Pag-alam sa dami ng isang regular na triangular na pyramid. Dami ng isang tatsulok na pyramid

Dito ay susuriin natin ang mga halimbawa na may kaugnayan sa konsepto ng volume. Upang malutas ang mga naturang gawain, dapat mong malaman ang formula para sa dami ng pyramid:

S

h - ang taas ng pyramid

Ang base ay maaaring maging anumang polygon. Ngunit sa karamihan ng mga gawain sa pagsusulit, ang kundisyon, bilang panuntunan, ay tungkol sa tamang mga pyramids. Hayaan akong ipaalala sa iyo ang isa sa mga katangian nito:

Ang tuktok ng isang regular na pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base nito

Tingnan ang projection ng regular na triangular, quadrangular at hexagonal pyramids (TOP VIEW):

Maaari mong sa blog, kung saan ang mga gawain na may kaugnayan sa paghahanap ng dami ng pyramid ay hinarap.Isaalang-alang ang mga gawain:

27087. Hanapin ang volume ng tama tatsulok na pyramid, na ang mga base na gilid ay katumbas ng 1, at ang taas ay katumbas ng ugat ng tatlo.

S- lugar ng base ng pyramid

h- ang taas ng pyramid

Hanapin ang lugar ng base ng pyramid, ito ay isang regular na tatsulok. Ginagamit namin ang formula - ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga katabing panig sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila, na nangangahulugang:

Sagot: 0.25

27088. Hanapin ang taas ng isang regular na triangular na pyramid na may base na gilid na katumbas ng 2 at volume na katumbas ng ugat ng tatlo.

Ang mga konsepto tulad ng taas ng pyramid at ang mga katangian ng base nito ay nauugnay sa formula ng volume:

S- lugar ng base ng pyramid

h- ang taas ng pyramid

Alam namin ang lakas ng tunog mismo, maaari naming mahanap ang lugar ng base, dahil ang mga gilid ng tatsulok, na kung saan ay ang base, ay kilala. Ang pag-alam sa mga halagang ito, madali nating mahahanap ang taas.

Upang mahanap ang lugar ng base, ginagamit namin ang formula - ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga katabing panig sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila, na nangangahulugang:

Kaya, sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halagang ito sa formula ng volume, maaari nating kalkulahin ang taas ng pyramid:

Tatlo ang taas.

Sagot: 3

27109. Sa isang regular na quadrangular pyramid, ang taas ay 6, ang gilid na gilid ay 10. Hanapin ang volume nito.

Ang dami ng pyramid ay kinakalkula ng formula:

S- lugar ng base ng pyramid

h- ang taas ng pyramid

Alam namin ang taas. Kailangan mong hanapin ang lugar ng base. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang tuktok ng isang regular na pyramid ay naka-project sa gitna ng base nito. Ang base ng isang regular na quadrangular pyramid ay isang parisukat. Mahahanap natin ang dayagonal nito. Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok (naka-highlight sa asul):

Ang segment na nagkokonekta sa gitna ng parisukat na may punto B ay isang binti, na katumbas ng kalahati ng dayagonal ng parisukat. Maaari nating kalkulahin ang leg na ito gamit ang Pythagorean theorem:

Kaya BD = 16. Kalkulahin ang lugar ng parisukat gamit ang quadrilateral area formula:

Dahil dito:

Kaya, ang dami ng pyramid ay:

Sagot: 256

27178. Sa isang regular na quadrangular pyramid, ang taas ay 12, ang volume ay 200. Hanapin ang gilid na gilid ng pyramid na ito.

Ang taas ng pyramid at ang dami nito ay kilala, upang mahanap natin ang lugar ng parisukat, na siyang base. Alam ang lugar ng isang parisukat, mahahanap natin ang dayagonal nito. Dagdag pa, sa pagsasaalang-alang ng isang right-angled triangle, gamit ang Pythagorean theorem, kinakalkula namin ang gilid ng gilid:

Hanapin ang lugar ng parisukat (ang base ng pyramid):

Kalkulahin ang dayagonal ng parisukat. Dahil ang lugar nito ay 50, kung gayon ang gilid ay magiging katumbas ng ugat ng limampu, at ayon sa Pythagorean theorem:

Hinahati ng puntong O ang dayagonal na BD sa kalahati, kaya ang binti ng tamang tatsulok OB = 5.

Kaya, maaari nating kalkulahin kung ano ang katumbas ng gilid na gilid ng pyramid:

Sagot: 13

245353. Hanapin ang volume ng pyramid na ipinapakita sa figure. Ang base nito ay isang polygon na ang mga katabing gilid ay patayo, at ang isa sa mga gilid ng gilid ay patayo sa eroplano ng base at katumbas ng 3.

Tulad ng paulit-ulit na sinabi - ang dami ng pyramid ay kinakalkula ng formula:

S- lugar ng base ng pyramid

h- ang taas ng pyramid

Ang gilid ng gilid patayo sa base ay tatlo, na nangangahulugan na ang taas ng pyramid ay tatlo. Ang base ng pyramid ay isang polygon na ang lugar ay:

Sa ganitong paraan:

Sagot: 27

27086. Ang base ng pyramid ay isang parihaba na may mga gilid 3 at 4. Ang volume nito ay 16. Hanapin ang taas ng pyramid na ito.

Ang pyramid ay isang polyhedron na may polygon sa base nito. Ang lahat ng mga mukha, sa turn, ay bumubuo ng mga tatsulok na nagtatagpo sa isang tuktok. Ang mga pyramid ay tatsulok, quadrangular, at iba pa. Upang matukoy kung aling pyramid ang nasa harap mo, sapat na upang mabilang ang bilang ng mga sulok sa base nito. Ang kahulugan ng "taas ng pyramid" ay madalas na matatagpuan sa mga problema sa geometry sa kurikulum ng paaralan. Sa artikulong susubukan naming isaalang-alang iba't ibang paraan kanyang lokasyon.

Mga bahagi ng pyramid

Ang bawat pyramid ay binubuo ng mga sumusunod na elemento:

• mga gilid na mukha na may tatlong sulok at nagtatagpo sa itaas;
• apothem ay kumakatawan sa taas na bumababa mula sa tuktok nito;
• ang tuktok ng pyramid ay isang punto na nag-uugnay sa mga gilid ng gilid, ngunit hindi namamalagi sa eroplano ng base;
• ang base ay isang polygon na hindi naglalaman ng vertex;
• ang taas ng pyramid ay isang segment na nag-intersect sa tuktok ng pyramid at bumubuo ng tamang anggulo sa base nito.

Paano mahahanap ang taas ng isang pyramid kung alam ang volume nito

Sa pamamagitan ng formula V \u003d (S * h) / 3 (sa formula V ay ang volume, S ang base area, h ang taas ng pyramid), nakita namin na h \u003d (3 * V) / S . Upang pagsamahin ang materyal, agad nating lutasin ang problema. Ang triangular na base ay 50 cm 2 habang ang volume nito ay 125 cm 3 . Ang taas ng triangular pyramid ay hindi alam, na kailangan nating hanapin. Ang lahat ay simple dito: ipinapasok namin ang data sa aming formula. Nakukuha namin ang h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7.5 cm.

Paano mahahanap ang taas ng isang pyramid kung ang haba ng dayagonal at ang gilid nito ay kilala

Tulad ng naaalala natin, ang taas ng pyramid ay bumubuo ng isang tamang anggulo sa base nito. At nangangahulugan ito na ang taas, gilid at kalahati ng dayagonal na magkasama ay bumubuo ng Marami, siyempre, tandaan ang Pythagorean theorem. Ang pag-alam ng dalawang dimensyon, hindi magiging mahirap na hanapin ang pangatlong halaga. Alalahanin ang kilalang theorem a² = b² + c², kung saan ang a ay ang hypotenuse, at sa aming kaso ang gilid ng pyramid; b - ang unang binti o kalahati ng dayagonal at c - ayon sa pagkakabanggit, ang pangalawang binti, o ang taas ng pyramid. Mula sa formula na ito, c² = a² - b².

Ngayon ang problema: sa isang regular na pyramid, ang dayagonal ay 20 cm, habang ang haba ng gilid ay 30 cm. Kailangan mong hanapin ang taas. Nalutas namin ang: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Samakatuwid c \u003d √ 500 \u003d tungkol sa 22.4.

Paano mahahanap ang taas ng isang pinutol na pyramid

Ito ay isang polygon na may isang seksyon na kahanay sa base nito. Ang taas ng pinutol na pyramid ay ang segment na nag-uugnay sa dalawang base nito. Ang taas ay matatagpuan sa isang regular na pyramid kung ang mga haba ng mga dayagonal ng parehong mga base, pati na rin ang gilid ng pyramid, ay kilala. Hayaang ang dayagonal ng mas malaking base ay d1, habang ang dayagonal ng mas maliit na base ay d2, at ang gilid ay may haba l. Upang mahanap ang taas, maaari mong ibaba ang mga taas mula sa dalawang itaas na magkatapat na punto ng diagram hanggang sa base nito. Nakita namin na mayroon kaming dalawang right-angled triangles, nananatili itong hanapin ang haba ng kanilang mga binti. Upang gawin ito, ibawas ang mas maliit na dayagonal mula sa mas malaking dayagonal at hatiin ng 2. Kaya makikita natin ang isang binti: a \u003d (d1-d2) / 2. Pagkatapos nito, ayon sa Pythagorean theorem, kailangan lamang nating hanapin ang pangalawang binti, na siyang taas ng pyramid.

Ngayon tingnan natin ang buong bagay na ito sa pagsasanay. Mayroon kaming isang gawain sa hinaharap. Ang pinutol na pyramid ay may isang parisukat sa base, ang dayagonal na haba ng mas malaking base ay 10 cm, habang ang mas maliit ay 6 cm, at ang gilid ay 4 cm. Kinakailangan upang mahanap ang taas. Upang magsimula, nakita namin ang isang binti: isang \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Ang isang binti ay 2 cm, at ang hypotenuse ay 4 cm. Lumalabas na ang pangalawang binti o taas ay magiging 16- 4 \u003d 12, iyon ay, h \u003d √12 = mga 3.5 cm.

Bumalik pasulong

Pansin! Ang slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa buong lawak ng pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Mga Layunin ng Aralin.

Pang-edukasyon: Kumuha ng formula para sa pagkalkula ng volume ng isang pyramid

Pagbuo: upang bumuo ng nagbibigay-malay na interes ng mga mag-aaral sa mga akademikong disiplina, ang kakayahang magamit ang kanilang kaalaman sa pagsasanay.

Pang-edukasyon: upang linangin ang atensyon, katumpakan, upang palawakin ang abot-tanaw ng mga mag-aaral.

Kagamitan at materyales: computer, screen, projector, presentasyon na "Volume of the pyramid".

1. Pangharap na survey. Mga slide 2, 3

Ano ang tinatawag na pyramid, ang base ng pyramid, ribs, height, axis, apothem. Aling pyramid ang tinatawag na regular, tetrahedron, truncated pyramid?

Pyramid - isang polyhedron na binubuo ng isang patag polygon, puntos, hindi nakahiga sa eroplano ng polygon na ito at lahat ng mga segment, pagkonekta sa puntong ito sa mga punto ng polygon.

Ang puntong ito tinawag summit pyramid, at isang flat polygon ang base ng pyramid. Mga segment, na nagkokonekta sa tuktok ng pyramid sa tuktok ng base, ay tinatawag tadyang . taas mga piramide - patayo, ibinaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base. Apothem - taas ng gilid ng gilid tamang pyramid. Ang pyramid, na sa base tama ang kasinungalingan n-gon, a base ng taas sumasabay sa sentro ng pundasyon tinawag tama n-gonal pyramid. aksis Ang isang regular na pyramid ay tinatawag na isang tuwid na linya na naglalaman ng taas nito. Ang regular na triangular na pyramid ay tinatawag na tetrahedron. Kung ang pyramid ay tinawid ng isang eroplano, parallel na eroplano base, pagkatapos ay puputulin nito ang pyramid, katulad binigay. Ang natitira ay tinatawag pinutol na pyramid.

2. Derivation ng formula para sa pagkalkula ng volume ng pyramid V=SH/3 Slides 4, 5, 6

1. Hayaang ang SABC ay isang triangular na pyramid na may vertex S at batayang ABC.

2. Kumpletuhin ang pyramid na ito sa isang tatsulok na prism na may parehong base at taas.

3. Ang prisma na ito ay binubuo ng tatlong pyramids:

1) itong pyramid SABC.

2) mga piramide SCC 1 B 1 .

3) at mga pyramids SCBB 1 .

4. Ang pangalawa at pangatlong pyramids ay may pantay na base CC 1 B 1 at B 1 BC at ang kabuuang taas na iginuhit mula sa vertex S hanggang sa mukha ng parallelogram BB 1 C 1 C. Samakatuwid, mayroon silang pantay na volume.

5. Ang una at pangatlong pyramids ay mayroon ding pantay na mga base SAB at BB 1 S at magkatulad na taas na iginuhit mula sa vertex C hanggang sa mukha ng parallelogram ABB 1 S. Samakatuwid, mayroon din silang pantay na volume.

Nangangahulugan ito na ang lahat ng tatlong pyramid ay may parehong volume. Dahil ang kabuuan ng mga volume na ito ay katumbas ng volume ng prisma, ang mga volume ng mga pyramids ay katumbas ng SH/3.

Ang volume ng anumang triangular pyramid ay katumbas ng isang-katlo ng base area na pinarami ng taas.

3. Pagsasama-sama ng bagong materyal. Solusyon ng mga pagsasanay.

1) Gawain № 33 mula sa aklat-aralin A.N. Pogorelov. Slide 7, 8, 9

Sa gilid ng base? at gilid ng gilid b hanapin ang volume ng isang regular na pyramid, sa base nito ay:

1) tatsulok,

2) may apat na gilid,

3) heksagono.

Sa isang regular na pyramid, ang taas ay dumadaan sa gitna ng isang bilog na nakapaligid malapit sa base. Pagkatapos: (Apendise)

4. Makasaysayang impormasyon tungkol sa mga pyramids. Mga slide 15, 16, 17

Ang una sa aming mga kontemporaryo na nagtatag ng isang bilang ng mga hindi pangkaraniwang phenomena na nauugnay sa pyramid ay ang Pranses na siyentipiko na si Antoine Bovy. Sa paggalugad sa pyramid ng Cheops noong 30s ng ikadalawampu siglo, natuklasan niya na ang mga katawan ng maliliit na hayop na aksidenteng nakapasok sa royal room ay mummified. Ipinaliwanag ni Bovi ang dahilan nito para sa kanyang sarili sa pamamagitan ng hugis ng pyramid at, tulad ng nangyari, ay hindi nagkamali. Ang kanyang trabaho ang naging batayan kontemporaryong pananaliksik, bilang isang resulta nito, sa nakalipas na 20 taon, maraming mga libro at publikasyon ang lumitaw na nagpapatunay na ang enerhiya ng mga pyramids ay maaaring maging praktikal na kahalagahan.

Misteryo ng Pyramids

Ang ilang mga mananaliksik ay nagtalo na ang pyramid ay naglalaman ng isang malaking halaga ng impormasyon tungkol sa istraktura ng Uniberso, ang solar system at tao, na naka-encode sa kanyang geometric na anyo, o sa halip, sa anyo ng isang octahedron, kalahati nito ay ang pyramid. Ang pyramid na may top up ay sumisimbolo sa buhay, sa itaas pababa - kamatayan, ibang mundo. Tulad ng mga bahagi ng Bituin ni David (Magen David), kung saan ang tatsulok na nakadirekta paitaas ay sumisimbolo sa pag-akyat sa Mas Mataas na Isip, Diyos, at ang tatsulok, na ibinaba kasama ang tuktok pababa, ay sumisimbolo sa pagbaba ng kaluluwa sa Earth, materyal na pag-iral. ...

Ang digital na halaga ng code kung saan ang impormasyon tungkol sa Uniberso ay naka-encrypt sa pyramid, ang numerong 365, ay hindi pinili ng pagkakataon. Una sa lahat, ito ang taunang siklo ng buhay ng ating planeta. Bilang karagdagan, ang bilang na 365 ay binubuo ng tatlong numero 3, 6 at 5. Ano ang ibig sabihin ng mga ito? Kung nasa solar system Ang araw ay pumasa sa numero 1, Mercury - 2, Venus - 3, Earth - 4, Mars - 5, Jupiter - 6, Saturn - 7, Uranus - 8, Neptune - 9, Pluto - 10, pagkatapos ay 3 ay Venus, 6 - Jupiter at 5 - Mars. Samakatuwid, ang lupa sa isang espesyal na paraan nauugnay sa mga planetang ito. Ang pagdaragdag ng mga numero 3, 6 at 5, makakakuha tayo ng 14, kung saan ang 1 ay ang Araw, at ang 4 ay ang Earth.

Ang numero 14 sa pangkalahatan ay may pandaigdigang kahulugan: sa partikular, ang istraktura ng mga kamay ng tao ay batay dito, kabuuang bilang phalanges ng mga daliri ng bawat isa ay 14 din. Ang code na ito ay nauugnay din sa konstelasyon Ursa Major, na kinabibilangan ng ating Araw, at kung saan may isa pang bituin na sumira sa Phaeton, isang planeta na matatagpuan sa pagitan ng Mars at Jupiter, pagkatapos ay lumitaw si Pluto sa solar system, at nagbago ang mga katangian ng iba pang mga planeta.

Sinasabi ng maraming esoteric na mapagkukunan na ang sangkatauhan ng Earth ay nakaranas na ng isang sakuna sa buong mundo nang apat na beses. Alam ng ikatlong lahi ng Lemurian ang Banal na agham ng Uniberso, pagkatapos ang lihim na doktrinang ito ay ipinadala lamang sa mga nagsisimula. Sa simula ng mga cycle at kalahating cycle ng sidereal year, itinayo nila ang mga pyramids. Malapit na nilang matuklasan ang code ng buhay. Ang sibilisasyon ng Atlantis ay nagtagumpay sa maraming bagay, ngunit sa ilang antas ng kaalaman ay napigilan sila ng isa pang sakuna sa planeta, na sinamahan ng pagbabago ng mga lahi. Malamang, gustong iparating sa atin ng mga nagpasimula na ang kaalaman sa mga batas sa kosmiko ay nakapaloob sa mga pyramids...

Ang mga espesyal na aparato sa anyo ng mga pyramids ay neutralisahin ang negatibong electromagnetic radiation sa isang tao mula sa isang computer, TV, refrigerator at iba pang mga gamit sa bahay.

Sa isa sa mga libro, ang isang kaso ay inilarawan kapag ang isang pyramid na naka-install sa loob ng kotse ay nagpababa ng pagkonsumo ng gasolina at nabawasan ang nilalaman ng CO sa mga gas na tambutso.

Ang mga buto ng mga pananim sa hardin na may edad sa mga pyramids ay may mas mahusay na pagtubo at ani. Inirerekomenda pa ng mga publikasyon na ibabad ang mga buto bago itanim sa pyramidal water.

Napag-alaman na ang mga pyramids ay may kapaki-pakinabang na epekto sa ekolohikal na sitwasyon. Tanggalin ang mga pathogenic zone sa mga apartment, opisina at suburban area, na lumilikha ng positibong aura.

Ang Dutch researcher na si Paul Dickens sa kanyang aklat ay nagbibigay ng mga halimbawa ng mga katangian ng pagpapagaling ng mga pyramids. Napansin niya na maaari itong magamit upang mapawi ang pananakit ng ulo, pananakit ng kasukasuan, itigil ang pagdurugo na may maliliit na hiwa, at ang enerhiya ng mga pyramids ay nagpapasigla sa metabolismo at nagpapalakas ng immune system.

Sa ilang modernong mga publikasyon, nabanggit na ang mga gamot na nasa edad sa pyramid ay nagpapaikli sa kurso ng paggamot, at ang dressing material, na puspos ng positibong enerhiya, ay nagtataguyod ng pagpapagaling ng sugat.

Ang mga kosmetikong cream at ointment ay nagpapabuti sa kanilang epekto.

Ang mga inumin, kabilang ang alkohol, ay nagpapabuti sa kanilang panlasa, at ang tubig na nakapaloob sa 40% vodka ay nagiging nakapagpapagaling. Totoo, upang singilin ang isang karaniwang 0.5 litro na bote na may positibong enerhiya, kailangan mo ng isang mataas na pyramid.

Sinasabi ng isang artikulo sa pahayagan na kung mag-iimbak ka ng mga alahas sa ilalim ng isang pyramid, sila ay naglilinis ng sarili at nakakakuha ng isang espesyal na kinang, habang ang mga mahalagang at semi-mahalagang mga bato ay nag-iipon ng positibong bioenergy at pagkatapos ay unti-unting inilalabas ito.

Ayon sa mga siyentipikong Amerikano, ang mga produktong pagkain, tulad ng mga cereal, harina, asin, asukal, kape, tsaa, pagkatapos na nasa pyramid, ay nagpapabuti sa kanilang panlasa, at ang murang sigarilyo ay nagiging katulad ng kanilang marangal na katapat.

Maaaring hindi ito nauugnay sa marami, ngunit ang mga lumang razor blades ay nagpapatalas sa sarili sa isang maliit na pyramid, at ang tubig ay hindi nagyeyelo sa isang malaking pyramid sa -40 degrees Celsius.

Ayon sa karamihan ng mga mananaliksik, ang lahat ng ito ay patunay ng pagkakaroon ng enerhiya ng mga pyramids.

Sa loob ng 5000 taon ng pagkakaroon nito, ang mga pyramid ay naging isang uri ng simbolo na nagpapakilala sa pagnanais ng tao na maabot ang tugatog ng kaalaman.

5. Pagbubuod ng aralin.

Bibliograpiya.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A. V. Geometry 10-11, publishing house na "Enlightenment".

3) Encyclopedia "Tree of Knowledge" Marshall K.

Ang pangunahing katangian ng anuman geometric na pigura sa kalawakan ang dami nito. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin kung ano ang isang pyramid na may tatsulok sa base, at ipakita din kung paano hanapin ang dami ng isang tatsulok na pyramid - regular na puno at pinutol.

Ano ang triangular pyramid?

Narinig na ng lahat ang tungkol sa sinaunang Egyptian pyramids, ngunit sila ay quadrangular regular, hindi triangular. Ipaliwanag natin kung paano makakuha ng triangular pyramid.

Kumuha tayo ng di-makatwirang tatsulok at ikonekta ang lahat ng vertices nito sa isang punto na matatagpuan sa labas ng eroplano ng tatsulok na ito. Ang resultang figure ay tatawaging triangular pyramid. Ito ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Tulad ng nakikita mo, ang figure na isinasaalang-alang ay nabuo ng apat na tatsulok, na sa pangkalahatang kaso ay naiiba. Ang bawat tatsulok ay ang mga gilid ng pyramid o ang mukha nito. Ang pyramid na ito ay madalas na tinatawag na tetrahedron, iyon ay, isang four-sided three-dimensional figure.

Bilang karagdagan sa mga gilid, ang pyramid ay mayroon ding mga gilid (mayroong 6 sa kanila) at mga vertices (mayroong 4 sa kanila).

na may tatsulok na base

Ang figure, na nakuha gamit ang isang arbitrary na tatsulok at isang punto sa espasyo, ay magiging isang irregular inclined pyramid sa pangkalahatang kaso. Ngayon isipin na ang orihinal na tatsulok ay may parehong mga gilid, at ang isang punto sa espasyo ay matatagpuan eksakto sa itaas ng geometric center nito sa layo na h mula sa eroplano ng tatsulok. Ang pyramid na binuo gamit ang paunang data na ito ay magiging tama.

Malinaw, ang bilang ng mga gilid, gilid at vertices ng isang regular na triangular na pyramid ay magiging kapareho ng bilang ng isang pyramid na binuo mula sa isang arbitrary triangle.

Gayunpaman tamang pigura Mayroong kaunti mga palatandaan:

• ang taas nito, na iginuhit mula sa itaas, ay eksaktong bumalandra sa base sa geometric center (ang punto ng intersection ng mga median);
• ibabaw ng gilid ang naturang pyramid ay nabuo ng tatlong magkakahawig na tatsulok na isosceles o equilateral.

Ang regular na triangular na pyramid ay hindi lamang isang teoretikal na geometric na bagay. Ang ilang mga istraktura sa kalikasan ay may hugis nito, tulad ng kristal na sala-sala ng brilyante, kung saan ang isang carbon atom ay konektado sa apat sa parehong mga atom sa pamamagitan ng covalent bond, o isang methane molecule, kung saan ang mga tuktok ng pyramid ay nabuo ng mga atomo ng hydrogen.

tatsulok na pyramid

Maaari mong matukoy ang dami ng ganap na anumang pyramid na may arbitrary na n-gon sa base gamit ang sumusunod na expression:

Dito ang simbolo na S o ay nagpapahiwatig ng lugar ng base, h ay ang taas ng figure na iginuhit sa minarkahang base mula sa tuktok ng pyramid.

Dahil ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng haba ng gilid nito a at ang apothem h a ay ibinaba sa panig na ito, ang pormula para sa dami ng isang tatsulok na pyramid ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

V = 1/6 × a × h a × h

Para sa pangkalahatang uri Ang pagtukoy sa taas ay hindi isang madaling gawain. Upang malutas ito, ang pinakamadaling paraan ay ang paggamit ng formula para sa distansya sa pagitan ng isang punto (vertex) at isang eroplano (triangular base), na kinakatawan ng equation pangkalahatang pananaw.

Para sa tama, mayroon itong tiyak na hitsura. Ang lugar ng base (isang equilateral triangle) para dito ay katumbas ng:

Pinapalitan namin ito sa pangkalahatang expression para sa V, nakukuha namin:

V = √3/12 × isang 2 × h

Ang isang espesyal na kaso ay ang sitwasyon kapag ang lahat ng panig ng isang tetrahedron ay lumabas na magkaparehong equilateral triangles. Sa kasong ito, ang dami nito ay maaaring matukoy lamang sa batayan ng pag-alam sa parameter ng gilid nito a. Ang katumbas na expression ay ganito ang hitsura:

Pinutol na pyramid

Kung ang itaas na bahagi na naglalaman ng vertex ay pinutol mula sa isang regular na triangular na pyramid, kung gayon ang isang pinutol na pigura ay makukuha. Hindi tulad ng orihinal, ito ay binubuo ng dalawang equilateral triangular base at tatlong isosceles trapezoids.

Ang larawan sa ibaba ay nagpapakita kung ano ang hitsura ng isang regular na pinutol na triangular na pyramid na gawa sa papel.

Upang matukoy ang dami ng isang pinutol na triangular na pyramid, kinakailangang malaman ang tatlong linear na katangian nito: bawat isa sa mga gilid ng mga base at ang taas ng figure, katumbas ng distansya sa pagitan ng itaas at mas mababang mga base. Ang kaukulang pormula para sa lakas ng tunog ay nakasulat bilang mga sumusunod:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Narito ang h ay ang taas ng figure, A at a ay ang mga haba ng mga gilid ng malaki (mas mababa) at maliit (itaas) equilateral triangles, ayon sa pagkakabanggit.

Ang solusyon sa problema

Upang gawing mas malinaw ang impormasyon sa artikulo para sa mambabasa, ipapakita namin sa magandang halimbawa kung paano gamitin ang ilan sa mga nakasulat na formula.

Hayaang 15 cm 3 ang volume ng isang triangular na pyramid. Ito ay kilala na ang figure ay tama. Dapat mong hanapin ang apothem a b ng lateral edge kung alam na ang taas ng pyramid ay 4 cm.

Dahil alam ang volume at taas ng figure, maaari mong gamitin ang naaangkop na formula upang kalkulahin ang haba ng gilid ng base nito. Meron kami:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 cm

a b \u003d √ (h 2 + a 2 / 12) \u003d √ (16 + 25.98 2 / 12) \u003d 8.5 cm

Ang kinakalkula na haba ng apothem ng figure ay naging mas malaki kaysa sa taas nito, na totoo para sa anumang uri ng pyramid.

Kahulugan. Nakatagilid na mukha- ito ay isang tatsulok kung saan ang isang anggulo ay namamalagi sa tuktok ng pyramid, at ang kabaligtaran na bahagi nito ay tumutugma sa gilid ng base (polygon).

Kahulugan. Mga tadyang sa gilid ay ang karaniwang mga gilid ng mga gilid na mukha. Ang isang pyramid ay may kasing dami ng mga gilid gaya ng mga sulok sa isang polygon.

Kahulugan. taas ng pyramid ay isang patayo na bumaba mula sa itaas hanggang sa base ng pyramid.

Kahulugan. Apothem- ito ang patayo ng gilid na mukha ng pyramid, na ibinaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa gilid ng base.

Kahulugan. Diagonal na seksyon- ito ay isang seksyon ng pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid at ang dayagonal ng base.

Kahulugan. Tamang pyramid- Ito ay isang pyramid kung saan ang base ay isang regular na polygon, at ang taas ay bumababa sa gitna ng base.

Dami at lugar ng ibabaw ng pyramid

Formula. dami ng pyramid sa pamamagitan ng base area at taas:

mga katangian ng pyramid

Kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay, kung gayon ang isang bilog ay maaaring circumscribed sa paligid ng base ng pyramid, at ang gitna ng base ay tumutugma sa gitna ng bilog. Gayundin, ang patayo na bumaba mula sa itaas ay dumadaan sa gitna ng base (bilog).

Kung ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay pantay, kung gayon sila ay nakakiling sa base plane sa parehong mga anggulo.

Ang mga lateral ribs ay pantay-pantay kapag bumubuo sila ng pantay na mga anggulo sa base plane, o kung ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng pyramid.

Kung ang mga gilid ng mukha ay nakakiling sa eroplano ng base sa isang anggulo, kung gayon ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa base ng pyramid, at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna nito.

Kung ang mga mukha sa gilid ay nakakiling sa base plane sa isang anggulo, kung gayon ang mga apothems ng mga gilid na mukha ay pantay.

Mga katangian ng isang regular na pyramid

1. Ang tuktok ng pyramid ay katumbas ng layo mula sa lahat ng sulok ng base.

2. Ang lahat ng gilid ng gilid ay pantay.

3. Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay nakakiling sa parehong mga anggulo sa base.

4. Ang mga apothems ng lahat ng side face ay pantay.

5. Ang mga lugar ng lahat ng panig na mukha ay pantay.

6. Ang lahat ng mga mukha ay may parehong dihedral (flat) na anggulo.

7. Ang isang sphere ay maaaring ilarawan sa paligid ng pyramid. Ang gitna ng inilarawang globo ay ang intersection point ng mga patayo na dumadaan sa gitna ng mga gilid.

8. Ang isang sphere ay maaaring nakasulat sa isang pyramid. Ang gitna ng nakasulat na globo ay ang intersection point ng mga bisector na nagmumula sa anggulo sa pagitan ng gilid at base.

9. Kung ang gitna ng inscribed sphere ay tumutugma sa gitna ng circumscribed sphere, kung gayon ang kabuuan ng mga flat na anggulo sa tuktok ay katumbas ng π o vice versa, ang isang anggulo ay katumbas ng π / n, kung saan n ang numero ng mga anggulo sa base ng pyramid.

Ang koneksyon ng pyramid sa globo

Ang isang globo ay maaaring ilarawan sa paligid ng pyramid kapag sa base ng pyramid ay nakahiga ang isang polyhedron sa paligid kung saan ang isang bilog ay maaaring ilarawan (ang kailangan at sapat na kondisyon). Ang gitna ng globo ay magiging punto ng intersection ng mga eroplano na dumaraan nang patayo sa mga midpoint ng mga gilid na gilid ng pyramid.

Ang isang globo ay palaging maaaring ilarawan sa paligid ng anumang triangular o regular na pyramid.

Ang isang globo ay maaaring isulat sa isang pyramid kung ang mga bisector plane ng mga panloob na dihedral na anggulo ng pyramid ay nagsalubong sa isang punto (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang puntong ito ang magiging sentro ng globo.

Ang koneksyon ng pyramid sa kono

Ang kono ay tinatawag na inscribed sa isang pyramid kung ang kanilang mga vertices ay nag-tutugma at ang base ng kono ay nakasulat sa base ng pyramid.

Ang isang kono ay maaaring isulat sa isang pyramid kung ang mga apothems ng pyramid ay pantay.

Ang isang kono ay sinasabing napapaligiran sa paligid ng isang pyramid kung ang kanilang mga vertices ay nagsasabay at ang base ng kono ay napapaligiran sa paligid ng base ng pyramid.

Ang isang kono ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang pyramid kung ang lahat ng mga gilid na gilid ng pyramid ay pantay sa bawat isa.

Koneksyon ng isang pyramid na may isang silindro

Ang isang pyramid ay sinasabing naka-inscribe sa isang silindro kung ang tuktok ng pyramid ay nasa isang base ng silindro, at ang base ng pyramid ay naka-inscribe sa isa pang base ng cylinder.

Ang isang silindro ay maaaring paligiran sa paligid ng isang pyramid kung ang isang bilog ay maaaring ma-circumscribe sa paligid ng base ng pyramid.

Ang isang tetrahedron ay may apat na mukha at apat na vertice at anim na gilid, kung saan ang alinmang dalawang gilid ay walang karaniwang vertex ngunit hindi magkadikit.

Ang bawat taluktok ay binubuo ng tatlong mukha at mga gilid na nabuo trihedral na anggulo.

Ang segment na nagkokonekta sa vertex ng tetrahedron sa gitna ng kabaligtaran na mukha ay tinatawag median ng tetrahedron(GM).

Bimedian ay tinatawag na segment na nag-uugnay sa mga midpoint ng magkasalungat na gilid na hindi magkadikit (KL).

Ang lahat ng bimedians at median ng isang tetrahedron ay nagsalubong sa isang punto (S). Sa kasong ito, ang mga bimedian ay nahahati sa kalahati, at ang mga median sa isang ratio na 3: 1 simula sa itaas.

Kahulugan. Acute Angled Pyramid ay isang pyramid kung saan ang apothem ay higit sa kalahati ng haba ng gilid ng base.

Kahulugan. mapurol na pyramid ay isang pyramid kung saan ang apothem ay mas mababa sa kalahati ng haba ng gilid ng base.

Kahulugan. regular na tetrahedron- isang tetrahedron na may apat na mukha - equilateral triangles. Isa ito sa limang regular na polygon. Sa isang regular na tetrahedron, lahat ng dihedral na anggulo (sa pagitan ng mga mukha) at trihedral na anggulo (sa isang vertex) ay pantay.

Kahulugan. Parihabang tetrahedron tinatawag ang isang tetrahedron na may tamang anggulo sa pagitan ng tatlong gilid sa vertex (ang mga gilid ay patayo). Tatlong mukha ang nabuo hugis-parihaba trihedral anggulo at ang mga gilid ay kanang tatsulok, at ang base ay isang arbitrary na tatsulok. Ang apothem ng anumang mukha ay katumbas ng kalahati ng gilid ng base kung saan nahuhulog ang apothem.

Kahulugan. Isohedral tetrahedron Ang isang tetrahedron ay tinatawag na kung saan ang mga gilid na mukha ay pantay sa bawat isa, at ang base ay isang regular na tatsulok. Ang mga mukha ng naturang tetrahedron ay isosceles triangles.

Kahulugan. Orthocentric tetrahedron tinatawag ang isang tetrahedron kung saan ang lahat ng taas (mga patayo) na ibinababa mula sa itaas hanggang sa kabaligtaran na mukha ay nagsalubong sa isang punto.

Kahulugan. star pyramid Ang isang polyhedron na ang base ay isang bituin ay tinatawag.