Paraan ng Lagrange multipliers. Pang-ekonomiyang kahulugan ng Lagrange multipliers

• pagtuturo

lahat magandang araw. Sa artikulong ito nais kong ipakita ang isa sa mga pamamaraan ng graphical na pagtatayo mga modelo ng matematika para sa mga dynamical system, na tinatawag na graph ng bono("bond" - mga koneksyon, "graph" - graph). Sa panitikang Ruso, natagpuan ko ang mga paglalarawan ng paraang ito sa Textbook ng Tomsk Polytechnic University, A.V. Voronin "MODELING OF MECHATRONIC SYSTEMS" 2008. Ipakita din ang klasikal na pamamaraan sa pamamagitan ng Lagrange equation ng 2nd kind.

Paraan ng Lagrange

Mga tampok ng mga pamamaraan ng pagmomolde:

• Newton Euler: mga equation ng vector batay sa dynamic na ekwilibriyo pwersa (puwersa) At sandali
• Lagrange: scalar equation batay sa mga function ng estado na nauugnay sa kinetic at potensyal enerhiya
• graph ng bono: paraan batay sa daloy kapangyarihan (power) sa pagitan ng mga elemento ng system

Magsimula tayo sa isang simpleng halimbawa. Timbang na may tagsibol at damper. Pinababayaan natin ang puwersa ng grabidad.

Una sa lahat, tinukoy namin:

• paunang sistema ng coordinate(NSK) o nakapirming sk R0(i0,j0,k0). saan? Maaari mong itusok ang iyong daliri sa kalangitan, ngunit sa pamamagitan ng pagkibot sa mga dulo ng mga neuron sa utak, ang ideya ng paglalagay ng NSC sa linya ng paggalaw ng M1 na katawan ay pumasa.
• mga sistema ng coordinate para sa bawat katawan na may masa(mayroon kaming M1 R1(i1,j1,k1)), ang oryentasyon ay maaaring maging arbitrary, ngunit bakit gawing kumplikado ang iyong buhay, itinakda namin ito na may isang minimum na pagkakaiba mula sa NSC
• pangkalahatang mga coordinate q_i(ang pinakamababang bilang ng mga variable na maaaring maglarawan sa paggalaw), sa halimbawang ito, isang pangkalahatang coordinate, paggalaw lamang sa kahabaan ng j axis

Matapos nating mahanap ang kinetic (C) at potensyal (P) na enerhiya at ang dissipative function (D) para sa damper ayon sa mga formula:

Sa aming halimbawa, walang pag-ikot, ang pangalawang bahagi ay 0.

Ang Lagrange equation ay may sumusunod na anyo:

Delta W_i ito ay isang virtual na gawain na ginawa ng inilapat na puwersa at sandali. Hanapin natin ito:

saan delta q_1 virtual na galaw.

Pinapalitan namin ang lahat sa Lagrange equation:

Dito natapos ang pamamaraang Lagrange. Tulad ng nakikita mo, hindi ito napakahirap, ngunit ito ay isang napaka-simpleng halimbawa, kung saan ang pamamaraan ng Newton-Euler ay malamang na maging mas simple. Para sa mas kumplikadong mga sistema, kung saan magkakaroon ng ilang mga katawan na iikot na may kaugnayan sa bawat isa sa iba't ibang mga anggulo, ang pamamaraan ng Lagrange ay magiging mas madali.

Paraan ng Bond graph

Narito kailangan nating sabihin ang isang maliit na teorya, na sapat na upang bumuo mga simpleng modelo. Kung may interesado, maaari mong basahin ang libro ( Pamamaraan ng Bond Graph) o ( Voronin A.V. Pagmomodelo ng mga mechatronic system: pagtuturo. - Tomsk: Publishing House ng Tomsk Polytechnic University, 2008).

Tukuyin muna natin na ang mga kumplikadong sistema ay binubuo ng ilang mga domain. Halimbawa, ang isang de-koryenteng motor ay binubuo ng mga de-koryente at mekanikal na bahagi o mga domain.

graph ng bono ay batay sa power exchange sa pagitan ng mga domain na ito, mga subsystem. Tandaan na ang pagpapalitan ng kapangyarihan, sa anumang anyo, ay palaging tinutukoy ng dalawang variable ( variable na kapangyarihan) sa tulong kung saan maaari nating pag-aralan ang interaksyon ng iba't ibang mga subsystem bilang bahagi ng isang dinamikong sistema (tingnan ang talahanayan).

Tulad ng makikita mula sa talahanayan, ang pagpapahayag ng kapangyarihan ay halos pareho sa lahat ng dako. Sa buod, kapangyarihan- Ang gawaing ito" daloy - f" sa " pagsisikap - e».

Isang pagsisikap(Ingles) pagsisikap) sa elektrikal na domain ito ay boltahe (e), sa mekanikal na domain ito ay puwersa (F) o sandali (T), sa haydroliko ito ay presyon (p).

Daloy(Ingles) daloy) sa electrical domain ito ay kasalukuyang (i), sa mechanical domain ito ay velocity (v) o angular velocity (omega), sa hydraulics ito ay ang flow o fluid flow (Q).

Sa pagkuha ng mga notasyong ito, nakakakuha tayo ng ekspresyon para sa kapangyarihan:

Sa wikang bond-graph, ang isang koneksyon sa pagitan ng dalawang subsystem na nagpapalitan ng kapangyarihan ay kinakatawan ng isang bono. bono). Iyon ang dahilan kung bakit tinawag ang pamamaraang ito graph ng bono o g raf-koneksyon, konektadong graph. Isipin mo block diagram mga bono sa modelo na may de-koryenteng motor (hindi pa ito isang bond-graph):

Kung mayroon tayong pinagmumulan ng boltahe, kung gayon ito ay bumubuo ng boltahe at ibinibigay ito sa motor para sa pag-rewinding (samakatuwid, ang arrow ay nakadirekta patungo sa motor), depende sa paglaban ng paikot-ikot, ang isang kasalukuyang lilitaw ayon sa batas ng Ohm (itinuro mula sa ang motor sa pinagmulan). Alinsunod dito, ang isang variable ay isang input sa subsystem, at ang pangalawa ay dapat na kinakailangan. daan palabas mula sa subsystem. Narito ang boltahe ( pagsisikap) – input, kasalukuyang ( daloy) - output.

Kung gagamit ka ng kasalukuyang pinagmulan, paano magbabago ang diagram? Tama. Ang kasalukuyang ay ididirekta sa motor, at ang boltahe sa pinagmulan. Pagkatapos ang kasalukuyang ( daloy) – input, boltahe ( pagsisikap) - output.

Isaalang-alang ang isang halimbawa sa mekanika. Sapilitang kumikilos sa isang masa.

Ang block diagram ay ang mga sumusunod:

Sa halimbawang ito, Lakas ( pagsisikap) ay ang input variable para sa masa. (puwersang inilapat sa masa)
Ayon sa pangalawang batas ni Newton:

Mabilis na tumugon ang misa:

Sa halimbawang ito, kung ang isang variable ( lakas - pagsisikap) ay isang pasukan sa mekanikal na domain, pagkatapos ay isa pang power variable ( bilis - daloy) - awtomatikong nagiging daan palabas.

Upang makilala kung nasaan ang input at kung nasaan ang output, ginagamit patayong linya sa dulo ng arrow (koneksyon) sa pagitan ng mga elemento, ang linyang ito ay tinatawag tanda ng sanhi o sanhi (sanhi). Ito ay lumalabas: ang inilapat na puwersa ay ang sanhi, at ang bilis ay ang epekto. Napakahalaga ng sign na ito para sa tamang pagbuo ng isang modelo ng system, dahil ang causality ay bunga ng pisikal na pag-uugali at pagpapalitan ng kapangyarihan ng dalawang subsystem, kaya hindi maaaring basta-basta ang pagpili ng lokasyon ng causality sign.

Ipinapakita ng patayong linyang ito kung aling subsystem ang tumatanggap ng puwersa ( pagsisikap) at, bilang kinahinatnan, gumawa ng daloy ( daloy). Sa halimbawa ng masa, magiging ganito ang hitsura:

Sa pamamagitan ng arrow ay malinaw na ang input para sa masa - lakas, at ang output ay bilis. Ginagawa ito upang hindi makalat ang scheme at systematization ng gusali ng modelo na may mga arrow.

Susunod mahalagang punto. Pangkalahatang momentum(dami ng paggalaw) at gumagalaw(mga variable ng enerhiya).

Talaan ng mga variable ng kapangyarihan at enerhiya sa iba't ibang mga domain

Sa electrical domain :

Ayon sa batas ni Faraday, Boltahe sa dulo ng conductor ay katumbas ng derivative ng magnetic flux sa pamamagitan ng conductor na ito.

Mula sa 2nd Law ni Newton, Lakas ay ang time derivative ng momentum

Mga pangunahing elemento

Mga pinagmumulan
Ang mga mapagkukunan ay parehong pagsisikap at daloy. Analogy sa electrical domain: pinagmumulan ng pagsisikap – pinagmumulan ng boltahe, pinagmulan ng daloy – kasalukuyang pinagmulan. Ang mga palatandaan ng sanhi para sa mga mapagkukunan ay dapat na ganoon lamang.

R component - dissipative elemento

Bahagi I - inertial na elemento

Bahagi C - capacitive elemento

Tulad ng makikita mula sa mga guhit, iba't ibang elemento isa uri ng R, C, I inilarawan ng parehong mga equation. LAMANG may pagkakaiba para sa electric capacitance, kailangan mo lang itong tandaan!

Mga bahagi ng quadripole:

Isaalang-alang ang dalawang bahagi ng transpormer at gyrator.

Ang huling mahahalagang bahagi sa paraan ng bond-graph ay mga koneksyon. Mayroong dalawang uri ng mga node:

Ang mga pangunahing hakbang para sa pagbabawas ng mga ugnayang sanhi pagkatapos bumuo ng isang bond-graph:

1. Lagyan ng causality ang lahat pinagmumulan
2. Pumunta sa lahat ng mga node at ilagay ang mga ugnayang sanhi pagkatapos ng punto 1
3. Para sa mga bahagi I magtalaga ng input causality (kasama ang pagsisikap sa bahaging ito), para sa mga bahagi C magtalaga ng isang output na sanhi (ang pagsisikap ay lumabas sa bahaging ito)
4. Ulitin ang punto 2
5. Gumuhit ng mga sanhi na link para sa R mga bahagi

Halimbawa 1

Kunin ang sumusunod na link graph:

Ngayon ay kailangan nating ihinto ang mga ugnayang sanhi. Kasunod ng mga tagubilin para sa pagkakasunud-sunod ng kanilang pagsasama, magsimula tayo sa pinagmulan.

1. Mayroon kaming pinagmumulan ng stress (pagsisikap), ang naturang mapagkukunan ay may isang pagpipilian lamang na sanhi - output. Inilagay namin.
2. Tapos may component I, tinitingnan namin kung ano ang inirerekomenda. Inilagay namin
3. Inilagay namin para sa 1-node. meron
4. Ang isang 0-node ay dapat may isang input at lahat ng output na sanhi ng mga link. One day off namin. Naghahanap kami ng mga bahagi C o I. Natagpuan. Inilagay namin
5. Ipinapakita ang natitira

Ang tanging bagay na natitira upang gawin ay isulat ang mga equation na naglalarawan sa aming sistema. Para magawa ito, gagawa kami ng table na may 3 column. Ang una ay maglalaman ng lahat ng mga bahagi ng system, ang pangalawa ay maglalaman ng input variable para sa bawat elemento, at ang pangatlo ay maglalaman ng output variable para sa parehong bahagi. Natukoy na natin ang pasukan at labasan ayon sa sanhi. Kaya hindi dapat magkaroon ng anumang mga problema.

Bilangin natin ang bawat koneksyon para sa kaginhawaan ng pagsulat ng mga equation. Kinukuha namin ang mga equation para sa bawat elemento mula sa listahan ng mga bahagi C, R, I.

Halimbawa 2. Gusto ko lang humingi ng paumanhin para sa kalidad ng larawan, ang pangunahing bagay ay nababasa mo

Lutasin natin ang isa pang halimbawa para sa isang mekanikal na sistema, ang parehong nalutas natin sa pamamaraang Lagrange. Ipapakita ko ang solusyon nang walang komento. Suriin natin kung alin sa mga pamamaraang ito ang mas simple, mas madali.

Sa matball, ang parehong mga modelo ng banig ay pinagsama-sama na may parehong mga parameter, na nakuha sa pamamagitan ng Lagrange na pamamaraan at bond-graph. Resulta sa ibaba: Magdagdag ng mga label

Isaalang-alang muna natin ang kaso ng isang function ng dalawang variable. Ang conditional extremum ng function na $z=f(x,y)$ sa puntong $M_0(x_0;y_0)$ ay ang extremum ng function na ito, na naabot sa ilalim ng kondisyon na ang mga variable na $x$ at $y$ sa sa paligid ng puntong ito ay nakakatugon sa constraint equation $\ varphi(x,y)=0$.

Ang pangalang "conditional" extremum ay dahil sa katotohanan na ang karagdagang kundisyon na $\varphi(x,y)=0$ ay ipinapataw sa mga variable. Kung posible na ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa mula sa equation ng koneksyon, kung gayon ang problema sa pagtukoy ng conditional extremum ay nabawasan sa problema ng karaniwang extremum ng isang function ng isang variable. Halimbawa, kung ang $y=\psi(x)$ ay sumusunod mula sa constraint equation, pagkatapos ay papalitan ang $y=\psi(x)$ sa $z=f(x,y)$, makakakuha tayo ng function ng isang variable $ z=f\kaliwa (x,\psi(x)\kanan)$. Sa pangkalahatang kaso, gayunpaman, ang pamamaraang ito ay hindi gaanong ginagamit, kaya kinakailangan ang isang bagong algorithm.

Paraan ng Lagrange multiplier para sa mga function ng dalawang variable.

Ang paraan ng mga multiplier ng Lagrange ay upang mahanap ang conditional extremum, ang Lagrange function ay binubuo: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (ang parameter na $\lambda $ ay tinatawag na Lagrange multiplier ). Ang mga kinakailangang extremum na kondisyon ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation kung saan ang mga nakatigil na puntos ay tinutukoy:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$

Ang sign na $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Kung sa isang nakatigil na punto $d^2F > 0$, ang function na $z=f(x,y)$ ay may conditional na minimum sa puntong ito, ngunit kung $d^2F< 0$, то условный максимум.

May isa pang paraan upang matukoy ang likas na katangian ng extremum. Mula sa constraint equation nakukuha natin: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, kaya sa anumang nakatigil na punto mayroon tayo:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "") dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\kanan)$$

Ang pangalawang kadahilanan (na matatagpuan sa mga bracket) ay maaaring katawanin sa form na ito:

Mga elemento ng $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$ na siyang Hessian ng Lagrange function. Kung $H > 0$ pagkatapos ay $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, ibig sabihin. mayroon kaming conditional na minimum ng function na $z=f(x,y)$.

Tandaan sa anyo ng $H$ determinant. Ipakita itago

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

Sa sitwasyong ito, ang panuntunang binalangkas sa itaas ay nagbabago tulad ng sumusunod: kung $H > 0$, ang function ay may conditional na minimum, at para sa $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algorithm para sa pag-aaral ng function ng dalawang variable para sa conditional extremum

1. Buuin ang Lagrange function na $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Lutasin ang system $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
3. Tukuyin ang likas na katangian ng extremum sa bawat isa sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa nakaraang talata. Upang gawin ito, gamitin ang alinman sa mga sumusunod na pamamaraan:
   • Buuin ang determinant na $H$ at alamin ang sign nito
   • Isinasaalang-alang ang constraint equation, kalkulahin ang sign ng $d^2F$

Lagrange multiplier method para sa mga function ng n variable

Ipagpalagay na mayroon tayong function ng $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ at $m$ constraint equation ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Tinutukoy ang mga multiplier ng Lagrange bilang $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, binubuo namin ang Lagrange function:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Ang mga kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang conditional extremum ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation kung saan matatagpuan ang mga coordinate ng mga nakatigil na puntos at ang mga halaga ng mga multiplier ng Lagrange:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Posibleng malaman kung ang isang function ay may conditional minimum o conditional maximum sa nahanap na punto, tulad ng dati, gamit ang sign na $d^2F$. Kung sa nahanap na punto $d^2F > 0$, ang function ay may conditional na minimum, ngunit kung $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Matrix determinant $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) at \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ naka-highlight sa pula sa $L$ matrix ay ang Hessian ng Lagrange function. Ginagamit namin ang sumusunod na panuntunan:

• Kung ang mga palatandaan ng mga menor de edad sa sulok ay $H_(2m+1),\; Ang H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ ay nag-tutugma sa tanda ng $(-1)^m$, kung gayon ang nakatigil na puntong pinag-aaralan ay ang conditional na minimum na punto ng function $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Kung ang mga palatandaan ng mga menor de edad sa sulok ay $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ kapalit, at ang sign ng minor na $H_(2m+1)$ ay kasabay ng sign ng numerong $(-1)^(m+1 )$, pagkatapos ang pinag-aralan na nakatigil ang punto ay ang conditional na pinakamataas na punto ng function na $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Halimbawa #1

Hanapin conditional extremum function na $z(x,y)=x+3y$ sa ilalim ng kondisyong $x^2+y^2=10$.

Ang geometric na interpretasyon ng problemang ito ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng applicate ng eroplano $z=x+3y$ para sa mga punto ng intersection nito sa cylinder $x^2+y^2 =10$.

Medyo mahirap ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa mula sa constraint equation at i-substitute ito sa function na $z(x,y)=x+3y$, kaya gagamitin natin ang Lagrange method.

Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, binubuo namin ang Lagrange function:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Isulat natin ang sistema ng mga equation para sa pagtukoy ng mga nakatigil na punto ng Lagrange function:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (nakahanay)\kanan.$$

Kung ipagpalagay natin na $\lambda=0$, ang unang equation ay magiging: $1=0$. Ang resultang kontradiksyon ay nagsasabi na ang $\lambda\neq 0$. Sa ilalim ng kundisyong $\lambda\neq 0$, mula sa una at pangalawang equation na mayroon kami: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga sa ikatlong equation, nakukuha namin:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Kaya, ang system ay may dalawang solusyon: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ at $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto: $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang determinant na $H$ sa bawat isa sa mga puntos.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Sa puntong $M_1(1;3)$ makukuha natin: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, kaya sa punto $M_1(1;3)$ ang function na $z(x,y)=x+3y$ ay may conditional maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Katulad nito, sa puntong $M_2(-1;-3)$ makikita natin ang: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Mula noong $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Pansinin ko na sa halip na kalkulahin ang halaga ng determinant na $H$ sa bawat punto, mas maginhawang palawakin ito sa pangkalahatang pananaw. Upang hindi kalat ang teksto sa mga detalye, itatago ko ang pamamaraang ito sa ilalim ng isang tala.

Determinant $H$ notation sa pangkalahatang anyo. Ipakita itago

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Sa prinsipyo, malinaw na kung aling sign ang mayroon si $H$. Dahil wala sa mga puntos na $M_1$ o $M_2$ ang tumutugma sa pinanggalingan, kung gayon ang $y^2+x^2>0$. Samakatuwid, ang tanda ng $H$ ay kabaligtaran ng tanda ng $\lambda$. Maaari mo ring kumpletuhin ang mga kalkulasyon:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(nakahanay) $$

Ang tanong tungkol sa katangian ng extremum sa mga nakatigil na puntos na $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$ ay malulutas nang hindi ginagamit ang determinant na $H$. Hanapin ang tanda ng $d^2F$ sa bawat nakatigil na punto:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\kanan) $$

Pansinin ko na ang notasyong $dx^2$ ay nangangahulugang eksaktong $dx$ na itinaas sa pangalawang kapangyarihan, i.e. $\left(dx\right)^2$. Kaya mayroon kaming: $dx^2+dy^2>0$, kaya para sa $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ nakakakuha kami ng $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Sagot: sa puntong $(-1;-3)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=-10$. Sa puntong $(1;3)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=10$

Halimbawa #2

Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ sa ilalim ng kundisyon na $x+y=0$.

Ang unang paraan (ang paraan ng mga multiplier ng Lagrange)

Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x+y$ binubuo namin ang Lagrange function: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$

Ang paglutas ng system, makakakuha tayo ng: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ at $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Mayroon kaming dalawang nakatigil na punto: $M_1(0;0)$ at $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto gamit ang determinant na $H$.

$$ H=\kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Sa puntong $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, kaya sa puntong ito ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Sinisiyasat namin ang likas na katangian ng extremum sa bawat isa sa mga punto sa pamamagitan ng ibang pamamaraan, batay sa tanda ng $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Mula sa constraint equation na $x+y=0$ mayroon kaming: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Dahil ang $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, kung gayon ang $M_1(0;0)$ ang conditional na minimum point ng function na $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Katulad nito, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Pangalawang paraan

Mula sa constraint equation na $x+y=0$ makuha namin ang: $y=-x$. Ang pagpapalit ng $y=-x$ sa function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, makakakuha tayo ng ilang function ng variable na $x$. Tukuyin natin ang function na ito bilang $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Kaya, binawasan namin ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ng isang function ng dalawang variable sa problema ng pagtukoy ng extremum ng isang function ng isang variable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Nakakuha ng mga puntos na $M_1(0;0)$ at $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Ang karagdagang pananaliksik ay kilala mula sa kurso ng differential calculus ng mga function ng isang variable. Ang pagsisiyasat sa tanda ng $u_(xx)^("")$ sa bawat nakatigil na punto o pagsuri sa pagbabago ng tanda ng $u_(x)^(")$ sa mga nahanap na punto, nakukuha namin ang parehong mga konklusyon tulad ng kapag nilulutas ang una paraan. Halimbawa, check sign $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Dahil $u_(xx)^("")(M_1)>0$, kung gayon ang $M_1$ ang pinakamababang punto ng function na $u(x)$, habang $u_(\min)=u(0)=0 $ . Mula noong $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Ang mga halaga ng function na $u(x)$ sa ilalim ng ibinigay na kundisyon ng koneksyon ay nag-tutugma sa mga halaga ng function na $z(x,y)$, i.e. ang nakitang extrema ng function na $u(x)$ ay ang gustong conditional extrema ng function na $z(x,y)$.

Sagot: sa puntong $(0;0)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=0$. Sa puntong $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa, kung saan malalaman natin ang kalikasan ng extremum sa pamamagitan ng pagtukoy sa tanda ng $d^2F$.

Halimbawa #3

Hanapin ang maximum at minimum na halaga ng function na $z=5xy-4$ kung ang mga variable na $x$ at $y$ ay positibo at matugunan ang constraint equation na $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Buuin ang Lagrange function: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Hanapin ang mga nakatigil na punto ng Lagrange function:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kaliwa \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(aligned) \right.$$

Ang lahat ng karagdagang pagbabago ay isinasagawa na isinasaalang-alang ang $x > 0; \; y > 0$ (ito ay itinakda sa kondisyon ng problema). Mula sa pangalawang equation, ipinapahayag namin ang $\lambda=-\frac(5x)(y)$ at pinapalitan ang nahanap na halaga sa unang equation: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Ang pagpapalit ng $x=2y$ sa ikatlong equation, makukuha natin ang: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Dahil $y=1$, pagkatapos ay $x=2$, $\lambda=-10$. Ang katangian ng extremum sa puntong $(2;1)$ ay tinutukoy mula sa tanda ng $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Dahil $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, kung gayon:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Sa prinsipyo, dito maaari mong agad na palitan ang mga coordinate ng nakatigil na punto $x=2$, $y=1$ at ang parameter na $\lambda=-10$, upang makuha ang:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Gayunpaman, sa iba pang mga problema para sa isang conditional extremum, maaaring mayroong ilang nakatigil na mga punto. Sa ganitong mga kaso, mas mainam na katawanin ang $d^2F$ sa isang pangkalahatang anyo, at pagkatapos ay palitan ang mga coordinate ng bawat isa sa mga nahanap na nakatigil na punto sa resultang expression:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Ang pagpapalit ng $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, makuha namin ang:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Dahil $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Sagot: sa puntong $(2;1)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=6$.

Sa susunod na bahagi, isinasaalang-alang namin ang aplikasyon ng pamamaraan ng Lagrange para sa mga function higit pa mga variable.

MULA SA Ang kakanyahan ng pamamaraang Lagrange ay upang bawasan ang conditional extremum na problema sa solusyon ng unconditional extremum na problema. Isaalang-alang ang isang non-linear na modelo ng programming:

(5.2)

saan
ay mga kilalang function,

ngunit
ay binibigyan ng mga coefficient.

Tandaan na sa pormulasyon na ito ng problema, ang mga hadlang ay ibinibigay ng mga pagkakapantay-pantay, at walang kondisyon para sa mga variable na maging nonnegative. Bilang karagdagan, ipinapalagay namin na ang mga pag-andar
ay tuloy-tuloy sa kanilang mga unang partial derivatives.

Ibahin natin ang mga kondisyon (5.2) sa paraang naglalaman ang kaliwa o kanang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay sero:

(5.3)

Buuin natin ang Lagrange function. Kabilang dito ang layunin ng function (5.1) at ang kanang bahagi ng mga hadlang (5.3), na kinuha ayon sa pagkakabanggit kasama ang mga coefficient
. Magkakaroon ng maraming coefficient ng Lagrange gaya ng mga hadlang sa problema.

Ang extremum point ng function (5.4) ay ang extremum point ng orihinal na problema at vice versa: ang pinakamainam na plano ng problema (5.1)-(5.2) ay ang global extremum point ng Lagrange function.

Sa katunayan, hayaan ang solusyon na mahanap
problema (5.1)-(5.2), pagkatapos ay nasiyahan ang mga kondisyon (5.3). Palitan natin ang plano
sa function (5.4) at i-verify ang bisa ng pagkakapantay-pantay (5.5).

Kaya, upang mahanap ang pinakamainam na plano ng orihinal na problema, ito ay kinakailangan upang siyasatin ang Lagrange function para sa isang extremum. Ang function ay may matinding mga halaga sa mga punto kung saan ang mga bahagyang derivatives nito ay pantay sero. Ang ganitong mga punto ay tinatawag nakatigil.

Tinukoy namin ang mga partial derivatives ng function (5.4)

,

.

Pagkatapos ng equalization sero derivatives nakukuha natin ang system m+n mga equation na may m+n hindi kilala

,(5.6)

Sa pangkalahatang kaso, ang system (5.6)-(5.7) ay magkakaroon ng ilang solusyon, na kinabibilangan ng lahat ng maxima at minima ng Lagrange function. Upang i-highlight ang pandaigdigang maximum o minimum, ang mga halaga ng layunin ng function ay kinakalkula sa lahat ng nahanap na mga punto. Ang pinakamalaki sa mga halagang ito ay ang pandaigdigang maximum, at ang pinakamaliit ay ang pandaigdigang minimum. Sa ilang mga kaso posible itong gamitin sapat na mga kondisyon para sa isang mahigpit na extremum tuluy-tuloy na function (tingnan ang Problema 5.2 sa ibaba):

hayaan ang function
ay tuloy-tuloy at dalawang beses na naiba-iba sa ilang kapitbahayan ng nakatigil na punto nito (mga.
)). Pagkatapos:

ngunit ) kung
, (5.8)

pagkatapos ay ang mahigpit na pinakamataas na punto ng function
;

b) kung
, (5.9)

pagkatapos ay ang mahigpit na pinakamababang punto ng function
;

G ) kung
,

pagkatapos ay ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum ay nananatiling bukas.

Bukod dito, maaaring negatibo ang ilang solusyon ng system (5.6)-(5.7). Na hindi pare-pareho sa pang-ekonomiyang kahulugan ng mga variable. Sa kasong ito, dapat suriin ang posibilidad na palitan ang mga negatibong halaga ng zero.

Pang-ekonomiyang kahulugan ng Lagrange multipliers. Pinakamainam na halaga ng multiplier
nagpapakita kung gaano magbabago ang halaga ng criterion Z kapag dinadagdagan o binabawasan ang mapagkukunan j bawat yunit, dahil

Ang pamamaraang Lagrange ay maaari ding ilapat kapag ang mga hadlang ay hindi pagkakapantay-pantay. Kaya, ang paghahanap ng extremum ng function
sa ilalim ng mga kondisyon

,

ginanap sa ilang yugto:

1. Tukuyin ang mga nakatigil na punto ng layunin ng function, kung saan malulutas nila ang sistema ng mga equation

.

2. Mula sa mga nakatigil na punto, ang mga napili na ang mga coordinate ay nakakatugon sa mga kondisyon

3. Ang pamamaraang Lagrange ay ginagamit upang malutas ang problema sa mga hadlang sa pagkakapantay-pantay (5.1)-(5.2).

4. Galugarin ang mga pandaigdigang pinakamataas na puntos na makikita sa ikalawa at ikatlong yugto: ihambing ang mga halaga layunin function sa mga puntong ito - pinakamataas na halaga tumutugma sa pinakamainam na plano.

Gawain 5.1 Ating lutasin ang Problema 1.3, na isinasaalang-alang sa unang seksyon, sa pamamagitan ng pamamaraang Lagrange. Ang pinakamainam na pamamahagi ng mga mapagkukunan ng tubig ay inilarawan ng isang modelo ng matematika

.

Bumuo ng Lagrange function

Hanapin ang unconditional maximum ng function na ito. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang mga partial derivatives at itinutumbas ang mga ito sa zero

,

Kaya, nakuha namin ang isang sistema ng mga linear na equation ng form

Ang solusyon ng sistema ng mga equation ay ang pinakamainam na plano para sa pamamahagi ng mga mapagkukunan ng tubig sa mga irigasyon na lugar

, .

Dami
sinusukat sa daan-daang libong metro kubiko.
- ang halaga ng netong kita sa bawat isang daang libong metro kubiko ng tubig sa irigasyon. Samakatuwid, ang marginal na presyo ng 1 m 3 ng tubig sa irigasyon ay
den. mga yunit

Ang pinakamataas na karagdagang netong kita mula sa irigasyon ay magiging

160 12.26 2 +7600 12.26-130 8.55 2 +5900 8.55-10 16.19 2 +4000 16.19=

172391.02 (den. units)

Gawain 5.2 Lutasin ang isang non-linear na problema sa programming

Kinakatawan namin ang hadlang bilang:

.

Buuin ang Lagrange function at tukuyin ang mga partial derivatives nito

.

Upang matukoy ang mga nakatigil na punto ng Lagrange function, dapat isa ay katumbas ng mga partial derivatives nito sa zero. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation

.

Mula sa unang equation ay sumusunod

. (5.10)

Pagpapahayag palitan sa pangalawang equation

,

kung saan mayroong dalawang solusyon para sa :

At
. (5.11)

Ang pagpapalit ng mga solusyong ito sa ikatlong equation, makuha namin

,
.

Ang mga halaga ng Lagrange multiplier at hindi alam kalkulahin sa pamamagitan ng mga expression (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Kaya, nakakuha kami ng dalawang matinding puntos:

;
.

Upang malaman kung ang mga puntong ito ay pinakamataas o pinakamababang puntos, ginagamit namin ang sapat na mga kondisyon para sa isang mahigpit na extremum (5.8)-(5.9). Pre expression para sa , na nakuha mula sa paghihigpit ng modelo ng matematika, pinapalitan namin ang layunin ng function

,

. (5.12)

Upang suriin ang mga kondisyon para sa isang mahigpit na extremum, dapat nating tukuyin ang senyales ng pangalawang derivative ng function (5.11) sa mga extreme point na nakita natin
At
.

,
;

.

Sa ganitong paraan, (·)
ay ang pinakamababang punto ng orihinal na problema (
), ngunit (·)
- pinakamataas na punto.

Pinakamainam na Plano:

,
,
,

.

Paraan ng Lagrange multipliers.

Ang Lagrange multiplier method ay isa sa mga pamamaraan na nagbibigay-daan sa paglutas ng mga non-linear na problema sa programming.

Ang nonlinear programming ay isang sangay ng mathematical programming na nag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga extremal na problema na may non-linear na layunin na function at isang domain ng mga feasible na solusyon na tinukoy ng non-linear na mga hadlang. Sa ekonomiya, ito ay tumutugma sa katotohanan na ang mga resulta (kahusayan) ay tumaas o bumaba nang hindi katimbang sa mga pagbabago sa sukat ng paggamit ng mapagkukunan (o, katumbas nito, ang sukat ng produksyon): halimbawa, dahil sa paghahati ng mga gastos sa produksyon sa mga negosyo sa mga variable. at may kondisyon na mga pare-pareho; dahil sa saturation ng demand para sa mga kalakal, kapag ang bawat kasunod na yunit ay mas mahirap ibenta kaysa sa nauna, atbp.

Ang problema ng nonlinear programming ay ipinakita bilang ang problema ng paghahanap ng pinakamabuting kalagayan ng isang tiyak na layunin ng pag-andar

F(x 1 ,…x n), F (x) → max

sa ilalim ng mga kondisyon

g j (x 1 ,…x n)≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0

saan x-vector ng mga kinakailangang variable;

F (x) -layunin function;

g (x) ay ang constraint function (patuloy na pagkakaiba-iba);

b - vector ng constraint constants.

Ang solusyon ng isang nonlinear na problema sa programming (global maximum o minimum) ay maaaring kabilang sa hangganan o sa loob ng tinatanggap na hanay.

Sa kaibahan sa isang linear na problema sa programming, sa isang non-linear na problema sa programming ang pinakamabuting kalagayan ay hindi nangangahulugang nasa hangganan ng rehiyon na tinukoy ng mga hadlang. Sa madaling salita, ang problema ay ang pagpili ng mga di-negatibong halaga ng mga variable, napapailalim sa isang sistema ng mga hadlang sa anyo ng mga hindi pagkakapantay-pantay, kung saan nakamit ang maximum (o minimum) ng ibinigay na function. Sa kasong ito, ang mga anyo ng alinman sa layunin na pag-andar o hindi pagkakapantay-pantay ay itinakda. Ay maaaring maging iba't ibang kaso: ang layunin ng function ay non-linear, at ang mga hadlang ay linear; ang layunin ng function ay linear, at ang mga hadlang (kahit isa sa kanila) ay hindi linear; pareho ang layunin ng function at ang mga hadlang ay nonlinear.

Ang problema sa non-linear programming ay nangyayari sa mga likas na agham, teknolohiya, ekonomiya, matematika, sa larangan relasyon sa negosyo at sa agham ng pamahalaan.

Ang nonlinear programming, halimbawa, ay nauugnay sa isang pangunahing problema sa ekonomiya. Kaya sa problema ng paglalaan ng limitadong mga mapagkukunan, alinman sa kahusayan ay pinalaki, o, kung ang mamimili ay pinag-aralan, ang pagkonsumo sa pagkakaroon ng mga hadlang na nagpapahayag ng mga kondisyon ng kakulangan ng mga mapagkukunan. Sa ganitong pangkalahatang pagbabalangkas, ang matematikal na pagbabalangkas ng problema ay maaaring maging imposible, ngunit sa mga tiyak na aplikasyon, ang dami ng anyo ng lahat ng mga pag-andar ay maaaring direktang matukoy. Halimbawa, ang isang pang-industriya na negosyo ay gumagawa ng mga produktong plastik. Ang kahusayan sa produksyon dito ay sinusukat sa pamamagitan ng tubo, at ang mga hadlang ay binibigyang kahulugan bilang magagamit na paggawa, espasyo sa produksyon, produktibidad ng kagamitan, atbp.

Ang "cost-effectiveness" na paraan ay umaangkop din sa scheme ng non-linear programming. Ang pamamaraang ito ay dinisenyo para gamitin sa paggawa ng desisyon sa pamahalaan. Pangkalahatang pag-andar ang kahusayan ay kapakanan. Dalawang di-linear na problema sa programming ang lumitaw dito: ang una ay ang pag-maximize ng epekto na may limitadong mga gastos, ang pangalawa ay ang pagliit ng mga gastos, sa kondisyon na ang epekto ay higit sa isang tiyak na minimum na antas. Ang problemang ito ay karaniwang mahusay na namodelo gamit ang non-linear programming.

Ang mga resulta ng paglutas sa problema ng nonlinear programming ay nakakatulong sa paggawa ng mga desisyon ng gobyerno. Ang resultang solusyon ay, siyempre, inirerekomenda, kaya't kinakailangang siyasatin ang mga pagpapalagay at katumpakan ng pagbabalangkas ng problema sa nonlinear programming bago gumawa ng pangwakas na desisyon.

Ang mga hindi linear na problema ay kumplikado, kadalasan ang mga ito ay pinasimple sa pamamagitan ng humahantong sa mga linear. Upang gawin ito, may kondisyong ipinapalagay na sa isang partikular na lugar ang layunin ng function ay tumataas o bumababa sa proporsyon sa pagbabago sa mga independiyenteng variable. Ang diskarte na ito ay tinatawag na paraan ng piecewise linear approximation; gayunpaman, ito ay naaangkop lamang sa ilang mga uri ng nonlinear na problema.

Ang mga nonlinear na problema sa ilalim ng ilang mga kundisyon ay nalutas gamit ang Lagrange function: na natagpuan ang saddle point nito, nahanap din nila ang solusyon sa problema. Kabilang sa mga computational algorithm ng N. p., isang malaking lugar ang inookupahan ng mga pamamaraan ng gradient. Walang unibersal na paraan para sa mga hindi linear na problema at, tila, maaaring wala, dahil ang mga ito ay lubhang magkakaibang. Ang mga multi-extremal na problema ay lalong mahirap lutasin.

Ang isa sa mga pamamaraan na nagbibigay-daan sa pagbabawas ng problema ng nonlinear programming sa paglutas ng isang sistema ng mga equation ay ang Lagrange na paraan ng mga hindi tiyak na multiplier.

Sa tulong ng paraan ng multiplier ng Lagrange, isa talaga ang nagtatatag mga kinakailangang kondisyon, na nagbibigay-daan upang matukoy ang mga pinakamabuting punto sa mga problema sa pag-optimize na may mga hadlang sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay. Sa kasong ito, ang problema sa mga hadlang ay binago sa isang katumbas na problema ng unconstrained optimization, kung saan lumilitaw ang ilang hindi kilalang parameter, na tinatawag na Lagrange multiplier.

Ang Lagrange multiplier method ay binubuo sa pagbabawas ng mga problema para sa conditional extremum sa mga problema para sa unconditional extremum ng isang auxiliary function - ang tinatawag na. Mga function ng Lagrange.

Para sa problema ng extremum ng function f(x 1 , x 2 ,..., x n) sa ilalim ng mga kondisyon (coupling equation) φ i(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., m, ang Lagrange function ay may form

L(x 1, x 2… x n ,λ 1, λ 2 ,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Mga multiplier λ 1 , λ 2 , ..., λm tinawag Lagrange multiplier.

Kung ang dami x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm ay ang mga solusyon ng mga equation na tumutukoy sa mga nakatigil na punto ng Lagrange function, ibig sabihin, para sa mga differentiable function, ang mga ito ay mga solusyon ng sistema ng mga equation

pagkatapos ay sa ilalim ng sapat na pangkalahatang pagpapalagay x 1 , x 2 , ..., x n naghahatid ng extremum ng function f.

Isaalang-alang ang problema ng pagliit ng isang function ng n variable, na isinasaalang-alang ang isang hadlang sa anyo ng isang pagkakapantay-pantay:

I-minimize ang f(x 1, x 2… x n) (1)

may mga paghihigpit h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

Alinsunod sa pamamaraan ng Lagrange multiplier, ang problemang ito ay binago sa sumusunod na problema sa pag-optimize na walang limitasyon:

bawasan ang L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

kung saan Ang function na L(х;λ) ay tinatawag na Lagrange function,

Ang λ ay isang hindi kilalang pare-pareho, na tinatawag na Lagrange multiplier. Walang mga kinakailangan na ipinapataw sa tanda ng λ.

Hayaan sa itakda ang halagaλ=λ 0 ang unconditional na minimum ng function na L(x,λ) na may kinalaman sa x ay naabot sa puntong x=x 0 at x 0 ay nakakatugon sa equation h 1 (x 0)=0. Pagkatapos, dahil madaling makita, pinaliit ng x 0 ang (1) na isinasaalang-alang ang (2), dahil para sa lahat ng mga halaga ng x kasiya-siya (2), h 1 (x)=0 at L(x,λ)= min f(x).

Siyempre, kinakailangang piliin ang halaga λ=λ 0 sa paraang ang coordinate ng unconditional minimum point x 0 ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay (2). Magagawa ito kung, kung isasaalang-alang ang λ bilang isang variable, makikita natin ang unconditional na minimum ng function (3) sa anyo ng isang function λ, at pagkatapos ay piliin ang halaga ng λ kung saan nasiyahan ang pagkakapantay-pantay (2). Ilarawan natin ito sa isang tiyak na halimbawa.

I-minimize ang f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

na may paghihigpit h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Ang kaukulang unconstrained optimization problem ay nakasulat bilang mga sumusunod:

bawasan ang L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Solusyon. Equating ang dalawang bahagi ng gradient L sa zero, makuha namin

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

Upang masuri kung ang nakatigil na puntong x° ay tumutugma sa pinakamababa, kinakalkula namin ang mga elemento ng Hessian matrix ng function na L(x; u), na itinuturing bilang isang function ng x,

na lumalabas na positibong tiyak.

Nangangahulugan ito na ang L(x, u) ay isang convex function ng x. Samakatuwid, tinutukoy ng mga coordinate x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 ang pandaigdigang minimum na punto. Ang pinakamainam na halaga ng λ ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halagang x 1 0 at x 2 0 sa equation na 2x 1 +x 2 =2, kung saan 2λ+λ/2=2 o λ 0 =4/5. Kaya, ang minimum na kondisyon ay naabot sa x 1 0 =4/5 at x 2 0 =2/5 at katumbas ng min f(x)=4/5.

Kapag nilutas ang problema mula sa halimbawa, isinasaalang-alang namin ang L(x; λ) bilang isang function ng dalawang variable x 1 at x 2 at, bilang karagdagan, ipinapalagay na ang halaga ng parameter na λ ay pinili upang ang paghihigpit ay nasiyahan. Kung ang solusyon ng sistema

J=1,2,3,…,n

hindi maaaring makuha sa anyo ng mga tahasang pag-andar ng λ, kung gayon ang mga halaga ng x at λ ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sumusunod na sistema, na binubuo ng n + 1 equation na may n + 1 na hindi alam:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

Para mahanap lahat mga posibleng solusyon maaaring gamitin ang sistemang ito numerical na pamamaraan paghahanap (halimbawa, ang pamamaraan ni Newton). Para sa bawat isa sa mga solusyon (), dapat isa kalkulahin ang mga elemento ng Hessian matrix ng function L, itinuturing bilang isang function ng x, at alamin kung ang matrix na ito ay positibong tiyak (lokal na minimum) o negatibong tiyak (lokal na maximum. ).

Ang paraan ng mga multiplier ng Lagrange ay maaaring palawigin sa kaso kapag ang problema ay may ilang mga hadlang sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay. Isaalang-alang ang isang pangkalahatang problema na nangangailangan

I-minimize ang f(x)

sa ilalim ng mga paghihigpit h k =0, k=1, 2, ..., K.

Ang Lagrange function ay tumatagal ng sumusunod na anyo:

Dito λ 1 , λ 2 , ..., λk-Lagrange multipliers, i.e. hindi kilalang mga parameter na ang mga halaga ay kailangang matukoy. Ang equating ng mga partial derivatives ng L na may paggalang sa x sa zero, nakuha namin ang sumusunod na sistema ng n equation na may n hindi alam:

Kung ito ay naging mahirap na makahanap ng solusyon sa itaas na sistema sa anyo ng mga pag-andar ng vector λ, kung gayon posible na palawakin ang system sa pamamagitan ng pagsasama ng mga paghihigpit sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay.

Ang solusyon ng pinalawig na sistema, na binubuo ng n + K equation na may n + K na hindi alam, ay tumutukoy sa nakatigil na punto ng function na L. Pagkatapos ay ipinatupad ang pamamaraan para sa pagsuri para sa isang minimum o maximum, na isinasagawa batay sa pagkalkula ang mga elemento ng Hessian matrix ng function L, na itinuturing bilang isang function ng x, katulad ng isa tulad ng ginawa sa kaso ng isang problema sa isang hadlang. Para sa ilang mga problema, maaaring walang mga solusyon ang pinahabang sistema ng mga n+K equation na may mga n+K na equation, at ang Lagrange multiplier na paraan ay lumalabas na hindi naaangkop. Gayunpaman, dapat tandaan na ang mga naturang gawain ay medyo bihira sa pagsasanay.

Isaalang-alang ang isang espesyal na kaso karaniwang gawain non-linear programming, sa pag-aakalang ang sistema ng mga hadlang ay naglalaman lamang ng mga equation, walang mga kundisyon para sa non-negatibiti ng mga variable at at - function ay tuluy-tuloy kasama ng kanilang mga partial derivatives. Samakatuwid, nang malutas ang sistema ng mga equation (7), ang lahat ng mga puntos ay nakuha kung saan ang function (6) ay maaaring magkaroon ng matinding halaga.

Algorithm ng paraan ng mga multiplier ng Lagrange

1. Binubuo namin ang Lagrange function.

2. Nahanap namin ang mga partial derivatives ng Lagrange function na may paggalang sa mga variable x J ,λ i at itinutumbas ang mga ito sa zero.

3. Nilulutas namin ang sistema ng mga equation (7), hanapin ang mga punto kung saan ang layunin ng pag-andar ng problema ay maaaring magkaroon ng isang extremum.

4. Sa mga puntong kahina-hinala ng isang extremum, makikita natin ang mga kung saan naabot ang extremum, at kalkulahin ang mga halaga ng function (6) sa mga puntong ito.

Halimbawa.

Paunang data: Ayon sa plano ng produksyon, ang negosyo ay kailangang gumawa ng 180 mga produkto. Ang mga produktong ito ay maaaring gawin sa dalawang teknolohikal na paraan. Sa paggawa ng x 1 na mga produkto sa paraan 1, ang mga gastos ay 4x 1 + x 1 2 rubles, at sa paggawa ng x 2 na mga produkto sa paraan 2, ang mga ito ay 8x 2 + x 2 2 rubles. Tukuyin kung gaano karaming mga produkto ang bawat isa sa mga pamamaraan ay dapat gawin upang ang halaga ng produksyon ay minimal.

Ang layunin ng pag-andar para sa problema ay may anyo
® min sa ilalim ng mga kundisyon x 1 +x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Buuin ang Lagrange function
.
2. Kinakalkula namin ang mga partial derivatives na may paggalang sa x 1, x 2, λ at itinutumbas ang mga ito sa zero:

3. Ang paglutas ng nagresultang sistema ng mga equation, nakita namin ang x 1 \u003d 91, x 2 \u003d 89

4. Ang pagkakaroon ng kapalit sa layunin ng function x 2 \u003d 180-x 1, nakakakuha kami ng isang function ng isang variable, katulad f 1 \u003d 4x 1 +x 1 2 +8 (180-x 1) + (180- x 1) 2

Kalkulahin o 4x 1 -364=0 ,

kung saan mayroon tayong x 1 * =91, x 2 * =89.

Sagot: Ang bilang ng mga produkto na ginawa ng unang pamamaraan ay x 1 \u003d 91, sa pangalawang paraan x 2 \u003d 89, habang ang halaga ng layunin na pag-andar ay 17278 rubles.

Paraan ng Lagrange ay isang paraan para sa paglutas ng problema sa conditional optimization kung saan ang mga hadlang, na isinulat bilang mga implicit na function, ay pinagsama sa isang layunin na function sa anyo ng isang bagong equation na tinatawag Lagrangian.

Isaalang-alang ang isang espesyal na kaso ng isang pangkalahatang non-linear na problema sa programming:

Binigyang sistema nonlinear equation (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Hanapin ang pinakamaliit (o pinakamalaking) halaga ng function (2)

(2) f (х1,х2,…,хn),

kung walang mga kundisyon para sa di-negatibiti ng mga variable at ang f(x1,x2,…,xn) at gi(x1,x2,…,xn) ay mga function na tuluy-tuloy kasama ng kanilang mga partial derivatives.

Upang makahanap ng solusyon sa problemang ito, maaari mong ilapat ang sumusunod na pamamaraan: 1. Magpasok ng isang set ng mga variable λ1, λ2,…, λm, na tinatawag na Lagrange multipliers, bumubuo sa Lagrange function (3)

(3) F(х1,х2,…,хn , λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi .

2. Hanapin ang mga partial derivatives ng Lagrange function na may paggalang sa mga variable xi at λi at i-equate ang mga ito sa zero.

3. Paglutas ng sistema ng mga equation, hanapin ang mga punto kung saan ang layunin ng function ng problema ay maaaring magkaroon ng extremum.

4. Kabilang sa mga puntos na kahina-hinala ng hindi isang extremum, makikita nila ang mga kung saan naabot ang extremum, at kinakalkula ang mga halaga ng function sa mga puntong ito .

4. Ihambing ang nakuha na mga halaga ng function na f at piliin ang pinakamahusay.

Ayon sa plano ng produksyon, ang negosyo ay kailangang gumawa ng 180 mga produkto. Ang mga produktong ito ay maaaring gawin sa dalawang teknolohikal na paraan. Sa paggawa ng mga produkto ng x1 sa pamamagitan ng pamamaraan I, ang mga gastos ay 4 * x1 + x1 ^ 2 rubles, at sa paggawa ng mga produkto ng x2 sa pamamagitan ng pamamaraan II, ang mga ito ay 8 * x2 + x2 ^ 2 rubles. Tukuyin kung gaano karaming mga produkto ang bawat isa sa mga paraan ay dapat gawin, nang sa gayon Kabuuang gastos para sa produksyon ay minimal.

Solusyon: Ang mathematical formulation ng problema ay binubuo sa pagtukoy ang pinakamaliit na halaga mga function ng dalawang variable:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, ibinigay x1 +x2 = 180.

Buuin natin ang Lagrange function:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Kinakalkula namin ang mga partial derivatives nito na may paggalang sa x1, x2, λ at itinutumbas ang mga ito sa 0:

Inilipat namin ang unang dalawang equation λ sa kanang bahagi at itinutumbas ang kanilang kaliwang bahagi, nakukuha namin ang 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, o x1 − x2 = 2.

Ang paglutas ng huling equation kasama ang equation na x1 + x2 = 180, nakita namin ang x1 = 91, x2 = 89, iyon ay, nakakuha kami ng isang solusyon na nakakatugon sa mga kondisyon:

Hanapin natin ang halaga ng layunin ng function f para sa mga halagang ito ng mga variable:

F(x1, x2) = 17278

Ang puntong ito ay kahina-hinala para sa isang extremum. Gamit ang pangalawang partial derivatives, maipapakita natin na sa punto (91.89) ang function f ay may pinakamababa.