Solusyon ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng mga pagitan. Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay

>>Math: Rational inequalities

Ang rational inequality na may isang variable x ay isang inequality ng form - rational expressions, i.e. algebraic expression na binubuo ng mga numero at ang variable na x gamit ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, at pagtaas sa isang natural na kapangyarihan. Siyempre, ang variable ay maaaring ipahiwatig ng anumang iba pang titik, ngunit sa matematika, ang letrang x ay kadalasang ginustong.

Kapag nilulutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, ginagamit ang tatlong panuntunan na nabalangkas sa itaas sa § 1. Sa tulong ng mga panuntunang ito, ang isang naibigay na rational inequality ay karaniwang kino-convert sa anyo / (x) > 0, kung saan ang / (x) ay isang algebraic fraction (o polynomial). Susunod, i-decompose ang numerator at denominator ng fraction f (x) sa mga salik ng anyong x - a (kung, siyempre, posible ito) at ilapat ang paraan ng pagitan, na nabanggit na natin sa itaas (tingnan ang halimbawa 3 sa nakaraang talata).

Halimbawa 1 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Desisyon. Isaalang-alang ang expression na f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Ito ay nagiging 0 sa mga puntos na 1,-1,2; markahan ang mga puntong ito sa linya ng numero. Ang numerong linya ay nahahati sa mga ipinahiwatig na mga punto sa apat na pagitan (Larawan 6), sa bawat isa kung saan ang expression na f (x) ay nagpapanatili ng isang palaging tanda. Para ma-verify ito, magsasagawa kami ng apat na argumento (para sa bawat isa sa mga agwat na ito nang hiwalay).

Kunin ang anumang puntong x mula sa pagitan (2, Ang puntong ito ay matatagpuan sa linya ng numero sa kanan ng punto -1, sa kanan ng punto 1 at sa kanan ng punto 2. Nangangahulugan ito na x> -1, x> 1, x> 2 (Larawan 7). Ngunit pagkatapos ay x-1>0, x+1>0, x - 2> 0, at samakatuwid ay f (x)> 0 (bilang produkto ng rational inequality ng tatlong positibo mga numero). Kaya, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x ) > 0.

Kunin ang anumang punto x mula sa pagitan (1,2). Ang puntong ito ay matatagpuan sa linya ng numero sa kanan ng point-1, sa kanan ng point 1, ngunit sa kaliwa ng point 2. Samakatuwid, x\u003e -1, x\u003e 1, ngunit x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного negatibong numero). Kaya, sa pagitan (1,2) ang hindi pagkakapantay-pantay f (x)< 0.

Kunin ang anumang punto x mula sa pagitan (-1,1). Ang puntong ito ay matatagpuan sa linya ng numero sa kanan ng punto -1, sa kaliwa ng punto 1 at sa kaliwa ng punto 2. Kaya x > -1, ngunit x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (bilang produkto ng dalawang negatibo at isang positibong numero). Kaya, sa pagitan (-1,1) ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x)> 0 ay humahawak.

Panghuli, kumuha ng anumang puntong x mula sa bukas na sinag (-oo, -1). Ang puntong ito ay matatagpuan sa number line sa kaliwa ng point -1, sa kaliwa ng point 1 at sa kaliwa ng point 2. Nangangahulugan ito na x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

I-summarize natin. Ang mga palatandaan ng expression na f (x) sa mga napiling agwat ay tulad ng ipinapakita sa Fig. 11. Kami ay interesado sa kanila kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0 ay nasiyahan. Gamit ang geometric na modelo na ipinakita sa fig. 11, itinatag namin na ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0 ay nasiyahan sa pagitan (-1, 1) o sa bukas na sinag
Sagot: -1 < х < 1; х > 2.

Halimbawa 2 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
Desisyon. Tulad ng sa nakaraang halimbawa, kukuha kami ng kinakailangang impormasyon mula sa Fig. 11, ngunit may dalawang pagbabago kumpara sa halimbawa 1. Una, dahil interesado kami sa kung anong mga halaga ng x ang nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Pangalawa, nasiyahan din tayo sa mga puntong iyon kung saan nasiyahan ang pagkakapantay-pantay na f (x) = 0. Ito ang mga puntos na -1, 1, 2, minarkahan natin sila sa figure na may mga dark circle at isama ang mga ito sa sagot. Sa fig. Ang 12 ay nagpapakita ng isang geometric na modelo ng tugon, kung saan hindi mahirap ilipat sa isang analytical record.
Sagot:
HALIMBAWA 3. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
Desisyon. I-factor natin ang numerator at denominator ng algebraic fraction fx na nasa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa numerator mayroon kaming x 2 - x \u003d x (x - 1).

Upang i-factor ang square trinomial x 2 - bx ~ 6 na nakapaloob sa denominator ng fraction, makikita natin ang mga ugat nito. Mula sa equation x 2 - 5x - 6 \u003d 0 nakita namin ang x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Kaya, (ginamit namin ang formula para sa factoring ng isang square trinomial: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Kaya, binago natin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa anyo

Isaalang-alang ang expression:

Ang numerator ng fraction na ito ay nagiging 0 sa mga puntos na 0 at 1, at nagiging 0 sa mga puntos na -1 at 6. Markahan natin ang mga puntong ito sa linya ng numero (Fig. 13). Ang numerong linya ay hinati ng mga ipinahiwatig na mga punto sa limang pagitan, at sa bawat pagitan ang expression na fx) ay nagpapanatili ng isang palaging tanda. Ang pagtatalo sa parehong paraan tulad ng sa Halimbawa 1, dumating tayo sa konklusyon na ang mga palatandaan ng expression fx) sa mga napiling pagitan ay tulad ng ipinapakita sa Fig. 13. Interesado kami sa kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 sagot: -1

Halimbawa 4 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

Desisyon. Kapag nilulutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, bilang panuntunan, mas gusto nilang iwanan lamang ang numero 0 sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, binabago natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo

Dagdag pa:

Tulad ng ipinapakita ng karanasan, kung ang kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman lamang ng numerong 0, mas madaling mangatuwiran kapag ang numerator at denominator sa kaliwang bahagi nito ay may positibong senior coefficient. At ano ang mayroon tayo? Nasa atin ang lahat ng bagay sa denominator ng fraction sa ganitong kahulugan sa pagkakasunud-sunod (ang pinakamataas na koepisyent, ibig sabihin, ang koepisyent sa x 2, ay 6 - positibong numero), ngunit hindi lahat ay nasa pagkakasunud-sunod sa numerator - ang nangungunang koepisyent (coefficient sa x) ay -4 (negatibong numero). Ang pagpaparami ng parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng -1 at pagpapalit ng tanda ng hindi pagkakapantay-pantay sa kabaligtaran, nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay na katumbas nito

I-factorize natin ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction. Sa numerator, ang lahat ay simple:
Upang i-factor ang square trinomial na nakapaloob sa denominator ng isang fraction

(ginamit ulit namin ang formula para sa pag-factor ng square trinomial).
Kaya, binawasan namin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa anyo

Isaalang-alang ang expression

Ang numerator ng fraction na ito ay nagiging 0 sa punto at ang denominator - sa mga punto. Napansin namin ang mga puntong ito sa linya ng numero (Larawan 14), na hinati ng mga ipinahiwatig na puntos sa apat na pagitan, at sa bawat pagitan ang expression Ang f (x) ay nagpapanatili ng isang palaging tanda (ang mga palatandaang ito ay ipinahiwatig sa Fig. 14). Kami ay interesado sa mga pagitan kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Sa lahat ng mga halimbawang isinasaalang-alang, binago namin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa isang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f (x) > 0 o f (x)<0,где
Sa kasong ito, ang bilang ng mga salik sa numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring anuman. Pagkatapos ang mga puntos na a, b, c, e ay minarkahan sa linya ng numero. at tinukoy ang mga palatandaan ng ekspresyong f (x) sa mga napiling pagitan. Napansin namin na sa pinakakanan ng mga napiling pagitan, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0 ay nasiyahan, at pagkatapos ay ang mga palatandaan ng expression na f (x) ay humalili sa mga pagitan (tingnan ang Fig. 16a). Ang alternation na ito ay maginhawang inilalarawan sa tulong ng isang kulot na kurba, na iginuhit mula kanan pakaliwa at mula sa itaas hanggang sa ibaba (Larawan 166). Sa mga pagitan kung saan ang kurba na ito (minsan ay tinatawag na kurba ng mga palatandaan) ay matatagpuan sa itaas ng x-axis, ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) > 0 ay nasiyahan; kung saan ang kurba na ito ay matatagpuan sa ibaba ng x-axis, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x)< 0.

Halimbawa 5 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

Desisyon. Meron kami

(parehong bahagi ng nakaraang hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng 6).
Upang gamitin ang paraan ng agwat, markahan ang mga punto sa linya ng numero (sa mga puntong ito ay nawawala ang numerator ng fraction na nasa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay) at mga puntos (sa mga puntong ito ang denominator ng ipinahiwatig na fraction ay naglalaho). Karaniwan, ang mga puntos ay minarkahan ng eskematiko, na isinasaalang-alang ang pagkakasunud-sunod kung saan sila sumusunod (na nasa kanan, na nasa kaliwa) at hindi partikular na binibigyang pansin ang sukat. Malinaw na Ang sitwasyon ay mas kumplikado sa mga numero. Ang unang pagtatantya ay nagpapakita na ang parehong mga numero ay bahagyang mas malaki kaysa sa 2.6, kung saan ito ay imposible upang tapusin kung alin sa mga ipinahiwatig na mga numero ay mas malaki at kung alin ang mas maliit. Kumbaga (at random) na Then
Ito ay naging tamang hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugang ang aming hula ay nakumpirma: sa katunayan
Kaya,

Minarkahan namin ang ipinahiwatig na 5 puntos sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod sa linya ng numero (Larawan 17a). Ayusin ang mga palatandaan ng pagpapahayag
sa mga agwat na nakuha: sa pinakakanan - isang + sign, at pagkatapos ay ang mga palatandaan ay kahalili (Larawan 176). Gumuhit tayo ng isang kurba ng mga palatandaan at piliin (sa pamamagitan ng pagtatabing) ang mga pagitan kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) > 0 ng interes sa atin ay nasiyahan (Larawan 17c). Sa wakas, isinasaalang-alang namin na pinag-uusapan namin ang tungkol sa isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0, na nangangahulugang interesado rin kami sa mga puntong iyon kung saan nawawala ang expression na f (x). Ito ang mga ugat ng numerator ng fraction f (x), i.e. puntos markahan namin ang mga ito sa Fig. 17 sa dark circles (at, siyempre, isama sa sagot). Ngayon eto ang pic. Ang 17c ay nagbibigay ng kumpletong geometric na modelo para sa mga solusyon sa ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay.

Paraan ng espasyo ay isang simpleng paraan upang malutas ang mga fractional rational inequalities. Ito ang pangalan ng mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga rational (o fractional-rational) na mga expression na nakadepende sa isang variable.

1. Isaalang-alang, halimbawa, ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay

Ang paraan ng agwat ay nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ito sa loob ng ilang minuto.

Sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, fractional rational function. Makatwiran, dahil wala itong mga ugat, o sine, o logarithms - mga makatwirang ekspresyon lamang. Sa kanan ay zero.

Ang paraan ng agwat ay batay sa sumusunod na katangian ng isang fractional rational function.

Ang isang fractional rational function ay maaari lamang magbago ng sign sa mga puntong iyon kung saan ito ay katumbas ng zero o wala.

Alalahanin kung paano isinasama ang isang parisukat na trinomial, iyon ay, isang pagpapahayag ng anyo .

Saan at ang mga ugat quadratic equation.

Gumuhit kami ng isang axis at ayusin ang mga punto kung saan nawala ang numerator at denominator.

Ang mga zero ng denominator at mga punctured point, dahil sa mga puntong ito ang function sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi tinukoy (hindi mo maaaring hatiin sa zero). Ang mga zero ng numerator at - ay may kulay dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit. Para sa at ang aming hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan, dahil ang parehong mga bahagi nito ay katumbas ng zero.

Ang mga puntong ito ay sinisira ang axis sa mga pagitan.

Alamin natin ang tanda ng fractional-rational function sa kaliwang bahagi ng ating hindi pagkakapantay-pantay sa bawat isa sa mga pagitan na ito. Naaalala namin na ang isang fractional rational function ay maaari lamang magbago ng sign sa mga puntong iyon kung saan ito ay katumbas ng zero o wala. Nangangahulugan ito na sa bawat agwat sa pagitan ng mga punto kung saan nawawala ang numerator o denominator, ang tanda ng expression sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay magiging pare-pareho - alinman sa "plus" o "minus".

At samakatuwid, upang matukoy ang tanda ng pag-andar sa bawat ganoong agwat, kumukuha kami ng anumang punto na kabilang sa agwat na ito. Yung bagay sa atin.
. Kunin, halimbawa, at suriin ang tanda ng expression sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Ang bawat isa sa mga "bracket" ay negatibo. Ang kaliwang bahagi ay may palatandaan.

Susunod na pagitan: . Suriin natin ang sign para sa . Nakuha namin na ang kaliwang bahagi ay nagbago ng senyales sa .

Kunin natin . Kapag ang expression ay positibo - samakatuwid, ito ay positibo sa buong pagitan mula hanggang .

Para sa , ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay negatibo.

At panghuli class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Natagpuan namin kung anong mga pagitan ang positibong expression. Ito ay nananatiling isulat ang sagot:

Sagot: .

Pakitandaan: ang mga palatandaan sa mga pagitan ay kahalili. Nangyari ito dahil kapag dumadaan sa bawat punto, eksaktong isa sa mga linear na kadahilanan ang nagbago ng tanda, at ang natitira ay pinanatiling hindi nagbabago.

Nakikita namin na ang paraan ng pagitan ay napaka-simple. Lutasin fractional rational inequality paraan ng pagitan, dinadala namin ito sa form:

O kaya class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, o o .

(sa kaliwang bahagi - isang fractional-rational function, sa kanang bahagi - zero).

Pagkatapos - minarkahan namin sa linya ng numero ang mga punto kung saan nawawala ang numerator o denominator.
Hinahati ng mga puntong ito ang buong linya ng numero sa mga pagitan, sa bawat isa kung saan pinapanatili ng fractional-rational function ang sign nito.
Ito ay nananatili lamang upang malaman ang tanda nito sa bawat pagitan.
Ginagawa namin ito sa pamamagitan ng pagsuri sa tanda ng expression sa anumang punto sa loob ng ibinigay na pagitan. Pagkatapos nito, isusulat namin ang sagot. Iyon lang.

Ngunit ang tanong ay lumitaw: ang mga palatandaan ba ay palaging kahalili? Hindi hindi palagi! Dapat tayong mag-ingat na huwag maglagay ng mga karatula nang mekanikal at walang pag-iisip.

2. Tingnan natin ang isa pang hindi pagkakapantay-pantay.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}

Muli kaming naglalagay ng mga puntos sa axis. Ang mga puntos at ay nabutas dahil sila ang mga sero ng denominator. Ang tuldok ay nabutas din, dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit.

Kapag ang numerator ay positibo, ang parehong mga kadahilanan sa denominator ay negatibo. Ito ay madaling suriin sa pamamagitan ng pagkuha ng anumang numero mula sa isang ibinigay na pagitan, halimbawa, . Ang kaliwang bahagi ay may palatandaan:

Kapag positibo ang numerator; ang unang kadahilanan sa denominator ay positibo, ang pangalawang kadahilanan ay negatibo. Ang kaliwang bahagi ay may palatandaan:

Kapag ang sitwasyon ay pareho! Ang numerator ay positibo, ang unang kadahilanan sa denominator ay positibo, ang pangalawa ay negatibo. Ang kaliwang bahagi ay may palatandaan:

Panghuli, may class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Sagot: .

Bakit nasira ang paghahalili ng mga character? Dahil kapag dumaan sa punto, ang multiplier ay "responsable" para dito hindi nagbago ng sign. Dahil dito, ang buong kaliwang bahagi ng aming hindi pagkakapantay-pantay ay hindi rin nagbago ng senyales.

Konklusyon: kung ang linear factor ay nasa pantay na kapangyarihan (halimbawa, sa isang parisukat), kung gayon kapag dumadaan sa isang punto, ang tanda ng expression sa kaliwang bahagi ay hindi nagbabago. Sa kaso ng isang kakaibang antas, ang tanda, siyempre, ay nagbabago.

3. Isaalang-alang natin ang isang mas kumplikadong kaso. Ito ay naiiba sa nauna dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit:

Ang kaliwang bahagi ay kapareho ng sa nakaraang problema. Magiging pareho ang larawan ng mga palatandaan:

Baka pareho lang ang sagot? Hindi! Ang solusyon ay idinagdag Ito ay dahil sa , parehong kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng zero - samakatuwid, ang puntong ito ay isang solusyon.

Sagot: .

Sa problema sa pagsusulit sa matematika, ang sitwasyong ito ay madalas na nakatagpo. Dito, nahuhulog ang mga aplikante sa isang bitag at nawalan ng puntos. Mag-ingat ka!

4. Paano kung ang numerator o denominator ay hindi maisasalik sa mga linear na salik? Isaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay na ito:

Ang square trinomial ay hindi maaaring i-factor: ang discriminant ay negatibo, walang mga ugat. Ngunit ito ay mabuti! Nangangahulugan ito na ang tanda ng expression ay pareho para sa lahat, at partikular, ito ay positibo. Maaari mong basahin ang higit pa tungkol dito sa artikulo sa mga katangian ng isang quadratic function.

At ngayon maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng ating hindi pagkakapantay-pantay sa isang halaga na positibo para sa lahat. Dumating tayo sa isang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay:

Na madaling malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan.

Bigyang-pansin - hinati namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ayon sa halaga, na alam naming tiyak na positibo ito. Siyempre, sa pangkalahatang kaso, hindi mo dapat i-multiply o hatiin ang isang hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable na ang tanda ay hindi alam.

5 . Isaalang-alang ang isa pang hindi pagkakapantay-pantay, tila medyo simple:

Kaya gusto kong i-multiply ito ng . Ngunit matalino na kami, at hindi namin gagawin ito. Pagkatapos ng lahat, maaari itong maging positibo at negatibo. At alam namin na kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng negatibong halaga, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago.

Magkaiba kami ng pagkilos - kokolektahin namin ang lahat sa isang bahagi at dalhin ito sa isang karaniwang denominator. Ang zero ay mananatili sa kanang bahagi:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

At pagkatapos nito - naaangkop paraan ng pagitan.

Patuloy naming sinusuri ang mga paraan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable sa kanilang komposisyon. Napag-aralan na natin ang mga linear at quadratic inequalities, na mga espesyal na kaso ng rational inequalities. Sa artikulong ito, linawin namin kung anong uri ng mga hindi pagkakapantay-pantay ang makatwiran, sasabihin namin sa iyo kung anong mga uri ang nahahati sa kanila (integer at fractional). Pagkatapos nito, ipapakita namin kung paano lutasin ang mga ito nang tama, ibigay ang mga kinakailangang algorithm at pag-aralan ang mga partikular na problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ang konsepto ng mga makatwirang pagkakapantay-pantay

Kapag ang paksa ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinag-aralan sa paaralan, agad nilang kinukuha ang mga rational inequalities. Nakukuha at hinahasa nila ang mga kasanayan sa pagtatrabaho sa ganitong uri ng pagpapahayag. Bumuo tayo ng kahulugan ng konseptong ito:

Kahulugan 1

Ang rational inequality ay isang hindi pagkakapantay-pantay na may mga variable na naglalaman ng mga rational expression sa parehong bahagi.

Tandaan na ang kahulugan ay hindi nakakaapekto sa bilang ng mga variable sa anumang paraan, na nangangahulugan na maaaring magkaroon ng arbitraryong malaking bilang ng mga ito. Samakatuwid, ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay na may 1, 2, 3 o higit pang mga variable ay posible. Kadalasan, kailangang harapin ng isa ang mga expression na naglalaman lamang ng isang variable, mas madalas dalawa, at hindi pagkakapantay-pantay malaking dami ang mga variable ay karaniwang hindi isinasaalang-alang sa lahat sa loob ng balangkas ng kurso sa paaralan.

Kaya, matututuhan natin ang isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagtingin sa notasyon nito. Parehong sa kanan at sa kaliwang bahagi dapat itong magkaroon ng mga makatwirang ekspresyon. Narito ang ilang halimbawa:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

At narito ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng form 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Ang lahat ng rational inequalities ay nahahati sa integer at fractional.

Kahulugan 2

Ang isang integer rational equality ay binubuo ng integer rational expression (sa parehong bahagi).

Kahulugan 3

Fractionally rational equality- ito ay isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng fractional expression sa isa o pareho ng mga bahagi nito.

Halimbawa, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 at 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 ay fractional rational at 0 .5 x ≤ 3 (2 − 5 y) at 1: x + 3 > 0- buo.

Nasuri namin kung ano ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay at natukoy ang kanilang mga pangunahing uri. Maaari tayong magpatuloy sa isang pangkalahatang-ideya kung paano lutasin ang mga ito.

Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng mga solusyon sa isang integer na rational inequality r(x)< s (x) , na kinabibilangan lamang ng isang variable x . Kung saan r(x) at s(x) ay anumang buo mga rational na numero o mga ekspresyon, at ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring iba. Upang malutas ang gawaing ito, kailangan nating baguhin ito at makakuha ng katumbas na pagkakapantay-pantay.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng paglipat ng expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa. Nakukuha namin ang sumusunod:

ng anyong r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

Alam natin yan r(x) − s(x) ay magiging isang integer na halaga, at anumang integer na expression ay maaaring ma-convert sa isang polynomial. Magtransform tayo r(x) − s(x) sa h(x) . Ang expression na ito ay magiging isang magkaparehong polynomial. Isinasaalang-alang na ang r (x) − s (x) at h (x) ay may isang lugar pinahihintulutang halaga ang x ay pareho, maaari tayong pumunta sa mga hindi pagkakapantay-pantay h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , na magiging katumbas ng orihinal.

Kadalasan ang gayong simpleng pagbabago ay sapat na upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay, dahil ang resulta ay maaaring linear o parisukat na hindi pagkakapantay-pantay, na ang halaga ay madaling kalkulahin. Tingnan natin ang mga isyung ito.

Halimbawa 1

Kundisyon: lutasin ang isang integer rational inequality x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

Desisyon

Magsimula tayo sa pamamagitan ng paglilipat ng expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran na tanda.

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

Ngayon na nagawa na natin ang lahat ng polynomial sa kaliwa, maaari na tayong magpatuloy sa linear inequality 3 x − 2 ≤ 0, katumbas ng ibinigay sa kondisyon. Ang paglutas nito ay madali:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

Sagot: x ≤ 2 3 .

Halimbawa 2

Kundisyon: humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

Desisyon

Inilipat namin ang expression mula sa kaliwang bahagi patungo sa kanang bahagi at nagsasagawa ng karagdagang pagbabago gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon.

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

Bilang resulta ng aming mga pagbabago, nakakuha kami ng hindi pagkakapantay-pantay na magiging totoo para sa anumang mga halaga ng x, samakatuwid, ang anumang tunay na numero ay maaaring maging solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

Sagot: anumang tunay na numero.

Halimbawa 3

Kundisyon: lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

Desisyon

Hindi kami maglilipat ng anuman mula sa kanang bahagi, dahil mayroong 0 . Magsimula tayo kaagad sa pamamagitan ng pag-convert sa kaliwang bahagi sa isang polynomial:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

Nakakuha kami ng quadratic inequality na katumbas ng orihinal, na madaling malutas sa pamamagitan ng ilang mga pamamaraan. Gamitin natin ang graphical na pamamaraan.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga ugat ng square trinomial − 2 x 2 + 11 x + 6:

D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, 5, x u003d 6

Ngayon sa diagram ay minarkahan namin ang lahat ng kinakailangang mga zero. Dahil ang nangungunang coefficient ay mas mababa sa zero, ang mga sangay ng parabola sa graph ay titingin sa ibaba.

Kakailanganin namin ang isang parabola area na matatagpuan sa itaas ng abscissa axis, dahil mayroon kaming > sign sa hindi pagkakapantay-pantay. Ang nais na pagitan ay (− 0 , 5 , 6) , samakatuwid, ang hanay ng mga halaga na ito ang magiging solusyon na kailangan namin.

Sagot: (− 0 , 5 , 6) .

Marami pa mahirap na mga kaso kapag ang isang polynomial ng ikatlo o mas mataas na antas ay nakuha sa kaliwa. Upang malutas ang gayong hindi pagkakapantay-pantay, inirerekumenda na gamitin ang paraan ng agwat. Una naming kalkulahin ang lahat ng mga ugat ng polynomial h(x), na kadalasang ginagawa sa pamamagitan ng pag-factor ng polynomial.

Halimbawa 4

Kundisyon: magcompute (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .

Desisyon

Magsimula tayo, gaya ng dati, sa pamamagitan ng paglipat ng expression sa kaliwang bahagi, pagkatapos nito ay kinakailangan upang buksan ang mga bracket at bawasan ang mga katulad na termino.

(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

Bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo, nakakuha kami ng pagkakapantay-pantay na katumbas ng orihinal, sa kaliwa kung saan mayroong isang polynomial ng ikatlong antas. Inilapat namin ang paraan ng pagitan upang malutas ito.

Una, kinakalkula namin ang mga ugat ng polynomial, kung saan kailangan nating lutasin ang cubic equation x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Mayroon ba itong makatwirang mga ugat? Maaari lamang silang maging kabilang sa mga divisors ng libreng termino, i.e. sa mga numero ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Pinapalitan namin ang mga ito sa orihinal na equation at nalaman na ang mga numero 1, 2 at 3 ang magiging mga ugat nito.

Kaya ang polynomial x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 maaaring ilarawan bilang isang produkto (x − 1) (x − 2) (x − 3), at hindi pagkakapantay-pantay x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 maaaring iharap bilang (x − 1) (x − 2) (x − 3)< 0 . Sa ganitong uri ng hindi pagkakapantay-pantay, magiging mas madali para sa atin na matukoy ang mga palatandaan sa mga pagitan.

Susunod, ginagawa namin ang natitirang mga hakbang ng paraan ng agwat: gumuhit ng isang linya ng numero at mga puntos dito na may mga coordinate 1 , 2 , 3 . Hinahati nila ang tuwid na linya sa 4 na pagitan kung saan kinakailangan upang matukoy ang mga palatandaan. Inilalagay namin ang mga puwang ng isang minus, dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay may palatandaan < .

Kailangan lang nating isulat ang handa na sagot: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​​​.

Sagot: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Sa ilang mga kaso, gawin ang paglipat mula sa hindi pagkakapantay-pantay r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) hanggang h (x)< 0 (≤ , >, ≥), saan h(x)– ang isang polynomial na mas mataas sa 2 ay hindi naaangkop. Ito ay umaabot sa mga kaso kung saan mas madaling kumatawan sa r(x) − s(x) bilang isang produkto ng linear binomials at square trinomals kaysa sa pag-factor ng h(x) sa magkahiwalay na mga salik. Tingnan natin ang problemang ito.

Halimbawa 5

Kundisyon: humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

Desisyon

Nalalapat ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga integer. Kung ililipat namin ang expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa, buksan ang mga bracket at gawin ang pagbawas ng mga termino, makakakuha tayo x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

Ang paglutas ng gayong hindi pagkakapantay-pantay ay hindi madali, dahil kailangan mong hanapin ang mga ugat ng isang fourth-degree polynomial. Wala itong anumang makatwirang ugat (halimbawa, 1 , − 1 , 19 o − 19 hindi magkasya), at mahirap maghanap ng iba pang mga ugat. Kaya hindi natin magagamit ang pamamaraang ito.

Ngunit mayroon ding iba pang mga solusyon. Kung ililipat namin ang mga expression mula sa kanang bahagi ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay sa kaliwang bahagi, pagkatapos ay maaari naming gawin ang bracketing ng karaniwang kadahilanan x 2 − 2 x − 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x) − 19 .

Nakakuha kami ng hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng orihinal, at ang solusyon nito ay magbibigay sa amin ng kinakailangang sagot. Hanapin ang mga zero ng expression sa kaliwang bahagi, kung saan malulutas namin ang mga quadratic equation x 2 − 2 x − 1 = 0 at x 2 − 2 x − 19 = 0. Ang kanilang mga ugat ay 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Bumaling tayo sa pagkakapantay-pantay x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 , na maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan:

Ayon sa larawan, ang sagot ay - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Sagot: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Idinagdag namin na kung minsan ay hindi posible na mahanap ang lahat ng mga ugat ng isang polynomial h(x), samakatuwid, hindi namin ito maaaring katawanin bilang isang produkto ng linear binomials at square trinomals. Pagkatapos ay lutasin ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong h (x)< 0 (≤ , >, ≥) hindi natin, samakatuwid, imposible ring lutasin ang orihinal na rational inequality.

Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang mga fractionally rational inequalities ng form r (x)< s (x) (≤ , >, ≥), kung saan ang r (x) at s(x) ay mga makatwirang ekspresyon, ang x ay isang variable. Hindi bababa sa isa sa mga tinukoy na expression ay magiging fractional. Ang algorithm ng solusyon sa kasong ito ay ang mga sumusunod:

1. Tinutukoy namin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa variable x .
2. Inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa kaliwa, at ang nagresultang expression r(x) − s(x) kinakatawan bilang isang fraction. Samantala, saan p(x) at q(x) ay magiging mga integer na expression na mga produkto ng linear binomials, indecomposable square trinomals, pati na rin ang mga power na may natural na exponent.
3. Susunod, malulutas namin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan.
4. Ang huling hakbang ay upang ibukod ang mga puntos na nakuha sa panahon ng solusyon mula sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa x variable na tinukoy namin sa simula.

Ito ang algorithm para sa paglutas ng isang fractionally rational inequality. Karamihan sa mga ito ay malinaw, ang maliliit na paliwanag ay kinakailangan lamang para sa talata 2. Inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa at nakuha ang r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥), at pagkatapos ay kung paano ito dalhin sa form na p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

Una, tinutukoy namin kung ang isang ibinigay na pagbabago ay palaging maisasagawa. Sa teorya, palaging may ganitong posibilidad, dahil ang anumang makatwirang pagpapahayag ay maaaring ma-convert sa isang rational fraction. Narito mayroon kaming isang fraction na may mga polynomial sa numerator at denominator. Alalahanin ang pangunahing theorem ng algebra at Bezout's theorem at tukuyin na ang anumang polynomial ng nth degree na naglalaman ng isang variable ay maaaring gawing produkto ng linear binomials. Samakatuwid, sa teorya, maaari nating palaging baguhin ang expression sa ganitong paraan.

Sa pagsasagawa, ang pag-factor ng mga polynomial ay kadalasang isang mahirap na gawain, lalo na kung ang antas ay mas mataas sa 4. Kung hindi natin maisagawa ang pagpapalawak, hindi natin malulutas ang hindi pagkakapantay-pantay na ito, ngunit ang mga ganitong problema ay karaniwang hindi pinag-aaralan sa loob ng balangkas ng kurso sa paaralan.

Susunod, kailangan nating magpasya kung ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) katumbas ng r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) at sa orihinal. May posibilidad na ito ay maaaring maging hindi pantay.

Ang pagkakapantay-pantay ng hindi pagkakapantay-pantay ay masisiguro kapag ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga p(x)q(x) tumutugma sa saklaw ng expression r(x) − s(x). Pagkatapos ang huling talata ng mga tagubilin para sa paglutas ng mga fractionally rational inequalities ay hindi kailangang sundin.

Ngunit ang saklaw para sa p(x)q(x) maaaring mas malawak kaysa sa r(x) − s(x), halimbawa, sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga fraction. Ang isang halimbawa ay mula sa x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 hanggang x x - 1 x + 3 . O maaaring mangyari ito kapag nagdaragdag ng mga katulad na termino, halimbawa, dito:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 hanggang 1 x + 3

Para sa mga ganitong kaso, ang huling hakbang ng algorithm ay idinagdag. Sa pamamagitan ng pagpapatupad nito, aalisin mo ang mga extraneous na halaga ng variable na lumitaw dahil sa pagpapalawak ng hanay ng mga wastong halaga. Kumuha tayo ng ilang halimbawa para mas maging malinaw kung ano ang pinag-uusapan natin.

Halimbawa 6

Kundisyon: humanap ng mga solusyon sa rasyonal na pagkakapantay-pantay x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1 .

Desisyon

Kumilos kami ayon sa algorithm na ipinahiwatig sa itaas. Una, tinutukoy namin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Sa kasong ito, ito ay tinutukoy ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 , ang solusyon kung saan ay ang set (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

Pagkatapos nito, kailangan nating baguhin ito upang ito ay maginhawa upang ilapat ang paraan ng agwat. Una sa lahat, naghaharap kami algebraic fractions sa pinakamababang common denominator (x − 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

I-collapse namin ang expression sa numerator sa pamamagitan ng paglalapat ng formula ng parisukat ng kabuuan:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

Ang saklaw ng mga wastong halaga ng resultang expression ay (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) . Nakita natin na ito ay katulad ng isa na tinukoy para sa orihinal na pagkakapantay-pantay. Napagpasyahan namin na ang hindi pagkakapantay-pantay x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 ay katumbas ng orihinal, na nangangahulugan na hindi namin kailangan ang huling hakbang ng algorithm.

Ginagamit namin ang paraan ng pagitan:

Nakikita natin ang solusyon ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) , na magiging solusyon sa orihinal na rational inequality x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Sagot: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Halimbawa 7

Kundisyon: kalkulahin ang solusyon x + 3 x - 1-3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2-1 .

Desisyon

Tinutukoy namin ang lugar ng mga tinatanggap na halaga. Sa kaso ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, ito ay magiging katumbas ng lahat ng tunay na numero maliban sa − 2 , − 1 , 0 at 1 .

Inilipat namin ang mga expression mula sa kanang bahagi sa kaliwa:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Dahil sa resulta, isinusulat namin:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

Para sa expression - 1 x - 1, ang hanay ng mga wastong halaga ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero maliban sa isa. Nakikita namin na ang hanay ng mga halaga ay lumawak: − 2 , − 1 at 0 . Kaya, kailangan nating gawin ang huling hakbang ng algorithm.

Dahil nakarating na tayo sa hindi pagkakapantay-pantay - 1 x - 1 > 0 , maaari nating isulat ang katumbas nito na 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Ibinubukod namin ang mga puntos na hindi kasama sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng orihinal na pagkakapantay-pantay. Kailangan nating ibukod mula sa (− ∞ , 1) ang mga numerong − 2 , − 1 at 0 . Kaya, ang solusyon ng rational inequality x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 ay magiging mga value (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1, 0) ∪ (0 , 1) .

Sagot: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Sa konklusyon, nagbibigay kami ng isa pang halimbawa ng isang problema kung saan ang huling sagot ay nakasalalay sa hanay ng mga tinatanggap na halaga.

Halimbawa 8

Kundisyon: hanapin ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .

Desisyon

Ang lugar ng mga tinatanggap na halaga ng hindi pagkakapantay-pantay na tinukoy sa kondisyon ay tinutukoy ng system x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.

Ang sistemang ito ay walang solusyon dahil

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Nangangahulugan ito na ang orihinal na pagkakapantay-pantay 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 ay walang solusyon, dahil walang ganoong mga halaga ng variable kung saan ito gagawin magkaroon ng kahulugan.

Sagot: walang solusyon.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

At ngayon hindi lahat ay maaaring malutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Mas tiyak, hindi lamang lahat ay maaaring magpasya. Ilang tao ang makakagawa nito.
Klitschko

Ang araling ito ay magiging mahirap. Napakahirap na ang Pinili lamang ang makakarating sa dulo nito. Samakatuwid, bago basahin, inirerekumenda kong alisin ang mga kababaihan, pusa, buntis na bata at ...

Okay, ito ay talagang medyo simple. Ipagpalagay na pinagkadalubhasaan mo ang paraan ng agwat (kung hindi mo pa pinagkadalubhasaan - Inirerekumenda kong bumalik ka at magbasa) at natutunan kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $P\left(x \right) \gt 0$, kung saan ang $P\left(x \right)$ ay ilang polynomial o isang produkto ng polynomials.

Naniniwala ako na hindi magiging mahirap para sa iyo na lutasin, halimbawa, tulad ng isang laro (sa pamamagitan ng paraan, subukan ito para sa isang warm-up):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Ngayon pasimplehin natin ang gawain nang kaunti at isaalang-alang hindi lamang ang mga polynomial, ngunit ang tinatawag na rational fractions ng form:

kung saan ang $P\left(x \right)$ at $Q\left(x \right)$ ay magkaparehong polynomial ng anyong $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, o ang produkto ng naturang mga polynomial.

Ito ay magiging isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Ang pangunahing punto ay ang pagkakaroon ng variable na $x$ sa denominator. Halimbawa, narito ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\kaliwa(7x+1 \kanan)\kaliwa(11x+2 \kanan))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\kaliwa(3-x \kanan))^(2))\kaliwa(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

At ito ay hindi isang makatwiran, ngunit ang pinakakaraniwang hindi pagkakapantay-pantay, na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng agwat:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Sa hinaharap, sasabihin ko kaagad: mayroong hindi bababa sa dalawang paraan upang malutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, ngunit lahat ng mga ito sa isang paraan o iba pa ay nabawasan sa paraan ng mga pagitan na alam na natin. Samakatuwid, bago pag-aralan ang mga pamamaraang ito, alalahanin natin ang mga lumang katotohanan, kung hindi man ay walang kahulugan mula sa bagong materyal.

Ang kailangan mo nang malaman

Walang maraming mahahalagang katotohanan. Apat lang talaga ang kailangan natin.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami

Oo, oo: susundan nila tayo sa kabuuan kurikulum ng paaralan matematika. At sa unibersidad din. Mayroong kaunti sa mga formula na ito, ngunit kailangan lang namin ang mga sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(a+b \kanan); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\kaliwa(a+b \kanan)\kaliwa(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\kanan); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\kanan). \\ \end(align)\]

Bigyang-pansin ang huling dalawang formula - ito ang kabuuan at pagkakaiba ng mga cube (at hindi ang kubo ng kabuuan o pagkakaiba!). Madaling tandaan ang mga ito kung mapapansin mo na ang sign sa unang bracket ay kapareho ng sign sa orihinal na expression, at sa pangalawang bracket ito ay kabaligtaran ng sign sa orihinal na expression.

Linear na equation

Ito ang pinaka simpleng equation ng anyong $ax+b=0$, kung saan ang $a$ at $b$ ay regular na mga numero, at $a\ne 0$. Ang equation na ito ay madaling lutasin:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Pansinin kong may karapatan tayong hatiin sa coefficient na $a$, dahil $a\ne 0$. Ang pangangailangang ito ay lubos na lohikal, dahil sa $a=0$ makukuha natin ito:

Una, walang $x$ variable sa equation na ito. Ito, sa pangkalahatan, ay hindi dapat malito sa atin (nangyayari ito, sabihin nating, sa geometry, at medyo madalas), ngunit hindi na tayo isang linear equation.

Pangalawa, ang solusyon ng equation na ito ay nakasalalay lamang sa coefficient $b$. Kung zero din ang $b$, ang equation natin ay $0=0$. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay palaging totoo; kaya ang $x$ ay anumang numero (karaniwang isinusulat bilang $x\in \mathbb(R)$). Kung ang coefficient na $b$ ay hindi sero, kung gayon ang pagkakapantay-pantay na $b=0$ ay hindi kailanman nasisiyahan, ibig sabihin. walang sagot (nakasulat $x\in \varnothing $ at basahin ang "solution set is empty").

Upang maiwasan ang lahat ng mga kumplikadong ito, ipinapalagay lang namin na $a\ne 0$, na hindi sa anumang paraan ay naghihigpit sa amin mula sa karagdagang pagmumuni-muni.

Quadratic equation

Hayaan akong ipaalala sa iyo na ito ay tinatawag na isang quadratic equation:

Dito sa kaliwa ay isang polynomial ng pangalawang degree, at muli $a\ne 0$ (kung hindi, sa halip na isang quadratic equation, makakakuha tayo ng isang linear). Ang mga sumusunod na equation ay nalulutas sa pamamagitan ng discriminant:

1. Kung $D \gt 0$, makakakuha tayo ng dalawang magkaibang ugat;
2. Kung $D=0$, kung gayon ang ugat ay magiging isa, ngunit sa pangalawang multiplicity (anong uri ng multiplicity ito at kung paano ito isasaalang-alang - higit pa sa na mamaya). O maaari nating sabihin na ang equation ay may dalawang magkatulad na ugat;
3. Para sa $D \lt 0$ ay walang mga ugat, at ang tanda ng polynomial na $a((x)^(2))+bx+c$ para sa alinmang $x$ ay tumutugma sa tanda ng coefficient $a $. Ito, sa pamamagitan ng paraan, ay isang napaka-kapaki-pakinabang na katotohanan, na sa ilang kadahilanan ay nakalimutan na sabihin sa mga klase ng algebra.

Ang mga ugat mismo ay kinakalkula ayon sa kilalang formula:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Kaya, sa pamamagitan ng paraan, ang mga paghihigpit sa discriminant. Kung tutuusin Kuwadrado na ugat mula sa isang negatibong numero ay hindi umiiral. Tungkol sa mga ugat, maraming mga mag-aaral ang may kakila-kilabot na gulo sa kanilang mga ulo, kaya partikular kong isinulat buong aralin: ano ang ugat sa algebra at kung paano ito kalkulahin - Lubos kong inirerekumenda ang pagbabasa.:)

Mga operasyon na may mga rational fraction

Lahat ng nakasulat sa itaas, alam mo na kung pinag-aralan mo ang paraan ng mga pagitan. Ngunit ang susuriin natin ngayon ay walang mga analogue sa nakaraan - ito ay isang ganap na bagong katotohanan.

Kahulugan. Ang rational fraction ay isang pagpapahayag ng anyo

\[\frac(P\kaliwa(x \kanan))(Q\kaliwa(x \kanan))\]

kung saan ang $P\left(x \right)$ at $Q\left(x \right)$ ay mga polynomial.

Malinaw na madaling makakuha ng hindi pagkakapantay-pantay mula sa naturang fraction - sapat lamang na iugnay ang sign na "mas malaki kaysa" o "mas mababa sa" sa kanan. At kaunti pa ay makikita natin na ang paglutas ng mga naturang problema ay isang kasiyahan, ang lahat ay napaka-simple doon.

Nagsisimula ang mga problema kapag mayroong ilang mga naturang fraction sa isang expression. Kailangang bawasan ang mga ito sa isang karaniwang denominator - at ito ay sa sandaling ito na ito ay pinapayagan malaking bilang ng nakakahiyang mga pagkakamali.

Samakatuwid, upang matagumpay na malutas ang mga makatwirang equation, kinakailangan na matatag na makabisado ang dalawang kasanayan:

1. Factorization ng polynomial $P\left(x \right)$;
2. Sa totoo lang, ang pagdadala ng mga fraction sa isang common denominator.

Paano i-factorize ang isang polynomial? Napakasimple. Hayaan tayong magkaroon ng polynomial ng form

I-equate natin ito sa zero. Nakukuha namin ang $n$-th degree equation:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Sabihin nating nalutas namin ang equation na ito at nakuha ang mga ugat na $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (huwag mag-alala: sa karamihan ng mga kaso ay walang higit sa dalawa sa mga ugat na ito) . Sa kasong ito, ang aming orihinal na polynomial ay maaaring muling isulat tulad nito:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\kaliwa(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Iyon lang! Pakitandaan: ang nangungunang koepisyent na $((a)_(n))$ ay hindi nawala kahit saan - ito ay magiging isang hiwalay na kadahilanan sa harap ng mga bracket, at kung kinakailangan, maaari itong ipasok sa alinman sa mga bracket na ito (mga palabas sa pagsasanay na may $((a)_ (n))\ne \pm 1$ halos palaging may mga fraction sa mga ugat).

Gawain. Pasimplehin ang expression:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Desisyon. Una, tingnan natin ang mga denominator: lahat sila ay linear binomials, at walang dapat i-factor dito. Kaya't i-factorize natin ang mga numerator:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\kaliwa(x-\frac(3)(2) \kanan)\kaliwa(x-1 \kanan)=\kaliwa(2x- 3\kanan)\kaliwa(x-1\kanan); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\kaliwa(x+2 \kanan)\kaliwa(x-\frac(2)(5) \kanan)=\kaliwa(x +2 \right)\left(2-5x \right). \\\end(align)\]

Pakitandaan: sa pangalawang polynomial, ang senior coefficient "2", alinsunod sa aming scheme, unang lumitaw sa harap ng bracket, at pagkatapos ay kasama sa unang bracket, dahil ang isang fraction ay lumabas doon.

Ang parehong bagay ay nangyari sa ikatlong polynomial, doon lamang ang pagkakasunud-sunod ng mga termino ay nalilito din. Gayunpaman, ang koepisyent na "−5" ay natapos na naisama sa pangalawang bracket (tandaan: maaari kang magpasok ng isang kadahilanan sa isa at isang bracket lamang!), na nagligtas sa amin mula sa abala na nauugnay sa mga fractional na ugat.

Tulad ng para sa unang polynomial, ang lahat ay simple doon: ang mga ugat nito ay hinahanap alinman sa karaniwang paraan sa pamamagitan ng discriminant, o gamit ang Vieta theorem.

Bumalik tayo sa orihinal na expression at muling isulat ito sa mga numerator na nabulok sa mga kadahilanan:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \kanan)-\kaliwa(x-1 \kanan)-\kaliwa(2-5x \kanan)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrix)\]

Sagot: $5x+4$.

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Medyo 7th-8th grade math at ayun na. Ang punto ng lahat ng pagbabago ay gawing simple at madaling gamitin ang isang kumplikado at nakakatakot na expression.

Gayunpaman, hindi ito palaging magiging kaso. Kaya ngayon ay isasaalang-alang natin ang isang mas malubhang problema.

Ngunit una, alamin natin kung paano dalhin ang dalawang fraction sa isang karaniwang denominator. Ang algorithm ay napaka-simple:

1. I-factor ang parehong denominator;
2. Isaalang-alang ang unang denominator at idagdag dito ang mga salik na nasa pangalawang denominator, ngunit hindi sa una. Ang magreresultang produkto ang magiging common denominator;
3. Alamin kung anong mga kadahilanan ang kulang sa bawat orihinal na fraction upang ang mga denominator ay maging pantay sa karaniwan.

Marahil ang algorithm na ito ay tila sa iyo ay isang teksto lamang kung saan mayroong "maraming mga titik". Kaya tingnan natin ang isang partikular na halimbawa.

Gawain. Pasimplehin ang expression:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \kanan)\]

Desisyon. Ang ganitong mga malalaking gawain ay pinakamahusay na nalutas sa mga bahagi. Isulat natin kung ano ang nasa unang bracket:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Hindi tulad ng nakaraang problema, dito ang mga denominador ay hindi gaanong simple. I-factorize natin ang bawat isa sa kanila.

Ang square trinomial na $((x)^(2))+2x+4$ ay hindi maaaring i-factor dahil ang equation na $((x)^(2))+2x+4=0$ ay walang mga ugat (ang discriminant ay negatibo) . Hinahayaan namin itong hindi nagbabago.

Ang pangalawang denominator, ang cubic polynomial $((x)^(3))-8$, sa mas malapit na pagsusuri ay ang pagkakaiba ng mga cube at madaling mabulok gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x) ^(2))+2x+4 \kanan)\]

Wala nang iba pang maaaring i-factor, dahil ang unang bracket ay naglalaman ng linear binomial, at ang pangalawa ay isang construction na pamilyar sa amin, na walang tunay na mga ugat.

Sa wakas, ang pangatlong denominator ay isang linear na binomial na hindi mabubulok. Kaya, ang aming equation ay kukuha ng anyo:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Halatang halata na ang $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ ang magiging common denominator, at upang bawasan ang lahat ng fraction dito, ikaw kailangang i-multiply ang unang fraction sa $\left(x-2 \right)$, at ang huli sa $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Pagkatapos ay nananatili lamang na dalhin ang mga sumusunod:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ kanan))+\frac(((x)^(2))+8)(\kaliwa(x-2 \right)\kaliwa(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \kanan))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x)^(2))+2x+4 \kanan))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ kaliwa(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(matrix)\]

Bigyang-pansin ang pangalawang linya: kapag ang denominator ay karaniwan na, i.e. sa halip na tatlong magkahiwalay na praksyon, sumulat kami ng isang malaki, hindi mo dapat agad na alisin ang mga bracket. Mas mainam na magsulat ng dagdag na linya at tandaan na, sabihin nating, mayroong isang minus bago ang ikatlong bahagi - at hindi ito pupunta kahit saan, ngunit "mag-hang" sa numerator sa harap ng bracket. Ito ay magliligtas sa iyo ng maraming pagkakamali.

Buweno, sa huling linya ay kapaki-pakinabang na i-factor ang numerator. Bukod dito, ito ay isang eksaktong parisukat, at ang mga pinaikling formula ng pagpaparami ay muling tumulong sa amin. Meron kami:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ngayon ay haharapin natin ang pangalawang bracket sa parehong paraan. Dito ako ay magsusulat lamang ng isang hanay ng mga pagkakapantay-pantay:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan) ). \\ \end(matrix)\]

Bumalik kami sa orihinal na problema at tinitingnan ang produkto:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))=\frac(1)(x+2)\]

Sagot: \[\frac(1)(x+2)\].

Ang kahulugan ng problemang ito ay kapareho ng nauna: upang ipakita kung gaano karaming mga makatwirang ekspresyon ang maaaring gawing simple kung lapitan mo ang kanilang pagbabago nang matalino.

At ngayon, kapag alam mo na ang lahat ng ito, lumipat tayo sa pangunahing paksa ng aralin ngayon - paglutas ng mga fractional rational inequalities. Bukod dito, pagkatapos ng naturang paghahanda, ang mga hindi pagkakapantay-pantay mismo ay mag-click tulad ng mga mani. :)

Ang pangunahing paraan upang malutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay

Mayroong hindi bababa sa dalawang diskarte sa paglutas ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Ngayon ay isasaalang-alang natin ang isa sa mga ito - ang isa na karaniwang tinatanggap sa kurso sa matematika ng paaralan.

Ngunit una, tandaan natin ang isang mahalagang detalye. Ang lahat ng hindi pagkakapantay-pantay ay nahahati sa dalawang uri:

1. Mahigpit: $f\left(x \right) \gt 0$ o $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Hindi mahigpit: $f\left(x \right)\ge 0$ o $f\left(x \right)\le 0$.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng pangalawang uri ay madaling nabawasan sa una, pati na rin ang equation:

Ang maliit na "dagdag" na ito $f\left(x \right)=0$ ay humahantong sa isang hindi kasiya-siyang bagay tulad ng mga punan na puntos - nakilala namin sila pabalik sa paraan ng pagitan. Kung hindi, walang pagkakaiba sa pagitan ng mahigpit at hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya suriin natin ang unibersal na algorithm:

1. Kolektahin ang lahat ng di-zero na elemento sa isang bahagi ng tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, sa kaliwa;
2. Dalhin ang lahat ng mga fraction sa isang karaniwang denominator (kung mayroong ilang mga naturang fraction), magdala ng mga katulad na mga. Pagkatapos, kung maaari, i-factorize sa numerator at denominator. Sa isang paraan o iba pa, makakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng form na $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, kung saan ang tik ay ang inequality sign.
3. I-equate ang numerator sa zero: $P\left(x \right)=0$. Lutasin namin ang equation na ito at makuha ang mga ugat $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Pagkatapos ay kailangan namin na ang denominator ay hindi katumbas ng zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Siyempre, sa esensya, kailangan nating lutasin ang equation na $Q\left(x \right)=0$, at makuha natin ang mga ugat na $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (sa mga totoong problema ay halos hindi hihigit sa tatlong ganoong ugat).
4. Minarkahan namin ang lahat ng mga ugat na ito (parehong may at walang mga asterisk) sa isang linya ng numero, at ang mga ugat na walang mga bituin ay pininturahan, at ang mga may mga bituin ay pinupunch out.
5. Inilalagay namin ang mga plus at minus na palatandaan, piliin ang mga agwat na kailangan namin. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay may anyo na $f\left(x \right) \gt 0$, ang sagot ay ang mga pagitan na minarkahan ng "plus". Kung $f\left(x \right) \lt 0$, pagkatapos ay titingnan namin ang mga pagitan na may "minuses".

Ipinapakita ng pagsasanay na ang mga puntos 2 at 4 ay nagdudulot ng pinakamalaking kahirapan - mga karampatang pagbabago at tamang pag-aayos ng mga numero sa pataas na pagkakasunud-sunod. Well, sa huling hakbang, maging lubhang maingat: palagi kaming naglalagay ng mga palatandaan batay sa ang huling hindi pagkakapantay-pantay na isinulat bago lumipat sa mga equation. Ito ay isang pangkalahatang tuntunin na minana mula sa paraan ng pagitan.

So, may scheme. Practice tayo.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Desisyon. Bago tayo mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right) \lt 0$. Malinaw, ang mga puntos 1 at 2 mula sa aming pamamaraan ay nakumpleto na: ang lahat ng mga elemento ng hindi pagkakapantay-pantay ay nakolekta sa kaliwa, walang kailangang dalhin sa isang karaniwang denominator. Kaya't magpatuloy tayo sa ikatlong punto.

Itakda ang numerator sa zero:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(align)\]

At ang denominator:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

Sa lugar na ito, maraming tao ang natigil, dahil, sa teorya, kailangan mong isulat ang $x+7\ne 0$, ayon sa hinihingi ng ODZ (hindi mo maaaring hatiin sa zero, iyon lang). Ngunit pagkatapos ng lahat, sa hinaharap ay ilalabas namin ang mga puntos na nagmula sa denominator, kaya hindi mo dapat gawing kumplikado muli ang iyong mga kalkulasyon - magsulat ng isang pantay na tanda sa lahat ng dako at huwag mag-alala. Walang magbabawas ng puntos para dito. :)

Pang-apat na punto. Markahan namin ang nakuha na mga ugat sa linya ng numero:

Lahat ng puntos ay nabutas dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit

Tandaan: lahat ng puntos ay nabutas dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. At dito hindi na mahalaga: ang mga puntong ito ay nagmula sa numerator o mula sa denominator.

Well, tingnan ang mga palatandaan. Kunin ang anumang numero $((x)_(0)) \gt 3$. Halimbawa, $((x)_(0))=100$ (ngunit maaari kang kumuha ng $((x)_(0))=3.1$ o $((x)_(0)) = 1\000\000$). Nakukuha namin:

Kaya, sa kanan ng lahat ng mga ugat mayroon kaming isang positibong lugar. At kapag dumadaan sa bawat ugat, nagbabago ang tanda (hindi ito palaging magiging kaso, ngunit higit pa sa susunod). Samakatuwid, nagpapatuloy kami sa ikalimang punto: inilalagay namin ang mga palatandaan at pinipili ang tama:

Bumalik tayo sa huling hindi pagkakapantay-pantay, na bago malutas ang mga equation. Sa totoo lang, ito ay kasabay ng orihinal, dahil hindi kami nagsagawa ng anumang pagbabago sa gawaing ito.

Dahil kinakailangan upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right) \lt 0$, nilagyan ko ng shade ang interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - ito lang ang minarkahan ng minus sign. Ito ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-7;3 \right)$

yun lang! Mahirap ba? Hindi, hindi mahirap. Sa katunayan, ito ay isang madaling gawain. Ngayon, gawing kumplikado ng kaunti ang misyon at isaalang-alang ang isang mas "fancy" na hindi pagkakapantay-pantay. Kapag nilulutas ito, hindi na ako magbibigay ng mga detalyadong kalkulasyon - balangkasin ko lang ang mga pangunahing punto. Sa pangkalahatan, aayusin namin ito sa paraan kung paano namin ito inaayos pansariling gawain o pagsusulit. :)

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(\kaliwa(7x+1 \kanan)\kaliwa(11x+2 \kanan))(13x-4)\ge 0\]

Desisyon. Ito ay hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng form na $f\left(x \right)\ge 0$. Ang lahat ng hindi zero na elemento ay kinokolekta sa kaliwa, walang iba't ibang denominator. Lumipat tayo sa mga equation.

Numerator:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Denominator:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Hindi ko alam kung anong uri ng pervert ang bumubuo sa problemang ito, ngunit ang mga ugat ay hindi naging maganda: magiging mahirap ayusin ang mga ito sa isang linya ng numero. At kung ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw sa ugat na $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (ito ang tanging positibong numero - ito ay nasa kanan), kung gayon $ ((x)_(1))=-(1)/(7)\;$ at $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ ay nangangailangan ng karagdagang pag-aaral: alin mas malaki ba

Maaari mong malaman ito, halimbawa:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Sana hindi na kailangang ipaliwanag kung bakit ang numeric fraction na $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Kung kinakailangan, inirerekumenda kong tandaan kung paano gumawa ng mga fraction.

At minarkahan namin ang lahat ng tatlong ugat sa linya ng numero:

Ang mga puntos mula sa numerator ay may kulay, mula sa denominator ay pinutol ang mga ito

Naglalagay kami ng mga karatula. Halimbawa, maaari mong kunin ang $((x)_(0))=1$ at alamin ang sign sa puntong ito:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Ang huling hindi pagkakapantay-pantay bago ang mga equation ay $f\left(x \right)\ge 0$, kaya interesado kami sa plus sign.

Nakakuha kami ng dalawang set: ang isa ay isang ordinaryong segment, at ang isa ay isang bukas na sinag sa linya ng numero.

Sagot: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Isang mahalagang tala tungkol sa mga numerong pinapalitan namin upang malaman ang sign sa pinakakanang pagitan. Hindi kinakailangang palitan ang isang numerong malapit sa pinakakanang ugat. Maaari kang kumuha ng bilyun-bilyon o kahit na "plus-infinity" - sa kasong ito, ang tanda ng polynomial sa bracket, numerator o denominator ay tinutukoy lamang ng tanda ng nangungunang koepisyent.

Tingnan natin muli ang function na $f\left(x \right)$ mula sa huling hindi pagkakapantay-pantay:

Naglalaman ito ng tatlong polynomial:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\kaliwa(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(align)\]

Ang lahat ng mga ito ay mga linear na binomial, at lahat ng mga ito ay may mga positibong coefficient (mga numero 7, 11 at 13). Samakatuwid, kapag pinapalitan ang napaka malalaking numero ang mga polynomial mismo ay magiging positibo din. :)

Maaaring mukhang masyadong kumplikado ang panuntunang ito, ngunit sa una lang, kapag pinag-aralan natin ang napakadaling gawain. Sa malubhang hindi pagkakapantay-pantay, ang pagpapalit ng "plus-infinity" ay magbibigay-daan sa amin na malaman ang mga palatandaan nang mas mabilis kaysa sa karaniwang $((x)_(0))=100$.

Haharapin natin ang mga ganitong hamon sa lalong madaling panahon. Ngunit una, tingnan natin ang isang alternatibong paraan upang malutas ang mga fractional rational inequalities.

Alternatibong paraan

Ang pamamaraan na ito ay iminungkahi sa akin ng isa sa aking mga mag-aaral. Ako mismo ay hindi kailanman gumamit nito, ngunit ipinakita ng pagsasanay na talagang mas maginhawa para sa maraming mga mag-aaral na lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa ganitong paraan.

Kaya, ang orihinal na data ay pareho. Kailangan nating lutasin ang isang fractional rational inequality:

\[\frac(P\kaliwa(x \kanan))(Q\kaliwa(x \kanan)) \gt 0\]

Isipin natin: bakit ang polynomial na $Q\left(x \right)$ ay "mas masahol" kaysa sa polynomial na $P\left(x \right)$? Bakit kailangan nating isaalang-alang ang magkakahiwalay na grupo ng mga ugat (may at walang asterisk), isipin ang tungkol sa mga punched point, atbp.? Ito ay simple: ang isang fraction ay may domain ng kahulugan, ayon sa kung saan ang fraction ay may katuturan lamang kapag ang denominator nito ay iba sa zero.

Kung hindi, walang pagkakaiba sa pagitan ng numerator at denominator: itinutumbas din natin ito sa zero, hanapin ang mga ugat, pagkatapos ay markahan ang mga ito sa linya ng numero. Kaya bakit hindi palitan ang fractional bar (sa katunayan, ang division sign) ng karaniwang multiplikasyon, at isulat ang lahat ng mga kinakailangan ng DHS bilang isang hiwalay na hindi pagkakapantay-pantay? Halimbawa, tulad nito:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Pakitandaan: ang diskarte na ito ay magpapahintulot sa iyo na bawasan ang problema sa paraan ng mga agwat, ngunit hindi nito gagawing kumplikado ang solusyon sa lahat. Pagkatapos ng lahat, gayon pa man, itutumbas natin ang polynomial na $Q\left(x \right)$ sa zero.

Tingnan natin kung paano ito gumagana sa mga totoong gawain.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Desisyon. Kaya, lumipat tayo sa paraan ng agwat:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa elementarya. Itakda lamang ang bawat panaklong sa zero:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

Sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, ang lahat ay simple din:

Minarkahan namin ang mga puntos na $((x)_(1))$ at $((x)_(2))$ sa totoong linya. Lahat sila ay nabutas dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit:

Ang tamang punto ay nabutas ng dalawang beses. Ito ay mabuti.

Bigyang-pansin ang puntong $x=11$. Ito ay lumalabas na ito ay "dalawang beses na gouged out": sa isang banda, nabubulok natin ito dahil sa tindi ng hindi pagkakapantay-pantay, sa kabilang banda, dahil sa karagdagang kinakailangan ng ODZ.

Sa anumang kaso, ito ay magiging isang punctured point lamang. Samakatuwid, naglalagay kami ng mga palatandaan para sa hindi pagkakapantay-pantay na $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - ang huling nakita namin bago namin simulan ang paglutas ng mga equation:

Interesado kami sa mga positibong rehiyon, dahil nilulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right) \gt 0$, at kukulayan namin ang mga ito. Ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Gamit ang solusyon na ito bilang isang halimbawa, nais kong balaan ka laban sa isang karaniwang pagkakamali sa mga baguhang estudyante. Namely: hindi kailanman buksan ang mga panaklong sa hindi pagkakapantay-pantay! Sa kabaligtaran, subukang i-factor ang lahat - ito ay gawing simple ang solusyon at i-save ka ng maraming mga problema.

Ngayon subukan natin ang isang bagay na mas mahirap.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(\kaliwa(2x-13 \kanan)\kaliwa(12x-9 \kanan))(15x+33)\le 0\]

Desisyon. Ito ay isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng form na $f\left(x \right)\le 0$, kaya dito kailangan mong maingat na subaybayan ang mga punan na puntos.

Lumipat tayo sa paraan ng pagitan:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Lumipat tayo sa equation:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6.5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow ((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

Isinasaalang-alang namin ang karagdagang kinakailangan:

Markahan namin ang lahat ng nakuha na mga ugat sa linya ng numero:

Kung ang isang punto ay parehong napunch out at pinunan sa parehong oras, ito ay itinuturing na punch out.

Muli, dalawang puntos ang "nagpapatong" sa isa't isa - ito ay normal, ito ay palaging magiging gayon. Mahalaga lamang na maunawaan na ang isang punto na minarkahan bilang punched out at napunan ay talagang isang punched out point. Yung. Ang "Gouging" ay isang mas malakas na aksyon kaysa sa "pagpinta".

Ito ay ganap na lohikal, dahil sa pamamagitan ng pagbubutas ay minarkahan namin ang mga puntos na nakakaapekto sa pag-sign ng function, ngunit hindi sila mismo ang lumahok sa sagot. At kung sa isang punto ang numero ay hindi na umayon sa amin (halimbawa, hindi ito nahuhulog sa ODZ), tatanggalin namin ito mula sa pagsasaalang-alang hanggang sa pinakadulo ng gawain.

Sa pangkalahatan, itigil ang pamimilosopo. Inaayos namin ang mga palatandaan at pintura sa mga pagitan na may marka ng minus sign:

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

At muli nais kong iguhit ang iyong pansin sa equation na ito:

\[\kaliwa(2x-13 \kanan)\kaliwa(12x-9 \kanan)\kaliwa(15x+33 \kanan)=0\]

Muli: huwag kailanman buksan ang mga panaklong sa gayong mga equation! Pinahihirapan mo lang ang sarili mo. Tandaan: ang produkto ay zero kapag kahit isa sa mga salik ay zero. Dahil dito, ang equation na ito ay "nahuhulog" lamang sa ilang mas maliit, na nalutas namin sa nakaraang problema.

Isinasaalang-alang ang multiplicity ng mga ugat

Mula sa mga nakaraang problema, madaling makita na ang mga hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ang pinakamahirap, dahil sa kanila kailangan mong subaybayan ang mga punong puntos.

Ngunit mayroong isang mas malaking kasamaan sa mundo - ito ay maraming mga ugat ng hindi pagkakapantay-pantay. Narito ito ay kinakailangan upang sundin ang hindi ilang mga punong punto doon - dito ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ay maaaring hindi biglang magbago kapag dumaan sa parehong mga puntong ito.

Hindi pa namin nasasaalang-alang ang anumang bagay na tulad nito sa araling ito (bagaman ang isang katulad na problema ay madalas na nakatagpo sa paraan ng pagitan). Kaya't ipakilala natin ang isang bagong kahulugan:

Kahulugan. Ang ugat ng equation na $((\left(x-a \right))^(n))=0$ ay katumbas ng $x=a$ at tinatawag na ugat ng $n$th multiplicity.

Sa totoo lang, hindi kami partikular na interesado eksaktong halaga multiplicity. Ang tanging mahalagang bagay ay kung ang mismong numerong $n$ ay pantay o kakaiba. dahil:

1. Kung ang $x=a$ ay isang ugat ng kahit multiplicity, kung gayon ang tanda ng function ay hindi nagbabago kapag dumadaan dito;
2. At kabaliktaran, kung ang $x=a$ ay ugat ng kakaibang multiplicity, magbabago ang sign ng function.

Ang isang espesyal na kaso ng isang ugat ng kakaibang multiplicity ay ang lahat ng mga nakaraang problema na isinasaalang-alang sa araling ito: doon ang multiplicity ay katumbas ng isa sa lahat ng dako.

At higit pa. Bago natin simulan ang paglutas ng mga problema, nais kong ituon ang iyong pansin sa isang kapitaganan na tila halata sa makaranasang estudyante, ngunit nagtutulak sa maraming baguhan sa pagkahilo. Namely:

Ang multiplicity root na $n$ ay nangyayari lamang kapag ang buong expression ay nakataas sa ganitong kapangyarihan: $((\left(x-a \right))^(n))$, at hindi $\left(((x)^( n) )-a\kanan)$.

Muli: ang bracket na $((\left(x-a \right))^(n))$ ay nagbibigay sa atin ng root $x=a$ ng multiplicity $n$, ngunit ang bracket na $\left(((x)^( n)) -a \right)$ o, gaya ng madalas na nangyayari, ang $(a-((x)^(n)))$ ay nagbibigay sa atin ng ugat (o dalawang ugat, kung $n$ ay pantay) ng unang multiplicity , anuman ang katumbas ng $n$.

Ihambing:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Ang lahat ay malinaw dito: ang buong bracket ay itinaas sa ikalimang kapangyarihan, kaya sa output nakuha namin ang ugat ng ikalimang degree. At ngayon:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Mayroon kaming dalawang ugat, ngunit pareho sa kanila ang unang multiplicity. O narito ang isa pa:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

At huwag malito sa ikasampung antas. Ang pangunahing bagay ay ang 10 ay isang even na numero, kaya mayroon tayong dalawang ugat sa output, at pareho silang muli ng unang multiplicity.

Sa pangkalahatan, mag-ingat: ang multiplicity ay nangyayari lamang kapag nalalapat ang degree sa buong bracket, hindi lang sa variable.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(((x)^(2))((\kaliwa(6-x \kanan))^(3))\kaliwa(x+4 \kanan))(((\kaliwa(x+7) \kanan))^(5)))\ge 0\]

Desisyon. Subukan nating lutasin ito alternatibong paraan- sa pamamagitan ng paglipat mula sa partikular sa produkto:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\tama.\]

Nakikitungo kami sa unang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng agwat:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

Bukod pa rito, nalulutas namin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay. Sa katunayan, nalutas na namin ito, ngunit upang ang mga tagasuri ay hindi makahanap ng kasalanan sa solusyon, mas mahusay na lutasin ito muli:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Tandaan na walang multiplicity sa huling hindi pagkakapantay-pantay. Sa katunayan: anong pagkakaiba ang ginagawa kung gaano karaming beses na i-cross out ang puntong $x=-7$ sa linya ng numero? Hindi bababa sa isang beses, hindi bababa sa limang beses - ang resulta ay magiging pareho: isang punctured point.

Tandaan natin ang lahat ng nakuha natin sa linya ng numero:

Gaya ng sinabi ko, ang $x=-7$ point ay tuluyang mapupuksa. Ang mga multiplicity ay isinaayos batay sa solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng agwat.

Ito ay nananatiling ilagay ang mga palatandaan:

Dahil ang puntong $x=0$ ay isang ugat ng pantay na multiplicity, ang tanda ay hindi nagbabago kapag dumadaan dito. Ang natitirang mga puntos ay may kakaibang multiplicity, at lahat ay simple sa kanila.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Bigyang-pansin muli ang $x=0$. Dahil sa kahit na multiplicity, lumitaw ang isang kawili-wiling epekto: lahat sa kaliwa nito ay pininturahan, sa kanan - din, at ang punto mismo ay ganap na pininturahan.

Bilang resulta, hindi ito kailangang ihiwalay kapag nagre-record ng tugon. Yung. hindi mo kailangang magsulat ng isang bagay tulad ng $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (bagama't sa pormal na ganoong sagot ay magiging tama rin). Sa halip, agad naming isinusulat ang $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Ang ganitong mga epekto ay posible lamang para sa mga ugat ng kahit multiplicity. At sa susunod na gawain, makakatagpo tayo ng kabaligtaran na "pagpapakita" ng epektong ito. handa na?

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \kaliwa(7x-10-((x)^(2)) \kanan))\ge 0\]

Desisyon. Sa pagkakataong ito, susundin natin ang karaniwang pamamaraan. Itakda ang numerator sa zero:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

At ang denominator:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Dahil nilulutas natin ang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f\left(x \right)\ge 0$, ang mga ugat mula sa denominator (na may mga asterisk) ay puputulin, at ang mga mula sa numerator ay ipininta sa ibabaw. .

Inaayos namin ang mga palatandaan at hinaplos ang mga lugar na minarkahan ng "plus":

Ang puntong $x=3$ ay nakahiwalay. Ito ay bahagi ng sagot

Bago isulat ang huling sagot, tingnang mabuti ang larawan:

1. Ang puntong $x=1$ ay may pantay na multiplicity, ngunit mismong nabutas. Samakatuwid, ito ay kailangang ihiwalay sa sagot: kailangan mong isulat ang $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, at hindi $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.
2. Ang puntong $x=3$ ay mayroon ding pantay na multiplicity at may kulay. Ang pag-aayos ng mga palatandaan ay nagpapahiwatig na ang punto mismo ay nababagay sa atin, ngunit isang hakbang sa kaliwa at kanan - at nakita natin ang ating sarili sa isang lugar na tiyak na hindi angkop sa atin. Ang nasabing mga punto ay tinatawag na isolated at isinusulat bilang $x\in \left\( 3 \right\)$.

Pinagsasama namin ang lahat ng nakuhang piraso sa isang karaniwang hanay at isulat ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Kahulugan. Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan hanapin ang hanay ng lahat ng mga solusyon nito, o patunayan na walang laman ang set na ito.

Tila: ano ang maaaring hindi maunawaan dito? Oo, ang katotohanan ng bagay ay ang mga hanay ay maaaring tukuyin sa iba't ibang paraan. Isulat muli natin ang sagot sa huling problema:

Literal na binabasa namin ang nakasulat. Ang variable na "x" ay kabilang sa isang tiyak na hanay, na nakuha ng unyon (simbolo "U") ng apat na magkakahiwalay na hanay:

• Ang pagitan ng $\left(-\infty ;1 \right)$, na literal na nangangahulugang "lahat ng mga numerong mas mababa sa isa, ngunit hindi isa mismo";
• Ang pagitan ay $\left(1;2 \right)$, i.e. "lahat ng mga numero sa pagitan ng 1 at 2, ngunit hindi ang mga numero 1 at 2 mismo";
• Ang set na $\left\( 3 \right\)$, na binubuo ng isang solong numero - tatlo;
• Ang pagitan na $\left[ 4;5 \right)$ ay naglalaman ng lahat ng numero sa pagitan ng 4 at 5, kasama ang 4 mismo, ngunit hindi 5.

Ang pangatlong punto ay interesado dito. Hindi tulad ng mga agwat, na tumutukoy sa mga walang katapusang hanay ng mga numero at tumutukoy lamang sa mga hangganan ng mga hanay na ito, ang hanay na $\left\( 3 \right\)$ ay tumutukoy ng eksaktong isang numero sa pamamagitan ng enumeration.

Upang maunawaan na inililista namin ang mga partikular na numero na kasama sa set (at hindi nagtatakda ng mga hangganan o anumang bagay), ginagamit ang mga kulot na brace. Halimbawa, ang notasyong $\left\( 1;2 \right\)$ ay nangangahulugang eksaktong "isang set na binubuo ng dalawang numero: 1 at 2", ngunit hindi isang segment mula 1 hanggang 2. Sa anumang kaso huwag malito ang mga konseptong ito .

Panuntunan sa pagdaragdag ng multiplicity

Well, sa pagtatapos ng aralin ngayon, isang maliit na lata mula kay Pavel Berdov. :)

Ang matulungin na mga mag-aaral ay malamang na nagtanong sa kanilang sarili ng tanong: ano ang mangyayari kung ang parehong mga ugat ay matatagpuan sa numerator at denominator? Kaya gumagana ang sumusunod na panuntunan:

Ang mga multiplicity ng magkaparehong mga ugat ay idinagdag. Laging. Kahit na ang ugat na ito ay nangyayari sa parehong numerator at denominator.

Minsan mas mabuting magdesisyon kaysa magsalita. Samakatuwid, malulutas namin ang sumusunod na problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Sa ngayon, walang espesyal. Itakda ang denominator sa zero:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Dalawang magkaparehong ugat ang matatagpuan: $((x)_(1))=-2$ at $x_(4)^(*)=-2$. Parehong may unang multiplicity. Samakatuwid, pinapalitan namin ang mga ito ng isang ugat na $x_(4)^(*)=-2$, ngunit may multiplicity na 1+1=2.

Bilang karagdagan, mayroon ding magkaparehong mga ugat: $((x)_(2))=-4$ at $x_(2)^(*)=-4$. Sila rin ay nasa unang multiplicity, kaya $x_(2)^(*)=-4$ na lang ng multiplicity 1+1=2 ang natitira.

Pakitandaan: sa parehong mga kaso, eksaktong iniwan namin ang "pinutol" na ugat, at itinapon ang "pininturahan" mula sa pagsasaalang-alang. Dahil kahit na sa simula ng aralin, nagkasundo kami: kung ang isang punto ay parehong nasusuntok at pininturahan sa parehong oras, pagkatapos ay itinuturing pa rin namin itong punch out.

Bilang isang resulta, mayroon kaming apat na mga ugat, at lahat ng mga ito ay na-gouged out:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\kaliwa(2k \kanan); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\kaliwa(2k \kanan). \\ \end(align)\]

Minarkahan namin ang mga ito sa linya ng numero, isinasaalang-alang ang multiplicity:

Inilalagay namin ang mga palatandaan at pintura sa mga lugar na interesado sa amin:

Lahat. Walang ilang mga punto at iba pang mga perversions. Maaari mong isulat ang sagot.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

tuntunin sa pagpaparami

Minsan ang isang mas hindi kasiya-siyang sitwasyon ay nangyayari: ang isang equation na may maraming mga ugat ay itinaas mismo sa isang tiyak na kapangyarihan. Binabago nito ang multiplicity ng lahat ng orihinal na ugat.

Ito ay bihira, kaya karamihan sa mga estudyante ay walang karanasan sa paglutas ng mga ganitong problema. At ang panuntunan dito ay:

Kapag ang isang equation ay itinaas sa isang kapangyarihan $n$, ang multiplicity ng lahat ng mga ugat nito ay tataas din ng isang factor na $n$.

Sa madaling salita, ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay nagreresulta sa pagpaparami ng multiplicity sa parehong kapangyarihan. Kunin natin ang panuntunang ito bilang isang halimbawa:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x((\left(((x)^(2)))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\kaliwa(2-x \kanan))^(3))((\kaliwa(x-1 \kanan))^(2)))\le 0\]

Desisyon. Itakda ang numerator sa zero:

Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero. Malinaw ang lahat sa unang multiplier: $x=0$. At dito magsisimula ang mga problema:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\kaliwa(2k \kanan); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\kaliwa(2k \kanan)\kaliwa(2k \kanan) \ \ & ((x)_(2))=3\kaliwa(4k \kanan) \\ \end(align)\]

Gaya ng nakikita mo, ang equation na $((x)^(2))-6x+9=0$ ay may natatanging ugat ng pangalawang multiplicity: $x=3$. Ang buong equation ay pagkatapos ay parisukat. Samakatuwid, ang multiplicity ng root ay magiging $2\cdot 2=4$, na sa wakas ay isinulat namin.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Wala ring problema sa denominator:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Sa kabuuan, nakakuha kami ng limang puntos: dalawa ang na-punch out at tatlo ang napunan. Walang magkatulad na mga ugat sa numerator at denominator, kaya markahan lamang namin ang mga ito sa linya ng numero:

Inaayos namin ang mga palatandaan na isinasaalang-alang ang mga multiplicity at pintura sa mga pagitan ng interes sa amin:

Muli isang nakahiwalay na punto at isang nabutas

Dahil sa mga ugat ng kahit multiplicity, muli kaming nakatanggap ng ilang "hindi pamantayan" na mga elemento. Ito ay $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, hindi $x\in \left[ 0;2 \right)$, at isa ring nakahiwalay na punto $ x\in \left\( 3 \right\)$.

Sagot. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay hindi napakahirap. Ang pangunahing bagay ay pagkaasikaso. Huling seksyon ng araling ito ay nakatuon sa mga pagbabagong-anyo - ang mismong mga tinalakay natin sa simula pa lamang.

Mga preconversion

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na tatalakayin natin sa seksyong ito ay hindi kumplikado. Gayunpaman, hindi tulad ng mga nakaraang gawain, dito kailangan mong ilapat ang mga kasanayan mula sa teorya rational fractions— factorization at pagbabawas sa isang common denominator.

Detalyadong tinalakay namin ang isyung ito sa simula ng aralin ngayon. Kung hindi ka sigurado na naiintindihan mo kung tungkol saan ito, lubos kong inirerekomenda na bumalik ka at ulitin. Dahil walang punto sa pag-cramming ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay kung "langoy" ka sa conversion ng mga fraction.

AT takdang aralin Sa pamamagitan ng paraan, magkakaroon din ng maraming katulad na mga gawain. Ang mga ito ay inilalagay sa isang hiwalay na subsection. At doon ay makakahanap ka ng mga napaka-walang kuwentang halimbawa. Ngunit ito ay nasa takdang-aralin, ngunit ngayon suriin natin ang ilang mga hindi pagkakapantay-pantay.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Desisyon. Inilipat ang lahat sa kaliwa:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Binabawasan namin sa isang karaniwang denominator, buksan ang mga bracket, nagbibigay ng mga katulad na termino sa numerator:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ kanan))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\kaliwa(x-1 \kanan))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Ngayon ay mayroon na tayong classical fractional rational inequality, ang solusyon nito ay hindi na mahirap. Iminumungkahi kong lutasin ito alternatibong pamamaraan— sa pamamagitan ng paraan ng mga pagitan:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Huwag kalimutan ang pagpilit na nagmumula sa denominator:

Minarkahan namin ang lahat ng mga numero at mga paghihigpit sa linya ng numero:

Ang lahat ng mga ugat ay may unang multiplicity. Walang problema. Ilalagay lang namin ang mga karatula at pintura sa mga lugar na kailangan namin:

Ito ay lahat. Maaari mong isulat ang sagot.

Sagot. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Siyempre, ito ay isang napaka-simpleng halimbawa. Kaya ngayon, tingnan natin ang problema. At sa pamamagitan ng paraan, ang antas ng gawaing ito ay medyo pare-pareho sa independyente at kontrol sa trabaho sa paksang ito sa ika-8 baitang.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Desisyon. Inilipat ang lahat sa kaliwa:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Bago dalhin ang parehong mga fraction sa isang karaniwang denominator, nabubulok namin ang mga denominador na ito sa mga salik. Biglang lalabas ang parehong mga bracket? Sa unang denominator, madali:

\[((x)^(2))+8x-9=\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(x+9 \kanan)\]

Ang pangalawa ay medyo mas mahirap. Huwag mag-atubiling magdagdag ng palaging multiplier sa bracket kung saan natagpuan ang fraction. Tandaan: ang orihinal na polynomial ay may mga integer coefficient, kaya malaki ang posibilidad na ang factorization ay magkakaroon din ng integer coefficients (sa katunayan, ito ay palaging, maliban kung ang discriminant ay hindi makatwiran).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(3x-2 \kanan) \end(align)\]

Gaya ng nakikita mo, mayroong isang karaniwang bracket: $\left(x-1 \right)$. Bumalik tayo sa hindi pagkakapantay-pantay at dinadala ang parehong mga fraction sa isang karaniwang denominator:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ kaliwa(3x-2\kanan))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\kaliwa(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(x+9 \kanan)\kaliwa(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(x+9 \kanan)\kaliwa(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ \end(align)\]

Itakda ang denominator sa zero:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( ihanay)\]

Walang multipliities at walang coinciding roots. Nagmarka kami ng apat na numero sa isang tuwid na linya:

Inilalagay namin ang mga palatandaan:

Isulat namin ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ tama)$.