Mga function at graph. Mga function at ang kanilang mga katangian

Ang materyal na pamamaraan ay para sa sanggunian lamang at nalalapat sa isang malawak na hanay mga paksa. Ang artikulo ay nagbibigay ng isang pangkalahatang-ideya ng mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya at isinasaalang-alang ang pinakamahalagang tanong – kung paano tama at FAST bumuo ng isang graph. Sa kurso ng pag-aaral ng mas mataas na matematika nang hindi nalalaman ang mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ito ay magiging mahirap, kaya napakahalagang tandaan kung ano ang hitsura ng mga graph ng isang parabola, hyperbola, sine, cosine, atbp, upang matandaan ang ilan. mga halaga ng function. Pag-uusapan din natin ang ilang mga katangian ng mga pangunahing pag-andar.

Hindi ako nagkukunwaring kumpleto at siyentipikong masinsinang mga materyales, ang diin ay ilalagay, una sa lahat, sa pagsasanay - ang mga bagay na ang isa ay kailangang harapin nang literal sa bawat hakbang, sa anumang paksa ng mas mataas na matematika. Mga tsart para sa mga dummies? Masasabi mo.

Sa pamamagitan ng popular na demand mula sa mga mambabasa naki-click na talaan ng mga nilalaman:

Bilang karagdagan, mayroong isang ultra-maikling abstract sa paksa
– master ang 16 na uri ng mga chart sa pamamagitan ng pag-aaral ng ANIM na pahina!

Grabe, anim, kahit ako mismo ay nagulat. Itong abstract naglalaman ng pinahusay na mga graphics at magagamit para sa isang nominal na bayad, isang demo na bersyon ay maaaring matingnan. Ito ay maginhawa upang i-print ang file upang ang mga graph ay palaging nasa kamay. Salamat sa pagsuporta sa proyekto!

At magsisimula kami kaagad:

Paano gumawa ng mga coordinate axes nang tama?

Sa pagsasagawa, ang mga pagsusulit ay halos palaging iginuhit ng mga mag-aaral sa magkahiwalay na mga notebook, na may linya sa isang hawla. Bakit kailangan mo ng checkered markings? Pagkatapos ng lahat, ang trabaho, sa prinsipyo, ay maaaring gawin sa mga sheet ng A4. At ang hawla ay kinakailangan para lamang sa mataas na kalidad at tumpak na disenyo ng mga guhit.

Ang anumang pagguhit ng isang function graph ay nagsisimula sa mga coordinate axes.

Ang mga guhit ay two-dimensional at three-dimensional.

Isaalang-alang muna natin ang dalawang-dimensional na kaso Cartesian coordinate system:

1) Gumuhit kami ng mga coordinate axes. Ang axis ay tinatawag x-axis , at ang axis y-axis . Lagi naming sinusubukang iguhit ang mga ito maayos at hindi baluktot. Ang mga palaso ay hindi rin dapat katulad ng balbas ni Papa Carlo.

2) Nilagdaan namin ang mga palakol na may malalaking titik na "x" at "y". Huwag kalimutang lagdaan ang mga palakol.

3) Itakda ang sukat sa kahabaan ng mga palakol: gumuhit ng zero at dalawa. Kapag gumagawa ng isang pagguhit, ang pinaka-maginhawa at karaniwang sukat ay: 1 yunit = 2 mga cell (pagguhit sa kaliwa) - dumikit dito kung maaari. Gayunpaman, paminsan-minsan ay nangyayari na ang pagguhit ay hindi magkasya sa isang notebook sheet - pagkatapos ay binabawasan namin ang sukat: 1 yunit = 1 cell (pagguhit sa kanan). Bihirang, ngunit nangyayari na ang sukat ng pagguhit ay kailangang bawasan (o dagdagan) pa

HUWAG mag-scribble mula sa machine gun ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Para sa coordinate plane ay hindi isang monumento kay Descartes, at ang estudyante ay hindi isang kalapati. Inilagay namin sero at dalawang yunit sa kahabaan ng mga palakol. Minsan sa halip na mga yunit, ito ay maginhawa upang "makita" ang iba pang mga halaga, halimbawa, "dalawa" sa abscissa axis at "tatlo" sa ordinate axis - at ang sistemang ito (0, 2 at 3) ay natatanging magtatakda ng coordinate grid.

Mas mainam na tantiyahin ang tinantyang sukat ng pagguhit BAGO ang pagguhit ay iguguhit.. Kaya, halimbawa, kung ang gawain ay nangangailangan ng pagguhit ng isang tatsulok na may vertices , , , kung gayon ito ay lubos na malinaw na ang sikat na sukat na 1 yunit = 2 mga cell ay hindi gagana. Bakit? Tingnan natin ang punto - dito kailangan mong sukatin ang labinlimang sentimetro pababa, at, malinaw naman, ang pagguhit ay hindi magkasya (o halos hindi magkasya) sa isang notebook sheet. Samakatuwid, agad kaming pumili ng mas maliit na sukat 1 unit = 1 cell.

Sa pamamagitan ng paraan, mga sentimetro at mga cell ng notebook. Totoo ba na mayroong 15 sentimetro sa 30 mga cell ng notebook? Sukatin sa isang kuwaderno para sa interes na 15 sentimetro gamit ang isang ruler. Sa USSR, marahil ito ay totoo ... Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung sukatin mo ang parehong mga sentimetro nang pahalang at patayo, kung gayon ang mga resulta (sa mga cell) ay magkakaiba! Sa mahigpit na pagsasalita, ang mga modernong notebook ay hindi checkered, ngunit hugis-parihaba. Ito ay maaaring mukhang walang kapararakan, ngunit ang pagguhit, halimbawa, ang isang bilog na may kumpas sa mga ganitong sitwasyon ay lubhang hindi maginhawa. Sa totoo lang, sa mga sandaling iyon ay nagsisimula kang mag-isip tungkol sa kawastuhan ni Kasamang Stalin, na ipinadala sa mga kampo para sa trabaho sa pag-hack sa produksyon, hindi sa banggitin ang domestic automotive industry, bumabagsak na mga eroplano o sumasabog na mga planta ng kuryente.

Ang pagsasalita ng kalidad, o isang maikling rekomendasyon sa stationery. Sa ngayon, karamihan sa mga notebook ay ibinebenta, masamang salita not to mention, complete shit. Para sa kadahilanang nabasa sila, at hindi lamang mula sa mga gel pen, kundi pati na rin sa mga bolpen! Magtipid sa papel. Para sa clearance gumaganang kontrol Inirerekomenda ko ang paggamit ng mga notebook ng Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 sheet, cage) o Pyaterochka, kahit na ito ay mas mahal. Maipapayo na pumili ng isang gel pen, kahit na ang pinakamurang Chinese gel refill ay mas mahusay kaysa sa isang bolpen, na maaaring pahiran o punitin ang papel. Ang tanging "competitive" na bolpen sa aking alaala ay ang Erich Krause. Siya ay nagsusulat nang malinaw, maganda at matatag - alinman sa isang buong tangkay, o may halos walang laman.

Bukod pa rito: ang pananaw ng isang rectangular coordinate system sa pamamagitan ng mga mata ng analytical geometry ay sakop sa artikulo Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayang vector, Detalyadong impormasyon ang tungkol sa coordinate quarters ay makikita sa ikalawang talata ng aralin Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay.

3D na kaso

Halos pareho lang dito.

1) Gumuhit kami ng mga coordinate axes. Pamantayan: ilapat ang axis – nakadirekta pataas, axis – nakadirekta sa kanan, axis – pababa sa kaliwa mahigpit sa isang anggulo ng 45 degrees.

2) Pinirmahan namin ang mga palakol.

3) Itakda ang sukat sa kahabaan ng mga palakol. Scale sa kahabaan ng axis - dalawang beses na mas maliit kaysa sa scale kasama ang iba pang mga axes. Tandaan din na sa tamang pagguhit, gumamit ako ng hindi karaniwang "serif" kasama ang axis (ang posibilidad na ito ay nabanggit na sa itaas). Mula sa aking pananaw, ito ay mas tumpak, mas mabilis at mas aesthetically kasiya-siya - hindi mo kailangang hanapin ang gitna ng cell sa ilalim ng mikroskopyo at "i-sculpt" ang unit hanggang sa pinagmulan.

Kapag gumagawa muli ng 3D drawing - bigyang-priyoridad ang sukat
1 unit = 2 cell (drawing sa kaliwa).

Para saan ang lahat ng mga patakarang ito? Ang mga patakaran ay nariyan upang labagin. Ano na ang gagawin ko ngayon. Ang katotohanan ay ang kasunod na mga guhit ng artikulo ay gagawin ko sa Excel, at ang mga coordinate axes ay magmumukhang hindi tama mula sa punto ng view ng tamang disenyo. Maaari kong iguhit ang lahat ng mga graph sa pamamagitan ng kamay, ngunit talagang nakakatakot na iguhit ang mga ito, dahil ang Excel ay nag-aatubili na iguhit ang mga ito nang mas tumpak.

Mga graph at pangunahing katangian ng elementarya na pag-andar

Ang linear function ay ibinibigay ng equation . Ang linear function graph ay direkta. Upang makabuo ng isang tuwid na linya, sapat na malaman ang dalawang puntos.

Halimbawa 1

I-plot ang function. Maghanap tayo ng dalawang puntos. Ito ay kapaki-pakinabang na pumili ng zero bilang isa sa mga puntos.

Kung , kung gayon

Kumuha kami ng ibang punto, halimbawa, 1.

Kung , kung gayon

Kapag naghahanda ng mga gawain, ang mga coordinate ng mga puntos ay karaniwang ibinubuod sa isang talahanayan:

At ang mga halaga mismo ay kinakalkula nang pasalita o sa isang draft, calculator.

Dalawang puntos ang natagpuan, gumuhit tayo:

Kapag gumuhit ng isang guhit, palagi naming pinipirmahan ang mga graphic.

Hindi magiging kalabisan na alalahanin ang mga espesyal na kaso ng isang linear na function:

Pansinin kung paano ko inilagay ang mga caption, hindi dapat malabo ang mga lagda kapag pinag-aaralan ang pagguhit. Sa kasong ito, lubos na hindi kanais-nais na maglagay ng lagda sa tabi ng punto ng intersection ng mga linya, o sa kanang ibaba sa pagitan ng mga graph.

1) Ang isang linear na function ng form () ay tinatawag na direktang proporsyonalidad. Halimbawa, . Ang direktang proporsyonalidad na graph ay palaging dumadaan sa pinagmulan. Kaya, ang pagtatayo ng isang tuwid na linya ay pinasimple - sapat na upang makahanap lamang ng isang punto.

2) Ang isang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya parallel sa axis, sa partikular, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng function ay binuo kaagad, nang hindi nakakahanap ng anumang mga puntos. Iyon ay, ang entry ay dapat na maunawaan tulad ng sumusunod: "y ay palaging katumbas ng -4, para sa anumang halaga ng x."

3) Ang isang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya parallel sa axis, sa partikular, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng function ay binuo din kaagad. Ang entry ay dapat na maunawaan bilang mga sumusunod: "x ay palaging, para sa anumang halaga ng y, katumbas ng 1."

May magtatanong, well, bakit naaalala ang ika-6 na baitang?! Kaya nga, siguro nga, sa loob lamang ng mga taon ng pagsasanay nakilala ko ang isang dosenang mga mag-aaral na nalilito sa gawain ng pagbuo ng isang graph tulad ng o .

Ang pagguhit ng isang tuwid na linya ay ang pinakakaraniwang aksyon kapag gumagawa ng mga guhit.

Ang tuwid na linya ay tinalakay nang detalyado sa kurso ng analytic geometry, at ang mga nais ay maaaring sumangguni sa artikulo Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.

Quadratic function graph, cubic function graph, polynomial graph

Parabola. Graph ng isang quadratic function () ay isang parabola. Isaalang-alang ang sikat na kaso:

Alalahanin natin ang ilang katangian ng function.

Kaya, ang solusyon sa ating equation: - sa puntong ito matatagpuan ang vertex ng parabola. Kung bakit ganito ay maaaring matutunan mula sa teoretikal na artikulo sa derivative at ang aralin sa extrema ng function. Pansamantala, kinakalkula namin ang katumbas na halaga ng "y":

Kaya ang vertex ay nasa punto

Ngayon ay nakahanap kami ng iba pang mga punto, habang brazenly ginagamit ang mahusay na proporsyon ng parabola. Dapat pansinin na ang pag-andar – ay hindi pantay, ngunit, gayunpaman, walang kinansela ang simetrya ng parabola.

Sa anong pagkakasunud-sunod upang mahanap ang natitirang mga punto, sa palagay ko ay magiging malinaw mula sa panghuling talahanayan:

Ang construction algorithm na ito ay maaaring matalinhagang tinatawag na "shuttle" o ang "back and forth" na prinsipyo sa Anfisa Chekhova.

Gumawa tayo ng drawing:

Mula sa mga isinasaalang-alang na mga graph, isa pang kapaki-pakinabang na tampok ang naiisip:

Para sa isang quadratic function () ang sumusunod ay totoo:

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

Ang malalim na kaalaman sa kurba ay maaaring makuha sa aralin na Hyperbola at parabola.

Ang cubic parabola ay ibinibigay ng function na . Narito ang isang guhit na pamilyar sa paaralan:

Inililista namin ang mga pangunahing katangian ng function

Function Graph

Ito ay kumakatawan sa isa sa mga sangay ng parabola. Gumawa tayo ng drawing:

Ang mga pangunahing katangian ng pag-andar:

Sa kasong ito, ang axis ay patayong asymptote para sa hyperbola graph sa .

Magiging isang MALAKING pagkakamali kung, kapag gumuhit ng isang guhit, sa kapabayaan, papayagan mo ang graph na bumalandra sa asymptote.

Gayundin isang panig na limitasyon, sabihin sa amin na ang isang hyperbole hindi limitado mula sa itaas at hindi limitado mula sa ibaba.

Tuklasin natin ang pag-andar sa infinity: iyon ay, kung magsisimula tayong gumalaw kasama ang axis sa kaliwa (o kanan) hanggang sa infinity, kung gayon ang "mga laro" ay magiging isang payat na hakbang. malapit nang walang katapusan lumapit sa zero, at, nang naaayon, ang mga sanga ng hyperbola malapit nang walang katapusan lumapit sa axis.

Kaya ang axis ay pahalang na asymptote para sa graph ng function, kung ang "x" ay may posibilidad na plus o minus infinity.

Ang function ay kakaiba, na nangangahulugan na ang hyperbola ay simetriko tungkol sa pinagmulan. Itong katotohanan ay halata mula sa pagguhit, bukod dito, madali itong ma-verify nang analytical: .

Ang graph ng isang function ng form () ay kumakatawan sa dalawang sangay ng isang hyperbola.

Kung , kung gayon ang hyperbola ay matatagpuan sa una at ikatlong coordinate quadrant(tingnan ang larawan sa itaas).

Kung , kung gayon ang hyperbola ay matatagpuan sa ikalawa at ikaapat na coordinate quadrant.

Hindi mahirap pag-aralan ang tinukoy na regularidad ng lugar ng paninirahan ng hyperbola mula sa punto ng view ng geometric transformations ng mga graph.

Halimbawa 3

Buuin ang tamang sangay ng hyperbola

Ginagamit namin ang pointwise na paraan ng pagtatayo, habang ito ay kapaki-pakinabang upang piliin ang mga halaga upang sila ay ganap na hatiin:

Gumawa tayo ng drawing:

Hindi magiging mahirap na bumuo ng kaliwang sangay ng hyperbola, narito ang kakaiba ng pag-andar ay makakatulong lamang. Sa halos pagsasalita, sa pointwise construction table, magdagdag ng minus sa bawat numero, ilagay ang kaukulang mga tuldok at iguhit ang pangalawang sangay.

Ang detalyadong geometric na impormasyon tungkol sa isinasaalang-alang na linya ay matatagpuan sa artikulong Hyperbola at parabola.

Graph ng isang exponential function

Sa talatang ito, agad kong isasaalang-alang ang exponential function, dahil sa mga problema ng mas mataas na matematika sa 95% ng mga kaso, ito ang exponent na nangyayari.

Ipinaaalala ko sa iyo na ito ay hindi makatwirang numero: , ito ay kinakailangan kapag gumagawa ng isang graph, na, sa katunayan, ako ay magtatayo nang walang seremonya. Marahil sapat na ang tatlong puntos:

Iwanan muna natin ang graph ng function sa ngayon, tungkol dito mamaya.

Ang mga pangunahing katangian ng pag-andar:

Sa panimula, magkapareho ang hitsura ng mga graph ng mga function, atbp.

Dapat kong sabihin na ang pangalawang kaso ay hindi gaanong karaniwan sa pagsasanay, ngunit nangyayari ito, kaya naramdaman kong kailangan itong isama sa artikulong ito.

Graph ng isang logarithmic function

Isaalang-alang ang isang function na may natural na logarithm.
Gumawa tayo ng line drawing:

Kung nakalimutan mo kung ano ang logarithm, mangyaring sumangguni sa mga aklat-aralin sa paaralan.

Ang mga pangunahing katangian ng pag-andar:

Domain:

Saklaw ng mga halaga: .

Ang function ay hindi limitado mula sa itaas: , kahit na dahan-dahan, ngunit ang sangay ng logarithm ay umaakyat sa infinity.
Suriin natin ang pag-uugali ng function na malapit sa zero sa kanan: . Kaya ang axis ay patayong asymptote para sa graph ng function na may "x" na may posibilidad na zero sa kanan.

Tiyaking alam at tandaan ang karaniwang halaga ng logarithm: .

Sa panimula, ang graph ng logarithm sa base ay mukhang pareho: , , ( decimal logarithm sa base 10), atbp. Kasabay nito, mas malaki ang base, mas magiging flat ang chart.

Hindi namin isasaalang-alang ang kaso, hindi ko matandaan kung kailan huling beses bumuo ng isang graph na may ganitong batayan. Oo, at ang logarithm ay tila isang napakabihirang panauhin sa mga problema ng mas mataas na matematika.

Sa pagtatapos ng talata, sasabihin ko ang isa pang katotohanan: Exponential Function at Logarithmic Functionay dalawang magkabaligtaran na pag-andar. Kung titingnan mong mabuti ang graph ng logarithm, makikita mo na ito ay ang parehong exponent, ito ay matatagpuan sa isang maliit na naiiba.

Mga graph ng trigonometriko function

Paano nagsisimula ang trigonometric torment sa paaralan? Tama. Mula sa sine

I-plot natin ang function

Ang linyang ito ay tinatawag sinusoid.

Ipinaaalala ko sa iyo na ang "pi" ay isang hindi makatwirang numero:, at sa trigonometrya ito ay nakakasilaw sa mga mata.

Ang mga pangunahing katangian ng pag-andar:

Ang function na ito ay isang periodical may period. Ano ang ibig sabihin nito? Tingnan natin ang hiwa. Sa kaliwa at sa kanan nito, ang parehong piraso ng graph ay umuulit nang walang katapusang.

Domain: , ibig sabihin, para sa anumang halaga ng "x" mayroong isang halaga ng sine.

Saklaw ng mga halaga: . Ang function ay limitado: , ibig sabihin, lahat ng "laro" ay mahigpit na nakaupo sa segment .
Hindi ito nangyayari: o, mas tiyak, nangyayari ito, ngunit ang mga equation na ito ay walang solusyon.

1) Saklaw ng pag-andar at saklaw ng pag-andar.

Ang saklaw ng isang function ay ang hanay ng lahat ng wastong wastong halaga ng argumento x(variable x) kung saan ang function y = f(x) tinukoy. Ang hanay ng isang function ay ang hanay ng lahat ng tunay na halaga y na tinatanggap ng function.

Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero.

2) Mga function na zero.

Ang function na zero ay halaga ng argumento, kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero.

3) Mga pagitan ng sign constancy ng isang function.

Ang function na constant-sign interval ay mga set ng mga value ng argument kung saan ang mga value ng function ay positibo lamang o negatibo lamang.

4) Monotonicity ng function.

Pagtaas ng function (sa ilang pagitan) - isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.

Pagbaba ng function (sa ilang pagitan) - isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

5) Kahit (kakaibang) function.

Ang even function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = f(x). Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa y-axis.

Ang kakaibang function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = - f(x). Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

6) Limitado at walang limitasyong mga pag-andar.

Ang isang function ay tinatawag na bounded kung mayroong ganoon positibong numero M tulad na |f(x)| ≤ M para sa lahat ng halaga ng x . Kung walang ganoong numero, ang function ay walang hangganan.

7) Periodicity ng function.

Ang isang function na f(x) ay panaka-nakang kung mayroong isang hindi-zero na numerong T na para sa alinmang x mula sa domain ng function, f(x+T) = f(x). Ang pinakamaliit na bilang na ito ay tinatawag na panahon ng pagpapaandar. Lahat trigonometriko function ay pana-panahon. (Mga formula ng trigonometriko).

19. Pangunahing elementarya na pag-andar, ang kanilang mga katangian at mga graph. Paglalapat ng mga tungkulin sa ekonomiya.

Mga pangunahing pag-andar ng elementarya. Ang kanilang mga katangian at mga graph

1. Linear function.

Linear function ay tinatawag na function ng form , kung saan ang x ay isang variable, at at ang b ay mga tunay na numero.

Numero a tinawag slope factor tuwid na linya, ito ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linyang ito sa positibong direksyon ng x-axis. Ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya. Ito ay tinukoy ng dalawang puntos.

Mga Katangian ng Linear na Function

1. Domain ng kahulugan - ang hanay ng lahat ng tunay na numero: D (y) \u003d R

2. Ang hanay ng mga halaga ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero: E(y)=R

3. Ang function ay tumatagal ng isang zero na halaga para sa o.

4. Ang function ay tumataas (bumababa) sa buong domain ng kahulugan.

5. Ang linear function ay tuloy-tuloy sa buong domain ng definition, differentiable at .

2. Quadratic function.

Ang isang function ng form, kung saan ang x ay isang variable, ang coefficients a, b, c ay tunay na mga numero, ay tinatawag parisukat.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang mga katangian at graph ng mga function ng kapangyarihan ay ipinakita para sa iba't ibang mga halaga ng exponent. Mga pangunahing formula, domain at hanay ng mga halaga, parity, monotonicity, pagtaas at pagbaba, extrema, convexity, inflections, mga punto ng intersection na may mga coordinate axes, mga limitasyon, mga partikular na halaga.

Mga Formula ng Power Function

Sa domain ng power function na y = x p, ang mga sumusunod na formula ay mayroong:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Mga katangian ng mga function ng kapangyarihan at ang kanilang mga graph

Power function na may exponent na katumbas ng zero, p = 0

Kung ang exponent ng power function y = x p sero, p = 0 , pagkatapos ay tinukoy ang power function para sa lahat ng x ≠ 0 at pare-pareho, katumbas ng isa:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Power function na may natural odd exponent, p = n = 1, 3, 5, ...

Isaalang-alang ang isang power function na y = x p = x n na may natural na kakaibang exponent n = 1, 3, 5, ... . Ang nasabing indicator ay maaari ding isulat bilang: n = 2k + 1, kung saan ang k = 0, 1, 2, 3, ... ay isang non-negative integer. Nasa ibaba ang mga katangian at graph ng mga naturang function.

Graph ng power function na y = x n na may natural na kakaibang exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = 1, 3, 5, ... .

Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: -∞ < y < ∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: tumataas monotonically
Extremes: Hindi
Matambok:
sa -∞< x < 0 выпукла вверх
sa 0< x < ∞ выпукла вниз
Mga breakpoint: x=0, y=0
x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
sa x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
para sa x = 0, y(0) = 0 n = 0
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = 1 , ang function ay kabaligtaran sa sarili nito: x = y
para sa n ≠ 1, ang inverse function ay isang ugat ng degree n:

Power function na may natural even exponent, p = n = 2, 4, 6, ...

Isaalang-alang ang isang power function na y = x p = x n na may natural even exponent n = 2, 4, 6, ... . Ang nasabing indicator ay maaari ding isulat bilang: n = 2k, kung saan ang k = 1, 2, 3, ... ay isang natural na numero. Ang mga katangian at mga graph ng naturang mga function ay ibinigay sa ibaba.

Graph ng power function na y = x n na may natural even exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = 2, 4, 6, ... .

Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: 0 ≤ y< ∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
para sa x ≤ 0 monotonically bumababa
para sa x ≥ 0 monotonically pagtaas
Extremes: pinakamababa, x=0, y=0
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
para sa x = 0, y(0) = 0 n = 0
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = 2, Kuwadrado na ugat:
para sa n ≠ 2, ugat ng degree n:

Power function na may integer negative exponent, p = n = -1, -2, -3, ...

Isaalang-alang ang power function na y = x p = x n na may integer negatibong tagapagpahiwatig degree n = -1, -2, -3, ... . Kung ilalagay natin ang n = -k, kung saan ang k = 1, 2, 3, ... ay isang natural na numero, kung gayon maaari itong katawanin bilang:

Graph ng power function na y = x n na may negatibong integer exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = -1, -2, -3, ... .

Kakaibang exponent, n = -1, -3, -5, ...

Nasa ibaba ang mga katangian ng function na y = x n na may kakaibang negatibong exponent n = -1, -3, -5, ... .

Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y ≠ 0
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: bumababa nang monotoniko
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0 : выпукла вверх
para sa x > 0 : matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = -1,
para sa n< -2 ,

Kahit exponent, n = -2, -4, -6, ...

Nasa ibaba ang mga katangian ng function na y = x n na may pantay na negatibong exponent n = -2, -4, -6, ... .

Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y > 0
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0 : монотонно возрастает
para sa x > 0 : monotonically bumababa
Extremes: Hindi
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda: y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = -2,
para sa n< -2 ,

Power function na may rational (fractional) exponent

Isaalang-alang ang isang power function na y = x p na may rational (fractional) exponent , kung saan ang n ay isang integer, ang m > 1 ay isang natural na numero. Bukod dito, ang n, m ay walang mga karaniwang divisors.

Ang denominator ng fractional indicator ay kakaiba

Hayaang kakaiba ang denominator ng fractional exponent: m = 3, 5, 7, ... . Sa kasong ito, ang power function x p ay tinukoy para sa parehong positibo at negatibong mga halaga ng x. Isaalang-alang ang mga katangian ng naturang mga function ng kapangyarihan kapag ang exponent p ay nasa loob ng ilang mga limitasyon.

p ay negatibo, p< 0

Hayaang ang rational exponent (na may kakaibang denominator m = 3, 5, 7, ... ) ay mas mababa sa zero: .

Mga graph ng exponential function na may rational negative exponent para sa iba't ibang value ng exponent , kung saan ang m = 3, 5, 7, ... ay kakaiba.

Kakaibang numerator, n = -1, -3, -5, ...

Narito ang mga katangian ng isang power function na y = x p na may rasyonal na negatibong exponent , kung saan ang n = -1, -3, -5, ... ay isang kakaibang negatibong integer, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero.

Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y ≠ 0
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: bumababa nang monotoniko
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0 : выпукла вверх
para sa x > 0 : matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:

Kahit numerator, n = -2, -4, -6, ...

Mga katangian ng isang power function na y = x p na may rasyonal na negatibong exponent , kung saan ang n = -2, -4, -6, ... ay isang kahit na negatibong integer, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero .

Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y > 0
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0 : монотонно возрастает
para sa x > 0 : monotonically bumababa
Extremes: Hindi
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda: y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:

Ang p-value ay positibo, mas mababa sa isa, 0< p < 1

Graph ng power function na may rational exponent (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Kakaibang numerator, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Maramihang mga halaga: -∞ < y < +∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: tumataas monotonically
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0 : выпукла вниз
para sa x > 0 : matambok pataas
Mga breakpoint: x=0, y=0
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = -1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:

Kahit numerator, n = 2, 4, 6, ...

Ang mga katangian ng power function na y = x p na may rational exponent , na nasa loob ng 0 ay ipinakita.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Maramihang mga halaga: 0 ≤ y< +∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0 : монотонно убывает
para sa x > 0 : monotonically pagtaas
Extremes: pinakamababa sa x = 0, y = 0
Matambok: matambok paitaas sa x ≠ 0
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Tanda: para sa x ≠ 0, y > 0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = 1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:

Ang exponent p ay mas malaki sa isa, p > 1

Graph ng power function na may rational exponent (p > 1 ) para sa iba't ibang value ng exponent , kung saan ang m = 3, 5, 7, ... ay kakaiba.

Kakaibang numerator, n = 5, 7, 9, ...

Mga katangian ng power function na y = x p na may rational exponent na mas malaki sa isa: . Kung saan ang n = 5, 7, 9, ... ay isang kakaibang natural na numero, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero.

Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: -∞ < y < ∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: tumataas monotonically
Extremes: Hindi
Matambok:
sa -∞< x < 0 выпукла вверх
sa 0< x < ∞ выпукла вниз
Mga breakpoint: x=0, y=0
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = -1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:

Kahit numerator, n = 4, 6, 8, ...

Mga katangian ng power function na y = x p na may rational exponent na mas malaki sa isa: . Kung saan ang n = 4, 6, 8, ... ay isang natural na numero, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero.

Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: 0 ≤ y< ∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0 монотонно убывает
para sa x > 0 monotonically tumataas
Extremes: pinakamababa sa x = 0, y = 0
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = 1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:

Ang denominator ng fractional indicator ay pantay

Hayaang maging pantay ang denominator ng fractional exponent: m = 2, 4, 6, ... . Sa kasong ito, ang power function x p ay hindi tinukoy para sa mga negatibong halaga ng argumento. Ang mga pag-aari nito ay nag-tutugma sa mga pag-andar ng kapangyarihan na may hindi makatwirang exponent (tingnan ang susunod na seksyon).

Power function na may hindi makatwirang exponent

Isaalang-alang ang isang power function y = x p na may hindi makatwirang exponent p . Ang mga katangian ng naturang mga pag-andar ay naiiba sa mga isinasaalang-alang sa itaas dahil hindi sila tinukoy para sa mga negatibong halaga ng x argument. Para sa mga positibong halaga ng argumento, ang mga katangian ay nakadepende lamang sa halaga ng exponent p at hindi nakadepende sa kung ang p ay integer, rational, o hindi makatwiran.

y = x p para sa iba't ibang mga halaga ng exponent p .

Power function na may negatibong p< 0

Domain: x > 0
Maramihang mga halaga: y > 0
Monotone: bumababa nang monotoniko
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Mga limitasyon: ;
pribadong halaga: Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1

Power function na may positibong exponent p > 0

Ang tagapagpahiwatig ay mas mababa sa isang 0< p < 1

Domain: x ≥ 0
Maramihang mga halaga: y ≥ 0
Monotone: tumataas monotonically
Matambok: matambok
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
Mga pribadong halaga: Para sa x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1

Ang indicator ay mas malaki sa isang p > 1

Domain: x ≥ 0
Maramihang mga halaga: y ≥ 0
Monotone: tumataas monotonically
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
Mga pribadong halaga: Para sa x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.

Data ng sanggunian para sa exponential function- mga pangunahing katangian, mga graph at mga formula. Ang mga sumusunod na isyu ay isinasaalang-alang: domain ng kahulugan, hanay ng mga halaga, monotonicity, baligtad na pag-andar, derivative, integral, expansion in serye ng kapangyarihan at representasyon sa pamamagitan ng mga kumplikadong numero.

Kahulugan

Exponential function ay isang paglalahat ng produkto ng n numero na katumbas ng a :
y (n) = a n = a a a a,
sa hanay ng mga tunay na numero x :
y (x) = x.
Narito ang isang nakapirming tunay na numero, na tinatawag ang base ng exponential function.
Tinatawag din ang exponential function na may base a exponential to base a.

Ang paglalahat ay isinasagawa bilang mga sumusunod.
Para sa natural na x = 1, 2, 3,... , ang exponential function ay ang produkto ng x factor:
.
Bukod dito, mayroon itong mga katangian (1.5-8) (), na sumusunod mula sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga numero. Sa zero at mga negatibong halaga integers , ang exponential function ay tinutukoy ng mga formula (1.9-10). Para sa mga fractional na halaga x = m/n mga rational na numero, , ito ay tinutukoy ng formula (1.11). Para sa real , ang exponential function ay tinukoy bilang limitasyon ng pagkakasunud-sunod:
,
kung saan ay isang di-makatwirang pagkakasunod-sunod ng mga rational na numero na nagtatagpo sa x : .
Sa kahulugang ito, ang exponential function ay tinukoy para sa lahat , at natutugunan ang mga katangian (1.5-8), pati na rin para sa natural na x .

Ang isang mahigpit na pagbabalangkas sa matematika ng kahulugan ng isang exponential function at isang patunay ng mga katangian nito ay ibinibigay sa pahinang "Kahulugan at patunay ng mga katangian ng isang exponential function".

Mga katangian ng exponential function

Ang exponential function na y = a x ay may mga sumusunod na katangian sa hanay ng mga tunay na numero () :
(1.1) ay tinukoy at tuloy-tuloy, para sa , para sa lahat;
(1.2) kapag ang isang ≠ 1 ay may maraming kahulugan;
(1.3) mahigpit na tumataas sa , mahigpit na bumababa sa ,
ay pare-pareho sa ;
(1.4) sa ;
sa ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Iba pang mga kapaki-pakinabang na formula
.
Ang formula para sa pag-convert sa isang exponential function na may ibang power base:

Para sa b = e , nakukuha natin ang pagpapahayag ng exponential function sa mga tuntunin ng exponent:

Mga pribadong halaga

, , , , .

Ipinapakita ng figure ang mga graph ng exponential function
y (x) = x
para sa apat na halaga mga batayan ng degree:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 at a = 1/8 . Makikita na para sa isang > 1 monotonically tumataas ang exponential function. Kung mas malaki ang base ng degree a, mas malakas ang paglago. Sa 0 < a < 1 Ang exponential function ay monotonically bumababa. Kung mas maliit ang exponent a, mas malakas ang pagbaba.

Pataas pababa

Ang exponential function sa ay mahigpit na monotoniko, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian nito ay ipinakita sa talahanayan.

Baliktad na pag-andar

Ang reciprocal ng isang exponential function na may base ng degree a ay ang logarithm sa base a.

Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.

Differentiation ng exponential function

Upang pag-iba-iba ang isang exponential function, ang base nito ay dapat na bawasan sa bilang na e, ilapat ang talahanayan ng mga derivatives at ang panuntunan sa pagkita ng kaibhan. kumplikadong pag-andar.

Upang gawin ito, kailangan mong gamitin ang pag-aari ng logarithms
at ang formula mula sa talahanayan ng mga derivatives:
.

Hayaang magbigay ng exponential function:
.
Dinala namin ito sa base e:

Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function. Upang gawin ito, ipinakilala namin ang isang variable

Pagkatapos

Mula sa talahanayan ng mga derivatives mayroon tayo (palitan ang variable x ng z ):
.
Dahil ay isang pare-pareho, ang derivative ng z na may paggalang sa x ay
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar:
.

Derivative ng exponential function

.
Derivative ng ika-na order:
.
Pinagmulan ng mga formula > > >

Isang halimbawa ng pagkakaiba-iba ng exponential function

Hanapin ang derivative ng isang function
y= 35 x

Desisyon

Ipinapahayag namin ang base ng exponential function sa mga tuntunin ng numero e.
3 = e log 3
Pagkatapos
.
Ipinakilala namin ang isang variable
.
Pagkatapos

Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
.
Sa abot ng 5ln 3 ay isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng z na may paggalang sa x ay:
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar, mayroon kaming:
.

Sagot

integral

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Isaalang-alang ang function kumplikadong numero z:
f (z) = az
kung saan z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Ipinapahayag namin ang complex constant a sa mga tuntunin ng modulus r at ang argumento φ :
a = r e i φ
Pagkatapos


.
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. AT pangkalahatang pananaw
φ = φ 0 + 2 pn,
kung saan ang n ay isang integer. Samakatuwid, ang function na f (z) ay malabo rin. Kadalasang isinasaalang-alang ang pangunahing kahalagahan nito
.

Pagpapalawak sa serye

.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.