Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier. Pagpapalawak ng serye ng Fourier sa mga cosine
Na medyo boring na. At pakiramdam ko ay dumating na ang sandali kung kailan oras na upang kunin ang mga bagong de-latang kalakal mula sa mga strategic reserves ng teorya. Posible bang palawakin ang function sa isang serye sa ibang paraan? Halimbawa, ipahayag ang isang segment ng tuwid na linya sa mga tuntunin ng mga sine at cosine? Mukhang hindi kapani-paniwala, ngunit ang mga tila malayong pag-andar ay maaaring
"muling pagsasama". Bilang karagdagan sa mga pamilyar na degree sa teorya at kasanayan, may iba pang mga diskarte sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye.
Naka-on ang araling ito Makikilala natin ang trigonometric Fourier series, hipuin ang isyu ng convergence at sum nito, at, siyempre, susuriin natin ang maraming halimbawa ng pagpapalawak ng mga function sa Fourier series. Taos-puso kong nais na tawagan ang artikulong "Fourier Series for Dummies," ngunit ito ay hindi tapat, dahil ang paglutas ng mga problema ay mangangailangan ng kaalaman sa iba pang sangay ng pagsusuri sa matematika at ilang praktikal na karanasan. Samakatuwid, ang preamble ay magiging katulad ng pagsasanay sa astronaut =)
Una, dapat mong lapitan ang pag-aaral ng mga materyales sa pahina sa mahusay na anyo. Inaantok, pahinga at matino. Kung wala malakas na emosyon tungkol sa putol na paa ng hamster at mahuhumaling pag-iisip tungkol sa hirap ng buhay para sa aquarium fish. Ang seryeng Fourier ay hindi mahirap maunawaan, gayunpaman mga praktikal na gawain kailangan lang nila ng mas mataas na konsentrasyon ng atensyon - sa isip, dapat mong ganap na ihiwalay ang iyong sarili mula sa panlabas na stimuli. Ang sitwasyon ay pinalala ng katotohanan na walang madaling paraan upang suriin ang solusyon at sagot. Kaya, kung ang iyong kalusugan ay mas mababa sa average, pagkatapos ay mas mahusay na gumawa ng isang bagay na mas simple. Totoo ba.
Pangalawa, bago lumipad sa kalawakan kailangan mong pag-aralan ang panel ng instrumento sasakyang pangkalawakan. Magsimula tayo sa mga halaga ng mga pag-andar na dapat i-click sa makina:
Para sa anumang natural na halaga:
1) . Sa katunayan, ang sinusoid ay "tinatahi" ang x-axis sa bawat "pi":
. Kailan mga negatibong halaga argumento, ang resulta, siyempre, ay magiging pareho: .
2) . Ngunit hindi alam ng lahat ito. Ang cosine na "pi" ay katumbas ng isang "blinker":
Ang isang negatibong argumento ay hindi nagbabago sa bagay: 
.
Marahil sapat na iyon.
At pangatlo, mahal na cosmonaut corps, dapat ay kaya mo... pagsamahin.
Sa partikular, may kumpiyansa isubsume ang function sa ilalim ng differential sign, pagsamahin nang unti-unti at maging mapayapa kasama Formula ng Newton-Leibniz. Simulan natin ang mahahalagang pagsasanay bago ang paglipad. Hindi ko inirerekumenda na laktawan ito, upang hindi mawalan ng timbang sa ibang pagkakataon:
Halimbawa 1
Kalkulahin ang mga tiyak na integral
kung saan kumukuha ng mga natural na halaga.
Solusyon: Isinasagawa ang pagsasama sa variable na “x” at sa yugtong ito ang discrete variable na “en” ay itinuturing na pare-pareho. Sa lahat ng integral ilagay ang function sa ilalim ng differential sign:
Ang isang maikling bersyon ng solusyon na magandang i-target ay ganito ang hitsura:
Masanay na tayo:
Ang apat na natitirang puntos ay nasa iyong sarili. Subukang lapitan ang gawain nang may konsiyensya at isulat ang mga integral sa maikling paraan. Mga halimbawang solusyon sa pagtatapos ng aralin.
Pagkatapos isagawa ang mga pagsasanay na KALIDAD, nagsuot kami ng mga spacesuit
at naghahanda upang magsimula!
Pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Fourier sa pagitan
Isaalang-alang ang ilang function na iyon determinado hindi bababa sa isang yugto ng panahon (at posibleng para sa isang mas mahabang panahon). Kung ang function na ito ay maisasama sa pagitan, maaari itong palawakin sa trigonometriko Fourier serye:
, nasaan ang mga tinatawag na Fourier coefficients.
Sa kasong ito, tinawag ang numero panahon ng agnas, at ang numero ay kalahating buhay ng agnas.
Malinaw na sa pangkalahatang kaso ang serye ng Fourier ay binubuo ng mga sine at cosine: 
Sa katunayan, isulat natin ito nang detalyado:
Ang zero term ng serye ay karaniwang nakasulat sa anyo.
Ang mga fourier coefficient ay kinakalkula gamit ang mga sumusunod na formula: 
Naiintindihan kong lubos na ang mga nagsisimulang mag-aral ng paksa ay hindi pa rin malinaw tungkol sa mga bagong termino: panahon ng agnas, kalahating ikot, Fourier coefficients atbp. Huwag mag-panic, hindi ito maihahambing sa excitement bago pumunta sa outer space. Unawain natin ang lahat sa sumusunod na halimbawa, bago isagawa kung saan ito ay lohikal na magtanong ng pagpindot sa mga praktikal na katanungan:
Ano ang kailangan mong gawin sa mga sumusunod na gawain?
Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier. Bukod pa rito, madalas na kinakailangan upang ilarawan ang isang graph ng isang function, isang graph ng kabuuan ng isang serye, isang bahagyang kabuuan, at sa kaso ng mga sopistikadong pantasyang propesor, gumawa ng iba pa.
Paano palawakin ang isang function sa isang serye ng Fourier?
Mahalaga, kailangan mong hanapin Fourier coefficients, ibig sabihin, bumuo at kalkulahin ang tatlo tiyak na integral.
Mangyaring kopyahin ang pangkalahatang anyo ng seryeng Fourier at ang tatlong gumaganang formula sa iyong kuwaderno. Ako ay natutuwa na ang ilang mga bisita sa site ay napagtanto ang kanilang pagkabata pangarap na maging isang astronaut sa harapan ko mismo =)
Halimbawa 2
Palawakin ang function sa isang Fourier series sa pagitan. Bumuo ng isang graph, isang graph ng kabuuan ng serye at ang bahagyang kabuuan.
Solusyon: Ang unang bahagi ng gawain ay upang palawakin ang function sa isang seryeng Fourier.
Ang simula ay pamantayan, siguraduhing isulat iyon:
Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak ay kalahating panahon.
Palawakin natin ang function sa isang seryeng Fourier sa pagitan: 
Gamit ang naaangkop na mga formula, nakita namin Fourier coefficients. Ngayon kailangan nating bumuo at kalkulahin ang tatlo tiyak na integral. Para sa kaginhawahan, bibilangin ko ang mga puntos:
1) Ang unang integral ay ang pinakasimple, gayunpaman, nangangailangan din ito ng eyeballs: 
2) Gamitin ang pangalawang formula:
Ang integral na ito ay kilala at kinukuha niya ito nang paisa-isa: 
Ginamit kapag natagpuan paraan ng pag-subsuming ng isang function sa ilalim ng differential sign.
Sa gawaing isinasaalang-alang, mas maginhawang gamitin kaagad formula para sa pagsasama ng mga bahagi sa isang tiyak na integral 
:
Isang pares ng mga teknikal na tala. Una, pagkatapos ilapat ang formula ang buong expression ay dapat na nakapaloob sa malalaking bracket, dahil may pare-pareho bago ang orihinal na integral. Huwag natin siyang mawala! Ang mga panaklong ay maaaring palawakin sa anumang karagdagang hakbang; Ginawa ko ito bilang isang huling paraan. Sa unang "piraso" 
Nagpapakita kami ng labis na pangangalaga sa pagpapalit tulad ng nakikita mo, hindi ginagamit ang pare-pareho, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay pinapalitan sa produkto. Ang aksyon na ito ay naka-highlight sa mga square bracket. Well, pamilyar ka sa integral ng pangalawang "piraso" ng formula mula sa gawain sa pagsasanay;-)
At pinaka-mahalaga - matinding konsentrasyon!
3) Hinahanap namin ang ikatlong Fourier coefficient:
Ang isang kamag-anak ng nakaraang integral ay nakuha, na kung saan ay din unti-unting nagsasama:
Ang pagkakataong ito ay medyo mas kumplikado, magkokomento ako sa mga karagdagang hakbang nang hakbang-hakbang: 
(1) Ang expression ay ganap na nakapaloob sa malalaking bracket. Ayokong magmukhang boring, madalas silang nawawalan ng pare-pareho.
(2) Sa kasong ito, agad kong binuksan ang malalaking panaklong ito. Espesyal na atensyon Inilalaan namin ang aming pansin sa unang "piraso": ang patuloy na usok sa gilid at hindi nakikilahok sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama (at) sa produkto. Dahil sa kalat ng pag-record, ipinapayong muli na i-highlight ang pagkilos na ito gamit ang mga square bracket. Gamit ang pangalawang "piraso" 
ang lahat ay mas simple: dito lumitaw ang bahagi pagkatapos ng pagbubukas ng malalaking panaklong, at ang pare-pareho - bilang isang resulta ng pagsasama ng pamilyar na integral;-)
(3) Nagsasagawa kami ng mga pagbabago sa mga square bracket, at sa tamang integral ay pinapalitan namin ang mga limitasyon ng pagsasama.
(4) Inalis namin ang "flashing light" mula sa mga square bracket: , at pagkatapos ay buksan ang mga panloob na bracket: .
(5) Kinansela namin ang 1 at –1 sa mga bracket at gumagawa ng mga panghuling pagpapasimple.
Sa wakas, lahat ng tatlong Fourier coefficient ay matatagpuan: 
I-substitute natin sila sa formula 
:
Kasabay nito, huwag kalimutang hatiin sa kalahati. Sa huling hakbang, ang pare-pareho ("minus dalawa"), na hindi nakasalalay sa "en," ay kinuha sa labas ng kabuuan.
Kaya, nakuha namin ang pagpapalawak ng function sa isang serye ng Fourier sa pagitan: 
Pag-aralan natin ang isyu ng convergence ng seryeng Fourier. Ipapaliwanag ko ang teorya, sa partikular Ang teorama ni Dirichlet, literal na "sa mga daliri", kaya kung kailangan mo ng mahigpit na formulations, mangyaring sumangguni sa aklat-aralin sa mathematical analysis (halimbawa, ang 2nd volume ng Bohan; o ang 3rd volume ng Fichtenholtz, ngunit ito ay mas mahirap).
Ang ikalawang bahagi ng problema ay nangangailangan ng pagguhit ng isang graph, isang graph ng kabuuan ng isang serye, at isang graph ng isang bahagyang kabuuan.
Ang graph ng function ay ang karaniwan tuwid na linya sa isang eroplano, na iginuhit ng isang itim na tuldok na linya: 
Alamin natin ang kabuuan ng serye. Tulad ng alam mo, ang serye ng function ay nagtatagpo sa mga function. Sa aming kaso, ang itinayong serye ng Fourier 
para sa anumang halaga ng "x" ay magsasama sa function, na ipinapakita sa pula. Ang function na ito nagtitiis ruptures ng 1st kind sa mga punto, ngunit tinukoy din sa kanila (mga pulang tuldok sa pagguhit)
kaya: 
. Madaling makita na ito ay kapansin-pansing naiiba sa orihinal na pag-andar, kaya naman sa entry 
Ang isang tilde ay ginagamit sa halip na isang katumbas na tanda.
Pag-aralan natin ang isang algorithm na maginhawa para sa pagbuo ng kabuuan ng isang serye.
Sa gitnang agwat, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mismong function (ang gitnang pulang segment ay kasabay ng itim na tuldok na linya ng linear na function).
Ngayon ay pag-usapan natin nang kaunti ang katangian ng trigonometriko na pagpapalawak na isinasaalang-alang. Fourier serye 
mga periodic function lang (constant, sines at cosines) ang kasama, kaya ang kabuuan ng series 
ay isa ring periodic function.
Ano ang ibig sabihin nito sa ating tiyak na halimbawa? At ito ay nangangahulugan na ang kabuuan ng serye 
–kinakailangang pana-panahon at ang pulang bahagi ng pagitan ay dapat na paulit-ulit na walang katapusang sa kaliwa at kanan.
Sa tingin ko ang kahulugan ng pariralang "panahon ng agnas" ay naging malinaw na ngayon. Sa madaling salita, sa tuwing paulit-ulit ang sitwasyon.
Sa pagsasagawa, kadalasan ay sapat na upang ilarawan ang tatlong panahon ng agnas, tulad ng ginagawa sa pagguhit. Well, at pati na rin ang "mga tuod" ng mga kalapit na panahon - upang malinaw na ang graph ay nagpapatuloy.
Ang partikular na interes ay mga discontinuity point ng 1st kind. Sa ganitong mga punto, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mga nakahiwalay na halaga, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng "tumalon" ng discontinuity (mga pulang tuldok sa pagguhit). Paano malalaman ang ordinate ng mga puntong ito? Una, hanapin natin ang ordinate ng "itaas na palapag": para magawa ito, kinakalkula natin ang halaga ng function sa pinakakanang punto ng gitnang panahon ng pagpapalawak: . Upang kalkulahin ang ordinate ng "lower floor" ang pinakamadaling paraan ay ang gawin ang sukdulan kaliwang halaga ng parehong panahon: 
. Ang ordinate ng mean ay ang average arithmetic sum"taas at baba": . Ang isang kaaya-ayang katotohanan ay kapag gumagawa ng isang guhit, makikita mo kaagad kung ang gitna ay kinakalkula nang tama o hindi tama.
Bumuo tayo ng isang bahagyang kabuuan ng serye at sabay na ulitin ang kahulugan ng terminong "tagpo." Ang motibo ay kilala rin mula sa aralin tungkol sa kabuuan ng isang serye ng numero. Ilarawan natin nang detalyado ang ating kayamanan:
Upang bumuo ng isang bahagyang kabuuan, kailangan mong magsulat ng zero + dalawa pang termino ng serye. Yan ay,
Ipinapakita ng drawing ang graph ng function berde, at, tulad ng nakikita mo, "binalot" nito ang buong halaga nang mahigpit. Kung isasaalang-alang namin ang isang bahagyang kabuuan ng limang termino ng serye, kung gayon ang graph ng function na ito ay tinatantya ang mga pulang linya nang mas tumpak, kung mayroong isang daang termino, kung gayon ang "berdeng ahas" ay talagang ganap na sumanib sa mga pulang segment; atbp. Kaya, ang seryeng Fourier ay nagtatagpo sa kabuuan nito.
Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang anumang bahagyang halaga ay tuluy-tuloy na pag-andar, gayunpaman, ang kabuuang kabuuan ng serye ay hindi pa rin nagpapatuloy.
Sa pagsasagawa, hindi gaanong bihira ang bumuo ng isang bahagyang sum graph. Paano ito gagawin? Sa aming kaso, kinakailangang isaalang-alang ang pag-andar sa segment, kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa mga intermediate na punto (mas maraming puntos ang iyong isinasaalang-alang, mas tumpak ang graph). Pagkatapos ay dapat mong markahan ang mga puntong ito sa pagguhit at maingat na gumuhit ng isang graph sa panahon, at pagkatapos ay "kopyahin" ito sa mga katabing agwat. Paano pa? Tutal, lumalapit din pana-panahong pag-andar… …sa ilang mga paraan, ang kanyang graph ay nagpapaalala sa akin ng isang makinis na ritmo ng puso sa pagpapakita ng isang medikal na aparato.
Ang pagsasagawa ng konstruksiyon, siyempre, ay hindi masyadong maginhawa, dahil kailangan mong maging maingat, na mapanatili ang katumpakan ng hindi bababa sa kalahating milimetro. Gayunpaman, pasayahin ko ang mga mambabasa na hindi komportable sa pagguhit - sa isang "tunay" na problema ay hindi palaging kinakailangan na magsagawa ng pagguhit sa halos 50% ng mga kaso kinakailangan upang palawakin ang pag-andar sa isang serye ng Fourier at iyon lang .
Matapos makumpleto ang pagguhit, nakumpleto namin ang gawain:
Sagot: 
Sa maraming mga gawain ang pag-andar ay naghihirap pagkalagot ng 1st kind sa panahon mismo ng agnas:
Halimbawa 3
Palawakin ang function na ibinigay sa pagitan sa isang seryeng Fourier. Gumuhit ng graph ng function at ang kabuuang kabuuan ng serye.
Ang iminungkahing function ay tinukoy sa isang hiwa-hiwalay na paraan (at, tandaan, sa segment lang) at nagtitiis pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Posible bang kalkulahin ang Fourier coefficients? Walang problema. Parehong ang kaliwa at kanang bahagi ng function ay pinagsama-sama sa kanilang mga pagitan, samakatuwid ang mga integral sa bawat isa sa tatlong mga formula ay dapat na kinakatawan bilang ang kabuuan ng dalawang integral. Tingnan natin, halimbawa, kung paano ito ginagawa para sa isang zero coefficient:
Ang pangalawang integral pala katumbas ng zero, na nagbawas sa trabaho, ngunit hindi ito palaging nangyayari.
Ang iba pang dalawang Fourier coefficient ay inilarawan nang katulad.
Paano ipakita ang kabuuan ng isang serye? Sa kaliwang pagitan ay gumuhit kami ng isang tuwid na segment ng linya, at sa pagitan - isang tuwid na segment ng linya (i-highlight namin ang seksyon ng axis sa bold at bold). Iyon ay, sa pagitan ng pagpapalawak, ang kabuuan ng serye ay tumutugma sa pag-andar sa lahat ng dako maliban sa tatlong "masamang" puntos. Sa discontinuity point ng function, ang Fourier series ay magko-converge sa isang nakahiwalay na value, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng "jump" ng discontinuity. Hindi mahirap makita ito nang pasalita: kaliwang panig na limitasyon: , kanang panig na limitasyon: 
at, malinaw naman, ang ordinate ng midpoint ay 0.5.
Dahil sa periodicity ng kabuuan, ang larawan ay dapat na "multiplied" sa mga katabing mga panahon, sa partikular, ang parehong bagay ay dapat na ilarawan sa mga pagitan at . Kasabay nito, sa mga punto ang serye ng Fourier ay magsasama-sama sa mga halagang panggitna.
Sa totoo lang, wala namang bago dito.
Subukang makayanan ang gawaing ito sa iyong sarili. Isang tinatayang sample ng huling disenyo at isang guhit sa pagtatapos ng aralin.
Pagpapalawak ng isang function sa isang seryeng Fourier sa isang arbitrary na panahon
Para sa isang arbitrary na panahon ng agnas, kung saan ang "el" ay anuman positibong numero, ang mga formula ng Fourier series at Fourier coefficient ay naiiba sa isang bahagyang kumplikadong argumento para sa sine at cosine:
Kung , pagkatapos ay makuha namin ang mga formula ng pagitan kung saan kami nagsimula.
Ang algorithm at mga prinsipyo para sa paglutas ng problema ay ganap na napanatili, ngunit ang teknikal na pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon ay nagdaragdag:
Halimbawa 4
Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier at i-plot ang kabuuan. 
Solusyon: talagang isang analogue ng Halimbawa No. 3 na may pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak ay kalahating panahon. Ang pag-andar ay tinukoy lamang sa kalahating pagitan, ngunit hindi nito binabago ang bagay - mahalaga na ang parehong mga piraso ng pag-andar ay mapagsasama.
Palawakin natin ang function sa isang seryeng Fourier:
Dahil ang function ay hindi nagpapatuloy sa pinanggalingan, ang bawat Fourier coefficient ay dapat na malinaw na nakasulat bilang kabuuan ng dalawang integral:
1) Isusulat ko ang unang integral sa mas maraming detalye hangga't maaari:
2) Maingat nating tinitingnan ang ibabaw ng Buwan:
Pangalawang integral kunin ito ng pira-piraso:
Ano ang dapat hanapin malapit na pansin, pagkatapos naming buksan ang pagpapatuloy ng solusyon na may asterisk?
Una, hindi natin nawawala ang unang integral 
, kung saan agad naming pinaandar pag-subscribe sa differential sign. Pangalawa, huwag kalimutan ang malas na pare-pareho bago ang malaking bracket at huwag malito sa mga palatandaan kapag gumagamit ng formula 
. Ang mga malalaking bracket ay mas maginhawa pa ring buksan kaagad sa susunod na hakbang.
Ang natitira ay isang bagay ng pamamaraan;
Oo, hindi para sa wala na ang mga kilalang kasamahan ng Pranses na matematiko na si Fourier ay nagalit - paano siya nangahas na ayusin ang mga pag-andar sa mga seryeng trigonometriko?! =) Siyanga pala, malamang lahat ay interesado sa praktikal na kahulugan ng gawaing pinag-uusapan. Si Fourier mismo ay nagtrabaho sa isang matematikal na modelo ng thermal conductivity, at pagkatapos ang seryeng pinangalanan sa kanya ay nagsimulang gamitin upang pag-aralan ang maraming pana-panahong proseso, na nakikita at hindi nakikita sa nakapaligid na mundo. Ngayon, sa pamamagitan ng paraan, nahuli ko ang aking sarili na iniisip na hindi nagkataon na inihambing ko ang graph ng pangalawang halimbawa sa pana-panahong ritmo ng puso. Ang mga interesado ay maaaring pamilyar sa kanilang sarili praktikal na aplikasyon Fourier na pagbabago sa mga mapagkukunan ng third party. ...Bagama't mas mabuting hindi - ito ay maaalala bilang Unang Pag-ibig =)
3) Isinasaalang-alang ang paulit-ulit na binanggit na mahina na mga link, tingnan natin ang ikatlong koepisyent:
Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi: 
Ipalit natin ang natagpuang Fourier coefficients sa formula 
, hindi nakakalimutang hatiin ang zero coefficient sa kalahati:
I-plot natin ang kabuuan ng serye. Ulitin natin sandali ang pamamaraan: gumagawa tayo ng isang tuwid na linya sa isang pagitan, at isang tuwid na linya sa isang pagitan. Kung ang "x" na halaga ay zero, naglalagay kami ng isang punto sa gitna ng "jump" ng gap at "kopyahin" ang graph para sa mga kalapit na panahon: 
Sa "mga junction" ng mga yugto, ang kabuuan ay magiging katumbas din ng mga midpoint ng "jump" ng gap.
handa na. Ipaalala ko sa iyo na ang mismong function ay ayon sa kundisyon na tinukoy lamang sa kalahating pagitan at, malinaw naman, tumutugma sa kabuuan ng serye sa mga pagitan
Sagot:
Minsan ang isang piecewise na ibinigay na function ay tuloy-tuloy sa panahon ng pagpapalawak. Ang pinakasimpleng halimbawa: 
. Solusyon (tingnan ang Bohan volume 2) katulad ng sa dalawang naunang halimbawa: sa kabila pagpapatuloy ng pag-andar sa punto , ang bawat Fourier coefficient ay ipinahayag bilang kabuuan ng dalawang integral.
Sa pagitan ng agnas mga discontinuity point ng 1st kind at/o maaaring may higit pang "junction" na mga punto ng graph (dalawa, tatlo at sa pangkalahatan ay anuman pangwakas dami). Kung ang isang function ay integrable sa bawat bahagi, ito ay napapalawak din sa isang Fourier series. Ngunit mula sa praktikal na karanasan ay hindi ko naaalala ang isang malupit na bagay. Gayunpaman, may mga mas mahirap na gawain kaysa sa mga napag-isipan pa lang, at sa dulo ng artikulo ay may mga link sa serye ng Fourier na mas kumplikado para sa lahat.
Pansamantala, magpahinga tayo, sumandal sa ating mga upuan at pagnilayan ang walang katapusang kalawakan ng mga bituin:
Halimbawa 5
Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier sa pagitan at i-plot ang kabuuan ng serye.
Sa problemang ito ang function tuloy-tuloy sa kalahating pagitan ng pagpapalawak, na pinapasimple ang solusyon. Ang lahat ay halos kapareho sa Halimbawa Blg. 2. Walang pagtakas mula sa sasakyang pangkalawakan - kailangan mong magpasya =) Isang tinatayang sample ng disenyo sa pagtatapos ng aralin, may nakalakip na iskedyul.
Fourier serye pagpapalawak ng kahit at kakaiba function
Sa pantay at kakaibang mga pag-andar, ang proseso ng paglutas ng problema ay kapansin-pansing pinasimple. At dahil jan. Bumalik tayo sa pagpapalawak ng isang function sa isang seryeng Fourier na may panahon na "dalawang pi" 
at arbitrary na panahon "dalawang el" 
.
Ipagpalagay natin na ang ating function ay pantay. Ang pangkalahatang termino ng serye, tulad ng nakikita mo, ay naglalaman ng kahit na mga cosine at kakaibang sine. At kung kami ay nagpapalawak ng isang EVEN function, kung gayon bakit kailangan namin ng mga kakaibang sine?! I-reset natin ang hindi kinakailangang koepisyent: .
kaya, ang isang kahit na function ay maaaring palawakin sa isang seryeng Fourier sa mga cosine lamang:
Dahil ang integral ng even functions kasama ang isang integration segment na simetriko na may paggalang sa zero ay maaaring doblehin, pagkatapos ay ang natitirang Fourier coefficients ay pinasimple.
Para sa puwang: 
Para sa isang arbitrary na pagitan: 
Ang mga halimbawa ng aklat-aralin na makikita sa halos anumang aklat-aralin sa pagsusuri sa matematika ay kinabibilangan ng mga pagpapalawak ng kahit na mga function 
. Bilang karagdagan, ilang beses na silang nakatagpo sa aking personal na pagsasanay:
Halimbawa 6
Ang function ay ibinigay. Kailangan:
1) palawakin ang function sa isang Fourier series na may period , kung saan ay isang arbitrary na positibong numero;
2) isulat ang pagpapalawak sa pagitan, bumuo ng isang function at i-graph ang kabuuang kabuuan ng serye.
Solusyon: sa unang talata ito ay iminungkahi upang malutas ang problema sa pangkalahatang pananaw, at ito ay napaka-maginhawa! Kung kinakailangan, palitan lamang ang iyong halaga.
1) Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak ay kalahating panahon. Sa mga karagdagang aksyon, lalo na sa panahon ng pagsasama, ang "el" ay itinuturing na pare-pareho
Ang pag-andar ay pantay, na nangangahulugang maaari itong mapalawak sa isang serye ng Fourier sa mga cosine lamang: 
.
Hinahanap namin ang mga Fourier coefficient gamit ang mga formula 
. Bigyang-pansin ang kanilang walang kondisyon na mga pakinabang. Una, ang pagsasama ay isinasagawa sa positibong bahagi ng pagpapalawak, na nangangahulugang ligtas nating mapupuksa ang module 
, isinasaalang-alang lamang ang "X" ng dalawang piraso. At, pangalawa, ang pagsasama ay kapansin-pansing pinasimple.
Dalawa: 
Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi:
kaya:
, habang ang pare-pareho , na hindi nakasalalay sa "en", ay kinuha sa labas ng kabuuan.
Sagot: 
2) Isulat natin ang pagpapalawak sa pagitan;
Maraming mga prosesong nagaganap sa kalikasan at teknolohiya ay madalas na umuulit sa ilang mga sarili sa ilang mga agwat. Ang ganitong mga proseso ay tinatawag na periodic at mathematically na inilalarawan ng periodic functions. Kabilang sa mga naturang function kasalanan(x) , cos(x) , kasalanan(wx), cos(wx) . Ang kabuuan ng dalawang periodic function, halimbawa, isang function ng form , sa pangkalahatan, hindi na pana-panahon. Pero mapapatunayan na kung ang relasyon w 1 / w 2 ay isang rational na numero, kung gayon ang kabuuan na ito ay isang periodic function.
Ang pinakasimpleng pana-panahong proseso - mga harmonic oscillations - ay inilarawan ng mga pana-panahong pag-andar kasalanan(wx) At cos(wx). Ang mas kumplikadong mga pana-panahong proseso ay inilalarawan ng mga function na binubuo ng alinman sa isang may hangganan o isang walang katapusang bilang ng mga termino ng form kasalanan(wx) At cos(wx).
3.2. Serye ng trigonometric. Fourier coefficients
Isaalang-alang natin ang isang functional na serye ng form:
Ang seryeng ito ay tinatawag na trigonometriko; numero A 0 , b 0 , a 1 , b 1 ,A 2 , b 2 …, a n , b n ,… ay tinatawag coefficients serye ng trigonometriko. Ang serye (1) ay kadalasang isinusulat tulad ng sumusunod:
.
(2)
Dahil ang mga miyembro ng trigonometriko serye (2) ay may isang karaniwang panahon 
, kung gayon ang kabuuan ng serye, kung ito ay nagtatagpo, ay isa ring periodic function na may period 
.
Ipagpalagay natin na ang function f(x) ay ang kabuuan ng seryeng ito:
.
(3)
Sa kasong ito sinasabi nila na ang function f(x)
ay pinalawak sa isang trigonometrikong serye. Ipagpalagay na ang seryeng ito ay pantay na nagtatagpo sa pagitan 
, maaari mong matukoy ang mga coefficient nito gamit ang mga formula:
, 
,
.
(4)
Ang mga coefficient ng serye na tinutukoy ng mga formula na ito ay tinatawag Fourier coefficients.
Trigonometric series (2), ang mga coefficient nito ay tinutukoy ng Fourier formula (4), ay tinatawag malapit sa Fourier, naaayon sa function f(x).
Kaya, kung ang isang pana-panahong pag-andar f(x) ay ang kabuuan ng isang convergent trigonometric series, pagkatapos ang seryeng ito ay ang Fourier series nito.
3.3. Convergence ng Fourier series
Ang mga formula (4) ay nagpapakita na ang mga Fourier coefficient ay maaaring kalkulahin para sa anumang integrable sa pagitan 
-pana-panahong pag-andar, ibig sabihin. Para sa naturang function maaari kang palaging bumuo ng isang serye ng Fourier. Ngunit magtatagpo ba ang seryeng ito sa function f(x)
at sa ilalim ng anong mga kondisyon?
Alalahanin na ang function f(x), tinukoy sa segment [ a; b] , ay tinatawag na piecewise smooth kung ito at ang derivative nito ay may hindi hihigit sa isang may hangganang bilang ng mga discontinuity point ng unang uri.
Ang sumusunod na theorem ay nagbibigay ng sapat na mga kondisyon para sa pagkabulok ng isang function sa isang Fourier series.
Ang teorama ni Dirichlet.
Hayaan 
-pana-panahong pag-andar f(x)
ay piecewise smooth on 
. Pagkatapos ang seryeng Fourier nito ay nagtatagpo sa f(x)
sa bawat punto ng pagpapatuloy nito at sa halaga 0,5(f(x+0)+
f(x-0))
sa breaking point.
Halimbawa 1.
Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier f(x)=
x, na tinukoy sa pagitan 
.
Solusyon. Ang function na ito ay nakakatugon sa mga kundisyon ng Dirichlet at, samakatuwid, ay maaaring palawakin sa isang seryeng Fourier. Paggamit ng mga formula (4) at ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi 
, hanapin natin ang mga Fourier coefficients:
Kaya, ang Fourier series para sa function f(x) may hitsura.
Transcript
1 MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE RF NOVOSIBIRSK STATE UNIVERSITY FACULTY OF PHYSICS R. K. Belkheeva FOURIER SERIES IN EXAMPLES AND PROBLEMS Textbook Novosibirsk 211
2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R.K. Fourier series sa mga halimbawa at problema: Textbook / Novosibirsk. estado univ. Novosibirsk, s. ISBN B aklat-aralin Ang pangunahing impormasyon tungkol sa serye ng Fourier ay ipinakita, ang mga halimbawa ay ibinigay para sa bawat paksang pinag-aralan. Ang isang halimbawa ng aplikasyon ng pamamaraang Fourier sa paglutas ng problema ng transverse vibrations ng isang string ay nasuri nang detalyado. Ibinigay ang materyal sa paglalarawan. May mga gawain para sa malayang desisyon. Inilaan para sa mga mag-aaral at guro ng Faculty of Physics ng NSU. Nai-publish sa pamamagitan ng desisyon ng methodological commission ng Faculty of Physics ng NSU. Tagasuri: Dr. Phys.-Math. Sci. V. A. Aleksandrov Ang manwal ay inihanda bilang bahagi ng pagpapatupad ng NRU-NSU Development Program para sa mga taon. ISBN mula sa Novosibirsk Pambansang Unibersidad, 211 c Belkheeva R.K., 211
3 1. Pagpapalawak ng isang 2π-periodic function sa isang Fourier series Definition. Ang Fourier series ng function f(x) ay ang functional series a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) kung saan ang mga coefficients a n, b n ay kinakalkula gamit ang mga formula: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Ang mga formula (2) (3) ay tinatawag na Euler Fourier formula. Ang katotohanan na ang function na f(x) ay tumutugma sa Fourier series (1) ay nakasulat bilang formula f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) at sinasabing kanang bahagi Ang formula (4) ay isang pormal na serye ng Fourier ng function na f(x). Sa madaling salita, ang formula (4) ay nangangahulugan lamang na ang mga coefficient a n, b n ay natagpuan gamit ang mga formula (2), (3). 3
4 Kahulugan. Ang 2π-periodic function na f(x) ay tinatawag na piecewise smooth kung may hangganan na bilang ng mga puntos = x sa pagitan [, π]< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4
5 Fig. 1. Graph ng function f(x) Kalkulahin ang Fourier coefficients a = 1 π f(x) dx = 1 π x 2 2 π = π, a n = 1 π f(x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, para sa n odd, para sa n even, f(x ) sin nxdx =, dahil ang function na f(x) ay pantay. Isulat natin ang pormal na serye ng Fourier para sa function na f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.
6 Alamin natin kung ang function na f(x) ay piecewise smooth. Dahil ito ay tuluy-tuloy, kinakalkula lamang namin ang mga limitasyon (6) sa mga dulong punto ng pagitan x = ±π at sa break point x = : at f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Ang mga limitasyon ay umiiral at may hangganan, samakatuwid ang function ay piecewise smooth. Sa pamamagitan ng pointwise convergence theorem, ang Fourier series nito ay nagtatagpo sa numerong f(x) sa bawat punto, ibig sabihin, f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Sa Fig. Ipinapakita ng 2, 3 ang katangian ng approximation ng mga partial sums ng Fourier series S n (x), kung saan S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1 sa function f(x) ) sa pagitan [, π] . 6
7 Fig. 2. Graph ng function na f(x) na may mga superimposed na graph ng mga partial sums S (x) = a 2 at S 1(x) = a 2 + a 1 cos x Fig. 3. Graph ng function na f(x) na may graph ng partial sum na nakapatong dito S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7
8 Ang pagpapalit ng x = sa (7) ay nakukuha natin: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, mula sa kung saan makikita natin ang kabuuan ng serye ng numero: = π2 8. Alam ang kabuuan ng seryeng ito, ito ay madaling mahanap ang sumusunod na kabuuan Mayroon kaming: S = ( ) S = ()= π S, samakatuwid S = π2 6, iyon ay, 1 n = π Ang kabuuan ng sikat na seryeng ito ay unang natuklasan ni Leonhard Euler. Madalas itong matatagpuan sa mathematical analysis at mga aplikasyon nito. HALIMBAWA 2. Gumuhit tayo ng graph at hanapin ang Fourier series ng isang function na ibinigay ng formula f(x) = x para sa x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8
9 Fig. 4. Graph ng function na f(x) Ang function na f(x) ay patuloy na naiba sa pagitan (, π). Sa mga puntong x = ±π, mayroon itong mga limitasyon (5): f() =, f(π) = π. Bilang karagdagan, may mga may hangganang limitasyon (6): f(+ h) f(+) lim = 1 at h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Kaya, ang f(x) ay piecewise smooth function. Dahil ang function na f(x) ay kakaiba, kung gayon a n =. Nahanap natin ang mga coefficients b n sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ 1. n Bumuo tayo ng isang pormal na serye ng Fourier ng function na 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =
10 Ayon sa theorem sa pointwise convergence ng isang piecewise smooth 2π-periodic function, ang Fourier series ng function na f(x) ay nagtatagpo sa kabuuan: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x, kung π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1
11 Fig. 6. Graph ng function na f(x) na may graph ng partial sum S 2 (x) na nakapatong sa Fig. 7. Graph ng function na f(x) na may graph ng partial sum S 3 (x) 11 na nakapatong dito
12 Fig. 8. Graph ng function na f(x) na may graph ng partial sum na S 99 (x) na nakapatong dito. Ilagay natin ang x = π/2 sa (8). Pagkatapos ay 2 () +... = π 2, o = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Madali naming nahanap ang kabuuan ng sikat na serye ng Leibniz. Paglalagay ng x = π/3 sa (8), makikita natin ang () +... = π 2 3, o (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k
13 HALIMBAWA 3. Gumuhit tayo ng graph, hanapin ang Fourier series ng function na f(x) = sin x, sa pag-aakalang mayroon itong period na 2π, at 1 kalkulahin ang kabuuan ng serye ng numero 4n 2 1. Solusyon. Ang graph ng function na f(x) ay ipinapakita sa Fig. 9. Malinaw, ang f(x) = sin x ay isang tuluy-tuloy na even function na may period π. Ngunit ang 2π ay ang panahon din ng function na f(x). kanin. 9. Graph ng function na f(x) Kalkulahin natin ang Fourier coefficients. Lahat b n = dahil pantay ang function. Gamit ang mga trigonometrikong formula, kinakalkula namin ang a n para sa n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 kung n = 2k, = π n 2 1 kung n = 2k
14 Ang pagkalkula na ito ay hindi nagpapahintulot sa amin na mahanap ang koepisyent a 1, dahil sa n = 1 ang denominator ay napupunta sa zero. Samakatuwid, direkta naming kinakalkula ang koepisyent a 1: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Dahil ang f(x) ay patuloy na naiba-iba sa (,) at (, π) at sa mga puntong kπ, (k ay isang integer), may mga hangganan na limitasyon (5) at (6), kung gayon ang Fourier series ng function ay nagtatagpo dito sa bawat punto: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Ipinapakita ng figure ang katangian ng approximation ng function na f(x) sa pamamagitan ng mga bahagyang kabuuan ng seryeng Fourier.. (9) Fig. 1. Graph ng function na f(x) na may graph ng partial sum S (x) 14 na nakapatong dito
15 Fig. 11. Graph ng function na f(x) na may graph ng partial sum S 1 (x) na nakapatong sa Fig. 12. Graph ng function na f(x) na may graph ng partial sum S 2 (x) na nakapatong sa Fig. 13. Graph ng function na f(x) na may graph ng partial sum S 99 (x) 15 na nakapatong dito
16 1 Kalkulahin ang kabuuan ng serye ng numero. Upang gawin ito, ilagay ang 4n 2 1 sa (9) x =. Pagkatapos cosnx = 1 para sa lahat n = 1, 2,... at Samakatuwid, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. HALIMBAWA 4. Patunayan natin na kung piecewise smooth tuluy-tuloy na pag-andar natutugunan ng f(x) ang kundisyon f(x π) = f(x) para sa lahat ng x (i.e. ay π-periodic), pagkatapos ay a 2n 1 = b 2n 1 = para sa lahat ng n 1, at kabaliktaran, kung a 2n 1 = b 2n 1 = para sa lahat ng n 1, kung gayon ang f(x) ay π-periodic. Solusyon. Hayaang ang function na f(x) ay π-periodic. Kalkulahin natin ang Fourier coefficients nito a 2n 1 at b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) cos (2n 1)xdx. Sa unang integral gumawa tayo ng pagbabago ng variable x = t π: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16
17 Gamit ang katotohanang cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t at f(t π) = f(t), nakukuha natin ang: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Ito ay pinatunayan sa katulad na paraan na b 2n 1 =. Sa kabaligtaran, hayaan ang a 2n 1 = b 2n 1 =. Dahil ang function na f(x) ay tuloy-tuloy, pagkatapos ay sa pamamagitan ng theorem sa representability ng isang function sa isang punto sa pamamagitan ng Fourier series nito, mayroon tayong Then f(x π) = = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n kasalanan 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), na nangangahulugan na ang f(x) ay isang π-periodic function. HALIMBAWA 5. Patunayan natin na kung ang isang piecewise smooth function na f(x) ay nakakatugon sa kundisyon f(x) = f(x) para sa lahat ng x, pagkatapos ay a = at a 2n = b 2n = para sa lahat ng n 1, at vice versa , kung a = a 2n = b 2n =, kung gayon f(x π) = f(x) para sa lahat ng x. Solusyon. Hayaang matugunan ng function na f(x) ang kundisyon f(x π) = f(x). Kalkulahin natin ang Fourier coefficients nito: 17
18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. Sa unang integral ay babaguhin natin ang variable na x = t π. Pagkatapos f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Gamit ang katotohanan na cos n(t π) = (1) n cosnt at f(t π) = f(t), nakukuha natin ang: a n = 1 π ((1) n) f(t) cost dt = kung n kahit, = 2 π f(t) cos nt dt, kung ang n ay kakaiba. π Ito ay katulad na napatunayan na b 2n =. Sa kabaligtaran, hayaan ang a = a 2n = b 2n =, para sa lahat ng n 1. Dahil ang function na f(x) ay tuloy-tuloy, kung gayon, sa pamamagitan ng theorem sa representability ng isang function sa isang punto ng Fourier series nito, ang equality f( x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). 18
19 Pagkatapos = f(x π) = = = f(x). HALIMBAWA 6. Pag-aralan natin kung paano i-extend ang isang function na f(x) integrable sa interval [, π/2] sa interval [, π], upang ang Fourier series nito ay may anyo: a 2n 1 cos(2n 1) x. (1) Solusyon. Hayaang ang function graph ay may form na ipinapakita sa Fig. 14. Dahil sa serye (1) a = a 2n = b 2n = para sa lahat ng n, pagkatapos ay mula sa halimbawa 5 sumusunod na ang function na f(x) ay dapat matugunan ang equality f(x π) = f(x) para sa lahat ng x . Ang pagmamasid na ito ay nagbibigay ng paraan upang palawigin ang function na f(x) sa pagitan [, /2]: f(x) = f(x+π), Fig. 15. Mula sa katotohanan na ang serye (1) ay naglalaman lamang ng mga cosine, napagpasyahan namin na ang pinalawak na function na f(x) ay dapat na kahit na (iyon ay, ang graph nito ay dapat na simetriko tungkol sa Oy axis), Fig.
20 Fig. 14. Graph ng function f(x) Fig. 15. Graph ng pagpapatuloy ng function na f(x) hanggang sa pagitan [, /2] 2
21 Kaya, ang kinakailangang function ay mayroong form na ipinapakita sa Fig. 16. Fig. 16. Graph ng pagpapatuloy ng function na f(x) para sa interval [, π] Upang buod, napagpasyahan namin na ang function ay dapat ipagpatuloy tulad ng sumusunod: f(x) = f(x), f(π x) = f (x), ibig sabihin, sa pagitan ng [π/2, π], ang graph ng function na f(x) ay sentral na simetriko na may kinalaman sa punto (π/2,), at sa pagitan ng [, π ], ang graph nito ay simetriko na may paggalang sa Oy axis. 21
22 PAGLALAHAT NG MGA HALIMBAWA 3 6 Hayaang l >. Isaalang-alang natin ang dalawang kundisyon: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. SA geometric na punto Sa mga tuntunin ng pagtingin, ang kundisyon (a) ay nangangahulugan na ang graph ng function na f(x) ay simetriko na may kinalaman sa patayong linyang x = l/2, at kundisyon (b) na ang graph ng f(x) ay sentral na simetriko na may paggalang sa punto (l/2;) sa abscissa axis. Kung gayon ang mga sumusunod na pahayag ay totoo: 1) kung ang function na f(x) ay pantay at ang kundisyon (a) ay nasiyahan, kung gayon b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) kung ang function na f(x) ay pantay at ang kundisyon (b) ay nasiyahan, kung gayon b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) kung ang function na f(x) ay kakaiba at ang kundisyon (a) ay nasiyahan, pagkatapos ay a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) kung ang function na f(x) ay kakaiba at kundisyon (b) ay nasiyahan, pagkatapos ay a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. MGA PROBLEMA Sa mga problema 1 7, gumuhit ng mga graph at hanapin ang serye ng Fourier para sa mga function, (ipagpalagay na mayroon silang panahon na 2π: kung< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22
23 ( 1 kung /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23
24 2. Pagpapalawak ng isang function na ibinigay sa pagitan [, π], sa mga sine lamang o sa mga cosine lamang Hayaang maibigay ang function na f sa pagitan [, π]. Sa pagnanais na palawakin ito sa pagitan na ito sa isang seryeng Fourier, una naming pinalawak ang f sa pagitan ng [, π] sa isang arbitrary na paraan, at pagkatapos ay ginagamit ang mga formula ng Fourier ni Euler. Ang arbitrariness sa pagpapatuloy ng isang function ay humahantong sa katotohanan na para sa parehong function f: [, π] R maaari tayong makakuha ng iba't ibang serye ng Fourier. Ngunit maaari mong gamitin ang arbitrariness na ito upang makakuha ng isang pagpapalawak lamang sa mga sine o lamang sa mga cosine: sa unang kaso ito ay sapat na upang magpatuloy f sa isang kakaibang paraan, at sa pangalawa sa isang kahit na paraan. Algoritmo ng solusyon 1. Ipagpatuloy ang function sa isang kakaibang (kahit) na paraan sa (,), at pagkatapos ay pana-panahong may panahon na 2π ipagpatuloy ang function sa buong axis. 2. Kalkulahin ang Fourier coefficients. 3. Buuin ang Fourier series ng function na f(x). 4. Suriin ang mga kondisyon para sa convergence ng serye. 5. Ipahiwatig ang function kung saan magsasama-sama ang seryeng ito. HALIMBAWA 7. Palawakin natin ang function na f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис
25 Fig. 17. Graph ng pinalawig na function Malinaw na ang function na f (x) ay piecewise smooth. Kalkulahin natin ang Fourier coefficients: a n = para sa lahat n dahil ang function na f (x) ay kakaiba. Kung n 1, kung gayon b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, kung n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n, kung n = 2k. π n 2 1 Kapag n = 1 sa mga nakaraang kalkulasyon, ang denominator ay napupunta sa zero, kaya ang koepisyent b 1 ay maaaring direktang kalkulahin - 25
26 natural: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Buuin natin ang seryeng Fourier ng function na f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Dahil ang function na f (x) ay piecewise smooth, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pointwise convergence theorem ang Fourier series ng function na f (x) ay nagtatagpo sa kabuuan: cosx kung π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26
27 Fig. 18. Graph ng function na f (x) na may graph ng partial sum S 1 (x) na nakapatong sa Fig. 19. Graph ng function na f(x) na may graph ng partial sum S 2 (x) 27 na nakapatong dito
28 Fig. 2. Graph ng function na f (x) na may graph ng partial sum S 3 (x) na nakapatong dito Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 21 ang mga graph ng function na f (x) at ang partial sum S 99 (x) nito. kanin. 21. Graph ng function na f (x) na may graph ng partial sum S 99 (x) 28 na nakapatong dito
29 HALIMBAWA 8. Palawakin natin ang function na f(x) = e ax, a >, x [, π], sa isang Fourier series lamang sa mga cosine. Solusyon. Palawakin natin ang function nang pantay-pantay sa (,) (ibig sabihin, upang ang pagkakapantay-pantay na f(x) = f(x) ay humahawak para sa lahat ng x (, π)), at pagkatapos ay pana-panahong may panahon na 2π kasama ang buong linya ng numero. Nakukuha namin ang function f (x), ang graph kung saan ay ipinapakita sa Fig. 22. Function f (x) sa mga punto Fig. 22. Ang graph ng pinalawig na function f (x) x = kπ, k ay isang integer, ay may kinks. Kalkulahin natin ang Fourier coefficients: b n =, dahil ang f (x) ay pantay. Ang pagsasama ayon sa mga bahagi ay makakakuha tayo ng 29
30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosn ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax = cos π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Samakatuwid, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Dahil ang f (x) ay tuloy-tuloy, pagkatapos ay ayon sa pointwise convergence theorem ang Fourier series nito ay nagtatagpo sa f (x). Nangangahulugan ito na para sa lahat ng x [, π] mayroon tayong f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Ipinapakita ng mga figure ang unti-unting paglapit ng mga partial sums ng seryeng Fourier sa isang naibigay na hindi tuluy-tuloy na function. 3
31 Fig. 23. Mga graph ng mga function f (x) at S (x) Fig. 24. Mga graph ng mga function f (x) at S 1 (x) Fig. 25. Mga graph ng mga function f (x) at S 2 (x) Fig. 26. Mga graph ng mga function f (x) at S 3 (x) 31
32 Fig. 27. Mga graph ng mga function f (x) at S 4 (x) Fig. 28. Mga graph ng mga function f (x) at S 99 (x) PROBLEMA 9. Palawakin ang function f (x) = cos x, x π sa isang Fourier series sa mga cosine lamang. 1. Palawakin ang function na f(x) = e ax, a >, x π, sa isang Fourier series sa sines lang. 11. Palawakin ang function na f(x) = x 2, x π sa isang seryeng Fourier sa mga sine lamang. 12. Palawakin ang function na f(x) = sin ax, x π sa isang Fourier series sa mga cosine lamang. 13. Palawakin ang function na f(x) = x sin x, x π sa isang Fourier series sa sines lamang. Mga sagot 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32
33 12. Kung ang a ay hindi isang integer, kung gayon ang sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; kung ang a = 2m ay isang even na numero, kung gayon ang sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; kung ang a = 2m 1 ay isang positibong kakaibang numero, kung gayon ang sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Fourier series ng isang function na may arbitrary period Ipagpalagay na ang function na f(x) ay ibinigay sa interval [ l, l], l >. Sa paggawa ng pagpapalit ng x = ly, y π, nakukuha natin ang function na g(y) = f(ly/π), na tinukoy sa pagitan ng π [, π]. Ang function na ito g(y) ay tumutugma sa isang (pormal) Fourier series () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny), ang mga coefficient nito ay matatagpuan gamit ang Euler Fourier formula: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33
34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π Pagbabalik sa lumang variable, ibig sabihin, sa pag-aakalang sa nakasulat na mga formula y = πx/ l, nakukuha namin para sa function na f(x) isang trigonometriko serye ng bahagyang binagong anyo: kung saan f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Mga Formula (11) (13) ay sinasabing tumutukoy sa Fourier series expansion ng isang function na may arbitrary period. HALIMBAWA 9. Hanapin natin ang seryeng Fourier ng isang function na tinukoy sa pagitan (l, l) ng expression ( A, kung l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34
35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn =, kung n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn Gumawa tayo ng seryeng Fourier ng function na f (x) : f(x) A + B π (B A Dahil cosπn = (1) n, kung gayon n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l para sa n = 2k makuha natin ang b n = b 2k =, para sa n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).
36 Kaya naman f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Ayon sa pointwise convergence theorem, ang Fourier series ng function na f(x) nagtatagpo sa kabuuan A, kung l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).
37 Fig. 29. Graph ng function na f (x) na may mga harmonic graph na S (x) = a 2 at S 1 (x) = b 1 sinx na nakapatong dito. Para sa kalinawan, ang mga graph ng tatlong mas mataas na harmonics S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l at S 7 (x) = b 7 sin 7πx ay inilipat patayo pataas l 37
38 Fig. 3. Graph ng function na f(x) na may graph ng partial sum S 99 (x) na nakapatong sa Fig. 31. Fragment ng Fig. 3 sa ibang sukat 38
39 MGA PROBLEMA Sa mga problema, palawakin ang ipinahiwatig na mga function sa mga ibinigay na pagitan sa seryeng Fourier. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39
40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n 1) l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1)πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Complex form ng Fourier series Expansion f(x) = c n e inx, kung saan c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., ay tinatawag na kumplikadong anyo ng seryeng Fourier. Ang isang function ay pinalawak sa isang kumplikadong serye ng Fourier kung ang parehong mga kundisyon ay natutugunan kung saan ito ay pinalawak sa isang tunay na serye ng Fourier. 4
41 HALIMBAWA 1. Hanapin ang seryeng Fourier sa kumplikadong anyo ng function na ibinigay ng formula f(x) = e ax, sa pagitan [, π), kung saan ang a ay isang tunay na numero. Solusyon. Kalkulahin natin ang mga koepisyent: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Ang kumplikadong Fourier series ng function na f ay may anyong f(x) sinh aπ π n= (1) n a in einx. Siguraduhin natin na ang function na f(x) ay piecewise smooth: sa interval (, π) ito ay tuluy-tuloy na differentiable, at sa mga puntos na x = ±π may mga finite limits (5), (6) lim h + ea (+h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Dahil dito, ang function na f(x) ay maaaring katawanin ng Fourier series na sh aπ π n= (1) n a sa einx, na nagtatagpo sa kabuuan: ( e S(x) = ax kung π< x < π, ch a, если x = ±π. 41
42 HALIMBAWA 11. Hanapin ang seryeng Fourier sa kumplikado at tunay na anyo ng function na ibinigay ng formula f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, kung saan a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42
43 Alalahanin na ang kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad na may denominator q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43
44 Ngayon, hanapin natin ang seryeng Fourier sa totoong anyo. Upang gawin ito, pinapangkat namin ang mga termino na may mga numero n at n para sa n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Dahil c = 1, pagkatapos ay 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Ito ang seryeng Fourier sa totoong anyo ng function na f(x). Kaya, nang walang pagkalkula ng isang solong integral, natagpuan namin ang serye ng Fourier ng function. Kasabay nito, kinakalkula namin ang isang mahirap na integral depende sa parameter cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44
45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Palawakin natin ang bawat isa sa mga simpleng fraction gamit ang geometric progression formula: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Posible ito dahil az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, o, sa madaling sabi, c n = 1 2i a n sgnn. Kaya, natagpuan ang seryeng Fourier sa kumplikadong anyo. Sa pamamagitan ng pagpapangkat ng mga termino na may mga numero n at n nakukuha natin ang Fourier series ng function sa totoong anyo: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n = +) = c n e inx = a n sin nx. Muli naming nakalkula ang sumusunod na kumplikadong integral: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45
46 PROBLEMA 24. Gamit ang (15), kalkulahin ang integral cos nxdx 1 2a cosx + a 2 para sa real a, a > Gamit ang (16), kalkulahin ang integral sin x sin nxdx para sa real a, a > a cosx + a2 Sa mga problema, hanapin ang seryeng Fourier sa kumplikadong anyo para sa mga function. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46
47 5. Lyapunov's equality Theorem (Lyapunov's equality). Hayaan ang function na f: [, π] R na ang f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47
48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ng Lyapunov para sa function na f(x) ay nasa anyong: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Mula sa huling pagkakapantay-pantay para sa isang π makikita natin ang sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Pagtatakda ng a = π 2, nakukuha natin ang sin2 na = 1 para sa n = 2k 1 at sin 2 na = para sa n = 2k. Samakatuwid, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. HALIMBAWA 14. Isulat natin ang pagkakapantay-pantay ni Lyapunov para sa function na f(x) = x cosx, x [, π], at gamitin ito upang mahanap ang kabuuan ng numero serye (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Solusyon. Ang mga direktang kalkulasyon ay nagbibigay ng = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =
49 Dahil ang f(x) ay isang even na function, kung gayon para sa lahat n mayroon tayong b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1) )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2, kung n = 2k, 2, kung n = 2k + 1. Ang coefficient a 1 ay dapat kalkulahin nang hiwalay, dahil sa pangkalahatang pormula sa n = 1 ang denominator ng fraction ay nagiging zero. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.
50 Kaya, ang pagkakapantay-pantay ni Lyapunov para sa function na f(x) ay may anyo: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π, mula sa kung saan makikita natin ang kabuuan ng serye ng numero (4n 2). + 1) 2 (4n 2 1) = π π MGA PROBLEMA 32. Isulat ang pagkakapantay-pantay ng Lyapunov para sa function ( x f(x) = 2 πx, kung x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по makatwirang pag-andar: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Kunin ang kumplikadong anyo ng pangkalahatang pagkakapantay-pantay ng Lyapunov. 36. Ipakita mo iyan kumplikadong anyo Ang pagkakapantay-pantay ng Lyapunov ay may bisa hindi lamang para sa mga function na talagang pinahahalagahan, kundi pati na rin para sa mga function na may kumplikadong halaga. 5
51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Sagot + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, kung saan ang c n ay ang Fourier coefficient 2π ng function na f(x), at ang d n ay ang Fourier coefficient functions g(x). 6. Differentiation ng Fourier series Hayaang ang f: R R ay isang tuluy-tuloy na naiba-iba na 2π-periodic na function. Ang seryeng Fourier nito ay may anyo: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Ang derivative f (x) ng function na ito ay magiging tuluy-tuloy at 2π-periodic function, kung saan maaari tayong sumulat ng isang pormal na serye ng Fourier: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), kung saan a, a n , b n, n = 1 , 2,... Fourier coefficients ng function na f (x). 51
52 Theorem (sa termino-by-term differentiation ng Fourier series). Sa ilalim ng mga pagpapalagay sa itaas, ang mga pagkakapantay-pantay na a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 ay may bisa HALIMBAWA 15. Hayaang ang piecewise smooth function na f(x) ay tuluy-tuloy sa pagitan [, π]. Patunayan natin na kung ang kundisyong f(x)dx = ay nasiyahan, ang hindi pagkakapantay-pantay na 2 dx 2 dx, na tinatawag na hindi pagkakapantay-pantay ni Steklov, ay mananatili, at sisiguraduhin natin na ang pagkakapantay-pantay dito ay nananatili lamang para sa mga function ng anyong f(x) = Isang cosx. Sa madaling salita, ang hindi pagkakapantay-pantay ni Steklov ay nagbibigay ng mga kondisyon kung saan ang liit ng derivative (sa mean square) ay nagpapahiwatig ng liit ng function (sa mean square). Solusyon. Palawakin natin ang function na f(x) sa pagitan ng [, ] sa pantay na paraan. Tukuyin natin ang pinahabang function ng parehong simbolo na f(x). Pagkatapos ang pinalawig na pag-andar ay magiging tuluy-tuloy at hiwa-hiwalay na makinis sa pagitan [, π]. Dahil ang function na f(x) ay tuloy-tuloy, kung gayon ang f 2 (x) ay tuloy-tuloy sa pagitan at 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52
53 Dahil ang patuloy na function ay pantay, kung gayon b n =, a = ayon sa kondisyon. Dahil dito, ang pagkakapantay-pantay ni Lyapunov ay nasa anyo na 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Tiyakin natin na para sa f (x) ang konklusyon ng theorem sa term-by-term differentiation ng Fourier series ay nasiyahan, iyon ay, na a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Hayaang sumailalim sa kinks ang derivative f (x) sa mga puntong x 1, x 2,..., x N sa pagitan [, π]. Ipahiwatig natin ang x =, x N+1 = π. Hatiin natin ang integration interval [, π] sa N +1 interval (x, x 1),..., (x N, x N+1), kung saan ang f(x) ay patuloy na naiba-iba. Pagkatapos, gamit ang pag-aari ng additivity ng integral, at pagkatapos ay pagsasama-sama ng mga bahagi, makuha natin ang: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f (x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)
54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Ang huling pagkakapantay-pantay ay nangyayari dahil sa katotohanan na ang function na f(x) ay ipinagpatuloy sa pantay na paraan, na nangangahulugang f(π) = f(). Katulad nito, nakukuha natin ang isang n = nb n. Ipinakita namin na ang theorem sa term-by-term differentiation ng Fourier series para sa tuluy-tuloy na piecewise smooth 2π-periodic function na ang derivative sa interval [, π] ay sumasailalim sa mga discontinuities ng unang uri ay tama. Nangangahulugan ito ng f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, dahil a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Mula noong 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)
55 Dahil ang bawat termino sa serye sa (18) ay mas malaki kaysa o katumbas ng katumbas na termino sa serye sa (17), pagkatapos ay 2 dx 2 dx. Inaalala na ang f(x) ay isang pantay na pagpapatuloy ng orihinal na function, mayroon tayong 2 dx 2 dx. Alin ang pinatutunayan ng pagkakapantay-pantay ni Steklov. Ngayon ay sinusuri namin kung aling mga function ang pagkakapantay-pantay sa hindi pagkakapantay-pantay ni Steklov. Kung para sa hindi bababa sa isang n 2, ang koepisyent a n ay iba sa zero, pagkatapos ay isang 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55
56 MGA PROBLEMA 37. Hayaang ang piecewise smooth function na f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [, π]. Patunayan na kapag ang kundisyong f() = f(π) = ay nasiyahan, ang hindi pagkakapantay-pantay na 2 dx 2 dx, na tinatawag ding hindi pagkakapantay-pantay ng Steklov, ay nananatili, at siguraduhing ang pagkakapantay-pantay dito ay nananatili lamang para sa mga function ng anyong f(x) = B kasalanan x. 38. Hayaang ang function na f ay tuloy-tuloy sa pagitan [, π] at magkaroon sa loob nito (maliban marahil sa isang may hangganang bilang ng mga puntos) ng isang derivative f (x) na parisukat na mapagsasama. Patunayan na kung ang mga kundisyon f() = f(π) at f(x) dx = ay nasiyahan, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na 2 dx 2 dx, na tinatawag na Wirtinger inequality, hold, at pagkakapantay-pantay sa loob nito ay nananatili lamang para sa mga function ng anyong f (x ) = A cosx + B sin x. 56
57 7. Application ng Fourier series para sa paglutas ng partial differential equation Kapag nag-aaral ng isang tunay na bagay (natural phenomenon, proseso ng produksyon, control system, atbp.), dalawang salik ang makabuluhan: ang antas ng naipon na kaalaman tungkol sa bagay na pinag-aaralan at ang antas ng pag-unlad ng mathematical apparatus. Naka-on modernong yugto siyentipikong pananaliksik Ang sumusunod na kadena ay binuo: phenomenon physical model mathematical model. Ang pisikal na pagbabalangkas (modelo) ng problema ay ang mga sumusunod: ang mga kondisyon para sa pag-unlad ng proseso at ang mga pangunahing kadahilanan na nakakaimpluwensya dito ay natukoy. Ang mathematical formulation (modelo) ay binubuo ng paglalarawan ng mga salik at kundisyon na pinili sa pisikal na pagbabalangkas sa anyo ng isang sistema ng mga equation (algebraic, differential, integral, atbp.). Ang isang problema ay tinatawag na well-posed kung sa isang tiyak na functional space ang isang solusyon sa problema ay umiiral, natatangi at patuloy na nakasalalay sa mga kondisyon ng paunang at hangganan. Matematikal na modelo ay hindi magkapareho sa bagay na isinasaalang-alang, ngunit ito ay isang tinatayang paglalarawan nito. Hayaang ma-secure ang mga dulo ng string at ang string mismo ay nakaunat nang mahigpit. Kung ililipat mo ang isang string mula sa posisyon ng equilibrium nito (halimbawa, hilahin ito pabalik o pindutin ito), pagkatapos ay magsisimula ang string sa 57
58 mag-alinlangan. Ipagpalagay namin na ang lahat ng mga punto ng string ay gumagalaw patayo sa posisyon ng equilibrium nito (transverse vibrations), at sa bawat sandali ng oras ang string ay namamalagi sa parehong eroplano. Kumuha tayo ng isang sistema ng mga parihabang coordinate xou sa eroplanong ito. Pagkatapos, kung sa unang sandali ng oras t = ang string ay matatagpuan sa kahabaan ng axis ng Ox, ang ibig mong sabihin ay ang paglihis ng string mula sa posisyon ng equilibrium, iyon ay, ang posisyon ng punto ng string na may abscissa x sa isang arbitrary na sandali ng oras t ay tumutugma sa halaga ng function na u(x, t). Para sa bawat nakapirming halaga ng t, ang graph ng function na u(x, t) ay kumakatawan sa hugis ng vibrating string sa oras na t (Fig. 32). Sa isang pare-parehong halaga ng x, ang function na u(x, t) ay nagbibigay ng batas ng paggalaw ng isang punto na may abscissa x sa isang tuwid na linya na kahanay ng Ou axis, ang derivative na u t ay ang bilis ng paggalaw na ito, at ang pangalawang derivative. ay 2 u t 2 acceleration. kanin. 32. Mga puwersang inilapat sa isang infinitesimal na seksyon ng isang string Gumawa tayo ng isang equation na dapat matugunan ng function na u(x, t). Para magawa ito, gagawa kami ng ilang mas pinasimpleng pagpapalagay. Isasaalang-alang namin na ang string ay ganap na nababaluktot - 58
59 koy, iyon ay, ipagpalagay natin na ang tali ay hindi lumalaban sa baluktot; nangangahulugan ito na ang mga stress na nanggagaling sa string ay palaging nakadirekta nang tangential sa madalian nitong profile. Ang string ay ipinapalagay na nababanat at napapailalim sa batas ni Hooke; nangangahulugan ito na ang pagbabago sa magnitude ng puwersa ng pag-igting ay proporsyonal sa pagbabago sa haba ng string. Ipagpalagay natin na ang string ay homogenous; nangangahulugan ito na ang linear density nito ρ ay pare-pareho. Pinapabayaan natin ang mga panlabas na puwersa. Nangangahulugan ito na isinasaalang-alang namin ang mga libreng vibrations. Pag-aaralan lamang natin ang maliliit na vibrations ng string. Kung tinutukoy natin sa pamamagitan ng ϕ(x, t) ang anggulo sa pagitan ng abscissa axis at ng tangent sa string sa puntong may abscissa x sa oras t, kung gayon ang kundisyon para sa maliliit na oscillations ay ang halaga ϕ 2 (x, t) maaaring mapabayaan kung ihahambing sa ϕ (x, t), i.e. ϕ 2. Dahil ang anggulo ϕ ay maliit, kung gayon ang cosϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ u samakatuwid, ang halaga (u x x,) 2 ay maaari ding mapabayaan. Kaagad itong sumusunod na sa panahon ng proseso ng panginginig ng boses maaari nating pabayaan ang pagbabago sa haba ng anumang seksyon ng string. Sa katunayan, ang haba ng isang piraso ng string M 1 M 2, na naka-project sa pagitan ng abscissa axis, kung saan ang x 2 = x 1 + x, ay katumbas ng l = x 2 x () 2 u dx x. x Ipakita natin na, sa ilalim ng ating mga pagpapalagay, ang magnitude ng tension force T ay magiging pare-pareho sa buong string. Para dito, kunin natin ang anumang seksyon ng string M 1 M 2 (Fig. 32) sa oras t at palitan ang pagkilos ng mga itinapon na seksyon - 59
60 sa pamamagitan ng mga puwersa ng pag-igting T 1 at T 2. Dahil, ayon sa kondisyon, ang lahat ng mga punto ng string ay gumagalaw parallel sa Ou axis at walang mga panlabas na puwersa, ang kabuuan ng mga projection ng mga puwersa ng pag-igting sa axis ng Ox ay dapat maging katumbas ng zero: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Kaya naman, dahil sa liit ng mga anggulo ϕ 1 = ϕ(x 1, t) at ϕ 2 = ϕ(x 2, t), hinuhusgahan natin na T 1 = T 2. pangkalahatang kahulugan T 1 = T 2 hanggang T. Ngayon kalkulahin natin ang kabuuan ng mga projection F u ng parehong pwersa papunta sa Ou axis: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Dahil para sa maliliit na anggulo sin ϕ(x, t) tan ϕ(x, t), at tan ϕ(x, t) u(x, t)/ x, ang equation (2) ay maaaring muling isulat bilang F u T (tg ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Dahil ang puntong x 1 ay pinili nang arbitraryo, kung gayon ang F u T 2 u x2(x, t) x. Matapos matagpuan ang lahat ng pwersang kumikilos sa seksyon M 1 M 2, inilalapat namin dito ang pangalawang batas ni Newton, ayon sa kung saan ang produkto ng masa at pagbilis ay katumbas ng kabuuan ng lahat. aktibong pwersa. Ang masa ng isang piraso ng string M 1 M 2 ay katumbas ng m = ρ l ρ x, at ang acceleration ay katumbas ng 2 u(x, t). Ang t 2 equation ng Newton ay nasa anyo: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, kung saan ang α 2 = T ρ ay isang pare-parehong positibong numero. 6
61 Pagbabawas ng x, nakukuha natin ang 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) Bilang resulta, nakakuha kami ng linear homogenous na pangalawang-order na partial differential equation na may pare-pareho ang mga koepisyent. Ito ay tinatawag na string vibration equation o ang one-dimensional wave equation. Ang equation (21) ay mahalagang repormulasyon ng batas ni Newton at inilalarawan ang paggalaw ng string. Ngunit sa pisikal na pagbabalangkas ng problema mayroong mga kinakailangan na ang mga dulo ng string ay naayos at ang posisyon ng string sa ilang mga punto sa oras ay kilala. Isusulat namin ang mga kundisyong ito bilang mga equation tulad ng sumusunod: a) ipagpalagay namin na ang mga dulo ng string ay naayos sa mga puntong x = at x = l, ibig sabihin, ipagpalagay namin na para sa lahat ng t ang mga relasyon u(, t) =, u (l, t ) = ; (22) b) ipagpalagay natin na sa oras na t = ang posisyon ng string ay tumutugma sa graph ng function na f(x), ibig sabihin, ipagpalagay natin na para sa lahat ng x [, l] ang pagkakapantay-pantay u(x,) = f(x); (23) c) ipagpalagay natin na sa sandaling t = ang punto ng string na may abscissa x ay binibigyan ng bilis g(x), ibig sabihin, ipagpalagay natin na u (x,) = g(x). (24) t Ang mga relasyon (22) ay tinatawag na mga kundisyon sa hangganan, at ang mga relasyon (23) at (24) ay tinatawag na mga paunang kondisyon. Modelong matematikal ng mga libreng maliliit na transverse 61
Ang 62 string oscillations ay kinakailangan upang malutas ang equation (21) na may mga kundisyon ng hangganan (22) at mga paunang kondisyon (23) at (24) Paglutas ng equation ng libreng maliliit na transverse string oscillations sa pamamagitan ng Fourier method Solving equation (21) sa rehiyon x l,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Ang pagpapalit ng (25) sa (21), makuha natin ang: X T = α 2 X T, (26) o T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Sinasabi nila na may naganap na separation of variables. Dahil ang x at t ay hindi nakadepende sa isa't isa, ang kaliwang bahagi sa (27) ay hindi nakadepende sa x, at ang kanang bahagi ay hindi nakadepende sa t, at ang kabuuang halaga ng mga ugnayang ito ay 62
Ang 63 ay dapat na isang pare-pareho, na tinutukoy natin ng λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Mula dito nakakakuha tayo ng dalawang ordinaryo differential equation: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Sa kasong ito, ang mga kundisyon ng hangganan (22) ay kukuha ng anyong X()T(t) = at X(l)T(t) =. Dahil dapat silang makuntento para sa lahat ng t, t >, kung gayon X() = X(l) =. (3) Maghanap tayo ng mga solusyon equation (28), nagbibigay-kasiyahan sa mga kundisyon sa hangganan (3). Isaalang-alang natin ang tatlong kaso. Kaso 1: λ >. Tukuyin natin ang λ = β 2. Ang equation (28) ay nasa anyong X (x) β 2 X(x) =. Ang katangiang equation nito k 2 β 2 = ay may mga ugat k = ±β. Kaya naman, karaniwang desisyon ang equation (28) ay may anyong X(x) = C e βx + De βx. Dapat nating piliin ang mga constants C at D upang matugunan ang mga kundisyon ng hangganan (3), i.e. X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Dahil β, ang sistemang ito ng mga equation ay may natatanging solusyon C = D =. Samakatuwid, X(x) at 63
64 u(x, t). Kaya, sa kaso 1 nakakuha kami ng isang maliit na solusyon, na hindi namin isasaalang-alang pa. Kaso 2: λ =. Pagkatapos ang equation (28) ay nasa anyong X (x) = at ang solusyon nito ay malinaw na ibinigay ng formula: X(x) = C x+d. Ang pagpapalit ng solusyon na ito sa mga kundisyon ng hangganan (3), makuha natin ang X() = D = at X(l) = Cl =, na nangangahulugang C = D =. Samakatuwid, ang X(x) at u(x, t), at muli tayong may isang maliit na solusyon. Kaso 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64
65 Sa mga sumusunod ay bibigyan lamang natin ng n mga positibong halaga n = 1, 2,..., dahil para sa negatibong n kukuha tayo ng mga solusyon ng parehong uri (nπ) Ang mga dami λ n = ay tinatawag na eigenvalues, at ang mga function. X n (x) = C n sin πnx sa pamamagitan ng eigenfunctions ng differential equation (28) na may hangganan na kundisyon (3). Ngayon lutasin natin ang equation (29). Para dito, ang katangiang equation ay may anyo k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Dahil nalaman natin sa itaas na ang mga hindi mahalaga na solusyon na X(x) ng equation (28) ay umiiral lamang para sa negatibong λ na katumbas ng λ = n2 π 2, kung gayon ito ay tiyak na ganoong λ na isasaalang-alang pa natin. Ang mga ugat ng equation (32) ay k = ±iα λ, at ang mga solusyon sa equation (29) ay may anyo: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l kung saan A n at B n ay arbitrary constants. Ang pagpapalit ng mga formula (31) at (33) sa (25), makakahanap tayo ng mga bahagyang solusyon sa equation (21) na nakakatugon sa mga kundisyon ng hangganan (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n kasalanan πnx. l l l Ang pagpasok ng factor C n sa mga bracket at pagpapakilala ng mga notasyon C n A n = b n at B n C n = a n, isinusulat namin ang u n (X, T) sa anyo (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n kasalanan πnαt) kasalanan πnx. (34) l l l 65
66 Ang mga vibrations ng string na tumutugma sa mga solusyon u n (x, t) ay tinatawag na natural na vibrations ng string. Dahil ang equation (21) at mga kondisyon ng hangganan (22) ay linear at homogenous, ang linear na kumbinasyon ng mga solusyon (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l ay magiging solusyon sa equation (21 ), nagbibigay-kasiyahan sa mga kundisyon sa hangganan (22) na may espesyal na pagpili ng mga coefficient a n at b n, na tinitiyak ang pare-parehong convergence ng serye. Ngayon piliin natin ang mga coefficients a n at b n ng solusyon (35) upang matugunan nito hindi lamang ang mga kondisyon ng hangganan, kundi pati na rin ang mga paunang kondisyon (23) at (24), kung saan ang f(x), g(x) ay ang mga ibinigay na function. (at f() = f (l) = g() = g(l) =). Ipinapalagay namin na ang mga function na f(x) at g(x) ay nakakatugon sa mga kondisyon ng pagpapalawak sa isang seryeng Fourier. Ang pagpapalit sa halagang t = sa (35), makuha natin ang u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Differentiating series (35) na may kinalaman sa t at substituting t =, makuha natin ang u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), at ito ang pagpapalawak ng mga function na f(x) at g(x) sa seryeng Fourier. Samakatuwid, a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66
67 Ang pagpapalit ng mga expression para sa mga coefficient a n at b n sa serye (35), nakakakuha tayo ng solusyon sa equation (21) na nakakatugon sa mga kundisyon ng hangganan (22) at ang mga unang kundisyon (23) at (24). Kaya, nalutas namin ang problema ng libreng maliliit na transverse vibrations ng isang string. Alamin natin ang pisikal na kahulugan ng eigenfunctions u n (x, t) ng problema ng libreng oscillations ng string, na tinukoy ng formula (34). Isulat muli natin ito sa anyong kung saan u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctan b n . l a n Mula sa formula (37) malinaw na ang lahat ng mga punto ng string ay nagsasagawa ng mga harmonic oscillations na may parehong frequency ω n = πnα at phase πnα δ n. Ang amplitude ng vibration ay nakasalalay sa l l abscissa x point ng string at katumbas ng α n sin πnx. Sa ganitong oscillation, ang lahat ng mga punto ng string ay sabay-sabay na umabot sa kanilang pinakamataas na paglihis sa isang direksyon o iba pa at sabay-sabay na pumasa sa posisyon ng ekwilibriyo. Ang ganitong mga oscillations ay tinatawag na standing waves. Ang nakatayong alon ay magkakaroon ng n + 1 nakapirming puntos, na ibinibigay ng mga ugat ng equation na sin πnx = sa pagitan [, l]. Ang mga nakapirming punto ay tinatawag na mga standing wave node. Sa gitna sa pagitan ng mga node ay may mga punto kung saan ang mga paglihis ay umabot sa isang maximum; ang mga naturang punto ay tinatawag na antinodes. Ang bawat string ay maaaring magkaroon ng sarili nitong vibrations ng mahigpit na tinukoy na mga frequency ω n = πnα, n = 1, 2,.... Ang mga frequency na ito ay tinatawag na natural na frequency ng string. Ang pinakamababang l tone na maaaring gawin ng isang string ay tinutukoy ng 67
68 mababang natural na dalas ω 1 = π T at tinatawag na pangunahing tono ng string. Ang natitirang mga tono na tumutugma sa l ρ frequency ω n, n = 2, 3,..., ay tinatawag na overtones o harmonics. Para sa kalinawan, ilarawan natin ang mga tipikal na profile ng isang string na gumagawa ng pangunahing tono (Fig. 33), ang unang overtone (Fig. 34) at ang pangalawang overtone (Fig. 35). kanin. 33. Profile ng string na gumagawa ng pangunahing tono Fig. 34. Profile ng string na gumagawa ng unang overtone Fig. 35. Profile ng isang string na nagpapalabas ng pangalawang overtone Kung ang string ay nagsasagawa ng mga libreng vibrations na tinutukoy ng mga paunang kondisyon, kung gayon ang function na u(x, t) ay kinakatawan, tulad ng makikita mula sa formula (35), bilang isang kabuuan ng mga indibidwal na harmonics . Kaya arbitrary swing 68
Ang 69 na mga string ay isang superposisyon ng mga nakatayong alon. Sa kasong ito, ang likas na katangian ng tunog ng string (tono, intensity ng tunog, timbre) ay depende sa ugnayan sa pagitan ng mga amplitude ng mga indibidwal na harmonika ng tainga ng tao gaya ng tunog na ibinubuga ng tali. Ang lakas ng tunog ay nailalarawan sa pamamagitan ng enerhiya o amplitude ng mga vibrations: mas malaki ang enerhiya, mas malaki ang lakas ng tunog. Ang pitch ng isang tunog ay tinutukoy ng dalas o panahon ng pag-vibrate nito: mas mataas ang frequency, mas mataas ang tunog. Ang timbre ng tunog ay tinutukoy ng pagkakaroon ng mga overtone, ang pamamahagi ng enerhiya sa mga harmonika, ibig sabihin, ang paraan ng paggulo ng mga vibrations. Ang mga amplitude ng mga overtone, sa pangkalahatan, ay mas mababa kaysa sa amplitude ng pangunahing tono, at ang mga yugto ng mga overtone ay maaaring maging arbitrary. Ang ating tainga ay hindi sensitibo sa yugto ng vibrations. Ihambing, halimbawa, ang dalawang kurba sa Fig. 36, hiniram sa . Ito ay isang recording ng isang tunog na may parehong pangunahing tono na nakuha mula sa isang clarinet (a) at isang piano (b). Ang alinman sa tunog ay hindi isang simpleng sine wave. Ang pangunahing dalas ng tunog sa parehong mga kaso ay pareho, na lumilikha ng parehong tono. Ngunit ang mga pattern ng mga kurba ay naiiba dahil ang iba't ibang mga overtone ay nakapatong sa pangunahing tono. Sa isang kahulugan, ang mga guhit na ito ay nagpapakita kung ano ang timbre. 69
MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE RUSSIAN Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education MATI Russian State Technological University na pinangalanang K. E. Tsiolkovsky
Federal Agency for Education Federal State Educational Institution of Higher Professional Education SOUTH FEDERAL UNIVERSITY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Methodological
Ministri ng Edukasyon ng Republika ng Belarus EE "Vitebsk State Technological University" Paksa. "Rows" Department of Theoretical and Applied Mathematics. binuo ni Assoc. E.B. Dunina. Basic
Lektura 4. Harmonic analysis. Fourier series Pana-panahong pag-andar. Harmonic analysis Sa agham at teknolohiya, madalas na kailangan nating harapin ang mga pana-panahong phenomena, iyon ay, ang mga umuulit sa pamamagitan ng
MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY OF CIVIL AVIATION V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov MATHEMATICS MANUAL para sa pag-aaral ng disiplina at mga takdang-aralin sa pagsusulit
NILALAMAN FOURIER SERIES 4 Konsepto ng periodic function 4 Trigonometric polynomial 6 3 Orthogonal system of functions 4 Trigonometric Fourier series 3 5 Fourier series para sa even at odd na function 6 6 Expansion
Tiyak na INTEGRAL. Mga integral na kabuuan at tiyak na integral Hayaang maibigay ang isang function na y = f (), na tinukoy sa pagitan [, b], kung saan< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
TEORYA NG SERYE Ang teorya ng serye ay ang pinakamahalagang bahagi ng mathematical analysis at nakakahanap ng parehong teoretikal at maraming praktikal na aplikasyon. May mga numerical at functional na serye.
PAKSA V FOURIER SERIES LECTURE 6 Pagpapalawak ng isang pana-panahong function sa isang Fourier series Maraming mga proseso na nagaganap sa kalikasan at teknolohiya ay may pag-aari na paulit-ulit ang kanilang mga sarili sa ilang mga agwat ng oras
6 Fourier series 6 Orthogonal system of functions Ang Fourier series sa orthogonal system of functions Ang mga Function ϕ () at ψ (), na tinukoy at naisasama sa pagitan [, ], ay tinatawag na orthogonal sa interval na ito kung
Federal Agency for Railway Transport Ural State Transport University Department of Higher and Applied Mathematics N. P. Chuev Mga elemento ng harmonic analysis Methodological
BELARUSIAN STATE UNIVERSITY FACULTY OF APPLIED MATHEMATICS AND INFORMATION SCIENCE Department of Higher Mathematics Educational at methodological manual para sa mga mag-aaral ng Faculty of Applied Mathematics and Informatics
Mga paliwanag para sa teksto: ang sign ay nagbabasa ng "katumbas" at nangangahulugan na ang mga equation sa kanan ng sign at sa kaliwa ng sign ay may parehong hanay ng mga solusyon, ang sign IR ay tumutukoy sa hanay ng mga tunay na numero, ang sign IN
EQUATIONS NG MATHEMATICAL PHYSICS 1. Partial differential equation Isang equation na nauugnay sa hindi kilalang function u (x 1, x 2,..., x n), independent variables x 1, x 2,..., x n at partial
1 2 Mga Nilalaman 1 Fourier series 5 1.1 Trigonometric Fourier series.............. 5 1.2 Sin & cos only................... .. 7 1.3 Fourier series in complex form........... 11 1.4 f(x) = c k?..................... .
82 4. Seksyon 4. Functional at power series 4.2. Aralin 3 4.2. Aralin 3 4.2.. Pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Taylor KAHULUGAN 4.2.. Hayaang ang function na y = f(x) ay walang katapusang pagkakaiba sa ilang kapitbahayan
Lecture 8 4 Problema sa Sturm-Liouville Isaalang-alang ang problema sa initial-boundary value para sa second-order partial differential equation na naglalarawan ng maliliit na transverse vibrations ng isang string Isinasaalang-alang ang string
Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION "SAMARA STATE TECHNICAL UNIVERSITY" Department of Applied Mathematics
Integrability ng isang function (ayon kay Riemann) at isang definite integral Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema 1. Ang constant function f(x) = C ay integrable sa , dahil para sa anumang partisyon at anumang pagpipilian ng mga puntos ξ i ang integral
MGA METODOLOHIKAL NA INSTRUKSYON PARA SA PAGKUKULANG GAWAIN SA KURSO NG HIGHER MATHEMATICS “ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS SERIES DOUBLE INTEGRALS” BAHAGI PAKSA SERYE Mga Nilalaman Serye Numero ng Serye Convergence at divergence
RANKS. Serye ng numero. Mga pangunahing kahulugan Hayaan ang isang walang katapusang pagkakasunod-sunod ng mga numero Ang expression (walang katapusan na kabuuan) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= ay tinatawag. isang serye ng numero. Numero
Mga Nilalaman Panimula. Pangunahing konsepto.... 4 1. Mga integral equation ng Volterra... 5 Mga opsyon sa takdang-aralin.... 8 2. Resolvant ng integral equation ng Volterra. 10 Mga opsyon sa takdang-aralin.... 11
Lecture 3 Taylor and Maclaurin series Application of power series Pagpapalawak ng mga function sa power series Taylor at Maclaurin series Para sa mga application, mahalagang mapalawak ang isang ibinigay na function sa isang power series, ang mga function na iyon
35 7 Trigonometric Fourier series Fourier series para sa periodic functions na may period T. Hayaang ang f(x) ay isang piecewise continuous periodic function na may period T. Isaalang-alang ang basic trigonometriko system
KUMAIN. ORE MATHEMATICAL ANALYSIS. NUMERICAL AND FUNCTIONAL SERIES NOVOSIBIRSK 200 2 MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE RUSSIAN GOU VPO "NOVOSIBIRSK STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY" E.M. Rudoy MATHEMATICAL ANALYSIS.
Taon ko, gawain. Patunayan na ang Riemann function, kung 0, m m R(), kung, m, m 0, at ang fraction ay hindi mababawasan, 0, kung hindi makatwiran, ay hindi nagpapatuloy sa bawat makatwirang punto at tuloy-tuloy sa bawat di-makatuwirang punto. Solusyon.
1. Electrostatics 1 1. Electrostatics Aralin 6 Paghihiwalay ng mga variable sa Cartesian coordinate 1.1. (Problema 1.49) Ang eroplanong z = ay sinisingil ng density σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), kung saan ang σ, α, β ay mga constant.
Kabanata Power series a a a A series of the form a a a a a () ay tinatawag na power series, kung saan, a, ay mga constant na tinatawag na coefficients ng series Kung minsan ang isang power series na mas pangkalahatang anyo ay isinasaalang-alang: a a(a) a(a) a(a) (), saan
S A Lavrenchenko wwwwrckoru Lecture Fourier transform Ang konsepto ng integral transform Ang paraan ng integral transformations ay isa sa mga makapangyarihang pamamaraan ng matematikal na physics at isang mabisang solusyon
Differential calculus Panimula sa mathematical analysis Limitasyon ng sequence at function. Pagbubunyag ng mga kawalan ng katiyakan sa loob ng mga limitasyon. Derivative ng isang function. Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan. Paglalapat ng derivative
LECTURE N 7. Power series at Taylor series.. Power series..... Taylor series.... 4. Pagpapalawak ng ilang elementary functions sa Taylor at Maclaurin series.... 5 4. Application of power series... 7 .Kapangyarihan
Metallurgical Faculty Department of Higher Mathematics RANKS Methodological instructions Novokuznetsk 5 Federal Agency for Education State educational institution of higher professional education
9. Antiderivative at indefinite integral 9.. Hayaang ibigay ang function f() sa pagitan ng I R. Ang function F () ay tinatawag na antiderivative ng function f () sa interval I kung F () = f () para sa alinmang I, at ang antiderivative
Moscow Institute of Physics and Technology State University) O.V. Besov TRIGONOMETRIC FOURIER SERIES Educational and methodological manual Moscow, 004 Compiled by O.V. Besov UDC 517. Trigonometric series
8. Power series 8.. Isang functional series ng anyong c n (z) n, (8.) n= kung saan ang c n ay isang numerical sequence, R ay isang fixed number, at z R ay tinatawag na power series na may coefficients c n . Sa pamamagitan ng pagsasagawa ng pagbabago ng mga variable
Departamento ng Matematika at Computer Science Mga Elemento ng Mas Mataas na Matematika Pang-edukasyon at metodolohikal na kumplikado para sa mga mag-aaral sa sekondaryang bokasyonal na edukasyon na nag-aaral gamit ang mga teknolohiyang distansya Module Differential calculus Compiled by:
1. Tiyak na integral 1.1. Hayaang ang f ay isang bounded function na tinukoy sa segment [, b] R. Ang partition ng segment [, b] ay isang set ng mga puntos τ = (x, x 1,..., x n 1, x n) [, b ] ganyan na = x< x 1 < < x n 1
MGA TANONG AT MODELONG PROBLEMA para sa panghuling pagsusulit sa disiplina na "Pagsusuri sa Matematika" Applied Mathematics Sa oral na pagsusulit, ang mag-aaral ay tumatanggap ng dalawang teoretikal na tanong at dalawang problema Sa kabuuan ay 66 na katanungan bawat taon
Paksa ng Module Mga functional na pagkakasunud-sunod at serye Mga katangian ng pare-parehong convergence ng mga pagkakasunud-sunod at serye Power series Lecture Mga Depinisyon ng functional na mga sequence at serye Uniformly
~ ~ Indefinite and definite integrals Ang konsepto ng antiderivative at indefinite integral. Kahulugan: Ang isang function F ay tinatawag na antiderivative ng isang function f kung ang mga function na ito ay nauugnay sa mga sumusunod
Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "Siberian State Industrial University"
SQUARE EQUATIONS Mga Nilalaman SQUARE EQUATIONS... 4. at pag-aaral ng mga quadratic equation... 4.. Quadratic equation na may mga numerical coefficients... 4.. Lutasin at pag-aralan ang quadratic equation para sa
MILITARY TRAINING AND SCIENTIFIC CENTER OF THE AIR FORCE "AIR MILITARY ACADEMY na pinangalanang Propesor N. E. ZHUKOVSKY at Y. A. GAGARIN" N. G. AFENDIKOVA, I. N. OMELCHENKO, G. V. RYZHAKOV, A. F. SALIMANA MATHEMATICAL EXAMPLES
FEDERAL AGENCY FOR EDUCATION STATE EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION Moscow State University of Instrument Engineering and Informatics Department of Higher Education
Kabanata 5. Fourier series 5.. Aralin 5 5... Pangunahing kahulugan Ang isang functional na serye ng anyong a 2 + (a k cos x + b k si x) (5..) ay tinatawag na trigonometric series, ang mga numero a at b ay trigonometric coefficients
Fourier series Orthogonal system of functions Mula sa punto ng view ng algebra, ang pagkakapantay-pantay kung saan - mga function ng isang partikular na klase at - coefficients mula sa R o C ay nangangahulugan lamang na ang vector ay isang linear na kumbinasyon ng mga vectors B
3724 MULTIPLE SERIES AND CURVILINEAR INTEGRALS 1 WORK PROGRAM OF SECTIONS “MULTIPLE SERIES AND CURVILINEAR INTEGRALS” 11 Number series Concept of number series Mga katangian ng number series Kailangang tanda ng convergence
PAGKAKAIBA NG MGA FUNCTION NG ISANG VARIABLE Ang konsepto ng derivative, ang geometriko at pisikal na kahulugan nito. f (
DIFFERENTIAL EQUATIONS 1. Basic concepts Ang differential equation para sa isang function ay isang equation na nag-uugnay sa function na ito sa mga independent variable at derivatives nito.
ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS NG UNANG ORDER Mga pangunahing konsepto Ang differential equation ay isang equation kung saan lumilitaw ang isang hindi kilalang function sa ilalim ng derivative o differential sign.
DIFFERENTIAL EQUATIONS Pangkalahatang konsepto Ang mga differential equation ay may marami at iba't ibang aplikasyon sa mechanics, physics, astronomy, teknolohiya at iba pang sangay ng mas mataas na matematika (halimbawa
Serye ng functional Functional na serye, ang kabuuan at domain nito ng functional o Hayaang maibigay ang isang sequence ng mga function k sa domain Δ ng tunay o kumplikadong mga numero (k 1 Ang isang functional series ay tinatawag na
MGA SYSTEM NG ORTHOGONAL POLYNOMIALS AT ANG KANILANG MGA APLIKASYON A. Chebyshev - Hermite polynomials Panimulang pangungusap Kapag nilulutas ang maraming mahahalagang problema ng matematikal na pisika, quantum mechanics, theoretical physics, kinakailangan
Mga lektura na inihanda ni Associate Professor Musina MV Depinisyon Pagpapahayag ng anyo Numerical at functional series Serye ng numero: mga pangunahing konsepto (), kung saan tinatawag na serye ng numero (o isang serye lamang) Mga Numero, miyembro ng serye (depende
Ang seryeng Fourier ay isang representasyon ng isang arbitrary na function na may isang tiyak na panahon sa anyo ng isang serye. Sa pangkalahatan, ang solusyon na ito ay tinatawag na agnas ng isang elemento kasama ang isang orthogonal na batayan. Ang pagpapalawak ng mga function sa seryeng Fourier ay isang medyo makapangyarihang tool para sa paglutas ng iba't ibang mga problema dahil sa mga katangian ng pagbabagong ito sa panahon ng integration, differentiation, pati na rin ang paglilipat ng mga expression sa pamamagitan ng argumento at convolution.
Ang isang tao na hindi pamilyar sa mas mataas na matematika, pati na rin sa mga gawa ng Pranses na siyentipiko na si Fourier, malamang na hindi mauunawaan kung ano ang mga "serye" na ito at kung ano ang kailangan nila. Samantala, ang pagbabagong ito ay naging lubos na isinama sa ating buhay. Ginagamit ito hindi lamang ng mga mathematician, kundi pati na rin ng mga physicist, chemist, doktor, astronomer, seismologist, oceanographer at marami pang iba. Tingnan din natin ang mga gawa ng mahusay na Pranses na siyentipiko na nakagawa ng isang pagtuklas na nauna sa panahon nito.
Ang Tao at ang Fourier ay nagbabago
Ang serye ng Fourier ay isa sa mga pamamaraan (kasama ang pagsusuri at iba pa) Ang prosesong ito ay nangyayari sa tuwing nakakarinig ang isang tao ng tunog. Awtomatikong binabago ng ating tainga ang mga elementarya na particle sa isang elastic na medium sa mga hilera (kasama ang spectrum) ng sunud-sunod na mga antas ng volume para sa mga tono ng iba't ibang taas. Susunod, ginagawa ng utak ang data na ito sa mga tunog na pamilyar sa atin. Nangyayari ang lahat ng ito nang wala ang ating pagnanais o kamalayan, sa sarili nitong, ngunit upang maunawaan ang mga prosesong ito, aabutin ng ilang taon upang pag-aralan ang mas mataas na matematika.
Higit pa tungkol sa Fourier transform
Ang pagbabagong Fourier ay maaaring isagawa gamit ang analytical, numerical at iba pang mga pamamaraan. Ang Fourier series ay tumutukoy sa numerical na paraan ng pag-decomposing ng anumang oscillatory na proseso - mula sa karagatan at light waves hanggang sa mga siklo ng solar (at iba pang astronomical na bagay) na aktibidad. Gamit ang mga mathematical technique na ito, maaari mong pag-aralan ang mga function, na kumakatawan sa anumang oscillatory na proseso bilang isang serye ng mga sinusoidal na bahagi na lumilipat mula sa minimum hanggang sa maximum at pabalik. Ang Fourier transform ay isang function na naglalarawan sa phase at amplitude ng sinusoids na tumutugma sa isang tiyak na frequency. Ang prosesong ito ay maaaring gamitin upang malutas ang napakakomplikadong mga equation na naglalarawan ng mga dynamic na proseso na nagmumula sa ilalim ng impluwensya ng thermal, liwanag o elektrikal na enerhiya. Gayundin, ginagawang posible ng serye ng Fourier na ihiwalay ang mga pare-parehong bahagi sa mga kumplikadong oscillatory signal, na ginagawang posible na wastong bigyang-kahulugan ang mga eksperimentong obserbasyon na nakuha sa medisina, kimika at astronomiya.
Makasaysayang sanggunian
Ang founding father ng teoryang ito ay ang French mathematician na si Jean Baptiste Joseph Fourier. Ang pagbabagong ito ay ipinangalan sa kanya pagkatapos. Sa una, ginamit ng siyentipiko ang kanyang pamamaraan upang pag-aralan at ipaliwanag ang mga mekanismo ng thermal conductivity - ang pagkalat ng init sa mga solido. Iminungkahi ni Fourier na ang paunang hindi regular na pamamahagi ay maaaring mabulok sa mga simpleng sinusoid, na ang bawat isa ay magkakaroon ng sarili nitong minimum at maximum na temperatura, pati na rin ang sarili nitong yugto. Sa kasong ito, ang bawat naturang bahagi ay susukatin mula minimum hanggang maximum at pabalik. Ang mathematical function na naglalarawan sa upper at lower peak ng curve, pati na rin ang phase ng bawat harmonic, ay tinatawag na Fourier transform ng temperature distribution expression. Binawasan ng may-akda ng teorya ang pangkalahatang pagpapaandar ng pamamahagi, na mahirap ilarawan sa matematika, sa isang napaka-maginhawang serye ng cosine at sine, na magkakasamang nagbibigay ng orihinal na pamamahagi.
Ang prinsipyo ng pagbabago at mga pananaw ng mga kontemporaryo
Ang mga kontemporaryo ng siyentipiko - mga nangungunang mathematician noong unang bahagi ng ikalabinsiyam na siglo - ay hindi tinanggap ang teoryang ito. Ang pangunahing pagtutol ay ang paninindigan ni Fourier na ang isang discontinuous function, na naglalarawan ng isang tuwid na linya o isang discontinuous curve, ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng sinusoidal expression na tuluy-tuloy. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang Heaviside step: ang value nito ay zero sa kaliwa ng discontinuity at isa sa kanan. Inilalarawan ng function na ito ang pag-asa ng electric current sa isang pansamantalang variable kapag ang circuit ay sarado. Ang mga kontemporaryo ng teorya noong panahong iyon ay hindi pa nakatagpo ng katulad na sitwasyon kung saan ang isang di-tuloy na pagpapahayag ay ilalarawan sa pamamagitan ng kumbinasyon ng tuluy-tuloy, ordinaryong mga function tulad ng exponential, sine, linear o quadratic.
Ano ang nakalilito sa mga French mathematician tungkol sa teorya ni Fourier?
Pagkatapos ng lahat, kung tama ang mathematician sa kanyang mga pahayag, kung gayon sa pamamagitan ng pagbubuod ng walang katapusang trigonometriko Fourier series, makakakuha ang isa ng tumpak na representasyon ng step expression kahit na marami itong katulad na mga hakbang. Sa simula ng ikalabinsiyam na siglo, ang gayong pahayag ay tila walang katotohanan. Ngunit sa kabila ng lahat ng mga pagdududa, maraming mga mathematician ang nagpalawak ng saklaw ng kanilang pag-aaral ng hindi pangkaraniwang bagay na ito, na dinadala ito sa kabila ng pag-aaral ng thermal conductivity. Gayunpaman, ang karamihan sa mga siyentipiko ay patuloy na pinahihirapan ng tanong na: "Maaari bang ang kabuuan ng isang serye ng sinusoidal ay magtatagpo sa eksaktong halaga ng hindi tuloy-tuloy na pag-andar?"
Convergence ng Fourier series: isang halimbawa
Ang tanong ng convergence ay bumangon sa tuwing kinakailangan na magsama ng walang katapusang serye ng mga numero. Upang maunawaan ang hindi pangkaraniwang bagay na ito, isaalang-alang ang isang klasikong halimbawa. Maaabot mo ba ang pader kung ang bawat susunod na hakbang ay kalahati ng laki ng nauna? Sabihin nating dalawang metro ka mula sa iyong target, ang unang hakbang ay magdadala sa iyo sa kalahating marka, ang susunod ay magdadala sa iyo sa tatlong-kapat na marka, at pagkatapos ng ikalima ay nasasaklaw mo na ang halos 97 porsiyento ng daan. Gayunpaman, kahit gaano karaming mga hakbang ang iyong gawin, hindi mo makakamit ang iyong nilalayon na layunin sa isang mahigpit na kahulugan ng matematika. Gamit ang mga numerical na kalkulasyon, mapapatunayan na sa kalaunan ay posible na makakuha ng mas malapit sa ibinigay na distansya. Ang patunay na ito ay katumbas ng pagpapakita na ang kabuuan ng kalahati, ikaapat, atbp. ay may posibilidad sa pagkakaisa.
The Question of Convergence: The Second Coming, or Lord Kelvin's Instrument
Muling ibinangon ang isyung ito sa pagtatapos ng ikalabinsiyam na siglo, nang sinubukan nilang gamitin ang serye ng Fourier upang mahulaan ang tides ng tides. Sa oras na ito, nag-imbento si Lord Kelvin ng isang instrumento, isang analog computing device na nagpapahintulot sa mga mandaragat ng militar at mangangalakal na masubaybayan ang natural na hindi pangkaraniwang bagay na ito. Tinukoy ng mekanismong ito ang mga hanay ng mga phase at amplitude mula sa isang talaan ng mga taas ng tubig at kaukulang mga punto ng oras, na maingat na sinusukat sa isang partikular na daungan sa buong taon. Ang bawat parameter ay isang sinusoidal na bahagi ng pagpapahayag ng taas ng tubig at isa sa mga regular na bahagi. Ang mga sukat ay ipinasok sa instrumento sa pagkalkula ni Lord Kelvin, na nag-synthesize ng isang curve na hinulaang ang taas ng tubig bilang isang function ng oras para sa susunod na taon. Sa lalong madaling panahon ang mga katulad na kurba ay iginuhit para sa lahat ng mga daungan ng mundo.
Paano kung ang proseso ay nagambala ng isang hindi tuloy-tuloy na pag-andar?
Sa oras na iyon ay tila halata na ang isang tidal wave predictor na may malaking bilang ng mga elemento ng pagbibilang ay maaaring kalkulahin ang isang malaking bilang ng mga phase at amplitudes at sa gayon ay nagbibigay ng mas tumpak na mga hula. Gayunpaman, lumabas na ang pattern na ito ay hindi sinusunod sa mga kaso kung saan ang tidal expression na dapat i-synthesize ay naglalaman ng isang matalim na pagtalon, iyon ay, ito ay hindi natuloy. Kung ang data mula sa isang talaan ng mga sandali ng oras ay ipinasok sa aparato, kinakalkula nito ang ilang mga Fourier coefficient. Ang orihinal na pag-andar ay naibalik salamat sa mga bahagi ng sinusoidal (alinsunod sa mga nahanap na coefficient). Ang pagkakaiba sa pagitan ng orihinal at muling itinayong expression ay maaaring masukat sa anumang punto. Kapag nagsasagawa ng paulit-ulit na mga kalkulasyon at paghahambing, malinaw na ang halaga ng pinakamalaking error ay hindi bumababa. Gayunpaman, ang mga ito ay naisalokal sa rehiyon na tumutugma sa discontinuity point, at sa anumang iba pang punto ay may posibilidad silang maging zero. Noong 1899, ang resultang ito ay theoretically nakumpirma ni Joshua Willard Gibbs ng Yale University.
Convergence ng Fourier series at ang pagbuo ng matematika sa pangkalahatan
Ang pagsusuri ng Fourier ay hindi naaangkop sa mga expression na naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga spike sa isang partikular na agwat. Sa pangkalahatan, ang serye ng Fourier, kung ang orihinal na function ay kinakatawan ng resulta ng isang tunay na pisikal na pagsukat, palaging nagtatagpo. Ang mga tanong tungkol sa convergence ng prosesong ito para sa mga tiyak na klase ng mga function ay humantong sa paglitaw ng mga bagong sangay sa matematika, halimbawa, ang teorya ng generalised function. Siya ay nauugnay sa mga pangalan tulad ng L. Schwartz, J. Mikusinski at J. Temple. Sa loob ng balangkas ng teoryang ito, isang malinaw at tumpak na teoretikal na batayan ang nilikha para sa mga expression tulad ng Dirac delta function (ito ay naglalarawan ng isang rehiyon ng isang lugar na puro sa isang walang katapusang kapitbahayan ng isang punto) at ang Heaviside na "hakbang". Salamat sa gawaing ito, naging naaangkop ang serye ng Fourier sa paglutas ng mga equation at mga problemang kinasasangkutan ng mga intuitive na konsepto: point charge, point mass, magnetic dipoles, at concentrated load sa isang beam.
Fourier na pamamaraan
Ang serye ng Fourier, alinsunod sa mga prinsipyo ng panghihimasok, ay nagsisimula sa agnas ng mga kumplikadong anyo sa mas simple. Halimbawa, ang pagbabago sa daloy ng init ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng pagdaan nito sa iba't ibang mga hadlang na gawa sa heat-insulating material na hindi regular na hugis o pagbabago sa ibabaw ng lupa - isang lindol, isang pagbabago sa orbit ng isang celestial body - ang impluwensya ng mga planeta. Bilang isang patakaran, ang mga naturang equation na naglalarawan ng mga simpleng klasikal na sistema ay madaling malutas para sa bawat indibidwal na alon. Ipinakita ni Fourier na ang mga simpleng solusyon ay maaari ding isama upang makagawa ng mga solusyon sa mas kumplikadong mga problema. Sa mga terminong pangmatematika, ang seryeng Fourier ay isang pamamaraan para sa pagkatawan ng isang expression bilang kabuuan ng mga harmonika - cosine at sine. Samakatuwid, ang pagsusuri na ito ay kilala rin bilang "harmonic analysis".
Fourier series - isang perpektong pamamaraan bago ang "panahon ng computer"
Bago ang paglikha ng teknolohiya ng computer, ang diskarteng Fourier ay ang pinakamahusay na sandata sa arsenal ng mga siyentipiko kapag nagtatrabaho sa likas na alon ng ating mundo. Ang seryeng Fourier sa kumplikadong anyo ay ginagawang posible upang malutas hindi lamang ang mga simpleng problema na pumapayag sa direktang aplikasyon ng mga batas ng mekanika ni Newton, kundi pati na rin ang mga pangunahing equation. Karamihan sa mga natuklasan ng Newtonian science noong ikalabinsiyam na siglo ay naging posible lamang sa pamamagitan ng pamamaraan ni Fourier.
Fourier series ngayon
Sa pag-unlad ng mga computer, ang Fourier transforms ay tumaas sa isang qualitatively bagong antas. Ang pamamaraan na ito ay matatag na itinatag sa halos lahat ng mga lugar ng agham at teknolohiya. Ang isang halimbawa ay digital audio at video. Ang pagpapatupad nito ay naging posible lamang salamat sa isang teorya na binuo ng isang Pranses na matematiko sa simula ng ikalabinsiyam na siglo. Kaya, ang seryeng Fourier sa isang kumplikadong anyo ay naging posible upang makagawa ng isang pambihirang tagumpay sa pag-aaral ng kalawakan. Bilang karagdagan, naimpluwensyahan nito ang pag-aaral ng pisika ng mga semiconductor na materyales at plasma, microwave acoustics, oceanography, radar, at seismology.
Serye ng Trigonometric Fourier
Sa matematika, ang seryeng Fourier ay isang paraan ng pagre-represent ng mga di-makatwirang kumplikadong function bilang kabuuan ng mas simple. Sa mga pangkalahatang kaso, ang bilang ng mga naturang expression ay maaaring walang katapusan. Bukod dito, kung higit na isinasaalang-alang ang kanilang numero sa pagkalkula, mas tumpak ang huling resulta. Kadalasan, ang mga trigonometric na function ng cosine o sine ay ginagamit bilang pinakasimpleng mga. Sa kasong ito, ang serye ng Fourier ay tinatawag na trigonometric, at ang solusyon ng naturang mga expression ay tinatawag na harmonic expansion. Ang pamamaraang ito ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa matematika. Una sa lahat, ang serye ng trigonometriko ay nagbibigay ng paraan para sa paglalarawan at pag-aaral din ng mga pag-andar; ito ang pangunahing kagamitan ng teorya. Bilang karagdagan, pinapayagan ka nitong malutas ang isang bilang ng mga problema sa matematikal na pisika. Sa wakas, ang teoryang ito ay nag-ambag sa pag-unlad ng isang bilang ng mga napakahalagang sangay ng agham matematika (ang teorya ng mga integral, ang teorya ng mga pana-panahong pag-andar). Bilang karagdagan, ito ay nagsilbing panimulang punto para sa pagbuo ng mga sumusunod na pag-andar ng isang tunay na variable, at inilatag din ang pundasyon para sa harmonic analysis.
Fourier na serye ng mga periodic function na may period 2π.
Ang seryeng Fourier ay nagpapahintulot sa amin na pag-aralan ang mga pana-panahong pag-andar sa pamamagitan ng pag-decomposing sa mga ito sa mga bahagi. Ang mga alternating current at voltages, displacements, speed at acceleration ng crank mechanisms at acoustic waves ay mga tipikal na praktikal na halimbawa ng paggamit ng periodic functions sa mga kalkulasyon ng engineering.
Ang pagpapalawak ng serye ng Fourier ay batay sa pagpapalagay na ang lahat ng mga function ng praktikal na kahalagahan sa pagitan -π ≤x≤ π ay maaaring ipahayag sa anyo ng convergent trigonometric series (ang isang serye ay itinuturing na convergent kung ang pagkakasunud-sunod ng mga partial sums na binubuo ng mga termino nito nagtatagpo):
Karaniwang (=ordinaryong) notation sa pamamagitan ng kabuuan ng sinx at cosx
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
kung saan ang a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. ay mga tunay na constants, i.e.
Kung saan, para sa hanay mula -π hanggang π, ang Fourier series coefficients ay kinakalkula gamit ang mga formula:
Ang mga coefficient na a o , a n at b n ay tinatawag Fourier coefficients, at kung mahahanap ang mga ito, tatawagin ang serye (1). sa tabi ni Fourier, naaayon sa function na f(x). Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx+b 1 sinx) ay tinatawag na una o pangunahing harmonic,
Ang isa pang paraan upang magsulat ng isang serye ay ang paggamit ng ugnayang acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Kung saan ang a o ay pare-pareho, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 ay ang mga amplitude ng iba't ibang bahagi, at katumbas ng a n =arctg a n /b n.
Para sa serye (1), ang termino (a 1 cosx+b 1 sinx) o c 1 sin(x+α 1) ay tinatawag na una o pangunahing harmonic,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) o c 2 sin(2x+α 2) ay tinatawag pangalawang harmonic at iba pa.
Upang tumpak na kumatawan sa isang kumplikadong signal ay karaniwang nangangailangan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino. Gayunpaman, sa maraming praktikal na mga problema sapat na upang isaalang-alang lamang ang mga unang ilang termino.
Fourier series ng non-periodic functions na may period 2π.
Pagpapalawak ng mga non-periodic function.
Kung ang function na f(x) ay hindi pana-panahon, nangangahulugan ito na hindi ito mapalawak sa seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Gayunpaman, posibleng tumukoy ng seryeng Fourier na kumakatawan sa isang function sa anumang saklaw ng lapad na 2π.
Dahil sa isang non-periodic function, ang isang bagong function ay maaaring mabuo sa pamamagitan ng pagpili ng mga value ng f(x) sa loob ng isang partikular na range at pag-uulit ng mga ito sa labas ng range na iyon sa 2π na mga pagitan. Dahil ang bagong function ay panaka-nakang may tuldok 2π, maaari itong palawakin sa seryeng Fourier para sa lahat ng mga halaga ng x. Halimbawa, ang function na f(x)=x ay hindi pana-panahon. Gayunpaman, kung ito ay kinakailangan upang palawakin ito sa isang seryeng Fourier sa pagitan mula o hanggang 2π, pagkatapos ay sa labas ng agwat na ito ay isang periodic function na may panahon na 2π ay itinayo (tulad ng ipinapakita sa figure sa ibaba).
Para sa mga non-periodic function tulad ng f(x)=x, ang kabuuan ng Fourier series ay katumbas ng halaga ng f(x) sa lahat ng punto sa isang partikular na range, ngunit hindi ito katumbas ng f(x) para sa mga puntos sa labas ng saklaw. Upang mahanap ang seryeng Fourier ng isang non-periodic function sa 2π range, ang parehong formula ng Fourier coefficients ay ginagamit.
Kahit at kakaibang mga function.
Sabi nila ang function na y=f(x) kahit, kung f(-x)=f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng kahit na mga function ay palaging simetriko tungkol sa y-axis (iyon ay, sila ay mga mirror na imahe). Dalawang halimbawa ng even functions: y=x2 at y=cosx.
Sinasabi nila na ang function na y=f(x) kakaiba, kung f(-x)=-f(x) para sa lahat ng value ng x. Ang mga graph ng mga kakaibang function ay palaging simetriko tungkol sa pinagmulan.
Maraming mga pag-andar ay hindi kahit na o kakaiba.
Pagpapalawak ng serye ng Fourier sa mga cosine.
Ang Fourier series ng even periodic function f(x) na may period 2π ay naglalaman lamang ng mga cosine terms (ibig sabihin, walang sine terms) at maaaring may kasamang constant term. Kaya naman,
nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,
Ang seryeng Fourier ng isang kakaibang periodic function na f(x) na may tuldok 2π ay naglalaman lamang ng mga terminong may mga sine (iyon ay, hindi ito naglalaman ng mga termino na may mga cosine).
Kaya naman,
nasaan ang mga coefficient ng seryeng Fourier,
Fourier series sa kalahating cycle.
Kung ang isang function ay tinukoy para sa isang saklaw, sabihin nating mula 0 hanggang π, at hindi lamang mula 0 hanggang 2π, maaari itong palawakin sa isang serye sa mga sine o lamang sa mga cosine. Ang nagresultang serye ng Fourier ay tinatawag malapit sa Fourier sa kalahating ikot.
Kung gusto mong makuha ang agnas Half-cycle Fourier sa pamamagitan ng mga cosine function na f(x) sa hanay mula 0 hanggang π, at pagkatapos ay kinakailangan upang bumuo ng isang pantay na periodic function. Sa Fig. Nasa ibaba ang function na f(x)=x, na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang kahit na function ay simetriko tungkol sa f(x) axis, gumuhit kami ng linya AB, tulad ng ipinapakita sa Fig. sa ibaba. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng itinuturing na agwat ang nagreresultang tatsulok na hugis ay panaka-nakang may panahon na 2π, kung gayon ang panghuling graph ay ganito ang hitsura: sa Fig. sa ibaba. Dahil kailangan nating makuha ang Fourier expansion sa mga cosine, tulad ng dati, kinakalkula natin ang Fourier coefficients a o at a n
Kung kailangan mong makuha Fourier half-cycle na pagpapalawak ng sine function na f(x) sa hanay mula 0 hanggang π, pagkatapos ay kinakailangan na bumuo ng isang kakaibang periodic function. Sa Fig. Nasa ibaba ang function na f(x)=x, na binuo sa pagitan mula x=0 hanggang x=π. Dahil ang kakaibang pag-andar ay simetriko tungkol sa pinagmulan, binubuo namin ang linya ng CD, tulad ng ipinapakita sa Fig. Kung ipagpalagay natin na sa labas ng isinasaalang-alang na pagitan ang nagreresultang signal ng sawtooth ay panaka-nakang may panahon na 2π, kung gayon ang panghuling graph ay may anyo na ipinapakita sa Fig. Dahil kailangan nating makuha ang Fourier expansion ng half-cycle sa mga tuntunin ng mga sine, tulad ng dati, kinakalkula natin ang Fourier coefficient. b
Fourier series para sa isang arbitrary na pagitan.
Pagpapalawak ng periodic function na may period L.
Ang periodic function na f(x) ay umuulit habang ang x ay tumataas ng L, i.e. f(x+L)=f(x). Ang paglipat mula sa naunang itinuturing na mga function na may panahon na 2π hanggang sa mga function na may isang panahon ng L ay medyo simple, dahil ito ay maaaring gawin gamit ang isang pagbabago ng variable.
Upang mahanap ang seryeng Fourier ng function na f(x) sa hanay na -L/2≤x≤L/2, ipinakilala namin ang isang bagong variable na u upang ang function na f(x) ay may panahon na 2π na may kaugnayan sa u. Kung u=2πx/L, kung gayon x=-L/2 para sa u=-π at x=L/2 para sa u=π. Hayaan din ang f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ang seryeng Fourier F(u) ay may anyo
(Ang mga limitasyon ng pagsasama ay maaaring mapalitan ng anumang pagitan ng haba L, halimbawa, mula 0 hanggang L)
Fourier series sa kalahating cycle para sa mga function na tinukoy sa interval L≠2π.
Para sa pagpapalit na u=πх/L, ang pagitan mula x=0 hanggang x=L ay tumutugma sa pagitan mula u=0 hanggang u=π. Dahil dito, ang function ay maaaring palawakin sa isang serye lamang sa mga cosine o lamang sa mga sine, i.e. V Fourier series sa kalahating cycle.
Ang pagpapalawak ng cosine sa hanay mula 0 hanggang L ay may anyo
