Mga halimbawa ng logarithmic expression. Logarithm

Logarithmic Expressions, paglutas ng mga halimbawa. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga problemang nauugnay sa paglutas ng mga logarithms. Ang mga gawain ay nagtataas ng tanong ng paghahanap ng halaga ng expression. Dapat pansinin na ang konsepto ng logarithm ay ginagamit sa maraming mga gawain at napakahalaga na maunawaan ang kahulugan nito. Tulad ng para sa USE, ang logarithm ay ginagamit kapag nilulutas ang mga equation, in mga inilapat na gawain, gayundin sa mga gawaing nauugnay sa pag-aaral ng mga function.

Narito ang mga halimbawa upang maunawaan ang mismong kahulugan ng logarithm:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

Mga katangian ng logarithms na dapat mong laging tandaan:

*Logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ang logarithms ng mga salik.

* * *

* Ang logarithm ng quotient (fraction) ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms ng mga salik.

* * *

* Ang logarithm ng degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng base nito.

* * *

*Transition sa bagong base

* * *

Higit pang mga katangian:

* * *

Ang computing logarithms ay malapit na nauugnay sa paggamit ng mga katangian ng mga exponent.

Inilista namin ang ilan sa kanila:

Ang kakanyahan ng ari-arian na ito ay kapag inilipat ang numerator sa denominator at kabaligtaran, ang tanda ng exponent ay nagbabago sa kabaligtaran. Halimbawa:

Bunga ng ari-arian na ito:

* * *

Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay pinarami.

* * *

Tulad ng makikita mo, ang mismong konsepto ng logarithm ay simple. Ang pangunahing bagay ay ang mahusay na kasanayan ay kinakailangan, na nagbibigay ng isang tiyak na kasanayan. Tiyak na ang kaalaman sa mga formula ay obligado. Kung ang kasanayan sa pag-convert ng elementarya na logarithms ay hindi nabuo, kung gayon kapag ang paglutas ng mga simpleng gawain, ang isa ay madaling magkamali.

Magsanay, lutasin muna ang pinakasimpleng mga halimbawa mula sa kurso sa matematika, pagkatapos ay lumipat sa mas kumplikado. Sa hinaharap, tiyak na ipapakita ko kung paano nalutas ang mga "pangit" na logarithms, walang mga ganyan sa pagsusulit, ngunit interesado sila, huwag palampasin ito!

Iyon lang! Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.

Ano ang logarithm?

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Ano ang logarithm? Paano malutas ang mga logarithms? Ang mga tanong na ito ay nakalilito sa maraming nagtapos. Ayon sa kaugalian, ang paksa ng logarithms ay itinuturing na kumplikado, hindi maintindihan at nakakatakot. Lalo na - mga equation na may logarithms.

Ito ay ganap na hindi totoo. Ganap! ayaw maniwala? Mabuti. Ngayon, sa loob ng mga 10 - 20 minuto:

1. Intindihin ano ang logarithm.

2. Matutong lutasin ang isang buong klase mga exponential equation. Kahit na hindi mo pa naririnig ang tungkol sa kanila.

3. Matutong magkalkula ng mga simpleng logarithms.

Bukod dito, para dito kakailanganin mo lamang malaman ang talahanayan ng pagpaparami, at kung paano itataas ang isang numero sa isang kapangyarihan ...

Pakiramdam ko ay nagdududa ka ... Well, panatilihin ang oras! Go!

Una, lutasin ang sumusunod na equation sa iyong isip:

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ang mga pangunahing katangian ng natural na logarithm, graph, domain ng kahulugan, set ng mga halaga, mga pangunahing formula, derivative, integral, pagpapalawak sa serye ng kapangyarihan at kumakatawan sa function na ln x sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero.

Kahulugan

natural na logarithm ay ang function na y = sa x, kabaligtaran sa exponent, x \u003d e y , at alin ang logarithm sa base ng numerong e: ln x = log e x.

Ang natural na logarithm ay malawakang ginagamit sa matematika dahil ang derivative nito ay may pinakasimpleng anyo: (ln x)′ = 1/ x.

Batay mga kahulugan, ang base ng natural na logarithm ay ang numero e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Graph ng function na y = sa x.

Graph ng natural na logarithm (mga function y = sa x) ay nakuha mula sa graph ng exponent sa pamamagitan ng mirror reflection tungkol sa tuwid na linya y = x .

Ang natural na logarithm ay tinukoy para sa mga positibong halaga ng x . Ito ay monotonically tumataas sa kanyang domain ng kahulugan.

Bilang x → 0 ang limitasyon ng natural na logarithm ay minus infinity ( - ∞ ).

Bilang x → + ∞, ang limitasyon ng natural na logarithm ay plus infinity ( + ∞ ). Para sa malaking x, medyo mabagal ang pagtaas ng logarithm. Anumang power function x a na may positibong exponent a ay lumalaki nang mas mabilis kaysa sa logarithm.

Mga katangian ng natural na logarithm

Domain ng kahulugan, hanay ng mga halaga, extrema, pagtaas, pagbaba

Ang natural na logarithm ay isang monotonically increase na function, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian ng natural na logarithm ay ipinakita sa talahanayan.

ln x na mga halaga

log 1 = 0

Mga pangunahing formula para sa natural na logarithms

Mga formula na nagmumula sa kahulugan ng inverse function:

Ang pangunahing pag-aari ng logarithms at ang mga kahihinatnan nito

Base kapalit na formula

Anumang logarithm ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng natural na logarithms gamit ang base change formula:

Ang mga patunay ng mga formula na ito ay ipinakita sa seksyong "Logarithm".

Baliktad na pag-andar

Ang kapalit ng natural logarithm ay ang exponent.

Kung , kung gayon

Kung , kung gayon .

Derivative ln x

Derivative ng natural logarithm:
.
Derivative ng natural logarithm ng modulo x:
.
Derivative ng ika-na order:
.
Pinagmulan ng mga formula > > >

integral

Ang integral ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi:
.
Kaya,

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Isaalang-alang ang isang function ng isang kumplikadong variable z :
.
Ipahayag natin ang kumplikadong variable z sa pamamagitan ng modyul r at argumento φ :
.
Gamit ang mga katangian ng logarithm, mayroon kaming:
.
O kaya
.
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. Kung ilalagay natin
, kung saan ang n ay isang integer,
pagkatapos ito ay magiging parehong numero para sa magkaibang n.

Samakatuwid, ang natural na logarithm, bilang isang function ng isang complex variable, ay hindi isang single-valued function.

Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan

Para sa , nagaganap ang pagpapalawak:

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.

Nagsisimula ako sa video na ito katagalan mga aralin tungkol sa logarithmic equation. Ngayon ay mayroon kang tatlong mga halimbawa nang sabay-sabay, sa batayan kung saan matututo kaming lutasin ang pinaka mga simpleng gawain, na tinatawag na protozoa.

log 0.5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Ipaalala ko sa iyo na ang pinakasimpleng logarithmic equation ay ang sumusunod:

mag-log a f(x) = b

Mahalaga na ang variable na x ay naroroon lamang sa loob ng argumento, ibig sabihin, lamang sa function na f(x). At ang mga numerong a at b ay mga numero lamang, at sa anumang kaso ay mga function na naglalaman ng variable na x.

Mga pangunahing paraan ng solusyon

Mayroong maraming mga paraan upang malutas ang mga naturang istruktura. Halimbawa, karamihan sa mga guro sa paaralan ay nagmumungkahi ng ganitong paraan: Ipahayag kaagad ang function f ( x ) gamit ang formula f( x ) = a b . Iyon ay, kapag natugunan mo ang pinakasimpleng konstruksyon, maaari kang magpatuloy kaagad sa solusyon nang walang karagdagang mga aksyon at konstruksyon.

Oo, siyempre, magiging tama ang desisyon. Gayunpaman, ang problema sa formula na ito ay ang karamihan sa mga mag-aaral hindi maintindihan, saan ito nanggaling at bakit eksaktong itinataas natin ang letrang a sa letrang b.

Bilang resulta, madalas kong napapansin ang mga nakakasakit na pagkakamali, kapag, halimbawa, ang mga liham na ito ay ipinagpapalit. Ang pormula na ito ay dapat na maunawaan o isaulo, at ang pangalawang paraan ay humahantong sa mga pagkakamali sa pinaka hindi angkop at pinakamahalagang sandali: sa mga pagsusulit, pagsusulit, atbp.

Iyon ang dahilan kung bakit iminumungkahi ko sa lahat ng aking mga mag-aaral na talikuran ang karaniwang formula ng paaralan at gamitin ang pangalawang diskarte upang malutas ang mga logarithmic equation, na, bilang malamang na nahulaan mo mula sa pangalan, ay tinatawag kanonikal na anyo.

Idea kanonikal na anyo simple lang. Tingnan natin muli ang aming gawain: sa kaliwa mayroon kaming log a , habang ang titik a ay nangangahulugang eksaktong numero, at sa anumang kaso ang function na naglalaman ng variable na x. Samakatuwid, ang liham na ito ay napapailalim sa lahat ng mga paghihigpit na ipinataw sa base ng logarithm. ibig sabihin:

1 ≠ a > 0

Sa kabilang banda, mula sa parehong equation, makikita natin na ang logarithm ay dapat ay katumbas ng bilang b , at walang mga paghihigpit na ipinapataw sa liham na ito, dahil maaari itong tumagal ng anumang halaga - parehong positibo at negatibo. Ang lahat ay nakasalalay sa kung anong mga halaga ang kinukuha ng function na f(x).

At dito naaalala natin ang ating kahanga-hangang tuntunin na ang anumang numero b ay maaaring katawanin bilang isang logarithm sa base a mula a hanggang sa kapangyarihan ng b:

b = log a a b

Paano matandaan ang formula na ito? Oo, napakasimple. Isulat natin ang sumusunod na konstruksyon:

b = b 1 = b log a a

Siyempre, sa kasong ito, lumitaw ang lahat ng mga paghihigpit na isinulat namin sa simula. At ngayon gamitin natin ang pangunahing katangian ng logarithm, at ipasok ang factor b bilang kapangyarihan ng a. Nakukuha namin:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Bilang resulta, ang orihinal na equation ay muling isusulat sa sumusunod na anyo:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Iyon lang. Bagong Tampok hindi na naglalaman ng logarithm at nalulutas ng mga karaniwang pamamaraan ng algebraic.

Siyempre, may tututol ngayon: bakit kinailangan pang makabuo ng ilang uri ng canonical formula, bakit magsagawa ng dalawang karagdagang hindi kinakailangang hakbang, kung posible na agad na pumunta mula sa orihinal na konstruksyon hanggang sa panghuling formula? Oo, kung dahil lang sa karamihan sa mga mag-aaral ay hindi nauunawaan kung saan nagmula ang formula na ito at, bilang resulta, regular na nagkakamali kapag inilalapat ito.

Ngunit ang gayong pagkakasunud-sunod ng mga aksyon, na binubuo ng tatlong hakbang, ay nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang orihinal na logarithmic equation, kahit na hindi mo naiintindihan kung saan nagmula ang panghuling formula na iyon. Sa pamamagitan ng paraan, ang entry na ito ay tinatawag na canonical formula:

log a f(x) = log a a b

Ang kaginhawahan ng canonical form ay nakasalalay din sa katotohanan na maaari itong magamit upang malutas ang isang napakalawak na klase ng mga logarithmic equation, at hindi lamang ang pinakasimpleng mga isasaalang-alang natin ngayon.

Mga halimbawa ng solusyon

Ngayon tingnan natin ang mga tunay na halimbawa. Kaya't magpasya tayo:

log 0.5 (3x - 1) = -3

Isulat muli natin ito tulad nito:

log 0.5 (3x − 1) = log 0.5 0.5 −3

Maraming mga mag-aaral ang nagmamadali at sinusubukan na agad na itaas ang bilang na 0.5 sa kapangyarihan na dumating sa amin mula sa orihinal na problema. At sa katunayan, kapag ikaw ay mahusay na sinanay sa paglutas ng mga naturang problema, maaari mong agad na gawin ang hakbang na ito.

Gayunpaman, kung ngayon ka pa lamang nagsisimulang pag-aralan ang paksang ito, mas mabuting huwag magmadali kahit saan upang hindi makagawa ng mga nakakasakit na pagkakamali. Kaya mayroon tayong canonical form. Meron kami:

3x - 1 = 0.5 -3

Ito ay hindi na isang logarithmic equation, ngunit isang linear na may paggalang sa variable na x. Upang malutas ito, harapin muna natin ang bilang na 0.5 hanggang sa kapangyarihan ng −3. Tandaan na ang 0.5 ay 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Lahat mga decimal convert sa normal kapag nalutas mo ang isang logarithmic equation.

Muli kaming nagsusulat at nakakuha ng:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Lahat nakuha namin ang sagot. Ang unang gawain ay nalutas.

Pangalawang gawain

Lumipat tayo sa pangalawang gawain:

Tulad ng nakikita mo, ang equation na ito ay hindi na ang pinakasimpleng isa. Kung lamang dahil ang pagkakaiba ay nasa kaliwa, at hindi isang solong logarithm sa isang base.

Samakatuwid, kailangan mong kahit papaano ay mapupuksa ang pagkakaibang ito. Sa kasong ito, ang lahat ay napaka-simple. Tingnan natin ang mga base: sa kaliwa ay ang numero sa ilalim ng ugat:

Pangkalahatang rekomendasyon: sa lahat ng logarithmic equation, subukang alisin ang mga radical, ibig sabihin, mga entry na may mga ugat, at magpatuloy sa mga function ng kapangyarihan, dahil lang ang mga exponent ng mga kapangyarihang ito ay madaling alisin sa sign ng logarithm, at sa huli, ang gayong notasyon ay lubos na nagpapadali at nagpapabilis ng mga kalkulasyon. Isulat natin ito ng ganito:

Ngayon naaalala namin ang kahanga-hangang pag-aari ng logarithm: mula sa argumento, pati na rin mula sa base, maaari kang kumuha ng mga degree. Sa kaso ng mga base, ang mga sumusunod ay nangyayari:

log a k b = 1/k loga b

Sa madaling salita, ang numero na nakatayo sa antas ng base ay dinala at sa parehong oras ay ibinalik, iyon ay, ito ay nagiging kapalit ng numero. Sa aming kaso, mayroong isang antas ng base na may isang tagapagpahiwatig ng 1/2. Samakatuwid, maaari nating alisin ito bilang 2/1. Nakukuha namin:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Pakitandaan: sa anumang kaso hindi mo dapat alisin ang logarithms sa hakbang na ito. Pag-isipang muli ang grade 4-5 math at ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon: ginagawa muna ang multiplikasyon, at pagkatapos lamang isagawa ang pagdaragdag at pagbabawas. Sa kasong ito, ibawas namin ang isa sa parehong mga elemento mula sa 10 elemento:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Ngayon ang aming equation ay mukhang dapat. Ito ang pinakasimpleng konstruksyon, at nilulutas namin ito gamit ang canonical form:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Iyon lang. Ang pangalawang problema ay nalutas.

Pangatlong halimbawa

Lumipat tayo sa ikatlong gawain:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Alalahanin ang sumusunod na formula:

log b = log 10 b

Kung sa ilang kadahilanan ay nalilito ka sa pagsulat ng lg b , kung gayon kapag ginagawa ang lahat ng mga kalkulasyon, maaari mo lamang isulat ang log 10 b . Maaari kang gumawa ng mga decimal logarithms sa parehong paraan tulad ng sa iba: mag-alis ng mga kapangyarihan, magdagdag, at kumatawan sa anumang numero bilang lg 10.

Tiyak na ang mga katangiang ito ang gagamitin natin ngayon upang malutas ang problema, dahil hindi ito ang pinakasimpleng isinulat natin sa simula ng ating aralin.

Upang magsimula, tandaan na ang kadahilanan 2 bago ang lg 5 ay maaaring ipasok at maging isang kapangyarihan ng base 5. Bilang karagdagan, ang libreng termino 3 ay maaari ding katawanin bilang isang logarithm - ito ay napakadaling obserbahan mula sa aming notasyon.

Hukom para sa iyong sarili: anumang numero ay maaaring katawanin bilang log sa base 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Isulat muli natin ang orihinal na problema na isinasaalang-alang ang mga natanggap na pagbabago:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Sa harap natin ay muli ang kanonikal na anyo, at nakuha natin ito sa paglampas sa yugto ng mga pagbabago, ibig sabihin, ang pinakasimpleng logarithmic equation ay hindi dumating kahit saan sa amin.

Iyan ang sinasabi ko sa simula pa lamang ng aralin. Ang canonical form ay nagbibigay-daan sa paglutas ng mas malawak na klase ng mga problema kaysa sa karaniwang formula ng paaralan, na ibinibigay ng karamihan sa mga guro ng paaralan.

Iyon lang, inaalis namin ang tanda ng decimal logarithm, at nakakakuha kami ng isang simpleng linear na konstruksyon:

x + 3 = 25,000
x = 24997

Lahat! Nalutas ang problema.

Isang tala tungkol sa saklaw

Dito nais kong gumawa ng isang mahalagang puna tungkol sa domain ng kahulugan. Tiyak na ngayon ay may mga mag-aaral at guro na magsasabi: "Kapag nilutas natin ang mga expression na may logarithms, kailangang tandaan na ang argumento na f (x) ay dapat na mas malaki kaysa sa zero!" Sa pagsasaalang-alang na ito, isang lohikal na tanong ang lumitaw: bakit sa wala sa mga isinasaalang-alang na mga problema ay hinihiling namin na ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nasiyahan?

Wag kang mag-alala. Walang lalabas na karagdagang ugat sa mga kasong ito. At ito ay isa pang mahusay na trick na nagbibigay-daan sa iyo upang mapabilis ang solusyon. Alamin lamang na kung sa problema ang variable x ay nangyayari lamang sa isang lugar (o sa halip, sa isa at tanging argumento ng isa at tanging logarithm), at wala saanman sa aming kaso ang variable x, pagkatapos ay isulat ang domain hindi kinakailangan dahil awtomatiko itong tatakbo.

Hukom para sa iyong sarili: sa unang equation, nakuha namin na 3x - 1, ibig sabihin, ang argument ay dapat na katumbas ng 8. Awtomatiko itong nangangahulugan na ang 3x - 1 ay magiging mas malaki kaysa sa zero.

Sa parehong tagumpay, maaari nating isulat na sa pangalawang kaso, ang x ay dapat na katumbas ng 5 2, ibig sabihin, ito ay tiyak na mas malaki sa zero. At sa ikatlong kaso, kung saan ang x + 3 = 25,000, ibig sabihin, muli, malinaw na mas malaki sa zero. Sa madaling salita, ang saklaw ay awtomatiko, ngunit kung ang x ay nangyayari lamang sa argumento ng isang logarithm lamang.

Iyon lang ang kailangan mong malaman para malutas ang mga simpleng problema. Ang panuntunang ito lamang, kasama ang mga panuntunan sa pagbabago, ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang napakalawak na klase ng mga problema.

Ngunit maging tapat tayo: upang sa wakas ay makitungo sa pamamaraang ito, upang matutunan kung paano ilapat ang canonical form logarithmic equation Hindi sapat na manood lamang ng isang video tutorial. Samakatuwid, sa ngayon, i-download ang mga opsyon para sa isang independiyenteng solusyon na naka-attach sa video tutorial na ito at simulan ang paglutas ng hindi bababa sa isa sa dalawang independiyenteng mga gawa na ito.

Aabutin ka lang ng ilang minuto. Ngunit ang epekto ng naturang pagsasanay ay mas mataas kumpara sa kung napanood mo lang ang video tutorial na ito.

Sana ay matulungan ka ng araling ito na maunawaan ang mga logarithmic equation. Ilapat ang canonical form, pasimplehin ang mga expression gamit ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa logarithms - at hindi ka matatakot sa anumang mga gawain. At iyon lang ang mayroon ako para sa araw na ito.

Pagsasaalang-alang sa saklaw

Ngayon pag-usapan natin ang domain ng logarithmic function, pati na rin kung paano ito nakakaapekto sa solusyon ng logarithmic equation. Isaalang-alang ang pagbuo ng form

mag-log a f(x) = b

Ang ganitong expression ay tinatawag na pinakasimpleng - mayroon lamang itong isang function, at ang mga numero a at b ay mga numero lamang, at sa anumang kaso ay isang function na nakasalalay sa variable x. Ito ay malulutas nang napakasimple. Kailangan mo lamang gamitin ang formula:

b = log a a b

Ang formula na ito ay isa sa mga pangunahing katangian ng logarithm, at kapag pinapalitan sa aming orihinal na expression, nakukuha namin ang sumusunod:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Isa na itong pamilyar na pormula mula sa mga aklat-aralin sa paaralan. Maraming estudyante ang malamang na may tanong: dahil ang function na f ( x ) sa orihinal na expression ay nasa ilalim ng log sign, ang mga sumusunod na paghihigpit ay ipinapataw dito:

f(x) > 0

Nalalapat ang limitasyong ito dahil ang logarithm ng mga negatibong numero ay wala. Kaya, marahil dahil sa limitasyong ito, dapat kang magpakilala ng tseke para sa mga sagot? Marahil ay kailangan nilang palitan sa pinagmulan?

Hindi, sa pinakasimpleng logarithmic equation, hindi kailangan ang karagdagang check. At dahil jan. Tingnan ang aming huling formula:

f(x) = a b

Ang katotohanan ay ang numero a sa anumang kaso ay mas malaki kaysa sa 0 - ang kinakailangang ito ay ipinapataw din ng logarithm. Ang bilang a ay ang batayan. Sa kasong ito, walang mga paghihigpit na ipinapataw sa numero b. Ngunit hindi ito mahalaga, dahil kahit anong antas ang pagtaas natin ng positibong numero, makakakuha pa rin tayo ng positibong numero sa output. Kaya, ang kinakailangan f (x) > 0 ay awtomatikong natutupad.

Ang talagang sulit na suriin ay ang saklaw ng function sa ilalim ng log sign. Maaaring magkaroon ng medyo kumplikadong mga disenyo, at sa proseso ng paglutas ng mga ito, dapat mong tiyak na sundin ang mga ito. Tingnan natin.

Unang gawain:

Unang hakbang: i-convert ang fraction sa kanan. Nakukuha namin:

Inaalis namin ang tanda ng logarithm at makuha ang karaniwang hindi makatwiran na equation:

Sa mga nakuhang ugat, ang una lang ang nababagay sa atin, dahil ang pangalawang ugat ay mas mababa sa zero. Number 9 lang ang isasagot. Ayan, solve na ang problema. Walang karagdagang mga pagsusuri na ang expression sa ilalim ng logarithm sign ay mas malaki kaysa sa 0 ay kinakailangan, dahil ito ay hindi lamang mas malaki kaysa sa 0, ngunit sa pamamagitan ng kondisyon ng equation ito ay katumbas ng 2. Samakatuwid, ang kinakailangan na "mas malaki kaysa sa zero" ay awtomatikong natupad.

Lumipat tayo sa pangalawang gawain:

Lahat ay pareho dito. Isinulat namin muli ang konstruksiyon, pinapalitan ang triple:

Tinatanggal namin ang mga palatandaan ng logarithm at nakakakuha ng hindi makatwiran na equation:

Namin parisukat ang parehong bahagi, isinasaalang-alang ang mga paghihigpit, at nakukuha namin:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Niresolba namin ang nagresultang equation sa pamamagitan ng discriminant:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Ngunit ang x = −6 ay hindi nababagay sa atin, dahil kung papalitan natin ang numerong ito sa ating hindi pagkakapantay-pantay, makakakuha tayo ng:

−6 + 4 = −2 < 0

Sa aming kaso, kinakailangan na ito ay mas malaki sa 0 o, sa matinding mga kaso, katumbas. Ngunit ang x = −1 ay nababagay sa atin:

−1 + 4 = 3 > 0

Ang tanging sagot sa aming kaso ay x = −1. Yan lang ang solusyon. Bumalik tayo sa pinakasimula ng ating mga kalkulasyon.

Ang pangunahing konklusyon mula sa araling ito ay hindi kinakailangang suriin ang mga limitasyon para sa isang function sa pinakasimpleng logarithmic equation. Dahil sa proseso ng paglutas ng lahat ng mga hadlang ay awtomatikong naisakatuparan.

Gayunpaman, hindi ito nangangahulugan na maaari mong ganap na kalimutan ang tungkol sa pag-verify. Sa proseso ng pagtatrabaho sa isang logarithmic equation, maaari itong maging isang hindi makatwiran, na magkakaroon ng sarili nitong mga limitasyon at mga kinakailangan para sa kanang bahagi, na nakita natin ngayon sa dalawang magkaibang mga halimbawa.

Huwag mag-atubiling lutasin ang mga ganitong problema at maging maingat lalo na kung may ugat sa argumento.

Logarithmic equation na may iba't ibang base

Patuloy naming pinag-aaralan ang mga logarithmic equation at sinusuri ang dalawa pang mas kawili-wiling mga trick na kung saan ito ay sunod sa moda upang malutas ang mas kumplikadong mga istraktura. Ngunit una, tandaan natin kung paano nalutas ang pinakasimpleng mga gawain:

mag-log a f(x) = b

Sa notasyong ito, ang a at b ay mga numero lamang, at sa function na f (x) ang variable na x ay dapat naroroon, at doon lamang, iyon ay, x ay dapat na nasa argumento lamang. Ibahin natin ang mga logarithmic equation gamit ang canonical form. Para dito, tandaan namin iyon

b = log a a b

At ang a b ay isang argumento lamang. Isulat muli natin ang expression na ito tulad ng sumusunod:

log a f(x) = log a a b

Ito mismo ang sinusubukan nating makamit, upang kapwa sa kaliwa at sa kanan ay mayroong logarithm sa base a. Sa kasong ito, maaari nating, sa makasagisag na pagsasalita, i-cross out ang mga palatandaan ng log, at mula sa punto ng view ng matematika, maaari nating sabihin na itumbas lang natin ang mga argumento:

f(x) = a b

Bilang resulta, nakakakuha kami ng bagong expression na mas madaling malulutas. Ilapat natin ang panuntunang ito sa ating mga gawain ngayon.

Kaya ang unang disenyo:

Una sa lahat, tandaan ko na mayroong isang fraction sa kanan, ang denominator nito ay log. Kapag nakakita ka ng expression na tulad nito, sulit na alalahanin ang kahanga-hangang pag-aari ng logarithms:

Isinalin sa Russian, nangangahulugan ito na ang anumang logarithm ay maaaring katawanin bilang isang quotient ng dalawang logarithms na may anumang base c. Siyempre, 0< с ≠ 1.

Kaya: ang formula na ito ay may isang kahanga-hangang espesyal na kaso kapag ang variable c ay katumbas ng variable b. Sa kasong ito, nakakakuha kami ng isang pagbuo ng form:

Ang konstruksiyon na ito ay naobserbahan natin mula sa karatula sa kanan sa ating equation. Palitan natin ang construction na ito ng log a b , nakukuha natin:

Sa madaling salita, kung ihahambing sa orihinal na gawain, pinalitan natin ang argumento at ang base ng logarithm. Sa halip, kailangan naming i-flip ang fraction.

Naaalala namin na ang anumang antas ay maaaring alisin sa base ayon sa sumusunod na panuntunan:

Sa madaling salita, ang coefficient k, na kung saan ay ang antas ng base, ay kinuha bilang isang baligtad na fraction. Kunin natin ito bilang isang baligtad na fraction:

Ang fractional factor ay hindi maaaring iwan sa harap, dahil sa kasong ito ay hindi natin magagawang katawanin ang entry na ito bilang canonical form (pagkatapos ng lahat, sa canonical form, walang karagdagang factor sa harap ng pangalawang logarithm). Samakatuwid, ilagay natin ang fraction 1/4 sa argumento bilang isang kapangyarihan:

Ngayon ay tinutumbasan natin ang mga argumento na ang mga batayan ay pareho (at talagang mayroon tayong parehong mga batayan), at isulat:

x + 5 = 1

x = −4

Iyon lang. Nakuha namin ang sagot sa unang logarithmic equation. Bigyang-pansin: sa orihinal na problema, ang variable na x ay nangyayari lamang sa isang log, at ito ay nasa argumento nito. Samakatuwid, hindi na kailangang suriin ang domain, at ang aming numerong x = −4 ay talagang ang sagot.

Ngayon lumipat tayo sa pangalawang expression:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Dito, bilang karagdagan sa karaniwang logarithms, kailangan nating magtrabaho kasama ang lg f (x). Paano malutas ang gayong equation? Maaaring tila sa isang hindi handa na mag-aaral na ito ay isang uri ng lata, ngunit sa katunayan ang lahat ay nalutas sa elementarya.

Tingnang mabuti ang terminong lg 2 log 2 7. Ano ang masasabi natin tungkol dito? Ang mga base at argumento ng log at lg ay pareho, at dapat itong magbigay ng ilang mga pahiwatig. Alalahanin nating muli kung paano kinuha ang mga degree mula sa ilalim ng tanda ng logarithm:

log a b n = nlog a b

Sa madaling salita, kung ano ang kapangyarihan ng numero b sa argumento ay nagiging isang kadahilanan sa harap ng log mismo. Ilapat natin ang formula na ito sa expression na lg 2 log 2 7. Huwag matakot sa lg 2 - ito ang pinakakaraniwang expression. Maaari mong muling isulat ito tulad nito:

Para sa kanya, ang lahat ng mga patakaran na nalalapat sa anumang iba pang logarithm ay may bisa. Sa partikular, ang kadahilanan sa harap ay maaaring ipakilala sa kapangyarihan ng argumento. Sumulat tayo:

Kadalasan, hindi nakikita ng mga estudyanteng blangko ang aksyon na ito, dahil hindi magandang magpasok ng isang log sa ilalim ng tanda ng isa pa. Sa katunayan, walang kriminal dito. Bukod dito, nakakakuha kami ng formula na madaling kalkulahin kung naaalala mo ang isang mahalagang panuntunan:

Ang formula na ito ay maaaring ituring bilang isang kahulugan at bilang isa sa mga katangian nito. Sa anumang kaso, kung magko-convert ka ng logarithmic equation, dapat mong malaman ang formula na ito sa parehong paraan tulad ng representasyon ng anumang numero sa anyo ng log.

Bumalik kami sa aming gawain. Isinulat namin itong muli na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang unang termino sa kanan ng equal sign ay magiging katumbas lang ng lg 7. Mayroon kaming:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Ilipat natin ang lg 7 sa kaliwa, makuha natin:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Ibinabawas namin ang mga expression sa kaliwa dahil mayroon silang parehong base:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Ngayon tingnan natin ang equation na mayroon tayo. Ito ay halos kanonikal na anyo, ngunit may salik −3 sa kanan. Ilagay natin ito sa tamang argumento ng lg:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Sa harap natin ay ang kanonikal na anyo ng logarithmic equation, kaya tinatawid natin ang mga palatandaan ng lg at tinutumbasan ang mga argumento:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

Iyon lang! Nalutas namin ang pangalawang logarithmic equation. Sa kasong ito, walang karagdagang pagsusuri ang kinakailangan, dahil sa orihinal na problema x ay naroroon lamang sa isang argumento.

Hayaan akong muling banggitin ang mga pangunahing punto ng araling ito.

Ang pangunahing pormula na pinag-aaralan sa lahat ng mga aralin sa pahinang ito na nakatuon sa paglutas ng mga logarithmic equation ay ang canonical form. At huwag ipagpaliban ang katotohanan na karamihan sa mga aklat-aralin sa paaralan ay nagtuturo sa iyo kung paano lutasin ang mga ganitong uri ng mga problema sa ibang paraan. Ang tool na ito ay gumagana nang napakahusay at nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang mas malawak na klase ng mga problema kaysa sa pinakasimpleng mga problema na aming pinag-aralan sa pinakasimula ng aming aralin.

Bilang karagdagan, upang malutas ang mga logarithmic equation, magiging kapaki-pakinabang na malaman ang mga pangunahing katangian. Namely:

1. Ang formula para sa paglipat sa isang base at isang espesyal na kaso kapag nag-flip kami ng log (ito ay lubhang kapaki-pakinabang sa amin sa unang gawain);
2. Ang formula para sa pagdadala at pag-alis ng mga kapangyarihan mula sa ilalim ng tanda ng logarithm. Dito, maraming estudyante ang natigil at hindi nakikita ang point-blank na ang kapangyarihan na kinuha at dinala ay maaaring maglaman ng log f (x). Walang masama diyan. Maaari naming ipakilala ang isang log ayon sa tanda ng isa pa at sa parehong oras ay makabuluhang pasimplehin ang solusyon ng problema, na kung saan ay naobserbahan namin sa pangalawang kaso.

Sa konklusyon, nais kong idagdag na hindi kinakailangang suriin ang saklaw sa bawat isa sa mga kasong ito, dahil saanman ang variable na x ay naroroon lamang sa isang tanda ng log, at sa parehong oras ay nasa argumento nito. Bilang resulta, ang lahat ng mga kinakailangan sa domain ay awtomatikong natutugunan.

Mga problema sa variable na base

Ngayon ay isasaalang-alang natin ang mga logarithmic equation, na para sa maraming mga mag-aaral ay tila hindi pamantayan, kung hindi ganap na hindi malulutas. Ito ay tungkol tungkol sa mga expression na nakabatay hindi sa mga numero, ngunit sa mga variable at kahit na mga function. Ating malulutas ang mga ganitong constructions sa tulong ng ating karaniwang pagtanggap, lalo na sa pamamagitan ng canonical form.

Upang magsimula, alalahanin natin kung paano nalulutas ang pinakasimpleng mga problema, na batay sa regular na mga numero. Kaya, ang pinakasimpleng konstruksiyon ay tinatawag

mag-log a f(x) = b

Upang malutas ang mga naturang problema, maaari naming gamitin ang sumusunod na formula:

b = log a a b

Muli naming isinulat ang aming orihinal na expression at makakuha ng:

log a f(x) = log a a b

Pagkatapos ay tinutumbasan namin ang mga argumento, ibig sabihin, isinulat namin:

f(x) = a b

Kaya, inaalis namin ang log sign at lutasin ang karaniwang problema. Sa kasong ito, ang mga ugat na nakuha sa solusyon ay magiging mga ugat ng orihinal na logarithmic equation. Bilang karagdagan, ang tala, kapag ang kaliwa at kanan ay nasa parehong logarithm na may parehong base, ay tinatawag na canonical form. Sa rekord na ito susubukan naming bawasan ang mga constructions ngayon. Kaya tara na.

Unang gawain:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Palitan ang 1 ng log x − 2 (x − 2) 1 . Ang antas na aming naobserbahan sa argumento ay, sa katunayan, ang numero b , na nasa kanan ng katumbas na tanda. Kaya't muli nating isulat ang ating ekspresyon. Nakukuha namin:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Ano ang nakikita natin? Nasa harap natin ang canonical form ng logarithmic equation, kaya ligtas nating maipantay ang mga argumento. Nakukuha namin:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Ngunit ang solusyon ay hindi nagtatapos doon, dahil ang equation na ito ay hindi katumbas ng orihinal. Pagkatapos ng lahat, ang resultang pagbuo ay binubuo ng mga function na tinukoy sa buong linya ng numero, at ang aming orihinal na logarithms ay hindi tinukoy sa lahat ng dako at hindi palaging.

Samakatuwid, dapat nating isulat nang hiwalay ang domain ng kahulugan. Huwag tayong maging mas matalino at isulat muna ang lahat ng mga kinakailangan:

Una, ang argumento ng bawat logarithms ay dapat na mas malaki sa 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Pangalawa, ang base ay hindi lamang dapat mas malaki sa 0, ngunit iba rin sa 1:

x − 2 ≠ 1

Bilang resulta, nakukuha namin ang system:

Ngunit huwag maalarma: kapag nagpoproseso ng mga logarithmic equation, ang ganitong sistema ay maaaring lubos na pasimplehin.

Hukom para sa iyong sarili: sa isang banda, hinihiling sa amin na ang quadratic function ay mas malaki kaysa sa zero, at sa kabilang banda, ang quadratic function na ito ay itinutumbas sa isang tiyak na linear expression, na kinakailangan din na ito ay mas malaki kaysa sa zero.

Sa kasong ito, kung hinihiling namin na ang x − 2 > 0, kung gayon ang kinakailangan na 2x 2 − 13x + 18 > 0 ay awtomatikong matutugunan. Samakatuwid, maaari naming ligtas na maitawid ang hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng quadratic function. Kaya, ang bilang ng mga expression na nakapaloob sa aming system ay mababawasan sa tatlo.

Syempre, baka mag-cross out din tayo linear inequality, ibig sabihin, ekis ang x − 2 > 0 at hilingin na 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ngunit dapat kang sumang-ayon na mas mabilis at mas madaling lutasin ang pinakasimpleng linear inequality kaysa sa sistemang ito na nakukuha natin ang parehong mga ugat.

Sa pangkalahatan, subukang i-optimize ang mga kalkulasyon hangga't maaari. At sa kaso ng mga logarithmic equation, i-cross out ang pinakamahirap na hindi pagkakapantay-pantay.

Isulat muli natin ang ating sistema:

Narito ang isang sistema ng tatlong expression, dalawa sa kung saan, sa katunayan, ay naisip na natin. Magkahiwalay tayong sumulat quadratic equation at lutasin ito:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Bago sa amin ay isang pinababang square trinomial at, samakatuwid, maaari naming gamitin ang mga formula ng Vieta. Nakukuha namin:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Ngayon, bumalik sa aming system, nakita namin na ang x = 2 ay hindi nababagay sa amin, dahil kailangan naming magkaroon ng x na mas malaki kaysa sa 2.

Ngunit ang x \u003d 5 ay angkop sa amin: ang numero 5 ay mas malaki kaysa sa 2, at sa parehong oras ang 5 ay hindi katumbas ng 3. Samakatuwid, ang tanging solusyon sa sistemang ito ay x \u003d 5.

Lahat, ang gawain ay nalutas, kabilang ang pagsasaalang-alang sa ODZ. Lumipat tayo sa pangalawang equation. Narito kami ay naghihintay para sa mas kawili-wili at makabuluhang mga kalkulasyon:

Ang unang hakbang: pati na rin ang huling pagkakataon, dinadala namin ang lahat ng negosyong ito sa isang kanonikal na anyo. Upang gawin ito, maaari naming isulat ang numero 9 tulad ng sumusunod:

Ang base na may ugat ay hindi maaaring hawakan, ngunit ito ay mas mahusay na baguhin ang argumento. Lumipat tayo mula sa ugat patungo sa kapangyarihan na may makatwirang exponent. Sumulat tayo:

Hayaan akong hindi muling isulat ang aming buong malaking logarithmic equation, ngunit agad na ipantay ang mga argumento:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Bago natin ay ang muling pinababang square trinomial, gagamitin natin ang mga formula ng Vieta at isusulat:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Kaya, nakuha namin ang mga ugat, ngunit walang garantiya sa amin na sila ay magkasya sa orihinal na logarithmic equation. Pagkatapos ng lahat, ang mga palatandaan ng log ay nagpapataw ng mga karagdagang paghihigpit (dito kailangan nating isulat ang system, ngunit dahil sa pagiging kumplikado ng buong konstruksiyon, nagpasya akong kalkulahin ang domain ng kahulugan nang hiwalay).

Una sa lahat, tandaan na ang mga argumento ay dapat na mas malaki kaysa sa 0, ibig sabihin:

Ito ang mga kinakailangan na ipinataw ng domain ng kahulugan.

Napansin namin kaagad na dahil itinutumbas namin ang unang dalawang expression ng system sa isa't isa, maaari naming i-cross out ang alinman sa mga ito. I-cross out natin ang una dahil mukhang mas menacing ito kaysa sa pangalawa.

Bilang karagdagan, tandaan na ang mga solusyon ng pangalawa at pangatlong hindi pagkakapantay-pantay ay magiging parehong mga hanay (ang kubo ng ilang numero ay mas malaki kaysa sa zero, kung ang numerong ito mismo ay mas malaki kaysa sa zero; katulad din sa ugat ng ikatlong antas - ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ganap na katulad, kaya isa sa kanila ay maaari nating i-cross out).

Ngunit sa ikatlong hindi pagkakapantay-pantay, hindi ito gagana. Alisin natin ang tanda ng radikal sa kaliwa, kung saan itinataas natin ang parehong bahagi sa isang kubo. Nakukuha namin:

Kaya nakuha namin ang mga sumusunod na kinakailangan:

−2 ≠ x > −3

Alin sa ating mga ugat: x 1 = -3 o x 2 = -1 ang nakakatugon sa mga kinakailangang ito? Malinaw, ang x = −1 lamang, dahil ang x = −3 ay hindi nakakatugon sa unang hindi pagkakapantay-pantay (dahil ang ating hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit). Sa kabuuan, pagbalik sa ating problema, makakakuha tayo ng isang ugat: x = −1. Iyon lang, nalutas ang problema.

Muli, ang mga pangunahing punto ng gawaing ito:

1. Huwag mag-atubiling ilapat at lutasin ang mga logarithmic equation gamit ang canonical form. Ang mga mag-aaral na gumagawa ng ganoong rekord, at hindi direktang pumunta mula sa orihinal na problema patungo sa isang konstruksyon tulad ng log a f ( x ) = b , ay gumagawa ng mas kaunting mga pagkakamali kaysa sa mga nagmamadali sa isang lugar, na nilalaktawan ang mga intermediate na hakbang ng mga kalkulasyon;
2. Sa sandaling lumitaw ang isang variable na base sa logarithm, ang problema ay tumigil na maging ang pinakasimpleng. Samakatuwid, kapag nilutas ito, kinakailangang isaalang-alang ang domain ng kahulugan: ang mga argumento ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, at ang mga batayan ay hindi lamang dapat mas malaki kaysa sa 0, ngunit hindi rin sila dapat katumbas ng 1.

Maaari mong ipataw ang mga huling kinakailangan sa mga huling sagot sa iba't ibang paraan. Halimbawa, posibleng malutas ang isang buong sistema na naglalaman ng lahat ng mga kinakailangan sa domain. Sa kabilang banda, maaari mo munang lutasin ang problema mismo, at pagkatapos ay tandaan ang tungkol sa domain ng kahulugan, gawin ito nang hiwalay sa anyo ng isang sistema at ilapat ito sa nakuha na mga ugat.

Aling paraan ang pipiliin kapag nagresolba ng partikular na logarithmic equation ang nasa iyo. Sa anumang kaso, ang sagot ay magiging pareho.

Magsimula tayo sa katangian ng logarithm ng pagkakaisa. Ang pagbabalangkas nito ay ang mga sumusunod: ang logarithm ng pagkakaisa sero, ibig sabihin, log a 1=0 para sa alinmang a>0 , a≠1 . Ang patunay ay diretso: dahil ang isang 0 =1 para sa anumang a na nakakatugon sa mga kundisyon sa itaas a>0 at a≠1 , pagkatapos ay ang napatunayang equality log a 1=0 ay agad na sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng aplikasyon ng itinuturing na ari-arian: log 3 1=0 , lg1=0 at .

Lumipat tayo sa susunod na pag-aari: ang logarithm ng isang numero na katumbas ng base ay katumbas ng isa, ibig sabihin, log a a=1 para sa a>0 , a≠1 . Sa katunayan, dahil a 1 =a para sa anumang a , pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm log a a=1 .

Ang mga halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithms ay log 5 5=1 , log 5.6 5.6 at lne=1 .

Halimbawa, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 at .

Ang logarithm ng produkto ng dalawa mga positibong numero Ang x at y ay katumbas ng produkto ng logarithms ng mga numerong ito: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Patunayan natin ang pag-aari ng logarithm ng produkto. Dahil sa mga katangian ng degree a log a x+log a y =a log a x a log a y, at dahil sa pamamagitan ng pangunahing logarithmic identity isang log a x =x at isang log a y =y , pagkatapos ay isang log a x a log a y =x y . Kaya, ang isang log a x+log a y =x y , kung saan ang kinakailangang pagkakapantay-pantay ay sinusundan ng kahulugan ng logarithm.

Magpakita tayo ng mga halimbawa ng paggamit ng property ng logarithm ng produkto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 at .

Ang product logarithm property ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng isang finite number n ng positive numbers x 1 , x 2 , …, x n as log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Ang pagkakapantay-pantay na ito ay madaling napatunayan.

Halimbawa, ang natural na logarithm ng isang produkto ay maaaring mapalitan ng kabuuan ng tatlo natural logarithms mga numero 4 , e , at .

Logarithm ng quotient ng dalawang positibong numero Ang x at y ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng mga numerong ito. Ang quotient logarithm property ay tumutugma sa isang formula ng form , kung saan ang a>0 , a≠1 , x at y ay ilang positibong numero. Ang bisa ng formula na ito ay pinatunayan tulad ng formula para sa logarithm ng produkto: since , pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm .

Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithm: .

Lumipat tayo sa ari-arian ng logarithm ng degree. Ang logarithm ng isang degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng modulus ng base ng degree na ito. Isinulat namin ang pag-aari na ito ng logarithm ng degree sa anyo ng isang formula: log a b p =p log a |b|, kung saan ang a>0 , a≠1 , b at p ay mga numero na ang antas ng b p ay may katuturan at b p >0 .

Pinatunayan muna namin ang property na ito para sa positive b . Ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay nagbibigay-daan sa amin na katawanin ang numero b bilang isang log a b , pagkatapos ay b p =(a log a b) p , at ang resultang expression, dahil sa kapangyarihan ng ari-arian, ay katumbas ng isang p log a b . Kaya dumating tayo sa pagkakapantay-pantay b p =a p log a b , mula sa kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, napagpasyahan natin na log a b p =p log a b .

Ito ay nananatiling patunayan ang ari-arian na ito para sa negatibong b . Dito napapansin natin na ang expression na log a b p para sa negatibong b ay may katuturan lamang para sa kahit na mga exponent p (dahil ang halaga ng degree b p ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, kung hindi, ang logarithm ay hindi magkakaroon ng kahulugan), at sa kasong ito b p =|b| p . Pagkatapos b p ==b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, saan mag-log a b p =p mag-log a |b| .

Halimbawa, at ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Ito ay sumusunod mula sa nakaraang pag-aari ari-arian ng logarithm mula sa ugat: ang logarithm ng ugat ng nth degree ay katumbas ng produkto ng fraction 1/n at ang logarithm ng root expression, iyon ay, , kung saan a>0 , a≠1 , n – natural na numero, mas malaki sa isa, b>0 .

Ang patunay ay batay sa pagkakapantay-pantay (tingnan ), na wasto para sa anumang positibong b , at ang pag-aari ng logarithm ng antas: .

Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng property na ito: .

Ngayon patunayan natin conversion formula sa bagong base ng logarithm mabait . Upang gawin ito, sapat na upang patunayan ang bisa ng equality log c b=log a b log c a . Ang pangunahing logarithmic identity ay nagbibigay-daan sa amin na katawanin ang numero b bilang isang log a b , pagkatapos ay log c b=log c a log a b . Ito ay nananatiling gamitin ang pag-aari ng logarithm ng degree: log c a log a b = log a b log c a. Kaya, ang equality log c b=log a b log c a ay napatunayan, na nangangahulugan na ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ay napatunayan din.

Magpakita tayo ng ilang halimbawa ng paglalapat ng katangiang ito ng logarithms: at .

Ang pormula para sa paglipat sa isang bagong base ay nagbibigay-daan sa iyo na magpatuloy sa pagtatrabaho sa mga logarithms na may "maginhawa" na base. Halimbawa, sa tulong nito maaari kang lumipat sa natural o decimal logarithms upang makalkula mo ang halaga ng logarithm mula sa talahanayan ng logarithms. Ang pormula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ay nagpapahintulot din, sa ilang mga kaso, upang mahanap ang halaga ng isang naibigay na logarithm, kapag ang mga halaga ng ilang logarithm sa iba pang mga base ay kilala.

Kadalasang ginagamit ay isang espesyal na kaso ng formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm para sa c=b ng form . Ipinapakita nito na ang log a b at log b a – . Halimbawa, .

Madalas ding ginagamit ang formula , na kapaki-pakinabang para sa paghahanap ng mga halaga ng logarithm. Upang kumpirmahin ang aming mga salita, ipapakita namin kung paano kinakalkula ang halaga ng logarithm ng form gamit ito. Meron kami . Upang patunayan ang formula sapat na na gamitin ang formula ng paglipat sa bagong base ng logarithm a: .

Ito ay nananatiling patunayan ang mga katangian ng paghahambing ng logarithms.

Patunayan natin na para sa anumang positibong numero b 1 at b 2 , b 1 log a b 2 , at para sa a>1, ang inequality log a b 1

Sa wakas, nananatili itong patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian ng logarithms. Nililimitahan natin ang ating sarili sa pagpapatunay sa unang bahagi nito, ibig sabihin, pinapatunayan natin na kung ang isang 1 >1 , isang 2 >1 at isang 1 1 ay totoo log a 1 b>log a 2 b . Ang natitirang mga pahayag ng pag-aari na ito ng logarithms ay pinatunayan ng isang katulad na prinsipyo.

Gamitin natin ang kabaligtaran na pamamaraan. Ipagpalagay na para sa isang 1 >1 , isang 2 >1 at isang 1 1 log a 1 b≤log a 2 b ay totoo. Sa pamamagitan ng mga katangian ng logarithms, ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat bilang at ayon sa pagkakabanggit, at mula sa kanila ay sumusunod na log b a 1 ≤log b a 2 at log b a 1 ≥log b a 2, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos, sa pamamagitan ng mga katangian ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga pagkakapantay-pantay b log b a 1 ≥b log b a 2 at b log b a 1 ≥b log b a 2 ay dapat masiyahan, iyon ay, a 1 ≥a 2 . Kaya, nakarating kami sa isang kontradiksyon sa kundisyon a 1

Bibliograpiya.