Pagpapalawak ng serye ng Fourier sa isang arbitrary na segment. Fourier serye

Ministri ng Pangkalahatan at Bokasyonal na Edukasyon

Sochi Pambansang Unibersidad turismo

at negosyo sa resort

Pedagogical Institute

Faculty of Mathematics

Departamento ng General Mathematics

GRADUATE WORK

Fourier series at ang kanilang mga aplikasyon

sa mathematical physics.

Nakumpleto ni: 5th year student

pirma sa araw

Espesyalidad 010100

"Matematika"

Kasperova N.S.

Student card No. 95471

Scientific adviser: associate professor, Ph.D.

teknikal na lagda. Mga agham

Pozin P.A.

Sochi, 2000

1. Panimula.

2. Ang konsepto ng seryeng Fourier.

2.1. Pagpapasiya ng mga coefficient ng serye ng Fourier.

2.2. Mga integral ng pana-panahong pag-andar.

3. Pamantayan para sa convergence ng Fourier series.

3.1. Mga halimbawa ng pagpapalawak ng mga function sa Fourier series.

4. Isang tala sa pagpapalawak ng isang periodic function sa isang Fourier series

5. Fourier series para sa even at odd na function.

6. Fourier series para sa mga function na may period 2 l .

7. Fourier na pagpapalawak ng isang non-periodic function.

Panimula.

Jean Baptiste Joseph Fourier - French mathematician, miyembro ng Paris Academy of Sciences (1817).

Ang mga unang gawa ng Fourier ay nauugnay sa algebra. Nasa mga lektura ng 1796 ay sinabi niya ang teorama sa bilang ng mga tunay na ugat algebraic equation nakahiga sa pagitan ng mga hangganang ito (publ. 1820), na ipinangalan sa kanya; kumpletong solusyon tungkol sa bilang ng mga tunay na ugat ng isang algebraic equation ay nakuha noong 1829 ni J.Sh.F. Bagyo. Noong 1818, sinisiyasat ni Fourier ang tanong ng mga kondisyon para sa applicability ng pamamaraan na binuo ni Newton para sa numerical solution ng mga equation, na hindi alam ang tungkol sa mga katulad na resulta na nakuha noong 1768 ng French mathematician na si J.R. Murail. Ang resulta ng trabaho ni Fourier sa numerical na pamamaraan Ang solusyon ng mga equation ay "Analysis of Certain Equation", na inilathala pagkatapos ng kamatayan noong 1831.

Ang pangunahing lugar ng pag-aaral ni Fourier ay matematikal na pisika. Noong 1807 at 1811 ipinakita niya ang kanyang mga unang tuklas sa teorya ng pagpapalaganap ng init sa mga solido sa Paris Academy of Sciences, at noong 1822 ay inilathala niya ang sikat na gawaing Analytical Theory of Heat, na may mahalagang papel sa kasunod na kasaysayan ng matematika. . Ito ay - teorya ng matematika thermal conductivity. Dahil sa pangkalahatan ng pamamaraan, ang aklat na ito ay naging pinagmulan ng lahat makabagong pamamaraan matematikal na pisika. Sa gawaing ito, hinango ni Fourier differential equation thermal conductivity at mga nabuong ideya, sa karamihan sa mga pangkalahatang tuntunin na dati nang binalangkas ni D. Bernoulli, ay bumuo ng isang paraan ng paghihiwalay ng mga variable (Fourier method) upang malutas ang equation ng init para sa ilang partikular na kondisyon ng hangganan, na inilapat niya sa isang bilang ng mga espesyal na kaso (cube, cylinder, atbp.). Ang pamamaraang ito ay batay sa representasyon ng mga function ng trigonometric Fourier series.

Ang serye ng Fourier ay naging isang mahusay na binuo na kasangkapan sa teorya ng mga partial differential equation para sa paglutas ng mga problema sa halaga ng hangganan.

1. Ang konsepto ng seryeng Fourier.(p. 94, Uvarenkov)

Ang serye ng Fourier ay may mahalagang papel sa matematikal na pisika, teorya ng elasticity, electrical engineering, at lalo na sa kanilang espesyal na kaso - trigonometric Fourier series.

Ang trigonometric series ay isang serye ng anyo

o, simbolikong:

kung saan ang ω, a 0 , a 1 , …, a n , …, b 0 , b 1 , …, b n , … ay pare-pareho ang mga numero (ω>0) .

Ang ilang mga problema ng pisika sa kasaysayan ay humantong sa pag-aaral ng naturang serye, halimbawa, ang problema ng string vibrations (ika-18 siglo), ang problema ng mga regularidad sa phenomena ng heat conduction, atbp. Sa mga aplikasyon, pagsasaalang-alang ng trigonometriko serye , ay pangunahing nauugnay sa problema ng kumakatawan sa isang naibigay na paggalaw, na inilarawan ng equation na y = ƒ(χ), sa

Kaya, dumating tayo sa sumusunod na problema: upang malaman kung para sa isang naibigay na function ƒ(x) sa isang naibigay na pagitan ay mayroong isang serye (1) na magsasama-sama sa pagitan na ito sa function na ito. Kung ito ay posible, ang function na ƒ(x) ay sinasabing lumawak sa isang trigonometrikong serye sa pagitan na ito.

Ang Serye (1) ay nagtatagpo sa isang punto x 0, dahil sa periodicity ng mga function

at samakatuwid

2. Pagpapasiya ng mga coefficient ng serye sa pamamagitan ng mga formula ng Fourier.

Hayaan pana-panahong pag-andar Ang ƒ(x) na may tuldok na 2π na ito ay kinakatawan ng isang trigonometrikong serye na nagtatagpo sa isang ibinigay na function sa pagitan (-π, π), ibig sabihin, ay ang kabuuan ng seryeng ito:

Ipagpalagay na ang integral ng function sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga integral ng mga tuntunin ng seryeng ito. Magiging totoo ito kung ipagpalagay natin na ang serye ng numero na binubuo ng mga coefficient ng ibinigay na serye ng trigonometriko ay ganap na nagtatagpo, ibig sabihin, ang positibong serye ng numero ay nagtatagpo

Serye (1) ay majorized at maaaring isama ang termino sa pamamagitan ng termino sa pagitan (-π, π). Pinagsasama namin ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay (2):

Kinakalkula namin nang hiwalay ang bawat integral na nagaganap sa kanang bahagi:

kaya,

Pagtataya ng mga Fourier coefficients.(Bugrov)

Teorama 1. Hayaan ang isang function na ƒ(x) ng period 2π ay may tuluy-tuloy na derivative ƒ ( s) (x) ayos s nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay sa buong tunay na aksis:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

pagkatapos ay ang Fourier coefficients ng function ƒ masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay

Patunay. Pagsasama ng mga bahagi at isinasaalang-alang iyon

ƒ(-π) = ƒ(π), mayroon kami

Pinagsasama-sama kanang bahagi(7) sunud-sunod, na ibinigay na ang mga derivatives ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) ay tuloy-tuloy at kumukuha ng parehong mga halaga sa mga puntos na t = -π at t = π, pati na rin ang pagtatantya (5), kami makuha ang unang pagtatantya (6).

Ang pangalawang pagtatantya (6) ay nakuha sa katulad na paraan.

Teorama 2. Ang Fourier coefficients ƒ(x) ay sumasagot sa hindi pagkakapantay-pantay

Patunay. Meron kami

Maraming mga prosesong nagaganap sa kalikasan at teknolohiya ay may pag-aari na paulit-ulit ang kanilang mga sarili sa mga regular na pagitan. Ang ganitong mga proseso ay tinatawag na periodic at mathematically na inilalarawan ng periodic functions. Kasama sa mga tampok na ito kasalanan(x) , cos(x) , kasalanan(wx), cos(wx) . Ang kabuuan ng dalawang periodic function, halimbawa, isang function ng form , sa pangkalahatan, ay hindi na pana-panahon. Ngunit maipapakita na kung ang relasyon w 1 / w 2 ay isang rational na numero, kung gayon ang kabuuan na ito ay isang periodic function.

Ang pinakasimpleng pana-panahong proseso - mga harmonic oscillations - ay inilarawan ng mga pana-panahong pag-andar kasalanan(wx) at cos(wx). Ang mas kumplikadong mga pana-panahong proseso ay inilalarawan ng mga function na binubuo ng alinman sa isang may hangganan o isang walang katapusang bilang ng mga termino ng form. kasalanan(wx) at cos(wx).

3.2. serye ng trigonometriko. Fourier coefficients

Isaalang-alang ang isang functional na serye ng form:

Ang row na ito ay tinatawag trigonometriko; numero a 0 , b 0 , a 1 , b 1 ,a 2 , b 2 …, a n , b n ,… tinawag coefficients serye ng trigonometriko. Ang serye (1) ay kadalasang isinusulat tulad ng sumusunod:

. (2)

Dahil ang mga miyembro ng trigonometriko serye (2) ay may isang karaniwang panahon
, kung gayon ang kabuuan ng serye, kung ito ay nagtatagpo, ay isa ring periodic function na may period
.

Ipagpalagay natin na ang function f(x) ay ang kabuuan ng seryeng ito:

. (3)

Sa kasong ito, ang function ay sinabi na f(x) lumalawak sa isang seryeng trigonometriko. Ipagpalagay na ang seryeng ito ay pantay na nagtatagpo sa pagitan
, matutukoy mo ang mga coefficient nito sa pamamagitan ng mga formula:

,
,
. (4)

Ang mga coefficient ng serye na tinutukoy ng mga formula na ito ay tinatawag Fourier coefficients.

Ang trigonometric series (2), na ang mga coefficient ay tinutukoy ng Fourier formula (4), ay tinatawag na malapit sa Fourier naaayon sa function f(x).

Kaya, kung ang periodic function f(x) ay ang kabuuan ng convergent trigonometric series, kung gayon ang seryeng ito ay nito malapit sa Fourier.

3.3. Fourier Series Convergence

Ang mga formula (4) ay nagpapakita na ang mga Fourier coefficient ay maaaring kalkulahin para sa anumang pagitan na maisasama

-pana-panahong pag-andar, ibig sabihin. para sa isang function na ang isa ay maaaring palaging bumuo ng isang Fourier serye. Ngunit magtatagpo ba ang seryeng ito sa function f(x) at sa ilalim ng anong mga kondisyon?

Alalahanin na ang function f(x), tinukoy sa segment [ a; b] , ay tinatawag na piecewise smooth kung ito at ang derivative nito ay may hindi hihigit sa isang finite number of discontinuity points ng unang uri.

Ang sumusunod na theorem ay nagbibigay ng sapat na mga kondisyon para sa pagpapalawak ng isang function sa isang seryeng Fourier.

Ang teorama ni Dirichlet. Hayaan
-pana-panahong pag-andar f(x) ay piecewise smooth on
. Pagkatapos ang seryeng Fourier nito ay nagtatagpo sa f(x) sa bawat punto ng pagpapatuloy nito at sa halaga 0,5(f(x+0)+ f(x-0)) sa breaking point.

Halimbawa1.

Palawakin ang function sa isang Fourier series f(x)= x, na ibinigay sa pagitan
.

Desisyon. Ang pagpapaandar na ito ay nakakatugon sa mga kundisyon ng Dirichlet at samakatuwid ay maaaring palawakin sa isang seryeng Fourier. Paglalapat ng mga formula (4) at ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi
, nakita namin ang mga Fourier coefficients:

Kaya, ang Fourier series para sa function f(x) may hitsura.

Fourier series expansion ng even at odd function expansion ng isang function na ibinigay sa isang segment tungo sa isang series sa mga tuntunin ng mga sine o cosine Fourier series para sa isang function na may arbitrary period Complex na representasyon ng Fourier series Fourier series sa pangkalahatang orthogonal system ng mga function Fourier series sa isang orthogonal system Pinakamababang pag-aari ng Fourier coefficients Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bessel Pagkakapantay-pantay Parseval Closed systems Pagkumpleto at pagsasara ng mga system

Fourier series expansion ng even at odd functions Ang function na f(x), na tinukoy sa segment na \-1, kung saan I > 0, ay tinatawag kahit na ang Graph ng even function ay simetriko tungkol sa y-axis. Ang function na f(x) na tinukoy sa segment na J, kung saan ang I > 0, ay tinatawag na odd kung ang Graph ng odd na function ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan. Halimbawa. a) Ang function ay kahit sa segment |-jt, jt), dahil para sa lahat x e b) Ang function ay kakaiba, dahil ang Fourier series expansion ng even at odd function ay ang pagpapalawak ng isang function na ibinigay sa segment sa isang serye ng sines o cosines Fourier series para sa isang function na may arbitrary period Complex notation ng Fourier series Fourier series sa pangkalahatang orthogonal system of functions Fourier series sa isang orthogonal system Minimum property ng Fourier coefficients Bessel inequality Parseval equality Closed systems Completeness and closedness of systems not to kahit o sa mga kakaibang function, dahil Hayaan ang function na f(x) na nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon ng Theorem 1 ay maging even sa segment x|. Pagkatapos para sa lahat i.e. Ang /(g) cos nx ay isang even na function, at ang f(x)sinnx ay isang kakaiba. Samakatuwid, ang Fourier coefficients ng even function /(x) ay magiging pantay.Samakatuwid, ang Fourier series ng even function ay may anyo na f(x) sin nx ay isang even function. Samakatuwid, magkakaroon tayo ng Kaya, ang serye ng Fourier ng isang kakaibang function ay may anyo Mayroon kaming Paglalapat ng integration sa pamamagitan ng mga bahagi nang dalawang beses, nakuha namin na Kaya, ang Fourier series ng function na ito ay ganito ang hitsura: o, sa pinalawak na anyo, Ang pagkakapantay-pantay na ito ay wasto para sa anumang x €, dahil sa mga puntong x = ±ir ang kabuuan ng ang serye ay tumutugma sa mga halaga ng function na f(x ) = x2, dahil ang mga graph ng function na f(x) = x at ang mga kabuuan ng resultang serye ay ibinibigay sa fig. Magkomento. Binibigyang-daan ka ng seryeng Fourier na ito na mahanap ang kabuuan ng isa sa convergent numerical series, ibig sabihin, para sa x \u003d 0, nakuha namin iyon Ang function /(x) ay nakakatugon sa mga kondisyon ng Theorem 1, samakatuwid maaari itong palawakin sa isang Fourier series, na, dahil sa kakaiba ng function na ito, ay magkakaroon ng form na Integrating by parts, nakita natin ang Fourier coefficients Samakatuwid, ang Fourier serye ng function na ito ay may anyo Ang pagkakapantay-pantay na ito ay humahawak para sa lahat ng x В puntos x - ±tg ang kabuuan ng seryeng Fourier ay hindi tumutugma sa mga halaga ng function / (x) \u003d x, dahil ito ay pantay. ang graph nito ay ipinapakita sa Fig. . Ang mga halaga ng function na ito sa pagitan 0| maaaring muling tukuyin sa iba't ibang paraan. Halimbawa, posibleng tukuyin ang function / sa segment mc] sa paraang /. Sa kasong ito, sinasabing) "ay pinalawak sa segment 0] sa pantay na paraan"; ang seryeng Fourier nito ay maglalaman lamang ng mga cosine. Kung, gayunpaman, ang function na /(x) ay tinukoy sa segment [-x, mc] upang /(, pagkatapos ay makakakuha tayo ng kakaibang function, at pagkatapos ay sasabihin natin na / "ay pinalawak sa segment [-*, 0 ] sa kakaibang paraan"; sa kasong ito, ang seryeng Fourier ay maglalaman lamang ng mga sine. Kaya, ang bawat bounded na piecewise-monotone function /(x), na tinukoy sa segment , ay maaaring palawakin sa isang seryeng Fourier pareho sa mga sine at sa mga cosines.Halimbawa 1. Ang function ay maaaring palawakin sa isang Fourier series: a) sa pamamagitan ng cosine; b) kasama ang mga sine. M Ang function na ito kasama ang pantay at kakaibang mga extension nito sa segment |-x, 0) ay magiging bounded at piecewise monotonic. a) Nagpapatuloy kami /(z) sa segment 0) a) Nagpapatuloy kami sa j \ x) sa segment (-m, 0 | sa pantay na paraan (Larawan 7), pagkatapos ang Fourier series na i ay magkakaroon ng form na P \u003d 1 kung saan ang mga Fourier coefficient ay pantay, ayon sa pagkakabanggit para sa Samakatuwid, b) Magpatuloy tayo /(z) sa segment [-x,0] sa isang kakaibang paraan (Larawan 8). Pagkatapos ang seryeng Fourier nito §7. Fourier Series para sa Function na may Arbitrary Period Hayaang ang function fix) ay periodic na may period na 21.1 ^ 0. Para palawakin ito sa Fourier series sa interval kung saan I > 0, gumawa kami ng pagbabago ng variable sa pamamagitan ng pagtatakda ng x = jt . Pagkatapos ang function na F(t) = / ^tj ay magiging periodic function ng argument t na may period at maaari itong palawakin sa isang segment sa isang Fourier series Pagbabalik sa variable na x, ibig sabihin, setting, makuha natin , mananatiling valid para sa mga periodic function na may arbitrary period 21. Sa partikular, ang sapat na criterion para sa pagpapalawak ng isang function sa isang Fourier series ay nananatiling wasto din. Halimbawa 1. Palawakin sa isang serye ng Fourier ang isang periodic function na may tuldok na 21, na ibinigay sa segment [-/,/] ng formula (Larawan 9). Dahil ang pagpapaandar na ito ay pantay, ang seryeng Fourier nito ay may anyo na Pinapalitan ang mga nahanap na halaga ng mga Fourier coefficient sa seryeng Fourier, nakuha namin ang isang mahalagang katangian ng mga periodic function. Theorem 5. Kung ang isang function ay may tuldok na T at mapagsasama, kung gayon para sa anumang numero a ang pagkakapantay-pantay na m ay hawak. Iyon ay, ang integral na walang segment, ang haba nito ay katumbas ng panahon T, ay may parehong halaga anuman ang posisyon ng segment na ito sa totoong axis. Sa katunayan, gumawa kami ng pagbabago ng variable sa pangalawang integral, sa pag-aakalang Ito ay nagbibigay at samakatuwid, Geometrically, ang ari-arian na ito ay nangangahulugan na sa kaso ng lugar na may kulay sa Fig. 10 mga lugar ay katumbas ng bawat isa. Sa partikular, para sa isang function na f(x) na may isang tuldok, nakukuha namin sa Fourier series na pagpapalawak ng even at odd na function ang pagpapalawak ng isang function na ibinigay sa isang segment sa isang serye sa mga tuntunin ng mga sine o cosine Fourier series para sa isang function na may isang arbitrary na panahon Kumplikadong representasyon ng seryeng Fourier Fourier series sa pangkalahatang orthogonal system na gumagana. x) na may panahon na 21 ay maaaring kalkulahin gamit ang mga formula kung saan ang a ay isang arbitrary na tunay na numero (tandaan na ang mga function cos - at sin ay may panahon na 2/). Halimbawa 3. Palawakin sa isang seryeng Fourier ang isang function na ibinigay sa isang pagitan na may tuldok na 2x (Larawan 11). 4 Hanapin ang Fourier coefficients ng function na ito. Sa paglalagay ng mga formula, makikita natin na para sa Samakatuwid, ang seryeng Fourier ay magiging ganito: Sa puntong x = jt (discontinuity point ng unang uri) mayroon tayong §8. Kumplikadong notasyon ng seryeng Fourier Sa seksyong ito, ginagamit ang ilang elemento kumplikadong pagsusuri(Tingnan ang kabanata XXX, kung saan ang lahat ng mga operasyon ay isinagawa dito gamit ang kumplikadong mga ekspresyon, ay mahigpit na makatwiran). Hayaang masiyahan ang function na f(x). sapat na kondisyon pagpapalawak sa isang serye ng Fourier. Pagkatapos ay sa pagitan ng x] maaari itong katawanin ng isang serye ng anyo Gamit ang mga formula ng Euler Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa serye (1) sa halip na cos nx at sin xy ay magkakaroon tayo. tumatagal ang anyo Kaya, ang seryeng Fourier (1) ay ipinakita sa kumplikadong anyo (3). Maghanap tayo ng mga expression para sa mga coefficient sa mga tuntunin ng mga integral. Mayroon kaming Katulad, nakita namin Sa wakas, ang mga formula para sa с„, с_п at с ay maaaring isulat bilang mga sumusunod: . . Ang mga coefficient cn ay tinatawag na complex Fourier coefficients ng function Para sa isang periodic function na may period) kumplikadong anyo ang seryeng Fourier ay kumukuha ng anyo kung saan ang mga coefficient Сп ay kinakalkula ng mga formula binigay na halaga f, kung may mga limitasyon Halimbawa. Palawakin ang function ng period sa isang kumplikadong serye ng Fourier Ang function na ito ay nakakatugon sa sapat na mga kondisyon para sa pagpapalawak sa isang serye ng Fourier. Hayaang Hanapin ang mga kumplikadong Fourier coefficient ng function na ito. Mayroon kaming para sa kakaiba para sa kahit na n, o, sa madaling salita. Ang pagpapalit sa mga halaga), sa wakas ay nakuha namin Tandaan na ang seryeng ito ay maaari ding isulat bilang mga sumusunod: Fourier series sa pangkalahatang orthogonal system ng mga function 9.1. Orthogonal System of Functions Ipahiwatig sa pamamagitan ng hanay ng lahat ng (totoong) function na square-defined at integrable sa interval [a, 6], ibig sabihin, ang mga kung saan mayroong isang integral. Sa partikular, lahat ng function f(x) na ay tuluy-tuloy sa pagitan [a , 6], nabibilang sa 6], at ang mga halaga ng kanilang mga integral sa Lebesgue ay tumutugma sa mga halaga ng mga integral ng Riemann. Kahulugan. Ang sistema ng mga pag-andar, kung saan, ay tinatawag na orthogonal sa pagitan [a, b\, kung ang Kondisyon (1) ay ipinapalagay, sa partikular, na wala sa mga function ang magkaparehong katumbas ng zero. Ang integral ay nauunawaan sa kahulugan ng Lebesgue. at tinatawag natin ang dami bilang pamantayan ng isang function.Kung sa isang orthogonal system para sa anumang n mayroon tayo, kung gayon ang sistema ng mga function ay tinatawag na orthonormal. Kung ang sistema (y>n(x)) ay orthogonal, kung gayon ang sistema Halimbawa 1. Ang isang trigonometric system ay orthogonal sa isang segment. Ang sistema ng mga function ay isang orthonormal na sistema ng mga function sa, Halimbawa 2. Ang cosine system at ang sine system ay orthonormal. Ipinakilala namin ang notasyon na sila ay orthogonal sa pagitan (0, f|, ngunit hindi orthonormal (para sa I ∗ 2). Dahil ang kanilang mga pamantayan ay COS na ang mga function ay bumubuo ng isang orthonormal na sistema ng mga function sa isang segment. Ipakita natin, para sa halimbawa, na ang mga polynomial ng Legendre ay orthogonal. Hayaan ang m > n. Sa kasong ito, ang pagsasama ng n beses sa pamamagitan ng mga bahagi, makikita natin, dahil para sa function na t/m = (z2 - I)m, lahat ng derivatives hanggang sa order m - I inclusive maglaho sa dulo ng segment [-1,1). Kahulugan. Ang sistema ng mga function (pn(x)) ay tinatawag na orthogonal sa pagitan (a, b) sa pamamagitan ng overhang p(x) kung: 1) para sa lahat ng n = 1,2,... na mga integral ay umiiral. Dito ipinapalagay na ang weight function na p(x) ay tinukoy at positibo sa lahat ng dako sa pagitan (a, b), na may posibleng pagbubukod ng isang may hangganang bilang ng mga puntos kung saan ang p(x) ay maaaring maglaho. Pagkatapos magsagawa ng pagkita ng kaibhan sa formula (3), makikita natin. Maaaring ipakita na ang mga polynomial ng Chebyshev-Hermite ay orthogonal sa pagitan Halimbawa 4. Ang sistema ng mga function ng Bessel (jL(pix)^ ay orthogonal sa pagitan ng mga zero ng function na Bessel Halimbawa 5. Isaalang-alang ang mga polynomial ng Chebyshev-Hermite, na maaaring tukuyin gamit ang pagkakapantay-pantay. Fourier Series sa isang Orthogonal System Hayaan ang isang orthogonal system ng mga function sa interval (a, 6) at hayaan ang series (cj = const) na magtagpo sa interval na ito sa function na f(x): hanggang 6, dahil sa orthogonality ng ang sistema, nakuha namin na Ang operasyong ito ay, sa pangkalahatan, isang pormal na karakter. Gayunpaman, sa ilang mga kaso, halimbawa, kapag ang serye (4) ay magkakaugnay, ang lahat ng mga pag-andar ay tuluy-tuloy at ang pagitan (a, 6) ay may hangganan, ang operasyong ito ay legal. Ngunit ito ay ang pormal na interpretasyon na mahalaga para sa atin ngayon. Kaya sabihin nating isang function ang ibinigay. Binubuo namin ang mga numero c * ayon sa formula (5) at isulat Ang serye sa kanang bahagi ay tinatawag na Fourier series ng function na f (x) na may paggalang sa system (^n (n)) - Ang mga numero Cn ay tinatawag na Fourier coefficients ng function na f (x) sa sistemang ito. Ang sign na ~ sa formula (6) ay nangangahulugan lamang na ang mga numerong Cn ay nauugnay sa function /(x) sa pamamagitan ng formula (5) (hindi ipinapalagay na ang serye sa kanan ay nagtatagpo sa lahat, higit na mas mababa ang converge sa function na f (x)). Samakatuwid, ang tanong ay natural na lumitaw: ano ang mga katangian ng seryeng ito? Sa anong kahulugan ito ay "kumakatawan" sa function na f(x)? 9.3. Average na Kahulugan ng Convergence. Ang isang sequence ay nagtatagpo sa isang elemento ] sa karaniwan kung ang pamantayan ay nasa espasyo Theorem 6. Kung ang isang sequence ) ay nag-uugnay nang pantay, kung gayon ito ay nagtatagpo rin sa karaniwan. M Hayaang magtagpo ang sequence ()) nang pantay-pantay sa segment [a, b] sa function na f(x). Nangangahulugan ito na para sa alinman, para sa lahat ng sapat na malaki n, mayroon tayong Hence, kung saan ang ating assertion ay sumusunod. Ang kabaligtaran ay hindi totoo: ang sequence () ay maaaring magtagpo sa karaniwan sa /(x), ngunit hindi pare-parehong nagtatagpo. Halimbawa. Isaalang-alang natin ang sequence nx Madaling makita iyon Ngunit ang convergence na ito ay hindi pare-pareho: mayroong e, halimbawa, na kahit gaano kalaki ang n, sa pagitan ng seryeng Fourier para sa isang function na may arbitrary period Complex notation ng ang Fourier series Fourier series in general orthogonal system of functions Fourier series in an orthogonal system Minimal property of Fourier coefficients Bessel inequality Parseval equality Closed systems Completeness and closedness of systems and let ) sa orthonormal system b Isaalang-alang ang isang linear na kumbinasyon kung saan ang n ^ 1 ay isang nakapirming integer, at hanapin ang mga halaga ng mga constant kung saan kinukuha ng integral ang pinakamababang halaga nito. Isulat natin ito nang mas detalyado Pagsasama-sama ng termino sa pamamagitan ng termino, dahil sa orthonormality ng system, makuha natin Ang unang dalawang termino sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (7) ay independyente, at ang ikatlong termino ay hindi negatibo. Samakatuwid, ang integral (*) ay kumukuha ng pinakamababang halaga sa ak = sk. Ang integral ay tinatawag na root-mean-square approximation ng function na f(x) bilang isang linear na kumbinasyon ng Tn(x). Kaya, ang root-mean-square approximation ng function /\ ay tumatagal ng isang minimum na halaga kapag. kapag ang Tn(x) ay ang 71st partial sum ng Fourier series ng function /(x) sa system (. Setting ak = ck, mula sa (7) makuha natin ang Equality (9) ay tinatawag na Bessel identity. Dahil kaliwa ito side ay di-negatibo, pagkatapos ay mula dito ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bessel ay sumusunod Dahil ang i ay arbitrary dito, ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bessel ay maaaring katawanin sa isang pinalakas na anyo, ibig sabihin, para sa anumang function /, ang serye ng mga squared Fourier coefficients ng function na ito sa isang orthonormal system ) ay nagtatagpo . Dahil orthonormal ang sistema sa pagitan [-x, r], kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay (10), na isinalin sa karaniwang notasyon ng seryeng trigonometric Fourier, ay nagbibigay ng ugnayang do valid para sa anumang function na f(x) na may integrable square. Kung ang f2(x) ay mapagsasama, kung gayon, sa bisa ng kinakailangang kondisyon para sa tagpo ng serye sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (11), makuha natin iyon. Parseval's equality Para sa ilang system (^n(x)) ang inequality sign sa formula (10) ay maaaring palitan (para sa lahat ng function f(x) 6 x) ng isang equals sign. Ang nagresultang pagkakapantay-pantay ay tinatawag na Parseval-Steklov equality (kondisyon ng pagkakumpleto). Ang pagkakakilanlan ng Bessel (9) ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang kundisyon (12) sa isang katumbas na anyo sa pamamagitan ng space norm 6]. Kahulugan. Isang orthonormal system (tinatawag na kumpleto sa b2[ay b] kung anumang function ay maaaring tantiyahin sa anumang katumpakan sa karaniwan sa pamamagitan ng isang linear na kumbinasyon ng form na may sapat na isang malaking bilang mga termino, ibig sabihin, kung para sa anumang function f(x) ∈ b2[a, b\ at para sa alinmang e > 0 ay mayroong natural na numero nq at mga numerong a\, a2y..., tulad na Hindi Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahiwatig ng Theorem 7. Kung ang sistema ) ay kumpleto sa espasyo sa pamamagitan ng orthonormalization, ang Fourier series ng anumang function / ay nagtatagpo sa f(x) sa average dito. sistema, ibig sabihin, ayon sa pamantayan Maaari itong ipakita na ang trigonometriko na sistema ay kumpleto sa espasyo. Ito ay nagpapahiwatig ng assertion. Theorem 8. Kung ang isang function /0 nito trigonometric Fourier series ay nagtatagpo dito sa average. 9.5. mga saradong sistema. Pagkakumpleto at pagsasara ng mga system Definition. Ang orthonormal system of functions \, ay tinatawag na closed kung sa space Li\a, b) walang non-zero function orthogonal sa lahat ng function. magkasabay. Mga Pagsasanay 1. Palawakin ang function sa Fourier series sa interval (-i-, x) 2. Palawakin ang function sa Fourier series sa interval (-r, r) 3. Palawakin ang function sa Fourier series sa interval (-r, r) 4. Expand sa isang Fourier series sa interval (-jt, r) function 5. Expand sa isang Fourier series sa interval (-r, r) ang function f (x) \u003d x + x . 6. Palawakin sa isang Fourier series sa interval (-jt, r) ang function n 7. Palawakin sa isang Fourier series sa interval (-r, x) ang function / (x) \u003d sin2 x. 8. I-expand sa isang Fourier series sa interval (-m, jt) ang function f(x) = y 9. Expand sa isang Fourier series sa interval (-mm, -k) ang function f(x) = | sinx|. 10. Palawakin sa isang seryeng Fourier sa pagitan (-x-, r) ang function na f(x) = g. 11. Palawakin sa isang seryeng Fourier sa pagitan (-r, r) ang function f (x) \u003d sin §. 12. Palawakin sa isang seryeng Fourier ang function na f (x) = n -2x, na ibinigay sa pagitan (0, x), na ipagpatuloy ito sa pagitan (-x, 0): a) sa pantay na paraan; b) sa kakaibang paraan. 13. Palawakin sa isang serye ng Fourier sa mga tuntunin ng mga sine ang function / (x) \u003d x2, na ibinigay sa pagitan (0, x). 14. Palawakin sa isang serye ng Fourier ang function / (x) \u003d 3-x, na ibinigay sa pagitan (-2,2). 15. Palawakin sa isang seryeng Fourier ang function na f (x) \u003d |x |, na ibinigay sa pagitan (-1,1). 16. Palawakin sa isang seryeng Fourier sa mga tuntunin ng mga sine ang function f (x) \u003d 2x, na tinukoy sa pagitan (0,1).

Gumagana sa pamamagitan ng pag-decompose sa mga ito sa mga bahagi. Ang mga alternating current at voltages, displacements, speed at acceleration ng crank mechanisms, at acoustic waves ay mga tipikal na praktikal na aplikasyon ng periodic functions sa mga kalkulasyon ng engineering.

Ang pagpapalawak ng serye ng Fourier ay batay sa pag-aakalang lahat praktikal na halaga ang mga function sa pagitan -π ≤x≤ π ay maaaring ipahayag bilang convergent trigonometric series (ang isang serye ay itinuturing na convergent kung ang isang sequence ng mga partial sums na binubuo ng mga miyembro nito ay nagtatagpo):

Karaniwang (=usual) na notasyon sa pamamagitan ng kabuuan ng sinx at cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

kung saan ang a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. ay tunay na mga pare-pareho, i.e.

Kung saan, para sa hanay mula -π hanggang π, ang mga coefficient ng seryeng Fourier ay kinakalkula ng mga formula:

Ang mga coefficient na a o ,a n at b n ay tinatawag Fourier coefficients, at kung mahahanap ang mga ito, tatawagin ang serye (1). malapit sa Fourier, naaayon sa function na f(x). Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx+b 1 sinx) ay tinatawag na una o pangunahing harmonica,

Ang isa pang paraan upang magsulat ng isang serye ay ang paggamit ng ugnayang acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Kung saan ang a o ay pare-pareho, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 ay ang mga amplitude ng iba't ibang bahagi, at katumbas ng isang n \ u003d arctg a n /b n.

Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx + b 1 sinx) o c 1 sin (x + α 1) ay tinatawag na una o pangunahing harmonica,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) o c 2 sin(2x+α 2) ay tinatawag pangalawang harmonic atbp.

Upang tumpak na kumatawan sa isang kumplikadong signal, karaniwang kinakailangan ang isang walang katapusang bilang ng mga termino. Gayunpaman, sa marami mga praktikal na gawain sapat na na isaalang-alang lamang ang mga unang termino.

Fourier series ng non-periodic functions na may period 2π.

Pagpapalawak ng mga non-periodic na function sa isang Fourier series.

Kung ang function na f(x) ay hindi pana-panahon, hindi ito maaaring palawakin sa isang seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Gayunpaman, posibleng tumukoy ng seryeng Fourier na kumakatawan sa isang function sa anumang saklaw ng lapad na 2π.

Dahil sa isang non-periodic function, ang isa ay maaaring bumuo ng isang bagong function sa pamamagitan ng pagpili ng mga f(x) na halaga sa loob ng isang tiyak na hanay at pag-uulit ng mga ito sa labas ng hanay na ito sa 2π na mga pagitan. Sa abot ng bagong feature ay panaka-nakang may panahon na 2π, maaari itong mapalawak sa isang seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Halimbawa, ang function na f(x)=x ay hindi pana-panahon. Gayunpaman, kung ito ay kinakailangan upang palawakin ito sa isang seryeng Fourier sa pagitan mula 0 hanggang 2π, pagkatapos ay isang periodic function na may isang panahon ng 2π ay itinayo sa labas ng pagitan na ito (tulad ng ipinapakita sa figure sa ibaba).

Para sa mga non-periodic function tulad ng f(x)=x, ang kabuuan ng Fourier series ay katumbas ng halaga ng f(x) sa lahat ng puntos sa ibinigay na range, ngunit hindi ito katumbas ng f(x) para sa mga puntos sa labas ng saklaw. Upang mahanap ang serye ng Fourier ng isang non-periodic function sa hanay na 2π, ang parehong formula ng Fourier coefficients ay ginagamit.

Kahit at kakaibang mga function.

Sabi nila ang function na y=f(x) kahit kung f(-x)=f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng kahit na mga function ay palaging simetriko tungkol sa y-axis (iyon ay, ang mga ito ay nakasalamin). Dalawang halimbawa ng even functions: y=x 2 at y=cosx.

Sinasabi nila na ang function na y=f(x) kakaiba, kung f(-x)=-f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng mga kakaibang function ay palaging simetriko tungkol sa pinagmulan.

Maraming mga function ay hindi kahit na o kakaiba.

Pagpapalawak ng serye ng Fourier sa mga cosine.

Ang Fourier series ng even periodic function f(x) na may period 2π ay naglalaman lamang ng mga cosine terms (ibig sabihin, hindi naglalaman ng sine terms) at maaaring may kasamang constant term. Kaya naman,

nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,

Ang serye ng Fourier ng isang kakaibang periodic function na f(x) na may tuldok 2π ay naglalaman lamang ng mga terminong may mga sinus (ibig sabihin, hindi naglalaman ng mga terminong may mga cosine).

Kaya naman,

nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,

Fourier series sa isang kalahating cycle.

Kung ang isang function ay tinukoy sa isang hanay, sabihin nating 0 hanggang π, at hindi lamang 0 hanggang 2π, maaari itong palawakin sa isang serye lamang sa mga tuntunin ng mga sine o sa mga tuntunin lamang ng mga cosine. Ang nagresultang serye ng Fourier ay tinatawag malapit sa Fourier sa kalahating ikot.

Kung gusto mong makakuha ng decomposition Fourier sa isang kalahating cycle sa mga cosine function na f(x) sa hanay mula 0 hanggang π, pagkatapos ay kinakailangan na bumuo ng kahit na periodic function. Sa fig. sa ibaba ay ang function na f(x)=x na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang even function ay simetriko tungkol sa f(x) axis, iginuhit namin ang linyang AB, tulad ng ipinapakita sa Fig. sa ibaba. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng isinasaalang-alang na pagitan, ang nagreresultang triangular na hugis ay panaka-nakang may tuldok na 2π, kung gayon ang panghuling graph ay mayroong anyo, na ipinapakita. sa fig. sa ibaba. Dahil kinakailangan na makuha ang Fourier expansion sa mga cosine, tulad ng dati, kinakalkula namin ang Fourier coefficients a o at a n

Kung nais mong makakuha ng mga function na f (x) sa hanay mula 0 hanggang π, pagkatapos ay kailangan mong bumuo ng isang kakaibang periodic function. Sa fig. sa ibaba ay ang function na f(x)=x na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang kakaibang pag-andar ay simetriko na may paggalang sa pinanggalingan, binubuo namin ang linya ng CD, tulad ng ipinapakita sa Fig. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng isinasaalang-alang na agwat, ang natanggap na signal ng sawtooth ay panaka-nakang may panahon na 2π, kung gayon ang panghuling graph ay may form na ipinapakita sa Fig. Dahil kinakailangan upang makuha ang Fourier expansion sa isang kalahating cycle sa mga tuntunin ng mga sine, tulad ng dati, kinakalkula namin ang Fourier coefficient. b

Fourier series para sa arbitrary na pagitan.

Pagpapalawak ng periodic function na may period L.

Ang periodic function na f(x) ay umuulit habang ang x ay tumataas ng L, i.e. f(x+L)=f(x). Ang paglipat mula sa naunang itinuturing na mga function na may panahon 2π sa mga function na may panahon L ay medyo simple, dahil maaari itong gawin gamit ang isang pagbabago ng variable.

Upang mahanap ang serye ng Fourier ng function na f(x) sa hanay -L/2≤x≤L/2, ipinakilala namin ang isang bagong variable na u upang ang function na f(x) ay may panahon na 2π na may kinalaman sa u. Kung u=2πx/L, kung gayon ang x=-L/2 para sa u=-π at x=L/2 para sa u=π. Hayaan din ang f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ang seryeng Fourier F(u) ay may anyo

Nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,

Gayunpaman, mas madalas, ang formula sa itaas ay humahantong sa pag-asa sa x. Dahil u=2πх/L, du=(2π/L)dx, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay mula -L/2 hanggang L/2 sa halip na -π hanggang π. Samakatuwid, ang seryeng Fourier para sa pagtitiwala sa x ay may anyo

kung saan sa hanay mula -L/2 hanggang L/2 ay ang mga coefficient ng seryeng Fourier,

(Maaaring palitan ang mga limitasyon sa pagsasama ng anumang pagitan ng haba L, halimbawa, mula 0 hanggang L)

Fourier series sa kalahating cycle para sa mga function na ibinigay sa interval L≠2π.

Para sa pagpapalit na u=πx/L, ang pagitan mula x=0 hanggang x=L ay tumutugma sa pagitan mula u=0 hanggang u=π. Samakatuwid, ang function ay maaaring palawakin sa isang serye lamang sa mga tuntunin ng mga cosine o lamang sa mga tuntunin ng mga sine, i.e. sa Fourier series sa kalahating cycle.

Ang pagpapalawak sa mga cosine sa hanay mula 0 hanggang L ay may anyo

Na medyo nagsawa na. At pakiramdam ko ay dumating na ang sandali kung kailan oras na upang kunin ang mga bagong de-latang pagkain mula sa mga strategic reserves ng teorya. Posible bang palawakin ang function sa isang serye sa ibang paraan? Halimbawa, upang ipahayag ang isang segment ng tuwid na linya sa mga tuntunin ng mga sine at cosine? Tila hindi kapani-paniwala, ngunit ang mga tila malayong pag-andar ay nagpapahiram sa kanilang sarili
"reunion". Bilang karagdagan sa mga pamilyar na degree sa teorya at kasanayan, may iba pang mga diskarte sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye.

Sa ang araling ito makikilala natin ang trigonometric Fourier series, hipuin ang isyu ng convergence at sum nito, at, siyempre, susuriin natin ang maraming halimbawa para sa pagpapalawak ng mga function sa isang seryeng Fourier. Taos-puso kong nais na tawagan ang artikulong "Fourier Series for Dummies", ngunit ito ay magiging tuso, dahil ang paglutas ng mga problema ay mangangailangan ng kaalaman sa iba pang mga seksyon ng mathematical analysis at ilang praktikal na karanasan. Samakatuwid, ang preamble ay magiging katulad ng pagsasanay ng mga astronaut =)

Una, ang pag-aaral ng mga materyales sa pahina ay dapat na lapitan sa mahusay na hugis. Inaantok, pahinga at matino. Kung wala malakas na emosyon tungkol sa putol na binti ng hamster at mga nakakahumaling na pag-iisip tungkol sa hirap ng buhay bilang aquarium fish. Ang seryeng Fourier ay hindi mahirap maunawaan, gayunpaman mga praktikal na gawain kailangan lang nila ng mas mataas na konsentrasyon ng atensyon - sa isip, dapat mong ganap na iwanan ang panlabas na stimuli. Ang sitwasyon ay pinalala ng katotohanan na walang madaling paraan upang suriin ang solusyon at ang sagot. Kaya, kung ang iyong kalusugan ay mas mababa sa average, pagkatapos ay mas mahusay na gumawa ng isang bagay na mas simple. Katotohanan.

Pangalawa, bago lumipad sa kalawakan, kailangan mong pag-aralan ang dashboard sasakyang pangkalawakan. Magsimula tayo sa mga halaga ng mga pag-andar na dapat i-click sa makina:

Para sa anumang natural na halaga:

isa). At sa katunayan, ang sinusoid ay "nagkislap" ng x-axis sa bawat "pi":
. Kailan mga negatibong halaga argumento, ang resulta, siyempre, ay magiging pareho: .

2). Ngunit hindi alam ng lahat ito. Ang cosine na "pi en" ay katumbas ng "flashing light":

Ang isang negatibong argumento ay hindi nagbabago ng kaso: .

Marahil sapat na.

At pangatlo, mahal na kosmonaut corps, kailangan mong ... pagsamahin.
Sa partikular, sigurado magdala ng function sa ilalim ng differential sign, pagsamahin ayon sa mga bahagi at makipagkasundo sa iyo Formula ng Newton-Leibniz. Simulan natin ang mahahalagang pagsasanay bago ang paglipad. Lubos kong inirerekumenda na laktawan ito, upang sa ibang pagkakataon ay hindi ka ma-flatten sa zero gravity:

Halimbawa 1

Kalkulahin ang mga tiyak na integral

kung saan kumukuha ng mga natural na halaga.

Desisyon: Isinasagawa ang pagsasama sa variable na "x" at sa yugtong ito ang discrete variable na "en" ay itinuturing na pare-pareho. Sa lahat ng integral dalhin ang function sa ilalim ng sign ng differential:

Isang maikling bersyon ng solusyon, na magandang kunan, ganito ang hitsura:

Masanay sa:

Ang apat na natitirang puntos ay sa kanilang sarili. Subukang maingat na tratuhin ang gawain at ayusin ang mga integral sa maikling paraan. Mga halimbawang solusyon sa pagtatapos ng aralin.

Pagkatapos ng KALIDAD na ehersisyo, nagsuot kami ng mga spacesuit
at naghahanda upang magsimula!

Pagpapalawak ng isang function sa isang Fourier series sa pagitan

Isaalang-alang natin ang isang function na determinado hindi bababa sa pagitan (at, posibleng, sa isang mas malaking agwat). Kung ang function na ito ay integrable sa segment , maaari itong palawakin sa isang trigonometriko Fourier serye:
, nasaan ang mga tinatawag na Fourier coefficients.

Sa kasong ito, ang numero ay tinatawag panahon ng agnas, at ang numero ay kalahating buhay na agnas.

Malinaw, sa pangkalahatang kaso, ang seryeng Fourier ay binubuo ng mga sine at cosine:

Sa katunayan, isulat natin ito nang detalyado:

Ang zero term ng serye ay karaniwang isinusulat bilang .

Ang mga fourier coefficient ay kinakalkula gamit ang mga sumusunod na formula:

Naiintindihan kong lubos na ang mga bagong termino ay malabo pa rin para sa mga nagsisimula upang pag-aralan ang paksa: panahon ng agnas, kalahating ikot, Fourier coefficients at iba pa. Huwag mag-panic, hindi ito maikukumpara sa excitement bago ang isang spacewalk. Alamin natin ang lahat sa pinakamalapit na halimbawa, bago isagawa kung saan ito ay lohikal na tanungin ang ating sarili nang madalian praktikal na bagay:

Ano ang kailangan mong gawin sa mga sumusunod na gawain?

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier. Bukod pa rito, madalas na kinakailangan na gumuhit ng isang graph ng isang function, isang graph ng kabuuan ng isang serye, isang bahagyang kabuuan, at sa kaso ng mga sopistikadong pantasyang propesor, gumawa ng iba pa.

Paano palawakin ang isang function sa isang serye ng Fourier?

Mahalaga, kailangan mong hanapin Fourier coefficients, iyon ay, bumuo at mag-compute ng tatlo mga tiyak na integral.

Mangyaring kopyahin ang pangkalahatang anyo ng seryeng Fourier at ang tatlong gumaganang formula sa iyong kuwaderno. Tuwang-tuwa ako na ang ilan sa mga bisita sa site ay may pangarap noong bata pa na maging isang astronaut na nagkatotoo sa harap ng aking mga mata =)

Halimbawa 2

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier sa pagitan. Bumuo ng isang graph, isang graph ng kabuuan ng isang serye at isang bahagyang kabuuan.

Desisyon: ang unang bahagi ng gawain ay upang palawakin ang function sa isang seryeng Fourier.

Ang simula ay pamantayan, siguraduhing isulat iyon:

Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon .

Pinalawak namin ang function sa isang serye ng Fourier sa pagitan:

Gamit ang naaangkop na mga formula, nakita namin Fourier coefficients. Ngayon kailangan nating bumuo at kalkulahin ang tatlo mga tiyak na integral. Para sa kaginhawahan, bibilangin ko ang mga puntos:

1) Ang unang integral ay ang pinakasimple, gayunpaman, nangangailangan na ito ng mata at mata:

2) Ginagamit namin ang pangalawang formula:

Ang integral na ito ay kilala at unti-unti niyang kinukuha:

Kapag natagpuang ginamit paraan ng pagdadala ng function sa ilalim ng differential sign.

Sa gawaing isinasaalang-alang, mas maginhawang gamitin kaagad formula para sa pagsasama ng mga bahagi sa isang tiyak na integral :

Isang pares ng mga teknikal na tala. Una, pagkatapos ilapat ang formula ang buong expression ay dapat na nakapaloob sa malalaking bracket, dahil mayroong isang pare-pareho sa harap ng orihinal na integral. Huwag nating mawala ito! Maaaring mabuksan ang mga panaklong sa anumang karagdagang hakbang, ginawa ko ito sa pinakahuling pagliko. Sa unang "piraso" nagpapakita kami ng matinding katumpakan sa pagpapalit, tulad ng nakikita mo, ang pare-pareho ay wala sa negosyo, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay pinapalitan sa produkto. Ang aksyon na ito ay minarkahan ng mga square bracket. Well, ang integral ng pangalawang "piraso" ng formula ay kilala sa iyo mula sa gawain sa pagsasanay ;-)

At ang pinakamahalaga - ang sukdulang konsentrasyon ng atensyon!

3) Hinahanap namin ang ikatlong Fourier coefficient:

Ang isang kamag-anak ng nakaraang integral ay nakuha, na kung saan ay din isinama ng mga bahagi:

Ang pagkakataong ito ay medyo mas kumplikado, magkokomento ako sa mga karagdagang hakbang nang hakbang-hakbang:

(1) Ang buong expression ay nakapaloob sa malalaking bracket.. Hindi ko nais na mukhang isang mainip, nawala nila ang pare-pareho masyadong madalas.

(2) Sa kasong ito, agad kong pinalawak ang malalaking bracket na iyon. Espesyal na atensyon itinatalaga namin ang unang "piraso": ang patuloy na usok sa gilid at hindi nakikilahok sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama (at) sa produkto. Dahil sa kalat ng rekord, ipinapayong muli na i-highlight ang pagkilos na ito sa mga square bracket. Gamit ang pangalawang "piraso" ang lahat ay mas simple: dito lumitaw ang fraction pagkatapos magbukas ng malalaking bracket, at ang pare-pareho - bilang resulta ng pagsasama ng pamilyar na integral ;-)

(3) Sa mga square bracket, nagsasagawa kami ng mga pagbabago, at sa tamang integral, pinapalitan namin ang mga limitasyon ng pagsasama.

(4) Inalis namin ang "flasher" mula sa mga square bracket: , pagkatapos ay binuksan namin ang mga panloob na bracket: .

(5) Kinakansela namin ang 1 at -1 sa mga panaklong, ginagawa namin ang panghuling pagpapasimple.

Sa wakas ay natagpuan ang lahat ng tatlong Fourier coefficient:

Ipalit ang mga ito sa formula :

Huwag kalimutang hatiin sa kalahati. Sa huling hakbang, ang pare-pareho ("minus dalawa"), na hindi nakasalalay sa "en", ay kinuha mula sa kabuuan.

Kaya, nakuha namin ang pagpapalawak ng function sa isang serye ng Fourier sa pagitan:

Pag-aralan natin ang tanong ng convergence ng seryeng Fourier. Ipapaliwanag ko sa partikular ang teorya Dirichlet theorem, literal na "sa mga daliri", kaya kung kailangan mo ng mahigpit na formulations, mangyaring sumangguni sa isang aklat-aralin sa calculus (halimbawa, ang 2nd volume ng Bohan; o ang 3rd volume ng Fichtenholtz, ngunit mas mahirap dito).

Sa ikalawang bahagi ng gawain, kinakailangan na gumuhit ng isang graph, isang serye ng sum graph at isang bahagyang sum graph.

Ang graph ng function ay ang karaniwan tuwid na linya sa eroplano, na iginuhit gamit ang isang itim na tuldok na linya:

Nakikitungo kami sa kabuuan ng serye. Tulad ng alam mo, ang functional na serye ay nagtatagpo sa mga function. Sa aming kaso, ang itinayong serye ng Fourier para sa anumang halaga ng "x" converges sa function na ipinapakita sa pula. Ang pagpapaandar na ito ay napapailalim sa mga break ng 1st kind sa mga puntos , ngunit tinukoy din sa mga ito (mga pulang tuldok sa pagguhit)

kaya: . Madaling makita na kapansin-pansing naiiba ito sa orihinal na function , kaya naman sa notasyon isang tilde ang ginagamit sa halip na isang equals sign.

Pag-aralan natin ang isang algorithm kung saan ito ay maginhawa upang bumuo ng kabuuan ng isang serye.

Sa gitnang agwat, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mismong function (ang gitnang pulang segment ay kasabay ng itim na tuldok na linya ng linear na function).

Ngayon ay pag-usapan natin ang tungkol sa likas na katangian ng itinuturing na trigonometriko na pagpapalawak. Fourier serye kasama lang ang mga periodic function (constant, sines at cosine), kaya ang kabuuan ng serye ay isa ring periodic function.

Ano ang ibig sabihin nito sa ating tiyak na halimbawa? At ito ay nangangahulugan na ang kabuuan ng serye –kinakailangang pana-panahon at ang pulang bahagi ng pagitan ay dapat na walang katapusan na paulit-ulit sa kaliwa at kanan.

Sa tingin ko ngayon ay naging malinaw na sa wakas ang kahulugan ng pariralang "panahon ng agnas". Sa madaling salita, sa tuwing paulit-ulit ang sitwasyon.

Sa pagsasagawa, kadalasan ay sapat na upang ilarawan ang tatlong panahon ng agnas, tulad ng ginagawa sa pagguhit. Buweno, at higit pang "mga tuod" ng mga kalapit na panahon - upang gawing malinaw na ang tsart ay nagpapatuloy.

Ang partikular na interes ay mga discontinuity point ng 1st kind. Sa ganitong mga punto, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mga nakahiwalay na halaga, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng discontinuity "jump" (mga pulang tuldok sa pagguhit). Paano mahahanap ang ordinate ng mga puntong ito? Una, hanapin natin ang ordinate ng "itaas na palapag": para dito, kinakalkula natin ang halaga ng function sa pinakakanang punto ng central expansion period: . Upang kalkulahin ang ordinate ng "lower floor", ang pinakamadaling paraan ay ang gawin ang sukdulan kaliwang halaga parehong panahon: . Ang ordinate ng mean ay ang mean arithmetic sum"taas at baba": . Maganda ang katotohanan na kapag nagtatayo ng isang guhit, makikita mo kaagad kung ang gitna ay tama o hindi tama ang pagkalkula.

Bumuo tayo ng bahagyang kabuuan ng serye at sabay ulitin ang kahulugan ng terminong "convergence". Nalaman ang motibo mula sa aralin tungkol sa ang kabuuan ng serye ng numero. Ilarawan natin nang detalyado ang ating kayamanan:

Upang makagawa ng bahagyang kabuuan, kailangan mong isulat ang zero + dalawa pang termino ng serye. I.e,

Sa pagguhit, ipinapakita ang graph ng function sa berde, at, tulad ng nakikita mo, ito ay "nakabalot" sa buong kabuuan nang medyo mahigpit. Kung isasaalang-alang namin ang isang bahagyang kabuuan ng limang termino ng serye, kung gayon ang graph ng function na ito ay tinatantya ang mga pulang linya nang mas tumpak, kung mayroong isang daang termino, kung gayon ang "berdeng ahas" ay talagang ganap na sumanib sa mga pulang segment, atbp. Kaya, ang seryeng Fourier ay nagtatagpo sa kabuuan nito.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang anumang bahagyang kabuuan ay tuluy-tuloy na pag-andar, ngunit ang kabuuang kabuuan ng serye ay hindi pa rin nagpapatuloy.

Sa pagsasagawa, hindi karaniwan na bumuo ng isang bahagyang sum graph. Paano ito gagawin? Sa aming kaso, kinakailangang isaalang-alang ang pag-andar sa segment, kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa mga intermediate na punto (mas maraming puntos ang iyong isinasaalang-alang, mas tumpak ang graph). Pagkatapos ay dapat mong markahan ang mga puntong ito sa pagguhit at maingat na gumuhit ng isang graph sa panahon, at pagkatapos ay "kopyahin" ito sa mga katabing agwat. Paano pa? Pagkatapos ng lahat, ang approximation ay isang periodic function din ... ... para sa ilang kadahilanan, ang graph nito ay nagpapaalala sa akin ng isang pantay na ritmo ng puso sa pagpapakita ng isang medikal na aparato.

Siyempre, hindi masyadong maginhawa upang isagawa ang konstruksiyon, dahil kailangan mong maging maingat, na mapanatili ang katumpakan ng hindi bababa sa kalahating milimetro. Gayunpaman, pasayahin ko ang mga mambabasa na salungat sa pagguhit - sa isang "tunay" na gawain, malayo sa palaging kinakailangan na magsagawa ng pagguhit, sa isang lugar sa 50% ng mga kaso kinakailangan na palawakin ang function sa isang seryeng Fourier at iyon ay ito.

Matapos makumpleto ang pagguhit, nakumpleto namin ang gawain:

Sagot:

Sa maraming mga gawain, ang pag-andar ay naghihirap pagkalagot ng 1st kind mismo sa panahon ng agnas:

Halimbawa 3

Palawakin sa isang seryeng Fourier ang function na ibinigay sa pagitan . Gumuhit ng graph ng function at ang kabuuang kabuuan ng serye.

Ang iminungkahing function ay ibinibigay nang paisa-isa (at, bale, sa segment lang) at magtiis pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Posible bang kalkulahin ang Fourier coefficients? Walang problema. Parehong ang kaliwa at kanang bahagi ng function ay pinagsama sa kanilang mga pagitan, kaya ang mga integral sa bawat isa sa tatlong mga formula ay dapat na kinakatawan bilang ang kabuuan ng dalawang integral. Tingnan natin, halimbawa, kung paano ito ginagawa para sa isang zero coefficient:

Ang pangalawang integral pala sero, na nagbawas sa trabaho, ngunit hindi ito palaging nangyayari.

Dalawang iba pang mga Fourier coefficient ang nakasulat nang magkatulad.

Paano ipakita ang kabuuan ng isang serye? Sa kaliwang pagitan gumuhit kami ng isang tuwid na linya ng segment , at sa pagitan - isang tuwid na linya ng segment (i-highlight ang seksyon ng axis sa bold-bold). Iyon ay, sa pagitan ng pagpapalawak, ang kabuuan ng serye ay tumutugma sa pag-andar sa lahat ng dako, maliban sa tatlong "masamang" puntos. Sa discontinuity point ng function, ang Fourier series ay nagtatagpo sa isang nakahiwalay na halaga, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng "jump" ng discontinuity. Hindi mahirap makita ito nang pasalita: limitasyon sa kaliwang kamay:, limitasyon sa kanang kamay: at, malinaw naman, ang ordinate ng midpoint ay 0.5.

Dahil sa periodicity ng sum , ang larawan ay dapat na "multiplied" sa mga kalapit na panahon, sa partikular, ilarawan ang parehong bagay sa mga pagitan at . Sa kasong ito, sa mga punto, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mga median na halaga.

Sa totoo lang, wala namang bago dito.

Subukang lutasin ang problemang ito sa iyong sarili. Isang tinatayang sample ng magandang disenyo at pagguhit sa pagtatapos ng aralin.

Pagpapalawak ng isang function sa isang Fourier series sa isang arbitrary na panahon

Para sa isang arbitrary na panahon ng agnas , kung saan ang "el" ay anuman positibong numero, ang mga formula para sa Fourier series at Fourier coefficient ay naiiba sa isang bahagyang kumplikadong argumento ng sine at cosine:

Kung , pagkatapos ay makuha namin ang mga formula para sa pagitan kung saan kami nagsimula.

Ang algorithm at mga prinsipyo para sa paglutas ng problema ay ganap na napanatili, ngunit ang teknikal na pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon ay nagdaragdag:

Halimbawa 4

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier at i-plot ang kabuuan.

Desisyon: sa katunayan, isang analogue ng Halimbawa No. 3 na may pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon . Ang function ay tinukoy lamang sa kalahating pagitan , ngunit hindi nito binabago ang mga bagay - mahalaga na ang parehong bahagi ng function ay mapagsasama.

Palawakin natin ang function sa isang seryeng Fourier:

Dahil ang function ay hindi nagpapatuloy sa pinanggalingan, ang bawat Fourier coefficient ay dapat na malinaw na nakasulat bilang ang kabuuan ng dalawang integral:

1) Isusulat ko ang unang integral bilang detalyado hangga't maaari:

2) Maingat na sumilip sa ibabaw ng buwan:

Pangalawang integral kumuha ng mga bahagi:

Ano ang dapat abangan malapit na pansin, pagkatapos naming buksan ang pagpapatuloy ng solusyon na may asterisk?

Una, hindi natin nawawala ang unang integral , kung saan agad naming pinaandar pagdadala sa ilalim ng tanda ng kaugalian. Pangalawa, huwag kalimutan ang malas na pare-pareho bago ang malaking bracket at huwag malito sa pamamagitan ng mga palatandaan kapag ginagamit ang formula . Malaking bracket, pagkatapos ng lahat, ito ay mas maginhawa upang buksan kaagad sa susunod na hakbang.

Ang natitira ay isang bagay ng pamamaraan, tanging ang hindi sapat na karanasan sa paglutas ng mga integral ay maaaring maging sanhi ng mga paghihirap.

Oo, hindi walang kabuluhan na ang mga kilalang kasamahan ng Pranses na matematiko na si Fourier ay nagalit - gaano siya nangahas na i-decompose ang mga function sa trigonometric series?! =) Siyanga pala, malamang lahat ay interesado sa praktikal na kahulugan ng gawaing pinag-uusapan. Si Fourier mismo ang nagtrabaho matematikal na modelo thermal conductivity, at nang maglaon ang serye na pinangalanan sa kanya ay nagsimulang gamitin upang pag-aralan ang maraming mga pana-panahong proseso, na tila hindi nakikita sa nakapaligid na mundo. Ngayon, sa pamamagitan ng paraan, nahuli ko ang aking sarili na iniisip na hindi nagkataon na inihambing ko ang graph ng pangalawang halimbawa sa isang panaka-nakang ritmo ng puso. Ang mga nais ay maaaring maging pamilyar sa kanilang sarili praktikal na aplikasyon Nag-transform si Fourier mula sa mga mapagkukunan ng third party. ... Bagama't mas mabuting hindi - ito ay maaalala bilang Unang Pag-ibig =)

3) Dahil sa paulit-ulit na binanggit na mahinang mga link, nakikitungo kami sa ikatlong koepisyent:

Pagsasama ayon sa mga bahagi:

Pinapalitan namin ang natagpuang Fourier coefficients sa formula , hindi nakakalimutang hatiin ang zero coefficient sa kalahati:

I-plot natin ang kabuuan ng serye. Ulitin natin sandali ang pamamaraan: sa pagitan ay nagtatayo tayo ng isang linya, at sa pagitan - isang linya. Sa isang zero na halaga ng "x", inilalagay namin ang isang punto sa gitna ng "jump" ng gap at "kopyahin" ang tsart para sa mga kalapit na panahon:


Sa "mga junction" ng mga yugto, ang kabuuan ay magiging katumbas din ng mga midpoint ng "jump" ng gap.

handa na. Ipinapaalala ko sa iyo na ang function mismo ay may kondisyong tinukoy lamang sa kalahating pagitan at, malinaw naman, nag-tutugma sa kabuuan ng serye sa mga pagitan

Sagot:

Minsan ang isang piecewise na ibinigay na function ay tuloy-tuloy din sa panahon ng pagpapalawak. Ang pinakasimpleng halimbawa: . Desisyon (Tingnan ang Bohan Tomo 2) ay katulad ng sa dalawang naunang halimbawa: sa kabila pagpapatuloy ng pag-andar sa puntong , ang bawat Fourier coefficient ay ipinahayag bilang kabuuan ng dalawang integral.

Sa pagitan ng breakup mga discontinuity point ng 1st kind at / o "junction" na mga punto ng graph ay maaaring higit pa (dalawa, tatlo, at sa pangkalahatan anuman pangwakas halaga). Kung ang isang function ay integrable sa bawat bahagi, ito ay napapalawak din sa isang Fourier series. Ngunit mula sa praktikal na karanasan, hindi ko naaalala ang gayong lata. Gayunpaman, may mga mas mahirap na gawain kaysa sa isinasaalang-alang lamang, at sa dulo ng artikulo para sa lahat ay may mga link sa serye ng Fourier na mas kumplikado.

Pansamantala, magpahinga tayo, sumandal sa ating mga upuan at pag-isipan ang walang katapusang kalawakan ng mga bituin:

Halimbawa 5

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier sa pagitan at i-plot ang kabuuan ng serye.

Sa gawaing ito, ang function tuloy-tuloy sa kalahating pagitan ng agnas, na pinapasimple ang solusyon. Ang lahat ay halos kapareho sa Halimbawa #2. Walang pagtakas mula sa sasakyang pangalangaang - kailangan mong magpasya =) Isang tinatayang sample ng disenyo sa pagtatapos ng aralin, ang iskedyul ay nakalakip.

Fourier series na pagpapalawak ng even at odd na function

Sa pantay at kakaibang mga pag-andar, ang proseso ng paglutas ng problema ay kapansin-pansing pinasimple. At dahil jan. Bumalik tayo sa pagpapalawak ng function sa isang seryeng Fourier sa panahon ng "dalawang pi" at arbitrary na panahon "dalawang ale" .

Ipagpalagay natin na ang ating function ay pantay. Ang pangkalahatang termino ng serye, tulad ng nakikita mo, ay naglalaman ng mga kahit na cosine at kakaibang sine. At kung nabubulok natin ang isang EVEN function, bakit kailangan natin ng mga kakaibang sine?! I-reset natin ang hindi kinakailangang koepisyent: .

kaya, ang isang even function ay lumalawak sa isang Fourier series lamang sa mga cosine:

Sa abot ng integral ng even functions sa isang segment ng integration symmetric na may paggalang sa zero ay maaaring madoble, pagkatapos ay ang iba pang mga Fourier coefficients ay pinasimple din.

Para sa span:

Para sa arbitrary na pagitan:

Ang mga halimbawa ng Textbook na makikita sa halos anumang calculus textbook ay kinabibilangan ng mga pagpapalawak ng even functions . Bilang karagdagan, paulit-ulit silang nagkita sa aking personal na pagsasanay:

Halimbawa 6

Nabigyan ng function. Kailangan:

1) palawakin ang function sa isang Fourier series na may period , kung saan ay isang arbitrary na positibong numero;

2) isulat ang pagpapalawak sa pagitan, bumuo ng isang function at i-graph ang kabuuang kabuuan ng serye.

Desisyon: sa unang talata ito ay iminungkahi upang malutas ang problema sa pangkalahatang pananaw at ito ay napaka maginhawa! Magkakaroon ng pangangailangan - palitan lamang ang iyong halaga.

1) Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon . Sa kurso ng mga karagdagang aksyon, lalo na sa panahon ng pagsasama, ang "el" ay itinuturing na pare-pareho

Ang function ay pantay, na nangangahulugan na ito ay lumalawak sa isang seryeng Fourier sa mga cosine lamang: .

Ang mga fourier coefficient ay hinahanap ng mga formula . Bigyang-pansin ang kanilang ganap na mga pakinabang. Una, ang pagsasama ay isinasagawa sa positibong bahagi ng pagpapalawak, na nangangahulugan na ligtas nating mapupuksa ang module , isinasaalang-alang lamang ang "x" mula sa dalawang piraso. At, pangalawa, ang pagsasama ay kapansin-pansing pinasimple.

Dalawa:

Pagsasama ayon sa mga bahagi:

kaya:
, habang ang constant , na hindi nakadepende sa "en", ay kinuha sa kabuuan.

Sagot:

2) Isulat natin ang pagpapalawak sa pagitan , para dito, sa pangkalahatang pormula palitan ang nais na halaga ng kalahating ikot: