Paano itaas ang isang produkto sa isang kapangyarihan. Degree at mga katangian nito

Degree at mga katangian nito. Komprehensibong gabay (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan mo sila kailangan? Bakit kailangan mong maglaan ng oras sa pag-aaral ng mga ito?

Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman sa pang-araw-araw na buhay, basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang pag-alam sa mga degree ay maglalapit sa iyo matagumpay na paghahatid OGE o USE at para makapasok sa unibersidad na pinapangarap mo.

Tara na... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung sa halip na mga formula ang nakikita mong kalokohan, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay ang parehong mathematical operation bilang karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon o paghahati.

Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao sa isang napaka mga simpleng halimbawa. Bigyang-pansin. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng isang paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakaisip sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

At anong iba pang nakakalito na trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sinabi ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong ito sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Naaalala ng mga mathematician na dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay. At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang isip - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Upang gawin ito, kailangan mo lamang tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag parisukat mga numero, at ang pangatlo kubo? Ano ang ibig sabihin nito? Isang napakagandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa sa totoong buhay #1

Magsimula tayo sa isang parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na metro bawat metro. Ang pool ay nasa iyong likod-bahay. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Ngunit ... isang pool na walang ilalim! Kinakailangan na takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang lugar ng ilalim ng pool.

Maaari mo lamang bilangin sa pamamagitan ng pagsundot ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng mga cube metro bawat metro. Kung ang iyong mga tile ay metro bawat metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Pero saan ka nakakita ng ganyang tile? Ang tile ay sa halip ay cm sa pamamagitan ng cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri". Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool, magkakasya kami ng mga tile (mga piraso) at sa kabilang banda, masyadong, mga tile. Pag-multiply sa, makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na pinarami namin ang parehong numero nang mag-isa upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil ang parehong numero ay pinarami, maaari naming gamitin ang exponentiation technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa ring i-multiply o itaas sa power. Pero kung marami ka, mas madali ang pagtaas sa power at mas kaunti rin ang error sa kalkulasyon. Para sa pagsusulit, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang ikalawang antas ay magiging (). O maaari mong sabihin na tatlumpung parisukat ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo, bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang nasa chessboard gamit ang parisukat ng numero ... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang panig din. Upang mabilang ang kanilang bilang, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo, o ... kung mapapansin mo na ang isang chessboard ay isang parisukat na may gilid, maaari mong kuwadrado ang walo. Kumuha ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa sa totoong buhay #3

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa pamamagitan ng paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Hindi inaasahan, tama?) Gumuhit ng isang pool: isang ilalim na isang metro ang laki at isang metro ang lalim at subukang kalkulahin kung gaano karaming metro bawat metrong cube ang papasok sa iyong pool.

Ituro lamang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo... Magkano ang naging resulta? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Ang mga ito ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube ... Mas madali, tama?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung gagawin nilang napakadali. Binawasan ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami ng sarili nito ... At ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong gamitin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang isang daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlo sa isang cube ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito:

Nananatili lamang kabisaduhin ang talahanayan ng mga digri. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari mong patuloy na magbilang gamit ang iyong daliri.

Kaya, upang sa wakas ay makumbinsi ka na ang mga degree ay naimbento ng mga loafers at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa sa totoong buhay #4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, kumikita ka ng isa pang milyon para sa bawat milyon. Ibig sabihin, doble ang bawat isa sa iyong milyon sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri", kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at .. tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - dalawang beses dalawa ... sa ikalawang taon - kung ano ang nangyari, sa pamamagitan ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay na-multiply sa sarili nitong isang beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang isang kumpetisyon at ang isa na mas mabilis na nagkalkula ay makakakuha ng mga milyon-milyong ito ... Ito ba ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga antas ng mga numero, ano sa palagay mo?

Halimbawa sa totoong buhay #5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, kikita ka pa ng dalawa sa bawat milyon. Ang galing diba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - multiply sa pamamagitan ng, pagkatapos ay ang resulta sa pamamagitan ng isa pa ... Ito ay mayamot na, dahil naiintindihan mo na ang lahat: tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang pang-apat na kapangyarihan ay isang milyon. Kailangan mo lang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan, gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Mga tuntunin at konsepto ... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan ...

Well, at the same time, ano tulad ng isang base ng degree? Kahit na mas simple ay ang numero na nasa ibaba, sa base.

Narito ang isang larawan para makasigurado ka.

Well at sa pangkalahatang pananaw para gawing pangkalahatan at mas matandaan ... Ang isang degree na may base na "" at isang exponent "" ay binabasa bilang "sa antas" at isinusulat tulad ng sumusunod:

Kapangyarihan ng isang numero na may natural na tagapagpahiwatig

Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, pero ano natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga item: isa, dalawa, tatlo ... Kapag nagbibilang kami ng mga item, hindi namin sinasabi: "minus five", "minus six", "minus seven". Hindi rin namin sinasabing "one third" o "zero point five tenths". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Ano sa palagay mo ang mga numerong ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at isang numero. Madaling maunawaan ang Zero - ito ay kapag wala. At ano ang ibig sabihin ng mga negatibong ("minus") na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang tukuyin ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang lahat ng mga fraction ay makatwirang mga numero. Paano sila nangyari, sa tingin mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na sila ay kulang natural na mga numero para sa pagsukat ng haba, timbang, lugar, atbp. At nakaisip sila makatwirang mga numero… Kawili-wili, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, isang infinite decimal fraction. Halimbawa, kung ang circumference ng isang bilog ay nahahati sa diameter nito, kung gayon hindi makatwirang numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (iyon ay, integer at positibo).

Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
Ang pag-square ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nito:
Ang pag-cube ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Magtaas ng numero sa natural na antas ay nangangahulugan ng pagpaparami ng isang numero sa sarili nitong beses:
.

Mga katangian ng degree

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin kung ano at ?

A-priory:

Ilang multiplier ang nasa kabuuan?

Ito ay napaka-simple: nagdagdag kami ng mga kadahilanan sa mga kadahilanan, at ang resulta ay mga kadahilanan.

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ang antas ng isang numero na may exponent, iyon ay: , na kinakailangang patunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Desisyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Desisyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat pareho ang dahilan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon dapat mong isulat iyon.

2. ibig sabihin -ika-kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ito ay lumiliko na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat?

Pero hindi totoo yun.

Degree na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang natin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging batayan?

Sa mga degree mula sa natural na tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero. Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung anong mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, naaalala namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Pero kung paramihin tayo, lumalabas.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na napakasimple!

6 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng solusyon 6 na halimbawa

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung sila ay pinalitan, maaaring ilapat ang panuntunan.

Ngunit paano gawin iyon? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo pinangalanan namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang sign "") at ang numero.

positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, tinatanong natin ang ating sarili: bakit ganito?

Isaalang-alang ang ilang kapangyarihan na may base. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa pamamagitan ng, at nakuha ang parehong bilang ito ay -. Anong numero ang dapat i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito din doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa sarili mo, makakakuha ka pa rin ng zero, malinaw ito. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero degree, dapat itong pantay. Kaya ano ang katotohanan nito? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero na kapangyarihan. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.

Tayo ay pumunta sa karagdagang. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, kasama sa mga integer ang mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang isang negatibong antas, gawin natin ang katulad ng huling pagkakataon: minu-multiply natin ang ilang normal na numero sa pareho sa isang negatibong antas:

Mula dito madali nang ipahayag ang ninanais:

Ngayon ay pinalawak namin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, buuin natin ang panuntunan:

Ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras hindi maaaring null ang base:(dahil imposibleng hatiin).

Ibuod natin:

I. Ang pagpapahayag ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .

III. numero, hindi sero, sa isang negatibong kapangyarihan inversely sa parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, ang mga numero ay nakakatakot, ngunit sa pagsusulit kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang solusyon kung hindi mo ito malutas at matututunan mo kung paano madaling harapin ang mga ito sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang bilog ng mga numero na "angkop" bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng iyon ay maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, bukod dito.

Upang maunawaan kung ano ang "fractional degree" Isaalang-alang natin ang isang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:

Ngayon tandaan ang panuntunan "degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas.

Iyon ay, ang ugat ng ika-degree ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation: .

Lumalabas na. Malinaw, ang espesyal na kaso na ito ay maaaring palawigin: .

Ngayon idagdag ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan ang panuntunan: anumang numero na itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang mga ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero!

At nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay walang kahulugan.

Paano naman ang expression?

Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.

Ang numero ay maaaring kinakatawan bilang iba, pinababang mga fraction, halimbawa, o.

At lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, at ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit sa sandaling isulat namin ang tagapagpahiwatig sa ibang paraan, muli kaming nagkakaproblema: (iyon ay, nakakuha kami ng ganap na kakaibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang positibong base exponent lamang na may fractional exponent.

Kaya kung:

- natural na numero;
ay isang integer;

Mga halimbawa:

Ang mga kapangyarihan na may rational exponent ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:

5 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

Well, ngayon - ang pinakamahirap. Ngayon ay susuriin natin degree na may hindi makatwirang exponent.

Ang lahat ng mga panuntunan at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa mga degree na may isang rational exponent, maliban sa

Sa katunayan, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...walang kapangyarihan- ito ay, tulad ng, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nagsisimulang dumami, na nangangahulugang ang bilang mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero”, ibig sabihin ay isang numero;

...negatibong integer exponent- para bang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Nagkataon, sa agham, isang degree na may kumplikadong tagapagpahiwatig, ibig sabihin, ang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matutunan mo kung paano lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa dati nang panuntunan para sa pagpapataas ng degree sa isang degree:

Ngayon tingnan ang iskor. May naaalala ba siya sa iyo? Naaalala namin ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga parisukat:

Sa kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Dinadala namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong decimal o parehong ordinaryo. Nakukuha namin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, inilalapat namin ang mga karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Kahulugan ng degree

Ang antas ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

— base ng degree;
- exponent.

Degree na may natural na exponent (n = 1, 2, 3,...)

Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong beses:

Power na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)

Kung ang exponent ay positibong integer numero:

paninigas sa zero na kapangyarihan:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.

Kung ang exponent ay negatibong integer numero:

(dahil imposibleng hatiin).

Isa pang beses tungkol sa nulls: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Degree na may rational exponent

- natural na numero;
ay isang integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng degree

Upang gawing mas madali ang paglutas ng mga problema, subukan nating maunawaan: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

A-priory:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito, ang sumusunod na produkto ay nakuha:

Ngunit ayon sa kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Desisyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Desisyon : Mahalagang tandaan na sa ating tuntunin kinakailangan dapat may parehong batayan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon ay hindi ko dapat isulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ayusin natin ito tulad nito:

Lumalabas na ang expression ay pinarami ng isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang -th na kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:!

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat? Pero hindi totoo yun.

Power na may negatibong base.

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lang natin kung ano ang dapat tagapagpahiwatig degree. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa mga degree mula sa natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung anong mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami, magbabago ang tanda. Posibleng bumalangkas ng ganoon simpleng tuntunin:

kahit degree, - numero positibo.
Isang negatibong numero, itinayo sa kakaiba degree, - numero negatibo.
Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5), ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng batayan - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung naaalala mo iyon, ito ay nagiging malinaw na, na nangangahulugan na ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa isa't isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago i-disassemble huling tuntunin Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Kalkulahin ang mga halaga ng mga expression:

Mga solusyon :

Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano ito gagawin? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ay ganito ang hitsura:

Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket. Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago nang sabay-sabay! Hindi ito mapapalitan ng pagbabago lamang ng isang hindi kanais-nais na minus sa amin!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling tuntunin:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin:

Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Gaano karaming mga titik ang magkakaroon? beses sa pamamagitan ng mga multiplier - ano ang hitsura nito? Ito ay walang iba kundi ang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: total nagkaroon pala ng multipliers. Iyon ay, ito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent:

Halimbawa:

Degree na may hindi makatwirang exponent

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwirang tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "larawan", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero degree ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang i-multiply, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero", katulad ng isang numero; isang degree na may negatibong integer - parang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang numero ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwiran na exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Sa halip, ito ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng isang antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, ang agham ay madalas na gumagamit ng isang degree na may isang kumplikadong exponent, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Mga sagot:

Tandaan ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .
Dinadala namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal, o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .
Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang mga katangian ng mga degree:

BUOD NG SEKSYON AT BATAYANG FORMULA

Degree ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

Degree na may integer exponent

degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (i.e. integer at positive).

Degree na may rational exponent

degree, ang indicator kung saan ay negatibo at fractional na mga numero.

Degree na may hindi makatwirang exponent

exponent na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.

Mga katangian ng degree

Mga tampok ng degree.

Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.

NGAYON MAY SALITA KA NA...

Paano mo gusto ang artikulo? Ipaalam sa akin sa mga komento sa ibaba kung nagustuhan mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa mga katangian ng kapangyarihan.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!

Sa pagpapatuloy ng pag-uusap tungkol sa antas ng isang numero, makatuwirang harapin ang paghahanap ng halaga ng antas. Ang prosesong ito ay pinangalanan pagpaparami. Sa artikulong ito, pag-aaralan lang natin kung paano ginaganap ang exponentiation, habang tatalakayin natin ang lahat ng posibleng exponents - natural, integer, rational at irrational. At ayon sa tradisyon, isasaalang-alang namin nang detalyado ang mga solusyon sa mga halimbawa ng pagtaas ng mga numero sa iba't ibang antas.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng "exponentiation"?

Magsimula tayo sa pagpapaliwanag kung ano ang tinatawag na exponentiation. Narito ang nauugnay na kahulugan.

Kahulugan.

Exponentiation ay upang mahanap ang halaga ng kapangyarihan ng isang numero.

Kaya, ang paghahanap ng halaga ng kapangyarihan ng a na may exponent r at pagtaas ng numero a sa kapangyarihan ng r ay ang parehong bagay. Halimbawa, kung ang gawain ay "kalkulahin ang halaga ng kapangyarihan (0.5) 5", maaari itong reformulated tulad ng sumusunod: "Itaas ang numero 0.5 sa kapangyarihan ng 5".

Maaari ka na ngayong pumunta nang direkta sa mga panuntunan kung saan isinasagawa ang exponentiation.

Pagtaas ng numero sa natural na kapangyarihan

Sa pagsasagawa, ang pagkakapantay-pantay batay sa ay karaniwang inilalapat sa anyo . Iyon ay, kapag ang pagtaas ng numero a sa isang fractional power m / n, ang ugat ng nth degree mula sa numero a ay unang nakuha, pagkatapos kung saan ang resulta ay itataas sa isang integer power m.

Isaalang-alang ang mga solusyon sa mga halimbawa ng pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng antas.

Desisyon.

Nagpapakita kami ng dalawang solusyon.

Unang paraan. Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent. Kinakalkula namin ang halaga ng antas sa ilalim ng tanda ng ugat, pagkatapos ay kinuha namin ang ugat ng kubo: .

Ang pangalawang paraan. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may fractional exponent at batay sa mga katangian ng mga ugat, ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo . Ngayon kunin ang ugat Sa wakas, itataas namin sa isang integer na kapangyarihan .

Malinaw, ang nakuha na mga resulta ng pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan ay nagtutugma.

Sagot:

Tandaan na ang fractional exponent ay maaaring isulat bilang isang decimal fraction o isang mixed number, sa mga kasong ito dapat itong palitan ng kaukulang ordinaryong fraction, at pagkatapos ay dapat isagawa ang exponentiation.

Halimbawa.

Kalkulahin ang (44.89) 2.5 .

Desisyon.

Isinulat namin ang exponent sa anyo ng isang ordinaryong fraction (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo): . Ngayon nagsasagawa kami ng pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan:

Sagot:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Dapat ding sabihin na ang pagpapataas ng mga numero sa rational powers ay isang medyo matrabahong proseso (lalo na kapag ang numerator at denominator ng fractional exponent ay naglalaman ng sapat na malalaking numero), na karaniwang isinasagawa gamit ang teknolohiya ng computer.

Sa pagtatapos ng talatang ito, tatalakayin natin ang pagbuo ng numerong zero sa isang fractional power. Ibinigay namin ang sumusunod na kahulugan sa fractional degree ng zero ng form: dahil mayroon kami , habang ang zero sa kapangyarihan m/n ay hindi tinukoy. Kaya, ang zero sa isang positibong fractional power ay zero, halimbawa, . At ang zero sa isang fractional na negatibong kapangyarihan ay hindi makatwiran, halimbawa, ang mga expression at 0 -4.3 ay walang katuturan.

Pagtaas sa isang hindi makatwirang kapangyarihan

Minsan ito ay nagiging kinakailangan upang malaman ang halaga ng antas ng isang numero na may hindi makatwirang exponent. Sa kasong ito, para sa mga praktikal na layunin, kadalasan ay sapat na upang makuha ang halaga ng antas hanggang sa isang tiyak na tanda. Napansin namin kaagad na sa pagsasagawa ang halagang ito ay kinakalkula gamit ang electronic computing technology, dahil ang manu-manong pagtaas sa isang hindi makatwirang kapangyarihan ay nangangailangan ng isang malaking bilang masalimuot na mga kalkulasyon. Gayunpaman, ilalarawan namin sa mga pangkalahatang tuntunin kakanyahan ng pagkilos.

Upang makakuha ng tinatayang halaga ng exponent ng a na may hindi makatwirang exponent, kinukuha ang ilang decimal approximation ng exponent, at kinakalkula ang halaga ng exponent. Ang halagang ito ay ang tinatayang halaga ng antas ng numero a na may hindi makatwirang exponent. Ang mas tumpak na decimal approximation ng isang numero ay kinukuha sa simula, mas marami eksaktong halaga degree ay makukuha sa dulo.

Bilang halimbawa, kalkulahin natin ang tinatayang halaga ng kapangyarihan ng 2 1.174367... . Kunin natin ang sumusunod na decimal approximation ng isang irrational indicator: . Ngayon itinaas namin ang 2 sa isang makatwirang kapangyarihan na 1.17 (inilarawan namin ang kakanyahan ng prosesong ito sa nakaraang talata), nakukuha namin ang 2 1.17 ≈ 2.250116. kaya, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Kung kukuha tayo ng mas tumpak na pagtatantya ng decimal ng isang hindi makatwiran na exponent, halimbawa, , pagkatapos ay makakakuha tayo ng mas tumpak na halaga ng orihinal na degree: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliograpiya.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematics Zh textbook para sa 5 cell. institusyong pang-edukasyon.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang aklat-aralin para sa 7 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang aklat-aralin para sa 9 na mga cell. institusyong pang-edukasyon.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).

Nalaman namin kung ano ang antas ng isang numero sa pangkalahatan. Ngayon ay kailangan nating maunawaan kung paano tama ang pagkalkula nito, i.e. itaas ang mga numero sa kapangyarihan. Sa materyal na ito, susuriin namin ang mga pangunahing panuntunan para sa pagkalkula ng antas sa kaso ng isang integer, natural, fractional, rational at irrational exponent. Ang lahat ng mga kahulugan ay ilalarawan kasama ng mga halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ang konsepto ng exponentiation

Magsimula tayo sa pagbabalangkas ng mga pangunahing kahulugan.

Kahulugan 1

Exponentiation ay ang pagkalkula ng halaga ng kapangyarihan ng ilang numero.

Iyon ay, ang mga salitang "pagkalkula ng halaga ng antas" at "pagpapalawak" ay nangangahulugan ng parehong bagay. Kaya, kung ang gawain ay "Itaas ang numero 0 , 5 sa ikalimang kapangyarihan", dapat itong maunawaan bilang "kalkulahin ang halaga ng kapangyarihan (0 , 5) 5 .

Ngayon ay binibigyan namin ang mga pangunahing alituntunin na dapat sundin sa naturang mga kalkulasyon.

Alalahanin kung ano ang kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent. Para sa isang kapangyarihan na may base a at exponent n, ito ang magiging produkto ng ika-n na bilang ng mga salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ito ay maaaring isulat tulad nito:

Upang makalkula ang halaga ng antas, kailangan mong isagawa ang pagpapatakbo ng pagpaparami, iyon ay, i-multiply ang mga base ng degree sa tinukoy na bilang ng beses. Ang mismong konsepto ng isang degree na may natural na tagapagpahiwatig ay batay sa kakayahang mabilis na dumami. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa 1

Kundisyon: Itaas ang - 2 sa kapangyarihan ng 4 .

Desisyon

Gamit ang kahulugan sa itaas, isinusulat natin ang: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Susunod, kailangan lang nating sundin ang mga hakbang na ito at makakuha ng 16 .

Kumuha tayo ng mas kumplikadong halimbawa.

Halimbawa 2

Kalkulahin ang halaga 3 2 7 2

Desisyon

Ang entry na ito ay maaaring muling isulat bilang 3 2 7 · 3 2 7 . Mas maaga ay tiningnan namin kung paano tama ang pagpaparami ng mga pinaghalong numero na binanggit sa kondisyon.

Gawin ang mga hakbang na ito at makuha ang sagot: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Kung ang gawain ay nagpapahiwatig ng pangangailangan na itaas ang hindi makatwiran na mga numero sa isang natural na kapangyarihan, kakailanganin muna nating bilugan ang kanilang mga base sa isang digit na magbibigay-daan sa amin upang makakuha ng sagot ng nais na katumpakan. Kumuha tayo ng isang halimbawa.

Halimbawa 3

Isagawa ang pag-squaring ng numerong π .

Desisyon

Bilugan muna natin ito hanggang hundredths. Pagkatapos π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Kung π ≈ 3 . 14159, pagkatapos ay makakakuha tayo ng mas tumpak na resulta: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Tandaan na ang pangangailangan na kalkulahin ang mga kapangyarihan ng hindi makatwiran na mga numero sa pagsasanay ay medyo bihira. Pagkatapos ay maaari nating isulat ang sagot bilang mismong kapangyarihan (ln 6) 3 o i-convert kung maaari: 5 7 = 125 5 .

Hiwalay, dapat itong ipahiwatig kung ano ang unang kapangyarihan ng isang numero. Dito mo lamang maaalala na ang anumang numero na itinaas sa unang kapangyarihan ay mananatili mismo:

Ito ay malinaw sa talaan. .

Hindi ito nakasalalay sa batayan ng antas.

Halimbawa 4

Kaya, (− 9) 1 = − 9 , at 7 3 na itinaas sa unang kapangyarihan ay nananatiling katumbas ng 7 3 .

Para sa kaginhawahan, susuriin namin ang tatlong mga kaso nang hiwalay: kung ang exponent ay isang positive integer, kung ito ay zero, at kung ito ay isang negatibong integer.

Sa unang kaso, ito ay kapareho ng pagtaas sa isang natural na kapangyarihan: pagkatapos ng lahat, ang mga integer mga positibong numero nabibilang sa natural set. Inilarawan na namin kung paano magtrabaho kasama ang mga naturang degree sa itaas.

Ngayon tingnan natin kung paano maayos na itaas sa zero na kapangyarihan. Sa isang base na hindi zero, ang pagkalkula na ito ay palaging gumagawa ng isang output na 1 . Nauna naming ipinaliwanag na ang 0th power ng a ay maaaring tukuyin para sa anumang tunay na numero na hindi katumbas ng 0 , at isang 0 = 1 .

Halimbawa 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - hindi tinukoy.

Natitira na lang sa amin ang kaso ng isang degree na may negatibong integer exponent. Napag-usapan na natin na ang mga naturang degree ay maaaring isulat bilang isang fraction 1 a z, kung saan ang a ay anumang numero, at ang z ay isang integer negatibong tagapagpahiwatig. Nakikita namin na ang denominator ng fraction na ito ay hindi hihigit sa isang ordinaryong degree na may positibong integer, at natutunan na namin kung paano kalkulahin ito. Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga gawain.

Halimbawa 6

Itaas ang 3 sa -2 na kapangyarihan.

Desisyon

Gamit ang kahulugan sa itaas, isinusulat natin ang: 2 - 3 = 1 2 3

Kinakalkula namin ang denominator ng fraction na ito at nakakuha ng 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Kung gayon ang sagot ay: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Halimbawa 7

Itaas ang 1, 43 sa -2 na kapangyarihan.

Desisyon

Reformulate: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kinakalkula namin ang parisukat sa denominator: 1.43 1.43. Ang mga desimal ay maaaring i-multiply sa ganitong paraan:

Bilang resulta, nakuha namin ang (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 . Nananatili para sa amin na isulat ang resulta na ito sa anyo ng isang ordinaryong fraction, kung saan kinakailangan na i-multiply ito ng 10 libo (tingnan ang materyal sa conversion ng mga fraction).

Sagot: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ang isang hiwalay na kaso ay nagtataas ng isang numero sa minus first power. Ang halaga ng naturang antas ay katumbas ng bilang na kabaligtaran sa orihinal na halaga ng base: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Halimbawa 8

Halimbawa: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Paano itaas ang isang numero sa isang fractional na kapangyarihan

Upang maisagawa ang naturang operasyon, kailangan nating alalahanin ang pangunahing kahulugan ng isang degree na may fractional exponent: a m n \u003d a m n para sa anumang positibong a, integer m at natural n.

Kahulugan 2

Kaya, ang pagkalkula ng isang fractional na antas ay dapat isagawa sa dalawang hakbang: pagtaas sa isang integer na kapangyarihan at paghahanap ng ugat ng ika-n degree.

Mayroon tayong pagkakapantay-pantay na a m n = a m n , na kung saan, dahil sa mga katangian ng mga ugat, ay karaniwang ginagamit upang malutas ang mga problema sa anyong a m n = a n m . Nangangahulugan ito na kung itataas natin ang numero a sa isang fractional power m / n, pagkatapos ay i-extract muna natin ang root ng nth degree mula sa a, pagkatapos ay itataas natin ang resulta sa isang power na may integer exponent m.

Ilarawan natin sa isang halimbawa.

Halimbawa 9

Kalkulahin ang 8 - 2 3 .

Desisyon

Paraan 1. Ayon sa pangunahing kahulugan, maaari nating katawanin ito bilang: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Ngayon kalkulahin natin ang antas sa ilalim ng ugat at kunin ang ikatlong ugat mula sa resulta: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Paraan 2. Ibahin natin ang pangunahing pagkakapantay-pantay: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Pagkatapos nito, kinukuha namin ang ugat 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 at parisukat ang resulta: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Nakikita namin na ang mga solusyon ay magkapareho. Maaari mong gamitin ang anumang paraan na gusto mo.

May mga kaso kapag ang antas ay may ipinahayag na tagapagpahiwatig halo-halong numero o desimal. Para sa kadalian ng pagkalkula, mas mahusay na palitan ito ng ordinaryong fraction at bilangin tulad ng nasa itaas.

Halimbawa 10

Itaas ang 44.89 sa kapangyarihan ng 2.5.

Desisyon

I-convert ang halaga ng indicator sa karaniwang fraction - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

At ngayon ginagawa namin ang lahat ng mga aksyon na nakasaad sa itaas sa pagkakasunud-sunod: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 67 10 5 = 67 10 5 = 67 10 5 = 10 13 501, 25107

Sagot: 13501, 25107.

Kung mayroong malalaking numero sa numerator at denominator ng isang fractional exponent, kung gayon ang pagkalkula ng mga naturang exponent na may rational exponent ay medyo mahirap na trabaho. Karaniwang nangangailangan ito ng teknolohiya ng computer.

Hiwalay, naninirahan tayo sa antas na may zero base at isang fractional exponent. Ang isang pagpapahayag ng anyo na 0 m n ay maaaring bigyan ng sumusunod na kahulugan: kung m n > 0, pagkatapos ay 0 m n = 0 m n = 0 ; kung m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Paano itaas ang isang numero sa isang hindi makatwirang kapangyarihan

Ang pangangailangan upang kalkulahin ang halaga ng antas, sa tagapagpahiwatig kung saan mayroong isang hindi makatwiran na numero, ay hindi madalas na lumitaw. Sa pagsasagawa, ang gawain ay karaniwang limitado sa pagkalkula ng isang tinatayang halaga (hanggang sa isang tiyak na bilang ng mga decimal na lugar). Karaniwan itong kinakalkula sa isang computer dahil sa pagiging kumplikado ng naturang mga kalkulasyon, kaya hindi namin ito tatalakayin nang detalyado, ipahiwatig lamang namin ang mga pangunahing probisyon.

Kung kailangan nating kalkulahin ang halaga ng degree a na may hindi makatwirang exponent a , pagkatapos ay kukunin natin ang decimal approximation ng exponent at mabibilang mula dito. Ang resulta ay isang tinatayang sagot. Kung mas tumpak ang pagtatantya ng decimal na kinuha, mas tumpak ang sagot. Ipakita natin sa isang halimbawa:

Halimbawa 11

Mag-compute ng tinatayang halaga ng 21 , 174367 ....

Desisyon

Nililimitahan natin ang ating sarili sa pagtatantya ng decimal a n = 1, 17. Gawin natin ang mga kalkulasyon gamit ang numerong ito: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Kung kukunin natin, halimbawa, ang approximation a n = 1 , 1743 , kung gayon ang sagot ay magiging mas tumpak ng kaunti: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

pangunahing layunin

Upang ipaalam sa mga mag-aaral ang mga katangian ng mga degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at turuan silang magsagawa ng mga aksyon na may mga degree.

Paksang "Degree at mga katangian nito" may kasamang tatlong tanong:

Pagpapasiya ng antas na may natural na tagapagpahiwatig.
Pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan.
Exponentiation ng produkto at degree.

mga tanong sa pagsusulit

Bumuo ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent na higit sa 1. Magbigay ng isang halimbawa.
Bumuo ng kahulugan ng digri na may indicator na 1. Magbigay ng halimbawa.
Ano ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon kapag sinusuri ang halaga ng isang expression na naglalaman ng mga kapangyarihan?
Bumuo ng pangunahing pag-aari ng degree. Magbigay ng halimbawa.
Bumuo ng isang panuntunan para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base. Magbigay ng halimbawa.
Bumuo ng isang panuntunan para sa paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan. Magbigay ng halimbawa.
Bumuo ng panuntunan para sa exponentiation ng isang produkto. Magbigay ng halimbawa. Patunayan ang pagkakakilanlan (ab) n = a n b n .
Bumuo ng isang panuntunan para sa pagtaas ng antas sa isang kapangyarihan. Magbigay ng halimbawa. Patunayan ang pagkakakilanlan (a m) n = a m n .

Kahulugan ng degree.

antas ng bilang a na may natural na tagapagpahiwatig n, higit sa 1, ay tinatawag na produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. antas ng bilang a na may exponent 1 ang numero mismo ay tinatawag a.

Degree na may base a at tagapagpahiwatig n ay nakasulat na ganito: isang n. May nakasulat na" a hanggang sa n”; “ n-th power ng isang numero a ”.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Ang paghahanap ng halaga ng antas ay tinatawag pagpaparami .

1. Mga halimbawa ng exponentiation:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Maghanap ng mga value ng expression:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Pagpipilian 1

a) 0.3 0.3 0.3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Kuwadrado ang mga numero:

3. Cube ang mga numero:

4. Maghanap ng mga value ng expression:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Pagpaparami ng kapangyarihan.

Para sa anumang numero a at arbitrary na mga numero m at n, ang sumusunod ay totoo:

a m a n = a m + n .

Patunay:

tuntunin : Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga base ay nananatiling pareho, at ang mga exponent ay idinagdag.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0.01 0.1 3 = 0.1 2 0.1 3 = 0.1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Pagpipilian 1

1. Ipakita bilang isang degree:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0.3 3 0.09

2. Ipakita bilang isang degree at hanapin ang halaga sa talahanayan:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Dibisyon ng mga degree.

Para sa anumang bilang na a0 at di-makatwirang natural na mga numerong m at n tulad ng m>n, ang sumusunod ay taglay:

a m: a n = a m - n

Patunay:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

sa pamamagitan ng kahulugan ng pribado:

a m: a n \u003d a m - n.

tuntunin: Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay naiwang pareho, at ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo.

Kahulugan: Ang antas ng isang hindi zero na numero na may zero exponent ay katumbas ng isa:

kasi a n: a n = 1 para sa a0 .

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6

d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

sa)

G)

e)

Pagpipilian 1

1. Ipahayag ang quotient bilang isang kapangyarihan:

2. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Pagtaas sa kapangyarihan ng isang produkto.

Para sa anumang a at b at isang arbitrary na natural na numero n:

(ab) n = a n b n

Patunay:

Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree

(ab) n =

Pagsasama-sama ng mga salik a at salik b nang magkahiwalay, nakukuha natin ang:

Ang napatunayang pag-aari ng antas ng produkto ay umaabot sa antas ng produkto ng tatlo o higit pang mga kadahilanan.

Halimbawa:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

tuntunin: Kapag tinataas ang isang produkto sa isang kapangyarihan, ang bawat kadahilanan ay itataas sa kapangyarihan na iyon at ang resulta ay pinarami.

1. Itaas sa isang kapangyarihan:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 \u003d (-5) 3 y 3 \u003d -125 y 3

e) (-0.2 x y) 2 \u003d (-0.2) 2 x 2 y 2 \u003d 0.04 x 2 y 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Hanapin ang halaga ng expression:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0.25 11 4 11 = (0.25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

Pagpipilian 1

1. Itaas sa isang kapangyarihan:

b) (2 a c) 4

e) (-0.1 x y) 3

2. Hanapin ang halaga ng expression:

b) (5 7 20) 2

Exponentiation.

Para sa anumang numero a at arbitrary na natural na mga numero m at n:

(a m) n = isang m n

Patunay:

Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree

(a m) n =

Panuntunan: Kapag itinaas ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay naiwang pareho, at ang mga exponent ay pinarami.

1. Itaas sa isang kapangyarihan:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Pasimplehin ang mga expression:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

a)

b)

Pagpipilian 1

1. Itaas sa isang kapangyarihan:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Pasimplehin ang mga expression:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y y 9) 2

3. Hanapin ang kahulugan ng mga expression:

Apendise

Kahulugan ng degree.

Opsyon 2

1 Isulat ang produkto sa anyo ng isang degree:

a) 0.4 0.4 0.4

c) a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bc) (bc) (bc)

2. Kuwadrado ang mga numero:

3. Cube ang mga numero:

4. Maghanap ng mga value ng expression:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Opsyon 3

1. Isulat ang produkto bilang isang antas:

a) 0.5 0.5 0.5

c) c c c c c c c c c

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Ipakita sa anyo ng isang parisukat ng bilang: 100; 0.49; .

3. Cube ang mga numero:

4. Maghanap ng mga value ng expression:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Opsyon 4

1. Isulat ang produkto bilang isang antas:

a) 0.7 0.7 0.7

c) x x x x x x

d) (-а) (-а) (-а)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Kuwadrado ang mga numero:

3. Cube ang mga numero:

4. Maghanap ng mga value ng expression:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Pagpaparami ng kapangyarihan.

Opsyon 2

1. Ipakita bilang isang degree:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0.2 3 0.04

2. Ipakita bilang isang degree at hanapin ang halaga sa talahanayan:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Opsyon 3

1. Ipakita bilang isang degree:

a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0.3 4 0.27

2. Ipakita bilang isang degree at hanapin ang halaga sa talahanayan:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Opsyon 4

1. Ipakita bilang isang degree:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0.2 2 0.008

2. Ipakita bilang isang degree at hanapin ang halaga sa talahanayan:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Dibisyon ng mga degree.

Opsyon 2

1. Ipahayag ang quotient bilang isang kapangyarihan:

2. Hanapin ang kahulugan ng mga expression.