Parallel straight definition signs. Tuwid na linya

1. Kung ang dalawang linya ay parallel sa ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel:

Kung ang a||c at b||c, pagkatapos a||b.

2. Kung ang dalawang linya ay patayo sa ikatlong linya, kung gayon ang mga ito ay parallel:

Kung ang a⊥c at b⊥c, pagkatapos a||b.

Ang natitirang mga palatandaan ng parallelism ng mga linya ay batay sa mga anggulo na nabuo sa intersection ng dalawang linya ng isang ikatlo.

3. Kung ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo ay 180°, kung gayon ang mga linya ay magkatulad:

Kung ∠1 + ∠2 = 180°, kung gayon a||b.

4. Kung ang mga katumbas na anggulo ay pantay, ang mga linya ay magkatulad:

Kung ∠2 = ∠4, kung gayon a||b.

5. Kung ang mga panloob na cross-lying na mga anggulo ay pantay, ang mga linya ay parallel:

Kung ∠1 = ∠3, kung gayon a||b.

Mga katangian ng parallel na linya

Ang mga pahayag na kabaligtaran sa mga palatandaan ng paralelismo ng mga linya ay ang kanilang mga katangian. Ang mga ito ay batay sa mga katangian ng mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng dalawang parallel na linya sa pamamagitan ng isang ikatlong linya.

1. Kapag ang dalawang magkatulad na linya ay nagsalubong sa isang ikatlong linya, ang kabuuan ng panloob na isang panig na mga anggulo na nabuo ng mga ito ay 180°:

Kung ang a||b, pagkatapos ay ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Kapag ang dalawang magkatulad na linya ay nagsalubong sa isang ikatlong linya, ang mga katumbas na anggulo na nabuo ng mga ito ay pantay:

Kung ang a||b, pagkatapos ay ∠2 = ∠4.

3. Sa intersection ng dalawang parallel na linya ng ikatlong linya, ang mga nakahiga na anggulo na nabuo ng mga ito sa kabuuan ay pantay:

Kung ang a||b, pagkatapos ay ∠1 = ∠3.

Ang sumusunod na property ay isang espesyal na kaso ng bawat nauna:

4. Kung ang isang linya sa isang eroplano ay patayo sa isa sa dalawang parallel na linya, kung gayon ito ay patayo din sa isa:

Kung ang a||b at c⊥a, pagkatapos c⊥b.

Ang ikalimang ari-arian ay ang axiom ng mga parallel na linya:

5. Sa pamamagitan ng isang puntong hindi nakahiga sa isang ibinigay na linya, isang linya lamang ang maaaring iguhit na kahanay sa ibinigay na linya.

Ang konsepto ng parallel lines

Kahulugan 1

Mga parallel na linya- ang mga linya na nasa parehong eroplano ay hindi nag-tutugma at walang mga karaniwang punto.

Kung ang mga linya ay may isang karaniwang punto, kung gayon sila bumalandra.

Kung ang lahat ng mga punto ng mga linya tugma, pagkatapos ay mayroon kaming mahalagang isang tuwid na linya.

Kung ang mga linya ay namamalagi sa iba't ibang mga eroplano, kung gayon mayroong higit pang mga kondisyon para sa kanilang paralelismo.

Kapag isinasaalang-alang ang mga tuwid na linya sa parehong eroplano, maaari naming ibigay ang sumusunod na kahulugan:

Kahulugan 2

Dalawang linya sa isang eroplano ang tinatawag parallel kung hindi sila magsalubong.

Sa matematika, ang mga parallel na linya ay karaniwang tinutukoy ng parallel sign na "$\parallel$". Halimbawa, ang katotohanan na ang linyang $c$ ay kahanay ng linyang $d$ ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

$c \parallel d$.

Ang konsepto ng parallel na mga segment ay madalas na isinasaalang-alang.

Kahulugan 3

Ang dalawang segment ay tinatawag parallel kung nakahiga sila sa magkatulad na linya.

Halimbawa, sa figure, ang mga segment na $AB$ at $CD$ ay parallel, dahil nabibilang sila sa mga parallel na linya:

$AB\parallel CD$.

Gayunpaman, ang mga segment na $MN$ at $AB$ o $MN$ at $CD$ ay hindi magkatulad. Ang katotohanang ito ay maaaring isulat gamit ang mga simbolo tulad ng sumusunod:

$MN ∦ AB$ at $MN ∦ CD$.

Ang paralelismo ng isang tuwid na linya at isang segment, isang tuwid na linya at isang sinag, isang segment at isang sinag, o dalawang sinag ay tinutukoy sa katulad na paraan.

Sanggunian sa kasaysayan

Sa Griyego ang konsepto ng "parallelos" ay isinalin bilang "magkatabi" o "isinasagawa sa tabi ng isa't isa." Ang termino ay ginamit sa sinaunang paaralan ng Pythagoras bago tinukoy ang mga parallel na linya. Ayon kay makasaysayang katotohanan Euclid sa $III$ c. BC. sa kanyang mga sinulat, gayunpaman, ang kahulugan ng konsepto ng magkatulad na mga linya ay ipinahayag.

Noong sinaunang panahon, ang tanda para sa magkatulad na mga linya ay may ibang anyo kaysa sa ginagamit natin sa modernong matematika. Halimbawa, ang sinaunang Greek mathematician na si Pappus sa $III$ c. AD Ang paralelismo ay tinutukoy ng isang katumbas na tanda. Yung. ang katotohanan na ang linyang $l$ ay kahanay ng linyang $m$ ay dating tinukoy ng "$l=m$". Nang maglaon, upang ipahiwatig ang paralelismo ng mga tuwid na linya, sinimulan nilang gamitin ang pamilyar na tanda na "$\parallel$", at ang pantay na tanda ay nagsimulang gamitin upang ipahiwatig ang pagkakapantay-pantay ng mga numero at expression.

Parallel lines sa buhay

Madalas hindi natin napapansin iyon ordinaryong buhay napapaligiran tayo ng malaking bilang ng magkatulad na linya. Halimbawa, sa isang music book at isang koleksyon ng mga kanta na may mga tala, ang staff ay ginawa gamit ang parallel lines. Gayundin parallel lines ay matatagpuan din sa mga Instrumentong pangmusika(halimbawa, mga kuwerdas ng alpa, mga gitara, mga susi ng piano, atbp.).

Ang mga kable ng kuryente na matatagpuan sa kahabaan ng mga kalye at kalsada ay tumatakbo din nang magkatulad. Mga linya ng metro at mga riles ay matatagpuan sa parallel.

Bilang karagdagan sa pang-araw-araw na buhay, ang mga parallel na linya ay matatagpuan sa pagpipinta, sa arkitektura, sa pagtatayo ng mga gusali.

Parallel na linya sa arkitektura

Sa mga ipinakitang larawan mga istrukturang arkitektura naglalaman ng mga parallel na linya. Ang paggamit ng mga parallel na linya sa konstruksyon ay nakakatulong upang mapataas ang buhay ng serbisyo ng naturang mga istraktura at nagbibigay sa kanila ng pambihirang kagandahan, kaakit-akit at kadakilaan. Ang mga linya ng kuryente ay sadyang pinapagana upang maiwasan ang pagtawid o paghawak, na magreresulta sa mga short circuit, pagkagambala at pagkawala ng kuryente. Upang ang tren ay malayang makagalaw, ang mga riles ay ginawa rin sa parallel lines.

Sa pagpipinta, ang mga parallel na linya ay inilalarawan bilang nagtatagpo sa isang linya o malapit dito. Ang pamamaraan na ito ay tinatawag na pananaw, na sumusunod mula sa ilusyon ng pangitain. Kung titingnan mo ang distansya sa loob ng mahabang panahon, ang magkatulad na mga linya ay magmumukhang dalawang linyang nagtatagpo.

1. Axiom ng parallel. Sa pamamagitan ng ibinigay na punto Hindi hihigit sa isang linya ay maaaring iguhit parallel sa ibinigay na isa.

2. Kung ang dalawang linya ay parallel sa parehong linya, kung gayon sila ay parallel sa isa't isa.

3. Dalawang linya na patayo sa parehong linya ay magkatulad.

4. Kung ang dalawang parallel na linya ay intersected ng isang third, pagkatapos ay ang panloob na cross-lying na mga anggulo na nabuo sa parehong oras ay pantay; ang mga katumbas na anggulo ay pantay; ang panloob na isang panig na anggulo ay nagdaragdag ng hanggang 180°.

5. Kung sa intersection ng dalawang tuwid na linya ang pangatlo ay bumubuo ng pantay na panloob na crosswise lying na mga anggulo, kung gayon ang mga tuwid na linya ay parallel.

6. Kung sa intersection ng dalawang linya ang pangatlong anyo ay katumbas ng katumbas na mga anggulo, kung gayon ang mga linya ay magkatulad.

7. Kung sa intersection ng dalawang linya ng pangatlo, ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo ay 180 °, kung gayon ang mga linya ay magkatulad.

Teorama ni Thales. Kung ang pantay na mga segment ay inilatag sa isang gilid ng anggulo at ang magkatulad na mga tuwid na linya ay iguguhit sa kanilang mga dulo, na nagsalubong sa pangalawang bahagi ng anggulo, pagkatapos ay ang mga pantay na segment ay idedeposito din sa pangalawang bahagi ng anggulo.

Theorem sa proporsyonal na mga segment. Ang magkatulad na mga tuwid na linya na nagsalubong sa mga gilid ng anggulo ay pinutol ang mga proporsyonal na segment sa kanila.

Tatsulok. Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

1. Kung ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkatugma.

2. Kung ang gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isang tatsulok ay magkapareho sa gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho.

3. Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho.

1. Sa dalawang paa.

2. Kasama ang binti at hypotenuse.

3. Sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle.

4. Kasama ang binti at isang matinding anggulo.

Ang theorem sa kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok at ang mga kahihinatnan nito

1. Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang tatsulok ay 180°.

2. Panlabas na sulok ng tatsulok ay katumbas ng kabuuan dalawang panloob na anggulo na hindi katabi nito.

3. Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang matambok n-gon ay

4. Ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang ga-gon ay 360°.

5. Ang mga anggulo na may magkabilang panig na patayo ay pantay-pantay kung pareho silang talamak o parehong mahina.

6. Anggulo sa pagitan ng mga bisector mga katabing sulok katumbas ng 90°.

7. Ang mga bisectors ng panloob na isang panig na anggulo na may parallel na linya at isang secant ay patayo.

Ang mga pangunahing katangian at palatandaan ng isang isosceles triangle

1. Ang mga anggulo sa base ng isang isosceles triangle ay pantay.

2. Kung ang dalawang anggulo ng isang tatsulok ay pantay, kung gayon ito ay isosceles.

3. Sa isang isosceles triangle, ang median, bisector at taas na iginuhit sa base ay pareho.

4. Kung ang anumang pares ng mga segment mula sa triple - median, bisector, taas - nag-tutugma sa isang tatsulok, kung gayon ito ay isosceles.

Ang hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok at ang mga kahihinatnan nito

1. Ang kabuuan ng dalawang panig ng isang tatsulok ay mas malaki kaysa sa ikatlong panig nito.

2. Ang kabuuan ng mga link ng putol na linya ay mas malaki kaysa sa segment na kumukonekta sa simula

ang unang link na may dulo ng huli.

3. Sa tapat ng mas malaking anggulo ng tatsulok ay matatagpuan ang mas malaking bahagi.

4. Laban mas malaking bahagi tatsulok ang pinakamalaking anggulo.

5. Hypotenuse kanang tatsulok pang skate.

6. Kung ang patayo at hilig ay iguguhit mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya, kung gayon

1) ang patayo ay mas maikli kaysa sa mga hilig;

2) ang isang mas malaking slope ay tumutugma sa isang mas malaking projection at vice versa.

gitnang linya tatsulok.

Ang segment ng linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng dalawang gilid ng isang tatsulok ay tinatawag na midline ng tatsulok.

Triangle midline theorem.

Ang median na linya ng tatsulok ay parallel sa gilid ng tatsulok at katumbas ng kalahati nito.

Triangle median theorems

1. Ang mga median ng isang tatsulok ay bumalandra sa isang punto at hatiin ito sa isang ratio na 2: 1, pagbibilang mula sa itaas.

2. Kung ang median ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng gilid kung saan ito iginuhit, kung gayon ang tatsulok ay right-angled.

3. Median ng isang right triangle na iginuhit mula sa isang vertex tamang anggulo katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

Property ng perpendicular bisectors sa mga gilid ng isang tatsulok. Ang mga perpendicular bisector sa mga gilid ng tatsulok ay nagsalubong sa isang punto, na siyang sentro ng bilog na nakapaligid sa tatsulok.

Triangle altitude theorem. Ang mga linya na naglalaman ng mga altitude ng tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.

Triangle bisector theorem. Ang mga bisector ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto, na siyang sentro ng bilog na nakasulat sa tatsulok.

Bisector property ng isang tatsulok. Hinahati ng bisector ng isang tatsulok ang gilid nito sa mga segment na proporsyonal sa iba pang dalawang panig.

Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tatsulok

1. Kung ang dalawang anggulo ng isang tatsulok ay magkapareho sa dalawang anggulo ng isa pa, kung gayon ang mga tatsulok ay magkatulad.

2. Kung ang dalawang gilid ng isang tatsulok ay magkasunod na proporsyonal sa dalawang panig ng isa pa, at ang mga anggulo na nakapaloob sa pagitan ng mga panig na ito ay pantay, kung gayon ang mga tatsulok ay magkatulad.

3. Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakasunod-sunod na proporsyonal sa tatlong panig ng isa pa, kung gayon ang mga tatsulok ay magkatulad.

Mga Lugar ng Magkatulad na Triangles

1. Ang ratio ng mga lugar ng magkatulad na tatsulok ay katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad.

2. Kung ang dalawang tatsulok ay may pantay na mga anggulo, kung gayon ang kanilang mga lugar ay magkakaugnay bilang mga produkto ng mga panig na nakapaloob sa mga anggulong ito.

Sa isang kanang tatsulok

1. Ang binti ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng produkto ng hypotenuse at ang sine ng kabaligtaran o ang cosine ng matinding anggulo na katabi ng binti na ito.

2. Ang binti ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng kabilang binti na pinarami ng padaplis ng kabaligtaran o ang cotangent ng matinding anggulo na katabi ng binti na ito.

3. Ang binti ng isang kanang tatsulok na nakahiga sa tapat ng isang anggulo ng 30 ° ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

4. Kung ang binti ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse, kung gayon ang anggulo sa tapat ng binti na ito ay 30°.

5. R = ; g \u003d, kung saan ang a, b ay mga binti, at ang c ay ang hypotenuse ng isang right triangle; Ang r at R ay ang radii ng inscribed at circumscribed na bilog, ayon sa pagkakabanggit.

Ang Pythagorean theorem at ang kabaligtaran ng Pythagorean theorem

1. Ang parisukat ng hypotenuse ng isang right triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

2. Kung ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig nito, kung gayon ang tatsulok ay right-angled.

Mean proportionals sa isang right triangle.

Ang taas ng right triangle, na iginuhit mula sa vertex ng right angle, ay ang average na proporsyonal sa mga projection ng mga binti papunta sa hypotenuse, at ang bawat binti ay ang average na proporsyonal sa hypotenuse at ang projection nito sa hypotenuse.

1. Teorama ng mga cosine. Ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig nang hindi dinodoble ang produkto ng mga panig na iyon sa pag-uulit ng cosine ng anggulo sa pagitan nila.

2. Corollary mula sa cosine theorem. Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga diagonal ng isang paralelogram ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng lahat ng panig nito.

3. Formula para sa median ng isang tatsulok. Kung ang m ay ang median ng tatsulok na iginuhit sa gilid c, kung gayon m = kung saan ang a at b ay ang natitirang mga gilid ng tatsulok.

4. Sine theorem. Ang mga gilid ng isang tatsulok ay proporsyonal sa mga sine ng magkasalungat na anggulo.

5. Generalized sine theorem. Ang ratio ng isang gilid ng isang tatsulok sa sine ng kabaligtaran na anggulo ay katumbas ng diameter ng bilog na pumapalibot sa tatsulok.

Mga formula ng lugar ng tatsulok

1. Ang lugar ng isang tatsulok ay kalahati ng produkto ng base at ang taas.

2. Ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng dalawang panig nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila.

3. Ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng produkto ng semiperimeter nito at ang radius ng inscribed na bilog.

4. Ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng produkto ng tatlong panig nito na hinati ng apat na beses sa radius ng circumscribed na bilog.

5. Formula ng Heron: S=, kung saan ang p ay ang semiperimeter; a, b, c - mga gilid ng tatsulok.

Mga elemento equilateral triangle . Hayaang ang h, S, r, R ay ang taas, lugar, radii ng inscribed at circumscribed na bilog ng isang equilateral triangle na may gilid a. Pagkatapos
Quadrilaterals

Paralelogram. Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay magkaparehas na magkatulad.

Mga katangian at tampok ng paralelogram.

1. Hinahati ng dayagonal ang paralelogram sa dalawang pantay na tatsulok.

2. Ang magkabilang panig ng paralelogram ay magkapares.

3. Ang magkasalungat na mga anggulo ng paralelogram ay magkapares.

4. Ang mga dayagonal ng parallelogram ay nagsalubong at naghahati sa punto ng intersection.

5. Kung ang magkasalungat na gilid ng isang may apat na gilid ay pantay sa mga pares, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.

6. Kung ang dalawang magkasalungat na gilid ng isang may apat na gilid ay pantay at parallel, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.

7. Kung ang mga dayagonal ng isang quadrilateral ay hinahati ng intersection point, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.

Pag-aari ng mga midpoint ng mga gilid ng isang quadrilateral. Ang mga midpoint ng mga gilid ng anumang quadrilateral ay ang mga vertices ng isang parallelogram na ang lugar ay kalahati ng lugar ng quadrilateral.

Parihaba. Ang parihaba ay isang paralelogram na may tamang anggulo.

Mga katangian at palatandaan ng isang parihaba.

1. Ang mga dayagonal ng isang parihaba ay pantay.

2. Kung ang mga diagonal ng isang paralelogram ay pantay, kung gayon ang parallelogram na ito ay isang parihaba.

parisukat. Ang parisukat ay isang parihaba na ang lahat ng panig nito ay pantay.

Rhombus. Ang rhombus ay isang quadrilateral na ang lahat ng panig ay pantay.

Mga katangian at palatandaan ng isang rhombus.

1. Ang mga dayagonal ng rhombus ay patayo.

2. Hinahati ng mga diagonal ng rhombus ang mga sulok nito.

3. Kung ang mga diagonal ng isang paralelogram ay patayo, kung gayon ang parallelogram na ito ay isang rhombus.

4. Kung ang mga diagonal ng isang paralelogram ay hatiin ang mga anggulo nito sa kalahati, kung gayon ang parallelogram na ito ay isang rhombus.

Trapeze. Ang trapezoid ay isang may apat na gilid kung saan ang dalawang magkabilang panig (base) lamang ang magkatulad. Ang median na linya ng isang trapezoid ay isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng hindi magkatulad na panig (mga gilid ng gilid).

1. Ang median na linya ng trapezoid ay kahanay sa mga base at katumbas ng kanilang kalahating kabuuan.

2. Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng trapezoid ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base.

Kapansin-pansing pag-aari ng isang trapezoid. Ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid, ang punto ng intersection ng mga extension ng mga gilid at ang mga midpoint ng mga base ay namamalagi sa parehong tuwid na linya.

Isosceles trapezium. Ang trapezoid ay tinatawag na isosceles kung ang mga gilid nito ay pantay.

Mga katangian at palatandaan ng isang isosceles trapezoid.

1. Ang mga anggulo sa base ng isang isosceles trapezoid ay pantay.

2. Ang mga dayagonal ng isang isosceles trapezoid ay pantay.

3. Kung ang mga anggulo sa base ng trapezoid ay pantay, kung gayon ito ay isosceles.

4. Kung ang mga diagonal ng isang trapezoid ay pantay, kung gayon ito ay isosceles.

5. Ang projection ng lateral side ng isang isosceles trapezoid papunta sa base ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base, at ang projection ng diagonal ay kalahati ng kabuuan ng mga base.

Mga formula para sa lugar ng isang quadrilateral

1. Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng base at taas.

2. Ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng produkto ng mga katabing gilid nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila.

3. Ang lugar ng isang parihaba ay katumbas ng produkto ng dalawang magkatabing gilid nito.

4. Ang lugar ng isang rhombus ay kalahati ng produkto ng mga diagonal nito.

5. Ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at taas.

6. Ang lugar ng isang quadrilateral ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga diagonal nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila.

7. Ang formula ng Heron para sa isang may apat na gilid kung saan maaaring ilarawan ang isang bilog:

S \u003d, kung saan ang a, b, c, d ay ang mga gilid ng quadrilateral na ito, ang p ay ang semi-perimeter, at ang S ay ang lugar.

Katulad na mga figure

1. Ang ratio ng mga katumbas na linear na elemento ng magkatulad na figure ay katumbas ng similarity coefficient.

2. Ang ratio ng mga lugar ng magkatulad na mga numero ay katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad.

regular na polygon.

Hayaang ang a n ang gilid ng isang regular na n-gon, at ang r n at R n ang radii ng inscribed at circumscribed na mga bilog. Pagkatapos

Bilog.

Ang bilog ay ang locus ng mga punto sa isang eroplano na nasa parehong positibong distansya mula sa isang partikular na punto, na tinatawag na sentro ng bilog.

Mga pangunahing katangian ng isang bilog

1. Ang diameter na patayo sa chord ay naghahati sa chord at ang mga arko na binabawasan nito sa kalahati.

2. Ang diameter na dumadaan sa gitna ng chord na hindi diameter ay patayo sa chord na iyon.

3. Ang median na patayo sa chord ay dumadaan sa gitna ng bilog.

4. Pantay na chord katumbas ng layo mula sa gitna ng bilog.

5. Ang mga chord ng isang bilog na katumbas ng layo mula sa gitna ay pantay.

6. Ang bilog ay simetriko na may paggalang sa alinman sa mga diameter nito.

7. Ang mga arko ng isang bilog na nakapaloob sa pagitan ng magkatulad na mga kuwerdas ay pantay.

8. Sa dalawang chord, mas malaki ang hindi gaanong layo sa gitna.

9. Ang diameter ay ang pinakamalaking chord ng isang bilog.

Tangent sa bilog. Ang isang linya na may isang punto na karaniwan sa isang bilog ay tinatawag na isang padaplis sa bilog.

1. Ang tangent ay patayo sa radius na iginuhit sa punto ng contact.

2. Kung ang linyang a na dumadaan sa isang punto sa bilog ay patayo sa radius na iginuhit sa puntong ito, kung gayon ang linya a ay padaplis sa bilog.

3. Kung ang mga linyang dumadaan sa puntong M ay dumampi sa bilog sa mga puntong A at B, pagkatapos ay MA = MB at ﮮAMO = ﮮBMO, kung saan ang puntong O ay ang sentro ng bilog.

4. Ang gitna ng isang bilog na nakasulat sa isang anggulo ay nasa bisector ng anggulong ito.

padaplis na bilog. Ang dalawang bilog ay sinasabing magkadikit kung mayroon silang isang karaniwang punto (tangent point).

1. Ang punto ng pakikipag-ugnay ng dalawang bilog ay nasa kanilang linya ng mga sentro.

2. Mga bilog ng radii r at R na may mga center O 1 at O ​​2 touch sa panlabas kung at kung lamang R + r = O 1 O 2 .

3. Mga bilog ng radii r at R (r

4. Ang mga bilog na may mga sentrong O 1 at O ​​2 ay kumakapit sa labas sa puntong K. Ang ilang tuwid na linya ay dumadampi sa mga bilog na ito sa magkaibang mga punto A at B at nagsasalubong sa isang karaniwang tangent na dumadaan sa puntong K sa puntong C. Pagkatapos ﮮAK B \u003d 90 ° at ﮮO 1 CO 2 \u003d 90 °.

5. Ang segment ng karaniwang panlabas na tangent sa dalawang tangent na bilog ng radii r at R ay katumbas ng segment ng karaniwang panloob na tangent na nakapaloob sa pagitan ng mga karaniwang panlabas. Pareho sa mga segment na ito ay pantay.

Ang mga anggulo na nauugnay sa isang bilog

1. Ang halaga ng arko ng isang bilog ay katumbas ng halaga ng gitnang anggulo batay dito.

2. Ang isang inscribed na anggulo ay katumbas ng kalahati ng angular magnitude ng arko kung saan ito nakapatong.

3. Ang mga nakasulat na anggulo batay sa parehong arko ay pantay.

4. Ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting chord ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng magkasalungat na arko na pinutol ng mga chord.

5. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang secant na nagsasalubong sa labas ng bilog ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga arko na pinutol ng mga secant sa bilog.

6. Ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang chord na iginuhit mula sa punto ng contact ay katumbas ng kalahati ng angular na halaga ng arc cut sa bilog sa pamamagitan ng chord na ito.

Mga katangian ng mga chord ng bilog

1. Ang linya ng mga sentro ng dalawang intersecting na bilog ay patayo sa kanilang karaniwang chord.

2. Ang mga produkto ng mga haba ng mga segment ng chords AB at CD ng bilog na intersecting sa punto E ay pantay, iyon ay, AE EB \u003d CE ED.

Inscribed at circumscribed circles

1. Ang mga sentro ng inscribed at circumscribed na bilog ng isang regular na tatsulok ay nag-tutugma.

2. Ang gitna ng isang bilog na nakapaligid sa isang right triangle ay ang midpoint ng hypotenuse.

3. Kung ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang may apat na gilid, kung gayon ang mga kabuuan ng magkabilang panig nito ay pantay.

4. Kung ang isang may apat na gilid ay maaaring nakasulat sa isang bilog, kung gayon ang kabuuan ng mga magkasalungat na anggulo nito ay 180°.

5. Kung ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng isang may apat na gilid ay 180°, kung gayon ang isang bilog ay maaaring bilugan sa paligid nito.

6. Kung ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang trapezoid, kung gayon gilid ang trapezoid ay nakikita mula sa gitna ng bilog sa isang tamang anggulo.

7. Kung ang isang bilog ay maaaring ma-inscribed sa isang trapezoid, kung gayon ang radius ng bilog ay ang average na proporsyonal sa mga segment kung saan ang tangent point ay naghahati sa lateral side.

8. Kung ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang polygon, kung gayon ang lugar nito ay katumbas ng produkto ng semiperimeter ng polygon at ang radius ng bilog na ito.

Ang tangent at secant theorem at ang kaakibat nito

1. Kung ang isang tangent at isang secant ay iguguhit mula sa isang punto patungo sa bilog, kung gayon ang produkto ng buong secant sa pamamagitan ng panlabas na bahagi nito ay katumbas ng parisukat ng tangent.

2. Ang produkto ng buong secant sa pamamagitan ng panlabas na bahagi nito para sa isang partikular na punto at isang binigay na bilog ay pare-pareho.

Ang circumference ng isang bilog na may radius R ay C= 2πR

Ang paralelismo ng dalawang linya ay maaaring patunayan sa batayan ng teorama, ayon sa kung saan, dalawang patayo na iginuhit na may paggalang sa isang linya ay magkatulad. Mayroong ilang mga palatandaan ng magkatulad na mga linya - mayroong tatlo sa kanila, at isasaalang-alang namin ang lahat ng mga ito nang mas partikular.

Ang unang tanda ng paralelismo

Ang mga linya ay parallel kung, sa intersection ng kanilang ikatlong linya, ang nabuong panloob na mga anggulo na nakahiga sa kabuuan ay pantay.

Ipagpalagay, sa intersection ng mga linya AB at CD na may tuwid na linya EF, nabuo ang mga anggulo /1 at /2. Magkapantay ang mga ito, dahil ang tuwid na linya na EF ay tumatakbo sa parehong slope na may paggalang sa iba pang dalawang tuwid na linya. Sa intersection ng mga linya, inilalagay namin ang mga puntong Ki L - mayroon kaming isang segment ng secant EF. Natagpuan namin ang gitna nito at inilagay ang isang punto O (Larawan 189).

Sa linyang AB ibinabagsak natin ang patayo mula sa puntong O. Tawagin natin itong OM. Ipinagpapatuloy namin ang patayo hanggang sa mag-intersect ito sa linyang CD. Bilang resulta, ang orihinal na linyang AB ay mahigpit na patayo sa MN, na nangangahulugang ang CD _ | _ MN, ngunit ang pahayag na ito ay nangangailangan ng patunay. Bilang resulta ng pagguhit ng patayo at ang linya ng intersection, nakabuo kami ng dalawang tatsulok. Ang isa sa kanila ay AKIN, ang pangalawa ay NOK. Isaalang-alang natin ang mga ito nang mas detalyado. mga palatandaan ng parallel lines grade 7

Ang mga tatsulok na ito ay pantay, dahil, alinsunod sa mga kondisyon ng teorama, /1 =/2, at alinsunod sa pagtatayo ng mga tatsulok, ang gilid na OK = gilid OL. Anggulo MOL =/NOK dahil ito ay mga patayong anggulo. Ito ay sumusunod mula dito na ang gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isa sa mga tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isa sa mga tatsulok. Kaya, ang tatsulok MOL \u003d tatsulok NOK, at samakatuwid ang anggulo LMO \u003d anggulo KNO, ngunit alam namin na / LMO ay isang tama, na nangangahulugan na ang kaukulang anggulo KNO ay tama din. Ibig sabihin, napatunayan naming pareho ang linyang AB at ang linyang CD ay patayo sa linyang MN. Ibig sabihin, ang AB at CD ay parallel sa isa't isa. Ito ang kailangan nating patunayan. Isaalang-alang natin ang natitirang mga palatandaan ng magkatulad na linya (klase 7), na naiiba sa unang tanda sa paraan ng patunay.

Ang pangalawang tanda ng paralelismo

Ayon sa pangalawang tanda ng parallelism ng mga linya, kailangan nating patunayan na ang mga anggulo na nakuha sa proseso ng intersection ng mga parallel na linya AB at CD sa pamamagitan ng linya EF ay magiging pantay. Kaya, ang mga palatandaan ng parallelism ng dalawang linya, pareho ang una at ang pangalawa, ay batay sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo na nakuha kapag sila ay tumawid ng ikatlong linya. Ipinapalagay namin na /3 = /2, at ang anggulo 1 = /3, dahil patayo ito dito. Kaya, at /2 ay magiging katumbas ng anggulo 1, gayunpaman, dapat itong isaalang-alang na ang parehong anggulo 1 at anggulo 2 ay panloob, cross-lying na mga anggulo. Samakatuwid, nananatili para sa amin na ilapat ang aming kaalaman, ibig sabihin, na ang dalawang mga segment ay magkatulad kung, sa kanilang intersection sa isang ikatlong linya, ang nabuo, cross-lying na mga anggulo ay magiging pantay. Kaya, nalaman namin na ang AB || CD.

Nagawa naming patunayan na sa ilalim ng kondisyon na ang dalawang perpendicular ay kahanay sa isang tuwid na linya, ayon sa kaukulang teorama, ang tanda ng parallel na linya ay halata.

Ang ikatlong tanda ng paralelismo

Mayroon ding ikatlong pamantayan para sa paralelismo, na pinatunayan sa pamamagitan ng kabuuan ng isang panig na panloob na mga anggulo. Ang ganitong patunay ng tanda ng parallelism ng mga linya ay nagpapahintulot sa amin na tapusin na ang dalawang linya ay magkatulad kung, sa intersection ng kanilang ikatlong linya, ang kabuuan ng nakuha na isang panig na panloob na mga anggulo ay magiging katumbas ng 2d. Tingnan ang figure 192.

Hindi sila nagsasalubong, gaano man sila katagal. Ang paralelismo ng mga linya sa pagsulat ay ipinahiwatig tulad ng sumusunod: AB|| SaE

Ang posibilidad ng pagkakaroon ng gayong mga linya ay pinatunayan ng isang teorama.

Teorama.

Sa pamamagitan ng anumang punto na kinuha sa labas ng isang naibigay na linya, ang isa ay maaaring gumuhit ng parallel sa linyang ito..

Hayaan AB linyang ito at Sa ilang puntong kinuha sa labas nito. Ito ay kinakailangan upang patunayan iyon Sa maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya parallelAB. Tara na AB mula sa isang punto Sa patayoSaD at pagkatapos ay gagawin namin SaE^ SaD, kung ano ang posible. Diretso CE parallel AB.

Para sa patunay, ipinapalagay namin ang kabaligtaran, ibig sabihin, iyon CE nagsalubong AB sa isang punto M. Pagkatapos mula sa punto M sa isang tuwid na linya SaD magkakaroon tayo ng dalawang magkaibang perpendicular MD at MS, na imposible. Ibig sabihin, CE hindi maaaring bumalandra sa AB, ibig sabihin. SaE parallel AB.

Bunga.

Dalawang patayo (CEatD.B.) sa isang tuwid na linya (CD) ay parallel.

Axiom ng parallel lines.

Sa pamamagitan ng parehong punto imposibleng gumuhit ng dalawang magkaibang linya parallel sa parehong linya.

Kaya kung isang tuwid na linya SaD, iginuhit sa pamamagitan ng punto Sa parallel sa isang tuwid na linya AB, pagkatapos ay anumang iba pang linya SaE sa pamamagitan ng parehong punto Sa, hindi maaaring magkatulad AB, ibig sabihin. patuloy niya bumalandra kasama AB.

Ang patunay ng hindi masyadong halatang katotohanang ito ay naging imposible. Ito ay tinatanggap nang walang patunay bilang isang kinakailangang palagay (postulatum).

Mga kahihinatnan.

1. Kung tuwid(SaE) bumabagtas sa isa sa parallel(SW), pagkatapos ay bumalandra ito sa isa pa ( AB), dahil kung hindi sa pamamagitan ng parehong punto Sa dalawang magkaibang tuwid na linya, parallel AB, na imposible.

2. Kung ang bawat isa sa dalawa direkta (AatB) ay parallel sa parehong ikatlong linya ( Sa) , tapos sila ay parallel sa pagitan nila.

Sa katunayan, kung ipagpalagay natin iyon A at B bumalandra sa isang punto M, pagkatapos ay dadaan sa puntong ito ang dalawang magkaibang tuwid na linya, na parallel sa isa't isa. Sa, na imposible.

Teorama.

Kung ang ang tuwid na linya ay patayo sa isa sa mga parallel na linya, pagkatapos ay patayo ito sa isa pa parallel.

Hayaan AB || SaD at EF ^ AB.Kailangang patunayan iyon EF ^ SaD.

PerpendikularEF, interseksyon sa AB, ay tiyak na magsalubong at SaD. Hayaan ang punto ng intersection H.

Kumbaga ngayon na SaD hindi patayo sa EH. Pagkatapos ng ilang ibang linya, halimbawa HK, ay magiging patayo sa EH at samakatuwid ay sa pamamagitan ng parehong punto H dalawa tuwid na parallel AB: isa SaD, ayon sa kondisyon, at ang iba pa HK tulad ng napatunayan dati. Dahil imposible ito, hindi ito maaaring ipagpalagay na SW ay hindi patayo sa EH.