Ano ang geometric na kahulugan ng dalawang numero. Paano mahanap ang arithmetic at geometric mean ng mga numero

Ang paksa ng arithmetic at geometric mean ay kasama sa mathematics program para sa grade 6-7. Dahil ang talata ay medyo madaling maunawaan, ito ay mabilis na naipasa, at ang konklusyon ay taon ng paaralan nakakalimutan ito ng mga estudyante. Ngunit ang kaalaman sa mga pangunahing istatistika ay kailangan para sa pagpasa sa pagsusulit, pati na rin para sa mga internasyonal na pagsusulit sa SAT. Oo at para sa Araw-araw na buhay ang nabuong analytical na pag-iisip ay hindi kailanman masakit.

Paano makalkula ang arithmetic at geometric mean ng mga numero

Ipagpalagay na mayroong isang serye ng mga numero: 11, 4, at 3. Ang arithmetic mean ay ang kabuuan ng lahat ng mga numero na hinati sa bilang ng mga ibinigay na numero. Ibig sabihin, sa kaso ng mga numero 11, 4, 3, ang sagot ay 6. Paano nakuha ang 6?

Solusyon: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Ang denominator ay dapat maglaman ng isang numero na katumbas ng bilang ng mga numero na ang average ay makikita. Ang kabuuan ay nahahati sa 3, dahil mayroong tatlong termino.

Ngayon kailangan nating harapin ang geometric na ibig sabihin. Sabihin nating mayroong isang serye ng mga numero: 4, 2 at 8.

Ang geometric mean ay ang produkto ng lahat ng ibinigay na numero, na nasa ilalim ng ugat na may degree na katumbas ng bilang ng mga ibinigay na numero. Ibig sabihin, sa kaso ng mga numero 4, 2 at 8, ang sagot ay 4. Ganito nangyari :

Solusyon: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Sa parehong mga pagpipilian, nakuha ang buong mga sagot, dahil ang mga espesyal na numero ay kinuha bilang isang halimbawa. Hindi ito palaging nangyayari. Sa karamihan ng mga kaso, ang sagot ay kailangang bilugan o iwan sa ugat. Halimbawa, para sa mga numerong 11, 7, at 20, ang arithmetic mean ay ≈ 12.67, at ang geometric mean ay ∛1540. At para sa mga numero 6 at 5, ang mga sagot, ayon sa pagkakabanggit, ay magiging 5.5 at √30.

Maaari bang mangyari na ang arithmetic mean ay magiging katumbas ng geometric mean?

Syempre pwede. Ngunit sa dalawang kaso lamang. Kung mayroong isang serye ng mga numero na binubuo lamang ng alinman o mga zero. Kapansin-pansin din na ang sagot ay hindi nakadepende sa kanilang numero.

Patunay na may mga yunit: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetika mean).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometric mean).

Patunay na may mga zero: (0 + 0) / 2=0 (aritmetika mean).

√(0 × 0) = 0 (geometric mean).

Walang ibang pagpipilian at hindi maaaring maging.

Ang mga average na halaga sa mga istatistika ay may mahalagang papel, dahil pinapayagan nila ang isa na makakuha ng isang pangkalahatang katangian ng nasuri na kababalaghan. Ang pinakakaraniwang average ay, siyempre, . Ito ay nangyayari kapag ang pinagsama-samang tagapagpahiwatig ay nabuo gamit ang kabuuan ng mga elemento. Halimbawa, ang masa ng ilang mansanas, ang kabuuang kita para sa bawat araw ng mga benta, atbp. Ngunit hindi ito palaging nangyayari. Minsan ang isang pinagsama-samang tagapagpahiwatig ay nabuo hindi bilang isang resulta ng pagsusuma, ngunit bilang isang resulta ng iba pang mga pagpapatakbo ng matematika.

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa. Ang buwanang inflation ay ang pagbabago sa antas ng presyo ng isang buwan kumpara sa nauna. Kung ang mga rate ng inflation ay kilala para sa bawat buwan, kung gayon paano makukuha ang taunang halaga? Mula sa istatistikal na pananaw, ito ay isang chain index, kaya ang tamang sagot ay: sa pamamagitan ng pagpaparami ng buwanang inflation rate. Ibig sabihin, ang kabuuang inflation rate ay hindi isang kabuuan, ngunit isang produkto. At paano ngayon malalaman ang average na inflation para sa buwan, kung mayroong taunang halaga? Hindi, huwag hatiin sa 12, ngunit kunin ang ugat ng ika-12 na antas (ang antas ay depende sa bilang ng mga kadahilanan). Sa pangkalahatang kaso, ang geometric mean ay kinakalkula ng formula:

Iyon ay, ito ang ugat ng produkto ng orihinal na data, kung saan ang antas ay tinutukoy ng bilang ng mga kadahilanan. Halimbawa, ang geometric mean ng dalawang numero ay Kuwadrado na ugat mula sa kanilang trabaho

ng tatlong numero - ang cube root ng produkto

atbp.

Kung ang bawat orihinal na numero ay pinalitan ng kanilang geometric na ibig sabihin, ang produkto ay magbibigay ng parehong resulta.

Upang mas maunawaan kung ano ang ibig sabihin ng geometriko at kung paano ito naiiba sa ibig sabihin ng aritmetika, isaalang-alang ang sumusunod na pigura. May isang kanang tatsulok na nakasulat sa isang bilog.

Mula sa tamang anggulo inalis ang median a(sa gitna ng hypotenuse). Gayundin mula sa tamang anggulo ang taas ay tinanggal b, na nasa punto P hinahati ang hypotenuse sa dalawang bahagi m at n. kasi ang hypotenuse ay ang diameter ng circumscribed na bilog, at ang median ay ang radius, malinaw na ang haba ng median a ay ang arithmetic mean ng m at n.

Kalkulahin kung ano ang taas b. Dahil sa pagkakatulad ng mga tatsulok ABP at BCP patas na pagkakapantay-pantay

Yan ang taas kanang tatsulok ay ang geometric na ibig sabihin ng mga segment kung saan hinahati nito ang hypotenuse. Napakalinaw na pagkakaiba.

Sa MS Excel, ang geometric na ibig sabihin ay matatagpuan gamit ang CPGEOM function.

Ang lahat ay napaka-simple: tawagan ang function, tukuyin ang hanay at tapos ka na.

Sa pagsasagawa, ang indicator na ito ay hindi ginagamit nang kasingdalas ng arithmetic mean, ngunit nangyayari pa rin. Halimbawa, may ganyan index ng pag-unlad ng tao, na naghahambing sa pamantayan ng pamumuhay sa iba't-ibang bansa. Ito ay kinakalkula bilang geometric mean ng ilang mga index.

Mayroon ding iba pang mga average. Tungkol sa kanila sa ibang pagkakataon.

Inilapat ang geometric na ibig sabihin sa mga kasong iyon kung saan ang mga indibidwal na halaga ng katangian ay mga kamag-anak na halaga ng dinamika, na binuo sa anyo ng mga halaga ng chain, bilang isang ratio sa nakaraang antas ng bawat antas sa serye ng mga dinamika, ibig sabihin, nailalarawan ang average na paglago salik.

Ang mode at median ay kadalasang kinakalkula sa mga problema sa istatistika at ang mga ito ay komplementaryo sa ibig sabihin ng populasyon at ginagamit sa mga istatistika ng matematika upang pag-aralan ang uri ng serye ng pamamahagi, na maaaring normal, walang simetriko, simetriko, atbp.

Pati na rin ang median, ang mga halaga ng katangian ay kinakalkula, na hinahati ang populasyon sa apat na pantay na bahagi - kuwartel, sa limang bahagi - mga quintel, sampu pantay na bahagi - decels, sa isang daang pantay na bahagi - percentels. Gamitin sa pagsusuri serye ng pagkakaiba-iba Ang pamamahagi ng mga itinuturing na katangian sa mga istatistika ay nagbibigay-daan sa isang mas malalim at mas detalyadong paglalarawan ng populasyon na pinag-aaralan.

Hindi tulad ng arithmetic mean, ang geometric mean ay sumusukat kung gaano kalaki ang pagbabago ng isang variable sa paglipas ng panahon. Ang geometric mean ay ang ugat ng ika-n na kapangyarihan ng produkto ng n mga halaga (sa Excel, ginagamit ang function = CVGEOM):

G = (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n

Ang isang katulad na parameter - ang geometric na ibig sabihin ng rate ng pagbabalik - ay tinutukoy ng formula:

G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,

kung saan ang R i ay ang rate ng pagbabalik para sa i-ika panahon oras.

Halimbawa, ipagpalagay na ang paunang pamumuhunan ay $100,000. Sa pagtatapos ng unang taon, ito ay bumaba sa $50,000, at sa pagtatapos ng ikalawang taon, ito ay bumabawi sa orihinal na $100,000. Ang rate ng pagbabalik sa pamumuhunan na ito sa loob ng dalawang- Ang panahon ng taon ay katumbas ng 0, dahil ang una at huling halaga ng mga pondo ay katumbas ng bawat isa. Gayunpaman, ang arithmetic mean ng taunang rate ng return ay = (-0.5 + 1) / 2 = 0.25 o 25%, dahil ang rate ng return sa unang taon R 1 = (50,000 - 100,000) / 100,000 = -0.5 , at sa pangalawang R 2 = (100,000 - 50,000) / 50,000 = 1. Kasabay nito, ang geometric na mean ng rate ng return para sa dalawang taon ay: G = [(1-0.5) * (1+1 )] 1 /2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. Kaya, ang geometric na mean ay mas tumpak na sumasalamin sa pagbabago (mas tiyak, ang kawalan ng pagbabago) sa pamumuhunan sa loob ng dalawang taon kaysa sa arithmetic mean.

Interesanteng kaalaman. Una, ang geometric mean ay palaging magiging mas mababa kaysa sa arithmetic mean ng parehong mga numero. Maliban sa kaso kapag ang lahat ng kinuhang numero ay pantay sa isa't isa. Pangalawa, na isinasaalang-alang ang mga katangian ng isang tamang tatsulok, mauunawaan ng isa kung bakit ang ibig sabihin ay tinatawag na geometric. Ang taas ng kanang tatsulok na bumaba sa hypotenuse ay ang average na proporsyonal sa pagitan ng mga projection ng mga binti papunta sa hypotenuse, at ang bawat binti ay ang average na proporsyonal sa pagitan ng hypotenuse at projection nito sa hypotenuse. Nagbibigay ito ng geometric na paraan ng pagbuo ng geometric na ibig sabihin ng dalawang (haba) na mga segment: kailangan mong bumuo ng isang bilog sa kabuuan ng dalawang segment na ito bilang diameter, pagkatapos ay ang taas, na naibalik mula sa punto ng kanilang koneksyon sa intersection sa bilog, ay magbibigay ng nais na halaga:

kanin. 4.

Ang pangalawang mahalagang katangian ng numerical data ay ang kanilang pagkakaiba-iba, na nagpapakilala sa antas ng pagpapakalat ng data. Maaaring magkaiba ang dalawang magkaibang sample sa parehong halaga at sa mga pagkakaiba-iba.

Mayroong limang mga pagtatantya ng pagkakaiba-iba ng data:

interquartile range,

pagpapakalat,

karaniwang lihis,

ang koepisyent ng pagkakaiba-iba.

Ang hanay ay ang pagkakaiba sa pagitan ng pinakamalaki at pinakamaliit na elemento ng sample:

Saklaw \u003d X Max - X Min

Ang hanay ng isang sample na naglalaman ng data sa average na taunang pagbabalik ng 15 mutual funds na may napaka mataas na lebel Maaaring kalkulahin ang panganib gamit ang isang ordered array: Range = 18.5 - (-6.1) = 24.6. Nangangahulugan ito na ang pagkakaiba sa pagitan ng pinakamataas at pinakamababang average na taunang pagbabalik para sa napakataas na panganib na mga pondo ay 24.6%.

Sinusukat ng hanay ang pangkalahatang pagkalat ng data. Bagama't ang hanay ng sample ay isang napakasimpleng pagtatantya ng kabuuang pagkalat ng data, ang kahinaan nito ay hindi nito eksaktong isinasaalang-alang kung paano ipinamamahagi ang data sa pagitan ng pinakamababa at pinakamataas na elemento. Ang B scale ay nagpapakita na kung ang sample ay naglalaman ng hindi bababa sa isang matinding halaga, ang sample na hanay ay isang napaka-hindi tumpak na pagtatantya ng pagkalat ng data.