Logarithmic equation at ang kanilang mga solusyon. Logarithmic equation

Mga tagubilin

Isulat ang ibinigay na logarithmic expression. Kung ang expression ay gumagamit ng logarithm ng 10, kung gayon ang notasyon nito ay pinaikli at ganito ang hitsura: lg b ay decimal logarithm. Kung ang logarithm ay may numerong e bilang base nito, pagkatapos ay isulat ang expression: ln b – natural na logarithm. Nauunawaan na ang resulta ng alinman ay ang kapangyarihan kung saan ang batayang numero ay dapat na itaas upang makuha ang numero b.

Kapag hinahanap ang kabuuan ng dalawang function, kailangan mo lang na ibahin ang mga ito nang isa-isa at idagdag ang mga resulta: (u+v)" = u"+v";

Kapag hinahanap ang derivative ng produkto ng dalawang function, kailangang i-multiply ang derivative ng unang function sa pangalawa at idagdag ang derivative ng pangalawang function na pinarami ng unang function: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Upang mahanap ang derivative ng quotient ng dalawang function, kinakailangan na ibawas mula sa produkto ng derivative ng dividend na pinarami ng divisor function ang produkto ng derivative ng divisor na pinarami ng function ng dividend, at hatiin. lahat ng ito sa pamamagitan ng divisor function squared. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Kung bibigyan kumplikadong pag-andar, kung gayon kinakailangan na i-multiply ang derivative ng internal function at ang derivative ng external. Hayaan ang y=u(v(x)), pagkatapos ay y"(x)=y"(u)*v"(x).

Gamit ang mga resulta na nakuha sa itaas, maaari mong iiba ang halos anumang function. Kaya tingnan natin ang ilang mga halimbawa:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Mayroon ding mga problema na kinasasangkutan ng pagkalkula ng derivative sa isang punto. Hayaang maibigay ang function na y=e^(x^2+6x+5), kailangan mong hanapin ang halaga ng function sa puntong x=1.
1) Hanapin ang derivative ng function: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Kalkulahin ang halaga ng function sa ibinigay na punto y"(1)=8*e^0=8

Video sa paksa

Nakatutulong na payo

Alamin ang talahanayan ng mga elementary derivatives. Makakatipid ito ng oras.

Mga Pinagmulan:

• derivative ng isang pare-pareho

Kaya, ano ang pagkakaiba? hindi makatwirang equation mula sa makatwiran? Kung ang hindi kilalang variable ay nasa ilalim ng sign parisukat na ugat, kung gayon ang equation ay itinuturing na hindi makatwiran.

Mga tagubilin

Ang pangunahing paraan para sa paglutas ng mga naturang equation ay ang paraan ng pagbuo ng magkabilang panig mga equation sa isang parisukat. Gayunpaman. ito ay natural, ang unang bagay na kailangan mong gawin ay alisin ang tanda. Ang pamamaraang ito ay hindi teknikal na mahirap, ngunit kung minsan maaari itong humantong sa problema. Halimbawa, ang equation ay v(2x-5)=v(4x-7). Sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig makakakuha ka ng 2x-5=4x-7. Ang paglutas ng gayong equation ay hindi mahirap; x=1. Ngunit ang numero 1 ay hindi ibibigay mga equation. Bakit? Palitan ang isa sa equation sa halip na ang halaga ng x. At ang kanan at kaliwang panig ay maglalaman ng mga expression na hindi makatuwiran, ibig sabihin. Ang halagang ito ay hindi wasto para sa isang square root. Samakatuwid, ang 1 ay isang extraneous na ugat, at samakatuwid ang equation na ito ay walang mga ugat.

Kaya, ang isang hindi makatwirang equation ay nalulutas gamit ang paraan ng pag-squaring sa magkabilang panig nito. At nang malutas ang equation, kinakailangan na putulin ang mga extraneous na ugat. Upang gawin ito, palitan ang mga natagpuang ugat sa orihinal na equation.

Isaalang-alang ang isa pa.
2х+vх-3=0
Siyempre, ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang parehong equation tulad ng nauna. Ilipat ang mga Compound mga equation, na walang square root, in kanang bahagi at pagkatapos ay gamitin ang paraan ng pag-squaring. lutasin ang nagresultang rational equation at mga ugat. Ngunit isa pa, mas matikas. Maglagay ng bagong variable; vх=y. Alinsunod dito, makakatanggap ka ng equation ng form na 2y2+y-3=0. Iyon ay, ang karaniwan quadratic equation. Hanapin ang mga ugat nito; y1=1 at y2=-3/2. Susunod, lutasin ang dalawa mga equation vх=1; vх=-3/2. Ang pangalawang equation ay walang mga ugat; mula sa una ay makikita natin na x=1. Huwag kalimutang suriin ang mga ugat.

Ang paglutas ng mga pagkakakilanlan ay medyo simple. Upang gawin ito, kinakailangan na magsagawa ng magkatulad na pagbabagong-anyo hanggang sa makamit ang itinakdang layunin. Kaya, sa tulong ng pinakasimpleng mga operasyon sa aritmetika ang gawain sa kamay ay malulutas.

Kakailanganin mong

• - papel;
• - panulat.

Mga tagubilin

Ang pinakasimpleng mga pagbabagong-anyo ay ang algebraic abbreviated multiplications (tulad ng parisukat ng kabuuan (difference), pagkakaiba ng mga parisukat, kabuuan (difference), cube ng kabuuan (difference)). Bilang karagdagan, mayroong maraming at mga formula ng trigonometriko, na mahalagang magkaparehong pagkakakilanlan.

Sa katunayan, ang parisukat ng kabuuan ng dalawang termino ay katumbas ng parisukat ng una at dalawang beses ang produkto ng una sa pangalawa at kasama ang parisukat ng pangalawa, iyon ay, (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Pasimplehin pareho

Pangkalahatang mga prinsipyo ng solusyon

Paraan ng Pagpapalit ng Variable

Paglutas ng mga integral ng pangalawang uri

Pagpapalit ng mga limitasyon sa pagsasama

Mga halimbawa:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Paano lutasin ang mga logarithmic equation:

Kapag nilulutas ang isang logarithmic equation, dapat mong sikaping baguhin ito sa anyo na \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), at pagkatapos ay gawin ang paglipat sa \(f(x) )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Halimbawa:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Napaka importante! Magagawa lamang ang paglipat na ito kung:

Sumulat ka para sa orihinal na equation, at sa dulo ay titingnan mo kung ang mga natagpuan ay kasama sa DL. Kung hindi ito nagawa, maaaring lumitaw ang mga karagdagang ugat, na nangangahulugang isang maling desisyon.

Ang numero (o expression) sa kaliwa at kanan ay pareho;

Ang mga logarithms sa kaliwa at kanan ay "dalisay", ibig sabihin, hindi dapat magkaroon ng multiplikasyon, dibisyon, atbp. – iisang logarithms lamang sa magkabilang panig ng equal sign.

Halimbawa:

Tandaan na ang Equation 3 at 4 ay madaling malutas sa pamamagitan ng paglalapat ng mga kinakailangang katangian ng logarithms.

Halimbawa . Lutasin ang equation \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Solusyon :

Sagot : \(5\)

Halimbawa : Lutasin ang equation \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Solusyon :

Sagot : \(4\); \(2\).

Algebra ika-11 baitang

Paksa: "Mga paraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation"

Mga layunin ng aralin:

pang-edukasyon: pagbuo ng kaalaman tungkol sa sa iba't ibang paraan paglutas ng mga logarithmic equation, mga kasanayan upang mailapat ang mga ito sa bawat isa tiyak na sitwasyon at pumili ng anumang paraan upang malutas;

pagbuo: pagbuo ng mga kasanayan sa pagmamasid, paghahambing, paggamit ng kaalaman sa isang bagong sitwasyon, tukuyin ang mga pattern, pangkalahatan; pagbuo ng mga kasanayan ng mutual control at self-control;

pang-edukasyon: pagpapaunlad ng isang responsableng saloobin sa gawaing pang-edukasyon, matulungin na pang-unawa sa materyal sa aralin, at maingat na pagkuha ng tala.

Uri ng aralin: aralin sa pagpapakilala ng bagong materyal.

"Ang pag-imbento ng logarithms, habang binabawasan ang gawain ng astronomer, ay nagpalawak ng kanyang buhay."
French mathematician at astronomer na si P.S. Laplace

Sa panahon ng mga klase

I. Pagtatakda ng layunin ng aralin

Ang pinag-aralan na kahulugan ng logarithm, ang mga katangian ng logarithms at ang logarithmic function ay magbibigay-daan sa amin upang malutas logarithmic equation. Ang lahat ng logarithmic equation, gaano man kakumplikado ang mga ito, ay nireresolba gamit ang mga pare-parehong algorithm. Titingnan natin ang mga algorithm na ito sa aralin ngayon. Hindi marami sa kanila. Kung master mo ang mga ito, ang anumang equation na may logarithms ay magiging magagawa para sa bawat isa sa iyo.

Isulat ang paksa ng aralin sa iyong kuwaderno: “Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation.” Inaanyayahan ko ang lahat na makipagtulungan.

II. Pag-update ng kaalaman sa sanggunian

Maghanda tayo sa pag-aaral ng paksa ng aralin. Lutasin mo ang bawat gawain at isulat ang sagot; hindi mo kailangang isulat ang kundisyon. Magtrabaho nang magkapares.

1) Para sa anong mga halaga ng x ang kahulugan ng function:

(Ang mga sagot ay sinusuri para sa bawat slide at ang mga error ay inaayos)

2) Nagtutugma ba ang mga graph ng mga function?

3) Isulat muli ang mga pagkakapantay-pantay bilang mga pagkakapantay-pantay ng logarithmic:

4) Isulat ang mga numero bilang logarithms na may base 2:

5) Kalkulahin:

6) Subukang ibalik o dagdagan ang mga nawawalang elemento sa mga pagkakapantay-pantay na ito.

III. Panimula sa bagong materyal

Ang sumusunod na pahayag ay ipinapakita sa screen:

"Ang equation ay ang ginintuang susi na nagbubukas ng lahat ng mathematical sesames."
Modernong Polish na matematiko na si S. Kowal

Subukang bumalangkas ng kahulugan ng isang logarithmic equation. (Isang equation na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng logarithm sign).

Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng logarithmic equation:logAx = b(kung saan ang a>0, a ≠ 1). Dahil ang logarithmic function ay tumataas (o bumababa) sa hanay ng mga positibong numero at kumukuha ng lahat ng tunay na halaga, pagkatapos ay sa pamamagitan ng root theorem ay sumusunod na para sa anumang b ang equation na ito ay may, at isa lamang, solusyon, at isang positibo.

Tandaan ang kahulugan ng logarithm. (Ang logarithm ng isang numero x sa base a ay isang indicator ng kapangyarihan kung saan ang base a ay dapat na itaas upang makuha ang numerong x). Mula sa kahulugan ng logarithm ay agad itong sinusundan AV ay ganoong solusyon.

Isulat ang pamagat: Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation

1. Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm.

Ito ay kung paano malulutas ang pinakasimpleng mga equation ng form.

Isaalang-alang natin No. 514(a)): Lutasin ang equation

Paano mo imungkahi na lutasin ito? (Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm)

Solusyon. , Kaya 2x - 4 = 4; x = 4.

Sa gawaing ito, 2x - 4 > 0, mula noong > 0, kaya walang mga extraneous na ugat ang maaaring lumitaw, at hindi na kailangang suriin. Hindi na kailangang isulat ang kundisyon 2x - 4 > 0 sa gawaing ito.

2. Potentization(transisyon mula sa logarithm ng isang ibinigay na expression sa expression na ito mismo).

Isaalang-alang natin No. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Anong tampok ang napansin mo? (Ang mga base ay pareho at ang logarithms ng dalawang expression ay pantay.) Ano ang maaaring gawin? (Potentize).

Dapat itong isaalang-alang na ang anumang solusyon ay nakapaloob sa lahat ng x kung saan ang mga logarithmic na expression ay positibo.

Solusyon: ODZ:

Ang X2+8>0 ay isang hindi kinakailangang hindi pagkakapantay-pantay

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Palakihin natin ang orihinal na equation

nakukuha natin ang equation na x2+8= 8x+8

Lutasin natin ito: x2-8x=0

Sagot: 0; 8

SA pangkalahatang pananaw paglipat sa isang katumbas na sistema:

Ang equation

(Ang sistema ay naglalaman ng isang kalabisan na kondisyon - isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi kailangang isaalang-alang).

Tanong para sa klase: Alin sa tatlong solusyong ito ang pinakanagustuhan mo? (Pagtalakay sa mga pamamaraan).

May karapatan kang magpasya sa anumang paraan.

3. Pagpapakilala ng bagong variable.

Isaalang-alang natin No. 520(g). .

Ano ang napansin mo? (Ito ay isang quadratic equation na may paggalang sa log3x) Anumang mga mungkahi? (Magpakilala ng bagong variable)

Solusyon. ODZ: x > 0.

Hayaan , pagkatapos ay ang equation ay kukuha ng anyo:. Discriminant D > 0. Mga ugat ayon sa teorama ni Vieta:.

Balik tayo sa kapalit: o.

Nang malutas ang pinakasimpleng logarithmic equation, nakukuha natin:

Sagot: 27;

4. Logarithm magkabilang panig ng equation.

Lutasin ang equation:.

Solusyon: ODZ: x>0, kunin ang logarithm ng magkabilang panig ng equation sa base 10:

Ilapat natin ang pag-aari ng logarithm ng isang kapangyarihan:

(logx + 3) logx = 4

Hayaan ang logx = y, pagkatapos (y + 3)y = 4

, (D > 0) mga ugat ayon sa teorama ni Vieta: y1 = -4 at y2 = 1.

Bumalik tayo sa kapalit, makakakuha tayo ng: lgx = -4,; lgx = 1, .

Sagot: 0.0001; 10.

5. Pagbawas sa isang base.

No. 523(c). Lutasin ang equation:

Solusyon: ODZ: x>0. Lumipat tayo sa base 3.

6. Functional-graphic na pamamaraan.

№ 509(d). Lutasin ang equation nang grapiko: = 3 - x.

Paano mo imungkahi na malutas? (Bumuo ng mga graph ng dalawang function y = log2x at y = 3 - x gamit ang mga puntos at hanapin ang abscissa ng mga punto ng intersection ng mga graph).

Tingnan ang iyong solusyon sa slide.

May paraan para maiwasan ang paggawa ng mga graph . Ito ay ang mga sumusunod : kung isa sa mga function y = f(x) tumataas, at ang iba pa y = g(x) bumababa sa pagitan ng X, pagkatapos ay ang equation f(x)= g(x) ay may hindi hihigit sa isang ugat sa pagitan ng X.

Kung may ugat, maaari itong hulaan.

Sa aming kaso, ang function ay tumataas para sa x>0, at ang function na y = 3 - x ay bumababa para sa lahat ng mga halaga ng x, kabilang ang para sa x>0, na nangangahulugan na ang equation ay walang higit sa isang ugat. Tandaan na sa x = 2 ang equation ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay, dahil .

« Tamang gamit maaaring matutunan ang mga pamamaraan
sa pamamagitan lamang ng paglalapat ng mga ito sa iba't ibang halimbawa».
Danish na mananalaysay ng matematika na si G. G. Zeiten

akoV. Takdang aralin

P. 39 isaalang-alang ang halimbawa 3, lutasin ang No. 514(b), No. 529(b), No. 520(b), No. 523(b)

V. Pagbubuod ng aralin

Anong mga paraan ng paglutas ng mga logarithmic equation ang tiningnan natin sa klase?

Sa susunod na mga aralin ay titingnan natin ang mas kumplikadong mga equation. Upang malutas ang mga ito, ang mga pinag-aralan na pamamaraan ay magiging kapaki-pakinabang.

Huling slide na ipinakita:

“Ano ang higit sa anumang bagay sa mundo?
Space.
Ano ang pinakamatalinong bagay?
Oras.
Ano ang pinakamagandang bahagi?
Makamit mo ang gusto mo."
Thales

Nais kong makamit ng lahat ang kanilang nais. Salamat sa iyong kooperasyon at pag-unawa.

Panimula

Ang logarithms ay naimbento upang mapabilis at gawing simple ang mga kalkulasyon. Ang ideya ng isang logarithm, iyon ay, ang ideya ng pagpapahayag ng mga numero bilang mga kapangyarihan ng parehong base, ay kabilang kay Mikhail Stiefel. Ngunit sa panahon ni Stiefel, ang matematika ay hindi masyadong binuo at ang ideya ng logarithm ay hindi nabuo. Ang logarithms ay naimbento nang sabay-sabay at independiyente sa isa't isa ng Scottish scientist na si John Napier (1550-1617) at ng Swiss Jobst Burgi (1552-1632). Si Napier ang unang naglathala ng akda noong 1614. sa ilalim ng pamagat na "Paglalarawan ng isang kamangha-manghang talahanayan ng mga logarithms", ang teorya ng logarithms ni Napier ay ibinigay sa isang medyo kumpletong dami, ang paraan ng pagkalkula ng mga logarithms ay binigyan ng pinakasimpleng, samakatuwid ang mga merito ni Napier sa pag-imbento ng logarithms ay mas malaki kaysa sa Bürgi. Si Bürgi ay nagtrabaho sa mga mesa kasabay ng Napier, ngunit sa mahabang panahon Inilihim ang mga ito at inilathala lamang noong 1620. Pinagkadalubhasaan ni Napier ang ideya ng logarithm noong 1594. kahit na ang mga talahanayan ay nai-publish makalipas ang 20 taon. Noong una ay tinawag niya ang kanyang mga logarithm na "artipisyal na mga numero" at pagkatapos lamang iminungkahi na tawagan ang mga "artipisyal na numero" sa isang salitang "logarithm", na isinalin mula sa Griyego ay nangangahulugang "mga nauugnay na numero", kinuha ang isa mula sa isang pag-unlad ng aritmetika, at ang isa ay mula sa isang geometric progression na espesyal na pinili para dito.progreso. Ang mga unang talahanayan sa Russian ay nai-publish noong 1703. sa pakikilahok ng isang kahanga-hangang guro ng ika-18 siglo. L. F. Magnitsky. Sa pagbuo ng teorya ng logarithms pinakamahalaga nagkaroon ng mga gawa ng akademikong St. Petersburg na si Leonhard Euler. Siya ang unang nag-isip ng logarithms bilang kabaligtaran ng pagtaas sa isang kapangyarihan; ipinakilala niya ang mga terminong "logarithm base" at "mantissa." Binuo ni Briggs ang mga talahanayan ng logarithms na may base 10. Ang mga desimal na talahanayan ay mas maginhawa para sa praktikal na paggamit, ang kanilang teorya ay mas simple kaysa sa logarithms ng Napier . Samakatuwid, ang mga decimal logarithms ay tinatawag minsan na Briggs logarithms. Ang terminong "characterization" ay ipinakilala ni Briggs.

Sa mga panahong iyon, noong unang nagsimulang mag-isip ang mga pantas tungkol sa mga pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi kilalang dami, malamang na walang mga barya o pitaka. Ngunit may mga tambak, pati na rin ang mga kaldero at basket, na perpekto para sa papel ng mga storage cache na maaaring maglaman ng hindi kilalang bilang ng mga item. Sa sinaunang mga problema sa matematika ng Mesopotamia, India, China, Greece, ang hindi kilalang dami ay nagpahayag ng bilang ng mga paboreal sa hardin, ang bilang ng mga toro sa kawan, at ang kabuuan ng mga bagay na isinasaalang-alang kapag naghahati ng ari-arian. Ang mga eskriba, opisyal at initiate ay mahusay na sinanay sa agham ng mga account lihim na kaalaman Ang mga pari ay matagumpay na nakayanan ang gayong mga gawain.

Ang mga mapagkukunan na nakarating sa amin ay nagpapahiwatig na ang mga sinaunang siyentipiko ay may ilang mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa hindi kilalang dami. Gayunpaman, hindi isang solong papyrus o clay tablet ang naglalaman ng paglalarawan ng mga diskarteng ito. Paminsan-minsan lang ibinibigay ng mga may-akda ang kanilang mga numerical na kalkulasyon na may maliliit na komento tulad ng: "Tingnan mo!", "Gawin mo ito!", "Nakita mo ang tama." Sa ganitong diwa, ang pagbubukod ay ang "Arithmetic" ng Greek mathematician na si Diophantus ng Alexandria (III siglo) - isang koleksyon ng mga problema para sa pagbubuo ng mga equation na may sistematikong pagtatanghal ng kanilang mga solusyon.

Gayunpaman, ang unang manwal para sa paglutas ng mga problema na naging malawak na kilala ay ang gawain ng Baghdad scientist noong ika-9 na siglo. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Ang salitang "al-jabr" mula sa Arabic na pangalan ng treatise na ito - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Aklat ng pagpapanumbalik at pagsalungat") - sa paglipas ng panahon ay naging kilalang salitang "algebra", at al- Ang gawain mismo ni Khwarizmi ay nagsilbing panimulang punto sa pag-unlad ng agham ng paglutas ng mga equation.

Logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay

1. Logarithmic equation

Ang isang equation na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng logarithm sign o sa base nito ay tinatawag na logarithmic equation.

Ang pinakasimpleng logarithmic equation ay isang equation ng form

log a x = b . (1)

Pahayag 1. Kung a > 0, a≠ 1, equation (1) para sa anumang real b ay may natatanging solusyon x = a b .

Halimbawa 1. Lutasin ang mga equation:

a) log 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

Solusyon. Gamit ang Pahayag 1, nakukuha namin ang a) x= 2 3 o x= 8; b) x= 3 -1 o x= 1 / 3 ; c)

Ipakita natin ang mga pangunahing katangian ng logarithm.

P1. Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

saan a > 0, a≠ 1 at b > 0.

P2. Logarithm ng produkto ng mga positibong salik katumbas ng kabuuan logarithms ng mga salik na ito:

log a N 1 · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Magkomento. Kung N 1 · N 2 > 0, pagkatapos ay ang ari-arian P2 ay kunin ang form

log a N 1 · N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Ang logarithm ng quotient ng dalawang positibong numero ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng dibidendo at ng divisor

Magkomento. Kung

P4. Logarithm ng degree positibong numero katumbas ng produkto exponent bawat logarithm ng numerong ito:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Magkomento. Kung k- kahit na numero ( k = 2s), Iyon

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formula para sa paglipat sa ibang base:

lalo na kung N = b, nakukuha namin

Gamit ang mga katangiang P4 at P5, madaling makuha ang mga sumusunod na katangian

at, kung sa (5) c- kahit na numero ( c = 2n), nangyayari

Ilista natin ang mga pangunahing katangian ng logarithmic function f (x) = log a x :

1. Ang domain ng kahulugan ng isang logarithmic function ay ang hanay ng mga positibong numero.

2. Ang hanay ng mga halaga ng logarithmic function ay ang hanay ng mga tunay na numero.

3. Kailan a> 1 logarithmic function ay mahigpit na tumataas (0< x 1 < x 2log a x 1 < loga x 2), at sa 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2log a x 1 > log a x 2).

4.log a 1 = 0 at log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Kung a> 1, pagkatapos ay ang logarithmic function ay negatibo kapag x(0;1) at positibo sa x(1;+∞), at kung 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) at negatibo sa x (1;+∞).

6. Kung a> 1, pagkatapos ay ang logarithmic function ay matambok paitaas, at kung a(0;1) - matambok pababa.

Ang mga sumusunod na pahayag (tingnan, halimbawa,) ay ginagamit sa paglutas ng mga logarithmic equation.

Mga huling video mula sa mahabang serye mga aralin tungkol sa paglutas ng mga logarithmic equation. Sa oras na ito, pangunahing gagana tayo sa ODZ ng logarithm - ito ay dahil sa hindi tamang pagsasaalang-alang (o kahit na hindi papansin) ng domain ng kahulugan na ang karamihan sa mga pagkakamali ay lumitaw kapag nilulutas ang mga naturang problema.

Sa maikling araling video na ito, titingnan natin ang paggamit ng mga formula para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, at haharapin din ang mga fractional rational equation, kung saan maraming mga mag-aaral ang nagkakaroon din ng mga problema.

Ano ang pag-uusapan natin? Ang pangunahing formula na gusto kong maunawaan ay ganito:

log a (f g ) = log a f + log a g

Ito ay isang karaniwang paglipat mula sa produkto patungo sa kabuuan ng logarithms at pabalik. Malamang na alam mo ang formula na ito mula pa sa simula ng pag-aaral ng logarithms. Gayunpaman, mayroong isang sagabal.

Hangga't ang mga variable na a, f at g ay kumikilos bilang regular na mga numero, walang problemang lumabas. Mahusay na gumagana ang formula na ito.

Gayunpaman, sa sandaling lumitaw ang mga pag-andar sa halip na f at g, ang problema sa pagpapalawak o pagpapaliit ng domain ng kahulugan ay lumitaw depende sa kung aling direksyon ang magbabago. Hukom para sa iyong sarili: sa logarithm na nakasulat sa kaliwa, ang domain ng kahulugan ay ang mga sumusunod:

fg > 0

Ngunit sa dami na nakasulat sa kanan, ang domain ng kahulugan ay medyo iba na:

f > 0

g > 0

Ang hanay ng mga kinakailangan na ito ay mas mahigpit kaysa sa orihinal. Sa unang kaso, masisiyahan tayo sa opsyon f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 ay naisakatuparan).

Kaya, kapag lumipat mula sa kaliwang konstruksyon patungo sa kanan, nangyayari ang isang pagpapaliit ng domain ng kahulugan. Kung sa una ay mayroon kaming kabuuan, at muling isinulat namin ito sa anyo ng isang produkto, pagkatapos ay lumalawak ang domain ng kahulugan.

Sa madaling salita, sa unang kaso maaari tayong mawalan ng mga ugat, at sa pangalawa ay makakakuha tayo ng mga dagdag. Dapat itong isaalang-alang kapag nilulutas ang mga totoong logarithmic equation.

Kaya, ang unang gawain:

Sa kaliwa nakikita natin ang kabuuan ng logarithms gamit ang parehong base. Samakatuwid, ang mga logarithms na ito ay maaaring idagdag:

Tulad ng nakikita mo, sa kanan pinalitan namin ang zero gamit ang formula:

a = log b b a

Ayusin natin ang ating equation nang kaunti pa:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Sa harap natin ay ang canonical form ng logarithmic equation; maaari nating i-cross out ang log sign at ipantay ang mga argumento:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Pakitandaan: saan nagmula ang modyul? Ipaalala ko sa iyo na ang ugat ng isang eksaktong parisukat ay katumbas ng modulus:

Pagkatapos ay malulutas namin ang klasikal na equation na may modulus:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Narito ang dalawang sagot ng kandidato. Sila ba ay isang solusyon sa orihinal na logarithmic equation? Hindi pwede!

Wala tayong karapatang iwanan ang lahat ng ganoon na lang at isulat ang sagot. Tingnan ang hakbang kung saan pinapalitan natin ang kabuuan ng logarithms ng isang logarithm ng produkto ng mga argumento. Ang problema ay na sa orihinal na mga expression mayroon kaming mga function. Samakatuwid, dapat mong mangailangan ng:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Kapag binago namin ang produkto, kumuha ng eksaktong parisukat, nagbago ang mga kinakailangan:

(x − 5) 2 > 0

Kailan matutugunan ang pangangailangang ito? Oo, halos palagi! Maliban sa kaso kapag x − 5 = 0. Iyon ay ang hindi pagkakapantay-pantay ay mababawasan sa isang punctured point:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Tulad ng makikita mo, ang saklaw ng kahulugan ay lumawak, na kung ano ang napag-usapan natin sa simula pa lamang ng aralin. Dahil dito, maaaring lumitaw ang mga karagdagang ugat.

Paano mo mapipigilan ang mga karagdagang ugat na ito na lumitaw? Ito ay napaka-simple: tinitingnan namin ang aming nakuha na mga ugat at inihambing ang mga ito sa domain ng kahulugan ng orihinal na equation. Magbilang tayo:

x (x − 5) > 0

Kami ay malulutas gamit ang paraan ng agwat:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Markahan namin ang mga resultang numero sa linya. Lahat ng puntos ay nawawala dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Kunin ang anumang numerong higit sa 5 at palitan ang:

Interesado kami sa mga pagitan (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Kung markahan natin ang ating mga ugat sa segment, makikita natin na ang x = 4 ay hindi angkop sa atin, dahil ang ugat na ito ay nasa labas ng domain ng kahulugan ng orihinal na logarithmic equation.

Bumalik tayo sa kabuuan, ekis ang ugat na x = 4 at isulat ang sagot: x = 6. Ito ang huling sagot sa orihinal na logarithmic equation. Iyon lang, nalutas ang problema.

Lumipat tayo sa pangalawang logarithmic equation:

Solusyonan natin ito. Tandaan na ang unang termino ay isang fraction, at ang pangalawa ay ang parehong fraction, ngunit baligtad. Huwag matakot sa ekspresyong lgx - ito ay isang decimal logarithm lamang, maaari natin itong isulat:

lgx = log 10 x

Dahil mayroon kaming dalawang baligtad na fraction, iminumungkahi kong magpasok ng bagong variable:

Samakatuwid, ang aming equation ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Tulad ng nakikita mo, ang numerator ng fraction ay isang eksaktong parisukat. Ang isang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator nito katumbas ng zero, at ang denominator ay iba sa zero:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Lutasin natin ang unang equation:

t − 1 = 0;

t = 1.

Ang halagang ito ay nakakatugon sa pangalawang kinakailangan. Samakatuwid, maaari nating sabihin na ganap nating nalutas ang ating equation, ngunit may kinalaman lamang sa variable t. Ngayon tandaan natin kung ano ang t:

Nakuha namin ang proporsyon:

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Binabawasan namin ang equation na ito sa kanonikal na anyo:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0.1

Bilang resulta, nakatanggap kami ng isang ugat, na, sa teorya, ay ang solusyon sa orihinal na equation. Gayunpaman, gawin pa rin natin itong ligtas at isulat ang domain ng kahulugan ng orihinal na equation:

Samakatuwid, natutugunan ng aming ugat ang lahat ng mga kinakailangan. Nakahanap kami ng solusyon sa orihinal na logarithmic equation. Sagot: x = 0.1. Ang problema ay nalutas.

Mayroon lamang isang mahalagang punto sa aralin ngayon: kapag ginagamit ang pormula para sa paglipat mula sa isang produkto patungo sa isang kabuuan at pabalik, siguraduhing isaalang-alang na ang saklaw ng kahulugan ay maaaring makitid o lumawak depende sa kung aling direksyon ang paglipat.

Paano maunawaan kung ano ang nangyayari: pag-urong o pagpapalawak? Napakasimple. Kung mas maaga ang mga pag-andar ay magkasama, ngunit ngayon sila ay hiwalay, kung gayon ang saklaw ng kahulugan ay makitid (dahil mayroong higit na mga kinakailangan). Kung sa una ang mga pag-andar ay nakatayo nang hiwalay, at ngayon sila ay magkasama, kung gayon ang domain ng kahulugan ay pinalawak (mas kaunting mga kinakailangan ang ipinataw sa produkto kaysa sa mga indibidwal na kadahilanan).

Isinasaalang-alang ang pangungusap na ito, nais kong tandaan na ang pangalawang logarithmic equation ay hindi nangangailangan ng mga pagbabagong ito, iyon ay, hindi namin idinagdag o i-multiply ang mga argumento kahit saan. Gayunpaman, dito nais kong iguhit ang iyong pansin sa isa pang kahanga-hangang pamamaraan na maaaring makabuluhang gawing simple ang solusyon. Ito ay tungkol sa pagpapalit ng isang variable.

Gayunpaman, tandaan na walang mga pagpapalit ang nagpapalaya sa atin mula sa saklaw ng kahulugan. Kaya naman pagkatapos na matagpuan ang lahat ng mga ugat, hindi kami tinamad at bumalik sa orihinal na equation upang mahanap ang ODZ nito.

Kadalasan, kapag pinapalitan ang isang variable, nangyayari ang nakakainis na error kapag nahanap ng mga estudyante ang halaga ng t at iniisip na kumpleto na ang solusyon. Hindi pwede!

Kapag nahanap mo na ang halaga ng t, kailangan mong bumalik sa orihinal na equation at tingnan kung ano ang eksaktong ibig sabihin namin sa liham na ito. Bilang resulta, kailangan nating lutasin ang isa pang equation, na, gayunpaman, ay magiging mas simple kaysa sa orihinal.

Ito ang tiyak na punto ng pagpapakilala ng isang bagong variable. Hinati namin ang orihinal na equation sa dalawang intermediate, bawat isa ay may mas simpleng solusyon.

Paano lutasin ang "nested" logarithmic equation

Ngayon ay patuloy nating pinag-aaralan ang mga logarithmic equation at susuriin ang mga constructions kapag ang isang logarithm ay nasa ilalim ng sign ng isa pang logarithm. Lutasin natin ang parehong mga equation gamit ang canonical form.

Ngayon ay patuloy nating pinag-aaralan ang mga logarithmic equation at susuriin ang mga constructions kapag ang isang logarithm ay nasa ilalim ng tanda ng isa pa. Lutasin natin ang parehong mga equation gamit ang canonical form. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na kung mayroon tayong pinakasimpleng logarithmic equation ng form log a f (x) = b, pagkatapos ay upang malutas ang naturang equation ay ginagawa natin ang mga sumusunod na hakbang. Una sa lahat, kailangan nating palitan ang numero b :

b = log a a b

Tandaan: ang a b ay isang argumento. Katulad nito, sa orihinal na equation, ang argumento ay ang function na f(x). Pagkatapos ay muling isulat namin ang equation at makuha ang konstruksiyon na ito:

log a f (x) = log a a b

Pagkatapos ay maaari nating gawin ang ikatlong hakbang - alisin ang logarithm sign at isulat lamang:

f (x) = a b

Bilang resulta, nakakakuha tayo ng bagong equation. Sa kasong ito, walang mga paghihigpit na ipinapataw sa function na f (x). Halimbawa, ang isang logarithmic function ay maaari ding pumalit sa lugar nito. At pagkatapos ay muli tayong kukuha ng logarithmic equation, na muli nating bawasan sa pinakasimpleng anyo nito at lutasin sa pamamagitan ng canonical form.

Gayunpaman, sapat na ang mga lyrics. Solusyonan natin ang totoong problema. Kaya, ang gawain bilang 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Tulad ng nakikita mo, mayroon kaming isang simpleng logarithmic equation. Ang papel ng f (x) ay ang pagbuo ng 1 + 3 log 2 x, at ang papel ng bilang b ay ang bilang 2 (ang papel ng a ay ginagampanan din ng dalawa). Muli nating isulat ang dalawang ito tulad ng sumusunod:

Mahalagang maunawaan na ang unang dalawang dalawa ay dumating sa amin mula sa base ng logarithm, ibig sabihin, kung mayroong 5 sa orihinal na equation, makukuha natin na 2 = log 5 5 2. Sa pangkalahatan, ang base ay nakasalalay lamang sa logarithm na orihinal na ibinigay sa problema. At sa aming kaso ito ang numero 2.

Kaya, muling isinulat namin ang aming logarithmic equation na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang dalawa sa kanan ay talagang isang logarithm din. Nakukuha namin:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Lumipat tayo sa huling hakbang ng aming pamamaraan - ang pag-alis ng canonical form. Maaari mong sabihin, tinatawid lang namin ang mga palatandaan ng log. Gayunpaman, mula sa isang matematikal na pananaw, imposibleng "i-cross out ang log" - mas tama na sabihin na itumbas lang natin ang mga argumento:

1 + 3 log 2 x = 4

Mula dito madali nating mahahanap ang 3 log 2 x:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Muli nating nakuha ang pinakasimpleng logarithmic equation, ibalik natin ito sa canonical form. Upang gawin ito, kailangan nating gawin ang mga sumusunod na pagbabago:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Bakit may dalawa sa base? Dahil sa ating canonical equation Sa kaliwa ay ang logarithm na eksakto sa base 2. Isulat muli natin ang problema na isinasaalang-alang ang katotohanang ito:

log 2 x = log 2 2

Muli nating aalisin ang logarithm sign, ibig sabihin, tinutumbasan lang natin ang mga argumento. May karapatan kaming gawin ito dahil pareho ang mga base, at wala nang mga karagdagang aksyon ang ginawa sa kanan o kaliwa:

Iyon lang! Ang problema ay nalutas. Nakahanap kami ng solusyon sa logarithmic equation.

Tandaan! Bagama't lumilitaw ang variable na x sa argument (ibig sabihin, may mga kinakailangan para sa domain ng kahulugan), hindi kami gagawa ng anumang karagdagang kinakailangan.

Gaya ng sinabi ko sa itaas, ang tseke na ito ay kalabisan kung ang variable ay nangyayari sa isang argumento lamang ng isang logarithm. Sa aming kaso, ang x ay talagang lilitaw lamang sa argumento at sa ilalim lamang ng isang log sign. Samakatuwid, walang karagdagang pagsusuri ang kinakailangan.

Gayunpaman, kung hindi ka nagtitiwala ang pamamaraang ito, pagkatapos ay madali mong ma-verify na ang x = 2 ay talagang isang ugat. Ito ay sapat na upang palitan ang numerong ito sa orihinal na equation.

Lumipat tayo sa pangalawang equation, medyo mas kawili-wili:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Kung tinutukoy natin ang expression sa loob ng malaking logarithm na may function na f (x), makukuha natin ang pinakasimpleng logarithmic equation kung saan sinimulan natin ang video lesson ngayon. Samakatuwid, maaari nating ilapat ang canonical form, kung saan kakailanganin nating katawanin ang unit sa form na log 2 2 1 = log 2 2.

Isulat muli natin ang ating malaking equation:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Lumayo tayo sa tanda ng logarithm, na tinutumbasan ang mga argumento. May karapatan tayong gawin ito, dahil pareho sa kaliwa at sa kanan ang mga base. Bukod pa rito, tandaan na ang log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Sa harap natin muli ay ang pinakasimpleng logarithmic equation ng form log a f (x) = b. Lumipat tayo sa canonical form, ibig sabihin, kinakatawan natin ang zero sa form na log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Isinulat namin muli ang aming equation at inaalis ang log sign, na tinutumbasan ang mga argumento:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Muli, nakatanggap kami kaagad ng sagot. Walang kinakailangang karagdagang pagsusuri dahil sa orihinal na equation ay isang logarithm lamang ang naglalaman ng function bilang argumento.

Samakatuwid, walang karagdagang pagsusuri ang kinakailangan. Masasabi nating ligtas na ang x = 1 ang tanging ugat ng equation na ito.

Ngunit kung sa pangalawang logarithm mayroong ilang pag-andar ng x sa halip na apat (o 2x ay wala sa argumento, ngunit sa base) - kung gayon kinakailangan na suriin ang domain ng kahulugan. Kung hindi, mayroong isang mataas na pagkakataon na tumakbo sa mga karagdagang ugat.

Saan nagmula ang mga sobrang ugat na ito? Ang puntong ito ay dapat na maunawaan nang napakalinaw. Tingnan ang orihinal na mga equation: kahit saan ang function na x ay nasa ilalim ng logarithm sign. Dahil dito, dahil isinulat namin ang log 2 x, awtomatiko naming itinatakda ang kinakailangan x > 0. Kung hindi, walang saysay ang entry na ito.

Gayunpaman, habang nilulutas natin ang logarithmic equation, inaalis natin ang lahat ng log sign at nakakakuha ng mga simpleng constructions. Walang mga paghihigpit na itinakda dito, dahil ang linear na function ay tinukoy para sa anumang halaga ng x.

Ito ang problemang ito, kapag ang pangwakas na pag-andar ay tinukoy sa lahat ng dako at palagi, ngunit ang orihinal ay hindi tinukoy sa lahat ng dako at hindi palaging, iyon ang dahilan kung bakit ang mga sobrang ugat ay madalas na lumitaw sa paglutas ng mga logarithmic equation.

Ngunit inuulit ko muli: ito ay nangyayari lamang sa isang sitwasyon kung saan ang function ay alinman sa ilang logarithms o sa base ng isa sa mga ito. Sa mga problemang isinasaalang-alang natin ngayon, sa prinsipyo, walang mga problema sa pagpapalawak ng domain ng kahulugan.

Mga kaso ng iba't ibang batayan

Ang araling ito ay nakatuon sa mas kumplikadong mga istruktura. Ang mga logarithm sa mga equation ngayon ay hindi na malulutas kaagad; ang ilang pagbabago ay kailangang gawin muna.

Nagsisimula kami sa paglutas ng mga logarithmic equation na may ganap na magkakaibang mga base, na hindi eksaktong kapangyarihan ng bawat isa. Huwag hayaang takutin ka ng mga ganitong problema - hindi na sila mas mahirap lutasin kaysa sa karamihan mga simpleng disenyo na tinalakay natin sa itaas.

Ngunit bago direktang lumipat sa mga problema, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang formula para sa paglutas ng pinakasimpleng logarithmic equation gamit ang canonical form. Isaalang-alang ang isang problema tulad nito:

log a f (x) = b

Mahalaga na ang function na f (x) ay isang function lamang, at ang papel ng mga numero a at b ay dapat na mga numero (nang walang anumang mga variable x). Siyempre, literal sa isang minuto ay titingnan natin ang mga ganitong kaso kapag sa halip na mga variable a at b ay may mga function, ngunit hindi iyon tungkol doon ngayon.

Tulad ng naaalala natin, ang numero b ay dapat mapalitan ng isang logarithm sa parehong base a, na nasa kaliwa. Ginagawa ito nang napakasimple:

b = log a a b

Siyempre, ang mga salitang "anumang numero b" at "anumang numero a" ay nangangahulugang mga halaga na nakakatugon sa saklaw ng kahulugan. Sa partikular, sa equation na ito pinag-uusapan natin tanging ang base a > 0 at a ≠ 1.

Gayunpaman, ang pangangailangang ito ay awtomatikong natutugunan, dahil ang orihinal na problema ay naglalaman na ng logarithm upang ibabatay ang a - tiyak na mas malaki ito sa 0 at hindi katumbas ng 1. Samakatuwid, patuloy naming nilulutas ang logarithmic equation:

log a f (x) = log a a b

Ang ganitong notasyon ay tinatawag na canonical form. Ang kaginhawahan nito ay nakasalalay sa katotohanan na maaari nating agad na mapupuksa ang log sign sa pamamagitan ng pagpareho sa mga argumento:

f (x) = a b

Ito ang pamamaraan na gagamitin natin ngayon upang malutas ang mga logarithmic equation na may variable na base. Kaya, tayo na!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0.5 0.125

Anong susunod? May magsasabi na ngayon na kailangan mong kalkulahin ang tamang logarithm, o bawasan ang mga ito sa parehong base, o iba pa. At sa katunayan, ngayon kailangan nating dalhin ang parehong mga base sa parehong anyo - alinman sa 2 o 0.5. Ngunit alamin natin ang sumusunod na panuntunan minsan at para sa lahat:

Kung mayroong mga decimal sa isang logarithmic equation, siguraduhing i-convert ang mga fraction na iyon mula sa decimal notation sa normal. Ang pagbabagong ito ay maaaring lubos na gawing simple ang solusyon.

Ang ganitong paglipat ay dapat na maisagawa kaagad, kahit na bago magsagawa ng anumang mga aksyon o pagbabago. Tingnan natin:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Ano ang ibinibigay sa atin ng gayong rekord? Maaari nating katawanin ang 1/2 at 1/8 bilang mga kapangyarihan ng c negatibong tagapagpahiwatig:

Sa harap natin ay ang canonical form. Tinutumbas namin ang mga argumento at nakuha ang klasikong quadratic equation:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Nasa harap natin ang sumusunod na quadratic equation, na madaling malutas gamit ang mga formula ng Vieta. Sa high school, dapat mong makita ang mga katulad na display na literal na pasalita:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Iyon lang! Ang orihinal na logarithmic equation ay nalutas na. Mayroon kaming dalawang ugat.

Hayaan akong ipaalala sa iyo na sa kasong ito ay hindi kinakailangan upang matukoy ang domain ng kahulugan, dahil ang function na may variable na x ay naroroon sa isang argumento lamang. Samakatuwid, awtomatikong ginagawa ang saklaw ng kahulugan.

Kaya, ang unang equation ay nalutas. Lumipat tayo sa pangalawa:

log 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Ngayon tandaan na ang argumento ng unang logarithm ay maaari ding isulat bilang isang kapangyarihan na may negatibong exponent: 1/2 = 2 −1. Pagkatapos ay maaari mong alisin ang mga kapangyarihan sa magkabilang panig ng equation at hatiin ang lahat sa pamamagitan ng −1:

At ngayon nakumpleto na namin ang isang napakahalagang hakbang sa paglutas ng logarithmic equation. Marahil ay may hindi nakapansin, kaya hayaan mo akong magpaliwanag.

Tingnan ang aming equation: parehong ang sign sa kaliwa at kanan ay log, ngunit sa kaliwa ay may logarithm sa base 2, at sa kanan ay may logarithm sa base 3. Ang tatlo ay hindi buong degree dalawa at kabaligtaran: imposibleng isulat na ang 2 ay 3 sa kapangyarihan ng integer.

Dahil dito, ito ay mga logarithms na may iba't ibang base na hindi maaaring bawasan sa isa't isa sa pamamagitan lamang ng pagdaragdag ng mga kapangyarihan. Ang tanging paraan upang malutas ang mga naturang problema ay ang alisin ang isa sa mga logarithms na ito. Sa kasong ito, dahil isinasaalang-alang pa rin namin mga simpleng gawain, ang logarithm sa kanan ay kinakalkula lamang, at nakuha namin ang pinakasimpleng equation - eksakto ang napag-usapan namin sa pinakadulo simula ng aralin ngayon.

Katawanin natin ang numero 2, na nasa kanan, bilang log 2 2 2 = log 2 4. At pagkatapos ay aalisin natin ang logarithm sign, pagkatapos nito ay naiwan lamang tayo ng isang quadratic equation:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Mayroon kaming bago sa amin ng isang ordinaryong quadratic equation, ngunit hindi ito nabawasan dahil ang koepisyent ng x 2 ay iba sa pagkakaisa. Samakatuwid, lulutasin namin ito gamit ang isang discriminant:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

Iyon lang! Natagpuan namin ang parehong mga ugat, na nangangahulugang nakakuha kami ng solusyon sa orihinal na logarithmic equation. Sa katunayan, sa orihinal na problema, ang function na may variable na x ay naroroon sa isang argumento lamang. Dahil dito, walang mga karagdagang pagsusuri sa domain ng kahulugan ang kinakailangan - ang parehong mga ugat na nakita namin ay tiyak na nakakatugon sa lahat ng posibleng mga paghihigpit.

Maaaring ito na ang katapusan ng aralin sa video ngayon, ngunit sa konklusyon gusto kong sabihing muli: siguraduhing i-convert ang lahat ng decimal fraction sa mga ordinaryong fraction kapag nilulutas ang mga logarithmic equation. Sa karamihan ng mga kaso, lubos nitong pinapasimple ang kanilang solusyon.

Bihirang, napakadalang, nakakatagpo ka ba ng mga problema kung saan ang pag-alis ng mga decimal fraction ay nagpapalubha lamang sa mga kalkulasyon. Gayunpaman, sa mga naturang equation, bilang panuntunan, sa una ay malinaw na hindi na kailangang alisin ang mga decimal fraction.

Sa karamihan ng iba pang mga kaso (lalo na kung nagsisimula ka pa lamang sa pagsasanay sa paglutas ng mga logarithmic equation), huwag mag-atubiling tanggalin ang mga decimal at i-convert ang mga ito sa mga ordinaryong. Dahil ipinapakita ng kasanayan na sa ganitong paraan ay makabuluhang pasimplehin mo ang kasunod na solusyon at mga kalkulasyon.

Mga subtleties at trick ng solusyon

Ngayon lumipat tayo sa mas kumplikadong mga problema at malulutas ang isang logarithmic equation, na hindi nakabatay sa isang numero, ngunit sa isang function.

At kahit na ang function na ito ay linear, ang mga maliliit na pagbabago ay kailangang gawin sa scheme ng solusyon, ang kahulugan nito ay bumababa sa mga karagdagang kinakailangan na ipinataw sa domain ng kahulugan ng logarithm.

Mga kumplikadong gawain

Medyo mahaba ang tutorial na ito. Sa loob nito ay susuriin natin ang dalawang medyo seryosong logarithmic equation, kapag nilulutas kung aling mga mag-aaral ang nagkakamali. Sa aking pagsasanay bilang isang tutor sa matematika, palagi akong nakatagpo ng dalawang uri ng mga pagkakamali:

1. Ang hitsura ng mga karagdagang ugat dahil sa pagpapalawak ng domain ng kahulugan ng logarithms. Upang maiwasan ang mga ganitong nakakasakit na pagkakamali, maingat lamang na subaybayan ang bawat pagbabago;
2. Pagkawala ng mga ugat dahil sa katotohanan na nakalimutan ng mag-aaral na isaalang-alang ang ilang mga "pino" na mga kaso - ito ang mga sitwasyong pagtutuunan natin ng pansin ngayon.

Ito huling aralin, na nakatuon sa mga logarithmic equation. Ito ay magiging mahaba, susuriin natin ang mga kumplikadong logarithmic equation. Gawing komportable ang iyong sarili, gumawa ng tsaa, at magsimula tayo.

Ang unang equation ay mukhang medyo standard:

log x + 1 (x − 0.5) = log x − 0.5 (x + 1)

Tandaan natin kaagad na ang parehong logarithms ay mga baligtad na kopya ng bawat isa. Tandaan natin ang napakagandang formula:

log a b = 1/log b a

Gayunpaman, ang formula na ito ay may ilang bilang ng mga limitasyon na lumitaw kung sa halip na ang mga numero a at b ay mayroong mga function ng variable na x:

b > 0

1 ≠ a > 0

Nalalapat ang mga kinakailangang ito sa base ng logarithm. Sa kabilang banda, sa isang fraction kailangan nating magkaroon ng 1 ≠ a > 0, dahil hindi lamang ang variable a ang nasa argumento ng logarithm (kaya a > 0), ngunit ang logarithm mismo ay nasa denominator ng fraction. . Ngunit ang log b 1 = 0, at ang denominator ay dapat na hindi zero, kaya isang ≠ 1.

Kaya, nananatili ang mga paghihigpit sa variable a. Ngunit ano ang mangyayari sa variable b? Sa isang banda, ang base ay nagpapahiwatig ng b > 0, sa kabilang banda, ang variable b ≠ 1, dahil ang base ng logarithm ay dapat na iba sa 1. Sa kabuuan, mula sa kanang bahagi ng formula ay sumusunod na 1 ≠ b > 0.

Ngunit narito ang problema: ang pangalawang kinakailangan (b ≠ 1) ay nawawala mula sa unang hindi pagkakapantay-pantay, na tumatalakay sa kaliwang logarithm. Sa madaling salita, kapag nagsasagawa ng pagbabagong ito kailangan natin suriin nang hiwalay, na ang argument b ay iba sa isa!

Kaya tingnan natin ito. Ilapat natin ang ating formula:

1 ≠ x − 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Kaya nakuha na natin iyon mula sa orihinal na logarithmic equation na sumusunod na ang parehong a at b ay dapat na mas malaki sa 0 at hindi katumbas ng 1. Nangangahulugan ito na madali nating baligtarin ang logarithmic equation:

Iminumungkahi ko ang pagpapakilala ng isang bagong variable:

log x + 1 (x − 0.5) = t

Sa kasong ito, muling isusulat ang aming konstruksyon tulad ng sumusunod:

(t 2 − 1)/t = 0

Tandaan na sa numerator mayroon kaming pagkakaiba ng mga parisukat. Inihayag namin ang pagkakaiba ng mga parisukat gamit ang pinaikling formula ng multiplikasyon:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Ang isang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator nito ay zero at ang denominator nito ay di-zero. Ngunit ang numerator ay naglalaman ng isang produkto, kaya itinutumbas namin ang bawat kadahilanan sa zero:

t 1 = 1;

t 2 = −1;

t ≠ 0.

Tulad ng nakikita natin, ang parehong mga halaga ng variable ay nababagay sa amin. Gayunpaman, ang solusyon ay hindi nagtatapos doon, dahil kailangan nating hanapin hindi t, ngunit ang halaga ng x. Bumalik kami sa logarithm at makuha ang:

log x + 1 (x − 0.5) = 1;

log x + 1 (x − 0.5) = −1.

Ilagay natin ang bawat isa sa mga equation na ito sa canonical form:

log x + 1 (x − 0.5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0.5) = log x + 1 (x + 1) −1

Tinatanggal namin ang logarithm sign sa unang kaso at tinutumbasan ang mga argumento:

x − 0.5 = x + 1;

x − x = 1 + 0.5;

Ang nasabing equation ay walang mga ugat, samakatuwid ang unang logarithmic equation ay wala ring mga ugat. Ngunit sa pangalawang equation ang lahat ay mas kawili-wili:

(x − 0.5)/1 = 1/(x + 1)

Paglutas ng proporsyon, nakukuha namin:

(x − 0.5)(x + 1) = 1

Ipaalala ko sa iyo na kapag nilulutas ang mga logarithmic equation ay mas maginhawang gamitin ang lahat ng decimal fraction bilang mga ordinaryo, kaya't muli nating isulat ang ating equation tulad ng sumusunod:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Nasa harapan natin ang quadratic equation sa ibaba, madali itong malutas gamit ang mga formula ng Vieta:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 = −1.5;

x 2 = 1.

Mayroon kaming dalawang ugat - sila ay mga kandidato para sa paglutas ng orihinal na logarithmic equation. Upang maunawaan kung ano talaga ang mga ugat na pupunta sa sagot, bumalik tayo sa orihinal na problema. Ngayon ay susuriin natin ang bawat isa sa ating mga ugat upang makita kung magkasya ang mga ito sa loob ng domain ng kahulugan:

1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > −1.

Ang mga kinakailangang ito ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay:

1 ≠ x > 0.5

Mula dito makikita natin kaagad na ang ugat na x = −1.5 ay hindi angkop sa atin, ngunit ang x = 1 ay angkop sa atin. Samakatuwid ang x = 1 ay ang huling solusyon sa logarithmic equation.

Lumipat tayo sa pangalawang gawain:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Sa unang tingin, maaaring mukhang ang lahat ng logarithms ay may iba't ibang base at iba't ibang argumento. Ano ang gagawin sa gayong mga istruktura? Una sa lahat, tandaan na ang mga numero 25, 5 at 625 ay mga kapangyarihan ng 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Ngayon gamitin natin kahanga-hangang ari-arian logarithm Ang punto ay maaari kang kumuha ng mga kapangyarihan mula sa isang argumento sa anyo ng mga kadahilanan:

log a b n = n ∙ log a b

Ang pagbabagong ito ay napapailalim din sa mga paghihigpit sa kaso kung saan ang b ay pinalitan ng isang function. Ngunit para sa amin, ang b ay isang numero lamang, at walang karagdagang mga paghihigpit na lumitaw. Isulat muli natin ang ating equation:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Nakakuha kami ng isang equation na may tatlong termino na naglalaman ng log sign. Bukod dito, ang mga argumento ng lahat ng tatlong logarithms ay pantay.

Panahon na upang baligtarin ang logarithms upang dalhin ang mga ito sa parehong base - 5. Dahil ang variable b ay pare-pareho, walang pagbabago sa domain ng kahulugan na nagaganap. Isusulat lang namin ulit:

Tulad ng inaasahan, ang parehong logarithms ay lumitaw sa denominator. Iminumungkahi kong palitan ang variable:

log 5 x = t

Sa kasong ito, ang aming equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

Isulat natin ang numerator at buksan ang mga bracket:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Bumalik tayo sa ating fraction. Ang numerator ay dapat na zero:

At ang denominator ay iba sa zero:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Awtomatikong natutupad ang mga huling kinakailangan, dahil lahat sila ay "nakatali" sa mga integer, at lahat ng mga sagot ay hindi makatwiran.

Kaya, ang fractional rational equation ay nalutas na, ang mga halaga ng variable t ay natagpuan. Bumalik tayo sa paglutas ng logarithmic equation at tandaan kung ano ang t:

Binabawasan namin ang equation na ito sa canonical form at kumuha ng numero na may di-makatuwirang antas. Huwag hayaang malito ka nito - kahit na ang gayong mga argumento ay maaaring itumbas:

Mayroon kaming dalawang ugat. Mas tiyak, dalawang sagot ng kandidato - suriin natin ang mga ito para sa pagsunod sa domain ng kahulugan. Dahil ang base ng logarithm ay ang variable na x, kailangan namin ang sumusunod:

1 ≠ x > 0;

Sa parehong tagumpay ay iginiit namin na x ≠ 1/125, kung hindi, ang base ng pangalawang logarithm ay magiging pagkakaisa. Panghuli, x ≠ 1/25 para sa ikatlong logarithm.

Sa kabuuan, nakatanggap kami ng apat na paghihigpit:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Ngayon ang tanong ay: natutugunan ba ng ating mga pinagmulan ang mga kinakailangang ito? Syempre satisfy sila! Dahil ang 5 sa anumang kapangyarihan ay magiging mas malaki kaysa sa zero, at ang kinakailangan x > 0 ay awtomatikong nasiyahan.

Sa kabilang banda, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, na nangangahulugan na ang mga paghihigpit na ito para sa ating mga pinagmulan (na, hayaan mong ipaalala ko sa iyo, ay mayroon hindi makatwiran na numero) ay nasisiyahan din, at ang parehong mga sagot ay mga solusyon sa problema.

Kaya, nasa amin ang huling sagot. Mayroong dalawang pangunahing punto sa gawaing ito:

1. Mag-ingat sa pag-flip ng logarithm kapag ang argument at base ay pinagpalit. Ang ganitong mga pagbabago ay nagpapataw ng hindi kinakailangang mga paghihigpit sa saklaw ng kahulugan.
2. Huwag matakot na ibahin ang anyo ng mga logarithms: hindi lamang mababaligtad ang mga ito, ngunit mapalawak din ito gamit ang sum formula at sa pangkalahatan ay binago gamit ang anumang mga formula na iyong pinag-aralan kapag nilulutas ang mga logarithmic na expression. Gayunpaman, laging tandaan: ang ilang pagbabago ay nagpapalawak ng saklaw ng kahulugan, at ang ilan ay nagpapaliit sa kanila.