Ang mga arbitrary na logarithmic equation ay mga halimbawa ng mga solusyon. Paglutas ng mga logarithmic equation

Logarithmic equation. Patuloy naming isinasaalang-alang ang mga gawain mula sa bahagi B ng Unified State Examination sa matematika. Napag-isipan na namin ang mga solusyon ng ilang equation sa mga artikulong "", "". Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin logarithmic equation. Dapat kong sabihin kaagad na walang magiging kumplikadong pagbabago kapag nilulutas ang mga naturang equation sa USE. Simple lang sila.

Ito ay sapat na upang malaman at maunawaan ang pangunahing logarithmic identity, upang malaman ang mga katangian ng logarithm. Bigyang-pansin ang katotohanan na pagkatapos ng desisyon, MANDATORY na gumawa ng tseke - palitan ang nakuha na halaga sa orihinal na equation at kalkulahin, bilang isang resulta, ang tamang pagkakapantay-pantay ay dapat makuha.

Kahulugan:

Ang logarithm ng numero a hanggang sa base b ay ang exponent,kung saan dapat itaas ang b upang makakuha ng a.

Halimbawa:

Log 3 9 = 2 dahil 3 2 = 9

Mga katangian ng logarithms:

Mga espesyal na kaso ng logarithms:

Niresolba namin ang mga problema. Sa unang halimbawa, gagawa tayo ng tseke. Gawin ang sumusunod na suriin ang iyong sarili.

Hanapin ang ugat ng equation: log 3 (4–x) = 4

Dahil ang log b a = x b x = a, kung gayon

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

Pagsusuri:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Tama.

Sagot: - 77

Magpasya para sa iyong sarili:

Hanapin ang ugat ng equation: log 2 (4 - x) = 7

Hanapin ang ugat ng log 5 equation(4 + x) = 2

Ginagamit namin ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan.

Dahil log a b = x b x = a, pagkatapos

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x=21

Pagsusuri:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Tama.

Sagot: 21

Hanapin ang ugat ng equation log 3 (14 - x) = log 3 5.

Nagaganap ang sumusunod na pag-aari, ang kahulugan nito ay ang mga sumusunod: kung sa kaliwa at kanang bahagi ng equation mayroon tayong mga logarithms na may parehong base, pagkatapos ay maaari nating itumbas ang mga expression sa ilalim ng mga palatandaan ng logarithms.

14 - x = 5

x=9

Gumawa ng tseke.

Sagot: 9

Magpasya para sa iyong sarili:

Hanapin ang ugat ng equation log 5 (5 - x) = log 5 3.

Hanapin ang ugat ng equation: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Kung log c a = log c b, a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

Gumawa ng tseke.

Sagot: 6

Hanapin ang ugat ng equation log 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13 - 64

x = -51

Gumawa ng tseke.

Isang maliit na karagdagan - dito ginagamit ang ari-arian

degree().

Sagot: - 51

Magpasya para sa iyong sarili:

Hanapin ang ugat ng equation: log 1/7 (7 - x) = - 2

Hanapin ang ugat ng equation log 2 (4 - x) = 2 log 2 5.

Magtransform tayo kanang bahagi. gamitin ang ari-arian:

log a b m = m∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Kung log c a = log c b, a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

Gumawa ng tseke.

Sagot: - 21

Magpasya para sa iyong sarili:

Hanapin ang ugat ng equation: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Lutasin ang equation log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Kung log c a = log c b, a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x=2.75

Gumawa ng tseke.

Sagot: 2.75

Magpasya para sa iyong sarili:

Hanapin ang ugat ng equation log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Lutasin ang equation log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

Kinakailangan na may kanang bahagi mga equation upang makakuha ng pagpapahayag ng anyo:

log 2 (......)

Kinakatawan ang 1 bilang base 2 logarithm:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

Nakukuha namin:

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

Kung log c a = log c b, pagkatapos ay a = b, pagkatapos

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x=0.4

Gumawa ng tseke.

Sagot: 0.4

Magpasya para sa iyong sarili: Susunod, kailangan mong magpasya quadratic equation. Siya nga pala,

ang mga ugat ay 6 at -4.

ugat"-4" ay hindi isang solusyon, dahil ang base ng logarithm ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, at may "– 4" ay katumbas ng " – lima". Ang solusyon ay ugat 6.Gumawa ng tseke.

Sagot: 6.

R kumain ng mag-isa:

Lutasin ang equation log x –5 49 = 2. Kung ang equation ay may higit sa isang ugat, sagutin ang mas maliit.

Tulad ng nakikita mo, walang mga kumplikadong pagbabagong may mga logarithmic equationhindi. Sapat na malaman ang mga katangian ng logarithm at mailapat ang mga ito. Sa mga gawaing USE na may kaugnayan sa pagbabago ng logarithmic expression, mas seryosong pagbabago ang ginagawa at kailangan ang mas malalim na kasanayan sa paglutas. Isasaalang-alang namin ang gayong mga halimbawa, huwag palampasin ito!Nais kong tagumpay ka!!!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.

Logarithmic expression, solusyon ng mga halimbawa. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga problemang nauugnay sa paglutas ng mga logarithms. Ang mga gawain ay nagtataas ng tanong ng paghahanap ng halaga ng expression. Dapat pansinin na ang konsepto ng logarithm ay ginagamit sa maraming mga gawain at napakahalaga na maunawaan ang kahulugan nito. Tulad ng para sa USE, ang logarithm ay ginagamit kapag nilulutas ang mga equation, in mga inilapat na gawain, gayundin sa mga gawaing nauugnay sa pag-aaral ng mga function.

Narito ang mga halimbawa upang maunawaan ang mismong kahulugan ng logarithm:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

Mga katangian ng logarithms na dapat mong laging tandaan:

*Logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ang logarithms ng mga salik.

* * *

* Ang logarithm ng quotient (fraction) ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms ng mga salik.

* * *

* Ang logarithm ng degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng base nito.

* * *

*Transition sa bagong base

* * *

Higit pang mga katangian:

* * *

Ang computing logarithms ay malapit na nauugnay sa paggamit ng mga katangian ng mga exponent.

Inilista namin ang ilan sa kanila:

Ang kakanyahan ng ari-arian na ito ay kapag inilipat ang numerator sa denominator at kabaligtaran, ang tanda ng exponent ay nagbabago sa kabaligtaran. Halimbawa:

Bunga ng ari-arian na ito:

* * *

Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay pinarami.

* * *

Tulad ng makikita mo, ang mismong konsepto ng logarithm ay simple. Ang pangunahing bagay ay ang mahusay na kasanayan ay kinakailangan, na nagbibigay ng isang tiyak na kasanayan. Tiyak na ang kaalaman sa mga formula ay obligado. Kung ang kasanayan sa pag-convert ng elementarya na logarithms ay hindi nabuo, kung gayon kapag ang paglutas ng mga simpleng gawain, ang isa ay madaling magkamali.

Magsanay, lutasin muna ang pinakasimpleng mga halimbawa mula sa kurso sa matematika, pagkatapos ay lumipat sa mas kumplikado. Sa hinaharap, tiyak na ipapakita ko kung paano nalutas ang mga "pangit" na logarithms, walang mga ganyan sa pagsusulit, ngunit interesado sila, huwag palampasin ito!

Iyon lang! Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga dahilan ng pampublikong interes.
Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Algebra Baitang 11

Paksa: "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation"

Layunin ng Aralin:

pang-edukasyon: ang pagbuo ng kaalaman tungkol sa iba't ibang paraan paglutas ng mga logarithmic equation, ang kakayahang ilapat ang mga ito sa bawat isa tiyak na sitwasyon at pumili ng anumang paraan upang malutas;

pagbuo: pag-unlad ng mga kasanayan sa pagmamasid, paghahambing, paglalapat ng kaalaman sa isang bagong sitwasyon, pagtukoy ng mga pattern, pag-generalize; pagbuo ng mga kasanayan ng mutual control at self-control;

pang-edukasyon: edukasyon ng isang responsableng saloobin sa gawaing pang-edukasyon, maingat na pang-unawa sa materyal sa aralin, katumpakan ng pag-iingat ng rekord.

Uri ng aralin: isang aral ng pamilyar sa bagong materyal.

"Ang pag-imbento ng logarithms, sa pamamagitan ng pagpapaikli sa gawain ng astronomer, ay nagpahaba ng kanyang buhay."
French mathematician at astronomer na si P.S. Laplace

Sa panahon ng mga klase

I. Pagtatakda ng layunin ng aralin

Ang pinag-aralan na kahulugan ng logarithm, ang mga katangian ng logarithms at ang logarithmic function ay magbibigay-daan sa amin upang malutas ang mga logarithmic equation. Ang lahat ng mga logarithmic equation, gaano man kakumplikado ang mga ito, ay nalulutas gamit ang parehong mga algorithm. Isasaalang-alang natin ang mga algorithm na ito ngayon sa aralin. May kakaunti sa kanila. Kung master mo ang mga ito, ang anumang equation na may logarithms ay magiging magagawa para sa bawat isa sa iyo.

Isulat sa iyong kuwaderno ang paksa ng aralin: "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation." Inaanyayahan ko ang lahat sa pakikipagtulungan.

II. Pag-update ng pangunahing kaalaman

Maghanda tayo sa pag-aaral ng paksa ng aralin. Malutas mo ang bawat gawain at isulat ang sagot, hindi mo maaaring isulat ang kondisyon. Magtrabaho nang magkapares.

1) Para sa anong mga halaga ng x ang kahulugan ng function:

(Ang mga sagot ay sinusuri para sa bawat slide at ang mga error ay inaayos)

2) Nagtutugma ba ang mga function graph?

3) Isulat muli ang equalities bilang logarithmic equalities:

4) Isulat ang mga numero bilang logarithms na may base 2:

5) Kalkulahin:

6) Subukang ibalik o kumpletuhin ang mga nawawalang elemento sa mga pagkakapantay-pantay na ito.

III. Panimula sa bagong materyal

Ang pahayag ay ipinapakita sa screen:

"Ang equation ay ang gintong susi na nagbubukas ng lahat ng mathematical sesame."
Modernong Polish na matematiko na si S. Koval

Subukang bumalangkas ng kahulugan ng isang logarithmic equation. (Isang equation na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng sign ng logarithm).

Isipin mo ang pinakasimpleng logarithmic equation:logngunitx = b(kung saan ang a>0, a ≠ 1). Dahil ang logarithmic function ay tumataas (o bumababa) sa set mga positibong numero at kinukuha ang lahat ng tunay na halaga, pagkatapos ay ayon sa root theorem ay sumusunod na para sa alinmang b, ang equation na ito ay mayroon, at higit pa rito, isang solusyon lamang, at higit pa rito, isang positibo.

Tandaan ang kahulugan ng logarithm. (Ang logarithm ng numerong x sa base a ay ang exponent kung saan dapat itaas ang base a upang makuha ang numerong x). Kaagad itong sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm na ngunitsa ay ganoong solusyon.

Isulat ang pamagat: Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation

1. Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm.

Ito ay kung paano malulutas ang mga simpleng equation ng form.

Isipin mo Blg. 514(a): Lutasin ang equation

Paano mo imungkahi na lutasin ito? (Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm)

Solusyon. , Kaya 2x - 4 = 4; x = 4.

Sa gawaing ito, 2x - 4 > 0, dahil > 0, samakatuwid, hindi maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat, at hindi na kailangang suriin. Ang kundisyong 2x - 4 > 0 ay hindi kailangang isulat sa gawaing ito.

2. Potentiation(transisyon mula sa logarithm ng ibinigay na expression sa expression na ito mismo).

Isipin mo No. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Anong tampok ang napansin mo? (Ang mga base ay pareho at ang logarithms ng dalawang expression ay pantay). Ano ang maaaring gawin? (potentiate).

Sa kasong ito, dapat itong isaalang-alang na ang anumang solusyon ay nakapaloob sa lahat ng x kung saan ang mga logarithm expression ay positibo.

Solusyon: ODZ:

X2+8>0 dagdag na hindi pagkakapantay-pantay

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Potentiate ang orihinal na equation

nakukuha natin ang equation na x2+8= 8x+8

Lutasin namin ito: x2-8x=0

Sagot: 0; 8

SA pangkalahatang pananaw paglipat sa isang katumbas na sistema:

Ang equation

(Ang sistema ay naglalaman ng isang kalabisan na kondisyon - ang isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring balewalain).

Tanong sa klase: Alin sa tatlong solusyong ito ang pinakanagustuhan mo? (Pagtalakay sa mga pamamaraan).

May karapatan kang magpasya sa anumang paraan.

3. Pagpapakilala ng bagong variable.

Isipin mo No. 520(g). .

Ano ang napansin mo? (Ito ay isang quadratic equation para sa log3x) Anumang mga mungkahi? (Ipakilala ang bagong variable)

Solusyon. ODZ: x > 0.

Hayaan , pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo:. Discriminant D > 0. Roots by Vieta's theorem:.

Bumalik tayo sa kapalit: o .

Ang paglutas ng pinakasimpleng logarithmic equation, nakukuha natin:

Sagot: 27;

4. Logarithm ng magkabilang panig ng equation.

Lutasin ang equation:.

Solusyon: ODZ: x>0, kunin ang logarithm ng magkabilang panig ng equation sa base 10:

Ilapat ang pag-aari ng logarithm ng degree:

(lgx + 3) lgx = 4

Hayaan ang lgx = y, pagkatapos (y + 3)y = 4

, (D > 0) ang mga ugat ayon sa Vieta theorem: y1 = -4 at y2 = 1.

Bumalik tayo sa kapalit, makakakuha tayo ng: lgx = -4,; logx = 1, .

Sagot: 0.0001; 10.

5. Pagbawas sa isang base.

No. 523(c). Lutasin ang equation:

Solusyon: ODZ: x>0. Lumipat tayo sa base 3.

6. Functional-graphical na pamamaraan.

№ 509(d). Lutasin nang grapiko ang equation: = 3 - x.

Paano mo imungkahi na malutas? (Bumuo ng mga graph ng dalawang function y \u003d log2x at y \u003d 3 - x sa pamamagitan ng mga puntos at hanapin ang abscissa ng mga intersection point ng mga graph).

Tingnan ang iyong solusyon sa slide.

Mayroon bang paraan upang maiwasan ang pagbabalak . Ito ay ang mga sumusunod : kung isa sa mga function y = f(x) tumataas at ang iba pa y = g(x) bumababa sa pagitan ng X, pagkatapos ay ang equation f(x)=g(x) may hindi hihigit sa isang ugat sa pagitan ng X.

Kung mayroong isang ugat, kung gayon maaari itong hulaan.

Sa aming kaso, ang function ay tumataas para sa x>0, at ang function na y \u003d 3 - x ay bumababa para sa lahat ng mga halaga ng x, kabilang ang x>0, na nangangahulugan na ang equation ay walang higit sa isang ugat. Tandaan na para sa x = 2, ang equation ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay, dahil .

« Tamang gamit maaaring matutunan ang mga pamamaraan
paglalapat lang sa kanila iba't ibang halimbawa».
Danish na mananalaysay ng matematika na si G. G. Zeiten

akov. Takdang aralin

P. 39 isaalang-alang ang halimbawa 3, lutasin ang No. 514 (b), No. 529 (b), No. 520 (b), No. 523 (b)

V. Pagbubuod ng aralin

Anong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation ang isinaalang-alang natin sa aralin?

Sa susunod na mga aralin, titingnan natin ang mas kumplikadong mga equation. Upang malutas ang mga ito, ang mga pinag-aralan na pamamaraan ay kapaki-pakinabang.

Ipinapakita ang huling slide:

“Ano ang higit sa anumang bagay sa mundo?
Space.
Ano ang pinakamatalino?
Oras.
Ano ang pinaka kasiya-siya?
Makamit mo ang gusto mo."
Thales

Gusto kong makamit ng lahat ang gusto nila. Salamat sa iyong kooperasyon at pag-unawa.

pangunahing katangian.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

parehong batayan

log6 4 + log6 9.

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain.

Mga halimbawa ng paglutas ng logarithms

Paano kung may degree sa base o argumento ng logarithm? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x >

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tingnan din:

Mga pangunahing katangian ng logarithm

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ang exponent ay 2.718281828…. Upang matandaan ang exponent, maaari mong pag-aralan ang panuntunan: ang exponent ay 2.7 at dalawang beses sa taon ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang pag-alam sa panuntunang ito ay malalaman mo at eksaktong halaga exhibitors, at ang petsa ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

Mga halimbawa para sa logarithms

Kunin ang logarithm ng mga expression

Halimbawa 1
ngunit). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Sa pamamagitan ng mga katangian 3,5 kinakalkula namin

4. saan .

Halimbawa 2 Hanapin ang x kung

Halimbawa 3. Hayaang ibigay ang halaga ng logarithms

Kalkulahin ang log(x) kung

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang mga logarithm, tulad ng anumang numero, ay maaaring idagdag, ibawas at i-convert sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksakto regular na mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Dapat malaman ang mga panuntunang ito - walang seryosong problema sa logarithmic ang malulutas kung wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - lahat ay maaaring matutunan sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: logax at logay. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithms ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay ang logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay - parehong batayan. Kung ang mga base ay iba, ang mga patakarang ito ay hindi gagana!

Ang mga formula na ito ay makakatulong sa iyong kalkulahin logarithmic expression kahit na hindi isinasaalang-alang ang mga indibidwal na bahagi nito (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Dahil ang mga base ng logarithms ay pareho, ginagamit namin ang sum formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log2 48 − log2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log3 135 − log3 5.

Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Tulad ng nakikita mo, ang mga orihinal na expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi isinasaalang-alang nang hiwalay. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, medyo normal na mga numero ang lumabas. Batay sa katotohanang ito, marami mga test paper. Oo, ang kontrol - mga katulad na expression sa lahat ng kabigatan (minsan - na halos walang pagbabago) ay inaalok sa pagsusulit.

Pag-alis ng exponent mula sa logarithm

Madaling makita iyon huling tuntunin sumusunod sa unang dalawa. Ngunit ito ay mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ito ay makabuluhang bawasan ang halaga ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. maaari mong ipasok ang mga numero bago ang sign ng logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log7 496.

Tanggalin natin ang antas sa argumento ayon sa unang formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang denominator ay isang logarithm na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 24; 49 = 72. Mayroon kaming:

sa tingin ko huling halimbawa kailangan ng paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali, nagtatrabaho lamang kami sa denominator.

Mga formula ng logarithms. Ang logarithms ay mga halimbawa ng mga solusyon.

Iniharap nila ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga degree at kinuha ang mga tagapagpahiwatig - nakakuha sila ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay may parehong numero: log2 7. Dahil ang log2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga patakaran ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga base? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ay dumating upang iligtas. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung ilalagay natin ang c = x, makakakuha tayo ng:

Ito ay sumusunod mula sa pangalawang pormula na posible na palitan ang base at ang argumento ng logarithm, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. ang logarithm ay nasa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa karaniwan mga numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito:

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log5 16 log2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay eksaktong exponent. Kunin natin ang mga indicator: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ngayon, i-flip natin ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa permutation ng mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay naisip ang mga logarithms.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon tanggalin na natin decimal logarithm, paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng paglutas ay kinakailangan na kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay ang halaga lamang ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Ito ay tinatawag na ganito:

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang bilang b ay itinaas sa isang antas na ang bilang b sa antas na ito ay nagbibigay ng bilang a? Tama: ito ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang "nakabitin" dito.

Tulad ng mga bagong base conversion formula, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang log25 64 = log5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at ang argumento ng logarithm. Dahil sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha natin ang:

Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Examination 🙂

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na mahirap tawagan ang mga katangian - sa halip, ito ay mga kahihinatnan mula sa kahulugan ng logarithm. Ang mga ito ay patuloy na matatagpuan sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa mga "advanced" na mga mag-aaral.

logaa = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a mula sa base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
ang log 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay isa - ang logarithm sero! Dahil ang a0 = 1 ay direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito at lutasin ang mga problema.

Tingnan din:

Ang logarithm ng numero b hanggang sa base a ay tumutukoy sa expression. Upang kalkulahin ang logarithm ay nangangahulugan ng paghahanap ng gayong kapangyarihan x () kung saan totoo ang pagkakapantay-pantay

Mga pangunahing katangian ng logarithm

Ang mga katangian sa itaas ay kailangang malaman, dahil, sa kanilang batayan, halos lahat ng mga problema at mga halimbawa ay nalutas batay sa logarithms. Ang natitirang mga kakaibang katangian ay maaaring makuha sa pamamagitan ng matematikal na pagmamanipula gamit ang mga formula na ito

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kapag kinakalkula ang mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng logarithms (3.4) ay madalas na nakatagpo. Ang natitira ay medyo kumplikado, ngunit sa isang bilang ng mga gawain sila ay kailangang-kailangan para sa pagpapasimple ng mga kumplikadong expression at pagkalkula ng kanilang mga halaga.

Mga karaniwang kaso ng logarithms

Ang ilan sa mga karaniwang logarithms ay ang mga kung saan ang base ay kahit sampu, exponential o deuce.
Ang batayang sampung logarithm ay karaniwang tinatawag na batayang sampung logarithm at ito ay simpleng tinutukoy na lg(x).

Makikita sa tala na ang mga pangunahing kaalaman ay hindi nakasulat sa talaan. Halimbawa

Ang natural na logarithm ay ang logarithm na ang batayan ay ang exponent (tinutukoy na ln(x)).

Ang exponent ay 2.718281828…. Upang matandaan ang exponent, maaari mong pag-aralan ang panuntunan: ang exponent ay 2.7 at dalawang beses sa taon ng kapanganakan ni Leo Tolstoy. Ang pag-alam sa panuntunang ito, malalaman mo ang eksaktong halaga ng exponent at ang petsa ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

At isa pang mahalagang base two logarithm ay

Ang derivative ng logarithm ng function ay katumbas ng isang hinati ng variable

Ang integral o antiderivative logarithm ay tinutukoy ng dependence

Ang materyal sa itaas ay sapat para sa iyo upang malutas ang isang malawak na klase ng mga problema na may kaugnayan sa logarithms at logarithms. Para sa kapakanan ng pag-unawa sa materyal, magbibigay lamang ako ng ilang karaniwang mga halimbawa mula sa kurikulum ng paaralan at mga unibersidad.

Mga halimbawa para sa logarithms

Kunin ang logarithm ng mga expression

Halimbawa 1
ngunit). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Sa pamamagitan ng mga katangian 3,5 kinakalkula namin

2.
Sa pamamagitan ng pagkakaiba ng ari-arian ng logarithms, mayroon tayo

3.
Gamit ang mga katangian 3.5 nakita namin

4. saan .

Ang isang tila kumplikadong expression gamit ang isang serye ng mga panuntunan ay pinasimple sa form

Paghahanap ng mga Halaga ng Logarithm

Halimbawa 2 Hanapin ang x kung

Solusyon. Para sa pagkalkula, inilalapat namin ang mga katangian 5 at 13 hanggang sa huling termino

Palitan sa talaan at magluksa

Dahil ang mga base ay pantay, tinutumbasan namin ang mga expression

Logarithms. Unang antas.

Hayaang ibigay ang halaga ng logarithms

Kalkulahin ang log(x) kung

Solusyon: Kunin ang logarithm ng variable upang isulat ang logarithm sa pamamagitan ng kabuuan ng mga termino

Ito ay simula pa lamang ng pagkilala sa mga logarithms at sa kanilang mga katangian. Magsanay ng mga kalkulasyon, pagyamanin ang iyong mga praktikal na kasanayan - malapit mo nang kailanganin ang nakuhang kaalaman upang malutas ang mga logarithmic equation. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation, palalawakin namin ang iyong kaalaman para sa isa pa mahalagang paksa- mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ...

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang mga logarithm, tulad ng anumang numero, ay maaaring idagdag, ibawas at i-convert sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: logax at logay. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Ang mga formula na ito ay makakatulong sa pagkalkula ng logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log6 4 + log6 9.

Dahil ang mga base ng logarithms ay pareho, ginagamit namin ang sum formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log2 48 − log2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log3 135 − log3 5.

Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Tulad ng nakikita mo, ang mga orihinal na expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi isinasaalang-alang nang hiwalay. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, medyo normal na mga numero ang lumabas. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang kontrol - mga katulad na expression sa lahat ng kabigatan (minsan - na halos walang pagbabago) ay inaalok sa pagsusulit.

Pag-alis ng exponent mula sa logarithm

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung may degree sa base o argumento ng logarithm? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Madaling makita na ang huling panuntunan ay sumusunod sa kanilang unang dalawa. Ngunit ito ay mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ito ay makabuluhang bawasan ang halaga ng mga kalkulasyon.

Paano malutas ang mga logarithms

Ito ang madalas na kinakailangan.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log7 496.

Tanggalin natin ang antas sa argumento ayon sa unang formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang denominator ay isang logarithm na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 24; 49 = 72. Mayroon kaming:

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali, nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap nila ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga degree at kinuha ang mga tagapagpahiwatig - nakakuha sila ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ay dumating upang iligtas. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung ilalagay natin ang c = x, makakakuha tayo ng:

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito:

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log5 16 log2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay eksaktong exponent. Kunin natin ang mga indicator: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ngayon, i-flip natin ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa permutation ng mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay naisip ang mga logarithms.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng paglutas ay kinakailangan na kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay ang halaga lamang ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Ito ay tinatawag na ganito:

Tulad ng mga bagong base conversion formula, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Examination 🙂

Logarithmic unit at logarithmic zero

logaa = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a mula sa base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
ang log 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay isa, ang logarithm ay zero! Dahil ang a0 = 1 ay direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito at lutasin ang mga problema.