Solusyon ng mga hindi makatwirang equation. Paano malutas ang mga hindi makatwirang equation

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation.

Paunang paghahanda para sa aralin: ang mga mag-aaral ay dapat na malutas ang mga hindi makatwirang equation sa iba't ibang paraan.

Tatlong linggo bago ang sesyon na ito, ang mga mag-aaral ay makakatanggap ng takdang-aralin #1: lutasin ang iba't ibang hindi makatwirang equation. (Ang mga mag-aaral ay nakapag-iisa na nakahanap ng 6 na magkakaibang hindi makatwirang equation at lutasin ang mga ito nang magkapares.)

Isang linggo bago ang araling ito, ang mga mag-aaral ay tumatanggap ng takdang-aralin #2, na kinukumpleto nila nang paisa-isa.

1. Lutasin ang equationiba't ibang paraan.

2. Suriin ang mga pakinabang at disadvantage ng bawat pamamaraan.

3. Gumawa ng talaan ng mga konklusyon sa anyo ng isang talahanayan.

Layunin ng Aralin:

Pang-edukasyon:paglalahat ng kaalaman ng mga mag-aaral sa paksang ito, pagpapakita iba't ibang pamamaraan paglutas ng mga hindi makatwirang equation, kakayahan ng mga mag-aaral na lapitan ang paglutas ng mga equation mula sa pananaw ng pananaliksik.

Pang-edukasyon:edukasyon ng kalayaan, ang kakayahang makinig sa iba at makipag-usap sa mga grupo, pagtaas ng interes sa paksa.

Pagbuo:pag-unlad lohikal na pag-iisip, kultura ng algorithm, mga kasanayan sa pag-aaral sa sarili, pag-aayos sa sarili, magtrabaho nang magkapares kapag gumagawa ng araling-bahay, ang kakayahang mag-analisa, maghambing, mag-generalize, gumawa ng mga konklusyon.

Kagamitan: computer, projector, screen, table "Mga Panuntunan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation", isang poster na may quote mula sa M.V. Lomonosov "Dapat ituro ang matematika sa ibang pagkakataon na inilalagay nito ang isip sa pagkakasunud-sunod", mga card.

Mga panuntunan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation.

Uri ng aralin: lesson-seminar (magtrabaho sa mga grupo ng 5-6 na tao, bawat grupo ay dapat magkaroon ng malakas na mag-aaral).

Sa panahon ng mga klase

ako . Oras ng pag-aayos

(Mensahe ng paksa at layunin ng aralin)

II . Pagtatanghal gawaing pananaliksik"Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation"

(Ang gawain ay ipinakita ng mag-aaral na nagsagawa nito.)

III . Pagsusuri ng mga pamamaraan para sa paglutas ng araling-bahay

(Isinulat ng isang mag-aaral mula sa bawat grupo sa pisara ang kanilang mga mungkahing solusyon. Sinusuri ng bawat grupo ang isa sa mga solusyon, sinusuri ang mga pakinabang at disadvantages, gagawa ng mga konklusyon. Ang mga mag-aaral ng mga grupo ay nagdaragdag, kung kinakailangan. Ang pagsusuri at konklusyon ng grupo ay nasusuri. Dapat na malinaw at kumpleto ang mga sagot.)

Ang unang paraan: pagtaas ng magkabilang panig ng equation sa parehong kapangyarihan, na sinusundan ng pag-verify.

Desisyon.

I-square natin muli ang magkabilang panig ng equation:

Mula rito

Pagsusuri:

1. Kungx=42 noon, na nangangahulugang ang numero42 ay hindi ang ugat ng equation.

2. Kungx=2, pagkatapos, na nangangahulugang ang numero2 ay ang ugat ng equation.

Sagot:2.

Konklusyon. Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation sa pamamagitan ng pagtataas ng parehong bahagi ng equation sa parehong kapangyarihan, kinakailangan na panatilihin ang isang verbal record, na ginagawang nauunawaan at naa-access ang solusyon. Gayunpaman, kung minsan ang mandatoryong pag-verify ay kumplikado at nakakaubos ng oras. Ang pamamaraang ito ay maaaring gamitin upang malutas ang mga simpleng irrational equation na naglalaman ng 1-2 radical.

Ang pangalawang paraan: katumbas na pagbabago.

Desisyon:I-square natin ang magkabilang panig ng equation:

Sagot:2.

Konklusyon. Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation sa pamamagitan ng paraan ng katumbas na mga transition, kailangan mong malinaw na malaman kung kailan ilalagay ang tanda ng system, at kung kailan - ang pinagsama-samang. Ang masalimuot na notasyon, iba't ibang kumbinasyon ng mga palatandaan ng sistema at ang kabuuan ay kadalasang humahantong sa mga pagkakamali. Gayunpaman, ang isang pagkakasunud-sunod ng katumbas na mga transition, isang malinaw na lohikal na talaan na walang pandiwang paglalarawan na hindi nangangailangan ng pag-verify, ay ang hindi mapag-aalinlanganang mga bentahe ng pamamaraang ito.

Ang ikatlong paraan: functional-graphic.

Desisyon.

Isaalang-alang ang mga functionat.

1. Pag-andarkapangyarihan; ay tumataas, dahil ang exponent ay isang positibong (hindi integer) na numero.

D(f).

Gumawa tayo ng talahanayan ng mga halagaxatf( x).

2. Pag-andarkapangyarihan; ay bumababa.

Hanapin ang domain ng functionD( g).

Gumawa tayo ng talahanayan ng mga halagaxatg( x).

Buuin natin ang mga graph na ito ng mga function sa isang coordinate system.

Nag-intersect ang mga function graph sa isang punto na may abscissakasi functionf( x) tumataas, at ang pag-andarg( x) bumababa, pagkatapos ay mayroon lamang isang solusyon sa equation.

Sagot: 2.

Konklusyon. Ang functional-graphical na pamamaraan ay naglalarawan, nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang bilang ng mga solusyon, ngunit ito ay mas mahusay na gamitin ito kapag madali kang bumuo ng mga graph ng mga function na isinasaalang-alang at makakuha ng tumpak na sagot. Kung ang sagot ay tinatayang, pagkatapos ay mas mahusay na gumamit ng ibang paraan.

Ikaapat na paraan: pagpapakilala ng bagong variable.

Desisyon.Ipinakilala namin ang mga bagong variable, na nagsasaadNakukuha namin ang unang equation ng system

Buuin natin ang pangalawang equation ng system.

Para sa isang variable:

Para sa isang variable

Kaya

Nakukuha namin ang isang sistema ng dalawang rational equation, na may kinalaman saat

Pagbabalik sa variable, nakukuha namin

Pagpapasimple - pagkuha ng isang sistema ng mga equation na hindi naglalaman ng mga radical

1. Ang pangangailangang subaybayan ang LPV ng mga bagong variable

2. Ang pangangailangang bumalik sa orihinal na variable

Konklusyon. Ang pamamaraang ito ay pinakamahusay na ginagamit para sa mga hindi makatwirang equation na naglalaman ng mga radical ng iba't ibang degree, o ang parehong polynomial sa ilalim ng root sign at sa likod ng root sign, o magkabaligtaran na expression sa ilalim ng root sign.

- Kaya, guys, para sa bawat hindi makatwirang equation, kailangan mong piliin ang pinaka-maginhawang paraan upang malutas ito: naiintindihan. Naa-access, lohikal at mahusay na disenyo. Itaas ang iyong kamay, sino sa inyo ang magbibigay ng kagustuhan sa paglutas ng equation na ito:

1) ang paraan ng pagtaas ng parehong bahagi ng equation sa parehong kapangyarihan na may pag-verify;

2) ang paraan ng mga katumbas na pagbabago;

3) functional-graphic na paraan;

4) ang paraan ng pagpapakilala ng bagong variable.

IV . Praktikal na bahagi

(Pangkatang gawain. Ang bawat pangkat ng mga mag-aaral ay tumatanggap ng isang kard na may equation at nilulutas ito sa mga kuwaderno. Sa oras na ito, isang kinatawan mula sa grupo ang nag-solve ng isang halimbawa sa pisara. Ang mga mag-aaral ng bawat pangkat ay nagso-solve ng parehong halimbawa bilang isang miyembro ng kanilang grupo. at subaybayan ang tamang pagpapatupad ng mga gawain sa pisara.Kung ang taong sumasagot sa pisara ay nagkakamali, ang nakapansin sa kanila ay itataas ang kanyang kamay at tumutulong sa pagwawasto.Sa panahon ng aralin, ang bawat mag-aaral, bilang karagdagan sa halimbawang nalutas ng kanyang pangkat , ay kailangang isulat sa isang kuwaderno at iba pa na iminungkahi sa mga grupo at lutasin ang mga ito sa bahay.)

Pangkat 1.

Pangkat 2

Pangkat 3.

V . Pansariling gawain

(Sa mga grupo, unang may talakayan, at pagkatapos ay sisimulan ng mga mag-aaral na tapusin ang gawain. Tamang solusyon inihanda ng guro ay ipinapakita.)

VI . Pagbubuod ng aralin

Ngayon alam mo na ang paglutas ng hindi makatwiran na mga equation ay nangangailangan sa iyo na magkaroon ng mahusay na teoretikal na kaalaman, ang kakayahang ilapat ang mga ito sa pagsasanay, pansin, sipag, mabilis na pagpapatawa.

Takdang aralin

Lutasin ang mga equation na iminungkahi sa mga pangkat sa panahon ng aralin.

Kapag nag-aaral ng algebra, ang mga mag-aaral ay nahaharap sa mga equation ng maraming uri. Kabilang sa mga pinakasimpleng, maaaring pangalanan ng isa ang mga linear na naglalaman ng isang hindi alam. Kung ang isang variable sa isang mathematical expression ay itinaas sa isang tiyak na kapangyarihan, ang equation ay tinatawag na quadratic, cubic, biquadratic, at iba pa. Ang mga expression na ito ay maaaring maglaman ng mga rational na numero. Ngunit mayroon ding mga hindi makatwirang equation. Naiiba sila sa iba sa pagkakaroon ng isang function kung saan ang hindi alam ay nasa ilalim ng tanda ng radical (iyon ay, puro panlabas, ang variable dito ay makikitang nakasulat sa ilalim ng square root). Ang paglutas ng mga hindi makatwirang equation ay may sariling katangian. Kapag kinakalkula ang halaga ng isang variable upang makuha ang tamang sagot, dapat silang isaalang-alang.

"Hindi masabi sa mga salita"

Hindi lihim na ang mga sinaunang mathematician ay pangunahing nagpapatakbo mga rational na numero. Kabilang dito, tulad ng alam mo, ang mga integer, na ipinahayag sa pamamagitan ng ordinaryong at decimal na periodic fraction, mga kinatawan ng komunidad na ito. Gayunpaman, natutunan din ng mga siyentipiko ng Gitnang at Malapit na Silangan, pati na rin ang India, na bumubuo ng trigonometrya, astronomiya at algebra, na lutasin ang mga hindi makatwirang equation. Halimbawa, alam ng mga Griyego ang gayong dami, ngunit, inilagay ang mga ito sa isang pandiwang anyo, ginamit nila ang konsepto ng "alogos", na nangangahulugang "hindi maipahayag". Nang maglaon, ang mga Europeo, na ginagaya ang mga ito, ay tinawag ang gayong mga numero na "bingi". Naiiba sila sa lahat ng iba dahil maaari lamang silang katawanin sa anyo ng isang walang katapusang non-periodic fraction, ang panghuling numerical expression na imposibleng makuha. Samakatuwid, mas madalas ang gayong mga kinatawan ng kaharian ng mga numero ay isinulat sa anyo ng mga numero at mga palatandaan bilang ilang pagpapahayag na nasa ilalim ng ugat ng pangalawa o higit na antas.

Batay sa naunang nabanggit, susubukan naming tukuyin ang hindi makatwirang equation. Ang ganitong mga expression ay naglalaman ng tinatawag na "hindi maipahayag na mga numero", na isinulat gamit ang tanda parisukat na ugat. Maaari silang maging lahat ng uri ng medyo kumplikadong mga pagpipilian, ngunit sa kanilang pinakasimpleng anyo tignan ang larawan sa ibaba.

Simula sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation, una sa lahat ay kinakailangan upang kalkulahin ang lugar pinahihintulutang halaga variable.

May sense ba ang expression?

Ang pangangailangan na suriin ang nakuha na mga halaga ay sumusunod mula sa mga katangian. Gaya ng nalalaman, ang gayong ekspresyon ay katanggap-tanggap at may anumang kahulugan lamang sa ilalim ng ilang mga kundisyon. Sa mga kaso ng pantay na ugat, ang lahat ng mga radikal na expression ay dapat na positibo o katumbas ng zero. Kung ang kundisyong ito ay hindi natutugunan, kung gayon ang mathematical notation hindi maituturing na makabuluhan.

Magbigay tayo ng isang partikular na halimbawa kung paano lutasin ang mga hindi makatwirang equation (nakalarawan sa ibaba).

Sa kasong ito, malinaw na ang mga kundisyong ito ay hindi masisiyahan para sa anumang mga halaga na kinuha ng nais na halaga, dahil lumalabas na 11 ≤ x ≤ 4. Nangangahulugan ito na ang Ø lamang ang maaaring maging solusyon.

Paraan ng pagsusuri

Mula sa itaas, nagiging malinaw kung paano lutasin ang ilang uri ng hindi makatwiran na mga equation. Dito sa isang mahusay na paraan maaaring isang simpleng pagsusuri.

Nagbibigay kami ng ilang mga halimbawa na muling malinaw na nagpapakita nito (sa larawan sa ibaba).

Sa unang kaso, sa maingat na pagsasaalang-alang ng expression, agad itong nagiging malinaw na hindi ito totoo. Sa katunayan, pagkatapos ng lahat, sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay dapat makuha positibong numero, na hindi kailanman maaaring katumbas ng -1.

Sa pangalawang kaso, maaaring isaalang-alang ang kabuuan ng dalawang positibong expression sero, kapag x - 3 = 0 at x + 3 = 0 nang magkasabay. Muli, ito ay imposible. At kaya, sa sagot, dapat mong isulat muli ang Ø.

Ang ikatlong halimbawa ay halos kapareho sa nauna. Sa katunayan, dito ang mga kondisyon ng ODZ ay nangangailangan na ang mga sumusunod na walang katotohanan na hindi pagkakapantay-pantay ay matugunan: 5 ≤ x ≤ 2. At ang gayong equation sa katulad na paraan ay hindi maaaring magkaroon ng maayos na mga solusyon.

Walang limitasyong Zoom

Ang likas na katangian ng hindi makatwiran ay maaaring pinaka-malinaw at ganap na ipaliwanag at malalaman lamang sa pamamagitan ng walang katapusang serye ng mga numero. decimal fraction. At isang tiyak, kapansin-pansing halimbawa ng mga miyembro ng pamilyang ito ay pi. Hindi nang walang dahilan, ipinapalagay na ang pare-parehong matematika na ito ay kilala mula noong sinaunang panahon, na ginagamit sa pagkalkula ng circumference at lugar ng isang bilog. Ngunit sa mga Europeo, ito ay unang ipinatupad ng Englishman na si William Jones at ng Swiss na si Leonhard Euler.

Ang pare-parehong ito ay lumitaw bilang mga sumusunod. Kung ihahambing natin ang pinaka magkakaibang mga circumference, kung gayon ang ratio ng kanilang mga haba at diameter ay kinakailangang katumbas ng parehong numero. Ito ay pi. Kung ipinahayag sa mga tuntunin ng karaniwang fraction, pagkatapos ay humigit-kumulang makuha namin ang 22/7. Ito ay unang ginawa ng dakilang Archimedes, na ang larawan ay ipinapakita sa figure sa itaas. Iyon ang dahilan kung bakit nakuha ng isang katulad na numero ang kanyang pangalan. Ngunit ito ay hindi isang tahasang, ngunit isang tinatayang halaga ng marahil ang pinakakahanga-hangang mga numero. Natagpuan ng napakatalino na siyentipiko ang nais na halaga na may katumpakan na 0.02, ngunit, sa katunayan, ang pare-parehong ito ay walang tunay na halaga, ngunit ipinahayag bilang 3.1415926535 ... Ito ay kumakatawan walang katapusang hilera mga numero, na walang katiyakan na lumalapit sa isang tiyak na mythical value.

Pag-squaring

Ngunit bumalik sa hindi makatwirang mga equation. Upang mahanap ang hindi alam, sa kasong ito napakadalas resort sa simpleng paraan: parisukat ang magkabilang panig ng umiiral na pagkakapantay-pantay. Ang pamamaraang ito ay karaniwang nagbibigay ng magagandang resulta. Ngunit dapat isaalang-alang ng isa ang pagiging mapanlinlang ng hindi makatwiran na mga halaga. Ang lahat ng mga ugat na nakuha bilang isang resulta nito ay dapat suriin, dahil maaaring hindi sila angkop.

Ngunit ipagpatuloy natin ang pagsasaalang-alang ng mga halimbawa at subukang hanapin ang mga variable sa bagong iminungkahing paraan.

Hindi mahirap, gamit ang Vieta theorem, upang mahanap ang nais na mga halaga ng mga dami pagkatapos, bilang isang resulta ng ilang mga operasyon, nabuo namin quadratic equation. Dito lumalabas na sa mga ugat ay magkakaroon ng 2 at -19. Gayunpaman, kapag sinusuri, pinapalitan ang nakuha na mga halaga sa orihinal na expression, maaari mong tiyakin na wala sa mga ugat na ito ang angkop. Ito ay isang pangkaraniwang pangyayari sa mga hindi makatwirang equation. Nangangahulugan ito na ang aming dilemma muli ay walang mga solusyon, at ang walang laman na hanay ay dapat ipahiwatig sa sagot.

Mas kumplikadong mga halimbawa

Sa ilang mga kaso, kinakailangan na i-square ang magkabilang panig ng expression hindi isang beses, ngunit ilang beses. Isaalang-alang ang mga halimbawa kung saan kinakailangan ang nasa itaas. Makikita ang mga ito sa ibaba.

Ang pagkakaroon ng natanggap na mga ugat, huwag kalimutang suriin ang mga ito, dahil ang mga dagdag ay maaaring lumitaw. Dapat itong ipaliwanag kung bakit ito posible. Kapag nag-aaplay ng gayong pamamaraan, ang isang rasyonalisasyon ng equation ay nangyayari sa ilang paraan. Ngunit ang pag-alis ng mga ugat na hindi kanais-nais sa atin, na pumipigil sa atin sa paggawa mga operasyon sa aritmetika, pinapalawak namin ang umiiral na hanay ng mga halaga, na puno (tulad ng naiintindihan mo) na may mga kahihinatnan. Inaasahan ito, gumawa kami ng tseke. Sa kasong ito, may pagkakataon na matiyak na isa lamang sa mga ugat ang akma: x = 0.

Mga sistema

Ano ang gagawin sa mga kaso kung kailan kinakailangan upang malutas ang mga sistema ng hindi makatwiran na mga equation, at wala tayong isa, ngunit dalawang buong hindi alam? Dito nagpapatuloy kami sa parehong paraan tulad ng sa mga ordinaryong kaso, ngunit isinasaalang-alang ang mga katangian sa itaas ng mga mathematical expression na ito. At sa bawat bagong gawain, siyempre, dapat mong ilapat ang isang malikhaing diskarte. Ngunit, muli, ito ay mas mahusay na isaalang-alang ang lahat sa tiyak na halimbawa sa ibaba. Dito hindi lamang kinakailangan upang mahanap ang mga variable na x at y, ngunit upang ipahiwatig din ang kanilang kabuuan sa sagot. Kaya, mayroong isang sistema na naglalaman ng mga hindi makatwiran na dami (tingnan ang larawan sa ibaba).

Tulad ng nakikita mo, ang gayong gawain ay hindi supernatural na mahirap. Kailangan mo lang maging matalino at hulaan na ang kaliwang bahagi ng unang equation ay ang parisukat ng kabuuan. Ang mga katulad na gawain ay matatagpuan sa pagsusulit.

Hindi makatwiran sa matematika

Sa bawat pagkakataon, ang pangangailangan na lumikha ng mga bagong uri ng mga numero ay lumitaw para sa sangkatauhan kapag wala itong "espasyo" upang malutas ang ilang mga equation. Hindi nakapangangatwiran numero ay walang pagbubukod. Tulad ng patotoo ng mga katotohanan mula sa kasaysayan, sa unang pagkakataon ay binigyang pansin ito ng mga dakilang pantas bago pa man ang ating panahon, noong ika-7 siglo. Ginawa ito ng isang mathematician mula sa India, na kilala bilang Manava. Malinaw niyang naintindihan ang ilan natural na mga numero imposibleng kunin ang ugat. Halimbawa, kabilang dito ang 2; 17 o 61, pati na rin ang marami pang iba.

Isa sa mga Pythagorean, isang palaisip na nagngangalang Hippasus, ay dumating sa parehong konklusyon nang sinubukan niyang kalkulahin gamit ang mga numerical expression gilid ng pentagram. Pagtuklas ng mga elemento ng matematika na hindi maipahayag mga digital na halaga at walang mga ari-arian ordinaryong numero, labis niyang ikinagalit ang kanyang mga kasamahan kaya itinapon siya sa dagat. Ang katotohanan ay itinuturing ng ibang mga Pythagorean ang kanyang pangangatuwiran na isang paghihimagsik laban sa mga batas ng uniberso.

Radical Sign: Ebolusyon

Ang root sign para sa pagpapahayag ng numerical na halaga ng "bingi" na mga numero ay nagsimulang gamitin sa paglutas ng mga hindi makatwirang hindi pagkakapantay-pantay at mga equation na malayo sa kaagad. Sa kauna-unahang pagkakataon, nagsimulang isipin ng mga taga-Europa, lalo na sa Italyano, ang mga mathematician tungkol sa radikal noong ika-13 siglo. Kasabay nito, nagkaroon sila ng ideya na gamitin ang Latin R para sa pagtatalaga. Ngunit iba ang pagkilos ng mga German mathematician sa kanilang mga gawa. Mas nagustuhan nila ang letrang V. Sa Germany, lumaganap ang designasyong V (2), V (3), na nilayon upang ipahayag ang square root ng 2, 3, at iba pa. Nang maglaon, namagitan ang mga Dutch at binago ang tanda ng radikal. At nakumpleto ni Rene Descartes ang ebolusyon, na dinadala ang square root sign sa modernong pagiging perpekto.

Pag-alis ng hindi makatwiran

Ang mga hindi makatwirang equation at hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring magsama ng variable hindi lamang sa ilalim ng square root sign. Maaari itong maging sa anumang antas. Ang pinakakaraniwang paraan upang maalis ito ay ang itaas ang magkabilang panig ng equation sa naaangkop na kapangyarihan. Ito ang pangunahing aksyon na tumutulong sa mga operasyon na may hindi makatwiran. Ang mga aksyon sa kahit na mga kaso ay hindi partikular na naiiba sa mga nasuri na namin kanina. Dito, dapat isaalang-alang ang mga kondisyon para sa di-negatibiti ng pagpapahayag ng ugat, at gayundin, sa pagtatapos ng solusyon, kinakailangan na i-screen out ang mga labis na halaga ng mga variable sa paraang ipinakita sa mga halimbawang isinaalang-alang na.

Sa mga karagdagang pagbabagong makakatulong sa paghahanap ng tamang sagot, madalas na ginagamit ang multiplikasyon ng expression sa conjugate, at madalas ding kinakailangan na magpakilala ng bagong variable, na ginagawang mas madali ang solusyon. Sa ilang mga kaso, upang mahanap ang halaga ng mga hindi alam, ipinapayong gumamit ng mga graph.

Solusyon ng mga hindi makatwirang equation.

Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang mga paraan upang malutas ang pinakasimpleng irrational equation.

Hindi makatwirang equation tinatawag na isang equation na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda ng ugat.

Tingnan natin ang dalawang uri hindi makatwirang equation, na halos magkapareho sa unang tingin, ngunit sa katunayan ay ibang-iba sa isa't isa.

(1)

(2)

Sa unang equation nakikita natin na ang hindi alam ay nasa ilalim ng tanda ng ugat ng ikatlong antas. Maaari tayong kumuha ng kakaibang ugat ng negatibong numero, samakatuwid, sa equation na ito ay walang mga paghihigpit alinman sa expression sa ilalim ng root sign o sa expression sa kanang bahagi ng equation. Maaari nating itaas ang magkabilang panig ng equation sa ikatlong kapangyarihan upang maalis ang ugat. Kumuha kami ng katumbas na equation:

Kapag itinaas ang kanan at kaliwang bahagi ng equation sa isang kakaibang kapangyarihan, hindi tayo maaaring matakot na makakuha ng mga extraneous na ugat.

Halimbawa 1. Solusyonan natin ang equation

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa ikatlong kapangyarihan. Kumuha kami ng katumbas na equation:

Ilipat natin ang lahat ng termino sa isang direksyon at alisin ang x sa mga bracket:

Itinutumbas namin ang bawat kadahilanan sa zero, nakukuha namin:

Sagot: (0;1;2)

Tingnan natin ang pangalawang equation: . Sa kaliwang bahagi ng equation ay ang square root, na kumukuha lamang ng mga di-negatibong halaga. Samakatuwid, para magkaroon ng mga solusyon ang equation, kanang bahagi dapat ding non-negative. Samakatuwid, ang sumusunod na kondisyon ay ipinapataw sa kanang bahagi ng equation:

Title="(!LANG:g(x)>=0"> - это !} ang kondisyon para sa pagkakaroon ng mga ugat.

Upang malutas ang isang equation ng ganitong uri, kailangan mong parisukat ang magkabilang panig ng equation:

(3)

Ang pag-squaring ay maaaring magpakilala ng mga extraneous na ugat, kaya kailangan namin ng mga equation:

Title="(!LANG:f(x)>=0"> (4)!}

Gayunpaman, ang hindi pagkakapantay-pantay (4) ay sumusunod sa kondisyon (3): kung ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay ang parisukat ng ilang expression, at ang parisukat ng anumang expression ay maaari lamang kumuha ng mga hindi negatibong halaga, kung gayon ang kaliwang bahagi ay dapat ding hindi- negatibo. Samakatuwid, ang kondisyon (4) ay awtomatikong sumusunod mula sa kundisyon (3) at ang aming ang equation ay katumbas ng system:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Halimbawa 2 . Lutasin natin ang equation:

.

Lumipat tayo sa isang katumbas na sistema:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Nilulutas namin ang unang equation ng system at sinusuri kung aling mga ugat ang nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay.

Inequality title="(!LANG:1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Sagot: x=1

Pansin! Kung parisukat natin ang magkabilang panig ng equation sa proseso ng paglutas, dapat nating tandaan na maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat. Samakatuwid, alinman sa kailangan mong lumipat sa isang katumbas na sistema, o sa dulo ng solusyon, GUMAWA NG SURI: hanapin ang mga ugat at palitan ang mga ito sa orihinal na equation.

Halimbawa 3. Lutasin natin ang equation:

Upang malutas ang equation na ito, kailangan din nating i-square ang magkabilang panig. Huwag nating pakialaman ang ODZ at ang kondisyon para sa pagkakaroon ng mga ugat sa equation na ito, ngunit sa dulo lamang ng solusyon ay susuriin natin.

I-square natin ang magkabilang panig ng equation:

Ilipat ang terminong naglalaman ng ugat sa kaliwa, at lahat ng iba pang termino sa kanan:

I-square natin muli ang magkabilang panig ng equation:

Ayon kay Vieta Terme:

Suriin natin. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang mga natagpuang ugat sa orihinal na equation. Malinaw, para sa , ang kanang bahagi ng orihinal na equation ay negatibo, habang ang kaliwang bahagi ay positibo.

Kapag nakuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay.

Kung ang variable sa equation ay nakapaloob sa ilalim ng sign ng square root, kung gayon ang equation ay tinatawag na irrational.

Minsan matematikal na modelo ang tunay na sitwasyon ay isang hindi makatwirang equation. Samakatuwid, dapat nating matutunang lutasin ang hindi bababa sa pinakasimpleng hindi makatwirang mga equation.

Isaalang-alang ang hindi makatwirang equation 2 x + 1 = 3 .

Bigyang-pansin!

Ang paraan ng pag-squaring sa magkabilang panig ng isang equation ay ang pangunahing paraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation.

Gayunpaman, ito ay nauunawaan: paano pa mapupuksa ang tanda ng square root?

Mula sa equation na \(2x + 1 = 9\) nakita namin ang \(x = 4\). Ito ang ugat ng parehong equation \(2x + 1 \u003d 9\), at ang ibinigay na irrational equation.

Ang pamamaraan ng pag-squaring ay teknikal na simple, ngunit kung minsan ay humahantong sa problema.

Isaalang-alang, halimbawa, ang hindi makatwirang equation 2 x − 5 = 4 x − 7 .

Sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig, nakukuha natin

2 x - 5 2 = 4x - 7 2 2 x - 5 = 4 x - 7

Ngunit ang halagang \(x = 1\), bagama't ito ang ugat ng rational equation \(2x - 5 = 4x - 7\), ay hindi ang ugat ng ibinigay na irrational equation. Bakit? Ang pagpapalit ng \(1\) sa halip na \(x\) sa ibinigay na irrational equation, nakukuha natin ang − 3 = − 3 .

Paano mo mapag-uusapan ang pagganap? pagkakapantay-pantay ng numero, kung pareho ang kaliwa at kanang bahagi nito ay naglalaman ng mga expression na hindi makatuwiran?

AT katulad na mga kaso sabihin: \(x = 1\) - extraneous na ugat para sa isang hindi makatwirang equation. Lumalabas na ang ibinigay na irrational equation ay walang mga ugat.

Ang isang extraneous root ay hindi isang bagong konsepto para sa iyo, ang mga extraneous na ugat ay nakatagpo na kapag nilulutas ang mga rational equation, ang pagsuri ay nakakatulong upang makita ang mga ito.

Para sa mga hindi makatwiran na equation, ang pagsuri ay isang mandatoryong hakbang sa paglutas ng equation, na makakatulong upang makita ang mga extraneous na ugat, kung mayroon man, at itapon ang mga ito (kadalasan ay sinasabi nilang "weed out").

Bigyang-pansin!

Kaya, ang isang hindi makatwirang equation ay nalulutas sa pamamagitan ng pag-squaring sa parehong mga bahagi nito; nang malutas ang nagresultang rational equation, kinakailangang suriin at alisin ang mga posibleng extraneous na ugat.

Gamit ang derivation na ito, tingnan natin ang isang halimbawa.

Halimbawa:

lutasin ang equation na 5 x − 16 = x − 2 .

I-square natin ang magkabilang panig ng equation na 5 x - 16 = x - 2: 5 x - 16 2 = x - 2 2 .

Magbago at makakuha ng:

5 x - 16 \u003d x 2 - 4 x 4; − x 2 9 x − 20 = 0 ; x 2 − 9 x 20 = 0; x 1 \u003d 5; x 2 = 4 .

Pagsusulit. Ang pagpapalit ng \(x \u003d 5\) sa equation na 5 x - 16 \u003d x - 2, makakakuha tayo ng 9 \u003d 3 - ang tamang pagkakapantay-pantay. Ang pagpapalit ng \(x \u003d 4\) sa equation na 5 x - 16 \u003d x - 2, makakakuha tayo ng 4 \u003d 2 - ang tamang pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang parehong nahanap na mga halaga ay ang mga ugat ng equation na 5 x − 16 = x − 2 .

Nakakuha ka na ng ilang karanasan sa paglutas ng iba't ibang equation: linear, square, rational, irrational. Alam mo na kapag nilulutas ang mga equation, iba't ibang mga pagbabagong-anyo ang ginagawa, halimbawa: ang isang miyembro ng equation ay inililipat mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda; ang magkabilang panig ng equation ay i-multiply o hinati sa parehong di-zero na numero; alisin ang denominator, ibig sabihin, palitan ang equation p x q x \u003d 0 sa equation \(p (x) \u003d 0 \); Ang magkabilang panig ng equation ay parisukat.

Siyempre, napansin mo na bilang resulta ng ilang pagbabago, maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat, at samakatuwid kailangan mong maging mapagbantay: suriin ang lahat ng mga ugat na natagpuan. Kaya't susubukan nating unawain ang lahat ng ito mula sa isang teoretikal na pananaw.

Dalawang equation na \(f (x) = g(x)\) at \(r(x) = s(x)\) ay tinatawag na katumbas kung magkapareho ang mga ugat ng mga ito (o, lalo na, kung ang parehong mga equation ay walang mga ugat. ).

Karaniwan, kapag nilulutas ang isang equation, sinusubukan nilang palitan ang equation na ito ng isang mas simple, ngunit katumbas nito. Ang ganitong pagbabago ay tinatawag na katumbas na pagbabago ng equation.

Mga katumbas na pagbabago ng equation ay ang mga sumusunod na pagbabago:

Halimbawa, ang pagpapalit ng equation na \(2x + 5 = 7x - 8\) ng equation na \(2x - 7x = - 8 - 5\) ay isang katumbas na pagbabagong-anyo ng equation. Nangangahulugan ito na ang mga equation na \(2x + 5 = 7x -8\) at \(2x - 7x = -8 - 5\) ay katumbas.