Paglutas ng mga equation na may dalawang variable. Mga equation

Mga tagubilin

Pamamaraan ng PagpapalitIpahayag ang isang variable at palitan ito sa isa pang equation. Maaari mong ipahayag ang anumang variable sa iyong paghuhusga. Halimbawa, ipahayag ang y mula sa pangalawang equation:
x-y=2 => y=x-2Pagkatapos ay palitan ang lahat sa unang equation:
2x+(x-2)=10 Ilipat ang lahat nang walang “x” sa kanang bahagi at kalkulahin:
2x+x=10+2
3x=12 Susunod, upang makuha ang x, hatiin ang magkabilang panig ng equation ng 3:
x=4. Kaya, nakita mo ang “x. Hanapin ang "y. Upang gawin ito, palitan ang "x" sa equation kung saan mo ipinahayag ang "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Gumawa ng check. Upang gawin ito, palitan ang mga nagresultang halaga sa mga equation:
2*4+2=10
4-2=2
Ang mga hindi alam ay natagpuan nang tama!

Isang paraan upang magdagdag o magbawas ng mga equation Alisin kaagad ang anumang variable. Sa aming kaso, ito ay mas madaling gawin sa "y.
Dahil sa "y" mayroong isang "+" sign, at sa pangalawa ay "-", pagkatapos ay maaari mong isagawa ang operasyon ng karagdagan, i.e. tiklupin ang kaliwang bahagi gamit ang kaliwa, at ang kanan gamit ang kanan:
2x+y+(x-y)=10+2Convert:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Palitan ang “x” sa anumang equation at hanapin ang “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Sa unang paraan makikita mo na tama ang mga ito.

Kung walang malinaw na tinukoy na mga variable, kinakailangan na bahagyang ibahin ang anyo ng mga equation.
Sa unang equation mayroon kaming "2x", at sa pangalawa mayroon lang kaming "x". Upang ang x ay mabawasan sa panahon ng karagdagan, i-multiply ang pangalawang equation sa 2:
x-y=2
2x-2y=4Pagkatapos ay ibawas ang pangalawa sa unang equation:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Tandaan na kung may minus bago ang bracket, pagkatapos ay buksan ito, baguhin ito sa kabaligtaran:
2x+y-2x+2y=6
3u=6
hanapin ang y=2x sa pamamagitan ng pagpapahayag mula sa anumang equation, i.e.
x=4

Video sa paksa

Tip 2: Paano lutasin ang isang linear equation sa dalawang variable

Ang equation, na nakasulat sa pangkalahatang anyong ax+bу+c=0, ay tinatawag na linear equation na may dalawa mga variable. Ang nasabing equation mismo ay naglalaman ng isang walang katapusang bilang ng mga solusyon, kaya sa mga problema ito ay palaging pupunan ng isang bagay - isa pang equation o naglilimita sa mga kondisyon. Depende sa mga kondisyong ibinigay ng problema, lutasin ang isang linear equation na may dalawa mga variable dapat iba't ibang paraan.

Kakailanganin mong

• - linear equation na may dalawang variable;
• - pangalawang equation o karagdagang kundisyon.

Mga tagubilin

Dahil sa isang sistema ng dalawang linear na equation, lutasin ito bilang mga sumusunod. Pumili ng isa sa mga equation kung saan ang mga coefficient ay mga variable mas maliit at ipahayag ang isa sa mga variable, halimbawa, x. Pagkatapos ay palitan ang halagang ito na naglalaman ng y sa pangalawang equation. Sa resultang equation magkakaroon lamang ng isang variable na y, ilipat ang lahat ng mga bahagi na may y sa kaliwang bahagi, at libre ang mga sa kanan. Hanapin ang y at palitan sa alinman sa mga orihinal na equation upang mahanap ang x.

May isa pang paraan upang malutas ang isang sistema ng dalawang equation. I-multiply ang isa sa mga equation sa isang numero upang ang coefficient ng isa sa mga variable, tulad ng x, ay pareho sa parehong equation. Pagkatapos ay ibawas ang isa sa mga equation mula sa isa (kung ang kanang bahagi ay hindi katumbas ng 0, tandaan na ibawas ang kanang bahagi sa parehong paraan). Makikita mo na ang x variable ay nawala at isang y variable na lang ang natitira. Lutasin ang nagresultang equation, at palitan ang nahanap na halaga ng y sa alinman sa mga orihinal na pagkakapantay-pantay. Hanapin ang x.

Ang ikatlong paraan upang malutas ang isang sistema ng dalawang linear equation ay graphical. Gumuhit ng coordinate system at i-graph ang dalawang tuwid na linya na ang mga equation ay ibinigay sa iyong system. Upang gawin ito, palitan ang anumang dalawang x na halaga sa equation at hanapin ang kaukulang y - ito ang magiging mga coordinate ng mga puntos na kabilang sa linya. Ang pinaka-maginhawang paraan upang mahanap ang intersection sa mga coordinate axes ay ang simpleng palitan ang mga halaga x=0 at y=0. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linyang ito ay ang mga gawain.

Kung mayroon lamang isang linear equation sa mga kondisyon ng problema, pagkatapos ay binigyan ka ng karagdagang mga kondisyon kung saan makakahanap ka ng solusyon. Basahing mabuti ang problema upang mahanap ang mga kundisyong ito. Kung mga variable Ang x at y ay nagpapahiwatig ng distansya, bilis, timbang - huwag mag-atubiling itakda ang limitasyon x≥0 at y≥0. Posible na itinago ng x o y ang bilang ng mga mansanas, atbp. – kung gayon ang mga halaga ay maaari lamang . Kung x ang edad ng anak, malinaw na hindi siya maaaring mas matanda kaysa sa kanyang ama, kaya ipahiwatig ito sa mga kondisyon ng problema.

Mga Pinagmulan:

• kung paano lutasin ang isang equation na may isang variable

Mag-isa ang equation kasama ang tatlo hindi kilala ay may maraming solusyon, kaya kadalasan ay dinadagdagan ito ng dalawa pang equation o kundisyon. Depende sa kung ano ang paunang data, ang kurso ng desisyon ay higit na nakasalalay.

Kakailanganin mong

• - isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam.

Mga tagubilin

Kung dalawa sa tatlong sistema ay mayroon lamang dalawa sa tatlong hindi alam, subukang ipahayag ang ilang mga variable sa mga tuntunin ng iba at palitan ang mga ito sa ang equation kasama ang tatlo hindi kilala. Ang iyong layunin sa kasong ito ay gawing normal ito ang equation kasama ang isang hindi kilalang tao. Kung ito ay , ang karagdagang solusyon ay medyo simple - palitan ang nahanap na halaga sa iba pang mga equation at hanapin ang lahat ng iba pang hindi alam.

Ang ilang mga sistema ng mga equation ay maaaring ibawas mula sa isang equation ng isa pa. Tingnan kung posible na i-multiply ang isa sa o isang variable upang ang dalawang hindi alam ay kanselahin nang sabay-sabay. Kung may ganitong pagkakataon, samantalahin ito; malamang, ang kasunod na solusyon ay hindi magiging mahirap. Tandaan na kapag nagpaparami sa isang numero, dapat mong i-multiply pareho ang kaliwang bahagi at kanang bahagi. Gayundin, kapag binabawasan ang mga equation, dapat mong tandaan na ang kanang bahagi ay dapat ding ibawas.

Kung ang mga nakaraang pamamaraan ay hindi nakatulong, gamitin ang pangkalahatang paraan ng paglutas ng anumang mga equation na may tatlo hindi kilala. Upang gawin ito, muling isulat ang mga equation sa anyong a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Ngayon lumikha ng isang matrix ng mga coefficient para sa x (A), isang matrix ng mga hindi alam (X) at isang matrix ng mga libre (B). Pakitandaan na sa pamamagitan ng pagpaparami ng matrix ng mga coefficient sa matrix ng mga hindi alam, makakakuha ka ng matrix ng mga libreng termino, iyon ay, A*X=B.

Hanapin ang matrix A sa kapangyarihan (-1) sa pamamagitan ng unang paghahanap , tandaan na hindi ito dapat katumbas ng zero. Pagkatapos nito, i-multiply ang nagresultang matrix sa matrix B, bilang isang resulta makakatanggap ka ng nais na matrix X, na nagpapahiwatig ng lahat ng mga halaga.

Makakahanap ka rin ng solusyon sa isang sistema ng tatlong equation gamit ang paraan ng Cramer. Upang gawin ito, hanapin ang third-order determinant ∆ na naaayon sa system matrix. Pagkatapos ay sunud-sunod na maghanap ng tatlo pang determinant ∆1, ∆2 at ∆3, na pinapalitan ang mga halaga ng mga libreng termino sa halip na ang mga halaga ng kaukulang mga hanay. Ngayon hanapin ang x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Mga Pinagmulan:

• mga solusyon sa mga equation na may tatlong hindi alam

Ang paglutas ng isang sistema ng mga equation ay mahirap at kapana-panabik. Kung mas kumplikado ang sistema, mas kawili-wiling ito ay lutasin. Kadalasan sa matematika mataas na paaralan Mayroong mga sistema ng mga equation na may dalawang hindi alam, ngunit sa mas mataas na matematika ay maaaring mayroong higit pang mga variable. Ang mga sistema ay maaaring malutas gamit ang ilang mga pamamaraan.

Mga tagubilin

Ang pinakakaraniwang paraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga equation ay pagpapalit. Upang gawin ito, kailangan mong ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa at palitan ito sa pangalawa ang equation sistema, kaya nangunguna ang equation sa isang variable. Halimbawa, ibinigay ang mga sumusunod na equation: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Mula sa pangalawang expression ay maginhawa upang ipahayag ang isa sa mga variable, paglipat ng lahat ng iba pa sa kanang bahagi ng expression, hindi nakakalimutang baguhin ang tanda ng koepisyent: x = 3-y.

Buksan ang mga bracket: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Pinapalitan namin ang resultang value na y sa expression: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Sa unang expression, ang lahat ng termino ay 2, maaari mong kunin ang 2 mula sa bracket patungo sa distributive property ng multiplication: 2*(2x-y-3)=0. Ngayon ang parehong bahagi ng expression ay maaaring bawasan ng numerong ito, at pagkatapos ay ipinahayag bilang y, dahil ang modulus coefficient para dito ay katumbas ng isa: -y = 3-2x o y = 2x-3.

Tulad ng sa unang kaso, pinapalitan namin ang expression na ito sa pangalawa ang equation at makuha natin ang: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Ipalit ang resultang value sa expression: y=2x -3;y=4-3=1.

Nakikita namin na ang coefficient para sa y ay pareho sa halaga, ngunit naiiba sa sign, samakatuwid, kung idagdag namin ang mga equation na ito, ganap na naming aalisin ang y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0; x=2. Palitan ang halaga ng x sa alinman sa dalawang equation ng system at makuha ang y=1.

Video sa paksa

Biquadratic ang equation kumakatawan ang equation ikaapat na antas, pangkalahatang anyo na kinakatawan ng expression na ax^4 + bx^2 + c = 0. Ang solusyon nito ay batay sa paggamit ng paraan ng pagpapalit ng mga hindi alam. Sa kasong ito, ang x^2 ay pinapalitan ng isa pang variable. Kaya, ang resulta ay isang ordinaryong parisukat ang equation, na kailangang lutasin.

Mga tagubilin

Lutasin ang parisukat ang equation, na nagreresulta mula sa pagpapalit. Upang gawin ito, kalkulahin muna ang halaga alinsunod sa formula: D = b^2? 4ac. Sa kasong ito, ang mga variable na a, b, c ay ang mga coefficient ng aming equation.

Hanapin ang mga ugat ng biquadratic equation. Upang gawin ito, kunin ang square root ng mga solusyon na nakuha. Kung mayroong isang solusyon, magkakaroon ng dalawa - positibo at negatibong kahulugan parisukat na ugat. Kung mayroong dalawang solusyon, ang biquadratic equation ay magkakaroon ng apat na ugat.

Video sa paksa

Ang isa sa mga klasikal na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation ay ang Gauss method. Binubuo ito sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable, kapag ang isang sistema ng mga equation na gumagamit ng mga simpleng pagbabago ay binago sa isang stepwise system, kung saan ang lahat ng mga variable ay sunud-sunod na matatagpuan, simula sa mga huling.

Mga tagubilin

Una, dalhin ang sistema ng mga equation sa isang anyo kung saan ang lahat ng hindi alam ay nasa isang mahigpit na tinukoy na pagkakasunud-sunod. Halimbawa, ang lahat ng hindi kilalang X ay lalabas muna sa bawat linya, lahat ng Y ay darating pagkatapos ng X, lahat ng Z ay darating pagkatapos ng Y, at iba pa. Dapat ay walang mga hindi alam sa kanang bahagi ng bawat equation. Tukuyin sa isip ang mga coefficient sa harap ng bawat hindi alam, pati na rin ang mga coefficient sa kanang bahagi ng bawat equation.

I. ax 2 =0 – hindi kumpleto quadratic equation (b=0, c=0 ). Solusyon: x=0. Sagot: 0.

Lutasin ang mga equation.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Solusyon. Buksan natin ang mga bracket sa pamamagitan ng multiply 2x para sa bawat termino sa mga bracket:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; Inilipat namin ang mga termino mula sa kanang bahagi sa kaliwa:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Narito ang mga katulad na termino:

3x 2 =0, kaya x=0.

Sagot: 0.

II. ax 2 +bx=0 –hindi kumpleto quadratic equation (c=0 ). Solusyon: x (ax+b)=0 → x 1 =0 o ax+b=0 → x 2 =-b/a. Sagot: 0; -b/a.

5x 2 -26x=0.

Solusyon. Alisin natin ang karaniwang kadahilanan X sa labas ng mga bracket:

x(5x-26)=0; ang bawat kadahilanan ay maaaring katumbas ng zero:

x=0 o 5x-26=0→ 5x=26, hatiin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng 5 at makuha natin ang: x=5.2.

Sagot: 0; 5,2.

Halimbawa 3. 64x+4x 2 =0.

Solusyon. Alisin natin ang karaniwang kadahilanan 4x sa labas ng mga bracket:

4x(16+x)=0. Mayroon kaming tatlong salik, 4≠0, samakatuwid, o x=0 o 16+x=0. Mula sa huling pagkakapantay-pantay makuha natin ang x=-16.

Sagot: -16; 0.

Halimbawa 4.(x-3) 2 +5x=9.

Solusyon. Ang paglalapat ng formula para sa parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression, bubuksan namin ang mga bracket:

x 2 -6x+9+5x=9; ibahin sa anyo: x 2 -6x+9+5x-9=0; Ipakita natin ang mga katulad na termino:

x 2 -x=0; ilalabas natin X sa labas ng mga bracket, nakukuha natin ang: x (x-1)=0. Mula dito o x=0 o x-1=0→ x=1.

Sagot: 0; 1.

III. ax 2 +c=0 –hindi kumpleto quadratic equation (b=0 ); Solusyon: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Kung (-c/a)<0 , kung gayon walang tunay na mga ugat. Kung (-с/а)>0

Halimbawa 5. x 2 -49=0.

Solusyon.

x 2 =49, mula dito x=±7. Sagot:-7; 7.

Halimbawa 6. 9x 2 -4=0.

Solusyon.

Kadalasan kailangan mong hanapin ang kabuuan ng mga parisukat (x 1 2 +x 2 2) o ang kabuuan ng mga cube (x 1 3 +x 2 3) ng mga ugat ng isang quadratic equation, mas madalas - ang kabuuan ng mga katumbas na halaga ​ng mga parisukat ng mga ugat o ang kabuuan ng arithmetic square roots mula sa mga ugat ng quadratic equation:

Makakatulong dito ang theorem ni Vieta:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Ipahayag natin sa pamamagitan ng p At q:

1) kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng equation x 2 +px+q=0;

2) kabuuan ng mga cube ng mga ugat ng equation x 2 +px+q=0.

Solusyon.

1) Pagpapahayag x 1 2 +x 2 2 nakuha sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig ng equation x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; buksan ang mga bracket: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; ipinapahayag namin ang kinakailangang halaga: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Nakakuha kami ng kapaki-pakinabang na pagkakapantay-pantay: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Pagpapahayag x 1 3 +x 2 3 Katawanin natin ang kabuuan ng mga cube gamit ang formula:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Isa pang kapaki-pakinabang na equation: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Mga halimbawa.

3) x 2 -3x-4=0. Nang walang paglutas ng equation, kalkulahin ang halaga ng expression x 1 2 +x 2 2.

Solusyon.

x 1 +x 2 =-p=3, at ang gawain x 1 ∙x 2 =q=sa halimbawa 1) pagkakapantay-pantay:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Meron kami -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Pagkatapos x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Sagot: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Kalkulahin: x 1 3 +x 2 3 .

Solusyon.

Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta, ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation na ito ay x 1 +x 2 =-p=2, at ang gawain x 1 ∙x 2 =q=-4. Ilapat natin ang natanggap natin ( sa halimbawa 2) pagkakapantay-pantay: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Sagot: x 1 3 +x 2 3 =32.

Tanong: paano kung bibigyan tayo ng unreduced quadratic equation? Sagot: maaari itong palaging "bawasan" sa pamamagitan ng paghahati ng termino sa termino sa unang koepisyent.

5) 2x 2 -5x-7=0. Nang walang pagpapasya, kalkulahin: x 1 2 +x 2 2.

Solusyon. Binigyan tayo ng kumpletong quadratic equation. Hatiin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ng 2 (ang unang koepisyent) at makuha ang sumusunod na quadratic equation: x 2 -2.5x-3.5=0.

Ayon sa teorama ni Vieta, ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng 2,5 ; ang produkto ng mga ugat ay pantay -3,5 .

Nilulutas namin ito sa parehong paraan tulad ng halimbawa 3) gamit ang pagkakapantay-pantay: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Sagot: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Hanapin:

Ibahin natin ang pagkakapantay-pantay na ito at, gamit ang theorem ni Vieta, palitan ang kabuuan ng mga ugat hanggang -p, at ang produkto ng mga ugat sa pamamagitan ng q, nakakakuha kami ng isa pang kapaki-pakinabang na formula. Kapag hinango ang formula, ginamit namin ang pagkakapantay-pantay 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

Sa ating halimbawa x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa nagresultang formula:

7) x 2 -13x+36=0. Hanapin:

Ibahin natin ang kabuuan na ito at kumuha ng formula na magagamit upang mahanap ang kabuuan ng mga arithmetic square roots mula sa mga ugat ng isang quadratic equation.

Meron kami x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa nagresultang formula:

Payo : palaging suriin ang posibilidad ng paghahanap ng mga ugat ng isang parisukat na equation gamit ang isang angkop na paraan, dahil 4 nirepaso kapaki-pakinabang na mga formula nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na makumpleto ang isang gawain, lalo na sa mga kaso kung saan ang discriminant ay isang "hindi maginhawa" na numero. Sa lahat ng mga simpleng kaso, hanapin ang mga ugat at patakbuhin ang mga ito. Halimbawa, sa huling halimbawa piliin natin ang mga ugat gamit ang teorama ni Vieta: ang kabuuan ng mga ugat ay dapat na pantay 13 , at ang produkto ng mga ugat 36 . Ano ang mga numerong ito? tiyak, 4 at 9. Ngayon kalkulahin ang kabuuan ng mga square root ng mga numerong ito: 2+3=5. Ayan yun!

I. Vieta's theorem para sa pinababang quadratic equation.

Kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay katumbas ng pangalawang koepisyent na kinuha sa kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Hanapin ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation gamit ang Vieta's theorem.

Halimbawa 1) x 2 -x-30=0. Ito ang pinababang quadratic equation ( x 2 +px+q=0), pangalawang koepisyent p=-1, at ang libreng miyembro q=-30. Una, tiyakin natin na ang equation na ito ay may mga ugat, at ang mga ugat (kung mayroon man) ay ipapahayag sa mga integer. Para dito, sapat na ang may diskriminasyon perpektong parisukat buong bilang.

Paghahanap ng discriminant D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Ngayon, ayon sa teorama ni Vieta, ang kabuuan ng mga ugat ay dapat na katumbas ng pangalawang koepisyent na kinuha sa kabaligtaran na tanda, i.e. ( -p), at ang produkto ay katumbas ng libreng termino, i.e. ( q). Pagkatapos:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Kailangan nating pumili ng dalawang numero upang ang kanilang produkto ay katumbas ng -30 , at ang halaga ay yunit. Ito ay mga numero -5 At 6 . Sagot: -5; 6.

Halimbawa 2) x 2 +6x+8=0. Mayroon kaming pinababang quadratic equation na may pangalawang coefficient p=6 at libreng miyembro q=8. Siguraduhin natin na may mga integer na ugat. Hanapin natin ang discriminant D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Ang discriminant D 1 ay ang perpektong parisukat ng numero 1 , na nangangahulugan na ang mga ugat ng equation na ito ay mga integer. Piliin natin ang mga ugat gamit ang teorema ni Vieta: ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng –р=-6, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng q=8. Ito ay mga numero -4 At -2 .

Sa katunayan: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Sagot: -4; -2.

Halimbawa 3) x 2 +2x-4=0. Sa pinababang quadratic equation na ito, ang pangalawang coefficient p=2, at ang libreng miyembro q=-4. Hanapin natin ang discriminant D 1, dahil ang pangalawang coefficient ay isang even na numero. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Ang discriminant ay hindi perpektong parisukat ng numero, kaya ginagawa namin konklusyon: Ang mga ugat ng equation na ito ay hindi integer at hindi mahahanap gamit ang Vieta's theorem. Nangangahulugan ito na lutasin natin ang equation na ito, gaya ng dati, gamit ang mga formula (sa kasong ito, gamit ang mga formula). Nakukuha namin:

Halimbawa 4). Sumulat ng isang quadratic equation gamit ang mga ugat nito kung x 1 =-7, x 2 =4.

Solusyon. Ang kinakailangang equation ay isusulat sa form: x 2 +px+q=0, at, batay sa teorama ni Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form: x 2 +3x-28=0.

Halimbawa 5). Sumulat ng quadratic equation gamit ang mga ugat nito kung:

II. Ang teorama ni Vieta para sa isang kumpletong quadratic equation ax 2 +bx+c=0.

Ang kabuuan ng mga ugat ay minus b, hinati ng A, ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng Sa, hinati ng A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Halimbawa 6). Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng isang quadratic equation 2x 2 -7x-11=0.

Solusyon.

Tinitiyak namin na ang equation na ito ay magkakaroon ng mga ugat. Upang gawin ito, sapat na upang lumikha ng isang expression para sa discriminant, at, nang hindi kinakalkula ito, siguraduhin lamang na ang discriminant ay mas malaki kaysa sa zero. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Ngayon gamitin natin teorama Vieta para sa kumpletong quadratic equation.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Halimbawa 7). Hanapin ang produkto ng mga ugat ng isang quadratic equation 3x 2 +8x-21=0.

Solusyon.

Hanapin natin ang discriminant D 1, dahil ang pangalawang koepisyent ( 8 ) ay isang even na numero. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Ang quadratic equation ay may 2 ugat, ayon sa teorama ni Vieta, ang produkto ng mga ugat x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– pangkalahatang quadratic equation

diskriminasyon D=b 2 - 4ac.

Kung D>0, pagkatapos ay mayroon tayong dalawang tunay na ugat:

Kung D=0, pagkatapos ay mayroon kaming isang ugat (o dalawang magkaparehong ugat) x=-b/(2a).

Kung si D<0, то действительных корней нет.

Halimbawa 1) 2x 2 +5x-3=0.

Solusyon. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 tunay na ugat.

4x 2 +21x+5=0.

Solusyon. a=4; b=21; c=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 tunay na ugat.

II. ax 2 +bx+c=0 – quadratic equation ng partikular na anyo na may kahit na pangalawa

koepisyent b

Halimbawa 3) 3x 2 -10x+3=0.

Solusyon. a=3; b=-10 (even number); c=3.

Halimbawa 4) 5x 2 -14x-3=0.

Solusyon. a=5; b= -14 (even number); c=-3.

Halimbawa 5) 71x 2 +144x+4=0.

Solusyon. a=71; b=144 (even number); c=4.

Halimbawa 6) 9x 2 -30x+25=0.

Solusyon. a=9; b=-30 (even number); c=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – quadratic equation pribadong uri na ibinigay: a-b+c=0.

Ang unang ugat ay palaging katumbas ng minus one, at ang pangalawang ugat ay palaging katumbas ng minus Sa, hinati ng A:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

Halimbawa 7) 2x 2 +9x+7=0.

Solusyon. a=2; b=9; c=7. Suriin natin ang pagkakapantay-pantay: a-b+c=0. Nakukuha namin: 2-9+7=0 .

Pagkatapos x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3.5. Sagot: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – quadratic equation ng isang partikular na anyo na napapailalim sa : a+b+c=0.

Ang unang ugat ay palaging katumbas ng isa, at ang pangalawang ugat ay katumbas ng Sa, hinati ng A:

x 1 =1, x 2 =c/a.

Halimbawa 8) 2x 2 -9x+7=0.

Solusyon. a=2; b=-9; c=7. Suriin natin ang pagkakapantay-pantay: a+b+c=0. Nakukuha namin: 2-9+7=0 .

Pagkatapos x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3.5. Sagot: 1; 3,5.

Pahina 1 ng 1 1

Root ng equation

Kapag nilulutas ang anumang equation, nagsusumikap kaming makahanap ng isang halaga para sa isang variable (karaniwang x) kung saan ang kaliwang bahagi ng equation ay nagiging katumbas ng kanan. Ang halagang ito ay tatawagin (hindi malito - iba ang mga konsepto na ito!)

kaya,

Root ng equation mayroong isang numero na kapag ipinalit sa equation sa halip na \(x\), ang mga resulta ay pareho sa kanan at kaliwa ng equal sign. At upang mahanap ang lahat ng naturang mga numero (o ipakita na hindi sila umiiral) ay nangangahulugan lutasin ang equation.

Ang paglutas, halimbawa, ang equation na \(2x+1=x+4\), makikita natin ang sagot: \(x=3\). At kung papalitan natin ang numerong ito sa halip na X, makukuha natin ang parehong mga halaga sa kaliwa at kanan:

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

At walang ibang numero maliban sa tatlo ang magbibigay sa atin ng gayong pagkakapantay-pantay. Nangangahulugan ito na ang numerong \(3\) ay ang tanging ugat ng equation.

Muli: ang ugat ay HINDI X! Ang X ay isang variable, A ang ugat ay isang numero, na ginagawang tunay na pagkakapantay-pantay ang equation (sa halimbawa sa itaas, isang tatlo). At kapag nilulutas ang mga equation ginagawa namin ito hindi kilalang numero(o mga numero) na hinahanap namin.

Paano malutas ang mga equation?

Upang mahanap ang mga ugat ng isang equation, gamitin ang . Ang punto ay sa pagkatapos ng mga pagbabago, kumuha ng mas simpleng equation na may parehong mga ugat(iyon ay, katumbas ng orihinal).

\(2-2x=23-5x\)
\(-2x+5x=23-2\)
\(3x=21\)
\(x=7\)

Sagot : \(7\)

Pakitandaan na sa bawat hakbang ay nagiging mas simple ang equation: kung sa orihinal na equation mahirap unawain na ang ugat ay ang numerong \(7\), pagkatapos ay sa \(3x=21\) (at higit pa sa \ (x=7\) ) Halata naman. Ngunit sa parehong oras, ang pito ay isang ugat para sa alinman sa mga equation na nakuha sa proseso ng mga pagbabagong-anyo, at walang iba pang mga ugat sa kanila.

Sa pamamagitan ng paraan, tandaan na ang \(x=7\) ay isang equation din. Ito ay lamang na ang ugat ay halata dito, kaya karamihan sa mga mag-aaral ay hindi kahit na nakikita ang entry na ito bilang isang equation, naniniwala na ito ay kung paano nakasulat ang sagot. Hindi, hindi, hindi, ang \(x=7\) ay isang ganap na kumpletong equation, isa lamang napakasimple. At ang sagot (iyon ay, ang ugat) ay ang numerong \(7\).

Ang ODZ ay isang mapanganib na bitag

Sa ilang uri ng mga equation (, hindi makatwiran, at mayroon ding tangent o cotangent), bilang karagdagan sa paglutas ng equation mismo, kinakailangan ding isaalang-alang ang ().

Halimbawa : Hanapin ang mga ugat ng equation \(\sqrt(4x+5)=x\)
Solusyon :

upang malutas ang matematika. Maghanap ng mabilis paglutas ng isang mathematical equation nasa mode online. Ang website na www.site ay nagpapahintulot lutasin ang equation halos anumang ibinigay algebraic, trigonometriko o transendental equation online. Kapag nag-aaral ng halos anumang sangay ng matematika sa iba't ibang yugto kailangan mong magpasya mga equation online. Upang makakuha kaagad ng sagot, at higit sa lahat tumpak na sagot, kailangan mo ng mapagkukunan na nagbibigay-daan sa iyong gawin ito. Salamat sa site na www.site lutasin ang mga equation online aabutin ng ilang minuto. Ang pangunahing bentahe ng www.site kapag nilulutas ang matematika mga equation online- ito ang bilis at katumpakan ng ibinigay na tugon. Ang site ay kayang lutasin ang anuman algebraic equation online, trigonometriko equation online, transendental equation online, at mga equation na may hindi kilalang mga parameter sa mode online. Mga equation nagsisilbing isang makapangyarihang kasangkapang pangmatematika mga solusyon praktikal na mga problema. Sa tulong mga equation sa matematika posible na magpahayag ng mga katotohanan at relasyon na maaaring mukhang nakakalito at kumplikado sa unang tingin. Hindi kilalang dami mga equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagbabalangkas ng problema sa mathematical wika sa anyo mga equation At magpasya nakatanggap ng gawain sa mode online sa website na www.site. Anuman algebraic equation, trigonometriko equation o mga equation naglalaman ng transendental mga tampok na maaari mong madaling magpasya online at makuha ang eksaktong sagot. Nag-aaral natural Sciences, hindi maiiwasang harapin mo ang pangangailangan paglutas ng mga equation. Sa kasong ito, ang sagot ay dapat na tumpak at dapat makuha kaagad sa mode online. Samakatuwid para sa paglutas ng mga mathematical equation online inirerekumenda namin ang site na www.site, na magiging iyong kailangang-kailangan na calculator para sa mga solusyon algebraic equation online, trigonometriko equation online, at transendental equation online o mga equation na may hindi kilalang mga parameter. Para sa mga praktikal na problema sa paghahanap ng mga ugat ng iba't ibang mga equation sa matematika mapagkukunan www.. Paglutas mga equation online sa iyong sarili, ito ay kapaki-pakinabang upang suriin ang natanggap na sagot gamit online na solusyon mga equation sa website na www.site. Kailangan mong isulat ang equation ng tama at agad na makuha online na solusyon, pagkatapos ang natitira na lang ay ihambing ang sagot sa iyong solusyon sa equation. Ang pagsuri sa sagot ay tatagal ng hindi hihigit sa isang minuto, sapat na lutasin ang equation online at ihambing ang mga sagot. Makakatulong ito sa iyo na maiwasan ang mga pagkakamali sa desisyon at iwasto ang sagot sa oras kung kailan paglutas ng mga equation online alinman algebraic, trigonometriko, transendental o ang equation na may hindi kilalang mga parameter.

Ang isang equation ay isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang titik na ang halaga ay dapat mahanap.

Sa mga equation, ang hindi alam ay karaniwang kinakatawan ng isang maliit na titik. Ang pinakakaraniwang ginagamit na mga titik ay "x" [ix] at "y" [y].

• Root ng equation- ito ang halaga ng titik kung saan nakuha ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero mula sa equation.
• Lutasin ang equation- ibig sabihin ay hanapin ang lahat ng ugat nito o siguraduhing walang ugat.

Nang malutas ang equation, palagi kaming nagsusulat ng tseke pagkatapos ng sagot.

Impormasyon para sa mga magulang

Minamahal naming mga magulang, iginuhit namin ang iyong pansin sa katotohanang iyon mababang Paaralan at sa ika-5 baitang, HINDI alam ng mga bata ang paksang “Negative Numbers”.

Samakatuwid, dapat nilang lutasin ang mga equation gamit lamang ang mga katangian ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati. Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation para sa grade 5 ay ibinigay sa ibaba.

Huwag subukang ipaliwanag ang solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng paglilipat ng mga numero at titik mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may pagbabago sa sign.

Maaari mong linawin ang mga konseptong nauugnay sa pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati sa aralin na "Mga Batas ng Arithmetic".

Paglutas ng mga equation ng karagdagan at pagbabawas

Paano mahahanap ang hindi alam
termino

Paano mahahanap ang hindi alam
minuend

Paano mahahanap ang hindi alam
subtrahend

Upang mahanap ang hindi kilalang termino, kailangan mong ibawas ang kilalang termino mula sa kabuuan.

Upang mahanap ang hindi kilalang minuend, kailangan mong idagdag ang subtrahend sa pagkakaiba.

Upang mahanap ang hindi kilalang subtrahend, kailangan mong ibawas ang pagkakaiba sa minuend.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Pagsusulit

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Pagsusulit

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Pagsusulit

Paglutas ng multiplication at division equation

Paano makahanap ng hindi kilala
salik

Paano mahahanap ang hindi alam
dibidendo

Paano makahanap ng hindi kilala
divider

Upang makahanap ng hindi kilalang kadahilanan, kailangan mong hatiin ang produkto sa kilalang kadahilanan.

Upang mahanap ang hindi kilalang dibidendo, kailangan mong i-multiply ang quotient sa divisor.

Upang makahanap ng hindi kilalang divisor, kailangan mong hatiin ang dibidendo sa quotient.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Pagsusulit

y: 7 = 2
y = 2 7
y=14
Pagsusulit

8:y=4
y=8:4
y=2
Pagsusulit

Ang isang equation ay isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang titik na ang tanda ay dapat matagpuan. Ang solusyon sa isang equation ay ang hanay ng mga halaga ng titik na nagpapalit ng equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay:

Alalahanin iyon upang malutas equation kailangan mong ilipat ang mga termino na may hindi alam sa isang bahagi ng pagkakapantay-pantay, at ang mga numerong termino sa isa pa, magdala ng mga katulad at makuha ang sumusunod na pagkakapantay-pantay:

Mula sa huling pagkakapantay-pantay, tinutukoy natin ang hindi alam ayon sa panuntunan: "ang isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng quotient na hinati ng pangalawang kadahilanan."

kasi mga rational na numero a at b ay maaaring magkaroon ng pareho at iba't ibang palatandaan, kung gayon ang tanda ng hindi alam ay tinutukoy ng mga patakaran para sa paghahati ng mga makatwirang numero.

Pamamaraan para sa paglutas ng mga linear equation

Ang linear equation ay dapat gawing simple sa pamamagitan ng pagbubukas ng mga bracket at pagsasagawa ng pangalawang hakbang na mga operasyon (multiplikasyon at paghahati).

Ilipat ang mga hindi alam sa isang gilid ng pantay na tanda, at ang mga numero sa kabilang panig ng pantay na tanda, na nakakakuha ng pagkakapantay-pantay na kapareho ng ibinigay,

Dalhin ang mga katulad sa kaliwa at kanan ng pantay na tanda, pagkuha ng pagkakapantay-pantay ng form palakol = b.

Kalkulahin ang ugat ng equation (hanapin ang hindi alam X mula sa pagkakapantay-pantay x = b : a),

Suriin sa pamamagitan ng pagpapalit ng hindi alam sa ibinigay na equation.

Kung makuha natin ang pagkakakilanlan sa pagkakapantay-pantay ng numero, pagkatapos ay malulutas nang tama ang equation.

Mga espesyal na kaso ng paglutas ng mga equation

1. Kung ang equation ibinigay ang isang produkto na katumbas ng 0, pagkatapos ay upang malutas ito ginagamit namin ang pag-aari ng multiplikasyon: "ang produkto ay katumbas ng zero kung ang isa sa mga kadahilanan o parehong mga kadahilanan ay katumbas ng zero."

27 (x - 3) = 0
Ang 27 ay hindi katumbas ng 0, ibig sabihin x - 3 = 0

Ang pangalawang halimbawa ay may dalawang solusyon sa equation, dahil
ito ay isang pangalawang degree na equation:

Kung ang mga coefficient ng equation ay ordinaryong fraction, pagkatapos ay una sa lahat kailangan nating alisin ang mga denominador. Para dito:

Hanapin ang karaniwang denominador;

Tukuyin ang mga karagdagang salik para sa bawat termino ng equation;

I-multiply ang mga numerator ng mga fraction at integer sa pamamagitan ng karagdagang mga salik at isulat ang lahat ng mga termino ng equation na walang denominator (maaaring itapon ang karaniwang denominator);

Ilipat ang mga terminong may mga hindi alam sa isang panig ng equation, at ang mga terminong bilang sa isa pa mula sa equal sign, na nakakakuha ng katumbas na pagkakapantay-pantay;

Magdala ng mga katulad na miyembro;

Mga pangunahing katangian ng mga equation

Sa anumang bahagi ng equation, maaari kang magdagdag ng mga katulad na termino o magbukas ng panaklong.

Ang anumang termino ng equation ay maaaring ilipat mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa sa pamamagitan ng pagbabago ng sign nito sa kabaligtaran.

Ang magkabilang panig ng equation ay maaaring i-multiply (hatiin) sa parehong numero, maliban sa 0.

Sa halimbawa sa itaas, ang lahat ng mga katangian nito ay ginamit upang malutas ang equation.

Panuntunan para sa paglutas ng mga simpleng equation

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga napaka-“not very. »
At para sa mga "napaka-sobra. ")

Linear na equation.

Ang mga linear equation ay hindi ang pinaka kumplikadong paksa matematika ng paaralan. Ngunit may ilang mga trick doon na maaaring palaisipan kahit isang sinanay na estudyante. Alamin natin ito?)

Karaniwan ang isang linear equation ay tinukoy bilang isang equation ng form:

Walang kumplikado, tama? Lalo na kung hindi mo napapansin ang mga salitang: "kung saan ang a at b ay anumang mga numero". At kung mapapansin mo at walang ingat na iniisip?) Kung tutuusin, kung a=0, b=0(anumang mga numero ang posible?), pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang nakakatawang expression:

Ngunit hindi lang iyon! Kung, sabihin, a=0, A b=5, Ito ay lumalabas na isang bagay na ganap na hindi karaniwan:

Which is stressful and undermines confidence in mathematics, yes.) Lalo na pag exams. Ngunit sa mga kakaibang expression na ito kailangan mo ring hanapin ang X! Na wala sa lahat. At, nakakagulat, ang X na ito ay napakadaling mahanap. Matuto tayong gawin ito. Sa araling ito.

Paano makilala ang isang linear equation sa pamamagitan ng hitsura nito? Depende kung ano hitsura.) Ang lansihin ay hindi lamang ang mga equation ng form ay tinatawag na linear equation palakol + b = 0 , ngunit gayundin ang anumang mga equation na maaaring bawasan sa form na ito sa pamamagitan ng mga pagbabago at pagpapasimple. At sino ang nakakaalam kung bumaba ito o hindi?)

Ang isang linear equation ay maaaring malinaw na makilala sa ilang mga kaso. Sabihin nating, kung mayroon tayong isang equation kung saan mayroon lamang mga hindi alam sa unang antas at mga numero. At sa equation ay wala mga fraction na hinati ng hindi kilala , ito ay mahalaga! At paghahati sa pamamagitan ng numero, o isang numerical fraction - malugod iyan! Halimbawa:

Ito ay isang linear equation. Mayroong mga fraction dito, ngunit walang mga x sa parisukat, kubo, atbp., at walang mga x sa mga denominator, i.e. Hindi paghahati ng x. At narito ang equation



hindi matatawag na linear. Narito ang mga X ay nasa unang antas, ngunit mayroon paghahati sa pamamagitan ng pagpapahayag na may x. Pagkatapos ng mga pagpapasimple at pagbabago, maaari kang makakuha ng linear equation, quadratic equation, o anumang gusto mo.

Ito ay lumiliko na imposibleng makilala ang linear equation sa ilang kumplikadong halimbawa hanggang sa halos malutas mo ito. Nakakainis ito. Ngunit sa mga takdang-aralin, bilang panuntunan, hindi sila nagtatanong tungkol sa anyo ng equation, di ba? Ang mga takdang-aralin ay humihingi ng mga equation magpasya. Ito ang nagpapasaya sa akin.)

Paglutas ng mga linear equation. Mga halimbawa.

Ang buong solusyon ng mga linear na equation ay binubuo ng magkaparehong pagbabago ng mga equation. Sa pamamagitan ng paraan, ang mga pagbabagong ito (dalawa sa kanila!) ay ang batayan ng mga solusyon lahat ng equation ng matematika. Sa madaling salita, ang solusyon anuman ang equation ay nagsisimula sa mismong mga pagbabagong ito. Sa kaso ng mga linear na equation, ito (ang solusyon) ay batay sa mga pagbabagong ito at nagtatapos sa isang buong sagot. Makatuwiran na sundin ang link, tama?) Bukod dito, mayroon ding mga halimbawa ng paglutas ng mga linear equation doon.

Una, tingnan natin ang pinakasimpleng halimbawa. Nang walang anumang mga pitfalls. Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang equation na ito.

Ito ay isang linear equation. Ang mga X ay nasa unang kapangyarihan, walang dibisyon ng X's. Ngunit, sa katunayan, hindi mahalaga sa amin kung anong uri ng equation ito. Kailangan natin itong lutasin. Ang scheme dito ay simple. Kolektahin ang lahat ng may X sa kaliwang bahagi ng equation, lahat ng walang X (mga numero) sa kanan.

Upang gawin ito kailangan mong ilipat — 4x sa kaliwang bahagi, na may pagbabago ng sign, siyempre, at — 3 - sa kanan. Ito nga pala ang unang identical transformation ng mga equation. Nagulat? Nangangahulugan ito na hindi mo sinunod ang link, ngunit walang kabuluhan.) Nakukuha namin:

Narito ang mga katulad, isinasaalang-alang namin:

Ano ang kailangan natin ganap na kaligayahan? Oo, para may purong X sa kaliwa! Lima ang nasa daan. Pag-alis ng lima sa tulong ang pangalawang magkaparehong pagbabagong-anyo ng mga equation. Ibig sabihin, hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 5. Makakakuha kami ng handa na sagot:

Isang halimbawa ng elementarya, siyempre. Ito ay para sa pag-init.) Hindi masyadong malinaw kung bakit ko naalala ang magkatulad na pagbabago dito? OK. Kunin natin ang toro sa pamamagitan ng mga sungay.) Magpasya tayo ng mas matatag.

Halimbawa, narito ang equation:



Saan tayo magsisimula? Sa X's - sa kaliwa, walang X's - sa kanan? Maaaring ganoon. Maliit na hakbang sa mahabang kalsada. O maaari mo itong gawin kaagad, sa isang unibersal at makapangyarihang paraan. Kung, siyempre, mayroon kang magkaparehong pagbabago ng mga equation sa iyong arsenal.

Nagtatanong ako sa iyo ng isang mahalagang tanong: Ano ang pinaka ayaw mo sa equation na ito?

95 sa 100 tao ang sasagot: mga fraction ! Tama ang sagot. Kaya tanggalin na natin sila. Samakatuwid, magsisimula kami kaagad sa ikalawang pagbabago ng pagkakakilanlan. Ano ang kailangan mong i-multiply ang fraction sa kaliwa upang ang denominator ay ganap na mabawasan? Tama, sa 3. At sa kanan? Sa pamamagitan ng 4. Ngunit pinapayagan tayo ng matematika na i-multiply ang magkabilang panig sa ang parehong numero. Paano tayo makakalabas? I-multiply natin ang magkabilang panig sa 12! Yung. sa isang common denominator. Tapos pareho silang tatlo at apat ay mababawasan. Huwag kalimutan na kailangan mong i-multiply ang bawat bahagi ganap. Narito ang hitsura ng unang hakbang:





Tandaan! Numerator (x+2) Nilagay ko sa bracket! Ito ay dahil kapag nagpaparami ng mga fraction, ang buong numerator ay pinarami! Ngayon ay maaari mong bawasan ang mga fraction:

Palawakin ang natitirang mga bracket:

Hindi isang halimbawa, ngunit puro kasiyahan!) Ngayon tandaan natin ang isang spell mula sa elementarya: na may X - sa kaliwa, walang X - sa kanan! At ilapat ang pagbabagong ito:

At hatiin ang parehong bahagi ng 25, i.e. ilapat muli ang pangalawang pagbabagong-anyo:



Iyon lang. Sagot: X=0,16

Mangyaring tandaan: upang dalhin ang orihinal na nakakalito na equation sa isang magandang anyo, gumamit kami ng dalawa (dalawa lang!) pagbabago ng pagkakakilanlan– pagsasalin kaliwa-kanan na may pagbabago ng sign at multiplication-division ng isang equation sa parehong numero. Ito ay isang unibersal na pamamaraan! Magtatrabaho kami sa ganitong paraan anuman mga equation! Ganap na kahit sino. Iyon ang dahilan kung bakit nakakapagod kong inuulit ang tungkol sa magkatulad na pagbabagong ito sa lahat ng oras.)

Tulad ng nakikita mo, ang prinsipyo ng paglutas ng mga linear na equation ay simple. Kinukuha namin ang equation at pinasimple ito gamit ang magkatulad na pagbabago hanggang makuha namin ang sagot. Ang mga pangunahing problema dito ay nasa mga kalkulasyon, hindi sa prinsipyo ng solusyon.

Pero. Mayroong ganoong mga sorpresa sa proseso ng paglutas ng pinaka-elementarya na mga linear na equation na maaari nilang itaboy ka sa isang malakas na pagkahilo.) Sa kabutihang palad, maaari lamang magkaroon ng dalawang ganoong sorpresa. Tawagin natin silang mga espesyal na kaso.

Mga espesyal na kaso sa paglutas ng mga linear na equation.

Unang sorpresa.

Ipagpalagay na nakatagpo ka ng isang napakapangunahing equation, tulad ng:

Bahagyang nababato, gumagalaw kami gamit ang X sa kaliwa, nang walang X - sa kanan. Sa pagbabago ng sign, maayos ang lahat. Nakukuha namin:

Sa tingin namin, at oops. Nakukuha namin:

Ang pagkakapantay-pantay na ito sa kanyang sarili ay hindi kanais-nais. Zero ay zero talaga. Pero nawawala si X! At dapat nating isulat sa sagot, ano ang katumbas ng x? Kung hindi, ang solusyon ay hindi mabibilang, tama.) Deadlock?

Kalmado! Sa ganitong mga kahina-hinalang kaso, ang pinaka-pangkalahatang mga patakaran ay magliligtas sa iyo. Paano malutas ang mga equation? Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng equation? Ibig sabihin nito, hanapin ang lahat ng mga halaga ng x na, kapag pinalitan sa orihinal na equation, ay magbibigay sa atin ng tamang pagkakapantay-pantay.

Ngunit mayroon tayong tunay na pagkakapantay-pantay na nangyari! 0=0, gaano pa katumpak?! Ito ay nananatiling upang malaman kung ano ang nangyayari sa x. Anong mga halaga ng X ang maaaring palitan orihinal equation kung ang mga x na ito mababawasan pa ba sila ng zero? Halika?)

Oo. Maaaring palitan ang mga X kahit ano! Alin ang gusto mo? Hindi bababa sa 5, hindi bababa sa 0.05, hindi bababa sa -220. Mangliliit pa sila. Kung hindi ka naniniwala sa akin, maaari mong suriin ito.) Palitan ang anumang mga halaga ng X sa orihinal equation at kalkulahin. Sa lahat ng oras ay makukuha mo ang dalisay na katotohanan: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 at iba pa.

Narito ang iyong sagot: x - anumang numero.

Ang sagot ay maaaring isulat sa iba't ibang mga simbolo ng matematika, ang kakanyahan ay hindi nagbabago. Ito ay isang ganap na tama at kumpletong sagot.

Pangalawang sorpresa.

Kunin natin ang parehong elementary linear equation at baguhin ang isang numero lamang dito. Ito ang ating pagpapasya:

Pagkatapos ng magkaparehong pagbabagong-anyo, nakakakuha tayo ng nakakaintriga:

Ganito. Nalutas namin ang isang linear equation at nakakuha ng kakaibang pagkakapantay-pantay. Sa mathematical terms, nakuha namin maling pagkakapantay-pantay. At nagsasalita sa simpleng wika, hindi ito totoo. Rave. Ngunit gayunpaman, ang katarantaduhan na ito ay isang napakagandang dahilan para sa ang tamang desisyon mga equation.)

Muli nating iniisip batay sa pangkalahatang tuntunin. Kung ano ang x, kapag pinalitan sa orihinal na equation, ang ibibigay sa atin totoo pagkakapantay-pantay? Oo, wala! Walang ganyang X. Kahit anong ilagay mo, lahat mababawasan, puro kalokohan lang ang mananatili.)

Narito ang iyong sagot: walang solusyon.

Ito rin ay isang ganap na kumpletong sagot. Sa matematika, madalas na matatagpuan ang mga ganitong sagot.

Ganito. Ngayon, umaasa ako, ang pagkawala ng X sa proseso ng paglutas ng anumang (hindi lamang linear) na equation ay hindi ka malito sa lahat. Ito ay isang pamilyar na bagay.)

Ngayong naharap na natin ang lahat ng mga pitfalls linear na equation, makatuwirang lutasin ang mga ito.

Makakasama ba sila sa Unified State Exam? - Naririnig ko ang tanong ng mga praktikal na tao. Sinagot ko. SA purong anyo- Hindi. Masyadong basic. Ngunit sa GIA, o kapag nag-solve ng mga problema sa Unified State Exam, siguradong makakaharap mo sila! Kaya, pinalitan namin ang mouse sa isang panulat at nagpasya.









Ang mga sagot ay ibinigay sa gulo: 2.5; walang solusyon; 51; 17.

Nangyari?! Binabati kita! Mayroon kang magandang pagkakataon sa mga pagsusulit.)

Hindi tugma ang mga sagot? Hmmm. Hindi ito nagpapasaya sa akin. Ito ay hindi isang paksa na maaari mong gawin nang wala. Inirerekomenda ko ang pagbisita sa Seksyon 555. Ito ay inilarawan nang detalyado, Ano dapat gawin at Paano gawin ito para hindi malito sa desisyon. Gamit ang mga equation na ito bilang isang halimbawa.

A kung paano lutasin ang mga equation mas tuso - ito ay nasa susunod na paksa.

Kung gusto mo ang site na ito.

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Dito maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

At dito maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Paglutas ng mga linear equation grade 7

Para sa paglutas ng mga linear equation gumamit ng dalawang pangunahing tuntunin (properties).

Ari-arian Blg. 1
o
tuntunin sa paglipat

Kapag inilipat mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa, binabago ng isang miyembro ng equation ang sign nito sa kabaligtaran.

Tingnan natin ang panuntunan sa paglipat gamit ang isang halimbawa. Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang isang linear equation.



Alalahanin na ang anumang equation ay may kaliwa at kanang bahagi.



Ilipat natin ang numerong "3" mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanan.

Dahil ang numerong "3" ay may "+" na senyales sa kaliwang bahagi ng equation, nangangahulugan ito na ang "3" ay ililipat sa kanang bahagi ng equation na may "−" sign.



Ang resultang numerical value na “x = 2” ay tinatawag na ugat ng equation.

Huwag kalimutang isulat ang sagot pagkatapos malutas ang anumang equation.

Isaalang-alang natin ang isa pang equation.

Ayon sa panuntunan sa paglipat, inililipat namin ang "4x" mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanan, binabago ang sign sa kabaligtaran.

Kahit na walang sign sa harap ng "4x", naiintindihan namin na mayroong "+" sign sa harap ng "4x".

Ngayon bigyan natin ang mga katulad at lutasin ang equation hanggang sa dulo.

Ari-arian Blg. 2
o
panuntunan ng paghahati

Sa anumang equation, maaari mong hatiin ang kaliwa at kanang bahagi sa parehong numero.

Ngunit hindi ka maaaring hatiin sa hindi alam!

Tingnan natin ang isang halimbawa kung paano gamitin ang panuntunan ng paghahati kapag nilulutas ang mga linear na equation.

Ang bilang na "4" na kumakatawan sa "x" ay tinatawag na numerical coefficient ng hindi alam.



Sa pagitan ng numerical coefficient at hindi alam ay palaging may multiplikasyon na aksyon.

Upang malutas ang equation, kailangan mong tiyakin na ang "x" ay may koepisyent na "1".

Itanong natin sa ating sarili ang tanong na: “Ano ang dapat nating hatiin sa “4” upang
makuha ang "1"? Ang sagot ay malinaw, kailangan mong hatiin sa "4".

Ginagamit namin ang panuntunan ng paghahati at hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation sa pamamagitan ng "4". Huwag kalimutan na kailangan mong hatiin ang kaliwa at kanang bahagi.



Gamitin natin ang fraction reduction at lutasin ang linear equation hanggang sa dulo.



Paano lutasin ang isang equation kung ang "x" ay negatibo

Kadalasan sa mga equation mayroong isang sitwasyon kung saan ang "x" ay may negatibong koepisyent. Tulad ng sa equation sa ibaba.

Upang malutas ang gayong equation, muli nating itatanong sa ating sarili ang tanong: "Ano ang kailangan nating hatiin ang "−2" upang makakuha ng "1"?" Kailangan mong hatiin sa "−2".

Paglutas ng mga simpleng linear equation

Sa video na ito, susuriin namin ang isang buong hanay ng mga linear na equation na nalutas gamit ang parehong algorithm - kaya't tinawag silang pinakasimple.

Una, tukuyin natin: ano ang linear equation at alin ang tinatawag na pinakasimple?

Ang isang linear na equation ay isa kung saan mayroon lamang isang variable, at hanggang sa unang antas lamang.

Ang pinakasimpleng equation ay nangangahulugan ng pagbuo:

Ang lahat ng iba pang mga linear na equation ay binabawasan sa pinakasimpleng gamit ang algorithm:

2. Palawakin ang mga panaklong, kung mayroon man;
3. Ilipat ang mga terminong naglalaman ng variable sa isang gilid ng pantay na tanda, at mga terminong walang variable sa kabilang panig;
4. Magbigay ng magkatulad na termino sa kaliwa at kanan ng equal sign;
5. Hatiin ang resultang equation sa coefficient ng variable na $x$.

Siyempre, hindi palaging nakakatulong ang algorithm na ito. Ang katotohanan ay kung minsan pagkatapos ng lahat ng mga machinations na ito ang koepisyent ng variable na $x$ ay lumalabas na katumbas ng zero. Sa kasong ito, posible ang dalawang pagpipilian:

6. Ang equation ay walang mga solusyon sa lahat. Halimbawa, kapag lumabas ang isang bagay tulad ng $0\cdot x=8$, i.e. sa kaliwa ay zero, at sa kanan ay isang numero maliban sa zero. Sa video sa ibaba ay titingnan natin ang ilang mga dahilan kung bakit posible ang sitwasyong ito.
7. Ang solusyon ay lahat ng numero. Ang tanging kaso kapag ito ay posible ay kapag ang equation ay nabawasan sa pagbuo $0\cdot x=0$. Ito ay lubos na lohikal na kahit anong $x$ ang ating palitan, ito ay lalabas pa rin na "zero ay katumbas ng zero", i.e. wastong pagkakapantay-pantay ng numero.

Ngayon tingnan natin kung paano gumagana ang lahat ng ito gamit ang mga halimbawa sa totoong buhay.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga equation

Ngayon ay nakikitungo tayo sa mga linear na equation, at ang mga pinakasimpleng equation lamang. Sa pangkalahatan, ang isang linear equation ay nangangahulugan ng anumang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng eksaktong isang variable, at ito ay napupunta lamang sa unang antas.

Ang ganitong mga konstruksyon ay nalutas sa humigit-kumulang sa parehong paraan:

1. Una sa lahat, kailangan mong palawakin ang mga panaklong, kung mayroon man (tulad ng sa aming huling halimbawa);
2. Pagkatapos ay pagsamahin ang katulad
3. Panghuli, ihiwalay ang variable, i.e. ilipat ang lahat ng konektado sa variable - ang mga termino kung saan ito nakapaloob - sa isang panig, at ilipat ang lahat ng natitira nang wala ito sa kabilang panig.

Pagkatapos, bilang panuntunan, kailangan mong magdala ng mga katulad sa bawat panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay, at pagkatapos nito ang natitira lamang ay hatiin sa koepisyent ng "x", at makukuha natin ang pangwakas na sagot.

Sa teorya ito ay mukhang maganda at simple, ngunit sa pagsasanay kahit na makaranasang mga mag-aaral Ang mga senior na estudyante ay maaaring gumawa ng mga nakakasakit na pagkakamali sa medyo simpleng linear equation. Kadalasan, ang mga error ay ginagawa alinman sa pagbubukas ng mga bracket o kapag kinakalkula ang "mga plus" at "minus".

Bilang karagdagan, nangyayari na ang isang linear equation ay walang mga solusyon sa lahat, o ang solusyon ay ang buong linya ng numero, i.e. kahit anong numero. Titingnan natin ang mga subtleties na ito sa aralin ngayon. Ngunit magsisimula tayo, gaya ng naunawaan mo na, sa pinaka mga simpleng gawain.

Scheme para sa paglutas ng mga simpleng linear equation

Una, hayaan mo akong isulat muli ang buong scheme para sa paglutas ng pinakasimpleng linear equation:

4. Palawakin ang mga bracket, kung mayroon man.
5. Ihiwalay namin ang mga variable, i.e. Inilipat namin ang lahat ng naglalaman ng "X" sa isang gilid, at lahat ng walang "X" sa kabilang panig.
6. Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.
7. Hinahati namin ang lahat sa pamamagitan ng koepisyent ng "x".

Siyempre, ang pamamaraan na ito ay hindi palaging gumagana; mayroong ilang mga subtleties at trick dito, at ngayon ay makikilala natin sila.

Paglutas ng mga tunay na halimbawa ng simpleng linear equation

Ang unang hakbang ay nangangailangan sa amin upang buksan ang mga bracket. Ngunit wala sila sa halimbawang ito, kaya laktawan namin ang hakbang na ito. Sa pangalawang hakbang kailangan nating ihiwalay ang mga variable. Tandaan: pinag-uusapan natin tungkol lamang sa mga indibidwal na termino. Isulat natin ito:

Nagpapakita kami ng mga katulad na termino sa kaliwa at kanan, ngunit nagawa na ito dito. Samakatuwid, lumipat tayo sa ika-apat na hakbang: hatiin sa koepisyent:

Kaya nakuha namin ang sagot.

Makikita natin ang mga panaklong sa problemang ito, kaya palawakin natin ang mga ito:

Parehong sa kaliwa at sa kanan nakikita natin ang humigit-kumulang sa parehong disenyo, ngunit kumilos tayo ayon sa algorithm, i.e. paghihiwalay ng mga variable:

Sa anong mga ugat ito gumagana? Sagot: para sa alinman. Samakatuwid, maaari nating isulat na ang $x$ ay anumang numero.

Ang ikatlong linear equation ay mas kawili-wili:

\[\kaliwa(6-x \kanan)+\kaliwa(12+x \kanan)-\kaliwa(3-2x \kanan)=15\]

Mayroong ilang mga bracket dito, ngunit hindi sila pinarami ng anuman, sila ay nauuna lamang ng iba't ibang mga palatandaan. Hatiin natin sila:

Ginagawa namin ang pangalawang hakbang na alam na namin:

Isinasagawa namin ang huling hakbang - hatiin ang lahat sa pamamagitan ng koepisyent ng "x":

Mga Dapat Tandaan Kapag Nilulutas ang mga Linear Equation

Kung balewalain natin ang napakasimpleng gawain, gusto kong sabihin ang sumusunod:

8. Tulad ng sinabi ko sa itaas, hindi lahat ng linear equation ay may solusyon - kung minsan ay walang mga ugat;
9. Kahit na may mga ugat, maaaring mayroong zero sa kanila - walang mali doon.

Ang zero ay kapareho ng bilang ng iba; hindi mo dapat itangi ito sa anumang paraan o ipagpalagay na kung nakakuha ka ng zero, may nagawa kang mali.

Ang isa pang tampok ay nauugnay sa pagbubukas ng mga bracket. Pakitandaan: kapag may "minus" sa harap nila, inaalis namin ito, ngunit sa mga panaklong binabago namin ang mga palatandaan sa kabaligtaran. At pagkatapos ay maaari nating buksan ito gamit ang mga karaniwang algorithm: makukuha natin ang nakita natin sa mga kalkulasyon sa itaas.

Ang pag-unawa sa simpleng katotohanang ito ay makatutulong sa iyo na maiwasan ang paggawa ng mga hangal at masasakit na pagkakamali sa mataas na paaralan, kapag ang paggawa ng mga bagay na ito ay pinababayaan.

Paglutas ng mga kumplikadong linear equation

Lumipat tayo sa mas kumplikadong mga equation. Ngayon ang mga konstruksyon ay magiging mas kumplikado at kapag nagsasagawa ng iba't ibang mga pagbabagong-anyo ay lilitaw ang isang quadratic function. Gayunpaman, hindi tayo dapat matakot dito, dahil kung, ayon sa plano ng may-akda, nilulutas natin ang isang linear na equation, kung gayon sa proseso ng pagbabagong-anyo ang lahat ng monomial na naglalaman ng isang quadratic function ay tiyak na kanselahin.

Malinaw, ang unang hakbang ay upang buksan ang mga bracket. Gawin natin ito nang maingat:

Ngayon tingnan natin ang privacy:

Malinaw, ang equation na ito ay walang mga solusyon, kaya isusulat namin ito sa sagot:

Nagsasagawa kami ng parehong mga aksyon. Unang hakbang:

Ilipat natin ang lahat na may variable sa kaliwa, at kung wala ito - sa kanan:

Malinaw, ang linear equation na ito ay walang solusyon, kaya isusulat namin ito sa ganitong paraan:

o walang mga ugat.

Nuances ng solusyon

Ang parehong mga equation ay ganap na nalutas. Gamit ang dalawang expression na ito bilang isang halimbawa, muli kaming kumbinsido na kahit na sa pinakasimpleng linear equation, ang lahat ay maaaring hindi gaanong simple: maaaring mayroong alinman sa isa, o wala, o walang katapusan na maraming mga ugat. Sa aming kaso, isinasaalang-alang namin ang dalawang equation, parehong walang mga ugat.

Ngunit nais kong iguhit ang iyong pansin sa isa pang katotohanan: kung paano gumawa ng mga panaklong at kung paano buksan ang mga ito kung mayroong isang minus sign sa harap nila. Isaalang-alang ang expression na ito:

Bago buksan, kailangan mong i-multiply ang lahat sa pamamagitan ng "X". Pakitandaan: dumami bawat indibidwal na termino. Sa loob mayroong dalawang termino - ayon sa pagkakabanggit, dalawang termino at pinarami.

At pagkatapos lamang na makumpleto ang mga tila elementarya, ngunit napakahalaga at mapanganib na mga pagbabagong ito, maaari mong buksan ang bracket mula sa punto ng view ng katotohanan na mayroong isang minus sign pagkatapos nito. Oo, oo: ngayon lang, kapag nakumpleto ang mga pagbabago, naaalala namin na mayroong isang minus sign sa harap ng mga bracket, na nangangahulugan na ang lahat sa ibaba ay nagbabago lamang ng mga palatandaan. Kasabay nito, ang mga bracket mismo ay nawawala at, pinaka-mahalaga, ang harap na "minus" ay nawawala din.

Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang equation:

Ito ay hindi nagkataon na binibigyang pansin ko ang maliliit, tila hindi gaanong kahalagahan na mga katotohanang ito. Dahil ang paglutas ng mga equation ay palaging isang pagkakasunud-sunod ng mga elementarya na pagbabago, kung saan ang kawalan ng kakayahan na malinaw at mahusay na gumanap mga simpleng hakbang humahantong sa katotohanan na ang mga mag-aaral sa high school ay lumapit sa akin at muling natututong lutasin ang mga simpleng equation.

Siyempre, darating ang araw na mahahasa mo ang mga kasanayang ito sa punto ng pagiging awtomatiko. Hindi mo na kailangang magsagawa ng napakaraming pagbabago sa bawat pagkakataon; isusulat mo ang lahat sa isang linya. Ngunit habang nag-aaral ka pa lang, kailangan mong isulat ang bawat aksyon nang hiwalay.

Paglutas ng mas kumplikadong mga linear equation

Ang lulutasin natin ngayon ay halos hindi matatawag na pinakasimpleng gawain, ngunit ang kahulugan ay nananatiling pareho.

\[\kaliwa(7x+1 \kanan)\kaliwa(3x-1 \kanan)-21=3\]

I-multiply natin ang lahat ng elemento sa unang bahagi:

Gumawa tayo ng ilang privacy:

Kumpletuhin natin ang huling hakbang:

Narito ang aming huling sagot. At, sa kabila ng katotohanan na sa proseso ng paglutas ay mayroon kaming mga coefficient na may quadratic function, kinansela nila ang isa't isa, na ginagawang linear ang equation at hindi quadratic.

\[\kaliwa(1-4x \kanan)\kaliwa(1-3x \kanan)=6x\kaliwa(2x-1 \kanan)\]

Maingat nating gawin ang unang hakbang: i-multiply ang bawat elemento mula sa unang bracket sa bawat elemento mula sa pangalawa. Dapat mayroong kabuuang apat na bagong termino pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo:

Ngayon, maingat nating isagawa ang multiplikasyon sa bawat termino:

Ilipat natin ang mga termino na may "X" sa kaliwa, at ang mga walang - sa kanan:

Narito ang mga katulad na termino:

Muli naming natanggap ang huling sagot.

Ang pinakamahalagang tala tungkol sa dalawang equation na ito ay ang mga sumusunod: sa sandaling simulan nating paramihin ang mga bracket na naglalaman ng higit sa isang termino, ito ay ginagawa ayon sa sumusunod na panuntunan: kukunin natin ang unang termino mula sa una at i-multiply sa bawat elemento mula sa ang ikalawa; pagkatapos ay kinuha namin ang pangalawang elemento mula sa una at katulad na dumami sa bawat elemento mula sa pangalawa. Bilang resulta, magkakaroon tayo ng apat na termino.

Tungkol sa algebraic sum

Sa huling halimbawang ito, nais kong ipaalala sa mga mag-aaral kung ano algebraic sum. Sa klasikal na matematika, sa pamamagitan ng $1-7$ ang ibig naming sabihin simpleng disenyo: ibawas ang pito sa isa. Sa algebra, ibig sabihin namin ang sumusunod sa pamamagitan nito: sa numerong "isa" nagdaragdag kami ng isa pang numero, lalo na "minus pito". Ito ay kung paano naiiba ang isang algebraic sum mula sa isang ordinaryong arithmetic sum.

Sa sandaling, kapag ginagawa ang lahat ng mga pagbabagong-anyo, bawat pagdaragdag at pagpaparami, nagsimula kang makakita ng mga konstruksyon na katulad ng mga inilarawan sa itaas, hindi ka na magkakaroon ng anumang mga problema sa algebra kapag nagtatrabaho sa mga polynomial at equation.

Sa wakas, tingnan natin ang ilang higit pang mga halimbawa na magiging mas kumplikado kaysa sa mga tiningnan lang natin, at upang malutas ang mga ito kailangan nating bahagyang palawakin ang ating karaniwang algorithm.

Paglutas ng mga equation na may mga fraction

Upang malutas ang mga naturang gawain, kakailanganin naming magdagdag ng isa pang hakbang sa aming algorithm. Ngunit una, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang aming algorithm:

10. Paghiwalayin ang mga variable.

Sa kasamaang palad, ang kahanga-hangang algorithm na ito, para sa lahat ng pagiging epektibo nito, ay lumalabas na hindi ganap na angkop kapag mayroon tayong mga fraction sa harap natin. At sa makikita natin sa ibaba, mayroon tayong fraction sa parehong kaliwa at kanan sa parehong mga equation.

Paano magtrabaho sa kasong ito? Oo, ito ay napaka-simple! Upang gawin ito, kailangan mong magdagdag ng isa pang hakbang sa algorithm, na maaaring gawin bago at pagkatapos ng unang aksyon, ibig sabihin, pag-alis ng mga fraction. Kaya ang algorithm ay magiging tulad ng sumusunod:

11. Alisin ang mga fraction.
12. Buksan ang mga bracket.
13. Magdala ng mga katulad.
14. Hatiin sa ratio.

Ano ang ibig sabihin ng "alisin ang mga fraction"? At bakit ito magagawa pagkatapos at bago ang unang karaniwang hakbang? Sa katunayan, sa aming kaso, ang lahat ng mga fraction ay numerical sa kanilang denominator, i.e. Kahit saan ang denominator ay isang numero lamang. Samakatuwid, kung i-multiply natin ang magkabilang panig ng equation sa numerong ito, aalisin natin ang mga fraction.

Alisin natin ang mga fraction sa equation na ito:

Mangyaring tandaan: ang lahat ay pinarami ng "apat" nang isang beses, i.e. dahil lamang sa mayroon kang dalawang panaklong ay hindi nangangahulugang kailangan mong i-multiply ang bawat isa sa "apat." Isulat natin:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]

Inihiwalay namin ang variable:

Ginagawa namin ang pagbabawas ng mga katulad na termino:

\[-4x=-1\kaliwa| :\kaliwa(-4 \kanan) \kanan.\]

Natanggap namin ang pangwakas na solusyon, lumipat tayo sa pangalawang equation.

Dito ginagawa namin ang lahat ng parehong mga aksyon:

Sa totoo lang, iyon lang ang gusto kong sabihin sa iyo ngayon.

Pangunahing puntos

Ang mga pangunahing natuklasan ay:

8. Alamin ang algorithm para sa paglutas ng mga linear equation.
9. Kakayahang magbukas ng mga bracket.
10. Huwag kang mag-alala kung nakita mo quadratic function, malamang, sa proseso ng mga karagdagang pagbabago ay bababa sila.
11. May tatlong uri ng mga ugat sa mga linear na equation, kahit na ang pinakasimpleng mga: isang solong ugat, ang buong linya ng numero ay isang ugat, at walang mga ugat sa lahat.

Umaasa ako na ang araling ito ay makakatulong sa iyo na makabisado ang isang simple, ngunit napakahalagang paksa para sa karagdagang pag-unawa sa lahat ng matematika. Kung may hindi malinaw, pumunta sa site at lutasin ang mga halimbawang ipinakita doon. Manatiling nakatutok, marami pang mga kawili-wiling bagay ang naghihintay sa iyo!

12. Irrational equation: pag-aaral ng paglutas gamit ang root isolation method
13. Paano malutas ang isang biquadratic equation
14. Pagsubok para sa aralin na "Mga kumplikadong expression na may mga fraction" (madali)
15. Trial Unified State Exam 2012 mula Disyembre 7. Pagpipilian 1 (walang logarithms)
16. Video na aralin sa mga problema C2: distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano
17. Tutor sa matematika: saan mahahanap ang mga mag-aaral?

Para panoorin ang video, ilagay ang iyong email at i-click ang button na “Start training”.

• Tutor na may 12 taong karanasan
• Pag-record ng video ng bawat aralin
• Nag-iisang halaga ng mga klase - 3000 rubles para sa 60 minuto