Paano lutasin ang equation 8 x. Paglutas ng mga exponential equation sa matematika

Sa yugto ng paghahanda para sa huling pagsusulit, kailangang pagbutihin ng mga mag-aaral sa high school ang kanilang kaalaman sa paksang "Exponential Equation." Ang karanasan ng mga nakaraang taon ay nagpapahiwatig na ang gayong mga gawain ay nagdudulot ng ilang mga paghihirap para sa mga mag-aaral. Samakatuwid, ang mga mag-aaral sa high school, anuman ang kanilang antas ng paghahanda, ay kailangang lubusang makabisado ang teorya, tandaan ang mga formula at maunawaan ang prinsipyo ng paglutas ng mga naturang equation. Ang pagkakaroon ng natutunan upang makayanan ang ganitong uri ng problema, ang mga nagtapos ay maaaring umasa sa matataas na marka kapag pumasa sa Unified State Exam sa matematika.

Maghanda para sa pagsusulit sa pagsusulit kasama si Shkolkovo!

Kapag sinusuri ang mga materyal na kanilang sakop, maraming estudyante ang nahaharap sa problema sa paghahanap ng mga pormula na kailangan upang malutas ang mga equation. Ang isang aklat-aralin sa paaralan ay hindi palaging nasa kamay, at ang pagpili ng kinakailangang impormasyon sa isang paksa sa Internet ay tumatagal ng mahabang panahon.

Iniimbitahan ng portal na pang-edukasyon ng Shkolkovo ang mga mag-aaral na gamitin ang aming base ng kaalaman. Kami ay ganap na nagpapatupad bagong paraan paghahanda para sa huling pagsusulit. Sa pamamagitan ng pag-aaral sa aming website, matutukoy mo ang mga gaps sa kaalaman at mabibigyang-pansin ang mga gawaing nagdudulot ng pinakamahirap.

Ang mga guro ng Shkolkovo ay nakolekta, nag-systematize at ipinakita ang lahat ng kailangan para sa matagumpay na pagtatapos Pinag-isang State Exam material sa pinakasimple at pinaka-naa-access na anyo.

Ang mga pangunahing kahulugan at formula ay ipinakita sa seksyong "Theoretical background".

Upang mas maunawaan ang materyal, inirerekomenda namin na magsanay ka sa pagkumpleto ng mga takdang-aralin. Maingat na suriin ang mga halimbawang ipinakita sa pahinang ito. mga exponential equation na may solusyon upang maunawaan ang algorithm ng pagkalkula. Pagkatapos nito, magpatuloy upang magsagawa ng mga gawain sa seksyong "Mga Direktoryo". Maaari kang magsimula sa pinakamadaling gawain o dumiretso sa paglutas ng mga kumplikadong exponential equation na may ilang hindi alam o . Ang database ng mga pagsasanay sa aming website ay patuloy na pupunan at ina-update.

Ang mga halimbawang iyon na may mga tagapagpahiwatig na nagdulot sa iyo ng mga paghihirap ay maaaring idagdag sa "Mga Paborito". Sa ganitong paraan madali mong mahahanap ang mga ito at matalakay ang solusyon sa iyong guro.

Upang matagumpay na makapasa sa Unified State Exam, mag-aral sa portal ng Shkolkovo araw-araw!

Tutulungan ka ng online na serbisyo sa paglutas ng equation na malutas ang anumang equation. Gamit ang aming site, hindi mo lamang matatanggap ang sagot sa equation, ngunit makikita mo rin detalyadong solusyon, iyon ay, isang hakbang-hakbang na pagpapakita ng proseso ng pagkuha ng resulta. Ang aming serbisyo ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school mga paaralang sekondarya at kanilang mga magulang. Ang mga mag-aaral ay makakapaghanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, masusubok ang kanilang kaalaman, at masusubaybayan ng mga magulang ang solusyon ng mga mathematical equation ng kanilang mga anak. Kakayahang lutasin ang mga equation - ipinag-uutos na kinakailangan sa mga mag-aaral. Tutulungan ka ng serbisyo na turuan ang iyong sarili at pagbutihin ang iyong kaalaman sa larangan ng mga mathematical equation. Sa tulong nito maaari mong malutas ang anumang equation: quadratic, cubic, irrational, trigonometriko, atbp. Benepisyo online na serbisyo at hindi mabibili, dahil bilang karagdagan sa tamang sagot, makakatanggap ka ng isang detalyadong solusyon sa bawat equation. Mga benepisyo ng paglutas ng mga equation online. Maaari mong lutasin ang anumang equation online sa aming website na ganap na libre. Ang serbisyo ay ganap na awtomatiko, hindi mo kailangang mag-install ng anuman sa iyong computer, kailangan mo lamang ipasok ang data at ang programa ay magbibigay sa iyo ng solusyon. Ang anumang mga error sa mga kalkulasyon o typo ay hindi kasama. Sa amin, ang paglutas ng anumang equation online ay napakadali, kaya siguraduhing gamitin ang aming site upang malutas ang anumang uri ng mga equation. Kailangan mo lamang ipasok ang data at ang pagkalkula ay makukumpleto sa loob ng ilang segundo. Ang programa ay gumagana nang nakapag-iisa, nang walang interbensyon ng tao, at makakatanggap ka ng tumpak at detalyadong sagot. Paglutas ng equation sa pangkalahatang pananaw. Sa naturang equation, ang variable coefficients at ang gustong mga ugat ay magkakaugnay. Tinutukoy ng pinakamataas na kapangyarihan ng isang variable ang pagkakasunud-sunod ng naturang equation. Batay dito, para sa paggamit ng mga equation iba't ibang pamamaraan at theorems para sa paghahanap ng mga solusyon. Ang paglutas ng mga equation ng ganitong uri ay nangangahulugan ng paghahanap ng mga kinakailangang ugat sa pangkalahatang anyo. Binibigyang-daan ka ng aming serbisyo na lutasin kahit ang pinakakumplikadong algebraic equation online. Maaari kang makakuha ng parehong pangkalahatang solusyon sa equation at isang partikular na isa para sa mga numerical na halaga ng mga coefficient na iyong tinukoy. Upang malutas ang isang algebraic equation sa website, sapat na upang tama na punan ang dalawang field lamang: ang kaliwa at kanang bahagi ng ibinigay na equation. Para sa algebraic equation na may variable na logro isang walang katapusang bilang ng mga solusyon, at sa pamamagitan ng pagtatakda ng ilang mga kundisyon, ang mga pribado ay pinili mula sa hanay ng mga solusyon. Quadratic equation. Ang quadratic equation ay may anyo na ax^2+bx+c=0 para sa a>0. Paglutas ng mga equation parisukat na hitsura ay nagpapahiwatig ng paghahanap ng mga halaga ng x kung saan ang pagkakapantay-pantay na ax^2+bx+c=0 ay hawak. Upang gawin ito, hanapin ang discriminant value gamit ang formula D=b^2-4ac. Kung ang discriminant ay mas mababa sa zero, kung gayon ang equation ay walang tunay na ugat (ang mga ugat ay mula sa field kumplikadong mga numero), kung katumbas ng zero, kung gayon ang equation ay may isang tunay na ugat, at kung ang discriminant ay mas malaki sa zero, kung gayon ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula: D= -b+-sqrt/2a. Upang malutas ang isang quadratic equation online, kailangan mo lamang na ilagay ang mga coefficient ng equation (integers, fractions o decimals). Kung mayroong mga palatandaan ng pagbabawas sa isang equation, dapat kang maglagay ng minus sign sa harap ng mga kaukulang termino ng equation. Maaari mong lutasin ang isang quadratic equation online depende sa parameter, iyon ay, ang mga variable sa mga coefficient ng equation. Ang aming online na serbisyo para sa paghahanap pangkalahatang solusyon. Linear na equation. Para sa mga solusyon linear na equation(o mga sistema ng equation) mayroong apat na pangunahing pamamaraan na ginagamit sa pagsasanay. Ilalarawan namin nang detalyado ang bawat pamamaraan. Pamamaraan ng pagpapalit. Ang paglutas ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit ay nangangailangan ng pagpapahayag ng isang variable sa mga tuntunin ng iba. Pagkatapos nito, ang expression ay pinapalitan sa iba pang mga equation ng system. Samakatuwid ang pangalan ng paraan ng solusyon, iyon ay, sa halip na isang variable, ang expression nito ay pinapalitan sa pamamagitan ng natitirang mga variable. Sa pagsasagawa, ang pamamaraan ay nangangailangan ng mga kumplikadong kalkulasyon, bagaman ito ay madaling maunawaan, kaya ang paglutas ng naturang equation online ay makakatulong na makatipid ng oras at gawing mas madali ang mga kalkulasyon. Kailangan mo lamang ipahiwatig ang bilang ng mga hindi alam sa equation at punan ang data mula sa mga linear na equation, pagkatapos ay gagawin ng serbisyo ang pagkalkula. Pamamaraan ng Gauss. Ang pamamaraan ay batay sa pinakasimpleng pagbabago ng system upang makarating sa isang katumbas na triangular na sistema. Mula dito, ang mga hindi alam ay tinutukoy nang paisa-isa. Sa pagsasagawa, kinakailangan upang malutas ang naturang equation online sa Detalyadong Paglalarawan, salamat sa kung saan magkakaroon ka ng isang mahusay na pag-unawa sa paraan ng Gaussian para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear equation. Isulat ang sistema ng mga linear equation sa tamang format at isaalang-alang ang bilang ng mga hindi alam upang tumpak na malutas ang system. Pamamaraan ni Cramer. Ang pamamaraang ito ay nalulutas ang mga sistema ng mga equation sa mga kaso kung saan ang sistema ay may natatanging solusyon. Pangunahing pagpapatakbo ng matematika narito ang pagkalkula ng matrix determinants. Ang paglutas ng mga equation gamit ang paraan ng Cramer ay isinasagawa online, matatanggap mo kaagad ang resulta na may kumpletong at detalyadong paglalarawan. Ito ay sapat lamang upang punan ang system ng mga coefficient at piliin ang bilang ng mga hindi kilalang variable. Paraan ng matrix. Binubuo ang paraang ito ng pagkolekta ng mga coefficient ng mga hindi alam sa matrix A, ang mga hindi alam sa column X, at ang mga libreng termino sa column B. Kaya, ang sistema ng mga linear equation ay nababawasan sa isang matrix equation ng anyong AxX = B. Ang equation na ito ay may natatanging solusyon lamang kung ang determinant ng matrix A ay iba sa zero, kung hindi, ang sistema ay walang mga solusyon, o isang walang katapusang bilang ng mga solusyon. Paglutas ng mga equation pamamaraan ng matrix ay binubuo sa paghahanap ng inverse matrix A.

Mga tagubilin. Para sa mga online na solusyon kinakailangang piliin ang uri ng equation at itakda ang dimensyon ng kaukulang matrice.

Halimbawa Blg. 1. Mag-ehersisyo. Hanapin ang solusyon sa matrix equation
Solusyon. Tukuyin natin:
Pagkatapos equation ng matrix isusulat sa anyong: A·X·B = C.
Ang determinant ng matrix A ay katumbas ng detA=-1
Dahil ang A ay isang non-singular matrix, mayroong isang inverse matrix A -1 . I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa kaliwa ng A -1: I-multiply ang magkabilang panig ng equation na ito sa kaliwa ng A -1 at sa kanan ng B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Dahil A A -1 = B B -1 = E at E X = X E = X, pagkatapos X = A -1 C B -1

baligtad na matris A-1:
Hanapin natin ang inverse matrix B -1.
Transposed matrix B T:
Inverse matrix B -1:
Hinahanap namin ang matrix X gamit ang formula: X = A -1 ·C·B -1

Sagot:

Halimbawa Blg. 2. Mag-ehersisyo. Lutasin ang matrix equation
Solusyon. Tukuyin natin:
Pagkatapos ang matrix equation ay isusulat sa anyo: A·X = B.
Ang determinant ng matrix A ay detA=0
Dahil ang A ay isang singular na matrix (ang determinant ay 0), samakatuwid ang equation ay walang solusyon.

Halimbawa Blg. 3. Mag-ehersisyo. Hanapin ang solusyon sa matrix equation
Solusyon. Tukuyin natin:
Pagkatapos ang matrix equation ay isusulat sa anyo: X A = B.
Ang determinant ng matrix A ay detA=-60
Dahil ang A ay isang non-singular matrix, mayroong isang inverse matrix A -1 . I-multiply natin ang magkabilang panig ng equation sa kanan ng A -1: X A A -1 = B A -1, mula sa kung saan makikita natin na X = B A -1
Hanapin natin ang inverse matrix A -1 .
Transposed matrix AT:
Inverse matrix A -1:
Hinahanap namin ang matrix X gamit ang formula: X = B A -1


Sagot: >

Ang mga quadratic equation ay pinag-aralan sa ika-8 baitang, kaya walang kumplikado dito. Ang kakayahang malutas ang mga ito ay ganap na kinakailangan.

Ang isang quadratic equation ay isang equation ng form na ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang mga coefficient a, b at c ay mga arbitrary na numero, at a ≠ 0.

Bago mag-aral tiyak na pamamaraan mga solusyon, tandaan na ang lahat ng mga quadratic equation ay maaaring nahahati sa tatlong klase:

1. Walang mga ugat;
2. Magkaroon ng eksaktong isang ugat;
3. Mayroon silang dalawang magkaibang ugat.

Ito ay isang mahalagang pagkakaiba quadratic equation mula sa mga linear, kung saan ang ugat ay palaging umiiral at natatangi. Paano matukoy kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang equation? Mayroong isang kahanga-hangang bagay para dito - may diskriminasyon.

diskriminasyon

Hayaang ibigay ang quadratic equation na ax 2 + bx + c = 0. Kung gayon ang discriminant ay simpleng numero D = b 2 − 4ac.

Kailangan mong malaman ang formula na ito sa puso. Kung saan ito nanggaling ay hindi na mahalaga ngayon. Ang isa pang bagay ay mahalaga: sa pamamagitan ng pag-sign ng discriminant matutukoy mo kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang quadratic equation. Namely:

1. Kung si D< 0, корней нет;
2. Kung D = 0, mayroong eksaktong isang ugat;
3. Kung D > 0, magkakaroon ng dalawang ugat.

Pakitandaan: ang discriminant ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat, at hindi sa lahat ng kanilang mga palatandaan, dahil sa ilang kadahilanan ay naniniwala ang maraming tao. Tingnan ang mga halimbawa at mauunawaan mo ang lahat sa iyong sarili:

Gawain. Gaano karaming mga ugat mayroon ang mga quadratic equation:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Isulat natin ang mga coefficient para sa unang equation at hanapin ang discriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Kaya ang discriminant ay positibo, kaya ang equation ay may dalawang magkaibang ugat. Sinusuri namin ang pangalawang equation sa katulad na paraan:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Ang discriminant ay negatibo, walang mga ugat. Ang huling equation na natitira ay:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ang discriminant ay zero - ang ugat ay magiging isa.

Pakitandaan na ang mga coefficient ay naisulat para sa bawat equation. Oo, ito ay mahaba, oo, ito ay nakakapagod, ngunit hindi mo paghaluin ang mga posibilidad at gumawa ng mga hangal na pagkakamali. Pumili para sa iyong sarili: bilis o kalidad.

Sa pamamagitan ng paraan, kung nakuha mo ito, pagkatapos ng ilang sandali ay hindi mo na kailangang isulat ang lahat ng mga coefficient. Gagawin mo ang gayong mga operasyon sa iyong ulo. Karamihan sa mga tao ay nagsimulang gawin ito sa isang lugar pagkatapos ng 50-70 na nalutas na mga equation - sa pangkalahatan, hindi gaanong.

Mga ugat ng isang quadratic equation

Ngayon ay lumipat tayo sa solusyon mismo. Kung ang discriminant D > 0, ang mga ugat ay makikita gamit ang mga formula:

Pangunahing formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Kapag D = 0, maaari mong gamitin ang alinman sa mga formula na ito - makakakuha ka ng parehong numero, na siyang magiging sagot. Sa wakas, kung si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Unang equation:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ang equation ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila:

Pangalawang equation:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ang equation muli ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Panghuli, ang ikatlong equation:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ang equation ay may isang ugat. Maaaring gamitin ang anumang formula. Halimbawa, ang una:

Tulad ng nakikita mo mula sa mga halimbawa, ang lahat ay napaka-simple. Kung alam mo ang mga formula at mabibilang, walang magiging problema. Kadalasan, ang mga error ay nangyayari kapag pinapalitan ang mga negatibong coefficient sa formula. Dito muli, ang pamamaraan na inilarawan sa itaas ay makakatulong: tingnan ang formula nang literal, isulat ang bawat hakbang - at sa lalong madaling panahon ay mapupuksa mo ang mga error.

Hindi kumpletong quadratic equation

Nangyayari na ang isang quadratic equation ay bahagyang naiiba sa ibinigay sa kahulugan. Halimbawa:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Madaling mapansin na ang mga equation na ito ay nawawala ang isa sa mga termino. Ang mga nasabing quadratic equation ay mas madaling lutasin kaysa sa mga karaniwang equation: hindi man lang nila kailangan na kalkulahin ang discriminant. Kaya, ipakilala natin ang isang bagong konsepto:

Ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay tinatawag na incomplete quadratic equation kung b = 0 o c = 0, i.e. ang koepisyent ng variable na x o ang libreng elemento ay katumbas ng zero.

Siyempre, ang isang napakahirap na kaso ay posible kapag ang parehong mga coefficient na ito ay katumbas ng zero: b = c = 0. Sa kasong ito, ang equation ay nasa anyo na ax 2 = 0. Malinaw, ang naturang equation ay may isang solong ugat: x = 0.

Isaalang-alang natin ang natitirang mga kaso. Hayaan ang b = 0, pagkatapos ay makakuha tayo ng hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 + c = 0. Ibahin natin ito ng kaunti:

Mula sa arithmetic Kuwadrado na ugat umiiral lamang mula sa di-negatibong numero, ang huling pagkakapantay-pantay ay may katuturan lamang para sa (−c /a) ≥ 0. Konklusyon:

1. Kung sa isang hindi kumpletong quadratic equation ng anyong ax 2 + c = 0 ang hindi pagkakapantay-pantay (−c /a) ≥ 0 ay nasiyahan, magkakaroon ng dalawang ugat. Ang formula ay ibinigay sa itaas;
2. Kung (−c /a)< 0, корней нет.

Gaya ng nakikita mo, hindi kailangan ng discriminant—walang kumplikadong kalkulasyon sa hindi kumpletong quadratic equation. Sa katunayan, hindi na kailangang tandaan ang hindi pagkakapantay-pantay (−c /a) ≥ 0. Ito ay sapat na upang ipahayag ang halaga x 2 at makita kung ano ang nasa kabilang panig ng equal sign. Kung meron positibong numero- magkakaroon ng dalawang ugat. Kung ito ay negatibo, walang magiging ugat.

Ngayon tingnan natin ang mga equation ng form na ax 2 + bx = 0, kung saan ang libreng elemento ay katumbas ng zero. Ang lahat ay simple dito: palaging may dalawang ugat. Ito ay sapat na upang i-factor ang polynomial:

Ang produkto ay zero kapag kahit isa sa mga salik ay zero. Dito nagmula ang mga ugat. Sa konklusyon, tingnan natin ang ilan sa mga equation na ito:

Gawain. Lutasin ang mga quadratic equation:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Walang mga ugat, dahil ang isang parisukat ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.