Mga equation na may hindi alam sa degree. mga exponential equation

Ano ang isang exponential equation? Mga halimbawa.

Kaya, isang exponential equation... Isang bagong natatanging eksibit sa aming pangkalahatang eksibisyon ng iba't ibang uri ng mga equation!) Gaya ng halos palaging nangyayari, ang keyword ng anumang bagong termino sa matematika ay ang kaukulang pang-uri na nagpapakilala dito. Kaya eto din. keyword sa terminong "exponential equation" ay ang salita "nagpapakita". Ano ang ibig sabihin nito? Ang salitang ito ay nangangahulugan na ang hindi alam (x) ay sa mga tuntunin ng anumang antas. At doon lang! Ito ay lubhang mahalaga.

Halimbawa, ang mga simpleng equation na ito:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

O kahit na ang mga halimaw na ito:

2 sin x = 0.5

Hinihiling ko sa iyo na agad na bigyang-pansin ang isang mahalagang bagay: sa bakuran degrees (ibaba) - mga numero lamang. Ngunit sa mga tagapagpahiwatig degrees (itaas) - isang malawak na pagkakaiba-iba ng mga expression na may x. Ganap na anuman.) Ang lahat ay nakasalalay sa tiyak na equation. Kung, biglang, ang x ay lumabas sa equation sa ibang lugar, bilang karagdagan sa indicator (sabihin, 3 x \u003d 18 + x 2), kung gayon ang gayong equation ay magiging isang equation na. halo-halong uri. Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas. Samakatuwid, sa ang araling ito hindi natin sila isasaalang-alang. Sa kasiyahan ng mga mag-aaral.) Dito lamang natin isasaalang-alang mga exponential equation sa isang "dalisay" na anyo.

Sa pangkalahatan, kahit na ang mga purong exponential equation ay hindi malinaw na nalutas sa lahat ng kaso at hindi palaging. Ngunit kabilang sa maraming iba't ibang exponential equation, may ilang uri na maaari at dapat lutasin. Ito ang mga uri ng equation na isasaalang-alang namin sa iyo. At tiyak na malulutas namin ang mga halimbawa.) Kaya't kami ay tumira nang kumportable at - sa kalsada! Tulad ng sa computer "shooters", ang aming paglalakbay ay dadaan sa mga antas.) Mula elementarya hanggang simple, mula simple hanggang katamtaman at mula katamtaman hanggang kumplikado. Sa daan, maghihintay ka rin para sa isang lihim na antas - mga trick at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi karaniwang halimbawa. Ang mga hindi mo mababasa sa karamihan ng mga aklat-aralin sa paaralan... Well, sa dulo, siyempre, ang huling boss ay naghihintay sa iyo sa anyo ng araling-bahay.)

Level 0. Ano ang pinakasimpleng exponential equation? Solusyon ng pinakasimpleng exponential equation.

Upang magsimula, tingnan natin ang ilang lantad na elementarya. Kailangan mong magsimula sa isang lugar, tama? Halimbawa, ang equation na ito:

2 x = 2 2

Kahit na walang anumang mga teorya, sa pamamagitan ng simpleng lohika at bait malinaw na x = 2. Wala namang ibang paraan diba? Walang ibang halaga ng x ang mabuti ... Ngayon ay ibaling natin ang ating pansin sa pagpasok ng desisyon ang cool na exponential equation na ito:

2 x = 2 2

X = 2

Anong nangyari sa atin? At nangyari ang mga sumusunod. Kami, sa katunayan, ay kumuha at ... itinapon lamang ang parehong mga base (dalawa)! Ganap na itinapon. At, kung ano ang pleases, pindutin ang bull's-eye!

Oo nga, kung sa exponential equation sa kaliwa at kanan ay pareho mga numero sa anumang antas, kung gayon ang mga numerong ito ay maaaring itapon at itumbas lamang ang mga exponent. Pinapayagan ng matematika.) At pagkatapos ay maaari kang magtrabaho nang hiwalay sa mga tagapagpahiwatig at lutasin ang isang mas simpleng equation. Ang galing diba?

Narito ang pangunahing ideya ng paglutas ng anuman (oo, eksaktong anuman!) exponential equation: sa tulong ng magkatulad na pagbabago, kinakailangan upang matiyak na ang kaliwa at kanan sa equation ay pareho mga batayang numero sa iba't ibang kapangyarihan. At pagkatapos ay maaari mong ligtas na alisin ang parehong mga base at ipantay ang mga exponent. At gumana sa isang mas simpleng equation.

At ngayon naaalala natin ang panuntunang bakal: posibleng tanggalin ang parehong mga base kung at kung sa equation sa kaliwa at sa kanan ang mga base number ay sa ipinagmamalaking kalungkutan.

Ano ang ibig sabihin nito, sa napakagandang paghihiwalay? Nangangahulugan ito na walang anumang kapitbahay at coefficient. paliwanag ko.

Halimbawa, sa equation

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Hindi mo matatanggal ang triplets! Bakit? Dahil sa kaliwa mayroon kaming hindi lamang isang malungkot na tatlong sa degree, ngunit trabaho 3 3 x-5 . Isang dagdag na triple ang humahadlang: isang coefficient, naiintindihan mo.)

Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa equation

5 3 x = 5 2 x +5 x

Dito, din, ang lahat ng mga base ay pareho - lima. Ngunit sa kanan wala kaming isang antas ng lima: mayroong kabuuan ng mga degree!

Sa madaling salita, may karapatan kaming tanggalin ang parehong mga base lamang kapag ganito ang hitsura ng aming exponential equation at ganito lang:

af (x) = isang g (x)

Ang ganitong uri ng exponential equation ay tinatawag ang pinakasimple. O siyentipiko, kanonikal . At anuman ang baluktot na equation sa harap natin, sa isang paraan o iba pa, babawasan natin ito sa isang simpleng (canonical) na anyo. O, sa ilang mga kaso, sa mga pinagsama-sama mga equation ng ganitong uri. Kung gayon ang aming pinakasimpleng equation ay maaaring nasa pangkalahatang pananaw isulat muli tulad nito:

F(x) = g(x)

At ayun na nga. Ito ang magiging katumbas na pagbabago. Kasabay nito, ganap na anumang mga expression na may x ay maaaring gamitin bilang f(x) at g(x). Kahit ano.

Marahil ay magtatanong ang isang partikular na matanong na mag-aaral: bakit sa mundo ay napakadali at simpleng itinatapon natin ang parehong mga base sa kaliwa at kanan at tinutumbasan ang mga exponent? Intuition sa pamamagitan ng intuwisyon, ngunit biglang, sa ilang equation at para sa ilang kadahilanan diskarteng ito mali pala? Ito ba ay palaging legal na magtapon ng parehong mga base? Sa kasamaang palad, para sa isang mahigpit na mathematical na sagot sa kawili-wiling tanong na ito, kailangan ng isang tao na malalim at seryosong suriin ang pangkalahatang teorya ng istraktura at pag-uugali ng mga function. At medyo mas partikular - sa hindi pangkaraniwang bagay mahigpit na monotonicity. Sa partikular, ang mahigpit na monotonicity exponential function y= isang x. Dahil ang exponential function at ang mga katangian nito ang sumasailalim sa solusyon ng exponential equation, oo.) Ang isang detalyadong sagot sa tanong na ito ay ibibigay sa isang hiwalay na espesyal na aralin na nakatuon sa paglutas ng mga kumplikadong non-standard na equation gamit ang monotonicity ng iba't ibang function.)

Upang ipaliwanag ang puntong ito nang detalyado ngayon ay para lamang alisin ang utak ng isang karaniwang mag-aaral at takutin siya nang maaga sa isang tuyo at mabigat na teorya. Hindi ko gagawin ito.) Para sa aming pangunahing sa sandaling ito isang gawain - matutong lutasin ang mga exponential equation! Ang pinakasimpleng! Samakatuwid, hanggang sa pawisan tayo at matapang na itapon ang parehong mga dahilan. ito pwede, kunin ang aking salita para dito!) At pagkatapos ay nalutas na natin ang katumbas na equation f (x) = g (x). Bilang isang tuntunin, ito ay mas simple kaysa sa orihinal na exponential.

Ipinapalagay, siyempre, na alam na ng mga tao kung paano lutasin ang hindi bababa sa , at mga equation, na wala nang x sa mga indicator.) Sino ang hindi pa rin alam kung paano, huwag mag-atubiling isara ang pahinang ito, maglakad kasama ang naaangkop na mga link at punan ang ang mga lumang gaps. Kung hindi, mahihirapan ka, oo ...

Ako ay tahimik tungkol sa hindi makatwiran, trigonometriko at iba pang mga brutal na equation na maaari ding lumabas sa proseso ng pag-aalis ng mga base. Ngunit huwag mag-alala, sa ngayon ay hindi namin isasaalang-alang ang lantad na tin sa mga tuntunin ng mga degree: masyadong maaga. Magsasanay lamang kami sa pinakasimpleng mga equation.)

Ngayon isaalang-alang ang mga equation na nangangailangan ng ilang karagdagang pagsisikap upang mabawasan ang mga ito sa pinakasimpleng. Upang makilala sila, tawagan natin sila simpleng exponential equation. Kaya't magpatuloy tayo sa susunod na antas!

Level 1. Mga simpleng exponential equation. Kilalanin ang mga degree! natural na mga tagapagpahiwatig.

Ang mga pangunahing tuntunin sa paglutas ng anumang mga exponential equation ay mga tuntunin sa pagharap sa mga degree. Kung wala ang kaalaman at kasanayang ito, walang gagana. Naku. Kaya, kung may mga problema sa mga degree, pagkatapos ay para sa isang panimula ay malugod kang tinatanggap. Bilang karagdagan, kailangan din natin. Ang mga pagbabagong ito (kasing dami ng dalawa!) ay ang batayan para sa paglutas ng lahat ng mga equation ng matematika sa pangkalahatan. At hindi lang showcases. Kaya, kung sino man ang nakalimutan, mamasyal din sa link: I put them on for a reason.

Ngunit ang mga aksyon lamang na may kapangyarihan at magkatulad na pagbabago ay hindi sapat. Nangangailangan din ito ng personal na pagmamasid at katalinuhan. Kailangan natin ng parehong batayan, hindi ba? Kaya't sinusuri namin ang halimbawa at hinahanap ang mga ito sa isang tahasan o disguised form!

Halimbawa, ang equation na ito:

3 2x – 27x +2 = 0

Unang tingin sa bakuran. Sila ay magkaiba! Tatlo at dalawampu't pito. Ngunit masyado pang maaga para mataranta at mawalan ng pag-asa. Oras na para tandaan iyon

27 = 3 3

Ang mga numero 3 at 27 ay magkamag-anak sa degree! At mga malapit.) Samakatuwid, mayroon kaming buong kanan isulat:

27 x +2 = (3 3) x+2

At ngayon ikinonekta namin ang aming kaalaman tungkol sa mga aksyon na may kapangyarihan(at binalaan kita!). Mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na formula:

(am) n = isang mn

Ngayon kung patakbuhin mo ito sa kurso, sa pangkalahatan ay magiging maayos ito:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Ang orihinal na halimbawa ay ganito na ngayon:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Mahusay, ang mga base ng mga degree ay nakahanay. Kung ano ang aming pinagsikapan. Ang kalahati ng trabaho ay tapos na.) At ngayon inilunsad namin ang pangunahing pagbabago ng pagkakakilanlan - inililipat namin ang 3 3 (x +2) sa kanan. Walang nagkansela ng elementarya na pagkilos ng matematika, oo.) Nakukuha namin:

3 2 x = 3 3(x +2)

Ano ang nagbibigay sa atin ng ganitong uri ng equation? At ang katotohanan na ngayon ang aming equation ay nabawasan sa canonical form: sa kaliwa at sa kanan ay ang parehong mga numero (triples) sa kapangyarihan. At parehong triplets - sa kahanga-hangang paghihiwalay. Matapang naming inalis ang triplets at makuha ang:

2x = 3(x+2)

Malutas namin ito at makakuha ng:

X=-6

Hanggang dito na lang. Ito ang tamang sagot.)

At ngayon naiintindihan na natin ang takbo ng desisyon. Ano ang nagligtas sa atin sa halimbawang ito? Kami ay nailigtas sa pamamagitan ng kaalaman sa mga antas ng triple. Paano eksakto? Kami nakilala number 27 naka-encrypt na tatlo! Ang trick na ito (pag-encrypt ng parehong base sa ilalim magkaibang numero) ay isa sa pinakasikat sa mga exponential equation! Maliban kung ito ang pinakasikat. Oo, at gayundin, sa pamamagitan ng paraan. Iyon ang dahilan kung bakit ang pagmamasid at ang kakayahang makilala ang mga kapangyarihan ng iba pang mga numero sa mga numero ay napakahalaga sa mga exponential equation!

Praktikal na payo:

Kailangan mong malaman ang kapangyarihan ng mga sikat na numero. Sa mukha!

Siyempre, kahit sino ay maaaring itaas ang dalawa sa ikapitong kapangyarihan o tatlo hanggang ikalima. Wala sa isip ko, kaya kahit sa draft. Ngunit sa mga exponential equation, mas madalas na kinakailangan na huwag itaas sa isang kapangyarihan, ngunit, sa kabaligtaran, upang malaman kung anong numero at hanggang saan ang nakatago sa likod ng numero, sabihin nating, 128 o 243. At ito ay higit pa kumplikado kaysa sa simpleng exponentiation, kita mo. Pakiramdam ang pagkakaiba, gaya ng sinasabi nila!

Dahil ang kakayahang makilala ang mga degree sa mukha ay kapaki-pakinabang hindi lamang sa antas na ito, kundi pati na rin sa mga sumusunod, narito ang isang maliit na gawain para sa iyo:

Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Mga sagot (siyempre nakakalat):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Oo Oo! Huwag magtaka na mas maraming sagot kaysa mga gawain. Halimbawa, ang 2 8 , 4 4 at 16 2 ay 256 lahat.

Antas 2. Mga simpleng exponential equation. Kilalanin ang mga degree! Negatibo at fractional exponents.

Sa antas na ito, ginagamit na natin nang lubusan ang ating kaalaman sa mga degree. Ibig sabihin, kinasasangkutan namin ang mga negatibo at fractional na tagapagpahiwatig sa kamangha-manghang prosesong ito! Oo Oo! Kailangan nating bumuo ng kapangyarihan, tama ba?

Halimbawa, ang kakila-kilabot na equation na ito:

Muli, tingnan muna ang mga pundasyon. Iba ang mga base! At sa pagkakataong ito ay hindi na sila magkatulad sa isa't isa! 5 at 0.04... At para maalis ang mga base, pareho ang kailangan... Ano ang gagawin?

ayos lang! Sa katunayan, ang lahat ay pareho, ang koneksyon lamang sa pagitan ng lima at 0.04 ay hindi gaanong nakikita. Paano tayo lalabas? At lumipat tayo sa numerong 0.04 hanggang ordinaryong fraction! At doon, makikita mo, lahat ay nabuo.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Ang 0.04 pala ay 1/25! Well, sinong mag-aakala!)

Well, paano? Ngayon ang koneksyon sa pagitan ng mga numero 5 at 1/25 ay mas madaling makita? Iyon na iyon...

At ngayon, ayon sa mga patakaran ng mga pagpapatakbo na may mga kapangyarihan na may negatibong tagapagpahiwatig maaaring isulat gamit ang mahigpit na kamay:

Iyan ay mahusay. Kaya nakarating kami sa parehong base - lima. Pinapalitan namin ngayon ang hindi komportable na numero 0.04 sa equation ng 5 -2 at makuha ang:

Muli, ayon sa mga patakaran ng mga pagpapatakbo na may mga kapangyarihan, maaari na nating isulat:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Kung sakali, ipaalala ko sa iyo (bigla, sino ang hindi nakakaalam) na ang mga pangunahing panuntunan para sa mga aksyon na may mga degree ay may bisa para sa anuman mga tagapagpahiwatig! Kasama ang para sa mga negatibo.) Kaya huwag mag-atubiling kunin at i-multiply ang mga indicator (-2) at (x-1) ayon sa kaukulang tuntunin. Ang aming equation ay nagiging mas mahusay at mas mahusay:

Lahat! Bukod sa mga lonely five sa mga degree sa kaliwa't kanan, wala nang iba. Ang equation ay nabawasan sa canonical form. At pagkatapos - kasama ang knurled track. Inalis namin ang lima at itinutumbas ang mga tagapagpahiwatig:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Ang halimbawa ay halos tapos na. Ang elementarya na matematika ng mga gitnang klase ay nananatili - binubuksan namin (tama!) Ang mga bracket at kinokolekta ang lahat sa kaliwa:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Malutas namin ito at makakuha ng dalawang ugat:

x 1 = 1; x 2 = 3

Iyon lang.)

Ngayon isipin natin muli. Sa halimbawang ito, kailangan nating kilalanin muli ang parehong numero sa iba't ibang antas! Lalo na, upang makita ang naka-encrypt na lima sa numerong 0.04. At sa pagkakataong ito, sa negatibong antas! Paano natin ito nagawa? Sa paglipat - walang paraan. Ngunit pagkatapos ng paglipat mula sa decimal fraction 0.04 sa ordinaryong fraction 1/25 lahat ay naka-highlight! At pagkatapos ang buong desisyon ay naging parang orasan.)

Samakatuwid, isa pang berdeng praktikal na payo.

Kung mayroong mga decimal fraction sa exponential equation, pagkatapos ay lumipat tayo mula sa mga decimal fraction patungo sa mga ordinaryong. AT mga karaniwang fraction mas madaling makilala ang mga kapangyarihan ng maraming sikat na numero! Pagkatapos ng pagkilala, lumipat kami mula sa mga fraction patungo sa mga kapangyarihan na may mga negatibong exponent.

Tandaan na ang gayong pagkukunwari sa mga exponential equation ay nangyayari nang napakadalas! At ang tao ay wala sa paksa. Siya ay tumitingin, halimbawa, sa mga numerong 32 at 0.125 at nagagalit. Ito ay hindi alam sa kanya na ito ay ang parehong deuce, lamang sa iba't ibang antas… Ngunit nasa paksa ka na!)

Lutasin ang equation:

Sa! Mukhang isang tahimik na horror ... Gayunpaman, ang mga pagpapakita ay mapanlinlang. Ito ang pinakasimpleng exponential equation, sa kabila ng nakakatakot hitsura. At ngayon ipapakita ko ito sa iyo.)

Una, nakikitungo kami sa lahat ng mga numero na nakaupo sa mga base at sa mga coefficient. Halatang magkaiba sila, oo. Ngunit kami pa rin ang kumuha ng panganib at sinusubukang gawin ang mga ito pareho! Subukan nating makarating sa ang parehong numero sa iba't ibang antas. At, mas mabuti, ang bilang ng pinakamaliit na posible. Kaya, simulan natin ang pag-decipher!

Well, ang lahat ay malinaw sa apat nang sabay-sabay - ito ay 2 2 . Kaya, mayroon na.)

Sa isang bahagi ng 0.25 - hindi pa ito malinaw. Kailangan mong alamin. Gumagamit kami ng praktikal na payo - mula sa decimal hanggang karaniwan:

0,25 = 25/100 = 1/4

Mas maganda na. Sa ngayon ay malinaw na nakikita na ang 1/4 ay 2 -2. Mahusay, at ang bilang na 0.25 ay katulad din ng isang deuce.)

So far so good. Ngunit ang pinakamasamang bilang ng lahat ay nananatili - ang square root ng dalawa! Ano ang gagawin sa paminta na ito? Maaari rin ba itong ilarawan bilang kapangyarihan ng dalawa? At sino ang nakakaalam...

Well, muli kaming umakyat sa aming treasury ng kaalaman tungkol sa mga degree! Sa pagkakataong ito, ikinonekta natin ang ating kaalaman tungkol sa mga ugat. Mula sa kurso ng ika-9 na baitang, ikaw at ako ay kailangang magtiis na ang anumang ugat, kung ninanais, ay palaging maaaring gawing isang degree na may isang fraction.

Ganito:

Sa kaso natin:

Paano! Lumalabas na ang square root ng dalawa ay 2 1/2. Ayan yun!

ayos lang yan! Ang lahat ng aming hindi komportable na mga numero ay talagang naging isang naka-encrypt na deuce.) Hindi ako nakikipagtalo, sa isang lugar na napaka sopistikadong naka-encrypt. Ngunit pinapataas din namin ang aming propesyonalismo sa paglutas ng mga naturang cipher! At saka halata na ang lahat. Pinapalitan namin ang mga numero 4, 0.25 at ang ugat ng dalawa sa aming equation na may kapangyarihan ng dalawa:

Lahat! Ang mga batayan ng lahat ng antas sa halimbawa ay naging pareho - dalawa. At ngayon ang mga karaniwang aksyon na may mga degree ay ginagamit:

isang misang n = isang m + n

a m:a n = a m-n

(am) n = isang mn

Para sa kaliwang bahagi makakakuha ka ng:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Para sa kanang bahagi ay magiging:

At ngayon ang aming masamang equation ay nagsimulang magmukhang ganito:

Para sa mga hindi pa nalaman kung paano eksaktong lumabas ang equation na ito, kung gayon ang tanong ay hindi tungkol sa mga exponential equation. Ang tanong ay tungkol sa mga aksyon na may kapangyarihan. I asked urgently to repeat sa mga may problema!

Narito ang linya ng pagtatapos! Ang canonical form ng exponential equation ay nakuha! Well, paano? Napaniwala ba kita na hindi ito nakakatakot? ;) Tinatanggal namin ang mga deuces at tinutumbasan ang mga tagapagpahiwatig:

Ang natitira na lang ay lutasin ito linear equation. Paano? Sa tulong ng magkatulad na pagbabago, siyempre.) Lutasin kung ano ang mayroon na! I-multiply ang parehong bahagi ng dalawa (upang alisin ang fraction na 3/2), ilipat ang mga terminong may Xs sa kaliwa, nang walang Xs sa kanan, magdala ng mga katulad, bilangin - at ikaw ay magiging masaya!

Ang lahat ay dapat maging maganda:

X=4

Ngayon, pag-isipan nating muli ang desisyon. Sa halimbawang ito, kami ay nailigtas sa pamamagitan ng paglipat mula sa parisukat na ugat sa degree na may exponent 1/2. Bukod dito, ang gayong tusong pagbabago lamang ang nakatulong sa amin sa lahat ng dako upang maabot ang parehong batayan (deuce), na nagligtas sa sitwasyon! At, kung hindi dahil dito, magkakaroon tayo ng bawat pagkakataon na mag-freeze magpakailanman at hindi na makayanan ang halimbawang ito, oo ...

Samakatuwid, hindi namin pinababayaan ang susunod na praktikal na payo:

Kung may mga ugat sa exponential equation, pagkatapos ay lumipat tayo mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan na may mga fractional exponents. Kadalasan, ang gayong pagbabago lamang ang nagpapaliwanag sa karagdagang sitwasyon.

Siyempre, mas mahirap na ang negatibo at fractional na kapangyarihan. natural na grado. Hindi bababa sa mga tuntunin ng visual na pang-unawa at, lalo na, pagkilala mula kanan hanggang kaliwa!

Malinaw na ang direktang pagtaas, halimbawa, ang isang dalawa sa kapangyarihan ng -3 o isang apat sa kapangyarihan ng -3/2 ay hindi isang malaking problema. Para sa mga nakakaalam.)

Ngunit pumunta, halimbawa, agad na mapagtanto iyon

0,125 = 2 -3

O kaya

Dito lang practice at rich experience rule, oo. At, siyempre, isang malinaw na pananaw, Ano ang isang negatibo at isang fractional exponent. Pati na rin ang - praktikal na payo! Oo, oo, ang mga iyon berde.) Umaasa ako na gayunpaman ay makakatulong sila sa iyo na mas mahusay na mag-navigate sa lahat ng iba't ibang motley na degree at makabuluhang taasan ang iyong mga pagkakataong magtagumpay! Kaya huwag natin silang pabayaan. hindi ako in vain sa berde Nagsusulat ako minsan.)

Sa kabilang banda, kung ikaw ay magiging "ikaw" kahit na may mga kakaibang kapangyarihan tulad ng negatibo at praksyonal, kung gayon ang iyong mga posibilidad sa paglutas ng mga exponential equation ay lalawak nang husto, at magagawa mo nang pangasiwaan ang halos anumang uri ng mga exponential equation. Well, kung wala man, 80 porsiyento ng lahat ng exponential equation - sigurado! Oo, oo, hindi ako nagbibiro!

Kaya, ang aming unang bahagi ng kakilala sa mga exponential equation ay dumating sa lohikal na konklusyon nito. At, bilang isang in-between workout, tradisyonal kong iminumungkahi na mag-solve ka nang mag-isa.)

Ehersisyo 1.

Upang ang aking mga salita tungkol sa pag-decipher ng mga negatibo at fractional na degree ay hindi walang kabuluhan, ipinapanukala kong maglaro ng kaunting laro!

Ipahayag ang numero bilang kapangyarihan ng dalawa:

Mga sagot (magulo):

Nangyari? Magaling! Pagkatapos ay gumawa kami ng isang misyon ng labanan - nilulutas namin ang pinakasimple at simpleng mga exponential equation!

Gawain 2.

Lutasin ang mga equation (lahat ng sagot ay gulo!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Mga sagot:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Nangyari? Sa katunayan, mas madali!

Pagkatapos ay malulutas namin ang sumusunod na laro:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

Mga sagot:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

At ang mga halimbawang ito ng isa na natitira? Magaling! Lumalaki ka! Pagkatapos ay narito ang ilang higit pang mga halimbawa para sa iyong meryenda:

Mga sagot:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

At ito ba ay nagpasya? Well, respeto! Tinatanggal ko ang aking sumbrero.) Kaya, ang aralin ay hindi walang kabuluhan, at Unang antas ang paglutas ng mga exponential equation ay maaaring ituring na matagumpay na pinagkadalubhasaan. Nauuna - ang mga susunod na antas at mas kumplikadong mga equation! At mga bagong diskarte at diskarte. At hindi karaniwang mga halimbawa. At mga bagong sorpresa.) Lahat ng ito - sa susunod na aralin!

May hindi gumana? Kaya, malamang, ang mga problema ay nasa . O sa . O pareho sa parehong oras. Dito ako walang kapangyarihan. Isa lang ang maiaalok ko muli - huwag maging tamad at maglakad-lakad sa mga link.)

Itutuloy.)

Unang antas

mga exponential equation. Komprehensibong gabay (2019)

Kamusta! Ngayon ay tatalakayin namin sa iyo kung paano lutasin ang mga equation na maaaring parehong elementarya (at umaasa ako na pagkatapos basahin ang artikulong ito, halos lahat ng mga ito ay para sa iyo), at ang mga karaniwang binibigyan ng "backfill". Kumbaga, para tuluyang makatulog. Ngunit sisikapin kong gawin ang aking makakaya upang ngayon ay hindi ka magkaproblema kapag nahaharap sa ganitong uri ng equation. Hindi na ako magpapatalo sa paligid, ngunit agad kong bubuksan munting sikreto: ngayon ay magtatrabaho tayo mga exponential equation.

Bago magpatuloy sa isang pagsusuri ng mga paraan upang malutas ang mga ito, agad kong babalangkasin para sa iyo ang isang bilog ng mga katanungan (medyo maliit) na dapat mong ulitin bago ka magmadali upang salakayin ang paksang ito. Kaya, para sa pinakamahusay na mga resulta, mangyaring ulitin:

1. ari-arian at
2. Solusyon at Equation

naulit? Kahanga-hanga! Kung gayon hindi magiging mahirap para sa iyo na mapansin na ang ugat ng equation ay isang numero. Sigurado ka bang naiintindihan mo kung paano ko ito ginawa? Katotohanan? Pagkatapos ay nagpatuloy kami. Ngayon sagutin mo ako sa tanong, ano ang katumbas ng ikatlong kapangyarihan? Tamang tama ka: . Ang walo ay anong kapangyarihan ng dalawa? Tama iyon - ang pangatlo! kasi. Kaya, ngayon subukan nating lutasin ang sumusunod na problema: Hayaan akong i-multiply ang numero nang isang beses at makuha ang resulta. Ang tanong, ilang beses ko na bang pinarami ang sarili ko? Siyempre, maaari mong suriin ito nang direkta:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( ihanay)

Pagkatapos ay maaari mong tapusin na pinarami ko ang sarili ko. Paano pa ito mapapatunayan? At narito kung paano: direkta sa pamamagitan ng kahulugan ng antas: . Ngunit, dapat mong aminin, kung tatanungin ko kung gaano karaming beses ang dalawa ay dapat na i-multiply sa kanyang sarili upang makakuha, sabihin, sasabihin mo sa akin: Hindi ko lolokohin ang aking sarili at paramihin ang aking sarili hanggang sa ako ay asul sa mukha. At siya ay magiging ganap na tama. Dahil paano mo kaya isulat nang maikli ang lahat ng mga aksyon(at ang kaiklian ay kapatid ng talento)

kung saan - ito ang pinaka "mga oras" kapag dumami ka sa sarili mo.

Sa tingin ko, alam mo (at kung hindi mo alam, mapilit, napaka-apurahang ulitin ang mga degree!) na ang aking problema ay isusulat sa form:

Paano mo makatuwirang mahihinuha na:

Kaya, tahimik, isinulat ko ang pinakasimpleng exponential equation:

At kahit na natagpuan ito ugat. Hindi mo ba naisip na ang lahat ay medyo walang halaga? Ganyan din ang iniisip ko. Narito ang isa pang halimbawa para sa iyo:

Ngunit ano ang gagawin? Pagkatapos ng lahat, hindi ito maaaring isulat bilang isang antas ng isang (makatwirang) numero. Huwag tayong mawalan ng pag-asa at tandaan na ang parehong mga numerong ito ay perpektong ipinahayag sa mga tuntunin ng kapangyarihan ng parehong numero. Ano? Kanan: . Pagkatapos ang orihinal na equation ay binago sa anyo:

Mula sa kung saan, gaya ng naunawaan mo na, . Huwag na nating hilahin at isulat kahulugan:

Sa aming kaso sa iyo: .

Ang mga equation na ito ay nalulutas sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga ito sa anyo:

na may kasunod na solusyon ng equation

Sa katunayan, ginawa namin ito sa nakaraang halimbawa: nakuha namin iyon. At nalutas namin ang pinakasimpleng equation sa iyo.

Parang wala namang kumplikado diba? Magsanay muna tayo sa pinakasimple. mga halimbawa:

Muli nating nakikita na ang kanan at kaliwang bahagi ng equation ay dapat na kinakatawan bilang kapangyarihan ng isang numero. Totoo, nagawa na ito sa kaliwa, ngunit sa kanan ay may isang numero. Ngunit, ayos lang, pagkatapos ng lahat, at ang aking equation ay mahimalang nagbabago sa ganito:

Ano ang kailangan kong gawin dito? Anong tuntunin? Power to Power Rule na nagbabasa:

Paano kung:

Bago sagutin ang tanong na ito, punan natin ang sumusunod na talahanayan kasama mo:

Hindi mahirap para sa atin na mapansin na ang mas kaunti, ang mas kaunting halaga, ngunit gayunpaman, ang lahat ng mga halagang ito ay mas malaki kaysa sa zero. AT MAGIGING GANYAN LAGI!!! Ang parehong ari-arian ay totoo PARA SA ANUMANG BASE NA MAY ANUMANG INDEX!! (para sa anuman at). Kung gayon ano ang maaari nating tapusin tungkol sa equation? At narito ang isa: ito walang ugat! Tulad ng anumang equation ay walang mga ugat. Ngayon ay magsanay tayo at Lutasin natin ang ilang simpleng halimbawa:

Suriin natin:

1. Walang hinihiling sa iyo dito, maliban sa pag-alam sa mga katangian ng mga kapangyarihan (na, sa pamamagitan ng paraan, hiniling ko sa iyo na ulitin!) Bilang isang patakaran, ang lahat ay humahantong sa pinakamaliit na base: , . Kung gayon ang orihinal na equation ay magiging katumbas ng sumusunod: Ang kailangan ko lang ay gamitin ang mga katangian ng mga kapangyarihan: kapag nagpaparami ng mga numero na may parehong base, ang mga exponent ay idinagdag, at kapag hinahati, ang mga ito ay ibinabawas. Pagkatapos ay makukuha ko: Buweno, ngayon na may malinis na budhi ay lilipat ako mula sa exponential equation patungo sa linear: \begin(align)
at 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
at 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. Sa pangalawang halimbawa, kailangan mong maging mas maingat: ang problema ay na sa kaliwang bahagi, hindi namin magagawang kumatawan sa parehong numero bilang isang kapangyarihan. Sa kasong ito, minsan ito ay kapaki-pakinabang kumakatawan sa mga numero bilang isang produkto ng mga kapangyarihan na may iba't ibang mga base, ngunit ang parehong mga exponent:

Ang kaliwang bahagi ng equation ay kukuha ng anyo: Ano ang ibinigay nito sa atin? At narito kung ano: Ang mga numero na may iba't ibang mga base ngunit ang parehong exponent ay maaaring i-multiply.Sa kasong ito, ang mga base ay pinarami, ngunit ang exponent ay hindi nagbabago:

Inilapat sa aking sitwasyon, ito ay magbibigay ng:

\begin(align)
at 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
at 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
at ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
at ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Hindi masama, tama?

3. Hindi ko gusto kapag mayroon akong dalawang termino sa isang bahagi ng equation, at wala sa kabilang panig (minsan, siyempre, ito ay makatwiran, ngunit hindi ito ang kaso ngayon). Ilipat ang minus term sa kanan:

Ngayon, tulad ng dati, isusulat ko ang lahat sa pamamagitan ng kapangyarihan ng triple:

Idinaragdag ko ang mga kapangyarihan sa kaliwa at kumuha ng katumbas na equation

Madali mong mahahanap ang ugat nito:

4. Tulad ng tatlong halimbawa, ang term na may minus - isang lugar sa kanang bahagi!

Sa kaliwa, halos lahat ay maayos sa akin, maliban sa ano? Oo, ang "maling antas" ng deuce ay bumabagabag sa akin. Ngunit madali kong maaayos ito sa pamamagitan ng pagsulat ng: . Eureka - sa kaliwa, ang lahat ng mga base ay iba, ngunit ang lahat ng mga antas ay pareho! Mabilis tayong dumami!

Narito muli, ang lahat ay malinaw: (kung hindi mo maintindihan kung paano magically Nakuha ko ang huling pagkakapantay-pantay, magpahinga ng isang minuto, magpahinga at basahin muli nang maingat ang mga katangian ng degree. Sino ang nagsabi na maaari mong laktawan ang isang degree na may negatibong marka? Well, narito ako tungkol sa parehong bagay na walang sinuman). Ngayon ay makakakuha ako ng:

\begin(align)
at ((2)^(4\kaliwa((x) -9 \kanan)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Narito ang mga gawain para sa iyong pagsasanay, kung saan ibibigay ko lamang ang mga sagot (ngunit sa isang "halo-halong" form). Lutasin ang mga ito, suriin, at ipagpapatuloy namin ang aming pananaliksik!

handa na? Mga sagot tulad ng mga ito:

1. kahit anong numero

Okay, okay, nagbibiro ako! Narito ang mga balangkas ng mga solusyon (ang ilan ay medyo maikli!)

Hindi mo ba naisip na hindi nagkataon na ang isang fraction sa kaliwa ay isang "baligtad" na iba? Magiging kasalanan ang hindi gamitin ito:

Ang panuntunang ito ay kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga exponential equation, tandaan itong mabuti!

Pagkatapos ang orihinal na equation ay magiging:

Sa pamamagitan ng paglutas ng quadratic equation na ito, makukuha mo ang mga sumusunod na ugat:

2. Isa pang solusyon: paghahati sa parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng expression sa kaliwa (o kanan). Hahatiin ko sa kung ano ang nasa kanan, pagkatapos ay makukuha ko:

Saan (bakit?!)

3. Ayoko nang ulitin, masyado nang "nguya" ang lahat.

4. katumbas quadratic equation, mga ugat

5. Kailangan mong gamitin ang formula na ibinigay sa unang gawain, pagkatapos ay makukuha mo iyon:

Ang equation ay naging isang maliit na pagkakakilanlan, na totoo para sa alinman. Kung gayon ang sagot ay anumang tunay na numero.

Buweno, narito ka at nagsasanay na magdesisyon ang pinakasimpleng exponential equation. Ngayon gusto kong bigyan ka ng ilang mga halimbawa sa buhay na makakatulong sa iyong maunawaan kung bakit kailangan ang mga ito sa prinsipyo. Dito ay magbibigay ako ng dalawang halimbawa. Ang isa sa kanila ay medyo pang-araw-araw, ngunit ang isa ay higit na pang-agham kaysa sa praktikal na interes.

Halimbawa 1 (mercantile) Hayaan kang magkaroon ng mga rubles, ngunit nais mong gawing rubles. Inaalok ka ng bangko na kunin ang perang ito mula sa iyo sa taunang rate ng interes na may buwanang capitalization ng interes (buwanang accrual). Ang tanong, ilang buwan ang kailangan mong magbukas ng deposito para makolekta ang nais na huling halaga? Isang makamundong gawain, hindi ba? Gayunpaman, ang solusyon nito ay konektado sa pagbuo ng kaukulang exponential equation: Hayaan - ang paunang halaga, - ang huling halaga, - rate ng interes bawat panahon, - ang bilang ng mga panahon. Pagkatapos:

Sa aming kaso (kung ang rate ay bawat taon, pagkatapos ito ay kinakalkula bawat buwan). Bakit ito nahahati sa? Kung hindi mo alam ang sagot sa tanong na ito, tandaan ang paksang ""! Pagkatapos makuha namin ang sumusunod na equation:

Ang exponential equation na ito ay malulutas na lamang sa isang calculator (ang hitsura nito ay nagpapahiwatig dito, at nangangailangan ito ng kaalaman sa mga logarithms, na makikilala natin sa ibang pagkakataon), na gagawin ko: ... Kaya, upang makatanggap ng isang milyon, kailangan nating magbigay ng kontribusyon para sa isang buwan (hindi masyadong mabilis, tama?).

Halimbawa 2 (medyo siyentipiko). Sa kabila ng kanyang, ilang "paghihiwalay", inirerekumenda ko na bigyang-pansin mo siya: siya ay regular na "slips sa pagsusulit!! (Ang gawain ay kinuha mula sa "tunay" na bersyon) Sa panahon ng pagkabulok ng isang radioactive isotope, ang masa nito ay bumababa ayon sa batas, kung saan ang (mg) ay ang inisyal na masa ng isotope, (min.) ay ang oras na lumipas mula sa paunang sandali, (min.) ay ang kalahating buhay. Sa unang sandali ng oras, ang masa ng isotope ay mg. Ang kalahating buhay nito ay min. Sa ilang minuto magiging katumbas ng mg ang masa ng isotope? Okay lang: kinukuha at pinapalitan lang namin ang lahat ng data sa formula na iminungkahi sa amin:

Hatiin natin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng, "sa pag-asa" na sa kaliwa ay makakakuha tayo ng isang bagay na natutunaw:

Well, napakaswerte namin! Nakatayo ito sa kaliwa, pagkatapos ay lumipat tayo sa katumbas na equation:

Kung saan min.

Tulad ng nakikita mo, ang mga exponential equation ay may tunay na aplikasyon sa pagsasanay. Ngayon gusto kong talakayin sa iyo ang isa pang (simple) na paraan upang malutas ang mga exponential equation, na batay sa pagkuha ng karaniwang kadahilanan sa mga bracket at pagkatapos ay pag-grupo ng mga termino. Huwag matakot sa aking mga salita, naranasan mo na ang pamamaraang ito sa ika-7 baitang noong nag-aral ka ng polynomials. Halimbawa, kung kailangan mong i-factor ang expression:

Magpangkat tayo: ang una at ikatlong termino, gayundin ang pangalawa at ikaapat. Malinaw na ang una at pangatlo ay ang pagkakaiba ng mga parisukat:

at ang pangalawa at ikaapat ay may karaniwang salik na tatlo:

Kung gayon ang orihinal na expression ay katumbas nito:

Kung saan kunin ang karaniwang kadahilanan ay hindi na mahirap:

Dahil dito,

Ito ay tinatayang kung paano tayo kikilos kapag nilulutas ang mga exponential equation: hanapin ang "pagkakatulad" sa mga termino at alisin ito sa mga bracket, at pagkatapos - ano man ang mangyari, naniniwala ako na magiging masuwerte tayo =)) Halimbawa:

Sa kanan ay malayo sa kapangyarihan ng pito (nasuri ko!) At sa kaliwa - medyo mas mahusay, maaari mong, siyempre, "putulin" ang kadahilanan a mula sa unang termino at mula sa pangalawa, at pagkatapos ay harapin ang kung ano ang iyong natanggap, ngunit gawin natin nang mas maingat sa iyo. Ayokong harapin ang mga fraction na hindi maiiwasang nagagawa ng "selection", kaya hindi ba dapat mas mabuting magtiis ako? Kung gayon hindi ako magkakaroon ng mga fraction: gaya ng sinasabi nila, parehong puno ang mga lobo at ligtas ang mga tupa:

Bilangin ang expression sa mga bracket. Magically, magically, lumalabas na (nakakagulat, bagaman ano pa ang maaari nating asahan?).

Pagkatapos ay binabawasan namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng salik na ito. Nakukuha namin: saan.

Narito ang isang mas kumplikadong halimbawa (medyo, talaga):

Eto ang gulo! Wala tayong common ground dito! Hindi lubos na malinaw kung ano ang gagawin ngayon. At gawin natin ang ating makakaya: una, ililipat natin ang "apat" sa isang direksyon, at ang "lima" sa kabilang direksyon:

Ngayon, alisin natin ang "karaniwan" sa kaliwa at kanan:

So ano ngayon? Ano ang pakinabang ng gayong hangal na pagpapangkat? Sa unang sulyap, hindi ito nakikita, ngunit tingnan natin nang mas malalim:

Kaya, ngayon gawin natin ito upang sa kaliwa ay mayroon lamang tayong expression na c, at sa kanan - lahat ng iba pa. Paano natin ito magagawa? At narito kung paano: Hatiin muna ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (para maalis natin ang exponent sa kanan), at pagkatapos ay hatiin ang magkabilang panig sa (para maalis natin ang numerical factor sa kaliwa). Sa wakas makuha namin:

Hindi kapani-paniwala! Sa kaliwa mayroon kaming isang expression, at sa kanan - lamang. Pagkatapos ay agad naming hinuhusgahan iyon

Narito ang isa pang halimbawa upang palakasin:

ihahatid ko siya maikling solusyon(hindi talaga nag-abala na ipaliwanag), subukang alamin ang lahat ng "subtleties" ng solusyon sa iyong sarili.

Ngayon ang pangwakas na pagsasama-sama ng materyal na sakop. Subukang lutasin ang mga sumusunod na problema sa iyong sarili. Magbibigay lamang ako ng mga maikling rekomendasyon at tip para sa paglutas ng mga ito:

1. Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:
2. Kinakatawan namin ang unang expression sa anyo: , hatiin ang parehong bahagi at kunin iyon
3. , pagkatapos ay ang orihinal na equation ay na-convert sa anyo: Well, ngayon ay isang pahiwatig - hanapin kung saan mo at ako ay nalutas na ang equation na ito!
4. Isipin kung paano, paano, ah, mabuti, pagkatapos ay hatiin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng, upang makuha mo ang pinakasimpleng exponential equation.
5. Alisin ito sa mga bracket.
6. Alisin ito sa mga bracket.

EXPOSITIONAL EQUATIONS. AVERAGE LEVEL

Ipinapalagay ko na pagkatapos basahin ang unang artikulo, na sinabi ano ang mga exponential equation at kung paano lutasin ang mga ito pinagkadalubhasaan mo kinakailangang minimum kaalaman na kailangan upang malutas ang mga simpleng halimbawa.

Ngayon ay susuriin ko ang isa pang paraan para sa paglutas ng mga exponential equation, ito ay

"paraan ng pagpapakilala ng bagong variable" (o pagpapalit). Nilulutas niya ang karamihan sa mga "mahirap" na problema, sa paksa ng mga exponential equation (at hindi lamang mga equation). Ang pamamaraang ito ay isa sa mga pinakakaraniwang ginagamit sa pagsasanay. Una, inirerekomenda ko na maging pamilyar ka sa paksa.

Tulad ng naintindihan mo na mula sa pangalan, ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay upang ipakilala ang gayong pagbabago ng variable na ang iyong exponential equation ay mahimalang magbabago sa isa na madali mo nang malutas. Ang natitira lang para sa iyo pagkatapos malutas ang napaka "pinasimpleng equation" na ito ay gumawa ng "reverse replacement": ibig sabihin, bumalik mula sa pinalitan sa pinalitan. Ilarawan natin ang sinabi natin sa isang napakasimpleng halimbawa:

Halimbawa 1:

Ang equation na ito ay nalutas sa pamamagitan ng isang "simpleng pagpapalit," bilang mathematicians disparagingly tawag dito. Sa katunayan, ang pagpapalit dito ay ang pinaka-halata. Kailangan lang makita iyon

Pagkatapos ang orihinal na equation ay magiging:

Kung iisipin din natin kung paano, kung gayon ay malinaw kung ano ang kailangang palitan: siyempre, . Ano ang nagiging orihinal na equation? At narito kung ano:

Madali mong mahahanap ang mga ugat nito sa iyong sarili:. Ano ang dapat nating gawin ngayon? Oras na para bumalik sa orihinal na variable. Ano ang nakalimutan kong isama? Namely: kapag pinapalitan ang isang tiyak na antas ng isang bagong variable (iyon ay, kapag pinapalitan ang isang uri), ako ay magiging interesado sa positive roots lang! Ikaw mismo ay madaling makasagot kung bakit. Kaya, hindi kami interesado sa iyo, ngunit ang pangalawang ugat ay angkop para sa amin:

Tapos saan.

Sagot:

Tulad ng makikita mo, sa nakaraang halimbawa, ang kapalit ay humihingi ng aming mga kamay. Sa kasamaang palad, hindi ito palaging nangyayari. Gayunpaman, huwag tayong dumiretso sa malungkot, ngunit magsanay sa isa pang halimbawa na may medyo simpleng kapalit

Halimbawa 2

Malinaw na malamang na kakailanganing palitan (ito ang pinakamaliit sa mga kapangyarihang kasama sa ating equation), gayunpaman, bago magpakilala ng kapalit, ang ating equation ay kailangang "ihanda" para dito, ibig sabihin: , . Pagkatapos ay maaari mong palitan, bilang isang resulta ay makukuha ko ang sumusunod na expression:

Oh horror: isang cubic equation na may ganap na kahila-hilakbot na mga formula para sa solusyon nito (well, nagsasalita sa pangkalahatang mga termino). Ngunit huwag tayong mawalan ng pag-asa kaagad, ngunit isipin kung ano ang dapat nating gawin. Imumungkahi ko ang pagdaraya: alam natin na para makakuha ng "maganda" na sagot, kailangan nating makakuha ng ilang kapangyarihan ng tatlo (bakit ganoon, ha?). At subukan nating hulaan ang hindi bababa sa isang ugat ng ating equation (magsisimula akong manghula mula sa mga kapangyarihan ng tatlo).

Unang hula. Ay hindi ugat. Sayang at ah...

.
Ang kaliwang bahagi ay pantay.
kanang bahagi:!
meron! Nahulaan ang unang ugat. Ngayon ang mga bagay ay magiging mas madali!

Alam mo ba ang tungkol sa "sulok" na pamamaraan ng paghahati? Siyempre alam mo, ginagamit mo ito kapag hinati mo ang isang numero sa isa pa. Ngunit kakaunti ang nakakaalam na ang parehong ay maaaring gawin sa mga polynomial. Mayroong isang kahanga-hangang teorama:

Naaangkop sa aking sitwasyon sinasabi nito sa akin kung ano ang mahahati nang walang nalalabi sa. Paano isinasagawa ang paghahati? ganyan:

Tinitingnan ko kung aling monomial ang dapat kong i-multiply para makakuha ng Clear, pagkatapos ay:

Ibinabawas ko ang nagresultang expression mula sa, nakukuha ko:

Ngayon, ano ang kailangan kong i-multiply para makuha? Ito ay malinaw na sa, pagkatapos ay makakakuha ako ng:

at muli ibawas ang nagresultang expression mula sa natitira:

Well, ang huling hakbang, i-multiply ko sa, at ibawas mula sa natitirang expression:

Hooray, tapos na ang division! Ano ang naipon natin nang pribado? Sa sarili: .

Pagkatapos ay nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na polynomial:

Lutasin natin ang pangalawang equation:

Ito ay may mga ugat:

Pagkatapos ang orihinal na equation:

may tatlong ugat:

Siyempre, itinatapon namin ang huling ugat, dahil mas mababa ito sa zero. At ang unang dalawa pagkatapos ng reverse replacement ay magbibigay sa atin ng dalawang ugat:

Sagot:..

Sa halimbawang ito, hindi ko gustong takutin ka, sa halip, itinakda ko sa aking sarili ang layunin na ipakita na kahit na mayroon kaming isang medyo simpleng kapalit, gayunpaman ito ay humantong sa isang medyo kumplikadong equation, ang solusyon na nangangailangan ng ilang mga espesyal na kasanayan mula sa tayo. Well, walang immune mula dito. Ngunit ang pagbabago sa kasong ito ay medyo halata.

Narito ang isang halimbawa na may bahagyang hindi gaanong halatang pagpapalit:

Hindi malinaw kung ano ang dapat nating gawin: ang problema ay na sa ating equation mayroong dalawang magkaibang base at ang isang base ay hindi makukuha mula sa isa sa pamamagitan ng pagtaas nito sa anumang (makatwiran, natural) na antas. Gayunpaman, ano ang nakikita natin? Ang parehong mga base ay naiiba lamang sa sign, at ang kanilang produkto ay ang pagkakaiba ng mga parisukat na katumbas ng isa:

Kahulugan:

Kaya, ang mga numero na base sa ating halimbawa ay conjugate.

Sa kasong iyon, ang matalinong paglipat ay magiging i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa conjugate number.

Halimbawa, sa, pagkatapos ay ang kaliwang bahagi ng equation ay magiging pantay, at ang kanang bahagi. Kung gagawa kami ng kapalit, ang aming orihinal na equation sa iyo ay magiging ganito:

ang mga ugat nito, kung gayon, ngunit ang pag-alala niyan, nakukuha natin iyon.

Sagot: , .

Bilang isang patakaran, ang paraan ng kapalit ay sapat na upang malutas ang karamihan sa mga "paaralan" na mga equation ng exponential. Ang mga sumusunod na gawain ay kinuha mula sa USE C1 (tumaas na antas ng kahirapan). Mayroon ka nang sapat na literate upang malutas ang mga halimbawang ito sa iyong sarili. Ibibigay ko lang ang kinakailangang kapalit.

1. Lutasin ang equation:
2. Hanapin ang mga ugat ng equation:
3. Lutasin ang equation: . Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa segment:

Ngayon para sa ilang mabilis na paliwanag at sagot:

1. Dito sapat na upang tandaan na at. Kung gayon ang orihinal na equation ay magiging katumbas ng isang ito: Ang equation na ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagpapalit Gawin ang mga sumusunod na kalkulasyon sa iyong sarili. Sa huli, ang iyong gawain ay mababawasan sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometriko (depende sa sine o cosine). Tatalakayin natin ang solusyon ng mga naturang halimbawa sa ibang mga seksyon.
2. Dito maaari mo ring gawin nang walang kapalit: ilipat lamang ang subtrahend sa kanan at kumakatawan sa parehong mga base sa pamamagitan ng mga kapangyarihan ng dalawa: at pagkatapos ay agad na pumunta sa quadratic equation.
3. Ang ikatlong equation ay nalutas din sa isang medyo karaniwang paraan: isipin kung paano. Pagkatapos, ang pagpapalit ay makakakuha tayo ng isang quadratic equation: pagkatapos,

   Alam mo na ba kung ano ang logarithm? Hindi? Pagkatapos ay agad na basahin ang paksa!

   Ang unang ugat, malinaw naman, ay hindi kabilang sa segment, at ang pangalawa ay hindi maintindihan! Ngunit malalaman natin ito sa lalong madaling panahon! Dahil, pagkatapos (ito ay isang pag-aari ng logarithm!) Paghambingin natin:

   Ibawas mula sa parehong bahagi, pagkatapos ay makuha namin:

   Ang kaliwang bahagi ay maaaring ilarawan bilang:

   i-multiply ang magkabilang panig sa pamamagitan ng:

   maaaring i-multiply sa, kung gayon

   Pagkatapos ay ihambing natin:

   Simula noon:

   Pagkatapos ang pangalawang ugat ay kabilang sa nais na pagitan

   Sagot:

Tulad ng nakikita mo, ang pagpili ng mga ugat ng exponential equation ay nangangailangan ng medyo malalim na kaalaman sa mga katangian ng logarithms, kaya ipinapayo ko sa iyo na maging maingat hangga't maaari sa paglutas ng mga exponential equation. Tulad ng alam mo, sa matematika ang lahat ay magkakaugnay! Gaya ng sinasabi ng aking guro sa matematika: "Hindi mo mababasa ang matematika tulad ng kasaysayan nang magdamag."

Bilang isang tuntunin, lahat ang kahirapan sa paglutas ng mga problema C1 ay tiyak ang pagpili ng mga ugat ng equation. Magsanay tayo sa isa pang halimbawa:

Malinaw na ang equation mismo ay nalutas nang simple. Nang magawa ang pagpapalit, binabawasan namin ang aming orihinal na equation sa mga sumusunod:

Tingnan muna natin ang unang ugat. Paghambingin at: simula, noon. (pag-aari ng logarithmic function, at). Pagkatapos ay malinaw na ang unang ugat ay hindi kabilang sa aming pagitan. Ngayon ang pangalawang ugat: . Ito ay malinaw na (dahil ang pag-andar ay tumataas). Ito ay nananatiling upang ihambing at

mula noon, pagkatapos, sa parehong oras. Kaya, maaari akong "magmaneho ng peg" sa pagitan ng at. Ang peg na ito ay isang numero. Ang unang expression ay mas mababa kaysa at ang pangalawa ay mas malaki kaysa. Pagkatapos ang pangalawang expression ay mas malaki kaysa sa una at ang ugat ay kabilang sa pagitan.

Sagot: .

Sa konklusyon, tingnan natin ang isa pang halimbawa ng isang equation kung saan ang kapalit ay medyo hindi pamantayan:

Magsimula tayo kaagad sa kung ano ang maaari mong gawin, at kung ano - sa prinsipyo, magagawa mo, ngunit mas mahusay na huwag gawin ito. Posible - upang kumatawan sa lahat sa pamamagitan ng mga kapangyarihan ng tatlo, dalawa at anim. Saan ito humahantong? Oo, at hindi hahantong sa anuman: isang hodgepodge ng mga degree, ang ilan sa mga ito ay medyo mahirap alisin. Ano ang kailangan? Pansinin natin na a At ano ang ibibigay nito sa atin? At ang katotohanan na maaari nating bawasan ang solusyon ng halimbawang ito sa solusyon ng isang medyo simpleng exponential equation! Una, muling isulat natin ang ating equation bilang:

Ngayon hinati namin ang magkabilang panig ng nagresultang equation sa:

Eureka! Ngayon ay maaari naming palitan, makuha namin:

Buweno, ngayon ay iyong pagkakataon na lutasin ang mga problema para sa mga demonstrasyon, at dadalhin ko lang sila sa maikling komento para hindi ka maligaw! Good luck!

1. Ang pinakamahirap! Ang makakita ng kapalit dito oh, ang pangit! Gayunpaman, ang halimbawang ito ay maaaring ganap na malutas gamit pagpili ng isang buong parisukat. Upang malutas ito, sapat na tandaan na:

Kaya narito ang iyong kapalit:

(Tandaan na dito, sa ating kapalit, hindi natin maaaring itapon ang negatibong ugat!!! At bakit, ano sa palagay mo?)

Ngayon, upang malutas ang halimbawa, kailangan mong lutasin ang dalawang equation:

Pareho silang nalutas sa pamamagitan ng "karaniwang kapalit" (ngunit ang pangalawa sa isang halimbawa!)

2. Pansinin iyon at gumawa ng pagpapalit.

3. Palawakin ang bilang sa mga coprime factor at pasimplehin ang resultang expression.

4. Hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa (o kung gusto mo) at gawin ang pagpapalit o.

5. Tandaan na ang mga numero at ay conjugate.

EXPOSITIONAL EQUATIONS. ADVANCED LEVEL

Bilang karagdagan, tingnan natin ang isa pang paraan - solusyon ng mga exponential equation sa pamamagitan ng logarithm method. Hindi ko masasabi na ang solusyon ng mga exponential equation sa pamamagitan ng pamamaraang ito ay napakapopular, ngunit sa ilang mga kaso ay maaari lamang itong humantong sa atin sa tamang desisyon ang ating equation. Lalo na madalas itong ginagamit upang malutas ang tinatawag na " halo-halong equation': iyon ay, ang mga kung saan mayroong mga pag-andar ng iba't ibang uri.

Halimbawa, isang equation tulad ng:

sa pangkalahatang kaso, ito ay malulutas lamang sa pamamagitan ng pagkuha ng logarithm ng parehong bahagi (halimbawa, ayon sa base), kung saan ang orihinal na equation ay nagiging sumusunod:

Isaalang-alang natin ang sumusunod na halimbawa:

Malinaw na interesado lamang tayo sa ODZ ng logarithmic function. Gayunpaman, ito ay sumusunod hindi lamang mula sa ODZ ng logarithm, ngunit para sa isa pang dahilan. Sa tingin ko, hindi ka mahihirapang hulaan kung alin.

Dalhin natin ang logarithm ng magkabilang panig ng ating equation sa base:

Tulad ng nakikita mo, ang pagkuha ng logarithm ng aming orihinal na equation ay mabilis na humantong sa amin sa tamang (at maganda!) na sagot. Magsanay tayo sa isa pang halimbawa:

Dito rin, walang dapat ipag-alala: kinukuha natin ang logarithm ng magkabilang panig ng equation sa mga tuntunin ng base, pagkatapos ay makukuha natin:

Gumawa tayo ng kapalit:

Gayunpaman, may napalampas kami! Napansin mo ba kung saan ako nagkamali? Pagkatapos ng lahat, pagkatapos:

na hindi nakakatugon sa kinakailangan (isipin kung saan ito nanggaling!)

Sagot:

Subukang isulat ang solusyon ng mga exponential equation sa ibaba:

Ngayon suriin ang iyong solusyon gamit ito:

1. Logarithm namin ang parehong bahagi sa base, na ibinigay na:

(ang pangalawang ugat ay hindi nababagay sa amin dahil sa kapalit)

2. Logarithm sa base:

Ibahin natin ang resultang expression sa sumusunod na anyo:

EXPOSITIONAL EQUATIONS. MAIKLING PAGLALARAWAN AT BATAYANG FORMULA

exponential equation

Uri ng equation:

tinawag ang pinakasimpleng exponential equation.

Mga katangian ng degree

Mga Diskarte sa Solusyon

• Pagbawas sa parehong base
• Pagbawas sa parehong exponent
• Pagpapalit ng variable
• Pasimplehin ang expression at ilapat ang isa sa itaas.

Kagamitan:

• isang kompyuter,
• multimedia projector,
• screen,
• Kalakip 1(slide presentation sa PowerPoint) "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation"
• Annex 2(Solusyon ng isang equation tulad ng "Tatlong magkakaibang base ng mga degree" sa Word)
• Annex 3(handout sa Word para sa Praktikal na trabaho).
• Appendix 4(handout sa Word para sa takdang-aralin).

Sa panahon ng mga klase

• mensahe ng paksa ng aralin (nakasulat sa pisara),
• ang pangangailangan para sa isang pangkalahatang aralin sa mga baitang 10-11:

Ang yugto ng paghahanda ng mga mag-aaral para sa aktibong asimilasyon ng kaalaman

Pag-uulit

Kahulugan.

Ang exponential equation ay isang equation na naglalaman ng variable sa exponent (sagot ng mag-aaral).

Tala ng guro. Ang mga exponential equation ay nabibilang sa klase ng transendental equation. Itong mahirap bigkasin na pangalan ay nagmumungkahi na ang mga naturang equation, sa pangkalahatan, ay hindi malulutas sa anyo ng mga formula.

Maaari lamang silang malutas sa pamamagitan ng humigit-kumulang numerical na pamamaraan sa mga computer. Ngunit ano ang tungkol sa mga tanong sa pagsusulit? Ang buong lansihin ay binubuo ng tagasuri ang problema sa paraang umamin lamang ito ng isang analytical na solusyon. Sa madaling salita, maaari mong (at dapat!) gawin ang mga katulad na pagbabagong-anyo na nagpapababa sa ibinigay na exponential equation sa pinakasimpleng exponential equation. Ito ang pinakasimpleng equation at tinatawag na: ang pinakasimpleng exponential equation. Ito ay nalutas logarithm.

Ang sitwasyon na may solusyon ng isang exponential equation ay kahawig ng isang paglalakbay sa isang maze, na espesyal na imbento ng compiler ng problema. Mula sa mga pangkalahatang pagsasaalang-alang na ito, ang mga medyo tiyak na rekomendasyon ay sumusunod.

1. Hindi lamang aktibong nakakaalam ng lahat ng exponential na pagkakakilanlan, ngunit nakakahanap din ng mga hanay ng mga halaga ng variable kung saan tinukoy ang mga pagkakakilanlan na ito, upang kapag ginagamit ang mga pagkakakilanlan na ito, ang isa ay hindi nakakakuha ng hindi kinakailangang mga ugat, at higit pa, hindi mawawala mga solusyon sa equation.

2. Aktibong alamin ang lahat ng exponential identity.

3. Malinaw, nang detalyado at walang mga pagkakamali, magsagawa ng mathematical transformations ng mga equation (maglipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa, hindi nakakalimutang baguhin ang sign, bawasan ang fraction sa isang common denominator, atbp.). Ito ay tinatawag na mathematical culture. Kasabay nito, ang mga kalkulasyon mismo ay dapat na awtomatikong gawin sa pamamagitan ng mga kamay, at dapat isipin ng ulo ang pangkalahatang gabay na thread ng solusyon. Kinakailangang gumawa ng mga pagbabagong maingat at detalyado hangga't maaari. Ito lang ang magagarantiya ng tama, walang error na solusyon. At tandaan: maliit error sa aritmetika ay maaari lamang lumikha ng isang transendental na equation, na sa prinsipyo ay hindi malulutas nang analytical. Naligaw ka pala at napadpad sa dingding ng labirint.

4. Alamin ang mga paraan ng paglutas ng mga problema (iyon ay, alamin ang lahat ng mga landas sa pamamagitan ng labirint ng solusyon). Para sa tamang oryentasyon sa bawat yugto, kakailanganin mong (sinasadya o intuitively!):

• tukuyin uri ng equation;
• tandaan ang kaukulang uri paraan ng solusyon mga gawain.

Ang yugto ng generalization at systematization ng pinag-aralan na materyal.

Ang guro, kasama ang mga mag-aaral, na may paglahok ng isang computer, ay nagsasagawa ng isang pangkalahatang-ideya na pag-uulit ng lahat ng mga uri ng mga exponential equation at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, at gumuhit ng isang pangkalahatang pamamaraan. (Gamit ang isang tutorial programa sa kompyuter L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000", ang may-akda ng pagtatanghal sa PowerPoint - T.N. Kuptsov.)

kanin. isa. Ang figure ay nagpapakita ng pangkalahatang scheme ng lahat ng uri ng exponential equation.

Tulad ng makikita mula sa diagram na ito, ang diskarte para sa paglutas ng mga exponential equation ay upang bawasan ang exponential equation na ito sa equation, una sa lahat, na may parehong mga batayan , at pagkatapos - at na may parehong exponents.

Sa pagkakaroon ng pagkuha ng isang equation na may parehong mga base at exponents, papalitan mo ang degree na ito ng isang bagong variable at kumuha ng isang simpleng algebraic equation (karaniwan ay fractional rational o quadratic) na may kinalaman sa bagong variable na ito.

Sa pamamagitan ng paglutas sa equation na ito at paggawa ng inverse substitution, magkakaroon ka ng isang set ng mga simpleng exponential equation na nalutas sa pangkalahatang paraan gamit ang logarithms.

Magkahiwalay ang mga equation kung saan ang mga produkto lamang ng (pribadong) kapangyarihan ang nangyayari. Gamit ang mga exponential identity, posibleng dalhin agad ang mga equation na ito sa isang base, sa partikular, sa pinakasimpleng exponential equation.

Isaalang-alang kung paano nalulutas ang isang exponential equation na may tatlong magkakaibang base ng degree.

(Kung ang guro ay may pagtuturo sa computer program ni L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000", pagkatapos ay natural na nagtatrabaho kami sa disk, kung hindi, maaari mong i-print ang ganitong uri ng equation para sa bawat desk mula dito, na ipinakita sa ibaba .)

kanin. 2. Plano ng solusyon sa equation.

kanin. 3. Nagsisimula sa paglutas ng equation

kanin. apat. Ang dulo ng solusyon ng equation.

Gumagawa ng praktikal na gawain

Tukuyin ang uri ng equation at lutasin ito.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Pagbubuod ng aralin

Pagmamarka ng isang aralin.

pagtatapos ng aralin

Para sa guro

Scheme ng mga sagot sa praktikal na gawain.

Pagsasanay: mula sa listahan ng mga equation, piliin ang mga equation ng tinukoy na uri (ilagay ang numero ng sagot sa talahanayan):

1. Tatlong magkakaibang base
2. Dalawang magkaibang base - magkaibang exponents
3. Mga base ng kapangyarihan - kapangyarihan ng isang numero
4. Parehong base, iba't ibang exponent
5. Parehong exponent base - parehong exponent
6. Produkto ng mga kapangyarihan
7. Dalawang magkaibang base ng mga degree - ang parehong mga tagapagpahiwatig
8. Ang pinakasimpleng exponential equation

1. (produkto ng kapangyarihan)

2. (parehong base - magkaibang exponents)

Lecture: "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation."

1 . mga exponential equation.

Ang mga equation na naglalaman ng mga hindi alam sa exponent ay tinatawag na exponential equation. Ang pinakasimple sa mga ito ay ang equation na ax = b, kung saan ang a > 0 at a ≠ 1.

1) Para sa b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Para sa b > 0, gamit ang monotonicity ng function at ang root theorem, ang equation ay may iisang ugat. Upang mahanap ito, ang b ay dapat na kinakatawan bilang b = aс, ax = bс ó x = c o x = logab.

Ang mga exponential equation sa pamamagitan ng algebraic transformations ay humahantong sa karaniwang equation, na nalutas gamit ang mga sumusunod na pamamaraan:

1) paraan ng pagbabawas sa isang base;

2) paraan ng pagsusuri;

3) graphic na paraan;

4) ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable;

5) paraan ng factorization;

6) nagpapahiwatig - mga equation ng kapangyarihan;

7) exponential na may parameter.

2 . Paraan ng pagbabawas sa isang batayan.

Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na pag-aari ng mga degree: kung ang dalawang degree ay pantay at ang kanilang mga base ay pantay, kung gayon ang kanilang mga exponents ay pantay, ibig sabihin, ang equation ay dapat subukan na bawasan sa anyo

Mga halimbawa. Lutasin ang equation:

1 . 3x=81;

Imagine kanang bahagi equation sa anyong 81 = 34 at sumulat ng equation na katumbas ng orihinal na 3 x = 34; x = 4. Sagot: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> at pumunta sa equation para sa mga exponents 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5 Sagot: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Tandaan na ang mga numerong 0.2, 0.04, √5, at 25 ay mga kapangyarihan ng 5. Samantalahin natin ito at baguhin ang orihinal na equation gaya ng sumusunod:

, kung saan ang 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, kung saan matatagpuan natin ang solusyon x = -1. Sagot: -1.

5. 3x = 5. Sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, x = log35. Sagot: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Isulat muli ang equation bilang 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" width="181" height="49 src="> Samakatuwid x - 4 =0, x = 4. Sagot: apat.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, isinusulat namin ang equation sa anyong e.x+1 = 2, x =1. Sagot: 1.

Bangko ng mga gawain No. 1.

Lutasin ang equation:

Pagsubok bilang 1.

Pagsubok #2

3 Paraan ng pagtatasa.

Ang root theorem: kung ang function na f (x) ay tumaas (bumababa) sa interval I, ang numero a ay anumang halaga na kinuha ng f sa interval na ito, kung gayon ang equation na f (x) = a ay may isang ugat sa interval I.

Kapag nilulutas ang mga equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng pagtatantya, ang teorama na ito at ang mga katangian ng monotonicity ng function ay ginagamit.

Mga halimbawa. Lutasin ang mga Equation: 1. 4x = 5 - x.

Solusyon. Isulat muli natin ang equation bilang 4x + x = 5.

1. kung ang x \u003d 1, kung gayon ang 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 ay totoo, kung gayon ang 1 ay ang ugat ng equation.

Ang function na f(x) = 4x ay tumataas sa R ​​at g(x) = x ay tumataas sa R ​​=> h(x)= f(x)+g(x) ay tumataas sa R ​​bilang kabuuan ng pagtaas ng mga function, kaya ang x = 1 ay ang tanging ugat ng equation na 4x = 5 – x. Sagot: 1.

2.

Solusyon. Muli naming isinusulat ang equation sa form .

1. kung x = -1, kung gayon , 3 = 3-totoo, kaya ang x = -1 ay ang ugat ng equation.

2. patunayan na ito ay natatangi.

3. Ang function na f(x) = - bumababa sa R, at g(x) = - x - bumababa sa R ​​=> h(x) = f(x) + g(x) - bumababa sa R, bilang kabuuan ng nagpapababa ng mga function. Kaya sa pamamagitan ng root theorem, ang x = -1 ay ang tanging ugat ng equation. Sagot: -1.

Bangko ng mga gawain Blg. 2. lutasin ang equation

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable.

Ang pamamaraan ay inilarawan sa seksyon 2.1. Ang pagpapakilala ng isang bagong variable (pagpapalit) ay karaniwang isinasagawa pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo (pagpapasimple) ng mga tuntunin ng equation. Isaalang-alang ang mga halimbawa.

Mga halimbawa. R kumain ng equation: 1. .

Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Solusyon. Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan:

Ipahiwatig ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - hindi angkop.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - hindi makatwirang equation. Pansinin natin iyon

Ang solusyon sa equation ay x = 2.5 ≤ 4, kaya 2.5 ang ugat ng equation. Sagot: 2.5.

Solusyon. Muli nating isulat ang equation sa anyo at hatiin ang magkabilang panig ng 56x+6 ≠ 0. Nakukuha natin ang equation

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, so..png" width="118" height="56">

Ang mga ugat ng quadratic equation - t1 = 1 at t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Solusyon . Muli naming isinusulat ang equation sa form

at tandaan na ito ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree.

Hatiin ang equation sa pamamagitan ng 42x, nakukuha natin

Palitan ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Sagot: 0; 0.5.

Task Bank #3. lutasin ang equation

b)

G)

Pagsubok #3 na may pagpipilian ng mga sagot. Pinakamababang antas.

Pagsubok #4 na may pagpipilian ng mga sagot. Pangkalahatang antas.

5. Paraan ng factorization.

1. Lutasin ang equation: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , saan galing

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Solusyon. Ilabas natin ang 6x sa kaliwang bahagi ng equation, at 2x sa kanang bahagi. Nakukuha namin ang equation na 6x(1+6) = 2x(1+2+4) o 6x = 2x.

Dahil 2x >0 para sa lahat ng x, maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 2x nang walang takot na mawala ang mga solusyon. Nakukuha namin ang 3x = 1ó x = 0.

3.

Solusyon. Lutasin namin ang equation sa pamamagitan ng factoring.

Pinipili namin ang parisukat ng binomial

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ang ugat ng equation.

Equation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Pagsubok #6 Pangkalahatang antas.

6. Exponential - mga equation ng kapangyarihan.

Ang mga exponential equation ay pinagsama ng tinatawag na exponential-power equation, ibig sabihin, ang mga equation ng form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Kung alam na ang f(x)>0 at f(x) ≠ 1, kung gayon ang equation, tulad ng exponential, ay malulutas sa pamamagitan ng equating ng mga exponent g(x) = f(x).

Kung hindi ibinubukod ng kundisyon ang posibilidad ng f(x)=0 at f(x)=1, dapat nating isaalang-alang ang mga kasong ito kapag nilulutas ang exponential power equation.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Solusyon. x2 +2x-8 - may katuturan para sa anumang x, dahil isang polynomial, kaya ang equation ay katumbas ng set

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Exponential equation na may mga parameter.

1. Para sa anong mga halaga ng parameter p ang equation 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) ay may natatanging solusyon?

Solusyon. Ipakilala natin ang pagbabagong 2x = t, t > 0, pagkatapos ang equation (1) ay magkakaroon ng anyong t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Ang discriminant ng equation (2) ay D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ang equation (1) ay may natatanging solusyon kung ang equation (2) ay may isang positibong ugat. Posible ito sa mga sumusunod na kaso.

1. Kung D = 0, ibig sabihin, p = 1, ang equation (2) ay magkakaroon ng anyong t2 – 2t + 1 = 0, kaya t = 1, samakatuwid, ang equation (1) ay may natatanging solusyon x = 0.

2. Kung p1, pagkatapos ay 9(p – 1)2 > 0, kung gayon ang equation (2) ay may dalawang magkaibang ugat t1 = p, t2 = 4p – 3. Ang hanay ng mga sistema ay nakakatugon sa kondisyon ng problema

Ang pagpapalit ng t1 at t2 sa mga sistema, mayroon kami

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11)" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Solusyon. Hayaan pagkatapos ang equation (3) ay kukuha ng anyong t2 – 6t – a = 0. (4)

Hanapin natin ang mga halaga ng parameter a kung saan kahit isang ugat ng equation (4) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.

Ipakilala natin ang function f(t) = t2 – 6t – a. Posible ang mga sumusunod na kaso.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Kaso 2. Ang equation (4) ay may natatanging positibong solusyon kung

D = 0, kung a = – 9, ang equation (4) ay magkakaroon ng form (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Kaso 3. Ang equation (4) ay may dalawang ugat, ngunit ang isa sa mga ito ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay t > 0. Ito ay posible kung

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Kaya, sa a 0 equation (4) ay may isang positibong ugat . Pagkatapos ang equation (3) ay may natatanging solusyon

Para sa< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

kung ang< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
kung a = – 9, kung gayon x = – 1;

kung a  0, kung gayon

Ihambing natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation (1) at (3). Tandaan na kapag ang paglutas ng equation (1) ay binawasan sa isang quadratic equation, ang discriminant nito ay isang buong square; kaya, ang mga ugat ng equation (2) ay agad na kinakalkula ng formula ng mga ugat ng quadratic equation, at pagkatapos ay ginawa ang mga konklusyon tungkol sa mga ugat na ito. Ang equation (3) ay ginawang quadratic equation (4), na ang discriminant ay hindi buong parisukat, samakatuwid, kapag nilulutas ang equation (3), ipinapayong gumamit ng mga theorems sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial at isang graphical na modelo. Tandaan na ang equation (4) ay maaaring malutas gamit ang Vieta theorem.

Lutasin natin ang mas kumplikadong mga equation.

Gawain 3. Lutasin ang equation

Solusyon. ODZ: x1, x2.

Magpakilala tayo ng kapalit. Hayaan ang 2x = t, t > 0, pagkatapos bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo ang equation ay kukuha ng anyong t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Hanapin natin ang mga halaga ng a kung saan hindi bababa sa isang ugat ng ang equation (*) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Sagot: kung a > - 13, a  11, a  5, kung gayon kung a - 13,

a = 11, a = 5, pagkatapos ay walang mga ugat.

Bibliograpiya.

1. Guzeev pundasyon ng teknolohiyang pang-edukasyon.

2. Teknolohiya ng Guzeev: mula sa pagtanggap hanggang sa pilosopiya.

M. "Punong Guro" Blg. 4, 1996

3. Guzeev at mga pormang pang-organisasyon pag-aaral.

4. Guzeev at ang pagsasagawa ng integral na teknolohiyang pang-edukasyon.

M. "Edukasyon ng mga tao", 2001

5. Guzeev mula sa mga anyo ng aralin - seminar.

Matematika sa paaralan Blg. 2, 1987, pp. 9 - 11.

6. Mga teknolohiyang pang-edukasyon ng Selevko.

M. "Edukasyon ng mga tao", 1998

7. Ang mga mag-aaral sa Episheva ay natututo ng matematika.

M. "Enlightenment", 1990

8. Ivanov upang maghanda ng mga aralin - mga workshop.

Matematika sa Paaralan Blg. 6, 1990, p. 37-40.

9. Smirnov modelo ng pagtuturo ng matematika.

Matematika sa Paaralan Blg. 1, 1997, p. 32-36.

10. Tarasenko na mga paraan ng pag-aayos ng praktikal na gawain.

Matematika sa Paaralan Blg. 1, 1993, p. 27 - 28.

11. Tungkol sa isa sa mga uri ng indibidwal na gawain.

Mathematics at School No. 2, 1994, pp. 63 - 64.

12. Khazankin Mga malikhaing kasanayan mga mag-aaral.

Matematika sa Paaralan Blg. 2, 1989, p. sampu.

13. Scanavi. Publisher, 1997

14. et al. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Mga materyales sa didactic para sa

15. Mga gawain sa Krivonogov sa matematika.

M. "Una ng Setyembre", 2002

16. Cherkasov. Handbook para sa mga mag-aaral sa high school at

pagpasok sa mga unibersidad. "A S T - press school", 2002

17. Zhevnyak para sa mga aplikante sa mga unibersidad.

Minsk at RF "Repasuhin", 1996

18. Nakasulat D. Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika. M. Rolf, 1999

19. at iba pa.Pag-aaral na lutasin ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

M. "Intellect - Center", 2003

20. at iba pa. Mga materyales na pang-edukasyon at pagsasanay para sa paghahanda para sa E G E.

M. "Intellect - Center", 2003 at 2004

21 at iba pa. Mga variant ng CMM. Testing Center ng Ministry of Defense ng Russian Federation, 2002, 2003

22. Goldberg equation. "Quantum" No. 3, 1971

23. Volovich M. Paano matagumpay na magturo ng matematika.

Mathematics, 1997 No. 3.

24 Okunev para sa aralin, mga bata! M. Enlightenment, 1988

25. Yakimanskaya - oriented na edukasyon sa paaralan.

26. Nagtatrabaho si Liimets sa aralin. M. Kaalaman, 1975