Kahulugan ng isang inverse matrix. Mga paraan upang mahanap ang inverse matrix

Isaalang-alang ang problema ng pagtukoy ng operasyon na kabaligtaran sa matrix multiplication.

Hayaan ang A ay isang parisukat na matrix ng order n. Matrix A^(-1) , na kasama ng ibinigay na matrix A ay nakakatugon sa mga sumusunod na pagkakapantay-pantay:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na kung ang isang inverse matrix A^(-1) ay umiiral, kung gayon ito ay parisukat ng parehong pagkakasunud-sunod bilang A . Gayunpaman, hindi lahat ng square matrix ay may kabaligtaran. Kung ang determinant ng matrix A ay katumbas ng zero (\det(A)=0) , kung gayon walang kabaligtaran para dito. Sa katunayan, ang paglalapat ng theorem sa determinant ng produkto ng mga matrice para sa identity matrix E=A^(-1)A, nakakakuha tayo ng kontradiksyon

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

Theorem 4.1 sa pagkakaroon at pagiging natatangi ng inverse matrix. parisukat na matris A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), na ang determinant ay non-zero, ay may kabaligtaran na matrix at, bukod dito, isa lamang:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

kung saan ang A^(+) ay ang matrix na inilipat para sa matrix na binubuo ng mga algebraic complements ng mga elemento ng matrix A .

Ang matrix na A^(+) ay tinatawag kalakip na matris may kinalaman sa matrix A .

Sa katunayan, ang matrix \frac(1)(\det(A))\,A^(+) umiiral sa ilalim ng kundisyong \det(A)\ne0 . Dapat nating ipakita na ito ay kabaligtaran sa A , i.e. natutugunan ang dalawang kundisyon:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)

Patunayan natin ang unang pagkakapantay-pantay. Ayon sa aytem 4 ng Remarks 2.3, ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng determinant na AA^(+)=\det(A)\cdot E. kaya lang

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

na dapat ipakita. Ang pangalawang pagkakapantay-pantay ay napatunayang katulad. Samakatuwid, sa ilalim ng kundisyong \det(A)\ne0, ang matrix A ay may kabaligtaran

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Pinatunayan namin ang pagiging natatangi ng inverse matrix sa pamamagitan ng kontradiksyon. Hayaang bukod sa matrix A^(-1) ay mayroong isa pang inverse matrix B\,(B\ne A^(-1)) na ang AB=E . Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito sa kaliwa ng matrix A^(-1) , nakukuha natin \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Kaya naman B=A^(-1) , na sumasalungat sa palagay na B\ne A^(-1) . Samakatuwid, ang inverse matrix ay natatangi.

Pangungusap 4.1

1. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ang mga matrice A at A^(-1) ay permutable.

2. Ang kabaligtaran ng matrix sa isang di-degenerate na dayagonal ay dayagonal din:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1 )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\kanan)\!.

3. Ang matrix na kabaligtaran sa isang hindi nabubulok na lower (upper) triangular matrix ay lower (itaas) na triangular.

4. Ang mga elementary matrice ay may inverses, na elementarya din (tingnan ang aytem 1 ng Remarks 1.11).

Inverse Matrix Properties

Ang matrix inversion operation ay may mga sumusunod na katangian:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(aligned)

Patunayan natin ang property 2: kung ang produkto AB ng di-iisang square matrices ng parehong pagkakasunud-sunod ay may kabaligtaran na matrix, kung gayon (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

Sa katunayan, ang determinant ng produkto ng matrices AB ay hindi katumbas ng zero, dahil

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), saan \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Samakatuwid, ang inverse matrix (AB)^(-1) ay umiiral at natatangi. Ipakita natin sa pamamagitan ng kahulugan na ang matrix B^(-1)A^(-1) ay inverse na may paggalang sa matrix AB . Talaga.

Sa unang bahagi, isang paraan para sa paghahanap ng inverse matrix gamit ang algebraic na mga karagdagan ay isinasaalang-alang. Dito inilalarawan namin ang isa pang paraan para sa paghahanap ng mga inverse matrice: gamit ang mga pagbabagong Gauss at Gauss-Jordan. Kadalasan ang pamamaraang ito ng paghahanap ng kabaligtaran na matrix ay tinatawag na paraan ng mga pagbabagong elementarya.

Paraan ng mga pagbabagong elementarya

Upang mailapat ang pamamaraang ito, isang matrix ang isinulat para sa matrix na ito$A$ at identity matrix na $E$, ibig sabihin. bumuo ng isang matrix ng anyong $(A|E)$ (ang matrix na ito ay tinatawag ding extended matrix). Pagkatapos nito, sa tulong ng mga pagbabagong elementarya na isinagawa sa mga hilera ng pinalawak na matrix, ang matrix sa kaliwa ng linya ay nagiging pagkakaisa, at ang pinalawak na matrix ay nasa anyong $\left(E| A^(-1) \right )$. Ang mga pagbabago sa elementarya sa sitwasyong ito ay kinabibilangan ng mga sumusunod na aksyon:

1. Pagpapalit ng dalawang linya.
2. Pagpaparami ng lahat ng elemento ng isang string sa ilang hindi zero na numero.
3. Pagdaragdag sa mga elemento ng isang hilera ng mga kaukulang elemento ng isa pang hilera, na pinarami ng anumang salik.

Ang mga elementarya na pagbabagong ito ay maaaring ilapat sa iba't ibang paraan. Karaniwan, ang pamamaraang Gauss o ang pamamaraang Gauss-Jordan ay pinili. Sa pangkalahatan, ang mga pamamaraan ng Gauss at Gauss-Jordan ay idinisenyo upang malutas ang mga sistema ng linear algebraic equation, hindi para sa paghahanap ng mga inverse matrice. Ang pariralang "paglalapat ng paraan ng Gauss upang mahanap ang kabaligtaran ng isang matrix" ay dapat na maunawaan dito bilang "paglalapat ng mga operasyong likas sa pamamaraang Gauss sa paghahanap ng kabaligtaran ng isang matrix."

Ang pagbilang ng mga halimbawa ay nagpatuloy mula sa unang bahagi. Sa mga halimbawa at ang paggamit ng Gauss method para sa paghahanap ng inverse matrix ay isinasaalang-alang, at sa mga halimbawa at ang paggamit ng Gauss-Jordan method ay nasuri. Dapat pansinin na kung sa panahon ng solusyon ang lahat ng mga elemento ng ilang hilera o haligi ng matrix na matatagpuan bago ang linya ay nakatakda sa zero, kung gayon ang inverse matrix ay hindi umiiral.

Halimbawa #5

Hanapin ang matrix $A^(-1)$ kung $A=\left(\begin(array) (ccc) 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end( array )\kanan)$.

Sa halimbawang ito, ang inverse matrix ay makikita gamit ang Gaussian method. Ang augmented matrix, na karaniwang $(A|E)$, sa halimbawang ito ay may sumusunod na anyo: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Layunin: gamit ang elementarya na pagbabago, dalhin ang augmented matrix sa anyong $\left(E|A^(-1) \right)$. Inilapat namin ang parehong mga operasyon na ginagamit sa paglutas ng mga sistema linear na equation Gaussian na pamamaraan. Upang mailapat ang pamamaraang Gaussian, maginhawa kapag ang unang elemento ng unang hilera ng pinalawak na matrix ay isa. Upang makamit ito, pinapalitan namin ang una at pangatlong hilera ng pinalawak na matrix, na nagiging: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & - 4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end(array) \right)$.

Ngayon pumunta tayo sa solusyon. Ang pamamaraang Gaussian ay nahahati sa dalawang yugto: pasulong at pabalik ( Detalyadong Paglalarawan ang pamamaraang ito para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation ay ibinibigay sa mga halimbawa ng nauugnay na paksa). Ang parehong dalawang hakbang ay ilalapat sa proseso ng paghahanap ng inverse matrix.

pasulong na stroke

Unang hakbang

Sa tulong ng unang hilera, ni-reset namin ang mga elemento ng unang hanay na matatagpuan sa ilalim ng unang hilera:

Hayaan akong magkomento ng kaunti sa aking ginawa. Ang notasyong $II-2\cdot I$ ay nangangahulugan na ang mga katumbas na elemento ng unang hilera, na dati nang pinarami ng dalawa, ay ibinawas mula sa mga elemento ng ikalawang hanay. Ang pagkilos na ito ay maaaring isulat nang hiwalay tulad ng sumusunod:

Ang aksyon na $III-7\cdot I$ ay ginaganap sa parehong paraan. Kung may mga kahirapan sa pagsasagawa ng mga operasyong ito, maaaring isagawa ang mga ito nang hiwalay (katulad ng pagkilos na $II-2\cdot I$ na ipinakita sa itaas), at pagkatapos ay ilalagay ang resulta sa pinalawak na matrix.

Pangalawang hakbang

Sa tulong ng pangalawang linya, i-reset namin ang elemento ng pangalawang haligi, na matatagpuan sa ilalim ng pangalawang linya:

Hatiin ang ikatlong linya ng 5:

Tapos na ang straight run. Ang lahat ng mga elemento na matatagpuan sa ilalim ng pangunahing dayagonal ng matrix hanggang sa linya ay na-reset sa zero.

Reverse

Unang hakbang

Sa tulong ng ikatlong hilera, i-reset namin ang mga elemento ng ikatlong hanay na matatagpuan sa itaas ng ikatlong hilera:

Bago magpatuloy sa susunod na hakbang, hatiin ang pangalawang linya ng $7:

Pangalawang hakbang

Sa tulong ng pangalawang linya, ni-reset namin ang mga elemento ng pangalawang haligi na matatagpuan sa itaas ng pangalawang linya:

Ang mga pagbabagong-anyo ay nakumpleto, ang inverse matrix ay natagpuan sa pamamagitan ng Gaussian method: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \ \ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end(array) \right)$. Ang pagsuri, kung kinakailangan, ay maaaring gawin sa parehong paraan tulad ng sa mga nakaraang halimbawa. Kung laktawan mo ang lahat ng mga paliwanag, ang solusyon ay kukuha ng form:

Sagot: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/ 5 at ​​27/5 \end(array) \right)$.

Halimbawa #6

Hanapin ang matrix $A^(-1)$ kung $A=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & - 4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end(array) \right)$.

Upang mahanap ang inverse matrix sa halimbawang ito, gagamitin namin ang parehong mga operasyon na ginagamit sa paglutas ng mga sistema ng linear equation gamit ang Gauss method. Ang mga detalyadong paliwanag ay ibinigay sa, dito namin pinaghihigpitan ang aming mga sarili maikling komento. Isulat natin ang augmented matrix: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 & 0 &0 & 0 & 1 \end(array) \right)$. Palitan ang una at ikaapat na row ng matrix na ito: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$.

pasulong na stroke

Kumpleto na ang mga pagbabago sa pagpapatakbo ng pasulong. Ang lahat ng mga elemento na matatagpuan sa ilalim ng pangunahing dayagonal ng matrix sa kaliwa ng linya ay nakatakda sa zero.

Reverse

Natagpuan ang Gaussian inverse, $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & - 117/ 16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \ end( array)\kanan)$. Ang pagsuri, kung kinakailangan, ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng sa mga halimbawa No. 2 at No. 3.

Sagot: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49 /16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end(array) \ tama)$.

Halimbawa #7

Hanapin ang matrix $A^(-1)$ kung $A=\left(\begin(array) (ccc) 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end( array )\kanan)$.

Upang mahanap ang inverse matrix, inilalapat namin ang katangian ng pagpapatakbo ng pamamaraang Gauss-Jordan. Ang pagkakaiba sa pamamaraang Gaussian, na isinasaalang-alang sa mga nakaraang halimbawa at , ay ang solusyon ay isinasagawa sa isang yugto. Ipaalala ko sa iyo na ang paraan ng Gauss ay nahahati sa 2 yugto: ang pasulong na paglipat ("ginagawa namin" ang mga zero sa ilalim ng pangunahing dayagonal ng matrix sa bar) at ang reverse na paglipat (na-reset namin ang mga elemento sa itaas ng pangunahing dayagonal ng matrix sa bar). Upang kalkulahin ang inverse matrix sa pamamagitan ng Gauss-Jordan method, dalawang yugto ng solusyon ang hindi kinakailangan. Una, gumawa tayo ng augmented matrix: $(A|E)$:

$$ (A|E)=\left(\begin(array) (ccc|ccc) 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & ​​​​2 &0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

Unang hakbang

Itakda ang lahat ng elemento ng unang column sa zero maliban sa isa. Sa unang column, ang lahat ng mga elemento ay hindi zero, kaya maaari tayong pumili ng anumang elemento. Kunin, halimbawa, $(-4)$:

Ang napiling elementong $(-4)$ ay nasa ikatlong hilera, kaya ginagamit namin ang ikatlong hanay upang i-zero out ang mga napiling elemento ng unang column:

Gawin natin ang unang elemento ng ikatlong hilera na katumbas ng isa. Upang gawin ito, hinati namin ang mga elemento ng ikatlong hilera ng pinalawak na matrix sa pamamagitan ng $(-4)$:

Ngayon simulan natin ang pag-zero sa mga kaukulang elemento ng unang hanay:

Sa mga karagdagang hakbang, hindi na posibleng gamitin ang ikatlong linya, dahil nailapat na namin ito sa unang hakbang.

Pangalawang hakbang

Pumili tayo ng ilang hindi zero na elemento ng pangalawang column at itakda ang lahat ng iba pang elemento ng pangalawang column sa zero. Maaari naming piliin ang alinman sa dalawang elemento: $\frac(11)(2)$ o $\frac(39)(4)$. Ang elementong $\left(-\frac(5)(4) \right)$ ay hindi maaaring piliin dahil ito ay matatagpuan sa ikatlong linya, na ginamit namin sa nakaraang hakbang. Piliin natin ang elementong $\frac(11)(2)$, na nasa unang linya. Baguhin natin ang $\frac(11)(2)$ sa isa sa unang linya:

Ngayon, itakda natin ang mga kaukulang elemento ng pangalawang hanay sa zero:

Sa karagdagang pangangatwiran, hindi magagamit ang unang linya.

Pangatlong hakbang

Kinakailangang i-reset ang lahat ng elemento ng ikatlong hanay maliban sa isa. Kailangan nating pumili ng ilang di-zero na elemento ng ikatlong hanay. Gayunpaman, hindi namin makukuha ang $\frac(6)(11)$ o $\frac(13)(11)$ dahil ang mga elementong iyon ay nasa una at ikatlong linya na ginamit namin kanina. Maliit lang ang pagpipilian: ang elementong $\frac(2)(11)$ na lang ang natitira, na nasa pangalawang linya. Hatiin ang lahat ng elemento ng pangalawang linya sa $\frac(2)(11)$:

Ngayon, itakda natin ang mga kaukulang elemento ng ikatlong hanay sa zero:

Ang mga pagbabago sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss-Jordan ay nakumpleto. Ito ay nananatiling lamang upang gawing unit ang matrix hanggang sa linya. Upang gawin ito, kailangan mong baguhin ang pagkakasunud-sunod ng mga linya. Una, palitan ang una at pangatlong linya:

$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \end(array) \right) $$

Ngayon, palitan natin ang pangalawa at pangatlong linya:

$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & - 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right) $$

Kaya $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ - 39 /4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right)$. Naturally, ang solusyon ay maaaring isagawa sa ibang paraan, pagpili ng mga elemento sa pangunahing dayagonal. Kadalasan ito ay eksakto kung ano ang ginagawa nila, dahil sa kasong ito, sa dulo ng solusyon, ang mga linya ay hindi kailangang palitan. Ibinigay ko ang nakaraang solusyon para sa isang layunin lamang: upang ipakita na ang pagpili ng isang hilera sa bawat hakbang ay hindi mahalaga. Kung pipiliin natin ang mga elemento ng dayagonal sa bawat hakbang, ang solusyon ay ang mga sumusunod.

Upang mahanap ang inverse matrix online, kailangan mong tukuyin ang laki ng mismong matrix. Upang gawin ito, mag-click sa mga icon na "+" o "-" hanggang ang halaga ng bilang ng mga column at row ay nababagay sa iyo. Susunod, ipasok ang mga kinakailangang elemento sa mga patlang. Nasa ibaba ang pindutang "Kalkulahin" - sa pamamagitan ng pag-click dito, makakatanggap ka ng sagot na may detalyadong solusyon sa screen.

Sa linear algebra, madalas na nakakaharap ng isang tao ang proseso ng pagkalkula ng kabaligtaran ng isang matrix. Umiiral lamang ito para sa mga hindi naipahayag na matrice at para sa mga square matrice sa kondisyon na ang determinant ay nonzero. Sa prinsipyo, hindi partikular na mahirap kalkulahin ito, lalo na kung nakikipag-usap ka sa isang maliit na matrix. Ngunit kung kailangan mo ng mas kumplikadong mga kalkulasyon o isang masusing pag-double-check ng iyong desisyon, mas mahusay na gamitin ang online na calculator na ito. Gamit ito, maaari mong mabilis at tumpak na malutas ang inverse matrix.

Sa tulong nito online na calculator Magagawa mong lubos na mapadali ang iyong gawain sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon. Bilang karagdagan, nakakatulong ito upang pagsamahin ang materyal na nakuha sa teorya - ito ay isang uri ng simulator para sa utak. Hindi ito dapat ituring bilang isang kapalit para sa mga manu-manong kalkulasyon, maaari itong magbigay sa iyo ng higit pa, na ginagawang mas madaling maunawaan ang algorithm mismo. Dagdag pa, hindi kailanman masakit na suriin ang iyong sarili.

Ang paksang ito ay isa sa pinakakinasusuklaman ng mga mag-aaral. Ang mas masahol pa, marahil, mga determinasyon lamang.

Ang lansihin ay ang mismong konsepto ng kabaligtaran na elemento (at hindi lang ako nagsasalita tungkol sa mga matrice ngayon) ay tumutukoy sa atin sa pagpapatakbo ng multiplikasyon. Kahit sa kurikulum ng paaralan Ang multiplication ay itinuturing na isang kumplikadong operasyon, at ang matrix multiplication ay isang hiwalay na paksa sa pangkalahatan, kung saan mayroon akong isang buong talata at isang video tutorial na nakatuon dito.

Ngayon hindi kami pupunta sa mga detalye ng mga kalkulasyon ng matrix. Tandaan lamang: kung paano tinutukoy ang mga matrice, kung paano sila pinarami at kung ano ang sumusunod mula dito.

Balik-aral: Matrix Multiplication

Una sa lahat, magkasundo tayo sa notasyon. Ang isang matrix na $A$ na may sukat na $\left[ m\times n \right]$ ay simpleng talahanayan ng mga numero na may eksaktong $m$ na mga hilera at $n$ na mga column:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ ((( a)_(21)) at ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) at ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \kanan])_(n)\]

Upang hindi aksidenteng malito ang mga hilera at haligi sa mga lugar (maniwala ka sa akin, sa pagsusulit maaari mong malito ang isa sa isang deuce - ano ang masasabi natin tungkol sa ilang mga linya doon), tingnan lamang ang larawan:

Anong nangyayari? Kung ilalagay natin ang karaniwang coordinate system na $OXY$ sa kaliwang sulok sa itaas at idirekta ang mga axes upang masakop nila ang buong matrix, kung gayon ang bawat cell ng matrix na ito ay maaaring natatanging nauugnay sa mga coordinate na $\left(x;y \right) $ - ito ang magiging row number at column number.

Bakit eksaktong nakalagay ang coordinate system sa kaliwang sulok sa itaas? Oo, dahil doon tayo magsisimulang magbasa ng anumang mga teksto. Napakadaling tandaan.

Bakit ang $x$ axis ay nakaturo pababa at hindi sa kanan? Muli, ito ay simple: kunin ang karaniwang coordinate system (ang $x$ axis ay papunta sa kanan, ang $y$ axis ay pataas) at i-rotate ito upang mailakip nito ang matrix. Ito ay isang 90 degree clockwise rotation - nakikita natin ang resulta nito sa larawan.

Sa pangkalahatan, nalaman namin kung paano matukoy ang mga indeks ng mga elemento ng matrix. Ngayon ay haharapin natin ang multiplikasyon.

Kahulugan. Ang mga matrice na $A=\left[ m\times n \right]$ at $B=\left[ n\times k \right]$, kapag ang bilang ng mga column sa una ay tumutugma sa bilang ng mga row sa pangalawa, ay tinatawag na pare-pareho.

Nasa ganoong ayos. Maaaring malabo ang isa at sabihin na ang mga matrice na $A$ at $B$ ay bumubuo ng isang nakaayos na pares $\left(A;B \right)$: kung pare-pareho ang mga ito sa pagkakasunud-sunod na ito, kung gayon hindi na kailangan na $B $ at $A$, iyon. pare-pareho din ang pares na $\left(B;A \right)$.

Ang mga pare-parehong matrice lamang ang maaaring i-multiply.

Kahulugan. Ang produkto ng pare-parehong matrice na $A=\left[ m\times n \right]$ at $B=\left[ n\times k \right]$ ay ang bagong matrix $C=\left[ m\times k \right ]$ , na ang mga elementong $((c)_(ij))$ ay kinakalkula ng formula:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Sa madaling salita: para makuha ang elementong $((c)_(ij))$ ng matrix $C=A\cdot B$, kailangan mong kunin ang $i$-row ng unang matrix, ang $j$ -th column ng pangalawang matrix, at pagkatapos ay i-multiply sa mga pares na elemento mula sa row at column na ito. Idagdag ang mga resulta.

Oo, iyon ay isang malupit na kahulugan. Maraming mga katotohanan ang kaagad na sumusunod dito:

1. Ang matrix multiplication ay, sa pangkalahatan, hindi commutative: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Gayunpaman, ang multiplikasyon ay nag-uugnay: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. At kahit distributive: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. At distributive muli: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Ang distributivity ng multiplication ay kinailangang ilarawan nang hiwalay para sa kaliwa at kanang multiplier-sum dahil lang sa non-commutativity ng multiplication operation.

Kung, gayunpaman, lumalabas na $A\cdot B=B\cdot A$, ang mga naturang matrice ay tinatawag na permutable.

Sa lahat ng mga matrice na pinarami ng isang bagay doon, may mga espesyal - yaong, kapag pinarami ng anumang matrix na $A$, muling nagbibigay ng $A$:

Kahulugan. Ang isang matrix na $E$ ay tinatawag na pagkakakilanlan kung $A\cdot E=A$ o $E\cdot A=A$. Sa kaso ng isang square matrix $A$ maaari naming isulat:

Ang identity matrix ay isang madalas na panauhin sa paglutas matrix equation. At sa pangkalahatan, isang madalas na panauhin sa mundo ng mga matrice. :)

At dahil sa $E$ na ito, may nakaisip ng lahat ng laro na susunod na isusulat.

Ano ang isang inverse matrix

Dahil ang pagpaparami ng matrix ay isang napakatagal na operasyon (kailangan mong i-multiply ang isang bungkos ng mga row at column), ang konsepto ng isang inverse matrix ay hindi rin ang pinakawalang halaga. At nangangailangan ito ng ilang paliwanag.

Pangunahing Kahulugan

Well, oras na para malaman ang totoo.

Kahulugan. Ang matrix na $B$ ay tinatawag na kabaligtaran ng matrix na $A$ kung

Ang inverse matrix ay tinukoy ng $((A)^(-1))$ (hindi dapat malito sa degree!), kaya ang kahulugan ay maaaring muling isulat nang ganito:

Tila ang lahat ay napakasimple at malinaw. Ngunit kapag pinag-aaralan ang gayong kahulugan, maraming mga katanungan ang agad na lumitaw:

1. Lagi bang umiiral ang isang inverse matrix? At kung hindi palaging, kung gayon kung paano matukoy: kailan ito umiiral at kailan ito wala?
2. At sino ang nagsabi na ang gayong matris ay eksaktong isa? Biglaan para sa ilan orihinal na matris$A$ mayroon bang isang buong grupo ng mga kabaligtaran?
3. Ano ang hitsura ng lahat ng "reverse" na ito? At paano mo talaga sila binibilang?

Tulad ng para sa mga algorithm ng pagkalkula - pag-uusapan natin ito sa ibang pagkakataon. Ngunit sasagutin natin ang iba pang mga tanong sa ngayon. Ayusin natin ang mga ito sa anyo ng magkahiwalay na assertions-lemmas.

Mga pangunahing katangian

Magsimula tayo sa kung ano dapat ang hitsura ng matrix na $A$ para magkaroon ito ng $((A)^(-1))$. Ngayon ay titiyakin namin na ang parehong mga matrice na ito ay dapat na parisukat, at may parehong laki: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. Ibinigay ang isang matrix na $A$ at ang kabaligtaran nito na $((A)^(-1))$. Pagkatapos ang parehong mga matrice na ito ay parisukat at may parehong pagkakasunud-sunod $n$.

Patunay. Ang lahat ay simple. Hayaan ang matrix na $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Dahil ang produktong $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ay umiiral ayon sa kahulugan, ang mga matrice na $A$ at $((A)^(-1))$ ay pare-pareho sa ayos na iyon:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( ihanay)\]

Ito ay direktang kinahinatnan ng matrix multiplication algorithm: ang mga coefficient na $n$ at $a$ ay "transit" at dapat ay pantay.

Kasabay nito, ang inverse multiplication ay tinukoy din: $((A)^(-1))\cdot A=E$, kaya ang mga matrice na $((A)^(-1))$ at $A$ ay pare-pareho din sa ganitong pagkakasunud-sunod:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( ihanay)\]

Kaya, nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay na $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Gayunpaman, ayon sa kahulugan ng $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, kaya ang mga sukat ng mga matrice ay eksaktong pareho:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Kaya lumalabas na ang lahat ng tatlong matrice - $A$, $((A)^(-1))$ at $E$ - ay parisukat sa laki $\left[ n\times n \right]$. Ang lemma ay napatunayan.

Buti na lang. Nakikita natin na ang mga square matrice lamang ang invertible. Ngayon, siguraduhin natin na ang inverse matrix ay palaging pareho.

Lemma 2. Ibinigay ang isang matrix na $A$ at ang kabaligtaran nito na $((A)^(-1))$. Kung gayon ang kabaligtaran na matrix na ito ay natatangi.

Patunay. Magsimula tayo sa kabaligtaran: hayaan ang matrix na $A$ na magkaroon ng hindi bababa sa dalawang inverse ng inverses — $B$ at $C$. Pagkatapos, ayon sa kahulugan, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Mula sa Lemma 1, napagpasyahan namin na ang lahat ng apat na matrice na $A$, $B$, $C$ at $E$ ay parisukat ng parehong pagkakasunud-sunod: $\left[ n\times n \right]$. Samakatuwid, ang produkto ay tinukoy:

Dahil ang matrix multiplication ay nag-uugnay (ngunit hindi commutative!), maaari nating isulat ang:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]

Nakuha namin ang tanging posibleng opsyon: dalawang kopya ng inverse matrix ay pantay. Ang lemma ay napatunayan.

Ang pangangatwiran sa itaas ay halos verbatim ay inuulit ang patunay ng pagiging natatangi ng kabaligtaran na elemento para sa lahat ng tunay na numero $b\ne 0$. Ang tanging makabuluhang karagdagan ay isinasaalang-alang ang dimensyon ng mga matrice.

Gayunpaman, wala pa rin kaming alam tungkol sa kung ang anumang square matrix ay invertible. Narito ang determinant ay tumulong sa atin - ito ay pangunahing katangian para sa lahat ng square matrice.

Lemma 3 . Binigyan ng matrix na $A$. Kung ang matrix na $((A)^(-1))$ inverse dito ay umiiral, kung gayon ang determinant ng orihinal na matrix ay nonzero:

\[\kaliwa| Isang \right|\ne 0\]

Patunay. Alam na natin na ang $A$ at $((A)^(-1))$ ay mga square matrice na may sukat na $\left[ n\times n \right]$. Samakatuwid, para sa bawat isa sa kanila posibleng kalkulahin ang determinant: $\left| Isang \kanan|$ at $\kaliwa| ((A)^(-1)) \right|$. Gayunpaman, ang determinant ng produkto ay katumbas ng produkto ng mga determinant:

\[\kaliwa| A\cdot B \right|=\left| Isang \kanan|\cdot \kaliwa| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| Isang \kanan|\cdot \kaliwa| ((A)^(-1)) \kanan|\]

Ngunit ayon sa kahulugan ng $A\cdot ((A)^(-1))=E$, at ang determinant ng $E$ ay palaging katumbas ng 1, kaya

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \kaliwa| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \kaliwa| Isang \kanan|\cdot \kaliwa| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Ang produkto ng dalawang numero ay katumbas lamang ng isa kung ang bawat isa sa mga numerong ito ay iba sa zero:

\[\kaliwa| Isang \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \kanan|\ne 0.\]

Kaya lumalabas na $\left| Isang \right|\ne 0$. Ang lemma ay napatunayan.

Sa katunayan, ang pangangailangang ito ay lubos na lohikal. Ngayon ay susuriin natin ang algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix - at magiging ganap na malinaw kung bakit, sa prinsipyo, walang inverse matrix ang maaaring umiral na may zero determinant.

Ngunit una, bumalangkas tayo ng isang "auxiliary" na kahulugan:

Kahulugan. Ang degenerate matrix ay isang square matrix na may sukat na $\left[ n\times n \right]$ na ang determinant ay zero.

Kaya, maaari nating igiit na ang anumang invertible matrix ay hindi nabubulok.

Paano mahanap ang inverse matrix

Ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang unibersal na algorithm para sa paghahanap ng mga kabaligtaran na matrice. Sa pangkalahatan, mayroong dalawang karaniwang tinatanggap na algorithm, at isasaalang-alang din namin ang pangalawa ngayon.

Ang isa na isasaalang-alang ngayon ay napakahusay para sa mga matrice na may sukat na $\left[ 2\times 2 \right]$ at - sa bahagi - ng laki $\left[ 3\times 3 \right]$. Ngunit simula sa laki na $\left[ 4\times 4 \right]$ mas mabuting huwag na itong gamitin. Bakit - ngayon ay mauunawaan mo ang lahat.

Algebraic na mga karagdagan

Maghanda. Ngayon ay magkakaroon ng sakit. Hindi, huwag mag-alala: isang magandang nars sa isang palda, ang mga medyas na may puntas ay hindi darating sa iyo at hindi ka bibigyan ng iniksyon sa puwit. Ang lahat ay mas simple: ang mga algebraic na karagdagan at Her Majesty ang "Union Matrix" ay darating sa iyo.

Magsimula tayo sa pangunahing isa. Hayaang magkaroon ng square matrix na may sukat na $A=\left[ n\times n \right]$ na ang mga elemento ay pinangalanang $((a)_(ij))$. Pagkatapos, para sa bawat naturang elemento, maaaring tukuyin ng isa ang isang algebraic complement:

Kahulugan. Algebraic complement $((A)_(ij))$ sa elementong $((a)_(ij))$ sa $i$-th row at $j$-th column ng matrix $A=\left Ang [ n \times n \right]$ ay isang pagbuo ng form

\[((A)_(ij))=((\kaliwa(-1 \kanan))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Kung saan ang $M_(ij)^(*)$ ay ang determinant ng matrix na nakuha mula sa orihinal na $A$ sa pamamagitan ng pagtanggal ng parehong $i$-th row at $j$-th column.

muli. Ang algebraic na pandagdag sa elemento ng matrix na may mga coordinate na $\left(i;j \right)$ ay tinutukoy bilang $((A)_(ij))$ at kinakalkula ayon sa scheme:

1. Una, tatanggalin namin ang $i$-row at ang $j$-th column mula sa orihinal na matrix. Kumuha kami ng bagong square matrix, at tinutukoy namin ang determinant nito bilang $M_(ij)^(*)$.
2. Pagkatapos ay i-multiply natin ang determinant na ito sa $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - sa una ang expression na ito ay tila nakakabaliw, ngunit sa katunayan ay nalaman lang natin ang sign sa harap ng $ M_(ij)^(*) $.
3. Nagbibilang kami - nakakakuha kami ng isang tiyak na numero. Yung. ang algebraic na karagdagan ay isang numero lamang, hindi ilang bagong matrix, at iba pa.

Ang matrix na $M_(ij)^(*)$ mismo ay tinatawag na complementary minor sa elementong $((a)_(ij))$. At sa ganitong kahulugan, ang kahulugan sa itaas ng isang algebraic complement ay isang espesyal na kaso ng isang mas kumplikadong kahulugan - ang isa na aming isinasaalang-alang sa aralin tungkol sa determinant.

Mahalagang paalaala. Sa totoo lang, sa "pang-adulto" na matematika, ang mga pagdaragdag ng algebraic ay tinukoy bilang mga sumusunod:

1. Kumuha kami ng $k$ na mga hilera at $k$ na mga hanay sa isang parisukat na matrix. Sa kanilang intersection, nakakakuha tayo ng matrix na may sukat na $\left[ k\times k \right]$ — ang determinant nito ay tinatawag na minor of order $k$ at tinutukoy ng $((M)_(k))$.
2. Pagkatapos ay i-cross out namin ang mga "napiling" $k$ row at $k$ column na ito. Muli, nakakakuha tayo ng isang parisukat na matrix - ang determinant nito ay tinatawag na komplementaryong menor at tinutukoy ng $M_(k)^(*)$.
3. I-multiply ang $M_(k)^(*)$ sa $((\left(-1 \right))^(t))$, kung saan ang $t$ ay (pansin ngayon!) ang kabuuan ng mga numero ng lahat ng napiling row at mga hanay. Ito ang magiging algebraic na karagdagan.

Tingnan ang pangatlong hakbang: mayroon talagang kabuuan ng $2k$ na termino! Ang isa pang bagay ay para sa $k=1$ nakakakuha lamang tayo ng 2 termino - ang mga ito ay magiging pareho $i+j$ - ang "coordinate" ng elementong $((a)_(ij))$, kung saan tayo ay naghahanap ng algebraic complement.

Kaya ngayon gumagamit kami ng bahagyang pinasimple na kahulugan. Ngunit tulad ng makikita natin mamaya, ito ay higit pa sa sapat. Ang mas mahalaga ay ang mga sumusunod:

Kahulugan. Ang unyon matrix na $S$ hanggang sa square matrix na $A=\left[ n\times n \right]$ ay isang bagong matrix na may sukat na $\left[ n\times n \right]$, na nakuha mula sa $A$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng $(( a)_(ij))$ ng algebraic complements $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) at ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \kanan]\]

Ang unang pag-iisip na lumitaw sa sandaling napagtanto ang kahulugan na ito ay "ito ay kung magkano ang kailangan mong bilangin sa kabuuan!" Relax: kailangan mong magbilang, ngunit hindi masyado. :)

Well, ang lahat ng ito ay napakabuti, ngunit bakit kailangan? Pero bakit.

Pangunahing teorama

Bumalik tayo ng kaunti. Tandaan, sinabi ng Lemma 3 na ang isang invertible matrix na $A$ ay palaging hindi isahan (ibig sabihin, ang determinant nito ay hindi zero: $\left| A \right|\ne 0$).

Kaya, totoo rin ang kabaligtaran: kung ang matrix na $A$ ay hindi bumababa, kung gayon ito ay palaging mababaligtad. At mayroong kahit isang scheme ng paghahanap $((A)^(-1))$. Tingnan ito:

Inverse matrix theorem. Hayaang magbigay ng square matrix na $A=\left[ n\times n \right]$, at ang determinant nito ay nonzero: $\left| Isang \right|\ne 0$. Pagkatapos ay umiiral ang inverse matrix na $((A)^(-1))$ at kinakalkula ng formula:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\kaliwa| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

At ngayon - pareho, ngunit sa nababasang sulat-kamay. Upang mahanap ang inverse matrix, kailangan mo:

1. Kalkulahin ang determinant na $\left| Isang \right|$ at tiyaking hindi ito zero.
2. I-compile ang union matrix $S$, i.e. magbilang ng 100500 algebraic na mga karagdagan $((A)_(ij))$ at ilagay ang mga ito sa lugar $((a)_(ij))$.
3. Ilipat ang matrix na ito $S$ at pagkatapos ay i-multiply ito sa ilang numerong $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

At ayun na nga! Ang inverse matrix na $((A)^(-1))$ ay matatagpuan. Tingnan natin ang mga halimbawa:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Solusyon. Suriin natin ang reversibility. Kalkulahin natin ang determinant:

\[\kaliwa| Isang \kanan|=\kaliwa| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Ang determinant ay iba sa zero. Kaya ang matrix ay invertible. Gumawa tayo ng matrix ng unyon:

Kalkulahin natin ang mga algebraic na karagdagan:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\kanan|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\kanan|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\kanan|=3. \\ \end(align)\]

Bigyang-pansin: mga determinant |2|, |5|, |1| at |3| ay ang mga determinants ng mga matrice na may sukat na $\left[ 1\times 1 \right]$, hindi modules. Yung. kung ang mga determinant ay mga negatibong numero, hindi kinakailangang tanggalin ang "minus".

Sa kabuuan, ganito ang hitsura ng aming matrix ng unyon:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

OK tapos na ang lahat Ngayon. Nalutas ang problema.

Sagot. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Isang gawain. Hanapin ang inverse matrix:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Solusyon. Muli, isinasaalang-alang namin ang determinant:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Ang determinant ay iba sa zero - ang matrix ay invertible. Ngunit ngayon ito ang magiging pinakamatindi: kailangan mong magbilang ng kasing dami ng 9 (siyam, sumpain ito!) Algebraic na mga karagdagan. At ang bawat isa sa kanila ay maglalaman ng $\left[ 2\times 2 \right]$ qualifier. lumipad:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrix)\]

Sa madaling sabi, ang matrix ng unyon ay magiging ganito:

Samakatuwid, ang inverse matrix ay magiging:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]

Well, yun lang. Narito ang sagot.

Sagot. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Tulad ng nakikita mo, sa dulo ng bawat halimbawa, nagsagawa kami ng tseke. Sa bagay na ito, isang mahalagang tala:

Huwag tamad mag-check. I-multiply ang orihinal na matrix sa nahanap na kabaligtaran - dapat kang makakuha ng $E$.

Ito ay mas madali at mas mabilis na gawin ang pagsusuring ito kaysa maghanap ng isang error sa karagdagang mga kalkulasyon, kapag, halimbawa, nalutas mo ang isang matrix equation.

Alternatibong paraan

Tulad ng sinabi ko, ang inverse matrix theorem ay gumagana nang maayos para sa mga sukat na $\left[ 2\times 2 \right]$ at $\left[ 3\times 3 \right]$ (sa huling kaso, hindi ito masyadong "maganda" ngayon) ”), ngunit para sa mga matrice malalaking sukat nagsisimula ang kalungkutan.

Ngunit huwag mag-alala: mayroong isang alternatibong algorithm na maaaring magamit upang mahinahong mahanap ang kabaligtaran kahit na para sa $\left[ 10\times 10 \right]$ matrix. Ngunit, tulad ng kadalasang nangyayari, upang isaalang-alang ang algorithm na ito, kailangan namin ng kaunting teoretikal na background.

Mga pagbabago sa elementarya

Kabilang sa iba't ibang mga pagbabagong-anyo ng matrix, mayroong ilang mga espesyal - sila ay tinatawag na elementarya. Mayroong eksaktong tatlong gayong mga pagbabagong-anyo:

1. Pagpaparami. Maaari mong kunin ang $i$-th row (column) at i-multiply ito sa anumang numerong $k\ne 0$;
2. Dagdag. Idagdag sa $i$-th row (column) ang anumang iba pang $j$-th row (column) na na-multiply sa anumang numero na $k\ne 0$ (siyempre, $k=0$ ay posible rin, ngunit ano ang punto ng na??Walang magbabago kahit).
3. Permutasyon. Kunin ang $i$-th at $j$-th row (column) at palitan ang mga ito.

Bakit ang mga pagbabagong ito ay tinatawag na elementarya (para sa malalaking matrice ay hindi sila mukhang elementarya) at kung bakit tatlo lamang ang mga ito - ang mga tanong na ito ay lampas sa saklaw ng aralin ngayon. Samakatuwid, hindi na kami magdetalye.

Ang isa pang bagay ay mahalaga: kailangan nating gawin ang lahat ng mga perversion na ito sa nauugnay na matrix. Oo, oo, tama ang narinig mo. Ngayon ay magkakaroon ng isa pang kahulugan - ang huling isa sa aralin ngayon.

Naka-attach na Matrix

Tiyak na sa paaralan ay nalutas mo ang mga sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag. Well, doon, ibawas ang isa pa mula sa isang linya, i-multiply ang ilang linya sa isang numero - iyon lang.

Kaya: ngayon ang lahat ay magiging pareho, ngunit "sa isang pang-adultong paraan". handa na?

Kahulugan. Hayaang ibigay ang matrix na $A=\left[ n\times n \right]$ at ang identity matrix na $E$ na may parehong laki. Pagkatapos ay ang nauugnay na matrix na $\left[ A\left| Tama. \right]$ ay isang bagong $\left[ n\times 2n \right]$ matrix na ganito ang hitsura:

\[\left[ A\left| Tama. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \kanan]\]

Sa madaling salita, kinukuha namin ang matrix na $A$, sa kanan ay itinatalaga namin dito ang identity matrix na $E$ ng kinakailangang laki, pinaghihiwalay namin ang mga ito gamit ang isang vertical bar para sa kagandahan - narito ang nakalakip. :)

Ano ang catch? At narito kung ano:

Teorama. Hayaang ang matrix na $A$ ay mababaligtad. Isaalang-alang ang magkadugtong na matrix na $\left[ A\left| Tama. \tama]$. Kung gumagamit mga pagbabago sa elementarya na string dalhin ito sa form na $\left[ E\left| Maliwanag. \right]$, ibig sabihin. sa pamamagitan ng pagpaparami, pagbabawas at muling pagsasaayos ng mga hilera upang makuha mula sa $A$ ang matrix na $E$ sa kanan, pagkatapos ang matrix na $B$ na nakuha sa kaliwa ay ang kabaligtaran ng $A$:

\[\left[ A\left| Tama. \right]\sa \left[ E\left| Maliwanag. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Ganyan kasimple! Sa madaling salita, ang algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix ay ganito ang hitsura:

1. Isulat ang nauugnay na matrix na $\left[ A\left| Tama. \right]$;
2. Magsagawa ng mga elementary string conversion hanggang sa kanan sa halip na $A$ ay lumabas na $E$;
3. Siyempre, may lalabas din sa kaliwa - isang tiyak na matrix na $B$. Ito ang magiging kabaligtaran;
4. KITA! :)

Siyempre, mas madaling sabihin kaysa gawin. Kaya tingnan natin ang ilang halimbawa: para sa mga sukat na $\left[ 3\times 3 \right]$ at $\left[ 4\times 4 \right]$.

Isang gawain. Hanapin ang inverse matrix:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Solusyon. Binubuo namin ang nakalakip na matrix:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 at 1 \\\end(array) \right]\]

Dahil ang huling haligi ng orihinal na matrix ay puno ng mga, ibawas ang unang hilera mula sa iba:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Wala nang mga unit, maliban sa unang linya. Ngunit hindi namin ito hinawakan, kung hindi, ang mga bagong tinanggal na yunit ay magsisimulang "mag-multiply" sa ikatlong hanay.

Ngunit maaari naming ibawas ang pangalawang linya ng dalawang beses mula sa huling isa - nakakakuha kami ng isang yunit sa ibabang kaliwang sulok:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ngayon ay maaari nating ibawas ang huling hilera mula sa una at dalawang beses mula sa pangalawa - sa ganitong paraan ay "zero out" natin ang unang haligi:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ sa \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

I-multiply ang pangalawang hilera sa −1 at pagkatapos ay ibawas ito ng 6 na beses mula sa una at magdagdag ng 1 beses sa huli:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ito ay nananatiling lamang upang magpalit ng mga linya 1 at 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

handa na! Sa kanan ay ang kinakailangang inverse matrix.

Sagot. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Isang gawain. Hanapin ang inverse matrix:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrix) \right]\]

Solusyon. Muli naming binubuo ang nakalakip:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Humiram tayo ng kaunti, mag-alala tungkol sa kung magkano ang dapat nating bilangin ngayon ... at simulan ang pagbibilang. Upang magsimula, "zero out" namin ang unang column sa pamamagitan ng pagbabawas ng row 1 mula sa row 2 at 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Masyadong maraming "minus" ang naobserbahan namin sa mga linya 2-4. I-multiply ang lahat ng tatlong row sa −1, at pagkatapos ay sunugin ang ikatlong column sa pamamagitan ng pagbabawas ng row 3 mula sa iba pa:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \kaliwa| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \kaliwa| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ngayon ay oras na upang "iprito" ang huling hanay ng orihinal na matrix: ibawas ang hilera 4 mula sa natitira:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Panghuling roll: "burn out" ang pangalawang column sa pamamagitan ng pagbabawas ng row 2 mula sa row 1 at 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

At muli, ang identity matrix sa kaliwa, kaya ang kabaligtaran sa kanan. :)

Sagot. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrix) \right]$

baligtad na matris

baligtad na matris Ang isang matrix ay tinatawag na, kapag pinarami pareho sa kanan at sa kaliwa ng isang ibinigay na matrix, ay nagbibigay ng identity matrix.
Tukuyin ang matrix na kabaligtaran sa matrix PERO sa pamamagitan ng , pagkatapos ay ayon sa kahulugan na nakukuha natin:

saan E ay ang identity matrix.
parisukat na matris tinawag hindi espesyal (hindi nabubulok) kung ang determinant nito ay hindi katumbas ng zero. Kung hindi, ito ay tinatawag espesyal (mabulok) o isahan.

Mayroong isang teorama: bawat non-singular matrix ay may inverse matrix.

Ang operasyon ng paghahanap ng inverse matrix ay tinatawag apela matrice. Isaalang-alang ang matrix inversion algorithm. Hayaang magbigay ng non-singular matrix n-ika-utos:

kung saan Δ = det A ≠ 0.

Algebraic na elementong pandagdag matrice n-ika-utos PERO ang determinant ng matrix ( n–1)-ika-order na nakuha sa pamamagitan ng pagtanggal i-ika-linya at j-th column ng matrix PERO:

Gumawa tayo ng tinatawag na kalakip matris:

nasaan ang algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng matrix PERO.
Tandaan na ang mga algebraic na pandagdag sa mga elemento ng row ng matrix PERO ay inilalagay sa kaukulang mga column ng matrix à , iyon ay, ang matrix ay inilipat nang sabay-sabay.
Paghahati sa lahat ng elemento ng matrix à on Δ - ang halaga ng determinant ng matrix PERO, nakukuha namin ang inverse matrix bilang isang resulta:

Napansin namin ang isang bilang ng mga espesyal na katangian ng inverse matrix:
1) para sa isang ibinigay na matrix PERO inverse matrix nito ay nag-iisa;
2) kung mayroong isang kabaligtaran na matrix, kung gayon kanang baligtad at kaliwa pabalik ang mga matrice ay kasabay nito;
3) ang isang espesyal na (degenerate) square matrix ay walang inverse matrix.

Ang mga pangunahing katangian ng inverse matrix:
1) ang determinant ng inverse matrix at ang determinant ng orihinal na matrix ay reciprocals;
2) ang inverse matrix ng produkto ng square matrices ay katumbas ng produkto ng inverse matrices ng mga kadahilanan, na kinuha sa reverse order:

3) ang transposed inverse matrix ay katumbas ng inverse matrix mula sa ibinigay na transposed matrix:

HALIMBAWA Kalkulahin ang kabaligtaran ng matrix ng ibinigay na isa.