Nililimitahan ng kahanga-hangang formula ang una ikalawa pangatlo ikaapat. Unang kahanga-hangang limitasyon

Ang artikulong ito: "Pangalawa kahanga-hangang limitasyon» ay nakatuon sa pagsisiwalat sa loob ng mga kawalan ng katiyakan ng form:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ at $ ^\infty $.

Gayundin, ang ganitong mga kawalan ng katiyakan ay maaaring ibunyag gamit ang logarithm ng exponential-power function, ngunit ito ay isa pang paraan ng solusyon, na tatalakayin sa ibang artikulo.

Formula at kahihinatnan

Formula ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay nakasulat tulad ng sumusunod: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2.718 $ $

Mula sa formula sundin kahihinatnan, na napakaginhawa para sa paglutas ng mga halimbawa na may mga limitasyon: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( where ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Dapat pansinin na ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon ay hindi maaaring palaging mailapat sa isang exponential-power function, ngunit lamang sa mga kaso kung saan ang base ay may gawi sa pagkakaisa. Upang gawin ito, kalkulahin muna ang limitasyon ng base sa isip, at pagkatapos ay gumuhit ng mga konklusyon. Ang lahat ng ito ay tatalakayin sa mga halimbawang solusyon.

Mga halimbawa ng solusyon

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng mga solusyon gamit ang direktang formula at ang mga kahihinatnan nito. Susuriin din namin ang mga kaso kung saan hindi kailangan ang formula. Sapat na isulat lamang ang handa na sagot.

Suriin natin ang mga kaso kapag ang problema ay katulad ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon, ngunit nalutas nang wala ito.

Sa artikulong: "Ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon: mga halimbawa ng mga solusyon", ang formula ay nasuri, ang mga kahihinatnan nito ay ibinigay madalas na mga uri mga gawain sa paksang ito.

Ang terminong "kahanga-hangang limitasyon" ay malawakang ginagamit sa mga aklat-aralin at pantulong sa pagtuturo upang ipahiwatig ang mahahalagang pagkakakilanlan na nakakatulong nang malaki gawing simple ang gawain upang makahanap ng mga limitasyon.

Ngunit sa makapagdala limitasyon nito sa kahanga-hanga, kailangan mong tingnan ito nang mabuti, dahil hindi sila matatagpuan sa direktang anyo, at madalas sa anyo ng mga corollaries, nilagyan ng mga karagdagang termino at salik. Gayunpaman, una ang teorya, pagkatapos ay ang mga halimbawa, at magtatagumpay ka!

Unang kahanga-hangang limitasyon

Nagustuhan? Bookmark

Ang unang kahanga-hangang limitasyon ay nakasulat bilang mga sumusunod (isang kawalan ng katiyakan sa anyo na $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Mga kahihinatnan mula sa unang kapansin-pansing limitasyon

Mga halimbawa ng solusyon: 1 magandang limitasyon

Halimbawa 1 Compute limit $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Solusyon. Ang unang hakbang ay palaging pareho - pinapalitan namin ang halaga ng limitasyon $x=0$ sa function at makuha ang:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Nakakuha kami ng kawalan ng katiyakan sa form na $\left[\frac(0)(0)\right]$, na dapat lutasin. Kung titingnan mo nang mabuti, ang orihinal na limitasyon ay halos kapareho sa unang kapansin-pansin, ngunit hindi nag-tutugma dito. Ang aming gawain ay upang dalhin sa pagkakatulad. Ibahin natin ito tulad nito - tingnan ang expression sa ilalim ng sine, gawin ang parehong sa denominator (medyo pagsasalita, multiply at hatiin sa $3x$), higit pang bawasan at pasimplehin:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Sa itaas, ang unang kahanga-hangang limitasyon ay nakuha: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( gumawa ng conditional substitution ) y=3x. $$ Sagot: $3/8$.

Halimbawa 2 Compute limit $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Solusyon. Pinapalitan namin ang limit na halaga $x=0$ sa function at makuha ang:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

Nakakuha kami ng kawalan ng katiyakan sa form na $\left[\frac(0)(0)\right]$. Ibahin natin ang limitasyon, gamit ang unang kahanga-hangang limitasyon sa pagpapasimple (tatlong beses!):

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Sagot: $9/16$.

Halimbawa 3 Hanapin ang limitasyon $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Solusyon. Ngunit paano kung mayroong isang kumplikadong expression sa ilalim ng trigonometriko function? Hindi mahalaga, at dito kami kumikilos sa parehong paraan. Una, suriin ang uri ng kawalan ng katiyakan, palitan ang $x=0$ sa function at kunin ang:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Nakakuha kami ng kawalan ng katiyakan sa form na $\left[\frac(0)(0)\right]$. I-multiply at hatiin ng $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

Muli nakuha ang kawalan ng katiyakan, ngunit sa kasong ito ito ay isang fraction lamang. Bawasan natin ang numerator at denominator ng $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Sagot: $3/5$.

Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon

Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay nakasulat tulad ng sumusunod (kawalang-katiyakan ng form na $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(o) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

Mga kahihinatnan ng pangalawang kapansin-pansin na limitasyon

Mga halimbawa ng solusyon: 2 kahanga-hangang limitasyon

Halimbawa 4 Hanapin ang limitasyon $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Solusyon. Suriin natin ang uri ng kawalan ng katiyakan, palitan ang $x=\infty$ sa function at kunin ang:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Nakakuha kami ng kawalan ng katiyakan sa form na $\left$. Ang limitasyon ay maaaring bawasan sa pangalawang kapansin-pansin. Ibahin natin:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\kanan)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Ang naka-bracket na expression ay talagang pangalawang kahanga-hangang limitasyon $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, $t=- lang 3x/2$, kaya

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Sagot:$e^(-2/3)$.

Halimbawa 5 Hanapin ang limitasyon $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

Solusyon. Palitan ang $x=\infty$ sa function at kunin ang kawalan ng katiyakan ng form na $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. At kailangan namin ng $\left$. Kaya magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-convert ng nakakulong na expression:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\kanan)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\kaliwa(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \kanan)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\kaliwa(\kaliwa(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\kanan) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\kanan)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Ang naka-bracket na expression ay talagang pangalawang kahanga-hangang limitasyon $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, tanging $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \sa \infty$, kaya

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Ang unang kapansin-pansing limitasyon ay kadalasang ginagamit upang kalkulahin ang mga limitasyon na naglalaman ng sine, arcsine, tangent, arctangent at ang mga nagresultang kawalan ng katiyakan na zero na hinati ng zero.

Formula

Ang formula para sa unang kapansin-pansing limitasyon ay: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

Napansin namin na ang $ \alpha\to 0 $ ay nagbubunga ng $ \sin\alpha \to 0 $, kaya mayroon kaming mga zero sa numerator at denominator. Kaya, ang pormula ng unang kapansin-pansing limitasyon ay kailangan upang ipakita ang mga kawalan ng katiyakan ng $ \frac(0)(0) $.

Para mailapat ang formula, dapat matugunan ang dalawang kundisyon:

1. Ang mga expression na nakapaloob sa sine at denominator ng isang fraction ay pareho
2. Ang mga expression sa sine at denominator ng isang fraction ay may posibilidad na zero

Pansin! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Kahit na ang mga expression sa ilalim ng sine at sa denominator ay pareho, gayunpaman $ 2x ^2+1 = 1 $, kapag $ x\to 0 $. Ang pangalawang kundisyon ay hindi natugunan, kaya ang formula ay HINDI mailalapat!

Mga kahihinatnan

Medyo bihira, sa mga gawain maaari mong makita ang isang malinis na unang kahanga-hangang limitasyon kung saan maaari mong agad na isulat ang sagot. Sa pagsasagawa, ang lahat ay mukhang medyo mas kumplikado, ngunit para sa mga ganitong kaso magiging kapaki-pakinabang na malaman ang mga kahihinatnan ng unang kapansin-pansin na limitasyon. Salamat sa kanila, maaari mong mabilis na kalkulahin ang nais na mga limitasyon.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Mga halimbawa ng solusyon

Isaalang-alang natin ang unang kapansin-pansin na limitasyon, mga halimbawa ng solusyon kung saan para sa pagkalkula ng mga limitasyon na naglalaman ng mga trigonometriko function at kawalan ng katiyakan $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

Sa artikulong: "Ang unang kapansin-pansin na limitasyon, mga halimbawa ng mga solusyon" sinabi ito tungkol sa mga kaso kung saan ipinapayong gamitin ang formula na ito at ang mga kahihinatnan nito.

Maghanap ng mga kahanga-hangang limitasyon mahirap hindi lamang para sa maraming mga mag-aaral sa una, ikalawang taon ng pag-aaral na nag-aaral ng teorya ng mga limitasyon, kundi pati na rin para sa ilang mga guro.

Formula ng unang kapansin-pansing limitasyon

Mga kahihinatnan ng unang kapansin-pansing limitasyon isulat ang mga formula
1. 2. 3. 4. Ngunit sa kanilang sarili pangkalahatang mga formula ang mga kapansin-pansing limitasyon ay hindi nakakatulong sa sinuman sa isang pagsusulit o pagsusulit. Ang ilalim na linya ay ang mga tunay na gawain ay binuo upang ang mga formula na nakasulat sa itaas ay kailangan pa ring maabot. At karamihan sa mga mag-aaral na lumalaktaw sa mga klase, pinag-aaralan ang kursong ito sa pamamagitan ng pagsusulatan o may mga guro na hindi nila laging nauunawaan kung ano ang kanilang ipinapaliwanag, ay hindi makakalkula ng pinakamaraming elementarya na mga halimbawa sa mga kapansin-pansing limitasyon. Mula sa mga pormula ng unang kapansin-pansing limitasyon, nakikita namin na magagamit ang mga ito upang siyasatin ang mga kawalan ng katiyakan tulad ng zero na hinati ng zero para sa mga expression na may mga function na trigonometriko. Isaalang-alang muna natin ang isang serye ng mga halimbawa sa unang kahanga-hangang limitasyon, at pagkatapos ay pag-aralan natin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 1. Hanapin ang limitasyon ng function na sin(7*x)/(5*x)
Solusyon: Gaya ng nakikita mo, ang function sa ilalim ng limitasyon ay malapit sa unang kapansin-pansing limitasyon, ngunit ang limitasyon ng mismong function ay tiyak na hindi katumbas ng isa. Sa ganitong mga pagtatalaga sa mga limitasyon, dapat isa-isa ng isa sa denominator ang isang variable na may parehong koepisyent na nakapaloob sa variable sa ilalim ng sine. Sa kasong ito, hatiin at i-multiply sa 7

Para sa ilan, ang gayong pagdedetalye ay tila hindi kailangan, ngunit para sa karamihan ng mga mag-aaral na nahihirapang magbigay ng mga limitasyon, makakatulong ito upang mas maunawaan ang mga patakaran at matutunan ang teoretikal na materyal.
Gayundin, kung mayroong isang kabaligtaran na anyo ng pag-andar - ito rin ang unang kahanga-hangang limitasyon. At lahat dahil ang kahanga-hangang limitasyon ay katumbas ng isa

Nalalapat ang parehong panuntunan sa mga kahihinatnan ng 1 kapansin-pansing limitasyon. Samakatuwid, kung tatanungin ka "Ano ang unang kahanga-hangang limitasyon?" Dapat mong sagutin nang walang pag-aalinlangan na ito ay isang yunit.

Halimbawa 2. Hanapin ang limitasyon ng function na sin(6x)/tan(11x)
Solusyon: Upang maunawaan ang huling resulta, isinusulat namin ang function sa form

Upang ilapat ang mga patakaran ng kapansin-pansin na limitasyon multiply at hatiin sa pamamagitan ng mga kadahilanan

Susunod, isinusulat namin ang limitasyon ng produkto ng mga function sa mga tuntunin ng produkto ng mga limitasyon

Nang walang kumplikadong mga formula, nakita namin ang limitasyon ng oras trigonometriko function. Para sa asimilasyon mga simpleng formula subukang makabuo at hanapin ang limitasyon sa 2 at 4, ang formula ng corollary 1 ng kahanga-hangang limitasyon. Isasaalang-alang namin ang mas kumplikadong mga gawain.

Halimbawa 3. Kalkulahin ang limitasyon (1-cos(x))/x^2
Solusyon: Kapag sinusuri sa pamamagitan ng pagpapalit, nakukuha namin ang kawalan ng katiyakan 0/0 . Maraming hindi alam kung paano bawasan ang gayong halimbawa sa 1 kahanga-hangang limitasyon. Dito mo dapat gamitin trigonometriko formula

Sa kasong ito, ang limitasyon ay mababago sa isang malinaw na anyo

Nagtagumpay kami sa pagbabawas ng function sa parisukat ng isang kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 4. Hanapin ang limitasyon
Solusyon: Kapag nagpapalit, nakukuha namin ang pamilyar na feature 0/0 . Gayunpaman, ang variable ay lumalapit sa Pi , hindi zero. Samakatuwid, upang mailapat ang unang kapansin-pansin na limitasyon, magsasagawa kami ng gayong pagbabago sa variable na x, upang ang bagong variable ay mapunta sa zero. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang denominator bilang bagong variable Pi-x=y

Kaya, gamit ang trigonometric formula, na ibinigay sa nakaraang gawain, ang halimbawa ay nabawasan sa 1 kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 5 Kalkulahin ang Limitasyon
Solusyon: Sa una ay hindi malinaw kung paano gawing simple ang mga limitasyon. Pero kung may halimbawa, dapat may sagot. Ang katotohanan na ang variable ay napupunta sa pagkakaisa ay nagbibigay, kapag pinapalitan, ang isang singularity ng form na zero na pinarami ng infinity, kaya ang tangent ay dapat mapalitan ng formula

Pagkatapos nito, makuha namin ang ninanais na kawalan ng katiyakan 0/0. Susunod, nagsasagawa kami ng pagbabago ng mga variable sa limitasyon, at ginagamit ang periodicity ng cotangent

Ang mga huling pagpapalit ay nagpapahintulot sa amin na gamitin ang Corollary 1 ng kahanga-hangang limitasyon.

Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay katumbas ng exponent

Ito ay isang klasiko kung saan sa totoong mga problema ay hindi laging madaling maabot ang mga limitasyon.
Para sa mga kalkulasyon kakailanganin mo Ang mga limitasyon ay mga kahihinatnan ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon:
1. 2. 3. 4.
Salamat sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon at mga kahihinatnan nito, maaaring tuklasin ng isang tao ang mga kawalan ng katiyakan tulad ng zero na hinati sa zero, isa sa kapangyarihan ng infinity, at infinity na hinati sa infinity, at maging sa parehong antas.

Simulan na nating kilalanin mga simpleng halimbawa.

Halimbawa 6 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Direktang ilapat ang 2 kahanga-hangang limitasyon ay hindi gagana. Una kailangan mong i-on ang indicator upang magkaroon ito ng form na kabaligtaran sa term sa mga bracket

Ito ang pamamaraan ng pagbabawas sa 2 kapansin-pansing limitasyon at, sa katunayan, ang derivation ng 2 formula ng kinahinatnan ng limitasyon.

Halimbawa 7 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Mayroon kaming mga gawain para sa 3 formula ng corollary 2 ng kahanga-hangang limitasyon. Ang zero substitution ay nagbibigay ng singularity ng form na 0/0. Upang itaas ang limitasyon sa ilalim ng panuntunan, i-on namin ang denominator upang ang variable ay may parehong coefficient tulad ng sa logarithm

Madali din itong maunawaan at maisagawa sa pagsusulit. Ang mga paghihirap ng mga mag-aaral sa pagkalkula ng mga limitasyon ay nagsisimula sa mga sumusunod na gawain.

Halimbawa 8 Kalkulahin ang limitasyon ng pag-andar[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Solusyon: Mayroon kaming singularity ng uri 1 sa kapangyarihan ng infinity. Kung hindi ka naniniwala sa akin, maaari mong palitan ang infinity sa halip na "x" sa lahat ng dako at makita mo mismo. Upang itaas sa ilalim ng panuntunan, hinahati namin ang numerator sa pamamagitan ng denominator sa mga bracket, para dito ay ginagawa muna namin ang mga manipulasyon

Palitan ang expression sa limitasyon at i-on ito sa 2 kapansin-pansing limitasyon

Ang limitasyon ay ang exponent sa kapangyarihan ng 10. Ang mga constant na mga termino na may variable sa mga bracket at degree ay hindi nag-aambag ng anumang "panahon" - ito ay dapat tandaan. At kung tatanungin ka ng mga guro - "Bakit hindi mo buksan ang indicator?" (Para sa halimbawang ito sa x-3 ), pagkatapos ay sabihin na "Kapag ang isang variable ay may posibilidad na infinity, pagkatapos ay magdagdag ng 100 dito, o ibawas ang 1000, at ang limitasyon ay mananatiling pareho!".
Mayroong pangalawang paraan upang makalkula ang mga limitasyon ng ganitong uri. Pag-uusapan natin ito sa susunod na gawain.

Halimbawa 9 Hanapin ang limitasyon
Solusyon: Ngayon ay kinuha namin ang variable sa numerator at denominator at gagawing isa pa ang isang feature. Upang makuha ang pangwakas na halaga, ginagamit namin ang formula ng Corollary 2 ng kahanga-hangang limitasyon

Halimbawa 10 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Hindi lahat ay makakahanap ng ibinigay na limitasyon. Upang itaas ang limitasyon sa 2, isipin na ang kasalanan (3x) ay isang variable, at kailangan mong i-on ang exponent

Susunod, isinusulat namin ang indicator bilang isang degree sa isang degree


Ang mga intermediate na argumento ay inilarawan sa panaklong. Bilang resulta ng paggamit ng una at pangalawang magagandang limitasyon, nakuha namin ang cubed exponent.

Halimbawa 11. Kalkulahin ang limitasyon ng pag-andar sin(2*x)/log(3*x+1)
Solusyon: Mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa form 0/0. Bilang karagdagan, nakikita namin na ang function ay dapat na ma-convert sa paggamit ng parehong kahanga-hangang mga limitasyon. Gawin natin ang mga nakaraang pagbabagong matematikal

Dagdag pa, nang walang kahirapan, ang limitasyon ay tumatagal ng halaga

Ganito ang pakiramdam mo sa mga pagsubok, pagsubok, module kung matututunan mo kung paano mabilis na magpinta ng mga function at bawasan ang mga ito sa una o pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Kung mahirap para sa iyo na kabisaduhin ang mga pamamaraan sa itaas ng paghahanap ng mga limitasyon, maaari kang palaging mag-order pagsusulit sa ating mga limitasyon.
Upang gawin ito, punan ang form, tukuyin ang data at maglakip ng isang file na may mga halimbawa. Marami na kaming natulungang estudyante - matutulungan ka rin namin!

Ngayon, nang may kapayapaan ng isip, bumaling tayo sa pagsasaalang-alang kahanga-hangang mga limitasyon.
mukhang .

Sa halip na ang variable na x, ang iba't ibang mga function ay maaaring naroroon, ang pangunahing bagay ay ang mga ito ay may posibilidad na 0.

Kailangan nating kalkulahin ang limitasyon

Tulad ng nakikita mo, ang limitasyong ito ay halos kapareho sa unang kapansin-pansin, ngunit hindi ito ganap na totoo. Sa pangkalahatan, kung napansin mo ang kasalanan sa limitasyon, dapat mong isipin kaagad kung posible bang gamitin ang unang kapansin-pansin na limitasyon.

Ayon sa aming panuntunan No. 1, pinapalitan namin ang zero para sa x:

Nakakakuha tayo ng kawalan ng katiyakan.

Ngayon subukan nating mag-isa na ayusin ang unang kapansin-pansin na limitasyon. Upang gawin ito, magsasagawa kami ng isang simpleng kumbinasyon:

Kaya't inaayos namin ang numerator at denominator upang maging 7x ang kakaiba. Ang pamilyar na kapansin-pansing limitasyon ay lumitaw na. Maipapayo na i-highlight ito kapag nagpapasya:

Palitan ang solusyon ng una magandang halimbawa at makuha namin:

Pasimplehin ang fraction:

Sagot: 7/3.

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay napaka-simple.

May porma , kung saan ang e = 2.718281828… ay isang hindi makatwirang numero.

Sa halip na ang variable na x, ang iba't ibang mga function ay maaaring naroroon, ang pangunahing bagay ay na sila ay may posibilidad na .

Kailangan nating kalkulahin ang limitasyon

Dito makikita natin ang pagkakaroon ng isang degree sa ilalim ng limit sign, na nangangahulugan na ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay maaaring ilapat.

Gaya ng nakasanayan, gagamitin namin ang panuntunan bilang 1 - kapalit sa halip na x:

Makikita na para sa x ang base ng degree ay , at ang exponent ay 4x > , i.e. nakakakuha kami ng kawalan ng katiyakan ng form:

Gamitin natin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon para ibunyag ang ating kawalan ng katiyakan, ngunit kailangan muna nating ayusin ito. Tulad ng nakikita mo, kinakailangan upang makamit ang presensya sa tagapagpahiwatig, kung saan itinaas namin ang base sa kapangyarihan ng 3x, at sa parehong oras sa kapangyarihan ng 1/3x, upang ang expression ay hindi magbago:

Huwag kalimutang i-highlight ang aming napakagandang limitasyon:

Ito talaga kahanga-hangang mga limitasyon!
Kung mayroon kang anumang mga katanungan tungkol sa una at pangalawang magagandang limitasyon huwag mag-atubiling tanungin sila sa mga komento.
Sasagutin namin ang lahat sa lalong madaling panahon.

Maaari ka ring makipagtulungan sa isang guro sa paksang ito.
Ikinalulugod naming mag-alok sa iyo ng mga serbisyo ng pagpili ng isang kwalipikadong tutor sa iyong lungsod. Ang aming mga kasosyo ay agad na pipili ng isang mahusay na guro para sa iyo sa paborableng mga termino para sa iyo.

Hindi sapat na impormasyon? - Kaya mo !

Maaari kang magsulat ng mga kalkulasyon sa matematika sa mga notepad. Mas kaaya-aya na magsulat sa mga indibidwal na notebook na may logo (http://www.blocnot.ru).