Distansya mula sa linya sa linya ng coordinate na paraan. Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya sa isang eroplano at sa espasyo: kahulugan at mga halimbawa ng paghahanap

Formula para sa pagkalkula ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya sa isang eroplano

Kung ang equation ng linyang Ax + By + C = 0 ay ibinigay, kung gayon ang distansya mula sa puntong M(M x , M y) sa linya ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula

Mga halimbawa ng mga gawain para sa pagkalkula ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya sa isang eroplano

Halimbawa 1

Hanapin ang distansya sa pagitan ng linyang 3x + 4y - 6 = 0 at ang puntong M(-1, 3).

Desisyon. Palitan sa formula ang mga coefficient ng linya at ang mga coordinate ng punto

Sagot: ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay 0.6.

equation ng isang eroplanong dumadaan sa mga puntong patayo sa isang vectorPangkalahatang equation ng isang eroplano

Ang isang non-zero vector na patayo sa isang naibigay na eroplano ay tinatawag normal na vector (o, sa madaling salita, normal ) para sa eroplanong ito.

Ipasok ang coordinate space (sa isang rectangular coordinate system) na ibinigay:

isang tuldok ;

b) isang non-zero vector (Larawan 4.8, a).

Kinakailangang magsulat ng equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto patayo sa vector Katapusan ng patunay.

Isaalang-alang ngayon Iba't ibang uri mga equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.

1) Pangkalahatang equation ng eroplanoP .

Mula sa derivation ng equation ito ay sumusunod na sa parehong oras A, B at C hindi katumbas ng 0 (ipaliwanag kung bakit).

Ang punto ay kabilang sa eroplano P lamang kung ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation ng eroplano. Depende sa coefficients A, B, C at D eroplano P sumasakop sa isang posisyon o iba pa.

- ang eroplano ay dumadaan sa pinagmulan ng coordinate system, - ang eroplano ay hindi dumaan sa pinagmulan ng coordinate system,

- ang eroplano ay parallel sa axis X,

X,

- ang eroplano ay parallel sa axis Y,

- ang eroplano ay hindi parallel sa axis Y,

- ang eroplano ay parallel sa axis Z,

- ang eroplano ay hindi parallel sa axis Z.

Patunayan ang mga pahayag na ito sa iyong sarili.

Ang equation (6) ay madaling hinango mula sa equation (5). Sa katunayan, hayaan ang punto ay nasa eroplano P. Pagkatapos ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation Ang pagbabawas ng equation (7) mula sa equation (5) at pagpapangkat ng mga termino, makuha natin ang equation (6). Isaalang-alang ngayon ang dalawang vector na may mga coordinate, ayon sa pagkakabanggit. Ito ay sumusunod mula sa formula (6) na ang kanilang scalar product ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang vector ay patayo sa vector Ang simula at dulo ng huling vector ay ayon sa pagkakabanggit sa mga puntong kabilang sa eroplano. P. Samakatuwid, ang vector ay patayo sa eroplano P. Distansya mula sa punto hanggang sa eroplano P, pangkalahatang equation alin ay tinutukoy ng formula Ang patunay ng formula na ito ay ganap na katulad ng patunay ng formula para sa distansya sa pagitan ng isang punto at isang linya (tingnan ang Fig. 2).
kanin. 2. Sa derivation ng formula para sa distansya sa pagitan ng isang eroplano at isang tuwid na linya.

Ang layo talaga d sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay

kung saan ang isang punto na nakahiga sa isang eroplano. Mula dito, tulad ng sa lecture No. 11, ang formula sa itaas ay nakuha. Dalawang eroplano ay parallel kung ang kanilang mga normal na vectors ay parallel. Mula dito nakuha natin ang kondisyon ng parallelism ng dalawang eroplano - mga coefficient ng pangkalahatang equation ng mga eroplano. Ang dalawang eroplano ay patayo kung ang kanilang mga normal na vector ay patayo, kaya't makuha natin ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang eroplano kung ang kanilang mga pangkalahatang equation ay kilala

Iniksyon f sa pagitan ng dalawang eroplano katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga normal na vectors (tingnan ang Fig. 3) at samakatuwid ay maaaring kalkulahin mula sa formula
Pagtukoy sa anggulo sa pagitan ng mga eroplano.

(11)

Distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano at kung paano ito mahahanap

Distansya mula sa punto hanggang eroplano ay ang haba ng patayo na bumaba mula sa isang punto patungo sa eroplanong ito. Mayroong hindi bababa sa dalawang paraan upang mahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano: geometriko at algebraic.

Gamit ang geometric na pamamaraan kailangan mo munang maunawaan kung paano matatagpuan ang patayo mula sa isang punto patungo sa isang eroplano: marahil ito ay nasa ilang maginhawang eroplano, ito ay isang taas sa ilang maginhawang (o hindi kaya) tatsulok, o marahil ang patayo na ito ay karaniwang isang taas sa ilang pyramid .

Pagkatapos ng una at pinakamahirap na yugtong ito, nahahati ang problema sa ilang partikular na problema sa planimetric (marahil sa iba't ibang eroplano).

Gamit ang algebraic na paraan upang mahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano, kailangan mong magpasok ng isang coordinate system, hanapin ang mga coordinate ng punto at ang equation ng eroplano, at pagkatapos ay ilapat ang formula para sa distansya mula sa punto hanggang sa eroplano.

Ang kakayahang mahanap ang distansya sa pagitan ng iba't ibang mga geometric na bagay ay mahalaga kapag kinakalkula ang ibabaw na lugar ng mga figure at ang kanilang mga volume. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang tanong kung paano hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya sa kalawakan at sa isang eroplano.

Matematika na paglalarawan ng isang tuwid na linya

Upang maunawaan kung paano hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya, dapat mong harapin ang tanong ng pagtutukoy sa matematika ng mga geometric na bagay na ito.

Ang lahat ay simple na may isang punto, ito ay inilarawan ng isang hanay ng mga coordinate, ang bilang nito ay tumutugma sa sukat ng espasyo. Halimbawa, sa isang eroplano ang mga ito ay dalawang coordinate, sa tatlong-dimensional na espasyo - tatlo.

Tulad ng para sa isang one-dimensional na bagay - isang tuwid na linya, maraming uri ng mga equation ang ginagamit upang ilarawan ito. Isaalang-alang natin ang dalawa lamang sa kanila.

Ang unang uri ay tinatawag na isang vector equation. Nasa ibaba ang mga expression para sa mga linya sa three-dimensional at two-dimensional na espasyo:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Sa mga expression na ito, ang mga coordinate na may zero na mga indeks ay naglalarawan sa punto kung saan dumadaan ang ibinigay na linya, ang hanay ng mga coordinate (a; b; c) at (a; b) ay ang tinatawag na mga vector ng direksyon para sa kaukulang linya, ang α ay isang parameter na maaaring tumagal ng anumang aktwal na halaga.

Ang equation ng vector ay maginhawa sa kahulugan na tahasang naglalaman ito ng vector ng direksyon ng tuwid na linya, ang mga coordinate na maaaring magamit sa paglutas ng mga problema ng parallelism o perpendicularity ng iba't ibang mga geometric na bagay, halimbawa, dalawang tuwid na linya.

Ang pangalawang uri ng equation na isasaalang-alang natin para sa isang tuwid na linya ay tinatawag na pangkalahatan. Sa espasyo, ang form na ito ay ibinibigay ng mga pangkalahatang equation ng dalawang eroplano. Sa isang eroplano, mayroon itong sumusunod na anyo:

A × x + B × y + C = 0

Kapag isinagawa ang pag-plot, madalas itong isinulat bilang pag-asa sa x / y, iyon ay:

y = -A / B × x +(-C / B)

Dito, ang libreng termino -C / B ay tumutugma sa coordinate ng intersection ng linya na may y-axis, at ang coefficient -A / B ay nauugnay sa anggulo ng linya sa x-axis.

Ang konsepto ng distansya sa pagitan ng isang linya at isang punto

Ang pagkakaroon ng pakikitungo sa mga equation, maaari kang direktang magpatuloy sa sagot sa tanong kung paano hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya. Sa ika-7 baitang, sinisimulan ng mga paaralan na isaalang-alang ang isyung ito sa pamamagitan ng pagtukoy ng naaangkop na halaga.

Ang distansya sa pagitan ng isang linya at isang punto ay ang haba ng segment na patayo sa linyang ito, na inalis mula sa puntong isinasaalang-alang. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng linya r at punto A. Ang asul na linya ay nagpapakita ng segment na patayo sa linya r. Ang haba nito ay ang nais na distansya.

Narito ang isang 2D na kaso, gayunpaman depinisyon na ito valid din ang distansya para sa three-dimensional na problema.

Mga Kinakailangang Formula

Depende sa anyo kung saan isinulat ang equation ng isang tuwid na linya at sa kung anong espasyo ang problema ay nalulutas, dalawang pangunahing mga formula ang maaaring ibigay na sumasagot sa tanong kung paano hanapin ang distansya sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang punto.

Tukuyin ang kilalang punto sa pamamagitan ng simbolong P 2 . Kung ang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay sa vector form, kung gayon para sa distansya d sa pagitan ng mga bagay na isinasaalang-alang, ang formula ay wasto:

d = || / |v¯|

Iyon ay, upang matukoy ang d, dapat kalkulahin ng isa ang modulus produkto ng vector direksyon para sa direktang vector v¯ at ang vector P 1 P 2 ¯, ang simula nito ay nasa isang arbitrary na punto P 1 sa linya, at ang dulo ay nasa puntong P 2 , pagkatapos ay hatiin ang modyul na ito sa haba v¯ . Ang formula na ito ay pangkalahatan para sa flat at three-dimensional na espasyo.

Kung ang problema ay isinasaalang-alang sa isang eroplano sa xy coordinate system at ang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay sa pangkalahatang pananaw, pagkatapos ay ang sumusunod na formula upang mahanap ang distansya mula sa isang tuwid na linya patungo sa isang punto ay nagbibigay-daan sa iyo upang:

Tuwid na linya: A × x + B × y + C = 0;

Punto: P 2 (x 2; y 2; z 2);

Distansya: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Ang formula sa itaas ay medyo simple, ngunit ang paggamit nito ay limitado ng mga kondisyon na nabanggit sa itaas.

Mga coordinate ng projection ng isang punto sa isang tuwid na linya at distansya

Maaari mo ring sagutin ang tanong kung paano hanapin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya sa ibang paraan na hindi kasama ang pagsasaulo ng mga formula sa itaas. Ang pamamaraang ito ay binubuo sa pagtukoy ng isang punto sa isang tuwid na linya, na isang projection ng orihinal na punto.

Ipagpalagay na mayroong isang punto M at isang linya r. Ang projection sa r ng point M ay tumutugma sa ilang point M 1 . Ang distansya mula M hanggang r ay katumbas ng haba ng vector MM 1 ¯.

Paano mahahanap ang mga coordinate ng M 1? Napakasimple. Sapat na alalahanin na ang line vector v¯ ay magiging patayo sa MM 1 ¯, iyon ay, ang kanilang produktong scalar ay dapat na sero. Idinagdag sa kundisyong ito ang katotohanan na ang mga coordinate ng M 1 ay dapat matugunan ang equation ng tuwid na linya r, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga primes linear na equation. Bilang resulta ng solusyon nito, ang mga coordinate ng projection ng point M papunta sa r ay nakuha.

Ang pamamaraang inilarawan sa talatang ito para sa paghahanap ng distansya mula sa isang linya patungo sa isang punto ay maaaring gamitin para sa eroplano at para sa espasyo, ngunit ang aplikasyon nito ay nangangailangan ng kaalaman sa vector equation para sa linya.

Gawain sa isang eroplano

Ngayon ay oras na upang ipakita kung paano gamitin ang ipinakita na mathematical apparatus upang malutas ang mga tunay na problema. Ipagpalagay na ang isang punto M(-4; 5) ay ibinigay sa eroplano. Kinakailangang hanapin ang distansya mula sa puntong M hanggang sa tuwid na linya, na inilalarawan ng isang pangkalahatang equation:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

Ibig sabihin, hindi nagsisinungaling si M sa isang linya.

Dahil ang equation ng isang tuwid na linya ay hindi ibinigay sa isang pangkalahatang anyo, binabawasan namin ito sa paraang para magamit ang kaukulang formula, mayroon kaming:

y = 3 × x + 6

3 x x - y + 6 = 0

Ngayon ay maaari mong palitan ang mga kilalang numero sa formula para sa d:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3.48

Gawain sa kalawakan

Ngayon isaalang-alang ang kaso sa kalawakan. Hayaang ilarawan ang tuwid na linya ng sumusunod na equation:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

Ano ang distansya mula dito hanggang sa puntong M(0; 2; -3)?

Tulad ng sa nakaraang kaso, sinusuri namin kung ang M ay kabilang sa isang ibinigay na linya. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang mga coordinate sa equation at muling isulat ito nang tahasan:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;

Dahil ang iba't ibang mga parameter α ay nakuha, kung gayon ang M ay hindi nagsisinungaling sa linyang ito. Kinakalkula namin ngayon ang distansya mula dito hanggang sa tuwid na linya.

Upang magamit ang formula para sa d, kumuha ng arbitrary na punto sa linya, halimbawa P(1; -1; 0), pagkatapos ay:

Kalkulahin natin ang cross product sa pagitan ng PM¯ at ng vector ng direksyon ng linya v¯. Nakukuha namin:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Ngayon pinapalitan namin ang mga module ng nahanap na vector at ang vector v¯ sa formula para sa d, nakukuha namin:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2.95

Maaaring makuha ang sagot na ito gamit ang pamamaraang inilarawan sa itaas, na kinabibilangan ng paglutas ng isang sistema ng mga linear equation. Sa ito at sa mga nakaraang problema, ang mga kinakalkula na halaga ng distansya mula sa linya hanggang sa punto ay ipinakita sa mga yunit ng kaukulang sistema ng coordinate.

Tinatalakay ng artikulong ito ang paksa « distansya mula sa punto hanggang linya », Ang mga kahulugan ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya ay isinasaalang-alang na may mga nakalarawang halimbawa sa pamamagitan ng paraan ng mga coordinate. Ang bawat bloke ng teorya sa dulo ay nagpakita ng mga halimbawa ng paglutas ng mga katulad na problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagtukoy ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang punto. Isaalang-alang natin nang mas detalyado.

Hayaang mayroong isang linya a at isang punto M 1 na hindi kabilang sa ibinigay na linya. Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan nito na nakabara patayo sa linya a. Kunin ang punto ng intersection ng mga linya bilang H 1. Nakukuha namin na ang M 1 H 1 ay isang patayo, na ibinaba mula sa puntong M 1 hanggang sa linya a.

Kahulugan 1

Distansya mula sa punto M 1 hanggang sa tuwid na linya a tinatawag na distansya sa pagitan ng mga puntos na M 1 at H 1 .

May mga talaan ng kahulugan na may pigura ng haba ng patayo.

Kahulugan 2

Distansya mula sa punto hanggang linya ay ang haba ng patayo na iginuhit mula sa isang ibinigay na punto hanggang sa isang ibinigay na linya.

Ang mga kahulugan ay katumbas. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Ito ay kilala na ang distansya mula sa isang punto sa isang tuwid na linya ay ang pinakamaliit sa lahat ng posible. Tingnan natin ito sa isang halimbawa.

Kung kukunin natin ang puntong Q na nakahiga sa linya a, hindi tumutugma sa puntong M 1, kung gayon makuha natin na ang segment na M 1 Q ay tinatawag na pahilig, na ibinaba mula sa M 1 hanggang sa linya a. Kinakailangang ipahiwatig na ang patayo mula sa puntong M 1 ay mas mababa kaysa sa anumang iba pang pahilig na iginuhit mula sa punto hanggang sa tuwid na linya.

Upang patunayan ito, isaalang-alang ang tatsulok na M 1 Q 1 H 1 , kung saan ang M 1 Q 1 ay ang hypotenuse. Ito ay kilala na ang haba nito ay palaging mas malaki kaysa sa haba ng alinman sa mga binti. Kaya, mayroon tayong M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Ang paunang data para sa paghahanap mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya ay nagbibigay-daan sa paggamit ng ilang mga pamamaraan ng solusyon: sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, mga kahulugan ng sine, cosine, tangent ng isang anggulo, at iba pa. Karamihan sa mga gawain ng ganitong uri ay nalutas sa paaralan sa mga aralin sa geometry.

Kapag, kapag hinahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya, posible na magpasok ng isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate, pagkatapos ay ginagamit ang paraan ng coordinate. Sa talatang ito, isinasaalang-alang namin ang pangunahing dalawang pamamaraan para sa paghahanap ng nais na distansya mula sa isang naibigay na punto.

Ang unang pamamaraan ay nagsasangkot ng paghahanap ng distansya bilang isang patayo na iginuhit mula sa M 1 hanggang sa linya a. Ang pangalawang paraan ay gumagamit ng normal na equation ng tuwid na linya a upang mahanap ang kinakailangang distansya.

Kung mayroong isang punto sa eroplano na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1) na matatagpuan sa isang rectangular coordinate system, isang tuwid na linya a, at kailangan mong hanapin ang distansya M 1 H 1, maaari mong kalkulahin sa dalawang paraan. Isaalang-alang natin sila.

Unang paraan

Kung mayroong mga coordinate ng punto H 1 na katumbas ng x 2, y 2, kung gayon ang distansya mula sa punto hanggang sa linya ay kinakalkula mula sa mga coordinate mula sa formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Ngayon ay magpatuloy tayo sa paghahanap ng mga coordinate ng punto H 1.

Ito ay kilala na ang isang tuwid na linya sa O x y ay tumutugma sa equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Gumawa tayo ng paraan upang tukuyin ang isang tuwid na linya a sa pamamagitan ng pagsulat ng isang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya o isang equation na may slope. Binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 1 patayo sa isang ibinigay na linya a. Tukuyin natin ang linya sa pamamagitan ng beech b . Ang H 1 ay ang punto ng intersection ng mga linya a at b, kaya upang matukoy ang mga coordinate, dapat mong gamitin ang artikulo kung saan sa tanong sa mga coordinate ng mga punto ng intersection ng dalawang linya.

Makikita na ang algorithm para sa paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto M 1 (x 1, y 1) hanggang sa tuwid na linya a ay isinasagawa ayon sa mga puntos:

Kahulugan 3

• paghahanap ng pangkalahatang equation ng tuwid na linya a , pagkakaroon ng anyo A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, o isang equation na may koepisyent ng slope, na may anyo na y \u003d k 1 x + b 1;
• pagkuha ng pangkalahatang equation ng linya b, na may anyo A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 o isang equation na may slope y \u003d k 2 x + b 2 kung ang linya b ay nag-intersect sa punto M 1 at patayo sa ibinigay na linya a;
• pagtukoy ng mga coordinate x 2, y 2 ng punto H 1, na siyang intersection point a at b, para dito, ang sistema ng mga linear equation ay nalutas A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 o y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• pagkalkula ng kinakailangang distansya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya, gamit ang formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Pangalawang paraan

Ang theorem ay maaaring makatulong sa pagsagot sa tanong ng paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang ibinigay na linya sa isang eroplano.

Teorama

Ang isang rectangular coordinate system ay may O x y na may punto M 1 (x 1, y 1), kung saan ang isang tuwid na linya ay iginuhit a sa eroplano, na ibinigay ng normal na equation ng eroplano, na may anyong cos α x + cos β y - p \u003d 0, katumbas ng modulo ang halaga na nakuha sa kaliwang bahagi ng normal na straight line equation, na kinakalkula sa x = x 1, y = y 1, ay nangangahulugan na ang M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Patunay

Ang linyang a ay tumutugma sa normal na equation ng eroplano, na may anyong cos α x + cos β y - p = 0, pagkatapos n → = (cos α , cos β) ay itinuturing na isang normal na vector ng linya a sa isang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa linya a na may mga p unit . Kinakailangan na ilarawan ang lahat ng data sa figure, magdagdag ng isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1) , kung saan ang radius vector ng punto M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang tuwid na linya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya, na aming tukuyin ng M 1 H 1 . Kinakailangang ipakita ang mga projection M 2 at H 2 ng mga puntos M 1 at H 2 papunta sa isang tuwid na linya na dumadaan sa punto O na may nakadirekta na vector ng form n → = (cos α , cos β) , at tinutukoy namin ang numerical projection ng vector bilang O M 1 → = (x 1 , y 1) sa direksyon n → = (cos α , cos β) bilang n p n → O M 1 → .

Ang mga pagkakaiba-iba ay nakasalalay sa lokasyon ng punto M 1 mismo. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Inaayos namin ang mga resulta gamit ang formula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Pagkatapos ay dinadala namin ang pagkakapantay-pantay sa form na ito M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p upang makuha ang n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Ang scalar product ng mga vectors ay nagreresulta sa isang transformed formula ng form n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , na isang produkto sa coordinate form ng anyo n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Kaya naman, nakuha natin na n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Kasunod nito na M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Napatunayan na ang theorem.

Nakukuha namin na upang mahanap ang distansya mula sa puntong M 1 (x 1, y 1) hanggang sa tuwid na linya a sa eroplano, maraming mga aksyon ang dapat gawin:

Kahulugan 4

• pagkuha ng normal na equation ng linyang a cos α · x + cos β · y - p = 0, sa kondisyon na wala ito sa gawain;
• pagkalkula ng expression na cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , kung saan ang resultang halaga ay tumatagal ng M 1 H 1 .

Ilapat natin ang mga pamamaraang ito upang malutas ang mga problema sa paghahanap ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano.

Halimbawa 1

Hanapin ang distansya mula sa puntong may mga coordinate M 1 (- 1 , 2) hanggang sa linyang 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Desisyon

Gamitin natin ang unang paraan upang malutas.

Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang pangkalahatang equation ng linya b, na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 1 (- 1 , 2) patayo sa linya 4 x - 3 y + 35 = 0 . Ito ay makikita mula sa kondisyon na ang linya b ay patayo sa linya a, kung gayon ang vector ng direksyon nito ay may mga coordinate na katumbas ng (4, - 3) . Kaya, mayroon kaming pagkakataon na isulat ang canonical equation ng linya b sa eroplano, dahil may mga coordinate ng punto M 1, ay kabilang sa linya b. Tukuyin natin ang mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya b . Nakukuha natin na x - (- 1) 4 = y - 2-3 ⇔ x + 1 4 = y - 2-3 . Ang resultang canonical equation ay dapat i-convert sa isang pangkalahatan. Pagkatapos makuha namin iyon

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Hanapin natin ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga linya, na kukunin natin bilang pagtatalaga H 1. Ang mga pagbabago ay ganito ang hitsura:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Mula sa itaas, mayroon tayong mga coordinate ng puntong H 1 ay (- 5; 5).

Kinakailangang kalkulahin ang distansya mula sa puntong M 1 hanggang sa tuwid na linya a. Mayroon kaming mga coordinate ng mga puntos na M 1 (- 1, 2) at H 1 (- 5, 5), pagkatapos ay pinapalitan namin ang formula para sa paghahanap ng distansya at nakuha namin iyon

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Ang pangalawang solusyon.

Upang malutas sa ibang paraan, kinakailangan upang makuha ang normal na equation ng isang tuwid na linya. Kinakalkula namin ang halaga ng normalizing factor at i-multiply ang magkabilang panig ng equation 4 x - 3 y + 35 = 0 . Mula dito nakuha natin na ang normalizing factor ay - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , at ang normal na equation ay magiging sa anyo - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Ayon sa algorithm ng pagkalkula, kinakailangan upang makuha ang normal na equation ng isang tuwid na linya at kalkulahin ito sa mga halaga x = - 1 , y = 2 . Pagkatapos makuha namin iyon

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Mula dito nakuha natin na ang distansya mula sa puntong M 1 (- 1 , 2) hanggang sa ibinigay na tuwid na linya 4 x - 3 y + 35 = 0 ay may halaga - 5 = 5 .

Sagot: 5 .

Nakikita na sa ang pamamaraang ito mahalagang gamitin ang normal na equation ng isang tuwid na linya, dahil ang paraang ito ang pinakamaikling. Ngunit ang unang paraan ay maginhawa dahil ito ay pare-pareho at lohikal, kahit na mayroon itong higit pang mga kalkulasyon.

Halimbawa 2

Sa eroplano mayroong isang hugis-parihaba na coordinate system O x y na may punto M 1 (8, 0) at isang tuwid na linya y = 1 2 x + 1. Hanapin ang distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa isang tuwid na linya.

Desisyon

Ang solusyon sa unang paraan ay nagpapahiwatig ng pagbawas ng isang ibinigay na equation na may isang slope coefficient sa isang pangkalahatang equation. Upang gawing simple, maaari mong gawin ito sa ibang paraan.

Kung ang produkto ng mga slope ng patayong linya ay may halaga na - 1, kung gayon dalisdis ang linyang patayo sa ibinigay na y = 1 2 x + 1 ay may halagang 2 . Ngayon nakuha namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na may mga coordinate M 1 (8, 0) . Mayroon tayong y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nagpapatuloy kami sa paghahanap ng mga coordinate ng punto H 1, iyon ay, ang mga intersection point y \u003d - 2 x + 16 at y \u003d 1 2 x + 1. Bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation at makakuha ng:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Kasunod nito na ang distansya mula sa puntong may mga coordinate M 1 (8 , 0) hanggang sa linyang y = 1 2 x + 1 ay katumbas ng distansya mula sa simula at dulong punto na may mga coordinate M 1 (8 , 0) at H 1 (6 , 4) . Kalkulahin natin at kunin na M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Ang solusyon sa pangalawang paraan ay upang pumasa mula sa equation na may isang koepisyent sa normal na anyo nito. Iyon ay, nakukuha namin ang y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, kung gayon ang halaga ng normalizing factor ay magiging - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Kasunod nito na ang normal na equation ng isang tuwid na linya ay nasa anyong - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Kalkulahin natin mula sa puntong M 1 8 , 0 hanggang sa isang tuwid na linya ng anyong - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Nakukuha namin:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Sagot: 2 5 .

Halimbawa 3

Kinakailangang kalkulahin ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 (- 2 , 4) hanggang sa mga tuwid na linya 2 x - 3 = 0 at y + 1 = 0 .

Desisyon

Nakukuha namin ang equation ng normal na anyo ng tuwid na linya 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Pagkatapos ay nagpapatuloy kami upang kalkulahin ang distansya mula sa puntong M 1 - 2, 4 hanggang sa tuwid na linya x - 3 2 = 0. Nakukuha namin:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Ang straight line equation na y + 1 = 0 ay may normalizing factor na may halaga na -1. Nangangahulugan ito na ang equation ay kukuha ng anyo - y - 1 = 0 . Nagpapatuloy kami upang kalkulahin ang distansya mula sa punto M 1 (- 2 , 4) hanggang sa tuwid na linya - y - 1 = 0 . Nakuha namin na ito ay katumbas ng - 4 - 1 = 5.

Sagot: 3 1 2 at 5 .

Isaalang-alang natin nang detalyado ang pagpapasiya ng distansya mula sa isang naibigay na punto ng eroplano hanggang sa mga coordinate axes O x at O ​​y.

Sa isang rectangular coordinate system, ang axis O y ay may equation ng isang tuwid na linya, na hindi kumpleto at may form na x \u003d 0, at O ​​x - y \u003d 0. Ang mga equation ay normal para sa mga coordinate axes, pagkatapos ay kinakailangan upang mahanap ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 x 1 , y 1 hanggang sa mga tuwid na linya. Ginagawa ito batay sa mga formula M 1 H 1 = x 1 at M 1 H 1 = y 1 . Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Halimbawa 4

Hanapin ang distansya mula sa puntong M 1 (6, - 7) hanggang sa mga linya ng coordinate na matatagpuan sa O x y plane.

Desisyon

Dahil ang equation na y \u003d 0 ay tumutukoy sa linyang O x, mahahanap mo ang distansya mula sa M 1 na may ibinigay na mga coordinate, sa linyang ito, gamit ang formula. Nakukuha natin na 6 = 6 .

Dahil ang equation x \u003d 0 ay tumutukoy sa linya O y, mahahanap mo ang distansya mula M 1 hanggang sa linyang ito gamit ang formula. Pagkatapos ay makuha natin iyon - 7 = 7 .

Sagot: ang distansya mula M 1 hanggang O x ay may halaga na 6, at mula M 1 hanggang O y ay may halaga na 7.

Kapag sa tatlong-dimensional na espasyo mayroon kaming isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1), kinakailangan upang mahanap ang distansya mula sa punto A hanggang sa linya a.

Isaalang-alang ang dalawang paraan na nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya na matatagpuan sa kalawakan. Isinasaalang-alang ng unang kaso ang distansya mula sa puntong M 1 hanggang sa linya, kung saan ang punto sa linya ay tinatawag na H 1 at ang base ng patayo na iginuhit mula sa puntong M 1 hanggang sa linya a. Ang pangalawang kaso ay nagmumungkahi na ang mga punto ng eroplanong ito ay dapat hanapin bilang taas ng paralelogram.

Unang paraan

Mula sa kahulugan, mayroon kaming na ang distansya mula sa puntong M 1 na matatagpuan sa tuwid na linya a ay ang haba ng patayo M 1 H 1, pagkatapos ay nakuha namin iyon sa natagpuang mga coordinate ng punto H 1, pagkatapos ay nakita namin ang distansya sa pagitan ng M 1 (x 1, y 1, z 1 ) at H 1 (x 1, y 1, z 1) batay sa formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Nakukuha namin na ang buong solusyon ay napupunta sa paghahanap ng mga coordinate ng base ng patayo na iginuhit mula sa M 1 hanggang sa linya a. Ginagawa ito tulad ng sumusunod: Ang H 1 ay ang punto kung saan ang linyang a ay bumalandra sa eroplano na dumadaan sa ibinigay na punto.

Nangangahulugan ito na ang algorithm para sa pagtukoy ng distansya mula sa puntong M 1 (x 1, y 1, z 1) hanggang sa tuwid na linya ng espasyo ay nagpapahiwatig ng ilang puntos:

Kahulugan 5

• pagguhit ng equation ng eroplano χ bilang isang equation ng eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa linya;
• pagpapasiya ng mga coordinate (x 2 , y 2 , z 2) na kabilang sa puntong H 1 na siyang punto ng intersection ng linya a at ng eroplano χ;
• pagkalkula ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya gamit ang formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Pangalawang paraan

Mula sa kondisyon na mayroon tayong linya a, pagkatapos ay matutukoy natin ang direksyon ng vector a → = a x, a y, a z na may mga coordinate x 3, y 3, z 3 at isang tiyak na punto M 3 na kabilang sa linya a. Dahil sa mga coordinate ng mga puntos na M 1 (x 1 , y 1) at M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → ay maaaring kalkulahin:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Kinakailangang ipagpaliban ang mga vectors a → \u003d a x, a y, a z at M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 mula sa puntong M 3, kumonekta at kumuha isang paralelogram na pigura. Ang M 1 H 1 ay ang taas ng paralelogram.

Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Mayroon kaming na ang taas M 1 H 1 ay ang nais na distansya, pagkatapos ay kailangan mong hanapin ito gamit ang formula. Ibig sabihin, hinahanap namin ang M 1 H 1 .

Tukuyin ang lugar ng parallelogram sa pamamagitan ng titik S, ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula gamit ang vector a → = (a x , a y , a z) at M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Ang pormula ng lugar ay may anyong S = a → × M 3 M 1 → . Gayundin, ang lugar ng figure ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga gilid nito at ang taas, nakuha namin na S \u003d a → M 1 H 1 na may → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, na siyang haba ng vector a → \u003d (a x, a y, a z) , na katumbas ng gilid ng parallelogram. Samakatuwid, ang M 1 H 1 ay ang distansya mula sa punto hanggang sa linya. Ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Upang mahanap ang distansya mula sa isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1) sa isang tuwid na linya sa espasyo, kailangan mong magsagawa ng ilang mga punto ng algorithm:

Kahulugan 6

• pagpapasiya ng vector ng direksyon ng tuwid na linya a - a → = (a x , a y , a z) ;
• pagkalkula ng haba ng vector ng direksyon a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• pagkuha ng mga coordinate x 3 , y 3 , z 3 na kabilang sa punto M 3 na matatagpuan sa linya a;
• pagkalkula ng mga coordinate ng vector M 3 M 1 → ;
• paghahanap ng cross product ng mga vectors a → (a x, a y, a z) at M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 bilang a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 upang makuha ang haba ayon sa formula a → × M 3 M 1 → ;
• pagkalkula ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Paglutas ng mga problema sa paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa isang tuwid na linya sa espasyo

Hanapin ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 2 , - 4 , - 1 hanggang sa linyang x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Desisyon

Ang unang paraan ay nagsisimula sa pamamagitan ng pagsulat ng equation ng eroplano χ na dumadaan sa M 1 at patayo sa ibinigay na punto. Nakakakuha kami ng expression tulad ng:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto H 1, na kung saan ay ang punto ng intersection sa eroplano χ sa tuwid na linya na ibinigay ng kondisyon. Kinakailangang lumipat mula sa canonical form hanggang sa intersecting. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang sistema ng mga equation ng form:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Kinakailangang kalkulahin ang system x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 sa pamamagitan ng paraan ng Cramer, pagkatapos ay makuha natin iyon:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ 60 = 0

Kaya mayroon tayong H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Ang pangalawang paraan ay magsimula sa pamamagitan ng paghahanap ng mga coordinate sa canonical equation. Upang gawin ito, bigyang-pansin ang mga denominador ng fraction. Pagkatapos ang a → = 2 , - 1 , 5 ay ang vector ng direksyon ng linyang x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Kinakailangang kalkulahin ang haba gamit ang formula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Malinaw na ang linyang x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ay nagsasalubong sa puntong M 3 (- 1 , 0 , - 5), kaya mayroon tayong vector na may pinagmulang M 3 (- 1 , 0). , - 5) at ang dulo nito sa puntong M 1 2 , - 4 , - 1 ay M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Hanapin ang produkto ng vector a → = (2, - 1, 5) at M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Nakukuha namin ang isang expression ng form a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

makuha natin na ang haba ng cross product ay isang → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Mayroon kaming lahat ng data upang magamit ang formula para sa pagkalkula ng distansya mula sa isang punto para sa isang tuwid na linya, kaya inilapat namin ito at makuha ang:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Sagot: 11 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Oh-oh-oh-oh-oh ... well, it's tinny, as if you read the sentence to yourself =) However, then relaxation will help, especially since today I bought suitable accessories. Samakatuwid, magpatuloy tayo sa unang seksyon, umaasa ako, sa pagtatapos ng artikulo ay mapanatili ko ang isang masayang kalooban.

Mutual arrangement ng dalawang tuwid na linya

Ang kaso kapag kumakanta ang bulwagan sa koro. Dalawang linya pwede:

1) tugma;

2) maging parallel: ;

3) o bumalandra sa isang punto: .

Tulong para sa mga dummies : mangyaring tandaan ang math sign mga interseksyon, ito ay magaganap nang napakadalas. Ang entry ay nangangahulugan na ang linya ay bumalandra sa linya sa punto.

Paano matukoy ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya?

Magsimula tayo sa unang kaso:

Dalawang linya ang nagtutugma kung at kung ang kani-kanilang mga coefficient ay proporsyonal, iyon ay, mayroong isang bilang na "lambda" na ang mga pagkakapantay-pantay

Isaalang-alang natin ang mga tuwid na linya at bumuo ng tatlong equation mula sa kaukulang coefficient: . Mula sa bawat equation ay sumusunod na, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nag-tutugma.

Sa katunayan, kung ang lahat ng mga coefficient ng equation multiply sa -1 (pagbabago ng mga palatandaan), at lahat ng mga coefficient ng equation bawasan ng 2, makakakuha ka ng parehong equation: .

Ang pangalawang kaso kapag ang mga linya ay parallel:

Dalawang linya ay magkatulad kung at kung ang kanilang mga coefficient sa mga variable ay proporsyonal: , ngunit.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Sinusuri namin ang proporsyonalidad ng kaukulang coefficient para sa mga variable:

Gayunpaman, malinaw na .

At ang pangatlong kaso, kapag nagsalubong ang mga linya:

Dalawang linya ay nagsalubong kung at kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay HINDI proporsyonal, ibig sabihin, WALANG ganoong halaga ng "lambda" na natutupad ang mga pagkakapantay-pantay

Kaya, para sa mga tuwid na linya bubuo kami ng isang sistema:

Mula sa unang equation ito ay sumusunod na , at mula sa pangalawang equation: , samakatuwid, hindi pare-pareho ang sistema (walang solusyon). Kaya, ang mga coefficient sa mga variable ay hindi proporsyonal.

Konklusyon: ang mga linya ay nagsalubong

AT mga praktikal na gawain magagamit ang scheme ng solusyon na tinalakay lang. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay halos kapareho sa algorithm para sa pagsuri ng mga vectors para sa collinearity, na isinasaalang-alang namin sa aralin. Ang konsepto ng linear (non) dependence ng mga vectors. Batayang vector . Ngunit mayroong isang mas sibilisadong pakete:

Halimbawa 1

Upang malaman kung pagsasaayos ng isa't isa direktang:

Desisyon batay sa pag-aaral ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

a) Mula sa mga equation nakita natin ang mga vector ng direksyon ng mga linya: .

, kaya ang mga vector ay hindi collinear at ang mga linya ay nagsalubong.

Kung sakali, maglalagay ako ng bato na may mga pointer sa sangang-daan:

Ang natitira ay tumalon sa ibabaw ng bato at sumunod, diretso sa Kashchei na Walang Kamatayan =)

b) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector, na nangangahulugang sila ay kahanay o pareho. Dito hindi kailangan ang determinant.

Malinaw, ang mga coefficient ng mga hindi alam ay proporsyonal, habang .

Alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay:

kaya,

c) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Kalkulahin natin ang determinant, na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito:
, samakatuwid, ang mga vector ng direksyon ay collinear. Ang mga linya ay magkatulad o magkatugma.

Ang proportionality factor na "lambda" ay madaling makita nang direkta mula sa ratio ng mga vector ng collinear na direksyon. Gayunpaman, maaari rin itong matagpuan sa pamamagitan ng mga coefficient ng mga equation mismo: .

Ngayon, alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay. Ang parehong mga libreng termino ay zero, kaya:

Ang resultang halaga ay nakakatugon sa equation na ito (anumang numero sa pangkalahatan ay nakakatugon dito).

Kaya, ang mga linya ay nag-tutugma.

Sagot:

Sa lalong madaling panahon matututunan mo (o kahit na natutunan na) upang malutas ang itinuturing na problema sa literal na salita sa loob ng ilang segundo. Sa bagay na ito, wala akong nakikitang dahilan para mag-alok ng anuman malayang solusyon, mas mahusay na maglagay ng isa pang mahalagang brick sa geometric na pundasyon:

Paano gumuhit ng isang linya parallel sa isang ibinigay na isa?

Para sa kamangmangan nito ang pinakasimpleng gawain mahigpit na pinarurusahan ang Nightingale na Magnanakaw.

Halimbawa 2

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang parallel na linya na dumadaan sa punto.

Desisyon: Tukuyin ang hindi kilalang linya sa pamamagitan ng titik. Ano ang sinasabi ng kondisyon tungkol dito? Ang linya ay dumadaan sa punto. At kung ang mga linya ay magkatulad, kung gayon ay malinaw na ang nagdidirekta na vector ng linyang "ce" ay angkop din para sa pagbuo ng linyang "te".

Inalis namin ang vector ng direksyon mula sa equation:

Sagot:

Ang geometry ng halimbawa ay mukhang simple:

Ang analytical na pag-verify ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:

1) Sinusuri namin na ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector (kung ang equation ng linya ay hindi maayos na pinasimple, kung gayon ang mga vector ay magiging collinear).

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.

Ang analytical na pag-verify sa karamihan ng mga kaso ay madaling gawin sa salita. Tingnan ang dalawang equation at marami sa inyo ang mabilis na malalaman kung paano magkatulad ang mga linya nang walang anumang pagguhit.

Ang mga halimbawa para sa paglutas sa sarili ngayon ay magiging malikhain. Dahil kailangan mo pang makipagkumpitensya sa Baba Yaga, at siya, alam mo, ay isang mahilig sa lahat ng uri ng mga bugtong.

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa isang punto na kahanay ng linya kung

Mayroong isang makatwiran at hindi masyadong makatwiran na paraan upang malutas. Ang pinakamaikling paraan ay nasa dulo ng aralin.

Gumawa kami ng kaunting trabaho na may mga parallel na linya at babalik sa kanila mamaya. Ang kaso ng magkatulad na mga linya ay hindi gaanong interesado, kaya isaalang-alang ang isang problema na alam mo mula sa kurikulum ng paaralan:

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng dalawang linya?

Kung diretso bumalandra sa punto , pagkatapos ang mga coordinate nito ay ang solusyon sistema ng mga linear na equation

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya? Lutasin ang sistema.

Eto para sayo geometriko na kahulugan mga sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam ay dalawang intersecting (pinaka madalas) tuwid na linya sa isang eroplano.

Halimbawa 4

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya

Desisyon: Mayroong dalawang paraan upang malutas - graphical at analytical.

Graphical na paraan ay ang simpleng pagguhit ng mga ibinigay na linya at alamin ang punto ng intersection nang direkta mula sa pagguhit:

Narito ang aming punto: . Upang suriin, dapat mong palitan ang mga coordinate nito sa bawat equation ng isang tuwid na linya, dapat silang magkasya doon at doon. Sa madaling salita, ang mga coordinate ng isang punto ay ang solusyon ng system . Sa katunayan, isinasaalang-alang namin ang isang graphical na paraan upang malutas sistema ng mga linear na equation na may dalawang equation, dalawang hindi alam.

Ang graphical na paraan, siyempre, ay hindi masama, ngunit may mga kapansin-pansing disadvantages. Hindi, ang punto ay hindi ang mga ikapitong baitang ang magpapasya sa ganitong paraan, ang punto ay magtatagal ng oras upang makagawa ng tama at TOTOONG pagguhit. Bilang karagdagan, ang ilang mga linya ay hindi gaanong madaling gawin, at ang intersection point mismo ay maaaring nasa isang lugar sa ika-tatlumpung kaharian sa labas ng notebook sheet.

Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na hanapin ang intersection point pamamaraang analitikal. Lutasin natin ang sistema:

Upang malutas ang sistema, ginamit ang paraan ng termwise na pagdaragdag ng mga equation. Upang mapaunlad ang mga kaugnay na kasanayan, bisitahin ang aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga equation?

Sagot:

Ang pag-verify ay walang halaga - ang mga coordinate ng intersection point ay dapat matugunan ang bawat equation ng system.

Halimbawa 5

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya kung magsalubong ang mga ito.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Ang gawain ay maaaring maginhawang nahahati sa maraming yugto. Ang pagsusuri sa kondisyon ay nagmumungkahi na ito ay kinakailangan:
1) Isulat ang equation ng isang tuwid na linya.
2) Isulat ang equation ng isang tuwid na linya.
3) Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya.
4) Kung magsalubong ang mga linya, hanapin ang punto ng intersection.

Ang pagbuo ng isang algorithm ng mga aksyon ay tipikal para sa maraming mga geometric na problema, at paulit-ulit kong tututuon ito.

Kumpletong Solusyon at ang sagot sa katapusan ng aralin:

Ang isang pares ng sapatos ay hindi pa napupuna, nang makarating kami sa ikalawang seksyon ng aralin:

Mga linyang patayo. Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.
Anggulo sa pagitan ng mga linya

Magsimula tayo sa isang tipikal at napakahalagang gawain. Sa unang bahagi, natutunan namin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa ibinigay, at ngayon ang kubo sa mga binti ng manok ay magiging 90 degrees:

Paano gumuhit ng isang linya na patayo sa isang ibinigay?

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang patayong linya na dumadaan sa isang punto.

Desisyon: Ito ay kilala sa pamamagitan ng pagpapalagay na . Masarap na hanapin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya. Dahil ang mga linya ay patayo, ang lansihin ay simple:

Mula sa equation ay "tinatanggal" namin ang normal na vector: , na siyang magiging direksyon ng vector ng tuwid na linya.

Binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang nagdidirekta na vector:

Sagot:

Buksan natin ang geometric sketch:

Hmmm... Orange na langit, orange na dagat, orange na kamelyo.

Analytical na pag-verify ng solusyon:

1) I-extract ang mga vector ng direksyon mula sa mga equation at sa tulong tuldok na produkto ng mga vector napagpasyahan namin na ang mga linya ay talagang patayo: .

Sa pamamagitan ng paraan, maaari kang gumamit ng mga normal na vector, mas madali ito.

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation .

Ang pag-verify, muli, ay madaling gawin sa salita.

Halimbawa 7

Hanapin ang punto ng intersection ng mga patayong linya, kung ang equation ay kilala at tuldok.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Mayroong ilang mga aksyon sa gawain, kaya ito ay maginhawa upang ayusin ang solusyon sa bawat punto.

Ang aming kapana-panabik na paglalakbay ay nagpapatuloy:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Sa harap namin ay isang tuwid na guhit ng ilog at ang aming gawain ay maabot ito sa pinakamaikling paraan. Walang mga hadlang, at ang pinakamainam na ruta ay ang paggalaw sa kahabaan ng patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng perpendicular segment.

Ang distansya sa geometry ay tradisyonal na tinutukoy ng letrang Griyego na "ro", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".

Distansya mula sa punto hanggang linya ay ipinahayag ng pormula

Halimbawa 8

Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya

Desisyon: ang kailangan mo lang ay maingat na palitan ang mga numero sa formula at gawin ang mga kalkulasyon:

Sagot:

Isagawa natin ang pagguhit:

Ang distansya na natagpuan mula sa punto hanggang sa linya ay eksaktong haba ng pulang segment. Kung gagawa ka ng drawing sa checkered na papel sa sukat na 1 unit. \u003d 1 cm (2 mga cell), kung gayon ang distansya ay maaaring masukat sa isang ordinaryong pinuno.

Isaalang-alang ang isa pang gawain ayon sa parehong pagguhit:

Ang gawain ay upang mahanap ang mga coordinate ng punto , na simetriko sa punto na may paggalang sa linya . Iminumungkahi kong gawin ang mga aksyon nang mag-isa, gayunpaman, ilalarawan ko ang algorithm ng solusyon na may mga intermediate na resulta:

1) Maghanap ng isang linya na patayo sa isang linya.

2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: .

Ang parehong mga aksyon ay tinalakay nang detalyado sa araling ito.

3) Ang punto ay ang midpoint ng segment. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Sa pamamagitan ng mga formula para sa mga coordinate ng gitna ng segment hanapin ang .

Hindi magiging kalabisan upang suriin na ang distansya ay katumbas din ng 2.2 na yunit.

Ang mga paghihirap dito ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon, ngunit sa tore ang isang microcalculator ay nakakatulong nang malaki, na nagpapahintulot sa iyo na magbilang mga karaniwang fraction. Nagpayo ng maraming beses at magrerekomenda muli.

Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya?

Halimbawa 9

Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya

Ito ay isa pang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon. Isang maliit na pahiwatig: mayroong walang katapusang maraming paraan upang malutas. Debriefing sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa palagay ko ay nagawa mong ikalat ang iyong talino.

Anggulo sa pagitan ng dalawang linya

Anuman ang sulok, pagkatapos ay ang hamba:


Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay kinukuha bilang MAS MALIIT na anggulo, kung saan awtomatiko itong sumusunod na hindi ito maaaring maging mahina. Sa figure, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi itinuturing na anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya. At ang "berde" nitong kapitbahay o kabaligtaran ang oriented pulang sulok.

Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng mga ito.

Paano naiiba ang mga anggulo? Oryentasyon. Una, ang direksyon ng "pag-scroll" sa sulok ay pangunahing mahalaga. Pangalawa, ang isang negatibong anggulo ay nakasulat na may minus sign, halimbawa, kung .

Bakit ko nasabi ito? Mukhang makakayanan mo ang karaniwang konsepto ng isang anggulo. Ang katotohanan ay na sa mga pormula kung saan makikita natin ang mga anggulo, ang isang negatibong resulta ay madaling makuha, at hindi ka dapat magtaka. Ang isang anggulo na may minus sign ay hindi mas masahol pa, at may napakaspesipikong geometric na kahulugan. Sa pagguhit para sa isang negatibong anggulo, kinakailangang ipahiwatig ang oryentasyon nito (clockwise) gamit ang isang arrow.

Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya? Mayroong dalawang gumaganang formula:

Halimbawa 10

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

Desisyon at Pamamaraan isa

Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang anyo:

Kung diretso hindi patayo, pagkatapos nakatuon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Karamihan malapit na pansin bumaling sa denominator - ito ay eksakto produktong scalar mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:

Kung , kung gayon ang denominator ng formula ay mawawala, at ang mga vector ay magiging orthogonal at ang mga linya ay magiging patayo. Iyon ang dahilan kung bakit ginawa ang isang reserbasyon tungkol sa hindi perpendikularidad ng mga linya sa pagbabalangkas.

Batay sa nabanggit, ang solusyon ay maginhawang gawing pormal sa dalawang hakbang:

1) Kalkulahin ang scalar product ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:
kaya ang mga linya ay hindi patayo.

2) Nahanap namin ang anggulo sa pagitan ng mga linya sa pamamagitan ng formula:

Sa pamamagitan ng baligtad na pag-andar madaling mahanap ang sulok mismo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakaiba ng arc tangent (tingnan ang Fig. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar ):

Sagot:

Sa sagot, ipahiwatig eksaktong halaga, pati na rin ang isang tinatayang halaga (mas mabuti sa parehong mga degree at radian) na kinakalkula gamit ang isang calculator.

Well, minus, kaya minus, okay lang. Narito ang isang geometric na paglalarawan:

Hindi nakakagulat na ang anggulo ay naging negatibong oryentasyon, dahil sa kondisyon ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-twisting" ng anggulo ay nagsimula nang tumpak mula dito.

Kung gusto mo talagang makakuha ng positibong anggulo, kailangan mong palitan ang mga tuwid na linya, iyon ay, kunin ang mga koepisyent mula sa pangalawang equation , at kunin ang mga coefficient mula sa unang equation . Sa madaling salita, kailangan mong magsimula sa isang direktang .