Lutasin ang mga halimbawa ng trigonometric equation. Paano malutas ang mga equation ng trigonometriko

Kapag nag-solve ng marami mga problema sa matematika, lalo na ang mga nangyari bago ang grade 10, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na isinagawa na hahantong sa layunin ay malinaw na tinukoy. Kabilang sa mga naturang problema, halimbawa, ang mga linear at quadratic equation, linear at parisukat na hindi pagkakapantay-pantay, fractional equation, at equation na bumababa sa quadratic equation. Ang prinsipyo ng matagumpay na solusyon ng bawat isa sa mga nabanggit na gawain ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang maitaguyod kung anong uri ang problema na nalutas ay nabibilang, tandaan ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa nais na resulta, i.e. sagutin at sundin ang mga hakbang na ito.

Malinaw, ang tagumpay o kabiguan sa paglutas ng isang partikular na problema ay higit sa lahat ay nakasalalay sa kung gaano katama ang uri ng equation na nalulutas, kung gaano katama ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito ay muling ginawa. Siyempre, sa kasong ito, kinakailangan na magkaroon ng mga kasanayan upang magsagawa ng magkatulad na mga pagbabago at kalkulasyon.

Iba't ibang sitwasyon ang nangyayari sa trigonometriko equation. Hindi mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometric. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag tinutukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa tamang sagot.

Sa pamamagitan ng hitsura equation minsan mahirap matukoy ang uri nito. At nang hindi nalalaman ang uri ng equation, halos imposibleng pumili ng tama mula sa ilang dosenang mga formula ng trigonometriko.

Upang malutas ang trigonometric equation, dapat nating subukan:

1. dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong anggulo";
2. dalhin ang equation sa "parehong mga function";
3. i-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.

Isipin mo mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

I. Pagbawas sa pinakasimpleng trigonometric equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Ipahayag ang trigonometric function sa mga tuntunin ng mga kilalang bahagi.

Hakbang 2 Maghanap ng argumento ng function gamit ang mga formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

kasalanan x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Hakbang 3 Maghanap ng hindi kilalang variable.

Halimbawa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solusyon.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Sagot: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Pagpapalit ng variable

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Dalhin ang equation sa isang algebraic form na may paggalang sa isa sa mga trigonometric function.

Hakbang 2 Tukuyin ang resultang function ng variable na t (kung kinakailangan, ipakilala ang mga paghihigpit sa t).

Hakbang 3 Isulat at lutasin ang resultang algebraic equation.

Hakbang 4 Gumawa ng reverse substitution.

Hakbang 5 Lutasin ang pinakasimpleng trigonometric equation.

Halimbawa.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Solusyon.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Hayaan ang kasalanan (x/2) = t, kung saan |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2 ay hindi nakakatugon sa kondisyon |t| ≤ 1.

4) kasalanan (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Sagot: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Palitan ang equation na ito ng isang linear gamit ang power reduction formula:

kasalanan 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hakbang 2 Lutasin ang resultang equation gamit ang mga pamamaraan I at II.

Halimbawa.

cos2x + cos2x = 5/4.

Solusyon.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Sagot: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Mga homogenous na equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Dalhin ang equation na ito sa form

a) isang kasalanan x + b cos x = 0 ( homogenous equation unang degree)

o sa view

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Hakbang 2 Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

at kunin ang equation para sa tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Hakbang 3 Lutasin ang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Solusyon.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Hayaan ang tg x = t, pagkatapos

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 o t = -4, kaya

tg x = 1 o tg x = -4.

Mula sa unang equation x = π/4 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Paraan para sa pagbabago ng isang equation gamit ang mga trigonometric formula

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Gamit ang lahat ng uri ng trigonometric formula, dalhin ang equation na ito sa isang equation na maaaring malutas ng mga pamamaraan I, II, III, IV.

Hakbang 2 Lutasin ang resultang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Solusyon.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) kasalanan 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

Mula sa unang equation 2x = π/2 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation cos x = -1/2.

Mayroon kaming x = π/4 + πn/2, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Bilang resulta, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sagot: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Kakayahan at kakayahang malutas trigonometriko equation ay napaka mahalaga, ang kanilang pag-unlad ay nangangailangan ng malaking pagsisikap, kapwa sa bahagi ng mag-aaral at ng guro.

Maraming mga problema ng stereometry, pisika, atbp. ay konektado sa solusyon ng trigonometric equation. Ang proseso ng paglutas ng mga naturang problema, kumbaga, ay naglalaman ng maraming kaalaman at kasanayan na nakuha kapag pinag-aaralan ang mga elemento ng trigonometry.

Ang mga equation ng trigonometric ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pagtuturo ng matematika at pag-unlad ng personalidad sa pangkalahatan.

May tanong ka ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Kapag nag-solve ng marami mga problema sa matematika, lalo na ang mga nangyari bago ang grade 10, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na isinagawa na hahantong sa layunin ay malinaw na tinukoy. Kabilang sa mga naturang problema, halimbawa, ang mga linear at quadratic na equation, linear at quadratic inequalities, fractional equation, at mga equation na bumababa sa mga quadratic. Ang prinsipyo ng matagumpay na solusyon ng bawat isa sa mga nabanggit na gawain ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang maitaguyod kung anong uri ang problema na nalutas ay nabibilang, tandaan ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa nais na resulta, i.e. sagutin at sundin ang mga hakbang na ito.

Malinaw, ang tagumpay o kabiguan sa paglutas ng isang partikular na problema ay higit sa lahat ay nakasalalay sa kung gaano katama ang uri ng equation na nalulutas, kung gaano katama ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito ay muling ginawa. Siyempre, sa kasong ito, kinakailangan na magkaroon ng mga kasanayan upang magsagawa ng magkatulad na mga pagbabago at kalkulasyon.

Iba't ibang sitwasyon ang nangyayari sa trigonometriko equation. Hindi mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometric. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag tinutukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa tamang sagot.

Minsan mahirap matukoy ang uri nito sa pamamagitan ng hitsura ng isang equation. At nang hindi nalalaman ang uri ng equation, halos imposibleng pumili ng tama mula sa ilang dosenang mga formula ng trigonometriko.

Upang malutas ang trigonometric equation, dapat nating subukan:

1. dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong anggulo";
2. dalhin ang equation sa "parehong mga function";
3. i-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.

Isipin mo mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

I. Pagbawas sa pinakasimpleng trigonometric equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Ipahayag ang trigonometric function sa mga tuntunin ng mga kilalang bahagi.

Hakbang 2 Maghanap ng argumento ng function gamit ang mga formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

kasalanan x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Hakbang 3 Maghanap ng hindi kilalang variable.

Halimbawa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solusyon.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Sagot: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Pagpapalit ng variable

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Dalhin ang equation sa isang algebraic form na may paggalang sa isa sa mga trigonometric function.

Hakbang 2 Tukuyin ang resultang function ng variable na t (kung kinakailangan, ipakilala ang mga paghihigpit sa t).

Hakbang 3 Isulat at lutasin ang resultang algebraic equation.

Hakbang 4 Gumawa ng reverse substitution.

Hakbang 5 Lutasin ang pinakasimpleng trigonometric equation.

Halimbawa.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Solusyon.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Hayaan ang kasalanan (x/2) = t, kung saan |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2 ay hindi nakakatugon sa kondisyon |t| ≤ 1.

4) kasalanan (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Sagot: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Palitan ang equation na ito ng isang linear gamit ang power reduction formula:

kasalanan 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hakbang 2 Lutasin ang resultang equation gamit ang mga pamamaraan I at II.

Halimbawa.

cos2x + cos2x = 5/4.

Solusyon.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Sagot: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Mga homogenous na equation

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Dalhin ang equation na ito sa form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogeneous equation ng unang degree)

o sa view

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Hakbang 2 Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

at kunin ang equation para sa tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Hakbang 3 Lutasin ang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Solusyon.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Hayaan ang tg x = t, pagkatapos

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 o t = -4, kaya

tg x = 1 o tg x = -4.

Mula sa unang equation x = π/4 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Sagot: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Paraan para sa pagbabago ng isang equation gamit ang mga trigonometric formula

Skema ng solusyon

Hakbang 1. Gamit ang lahat ng uri ng trigonometric formula, dalhin ang equation na ito sa isang equation na maaaring malutas ng mga pamamaraan I, II, III, IV.

Hakbang 2 Lutasin ang resultang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Solusyon.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) kasalanan 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

Mula sa unang equation 2x = π/2 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation cos x = -1/2.

Mayroon kaming x = π/4 + πn/2, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Bilang resulta, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sagot: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ang kakayahan at kasanayan upang malutas ang mga trigonometric equation ay napaka mahalaga, ang kanilang pag-unlad ay nangangailangan ng malaking pagsisikap, kapwa sa bahagi ng mag-aaral at ng guro.

Maraming mga problema ng stereometry, pisika, atbp. ay konektado sa solusyon ng trigonometric equation. Ang proseso ng paglutas ng mga naturang problema, kumbaga, ay naglalaman ng maraming kaalaman at kasanayan na nakuha kapag pinag-aaralan ang mga elemento ng trigonometry.

Ang mga equation ng trigonometric ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pagtuturo ng matematika at pag-unlad ng personalidad sa pangkalahatan.

May tanong ka ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Nangangailangan ng kaalaman sa mga pangunahing formula ng trigonometry - ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine, ang pagpapahayag ng tangent sa pamamagitan ng sine at cosine, at iba pa. Para sa mga nakalimutan o hindi nakakakilala sa kanila, inirerekomenda naming basahin ang artikulong "".
Kaya, alam namin ang mga pangunahing trigonometriko formula, oras na upang maisagawa ang mga ito. Paglutas ng mga equation ng trigonometriko sa tamang diskarte, ito ay isang kapana-panabik na aktibidad, tulad ng, halimbawa, paglutas ng isang Rubik's cube.

Batay sa mismong pangalan, malinaw na ang isang trigonometric equation ay isang equation kung saan ang hindi alam ay nasa ilalim ng tanda ng isang trigonometric function.
May mga tinatawag na simpleng trigonometric equation. Ganito ang hitsura nila: sinх = a, cos x = a, tg x = a. isaalang-alang, kung paano lutasin ang gayong mga trigonometric equation, para sa kalinawan, gagamitin namin ang pamilyar na trigonometriko na bilog.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

higaan x = a

Anumang trigonometriko equation ay malulutas sa dalawang yugto: dinadala namin ang equation sa pinakasimpleng anyo at pagkatapos ay lutasin ito bilang pinakasimpleng trigonometric equation.
Mayroong 7 pangunahing pamamaraan kung saan nalulutas ang mga trigonometric equation.

1. Variable substitution at substitution method

Lutasin ang equation na 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Gamit ang mga formula ng pagbabawas na nakukuha natin:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Palitan natin ang cos(x + /6) ng y para sa pagiging simple at kunin ang karaniwan quadratic equation:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Ang mga ugat kung saan y 1 = 1, y 2 = 1/2

Ngayon ay bumalik tayo

Pinapalitan namin ang mga nahanap na halaga ng y at nakakuha ng dalawang sagot:

2. Paglutas ng mga equation ng trigonometriko sa pamamagitan ng factorization

Paano malutas sin equation x + cos x = 1 ?

Ilipat natin ang lahat sa kaliwa upang manatili ang 0 sa kanan:

sin x + cos x - 1 = 0

Ginagamit namin ang mga pagkakakilanlan sa itaas upang gawing simple ang equation:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Gawin natin ang factorization:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Kumuha kami ng dalawang equation

3. Pagbawas sa isang homogenous na equation

Ang isang equation ay homogenous na may paggalang sa sine at cosine kung ang lahat ng mga termino nito tungkol sa sine at cosine ay may parehong antas ng parehong anggulo. Upang malutas ang isang homogenous na equation, magpatuloy tulad ng sumusunod:

a) ilipat ang lahat ng mga miyembro nito sa kaliwang bahagi;

b) alisin ang lahat ng karaniwang salik sa mga bracket;

c) ipantay ang lahat ng mga salik at mga bracket sa 0;

d) sa mga bracket, ang isang homogenous na equation ng isang mas mababang antas ay nakuha, na, sa turn, ay hinati ng isang sine o cosine sa isang mas mataas na antas;

e) lutasin ang nagresultang equation para sa tg.

Lutasin ang equation na 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Gamitin natin ang formula na sin 2 x + cos 2 x = 1 at alisin ang bukas na dalawa sa kanan:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Hatiin sa cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Pinapalitan namin ang tg x ng y at kumuha ng quadratic equation:

y 2 + 4y +3 = 0 na ang mga ugat ay y 1 =1, y 2 = 3

Mula dito nakita namin ang dalawang solusyon sa orihinal na equation:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Paglutas ng mga equation, sa pamamagitan ng paglipat sa kalahating anggulo

Lutasin ang equation na 3sin x - 5cos x = 7

Lumipat tayo sa x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Inilipat ang lahat sa kaliwa:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Hatiin sa cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Pagpapakilala ng isang pantulong na anggulo

Para sa pagsasaalang-alang, kunin natin ang isang equation ng form: a sin x + b cos x \u003d c,

kung saan ang a, b, c ay ilang mga arbitrary coefficients at ang x ay isang hindi kilala.

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng:



Ngayon ang mga coefficient ng equation ayon sa mga formula ng trigonometriko ay may mga katangian ng sin at cos, ibig sabihin: ang kanilang modulus ay hindi hihigit sa 1 at ang kabuuan ng mga parisukat = 1. Ipaalam sa amin tukuyin ang mga ito ayon sa pagkakabanggit bilang cos at kasalanan, kung saan ay ang tinatawag na auxiliary angle. Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

o sin(x + ) = C

Ang solusyon sa simpleng trigonometric equation na ito ay

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, kung saan



Dapat pansinin na ang mga pagtatalaga ng cos at kasalanan ay mapagpapalit.

Lutasin ang equation na sin 3x - cos 3x = 1

Sa equation na ito, ang mga coefficient ay:

a \u003d, b \u003d -1, kaya hinahati namin ang parehong bahagi sa \u003d 2

Ang konsepto ng paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

• Upang malutas ang isang trigonometric equation, i-convert ito sa isa o higit pang pangunahing trigonometriko equation. Ang paglutas ng trigonometric equation sa huli ay bumababa sa paglutas ng apat na pangunahing trigonometric equation.

Ang mga trigonometric equation ay hindi ang pinakamadaling paksa. Masakit na magkaiba sila.) Halimbawa, ang mga ito:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

atbp...

Ngunit ang mga ito (at lahat ng iba pang) trigonometric monsters ay may dalawang karaniwan at obligadong tampok. Una - hindi ka maniniwala - may mga trigonometric function sa mga equation.) Pangalawa: lahat ng expression na may x ay sa loob ng parehong mga function na ito. At doon lang! Kung lilitaw ang x sa isang lugar sa labas, Halimbawa, sin2x + 3x = 3, ito ay magiging isang mixed type equation. Ang ganitong mga equation ay nangangailangan indibidwal na diskarte. Dito hindi natin sila isasaalang-alang.

Hindi rin natin lulutasin ang masasamang equation sa araling ito.) Dito natin haharapin ang pinakasimpleng trigonometriko equation. Bakit? Oo, dahil ang desisyon anuman Ang mga equation ng trigonometriko ay binubuo ng dalawang yugto. Sa unang yugto, ang masamang equation ay nabawasan sa isang simpleng isa sa pamamagitan ng iba't ibang mga pagbabago. Sa pangalawa - ang pinakasimpleng equation na ito ay nalutas. Walang ibang paraan.

Kaya, kung mayroon kang mga problema sa ikalawang yugto, ang unang yugto ay walang gaanong kahulugan.)

Ano ang hitsura ng elementarya na trigonometric equation?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Dito a ay kumakatawan sa anumang numero. Anuman.

Sa pamamagitan ng paraan, sa loob ng function ay maaaring walang purong x, ngunit ilang uri ng pagpapahayag, tulad ng:

cos(3x+π /3) = 1/2

atbp. Pinapalubha nito ang buhay, ngunit hindi nakakaapekto sa paraan ng paglutas ng trigonometric equation.

Paano malutas ang mga equation ng trigonometriko?

Ang mga equation ng trigonometric ay maaaring malutas sa dalawang paraan. Ang unang paraan: gamit ang lohika at isang trigonometriko na bilog. Tuklasin natin ang landas na ito dito. Ang ikalawang paraan - gamit ang memorya at mga formula - ay isasaalang-alang sa susunod na aralin.

Ang unang paraan ay malinaw, maaasahan, at mahirap kalimutan.) Ito ay mabuti para sa paglutas ng mga trigonometric equation, hindi pagkakapantay-pantay, at lahat ng uri ng nakakalito na hindi karaniwang mga halimbawa. Ang lohika ay mas malakas kaysa sa memorya!

Nilulutas namin ang mga equation gamit ang isang trigonometriko na bilog.

Kasama namin ang elementarya na lohika at ang kakayahang gumamit ng trigonometriko na bilog. Hindi ba pwede!? Gayunpaman... Magiging mahirap para sa iyo sa trigonometrya...) Ngunit hindi mahalaga. Tingnan ang mga aralin na "Trigonometric circle ...... Ano ito?" at "Pagbibilang ng mga anggulo sa isang trigonometric na bilog." Simple lang ang lahat doon. Hindi tulad ng mga aklat-aralin...)

Ah, alam mo!? At pinagkadalubhasaan pa ang "Praktikal na gawaing may trigonometriko na bilog"!? Tanggapin ang pagbati. Ang paksang ito ay magiging malapit at mauunawaan sa iyo.) Ano ang lalong nakalulugod, trigonometriko bilog hindi mahalaga kung aling equation ang iyong malulutas. Sine, cosine, tangent, cotangent - lahat ay pareho para sa kanya. Ang prinsipyo ng solusyon ay pareho.

Kaya kumukuha kami ng anumang elementarya na trigonometric equation. Hindi bababa sa ito:

cosx = 0.5

Kailangan kong hanapin si X. Ang pagsasalita sa wika ng tao, kailangan mo hanapin ang anggulo (x) na ang cosine ay 0.5.

Paano natin ginamit ang bilog noon? Gumuhit kami ng isang sulok dito. Sa mga degree o radian. At kaagad nakita trigonometriko function ng anggulong ito. Ngayon gawin natin ang kabaligtaran. Gumuhit ng cosine na katumbas ng 0.5 sa bilog at kaagad titingnan natin sulok. Ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot.) Oo, oo!

Gumuhit kami ng isang bilog at markahan ang cosine na katumbas ng 0.5. Sa cosine axis, siyempre. Ganito:

Ngayon ay iguhit natin ang anggulo na ibinibigay sa atin ng cosine na ito. I-hover ang iyong mouse sa ibabaw ng larawan (o pindutin ang larawan sa isang tablet), at tingnan mo itong parehong sulok X.

Aling anggulo ang may cosine na 0.5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Ang ilang mga tao ay mag-uungol nang may pag-aalinlangan, oo... Sabi nila, sulit ba ang pagbabakod sa bilog, kapag malinaw na ang lahat... Maaari mo, siyempre, ang pag-ungol...) Ngunit ang katotohanan ay ito ay isang mali sagot. O sa halip, hindi sapat. Naiintindihan ng mga connoisseurs ng bilog na mayroon pa ring isang buong grupo ng mga anggulo na nagbibigay din ng cosine na katumbas ng 0.5.

Kung iikot mo ang movable side OA para sa isang buong pagliko, babalik ang point A sa orihinal nitong posisyon. Na may parehong cosine na katumbas ng 0.5. Yung. magbabago ang anggulo 360° o 2π radians, at ang cosine ay hindi. Ang bagong anggulo 60° + 360° = 420° ay magiging solusyon din sa ating equation, dahil

Mayroong walang katapusang bilang ng gayong buong pag-ikot... At lahat ng mga bagong anggulong ito ay magiging mga solusyon sa ating trigonometric equation. At lahat sila ay kailangang isulat kahit papaano. Lahat. Kung hindi, ang desisyon ay hindi isinasaalang-alang, oo ...)

Magagawa ito ng matematika nang simple at elegante. Sa isang maikling sagot, isulat walang katapusang set mga solusyon. Narito kung ano ang hitsura nito para sa aming equation:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

I-decipher ko. Sumulat pa rin makahulugan mas maganda kaysa sa hangal na gumuhit ng ilang mahiwagang mga titik, tama ba?)

π /3 ay ang parehong anggulo na tayo nakita sa bilog at determinado ayon sa talahanayan ng mga cosine.

2π ay isang buong pagliko sa radians.

n - ito ang bilang ng kumpleto, i.e. buo mga rebolusyon. Ito ay malinaw na n maaaring 0, ±1, ±2, ±3.... at iba pa. Ano ang ipinahiwatig maikling tala:

n ∈ Z

n kabilang ( ∈ ) sa hanay ng mga integer ( Z ). Sa pamamagitan ng paraan, sa halip na ang sulat n maaaring gamitin ang mga titik k, m, t atbp.

Nangangahulugan ang notasyong ito na maaari kang kumuha ng anumang integer n . Hindi bababa sa -3, hindi bababa sa 0, hindi bababa sa +55. Anong gusto mo. Kung isaksak mo ang numerong iyon sa iyong sagot, makakakuha ka ng isang partikular na anggulo, na tiyak na magiging solusyon sa aming malupit na equation.)

O, sa madaling salita, x \u003d π / 3 ay ang tanging ugat ng isang walang katapusang set. Upang makuha ang lahat ng iba pang mga ugat, sapat na upang magdagdag ng anumang bilang ng buong pagliko sa π / 3 ( n ) sa radians. Yung. 2πn radian.

Lahat? Hindi. Partikular kong binabanat ang kasiyahan. Para mas matandaan.) Nakatanggap lang kami ng bahagi ng mga sagot sa aming equation. Isusulat ko itong unang bahagi ng solusyon tulad ng sumusunod:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - hindi isang ugat, ito ay isang buong serye ng mga ugat, nakasulat sa maikling anyo.

Ngunit may iba pang mga anggulo na nagbibigay din ng cosine na katumbas ng 0.5!

Bumalik tayo sa aming larawan, ayon sa kung saan isinulat namin ang sagot. Nandiyan siya:

Ilipat ang mouse sa ibabaw ng imahe at tingnan mo ibang sulok yan nagbibigay din ng cosine na 0.5. Ano sa tingin mo ang katumbas nito? Ang mga tatsulok ay pareho... Oo! Siya katumbas ng anggulo X , naka-plot lamang sa negatibong direksyon. Ito ang sulok -X. Ngunit nakalkula na namin ang x. π /3 o 60°. Samakatuwid, maaari naming ligtas na magsulat:

x 2 \u003d - π / 3

At, siyempre, idinagdag namin ang lahat ng mga anggulo na nakuha sa pamamagitan ng buong pagliko:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Iyon lang ngayon.) Sa isang trigonometric circle, kami nakita(sino ang nakakaintindi, siyempre)) lahat ang mga anggulo na nagbibigay ng cosine na katumbas ng 0.5. At isinulat ang mga anggulong ito nang maikli anyong matematikal. Ang sagot ay dalawang walang katapusang serye ng mga ugat:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ito ang tamang sagot.

pag-asa, pangkalahatang prinsipyo para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko sa tulong ng isang bilog ay naiintindihan. Minarkahan namin ang cosine (sine, tangent, cotangent) mula sa ibinigay na equation sa bilog, iguhit ang kaukulang mga anggulo at isulat ang sagot. Siyempre, kailangan mong malaman kung anong uri ng mga sulok tayo nakita sa bilog. Minsan hindi masyadong halata. Well, tulad ng sinabi ko, kailangan ang logic dito.)

Halimbawa, pag-aralan natin ang isa pang trigonometric equation:

Mangyaring tandaan na ang bilang na 0.5 ay hindi lamang ang posibleng numero sa mga equation!) Mas maginhawa para sa akin na isulat ito kaysa sa mga ugat at praksyon.

Nagtatrabaho kami ayon sa pangkalahatang prinsipyo. Gumuhit kami ng isang bilog, markahan (sa sine axis, siyempre!) 0.5. Gumuhit kami nang sabay-sabay sa lahat ng mga anggulo na naaayon sa sine na ito. Nakuha namin ang larawang ito:

Hayaan muna natin ang anggulo. X sa unang quarter. Naaalala namin ang talahanayan ng mga sine at tinutukoy ang halaga ng anggulong ito. Ang bagay ay simple:

x \u003d π / 6

Naaalala namin ang buong pagliko at, nang may malinis na budhi, isulat ang unang serye ng mga sagot:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ang kalahati ng trabaho ay tapos na. Ngayon kailangan nating tukuyin pangalawang kanto... Ito ay mas nakakalito kaysa sa mga cosine, oo ... Ngunit ililigtas tayo ng lohika! Paano matukoy ang pangalawang anggulo sa pamamagitan ng x? Oo Madali! Ang mga tatsulok sa larawan ay pareho, at ang pulang sulok X katumbas ng anggulo X . Tanging ito ay binibilang mula sa anggulo π sa negatibong direksyon. Iyon ang dahilan kung bakit ito ay pula.) At para sa sagot, kailangan namin ng isang anggulo na sinusukat nang tama mula sa positibong semiaxis OX, i.e. mula sa isang anggulo ng 0 degrees.

I-hover ang cursor sa larawan at tingnan ang lahat. Inalis ko ang unang sulok upang hindi kumplikado ang larawan. Ang anggulo ng interes sa amin (iginuhit sa berde) ay magiging katumbas ng:

π - x

x alam natin π /6 . Kaya ang pangalawang anggulo ay magiging:

π - π /6 = 5π /6

Muli, naaalala namin ang pagdaragdag ng buong rebolusyon at isulat ang pangalawang serye ng mga sagot:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Iyon lang. Ang isang kumpletong sagot ay binubuo ng dalawang serye ng mga ugat:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ang mga equation na may tangent at cotangent ay madaling malutas gamit ang parehong pangkalahatang prinsipyo para sa paglutas ng mga trigonometric equation. Maliban kung, siyempre, alam mo kung paano gumuhit ng tangent at cotangent sa isang trigonometric na bilog.

Sa mga halimbawa sa itaas, ginamit ko ang tabular na halaga ng sine at cosine: 0.5. Yung. isa sa mga kahulugan na alam ng mag-aaral dapat. Ngayon palawakin natin ang ating mga kakayahan upang lahat ng iba pang mga halaga. Magpasya, kaya magpasya!)

Kaya, sabihin nating kailangan nating lutasin ang sumusunod na trigonometric equation:

Ang halaga ng cosine na ito sa mga talahanayan ng buod hindi. Hindi namin pinapansin ang kakila-kilabot na katotohanang ito. Gumuhit kami ng isang bilog, markahan ang 2/3 sa cosine axis at iguhit ang kaukulang mga anggulo. Nakukuha namin ang larawang ito.

Naiintindihan namin, bilang panimula, na may anggulo sa unang quarter. Upang malaman kung ano ang katumbas ng x, agad nilang isusulat ang sagot! Hindi namin alam... Failure!? Kalmado! Ang matematika ay hindi iniiwan ang sarili nitong problema! Nag-imbento siya ng mga arc cosine para sa kasong ito. Hindi alam? walang kabuluhan. Alamin. Ito ay mas madali kaysa sa iyong iniisip. Ayon sa link na ito, walang isang mapanlinlang na spell tungkol sa "inverse trigonometric functions" ... Ito ay kalabisan sa paksang ito.

Kung alam mo, sabihin lang sa iyong sarili, "Ang X ay isang anggulo na ang cosine ay 2/3." At kaagad, sa pamamagitan lamang ng kahulugan ng arccosine, maaari nating isulat:

Naaalala namin ang tungkol sa mga karagdagang rebolusyon at mahinahong isulat ang unang serye ng mga ugat ng aming trigonometric equation:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ang pangalawang serye ng mga ugat ay halos awtomatikong nakasulat din, para sa pangalawang anggulo. Ang lahat ay pareho, ang x (arccos 2/3) lang ang magkakaroon ng minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

At lahat ng bagay! Ito ang tamang sagot. Kahit na mas madali kaysa sa mga halaga ng talahanayan. Hindi mo kailangang matandaan ang anuman.) Sa pamamagitan ng paraan, ang pinaka-matulungin ay mapapansin na ang larawang ito na may solusyon sa pamamagitan ng arc cosine ay mahalagang hindi naiiba mula sa larawan para sa equation cosx = 0.5.

Eksakto! Pangkalahatang prinsipyo kaya pala karaniwan na! Partikular na iginuhit ko ang dalawang halos magkaparehong larawan. Ipinapakita sa amin ng bilog ang anggulo X sa pamamagitan ng cosine nito. Ito ay isang tabular cosine, o hindi - hindi alam ng bilog. Anong uri ng anggulo ito, π / 3, o anong uri ng arc cosine ang nasa atin upang magpasya.

Sa isang sine ang parehong kanta. Halimbawa:

Muli kaming gumuhit ng isang bilog, markahan ang sine na katumbas ng 1/3, iguhit ang mga sulok. Lumalabas ang larawang ito:

At muli ang larawan ay halos kapareho ng para sa equation sinx = 0.5. Muli tayong magsisimula sa kanto sa unang quarter. Ano ang katumbas ng x kung ang sine nito ay 1/3? Walang problema!

Kaya ang unang pakete ng mga ugat ay handa na:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Tingnan natin ang pangalawang anggulo. Sa halimbawa na may halaga ng talahanayan na 0.5, ito ay katumbas ng:

π - x

Kaya dito ito ay magiging eksaktong pareho! Ang x lang ang naiiba, arcsin 1/3. E ano ngayon!? Maaari mong ligtas na isulat ang pangalawang pakete ng mga ugat:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ito ay isang ganap na tamang sagot. Bagama't hindi ito masyadong pamilyar. Ngunit ito ay naiintindihan, umaasa ako.)

Ito ay kung paano nalulutas ang mga trigonometric equation gamit ang isang bilog. Ang landas na ito ay malinaw at naiintindihan. Siya ang nagse-save sa mga equation ng trigonometric na may pagpili ng mga ugat sa isang naibigay na agwat, sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko - sa pangkalahatan ay nalutas ang mga ito halos palaging sa isang bilog. Sa madaling salita, sa anumang mga gawain na medyo mas kumplikado kaysa sa mga karaniwang gawain.

Pagsasabuhay ng kaalaman?

Lutasin ang mga equation ng trigonometriko:

Sa una ito ay mas simple, direkta sa araling ito.

Ngayon ay mas mahirap.

Hint: dito kailangan mong isipin ang tungkol sa bilog. Sa personal.)

At ngayon sa panlabas na hindi mapagpanggap ... Tinatawag din silang mga espesyal na kaso.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Pahiwatig: dito kailangan mong malaman sa isang bilog kung saan mayroong dalawang serye ng mga sagot, at kung saan mayroong isa ... At kung paano isulat ang isa sa halip na dalawang serye ng mga sagot. Oo, upang walang isang ugat mula sa isang walang katapusang bilang ang nawala!)

Well, medyo simple):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hint: dito kailangan mong malaman kung ano ang arcsine, arccosine? Ano ang arc tangent, arc tangent? Ang pinakasimpleng mga kahulugan. Ngunit hindi mo kailangang tandaan ang anumang mga halaga ng talahanayan!)

Ang mga sagot ay, siyempre, magulo):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Hindi ba gumagana ang lahat? Nangyayari ito. Basahin muli ang aralin. Tanging nag-iisip(may ganyan lipas na salita...) At sundin ang mga link. Ang mga pangunahing link ay tungkol sa bilog. Kung wala ito sa trigonometry - kung paano tumawid sa kalsada na nakapiring. Minsan ito ay gumagana.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.