Solusyon ng decimal logarithmic equation. Logarithmic Expressions
Sa ang araling ito uulitin natin ang mga pangunahing teoretikal na katotohanan tungkol sa logarithms at isaalang-alang ang solusyon ng pinakasimpleng logarithmic equation.
Alalahanin ang sentral na kahulugan - ang kahulugan ng logarithm. Ito ay may kaugnayan sa desisyon exponential equation. Ang equation na ito ay may isang ugat, ito ay tinatawag na logarithm ng b sa base a:
Kahulugan:
Ang logarithm ng numero b sa base a ay ang exponent kung saan dapat itaas ang base a upang makuha ang numero b.
Alalahanin pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan.
Ang expression (expression 1) ay ang ugat ng equation (expression 2). Pinapalitan namin ang halaga ng x mula sa expression 1 sa halip na x sa expression 2 at nakuha namin ang pangunahing logarithmic identity:
Kaya nakikita natin na ang bawat halaga ay itinalaga ng isang halaga. Tinutukoy namin ang b para sa x (), c para sa y, at sa gayon nakuha namin ang logarithmic function:
Halimbawa: 
Alalahanin ang mga pangunahing katangian ng logarithmic function.
Muli nating bigyang pansin, dito, dahil sa ilalim ng logarithm ay maaaring mayroong isang mahigpit na positibong pagpapahayag, bilang batayan ng logarithm.
kanin. 1. Graph ng logarithmic function para sa iba't ibang base
Ang graph ng function sa ay ipinapakita sa itim. kanin. 1. Kung ang argument ay tumaas mula sa zero hanggang sa infinity, ang function ay tataas mula minus hanggang plus infinity.
Ang graph ng function sa ay ipinapakita sa pula. kanin. isa.
Mga katangian ng function na ito:
Domain: ;
Saklaw ng mga halaga: ;
Ang function ay monotoniko sa buong domain ng kahulugan nito. Kapag monotonically (mahigpit) tumaas, ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas malaking halaga ng function. Kapag ang monotonically (mahigpit) ay bumababa, ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas maliit na halaga ng function.
Ang mga katangian ng logarithmic function ay ang susi sa paglutas ng iba't ibang logarithmic equation.
Isaalang-alang ang pinakasimpleng logarithmic equation; lahat ng iba pang logarithmic equation, bilang panuntunan, ay binabawasan sa form na ito.
Dahil ang mga base ng logarithms at ang logarithms mismo ay pantay, ang mga function sa ilalim ng logarithm ay pantay din, ngunit hindi natin dapat mawala ang domain ng kahulugan. Sa ilalim ng logarithm ay maaari lamang tumayo positibong numero, meron kami:
Nalaman namin na ang mga function na f at g ay pantay, kaya sapat na upang pumili ng anumang hindi pagkakapantay-pantay upang sumunod sa ODZ.
Kaya, nakakuha kami ng isang halo-halong sistema kung saan mayroong isang equation at isang hindi pagkakapantay-pantay:
Ang hindi pagkakapantay-pantay, bilang panuntunan, ay hindi kinakailangan upang malutas, ito ay sapat na upang malutas ang equation at palitan ang mga natagpuang ugat sa hindi pagkakapantay-pantay, kaya nagsasagawa ng isang tseke.
Bumuo tayo ng isang paraan para sa paglutas ng pinakasimpleng logarithmic equation:
I-equalize ang mga base ng logarithms;
Equate sublogarithmic function;
Magpatakbo ng tseke.
Isaalang-alang natin ang mga tiyak na halimbawa.
Halimbawa 1 - lutasin ang equation:
Ang mga base ng logarithms sa una ay pantay;
Halimbawa 2 - lutasin ang equation:
Ang equation na ito ay naiiba sa nauna dahil ang mga base ng logarithms ay mas mababa sa isa, ngunit hindi ito nakakaapekto sa solusyon sa anumang paraan:
Hanapin natin ang ugat at palitan ito sa hindi pagkakapantay-pantay:
Nakakuha kami ng hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugan na ang ugat na natagpuan ay hindi nakakatugon sa ODZ.
Halimbawa 3 - lutasin ang equation:
Ang mga base ng logarithms sa una ay pantay;
Hanapin natin ang ugat at palitan ito sa hindi pagkakapantay-pantay:
Malinaw, ang unang ugat lamang ang nakakatugon sa ODZ.
Logarithmic Expressions, paglutas ng mga halimbawa. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga problemang nauugnay sa paglutas ng mga logarithms. Ang mga gawain ay nagtataas ng tanong ng paghahanap ng halaga ng expression. Dapat pansinin na ang konsepto ng logarithm ay ginagamit sa maraming mga gawain at napakahalaga na maunawaan ang kahulugan nito. Tulad ng para sa USE, ang logarithm ay ginagamit kapag nilulutas ang mga equation, in mga inilapat na gawain, gayundin sa mga gawaing nauugnay sa pag-aaral ng mga function.
Narito ang mga halimbawa upang maunawaan ang mismong kahulugan ng logarithm:
Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:
Mga katangian ng logarithms na dapat mong laging tandaan:
*Logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ang logarithms ng mga salik.
* * *
* Ang logarithm ng quotient (fraction) ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms ng mga salik.
* * *
* Ang logarithm ng degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng base nito.
* * *
*Transition sa bagong base
* * *
Higit pang mga katangian:
* * *
Ang computing logarithms ay malapit na nauugnay sa paggamit ng mga katangian ng mga exponent.
Inilista namin ang ilan sa kanila:
Ang kakanyahan ng ari-arian na ito ay kapag inilipat ang numerator sa denominator at kabaligtaran, ang tanda ng exponent ay nagbabago sa kabaligtaran. Halimbawa:
Bunga ng ari-arian na ito:
* * *
Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay pinarami.
* * *
Tulad ng makikita mo, ang mismong konsepto ng logarithm ay simple. Ang pangunahing bagay ay ang mahusay na kasanayan ay kinakailangan, na nagbibigay ng isang tiyak na kasanayan. Tiyak na ang kaalaman sa mga formula ay obligado. Kung ang kasanayan sa pag-convert ng elementarya na logarithms ay hindi nabuo, kung gayon kapag ang paglutas ng mga simpleng gawain, ang isang tao ay madaling magkamali.
Magsanay, lutasin muna ang pinakasimpleng mga halimbawa mula sa kurso sa matematika, pagkatapos ay lumipat sa mas kumplikado. Sa hinaharap, tiyak na ipapakita ko kung paano malulutas ang mga "pangit" na logarithms, walang mga ganyan sa pagsusulit, ngunit interesado sila, huwag palampasin ito!
Iyon lang! Good luck sa iyo!
Taos-puso, Alexander Krutitskikh
P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.
Nagsisimula ako sa video na ito katagalan mga aralin tungkol sa logarithmic equation. Ngayon ay mayroon kang tatlong mga halimbawa nang sabay-sabay, sa batayan kung saan matututo kaming lutasin ang pinaka mga simpleng gawain, na tinatawag na protozoa.
log 0.5 (3x - 1) = -3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Ipaalala ko sa iyo na ang pinakasimpleng logarithmic equation ay ang sumusunod:
mag-log a f(x) = b
Mahalaga na ang variable na x ay naroroon lamang sa loob ng argumento, ibig sabihin, lamang sa function na f(x). At ang mga numerong a at b ay mga numero lamang, at sa anumang kaso ay mga function na naglalaman ng variable na x.
Mga pangunahing paraan ng solusyon
Mayroong maraming mga paraan upang malutas ang mga naturang istruktura. Halimbawa, karamihan sa mga guro sa paaralan ay nagmumungkahi ng ganitong paraan: Ipahayag kaagad ang function f ( x ) gamit ang formula f( x ) = a b . Iyon ay, kapag natugunan mo ang pinakasimpleng konstruksyon, maaari kang magpatuloy kaagad sa solusyon nang walang karagdagang mga aksyon at konstruksyon.
Oo, siyempre, ang desisyon ay magiging tama. Gayunpaman, ang problema sa formula na ito ay ang karamihan sa mga mag-aaral hindi maintindihan, saan ito nanggaling at bakit eksaktong itinataas natin ang letrang a sa letrang b.
Bilang resulta, madalas kong napapansin ang mga nakakasakit na pagkakamali, kapag, halimbawa, ang mga liham na ito ay ipinagpapalit. Ang pormula na ito ay dapat na maunawaan o isaulo, at ang pangalawang pamamaraan ay humahantong sa mga pagkakamali sa pinaka-hindi angkop at pinakamahalagang sandali: sa mga pagsusulit, pagsusulit, atbp.
Iyon ang dahilan kung bakit iminumungkahi ko sa lahat ng aking mga mag-aaral na iwanan ang karaniwang formula ng paaralan at gamitin ang pangalawang diskarte upang malutas ang mga logarithmic equation, na, tulad ng malamang na nahulaan mo mula sa pangalan, ay tinatawag kanonikal na anyo.
Ang ideya ng canonical form ay simple. Tingnan natin muli ang aming gawain: sa kaliwa mayroon kaming log a , habang ang titik a ay nangangahulugang eksaktong numero, at sa anumang kaso ang function na naglalaman ng variable na x. Samakatuwid, ang liham na ito ay napapailalim sa lahat ng mga paghihigpit na ipinataw sa base ng logarithm. ibig sabihin:
1 ≠ a > 0
Sa kabilang banda, mula sa parehong equation, makikita natin na ang logarithm ay dapat ay katumbas ng bilang b , at walang mga paghihigpit na ipinapataw sa liham na ito, dahil maaari itong tumagal ng anumang halaga - parehong positibo at negatibo. Ang lahat ay nakasalalay sa kung anong mga halaga ang kinukuha ng function na f(x).
At dito naaalala natin ang ating kahanga-hangang tuntunin na ang anumang numero b ay maaaring katawanin bilang isang logarithm sa base a mula a hanggang sa kapangyarihan ng b:
b = log a a b
Paano matandaan ang formula na ito? Oo, napakasimple. Isulat natin ang sumusunod na konstruksyon:
b = b 1 = b log a a
Siyempre, sa kasong ito, lumitaw ang lahat ng mga paghihigpit na isinulat namin sa simula. At ngayon gamitin natin ang pangunahing katangian ng logarithm, at ipasok ang factor b bilang kapangyarihan ng a. Nakukuha namin:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Bilang resulta, ang orihinal na equation ay muling isusulat sa sumusunod na anyo:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Iyon lang. Bagong Tampok hindi na naglalaman ng logarithm at nalutas sa pamamagitan ng mga karaniwang pamamaraan ng algebraic.
Siyempre, may tututol ngayon: bakit kinailangan pang magkaroon ng ilang uri ng kanonikal na anyo lol, bakit gumawa ng dalawang dagdag na hindi kinakailangang hakbang kung maaari kang dumiretso mula sa orihinal na konstruksyon hanggang sa huling formula? Oo, kung dahil lang sa karamihan sa mga estudyante ay hindi nauunawaan kung saan nagmumula ang formula na ito at, bilang resulta, regular na nagkakamali kapag inilalapat ito.
Ngunit ang gayong pagkakasunud-sunod ng mga aksyon, na binubuo ng tatlong hakbang, ay nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang orihinal na logarithmic equation, kahit na hindi mo naiintindihan kung saan nagmula ang panghuling formula na iyon. Sa pamamagitan ng paraan, ang entry na ito ay tinatawag na canonical formula:
log a f(x) = log a a b
Ang kaginhawahan ng canonical form ay nakasalalay din sa katotohanan na maaari itong magamit upang malutas ang isang napakalawak na klase ng mga logarithmic equation, at hindi lamang ang pinakasimpleng mga isasaalang-alang natin ngayon.
Mga halimbawa ng solusyon
Ngayon tingnan natin ang mga tunay na halimbawa. Kaya't magpasya tayo:
log 0.5 (3x - 1) = -3
Isulat muli natin ito ng ganito:
log 0.5 (3x − 1) = log 0.5 0.5 −3
Maraming mga mag-aaral ang nagmamadali at nagsisikap na agad na itaas ang bilang na 0.5 sa kapangyarihan na dumating sa amin mula sa orihinal na problema. At sa katunayan, kapag ikaw ay mahusay na sinanay sa paglutas ng mga naturang problema, maaari mong agad na gawin ang hakbang na ito.
Gayunpaman, kung ngayon ka pa lamang nagsisimulang pag-aralan ang paksang ito, mas mabuting huwag magmadali kahit saan upang hindi makagawa ng mga nakakasakit na pagkakamali. Kaya mayroon tayong canonical form. Meron kami:
3x - 1 = 0.5 -3
Ito ay hindi na isang logarithmic equation, ngunit isang linear na may paggalang sa variable na x. Upang malutas ito, harapin muna natin ang bilang na 0.5 hanggang sa kapangyarihan ng −3. Tandaan na ang 0.5 ay 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Lahat mga decimal convert sa normal kapag nalutas mo ang isang logarithmic equation.
Muli kaming nagsusulat at nakakuha ng:
3x − 1 = 8
3x=9
x=3
Lahat nakuha namin ang sagot. Ang unang gawain ay nalutas.
Pangalawang gawain
Lumipat tayo sa pangalawang gawain:
Tulad ng nakikita mo, ang equation na ito ay hindi na ang pinakasimpleng isa. Kung lamang dahil ang pagkakaiba ay nasa kaliwa, at hindi isang solong logarithm sa isang base.
Samakatuwid, kailangan mong kahit papaano ay mapupuksa ang pagkakaibang ito. Sa kasong ito, ang lahat ay napaka-simple. Tingnan natin ang mga base: sa kaliwa ay ang numero sa ilalim ng ugat:
Pangkalahatang rekomendasyon: sa lahat ng logarithmic equation, subukang alisin ang mga radical, ibig sabihin, mga entry na may mga ugat, at magpatuloy sa mga function ng kapangyarihan, dahil lang ang mga exponent ng mga kapangyarihang ito ay madaling alisin sa sign ng logarithm, at sa huli, ang gayong notasyon ay lubos na nagpapadali at nagpapabilis ng mga kalkulasyon. Isulat natin ito ng ganito:
Ngayon naaalala namin ang kahanga-hangang pag-aari ng logarithm: mula sa argumento, pati na rin mula sa base, maaari kang kumuha ng mga degree. Sa kaso ng mga base, ang mga sumusunod ay nangyayari:
log a k b = 1/k loga b
Sa madaling salita, ang numero na nakatayo sa antas ng base ay dinala at sa parehong oras ay ibinalik, iyon ay, ito ay nagiging kapalit ng numero. Sa aming kaso, mayroong isang antas ng base na may isang tagapagpahiwatig ng 1/2. Samakatuwid, maaari nating alisin ito bilang 2/1. Nakukuha namin:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Pakitandaan: sa anumang kaso hindi mo dapat alisin ang logarithms sa hakbang na ito. Pag-isipang muli ang grade 4-5 math at ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon: ginagawa muna ang multiplikasyon, at pagkatapos lamang isagawa ang pagdaragdag at pagbabawas. Sa kasong ito, ibawas namin ang isa sa parehong mga elemento mula sa 10 elemento:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Ngayon ang aming equation ay mukhang dapat. Ito ang pinakasimpleng konstruksyon, at nilulutas namin ito gamit ang canonical form:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25
Iyon lang. Ang pangalawang problema ay nalutas.
Pangatlong halimbawa
Lumipat tayo sa ikatlong gawain:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Alalahanin ang sumusunod na formula:
log b = log 10 b
Kung sa ilang kadahilanan ay nalilito ka sa pamamagitan ng pagsulat lg b , kung gayon kapag ginagawa ang lahat ng mga kalkulasyon, maaari mo lamang isulat ang log 10 b . Maaari kang gumawa ng mga decimal logarithms sa parehong paraan tulad ng sa iba: mag-alis ng mga kapangyarihan, magdagdag, at kumatawan sa anumang numero bilang lg 10.
Tiyak na ang mga katangiang ito ang gagamitin natin ngayon upang malutas ang problema, dahil hindi ito ang pinakasimpleng isinulat natin sa simula ng ating aralin.
Upang magsimula, tandaan na ang kadahilanan 2 bago ang lg 5 ay maaaring ipasok at maging isang kapangyarihan ng base 5. Bilang karagdagan, ang libreng termino 3 ay maaari ding katawanin bilang isang logarithm - ito ay napakadaling obserbahan mula sa aming notasyon.
Hukom para sa iyong sarili: anumang numero ay maaaring katawanin bilang log sa base 10:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Isulat muli natin ang orihinal na problema na isinasaalang-alang ang mga natanggap na pagbabago:
lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000
Sa harap natin ay muli ang kanonikal na anyo, at nakuha natin ito sa pamamagitan ng paglampas sa yugto ng mga pagbabago, ibig sabihin, ang pinakasimpleng logarithmic equation ay hindi dumating kahit saan sa amin.
Iyan ang aking pinag-uusapan sa simula pa lamang ng aralin. Ang canonical form ay nagbibigay-daan sa paglutas ng mas malawak na klase ng mga problema kaysa sa karaniwang formula ng paaralan, na ibinibigay ng karamihan sa mga guro ng paaralan.
Iyon lang, tanggalin ang tanda decimal logarithm, at nakakakuha kami ng isang simpleng linear construction:
x + 3 = 25,000
x = 24997
Lahat! Nalutas ang problema.
Isang tala tungkol sa saklaw
Dito nais kong gumawa ng isang mahalagang puna tungkol sa domain ng kahulugan. Tiyak na ngayon ay may mga mag-aaral at guro na magsasabi: "Kapag nalutas natin ang mga expression na may logarithms, kailangang tandaan na ang argumento na f (x) ay dapat na mas malaki kaysa sa zero!" Sa pagsasaalang-alang na ito, isang lohikal na tanong ang lumitaw: bakit sa alinman sa mga isinasaalang-alang na mga problema ay hinihiling namin na ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nasiyahan?
Wag kang mag-alala. Walang lalabas na karagdagang ugat sa mga kasong ito. At ito ay isa pang mahusay na trick na nagbibigay-daan sa iyo upang mapabilis ang solusyon. Alamin lamang na kung sa problema ang variable na x ay nangyayari lamang sa isang lugar (mas tiyak, sa isa at tanging argumento ng isa at tanging logarithm), at wala saanman sa aming kaso ang variable na x, pagkatapos ay isulat ang domain hindi na kailangan dahil awtomatiko itong tatakbo.
Hukom para sa iyong sarili: sa unang equation, nakuha namin na 3x - 1, ibig sabihin, ang argument ay dapat na katumbas ng 8. Awtomatiko itong nangangahulugan na ang 3x - 1 ay magiging mas malaki kaysa sa zero.
Sa parehong tagumpay, maaari nating isulat na sa pangalawang kaso, ang x ay dapat na katumbas ng 5 2, ibig sabihin, ito ay tiyak na mas malaki sa zero. At sa ikatlong kaso, kung saan ang x + 3 = 25,000, ibig sabihin, muli, malinaw na mas malaki sa zero. Sa madaling salita, ang saklaw ay awtomatiko, ngunit kung ang x ay nangyayari lamang sa argumento ng isang logarithm lamang.
Iyan lang ang kailangan mong malaman para malutas ang mga simpleng problema. Ang panuntunang ito lamang, kasama ang mga panuntunan sa pagbabago, ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang napakalawak na klase ng mga problema.
Ngunit maging tapat tayo: upang sa wakas ay maunawaan ang pamamaraang ito, upang matutunan kung paano ilapat ang kanonikal na anyo ng logarithmic equation, hindi sapat na manood lamang ng isang aralin sa video. Kaya mga opsyon sa pag-download ngayon para sa malayang desisyon, na naka-attach sa video na tutorial na ito at simulan ang paglutas ng hindi bababa sa isa sa dalawang independiyenteng gawaing ito.
Aabutin ka lang ng ilang minuto. Ngunit ang epekto ng naturang pagsasanay ay magiging mas mataas kumpara sa kung napanood mo lang ang video tutorial na ito.
Umaasa ako na ang araling ito ay makakatulong sa iyo na maunawaan ang mga logarithmic equation. Ilapat ang canonical form, pasimplehin ang mga expression gamit ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa logarithms - at hindi ka matatakot sa anumang mga gawain. At iyon lang ang mayroon ako para sa araw na ito.
Pagsasaalang-alang sa saklaw
Ngayon pag-usapan natin ang domain ng logarithmic function, pati na rin kung paano ito nakakaapekto sa solusyon ng logarithmic equation. Isaalang-alang ang pagbuo ng form
mag-log a f(x) = b
Ang ganitong expression ay tinatawag na pinakasimpleng - mayroon lamang itong isang function, at ang mga numero a at b ay mga numero lamang, at sa anumang kaso ay isang function na nakasalalay sa variable na x. Ito ay malulutas nang napakasimple. Kailangan mo lamang gamitin ang formula:
b = log a a b
Ang formula na ito ay isa sa mga pangunahing katangian ng logarithm, at kapag pinapalitan sa aming orihinal na expression, nakukuha namin ang sumusunod:
log a f(x) = log a a b
f(x) = a b
Isa na itong pamilyar na pormula mula sa mga aklat-aralin sa paaralan. Maraming estudyante ang malamang na may tanong: dahil ang function na f ( x ) sa orihinal na expression ay nasa ilalim ng log sign, ang mga sumusunod na paghihigpit ay ipinapataw dito:
f(x) > 0
Nalalapat ang limitasyong ito dahil ang logarithm ng mga negatibong numero ay wala. Kaya, marahil dahil sa limitasyong ito, dapat kang magpakilala ng tseke para sa mga sagot? Marahil ay kailangan nilang palitan sa pinagmulan?
Hindi, sa pinakasimpleng logarithmic equation, hindi kailangan ng karagdagang check. At dahil jan. Tingnan ang aming huling formula:
f(x) = a b
Ang katotohanan ay ang numero a sa anumang kaso ay mas malaki kaysa sa 0 - ang kinakailangang ito ay ipinapataw din ng logarithm. Ang bilang a ay ang batayan. Sa kasong ito, walang mga paghihigpit na ipinapataw sa numero b. Ngunit hindi ito mahalaga, dahil kahit anong antas ang pagtaas natin ng positibong numero, makakakuha pa rin tayo ng positibong numero sa output. Kaya, ang kinakailangan f (x) > 0 ay awtomatikong natutupad.
Ang talagang sulit na suriin ay ang saklaw ng function sa ilalim ng log sign. Maaaring may medyo kumplikadong mga disenyo, at sa proseso ng paglutas ng mga ito, dapat mong tiyak na sundin ang mga ito. Tingnan natin.
Unang gawain:
Unang hakbang: i-convert ang fraction sa kanan. Nakukuha namin:
Inaalis namin ang tanda ng logarithm at makuha ang karaniwang hindi makatwiran na equation:
Sa mga nakuhang ugat, ang una lang ang nababagay sa atin, dahil ang pangalawang ugat ay mas mababa sa zero. Ang tanging sagot ay ang numero 9. Ayan, nalutas na ang problema. Walang karagdagang mga pagsusuri na ang expression sa ilalim ng logarithm sign ay mas malaki kaysa sa 0 ay kinakailangan, dahil ito ay hindi lamang mas malaki kaysa sa 0, ngunit sa pamamagitan ng kondisyon ng equation ito ay katumbas ng 2. Samakatuwid, ang kinakailangan na "mas malaki kaysa sa zero" ay awtomatikong natupad.
Lumipat tayo sa pangalawang gawain:
Lahat ay pareho dito. Isinulat namin muli ang konstruksiyon, pinapalitan ang triple:
Tinatanggal namin ang mga palatandaan ng logarithm at nakakakuha ng hindi makatwiran na equation:
Namin parisukat ang parehong bahagi, isinasaalang-alang ang mga paghihigpit, at nakukuha namin:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x2 + 7x + 6 = 0
Niresolba namin ang nagresultang equation sa pamamagitan ng discriminant:
D \u003d 49 - 24 \u003d 25
x 1 = -1
x 2 \u003d -6
Ngunit ang x = −6 ay hindi angkop sa atin, dahil kung papalitan natin ang numerong ito sa ating hindi pagkakapantay-pantay, makakakuha tayo ng:
−6 + 4 = −2 < 0
Sa aming kaso, kinakailangan na ito ay mas malaki sa 0 o, sa matinding mga kaso, katumbas. Ngunit ang x = −1 ay nababagay sa amin:
−1 + 4 = 3 > 0
Ang tanging sagot sa aming kaso ay x = −1. Yan lang ang solusyon. Bumalik tayo sa pinakasimula ng ating mga kalkulasyon.
Ang pangunahing konklusyon mula sa araling ito ay hindi kinakailangang suriin ang mga limitasyon para sa isang function sa pinakasimpleng logarithmic equation. Dahil sa proseso ng paglutas ng lahat ng mga hadlang ay awtomatikong naisakatuparan.
Gayunpaman, hindi ito nangangahulugan na maaari mong ganap na kalimutan ang tungkol sa pag-verify. Sa proseso ng pagtatrabaho sa isang logarithmic equation, maaari itong maging isang hindi makatwiran, na magkakaroon ng sarili nitong mga limitasyon at mga kinakailangan para sa kanang bahagi, na nakita natin ngayon sa dalawang magkaibang mga halimbawa.
Huwag mag-atubiling lutasin ang gayong mga problema at maging maingat lalo na kung may ugat sa argumento.
Logarithmic equation na may iba't ibang base
Patuloy kaming nag-aaral ng mga logarithmic equation at sinusuri ang dalawa pang mas kawili-wiling mga trick kung saan ito ay sunod sa moda upang malutas ang mas kumplikadong mga istraktura. Ngunit una, tandaan natin kung paano nalutas ang pinakasimpleng mga gawain:
mag-log a f(x) = b
Sa notasyong ito, ang a at b ay mga numero lamang, at sa function na f (x) ang variable na x ay dapat naroroon, at doon lamang, iyon ay, x ay dapat na nasa argumento lamang. Ibahin natin ang mga logarithmic equation gamit ang canonical form. Para dito, tandaan namin iyon
b = log a a b
At ang a b ay isang argumento lamang. Isulat muli natin ang expression na ito tulad ng sumusunod:
log a f(x) = log a a b
Ito ay eksakto kung ano ang sinusubukan naming makamit, upang ang parehong sa kaliwa at sa kanan ay may logarithm sa base a. Sa kasong ito, maaari nating, sa makasagisag na pagsasalita, i-cross out ang mga palatandaan ng log, at mula sa punto ng view ng matematika, maaari nating sabihin na itumbas lang natin ang mga argumento:
f(x) = a b
Bilang resulta, nakakakuha kami ng bagong expression na mas madaling malutas. Ilapat natin ang panuntunang ito sa ating mga gawain ngayon.
Kaya ang unang disenyo:
Una sa lahat, tandaan ko na mayroong isang fraction sa kanan, ang denominator nito ay log. Kapag nakakita ka ng expression na tulad nito, sulit na alalahanin ang kahanga-hangang pag-aari ng logarithms:
Isinalin sa Russian, nangangahulugan ito na ang anumang logarithm ay maaaring katawanin bilang isang quotient ng dalawang logarithms na may anumang base c. Siyempre, 0< с ≠ 1.
Kaya: ang formula na ito ay may isang kahanga-hangang espesyal na kaso kapag ang variable c ay katumbas ng variable b. Sa kasong ito, nakakakuha kami ng isang pagbuo ng form:
Ang konstruksiyon na ito ay naobserbahan natin mula sa karatula sa kanan sa ating equation. Palitan natin ang construction na ito ng log a b , nakukuha natin:
Sa madaling salita, kung ihahambing sa orihinal na gawain, pinalitan natin ang argumento at ang base ng logarithm. Sa halip, kailangan naming i-flip ang fraction.
Naaalala namin na ang anumang antas ay maaaring alisin sa base ayon sa sumusunod na panuntunan:
Sa madaling salita, ang coefficient k, na siyang antas ng base, ay kinuha bilang isang baligtad na fraction. Kunin natin ito bilang isang baligtad na fraction:
Ang fractional factor ay hindi maaaring iwan sa harap, dahil sa kasong ito ay hindi natin magagawang katawanin ang entry na ito bilang canonical form (pagkatapos ng lahat, sa canonical form, walang karagdagang factor sa harap ng pangalawang logarithm). Samakatuwid, ilagay natin ang fraction 1/4 sa argument bilang isang kapangyarihan:
Ngayon ay tinutumbasan natin ang mga argumento na ang mga batayan ay pareho (at talagang mayroon tayong parehong mga batayan), at isulat:
x + 5 = 1
x = −4
Iyon lang. Nakuha namin ang sagot sa unang logarithmic equation. Bigyang-pansin: sa orihinal na problema, ang variable na x ay nangyayari lamang sa isang log, at ito ay nasa argumento nito. Samakatuwid, hindi na kailangang suriin ang domain, at ang aming numerong x = −4 ay talagang ang sagot.
Ngayon ay lumipat tayo sa pangalawang expression:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Dito, bilang karagdagan sa karaniwang logarithms, kailangan nating magtrabaho kasama ang lg f (x). Paano malutas ang gayong equation? Maaaring tila sa isang hindi handa na mag-aaral na ito ay isang uri ng lata, ngunit sa katunayan ang lahat ay nalutas sa elementarya.
Tingnang mabuti ang terminong lg 2 log 2 7. Ano ang masasabi natin tungkol dito? Ang mga base at argumento ng log at lg ay pareho, at ito ay dapat magbigay ng ilang mga pahiwatig. Alalahanin nating muli kung paano kinuha ang mga degree mula sa ilalim ng tanda ng logarithm:
log a b n = n log a b
Sa madaling salita, kung ano ang kapangyarihan ng numero b sa argumento ay nagiging isang kadahilanan sa harap ng log mismo. Ilapat natin ang formula na ito sa expression na lg 2 log 2 7. Huwag matakot sa lg 2 - ito ang pinakakaraniwang expression. Maaari mong muling isulat ito tulad nito:
Para sa kanya, ang lahat ng mga patakaran na nalalapat sa anumang iba pang logarithm ay may bisa. Sa partikular, ang kadahilanan sa harap ay maaaring ipakilala sa kapangyarihan ng argumento. Sumulat tayo:
Kadalasan, hindi nakikita ng mga estudyanteng blangko ang aksyon na ito, dahil hindi magandang magpasok ng isang log sa ilalim ng tanda ng isa pa. Sa katunayan, walang kriminal dito. Bukod dito, nakakakuha kami ng formula na madaling kalkulahin kung naaalala mo ang isang mahalagang panuntunan:
Ang formula na ito ay maaaring isaalang-alang bilang isang kahulugan at bilang isa sa mga katangian nito. Sa anumang kaso, kung magko-convert ka ng logarithmic equation, dapat mong malaman ang formula na ito sa parehong paraan tulad ng representasyon ng anumang numero sa anyo ng log.
Bumalik kami sa aming gawain. Isinulat namin itong muli na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang unang termino sa kanan ng equal sign ay magiging katumbas lang ng lg 7. Mayroon kaming:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Ilipat natin ang lg 7 sa kaliwa, makuha natin:
lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)
Ibinabawas namin ang mga expression sa kaliwa dahil mayroon silang parehong base:
lg (56/7) = -3lg (x + 4)
Ngayon tingnan natin ang equation na mayroon tayo. Ito ay halos kanonikal na anyo, ngunit may salik −3 sa kanan. Ilagay natin ito sa tamang argumento ng lg:
lg 8 = lg (x + 4) −3
Sa harap natin ay ang kanonikal na anyo ng logarithmic equation, kaya tinatawid natin ang mga palatandaan ng lg at tinutumbasan ang mga argumento:
(x + 4) -3 = 8
x + 4 = 0.5
Iyon lang! Nalutas namin ang pangalawang logarithmic equation. Sa kasong ito, walang karagdagang pagsusuri ang kinakailangan, dahil sa orihinal na problema x ay naroroon lamang sa isang argumento.
Hayaan mong buuin ko ang mga pangunahing punto ng araling ito.
Ang pangunahing pormula na pinag-aaralan sa lahat ng mga aralin sa pahinang ito na nakatuon sa paglutas ng mga logarithmic equation ay ang canonical form. At huwag ipagpaliban ang katotohanan na karamihan sa mga aklat-aralin sa paaralan ay nagtuturo sa iyo kung paano lutasin ang mga ganitong uri ng mga problema sa ibang paraan. Ang tool na ito ay gumagana nang napakahusay at nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang mas malawak na klase ng mga problema kaysa sa pinakasimpleng mga problema na aming pinag-aralan sa pinakadulo simula ng aming aralin.
Bilang karagdagan, upang malutas ang mga logarithmic equation, magiging kapaki-pakinabang na malaman ang mga pangunahing katangian. Namely:
- Ang formula para sa paglipat sa isang base at isang espesyal na kaso kapag nag-flip kami ng log (ito ay lubhang kapaki-pakinabang sa amin sa unang gawain);
- Ang formula para sa pagdadala at pag-alis ng mga kapangyarihan mula sa ilalim ng tanda ng logarithm. Dito, maraming mga mag-aaral ang natigil at hindi nakikita ang point-blank na ang kapangyarihan na kinuha at dinala ay maaaring maglaman ng log f (x). Walang masama diyan. Maaari naming ipakilala ang isang log ayon sa tanda ng isa pa at sa parehong oras ay makabuluhang pasimplehin ang solusyon ng problema, na kung ano ang naobserbahan namin sa pangalawang kaso.
Sa konklusyon, nais kong idagdag na hindi kinakailangang suriin ang saklaw sa bawat isa sa mga kasong ito, dahil saanman ang variable na x ay naroroon lamang sa isang tanda ng log, at sa parehong oras ay nasa argumento nito. Bilang resulta, awtomatikong natutugunan ang lahat ng kinakailangan sa domain.
Mga problema sa variable na base
Ngayon ay isasaalang-alang natin ang mga logarithmic equation, na para sa maraming mga mag-aaral ay tila hindi pamantayan, kung hindi ganap na hindi malulutas. Ito ay tungkol tungkol sa mga expression na nakabatay hindi sa mga numero, ngunit sa mga variable at kahit na mga function. Ating malulutas ang mga ganitong construction sa tulong ng ating karaniwang pagtanggap, lalo na sa pamamagitan ng canonical form.
Upang magsimula, alalahanin natin kung paano nalutas ang pinakasimpleng mga problema, na batay sa ordinaryong numero. Kaya, ang pinakasimpleng konstruksiyon ay tinatawag
mag-log a f(x) = b
Upang malutas ang mga naturang problema, maaari naming gamitin ang sumusunod na formula:
b = log a a b
Isinulat namin muli ang aming orihinal na expression at makakuha ng:
log a f(x) = log a a b
Pagkatapos ay tinutumbasan namin ang mga argumento, ibig sabihin, isinulat namin:
f(x) = a b
Kaya, inaalis namin ang log sign at lutasin ang karaniwang problema. Sa kasong ito, ang mga ugat na nakuha sa solusyon ay magiging mga ugat ng orihinal na logarithmic equation. Bilang karagdagan, ang tala, kapag ang kaliwa at kanan ay nasa parehong logarithm na may parehong base, ay tinatawag na canonical form. Sa rekord na ito susubukan nating bawasan ang mga constructions ngayon. Kaya tara na.
Unang gawain:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Palitan ang 1 ng log x − 2 (x − 2) 1 . Ang antas na aming naobserbahan sa argumento ay, sa katunayan, ang bilang b , na nasa kanan ng katumbas na tanda. Kaya't muli nating isulat ang ating ekspresyon. Nakukuha namin:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
Ano ang nakikita natin? Nasa harap natin ang canonical form ng logarithmic equation, kaya ligtas nating maipantay ang mga argumento. Nakukuha namin:
2x2 - 13x + 18 = x - 2
Ngunit ang solusyon ay hindi nagtatapos doon, dahil ang equation na ito ay hindi katumbas ng orihinal. Pagkatapos ng lahat, ang resultang pagbuo ay binubuo ng mga function na tinukoy sa buong linya ng numero, at ang aming orihinal na logarithms ay hindi tinukoy sa lahat ng dako at hindi palaging.
Samakatuwid, dapat nating isulat nang hiwalay ang domain ng kahulugan. Huwag tayong maging mas matalino at isulat muna ang lahat ng mga kinakailangan:
Una, ang argumento ng bawat logarithms ay dapat na mas malaki sa 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Pangalawa, ang base ay hindi lamang dapat mas malaki sa 0, ngunit iba rin sa 1:
x − 2 ≠ 1
Bilang resulta, nakukuha namin ang system:
Ngunit huwag mag-alala: kapag nagpoproseso ng mga logarithmic equation, ang ganitong sistema ay maaaring lubos na pinasimple.
Hukom para sa iyong sarili: sa isang banda, hinihiling sa amin na ang quadratic function ay mas malaki kaysa sa zero, at sa kabilang banda, ang quadratic function na ito ay itinutumbas sa ilang linear expression, na kinakailangan din na ito ay mas malaki kaysa sa zero.
Sa kasong ito, kung hinihiling namin na ang x − 2 > 0, kung gayon ang kinakailangan na 2x 2 − 13x + 18 > 0 ay awtomatikong matutugunan. Samakatuwid, maaari nating ligtas na maitawid ang hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng quadratic function. Kaya, ang bilang ng mga expression na nakapaloob sa aming system ay mababawasan sa tatlo.
Siyempre, maaari rin nating i-cross out ang linear inequality, ibig sabihin, i-cross out ang x - 2 > 0 at kailanganin iyon ng 2x 2 - 13x + 18 > 0. Ngunit dapat mong aminin na ang paglutas ng pinakasimpleng linear inequality ay mas mabilis at mas madali, kaysa quadratic, kahit na bilang resulta ng paglutas ng buong sistemang ito ay nakuha natin ang parehong mga ugat.
Sa pangkalahatan, subukang i-optimize ang mga kalkulasyon hangga't maaari. At sa kaso ng mga logarithmic equation, i-cross out ang pinakamahirap na hindi pagkakapantay-pantay.
Isulat muli natin ang ating sistema:
Narito ang isang sistema ng tatlong expression, dalawa sa mga ito, sa katunayan, ay naisip na natin. Magkahiwalay tayong sumulat quadratic equation at lutasin ito:
2x2 - 14x + 20 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
Bago sa amin ay isang pinababang square trinomial at, samakatuwid, maaari naming gamitin ang mga formula ng Vieta. Nakukuha namin:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x2 = 2
Ngayon, bumalik sa aming system, nakita namin na ang x = 2 ay hindi nababagay sa amin, dahil kailangan naming magkaroon ng x na mas malaki kaysa sa 2.
Ngunit ang x \u003d 5 ay angkop sa amin: ang numero 5 ay mas malaki kaysa sa 2, at sa parehong oras ang 5 ay hindi katumbas ng 3. Samakatuwid, ang tanging solusyon sa sistemang ito ay x \u003d 5.
Lahat, ang gawain ay nalutas, kabilang ang pagsasaalang-alang sa ODZ. Lumipat tayo sa pangalawang equation. Narito kami ay naghihintay para sa mas kawili-wili at makabuluhang mga kalkulasyon:
Ang unang hakbang: pati na rin ang huling pagkakataon, dinadala namin ang lahat ng negosyong ito sa isang canonical form. Upang gawin ito, maaari naming isulat ang numero 9 tulad ng sumusunod:
Ang base na may ugat ay hindi maaaring hawakan, ngunit ito ay mas mahusay na baguhin ang argumento. Lumipat tayo mula sa ugat patungo sa kapangyarihan na may makatwirang exponent. Sumulat tayo:
Hayaan akong hindi muling isulat ang aming buong malaking logarithmic equation, ngunit agad na itumbas ang mga argumento:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Bago natin ay ang muling pinababang square trinomial, gagamitin natin ang mga formula ng Vieta at isusulat:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Kaya, nakuha namin ang mga ugat, ngunit walang garantiya sa amin na magkasya sila sa orihinal na logarithmic equation. Pagkatapos ng lahat, ang mga palatandaan ng log ay nagpapataw ng karagdagang mga paghihigpit (dito kailangan nating isulat ang system, ngunit dahil sa pagiging kumplikado ng buong konstruksiyon, nagpasya akong kalkulahin ang domain ng kahulugan nang hiwalay).
Una sa lahat, tandaan na ang mga argumento ay dapat na mas malaki kaysa sa 0, ibig sabihin:
Ito ang mga kinakailangan na ipinataw ng domain ng kahulugan.
Napansin namin kaagad na dahil itinutumbas namin ang unang dalawang expression ng system sa isa't isa, maaari naming i-cross out ang alinman sa mga ito. I-cross out natin ang una dahil mukhang mas menacing ito kaysa sa pangalawa.
Bilang karagdagan, tandaan na ang mga solusyon ng pangalawa at pangatlong hindi pagkakapantay-pantay ay magiging parehong mga hanay (ang kubo ng ilang numero ay mas malaki kaysa sa zero, kung ang numerong ito mismo ay mas malaki kaysa sa zero; katulad din sa ugat ng ikatlong antas - ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ganap na katulad, kaya ang isa sa kanila ay maaari nating i-cross out).
Ngunit sa ikatlong hindi pagkakapantay-pantay, hindi ito gagana. Alisin natin ang tanda ng radikal sa kaliwa, kung saan itinataas natin ang parehong bahagi sa isang kubo. Nakukuha namin:
Kaya nakuha namin ang mga sumusunod na kinakailangan:
−2 ≠ x > −3
Alin sa ating mga ugat: x 1 = -3 o x 2 = -1 ang nakakatugon sa mga kinakailangang ito? Malinaw, ang x = −1 lamang, dahil ang x = −3 ay hindi nakakatugon sa unang hindi pagkakapantay-pantay (dahil ang ating hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit). Sa kabuuan, pagbalik sa ating problema, makakakuha tayo ng isang ugat: x = −1. Iyon lang, nalutas ang problema.
Muli, ang mga pangunahing punto ng gawaing ito:
- Huwag mag-atubiling ilapat at lutasin ang mga logarithmic equation gamit ang canonical form. Ang mga mag-aaral na gumagawa ng ganoong rekord, at hindi direktang pumunta mula sa orihinal na problema sa isang konstruksiyon tulad ng log a f ( x ) = b , gumawa ng mas kaunting mga pagkakamali kaysa sa mga nagmamadali sa isang lugar, na nilalaktawan ang mga intermediate na hakbang ng mga kalkulasyon;
- Sa sandaling lumitaw ang isang variable na base sa logarithm, ang problema ay tumigil na maging ang pinakasimpleng. Samakatuwid, kapag nilutas ito, kinakailangang isaalang-alang ang domain ng kahulugan: ang mga argumento ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, at ang mga batayan ay hindi lamang dapat mas malaki sa 0, ngunit hindi rin sila dapat katumbas ng 1.
Maaari mong ipataw ang mga huling kinakailangan sa mga huling sagot sa iba't ibang paraan. Halimbawa, posibleng malutas ang isang buong sistema na naglalaman ng lahat ng mga kinakailangan sa domain. Sa kabilang banda, maaari mo munang malutas ang problema mismo, at pagkatapos ay tandaan ang tungkol sa domain ng kahulugan, gawin ito nang hiwalay sa anyo ng isang sistema at ilapat ito sa nakuha na mga ugat.
Aling paraan ang pipiliin kapag nagresolba ng partikular na logarithmic equation ang nasa iyo. Sa anumang kaso, ang sagot ay magiging pareho.
Lahat tayo ay pamilyar sa mga equation. mababang Paaralan. Kahit doon ay natutunan naming lutasin ang pinakasimpleng mga halimbawa, at dapat aminin na nahanap nila ang kanilang aplikasyon kahit na sa mas mataas na matematika. Ang lahat ay simple sa mga equation, kabilang ang mga parisukat. Kung mayroon kang mga problema sa temang ito, lubos naming inirerekomenda na subukan mo itong muli.
Logarithms malamang nakapasa ka na rin. Gayunpaman, itinuturing naming mahalagang sabihin kung ano ito para sa mga hindi pa nakakaalam. Ang logarithm ay katumbas ng kapangyarihan kung saan dapat itaas ang base upang makuha ang numero sa kanan ng sign ng logarithm. Magbigay tayo ng isang halimbawa, batay sa kung saan, magiging malinaw sa iyo ang lahat.
Kung itataas mo ang 3 sa ikaapat na kapangyarihan, makakakuha ka ng 81. Ngayon ay palitan ang mga numero sa pamamagitan ng pagkakatulad, at sa wakas ay mauunawaan mo kung paano nalulutas ang mga logarithm. Ngayon ay nananatili lamang na pagsamahin ang dalawang itinuturing na konsepto. Sa una, ang sitwasyon ay tila napakahirap, ngunit sa mas malapit na pagsusuri, ang bigat ay nahuhulog sa lugar. Natitiyak namin na pagkatapos ng maikling artikulong ito ay wala kang mga problema sa bahaging ito ng pagsusulit.
Ngayon, maraming mga paraan upang malutas ang mga naturang istruktura. Pag-uusapan natin ang pinakasimple, pinakaepektibo at pinaka-naaangkop sa kaso ng mga gawain sa PAGGAMIT. Ang paglutas ng mga logarithmic equation ay dapat magsimula sa pinakasimula. isang simpleng halimbawa. Ang pinakasimpleng logarithmic equation ay binubuo ng isang function at isang variable sa loob nito.
Mahalagang tandaan na ang x ay nasa loob ng argumento. Ang A at b ay dapat na mga numero. Sa kasong ito, maaari mo lamang ipahayag ang function sa mga tuntunin ng isang numero sa isang kapangyarihan. Parang ganito.
Siyempre, ang paglutas ng logarithmic equation sa ganitong paraan ay magdadala sa iyo sa tamang sagot. Ngunit ang problema ng karamihan ng mga mag-aaral sa kasong ito ay hindi nila naiintindihan kung ano at saan ito nanggaling. Bilang resulta, kailangan mong tiisin ang mga pagkakamali at hindi makuha ang ninanais na puntos. Ang pinaka-nakakasakit na pagkakamali ay kung paghaluin mo ang mga titik sa mga lugar. Upang malutas ang equation sa ganitong paraan, kailangan mong kabisaduhin ang karaniwang formula ng paaralan na ito, dahil mahirap itong maunawaan.
Upang gawing mas madali, maaari kang gumamit ng ibang paraan - ang canonical form. Ang ideya ay napakasimple. Bigyang-pansin muli ang gawain. Tandaan na ang titik a ay isang numero, hindi isang function o isang variable. Ang A ay hindi katumbas ng isa at mas malaki sa zero. Walang mga paghihigpit sa b. Ngayon sa lahat ng mga formula, naaalala namin ang isa. Ang B ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod.
Mula dito sumusunod na ang lahat ng orihinal na equation na may logarithms ay maaaring katawanin bilang:
Ngayon ay maaari nating itapon ang logarithms. Ang resulta ay isang simpleng konstruksiyon, na nakita na natin kanina.
Ang kaginhawahan ng formula na ito ay nakasalalay sa katotohanan na maaari itong magamit sa karamihan iba't ibang okasyon at hindi lamang para sa pinakasimpleng disenyo.
Huwag mag-alala tungkol sa OOF!
Maraming makaranasang mathematician ang mapapansin na hindi natin binigyang pansin ang domain ng kahulugan. Ang panuntunan ay bumababa sa katotohanan na ang F(x) ay kinakailangang mas malaki sa 0. Hindi, hindi namin napalampas ang sandaling ito. Ngayon ay pinag-uusapan natin ang isa pang seryosong bentahe ng canonical form.
Walang dagdag na ugat dito. Kung ang variable ay magaganap lamang sa isang lugar, kung gayon ang saklaw ay hindi kinakailangan. Awtomatikong tumatakbo ito. Upang mapatunayan ang paghatol na ito, isaalang-alang ang paglutas ng ilang simpleng halimbawa.
Paano lutasin ang mga logarithmic equation na may iba't ibang base
Ang mga ito ay mga kumplikadong logarithmic equation, at ang diskarte sa kanilang solusyon ay dapat na espesyal. Dito bihirang posible na ikulong ang ating sarili sa kilalang kanonikal na anyo. Simulan natin ang ating detalyadong kwento. Mayroon kaming sumusunod na konstruksyon.
Pansinin ang fraction. Naglalaman ito ng logarithm. Kung nakita mo ito sa gawain, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa isang kawili-wiling lansihin.
Ano ang ibig sabihin nito? Ang bawat logarithm ay maaaring ipahayag bilang isang quotient ng dalawang logarithms na may isang maginhawang base. At ang formula na ito ay may espesyal na kaso na naaangkop sa halimbawang ito (ang ibig naming sabihin ay kung c=b).
Ito mismo ang nakikita natin sa ating halimbawa. Sa ganitong paraan.
Sa katunayan, binaliktad nila ang fraction at nakakuha ng mas maginhawang expression. Tandaan ang algorithm na ito!
Ngayon kailangan namin na ang logarithmic equation ay hindi naglalaman ng iba't ibang mga base. Katawanin natin ang base bilang isang fraction.
Sa matematika, mayroong isang panuntunan, batay sa kung saan, maaari mong kunin ang antas mula sa base. Lumalabas ang sumusunod na konstruksyon.
Tila ngayon, ano ang pumipigil sa atin na gawing kanonikal na anyo ang ating ekspresyon at lutasin ito? Hindi gaanong simple. Dapat ay walang mga fraction bago ang logarithm. Ayusin natin ang sitwasyong ito! Ang isang fraction ay pinapayagan na kunin bilang isang degree.
Kanya-kanya.
Kung ang mga base ay pareho, maaari nating alisin ang logarithms at ipantay ang mga expression mismo. Kaya ang sitwasyon ay magiging maraming beses na mas madali kaysa noon. Magkakaroon ng elementary equation na alam ng bawat isa sa atin kung paano lutasin noong ika-8 o kahit ika-7 baitang. Maaari mong gawin ang mga kalkulasyon sa iyong sarili.
Nakuha namin ang tanging tunay na ugat ng logarithmic equation na ito. Ang mga halimbawa ng paglutas ng isang logarithmic equation ay medyo simple, tama? Ngayon ay magagawa mong independiyenteng harapin kahit na ang pinakamahirap na gawain para sa paghahanda at pagpasa sa pagsusulit.
Ano ang resulta?
Sa kaso ng anumang logarithmic equation, magsisimula tayo sa isa mahalagang tuntunin. Ito ay kinakailangan upang kumilos sa paraang upang dalhin ang expression sa maximum malinaw na paningin. Sa kasong ito, magkakaroon ka ng mas maraming pagkakataon hindi lamang upang malutas ang problema nang tama, ngunit gawin din ito sa pinakasimpleng at pinaka-lohikal na paraan. Ganyan laging gumagana ang mga mathematician.
Lubos naming inirerekumenda na maghanap ka ng mahirap na mga landas, lalo na sa kasong ito. Tandaan ang ilan simpleng tuntunin, na magbibigay-daan sa iyong baguhin ang anumang expression. Halimbawa, magdala ng dalawa o tatlong logarithms sa parehong base, o kumuha ng kapangyarihan mula sa base at manalo dito.
Ito rin ay nagkakahalaga ng pag-alala na sa paglutas ng mga logarithmic equation kailangan mong patuloy na magsanay. Unti-unti, magpapatuloy ka sa higit pa at mas kumplikadong mga istruktura, at ito ay magdadala sa iyo na may kumpiyansa na lutasin ang lahat ng mga pagpipilian para sa mga problema sa pagsusulit. Maghanda para sa iyong mga pagsusulit nang maaga, at good luck!
