Lg logarithm sa base 10. Decimal logarithm: paano magkalkula

Madalas nilang kunin ang numerong sampu. Ang mga logarithms ng mga numero batay sa batayang sampu ay tinatawag decimal. Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon gamit ang decimal logarithm, karaniwan nang gumana gamit ang sign lg, ngunit hindi log; sa kasong ito, ang numero sampu, na tumutukoy sa base, ay hindi ipinahiwatig. Oo, palitan natin log 10 105 sa pinasimple lg105; A log 10 2 sa lg2.

Para sa decimal logarithms ang parehong mga tampok na mayroon ang mga logarithms na may base na mas malaki kaysa sa isa ay karaniwan. Ibig sabihin, ang decimal logarithms ay nailalarawan ng eksklusibo para sa mga positibong numero. Ang decimal logarithms ng mga numerong mas malaki sa isa ay positibo, at ang mga numerong mas mababa sa isa ay negatibo; ng dalawang di-negatibong numero, ang mas malaki ay katumbas ng mas malaking decimal logarithm, atbp. Bukod pa rito, ang mga decimal logarithm ay may mga natatanging katangian at mga kakaibang tampok na nagpapaliwanag kung bakit komportable na mas gusto ang numero sampu bilang batayan ng logarithms.

Bago suriin ang mga katangiang ito, maging pamilyar tayo sa mga sumusunod na pormulasyon.

Integer na bahagi ng decimal logarithm ng isang numero A ay tinatawag na katangian, at ang fractional ay mantissa ang logarithm na ito.

Mga katangian ng decimal logarithm ng isang numero A ay ipinahiwatig bilang , at ang mantissa bilang (lg A}.

Kunin natin, sabihin nating, log 2 ≈ 0.3010. Alinsunod dito = 0, (log 2) ≈ 0.3010.

Gayundin para sa log 543.1 ≈2.7349. Alinsunod dito, = 2, (log 543.1)≈ 0.7349.

Ang pagkalkula ng decimal logarithms ng mga positibong numero mula sa mga talahanayan ay malawakang ginagamit.

Mga tampok na katangian ng decimal logarithms.

Ang unang tanda ng decimal logarithm. hindi isang buo negatibong numero, na kinakatawan ng isang sinusundan ng mga zero, ay isang integer positibong numero, katumbas ng bilang ng mga zero sa talaan ng napiling numero .

Kunin natin ang log 100 = 2, log 1 00000 = 5.

Sa pangkalahatan, kung

yun A= 10n , kung saan kami kumukuha

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Pangalawang tanda. Decimal logarithm isang positibong decimal, na ipinapakita bilang isang may nangungunang mga zero, ay - P, Saan P- ang bilang ng mga zero sa representasyon ng numerong ito, na isinasaalang-alang ang mga zero integer.

Isaalang-alang natin , log 0.001 = - 3, log 0.000001 = -6.

Sa pangkalahatan, kung

,

yun a= 10-n at ito pala

lga= lg 10n =-n log 10 =-n

Pangatlong tanda. Ang katangian ng decimal logarithm ng isang hindi negatibong numero na mas malaki sa isa ay katumbas ng bilang ng mga digit sa integer na bahagi ng numerong ito maliban sa isa.

Suriin natin ang tampok na ito: 1) Ang katangian ng logarithm lg 75.631 ay katumbas ng 1.

Sa katunayan, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Ito ay nagpapahiwatig,

log 75.631 = 1 +b,

Ang paglilipat ng decimal point sa isang decimal fraction sa kanan o kaliwa ay katumbas ng operasyon ng pagpaparami ng fraction na ito sa kapangyarihan ng sampu na may integer exponent P(positibo o negatibo). At samakatuwid, kapag ang decimal point sa isang positibong decimal fraction ay inilipat sa kaliwa o kanan, ang mantissa ng decimal logarithm ng fraction na ito ay hindi nagbabago.

Kaya, (log 0.0053) = (log 0.53) = (log 0.0000053).

Na napakadaling gamitin, hindi nangangailangan sa interface at paglunsad nito - karagdagang mga programa. Ang kailangan mo lang gawin ay pumunta sa website ng Google at ilagay ang naaangkop na query sa tanging field sa pahinang ito. Halimbawa, upang kalkulahin ang decimal logarithm para sa 900, ipasok ang lg 900 sa field ng query sa paghahanap at kaagad (kahit na hindi pinindot ang isang pindutan) makakakuha ka ng 2.95424251.

Gumamit ng calculator kung wala kang access sa isang search engine. Maaari rin itong isang software calculator mula sa karaniwang hanay ng Windows OS. Ang pinakamadaling paraan upang patakbuhin ito ay pindutin ang kumbinasyon ng WIN +R key, ipasok ang calc command at i-click ang OK button. Ang isa pang paraan ay upang buksan ang menu sa pindutan ng "Start" at piliin ang "Lahat ng Programa" mula dito. Pagkatapos ay kailangan mong buksan ang seksyong "Standard" at pumunta sa subsection na "Serbisyo" upang mag-click sa link na "Calculator" doon. Kung gumagamit ka ng Windows 7, maaari mong pindutin ang WIN key at i-type ang "Calculator" sa box para sa paghahanap, at pagkatapos ay i-click ang naaangkop na link sa mga resulta ng paghahanap.

Ilipat ang interface ng calculator sa advanced mode, dahil ang pangunahing bersyon na bubukas bilang default ay hindi nagbibigay ng operasyong kailangan mo. Upang gawin ito, buksan ang seksyong "View" sa menu ng programa at piliin ang " " o "engineering" - depende sa bersyon ng operating system na naka-install sa iyong computer.

Sa ngayon, hindi mo na sorpresahin ang sinuman na may mga diskwento. Nauunawaan ng mga nagbebenta na ang mga diskwento ay hindi isang paraan ng pagtaas ng kita. Ang pinaka-epektibo ay hindi 1-2 diskwento sa isang partikular na produkto, ngunit isang sistema ng mga diskwento na dapat ay simple at naiintindihan ng mga empleyado ng kumpanya at mga customer nito.

Mga tagubilin

Marahil ay napansin mo na sa kasalukuyan ang pinakakaraniwan ay lumalaki sa pagtaas ng dami ng produksyon. Sa kasong ito, ang nagbebenta ay bubuo ng isang sukat ng mga porsyento ng diskwento, na tumataas sa paglaki ng mga volume ng pagbili sa isang tiyak na panahon. Halimbawa, bumili ka ng kettle at coffee maker at nakatanggap ka diskwento 5 %. Kung bibili ka rin ng plantsa ngayong buwan, makakatanggap ka diskwento 8% sa lahat ng biniling kalakal. Kasabay nito, ang kita ng kumpanya na natanggap sa isang bawas na presyo at tumaas na dami ng benta ay dapat na hindi bababa sa inaasahang kita sa isang presyo na walang diskwento at ang parehong antas ng benta.

Ang pagkalkula ng sukat ng diskwento ay madali. Una, tukuyin ang dami ng benta kung saan magsisimula ang diskwento. Maaari mong kunin bilang mas mababang limitasyon. Pagkatapos ay kalkulahin ang inaasahang halaga ng kita na gusto mong kumita sa produktong iyong ibinebenta. Ang pinakamataas na limitasyon nito ay malilimitahan ng kapangyarihang bumili ng produkto at ang mga katangiang mapagkumpitensya nito. Pinakamataas diskwento maaaring kalkulahin tulad ng sumusunod: (kita – (kita x pinakamababang benta / inaasahang dami) / presyo ng yunit.

Ang isa pang medyo karaniwang diskwento ay ang diskwento sa kontrata. Maaaring may diskwento ito sa pagbili ibang mga klase mga kalakal, gayundin kapag nagbabayad sa isang pera o iba pa. Minsan ang mga diskwento ng ganitong uri ay ibinibigay kapag bumibili ng mga kalakal at nag-order para sa paghahatid. Halimbawa, bumili ka ng mga produkto ng kumpanya, mag-order ng transportasyon mula sa parehong kumpanya at tumanggap diskwento 5% sa mga biniling kalakal.

Ang halaga ng pre-holiday at seasonal na mga diskwento ay tinutukoy batay sa halaga ng mga kalakal sa bodega at ang posibilidad na ibenta ang mga kalakal sa itinakdang presyo. Karaniwan, ang mga nagtitingi ay gumagamit ng mga naturang diskwento, halimbawa, kapag nagbebenta ng mga damit mula sa mga koleksyon ng nakaraang season. Gumagamit ang mga supermarket ng mga katulad na diskwento para maibsan ang trabaho ng tindahan sa gabi at katapusan ng linggo. Sa kasong ito, ang laki ng diskwento ay tinutukoy ng halaga ng nawalang kita kapag hindi nasiyahan ang demand ng consumer sa mga oras ng peak.

Mga Pinagmulan:

• kung paano kalkulahin ang porsyento ng diskwento sa 2019

Maaaring kailanganin ang pagkalkula ng mga logarithms upang makahanap ng mga halaga gamit ang mga formula na naglalaman ng mga exponent bilang mga hindi kilalang variable. Dalawang uri ng logarithms, hindi tulad ng lahat ng iba, ay may sariling mga pangalan at notasyon - ito ay logarithms sa mga base 10 at ang bilang na e (isang hindi makatwiran na pare-pareho). Tingnan natin ang ilan mga simpleng paraan pagkalkula ng base 10 logarithm - ang "decimal" logarithm.

Mga tagubilin

Gamitin para sa mga kalkulasyon na naka-built in operating system Windows. Upang patakbuhin ito, pindutin ang win key, piliin ang "Run" sa pangunahing menu ng system, ipasok ang calc at i-click ang OK. Ang karaniwang interface ng program na ito ay walang function para sa pagkalkula ng mga algorithm, kaya buksan ang seksyong "View" sa menu nito (o pindutin ang alt + "at" key na kumbinasyon) at piliin ang linya na "pang-agham" o "engineering".

Ang kapangyarihan ng isang naibigay na numero ay isang mathematical term na likha ilang siglo na ang nakakaraan. Sa geometry at algebra, mayroong dalawang pagpipilian - decimal at natural logarithms. Ang mga ito ay kinakalkula sa pamamagitan ng iba't ibang mga formula, habang ang mga equation na naiiba sa spelling ay palaging katumbas ng bawat isa. Ang pagkakakilanlang ito ay nagpapakilala sa mga katangian na nauugnay sa kapaki-pakinabang na potensyal ng function.

Mga tampok at mahalagang palatandaan

Naka-on sa sandaling ito makilala ang sampung kilalang katangian ng matematika. Ang pinakakaraniwan at tanyag sa kanila ay:

• Ang radikal na log na hinati sa magnitude ng ugat ay palaging pareho sa decimal logarithm √.
• Ang log ng produkto ay palaging katumbas ng kabuuan ng producer.
• Lg = ang magnitude ng kapangyarihan na pinarami ng bilang na itinaas dito.
• Kung ibawas mo ang divisor mula sa log ng dibidendo, makakakuha ka ng log ng quotient.

Bilang karagdagan, mayroong isang equation batay sa pangunahing pagkakakilanlan (itinuring na susi), isang paglipat sa isang na-update na batayan, at ilang mga menor de edad na formula.

Ang pagkalkula ng decimal logarithm ay isang medyo espesyal na gawain, kaya ang pagsasama ng mga katangian sa isang solusyon ay dapat na maingat na lapitan at regular na suriin ang iyong mga aksyon at pagkakapare-pareho. Hindi natin dapat kalimutan ang tungkol sa mga talahanayan, na dapat na patuloy na konsultahin, at magabayan lamang ng data na matatagpuan doon.

Mga uri ng terminong pangmatematika

Mga pangunahing pagkakaiba mathematical number"nakatago" sa base (a). Kung mayroon itong exponent na 10, ito ay log decimal. Sa kabaligtaran ng kaso, ang "a" ay binago sa "y" at may mga katangiang transendental at hindi makatwiran. Dapat ding tandaan na ang natural na halaga ay kinakalkula ng isang espesyal na equation, kung saan ang patunay ay isang teorya na pinag-aralan sa labas. kurikulum ng paaralan mga senior class.

Ang mga desimal na logarithm ay malawakang ginagamit sa pagkalkula ng mga kumplikadong formula. Ang buong mga talahanayan ay pinagsama-sama upang mapadali ang mga kalkulasyon at malinaw na ipakita ang proseso ng paglutas ng problema. Sa kasong ito, bago direktang bumaba sa negosyo, kailangan mong itaas ang log sa Bilang karagdagan, sa bawat tindahan ng supply ng paaralan maaari kang makahanap ng isang espesyal na ruler na may naka-print na sukat na tumutulong sa paglutas ng isang equation ng anumang kumplikado.

Ang decimal logarithm ng isang numero ay tinatawag na Brigg's number, o Euler's number, bilang parangal sa mananaliksik na unang naglathala ng dami at nakatuklas ng kaibahan sa pagitan ng dalawang kahulugan.

Dalawang uri ng formula

Ang lahat ng mga uri at uri ng mga problema para sa pagkalkula ng sagot, pagkakaroon ng term na log sa kondisyon, ay may hiwalay na pangalan at isang mahigpit na istraktura ng matematika. Ang exponential equation ay halos eksaktong kopya ng logarithmic calculations, kung titingnan mo ang kawastuhan ng solusyon. Kaya lang ang unang opsyon ay may kasamang espesyal na numero na tumutulong sa iyong mabilis na maunawaan ang kundisyon, at ang pangalawa ay pinapalitan ang log ng isang ordinaryong kapangyarihan. Sa kasong ito, ang mga kalkulasyon gamit ang huling formula ay dapat na may kasamang variable na halaga.

Pagkakaiba at terminolohiya

Ang parehong mga pangunahing tagapagpahiwatig ay mayroon sariling katangian, na nagpapakilala sa mga numero sa bawat isa:

• Decimal logarithm. Ang isang mahalagang detalye ng numero ay ang ipinag-uutos na presensya ng isang base. Ang karaniwang bersyon ng halaga ay 10. Ito ay minarkahan ng sequence - log x o log x.
• Natural. Kung ang base nito ay ang sign na "e", na isang pare-parehong kapareho sa isang mahigpit na kinakalkula na equation, kung saan ang n ay mabilis na gumagalaw patungo sa infinity, kung gayon ang tinatayang sukat ng numero sa digital na katumbas ay 2.72. Ang opisyal na pagmamarka, na pinagtibay sa paaralan at sa mas kumplikadong mga propesyonal na formula, ay ln x.
• magkaiba. Bilang karagdagan sa mga pangunahing logarithms, mayroong hexadecimal at binary na mga uri (base 16 at 2, ayon sa pagkakabanggit). Mayroong mas kumplikadong opsyon na may base indicator na 64, na nasa ilalim ng sistematikong adaptive type control na kinakalkula ang huling resulta nang may geometric na katumpakan.

Kasama sa terminolohiya ang mga sumusunod na dami na kasama sa algebraic na problema:

• kahulugan;
• argumento;
• base.

Pagkalkula ng numero ng log

Mayroong tatlong mga paraan upang mabilis at pasalitang gawin ang lahat ng kinakailangang mga kalkulasyon upang mahanap ang resulta ng interes, na may obligadong tamang kinalabasan ng solusyon. Sa una, dinadala namin ang decimal logarithm sa pagkakasunud-sunod nito (ang siyentipikong notasyon ng isang numero sa isang kapangyarihan). Ang bawat positibong halaga ay maaaring tukuyin ng isang equation, kung saan ito ay katumbas ng mantissa (isang numero mula 1 hanggang 9) na pinarami ng sampu sa nth degree. Ang opsyon sa pagkalkula na ito ay batay sa dalawang mathematical facts:

• ang produkto at sum log ay palaging may parehong exponent;
• ang logarithm na kinuha mula sa isang numero mula sa isa hanggang sampu ay hindi maaaring lumampas sa isang halaga ng 1 puntos.

1. Kung ang isang error sa pagkalkula ay nangyari, kung gayon ito ay hindi bababa sa isa sa direksyon ng pagbabawas.
2. Tataas ang katumpakan kung isasaalang-alang mo na ang lg na may base na tatlo ay may huling resulta na limang ikasampu ng isa. Samakatuwid, ang anumang mathematical value na higit sa 3 ay awtomatikong nagdaragdag ng isang punto sa sagot.
3. Ang halos perpektong katumpakan ay makakamit kung mayroon kang isang espesyal na talahanayan sa kamay na madaling magamit sa iyong mga aktibidad sa pagtatasa. Sa tulong nito maaari mong malaman kung ano ang decimal logarithm ay katumbas ng ikasampu ng isang porsyento ng orihinal na numero.

Kasaysayan ng totoong log

Ang ikalabing-anim na siglo ay lubhang nangangailangan ng mas kumplikadong calculus kaysa sa alam ng agham noong panahong iyon. Ito ay totoo lalo na para sa paghahati at pagpaparami ng mga multi-digit na numero na may mahusay na pagkakapare-pareho, kabilang ang mga fraction.

Sa pagtatapos ng ikalawang kalahati ng panahon, ilang mga isip ang agad na dumating sa konklusyon tungkol sa pagdaragdag ng mga numero gamit ang isang talahanayan na inihambing ang dalawa at isang geometriko. Sa kasong ito, ang lahat ng mga pangunahing kalkulasyon ay kailangang magpahinga sa huling halaga. Pinagsama ng mga siyentipiko ang pagbabawas sa parehong paraan.

Ang unang pagbanggit ng lg ay naganap noong 1614. Ginawa ito ng isang baguhang matematiko na nagngangalang Napier. Kapansin-pansin na, sa kabila ng napakalaking pagpapasikat ng mga resulta na nakuha, isang error ang ginawa sa formula dahil sa kamangmangan ng ilang mga kahulugan na lumitaw sa ibang pagkakataon. Nagsimula ito sa ikaanim na digit ng indicator. Ang pinakamalapit sa pag-unawa sa logarithm ay ang Bernoulli brothers, at ang debut legalization ay naganap noong ikalabing walong siglo ni Euler. Pinalawak din niya ang tungkulin sa larangan ng edukasyon.

Kasaysayan ng kumplikadong log

Ang mga pagtatangka sa debut na isama ang lg sa pangkalahatang publiko ay ginawa noong madaling araw ng ika-18 siglo nina Bernoulli at Leibniz. Ngunit hindi sila kailanman nakagawa ng mga komprehensibong teoretikal na kalkulasyon. Nagkaroon ng buong talakayan tungkol dito, ngunit walang eksaktong kahulugan ang ibinigay sa numero. Nang maglaon ay nagpatuloy ang diyalogo, ngunit sa pagitan nina Euler at d'Alembert.

Ang huli ay sumang-ayon sa prinsipyo sa maraming mga katotohanan na iminungkahi ng tagapagtatag ng magnitude, ngunit naniniwala na ang positibo at mga negatibong tagapagpahiwatig dapat pantay. Sa kalagitnaan ng siglo, ang formula ay ipinakita na huling bersyon. Bilang karagdagan, inilathala ni Euler ang derivative ng decimal logarithm at pinagsama-sama ang mga unang graph.

Mga mesa

Ang mga katangian ng mga numero ay nagpapahiwatig na ang mga multi-digit na numero ay hindi maaaring i-multiply, ngunit ang kanilang log ay matatagpuan at idinagdag gamit ang mga espesyal na talahanayan.

Ang tagapagpahiwatig na ito ay naging lalong mahalaga para sa mga astronomo na napipilitang magtrabaho sa isang malaking hanay ng mga pagkakasunud-sunod. SA panahon ng Sobyet Ang decimal logarithm ay hinanap sa koleksyon ni Bradis, na inilathala noong 1921. Nang maglaon, noong 1971, lumitaw ang edisyon ng Vega.

So, we have powers of two. Kung kukunin mo ang numero mula sa ilalim na linya, madali mong mahahanap ang kapangyarihan kung saan kailangan mong itaas ang dalawa upang makuha ang numerong ito. Halimbawa, upang makakuha ng 16, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaapat na kapangyarihan. At para makakuha ng 64, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaanim na kapangyarihan. Ito ay makikita mula sa talahanayan.

At ngayon - talaga, ang kahulugan ng logarithm:

Ang base ng logarithm ng x ay ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang isang upang makakuha ng x.

Pagtatalaga: log a x = b, kung saan ang a ay ang base, x ang argumento, b ay kung ano talaga ang katumbas ng logarithm.

Halimbawa, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ang base 2 logarithm ng 8 ay tatlo dahil 2 3 = 8). Sa parehong tagumpay log 2 64 = 6, dahil 2 6 = 64.

Ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ng isang numero sa isang naibigay na base ay tinatawag na logarithmization. Kaya, magdagdag tayo ng bagong linya sa ating talahanayan:

Sa kasamaang palad, hindi lahat ng logarithms ay madaling kalkulahin. Halimbawa, subukang maghanap ng log 2 5 . Ang numero 5 ay wala sa talahanayan, ngunit ang lohika ay nagdidikta na ang logarithm ay nasa isang lugar sa segment. Dahil 22< 5 < 2 3 , а чем mas maraming degree dalawa, mas malaki ang bilang.

Ang mga naturang numero ay tinatawag na hindi makatwiran: ang mga numero pagkatapos ng decimal point ay maaaring isulat ng ad infinitum, at hindi na mauulit ang mga ito. Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, mas mabuting iwanan ito sa ganoong paraan: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Mahalagang maunawaan na ang logarithm ay isang expression na may dalawang variable (ang base at ang argumento). Sa una, maraming tao ang nalilito kung saan ang batayan at kung saan ang argumento. Upang maiwasan ang nakakainis na hindi pagkakaunawaan, tingnan lamang ang larawan:

Sa harap natin ay walang iba kundi ang kahulugan ng logarithm. Tandaan: Ang logarithm ay isang kapangyarihan, kung saan dapat itayo ang base upang makakuha ng argumento. Ito ay ang base na nakataas sa isang kapangyarihan - ito ay naka-highlight sa pula sa larawan. Palaging nasa ibaba ang base! Sinasabi ko sa aking mga mag-aaral ang napakagandang tuntuning ito sa pinakaunang aralin - at walang kalituhan na lumitaw.

Nalaman namin ang kahulugan - ang natitira na lang ay upang matutunan kung paano magbilang ng mga logarithms, i.e. tanggalin ang "log" sign. Upang magsimula, tandaan namin na ang dalawang mahahalagang katotohanan ay sumusunod mula sa kahulugan:

1. Ang argumento at ang base ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng isang degree sa pamamagitan ng isang rational exponent, kung saan ang kahulugan ng isang logarithm ay nabawasan.
2. Ang base ay dapat na iba sa isa, dahil ang isa sa anumang antas ay nananatiling isa. Dahil dito, ang tanong na "sa anong kapangyarihan dapat itaas ang isa upang makakuha ng dalawa" ay walang kahulugan. Walang ganyang degree!

Ang ganitong mga paghihigpit ay tinatawag rehiyon mga katanggap-tanggap na halaga (ODZ). Ito ay lumalabas na ang ODZ ng logarithm ay ganito ang hitsura: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Tandaan na walang mga paghihigpit sa numero b (ang halaga ng logarithm). Halimbawa, maaaring negatibo ang logarithm: log 2 0.5 = −1, dahil 0.5 = 2 −1.

Gayunpaman, ngayon ay isinasaalang-alang lamang namin mga numeric na expression, kung saan hindi kinakailangang malaman ang CVD ng logarithm. Ang lahat ng mga paghihigpit ay isinasaalang-alang na ng mga may-akda ng mga problema. Ngunit kapag sila ay pumunta logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay, ang mga kinakailangan ng DHS ay magiging mandatoryo. Pagkatapos ng lahat, ang batayan at argumento ay maaaring maglaman ng napakalakas na mga konstruksyon na hindi kinakailangang tumutugma sa mga paghihigpit sa itaas.

Ngayon tingnan natin ang pangkalahatang pamamaraan para sa pagkalkula ng logarithms. Binubuo ito ng tatlong hakbang:

1. Ipahayag ang base a at ang argumentong x bilang isang kapangyarihan na may pinakamababang posibleng base na mas malaki kaysa sa isa. Sa daan, mas mainam na alisin ang mga decimal;
2. Lutasin ang equation para sa variable b: x = a b ;
3. Ang resultang numero b ang magiging sagot.

Iyon lang! Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, ito ay makikita na sa unang hakbang. Ang pangangailangan na ang base ay mas malaki kaysa sa isa ay napakahalaga: binabawasan nito ang posibilidad ng pagkakamali at lubos na pinapasimple ang mga kalkulasyon. Pareho sa mga decimal: kung agad mong i-convert ang mga ito sa mga regular, magkakaroon ng mas kaunting mga error.

Tingnan natin kung paano gumagana ang scheme na ito gamit ang mga partikular na halimbawa:

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 5 25

1. Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Gumawa tayo at lutasin ang equation:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Natanggap namin ang sagot: 2.

Gawain. Kalkulahin ang logarithm:

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 4 64

1. Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Gumawa tayo at lutasin ang equation:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Natanggap namin ang sagot: 3.

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 16 1

1. Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Gumawa tayo at lutasin ang equation:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Natanggap namin ang sagot: 0.

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 7 14

1. Isipin natin ang batayan at argumento bilang kapangyarihan ng pito: 7 = 7 1 ; 14 ay hindi maaaring katawanin bilang kapangyarihan ng pito, dahil 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Mula sa nakaraang talata ito ay sumusunod na ang logarithm ay hindi binibilang;
3. Ang sagot ay walang pagbabago: log 7 14.

Isang maliit na tala sa huling halimbawa. Paano ka makatitiyak na ang isang numero ay hindi eksaktong kapangyarihan ng isa pang numero? Ito ay napaka-simple - hatiin lamang ito sa pangunahing mga kadahilanan. Kung ang pagpapalawak ay may hindi bababa sa dalawang magkaibang mga kadahilanan, ang numero ay hindi isang eksaktong kapangyarihan.

Gawain. Alamin kung ang mga numero ay eksaktong kapangyarihan: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - eksaktong antas, dahil mayroon lamang isang multiplier;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ay hindi eksaktong kapangyarihan, dahil may dalawang salik: 3 at 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - eksaktong antas;
35 = 7 · 5 - muli hindi isang eksaktong kapangyarihan;
14 = 7 · 2 - muli hindi isang eksaktong antas;

Tandaan din natin na tayo mismo mga pangunahing numero ay palaging eksaktong antas ng kanilang mga sarili.

Decimal logarithm

Ang ilang logarithms ay karaniwan na mayroon silang isang espesyal na pangalan at simbolo.

Ang decimal logarithm ng x ay ang logarithm sa base 10, i.e. Ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong 10 upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: lg x.

Halimbawa, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - atbp.

Mula ngayon, kapag lumitaw ang isang pariralang tulad ng "Hanapin ang lg 0.01" sa isang aklat-aralin, alamin na hindi ito isang typo. Ito ay isang decimal logarithm. Gayunpaman, kung hindi ka pamilyar sa notasyong ito, maaari mo itong muling isulat palagi:
log x = log 10 x

Lahat ng totoo para sa ordinaryong logarithms ay totoo rin para sa decimal logarithms.

Likas na logarithm

May isa pang logarithm na may sariling pagtatalaga. Sa ilang paraan, mas mahalaga pa ito kaysa decimal. Ito ay tungkol tungkol sa natural logarithm.

Ang natural na logarithm ng x ay ang logarithm sa base e, i.e. ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong e upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: ln x .

Marami ang magtatanong: ano ang numero e? Ito ay isang hindi makatwirang numero, nito eksaktong halaga imposibleng mahanap at maitala. Ibibigay ko lamang ang mga unang numero:
e = 2.718281828459...

Hindi na namin idedetalye kung ano ang numerong ito at kung bakit ito kailangan. Tandaan lamang na ang e ay ang batayan ng natural na logarithm:
ln x = log e x

Kaya ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - atbp. Sa kabilang banda, ang ln 2 ay isang hindi makatwirang numero. sa lahat, natural na logarithm anuman makatwirang numero hindi makatwiran. Maliban, siyempre, para sa isa: ln 1 = 0.

Para sa mga natural na logarithms, ang lahat ng mga patakaran na totoo para sa mga ordinaryong logarithms ay may bisa.

Ang Logarithm ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation. Kung ikaw ay nagtataka sa kung anong kapangyarihan ang kailangan mong itaas ang 2 upang makakuha ng 10, kung gayon ang logarithm ay tutulong sa iyo.

Baliktarin ang operasyon para sa exponentiation

Ang exponentiation ay paulit-ulit na multiplikasyon. Upang itaas ang dalawa sa ikatlong kapangyarihan, kailangan nating suriin ang expression na 2 × 2 × 2. Ang kabaligtaran na operasyon para sa multiplikasyon ay dibisyon. Kung totoo ang expression na a × b = c, totoo rin ang inverse expression na b = a / c. Ngunit paano natin iko-convert ang exponentiation? Ang multiplication reversal problem ay may eleganteng solusyon dahil sa simpleng property na a × b = b × a. Gayunpaman, ang a b ay hindi katumbas ng b a, maliban sa tanging kaso kung saan 2 2 = 4 2. Sa expression na a b = c, maaari nating ipahayag ang a bilang bth root ng c, ngunit paano ipahayag ang b? Dito pumapasok ang mga logarithms sa larawan.

Ang konsepto ng logarithm

Subukan nating lutasin ang isang simpleng equation tulad ng 2 x = 16. Ito ay exponential equation, dahil kailangan nating hanapin ang exponent. Para sa isang mas simpleng pag-unawa, ibigay natin ang problemang ganito: ilang beses mo kailangang i-multiply ang dalawa sa sarili nito upang makakuha ng 16 bilang resulta? Malinaw na 4, kaya ang ugat ng equation na ito ay x = 4.

Ngayon subukan nating lutasin ang 2 x = 20. Ilang beses kailangan nating i-multiply ang dalawa sa sarili upang makakuha ng 20? Ito ay mahirap, dahil 2 4 = 16, at 2 5 = 32. Logically, ang ugat ng equation na ito ay matatagpuan sa pagitan ng 4 at 5, at mas malapit sa 4, marahil 4.3? Kinamumuhian ng mga mathematician ang tinatayang mga kalkulasyon at gustong malaman ang eksaktong sagot. Ito ang dahilan kung bakit gumagamit sila ng logarithms, at ang ugat ng equation na ito ay x = log2 20.

Ang expression na log2 20 ay binabasa bilang logarithm ng 20 hanggang base 2. Ito ang sagot na sapat para sa mga mahigpit na mathematician. Kung nais mong ipahayag nang tumpak ang numerong ito, pagkatapos ay kalkulahin ito gamit ang isang calculator ng engineering. Sa kasong ito log2 20 = 4.32192809489. Ito ay isang hindi makatwiran na walang katapusang numero, at ang log2 20 ay isang compact na representasyon nito.

Maaari mong lutasin ang anumang simpleng exponential equation sa ganitong eleganteng paraan. Halimbawa, para sa mga equation:

• 4 x = 125, x = log4 125;
• 12 x = 432, x = log12 432;
• 5 x = 25, x = log5 25.

Hindi magugustuhan ng mga mathematician ang huling sagot x = log5 25. Ito ay dahil ang log5 25 ay madaling kalkulahin at isang integer, kaya dapat mong matukoy ito. Ilang beses kailangang i-multiply sa sarili ang 5 para makakuha ng 25? Elementary, dalawang beses. 5 × 5 = 5 2 = 25. Samakatuwid, para sa isang equation ng form na 5 x = 25, x = 2.

Decimal logarithm

Ang decimal logarithm ay isang function sa base 10. Ito ay isang sikat na mathematical tool, kaya iba ang pagkakasulat nito. Halimbawa, sa anong kapangyarihan ka dapat magtaas ng 10 para makakuha ng 30? Ang sagot ay log10 30, ngunit pinaikli ng mga mathematician ang notation para sa decimal logarithms at isulat ito bilang log30. Katulad nito, ang log10 50 at log10 360 ay isinulat bilang log50 at log360 ayon sa pagkakabanggit.

Likas na logarithm

Ang natural na logarithm ay isang function ng base e. Walang natural tungkol dito, at maraming mga neophyte ang natatakot lamang sa pagpapaandar na ito. Ang bilang na e = 2.718281828 ay isang pare-pareho na natural na lumilitaw kapag naglalarawan ng tuluy-tuloy na mga proseso ng paglago. Tulad ng pi ay mahalaga sa geometry, ang e ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa pagmomodelo ng mga proseso ng oras.

Sa anong kapangyarihan dapat iangat para makakuha ng 10? Ang sagot ay loge 10, ngunit tinutukoy ng mga mathematician ang natural na logarithm bilang ln, kaya ang sagot ay isusulat bilang ln10. Ang parehong bagay ay naaangkop sa mga expression na loge 35 at loge 40, ang tamang anyo nito ay ln34 at ln40.

Antilog

Ang Antilogarithm ay ang numero na tumutugma sa halaga ng napiling logarithm. Sa simpleng salita, sa expression na loga b ang antilogarithm ay ang bilang b a . Para sa decimal logarithm lga, ang antilogarithm ay katumbas ng 10 a, at para sa natural na logarithm lna, ang antilogarithm ay katumbas ng e a. Sa katunayan, ito rin ay exponentiation at ang kabaligtaran na operasyon para sa logarithmization.

Pisikal na kahulugan ng logarithm

Ang paghahanap ng mga kapangyarihan ay isang puro matematikal na problema, ngunit para saan ang logarithms? totoong buhay? Sa simula ng pag-unlad ng ideya ng logarithms, ginamit ang matematikal na tool na ito upang mabawasan ang malalaking kalkulasyon. Mahusay na pisiko at ang astronomer na si Pierre-Simon Laplace ay nagsabi na “ang pag-imbento ng logarithms ay nagpaikli sa gawain ng astronomo at nadoble ang kanyang buhay.” Sa pag-unlad ng mga tool sa matematika, ang buong logarithmic table ay nilikha, sa tulong ng kung saan ang mga siyentipiko ay maaaring gumana nang may malaking bilang, at ang mga katangian ng mga function ay ginagawang posible na baguhin ang mga expression na gumagana. hindi nakapangangatwiran numero sa mga integer na expression. Gayundin, pinapayagan ka ng logarithmic notation na kumatawan sa masyadong maliit at masyadong malalaking numero sa isang compact form.

Ang logarithms ay nakahanap din ng aplikasyon sa larangan ng paglalarawan ng mga graphic na proseso. Kung nais mong gumuhit ng isang graph ng isang function na kumukuha ng mga halaga 1, 10, 1,000 at 100,000, kung gayon ang mga maliliit na halaga ay hindi makikita at biswal na magsasama sila sa isang punto na malapit sa zero. Upang malutas ang problemang ito, ginagamit ang decimal logarithm, na nagbibigay-daan sa iyong bumuo ng isang graph ng isang function na sapat na nagpapakita ng lahat ng mga halaga nito.

Ang pisikal na kahulugan ng logarithm ay isang paglalarawan ng mga pansamantalang proseso at pagbabago. Kaya, ang base 2 logarithm ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy kung gaano karaming mga pagdodoble ng paunang halaga ang kinakailangan upang makamit ang isang tiyak na resulta. Ang decimal function ay ginagamit upang mahanap ang bilang ng sampung beses na kinakailangan, at ang natural na function ay kumakatawan sa oras na kinakailangan upang maabot ang isang naibigay na antas.

Ang aming programa ay isang koleksyon ng apat na online na calculator na nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang logarithm sa anumang base, ang decimal at natural na logarithmic function, pati na rin ang decimal antilogarithm. Upang magsagawa ng mga kalkulasyon, kakailanganin mong ilagay ang base at ang numero, o ang numero lamang para sa decimal at natural na logarithms.

Mga halimbawa sa totoong buhay

Gawain sa paaralan

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang mga hindi makatwirang halaga tulad ng log2 345 ay hindi nangangailangan ng mga karagdagang pagbabago, at ang gayong sagot ay ganap na masisiyahan ang isang guro sa matematika. Gayunpaman, kung ang logarithm ay kinakalkula, dapat mong katawanin ito bilang isang integer. Ipagpalagay na nalutas mo ang 5 halimbawa sa algebra, at kailangan mong suriin ang mga resulta para sa posibilidad ng representasyon ng integer. Suriin natin ang mga ito gamit ang logarithm calculator sa anumang base:

• log7 65 - hindi makatwiran na numero;
• log3 243 - integer 5;
• log5 95 - hindi makatwiran;
• log8 512 - integer 3;
• log2 2046 - hindi makatwiran.

Kaya, kakailanganin mong muling isulat ang mga halaga ng log3 243 at log8 512 bilang 5 at 3 ayon sa pagkakabanggit.

Potentiation

Ang potentiation ay paghahanap ng antilogarithm ng isang numero. Binibigyang-daan ka ng aming calculator na makahanap ng mga antilogarithms sa decimal na base, na literal na nangangahulugang pagtaas ng sampu sa power n. Kalkulahin natin ang mga antilogarithms para sa mga sumusunod na halaga ng n:

• para sa n = 1 antlog = 10;
• para sa n = 1.5 antlog = 31.623;
• para sa n = 2.71 antlog = 512.861.

Patuloy na paglaki

Ang natural na logarithm ay nagpapahintulot sa amin na ilarawan ang mga proseso ng patuloy na paglaki. Isipin natin na ang GDP ng bansang Krakozhia ay tumaas mula 5.5 bilyong dolyar hanggang 7.8 sa loob ng 10 taon. Tukuyin natin ang taunang porsyento ng paglago ng GDP gamit ang natural logarithm calculator. Upang gawin ito, kailangan nating kalkulahin ang natural na logarithm ln(7.8/5.5), na katumbas ng ln(1.418). Ilagay natin ang value na ito sa calculator cell at makuha ang resulta na 0.882 o 88.2% sa buong panahon. Dahil ang GDP ay lumalaki sa loob ng 10 taon, ang taunang paglago nito ay magiging 88.2 / 10 = 8.82%.

Paghahanap ng bilang ng mga decimal

Sabihin nating higit sa 30 taon ang bilang ng mga personal na computer ay tumaas mula 250,000 hanggang 1 bilyon. Ilang beses na ang bilang ng mga PC ay tumaas ng 10 beses sa lahat ng oras na ito? Upang kalkulahin ito kawili-wiling parameter kakailanganin nating kalkulahin ang decimal logarithm lg(1,000,000,000 / 250,000) o lg(4,000). Pumili tayo ng decimal logarithm calculator at kalkulahin ang value log(4,000) = 3.60. Lumalabas na sa paglipas ng panahon ang bilang ng mga personal na computer ay tumaas ng 10 beses bawat 8 taon at 4 na buwan.

Konklusyon

Sa kabila ng pagiging kumplikado ng logarithms at hindi gusto ng mga bata sa kanila mga taon ng paaralan, ang mathematical tool na ito ay may malawak na aplikasyon sa agham at istatistika. Gamitin ang aming koleksyon ng mga online na calculator upang malutas mga takdang-aralin sa paaralan, pati na rin ang mga problema mula sa iba't ibang larangang siyentipiko.