Online na calculator. Paglutas ng isang quadratic equation

Sa math program na ito magagawa mo lutasin ang quadratic equation.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon sa dalawang paraan:
- gamit ang discriminant
- gamit ang Vieta theorem (kung maaari).

Bukod dito, ang sagot ay ipinapakita nang eksakto, hindi tinatayang.
Halimbawa, para sa equation na \(81x^2-16x-1=0\), ang sagot ay ipinapakita sa form na ito:

Ang programang ito Maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school pangkalahatang edukasyon na mga paaralan bilang paghahanda sa kontrol sa trabaho at mga pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang upang kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin math o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng square polynomial, inirerekumenda namin na pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng square polynomial

Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atbp.

Maaaring ilagay ang mga numero bilang mga integer o fraction.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi mula sa integer ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang pumasok mga decimal kaya: 2.5x - 3.5x^2

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.

Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
buong bahagi pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng mga bracket. Sa kasong ito, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, ang ipinakilalang expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Quadratic equation at mga ugat nito. Hindi kumpletong quadratic equation

Ang bawat isa sa mga equation
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
may porma
\(ax^2+bx+c=0, \)
kung saan ang x ay isang variable, ang a, b at c ay mga numero.
Sa unang equation a = -1, b = 6 at c = 1.4, sa pangalawa a = 8, b = -7 at c = 0, sa pangatlo a = 1, b = 0 at c = 4/9. Ang ganitong mga equation ay tinatawag quadratic equation.

Kahulugan.
quadratic equation tinatawag ang isang equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang x ay variable, a, b at c ang ilang numero, at \(a \neq 0 \).

Ang mga numerong a, b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation. Ang numerong a ay tinatawag na unang koepisyent, ang bilang b ay ang pangalawang koepisyent at ang bilang c ay ang intercept.

Sa bawat isa sa mga equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang \(a \neq 0 \), ang pinakamalaking kapangyarihan ng variable x ay isang parisukat. Kaya ang pangalan: quadratic equation.

Tandaan na ang isang quadratic equation ay tinatawag ding equation ng pangalawang degree, dahil ang kaliwang bahagi nito ay polynomial ng pangalawang degree.

Ang isang quadratic equation kung saan ang coefficient sa x 2 ay 1 ay tinatawag pinababang quadratic equation. Halimbawa, ang ibinigay na quadratic equation ay ang mga equation
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Kung sa quadratic equation ax 2 +bx+c=0 kahit isa sa mga coefficient b o c sero, pagkatapos ay tinatawag ang equation na ito hindi kumpletong quadratic equation. Kaya, ang mga equation -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation. Sa una sa kanila b=0, sa pangalawa c=0, sa pangatlo b=0 at c=0.

Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay may tatlong uri:
1) ax 2 +c=0, kung saan \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kung saan \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Isaalang-alang ang solusyon ng mga equation ng bawat isa sa mga uri na ito.

Upang malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +c=0 para sa \(c \neq 0 \), ang libreng termino nito ay inililipat sa kanang bahagi at ang parehong bahagi ng equation ay hinati sa pamamagitan ng a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Dahil \(c \neq 0 \), pagkatapos \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Kung \(-\frac(c)(a)>0 \), ang equation ay may dalawang ugat.

Kung \(-\frac(c)(a) Upang lutasin ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng anyong ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) i-factor ang kaliwang bahagi nito at makuha ang equation
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Samakatuwid, ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) ay palaging may dalawang ugat.

Ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 \u003d 0 ay katumbas ng equation x 2 \u003d 0 at samakatuwid ay may isang solong ugat 0.

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Isaalang-alang natin ngayon kung paano nalulutas ang mga quadratic equation kung saan ang parehong coefficients ng mga hindi alam at ang free term ay nonzero.

Lutasin namin ang quadratic equation sa pangkalahatang pananaw at bilang resulta ay nakukuha natin ang pormula ng mga ugat. Pagkatapos ang formula na ito ay maaaring ilapat upang malutas ang anumang quadratic equation.

Lutasin ang quadratic equation ax 2 +bx+c=0

Ang paghahati sa parehong bahagi nito sa pamamagitan ng a, makuha natin ang katumbas na pinababang quadratic equation
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Binabago namin ang equation na ito sa pamamagitan ng pag-highlight sa parisukat ng binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

Ang salitang ugat ay tinatawag discriminant ng isang quadratic equation ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” sa Latin - distinguisher). Ito ay tinutukoy ng titik D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Ngayon, gamit ang notasyon ng discriminant, muling isusulat namin ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kung saan \(D= b^2-4ac \)

Malinaw na:
1) Kung D>0, kung gayon ang quadratic equation ay may dalawang ugat.
2) Kung D=0, kung gayon ang quadratic equation ay may isang ugat \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Kung D Kaya, depende sa halaga ng discriminant, ang quadratic equation ay maaaring magkaroon ng dalawang ugat (para sa D > 0), isang ugat (para sa D = 0) o walang ugat (para sa D Kapag nilulutas ang isang quadratic equation gamit ang formula na ito. , ipinapayong gawin ang sumusunod na paraan:
1) kalkulahin ang discriminant at ihambing ito sa zero;
2) kung ang discriminant ay positibo o katumbas ng zero, pagkatapos ay gamitin ang root formula, kung ang discriminant ay negatibo, pagkatapos ay isulat na walang mga ugat.

Ang teorama ni Vieta

Ang ibinigay na quadratic equation ax 2 -7x+10=0 ay may mga ugat 2 at 5. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang produkto ay 10. Nakikita namin na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Ang anumang pinababang quadratic equation na may mga ugat ay may ganitong katangian.

Ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.

Yung. Ang theorem ng Vieta ay nagsasaad na ang mga ugat x 1 at x 2 ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay may katangian:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Mga formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation. Ang mga kaso ng tunay, maramihang at kumplikadong mga ugat ay isinasaalang-alang. Factorization ng isang square trinomial. Geometric na interpretasyon. Mga halimbawa ng pagtukoy ng mga ugat at factorization.

Mga pangunahing formula

Isaalang-alang ang quadratic equation:
(1) .
Ang mga ugat ng isang quadratic equation(1) ay tinutukoy ng mga formula:
; .
Ang mga formula na ito ay maaaring pagsamahin tulad nito:
.
Kapag ang mga ugat ng quadratic equation ay kilala, ang polynomial ng pangalawang degree ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga kadahilanan (factored):
.

Dagdag pa, ipinapalagay namin na iyon ay mga tunay na numero.
Pag-isipan discriminant ng isang quadratic equation:
.
Kung positibo ang discriminant, ang quadratic equation (1) ay may dalawang magkaibang tunay na ugat:
; .
Pagkatapos ang factorization ng square trinomial ay may anyo:
.
Kung ang discriminant ay zero, kung gayon ang quadratic equation (1) ay mayroong dalawang maramihang (equal) real roots:
.
Factorization:
.
Kung negatibo ang discriminant, ang quadratic equation (1) ay may dalawang kumplikadong conjugate roots:
;
.
Narito ang haka-haka na yunit, ;
at ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng mga ugat:
; .
Pagkatapos

.

Graphic na interpretasyon

Kung bumuo function graph
,
na isang parabola, kung gayon ang mga punto ng intersection ng graph na may axis ay magiging mga ugat ng equation
.
Kapag , ang graph ay nag-intersect sa abscissa axis (axis) sa dalawang punto.
Kapag , hinawakan ng graph ang x-axis sa isang punto.
Kapag , hindi tumatawid ang graph sa x-axis.

Nasa ibaba ang mga halimbawa ng naturang mga graph.

Mga Kapaki-pakinabang na Formula na May Kaugnayan sa Quadratic Equation

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivation ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Nagsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo at naglalapat ng mga formula (f.1) at (f.3):




,
saan
; .

Kaya, nakuha namin ang formula para sa polynomial ng pangalawang degree sa form:
.
Mula dito makikita na ang equation

ginanap sa
at .
Iyon ay, at ang mga ugat ng quadratic equation
.

Mga halimbawa ng pagtukoy sa mga ugat ng isang quadratic equation

Halimbawa 1

(1.1) .

Solusyon

.
Ang paghahambing sa aming equation (1.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Paghahanap ng discriminant:
.
Dahil ang discriminant ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat:
;
;
.

Mula dito nakukuha natin ang agnas ng square trinomial sa mga salik:

.

Graph ng function na y = 2 x 2 + 7 x + 3 tumatawid sa x-axis sa dalawang punto.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Tinatawid nito ang x-axis (axis) sa dalawang punto:
at .
Ang mga puntong ito ay ang mga ugat ng orihinal na equation (1.1).

Sagot

;
;
.

Halimbawa 2

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation:
(2.1) .

Solusyon

Isinulat namin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo:
.
Ang paghahambing sa orihinal na equation (2.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Paghahanap ng discriminant:
.
Dahil ang discriminant ay zero, ang equation ay may dalawang maramihang (pantay) na ugat:
;
.

Pagkatapos ang factorization ng trinomial ay may anyo:
.

Graph ng function na y = x 2 - 4 x + 4 hinawakan ang x-axis sa isang punto.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hinahawakan nito ang x-axis (axis) sa isang punto:
.
Ang puntong ito ay ang ugat ng orihinal na equation (2.1). Dahil ang ugat na ito ay naka-factor nang dalawang beses:
,
kung gayon ang gayong ugat ay tinatawag na maramihan. Iyon ay, isinasaalang-alang nila na mayroong dalawang pantay na ugat:
.

Sagot

;
.

Halimbawa 3

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation:
(3.1) .

Solusyon

Isinulat namin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo:
(1) .
Isulat muli natin ang orihinal na equation (3.1):
.
Ang paghahambing sa (1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Paghahanap ng discriminant:
.
Ang discriminant ay negatibo, . Samakatuwid, walang tunay na mga ugat.

Makakahanap ka ng mga kumplikadong ugat:
;
;
.

Pagkatapos


.

Ang graph ng function ay hindi tumatawid sa x-axis. Walang tunay na ugat.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hindi ito tumatawid sa abscissa (axis). Samakatuwid, walang tunay na mga ugat.

Sagot

Walang tunay na ugat. Mga kumplikadong ugat:
;
;
.

Kadalasan kailangan mong hanapin ang kabuuan ng mga parisukat (x 1 2 + x 2 2) o ang kabuuan ng mga cube (x 1 3 + x 2 3) ng mga ugat ng isang quadratic equation, mas madalas - ang kabuuan ng mga katumbas ng mga parisukat ng mga ugat o ang kabuuan ng arithmetic parisukat na ugat mula sa mga ugat ng quadratic equation:

Makakatulong dito ang theorem ni Vieta:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Express sa pamamagitan ng p at q:

1) ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng equation x2+px+q=0;

2) ang kabuuan ng mga cube ng mga ugat ng equation x2+px+q=0.

Solusyon.

1) Pagpapahayag x 1 2 + x 2 2 nakuha sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig ng equation x 1 + x 2 \u003d-p;

(x 1 +x 2) 2 \u003d (-p) 2; buksan ang mga bracket: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; ipinapahayag namin ang nais na halaga: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Mayroon kaming isang kapaki-pakinabang na equation: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

2) Pagpapahayag x 1 3 + x 2 3 kinakatawan ng formula ng kabuuan ng mga cube sa anyo:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q ).

Isa pang kapaki-pakinabang na equation: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).

Mga halimbawa.

3) x 2 -3x-4=0. Nang walang paglutas ng equation, kalkulahin ang halaga ng expression x 1 2 + x 2 2.

Solusyon.

x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3, at ang gawain x 1 ∙x 2 \u003d q \u003dsa halimbawa 1) pagkakapantay-pantay:

x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q. Meron kami -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Pagkatapos x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.

Sagot: x 1 2 + x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Kalkulahin: x 1 3 +x 2 3 .

Solusyon.

Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta, ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation na ito x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2, at ang gawain x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d- apat. Ilapat natin ang ating nakuha ( sa halimbawa 2) pagkakapantay-pantay: x 1 3 +x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.

Sagot: x 1 3 + x 2 3 =32.

Tanong: paano kung bibigyan tayo ng non-reduced quadratic equation? Sagot: maaari itong palaging "bawasan" sa pamamagitan ng paghahati ng termino sa termino sa unang koepisyent.

5) 2x2 -5x-7=0. Nang walang paglutas, kalkulahin: x 1 2 + x 2 2.

Solusyon. Binigyan tayo ng kumpletong quadratic equation. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 2 (ang unang koepisyent) at makuha ang sumusunod na quadratic equation: x 2 -2.5x-3.5 \u003d 0.

Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta, ang kabuuan ng mga ugat ay 2,5 ; ang produkto ng mga ugat ay -3,5 .

Lutasin namin sa parehong paraan bilang isang halimbawa 3) gamit ang pagkakapantay-pantay: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Sagot: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x2 -5x-2=0. Hanapin:

Ibahin natin ang pagkakapantay-pantay na ito at, sa pamamagitan ng pagpapalit ng kabuuan ng mga ugat sa mga tuntunin ng Vieta theorem, -p, at ang produkto ng mga ugat sa pamamagitan ng q, nakakakuha kami ng isa pang kapaki-pakinabang na formula. Kapag hinango ang formula, ginamit namin ang pagkakapantay-pantay 1): x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

Sa ating halimbawa x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Palitan ang mga halagang ito sa resultang formula:

7) x 2 -13x+36=0. Hanapin:

Ibahin natin ang kabuuan na ito at kumuha ng pormula kung saan magiging posible na mahanap ang kabuuan ng mga arithmetic square roots mula sa mga ugat ng isang quadratic equation.

Meron kami x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d 36. Ipalit ang mga halagang ito sa nagmula na pormula:

Payo : laging suriin ang posibilidad ng paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation sa isang angkop na paraan, dahil 4 nirepaso kapaki-pakinabang na mga formula nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na makumpleto ang gawain, una sa lahat, sa mga kaso kung saan ang discriminant ay isang "hindi maginhawa" na numero. Sa lahat ng mga simpleng kaso, hanapin ang mga ugat at patakbuhin ang mga ito. Halimbawa, sa huling halimbawa pipiliin natin ang mga ugat ayon sa Vieta theorem: ang kabuuan ng mga ugat ay dapat na katumbas ng 13 , at ang produkto ng mga ugat 36 . Ano ang mga numerong ito? Syempre, 4 at 9. Ngayon kalkulahin ang kabuuan ng mga square root ng mga numerong ito: 2+3=5. Ayan yun!

I. Vieta's theorem para sa pinababang quadratic equation.

Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Hanapin ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation gamit ang Vieta's theorem.

Halimbawa 1) x 2 -x-30=0. Ito ang pinababang quadratic equation ( x 2 +px+q=0), ang pangalawang koepisyent p=-1, at ang libreng termino q=-30. Una, siguraduhin na ang ibinigay na equation ay may mga ugat, at ang mga ugat (kung mayroon man) ay ipapakita bilang mga integer. Para dito, sapat na ang may diskriminasyon buong parisukat buong bilang.

Paghahanap ng discriminant D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Ngayon, ayon sa Vieta theorem, ang kabuuan ng mga ugat ay dapat na katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha sa kabaligtaran na tanda, i.e. ( -p), at ang produkto ay katumbas ng libreng termino, i.e. ( q). Pagkatapos:

x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Kailangan nating pumili ng gayong dalawang numero upang ang kanilang produkto ay katumbas ng -30 , at ang kabuuan ay yunit. Ito ang mga numero -5 at 6 . Sagot: -5; 6.

Halimbawa 2) x 2 +6x+8=0. Mayroon kaming pinababang quadratic equation na may pangalawang coefficient p=6 at libreng miyembro q=8. Tiyaking mayroong mga integer na ugat. Hanapin natin ang discriminant D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Ang discriminant D 1 ay ang perpektong parisukat ng numero 1 , kaya ang mga ugat ng equation na ito ay mga integer. Pinipili namin ang mga ugat ayon sa Vieta theorem: ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng –p=-6, at ang produkto ng mga ugat ay q=8. Ito ang mga numero -4 at -2 .

Sa totoo lang: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Sagot: -4; -2.

Halimbawa 3) x 2 +2x-4=0. Sa pinababang quadratic equation na ito, ang pangalawang coefficient p=2, at ang libreng termino q=-4. Hanapin natin ang discriminant D1, dahil ang pangalawang coefficient ay isang even na numero. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Ang discriminant ay hindi perpektong parisukat ng isang numero, kaya ginagawa namin konklusyon: ang mga ugat ng equation na ito ay hindi integer at hindi mahahanap gamit ang teorem ni Vieta. Kaya, malulutas namin ang equation na ito, gaya ng dati, ayon sa mga formula (sa kasong ito, ayon sa mga formula). Nakukuha namin:

Halimbawa 4). Sumulat ng isang quadratic equation gamit ang mga ugat nito kung x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Solusyon. Ang nais na equation ay isusulat sa form: x 2 +px+q=0, bukod dito, batay sa Vieta theorem –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form: x2 +3x-28=0.

Halimbawa 5). Sumulat ng quadratic equation gamit ang mga ugat nito kung:

II. Ang teorama ni Vieta para sa kumpletong quadratic equation ax2+bx+c=0.

Ang kabuuan ng mga ugat ay minus b hinati ng a, ang produkto ng mga ugat ay Sa hinati ng a:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.

Halimbawa 6). Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng isang quadratic equation 2x2 -7x-11=0.

Solusyon.

Kami ay kumbinsido na ang equation na ito ay magkakaroon ng mga ugat. Upang gawin ito, sapat na na magsulat ng isang expression para sa discriminant, at nang hindi kinakalkula ito, siguraduhin lamang na ang discriminant ay mas malaki kaysa sa zero. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . At ngayon gamitin natin teorama Vieta para buo quadratic equation.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Halimbawa 7). Hanapin ang produkto ng mga ugat ng isang quadratic equation 3x2 +8x-21=0.

Solusyon.

Hanapin natin ang discriminant D1, dahil ang pangalawang koepisyent ( 8 ) ay isang even na numero. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Ang quadratic equation ay may 2 ugat, ayon sa Vieta theorem, ang produkto ng mga ugat x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.

Pahina 1 ng 1 1

Basta. Ayon sa mga formula at malinaw na simpleng panuntunan. Sa unang yugto

kailangan nating dalhin ang ibinigay na equation sa karaniwang view, ibig sabihin. sa view:

Kung ang equation ay ibinigay na sa iyo sa form na ito, hindi mo kailangang gawin ang unang yugto. Ang pinakamahalagang bagay ay tama

matukoy ang lahat ng mga coefficient a, b at c.

Formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation.

Ang expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag may diskriminasyon . Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang x, kami

gamitin a, b at c lang. Yung. mga posibilidad mula sa quadratic equation. Maingat lang ipasok

mga halaga a, b at c sa formula na ito at bilangin. Palitan ng kanilang palatandaan!

Halimbawa, sa equation:

a =1; b = 3; c = -4.

Palitan ang mga halaga at isulat:

Halimbawa ay halos malutas:

Ito ang sagot.

Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga palatandaan ng mga halaga a, b at Sa. Sa halip, may kapalit

mga negatibong halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Dito nagse-save ang detalyadong formula

na may mga tiyak na numero. Kung may mga problema sa mga kalkulasyon, gawin ito!

Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na halimbawa:

Dito a = -6; b = -5; c = -1

Ipininta namin ang lahat nang detalyado, maingat, nang walang nawawalang anuman sa lahat ng mga palatandaan at bracket:

Kadalasan ang mga quadratic equation ay bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:

Ngayon tandaan ang mga praktikal na pamamaraan na kapansin-pansing binabawasan ang bilang ng mga pagkakamali.

Unang pagtanggap. Huwag kang tamad dati paglutas ng isang quadratic equation dalhin ito sa karaniwang anyo.

Anong ibig sabihin nito?

Ipagpalagay, pagkatapos ng anumang mga pagbabagong-anyo, makukuha mo ang sumusunod na equation:

Huwag magmadali upang isulat ang pormula ng mga ugat! Halos tiyak na paghaluin mo ang mga posibilidad a, b at c.

Buuin nang tama ang halimbawa. Una, x squared, pagkatapos ay walang square, pagkatapos ay isang libreng miyembro. Ganito:

Tanggalin ang minus. Paano? Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:

At ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang discriminant at kumpletuhin ang halimbawa.

Magpasya sa iyong sarili. Dapat kang magtapos sa mga ugat 2 at -1.

Pangalawang pagtanggap. Suriin ang iyong mga ugat! Sa pamamagitan ng Ang teorama ni Vieta.

Upang malutas ang ibinigay na quadratic equation, i.e. kung ang coefficient

x2+bx+c=0,

pagkataposx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Para sa isang kumpletong quadratic equation kung saan a≠1:

x 2 +bx+c=0,

hatiin ang buong equation sa pamamagitan ng a:

→ →

saan x 1 at x 2 - mga ugat ng equation.

Pangatlo ang reception. Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, alisin ang mga fraction! Paramihin

equation para sa isang common denominator.

Konklusyon. Mga Praktikal na Tip:

1. Bago malutas, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo, itayo ito tama.

2. Kung may negatibong koepisyent sa harap ng x sa parisukat, inaalis namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat

mga equation para sa -1.

3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa katumbas na

salik.

4. Kung ang x squared ay dalisay, ang coefficient para dito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling masuri ng

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

At walang ibang numero, maliban sa triple, ang magbibigay sa atin ng gayong pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang bilang na \(3\) ay ang tanging ugat ng equation.

Muli: ang ugat ay HINDI X!x ay isang variable , a ang ugat ay isang numero , na ginagawang tunay na pagkakapantay-pantay ang equation (sa halimbawa sa itaas - isang triple). At kapag nilulutas ang mga equation, kami hindi kilalang numero(o mga numero) ang hinahanap.

Halimbawa : Ang \(5\) ba ang ugat ng equation na \(x^(2)-2x-15=0\)?
Solusyon : Palitan ang \(5\) para sa x:

\(5^(2)-2\cdot5-15=0\)
\(25-10-15=0\)
\(0=0\)

Sa magkabilang panig ng mga katumbas - ang parehong halaga (zero), kaya ang 5 ay talagang isang ugat.

Mathak: sa kontrol sa ganitong paraan maaari mong suriin kung nahanap mo nang tama ang mga ugat.

Halimbawa : Alin sa mga numerong \(0, \pm1, \pm2\), ang ugat ng \(2x^(2)+15x+22=0\)?
Solusyon : Suriin natin ang bawat isa sa mga numero sa pamamagitan ng pagpapalit:

Malinaw na ang paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng enumeration ng lahat ng posibleng mga halaga ay kabaliwan, dahil mayroong walang katapusang maraming mga numero. Samakatuwid, sila ay binuo mga espesyal na pamamaraan paghahanap ng mga ugat. Kaya, halimbawa, para sa isa lang sapat na, para sa - nagamit na ang mga formula atbp. Ang bawat uri ng equation ay may sariling pamamaraan.

Mga sagot sa mga madalas itanong

Tanong: Maaari bang maging zero ang ugat ng equation?
Sagot: Oo naman. Halimbawa, ang equation na \(3x=0\) ay may iisang ugat - zero. Maaari mong suriin sa pamamagitan ng pagpapalit.

Tanong: Kailan walang mga ugat sa isang equation?
Sagot: Maaaring walang mga ugat ang isang equation kung walang mga halaga para sa x na gagawing tunay na pagkakapantay-pantay ang equation. Ang isang kapansin-pansing halimbawa dito ay ang equation na \(0\cdot x=5\). Ang equation na ito ay walang mga ugat, dahil ang halaga ng x ay hindi gumaganap ng isang papel dito (dahil sa multiplikasyon sa zero) - gayon pa man, ang kaliwang bahagi ay palaging katumbas ng zero. Ang zero ay hindi katumbas ng lima. Kaya walang mga ugat.

Tanong: Paano magsulat ng isang equation upang ang ugat ng equation na ito ay katumbas ng ilang ibinigay na numero (halimbawa, tatlo)?
Sagot: lalabas mamaya.

Tanong: Ano ang ibig sabihin ng "hanapin ang pinakamaliit na ugat ng equation"?
Sagot: Nangangahulugan ito na kailangan mong lutasin ang equation, at bilang tugon upang ipahiwatig ang mas maliit na ugat nito. Halimbawa, ang equation na \(x^2-5x-6=0\) ay may dalawang ugat: \(x_1=-1\) at \(x_2=6\). Pinakamaliit na ugat: \(-1\). Dito dapat din itong isulat sa sagot. Kung nagtatanong ka tungkol sa isang mas malaking ugat, kailangan mong isulat ang \(6\).