Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay. The Comprehensive Guide (2019)

Ang larangan ng mga tunay na numero ay may pag-aari ng pag-order (Seksyon 6, p. 35): para sa anumang mga numerong a, b, isa at isa lamang sa tatlong mga ugnayan ang nagtataglay: o . Sa kasong ito, ang entry na a > b ay nangangahulugan na ang pagkakaiba ay positibo, at ang entry na pagkakaiba ay negatibo. Hindi tulad ng field ng real numbers, ang field kumplikadong mga numero hindi iniutos: para sa mga kumplikadong numero ang mga konsepto ng "higit pa" at "mas kaunti" ay hindi tinukoy; Samakatuwid, ang kabanatang ito ay tumatalakay lamang sa mga tunay na numero.

Tinatawag namin ang mga relasyon na hindi pagkakapantay-pantay, ang mga numerong a at b ay mga termino (o mga bahagi) ng hindi pagkakapantay-pantay, ang mga palatandaan > (mas malaki kaysa) at Hindi pagkakapantay-pantay a > b at c > d ay tinatawag na hindi pagkakapantay-pantay ng pareho (o pareho) na kahulugan; hindi pagkakapantay-pantay a > b at c Mula sa kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay agad itong sinusundan

1) anuman positibong numero Higit sa zero;

2) anuman isang negatibong numero mas mababa sa zero;

3) anumang positibong numero ay mas malaki kaysa sa anumang negatibong numero;

4) ng dalawang negatibong numero, ang isa na ang absolute value ay mas maliit ay mas malaki.

Ang lahat ng mga pahayag na ito ay umamin ng isang simpleng geometric na interpretasyon. Hayaang pumunta ang positibong direksyon ng axis ng numero sa kanan ng panimulang punto; pagkatapos, anuman ang mga palatandaan ng mga numero, ang mas malaki sa kanila ay kinakatawan ng isang puntong nakahiga sa kanan ng puntong kumakatawan sa mas maliit na bilang.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay may mga sumusunod na pangunahing katangian.

1. Asymmetry (irreversibility): kung , pagkatapos , at kabaliktaran.

Sa katunayan, kung ang pagkakaiba ay positibo, kung gayon ang pagkakaiba ay negatibo. Sinasabi nila na kapag muling inaayos ang mga termino ng isang hindi pagkakapantay-pantay, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay dapat baguhin sa kabaligtaran.

2. Transitivity: kung , pagkatapos . Sa katunayan, mula sa pagiging positibo ng mga pagkakaiba ay sinusundan iyon

Bilang karagdagan sa mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay, mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay at ginagamit din. Ang mga ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: ang entry ay nangangahulugan na alinman o Samakatuwid, halimbawa, maaari kang sumulat, at gayundin. Karaniwan, ang mga hindi pagkakapantay-pantay na nakasulat gamit ang mga palatandaan ay tinatawag mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, at nakasulat gamit ang mga palatandaan bilang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Alinsunod dito, ang mga palatandaan mismo ay tinatawag na mga palatandaan ng mahigpit o hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga katangian 1 at 2 na tinalakay sa itaas ay totoo rin para sa mga hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay.

Isaalang-alang natin ngayon ang mga aksyon na maaaring gawin sa isa o higit pang mga hindi pagkakapantay-pantay.

3. Ang pagdaragdag ng parehong bilang sa mga termino ng isang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago sa kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay.

Patunay. Hayaang magbigay ng hindi pagkakapantay-pantay at isang di-makatwirang numero. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang pagkakaiba ay positibo. Magdagdag tayo ng dalawang magkasalungat na numero sa numerong ito, na hindi magbabago nito, i.e.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

Ito ay sumusunod mula dito na ang pagkakaiba ay positibo, ibig sabihin, iyon

at ito ang dapat patunayan.

Ito ang batayan para sa posibilidad na ang sinumang miyembro ng hindi pagkakapantay-pantay ay malihis mula sa isang bahagi patungo sa isa pa na may kabaligtaran na palatandaan. Halimbawa, mula sa hindi pagkakapantay-pantay

sinusundan iyon

4. Kapag pinarami ang mga termino ng isang hindi pagkakapantay-pantay sa parehong positibong numero, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago; Kapag ang mga termino ng isang hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng parehong negatibong numero, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago sa kabaligtaran.

Patunay. Let then If then since positive ang product ng positive numbers. Pagbukas ng mga panaklong sa kaliwang bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay, makuha namin ang , ibig sabihin. Ang kaso ay isinasaalang-alang sa katulad na paraan.

Ang eksaktong parehong konklusyon ay maaaring iguguhit tungkol sa paghahati ng mga bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng anumang numero maliban sa zero, dahil ang paghahati sa isang numero ay katumbas ng multiplikasyon sa isang numero at ang mga numero ay may parehong mga palatandaan.

5. Hayaang maging positibo ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay. Pagkatapos, kapag ang mga termino nito ay itinaas sa parehong positibong kapangyarihan, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.

Patunay. Hayaan sa kasong ito, sa pamamagitan ng transitivity property, at . Pagkatapos, dahil sa monotonic na pagtaas function ng kapangyarihan para at positibong magkakaroon tayo

Sa partikular, kung saan -natural na numero, pagkatapos makuha namin

ibig sabihin, kapag kinukuha ang ugat mula sa magkabilang panig ng isang hindi pagkakapantay-pantay na may mga positibong termino, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.

Hayaang maging negatibo ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay. Kung gayon hindi mahirap patunayan na kapag ang mga tuntunin nito ay itinaas sa kakaiba natural na antas ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi magbabago, ngunit kapag itinaas sa isang natural na kapangyarihan, ito ay magbabago sa kabaligtaran. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay na may mga negatibong termino ay maaari ding kunin ang ugat ng kakaibang antas.

Hayaan, higit pa, ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay mayroon iba't ibang palatandaan. Pagkatapos, kapag itinaas ito sa isang kakaibang kapangyarihan, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago, ngunit kapag itinaas ito sa isang pantay na kapangyarihan, sa pangkalahatang kaso, walang tiyak na masasabi tungkol sa kahulugan ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay. Sa katunayan, kapag ang isang numero ay itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan, ang tanda ng numero ay napanatili at samakatuwid ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago. Kapag ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay itinaas sa isang pantay na kapangyarihan, isang hindi pagkakapantay-pantay na may mga positibong termino ay nabuo, at ang kahulugan nito ay nakasalalay sa ganap na mga halaga ng mga tuntunin ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay; isang hindi pagkakapantay-pantay na may parehong kahulugan tulad ng orihinal, isang hindi pagkakapantay-pantay. ng kabaligtaran na kahulugan, at maging ang pagkakapantay-pantay ay maaaring makuha!

Kapaki-pakinabang na suriin ang lahat ng sinabi tungkol sa pagtataas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga kapangyarihan gamit ang sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 1. Itaas ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay sa ipinahiwatig na kapangyarihan, palitan ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay sa kabaligtaran o katumbas na tanda, kung kinakailangan.

a) 3 > 2 sa kapangyarihan ng 4; b) sa antas 3;

c) hanggang degree 3; d) hanggang degree 2;

e) sa kapangyarihan ng 5; e) hanggang degree 4;

g) 2 > -3 sa kapangyarihan ng 2; h) sa kapangyarihan ng 2,

6. Mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay maaari tayong lumipat sa isang hindi pagkakapantay-pantay sa pagitan ng kung ang mga termino ng hindi pagkakapantay-pantay ay parehong positibo o parehong negatibo, kung gayon sa pagitan ng kanilang mga kapalit ay mayroong isang hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan:

Patunay. Kung ang a at b ay may parehong tanda, kung gayon ang kanilang produkto ay positibo. Hatiin sa hindi pagkakapantay-pantay

ibig sabihin, kung ano ang kinakailangan upang makuha.

Kung ang mga termino ng isang hindi pagkakapantay-pantay ay may kabaligtaran na mga palatandaan, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay sa pagitan ng kanilang mga katumbas ay may parehong kahulugan, dahil ang mga palatandaan ng mga katumbas ay pareho sa mga palatandaan ng mga dami mismo.

Halimbawa 2. Suriin ang huling ari-arian 6 gamit ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

7. Ang logarithm ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring gawin lamang sa kaso kapag ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay positibo (negatibong mga numero at zero logarithms ay walang).

Hayaan mong . Pagkatapos ay magkakaroon

at kung kailan magkakaroon

Ang kawastuhan ng mga pahayag na ito ay batay sa monotonicity ng logarithmic function, na tumataas kung ang base at bumababa nang may

Kaya, kapag kinuha ang logarithm ng isang hindi pagkakapantay-pantay na binubuo ng mga positibong termino sa isang base na mas malaki kaysa sa isa, isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan tulad ng ibinigay na isa ay nabuo, at kapag dinadala ang logarithm sa isang positibong base na mas mababa sa isa, isang hindi pagkakapantay-pantay ng nabubuo ang kasalungat na kahulugan.

8. Kung, kung gayon kung, ngunit, kung gayon.

Kaagad itong sumusunod mula sa mga katangian ng monotonicity exponential function(p. 42), na tumataas sa kaso at bumababa kung

Kapag nagdaragdag ng mga termwise inequalities ng parehong kahulugan, isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan bilang ang data ay nabuo.

Patunay. Patunayan natin ang pahayag na ito para sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay, bagaman ito ay totoo para sa anumang bilang ng mga idinagdag na hindi pagkakapantay-pantay. Hayaang ibigay ang hindi pagkakapantay-pantay

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga numero ay magiging positibo; tapos positive din yung sum nila, i.e.

Ang pag-grupo ng mga termino sa ibang paraan, nakukuha namin

at samakatuwid

at ito ang dapat patunayan.

Imposibleng sabihin ang anumang tiyak sa pangkalahatang kaso tungkol sa kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawa o higit pang hindi pagkakapantay-pantay. iba't ibang kahulugan.

10. Kung mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay ay ibawas natin, termino sa pamamagitan ng termino, isa pang hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan, kung gayon ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan tulad ng una ay nabuo.

Patunay. Hayaang ibigay ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay na may magkaibang kahulugan. Ang pangalawa sa kanila, ayon sa pag-aari ng hindi maibabalik, ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: d > c. Idagdag natin ngayon ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan at makuha ang hindi pagkakapantay-pantay

ang parehong kahulugan. Mula sa huli nahanap namin

at ito ang dapat patunayan.

Imposibleng sabihin ang anumang tiyak sa pangkalahatang kaso tungkol sa kahulugan ng isang hindi pagkakapantay-pantay na nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay ng isa pang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan.

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan, alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong pagtatanong o mga kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

1 . Kung a>b, Iyon b< a ; sa kabaligtaran, kung A< b , Iyon b > a.

Halimbawa. Kung 5x – 1 > 2x + 1, Iyon 2x +1< 5x — 1 .

2 . Kung a>b At b > c, Iyon a > c. Katulad, A< b At b< с , Iyon a< с .

Halimbawa. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay x > 2u, 2y > 10 sinusundan iyon x >10.

3 . Kung a > b, yun a + c > b + c At a – c > b – c. Kung A< b , Iyon a + c At a - c , mga. maaari mong idagdag (o ibawas) ang parehong dami sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay