Hanapin ang mga derivatives ng mga sumusunod na function y sinx. Sin derivative: (sin x)′

Ang patunay at derivation ng formula para sa cosine derivative - cos(x) ay ipinakita. Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivatives ng cos 2x, cos 3x, cos nx, cosine squared, cubed at sa kapangyarihan ng n. Ang formula para sa derivative ng cosine ng nth order.

Ang derivative na may paggalang sa variable x ng cosine ng x ay katumbas ng minus ang sine ng x:
(cos x)′ = - sin x.

Patunay

Upang makuha ang formula para sa cosine derivative, ginagamit namin ang kahulugan ng derivative:
.

Ibahin natin ang ekspresyong ito upang bawasan ito sa mga kilalang batas at tuntunin sa matematika. Upang gawin ito, kailangan nating malaman ang apat na katangian.
1) Mga Formula ng Trigonometric. Kailangan namin ang sumusunod na formula:
(1) ;
2) Continuity property ng sine function:
(2) ;
3) Ang kahulugan ng unang kapansin-pansing limitasyon:
(3) ;
4) Ang limitasyon ng pag-aari ng produkto ng dalawang function:
Kung at pagkatapos
(4) .

Inilalapat namin ang mga batas na ito sa aming limitasyon. Una naming binago ang algebraic expression
.
Para dito inilalapat namin ang formula
(1) ;
Sa kaso natin
; . Pagkatapos
;
;
;
.

Gumawa tayo ng substitution. Sa , . Ginagamit namin ang continuity property (2):
.

Ginagawa namin ang parehong pagpapalit at inilapat ang unang kapansin-pansin na limitasyon (3):
.

Dahil umiiral ang mga limitasyon na kinakalkula sa itaas, inilalapat namin ang ari-arian (4):

.

Kaya, nakuha namin ang formula para sa derivative ng cosine.

Mga halimbawa

Isipin mo mga simpleng halimbawa paghahanap ng mga derivatives ng mga function na naglalaman ng cosine. Hanapin natin ang mga derivatives ng mga sumusunod na function:
y = cos2x; y = cos 3x; y = cos nx; y= dahil 2 x; y= dahil 3x at y= dahil n x.

Halimbawa 1

Maghanap ng mga derivatives ng dahil 2x, kasi 3x at kasi nx.

Desisyon

Ang mga orihinal na function ay may katulad na anyo. Samakatuwid, makikita natin ang derivative ng function y = cos nx. Pagkatapos, bilang derivative ng kasi nx, palitan ang n = 2 at n = 3 . At, sa gayon, nakakakuha tayo ng mga formula para sa mga derivatives ng kasi 2x at kasi 3x .

Kaya, nakita namin ang derivative ng function
y = cos nx .
Katawanin natin ang function na ito ng variable x bilang isang kumplikadong function na binubuo ng dalawang function:
1)
2)
Pagkatapos ang orihinal na function ay isang kumplikadong (composite) function na binubuo ng mga function at :
.

Hanapin natin ang derivative ng function na may paggalang sa variable x:
.
Hanapin natin ang derivative ng function na may paggalang sa variable:
.
Nag-a-apply kami.
.
Kapalit:
(P1) .

Ngayon, sa formula (P1) pinapalitan natin at:
;
.

Sagot

;
;
.

Halimbawa 2

Maghanap ng mga derivatives ng cosine squared, cosine cubed, at cosine na nakataas sa kapangyarihan ng n:
y= dahil 2 x; y= dahil 3x; y= dahil n x.

Desisyon

Sa halimbawang ito, ang mga function ay mayroon ding katulad na hitsura. Samakatuwid, mahahanap natin ang derivative ng sarili nito karaniwang function- cosine sa kapangyarihan ng n:
y= dahil n x.
Pagkatapos ay pinapalitan natin ang n = 2 at n = 3 . At, sa gayon, nakakakuha tayo ng mga formula para sa mga derivatives ng cosine squared at cosine cubed.

Kaya, kailangan nating hanapin ang derivative ng function
.
Isulat muli natin ito sa isang mas maliwanag na anyo:
.
Katawanin natin ang function na ito bilang isang kumplikadong function na binubuo ng dalawang function:
1) Variable dependent functions : ;
2) Mga function na umaasa sa variable : .
Kung gayon ang orihinal na function ay isang kumplikadong function na binubuo ng dalawang function at :
.

Nahanap namin ang derivative ng function na may paggalang sa variable x:
.
Nahanap namin ang derivative ng function na may paggalang sa variable:
.
Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function.
.
Kapalit:
(P2) .

Ngayon ay palitan natin at:
;
.

Sagot

;
;
.

Derivatives ng mas mataas na mga order

Tandaan na ang derivative ng kasi x ng unang pagkakasunud-sunod ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng cosine tulad ng sumusunod:
.

Hanapin natin ang pangalawang order derivative gamit ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function:

.
Dito .

Tandaan na ang pagkita ng kaibhan kasi x nagiging sanhi ng argumento nito na madagdagan ng . Pagkatapos ang derivative ng nth order ay may anyo:
(5) .

Ang pormula na ito ay maaaring patunayan nang mas mahigpit gamit ang paraan ng matematikal na induction. Ang patunay para sa nth derivative ng sine ay ibinibigay sa pahinang "Derivative ng sine". Para sa nth derivative ng cosine, ang patunay ay eksaktong pareho. Kinakailangan lamang na palitan ang sin ng cos sa lahat ng mga formula.

Patunay at derivation ng mga formula para sa derivative ng exponential (e sa kapangyarihan ng x) at exponential function (a sa kapangyarihan ng x). Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivative ng e^2x, e^3x at e^nx. Mga formula para sa mga derivatives ng mas matataas na order.

Ang derivative ng exponent ay katumbas ng exponent mismo (ang derivative ng e sa kapangyarihan ng x ay katumbas ng e sa kapangyarihan ng x):
(1) (e x )′ = e x.

Ang derivative ng isang exponential function na may base ng degree a ay katumbas ng function mismo, na pinarami ng natural na logarithm galing sa :
(2) .

Derivation ng formula para sa derivative ng exponent, e sa kapangyarihan ng x

Ang exponent ay isang exponential function na ang exponent base ay katumbas ng numero e, na siyang sumusunod na limitasyon:
.
Dito maaari itong maging natural o totoong numero. Susunod, nakukuha namin ang formula (1) para sa derivative ng exponent.

Derivation ng formula para sa derivative ng exponent

Isaalang-alang ang exponent, e sa kapangyarihan ng x :
y = e x .
Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat. Hanapin natin ang derivative nito patungkol sa x . Sa pamamagitan ng kahulugan, ang derivative ay ang sumusunod na limitasyon:
(3) .

Ibahin natin ang ekspresyong ito upang mabawasan ito sa kilala mga katangian ng matematika at mga tuntunin. Para dito kailangan namin ang mga sumusunod na katotohanan:
PERO) Exponent property:
(4) ;
B) Logarithm property:
(5) ;
AT) Pagpapatuloy ng logarithm at pag-aari ng mga limitasyon para sa tuluy-tuloy na pag-andar:
(6) .
Narito, ang ilang function na may limitasyon at positibo ang limitasyong ito.
G) Ang kahulugan ng pangalawang kamangha-manghang limitasyon:
(7) .

Inilapat namin ang mga katotohanang ito sa aming limitasyon (3). Ginagamit namin ang ari-arian (4):
;
.

Gumawa tayo ng substitution. Pagkatapos ; .
Dahil sa pagpapatuloy ng exponent,
.
Samakatuwid, sa , . Bilang resulta, nakukuha namin ang:
.

Gumawa tayo ng substitution. Tapos . Sa , . At mayroon kaming:
.

Inilapat namin ang pag-aari ng logarithm (5):
. Pagkatapos
.

Ilapat natin ang ari-arian (6). Dahil mayroong positibong limitasyon at ang logarithm ay tuloy-tuloy, kung gayon:
.
Dito rin natin ginagamit ang pangalawa kahanga-hangang limitasyon(7). Pagkatapos
.

Kaya, nakuha namin ang formula (1) para sa derivative ng exponent.

Derivation ng formula para sa derivative ng exponential function

Ngayon ay nakukuha natin ang formula (2) para sa derivative ng exponential function na may base ng degree a. Naniniwala kami na at . Pagkatapos ay ang exponential function
(8)
Tinukoy para sa lahat.

Ibahin natin ang formula (8). Para dito ginagamit namin katangian ng exponential function at logarithm.
;
.
Kaya, binago namin ang formula (8) sa sumusunod na anyo:
.

Mas mataas na pagkakasunud-sunod ng mga derivatives ng e sa kapangyarihan ng x

Ngayon, hanapin natin ang mga derivatives ng mas matataas na order. Tingnan muna natin ang exponent:
(14) .
(1) .

Nakikita natin na ang derivative ng function (14) ay katumbas ng function (14) mismo. Sa differentiating (1), nakakakuha tayo ng second at third order derivatives:
;
.

Ipinapakita nito na ang nth order derivative ay katumbas din ng orihinal na function:
.

Higher order derivatives ng exponential function

Ngayon isaalang-alang exponential function na may base degree a:
.
Natagpuan namin ang unang order derivative nito:
(15) .

Sa differentiating (15), nakakakuha tayo ng second at third order derivatives:
;
.

Nakikita namin na ang bawat pagkakaiba ay humahantong sa pagpaparami ng orihinal na function sa pamamagitan ng . Samakatuwid, ang nth derivative ay may sumusunod na anyo:
.

Kung susundin natin ang kahulugan, kung gayon ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng increment ratio ng function Δ y sa pagtaas ng argumentong Δ x:

Tila malinaw na ang lahat. Ngunit subukang kalkulahin sa pamamagitan ng formula na ito, sabihin nating, ang derivative ng function f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x kasalanan x. Kung gagawin mo ang lahat sa pamamagitan ng kahulugan, pagkatapos ay pagkatapos ng ilang mga pahina ng mga kalkulasyon ay matutulog ka lang. Samakatuwid, may mga mas simple at mas epektibong paraan.

Upang magsimula, tandaan namin na ang tinatawag na elementarya na mga pag-andar ay maaaring makilala mula sa buong iba't ibang mga pag-andar. Ang mga ito ay medyo simpleng mga expression, ang mga derivatives na kung saan ay matagal nang kinakalkula at ipinasok sa talahanayan. Ang mga naturang function ay sapat na madaling matandaan, kasama ang kanilang mga derivatives.

Mga derivatives ng elementary functions

Ang mga elementary function ay lahat ng nakalista sa ibaba. Ang mga derivatives ng mga function na ito ay dapat na kilala sa puso. At saka, hindi mahirap kabisaduhin ang mga ito - kaya naman elementary sila.

Kaya ang mga derivatives elementarya na pag-andar:

Kung ang isang elementary function ay pinarami ng isang arbitrary na pare-pareho, kung gayon ang derivative ng bagong function ay madaling kalkulahin:

(C · f)’ = C · f ’.

Sa pangkalahatan, ang mga constant ay maaaring alisin sa sign ng derivative. Halimbawa:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Malinaw, ang mga elementary function ay maaaring idagdag sa isa't isa, multiply, hinati, at marami pang iba. Ito ay kung paano lilitaw ang mga bagong function, hindi na masyadong elementarya, ngunit din naiba-iba ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga patakarang ito ay tinalakay sa ibaba.

Derivative ng kabuuan at pagkakaiba

Hayaan ang mga function f(x) at g(x), na ang mga derivative ay alam natin. Halimbawa, maaari mong kunin ang mga elementary function na tinalakay sa itaas. Pagkatapos ay mahahanap mo ang derivative ng kabuuan at pagkakaiba ng mga function na ito:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Kaya, ang derivative ng kabuuan (difference) ng dalawang function ay katumbas ng sum (difference) ng mga derivatives. Maaaring may higit pang mga termino. Halimbawa, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sa mahigpit na pagsasalita, walang konsepto ng "pagbabawas" sa algebra. Mayroong isang konsepto ng "negatibong elemento". Samakatuwid, ang pagkakaiba f − g maaaring isulat muli bilang kabuuan f+ (−1) g, at pagkatapos ay isang formula na lang ang natitira - ang derivative ng kabuuan.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Function f(x) ay ang kabuuan ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya:

f ’(x) = (x 2+ kasalanan x)’ = (x 2)' + (kasalanan x)’ = 2x+ cosx;

Pareho kaming nagtatalo para sa function g(x). Tanging mayroon nang tatlong termino (mula sa punto ng view ng algebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Sagot:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivative ng isang produkto

Ang matematika ay isang lohikal na agham, kaya maraming tao ang naniniwala na kung ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives, kung gayon ang derivative ng produkto. strike"\u003e katumbas ng produkto ng mga derivatives. Ngunit figs para sa iyo! Ang derivative ng produkto ay kinakalkula gamit ang isang ganap na naiibang formula. Namely:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Ang formula ay simple, ngunit madalas na nakalimutan. At hindi lamang mga mag-aaral, kundi pati na rin ang mga mag-aaral. Ang resulta ay maling nalutas ang mga problema.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Function f(x) ay isang produkto ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya ang lahat ay simple:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) dahil x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−kasalanan x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x)

Function g(x) ang unang multiplier ay medyo mas kumplikado, ngunit ang pangkalahatang pamamaraan ay hindi nagbabago mula dito. Malinaw, ang unang multiplier ng function g(x) ay isang polynomial, at ang derivative nito ay ang derivative ng kabuuan. Meron kami:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Sagot:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Tandaan na sa huling hakbang, ang derivative ay factorized. Sa pormal, hindi ito kinakailangan, ngunit karamihan sa mga derivative ay hindi kinakalkula sa kanilang sarili, ngunit upang galugarin ang function. Nangangahulugan ito na ang karagdagang derivative ay itutumbas sa zero, ang mga palatandaan nito ay malalaman, at iba pa. Para sa ganitong kaso, mas mainam na magkaroon ng expression na nabulok sa mga kadahilanan.

Kung may dalawang function f(x) at g(x), at g(x) ≠ 0 sa hanay ng interes sa amin, maaari naming tukuyin bagong feature h(x) = f(x)/g(x). Para sa ganoong function, maaari mo ring mahanap ang derivative:

Hindi mahina, tama? Saan nagmula ang minus? Bakit g 2? Pero ganito! Ito ay isa sa mga pinaka-kumplikadong formula - hindi mo maiisip ito nang walang bote. Samakatuwid, ito ay mas mahusay na pag-aralan ito sa kongkretong mga halimbawa.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

May mga elementarya na function sa numerator at denominator ng bawat fraction, kaya ang kailangan lang natin ay ang formula para sa derivative ng quotient:

Sa pamamagitan ng tradisyon, isinaalang-alang namin ang numerator sa mga kadahilanan - ito ay lubos na magpapasimple sa sagot:

Ang isang kumplikadong function ay hindi kinakailangang isang formula na kalahating kilometro ang haba. Halimbawa, ito ay sapat na upang kunin ang function f(x) = kasalanan x at palitan ang variable x, sabihin, sa x 2+ln x. Iyon pala f(x) = kasalanan ( x 2+ln x) ay isang kumplikadong function. Mayroon din siyang derivative, ngunit hindi ito gagana upang mahanap ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas.

Paano maging? Sa ganitong mga kaso, makakatulong ang pagbabago ng variable at ang derivative formula kumplikadong pag-andar:

f ’(x) = f ’(t) · t', kung x ay pinalitan ng t(x).

Bilang isang tuntunin, ang sitwasyon na may pag-unawa sa formula na ito ay mas malungkot kaysa sa hinango ng quotient. Samakatuwid, mas mainam din na ipaliwanag ito sa mga tiyak na halimbawa, na may Detalyadong Paglalarawan Bawat hakbang.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = kasalanan ( x 2+ln x)

Tandaan na kung sa function f(x) sa halip na expression 2 x+ 3 ay magiging madali x, pagkatapos ay nakakakuha tayo ng elementary function f(x) = e x. Samakatuwid, gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan ang 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Hinahanap namin ang derivative ng isang kumplikadong function sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

At ngayon - pansin! Gumaganap ng reverse substitution: t = 2x+ 3. Nakukuha namin ang:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Ngayon tingnan natin ang function g(x). Malinaw na kailangang palitan. x 2+ln x = t. Meron kami:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (kasalanan t)’ · t' = kasi t · t ’

Baliktad na kapalit: t = x 2+ln x. Pagkatapos:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Iyon lang! Tulad ng makikita mula sa huling expression, ang buong problema ay nabawasan sa pagkalkula ng derivative ng kabuuan.

Sagot:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) dahil ( x 2+ln x).

Kadalasan sa aking mga aralin, sa halip na ang terminong "derivative", ginagamit ko ang salitang "stroke". Halimbawa, isang stroke mula sa kabuuan ay katumbas ng kabuuan mga stroke. Mas malinaw ba iyon? Mabuti naman.

Kaya, ang pagkalkula ng derivative ay bumababa sa pag-alis ng mga mismong stroke na ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas. Bilang huling halimbawa Bumalik tayo sa derivative power na may rational exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Iilan lang ang nakakaalam niyan sa role n maaaring isang fractional number. Halimbawa, ang ugat ay x 0.5 . Ngunit paano kung mayroong isang bagay na nakakalito sa ilalim ng ugat? Muli, ang isang kumplikadong pag-andar ay lalabas - gusto nilang bigyan ang mga naturang konstruksiyon kontrol sa trabaho at mga pagsusulit.

Gawain. Hanapin ang derivative ng isang function:

Una, muling isulat natin ang ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Ngayon gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan x 2 + 8x − 7 = t. Nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0.5 t ’.

Gumagawa kami ng reverse substitution: t = x 2 + 8x− 7. Mayroon kaming:

f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Sa wakas, bumalik sa mga ugat:

Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation.

Bilang resulta ng paglutas ng mga problema sa paghahanap ng mga derivatives ng pinakasimpleng (at hindi masyadong simple) na mga pag-andar sa pamamagitan ng pagtukoy sa derivative bilang limitasyon ng ratio ng pagtaas sa pagtaas ng argumento, lumitaw ang isang talahanayan ng mga derivative at tiyak na tinukoy na mga panuntunan ng pagkita ng kaibhan. . Sina Isaac Newton (1643-1727) at Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ang unang nagtrabaho sa larangan ng paghahanap ng mga derivatives.

Samakatuwid, sa ating panahon, upang mahanap ang derivative ng anumang function, hindi kinakailangan na kalkulahin ang nabanggit na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento, ngunit kailangan lamang gamitin ang talahanayan. ng mga derivatives at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang sumusunod na algorithm ay angkop para sa paghahanap ng derivative.

Upang mahanap ang derivative, kailangan mo ng expression sa ilalim ng stroke sign hatiin ang mga simpleng function at tukuyin kung anong mga aksyon (produkto, kabuuan, quotient) magkaugnay ang mga function na ito. Dagdag pa, makikita natin ang mga derivatives ng elementary functions sa talahanayan ng mga derivatives, at ang mga formula para sa derivatives ng produkto, sum at quotient - sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang talahanayan ng mga derivatives at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba ay ibinigay pagkatapos ng unang dalawang halimbawa.

Halimbawa 1 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Mula sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan nalaman natin na ang hinango ng kabuuan ng mga pag-andar ay ang kabuuan ng mga derivatives ng mga pag-andar, i.e.

Mula sa talahanayan ng mga derivatives, nalaman namin na ang derivative ng "X" ay katumbas ng isa, at ang derivative ng sine ay cosine. Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa kabuuan ng mga derivatives at hanapin ang derivative na kinakailangan ng kondisyon ng problema:

Halimbawa 2 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. I-differentiate bilang derivative ng kabuuan, kung saan ang pangalawang termino na may pare-parehong salik, maaari itong alisin sa tanda ng derivative:

Kung mayroon pa ring mga katanungan tungkol sa kung saan nagmula ang isang bagay, sila, bilang panuntunan, ay nagiging malinaw pagkatapos basahin ang talahanayan ng mga derivatives at ang pinakasimpleng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Pupunta kami sa kanila ngayon.

Talaan ng mga derivatives ng mga simpleng function

1. Derivative ng isang pare-pareho (numero). Anumang numero (1, 2, 5, 200...) na nasa expression ng function. Laging zero. Napakahalagang tandaan ito, dahil madalas itong kinakailangan
2. Derivative ng independent variable. Kadalasan ay "x". Laging katumbas ng isa. Mahalaga rin itong tandaan
3. Derivative ng degree. Kapag nilulutas ang mga problema, kailangan mong i-convert ang mga di-square na ugat sa isang kapangyarihan.
4. Derivative ng isang variable sa kapangyarihan ng -1
5. Derivative parisukat na ugat
6. Sine derivative
7. Cosine derivative
8. Tangent derivative
9. Derivative ng cotangent
10. Derivative ng arcsine
11. Derivative ng arc cosine
12. Derivative ng arc tangent
13. Derivative ng inverse tangent
14. Derivative ng natural logarithm
15. Derivative ng isang logarithmic function
16. Derivative ng exponent
17. Derivative ng exponential function

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

1. Derivative ng kabuuan o pagkakaiba
2. Derivative ng isang produkto
2a. Derivative ng isang expression na pinarami ng isang pare-parehong kadahilanan
3. Derivative ng quotient
4. Derivative ng isang kumplikadong function

Panuntunan 1Kung functions

ay differentiable sa ilang mga punto , pagkatapos ay sa parehong punto ang mga function

at

mga. ang derivative ng algebraic sum of functions ay algebraic sum derivatives ng mga function na ito.

Bunga. Kung ang dalawang naiba-iba na pag-andar ay naiiba sa pamamagitan ng isang pare-pareho, kung gayon ang kanilang mga derivatives ay, ibig sabihin.

Panuntunan 2Kung functions

ay naiba sa isang punto , pagkatapos ang kanilang produkto ay naiba din sa parehong punto

at

mga. ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa.

Bunga 1. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative:

Bunga 2. Ang derivative ng produkto ng ilang differentiable function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng derivative ng bawat salik at lahat ng iba pa.

Halimbawa, para sa tatlong multiplier:

Panuntunan 3Kung functions

naiba sa isang punto at , pagkatapos sa puntong ito ang kanilang quotient ay din differentiable.u/v , at

mga. ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator .

Kung saan titingin sa ibang mga pahina

Kapag nahanap ang derivative ng produkto at ang quotient sa mga totoong problema, palaging kinakailangan na maglapat ng ilang mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan nang sabay-sabay, kaya higit pang mga halimbawa sa mga derivatives na ito ang nasa artikulo."Ang derivative ng isang produkto at isang quotient".

Magkomento. Hindi mo dapat malito ang isang pare-pareho (iyon ay, isang numero) bilang isang termino sa kabuuan at bilang isang pare-parehong kadahilanan! Sa kaso ng isang termino, ang derivative nito ay katumbas ng zero, at sa kaso ng pare-parehong salik, ito ay inalis sa tanda ng mga derivatives. Ito ay tipikal na pagkakamali, na nangyayari sa paunang yugto pag-aaral ng mga derivatives, ngunit habang nilulutas nila ang ilang isa-dalawang bahagi na mga halimbawa, ang karaniwang mag-aaral ay hindi na gumagawa ng pagkakamaling ito.

At kung, kapag iniiba ang isang produkto o isang quotient, mayroon kang termino u"v, kung saan u- isang numero, halimbawa, 2 o 5, iyon ay, isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng numerong ito ay magiging katumbas ng zero at, samakatuwid, ang buong termino ay magiging katumbas ng zero (ang ganitong kaso ay sinusuri sa halimbawa 10) .

Iba pa karaniwang pagkakamali- mekanikal na solusyon ng derivative ng isang kumplikadong function bilang isang derivative ng isang simpleng function. Kaya derivative ng isang kumplikadong function nakatuon sa isang hiwalay na artikulo. Ngunit matututunan muna nating maghanap ng mga derivatives mga simpleng function.

Kasama ang paraan, hindi mo magagawa nang walang pagbabago ng mga expression. Upang gawin ito, maaaring kailanganin mong buksan sa mga bagong window ang mga manual Mga aksyon na may kapangyarihan at ugat at Mga aksyon na may mga fraction .

Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga derivative na may mga kapangyarihan at ugat, iyon ay, kapag ang function ay mukhang , pagkatapos ay sundan ang aralin na " Derivative of the sum of fractions with powers and roots".

Kung mayroon kang gawain tulad ng , kung gayon ikaw ay nasa aralin na "Derivatives of simple trigonometric functions".

Hakbang-hakbang na mga halimbawa - kung paano hanapin ang derivative

Halimbawa 3 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Tinutukoy namin ang mga bahagi ng pagpapahayag ng function: ang buong expression ay kumakatawan sa produkto, at ang mga kadahilanan nito ay mga kabuuan, sa pangalawa kung saan ang isa sa mga termino ay naglalaman ng pare-parehong kadahilanan. Inilapat namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto: ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa:

Susunod, inilalapat namin ang tuntunin ng pagkita ng kaibhan ng kabuuan: ang derivative ng algebraic sum ng mga function ay katumbas ng algebraic sum ng mga derivatives ng mga function na ito. Sa aming kaso, sa bawat kabuuan, ang pangalawang termino na may minus sign. Sa bawat kabuuan, makikita natin ang parehong independiyenteng variable, ang derivative nito ay katumbas ng isa, at isang pare-pareho (numero), ang derivative nito ay katumbas ng zero. Kaya, ang "x" ay nagiging isa, at minus 5 - sa zero. Sa pangalawang expression, ang "x" ay pinarami ng 2, kaya pinarami namin ang dalawa sa parehong yunit bilang derivative ng "x". Nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng mga derivatives:

Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivative sa kabuuan ng mga produkto at nakuha ang derivative ng buong function na kinakailangan ng kondisyon ng problema:

Halimbawa 4 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Kinakailangan nating hanapin ang derivative ng quotient. Inilapat namin ang pormula para sa pagkakaiba-iba ng quotient: ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator. Nakukuha namin ang:

Natagpuan na natin ang derivative ng mga salik sa numerator sa Halimbawa 2. Huwag din nating kalimutan na ang produkto, na siyang pangalawang salik sa numerator, ay kinuha na may minus sign sa kasalukuyang halimbawa:

Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga ganitong problema kung saan kailangan mong hanapin ang derivative ng isang function, kung saan mayroong tuluy-tuloy na tumpok ng mga ugat at degree, tulad ng, halimbawa, pagkatapos ay maligayang pagdating sa klase "Ang derivative ng kabuuan ng mga fraction na may kapangyarihan at ugat" .

Kung kailangan mong matuto nang higit pa tungkol sa mga derivatives ng mga sine, cosine, tangent at iba pa trigonometriko function, iyon ay, kapag ang function ay mukhang , tapos may lesson ka "Mga derivative ng simpleng trigonometric function" .

Halimbawa 5 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Sa function na ito, nakikita natin ang isang produkto, ang isa sa mga salik kung saan ay ang square root ng independent variable, na may derivative kung saan naging pamilyar tayo sa talahanayan ng mga derivatives. Ayon sa panuntunan sa pagkita ng kaibhan ng produkto at ang halaga ng tabular ng derivative ng square root, nakukuha natin:

Halimbawa 6 Hanapin ang derivative ng isang function

Desisyon. Sa function na ito, makikita natin ang quotient, na ang dibidendo ay ang square root ng independent variable. Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, na inulit namin at inilapat sa halimbawa 4, at ang halaga ng tabular ng derivative ng square root, nakukuha namin:

Upang maalis ang fraction sa numerator, i-multiply ang numerator at denominator sa .

Paano mahahanap ang derivative?

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba.

Upang mahanap ang derivative ng anumang function, kailangan mong makabisado lamang ang tatlong konsepto:

2. Mga tuntunin ng pagkakaiba-iba.

3. Derivative ng isang kumplikadong function.

Nasa ganoong ayos. Ito ay isang pahiwatig.)

Siyempre, magiging maganda ang magkaroon ng ideya tungkol sa derivative sa pangkalahatan). Tungkol sa kung ano ang isang derivative at kung paano gumana sa isang talahanayan ng mga derivative - ito ay naa-access sa nakaraang aralin. Dito natin haharapin ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan.

Ang differentiation ay ang operasyon ng paghahanap ng derivative. Wala nang iba pa sa likod ng terminong ito. Yung. mga ekspresyon "hanapin ang derivative ng isang function" at "pag-iba-iba ang pag-andar"- Ito ay pareho.

Pagpapahayag "mga tuntunin ng pagkakaiba-iba" tumutukoy sa paghahanap ng derivative mula sa mga operasyong aritmetika. Malaki ang naitutulong ng pag-unawang ito para maiwasan ang lugaw sa ulo.

Mag-concentrate tayo at tandaan ang lahat-lahat-lahat ng mga operasyon sa aritmetika. Apat sila). Pagdaragdag (sum), pagbabawas (pagkakaiba), pagpaparami (produkto), at paghahati (quotient). Narito ang mga ito, ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan:

Ang plato ay nagpapakita lima tuntunin sa apat mga operasyon sa aritmetika. Hindi ako nagkamali ng kalkula.) Kaya lang, ang panuntunan 4 ay isang elementarya na corollary ng panuntunan 3. Ngunit ito ay napakapopular na makatuwirang isulat ito (at tandaan!) bilang isang malayang formula.

Sa ilalim ng notasyon U at V ilang (ganap na anuman!) function ay ipinahiwatig U(x) at V(x).

Tingnan natin ang ilang halimbawa. Una, ang pinakasimpleng mga.

Hanapin ang derivative ng function na y=sinx - x 2

Nandito na tayo pagkakaiba dalawang elementarya function. Inilapat namin ang panuntunan 2. Ipapalagay namin na ang sinx ay isang function U, at ang x 2 ay isang function v. Meron kami buong kanan sumulat:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Mas mabuti na, tama?) Ito ay nananatiling hanapin ang mga derivatives ng sine at ang parisukat ng x. Mayroong isang derivative table para dito. Tinitingnan lang namin sa talahanayan ang mga pag-andar na kailangan namin ( sinx at x2), tingnan ang kanilang mga derivatives at isulat ang sagot:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Iyon lang ang mayroon. Ang Rule 1 ng pag-iiba ng kabuuan ay gumagana sa eksaktong parehong paraan.

Paano kung marami tayong termino? Okay lang.) Hinahati namin ang function sa mga termino at hinahanap ang derivative ng bawat termino, anuman ang iba. Halimbawa:

Hanapin ang derivative ng function na y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Huwag mag-atubiling sumulat:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Sa pagtatapos ng aralin, magbibigay ako ng mga tip sa pagpapagaan ng buhay kapag nag-iiba.)

Mga Praktikal na Tip:

1. Bago ang pagkita ng kaibhan, tinitingnan natin kung posible bang gawing simple ang orihinal na function.

2. Sa mga nalilitong halimbawa, ipininta namin ang solusyon nang detalyado, kasama ang lahat ng mga bracket at stroke.

3. Kapag nag-iiba ang mga fraction na may pare-parehong numero sa denominator, ginagawa nating multiplikasyon ang paghahati at ginagamit ang panuntunan 4.