Ano ang isang degree na may kahulugan ng integer exponent. Mga katangian ng degree, formulations, proofs, halimbawa

Unang antas

Degree at mga katangian nito. Komprehensibong gabay (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan mo sila kailangan? Bakit kailangan mong maglaan ng oras sa pag-aaral ng mga ito?

Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman sa pang-araw-araw na buhay, basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang pag-alam sa mga degree ay maglalapit sa iyo sa matagumpay na paghahatid OGE o USE at para makapasok sa unibersidad na iyong pinapangarap.

Tara na... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung sa halip na mga formula ang nakikita mong kalokohan, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay ang parehong mathematical operation bilang karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon o paghahati.

Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao sa isang napaka mga simpleng halimbawa. Mag-ingat ka. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng isang paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakaisip sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa sa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

At anong iba pang nakakalito na trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sinabi ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong ito sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Naaalala ng mga mathematician na dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay. At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang isip - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Upang gawin ito, kailangan mo lamang tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag parisukat mga numero, at ang pangatlo kubo? Ano ang ibig sabihin nito? Isang napakagandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa sa totoong buhay #1

Magsimula tayo sa isang parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na metro bawat metro. Ang pool ay nasa iyong likod-bahay. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Ngunit ... isang pool na walang ilalim! Kinakailangan na takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang lugar ng ilalim ng pool.

Maaari mo lamang bilangin sa pamamagitan ng pagsundot ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng mga cube metro bawat metro. Kung ang iyong mga tile ay metro bawat metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Pero saan ka nakakita ng ganyang tile? Ang tile ay mas magiging cm sa cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri". Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool, magkakasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, din, mga tile. Kapag nagpaparami, makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na pinarami namin ang parehong numero sa pamamagitan ng kanyang sarili upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil ang parehong numero ay pinarami, maaari naming gamitin ang exponentiation technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa ring i-multiply o itaas sa isang power. Pero kung marami ka, mas madali ang pagtaas sa power at mas kaunti rin ang mga error sa mga kalkulasyon. Para sa pagsusulit, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang ikalawang antas ay magiging (). O maaari mong sabihin na tatlumpung squared ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo, bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang nasa chessboard gamit ang parisukat ng numero ... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang panig din. Upang mabilang ang kanilang bilang, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo, o ... kung mapapansin mo na ang isang chessboard ay isang parisukat na may gilid, maaari mong kuwadrado ang walo. Kumuha ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa sa totoong buhay #3

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa paraan, ay sinusukat sa cubic meters. Hindi inaasahan, tama?) Gumuhit ng pool: isang ilalim na isang metro ang laki at isang metro ang lalim at subukang kalkulahin kung ilang metro bawat metrong cube ang papasok sa iyong pool.

Ituro lamang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo... Magkano ang naging resulta? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Ang mga ito ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube ... Mas madali, di ba?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung gagawin nilang napakadali. Binawasan ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami ng sarili nito ... At ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong gamitin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang isang daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlo sa isang cube ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito:

Nananatili lamang kabisaduhin ang talahanayan ng mga degree. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari mong patuloy na magbilang gamit ang iyong daliri.

Buweno, upang sa wakas ay makumbinsi ka na ang mga degree ay naimbento ng mga loafers at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa sa totoong buhay #4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, kumikita ka ng isa pang milyon para sa bawat milyon. Ibig sabihin, doble ang bawat isa sa iyong milyon sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung ikaw ngayon ay nakaupo at "nagbibilang gamit ang iyong daliri", kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at .. tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - dalawang beses dalawa ... sa ikalawang taon - kung ano ang nangyari, sa pamamagitan ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay pinarami ng sarili nitong isang beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang isang kumpetisyon at ang isa na mas mabilis na nagkalkula ay makakakuha ng mga milyon-milyong ito ... Ito ba ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga antas ng mga numero, ano sa palagay mo?

Halimbawa sa totoong buhay #5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, kikita ka pa ng dalawa sa bawat milyon. Ang galing diba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - i-multiply sa pamamagitan ng, pagkatapos ay ang resulta sa pamamagitan ng isa pa ... Ito ay nakababagot, dahil naiintindihan mo na ang lahat: tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang pang-apat na kapangyarihan ay isang milyon. Kailangan mo lang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan, gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Mga tuntunin at konsepto ... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan ...

Well, at the same time, ano tulad ng isang base ng degree? Kahit na mas simple ay ang numero na nasa ibaba, sa base.

Narito ang isang larawan para makasigurado ka.

Well at sa pangkalahatang pananaw para gawing pangkalahatan at mas matandaan ... Ang isang degree na may base na "" at isang exponent "" ay binabasa bilang "sa antas" at isinusulat tulad ng sumusunod:

Kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent

Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, pero ano natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga item: isa, dalawa, tatlo ... Kapag nagbibilang kami ng mga item, hindi namin sinasabi: "minus five", "minus six", "minus seven". Hindi rin namin sinasabing "one third" o "zero point five tenths". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Ano sa palagay mo ang mga numerong ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at isang numero. Madaling maunawaan ang Zero - ito ay kapag wala. At ano ang ibig sabihin ng mga negatibong ("minus") na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang tukuyin ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang lahat ng mga fraction ay mga rational na numero. Paano sila nangyari, sa tingin mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na wala silang sapat na natural na mga numero upang sukatin ang haba, timbang, lawak, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero… Kawili-wili, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, isang infinite decimal fraction. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwiran na numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (iyon ay, integer at positibo).

1. Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
2. Ang pag-square ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nito:
3. Ang pag-cube ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Upang itaas ang isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay ang pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:
.

Mga katangian ng degree

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin kung ano at ?

Sa pamamagitan ng kahulugan:

Ilang multiplier ang kabuuan?

Ito ay napaka-simple: nagdagdag kami ng mga kadahilanan sa mga kadahilanan, at ang resulta ay mga kadahilanan.

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ang antas ng isang numero na may exponent, iyon ay: , na kinakailangang patunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat pareho ang dahilan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon dapat mong isulat iyon.

2. ibig sabihin -ika-kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat?

Pero hindi totoo yun.

Degree na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang namin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging batayan?

Sa mga degree mula sa natural na tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero. Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung anong mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ? Sa una, ang lahat ay malinaw: gaano man karami mga positibong numero hindi kami nag-multiply sa isa't isa, magiging positive ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, natatandaan namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Pero kung paramihin tayo, lumalabas.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot na tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo.

Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na napakasimple!

6 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng solusyon 6 na halimbawa

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung sila ay pinagpalit, maaaring ilapat ang panuntunan.

Ngunit paano gawin iyon? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Ang mga termino ay nakapagpabago ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo pinangalanan namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang sign "") at ang numero.

positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero power ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, tinatanong natin ang ating sarili: bakit ganito?

Isaalang-alang ang ilang kapangyarihan na may base. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa pamamagitan ng, at nakuha ang parehong bilang ito ay -. Anong numero ang dapat i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito rin doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa kanyang sarili, makakakuha ka pa rin ng zero, ito ay malinaw. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero degree, dapat itong pantay. Kaya ano ang katotohanan nito? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero na kapangyarihan. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.

Tayo ay pumunta sa karagdagang. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, kasama sa mga integer ang mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang isang negatibong antas, gawin natin ang katulad ng huling pagkakataon: minu-multiply natin ang ilang normal na numero sa pareho sa isang negatibong antas:

Mula dito madali nang ipahayag ang ninanais:

Ngayon pinalawak namin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, buuin natin ang panuntunan:

Ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras hindi maaaring null ang base:(dahil imposibleng hatiin).

Ibuod natin:

I. Ang pagpapahayag ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .

III. numero, hindi sero, sa isang negatibong kapangyarihan inversely sa parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, ang mga numero ay nakakatakot, ngunit sa pagsusulit kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang solusyon kung hindi mo ito malutas at matututunan mo kung paano madaling harapin ang mga ito sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang hanay ng mga numerong "angkop" bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng iyon ay maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, bukod dito.

Upang maunawaan kung ano ang "fractional degree" Isaalang-alang natin ang isang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:

Ngayon tandaan ang panuntunan "degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas.

Iyon ay, ang ugat ng ika-degree ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation: .

Lumalabas na. Malinaw, ang espesyal na kaso na ito ay maaaring palawigin: .

Ngayon idagdag ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan ang panuntunan: anumang numero na itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang mga ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero!

At nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay hindi makatwiran.

Paano naman ang expression?

Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.

Ang numero ay maaaring kinakatawan bilang iba, pinababang mga fraction, halimbawa, o.

At lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, at ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit sa sandaling isulat namin ang tagapagpahiwatig sa ibang paraan, muli kaming nagkakaproblema: (iyon ay, nakakuha kami ng isang ganap na naiibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang tanging positibong base exponent na may fractional exponent.

Kaya kung:

• - natural na numero;
• ay isang integer;

Mga halimbawa:

Ang mga kapangyarihan na may rational exponent ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:

5 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

Well, ngayon - ang pinakamahirap. Ngayon ay susuriin natin degree na may hindi makatwirang exponent.

Ang lahat ng mga tuntunin at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa mga degree na may isang rational exponent, maliban sa

Sa katunayan, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga irrational na numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.

Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...walang kapangyarihan- ito ay, tulad ng, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nagsisimulang dumami, na nangangahulugang ang bilang mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero”, ibig sabihin ay isang numero;

...degree na may integer negatibong tagapagpahiwatig - para bang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Nagkataon, sa agham, isang degree na may kumplikadong tagapagpahiwatig, ibig sabihin, ang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matutunan mo kung paano lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa dati nang panuntunan para sa pagpapataas ng degree sa isang degree:

Ngayon tingnan ang iskor. May naaalala ba siya sa iyo? Naaalala namin ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga parisukat:

Sa kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Dinadala namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong decimal o parehong ordinaryo. Nakukuha namin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Kahulugan ng degree

Ang antas ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

• — base ng degree;
• - exponent.

Degree na may natural na exponent (n = 1, 2, 3,...)

Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:

Power na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)

Kung ang exponent ay positibong integer numero:

paninigas sa zero na kapangyarihan:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.

Kung ang exponent ay integer negatibo numero:

(dahil imposibleng hatiin).

Isa pang beses tungkol sa nulls: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Degree na may rational exponent

• - natural na numero;
• ay isang integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng degree

Para mas madaling malutas ang mga problema, subukan nating unawain: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

Sa pamamagitan ng kahulugan:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito, ang sumusunod na produkto ay nakuha:

Ngunit ayon sa kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat magkaroon ng parehong batayan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon ay hindi ko dapat isulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ayusin natin ito tulad nito:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang -th na kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:!

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat? Pero hindi totoo yun.

Power na may negatibong base.

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lang natin kung ano ang dapat index degree. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa mga degree mula sa natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung anong mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, natatandaan namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Ngunit kung i-multiply natin sa (), makakakuha tayo ng -.

At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami, magbabago ang tanda. Posibleng bumalangkas ng ganoon simpleng tuntunin:

1. kahit degree, - numero positibo.
2. Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
3. Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
4. Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot na tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung natatandaan mo iyon, ito ay nagiging malinaw na, na nangangahulugan na ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa bawat isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago i-disassemble huling tuntunin Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Kalkulahin ang mga halaga ng mga expression:

Mga solusyon :

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat!

Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano ito gagawin? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ay ganito ang hitsura:

Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang ekspresyon sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket. Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago nang sabay-sabay! Hindi ito mapapalitan ng pagbabago lamang ng isang hindi kanais-nais na minus sa amin!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling panuntunan:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin:

Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Gaano karaming mga titik ang magkakaroon? beses sa pamamagitan ng multiplier - ano ang hitsura nito? Ito ay walang iba kundi ang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: total nagkaroon pala ng multipliers. Iyon ay, ito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent:

Halimbawa:

Degree na may hindi makatwirang exponent

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwiran na tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero degree ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang i-multiply, na nangangahulugan na ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero", katulad ng isang numero; isang degree na may isang integer negatibong tagapagpahiwatig - ito ay parang isang tiyak na "reverse na proseso" ay naganap, iyon ay, ang numero ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwiran na exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Sa halip, ito ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng isang antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, ang agham ay madalas na gumagamit ng isang degree na may isang kumplikadong exponent, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Mga sagot:

1. Tandaan ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .
2. Dinadala namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal, o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .
3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang mga katangian ng mga degree:

BUOD NG SEKSYON AT BATAYANG FORMULA

Degree ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

Degree na may integer exponent

degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (i.e. integer at positive).

Degree na may rational exponent

degree, ang indicator kung saan ay negatibo at fractional na mga numero.

Degree na may hindi makatwirang exponent

exponent na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.

Mga katangian ng degree

Mga tampok ng degree.

• Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
• Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
• Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
• Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
• Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.

NGAYON MAY SALITA KA NA...

Paano mo gusto ang artikulo? Ipaalam sa akin sa mga komento sa ibaba kung nagustuhan mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa mga katangian ng kapangyarihan.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!

Sa artikulong ito, mauunawaan natin kung ano ang antas ng. Dito ay magbibigay kami ng mga kahulugan ng antas ng isang numero, habang isinasaalang-alang nang detalyado ang lahat ng posibleng exponent ng degree, na nagsisimula sa isang natural na exponent, na nagtatapos sa isang hindi makatwiran. Sa materyal ay makakahanap ka ng maraming mga halimbawa ng mga degree na sumasaklaw sa lahat ng mga subtleties na lumabas.

Pag-navigate sa pahina.

Degree na may natural na exponent, square ng isang numero, cube ng isang numero

Magsimula tayo sa . Sa hinaharap, sabihin natin na ang kahulugan ng antas ng a na may natural na exponent n ay ibinigay para sa a , na tatawagin natin base ng degree, at n , na tatawagin natin exponent. Tandaan din namin na ang antas na may natural na tagapagpahiwatig ay tinutukoy sa pamamagitan ng produkto, kaya upang maunawaan ang materyal sa ibaba, kailangan mong magkaroon ng ideya tungkol sa pagpaparami ng mga numero.

Kahulugan.

Kapangyarihan ng numero a na may natural na exponent n ay isang pagpapahayag ng anyo a n , na ang halaga ay katumbas ng produkto ng n salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a , iyon ay, .
Sa partikular, ang antas ng isang numero a na may exponent 1 ay ang numero a mismo, iyon ay, a 1 =a.

Kaagad ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit ng mga patakaran para sa pagbabasa ng mga degree. Ang unibersal na paraan upang basahin ang entry a n ay: "a sa kapangyarihan ng n". Sa ilang mga kaso, katanggap-tanggap din ang mga ganitong opsyon: "a to the nth power" at "nth power of the number a". Halimbawa, kunin natin ang kapangyarihan ng 8 12, ito ay "eight to the power of twelve", o "eight to the twelfth power", o "twelfth power of eight".

Ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero, pati na rin ang pangatlong kapangyarihan ng isang numero, ay may sariling mga pangalan. Ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag ang parisukat ng isang numero, halimbawa, ang 7 2 ay binabasa bilang "pitong parisukat" o "parisukat ng bilang pito". Ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag numero ng kubo, halimbawa, ang 5 3 ay maaaring basahin bilang "limang kubo" o sabihing "kubo ng numero 5".

Oras na para magdala mga halimbawa ng mga degree na may mga pisikal na tagapagpahiwatig. Magsimula tayo sa kapangyarihan ng 5 7 , kung saan 5 ang base ng kapangyarihan at 7 ang exponent. Magbigay tayo ng isa pang halimbawa: 4.32 ang base, at ang natural na numero 9 ay ang exponent (4.32) 9 .

Mangyaring tandaan na sa huling halimbawa ang base ng degree 4.32 ay nakasulat sa mga bracket: upang maiwasan ang mga pagkakaiba, kukunin namin sa mga bracket ang lahat ng mga base ng degree na naiiba sa natural na mga numero. Bilang halimbawa, binibigyan namin ang mga sumusunod na degree na may mga natural na tagapagpahiwatig , ang kanilang mga base ay hindi natural na mga numero, kaya ang mga ito ay nakasulat sa panaklong. Buweno, para sa kumpletong kalinawan sa puntong ito, ipapakita namin ang pagkakaiba na nakapaloob sa mga talaan ng form (−2) 3 at −2 3 . Ang expression (−2) 3 ay ang kapangyarihan ng −2 na may natural na exponent 3, at ang expression na −2 3 (maaari itong isulat bilang −(2 3) ) ay tumutugma sa numero, ang halaga ng kapangyarihan 2 3 .

Tandaan na mayroong notasyon para sa antas ng a na may exponent n ng anyong a^n . Bukod dito, kung ang n ay isang multivalued na natural na numero, kung gayon ang exponent ay kinuha sa mga bracket. Halimbawa, ang 4^9 ay isa pang notasyon para sa kapangyarihan ng 4 9 . At narito ang higit pang mga halimbawa ng pagsulat ng mga degree gamit ang simbolong “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Sa mga sumusunod, pangunahing gagamitin natin ang notasyon ng antas ng anyo a n .

Ang isa sa mga problema, ang kabaligtaran ng exponent na may natural na exponent, ay ang problema sa paghahanap ng base ng degree mula sa isang kilalang halaga ng degree at isang kilalang exponent. Ang gawaing ito ay humahantong sa .

Alam na ang hanay ng mga rational na numero ay binubuo ng mga integer at fractional na numero, at ang bawat fractional na numero ay maaaring katawanin bilang positibo o negatibong ordinaryong fraction. Tinukoy namin ang degree na may integer exponent sa nakaraang talata, samakatuwid, upang makumpleto ang kahulugan ng degree na may rational exponent, kailangan naming ibigay ang kahulugan ng degree ng numero a na may fractional exponent m / n, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Gawin natin.

Isaalang-alang ang isang degree na may fractional exponent ng form. Upang ang ari-arian ng degree sa isang degree ay manatiling wasto, ang pagkakapantay-pantay ay dapat na hawakan . Kung isasaalang-alang natin ang nagreresultang pagkakapantay-pantay at ang paraan na ating tinukoy , kung gayon makatuwirang tanggapin, sa kondisyon na para sa ibinigay na m, n at a, ang pagpapahayag ay may katuturan.

Madaling i-verify na ang lahat ng katangian ng isang degree na may integer exponent ay wasto para sa bilang (ginagawa ito sa seksyon ng mga katangian ng isang degree na may rational exponent).

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na gawin ang mga sumusunod konklusyon: kung para sa ibinigay na m, n at a ang expression ay may katuturan, kung gayon ang kapangyarihan ng numero a na may fractional exponent m / n ay ang ugat ng ika-n degree ng a hanggang sa kapangyarihan m.

Ang pahayag na ito ay naglalapit sa atin sa kahulugan ng isang degree na may fractional exponent. Ito ay nananatiling lamang upang ilarawan kung saan ang m, n at a ang ekspresyon ay may katuturan. Depende sa mga paghihigpit na ipinataw sa m , n at a, mayroong dalawang pangunahing diskarte.

Ang pinakamadaling paraan upang hadlangan ang a ay ang pagpapalagay na a≥0 para sa positibong m at a>0 para sa negatibong m (dahil ang m≤0 ay walang kapangyarihan na 0 m). Pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na kahulugan ng degree na may fractional exponent.

Kahulugan.

Power ng isang positibong numero a na may fractional exponent m/n, kung saan ang m ay isang integer, at ang n ay isang natural na numero, ay tinatawag na ugat ng ika-n ng numero a sa kapangyarihan ng m, iyon ay, .

Ang fractional na antas ng zero ay tinukoy din gamit ang tanging caveat na ang exponent ay dapat na positibo.

Kahulugan.

Power ng zero na may fractional positive exponent m/n, kung saan ang m ay isang positibong integer at n ay isang natural na numero, ay tinukoy bilang .
Kapag ang degree ay hindi tinukoy, ibig sabihin, ang antas ng numerong zero na may fractional na negatibong exponent ay hindi makatwiran.

Dapat pansinin na sa gayong kahulugan ng antas na may fractional exponent, mayroong isang nuance: para sa ilang negatibong a at ilang m at n, ang expression ay may katuturan, at itinapon namin ang mga kasong ito sa pamamagitan ng pagpapakilala ng kundisyon a≥0 . Halimbawa, makatuwirang magsulat o , at pinipilit tayo ng kahulugan sa itaas na sabihin na ang mga degree na may fractional exponent ng form ay walang kabuluhan, dahil ang batayan ay hindi dapat negatibo.

Ang isa pang diskarte sa pagtukoy ng degree na may fractional exponent m / n ay ang hiwalay na isaalang-alang ang pantay at kakaibang exponent ng ugat. Ang diskarte na ito ay nangangailangan ng karagdagang kundisyon: ang antas ng numero a, na ang exponent ay , ay itinuturing na antas ng numero a, ang exponent nito ay ang katumbas na hindi mababawasang bahagi (ang kahalagahan ng kundisyong ito ay ipapaliwanag sa ibaba). Iyon ay, kung ang m/n ay isang irreducible fraction, kung gayon para sa anumang natural na numero k ang degree ay unang pinalitan ng .

Para sa kahit na n at positibong m, ang expression ay may katuturan para sa anumang hindi negatibong a (ang ugat ng pantay na antas mula sa negatibong numero ay walang kahulugan), para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat na iba pa rin sa zero (kung hindi, doon ay magiging dibisyon ng zero). At para sa kakaibang n at positibong m, ang numero a ay maaaring maging anuman (ang ugat ng isang kakaibang antas ay tinukoy para sa anumang tunay na numero), at para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat na iba sa zero (upang walang paghahati sa pamamagitan ng zero).

Ang pangangatwiran sa itaas ay humahantong sa atin sa gayong kahulugan ng antas na may fractional exponent.

Kahulugan.

Hayaang ang m/n ay isang irreducible fraction, m isang integer, at n isang natural na numero. Para sa anumang mababawas na ordinaryong fraction, ang antas ay pinapalitan ng . Ang kapangyarihan ng a na may hindi mababawasan na fractional exponent m / n ay para sa



Ipaliwanag natin kung bakit ang isang degree na may reducible fractional exponent ay unang pinalitan ng isang degree na may hindi mababawasang exponent. Kung tinukoy lang namin ang degree bilang , at hindi gumawa ng reserbasyon tungkol sa irreducibility ng fraction m / n , pagkatapos ay makakatagpo kami ng mga sitwasyong katulad ng sumusunod: dahil 6/10=3/5 , pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay , ngunit , a .

Sa balangkas ng materyal na ito, susuriin natin kung ano ang kapangyarihan ng isang numero. Bilang karagdagan sa mga pangunahing kahulugan, bubuuin natin kung anong mga degree ang may natural, integer, rational at irrational exponents. Gaya ng dati, ang lahat ng mga konsepto ay ilalarawan kasama ng mga halimbawa ng mga gawain.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Una, binubuo namin ang pangunahing kahulugan ng isang degree na may natural na exponent. Upang gawin ito, kailangan nating tandaan ang mga pangunahing patakaran ng pagpaparami. Ating linawin nang maaga na sa ngayon ay kukuha tayo ng isang tunay na numero bilang batayan (ipahiwatig natin ito sa pamamagitan ng titik a), at bilang isang tagapagpahiwatig - isang natural na numero (na tinutukoy ng titik n).

Kahulugan 1

Ang kapangyarihan ng a na may natural na exponent n ay ang produkto ng ika-n bilang ng mga salik, na ang bawat isa ay katumbas ng bilang a. Ang degree ay nakasulat tulad nito: isang n, at sa anyo ng isang formula, ang komposisyon nito ay maaaring katawanin bilang mga sumusunod:

Halimbawa, kung ang exponent ay 1 at ang base ay a, kung gayon ang unang kapangyarihan ng a ay nakasulat bilang a 1. Dahil ang a ay ang halaga ng kadahilanan at ang 1 ay ang bilang ng mga kadahilanan, maaari nating tapusin iyon a 1 = a.

Sa pangkalahatan, maaari nating sabihin na ang degree ay isang maginhawang notasyon isang malaking bilang pantay na multiplier. Kaya, isang talaan ng form 8 8 8 8 maaaring bawasan sa 8 4 . Sa parehong paraan, tinutulungan tayo ng gawain na maiwasan ang pagsusulat isang malaking bilang termino (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); nasuri na natin ito sa artikulong nakatuon sa pagpaparami ng mga natural na numero.

Paano basahin nang tama ang talaan ng degree? Ang karaniwang tinatanggap na opsyon ay "a sa kapangyarihan ng n". O maaari mong sabihin ang "the nth power of a" o "the nth power". Kung, sabihin, sa halimbawa ay mayroong isang entry 8 12 , mababasa natin ang "8 hanggang ika-12 na kapangyarihan", "8 hanggang sa kapangyarihan ng 12" o "ika-12 na kapangyarihan ng 8".

Ang pangalawa at pangatlong antas ng numero ay may sariling mahusay na itinatag na mga pangalan: parisukat at kubo. Kung nakikita natin ang pangalawang kapangyarihan, halimbawa, ng numero 7 (7 2), maaari nating sabihin na "7 squared" o "square of the number 7". Katulad nito, ang ikatlong antas ay binabasa tulad nito: 5 3 ay ang "kubo ng numero 5" o "5 kubo". Gayunpaman, posible ring gamitin ang karaniwang mga salita "sa pangalawa / ikatlong antas", hindi ito magiging isang pagkakamali.

Halimbawa 1

Tingnan natin ang isang halimbawa ng isang degree na may natural na tagapagpahiwatig: para sa 5 7 lima ang magiging base, at pito ang magiging indicator.

Ang base ay hindi kailangang isang integer: para sa degree (4 , 32) 9 ang base ay magiging fraction 4, 32, at ang exponent ay magiging siyam. Bigyang-pansin ang mga bracket: ang gayong notasyon ay ginawa para sa lahat ng antas, ang mga base na naiiba sa mga natural na numero.

Halimbawa: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Para saan ang mga bracket? Tumutulong sila upang maiwasan ang mga pagkakamali sa mga kalkulasyon. Sabihin nating mayroon tayong dalawang entry: (− 2) 3 at − 2 3 . Ang una sa mga ito ay nangangahulugan ng isang negatibong numero minus dalawa, itinaas sa isang kapangyarihan na may natural na exponent ng tatlo; ang pangalawa ay ang bilang na tumutugma sa kabaligtaran na halaga ng antas 2 3 .

Minsan sa mga aklat ay makakahanap ka ng bahagyang naiibang spelling ng antas ng isang numero - a^n(kung saan ang a ay ang base at n ang exponent). Kaya ang 4^9 ay kapareho ng 4 9 . Kung ang n ay isang multi-digit na numero, ito ay nakapaloob sa mga panaklong. Halimbawa, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ngunit gagamitin namin ang notasyon isang n bilang mas karaniwan.

Kung paano kalkulahin ang halaga ng isang degree na may natural na exponent ay madaling hulaan mula sa kahulugan nito: kailangan mo lamang na i-multiply ang isang n -th na bilang ng beses. Sumulat kami ng higit pa tungkol dito sa isa pang artikulo.

Ang konsepto ng degree ay kabaligtaran ng isa pa konsepto ng matematika- ang ugat ng numero. Kung alam natin ang halaga ng exponent at exponent, maaari nating kalkulahin ang base nito. Ang degree ay may ilang partikular na katangian na kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga problema na nasuri namin sa isang hiwalay na materyal.

Ang mga exponent ay maaaring maglaman hindi lamang ng mga natural na numero, ngunit sa pangkalahatan ang anumang mga halaga ng integer, kabilang ang mga negatibo at mga zero, dahil kabilang din ang mga ito sa hanay ng mga integer.

Kahulugan 2

Ang antas ng isang numero na may positibong integer exponent ay maaaring ipakita bilang isang formula: .

Bukod dito, ang n ay anumang positibong integer.

Pag-usapan natin ang konsepto ng zero degree. Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang diskarte na isinasaalang-alang ang pag-aari ng quotient para sa mga kapangyarihan na may pantay na mga base. Ito ay nabuo tulad nito:

Kahulugan 3

Pagkakapantay-pantay a m: a n = a m − n ay magiging totoo sa ilalim ng mga sumusunod na kondisyon: m at n ay natural na mga numero, m< n , a ≠ 0 .

Ang huling kundisyon ay mahalaga dahil iniiwasan nito ang paghahati sa zero. Kung ang mga halaga ng m at n ay pantay, pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na resulta: a n: a n = a n − n = a 0

Ngunit sa parehong oras a n: a n = 1 ay isang quotient pantay na mga numero isang n at a. Lumalabas na ang zero degree ng anumang hindi zero na numero ay katumbas ng isa.

Gayunpaman, ang gayong patunay ay hindi angkop para sa zero hanggang sa power zero. Upang gawin ito, kailangan namin ng isa pang pag-aari ng mga kapangyarihan - ang ari-arian ng mga produkto ng mga kapangyarihan na may pantay na mga base. Mukhang ganito: a m a n = a m + n .

Kung ang n ay 0, kung gayon a m a 0 = a m(Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapatunay din sa atin na a 0 = 1). Ngunit kung at ay katumbas din ng zero, ang ating pagkakapantay-pantay ay nasa anyo 0 m 0 0 = 0 m, Magiging totoo ito para sa anumang natural na halaga ng n, at hindi mahalaga kung ano ang eksaktong halaga ng degree 0 0 , iyon ay, maaari itong maging katumbas ng anumang numero, at hindi ito makakaapekto sa bisa ng pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, isang talaan ng form 0 0 ay walang sariling kahulugan, at hindi namin ito ibibigay dito.

Kung ninanais, madaling suriin iyon a 0 = 1 converges sa antas ng ari-arian (a m) n = isang m n sa kondisyon na ang base ng degree ay hindi katumbas ng zero. Kaya, ang antas ng anumang di-zero na numero na may zero exponent ay katumbas ng isa.

Halimbawa 2

Tingnan natin ang isang halimbawa na may mga tiyak na numero: Kaya, 5 0 - yunit, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , at ang halaga 0 0 hindi natukoy.

Pagkatapos ng zero degree, nananatili para sa amin na malaman kung ano ang negatibong degree. Upang gawin ito, kailangan namin ang parehong pag-aari ng produkto ng mga kapangyarihan na may pantay na mga base, na nagamit na namin sa itaas: a m · a n = a m + n.

Ipinakilala namin ang kundisyon: m = − n , kung gayon ang a ay hindi dapat katumbas ng zero. Sinusundan nito iyon a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Ito pala ay isang n at a-n mayroon tayong mutually reciprocal na mga numero.

Bilang resulta, ang a to a negative integer power ay walang iba kundi isang fraction 1 a n .

Kinukumpirma ng formulation na ito na para sa isang degree na may negatibong integer exponent, ang lahat ng parehong katangian ay valid na mayroon ang isang degree na may natural na exponent (sa kondisyon na ang base ay hindi katumbas ng zero).

Halimbawa 3

Ang power a na may negatibong integer n ay maaaring katawanin bilang isang fraction 1 a n . Kaya, a - n = 1 a n sa ilalim ng kondisyon isang ≠ 0 at ang n ay anumang natural na numero.

Ilarawan natin ang ating ideya sa mga partikular na halimbawa:

Halimbawa 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Sa huling bahagi ng talata, susubukan naming ilarawan ang lahat ng malinaw na sinabi sa isang pormula:

Kahulugan 4

Ang kapangyarihan ng a na may natural exponent z ay: a z = a z , e c at z ay isang positibong integer 1 , z = 0 at a ≠ 0 , (kung z = 0 at a = 0 makuha natin ang 0 0 , ang mga halaga ng ang expression na 0 0 ay hindi ay tinutukoy)   1 a z , kung z ay isang negatibong integer at a ≠ 0 ( kung z ay isang negatibong integer at a = 0 makuha natin ang 0 z , ito ay isang n d e n t i o n )

Ano ang mga degree na may rational exponent

Sinuri namin ang mga kaso kapag ang exponent ay isang integer. Gayunpaman, maaari mo ring itaas ang isang numero sa isang kapangyarihan kapag ang exponent nito ay isang fractional na numero. Ito ay tinatawag na degree na may rational exponent. Sa subsection na ito ay papatunayan natin na mayroon itong parehong mga pag-aari gaya ng iba pang mga kapangyarihan.

Ano ang mga rational na numero? Kasama sa kanilang set ang parehong integer at fractional na mga numero, habang ang mga fractional na numero ay maaaring katawanin bilang mga ordinaryong fraction (parehong positibo at negatibo). Binubuo namin ang kahulugan ng antas ng isang numero a na may isang fractional exponent m / n, kung saan ang n ay isang natural na numero, at ang m ay isang integer.

Mayroon kaming ilang degree na may fractional exponent a m n . Upang manatili ang kapangyarihan sa isang antas, ang pagkakapantay-pantay na a m n n = a m n · n = a m ay dapat na totoo.

Dahil sa kahulugan ng isang nth root at na a m n n = a m , maaari nating tanggapin ang kondisyon na a m n = a m n kung a m n ay may katuturan para sa mga ibinigay na halaga ng m , n at a .

Ang mga katangian sa itaas ng degree na may integer exponent ay magiging totoo sa ilalim ng kondisyong a m n = a m n .

Ang pangunahing konklusyon mula sa aming pangangatwiran ay ang mga sumusunod: ang antas ng ilang numero a na may fractional exponent m / n ay ang ugat ng nth degree mula sa numero a hanggang sa kapangyarihan m. Totoo ito kung, para sa mga ibinigay na halaga ng m, n, at a, ang expression na a m n ay may katuturan.

1. Maaari naming limitahan ang halaga ng base ng degree: kumuha ng a, na para sa mga positibong halaga ng m ay mas malaki kaysa sa o katumbas ng 0, at para sa mga negatibong halaga ito ay mahigpit na mas mababa (dahil para sa m ≤ 0 nakukuha namin 0 m, ngunit ang antas na ito ay hindi tinukoy). Sa kasong ito, ang kahulugan ng degree na may fractional exponent ay magiging ganito:

Ang fractional exponent na m/n para sa ilang positibong numero a ay ang ika-na ugat ng isang nakataas sa m kapangyarihan. Sa anyo ng isang pormula, ito ay maaaring katawanin bilang mga sumusunod:

Para sa isang degree na may zero base, ang probisyong ito ay angkop din, ngunit kung ang exponent nito ay isang positibong numero.

Ang isang kapangyarihan na may base zero at isang positibong fractional exponent m/n ay maaaring ipahayag bilang

0 m n = 0 m n = 0 sa ilalim ng kondisyon ng positive integer m at natural n .

Na may negatibong ratio m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Pansinin natin ang isang punto. Dahil ipinakilala namin ang kundisyon na ang a ay mas malaki sa o katumbas ng zero, itinapon namin ang ilang mga kaso.

Ang ekspresyong a m n minsan ay may katuturan pa rin para sa ilang negatibong halaga ng a at ilang negatibong halaga ng m . Kaya, tama ang mga entry (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , kung saan negatibo ang base.

2. Ang pangalawang diskarte ay isaalang-alang nang hiwalay ang root a m n na may even at odd exponents. Pagkatapos ay kailangan nating ipakilala ang isa pang kundisyon: ang degree a, sa exponent kung saan mayroong isang reducible ordinary fraction, ay itinuturing na degree a, sa exponent kung saan mayroong katumbas na irreducible fraction. Sa ibang pagkakataon, ipapaliwanag natin kung bakit kailangan natin ang kundisyong ito at kung bakit ito napakahalaga. Kaya, kung mayroon tayong record na a m · k n · k , maaari nating bawasan ito sa isang m n at gawing simple ang mga kalkulasyon.

Kung ang n ay isang kakaibang numero at ang m ay positibo, ang a ay anuman di-negatibong numero, pagkatapos ay may katuturan ang isang m n. Ang kundisyon para sa isang di-negatibong a ay kinakailangan, dahil ang ugat ng isang pantay na antas ay hindi kinukuha mula sa isang negatibong numero. Kung ang halaga ng m ay positibo, ang a ay maaaring parehong negatibo at zero, dahil Ang isang kakaibang ugat ay maaaring makuha mula sa anumang tunay na numero.

Pagsamahin natin ang lahat ng data sa itaas ng kahulugan sa isang entry:

Dito ang m/n ay nangangahulugan ng isang hindi mababawasang bahagi, ang m ay anumang integer, at n ay anumang natural na numero.

Kahulugan 5

Para sa anumang ordinaryong pinababang bahagi m · k n · k, ang antas ay maaaring palitan ng isang m n .

Ang antas ng a na may hindi mababawasan na fractional exponent m / n – ay maaaring ipahayag bilang a m n sa mga sumusunod na kaso: - para sa anumang real a , positive integer values ​​​​m at kakaibang natural values ​​​​n . Halimbawa: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Para sa anumang non-zero real a , integers mga negatibong halaga m at mga kakaibang halaga ng n , halimbawa, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Para sa anumang di-negatibong a , positive integer values ​​​​ng m at kahit n , halimbawa, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Para sa anumang positibong a , negatibong integer m at kahit n , halimbawa, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Sa kaso ng iba pang mga halaga, ang antas na may fractional exponent ay hindi tinutukoy. Mga halimbawa ng gayong kapangyarihan: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Ngayon, ipaliwanag natin ang kahalagahan ng kundisyong nabanggit sa itaas: bakit palitan ang isang fraction ng isang reducible exponent para sa isang fraction ng hindi mababawasan. Kung hindi natin ito gagawin, kung gayon ang mga ganitong sitwasyon ay lumabas, sabihin, 6/10 = 3/5. Kung gayon (- 1) 6 10 = - 1 3 5 ay dapat totoo, ngunit - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , at (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Ang kahulugan ng degree na may fractional exponent, na una naming ibinigay, ay mas maginhawang ilapat sa pagsasanay kaysa sa pangalawa, kaya patuloy naming gagamitin ito.

Kahulugan 6

Kaya, ang kapangyarihan ng isang positibong numero a na may fractional exponent m / n ay tinukoy bilang 0 m n = 0 m n = 0 . Sa kaso ng negatibo a walang saysay ang notasyon a m n. Degree of Zero para sa Positibong Fractional Exponent m/n ay tinukoy bilang 0 m n = 0 m n = 0 , para sa mga negatibong fractional exponents hindi namin tinukoy ang antas ng zero.

Sa mga konklusyon, tandaan namin na ang anumang fractional indicator ay maaaring isulat tulad ng sa form halo-halong numero, at sa anyo decimal fraction: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Kapag nagkalkula, mas mahusay na palitan ang exponent karaniwang fraction at pagkatapos ay gamitin ang kahulugan ng degree na may fractional exponent. Para sa mga halimbawa sa itaas, nakukuha namin ang:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Ano ang mga degree na may hindi makatwiran at totoong exponent

Ano ang mga tunay na numero? Kasama sa kanilang set ang parehong rational at irrational na mga numero. Samakatuwid, upang maunawaan kung ano ang isang degree na may tunay na exponent, kailangan nating tukuyin ang mga degree na may mga rational at irrational exponent. Tungkol sa rasyonal na nabanggit na natin sa itaas. Hayaan ang mga hindi makatwiran na mga tagapagpahiwatig na hakbang-hakbang.

Halimbawa 5

Ipagpalagay na mayroon tayong hindi makatwirang numero a at isang pagkakasunod-sunod ng mga pagtatantya ng decimal nito a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Halimbawa, kunin natin ang value a = 1 , 67175331 . . . , pagkatapos

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Maaari naming iugnay ang mga pagkakasunud-sunod ng mga pagtatantya sa isang pagkakasunod-sunod ng mga kapangyarihan a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Kung naaalala natin ang napag-usapan natin kanina tungkol sa pagpapataas ng mga numero sa isang makatwirang kapangyarihan, maaari nating kalkulahin ang mga halaga ng mga kapangyarihang ito sa ating sarili.

Kunin halimbawa a = 3, pagkatapos a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . atbp.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga degree ay maaaring bawasan sa isang numero, na magiging halaga ng degree na may base a at ang hindi makatwirang exponent a. Bilang resulta: isang degree na may hindi makatwirang exponent ng form 3 1 , 67175331 . . maaaring bawasan sa bilang na 6, 27.

Kahulugan 7

Ang kapangyarihan ng isang positibong numero a na may hindi makatwirang exponent a ay isinusulat bilang a . Ang halaga nito ay ang limitasyon ng sequence a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , kung saan ang a 0 , a 1 , a 2 , . . . ay sunud-sunod na pagtatantya ng decimal hindi makatwiran na numero a. Ang isang degree na may zero base ay maaari ding tukuyin para sa mga positibong hindi makatwiran na exponent, habang 0 a \u003d 0 Kaya, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. At para sa mga negatibo, hindi ito magagawa, dahil, halimbawa, ang halaga 0 - 5, 0 - 2 π ay hindi tinukoy. Ang isang yunit na itinaas sa anumang hindi makatwirang kapangyarihan ay nananatiling isang yunit, halimbawa, at ang 1 2 , 1 5 sa 2 at 1 - 5 ay magiging katumbas ng 1 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Matapos matukoy ang antas ng numero, lohikal na pag-usapan mga katangian ng degree. Sa artikulong ito, ibibigay namin ang mga pangunahing katangian ng antas ng isang numero, habang hinahawakan ang lahat ng posibleng exponent. Dito ay magbibigay kami ng mga patunay ng lahat ng mga katangian ng antas, at ipapakita din kung paano inilalapat ang mga katangiang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Mga katangian ng mga degree na may natural na mga tagapagpahiwatig

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may natural na exponent, ang kapangyarihan ng isang n ay produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng isang . Batay sa kahulugan na ito, at paggamit real number multiplication properties, maaari nating makuha at bigyang katwiran ang mga sumusunod mga katangian ng degree na may natural na exponent:

1. ang pangunahing katangian ng antas a m ·a n =a m+n , ang paglalahat nito;
2. ang pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga base a m:a n =a m−n ;
3. product degree property (a b) n =a n b n , extension nito ;
4. pribadong ari-arian sa natural na antas(a:b) n =a n:b n ;
5. exponentiation (a m) n =a m n , paglalahat nito (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
6. paghahambing ng antas sa zero:
   • kung a>0 , pagkatapos ay a n >0 para sa anumang natural n ;
   • kung a=0 , pagkatapos ay a n =0 ;
   • kung ang<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 kung a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. kung ang a at b ay mga positibong numero at a
8. kung ang m at n ay mga natural na numero tulad ng m>n , pagkatapos ay sa 0 0 totoo ang hindi pagkakapantay-pantay a m >a n.

Agad naming tandaan na ang lahat ng nakasulat na pagkakapantay-pantay ay magkapareho sa ilalim ng tinukoy na mga kondisyon, at ang kanilang kanan at kaliwang bahagi ay maaaring palitan. Halimbawa, ang pangunahing katangian ng fraction a m a n = a m + n na may pagpapasimple ng mga expression kadalasang ginagamit sa anyong a m+n = a m a n .

Ngayon tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang detalyado.

Magsimula tayo sa pag-aari ng produkto ng dalawang kapangyarihan na may parehong mga base, na tinatawag na ang pangunahing pag-aari ng degree: para sa anumang tunay na bilang a at anumang natural na mga numerong m at n, ang pagkakapantay-pantay na a m ·a n =a m+n ay totoo.

Patunayan natin ang pangunahing pag-aari ng degree. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, ang produkto ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan ng anyong a m a n ay maaaring isulat bilang isang produkto. Dahil sa mga katangian ng multiplikasyon, ang resultang expression ay maaaring isulat bilang , at ang produktong ito ay ang kapangyarihan ng a na may natural na exponent m+n , iyon ay, a m+n . Kinukumpleto nito ang patunay.

Magbigay tayo ng isang halimbawa na nagpapatunay sa pangunahing pag-aari ng degree. Kumuha tayo ng mga degree na may parehong mga base 2 at natural na kapangyarihan 2 at 3, ayon sa pangunahing katangian ng degree, maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Suriin natin ang bisa nito, kung saan kinakalkula natin ang mga halaga ng mga expression 2 2 ·2 3 at 2 5 . Nagsasagawa ng exponentiation, mayroon kami 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 at 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, dahil ang pantay na mga halaga ay nakuha, kung gayon ang pagkakapantay-pantay 2 2 2 3 \u003d 2 5 ay tama, at kinukumpirma nito ang pangunahing pag-aari ng degree.

Ang pangunahing katangian ng isang degree na batay sa mga katangian ng multiplikasyon ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan na may parehong mga base at natural na exponent. Kaya para sa anumang bilang k ng mga natural na numero n 1 , n 2 , …, n k ang pagkakapantay-pantay a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Halimbawa, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Maaari kang magpatuloy sa susunod na pag-aari ng mga degree na may natural na tagapagpahiwatig - ang pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga batayan: para sa anumang di-zero real number a at arbitrary na natural na mga numero m at n na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon m>n , ang pagkakapantay-pantay a m:a n =a m−n ay totoo.

Bago ibigay ang patunay ng ari-arian na ito, talakayin natin ang kahulugan ng mga karagdagang kundisyon sa pagbabalangkas. Ang kundisyong a≠0 ay kinakailangan upang maiwasan ang paghahati ng zero, dahil 0 n =0, at nang nakilala natin ang paghahati, napagkasunduan natin na imposibleng hatiin ng zero. Ang kondisyon m>n ay ipinakilala upang hindi tayo lumampas natural na mga tagapagpahiwatig degree. Sa katunayan, para sa m>n ang exponent a m−n ay natural na numero, kung hindi, ito ay magiging zero (na mangyayari kapag m − n ) o negatibong numero(ano ang mangyayari kapag m

Patunay. Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pagkakapantay-pantay a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Mula sa nakuhang pagkakapantay-pantay a m−n ·a n =a m at mula rito ay sumusunod na ang m−n ay isang quotient ng mga kapangyarihan ng a m at a n . Pinatutunayan nito ang pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga base.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Kumuha tayo ng dalawang degree na may parehong mga base π at natural exponents 5 at 2, ang itinuturing na pag-aari ng degree ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Ngayon isaalang-alang ari-arian ng antas ng produkto: ang natural na digri n ng produkto ng alinmang dalawang tunay na numero a at b ay katumbas ng produkto ng mga digri a n at b n , ibig sabihin, (a b) n =a n b n .

Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, mayroon tayo . Ang huling produkto, batay sa mga katangian ng multiplikasyon, ay maaaring muling isulat bilang , na katumbas ng a n b n .

Narito ang isang halimbawa: .

Ang pag-aari na ito ay umaabot sa antas ng produkto ng tatlo o higit pang mga kadahilanan. Ibig sabihin, ang likas na kapangyarihan ng ari-arian n ng produkto ng k mga kadahilanan ay nakasulat bilang (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

Para sa kalinawan, ipinapakita namin ang property na ito na may isang halimbawa. Para sa produkto ng tatlong salik sa kapangyarihan ng 7, mayroon kaming .

Ang susunod na ari-arian ay likas na ari-arian: ang quotient ng mga tunay na numero a at b , b≠0 sa natural na kapangyarihan n ay katumbas ng quotient ng mga kapangyarihan a n at b n , ibig sabihin, (a:b) n =a n:b n .

Ang patunay ay maaaring isagawa gamit ang dating ari-arian. Kaya (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, at ang pagkakapantay-pantay (a:b) n b n =a n ay nagpapahiwatig na ang (a:b) n ay ang quotient ng a n na hinati ng b n .

Isulat natin ang property na ito gamit ang halimbawa ng mga partikular na numero: .

Ngayon boses natin pag-aari ng exponentiation: para sa anumang tunay na bilang a at anumang natural na bilang na m at n, ang kapangyarihan ng a m sa kapangyarihan ng n ay katumbas ng kapangyarihan ng a na may exponent m·n , iyon ay, (a m) n =a m·n .

Halimbawa, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Ang patunay ng power property sa isang degree ay ang sumusunod na chain of equalities: .

Ang itinuturing na ari-arian ay maaaring palawigin sa degree sa loob ng degree sa loob ng degree, at iba pa. Halimbawa, para sa anumang natural na numerong p, q, r, at s, ang pagkakapantay-pantay . Para sa higit na kalinawan, narito ang isang halimbawa na may mga partikular na numero: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Ito ay nananatiling upang tumira sa mga katangian ng paghahambing ng mga degree sa isang natural na exponent.

Magsisimula tayo sa pamamagitan ng pagpapatunay sa paghahambing na katangian ng zero at kapangyarihan na may natural na exponent.

Una, bigyang-katwiran natin na a n >0 para sa alinmang a>0 .

Ang produkto ng dalawang positibong numero ay isang positibong numero, tulad ng sumusunod mula sa kahulugan ng multiplikasyon. Ang katotohanang ito at ang mga katangian ng pagpaparami ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang resulta ng pagpaparami ng anumang bilang ng mga positibong numero ay magiging isang positibong numero. At ang kapangyarihan ng a na may natural na exponent n ay, sa pamamagitan ng kahulugan, ang produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ang mga argumentong ito ay nagpapahintulot sa amin na igiit na para sa anumang positibong base a ang antas ng a n ay isang positibong numero. Sa bisa ng napatunayang ari-arian 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 at .

Ito ay lubos na halata na para sa anumang natural n na may a=0 ang antas ng isang n ay zero. Sa katunayan, 0 n =0·0·…·0=0 . Halimbawa, 0 3 =0 at 0 762 =0 .

Lumipat tayo sa mga negatibong batayan.

Magsimula tayo sa kaso kapag ang exponent ay isang even na numero, ipahiwatig ito bilang 2 m , kung saan ang m ay isang natural na numero. Pagkatapos . Para sa bawat isa sa mga produkto ng anyong a·a ay katumbas ng produkto ng mga module ng mga numerong a at a, samakatuwid, ay isang positibong numero. Samakatuwid, ang produkto ay magiging positibo din. at degree a 2 m . Narito ang mga halimbawa: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 at .

Sa wakas, kapag ang base ng a ay isang negatibong numero at ang exponent ay isang kakaibang numero 2 m−1, kung gayon . Ang lahat ng mga produkto a·a ay mga positibong numero, ang produkto ng mga positibong numerong ito ay positibo rin, at ang pagpaparami nito sa natitirang negatibong numero ay nagreresulta sa isang negatibong numero. Dahil sa property na ito (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Bumaling tayo sa pag-aari ng paghahambing ng mga degree na may parehong natural na exponents, na may sumusunod na pagbabalangkas: ng dalawang degree na may parehong natural na exponents, n ay mas mababa kaysa sa isa na ang base ay mas mababa, at higit sa isa na ang base ay mas malaki. Patunayan natin.

Hindi pagkakapantay-pantay a n mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay ang hindi pagkakapantay-pantay ay pinatutunayan ng anyong a n .

Ito ay nananatiling patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent. Buuin natin ito. Sa dalawang degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at parehong positibong mga base, mas mababa sa isa, ang antas ay mas malaki, ang tagapagpahiwatig na kung saan ay mas mababa; at ng dalawang degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at ang parehong mga base na higit sa isa, ang antas na ang tagapagpahiwatig ay mas malaki ay mas malaki. Bumaling tayo sa patunay ng ari-arian na ito.

Patunayan natin iyon para sa m>n at 0 0 dahil sa paunang kundisyon m>n , kung saan sinusundan iyon sa 0

Ito ay nananatiling patunayan ang ikalawang bahagi ng ari-arian. Patunayan natin na para sa m>n at a>1, ang isang m >a n ay totoo. Ang pagkakaiba ng a m −a n pagkatapos kunin ang isang n mula sa mga bracket ay nasa anyong a n ·(a m−n −1) . Ang produktong ito ay positibo, dahil para sa a>1 ang antas ng a n ay isang positibong numero, at ang pagkakaiba ng isang m−n −1 ay isang positibong numero, dahil m−n>0 dahil sa paunang kondisyon, at para sa a>1, ang antas ng isang m−n ay mas malaki kaysa sa isa . Samakatuwid, a m − a n >0 at a m >a n , na dapat patunayan. Ang katangiang ito ay inilalarawan ng hindi pagkakapantay-pantay 3 7 >3 2 .

Mga katangian ng mga degree na may mga integer exponents

Dahil ang mga positibong integer ay natural na mga numero, kung gayon ang lahat ng mga katangian ng mga kapangyarihan na may positibong integer na mga exponent ay eksaktong katugma sa mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent na nakalista at napatunayan sa nakaraang talata.

Ang degree na may negatibong integer exponent, pati na rin ang degree na may zero exponent, tinukoy namin sa paraang ang lahat ng katangian ng mga degree na may natural na exponent na ipinahayag ng mga pagkakapantay-pantay ay mananatiling wasto. Samakatuwid, ang lahat ng mga katangiang ito ay may bisa kapwa para sa mga zero exponents at para sa mga negatibong exponents, habang, siyempre, ang mga base ng mga degree ay nonzero.

Kaya, para sa anumang tunay at di-zero na mga numero a at b, pati na rin ang anumang integer na m at n, ang mga sumusunod ay totoo mga katangian ng mga degree na may mga integer exponent:

1. a m a n \u003d a m + n;
2. a m: a n = a m−n ;
3. (a b) n = a n b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n = a m n ;
6. kung ang n ay isang positibong integer, ang a at b ay mga positibong numero, at a b-n;
7. kung ang m at n ay mga integer, at m>n , pagkatapos ay sa 0 1 natutupad ang hindi pagkakapantay-pantay a m >a n.

Para sa a=0, ang powers a m at a n ay may katuturan lamang kapag ang m at n ay positive integers, iyon ay, natural na mga numero. Kaya, ang mga katangian na isinulat lamang ay may bisa din para sa mga kaso kapag ang a=0 at ang mga numerong m at n ay mga positibong integer.

Hindi mahirap patunayan ang bawat isa sa mga pag-aari na ito, para dito sapat na gamitin ang mga kahulugan ng antas na may natural at integer na exponent, pati na rin ang mga katangian ng mga aksyon na may totoong mga numero. Bilang halimbawa, patunayan natin na ang power property ay may hawak para sa parehong positive integers at nonpositive integers. Upang gawin ito, kailangan nating ipakita na kung ang p ay zero o isang natural na numero at q ay zero o isang natural na numero, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay (a p) q =a p q , (a −p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) at (a−p)−q =a (−p) (−q). Gawin natin.

Para sa positibong p at q, ang pagkakapantay-pantay (a p) q =a p·q ay napatunayan sa nakaraang subsection. Kung p=0 , kung gayon mayroon tayong (a 0) q =1 q =1 at a 0 q =a 0 =1 , kung saan (a 0) q =a 0 q . Katulad nito, kung q=0 , kung gayon (a p) 0 =1 at a p 0 =a 0 =1 , kung saan (a p) 0 =a p 0 . Kung parehong p=0 at q=0 , kung gayon (a 0) 0 =1 0 =1 at a 0 0 =a 0 =1 , kung saan (a 0) 0 =a 0 0 .

Patunayan natin ngayon na (a −p) q =a (−p) q . Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may negatibong integer exponent , kung gayon . Sa pamamagitan ng pag-aari ng quotient sa degree, mayroon kami . Dahil 1 p =1·1·…·1=1 at , pagkatapos . Ang huling expression ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng anyong a −(p q) , na, sa bisa ng mga tuntunin sa pagpaparami, ay maaaring isulat bilang isang (−p) q .

Ganun din .

At .

Sa parehong prinsipyo, mapapatunayan ng isa ang lahat ng iba pang katangian ng isang degree na may integer exponent, na nakasulat sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay.

Sa penultimate ng mga katangiang isinulat, nararapat na pag-isipan ang patunay ng hindi pagkakapantay-pantay a −n >b −n , na totoo para sa anumang negatibong integer −n at anumang positibong a at b kung saan ang kundisyon a . Dahil sa pamamagitan ng kondisyon a 0 . Ang produktong a n ·b n ay positibo rin bilang produkto ng mga positibong numero a n at b n . Pagkatapos ang resultang fraction ay positibo bilang isang quotient ng mga positibong numero b n − a n at a n b n . Kaya, saan a −n >b −n , na dapat patunayan.

Ang huling pag-aari ng mga degree na may mga integer na exponents ay napatunayan sa parehong paraan tulad ng kahalintulad na katangian ng mga degree na may mga natural na exponents.

Mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga rational exponents

Tinukoy namin ang degree na may fractional exponent sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga katangian ng isang degree na may integer exponent dito. Sa madaling salita, ang mga degree na may mga fractional exponents ay may parehong mga katangian tulad ng mga degree na may integer exponents. Namely:

Ang patunay ng mga katangian ng mga degree na may mga fractional exponent ay batay sa kahulugan ng isang degree na may isang fractional exponent, sa at sa mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent. Bigyan natin ng patunay.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent at , pagkatapos . Ang mga katangian ng arithmetic root ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay. Dagdag pa, gamit ang property ng degree na may integer exponent, nakukuha namin ang , kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent, mayroon kaming , at ang exponent ng degree na nakuha ay maaaring ma-convert bilang mga sumusunod: . Kinukumpleto nito ang patunay.

Ang pangalawang pag-aari ng mga kapangyarihan na may mga fractional exponents ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan:

Ang natitirang mga pagkakapantay-pantay ay pinatutunayan ng magkatulad na mga prinsipyo:

Bumaling tayo sa patunay ng susunod na ari-arian. Patunayan natin na para sa anumang positibong a at b , a b p . Isinulat namin ang rational number p bilang m/n , kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Kondisyon p<0 и p>0 sa kasong ito ay magiging katumbas ng mga kondisyon m<0 и m>0 ayon sa pagkakabanggit. Para sa m>0 at a

Katulad nito, para sa m<0 имеем a m >b m , kung saan , iyon ay, at a p >b p .

Ito ay nananatiling patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian. Patunayan natin na para sa mga rational na numero p at q , p>q para sa 0 0 – hindi pagkakapantay-pantay a p >a q . Maaari nating palaging bawasan ang mga rational na numerong p at q sa isang karaniwang denominator, kumuha tayo ng mga ordinaryong fraction at, kung saan ang m 1 at m 2 ay mga integer, at ang n ay isang natural na numero. Sa kasong ito, ang kundisyon p>q ay tumutugma sa kundisyon m 1 >m 2, na sumusunod mula sa . Pagkatapos, sa pamamagitan ng pag-aari ng paghahambing ng mga kapangyarihan na may parehong mga base at natural na exponents sa 0 1 – hindi pagkakapantay-pantay a m 1 >a m 2 . Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga tuntunin ng mga katangian ng mga ugat ay maaaring muling isulat, ayon sa pagkakabanggit, bilang at . At ang kahulugan ng isang degree na may isang rational exponent ay nagpapahintulot sa amin na pumasa sa mga hindi pagkakapantay-pantay at, ayon sa pagkakabanggit. Mula dito ay iginuhit namin ang pangwakas na konklusyon: para sa p>q at 0 0 – hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .

Mga katangian ng mga degree na may mga hindi makatwirang exponent

Mula sa kung paano tinukoy ang isang degree na may isang hindi makatwiran na exponent, maaari itong tapusin na mayroon itong lahat ng mga katangian ng mga degree na may mga rational exponent. Kaya para sa anumang a>0 , b>0 at hindi makatwiran na mga numero p at q ang mga sumusunod ay totoo mga katangian ng mga degree na may hindi makatwirang exponent:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. para sa anumang positibong numero a at b , a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p b p ;
7. para sa mga hindi makatwirang numero p at q , p>q sa 0 0 – hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .

Mula dito maaari nating tapusin na ang mga kapangyarihan na may anumang tunay na exponents p at q para sa a>0 ay may parehong mga katangian.

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematics Zh textbook para sa 5 cell. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang aklat-aralin para sa 7 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang aklat-aralin para sa 9 na mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).

Ang sumusunod na pormula ang magiging kahulugan degree na may natural na tagapagpahiwatig(a ay ang base ng exponent at ang paulit-ulit na kadahilanan, at n ay ang exponent, na nagpapakita kung gaano karaming beses ang kadahilanan ay paulit-ulit):

Ang expression na ito ay nangangahulugan na ang kapangyarihan ng numerong a na may natural na exponent n ay ang produkto ng n mga kadahilanan, dahil ang bawat isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - ang base ng degree,

5 - exponent,

Ang 1419857 ay ang halaga ng degree.

Ang exponent na may zero exponent ay 1 , sa kondisyon na ang isang \neq 0 :

a^0=1 .

Halimbawa: 2^0=1

Kapag kailangan mong magsulat ng isang malaking numero, ang kapangyarihan ng 10 ay karaniwang ginagamit.

Halimbawa, ang isa sa mga pinaka sinaunang dinosaur sa Earth ay nabuhay mga 280 milyong taon na ang nakalilipas. Ang kanyang edad ay nakasulat tulad ng sumusunod: 2.8 \cdot 10^8 .

Ang bawat bilang na higit sa 10 ay maaaring isulat bilang isang \cdot 10^n , sa kondisyon na 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют karaniwang anyo ng numero.

Mga halimbawa ng naturang mga numero: 6978=6.978 \cdot 10^3, 569000=5.69 \cdot 10^5.

Maaari mong sabihin ang parehong "a sa ika-n na kapangyarihan", at "ika-isang kapangyarihan ng bilang na a" at "a sa kapangyarihan ng n".

4^5 - "four to the power of 5" o "4 to the fifth power" o maaari mo ring sabihin ang "fifth power of the number 4"

Sa halimbawang ito, 4 ang base ng degree, 5 ang exponent.

Nagbibigay kami ngayon ng isang halimbawa na may mga fraction at negatibong numero. Upang maiwasan ang pagkalito, kaugalian na magsulat ng mga base maliban sa mga natural na numero sa mga bracket:

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4 atbp.

Pansinin din ang pagkakaiba:

(-5)^6 - nangangahulugang ang kapangyarihan ng isang negatibong numero −5 na may natural na exponent 6.

5^6 - tumutugma sa kabaligtaran na bilang ng 5^6 .

Mga katangian ng mga degree na may natural na exponent

Ang pangunahing pag-aari ng degree

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay idinagdag.

Halimbawa: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga base

a^n: a^k=a^(n-k) kung n > k .

Ang mga exponent ay ibinabawas, ngunit ang base ay nananatiling pareho.

Ang paghihigpit na ito n > k ay ipinakilala upang hindi lumampas sa natural exponents. Sa katunayan, para sa n > k, ang exponent a^(n-k) ay magiging isang natural na numero, kung hindi, ito ay magiging negatibong numero (k< n ), либо нулем (k-n ).

Halimbawa: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Pag-aari ng power exponentiation

(a^n)^k=a^(nk)

Ang base ay nananatiling pareho, tanging ang mga exponent ay pinarami.

Halimbawa: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Pag-aari ng pagpaparami ng produkto

Ang bawat salik ay itinataas sa kapangyarihan ng n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Halimbawa: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Ang pag-aari ng exponentiation ng isang fraction

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

Parehong ang numerator at denominator ng isang fraction ay itinataas sa isang kapangyarihan. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)