Post ng mga trigonometric equation. Solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation

Aralin at pagtatanghal sa paksa: "Solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga manual at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 10 mula sa 1C
Malulutas namin ang mga problema sa geometry. Mga interactive na gawain para sa pagbuo sa espasyo
Software environment "1C: Mathematical constructor 6.1"

Ano ang ating pag-aaralan:
1. Ano ang trigonometriko equation?

3. Dalawang pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.
4. Homogeneous trigonometriko equation.
5. Mga halimbawa.

Ano ang trigonometric equation?

Guys, napag-aralan na natin ang arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent. Ngayon tingnan natin ang mga trigonometric equation sa pangkalahatan.

Trigonometric equation - mga equation kung saan ang variable ay nakapaloob sa ilalim ng sign ng trigonometric function.

Inuulit namin ang anyo ng paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko:

1) Kung |а|≤ 1, kung gayon ang equation cos(x) = a ay may solusyon:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Kung |а|≤ 1, kung gayon sin equation(x) = a ay may solusyon:

3) Kung |a| > 1, kung gayon ang equation na sin(x) = a at cos(x) = a ay walang mga solusyon 4) Ang equation na tg(x)=a ay may solusyon: x=arctg(a)+ πk

5) Ang equation na ctg(x)=a ay may solusyon: x=arcctg(a)+ πk

Para sa lahat ng mga formula, ang k ay isang integer

Ang pinakasimpleng trigonometriko equation ay may anyo: Т(kx+m)=a, T- anumang trigonometriko function.

Lutasin ang mga equation: a) sin(3x)= √3/2

Solusyon:

A) Tukuyin natin ang 3x=t, pagkatapos ay muling isusulat natin ang ating equation sa anyo:

Ang solusyon sa equation na ito ay magiging: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Mula sa talahanayan ng mga halaga ay nakukuha natin: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Bumalik tayo sa ating variable: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Pagkatapos x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Sagot: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kung saan ang n ay isang integer. (-1)^n - minus one sa kapangyarihan ng n.

Higit pang mga halimbawa ng trigonometric equation.

Solusyon:

A) Sa pagkakataong ito, diretso tayo sa pagkalkula ng mga ugat ng equation kaagad:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Pagkatapos x/5= πk => x=5πk

Sagot: x=5πk, kung saan ang k ay isang integer.

B) Sumulat tayo sa anyong: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Alam namin na: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Sagot: x=2π/9 + πk/3, kung saan ang k ay isang integer.

Lutasin ang mga equation: cos(4x)= √2/2. At hanapin ang lahat ng mga ugat sa segment.

Solusyon:

Magdedesisyon tayo pangkalahatang pananaw ang aming equation: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Ngayon tingnan natin kung anong mga ugat ang nahuhulog sa ating segment. Para sa k Para sa k=0, x= π/16, tayo ay nasa ibinigay na segment .
Sa k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, muli silang tumama.
Para sa k=2, x= π/16+ π=17π/16, ngunit dito hindi kami tumama, ibig sabihin, hindi rin kami tatama para sa malaking k.

Sagot: x= π/16, x= 9π/16

Dalawang pangunahing paraan ng solusyon.

Lutasin natin ang equation:

Solusyon:
Upang malutas ang aming equation, ginagamit namin ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, na tinutukoy: t=tg(x).

Bilang resulta ng kapalit, nakukuha natin ang: t 2 + 2t -1 = 0

Hanapin ang mga ugat ng quadratic equation: t=-1 at t=1/3

Pagkatapos tg(x)=-1 at tg(x)=1/3, nakuha namin ang pinakasimpleng trigonometric equation, hanapin natin ang mga ugat nito.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Sagot: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang equation

Lutasin ang mga equation: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Solusyon:

Gamitin natin ang pagkakakilanlan: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ang aming equation ay nagiging: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ipakilala natin ang kapalit na t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Ang solusyon sa aming quadratic equation ay ang mga ugat: t=2 at t=-1/2

Pagkatapos cos(x)=2 at cos(x)=-1/2.

kasi Ang cosine ay hindi maaaring kumuha ng mga halaga na higit sa isa, kung gayon ang cos(x)=2 ay walang mga ugat.

Para sa cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Sagot: x= ±2π/3 + 2πk

Mga homogenous na trigonometric equation.

Mga equation ng form

homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree.

Upang malutas ang isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree, hinahati namin ito sa cos(x): Hindi mo maaaring hatiin sa cosine kung ito ay sero, siguraduhin nating hindi ito:
Hayaan ang cos(x)=0, pagkatapos asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ngunit ang sine at cosine ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras, nakakuha tayo ng kontradiksyon, upang ligtas nating hatiin sa pamamagitan ng zero.

Lutasin ang equation:
Halimbawa: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Solusyon:

Alisin ang karaniwang salik: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Pagkatapos ay kailangan nating lutasin ang dalawang equation:

cos(x)=0 at cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 para sa x= π/2 + πk;

Isaalang-alang ang equation cos(x)+sin(x)=0 Hatiin ang aming equation sa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Sagot: x= π/2 + πk at x= -π/4+πk

Paano malutas ang mga homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree?
Guys, sundin ang mga patakarang ito palagi!

1. Tingnan kung ano ang katumbas ng koepisyent a, kung ang isang \u003d 0 kung gayon ang aming equation ay kukuha ng anyo na cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), isang halimbawa ng solusyon kung saan ay nasa naunang slide

2. Kung a≠0, kailangan mong hatiin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng squared cosine, nakukuha natin ang:

Ginagawa namin ang pagbabago ng variable t=tg(x) nakukuha namin ang equation:

Lutasin ang Halimbawa #:3

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng cosine square:

Gumagawa kami ng pagbabago ng variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Hanapin ang mga ugat ng quadratic equation: t=-3 at t=1

Pagkatapos: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Sagot: x=-arctg(3) + πk at x= π/4+ πk

Lutasin ang Halimbawa #:4

Solusyon:
Ibahin natin ang ating ekspresyon:

Maaari nating lutasin ang mga naturang equation: x= - π/4 + 2πk at x=5π/4 + 2πk

Sagot: x= - π/4 + 2πk at x=5π/4 + 2πk

Lutasin ang Halimbawa #:5

Solusyon:
Ibahin natin ang ating ekspresyon:

Ipinakilala namin ang kapalit na tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Ang solusyon sa ating quadratic equation ay ang mga ugat: t=-2 at t=1/2

Pagkatapos ay makukuha natin ang: tg(2x)=-2 at tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Sagot: x=-arctg(2)/2 + πk/2 at x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Mga gawain para sa malayang solusyon.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Lutasin ang mga equation: sin(3x)= √3/2. At hanapin ang lahat ng mga ugat sa segment [π/2; π].

3) Lutasin ang equation: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Lutasin ang equation: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lutasin ang equation: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lutasin ang equation: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Aralin ng kumplikadong aplikasyon ng kaalaman.

Mga layunin ng aralin.

1. Isipin mo iba't ibang pamamaraan mga solusyon ng trigonometric equation.
2. Pag-unlad pagkamalikhain mga mag-aaral sa pamamagitan ng paglutas ng mga equation.
3. Hikayatin ang mga mag-aaral na kontrolin ang sarili, kontrol sa isa't isa, pagsusuri sa sarili ng kanilang mga aktibidad na pang-edukasyon.

Kagamitan: screen, projector, reference na materyal.

Sa panahon ng mga klase

Panimulang usapan.

Ang pangunahing paraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko ay ang kanilang pinakasimpleng pagbawas. Sa kasong ito, ang mga karaniwang pamamaraan ay ginagamit, halimbawa, factorization, pati na rin ang mga pamamaraan na ginagamit lamang para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Napakaraming mga trick na ito, halimbawa, iba't ibang mga pamalit na trigonometriko, pagbabagong-anyo ng anggulo, pagbabagong-anyo. trigonometriko function. Ang walang pinipiling aplikasyon ng anumang mga pagbabagong trigonometriko ay kadalasang hindi nagpapasimple sa equation, ngunit nagpapalubha nito nang nakapipinsala. Upang mag-ehersisyo sa sa mga pangkalahatang tuntunin plano para sa paglutas ng equation, balangkas ng isang paraan upang bawasan ang equation sa pinakasimpleng, kailangan mo munang pag-aralan ang mga anggulo - ang mga argumento ng trigonometriko function na kasama sa equation.

Ngayon ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Ang isang wastong napiling pamamaraan ay kadalasang nagbibigay-daan sa isang makabuluhang pagpapasimple ng solusyon, kaya ang lahat ng mga pamamaraan na aming pinag-aralan ay dapat palaging itago sa zone ng aming pansin upang malutas ang mga trigonometrikong equation sa pinakaangkop na paraan.

II. (Gamit ang isang projector, inuulit namin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation.)

1. Isang paraan para sa pagbabawas ng isang trigonometric equation sa isang algebraic.

Ito ay kinakailangan upang ipahayag ang lahat ng trigonometriko function sa pamamagitan ng isa, na may parehong argumento. Magagawa ito gamit ang pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan at ang mga kaakibat nito. Nakukuha namin ang isang equation na may isang trigonometric function. Isinasaalang-alang ito bilang isang bagong hindi alam, nakakakuha kami ng isang algebraic equation. Nahanap namin ang mga ugat nito at bumalik sa dating hindi alam, nilulutas ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko.

2. Paraan ng factorization.

Upang baguhin ang mga anggulo, ang mga formula ng pagbabawas, mga kabuuan at mga pagkakaiba ng mga argumento, pati na rin ang mga formula para sa pag-convert ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga trigonometriko function sa isang produkto at vice versa ay kadalasang kapaki-pakinabang.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Paraan para sa pagpapakilala ng karagdagang anggulo.

4. Paraan ng paggamit ng universal substitution.

Ang mga equation ng form na F(sinx, cosx, tgx) = 0 ay binabawasan sa algebraic equation gamit ang unibersal na trigonometric substitution

Pagpapahayag ng sine, cosine at tangent sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo. Ang trick na ito ay maaaring humantong sa isang mas mataas na order equation. Ang desisyon kung saan mahirap.

Ang konsepto ng paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

• Upang malutas ang isang trigonometric equation, i-convert ito sa isa o higit pang mga pangunahing trigonometric equation. Ang paglutas ng trigonometric equation sa huli ay bumababa sa paglutas ng apat na pangunahing trigonometric equation.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang mga trigonometric equation ay hindi ang pinakamadaling paksa. Masakit na magkaiba sila.) Halimbawa, ang mga ito:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

atbp...

Ngunit ang mga ito (at lahat ng iba pang) trigonometric monsters ay may dalawang karaniwan at obligadong tampok. Una - hindi ka maniniwala - may mga trigonometric function sa mga equation.) Pangalawa: lahat ng expression na may x ay sa loob ng parehong mga function na ito. At doon lang! Kung lilitaw ang x sa isang lugar sa labas, Halimbawa, sin2x + 3x = 3, ito ay magiging isang mixed type equation. Ang ganitong mga equation ay nangangailangan indibidwal na diskarte. Dito hindi natin sila isasaalang-alang.

Hindi rin natin lulutasin ang masasamang equation sa araling ito.) Dito natin haharapin ang pinakasimpleng trigonometriko equation. Bakit? Oo, dahil ang desisyon anuman Ang mga equation ng trigonometriko ay binubuo ng dalawang yugto. Sa unang yugto, ang masamang equation ay nabawasan sa isang simpleng isa sa pamamagitan ng iba't ibang mga pagbabago. Sa pangalawa - ang pinakasimpleng equation na ito ay nalutas. Walang ibang paraan.

Kaya, kung mayroon kang mga problema sa ikalawang yugto, ang unang yugto ay walang gaanong kahulugan.)

Ano ang hitsura ng elementarya na trigonometric equation?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Dito a ay kumakatawan sa anumang numero. Anuman.

Sa pamamagitan ng paraan, sa loob ng function ay maaaring walang purong x, ngunit ilang uri ng pagpapahayag, tulad ng:

cos(3x+π /3) = 1/2

atbp. Pinapalubha nito ang buhay, ngunit hindi nakakaapekto sa paraan ng paglutas ng trigonometric equation.

Paano malutas ang mga equation ng trigonometriko?

Ang mga equation ng trigonometric ay maaaring malutas sa dalawang paraan. Ang unang paraan: gamit ang lohika at isang trigonometriko na bilog. Tuklasin natin ang landas na ito dito. Ang ikalawang paraan - gamit ang memorya at mga formula - ay isasaalang-alang sa susunod na aralin.

Ang unang paraan ay malinaw, maaasahan, at mahirap kalimutan.) Ito ay mabuti para sa paglutas ng mga trigonometric equation, hindi pagkakapantay-pantay, at lahat ng uri ng nakakalito na hindi karaniwang mga halimbawa. Ang lohika ay mas malakas kaysa sa memorya!

Nilulutas namin ang mga equation gamit ang isang trigonometriko na bilog.

Kasama namin ang elementarya na lohika at ang kakayahang gumamit ng trigonometriko na bilog. Hindi ba pwede!? Gayunpaman... Magiging mahirap para sa iyo sa trigonometrya...) Ngunit hindi mahalaga. Tingnan ang mga aralin na "Trigonometric circle ...... Ano ito?" at "Pagbibilang ng mga anggulo sa isang trigonometric na bilog." Simple lang ang lahat doon. Hindi tulad ng mga aklat-aralin...)

Ah, alam mo!? At pinagkadalubhasaan pa ang "Praktikal na gawaing may trigonometriko na bilog"!? Tanggapin ang pagbati. Ang paksang ito ay magiging malapit at mauunawaan sa iyo.) Ang nakatutuwa lalo na ang trigonometriko na bilog ay walang pakialam kung aling equation ang iyong malulutas. Sine, cosine, tangent, cotangent - lahat ay pareho para sa kanya. Ang prinsipyo ng solusyon ay pareho.

Kaya kumukuha kami ng anumang elementarya na trigonometric equation. Hindi bababa sa ito:

cosx = 0.5

Kailangan kong hanapin si X. Ang pagsasalita sa wika ng tao, kailangan mo hanapin ang anggulo (x) na ang cosine ay 0.5.

Paano natin ginamit ang bilog noon? Gumuhit kami ng isang sulok dito. Sa mga degree o radian. At kaagad nakita trigonometriko function ng anggulong ito. Ngayon gawin natin ang kabaligtaran. Gumuhit ng cosine na katumbas ng 0.5 sa bilog at kaagad titingnan natin sulok. Ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot.) Oo, oo!

Gumuhit kami ng isang bilog at markahan ang cosine na katumbas ng 0.5. Sa cosine axis, siyempre. Ganito:

Ngayon ay iguhit natin ang anggulo na ibinibigay sa atin ng cosine na ito. I-hover ang iyong mouse sa ibabaw ng larawan (o pindutin ang larawan sa isang tablet), at tingnan mo itong parehong sulok X.

Aling anggulo ang may cosine na 0.5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Ang ilang mga tao ay mag-uungol nang may pag-aalinlangan, oo... Sabi nila, sulit ba ang pagbabakod sa bilog, kapag malinaw na ang lahat... Maaari mo, siyempre, ang ungol...) Ngunit ang katotohanan ay ito ay isang mali sagot. O sa halip, hindi sapat. Naiintindihan ng mga connoisseurs ng bilog na mayroon pa ring isang buong grupo ng mga anggulo na nagbibigay din ng cosine na katumbas ng 0.5.

Kung iikot mo ang movable side OA para sa isang buong pagliko, babalik ang point A sa orihinal nitong posisyon. Na may parehong cosine na katumbas ng 0.5. Yung. magbabago ang anggulo 360° o 2π radians, at ang cosine ay hindi. Ang bagong anggulo 60° + 360° = 420° ay magiging solusyon din sa ating equation, dahil

Mayroong walang katapusang bilang ng gayong buong pag-ikot... At lahat ng mga bagong anggulong ito ay magiging mga solusyon sa ating trigonometric equation. At lahat sila ay kailangang isulat kahit papaano. Lahat. Kung hindi, ang desisyon ay hindi isinasaalang-alang, oo ...)

Magagawa ito ng matematika nang simple at elegante. Sa isang maikling sagot, isulat walang katapusang set mga solusyon. Narito kung ano ang hitsura nito para sa aming equation:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

I-decipher ko. Sumulat pa rin makahulugan mas maganda kaysa sa hangal na gumuhit ng ilang mahiwagang mga titik, tama ba?)

π /3 ay ang parehong anggulo na tayo nakita sa bilog at nakilala ayon sa talahanayan ng mga cosine.

2π ay isang buong pagliko sa radians.

n - ito ang bilang ng kumpleto, i.e. buo mga rebolusyon. Ito ay malinaw na n maaaring 0, ±1, ±2, ±3.... at iba pa. Ano ang ipinahiwatig maikling tala:

n ∈ Z

n kabilang ( ∈ ) sa hanay ng mga integer ( Z ). Sa pamamagitan ng paraan, sa halip na ang sulat n maaaring gamitin ang mga titik k, m, t atbp.

Nangangahulugan ang notasyong ito na maaari kang kumuha ng anumang integer n . Hindi bababa sa -3, hindi bababa sa 0, hindi bababa sa +55. Anong gusto mo. Kung isaksak mo ang numerong iyon sa iyong sagot, makakakuha ka ng isang partikular na anggulo, na tiyak na magiging solusyon sa aming malupit na equation.)

O, sa madaling salita, x \u003d π / 3 ay ang tanging ugat ng isang walang katapusang set. Upang makuha ang lahat ng iba pang mga ugat, sapat na upang magdagdag ng anumang bilang ng buong pagliko sa π / 3 ( n ) sa radians. Yung. 2πn radian.

Lahat? Hindi. Partikular kong binabanat ang kasiyahan. Para mas matandaan.) Nakatanggap lang kami ng bahagi ng mga sagot sa aming equation. Isusulat ko itong unang bahagi ng solusyon tulad ng sumusunod:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - hindi isang ugat, ito ay isang buong serye ng mga ugat, nakasulat sa maikling anyo.

Ngunit may iba pang mga anggulo na nagbibigay din ng cosine na katumbas ng 0.5!

Bumalik tayo sa aming larawan, ayon sa kung saan isinulat namin ang sagot. Nandiyan siya:

Ilipat ang mouse sa ibabaw ng imahe at tingnan mo ibang sulok yan nagbibigay din ng cosine na 0.5. Ano sa tingin mo ang katumbas nito? Ang mga tatsulok ay pareho... Oo! Siya katumbas ng anggulo X , naka-plot lamang sa negatibong direksyon. Ito ang sulok -X. Ngunit nakalkula na namin ang x. π /3 o 60°. Samakatuwid, maaari naming ligtas na magsulat:

x 2 \u003d - π / 3

At, siyempre, idinagdag namin ang lahat ng mga anggulo na nakuha sa pamamagitan ng buong pagliko:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Iyon lang ngayon.) Sa isang trigonometric circle, kami nakita(sino ang nakakaintindi, siyempre)) lahat ang mga anggulo na nagbibigay ng cosine na katumbas ng 0.5. At isinulat ang mga anggulong ito nang maikli anyong matematikal. Ang sagot ay dalawang walang katapusang serye ng mga ugat:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ito ang tamang sagot.

pag-asa, pangkalahatang prinsipyo para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko sa tulong ng isang bilog ay naiintindihan. Minarkahan namin ang cosine (sine, tangent, cotangent) mula sa ibinigay na equation sa bilog, iguhit ang kaukulang mga anggulo at isulat ang sagot. Siyempre, kailangan mong malaman kung anong uri ng mga sulok tayo nakita sa bilog. Minsan hindi masyadong halata. Well, tulad ng sinabi ko, kailangan ang logic dito.)

Halimbawa, pag-aralan natin ang isa pang trigonometric equation:

Pakitandaan na ang bilang na 0.5 ay hindi lamang ang posibleng numero sa mga equation!) Mas maginhawa para sa akin na isulat ito kaysa sa mga ugat at praksyon.

Nagtatrabaho kami ayon sa pangkalahatang prinsipyo. Gumuhit kami ng isang bilog, markahan (sa sine axis, siyempre!) 0.5. Gumuhit kami nang sabay-sabay sa lahat ng mga anggulo na naaayon sa sine na ito. Nakuha namin ang larawang ito:

Hayaan muna natin ang anggulo. X sa unang quarter. Naaalala namin ang talahanayan ng mga sine at tinutukoy ang halaga ng anggulong ito. Ang bagay ay simple:

x \u003d π / 6

Naaalala namin ang buong pagliko at, nang may malinis na budhi, isulat ang unang serye ng mga sagot:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ang kalahati ng trabaho ay tapos na. Ngayon kailangan nating tukuyin pangalawang kanto... Ito ay mas nakakalito kaysa sa mga cosine, oo ... Ngunit ililigtas tayo ng lohika! Paano matukoy ang pangalawang anggulo sa pamamagitan ng x? Oo Madali! Ang mga tatsulok sa larawan ay pareho, at ang pulang sulok X katumbas ng anggulo X . Tanging ito ay binibilang mula sa anggulo π sa negatibong direksyon. Iyon ang dahilan kung bakit ito ay pula.) At para sa aming sagot, kailangan namin ng isang anggulo na sinusukat nang tama mula sa positibong semiaxis OX, i.e. mula sa isang anggulo ng 0 degrees.

I-hover ang cursor sa larawan at tingnan ang lahat. Inalis ko ang unang sulok upang hindi kumplikado ang larawan. Ang anggulo ng interes sa amin (iginuhit sa berde) ay magiging katumbas ng:

π - x

x alam natin π /6 . Kaya ang pangalawang anggulo ay magiging:

π - π /6 = 5π /6

Muli, naaalala namin ang pagdaragdag ng buong rebolusyon at isulat ang pangalawang serye ng mga sagot:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Iyon lang. Ang isang kumpletong sagot ay binubuo ng dalawang serye ng mga ugat:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ang mga equation na may tangent at cotangent ay madaling malutas gamit ang parehong pangkalahatang prinsipyo para sa paglutas ng mga trigonometric equation. Maliban kung, siyempre, alam mo kung paano gumuhit ng tangent at cotangent sa isang trigonometric na bilog.

Sa mga halimbawa sa itaas, ginamit ko ang tabular na halaga ng sine at cosine: 0.5. Yung. isa sa mga kahulugan na alam ng mag-aaral dapat. Ngayon palawakin natin ang ating mga kakayahan upang lahat ng iba pang mga halaga. Magpasya, kaya magpasya!)

Kaya, sabihin nating kailangan nating lutasin ang sumusunod na trigonometric equation:

Ang halaga ng cosine na ito sa mga talahanayan ng buod hindi. Hindi namin pinapansin ang kakila-kilabot na katotohanang ito. Gumuhit kami ng isang bilog, markahan ang 2/3 sa cosine axis at iguhit ang kaukulang mga anggulo. Nakukuha namin ang larawang ito.

Naiintindihan namin, bilang panimula, na may anggulo sa unang quarter. Upang malaman kung ano ang katumbas ng x, agad nilang isusulat ang sagot! Hindi namin alam... Failure!? Kalmado! Ang matematika ay hindi iniiwan ang sarili nitong problema! Nag-imbento siya ng mga arc cosine para sa kasong ito. Hindi alam? walang kabuluhan. Alamin. Ito ay mas madali kaysa sa iyong iniisip. Ayon sa link na ito, walang kahit isang nakakalito na spell tungkol sa "inverse trigonometric functions" ... Ito ay kalabisan sa paksang ito.

Kung alam mo, sabihin lang sa iyong sarili, "Ang X ay isang anggulo na ang cosine ay 2/3." At kaagad, sa pamamagitan lamang ng kahulugan ng arccosine, maaari nating isulat:

Naaalala namin ang tungkol sa mga karagdagang rebolusyon at mahinahong isulat ang unang serye ng mga ugat ng aming trigonometric equation:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ang pangalawang serye ng mga ugat ay halos awtomatikong nakasulat din, para sa pangalawang anggulo. Ang lahat ay pareho, ang x (arccos 2/3) lang ang magkakaroon ng minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

At lahat ng bagay! Ito ang tamang sagot. Kahit na mas madali kaysa sa mga halaga ng talahanayan. Hindi mo kailangang matandaan ang anuman.) Sa pamamagitan ng paraan, ang pinaka-matulungin ay mapapansin na ang larawang ito na may solusyon sa pamamagitan ng arc cosine ay mahalagang hindi naiiba mula sa larawan para sa equation cosx = 0.5.

Eksakto! Pangkalahatang prinsipyo kaya pala karaniwan! Partikular na iginuhit ko ang dalawang halos magkaparehong larawan. Ipinapakita sa amin ng bilog ang anggulo X sa pamamagitan ng cosine nito. Ito ay isang tabular cosine, o hindi - hindi alam ng bilog. Anong uri ng anggulo ito, π / 3, o anong uri ng arc cosine ang nasa atin upang magpasya.

Sa isang sine ang parehong kanta. Halimbawa:

Muli kaming gumuhit ng isang bilog, markahan ang sine na katumbas ng 1/3, iguhit ang mga sulok. Lumalabas ang larawang ito:

At muli ang larawan ay halos kapareho ng para sa equation sinx = 0.5. Muli tayong magsisimula sa kanto sa unang quarter. Ano ang katumbas ng x kung ang sine nito ay 1/3? Walang problema!

Kaya ang unang pakete ng mga ugat ay handa na:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Tingnan natin ang pangalawang anggulo. Sa halimbawa na may halaga ng talahanayan na 0.5, ito ay katumbas ng:

π - x

Kaya dito ito ay magiging eksaktong pareho! Ang x lang ang naiiba, arcsin 1/3. E ano ngayon!? Maaari mong ligtas na isulat ang pangalawang pakete ng mga ugat:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ito ay isang ganap na tamang sagot. Bagama't hindi ito masyadong pamilyar. Ngunit ito ay naiintindihan, umaasa ako.)

Ito ay kung paano nalulutas ang mga trigonometric equation gamit ang isang bilog. Ang landas na ito ay malinaw at naiintindihan. Siya ang nagse-save sa mga equation ng trigonometric na may pagpili ng mga ugat sa isang naibigay na agwat, sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko - sa pangkalahatan ay nalutas ang mga ito halos palaging sa isang bilog. Sa madaling salita, sa anumang mga gawain na medyo mas kumplikado kaysa sa mga karaniwang gawain.

Pagsasabuhay ng kaalaman?

Lutasin ang mga equation ng trigonometriko:

Sa una ito ay mas simple, direkta sa araling ito.

Ngayon ay mas mahirap.

Hint: dito kailangan mong isipin ang tungkol sa bilog. Sa personal.)

At ngayon sa panlabas na hindi mapagpanggap ... Tinatawag din silang mga espesyal na kaso.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Pahiwatig: dito kailangan mong malaman sa isang bilog kung saan mayroong dalawang serye ng mga sagot, at kung saan mayroong isa ... At kung paano isulat ang isa sa halip na dalawang serye ng mga sagot. Oo, upang walang isang ugat mula sa isang walang katapusang bilang ang nawala!)

Well, medyo simple):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hint: dito kailangan mong malaman kung ano ang arcsine, arccosine? Ano ang arc tangent, arc tangent? Ang pinakasimpleng mga kahulugan. Ngunit hindi mo kailangang tandaan ang anumang mga halaga ng talahanayan!)

Ang mga sagot ay, siyempre, magulo):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Hindi ba gumagana ang lahat? Nangyayari ito. Basahin muli ang aralin. Tanging nag-iisip(may ganyan lipas na salita...) At sundin ang mga link. Ang mga pangunahing link ay tungkol sa bilog. Kung wala ito sa trigonometry - kung paano tumawid sa kalsada na nakapiring. Minsan ito ay gumagana.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.