S ng lateral surface ng isang tuwid na prisma. Straight prism – Knowledge Hypermarket

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

Kung kinakailangan, alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong pagtatanong o mga kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

SA kurikulum ng paaralan pag-aaral ng kursong stereometry volumetric na mga numero karaniwang nagsisimula sa isang simpleng geometric na katawan - isang prism polyhedron. Ang papel na ginagampanan ng mga base nito ay ginagampanan ng 2 pantay na polygon na nakahiga parallel na eroplano. Ang isang espesyal na kaso ay isang regular na quadrangular prism. Ang mga base nito ay 2 magkaparehong regular na quadrilaterals, kung saan ay patayo panig hugis parallelograms (o parihaba kung ang prisma ay hindi hilig).

Ano ang hitsura ng isang prisma?

Ang isang regular na quadrangular prism ay isang heksagono, ang mga base nito ay 2 parisukat, at ang mga gilid na mukha ay kinakatawan ng mga parihaba. Ang isa pang pangalan para sa geometric figure na ito ay isang tuwid na parallelepiped.

Ang isang drawing na nagpapakita ng quadrangular prism ay ipinapakita sa ibaba.

Makikita mo rin sa larawan ang pinakamahalagang elemento na bumubuo geometric na katawan . Kabilang dito ang:

Minsan sa mga problema sa geometry maaari mong makita ang konsepto ng isang seksyon. Ang kahulugan ay magiging ganito: ang isang seksyon ay ang lahat ng mga punto volumetric na katawan, na kabilang sa cutting plane. Ang seksyon ay maaaring patayo (nag-intersect sa mga gilid ng figure sa isang anggulo ng 90 degrees). Para sa isang parihabang prisma, ang isang diagonal na seksyon ay isinasaalang-alang din (ang maximum na bilang ng mga seksyon na maaaring itayo ay 2), na dumadaan sa 2 mga gilid at ang mga diagonal ng base.

Kung ang seksyon ay iginuhit sa isang paraan na ang cutting plane ay hindi parallel sa alinman sa mga base o mga gilid na mukha, ang resulta ay isang pinutol na prisma.

Upang mahanap ang pinababang mga elemento ng prismatic, ginagamit ang iba't ibang mga relasyon at mga formula. Ang ilan sa kanila ay kilala mula sa kurso ng planimetry (halimbawa, upang mahanap ang lugar ng base ng isang prisma, sapat na upang maalala ang formula para sa lugar ng isang parisukat).

Surface area at volume

Upang matukoy ang dami ng isang prisma gamit ang formula, kailangan mong malaman ang lugar ng base at taas nito:

V = Sbas h

Dahil ang base ng isang regular na tetrahedral prism ay isang parisukat na may gilid a, Maaari mong isulat ang formula sa mas detalyadong anyo:

V = a²·h

Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang kubo - isang regular na prisma na may pantay na haba, lapad at taas, ang dami ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

Upang maunawaan kung paano hanapin ang lateral surface area ng isang prisma, kailangan mong isipin ang pag-unlad nito.

Mula sa pagguhit ay makikita na ang ibabaw ng gilid ay binubuo ng 4 na pantay na parihaba. Ang lugar nito ay kinakalkula bilang produkto ng perimeter ng base at ang taas ng figure:

Sside = Posn h

Isinasaalang-alang na ang perimeter ng parisukat ay katumbas ng P = 4a, ang pormula ay nasa anyo:

Sside = 4a h

Para sa cube:

Sside = 4a²

Upang makalkula ang kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma, kailangan mong magdagdag ng 2 base area sa lateral area:

Sfull = Sside + 2Smain

Kaugnay ng isang quadrangular na regular na prism, ang formula ay mukhang:

Stotal = 4a h + 2a²

Para sa ibabaw na lugar ng isang kubo:

Puno = 6a²

Alam ang dami o lugar sa ibabaw, maaari mong kalkulahin ang mga indibidwal na elemento ng isang geometric na katawan.

Paghahanap ng mga elemento ng prisma

Kadalasan may mga problema kung saan ang volume ay ibinigay o ang halaga ng lateral surface area ay kilala, kung saan kinakailangan upang matukoy ang haba ng gilid ng base o ang taas. Sa ganitong mga kaso, ang mga formula ay maaaring makuha:

haba ng gilid ng base: a = Sside / 4h = √(V / h);
taas o haba ng tadyang sa gilid: h = Sside / 4a = V / a²;
base area: Sbas = V / h;
bahagi ng mukha: Gilid gr = Sside / 4.

Upang matukoy kung gaano kalaki ang lugar ng diagonal na seksyon, kailangan mong malaman ang haba ng dayagonal at ang taas ng figure. Para sa isang parisukat d = a√2. Samakatuwid:

Sdiag = ah√2

Upang kalkulahin ang dayagonal ng isang prisma, gamitin ang formula:

dprize = √(2a² + h²)

Upang maunawaan kung paano ilapat ang mga ibinigay na relasyon, maaari kang magsanay at malutas ang ilang mga simpleng gawain.

Mga halimbawa ng mga problema sa mga solusyon

Narito ang ilang mga gawain na matatagpuan sa panghuling pagsusulit ng estado sa matematika.

Ehersisyo 1.

Ang buhangin ay ibinubuhos sa isang kahon na hugis tulad ng isang regular na quadrangular prism. Ang taas ng antas nito ay 10 cm. Ano ang magiging antas ng buhangin kung ililipat mo ito sa isang lalagyan na may parehong hugis, ngunit may base na dalawang beses ang haba?

Dapat itong katwiran tulad ng sumusunod. Ang dami ng buhangin sa una at pangalawang lalagyan ay hindi nagbago, ibig sabihin, ang dami nito sa kanila ay pareho. Maaari mong tukuyin ang haba ng base sa pamamagitan ng a. Sa kasong ito, para sa unang kahon ang dami ng sangkap ay magiging:

V₁ = ha² = 10a²

Para sa pangalawang kahon, ang haba ng base ay 2a, ngunit ang taas ng antas ng buhangin ay hindi alam:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Dahil ang V₁ = V₂, maaari nating itumbas ang mga expression:

10a² = 4ha²

Matapos bawasan ang magkabilang panig ng equation ng a², nakukuha natin ang:

Ang resulta bagong antas magiging buhangin h = 10 / 4 = 2.5 cm.

Gawain 2.

Ang ABCDA₁B₁C₁D₁ ay isang tamang prisma. Alam na ang BD = AB₁ = 6√2. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng katawan.

Upang gawing mas madaling maunawaan kung aling mga elemento ang kilala, maaari kang gumuhit ng isang pigura.

Dahil pinag-uusapan natin ang isang regular na prisma, maaari nating tapusin na sa base mayroong isang parisukat na may dayagonal na 6√2. Ang dayagonal ng gilid na mukha ay may parehong laki, samakatuwid, ang gilid na mukha ay mayroon ding hugis ng isang parisukat na katumbas ng base. Lumalabas na ang lahat ng tatlong dimensyon - haba, lapad at taas - ay pantay. Maaari nating tapusin na ang ABCDA₁B₁C₁D₁ ay isang kubo.

Ang haba ng anumang gilid ay tinutukoy sa pamamagitan ng isang kilalang dayagonal:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ang kabuuang lugar ng ibabaw ay matatagpuan gamit ang formula para sa isang kubo:

Puno = 6a² = 6 6² = 216

Gawain 3.

Nire-renovate ang kwarto. Nabatid na ang sahig nito ay may hugis na parisukat na may lawak na 9 m². Ang taas ng silid ay 2.5 m. Ano ang pinakamababang halaga ng paglalagay ng wallpaper sa isang silid kung ang 1 m² ay nagkakahalaga ng 50 rubles?

Dahil ang sahig at kisame ay mga parisukat, ibig sabihin, ang mga regular na quadrangles, at ang mga dingding nito ay patayo sa pahalang na ibabaw, maaari nating tapusin na ito ay isang regular na prisma. Kinakailangan upang matukoy ang lugar ng lateral surface nito.

Ang haba ng kwarto eh a = √9 = 3 m.

Ang lugar ay sakop ng wallpaper Sside = 4 3 2.5 = 30 m².

Ang pinakamababang halaga ng wallpaper para sa kuwartong ito ay 50·30 = 1500 rubles

Kaya, upang malutas ang mga problema na kinasasangkutan ng isang hugis-parihaba na prisma, sapat na upang makalkula ang lugar at perimeter ng isang parisukat at parihaba, pati na rin upang malaman ang mga formula para sa paghahanap ng volume at ibabaw na lugar.

Paano hanapin ang lugar ng isang kubo

Polyhedra

Ang pangunahing bagay ng pag-aaral ng stereometry ay spatial body. Katawan kumakatawan sa isang bahagi ng espasyo na nililimitahan ng isang tiyak na ibabaw.

Polyhedron ay isang katawan na ang ibabaw ay binubuo ng isang may hangganang bilang ng mga flat polygon. Ang polyhedron ay tinatawag na convex kung ito ay matatagpuan sa isang gilid ng eroplano ng bawat plane polygon sa ibabaw nito. Ang karaniwang bahagi ng naturang eroplano at ang ibabaw ng isang polyhedron ay tinatawag gilid. Ang mga mukha ng isang convex polyhedron ay flat convex polygons. Ang mga gilid ng mga mukha ay tinatawag mga gilid ng polyhedron, at ang mga vertex ay vertices ng polyhedron.

Halimbawa, ang isang kubo ay binubuo ng anim na parisukat, na siyang mga mukha nito. Naglalaman ito ng 12 gilid (mga gilid ng mga parisukat) at 8 vertices (mga tuktok ng mga parisukat).

Ang pinakasimpleng polyhedra ay prisms at pyramids, na pag-aaralan pa natin.

Prisma

Kahulugan at katangian ng isang prisma

Prisma ay isang polyhedron na binubuo ng dalawang flat polygons na nakahiga sa magkatulad na mga eroplano na magkatugma parallel transfer, at lahat ng mga segment na nagkokonekta sa mga kaukulang punto ng mga polygon na ito. Tinatawag na polygons mga base ng prisma, at ang mga segment na nagkokonekta sa kaukulang vertices ng mga polygon ay lateral na mga gilid ng prisma.

Taas ng prisma ay tinatawag na distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base nito (). Ang isang segment na nag-uugnay sa dalawang vertices ng isang prisma na hindi kabilang sa parehong mukha ay tinatawag dayagonal na prisma(). Ang prisma ay tinatawag n-carbon, kung ang base nito ay naglalaman ng n-gon.

Anumang prisma ay may mga sumusunod na katangian, na nagreresulta mula sa katotohanan na ang mga base ng prisma ay pinagsama ng parallel na pagsasalin:

1. Ang mga base ng prisma ay pantay.

2. Ang mga lateral edge ng prism ay parallel at pantay.

Ang ibabaw ng prisma ay binubuo ng mga base at lateral surface. Ibabaw sa gilid ang isang prisma ay binubuo ng mga parallelograms (ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng isang prisma). Ang lugar ng lateral surface ng prism ay ang kabuuan ng mga lugar ng lateral faces.

Tuwid na prisma

Ang prisma ay tinatawag tuwid, kung ang mga lateral edge nito ay patayo sa mga base. Kung hindi, ang prisma ay tinatawag hilig.

Ang mga mukha ng isang kanang prisma ay mga parihaba. Ang taas ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng mga gilid na mukha nito.

Buong prism na ibabaw ay tinatawag na kabuuan ng lateral surface area at ang mga lugar ng mga base.

Gamit ang tamang prisma tinatawag na right prism na may regular na polygon sa base nito.

Teorama 13.1. Ang lugar ng pag-ilid na ibabaw ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng produkto ng perimeter at ang taas ng prisma (o, na pareho, sa gilid ng gilid).

Patunay. Ang mga gilid na mukha ng isang kanang prisma ay mga parihaba, ang mga base nito ay ang mga gilid ng mga polygon sa mga base ng prisma, at ang mga taas ay ang mga gilid ng prisma. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan, ang lateral surface area ay:

saan ang perimeter ng base ng isang tuwid na prisma.

Parallelepiped

Kung ang mga parallelogram ay namamalagi sa mga base ng isang prisma, kung gayon ito ay tinatawag parallelepiped. Ang lahat ng mga mukha ng isang parallelepiped ay parallelograms. Sa kasong ito, ang kabaligtaran ng mga mukha ng parallelepiped ay parallel at pantay.

Teorama 13.2. Ang mga diagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at nahahati sa kalahati ng intersection point.

Patunay. Isaalang-alang ang dalawang di-makatwirang diagonal, halimbawa, at . kasi ang mga mukha ng isang parallelepiped ay parallelograms, pagkatapos at , na nangangahulugang ayon sa Upang mayroong dalawang tuwid na linya na kahanay sa pangatlo. Bilang karagdagan, nangangahulugan ito na ang mga tuwid na linya at nakahiga sa parehong eroplano (eroplano). Ang eroplanong ito ay nag-intersect ng mga parallel na eroplano at kasama ng mga parallel na linya at . Kaya, ang isang quadrilateral ay isang parallelogram, at sa pamamagitan ng pag-aari ng isang parallelogram, ang mga diagonal nito ay bumalandra at nahahati sa kalahati ng intersection point, na kung saan ay kung ano ang kailangan upang mapatunayan.

Ang isang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba ay tinatawag parihabang parallelepiped. U parihabang parallelepiped lahat ng mukha ay parihaba. Ang mga haba ng hindi magkatulad na mga gilid ng isang hugis-parihaba na parallelepiped ay tinatawag na mga linear na sukat nito (mga sukat). Mayroong tatlong ganoong laki (lapad, taas, haba).

Teorama 13.3. Sa isang parihabang parallelepiped, ang parisukat ng anumang dayagonal katumbas ng kabuuan mga parisukat ng tatlong sukat nito (napatunayan sa pamamagitan ng paglalapat ng Pythagorean T dalawang beses).

Ang isang parihabang parallelepiped na ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag kubo.

Mga gawain

13.1 Ilang diagonal mayroon ito? n-carbon prism

13.2 Sa isang inclined triangular prism, ang mga distansya sa pagitan ng mga gilid na gilid ay 37, 13 at 40. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mas malaking gilid ng gilid at ang kabaligtaran na gilid ng gilid.

13.3 Ang isang eroplano ay iginuhit sa gilid ng ibabang base ng isang regular na tatsulok na prisma, na nagsalubong sa mga gilid na mukha kasama ang mga segment na may isang anggulo sa pagitan ng mga ito. Hanapin ang anggulo ng pagkahilig ng eroplanong ito sa base ng prisma.

Prisma. Parallelepiped

Prisma ay isang polyhedron na ang dalawang mukha ay magkapantay na n-gons (bases) , nakahiga sa parallel na mga eroplano, at ang natitirang n mga mukha ay parallelograms (mga mukha sa gilid) . Lateral rib Ang gilid ng isang prisma na hindi kabilang sa base ay tinatawag na gilid ng prisma.

Ang isang prisma na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga eroplano ng mga base ay tinatawag tuwid prisma (Larawan 1). Kung ang mga gilid ng gilid ay hindi patayo sa mga eroplano ng mga base, kung gayon ang prisma ay tinatawag hilig . Tama Ang prisma ay isang tamang prisma na ang mga base ay regular na polygons.

taas Ang prisma ay ang distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base. dayagonal Ang prisma ay isang segment na nag-uugnay sa dalawang vertice na hindi kabilang sa parehong mukha. Diagonal na seksyon ay tinatawag na seksyon ng isang prisma sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha. Perpendikular na seksyon ay tinatawag na seksyon ng isang prisma sa pamamagitan ng isang eroplanong patayo sa gilid na gilid ng prisma.

Lateral surface area ng isang prisma ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga lateral na mukha. Kabuuang lugar sa ibabaw ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha ng prisma (i.e. ang kabuuan ng mga lugar ng mga gilid na mukha at ang mga lugar ng mga base).

Para sa isang di-makatwirang prisma ang mga sumusunod na formula ay totoo::

saan l- haba ng gilid ng tadyang;

H- taas;

S gilid

S puno

S base- lugar ng mga base;

V– dami ng prisma.

Para sa isang tuwid na prisma ang mga sumusunod na formula ay tama:

saan p- base perimeter;

l- haba ng gilid ng tadyang;

H- taas.

parallelepiped tinatawag na prisma na ang base ay paralelogram. Ang isang parallelepiped na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga base ay tinatawag direkta (Larawan 2). Kung ang mga gilid ng gilid ay hindi patayo sa mga base, kung gayon ang parallelepiped ay tinatawag hilig . Ang isang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba ay tinatawag hugis-parihaba. Ang isang parihabang parallelepiped na ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag kubo

Ang mga mukha ng isang parallelepiped na walang mga karaniwang vertex ay tinatawag kabaligtaran . Ang mga haba ng mga gilid na nagmumula sa isang vertex ay tinatawag mga sukat parallelepiped. Dahil ang isang parallelepiped ay isang prisma, ang mga pangunahing elemento nito ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng mga ito ay tinukoy para sa mga prisma.

Theorems.

1. Ang mga dayagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at hinahati ito.

2. Sa isang parihabang parallelepiped, ang parisukat ng haba ng dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito:

3. Ang lahat ng apat na diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng bawat isa.

Para sa isang arbitrary parallelepiped ang mga sumusunod na formula ay wasto:

saan l- haba ng gilid ng tadyang;

H- taas;

P– perpendicular section perimeter;

Q– Perpendicular cross-sectional area;

S gilid- lateral surface area;

S puno- kabuuang lugar sa ibabaw;

S base- lugar ng mga base;

V– dami ng prisma.

Para sa isang right parallelepiped ang mga sumusunod na formula ay tama:

saan p- base perimeter;

l- haba ng gilid ng tadyang;

H– taas ng kanang parallelepiped.

Para sa isang parihabang parallelepiped ang mga sumusunod na formula ay tama:

(3)

saan p- base perimeter;

H- taas;

d– dayagonal;

a,b,c– mga sukat ng parallelepiped.

Ang mga sumusunod na formula ay tama para sa isang kubo:

saan a- haba ng tadyang;

d- dayagonal ng kubo.

Halimbawa 1. Ang dayagonal ng isang rectangular parallelepiped ay 33 dm, at ang mga sukat nito ay nasa ratio na 2: 6: 9. Hanapin ang mga sukat ng parallelepiped.

Solusyon. Upang mahanap ang mga sukat ng parallelepiped, ginagamit namin ang formula (3), i.e. sa pamamagitan ng katotohanan na ang parisukat ng hypotenuse ng isang cuboid ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga sukat nito. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng k salik ng proporsyonalidad. Kung gayon ang mga sukat ng parallelepiped ay magiging katumbas ng 2 k, 6k at 9 k. Isulat natin ang formula (3) para sa data ng problema:

Paglutas ng equation na ito para sa k, nakukuha namin:

Nangangahulugan ito na ang mga sukat ng parallelepiped ay 6 dm, 18 dm at 27 dm.

Sagot: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Halimbawa 2. Hanapin ang volume ng isang inclined triangular prism na ang base ay equilateral triangle na may gilid na 8 cm, kung ang gilid ng gilid ay katumbas ng gilid ng base at nakahilig sa isang anggulo na 60º sa base.

Solusyon . Gumawa tayo ng drawing (Larawan 3).

Upang mahanap ang dami ng isang hilig na prisma, kailangan mong malaman ang lugar ng base at taas nito. Ang lugar ng base ng prisma na ito ay ang lugar ng isang equilateral triangle na may gilid na 8 cm. Kalkulahin natin ito:

Ang taas ng isang prisma ay ang distansya sa pagitan ng mga base nito. Mula sa itaas A 1 ng itaas na base, ibaba ang patayo sa eroplano ng ibabang base A 1 D. Ang haba nito ay magiging taas ng prisma. Isaalang-alang ang D A 1 AD: dahil ito ang anggulo ng pagkahilig ng gilid ng gilid A 1 A sa base plane, A 1 A= 8 cm Mula sa tatsulok na ito makikita natin A 1 D:

Ngayon kinakalkula namin ang volume gamit ang formula (1):

Sagot: 192 cm 3.

Halimbawa 3. Ang lateral edge ng isang regular na hexagonal prism ay 14 cm. Ang lugar ng pinakamalaking diagonal na seksyon ay 168 cm 2. Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Fig. 4)

Ang pinakamalaking seksyon ng dayagonal ay isang parihaba A.A. 1 DD 1 mula sa dayagonal AD regular na heksagono ABCDEF ay ang pinakamalaking. Upang makalkula ang lateral surface area ng prisma, kinakailangang malaman ang gilid ng base at ang haba ng gilid ng gilid.

Alam ang lugar ng seksyon ng dayagonal (parihaba), nahanap namin ang dayagonal ng base.

Simula noon

Simula noon AB= 6 cm.

Pagkatapos ang perimeter ng base ay:

Hanapin natin ang lugar ng lateral surface ng prisma:

Ang lugar ng isang regular na hexagon na may gilid na 6 cm ay:

Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma:

Sagot:

Halimbawa 4. Ang base ng isang kanang parallelepiped ay isang rhombus. Ang mga diagonal na cross-sectional na lugar ay 300 cm2 at 875 cm2. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng parallelepiped.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 5).

Tukuyin natin ang gilid ng rhombus sa pamamagitan ng A, mga dayagonal ng isang rhombus d 1 at d 2, parallelepiped taas h. Upang mahanap ang lugar ng lateral surface ng isang kanang parallelepiped, kinakailangan upang i-multiply ang perimeter ng base sa taas: (formula (2)). Base perimeter p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, dahil A B C D- rhombus H = AA 1 = h. yun. Kailangang hanapin A At h.

Isaalang-alang natin ang mga diagonal na seksyon. AA 1 SS 1 – isang parihaba, ang isang gilid nito ay ang dayagonal ng isang rhombus AC = d 1, pangalawa - gilid ng gilid AA 1 = h, Pagkatapos

Katulad din para sa seksyon BB 1 DD 1 makuha natin:

Gamit ang pag-aari ng isang paralelogram na ang kabuuan ng mga parisukat ng mga dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng lahat ng panig nito, nakuha namin ang pagkakapantay-pantay Nakukuha namin ang mga sumusunod.

Ang iba't ibang mga prisma ay naiiba sa bawat isa. Kasabay nito, marami silang pagkakatulad. Upang mahanap ang lugar ng base ng prisma, kakailanganin mong maunawaan kung anong uri ito.

Pangkalahatang teorya

Ang prisma ay anumang polyhedron na ang mga gilid ay may hugis ng paralelogram. Bukod dito, ang base nito ay maaaring maging anumang polyhedron - mula sa isang tatsulok hanggang sa isang n-gon. Bukod dito, ang mga base ng prisma ay palaging pantay sa bawat isa. Ang hindi naaangkop sa mga mukha sa gilid ay maaari silang mag-iba nang malaki sa laki.

Kapag nilulutas ang mga problema, hindi lamang ang lugar ng base ng prisma ang nakatagpo. Maaaring mangailangan ito ng kaalaman sa lateral surface, iyon ay, lahat ng mga mukha na hindi base. Ang kumpletong ibabaw ay magiging unyon ng lahat ng mga mukha na bumubuo sa prisma.

Minsan ang mga problema ay may kinalaman sa taas. Ito ay patayo sa mga base. Ang dayagonal ng isang polyhedron ay isang segment na nag-uugnay sa mga pares ng anumang dalawang vertices na hindi kabilang sa parehong mukha.

Dapat pansinin na ang base area ng isang tuwid o hilig na prisma ay hindi nakasalalay sa anggulo sa pagitan ng mga ito at ng mga gilid na mukha. Kung mayroon silang parehong mga numero sa itaas at ibabang mga mukha, kung gayon ang kanilang mga lugar ay magiging pantay.

Triangular na prisma

Sa base nito ay may isang pigura na may tatlong vertices, iyon ay, isang tatsulok. Tulad ng alam mo, maaaring iba ito. Kung gayon, sapat na tandaan na ang lugar nito ay tinutukoy ng kalahati ng produkto ng mga binti.

Ang mathematical notation ay ganito ang hitsura: S = ½ av.

Upang malaman ang lugar ng base sa pangkalahatang pananaw, ang mga formula ay magiging kapaki-pakinabang: Heron at ang isa kung saan ang kalahati ng gilid ay dadalhin sa taas na iginuhit dito.

Ang unang formula ay dapat na nakasulat tulad ng sumusunod: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Ang notasyong ito ay naglalaman ng isang semi-perimeter (p), iyon ay, ang kabuuan ng tatlong panig na hinati ng dalawa.

Pangalawa: S = ½ n a * a.

Kung nais mong malaman ang lugar ng base ng isang tatsulok na prisma, na regular, kung gayon ang tatsulok ay nagiging equilateral. Mayroong formula para dito: S = ¼ a 2 * √3.

Quadrangular prism

Ang base nito ay alinman sa mga kilalang quadrangles. Maaari itong maging isang parihaba o parisukat, parallelepiped o rhombus. Sa bawat kaso, upang makalkula ang lugar ng base ng prisma, kakailanganin mo ang iyong sariling formula.

Kung ang base ay isang parihaba, ang lugar nito ay tinutukoy bilang mga sumusunod: S = ab, kung saan ang a, b ay ang mga gilid ng parihaba.

Kailan pinag-uusapan natin tungkol sa isang quadrangular prism, pagkatapos ay ang lugar ng base ng isang regular na prism ay kinakalkula gamit ang formula para sa isang parisukat. Dahil siya ang namamalagi sa pundasyon. S = a 2.

Sa kaso kapag ang base ay parallelepiped, kakailanganin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: S = a * n a. Ito ay nangyayari na ang gilid ng isang parallelepiped at isa sa mga anggulo ay ibinigay. Pagkatapos, upang kalkulahin ang taas, kakailanganin mong gumamit ng karagdagang formula: n a = b * sin A. Bukod dito, ang anggulo A ay katabi ng gilid na "b", at ang taas n ay kabaligtaran ng anggulong ito.

Kung mayroong isang rhombus sa base ng prisma, pagkatapos ay upang matukoy ang lugar nito kakailanganin mo ang parehong formula tulad ng para sa isang paralelogram (dahil ito ay isang espesyal na kaso nito). Ngunit maaari mo ring gamitin ito: S = ½ d 1 d 2. Narito ang d 1 at d 2 ay dalawang dayagonal ng rhombus.

Regular na pentagonal prism

Ang kasong ito ay nagsasangkot ng paghahati ng polygon sa mga tatsulok, ang mga lugar kung saan mas madaling malaman. Bagama't nangyayari na ang mga numero ay maaaring magkaroon ng ibang bilang ng mga vertex.

Dahil ang base ng prisma ay isang regular na pentagon, maaari itong hatiin sa limang equilateral triangles. Kung gayon ang lugar ng base ng prisma ay katumbas ng lugar ng isang ganoong tatsulok (ang formula ay makikita sa itaas), pinarami ng lima.

Regular na hexagonal prism

Gamit ang prinsipyong inilarawan para sa isang pentagonal prism, posibleng hatiin ang hexagon ng base sa 6 equilateral triangles. Ang formula para sa base area ng naturang prisma ay katulad ng nauna. Dapat lang itong i-multiply sa anim.

Magiging ganito ang formula: S = 3/2 a 2 * √3.

Mga gawain

Hindi.

Solusyon. Ang base ng prisma ay isang parisukat, ngunit ang gilid nito ay hindi kilala. Mahahanap mo ang halaga nito mula sa dayagonal ng parisukat (x), na nauugnay sa dayagonal ng prisma (d) at taas nito (h). x 2 = d 2 - n 2. Sa kabilang banda, ang segment na ito na "x" ay ang hypotenuse sa isang tatsulok na ang mga binti ay katumbas ng gilid ng parisukat. Iyon ay, x 2 = a 2 + a 2. Kaya lumalabas na ang isang 2 = (d 2 - n 2)/2.

Palitan ang numero 22 sa halip na d, at palitan ang "n" ng halaga nito - 14, lumalabas na ang gilid ng parisukat ay 12 cm. Ngayon alamin lamang ang lugar ng base: 12 * 12 = 144 cm 2.

Upang malaman ang lugar ng buong ibabaw, kailangan mong magdagdag ng dalawang beses sa base area at quadruple ang side area. Ang huli ay madaling mahanap gamit ang formula para sa isang parihaba: i-multiply ang taas ng polyhedron at ang gilid ng base. Iyon ay, 14 at 12, ang bilang na ito ay magiging katumbas ng 168 cm 2. Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma ay lumalabas na 960 cm 2.

Sagot. Ang lugar ng base ng prism ay 144 cm 2. Ang buong ibabaw ay 960 cm 2.

Hindi.

Solusyon. Dahil ang prisma ay regular, ang base nito ay isang equilateral triangle. Samakatuwid, lumalabas na ang lawak nito ay katumbas ng 6 na parisukat, pinarami ng ¼ at ang square root ng 3. Ang isang simpleng pagkalkula ay humahantong sa resulta: 9√3 cm 2. Ito ang lugar ng isang base ng prisma.

Ang lahat ng mga gilid na mukha ay pareho at mga parihaba na may mga gilid na 6 at 10 cm. Upang kalkulahin ang kanilang mga lugar, i-multiply lang ang mga numerong ito. Pagkatapos ay i-multiply ang mga ito sa tatlo, dahil ang prisma ay may eksaktong ganoong karaming mga mukha sa gilid. Pagkatapos ang lugar ng lateral surface ng sugat ay lumalabas na 180 cm 2.

Sagot. Mga lugar: base - 9√3 cm 2, lateral surface ng prism - 180 cm 2.