Naglalaman ang first order differential equation. Linear differential equation ng unang order at ang Bernoulli equation

Ang isang first-order linear differential equation ay isang equation na linear na may kinalaman sa isang hindi kilalang function at ang derivative nito. parang

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

kung saan ang p(x) at q(x) - paunang natukoy na mga function sa x , tuloy-tuloy sa rehiyon kung saan kinakailangan na isama ang equation (1).

Kung q(x)\equiv0 , kung gayon ang equation (1) ay tinatawag linear homogenous. Ito ay isang separable variable equation at may karaniwang desisyon

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Ang pangkalahatang solusyon ay hindi homogenous equation maaaring matagpuan paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho, na binubuo sa katotohanan na ang solusyon ng equation (1) ay hinahanap sa anyo

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), kung saan ang C(x) ay isang bagong hindi kilalang function ng x .

Halimbawa 1 Lutasin ang equation na y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Solusyon. Inilapat namin ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang pare-pareho. Isaalang-alang ang isang homogenous na equation y"+2xy=0 na tumutugma sa inhomogeneous equation na ito. Ito ay isang equation na may mga separable na variable. Ang pangkalahatang solusyon nito ay y=Ce^(-x^2) .

Hinahanap namin ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation sa anyong y=C(x)e^(-x^2) , kung saan ang C(x) ay isang hindi kilalang function ng x . Ang pagpapalit, nakukuha natin ang C "(x)=2x , kung saan ang C(x)=x^2+C . Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation ay magiging y=(x^2+C)e^(-x^ 2) , kung saan ang C ay ang pare-pareho ng pagsasama.

Magkomento. Maaaring lumabas na ang differential equation ay linear sa x bilang isang function ng y. Ang normal na anyo ng naturang equation

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Halimbawa 2 lutasin ang equation \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Solusyon. Ang equation na ito ay linear kung isasaalang-alang natin ang x bilang isang function ng y :

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Inilapat namin ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho. Una, lutasin namin ang kaukulang homogenous equation

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

na isang separable variable equation. Ang pangkalahatang solusyon nito ay x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Hinahanap namin ang pangkalahatang solusyon ng equation sa anyong x=C(y)e^(\sin(y)) , kung saan ang C(y) ay isang hindi kilalang function ng y . Pagpapalit, nakukuha namin

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y o C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Samakatuwid, ang pagsasama ng mga bahagi, mayroon kami

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

Kaya,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Ang pagpapalit ng equation na ito sa x=C(y)e^(\sin(y)) , nakukuha natin ang pangkalahatang solusyon sa orihinal na equation, at samakatuwid ay sa equation na ito:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Ang orihinal na equation ay maaari ding isama bilang mga sumusunod. Naniniwala kami

Y=u(x)v(x),

kung saan ang u(x) at v(x) ay mga hindi kilalang function ng x , ang isa sa mga ito, halimbawa v(x) , ay maaaring piliin nang arbitraryo.

Ang pagpapalit ng y=u(x)v(x) sa , pagkatapos ng pagbabagong-anyo ay nakukuha natin

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Ang pagtukoy sa v(x) mula sa kundisyon v"+pv=0 , makikita natin mula sa vu"+(pv+v")u=q(x) ang function na u(x) , at samakatuwid ang solusyon y=uv ng equation \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Bilang v(x) ang isa ay maaaring kumuha ng anumang madalas na solusyon ng equation v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Halimbawa 3 Lutasin ang problemang Cauchy: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Solusyon. Naghahanap kami ng pangkalahatang solusyon sa equation sa anyong y=u(x)v(x) ; mayroon tayong y"=u"v+uv" . Ang pagpapalit ng expression para sa y at y" sa orihinal na equation, magkakaroon tayo ng

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) o x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Nahanap namin ang function na v=v(x) mula sa kondisyon x(x-1)v"+v=0. Pagkuha ng anumang partikular na solusyon ng huling equation, halimbawa v=\frac(x)(x-1) , at pinapalitan ito, nakukuha natin ang equation na u"=2x-1 , kung saan makikita natin ang function na u(x)=x^2-x+C . Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng equation x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) kalooban

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), o y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Gamit ang paunang kundisyon y|_(x=2)=4 , nakukuha natin ang equation para sa paghahanap ng C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, kung saan C=0 ; kaya ang solusyon sa nakasaad na problemang Cauchy ay ang function y=x^2 .

Halimbawa 4 Ito ay kilala na sa pagitan ng kasalukuyang lakas i at ang electromotive force E sa isang circuit na may resistensya R at self-induction L, mayroong isang relasyon E=Ri+L\frac(di)(dt), kung saan ang R at L ay mga pare-pareho. Kung isasaalang-alang namin ang E bilang isang function ng oras t, pagkatapos ay makakakuha kami ng isang linear hindi magkakatulad na equation para sa kasalukuyang i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Hanapin ang kasalukuyang i(t) para sa kaso kung kailan E=E_0=\text(const) at i(0)=I_0 .

Solusyon. Meron kami \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito ay may anyo i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Gamit ang paunang kondisyon (13), nakukuha natin mula sa C=I_0-\frac(E_0)(R), kaya ang nais na solusyon ay magiging

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Ipinapakita nito na sa t\to+\infty ang kasalukuyang i(t) ay may posibilidad na pare-pareho ang halaga \frac(E_0)(R) .

Halimbawa 5 Isang pamilya C_\alpha ng integral curves ng isang linear inhomogeneous equation na y"+p(x)y=q(x) ay ibinigay.

Ipakita na ang mga tangent sa kaukulang mga punto sa C_\alpha curves na tinukoy ng linear equation ay nagsalubong sa isang punto (Fig. 13).

Solusyon. Isaalang-alang ang tangent sa ilang curve C_\alpha sa puntong M(x,y). Ang tangent equation sa puntong M(x,y) ay may anyo

\eta-q(x)(\xi-x)=y, kung saan ang \xi,\eta ay ang kasalukuyang mga coordinate ng tangent point.

Sa pamamagitan ng kahulugan, sa kani-kanilang mga punto, ang x ay pare-pareho at ang y ay variable. Ang pagkuha ng anumang dalawang tangent sa mga linyang C_\alpha sa kaukulang mga punto, para sa mga coordinate ng punto S ng kanilang intersection, nakukuha namin

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Ipinapakita nito na ang lahat ng mga tangent sa mga kurba C_\alpha sa kaukulang mga punto (x ay naayos) ay nagsalubong sa parehong punto

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Inaalis ang argumentong x sa system, nakukuha natin ang equation ng locus ng mga puntos S \colon f(\xi,\eta)=0.

Halimbawa 6 Maghanap ng solusyon sa equation y"-y=\cos(x)-\sin(x), na nakakatugon sa kundisyon: y ay nakatali sa y\to+\infty .

Solusyon. Ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay y=Ce^x+\sin(x) . Ang anumang solusyon sa equation na nakuha mula sa pangkalahatang solusyon para sa C\ne0 ay magiging unbounded, dahil para sa x\to+\infty ang function na \sin(x) ay bounded, habang e^x\to+\infty . Ito ay nagpapahiwatig na ang equation na ito ay may natatanging solusyon y=\sin(x) , bounded sa x\to+\infty , na nakuha mula sa pangkalahatang solusyon sa C=0 .

Bernoulli equation

Bernoulli differential equation may porma

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, kung saan ang n\ne0;1 (para sa n=0 at n=1 ang equation na ito ay linear).

Sa pamamagitan ng pagbabago ng variable z=\frac(1)(y^(n-1)) Ang equation ni Bernoulli ay nabawasan sa linear equation at isinasama bilang isang linear.

Halimbawa 7 Lutasin ang Bernoulli equation y"-xy=-xy^3 .

Solusyon. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng y^3 :

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Paggawa ng variable na pagbabago \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", saan \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Pagkatapos ng pagpapalit, ang huling equation ay magiging isang linear equation

-\frac(z")(2)-xz=-x o z"+2xz=2x , na ang pangkalahatang solusyon ay z=1+Ce^(-x^2).

Mula dito nakukuha natin ang pangkalahatang integral ng equation na ito

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) o y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Magkomento. Ang Bernoulli equation ay maaari ding isama sa pamamagitan ng paraan ng variation ng isang constant, tulad ng linear equation, at gamit ang substitution na y(x)=u(x)v(x) .

Halimbawa 8 Lutasin ang Bernoulli equation na xy"+y=y^2\ln(x). .

Solusyon. Inilapat namin ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho. Ang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous na equation na xy"+y=0 ay may anyong y=\frac(C)(x) . Hinahanap namin ang pangkalahatang solusyon ng equation sa anyong y=\frac(C(x) )(x) , kung saan ang C(x) - bagong hindi kilalang function Pagpapalit sa orihinal na equation, mayroon tayo

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Upang mahanap ang function na C(x), kumuha tayo ng equation na may mga separable variable, kung saan, paghiwalayin ang mga variable at pagsasama, makikita natin

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng orihinal na equation y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Ang ilan nonlinear equation ng unang pagkakasunud-sunod, sa tulong ng isang mahusay na nahanap na pagbabago ng mga variable, ay nabawasan sa mga linear equation o sa mga equation ni Bernoulli.

Halimbawa 9 lutasin ang equation y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Solusyon. Isinulat namin ang equation na ito sa form y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Ang paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 2\cos^2\frac(y)(2), nakukuha namin \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Pagpapalit \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) dinadala ang equation na ito sa isang linear \frac(dz)(dx)+z=-x, na ang pangkalahatang solusyon ay z=1-x+Ce^(-x) .

Ang pagpapalit ng z sa pagpapahayag nito sa mga tuntunin ng y, nakukuha natin ang pangkalahatang integral ng ibinigay na equation \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

Sa ilang mga equation, ang gustong function na y(x) ay maaaring nasa ilalim ng integral sign. Sa mga kasong ito, minsan posible na bawasan ang ibinigay na equation sa isang differential sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan.

Halimbawa 10 lutasin ang equation x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Solusyon. Ang pagkakaiba sa magkabilang panig ng equation na ito na may paggalang sa x, nakukuha natin

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x) o Pinagmulan ng impormasyon

Ang unang order, na may karaniwang anyo na $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, kung saan ang $P\left(x\right)$ ay isang tuluy-tuloy na function, ay tinatawag na linear homogenous. Ang Ang pangalang "linear" ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang hindi kilalang function na $y$ at ang unang derivative na $y"$ ay pumapasok sa equation nang linearly, iyon ay, sa unang antas. Ang pangalang "homogeneous" ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang zero ay nasa kanang bahagi ng equation.

Ang ganitong equation ng kaugalian ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng paghihiwalay ng mga variable. Isipin natin ito karaniwang anyo paraan: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, kung saan $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\right)$ at $f_(2) \left(y\right)=y$.

Kalkulahin natin ang integral na $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.

Kalkulahin ang integral $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right| $ .

Gawin natin ang mga pagbabago:

Gamit ang kahulugan ng logarithm, nakukuha natin ang: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . Ang pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas naman ng $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Ang pagpapalit ng arbitrary na pare-parehong $C=\pm C_(1) $, makuha namin ang pangkalahatang solusyon ng linear homogeneous differential equation: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Ang paglutas ng equation na $f_(2) \left(y\right)=y=0$, nakahanap kami ng mga solong solusyon. Sa pamamagitan ng karaniwang pagsusuri tinitiyak namin na ang function na $y=0$ ay isang espesyal na solusyon ng ibinigay na differential equation.

Gayunpaman, ang parehong solusyon ay maaaring makuha mula sa pangkalahatang solusyon $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ sa pamamagitan ng pagtatakda ng $C=0$ dito.

Kaya ang huling resulta ay: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Ang pangkalahatang paraan para sa paglutas ng isang first-order linear homogeneous differential equation ay maaaring katawanin bilang ang sumusunod na algorithm:

Upang malutas ang equation na ito, kailangan muna itong maipakita sa karaniwang anyo ng $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ na pamamaraan. Kung hindi ito nakamit, ang differential equation na ito ay dapat lutasin ng ibang paraan.
Kalkulahin ang integral $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
Isinulat namin ang pangkalahatang solusyon bilang $y=C\cdot e^(-I) $ at, kung kinakailangan, magsagawa ng mga pagpapasimpleng pagbabago.

Gawain 1

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$.

Mayroon kaming linear homogeneous equation ng unang order sa karaniwang anyo kung saan $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.

Kalkulahin ang integral $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $.

Ang pangkalahatang solusyon ay: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.

Linear inhomogeneous differential equation ng unang order

Kahulugan

Isang first-order differential equation na maaaring katawanin sa karaniwang anyo na $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, kung saan $P\left(x\right) $ at $ Q\left(x\right)$ -- kilala tuluy-tuloy na pag-andar, ay tinatawag na linear inhomogeneous differential equation. Ang terminong "inhomogeneous" ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na kanang bahagi ang differential equation ay iba sa zero.

Ang solusyon ng isang kumplikadong linear inhomogeneous differential equation ay maaaring bawasan sa solusyon ng dalawang mas simpleng differential equation. Upang gawin ito, ang gustong function na $y$ ay dapat palitan ng produkto ng dalawang auxiliary function na $u$ at $v$, ibig sabihin, ilagay ang $y=u\cdot v$.

Iniiba namin ang tinatanggap na kapalit: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. Pinapalitan namin ang resultang expression sa differential equation na ito: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ left(x\right)$ o $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ kanan] =Q\left(x\right)$.

Tandaan na kung ang $y=u\cdot v$ ay tinanggap, kung gayon ang isa sa mga auxiliary function ay maaaring piliin nang basta-basta bilang bahagi ng produktong $u\cdot v$. Pumili kami ng isang auxiliary function na $v$ upang ang expression sa mga square bracket ay mawala. Upang gawin ito, sapat na upang malutas ang differential equation na $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ na may kinalaman sa function na $v$ at piliin para dito ang pinakasimpleng partikular solusyon $v=v\left(x \right)$ non-zero. Ang differential equation na ito ay linear homogenous at ito ay nalutas sa pamamagitan ng pamamaraan sa itaas.

Pinapalitan namin ang nagresultang solusyon na $v=v\left(x\right)$ sa differential equation na ito, na isinasaalang-alang na ngayon ang expression sa mga square bracket ay katumbas ng zero, at nakakuha kami ng isa pang differential equation, ngunit ngayon ay may kinalaman sa ang auxiliary function na $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Ang differential equation na ito ay maaaring katawanin bilang $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $, pagkatapos nito ay nagiging halata na ito ay umamin ng isang direktang pagsasama. Para sa differential equation na ito, kinakailangang maghanap ng pangkalahatang solusyon sa anyong $u=u\left(x,\; C\right)$.

Ngayon ay mahahanap na natin ang pangkalahatang solusyon nitong linear inhomogeneous first order differential equation sa anyong $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.

Ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng isang linear inhomogeneous differential equation ng unang pagkakasunud-sunod ay maaaring katawanin bilang ang sumusunod na algorithm:

Upang malutas ang equation na ito, kailangan muna itong maipakita sa karaniwang anyo ng $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ na paraan. Kung hindi ito nakamit, kung gayon ang differential equation na ito ay dapat lutasin sa ibang paraan.
Kalkulahin ang integral $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $, isulat ang partikular na solusyon bilang $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $, isagawa ang pagpapasimple ng mga pagbabagong-anyo at piliin ang pinakasimpleng non-zero na variant para sa $v\left(x\right)$.
Kinakalkula namin ang integral na $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, pagkatapos nito isulat namin ang expression bilang $u\left (x, C\right)=I_(2) +C$.
Isinulat namin ang pangkalahatang solusyon ng linear inhomogeneous differential equation na ito sa anyong $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ at, kung kinakailangan, magsagawa ng mga pagpapasimpleng pagbabago.

Gawain 2

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$.

Mayroon kaming linear inhomogeneous equation ng unang order sa karaniwang anyo kung saan $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ at $Q\left(x\right)=3\cdot x$.

Kalkulahin ang integral $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

Nagsusulat kami ng partikular na solusyon bilang $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ at nagsasagawa ng mga pagpapasimpleng pagbabago: $v\left(x\right)=e^(\ln \left|x \ kanan|)$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Pinipili namin para sa $v\left(x\right)$ ang pinakasimpleng nonzero na variant: $v\left(x\right)=x$.

Kalkulahin ang integral $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x) \ cdot dx=3\cdot x $.

Isinulat namin ang expression na $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$.

Sa wakas, isinusulat namin ang pangkalahatang solusyon ng linear inhomogeneous differential equation na ito sa anyo na $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, ibig sabihin, $y=\left(3\ cdot x+C \right)\cdot x$.

Nalutas ang mga first order differential equation na may kinalaman sa derivative

Paano lutasin ang mga first order differential equation

Hayaang magkaroon tayo ng first-order differential equation na nalutas na may kinalaman sa derivative:
.
Ang paghahati sa equation na ito sa pamamagitan ng , sa , nakukuha natin equation ng form:
,
saan .

Susunod, titingnan natin kung nabibilang ang mga equation na ito sa isa sa mga uri na nakalista sa ibaba. Kung hindi, muli naming isusulat ang equation sa anyo ng mga kaugalian. Upang gawin ito, isinusulat namin at i-multiply ang equation sa pamamagitan ng . Nakukuha namin ang equation sa anyo ng mga kaugalian:
.

Kung ang equation na ito ay hindi isang equation sa kabuuang pagkakaiba, pagkatapos ay ipinapalagay namin na sa equation na ito ay isang malayang variable, at isang function ng . Hatiin natin ang equation sa pamamagitan ng:
.
Susunod, titingnan namin kung ang equation na ito ay kabilang sa isa sa mga uri na nakalista sa ibaba, dahil doon at napalitan na.

Kung ang isang uri ay hindi natagpuan para sa equation na ito, pagkatapos ay titingnan natin kung posible na gawing simple ang equation sa pamamagitan ng isang simpleng pagpapalit. Halimbawa, kung ang equation ay:
,
tapos mapapansin natin yun. Pagkatapos ay gumawa kami ng isang pagpapalit. Pagkatapos nito, ang equation ay magkakaroon ng mas simpleng anyo:
.

Kung hindi ito makakatulong, susubukan naming humanap ng integrating factor.

Nahihiwalay na Variable Equation

;
.
Hatiin at pagsamahin. Kapag nakuha namin:
.

Mga equation na bumababa sa mga equation na may mga separable variable

Mga homogenous na equation

Malutas namin sa pamamagitan ng pagpapalit:
,
saan ang isang function ng . Pagkatapos
;
.
Paghiwalayin ang mga variable at pagsamahin.

Mga Equation na Nagbabawas sa Homogeneous

Ipinakilala namin ang mga variable at:
;
.
Ang mga constant at pinili upang ang mga libreng termino ay mawala:
;
.
Bilang resulta, nakakakuha tayo ng homogenous na equation sa mga variable at .

Pangkalahatang homogenous equation

Gumagawa kami ng pagpapalit. Nakukuha namin ang isang homogenous na equation sa mga variable at .

Linear differential equation

Mayroong tatlong mga paraan para sa paglutas ng mga linear equation.

2) Paraan ng Bernoulli.
Naghahanap kami ng isang solusyon sa anyo ng isang produkto ng dalawang function at mula sa isang variable:
.
;
.
Maaari nating piliin ang isa sa mga function na ito nang arbitraryo. Samakatuwid, habang pinipili natin ang anumang di-zero na solusyon ng equation:
.

3) Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng pare-pareho (Lagrange).
Dito muna natin lutasin ang homogenous equation:

Ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay may anyo:
,
kung saan ay isang pare-pareho. Susunod, pinapalitan namin ang pare-pareho ng isang function depende sa variable:
.
Palitan sa orihinal na equation. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng equation kung saan natin tinutukoy .

Mga equation ni Bernoulli

Sa pamamagitan ng pagpapalit, ang Bernoulli equation ay nabawasan sa isang linear equation.

Ang equation na ito ay maaari ding malutas sa pamamagitan ng Bernoulli method. Iyon ay, naghahanap kami ng isang solusyon sa anyo ng isang produkto ng dalawang pag-andar depende sa variable:
.
Pinapalitan namin ang orihinal na equation:
;
.
Habang pinipili namin ang anumang di-zero na solusyon ng equation:
.
Ang pagkakaroon ng natukoy , kami ay kumuha ng isang equation na may separable variable para sa .

Riccati equation

Hindi ito naresolba sa pangkalahatang pananaw. Pagpapalit

ang Riccati equation ay binawasan sa anyo:
,
kung saan ay isang pare-pareho; ; .
Susunod, pagpapalit:

parang:
,
saan .

Ang mga katangian ng Riccati equation at ilang mga espesyal na kaso ng solusyon nito ay ipinakita sa pahina
Riccati differential equation >>>

Mga equation ni Jacobi

Nalutas sa pamamagitan ng pagpapalit:
.

Mga Equation sa Kabuuang Mga Pagkakaiba

Sa kondisyon
.
Kapag natugunan ang kundisyong ito, ang ekspresyon sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay ang pagkakaiba ng ilang function:
.
Pagkatapos
.
Mula dito nakukuha natin ang integral ng differential equation:
.

Upang mahanap ang function, ang pinaka-maginhawang paraan ay ang paraan ng sunud-sunod na pagpili ng differential. Para dito, ginagamit ang mga formula:
;
;
;
.

Salik ng pagsasanib

Kung ang first-order differential equation ay hindi nabawasan sa alinman sa mga nakalistang uri, maaari mong subukang humanap ng integrating factor. Ang isang integrating factor ay tulad ng isang function, kapag pinarami kung saan, ang differential equation ay nagiging isang equation sa kabuuang differentials. Ang isang first order differential equation ay may walang katapusang bilang ng mga integrating factor. pero, karaniwang pamamaraan upang mahanap ang integrating factor ay hindi.

Hindi nalutas ang mga equation para sa derivative na y"

Mga equation na umaamin ng solusyon na may kinalaman sa derivative y"

Una kailangan mong subukang lutasin ang equation na may paggalang sa derivative. Kung maaari, ang equation ay maaaring bawasan sa isa sa mga uri na nakalista sa itaas.

Mga Equation na Nagbibigay-daan sa Factorization

Kung maaari mong i-factor ang equation:
,
pagkatapos ang problema ay nabawasan sa sunud-sunod na solusyon ng mas simpleng mga equation:
;
;

;
. Naniniwala kami . Pagkatapos
o .
Susunod, isasama namin ang equation:
;
.
Bilang resulta, nakukuha namin ang pagpapahayag ng pangalawang variable sa pamamagitan ng parameter.

Higit pa pangkalahatang equation:
o
ay nalulutas din sa parametric form. Upang gawin ito, kailangan mong pumili ng isang function upang mula sa orihinal na equation ay maipahayag mo o sa pamamagitan ng parameter .
Upang ipahayag ang pangalawang variable sa mga tuntunin ng parameter , isinasama namin ang equation:
;
.

Nalutas ang mga equation na may kinalaman sa y

Mga equation ni Clairaut

Ang equation na ito ay may pangkalahatang solusyon

Lagrange equation

Naghahanap kami ng solusyon sa parametric form. Ipinapalagay namin , nasaan ang isang parameter.

Mga equation na humahantong sa Bernoulli equation

Ang mga equation na ito ay binabawasan sa Bernoulli equation kung hahanapin natin ang kanilang mga solusyon sa parametric form sa pamamagitan ng paglalagay ng parameter at paggawa ng substitution.

Mga sanggunian:
V.V. Stepanov, Kurso ng Differential Equation, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, Lan, 2003.

1. May anyo ang first order differential equation

Kung ang equation na ito ay malulutas na may kinalaman sa ta, maaari itong isulat bilang

Sa kasong ito, sinasabi namin na ang differential equation ay nalutas nang may paggalang sa derivative. Para sa gayong equation, ang sumusunod na theorem ay wasto, na tinatawag na theorem sa pagkakaroon at pagiging natatangi ng isang solusyon sa isang differential equation. Teorama. Kung sa equation

function at ang partial derivative nito na may paggalang sa y ay tuloy-tuloy sa ilang domain D sa isang eroplanong naglalaman ng ilang punto, pagkatapos ay mayroong isang natatanging solusyon sa equation na ito.

nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon sa

Ang teorama na ito ay mapapatunayan sa § 27 Ch. XVI.

Ang geometric na kahulugan ng theorem ay mayroong umiiral at, bukod dito, isang natatanging function na ang graph ay dumadaan sa punto.

Ito ay sumusunod mula sa theorem na nakasaad na ang isang equation ay may walang katapusang bilang ng iba't ibang mga solusyon (halimbawa, isang solusyon na ang graph ay dumadaan sa isang punto, isa pang solusyon na ang graph ay dumadaan sa isang punto, atbp., kung ang mga puntong ito lamang ay nasa rehiyon.

Ang kundisyon na kapag ang function na y ay dapat na katumbas ng isang naibigay na numero ay tinatawag na paunang kondisyon. Madalas itong nakasulat bilang

Kahulugan 1. Ang isang pangkalahatang solusyon ng isang first-order differential equation ay isang function

na nakasalalay sa isang arbitrary na pare-parehong C at natutugunan ang mga sumusunod na kondisyon:

a) natutugunan nito ang differential equation para sa anumang partikular na halaga ng pare-parehong C;

b) anuman ang paunang kundisyon para sa, makakahanap ka ng ganoong halaga na natutugunan ng function ang ibinigay na paunang kundisyon. Ipinapalagay na ang mga halaga ay kabilang sa rehiyon ng pagkakaiba-iba ng mga variable na x at y, kung saan nasiyahan ang mga kondisyon ng teorama ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng solusyon.

2. Sa proseso ng paghahanap para sa isang pangkalahatang solusyon ng isang differential equation, madalas tayong dumating sa isang kaugnayan ng form

hindi pinahihintulutan patungkol sa Ang paglutas ng kaugnayang ito na may paggalang sa y, nakuha namin ang pangkalahatang solusyon. Gayunpaman, upang ipahayag ang y mula sa kaugnayan (2) sa elementarya na pag-andar ay hindi laging posible; sa ganitong mga kaso ang pangkalahatang solusyon ay naiwan na walang laman. Ang pagkakapantay-pantay ng anyo na tuwirang tumutukoy sa isang pangkalahatang solusyon ay tinatawag na pangkalahatang integral ng isang differential equation.

Depinisyon 2. Ang partikular na solusyon ay anumang function na nakuha mula sa isang pangkalahatang solusyon kung ang isang tiyak na halaga ay ibinigay sa huling arbitrary na pare-parehong C. Ang ratio ay tinatawag sa kasong ito na bahagyang integral ng equation.

Halimbawa 1. Para sa isang first order equation

ang pangkalahatang solusyon ay magiging isang pamilya ng mga pag-andar; ito ay maaaring suriin sa pamamagitan ng isang simpleng pagpapalit sa equation.

Maghanap tayo ng isang partikular na solusyon na nakakatugon sa sumusunod na paunang kondisyon: para sa pagpapalit ng mga halagang ito sa formula, makuha natin o Samakatuwid, ang kinakailangang partikular na solusyon ay ang function.

Mula sa geometric na punto ng view, ang pangkalahatang integral ay isang pamilya ng mga kurba sa coordinate plane, depende sa isang di-makatwirang constant C (o, gaya ng sinasabi nila, sa isang parameter C).

Ang mga curve na ito ay tinatawag na integral curves ng ibinigay na differential equation. Ang bahagyang integral ay tumutugma sa isang kurba ng pamilyang ito na dumadaan sa ilan ibinigay na punto mga eroplano.

Oo, sa huling halimbawa ang pangkalahatang integral ay geometriko na kinakatawan ng isang pamilya ng mga hyperbola, at ang partikular na integral na tinukoy ng ipinahiwatig na paunang kondisyon ay kinakatawan ng isa sa mga hyperbola na ito na dumadaan sa punto. 251 ay nagpapakita ng mga curve ng pamilya na tumutugma sa ilang value ng parameter: atbp.

Upang gawing mas malinaw ang pangangatwiran, mula ngayon ay tatawagin natin ang solusyon ng isang equation hindi lamang isang function na nakakatugon sa equation, kundi pati na rin ang kaukulang integral curve. Sa koneksyon na ito, magsasalita tayo, halimbawa, ng isang solusyon na dumadaan sa punto .

Magkomento. Ang equation ay walang solusyon na dumadaan sa isang punto na nakahiga sa axis ng Fig. 251), dahil ang kanang bahagi ng equation para sa ay hindi tinukoy at, samakatuwid, ay hindi tuloy-tuloy.

Ang paglutas o, gaya ng madalas sabihin, ang pagsasama ng isang differential equation ay nangangahulugang:

a) hanapin ang pangkalahatang solusyon o pangkalahatang integral nito (kung hindi ibinigay ang mga paunang kundisyon), o

b) hanapin ang partikular na solusyon ng equation na nakakatugon sa ibinigay na mga paunang kondisyon (kung mayroon man).

3. Magbigay tayo ng geometric na interpretasyon ng first-order differential equation.

Hayaang magbigay ng isang differential equation na nalutas na may kinalaman sa derivative:

at hayaan ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito. Ang pangkalahatang solusyon na ito ay tumutukoy sa isang pamilya ng mga integral na kurba sa eroplano

Tinutukoy ng equation (D) para sa bawat point M na may mga coordinate x at y ang halaga ng derivative i.e. dalisdis padaplis sa integral curve na dumadaan sa puntong ito. Kaya, ang differential equation (D) ay nagbibigay ng isang hanay ng mga direksyon o, gaya ng sinasabi nila, tinutukoy ang larangan ng mga direksyon sa eroplano.

Samakatuwid, kasama geometric na punto Mula sa punto ng view, ang gawain ng pagsasama ng isang differential equation ay binubuo sa paghahanap ng mga curve na ang padaplis na direksyon ay tumutugma sa direksyon ng field sa mga kaukulang punto.

Para sa differential equation (1), ang locus ng mga punto kung saan nagtataglay ang relasyon ay tinatawag na isocline ng ibinigay na differential equation.

Para sa iba't ibang mga halaga ng k, nakakakuha kami ng iba't ibang mga isocline. Ang equation ng isocline na tumutugma sa halaga ng k ay, malinaw naman, ay Pagbubuo ng isang pamilya ng mga isocline, ang isa ay maaaring humigit-kumulang na bumuo ng isang pamilya ng integral curves. Sinasabi na, sa pag-alam sa mga isocline, maaaring matukoy ng isa ang lokasyon ng integral curves sa eroplano.