasama sa mga karaniwang kalkulasyon o pagsubok sa mas mataas na matematika: ang pag-aaral ng pagiging tugma at ang solusyon ng SLAE depende sa mga halaga ng mga parameter na kasama dito.

saan x* - isa sa mga solusyon ay hindi homogenous na sistema(2) (halimbawa (4)), (E−A + A) bumubuo sa kernel (zero space) ng matrix A.

Gumawa tayo ng skeletal decomposition ng matrix (E−A + A):

E−A + A=Q S

saan Q n×n−r- ranggo matrix (Q)=n−r, S n−r×n-ranggo matrix (S)=n−r.

Pagkatapos (13) ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

saan k=Sz.

Kaya, pangkalahatang pamamaraan ng solusyon Ang mga sistema ng linear equation gamit ang isang pseudoinverse matrix ay maaaring katawanin sa sumusunod na anyo:

1. Kalkulahin ang pseudoinverse matrix A + .
2. Kinakalkula namin ang isang partikular na solusyon ng inhomogeneous system ng mga linear equation (2): x*=A + b.
3. Sinusuri namin ang pagiging tugma ng system. Para dito kinakalkula namin AA + b. Kung ang AA + b≠b, kung gayon ang sistema ay hindi naaayon. Kung hindi, ipagpapatuloy namin ang pamamaraan.
4. vyssylyaem E−A+A.
5. Paggawa ng skeletal decomposition E−A + A=Q·S.
6. Pagbuo ng Solusyon

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

Paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation online

Pinapayagan ka ng online na calculator na mahanap ang pangkalahatang solusyon ng isang sistema ng mga linear equation na may mga detalyadong paliwanag.

Gamit ang mathematical program na ito, maaari mong lutasin ang isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang variable gamit ang substitution method at ang addition method.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit nangunguna rin detalyadong solusyon na may mga paliwanag ng mga hakbang sa solusyon sa dalawang paraan: ang paraan ng pagpapalit at ang paraan ng pagdaragdag.

Ang programang ito maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa kontrol sa trabaho at mga pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang upang kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin math o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.

Mga Panuntunan para sa Pagpasok ng Mga Equation

Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atbp.

Kapag nagpapasok ng mga equation maaari kang gumamit ng mga bracket. Sa kasong ito, ang mga equation ay unang pinasimple. Ang mga equation pagkatapos ng mga pagpapasimple ay dapat na linear, i.e. ng anyong ax+by+c=0 na may katumpakan ng pagkakasunud-sunod ng mga elemento.
Halimbawa: 6x+1 = 5(x+y)+2

Sa mga equation, maaari mong gamitin hindi lamang ang mga integer, kundi pati na rin ang mga fractional na numero sa anyo ng decimal at ordinaryong mga fraction.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Integer at fractional na bahagi decimal fractions maaaring paghiwalayin ng tuldok o kuwit.
Halimbawa: 2.1n + 3.5m = 55

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.
Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.
Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
buong bahagi pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &

Mga halimbawa.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Pamamaraan ng pagpapalit

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit:
1) ipahayag ang isang variable mula sa ilang equation ng system sa mga tuntunin ng isa pa;
2) palitan ang resultang expression sa isa pang equation ng system sa halip na ang variable na ito;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Ipahayag natin mula sa unang equation na y hanggang x: y = 7-3x. Ang pagpapalit ng expression na 7-3x sa halip na y sa pangalawang equation, nakuha namin ang system:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Madaling ipakita na ang una at pangalawang sistema ay may parehong mga solusyon. Sa pangalawang sistema, ang pangalawang equation ay naglalaman lamang ng isang variable. Lutasin natin ang equation na ito:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Ang pagpapalit ng numero 1 sa halip na x sa equation na y=7-3x, makikita natin ang katumbas na halaga ng y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pares (1;4) - solusyon ng system

Ang mga sistema ng mga equation sa dalawang variable na may parehong mga solusyon ay tinatawag katumbas. Ang mga system na walang mga solusyon ay itinuturing din na katumbas.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagdaragdag

Isaalang-alang ang isa pang paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation - ang paraan ng pagdaragdag. Kapag nilulutas ang mga sistema sa ganitong paraan, pati na rin kapag nilulutas sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit, pumasa tayo mula sa isang naibigay na sistema patungo sa isa pang sistemang katumbas nito, kung saan ang isa sa mga equation ay naglalaman lamang ng isang variable.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag:
1) i-multiply ang mga equation ng term ng system sa pamamagitan ng term, pagpili ng mga kadahilanan upang ang mga coefficient para sa isa sa mga variable ay maging kabaligtaran na mga numero;
2) magdagdag ng termino sa pamamagitan ng termino sa kaliwa at kanang bahagi ng mga equation ng system;
3) lutasin ang resultang equation na may isang variable;
4) hanapin ang katumbas na halaga ng pangalawang variable.

Halimbawa. Lutasin natin ang sistema ng mga equation:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Sa mga equation ng sistemang ito, ang mga coefficient ng y ay magkasalungat na numero. Pagdaragdag ng termino sa pamamagitan ng termino sa kaliwa at kanang bahagi ng mga equation, makakakuha tayo ng isang equation na may isang variable na 3x=33. Palitan natin ang isa sa mga equation ng system, halimbawa ang una, ng equation na 3x=33. Kunin natin ang sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Mula sa equation na 3x=33 nakita natin na x=11. Ang pagpapalit ng x value na ito sa equation \(x-3y=38 \) ay makakakuha tayo ng equation na may variable na y: \(11-3y=38 \). Lutasin natin ang equation na ito:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Kaya, natagpuan namin ang solusyon sa sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagdaragdag ng: \(x=11; y=-9 \) o \((11; -9) \)

Sinasamantala ang katotohanan na ang mga coefficient ng y sa mga equation ng system ay magkasalungat na mga numero, binawasan namin ang solusyon nito sa solusyon ng isang katumbas na sistema (sa pamamagitan ng pagbubuod ng parehong bahagi ng bawat isa sa mga equation ng orihinal na symmeme), kung saan ang isa ng mga equation ay naglalaman lamang ng isang variable.

Ang pamamaraang Gaussian ay may ilang mga disadvantages: imposibleng malaman kung ang sistema ay pare-pareho o hindi hanggang ang lahat ng mga pagbabagong kinakailangan sa pamamaraang Gaussian ay naisagawa; ang Gaussian method ay hindi angkop para sa mga system na may mga letter coefficient.

Isaalang-alang ang iba pang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ginagamit ng mga pamamaraang ito ang konsepto ng ranggo ng isang matrix at binabawasan ang solusyon ng anumang pinagsamang sistema sa solusyon ng isang sistema kung saan nalalapat ang panuntunan ni Cramer.

Halimbawa 1 Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng sumusunod na sistema ng mga linear na equation gamit ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng pinababang homogenous na sistema at isang partikular na solusyon ng inhomogeneous system.

1. Gumagawa kami ng matrix A at ang augmented matrix ng system (1)

2. Galugarin ang system (1) para sa compatibility. Upang gawin ito, nakita namin ang mga ranggo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Kung ito ay lumabas na , pagkatapos ay ang system (1) hindi magkatugma. Kung makuha natin iyon , kung gayon ang sistemang ito ay pare-pareho at malulutas namin ito. (Ang pagkakapare-pareho ng pag-aaral ay batay sa Kronecker-Capelli theorem).

a. Nahanap namin rA.

Hanapin rA, isasaalang-alang namin ang sunud-sunod na hindi zero na mga menor de edad ng una, pangalawa, atbp. na mga order ng matrix A at ang mga menor de edad na nakapaligid sa kanila.

M1=1≠0 (1 ay kinuha mula sa itaas na kaliwang sulok ng matrix PERO).

Bordering M1 ang pangalawang row at pangalawang column ng matrix na ito. . Nagpatuloy kami sa hangganan M1 ang pangalawang linya at ang pangatlong column..gif" width="37" height="20 src=">. Ngayon, border namin ang non-zero minor М2′ pangalawang utos.

Meron kami: (dahil ang unang dalawang column ay pareho)

(dahil proporsyonal ang pangalawa at pangatlong linya).

Nakikita natin yan rA=2, at ang batayang minor ng matrix A.

b. Nahanap namin.

Sapat na pangunahing menor de edad М2′ matrice A hangganan na may isang hanay ng mga libreng miyembro at lahat ng linya (mayroon lamang kami ng huling linya).

. Ito ay sumusunod mula dito na M3′′ nananatiling batayang minor ng matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

kasi М2′- batayang minor ng matrix A mga sistema (2) , kung gayon ang sistemang ito ay katumbas ng sistema (3) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (2) (para sa М2′ ay nasa unang dalawang hanay ng matrix A).

(3)

Dahil ang pangunahing menor de edad ay https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Sa sistemang ito, dalawang libreng hindi alam ( x2 at x4 ). kaya lang FSR mga sistema (4) ay binubuo ng dalawang solusyon. Upang mahanap ang mga ito, nagtatalaga kami ng mga libreng hindi alam (4) mga halaga muna x2=1 , x4=0 , at pagkatapos - x2=0 , x4=1 .

Sa x2=1 , x4=0 nakukuha natin:

.

Ang sistemang ito ay mayroon na ang tanging bagay solusyon (maaari itong matagpuan sa pamamagitan ng panuntunan ng Cramer o ng anumang iba pang pamamaraan). Ang pagbabawas ng unang equation mula sa pangalawang equation, nakukuha natin:

Ang magiging desisyon niya x1= -1 , x3=0 . Ibinigay ang mga halaga x2 at x4 , na ibinigay namin, nakuha namin ang una pangunahing desisyon mga sistema (2) : .

Ngayon ipinasok namin (4) x2=0 , x4=1 . Nakukuha namin:

.

Niresolba namin ang sistemang ito gamit ang teorema ni Cramer:

.

Nakukuha namin ang pangalawang pangunahing solusyon ng system (2) : .

Mga solusyon β1 , β2 at make up FSR mga sistema (2) . Kung gayon ang pangkalahatang solusyon nito ay

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Dito C1 , C2 ay di-makatwirang mga pare-pareho.

4. Maghanap ng isa pribado solusyon heterogenous na sistema(1) . Tulad ng sa talata 3 , sa halip na ang sistema (1) isaalang-alang ang katumbas na sistema (5) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (1) .

(5)

Inilipat namin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi x2 at x4.

(6)

Bigyan natin ng libreng mga hindi kilala x2 at x4 mga arbitrary na halaga, halimbawa, x2=2 , x4=1 at isaksak ang mga ito (6) . Kunin natin ang sistema

Ang sistemang ito ay may natatanging solusyon (dahil ang determinant nito М2′0). Ang paglutas nito (gamit ang Cramer theorem o ang Gauss method), nakuha natin x1=3 , x3=3 . Ibinigay ang mga halaga ng mga libreng hindi alam x2 at x4 , nakukuha namin partikular na solusyon ng isang inhomogeneous system(1)α1=(3,2,3,1).

5. Ngayon ay nananatiling magsulat pangkalahatang solusyon α ng isang inhomogeneous system(1) : ito ay katumbas ng kabuuan pribadong desisyon ang sistemang ito at pangkalahatang solusyon ng pinababang homogenous na sistema nito (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Ibig sabihin nito: (7)

6. Pagsusulit. Upang suriin kung nalutas mo nang tama ang system (1) , kailangan namin ng pangkalahatang solusyon (7) kapalit sa (1) . Kung ang bawat equation ay naging isang pagkakakilanlan ( C1 at C2 dapat sirain), kung gayon ang solusyon ay matatagpuan nang tama.

Papalitan namin (7) halimbawa, sa huling equation lamang ng system (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Nakukuha namin ang: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Saan -1=-1. Nagkaroon kami ng pagkakakilanlan. Ginagawa namin ito sa lahat ng iba pang mga equation ng system (1) .

Magkomento. Karaniwang medyo mahirap ang pag-verify. Maaari naming irekomenda ang sumusunod na "bahagyang pag-verify": sa pangkalahatang solusyon ng system (1) magtalaga ng ilang mga halaga sa mga di-makatwirang constant at palitan lamang ang nagresultang partikular na solusyon sa mga itinapon na equation (ibig sabihin, sa mga equation na iyon mula sa (1) na hindi kasama sa (5) ). Kung nakakuha ka ng mga pagkakakilanlan, kung gayon malamang, solusyon ng system (1) natagpuan nang tama (ngunit ang naturang tseke ay hindi nagbibigay ng buong garantiya ng kawastuhan!). Halimbawa, kung sa (7) ilagay C2=- 1 , C1=1, pagkatapos ay makukuha natin ang: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Ang pagpapalit sa huling equation ng system (1), mayroon tayong: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ibig sabihin, –1=–1. Nagkaroon kami ng pagkakakilanlan.

Halimbawa 2 Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation (1) , na nagpapahayag ng mga pangunahing hindi alam sa mga tuntunin ng mga libre.

Solusyon. Tulad ng sa halimbawa 1, bumuo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ng mga matrice na ito. Ngayon, iiwan na lang namin ang mga equation ng system (1) , ang mga coefficient nito ay kasama sa basic minor na ito (i.e., mayroon tayong unang dalawang equation) at isaalang-alang ang system na binubuo ng mga ito, na katumbas ng system (1).

Ilipat natin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation na ito.

sistema (9) lutasin namin sa pamamagitan ng pamamaraang Gaussian, isinasaalang-alang ang mga tamang bahagi bilang mga libreng miyembro.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opsyon 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opsyon 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opsyon 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opsyon 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">