Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation. Logarithmic equation: mga pangunahing formula at pamamaraan

Algebra Baitang 11

Paksa: "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation"

Layunin ng Aralin:

pang-edukasyon: pagbuo ng kaalaman tungkol sa iba't ibang paraan paglutas ng mga logarithmic equation, ang kakayahang ilapat ang mga ito sa bawat isa tiyak na sitwasyon at pumili ng anumang paraan upang malutas;

pagbuo: pag-unlad ng mga kasanayan sa pagmamasid, paghahambing, paggamit ng kaalaman sa isang bagong sitwasyon, tukuyin ang mga pattern, pangkalahatan; pagbuo ng mga kasanayan ng mutual control at self-control;

pang-edukasyon: edukasyon ng isang responsableng saloobin sa gawaing pang-edukasyon, maingat na pang-unawa sa materyal sa aralin, katumpakan ng pag-iingat ng rekord.

Uri ng aralin : isang aral ng pamilyar sa bagong materyal.

"Ang pag-imbento ng logarithms, sa pamamagitan ng pagpapaikli ng gawain ng astronomer, ay nagpahaba ng kanyang buhay."
French mathematician at astronomer na si P.S. Laplace

Sa panahon ng mga klase

I. Pagtatakda ng layunin ng aralin

Ang pinag-aralan na kahulugan ng logarithm, ang mga katangian ng logarithm at ang logarithmic function ay magbibigay-daan sa amin upang malutas ang mga logarithmic equation. Lahat ng logarithmic equation, gaano man sila kakomplikado, ay nireresolba gamit ang parehong mga algorithm. Isasaalang-alang natin ang mga algorithm na ito ngayon sa aralin. May kakaunti sa kanila. Kung master mo ang mga ito, ang anumang equation na may logarithms ay magiging magagawa para sa bawat isa sa iyo.

Isulat sa iyong kuwaderno ang paksa ng aralin: "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation." Inaanyayahan ko ang lahat sa pakikipagtulungan.

II. Pag-update ng pangunahing kaalaman

Maghanda tayo sa pag-aaral ng paksa ng aralin. Malutas mo ang bawat gawain at isulat ang sagot, hindi mo maaaring isulat ang kondisyon. Magtrabaho nang magkapares.

1) Para sa anong mga halaga ng x ang kahulugan ng function:

a)

b)

sa)

e)

(Ang mga sagot ay sinusuri para sa bawat slide at ang mga error ay inaayos)

2) Nagtutugma ba ang mga function graph?

a) y = x at

b)at

3) Isulat muli ang mga pagkakapantay-pantay bilang mga pagkakapantay-pantay ng logarithmic:

4) Isulat ang mga numero bilang logarithms na may base 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Kalkulahin :

6) Subukang ibalik o kumpletuhin ang mga nawawalang elemento sa mga pagkakapantay-pantay na ito.

III. Panimula sa bagong materyal

Ang pahayag ay ipinapakita sa screen:

"Ang equation ay ang gintong susi na nagbubukas ng lahat ng mathematical sesame."
Modernong Polish na matematiko na si S. Koval

Subukang bumalangkas ng kahulugan ng isang logarithmic equation. (Isang equation na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng sign ng logarithm ).

Isipin moang pinakasimpleng logarithmic equation: log a x = b (kung saan ang a>0, a ≠ 1). Dahil ang logarithmic function ay tumataas (o bumababa) sa hanay ng mga positibong numero at kumukuha ng lahat ng tunay na halaga, ito ay sumusunod mula sa root theorem na para sa anumang b, ang equation na ito ay mayroon, at higit pa rito, isang solusyon lamang, at isang positibo.

Tandaan ang kahulugan ng logarithm. (Ang logarithm ng numerong x sa base a ay ang exponent kung saan dapat itaas ang base a upang makuha ang numerong x ). Kaagad itong sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm naa sa ay isang solusyon.

Isulat ang pamagat:Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation

1. Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm .

Ito ay kung paano ang pinakasimpleng mga equation ng form.

Isipin moNo. 514(a ): Lutasin ang equation

Paano mo imungkahi na lutasin ito? (Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm )

Solusyon . , Kaya 2x - 4 = 4; x = 4.

Sagot: 4.

Sa gawaing ito, 2x - 4 > 0, dahil> 0, kaya walang mga extraneous na ugat ang maaaring lumitaw, athindi kailangan ang pagpapatunay . Ang kundisyong 2x - 4 > 0 sa gawaing ito ay hindi kailangang isulat.

2. Potentiation (transisyon mula sa logarithm ng ibinigay na expression sa expression na ito mismo).

Isipin moNo. 519(g): log 5 ( x 2 +8)- log 5 ( x+1)=3 log 5 2

Anong tampok ang napansin mo?(Ang mga base ay pareho at ang logarithms ng dalawang expression ay pantay) . Ano ang maaaring gawin?(potentiate).

Sa kasong ito, dapat itong isaalang-alang na ang anumang solusyon ay nakapaloob sa lahat ng x kung saan ang mga expression ng logarithm ay positibo.

Solusyon: ODZ:

X 2 +8>0 dagdag na hindi pagkakapantay-pantay

log 5 ( x 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( x+1)

log 5 ( x 2 +8)= log 5 (8 x+8)

Potentiate ang orihinal na equation

x 2 +8= 8 x+8

makuha namin ang equationx 2 +8= 8 x+8

lutasin natin ito:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Sagot: 0; walo

Sa pangkalahatanpaglipat sa isang katumbas na sistema :

Ang equation

(Ang sistema ay naglalaman ng isang kalabisan na kondisyon - ang isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring balewalain).

Tanong sa klase : Alin sa tatlong solusyong ito ang pinakanagustuhan mo? (Pagtalakay sa mga pamamaraan).

May karapatan kang magpasya sa anumang paraan.

3. Pagpapakilala ng bagong variable .

Isipin moNo. 520(g) . .

Ano ang napansin mo? (ito quadratic equation nauugnay sa log3x) Mga suhestyon mo? (Ipakilala ang bagong variable)

Solusyon . ODZ: x > 0.

Hayaan, pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo:. Discriminant D > 0. Roots by Vieta's theorem:.

Bumalik sa kapalit:o.

Ang paglutas ng pinakasimpleng logarithmic equation, nakukuha natin:

; .

Sagot : 27;

4. Logarithm ng magkabilang panig ng equation.

Lutasin ang equation:.

Solusyon : ODZ: x>0, kinukuha namin ang logarithm ng magkabilang panig ng equation sa base 10:

. Ilapat ang pag-aari ng logarithm ng degree:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Hayaan ang lgx = y, pagkatapos (y + 3)y = 4

, (D > 0) ang mga ugat ayon sa Vieta theorem: y1 = -4 at y2 = 1.

Bumalik tayo sa kapalit, makukuha natin: lgx = -4,; logx = 1,. . Ito ay ang mga sumusunod: kung isa sa mga function y = f(x) tumataas at ang iba pa y = g(x) bumababa sa pagitan ng X, pagkatapos ay ang equation f(x)=g(x) ay may hindi hihigit sa isang ugat sa pagitan ng X .

Kung may ugat, maaari itong hulaan. .

Sagot : 2

« Tamang gamit maaaring matutunan ang mga pamamaraan
sa pamamagitan lamang ng paglalapat ng mga ito sa iba't ibang halimbawa.
Danish na mananalaysay ng matematika na si G. G. Zeiten

ako v. Takdang aralin

P. 39 isaalang-alang ang halimbawa 3, lutasin ang No. 514 (b), No. 529 (b), No. 520 (b), No. 523 (b)

V. Pagbubuod ng aralin

Anong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation ang isinaalang-alang natin sa aralin?

Sa susunod na mga aralin, titingnan natin ang mas kumplikadong mga equation. Upang malutas ang mga ito, ang mga pinag-aralan na pamamaraan ay kapaki-pakinabang.

Ipinapakita ang huling slide:

“Ano ang higit sa anumang bagay sa mundo?
Space.
Ano ang pinakamatalino?
Oras.
Ano ang pinaka kasiya-siya?
Makamit mo ang gusto mo."
Thales

Gusto kong makamit ng lahat ang gusto nila. Salamat sa iyong kooperasyon at pag-unawa.

Mga huling video mula sa mahabang serye mga aralin tungkol sa paglutas ng mga logarithmic equation. Sa oras na ito, pangunahing gagana tayo sa logarithm ODZ - ito ay dahil sa hindi tamang accounting (o kahit na hindi papansin) ng domain ng kahulugan na ang karamihan sa mga error ay nangyayari kapag nilulutas ang mga naturang problema.

Sa maikling video na tutorial na ito, susuriin namin ang aplikasyon ng mga pormula ng pagdaragdag at pagbabawas para sa mga logarithms, gayundin ang pakikitungo sa mga fractional rational equation, kung saan maraming mga mag-aaral ang nagkakaroon din ng mga problema.

Ano ang tatalakayin? Ang pangunahing formula na nais kong harapin ay ganito ang hitsura:

log a (f g ) = log a f + log a g

Ito ang karaniwang paglipat mula sa produkto patungo sa kabuuan ng logarithms at vice versa. Malamang na alam mo ang formula na ito mula pa sa simula ng pag-aaral ng logarithms. Gayunpaman, mayroong isang sagabal dito.

Hangga't ang mga variable a , f at g ay ordinaryong numero, walang problema. Mahusay na gumagana ang formula na ito.

Gayunpaman, sa sandaling lumitaw ang mga function sa halip na f at g, ang problema ng pagpapalawak o pagpapaliit ng domain ng kahulugan ay lumitaw, depende sa kung aling paraan upang mag-convert. Hukom para sa iyong sarili: sa logarithm na nakasulat sa kaliwa, ang domain ng kahulugan ay ang mga sumusunod:

fg > 0

Ngunit sa kabuuan na nakasulat sa kanan, ang domain ng kahulugan ay medyo iba na:

f > 0

g > 0

Ang hanay ng mga kinakailangan na ito ay mas mahigpit kaysa sa orihinal. Sa unang kaso, masisiyahan tayo sa opsyong f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 ay isinasagawa).

Kaya, kapag dumadaan mula sa kaliwang konstruksiyon patungo sa kanan, ang domain ng kahulugan ay nagiging mas makitid. Kung sa una ay mayroon kaming isang kabuuan, at muling isinulat namin ito bilang isang produkto, kung gayon ang domain ng kahulugan ay pinalawak.

Sa madaling salita, sa unang kaso, maaari tayong mawalan ng ugat, at sa pangalawa, makakakuha tayo ng mga dagdag. Dapat itong isaalang-alang kapag nilulutas ang mga totoong logarithmic equation.

Kaya ang unang gawain ay:

Sa kaliwa ay makikita natin ang kabuuan ng logarithms sa parehong base. Samakatuwid, ang mga logarithms na ito ay maaaring idagdag:

Tulad ng nakikita mo, sa kanan ay pinalitan namin ang zero ng formula:

a = log b b a

Ayusin natin ang ating equation nang kaunti pa:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Sa harap natin ay ang canonical form ng logarithmic equation, maaari nating i-cross out ang log sign at ipantay ang mga argumento:

(x − 5) 2 = 1

|x−5| = 1

Bigyang-pansin: saan nagmula ang modyul? Ipaalala ko sa iyo na ang ugat ng eksaktong parisukat ay eksaktong katumbas ng modulus:

Pagkatapos ay malulutas namin ang klasikal na equation sa modulus:

|f| = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒ x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Narito ang dalawang kandidato para sa sagot. Mga solusyon ba ang mga ito sa orihinal na logarithmic equation? Hindi pwede!

Wala tayong karapatang iwanan ang lahat ng ganoon na lang at isulat ang sagot. Tingnan ang hakbang kung saan pinapalitan natin ang kabuuan ng mga logarithm ng isang logarithm ng produkto ng mga argumento. Ang problema ay na sa orihinal na mga expression mayroon kaming mga function. Samakatuwid, dapat itong kinakailangan:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Noong binago namin ang produkto, nakakuha ng eksaktong parisukat, nagbago ang mga kinakailangan:

(x − 5) 2 > 0

Kailan matutugunan ang pangangailangang ito? Oo, halos palagi! Maliban sa kaso kapag x − 5 = 0. Ibig sabihin, ang hindi pagkakapantay-pantay ay mababawasan sa isang punctured point:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Tulad ng makikita mo, nagkaroon ng pagpapalawak ng domain ng kahulugan, na pinag-usapan natin sa simula ng aralin. Samakatuwid, ang mga karagdagang ugat ay maaari ding lumitaw.

Paano maiwasan ang paglitaw ng mga karagdagang ugat na ito? Ito ay napaka-simple: tinitingnan namin ang aming nakuha na mga ugat at inihambing ang mga ito sa domain ng orihinal na equation. Magbilang tayo:

x (x − 5) > 0

Kami ay malulutas gamit ang paraan ng agwat:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Minarkahan namin ang mga natanggap na numero sa isang tuwid na linya. Lahat ng puntos ay nabutas dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Kumuha kami ng anumang numerong higit sa 5 at pinapalitan ang:

Interesado kami sa mga pagitan (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Kung markahan natin ang ating mga ugat sa segment, makikita natin na ang x = 4 ay hindi angkop sa atin, dahil ang ugat na ito ay nasa labas ng domain ng orihinal na logarithmic equation.

Bumalik kami sa populasyon, i-cross out ang root x \u003d 4 at isulat ang sagot: x \u003d 6. Ito ang huling sagot sa orihinal na logarithmic equation. Lahat, ang gawain ay nalutas.

Dumaan kami sa pangalawang logarithmic equation:

Solusyonan natin ito. Tandaan na ang unang termino ay isang fraction, at ang pangalawa ay ang parehong fraction, ngunit baligtad. Huwag ma-intimidate sa lgx expression - simple lang decimal logarithm, pwede tayong magsulat:

lgx = log 10 x

Dahil mayroon kaming dalawang inverted fraction, iminumungkahi kong magpakilala ng bagong variable:

Samakatuwid, ang aming equation ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Tulad ng nakikita mo, ang numerator ng fraction ay isang eksaktong parisukat. Ang isang fraction ay zero kapag ang numerator nito sero, at ang denominator ay iba sa zero:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Malutas namin ang unang equation:

t − 1 = 0;

t = 1.

Ang halagang ito ay nakakatugon sa pangalawang kinakailangan. Samakatuwid, maaari itong mapagtatalunan na ganap na nating nalutas ang ating equation, ngunit may kinalaman lamang sa variable t . Ngayon tandaan natin kung ano ang t:

Nakuha namin ang ratio:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx − lgx = −1

logx = −1

Dinadala namin ang equation na ito sa kanonikal na anyo:

lgx = lg 10 −1

x = 10 −1 = 0.1

Bilang resulta, nakuha namin ang tanging ugat, na, sa teorya, ay ang solusyon sa orihinal na equation. Gayunpaman, gawin pa rin natin itong ligtas at isulat ang domain ng orihinal na equation:

Samakatuwid, natutugunan ng aming ugat ang lahat ng mga kinakailangan. Nakahanap kami ng solusyon sa orihinal na logarithmic equation. Sagot: x = 0.1. Nalutas ang problema.

Mayroon lamang isang mahalagang punto sa aralin ngayon: kapag ginagamit ang pormula para sa paglipat mula sa produkto patungo sa kabuuan at kabaligtaran, siguraduhing tandaan na ang domain ng kahulugan ay maaaring paliitin o palawakin depende sa kung aling direksyon ginawa ang paglipat.

Paano maunawaan kung ano ang nangyayari: pag-urong o pagpapalawak? Napakasimple. Kung mas maaga ang mga pag-andar ay magkasama, at ngayon sila ay naging hiwalay, kung gayon ang saklaw ng kahulugan ay makitid (dahil mayroong higit pang mga kinakailangan). Kung sa una ang mga pag-andar ay hiwalay, at ngayon sila ay magkasama, kung gayon ang domain ng kahulugan ay pinalawak (mas kaunting mga kinakailangan ang ipinapataw sa produkto kaysa sa mga indibidwal na kadahilanan).

Sa pagtingin sa pangungusap na ito, nais kong tandaan na ang pangalawang logarithmic equation ay hindi nangangailangan ng mga pagbabagong ito, ibig sabihin, hindi namin idinagdag o i-multiply ang mga argumento kahit saan. Gayunpaman, dito nais kong iguhit ang iyong pansin sa isa pang kahanga-hangang trick na nagbibigay-daan sa iyo upang makabuluhang pasimplehin ang solusyon. Ito ay tungkol sa pagbabago ng isang variable.

Gayunpaman, tandaan na walang pagpapalit ang hindi magpapalaya sa atin mula sa saklaw. Kaya naman pagkatapos na matagpuan ang lahat ng mga ugat, hindi kami masyadong tamad at bumalik sa orihinal na equation upang mahanap ang ODZ nito.

Kadalasan kapag binabago ang isang variable, ang isang nakakainis na pagkakamali ay nangyayari kapag nakita ng mga mag-aaral ang halaga ng t at iniisip na ang solusyon ay tapos na. Hindi pwede!

Kapag nahanap mo na ang halaga ng t , kailangan mong bumalik sa orihinal na equation at tingnan kung ano ang eksaktong tinukoy namin ng liham na ito. Bilang resulta, kailangan nating lutasin ang isa pang equation, na, gayunpaman, ay magiging mas simple kaysa sa orihinal.

Ito ang tiyak na punto ng pagpapakilala ng isang bagong variable. Hinati namin ang orihinal na equation sa dalawang intermediate, bawat isa ay mas madaling malutas.

Paano lutasin ang "nested" logarithmic equation

Ngayon ay patuloy nating pinag-aaralan ang mga logarithmic equation at pinag-aaralan ang mga constructions kapag ang isang logarithm ay nasa ilalim ng sign ng isa pang logarithm. Lutasin natin ang parehong mga equation gamit ang canonical form.

Ngayon ay patuloy nating pinag-aaralan ang mga logarithmic equation at sinusuri ang mga constructions kapag ang isang logarithm ay nasa ilalim ng tanda ng isa pa. Lutasin natin ang parehong mga equation gamit ang canonical form. Ipaalala ko sa iyo na kung mayroon kaming pinakasimpleng logarithmic equation ng form log a f (x) \u003d b, pagkatapos ay gagawin namin ang mga sumusunod na hakbang upang malutas ang naturang equation. Una sa lahat, kailangan nating palitan ang numero b :

b = log a a b

Tandaan na ang a b ay isang argumento. Katulad nito, sa orihinal na equation, ang argumento ay ang function na f(x). Pagkatapos ay muling isulat namin ang equation at makuha ang konstruksiyon na ito:

log a f(x) = log a a b

Pagkatapos nito, maaari nating gawin ang ikatlong hakbang - alisin ang tanda ng logarithm at isulat lamang:

f(x) = a b

Bilang resulta, nakakakuha tayo ng bagong equation. Sa kasong ito, walang mga paghihigpit na ipinapataw sa function na f(x). Halimbawa, sa lugar nito ay maaari ding maging isang logarithmic function. At pagkatapos ay makakakuha tayo muli ng isang logarithmic equation, na muli nating binabawasan sa pinakasimpleng at lutasin sa pamamagitan ng canonical form.

Pero sapat na ang lyrics. Solusyonan natin ang totoong problema. Kaya ang gawain bilang 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Tulad ng nakikita mo, mayroon kaming isang simpleng logarithmic equation. Ang papel ng f (x) ay ang pagbuo ng 1 + 3 log 2 x, at ang bilang b ay ang bilang 2 (ang papel ng a ay dalawa rin). Muli nating isulat ang dalawang ito tulad ng sumusunod:

Mahalagang maunawaan na ang unang dalawang deuces ay dumating sa amin mula sa base ng logarithm, iyon ay, kung mayroong 5 sa orihinal na equation, kung gayon ay makukuha natin na 2 = log 5 5 2. Sa pangkalahatan, ang base ay nakasalalay lamang sa logarithm, na sa una ay ibinigay sa problema. At sa aming kaso ang numerong ito ay 2.

Kaya, muling isinulat namin ang aming logarithmic equation, na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang dalawa, na nasa kanan, ay talagang isang logarithm din. Nakukuha namin:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Dumaan kami sa huling hakbang ng aming scheme - inaalis namin ang canonical form. Masasabi natin, i-cross out lang ang signs of log. Gayunpaman, mula sa punto ng view ng matematika, imposibleng "strike out log" - mas tama na sabihin na itumbas lang natin ang mga argumento:

1 + 3 log 2 x = 4

Mula dito madaling mahanap ang 3 log 2 x :

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Muli nating nakuha ang pinakasimpleng logarithmic equation, ibalik natin ito sa canonical form. Upang gawin ito, kailangan nating gawin ang mga sumusunod na pagbabago:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Bakit may deuce sa base? Dahil sa ating canonical equation sa kaliwa ay ang logarithm nang eksakto sa base 2. Muli naming isinusulat ang problema na isinasaalang-alang ang katotohanang ito:

log 2 x = log 2 2

Muli, inaalis natin ang tanda ng logarithm, ibig sabihin, tinutumbasan lang natin ang mga argumento. May karapatan kaming gawin ito, dahil pareho ang mga base, at wala nang karagdagang mga aksyon ang ginawa sa kanan o kaliwa:

Iyon lang! Nalutas ang problema. Nakahanap kami ng solusyon sa logarithmic equation.

Tandaan! Bagama't ang variable na x ay nasa argumento (iyon ay, may mga kinakailangan para sa domain ng kahulugan), hindi kami gagawa ng anumang karagdagang mga kinakailangan.

Gaya ng sinabi ko sa itaas, ang tseke na ito ay kalabisan kung ang variable ay nangyayari sa isang argumento lamang ng isang logarithm. Sa aming kaso, ang x ay talagang nasa argumento lamang at sa ilalim lamang ng isang log sign. Samakatuwid, walang karagdagang pagsusuri ang kinakailangan.

Gayunpaman, kung hindi ka nagtitiwala ang pamamaraang ito, pagkatapos ay madali mong ma-verify na ang x = 2 ay talagang isang ugat. Ito ay sapat na upang palitan ang numerong ito sa orihinal na equation.

Lumipat tayo sa pangalawang equation, medyo mas kawili-wili:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Kung tinutukoy natin ang expression sa loob ng malaking logarithm sa pamamagitan ng function na f (x), makukuha natin ang pinakasimpleng logarithmic equation kung saan sinimulan natin ang video lesson ngayon. Samakatuwid, posibleng ilapat ang canonical form, kung saan kinakailangan na katawanin ang unit sa form log 2 2 1 = log 2 2.

Muling pagsusulat ng aming malaking equation:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Tinatanggal namin ang tanda ng logarithm, na tinutumbasan ang mga argumento. Kami ay may karapatan na gawin ito, dahil ang mga base ay pareho sa kaliwa at sa kanan. Gayundin, tandaan na ang log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Bago sa amin muli ang pinakasimpleng logarithmic equation ng form log a f (x) \u003d b. Dumaan kami sa canonical form, ibig sabihin, kinakatawan namin ang zero sa form na log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Isinulat namin muli ang aming equation at alisin ang log sign sa pamamagitan ng pagpareho sa mga argumento:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Muli, nakatanggap kami ng agarang tugon. Walang kinakailangang karagdagang pagsusuri, dahil sa orihinal na equation, isang logarithm lang ang naglalaman ng function sa argument.

Samakatuwid, walang karagdagang pagsusuri ang kinakailangan. Masasabi nating ligtas na ang x = 1 ang tanging ugat ng equation na ito.

Ngunit kung sa pangalawang logarithm sa halip na apat ay magkakaroon ng ilang function ng x (o 2x ay hindi magiging sa argumento, ngunit sa base) - kung gayon ito ay kinakailangan upang suriin ang domain ng kahulugan. Kung hindi, mayroong isang malaking pagkakataon na tumakbo sa mga karagdagang ugat.

Saan nagmula ang mga sobrang ugat na ito? Ang puntong ito ay kailangang maunawaan nang napakalinaw. Tingnan ang mga orihinal na equation: kahit saan ang function na x ay nasa ilalim ng sign ng logarithm. Samakatuwid, dahil naisulat namin ang log 2 x , awtomatiko naming itinatakda ang kinakailangan x > 0. Kung hindi, ang tala na ito ay walang kabuluhan.

Gayunpaman, habang nilulutas namin ang logarithmic equation, inaalis namin ang lahat ng mga palatandaan ng log at nakakakuha kami ng mga simpleng constructions. Dito, walang mga paghihigpit na nakatakda, dahil ang linear function ay tinukoy para sa anumang halaga ng x.

Ang problemang ito, kapag ang pangwakas na pag-andar ay tinukoy sa lahat ng dako at palagi, at ang paunang isa ay hindi sa lahat ng dako at hindi palaging, iyon ang dahilan kung bakit ang mga sobrang ugat ay madalas na lumilitaw sa solusyon ng mga logarithmic equation.

Ngunit inuulit ko muli: ito ay nangyayari lamang sa isang sitwasyon kung saan ang function ay alinman sa ilang logarithms, o sa base ng isa sa mga ito. Sa mga problemang isinasaalang-alang natin ngayon, sa prinsipyo ay walang mga problema sa pagpapalawak ng domain ng kahulugan.

Mga kaso ng iba't ibang batayan

Ang araling ito ay nakatuon sa mas kumplikadong mga istruktura. Ang logarithms sa mga equation ngayon ay hindi na malulutas ng "blangko" - kailangan mo munang magsagawa ng ilang pagbabago.

Nagsisimula kami sa paglutas ng mga logarithmic equation na may ganap na magkakaibang mga base, na hindi eksaktong kapangyarihan ng bawat isa. Huwag matakot sa mga naturang gawain - malulutas ang mga ito nang hindi mas mahirap kaysa sa pinakasimpleng mga disenyo na nasuri namin sa itaas.

Ngunit bago magpatuloy nang direkta sa mga problema, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang formula para sa paglutas ng pinakasimpleng logarithmic equation gamit ang canonical form. Isaalang-alang ang isang problema tulad nito:

mag-log a f(x) = b

Mahalaga na ang function na f (x) ay isang function lamang, at ang mga numerong a at b ay dapat na eksaktong mga numero (nang walang anumang mga variable x). Siyempre, literal sa isang minuto ay isasaalang-alang din natin ang mga ganitong kaso kapag sa halip na mga variable a at b ay may mga function, ngunit hindi ito tungkol doon ngayon.

Tulad ng naaalala natin, ang numero b ay dapat mapalitan ng isang logarithm sa parehong base a, na nasa kaliwa. Ginagawa ito nang napakasimple:

b = log a a b

Siyempre, ang mga salitang "anumang numero b" at "anumang numero a" ay nangangahulugang tulad ng mga halaga na nakakatugon sa domain ng kahulugan. Sa partikular, sa equation na ito nag-uusap kami tanging ang base a > 0 at a ≠ 1.

Gayunpaman, awtomatikong natutugunan ang pangangailangang ito, dahil ang orihinal na problema ay naglalaman na ng logarithm sa base a - tiyak na mas malaki ito sa 0 at hindi katumbas ng 1. Samakatuwid, ipagpatuloy namin ang solusyon ng logarithmic equation:

log a f(x) = log a a b

Ang nasabing notasyon ay tinatawag na canonical form. Ang kaginhawahan nito ay maaari nating maalis agad ang log sign sa pamamagitan ng pagpareho sa mga argumento:

f(x) = a b

Ito ang pamamaraan na gagamitin natin ngayon upang malutas ang mga logarithmic equation na may variable na base. Kaya tara na!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0.5 0.125

Anong susunod? May magsasabi na ngayon na kailangan mong kalkulahin ang tamang logarithm, o bawasan ang mga ito sa isang base, o iba pa. At sa katunayan, ngayon kailangan mong dalhin ang parehong mga base sa parehong anyo - alinman sa 2 o 0.5. Ngunit alamin natin ang sumusunod na panuntunan minsan at para sa lahat:

Kung ang logarithmic equation ay naglalaman ng mga decimal, siguraduhing i-convert ang mga fraction na ito mula sa decimal patungo sa ordinaryo. Ang ganitong pagbabago ay maaaring makabuluhang gawing simple ang solusyon.

Ang ganitong paglipat ay dapat na maisagawa kaagad, kahit na bago ang anumang mga aksyon at pagbabago ay maisagawa. Tingnan natin:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

Ano ang ibinibigay sa atin ng gayong rekord? Maaari naming katawanin ang 1/2 at 1/8 bilang isang negatibong exponent:

Mayroon kaming canonical form. Equate ang mga argumento at makuha ang classical quadratic equation:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Nasa harap natin ang ibinigay na quadratic equation, na madaling malutas gamit ang mga formula ng Vieta. Dapat mong makita ang mga katulad na kalkulasyon sa mataas na paaralan na literal na pasalita:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Iyon lang! Ang orihinal na logarithmic equation ay nalutas. Mayroon kaming dalawang ugat.

Ipaalala ko sa iyo na sa kasong ito ay hindi kinakailangan na tukuyin ang saklaw, dahil ang function na may variable na x ay naroroon sa isang argumento lamang. Samakatuwid, awtomatikong ginagawa ang saklaw.

Kaya't ang unang equation ay nalutas. Lumipat tayo sa pangalawa:

log 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

At ngayon tandaan na ang argumento ng unang logarithm ay maaari ding isulat bilang isang kapangyarihan na may negatibong exponent: 1/2 = 2 −1. Pagkatapos ay maaari mong alisin ang mga kapangyarihan sa magkabilang panig ng equation at hatiin ang lahat sa pamamagitan ng −1:

At ngayon nakumpleto na namin ang isang napakahalagang hakbang sa paglutas ng logarithmic equation. Marahil ay may hindi nakapansin, kaya hayaan mo akong magpaliwanag.

Tingnan ang aming equation: ang log ay nasa kaliwa at kanan, ngunit ang base 2 logarithm ay nasa kaliwa, at ang base 3 logarithm ay nasa kanan. buong degree dalawa at kabaligtaran: imposibleng isulat na ang 2 ay 3 sa integer na kapangyarihan.

Samakatuwid, ang mga ito ay logarithms na may iba't ibang mga base, na hindi nababawasan sa bawat isa sa pamamagitan ng simpleng exponentiation. Ang tanging paraan upang malutas ang mga naturang problema ay ang alisin ang isa sa mga logarithms na ito. Sa kasong ito, dahil isinasaalang-alang pa rin namin mga simpleng gawain, ang logarithm sa kanan ay kinakalkula lamang, at nakuha namin ang pinakasimpleng equation - eksakto ang napag-usapan namin sa pinakadulo simula ng aralin ngayon.

Katawanin natin ang numero 2, na nasa kanan, bilang log 2 2 2 = log 2 4. At pagkatapos ay tanggalin ang tanda ng logarithm, pagkatapos nito ay natitira lamang sa isang quadratic equation:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x − 2 = 0

Bago sa amin ay ang karaniwang quadratic equation, ngunit hindi ito nabawasan, dahil ang koepisyent sa x 2 ay iba sa pagkakaisa. Samakatuwid, malulutas namin ito gamit ang discriminant:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 \u003d (−9 - 11) / 10 \u003d -2

Iyon lang! Natagpuan namin ang parehong mga ugat, na nangangahulugang nakuha namin ang solusyon sa orihinal na logarithmic equation. Sa katunayan, sa orihinal na problema, ang function na may variable na x ay naroroon lamang sa isang argumento. Dahil dito, walang mga karagdagang pagsusuri sa domain ng kahulugan ang kinakailangan - ang parehong mga ugat na nakita namin ay tiyak na nakakatugon sa lahat ng posibleng mga paghihigpit.

Maaaring ito na ang katapusan ng video tutorial ngayon, ngunit sa konklusyon gusto kong sabihing muli: siguraduhing i-convert ang lahat ng mga decimal fraction sa mga ordinaryo kapag nilulutas ang mga logarithmic equation. Sa karamihan ng mga kaso, lubos nitong pinapasimple ang kanilang solusyon.

Bihirang, napakabihirang, may mga problema kung saan ang pag-alis ng mga decimal fraction ay nagpapalubha lamang sa mga kalkulasyon. Gayunpaman, sa mga naturang equation, bilang isang panuntunan, sa una ay malinaw na hindi kinakailangan na mapupuksa ang mga decimal fraction.

Sa karamihan ng iba pang mga kaso (lalo na kung nagsisimula ka pa lang magsanay sa paglutas ng mga logarithmic equation), huwag mag-atubiling tanggalin ang mga decimal fraction at isalin ang mga ito sa mga ordinaryo. Dahil ang pagsasanay ay nagpapakita na sa ganitong paraan ay lubos mong pasimplehin ang kasunod na solusyon at mga kalkulasyon.

Mga subtleties at trick ng solusyon

Ngayon kami ay lumipat sa mas kumplikadong mga problema at malulutas ang isang logarithmic equation, na hindi nakabatay sa isang numero, ngunit sa isang function.

At kahit na ang function na ito ay linear, ang mga maliliit na pagbabago ay kailangang gawin sa scheme ng solusyon, ang kahulugan nito ay bumababa sa mga karagdagang kinakailangan na ipinataw sa domain ng kahulugan ng logarithm.

Mga mahihirap na gawain

Ang araling ito ay magiging medyo mahaba. Sa loob nito, susuriin namin ang dalawang medyo seryosong logarithmic equation, sa solusyon kung saan maraming mga mag-aaral ang nagkakamali. Sa aking pagsasanay bilang isang tutor sa matematika, palagi akong nakatagpo ng dalawang uri ng mga pagkakamali:

1. Ang hitsura ng mga karagdagang ugat dahil sa pagpapalawak ng domain ng kahulugan ng logarithms. Upang maiwasan ang paggawa ng mga nakakasakit na pagkakamali, bantayan lamang ang bawat pagbabago;
2. Pagkawala ng mga ugat dahil sa ang katunayan na ang mag-aaral ay nakalimutan na isaalang-alang ang ilang mga "pino" na mga kaso - ito ay sa mga ganitong sitwasyon na ating tututukan ngayon.

ito huling aralin nakatuon sa logarithmic equation. Ito ay magiging mahaba, susuriin natin ang mga kumplikadong logarithmic equation. Gawing komportable ang iyong sarili, magtimpla ng tsaa, at magsisimula na tayo.

Ang unang equation ay mukhang medyo standard:

log x + 1 (x - 0.5) = log x - 0.5 (x + 1)

Kaagad, napapansin namin na ang parehong logarithms ay baligtad na mga kopya ng bawat isa. Tandaan natin ang napakagandang formula:

log a b = 1/log b a

Gayunpaman, ang formula na ito ay may ilang bilang ng mga limitasyon na lumitaw kung sa halip na ang mga numero a at b ay mayroong mga function ng variable na x:

b > 0

1 ≠ a > 0

Ang mga kinakailangang ito ay ipinapataw sa base ng logarithm. Sa kabilang banda, sa isang fraction, kailangan nating magkaroon ng 1 ≠ a > 0, dahil hindi lamang ang variable a ang nasa argumento ng logarithm (kaya, a > 0), ngunit ang logarithm mismo ay nasa denominator ng ang fraction. Ngunit ang log b 1 = 0, at ang denominator ay dapat na hindi zero, kaya isang ≠ 1.

Kaya, ang mga paghihigpit sa variable a ay napanatili. Ngunit ano ang mangyayari sa variable b ? Sa isang banda, ang b > 0 ay sumusunod mula sa base, sa kabilang banda, ang variable b ≠ 1, dahil ang base ng logarithm ay dapat na iba sa 1. Sa kabuuan, ito ay sumusunod mula sa kanang bahagi ng formula na 1 ≠ b > 0.

Ngunit narito ang problema: ang pangalawang kinakailangan (b ≠ 1) ay nawawala mula sa unang hindi pagkakapantay-pantay sa kaliwang logarithm. Sa madaling salita, kapag nagsasagawa ng pagbabagong ito, kailangan natin suriin nang hiwalay na ang argument b ay iba sa isa!

Narito, tingnan natin ito. Ilapat natin ang ating formula:

1 ≠ x - 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Kaya nakuha na natin iyon mula sa orihinal na logarithmic equation na sumusunod na ang parehong a at b ay dapat na mas malaki sa 0 at hindi katumbas ng 1. Kaya, madali nating i-flip ang logarithmic equation:

Iminumungkahi kong ipakilala ang isang bagong variable:

log x + 1 (x − 0.5) = t

Sa kasong ito, muling isusulat ang aming konstruksyon tulad ng sumusunod:

(t 2 − 1)/t = 0

Tandaan na sa numerator mayroon kaming pagkakaiba ng mga parisukat. Inihayag namin ang pagkakaiba ng mga parisukat gamit ang pinaikling formula ng multiplikasyon:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Ang isang fraction ay zero kapag ang numerator nito ay zero at ang denominator nito ay hindi zero. Ngunit ang numerator ay naglalaman ng produkto, kaya itinutumbas namin ang bawat kadahilanan sa zero:

t1 = 1;

t2 = −1;

t ≠ 0.

Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga halaga ng variable ay nababagay sa amin. Gayunpaman, ang solusyon ay hindi nagtatapos doon, dahil kailangan nating hanapin hindi t , ngunit ang halaga ng x . Bumalik kami sa logarithm at makuha ang:

log x + 1 (x − 0.5) = 1;

log x + 1 (x − 0.5) = −1.

Dalhin natin ang bawat isa sa mga equation na ito sa canonical form:

log x + 1 (x − 0.5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0.5) = log x + 1 (x + 1) −1

Tinatanggal namin ang tanda ng logarithm sa unang kaso at itinutumbas ang mga argumento:

x − 0.5 = x + 1;

x - x \u003d 1 + 0.5;

Ang nasabing equation ay walang mga ugat, samakatuwid, ang unang logarithmic equation ay wala ring mga ugat. Ngunit sa pangalawang equation, ang lahat ay mas kawili-wili:

(x − 0.5)/1 = 1/(x + 1)

Nalulutas namin ang proporsyon - nakukuha namin:

(x − 0.5)(x + 1) = 1

Ipinapaalala ko sa iyo na kapag nilulutas ang mga logarithmic equation, mas maginhawang ibigay ang lahat ng karaniwang decimal fraction, kaya't muli nating isulat ang ating equation tulad ng sumusunod:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

Sa harap natin ay ang ibinigay na quadratic equation, madali itong malutas gamit ang mga formula ng Vieta:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 \u003d -1.5;

x2 = 1.

Mayroon kaming dalawang ugat - sila ay mga kandidato para sa paglutas ng orihinal na logarithmic equation. Upang maunawaan kung ano talaga ang mga ugat na mapupunta sa sagot, bumalik tayo sa orihinal na problema. Ngayon ay susuriin natin ang bawat isa sa ating mga ugat upang makita kung tumutugma ang mga ito sa saklaw:

1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > −1.

Ang mga kinakailangang ito ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay:

1 ≠ x > 0.5

Mula dito makikita natin kaagad na ang ugat na x = −1.5 ay hindi angkop sa atin, ngunit ang x = 1 ay lubos na nasiyahan. Samakatuwid ang x = 1 ay ang huling solusyon ng logarithmic equation.

Lumipat tayo sa pangalawang gawain:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Sa unang tingin, maaaring mukhang ang lahat ng logarithms ay may iba't ibang base at iba't ibang argumento. Ano ang gagawin sa gayong mga istruktura? Una sa lahat, tandaan na ang mga numero 25, 5, at 625 ay mga kapangyarihan ng 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

At ngayon ay gagamitin natin ang kapansin-pansing pag-aari ng logarithm. Ang katotohanan ay maaari mong kunin ang mga degree mula sa argumento sa anyo ng mga kadahilanan:

log a b n = n ∙ log a b

Ang mga paghihigpit ay ipinapataw din sa pagbabagong ito kapag may function na kapalit ng b. Ngunit sa amin ang b ay isang numero lamang, at walang karagdagang mga paghihigpit na lumitaw. Isulat muli natin ang ating equation:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Nakakuha kami ng equation na may tatlong termino na naglalaman ng log sign. Bukod dito, ang mga argumento ng lahat ng tatlong logarithms ay pantay.

Panahon na upang i-flip ang logarithms upang dalhin ang mga ito sa parehong base - 5. Dahil ang variable b ay pare-pareho, walang pagbabago sa saklaw. Isusulat lang namin:

Gaya ng inaasahan, ang parehong logarithms ay "gumapang palabas" sa denominator. Iminumungkahi kong baguhin ang variable:

log 5 x = t

Sa kasong ito, ang aming equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

Isulat natin ang numerator at buksan ang mga bracket:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Bumalik tayo sa ating fraction. Ang numerator ay dapat na zero:

At ang denominator ay iba sa zero:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Awtomatikong natutupad ang mga huling kinakailangan, dahil lahat sila ay "nakatali" sa mga integer, at lahat ng mga sagot ay hindi makatwiran.

Kaya, ang fractional-rational equation ay nalutas, ang mga halaga ng variable t ay natagpuan. Bumalik kami sa solusyon ng logarithmic equation at tandaan kung ano ang t:

Dinadala namin ang equation na ito sa canonical form, nakakakuha kami ng isang numero na may hindi makatwiran na antas. Huwag hayaang malito ka nito - kahit na ang gayong mga argumento ay maaaring itumbas:

Mayroon kaming dalawang ugat. Mas tiyak, dalawang kandidato para sa mga sagot - suriin natin sila para sa pagsunod sa saklaw. Dahil ang base ng logarithm ay ang variable na x, kailangan namin ang sumusunod:

1 ≠ x > 0;

Sa parehong tagumpay, iginiit namin na ang x ≠ 1/125, kung hindi, ang base ng pangalawang logarithm ay magiging isa. Panghuli, x ≠ 1/25 para sa ikatlong logarithm.

Sa kabuuan, mayroon kaming apat na paghihigpit:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Ngayon ang tanong ay: natutugunan ba ng ating mga ugat ang mga kinakailangang ito? Siguradong nasiyahan! Dahil ang 5 sa anumang kapangyarihan ay magiging mas malaki kaysa sa zero, at ang kinakailangan x > 0 ay awtomatikong natutupad.

Sa kabilang banda, 1 = 5 0 , 1/25 = 5 −2 , 1/125 = 5 −3 , na nangangahulugan na ang mga paghihigpit na ito para sa ating mga pinagmulan (na, hayaan mong ipaalala ko sa iyo, ay may hindi makatwiran na numero) ay nasisiyahan din, at ang parehong mga sagot ay mga solusyon sa problema.

Kaya nakuha namin ang huling sagot. Mayroong dalawang pangunahing punto sa isyung ito:

1. Mag-ingat kapag binabaligtad ang logarithm kapag ang argumento at base ay binaligtad. Ang ganitong mga pagbabago ay nagpapataw ng hindi kinakailangang mga paghihigpit sa domain ng kahulugan.
2. Huwag matakot na i-convert ang mga logarithms: hindi mo lamang maaring i-flip ang mga ito, ngunit buksan din ang mga ito ayon sa sum formula at sa pangkalahatan ay baguhin ang mga ito ayon sa anumang mga formula na iyong pinag-aralan kapag nilulutas. logarithmic expression. Gayunpaman, laging tandaan na ang ilang pagbabago ay nagpapalawak ng saklaw, at ang ilan ay nagpapaliit nito.

Logarithmic equation. Patuloy naming isinasaalang-alang ang mga gawain mula sa bahagi B ng Unified State Examination sa matematika. Napag-isipan na namin ang mga solusyon ng ilang mga equation sa mga artikulong "", "". Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga logarithmic equation. Dapat kong sabihin kaagad na hindi magkakaroon ng mga kumplikadong pagbabago kapag nilulutas ang mga naturang equation sa USE. Simple lang sila.

Sapat na malaman at maunawaan ang pangunahing logarithmic identity, upang malaman ang mga katangian ng logarithm. Bigyang-pansin ang katotohanan na pagkatapos ng desisyon, MANDATORY na gumawa ng tseke - palitan ang resultang halaga sa orihinal na equation at kalkulahin, bilang isang resulta, ang tamang pagkakapantay-pantay ay dapat makuha.

Kahulugan:

Ang logarithm ng numero a hanggang sa base b ay ang exponent,kung saan dapat itaas ang b upang makakuha ng a.

Halimbawa:

Log 3 9 = 2 dahil 3 2 = 9

Mga katangian ng logarithms:

Mga espesyal na kaso ng logarithms:

Niresolba namin ang mga problema. Sa unang halimbawa, gagawa tayo ng tseke. Gawin ang sumusunod na suriin ang iyong sarili.

Hanapin ang ugat ng equation: log 3 (4–x) = 4

Dahil ang log b a = x b x = a, kung gayon

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

Pagsusuri:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Tama.

Sagot: - 77

Magpasya para sa iyong sarili:

Hanapin ang ugat ng equation: log 2 (4 - x) = 7

Hanapin ang ugat ng log 5 equation(4 + x) = 2

Ginagamit namin ang pangunahing logarithmic identity.

Dahil log a b = x b x = a, kung gayon

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x=21

Pagsusuri:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Tama.

Sagot: 21

Hanapin ang ugat ng equation log 3 (14 - x) = log 3 5.

Ang sumusunod na pag-aari ay nagaganap, ang kahulugan nito ay ang mga sumusunod: kung sa kaliwa at kanang bahagi ng equation mayroon tayong mga logarithms na may parehong base, pagkatapos ay maaari nating itumbas ang mga expression sa ilalim ng mga palatandaan ng logarithms.

14 - x = 5

x=9

Gumawa ng tseke.

Sagot: 9

Magpasya para sa iyong sarili:

Hanapin ang ugat ng equation log 5 (5 - x) = log 5 3.

Hanapin ang ugat ng equation: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Kung log c a = log c b, a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

Gumawa ng tseke.

Sagot: 6

Hanapin ang ugat ng equation log 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13 - 64

x = -51

Gumawa ng tseke.

Ang isang maliit na karagdagan - dito ang ari-arian ay ginagamit

degree().

Sagot: - 51

Magpasya para sa iyong sarili:

Hanapin ang ugat ng equation: log 1/7 (7 - x) = - 2

Hanapin ang ugat ng equation log 2 (4 - x) = 2 log 2 5.

Magtransform tayo kanang bahagi. gamitin ang ari-arian:

log a b m = m∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Kung log c a = log c b, a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

Gumawa ng tseke.

Sagot: - 21

Magpasya para sa iyong sarili:

Hanapin ang ugat ng equation: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Lutasin ang equation log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Kung log c a = log c b, a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x=2.75

Gumawa ng tseke.

Sagot: 2.75

Magpasya para sa iyong sarili:

Hanapin ang ugat ng equation log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Lutasin ang equation log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

Kinakailangan na may kanang bahagi mga equation upang makakuha ng pagpapahayag ng anyo:

log 2 (......)

Kinakatawan ang 1 bilang base 2 logarithm:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

Nakukuha namin:

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

Kung log c a = log c b, pagkatapos ay a = b, pagkatapos

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x=0.4

Gumawa ng tseke.

Sagot: 0.4

Magpasya para sa iyong sarili: Susunod, kailangan mong lutasin ang isang quadratic equation. Siya nga pala,

ang mga ugat ay 6 at -4.

ugat"-4" ay hindi isang solusyon, dahil ang base ng logarithm ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, at may "– 4" ay katumbas ng " – 5". Ang solusyon ay ugat 6.Gumawa ng tseke.

Sagot: 6.

R kumain ng mag-isa:

Lutasin ang equation log x –5 49 = 2. Kung ang equation ay may higit sa isang ugat, sagutin ang mas maliit.

Tulad ng nakikita mo, walang mga kumplikadong pagbabagong may logarithmic equationhindi. Sapat na malaman ang mga katangian ng logarithm at mailapat ang mga ito. Sa mga gawain sa USE na may kaugnayan sa pagbabago ng mga logarithmic expression, mas seryosong pagbabago ang ginagawa at kailangan ang mas malalim na kasanayan sa paglutas. Isasaalang-alang namin ang gayong mga halimbawa, huwag palampasin ito!Nais kong tagumpay ka!!!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Sa ang araling ito uulitin natin ang mga pangunahing teoretikal na katotohanan tungkol sa logarithms at isaalang-alang ang solusyon ng pinakasimpleng logarithmic equation.

Alalahanin ang sentral na kahulugan - ang kahulugan ng logarithm. Ito ay may kaugnayan sa desisyon exponential equation. Ang equation na ito ay may isang ugat, ito ay tinatawag na logarithm ng b sa base a:

Kahulugan:

Ang logarithm ng numero b sa base a ay ang exponent kung saan dapat itaas ang base a upang makuha ang numero b.

Alalahanin pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan.

Ang expression (expression 1) ay ang ugat ng equation (expression 2). Pinapalitan namin ang halaga ng x mula sa expression 1 sa halip na x sa expression 2 at nakuha namin ang pangunahing logarithmic identity:

Kaya nakikita natin na ang bawat halaga ay itinalaga ng isang halaga. Tinutukoy namin ang b para sa x (), c para sa y, at sa gayon nakuha namin ang logarithmic function:

Halimbawa:

Alalahanin ang mga pangunahing katangian ng logarithmic function.

Muli nating bigyang pansin, dito, dahil sa ilalim ng logarithm ay maaaring mayroong isang mahigpit na positibong pagpapahayag, bilang batayan ng logarithm.

kanin. 1. Graph ng logarithmic function para sa iba't ibang base

Ang graph ng function sa ay ipinapakita sa itim. kanin. 1. Kung ang argument ay tumaas mula sa zero hanggang sa infinity, ang function ay tataas mula minus hanggang plus infinity.

Ang graph ng function sa ay ipinapakita sa pula. kanin. isa.

Mga katangian ng function na ito:

Domain: ;

Saklaw ng mga halaga: ;

Ang function ay monotoniko sa buong domain ng kahulugan nito. Kapag monotonically (mahigpit) tumaas, ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas malaking halaga ng function. Kapag ang monotonically (mahigpit) ay bumababa, ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas maliit na halaga ng function.

Ang mga katangian ng logarithmic function ay ang susi sa paglutas ng iba't ibang logarithmic equation.

Isaalang-alang ang pinakasimpleng logarithmic equation; lahat ng iba pang logarithmic equation, bilang panuntunan, ay binabawasan sa form na ito.

Dahil ang mga base ng logarithms at ang logarithms mismo ay pantay, ang mga function sa ilalim ng logarithm ay pantay din, ngunit hindi natin dapat mawala ang domain ng kahulugan. Sa ilalim ng logarithm ay maaari lamang tumayo positibong numero, meron kami:

Nalaman namin na ang mga function na f at g ay pantay, kaya sapat na upang pumili ng anumang hindi pagkakapantay-pantay upang sumunod sa ODZ.

Kaya, nakakuha kami ng isang halo-halong sistema kung saan mayroong isang equation at isang hindi pagkakapantay-pantay:

Ang hindi pagkakapantay-pantay, bilang panuntunan, ay hindi kinakailangan upang malutas, ito ay sapat na upang malutas ang equation at palitan ang mga natagpuang ugat sa hindi pagkakapantay-pantay, kaya nagsasagawa ng isang tseke.

Bumuo tayo ng isang paraan para sa paglutas ng pinakasimpleng logarithmic equation:

I-equalize ang mga base ng logarithms;

Equate sublogarithmic function;

Magpatakbo ng tseke.

Isaalang-alang natin ang mga tiyak na halimbawa.

Halimbawa 1 - lutasin ang equation:

Ang mga base ng logarithms sa una ay pantay;

Halimbawa 2 - lutasin ang equation:

Ang equation na ito ay naiiba sa nauna dahil ang mga base ng logarithms ay mas mababa sa isa, ngunit hindi ito nakakaapekto sa solusyon sa anumang paraan:

Hanapin natin ang ugat at palitan ito sa hindi pagkakapantay-pantay:

Nakakuha kami ng hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugan na ang ugat na natagpuan ay hindi nakakatugon sa ODZ.

Halimbawa 3 - lutasin ang equation:

Ang mga base ng logarithms sa una ay pantay;

Hanapin natin ang ugat at palitan ito sa hindi pagkakapantay-pantay:

Malinaw, ang unang ugat lamang ang nakakatugon sa ODZ.