Mga panuntunan sa pagmomodelo ng matematika. Lektura: Pagmomodelo ng matematika

MGA TALA NG LECTURE

Sa rate

"Pagmomodelo ng matematika ng mga makina at sistema ng transportasyon"

Ang kurso ay tumatalakay sa mga isyu na may kaugnayan sa pagmomodelo ng matematika, na may anyo at prinsipyo ng representasyon ng mga modelo ng matematika. Numerical na pamamaraan para sa paglutas ng one-dimensional nonlinear system. Sinasaklaw ang mga tanong sa pagmomodelo ng computer at eksperimento sa computational. Ang mga pamamaraan para sa pagproseso ng data na nakuha bilang isang resulta ng mga pang-agham o pang-industriyang mga eksperimento ay isinasaalang-alang; pananaliksik ng iba't ibang proseso, pagkilala ng mga pattern sa pag-uugali ng mga bagay, proseso at sistema. Ang mga paraan ng interpolation at approximation ng eksperimental na data ay isinasaalang-alang. Mga isyung nauugnay sa computer simulation at solusyon ng nonlinear mga dynamic na sistema. Sa partikular, ang mga pamamaraan ng pagsasama ng numero at solusyon ng mga ordinaryong equation ng kaugalian ng una, pangalawa at mas mataas na mga order ay isinasaalang-alang.

Lektura: Pagmomodelo ng matematika. Form at mga prinsipyo ng representasyon ng mga modelo ng matematika

Tinakpan ang lecture pangkalahatang isyu pagmomolde ng matematika. Ang pag-uuri ng mga modelo ng matematika ay ibinigay.

Ang computer ay matatag na pumasok sa ating buhay, at halos walang ganoong lugar aktibidad ng tao kung saan ang isang computer ay hindi gagamitin. Ang mga kompyuter ay malawak na ginagamit ngayon sa proseso ng paglikha at pagsasaliksik ng mga bagong makina, bago teknolohikal na proseso at maghanap para sa kanilang pinakamainam na mga pagpipilian; kapag nilulutas ang mga problema sa ekonomiya, kapag nilutas ang mga problema ng pagpaplano at pamamahala ng produksyon sa iba't ibang antas. Ang paglikha ng malalaking bagay sa rocketry, pagtatayo ng sasakyang panghimpapawid, paggawa ng mga barko, pati na rin ang disenyo ng mga dam, tulay, atbp., Sa pangkalahatan ay imposible nang walang paggamit ng mga computer.

Para sa paggamit ng mga computer sa paglutas ng mga inilapat na problema, una sa lahat inilapat na gawain dapat na "isalin" sa isang pormal na wikang matematika, i.e. para sa isang tunay na bagay, proseso o sistema, ang modelong pangmatematika nito ay dapat mabuo.

Ang salitang "Model" ay nagmula sa Latin na modus (kopya, larawan, balangkas). Ang pagmomodelo ay ang pagpapalit ng ilang bagay na A ng isa pang bagay na B. Ang pinalitang bagay na A ay tinatawag na orihinal o ang object ng pagmomodelo, at ang kapalit na B ay tinatawag na modelo. Sa madaling salita, ang isang modelo ay isang bagay-kapalit ng orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal.

Ang layunin ng pagmomodelo ay upang makakuha, magproseso, magpakita at gumamit ng impormasyon tungkol sa mga bagay na nakikipag-ugnayan sa isa't isa at panlabas na kapaligiran; at ang modelo dito ay gumaganap bilang isang paraan ng pag-alam ng mga katangian at pattern ng pag-uugali ng bagay.

Ang simulation ay malawakang ginagamit sa iba't ibang larangan aktibidad ng tao, lalo na sa mga lugar ng disenyo at pamamahala, kung saan espesyal ang mga proseso ng paggawa ng mga epektibong desisyon batay sa impormasyong natanggap.

Ang isang modelo ay palaging binuo na may isang tiyak na layunin sa isip, na nakakaimpluwensya kung aling mga katangian ng isang layunin na kababalaghan ay makabuluhan at kung alin ang hindi. Ang modelo ay, kumbaga, isang projection ng layunin na katotohanan mula sa isang tiyak na punto ng view. Minsan, depende sa mga layunin, maaari kang makakuha ng isang bilang ng mga projection ng layunin na katotohanan na sumasalungat. Ito ay tipikal, bilang panuntunan, para sa mga kumplikadong sistema, kung saan ang bawat projection ay nag-iisa kung ano ang mahalaga para sa isang partikular na layunin mula sa isang hanay ng mga hindi mahalaga.

Ang teorya ng pagmomodelo ay isang sangay ng agham na nag-aaral ng mga paraan upang pag-aralan ang mga katangian ng orihinal na mga bagay batay sa pagpapalit sa kanila ng iba pang mga modelong bagay. Ang teorya ng pagkakatulad ay sumasailalim sa teorya ng pagmomolde. Kapag nagmomodelo, hindi nagaganap ang ganap na pagkakatulad at nagsusumikap lamang na matiyak na ang modelo ay sumasalamin sa pinag-aralan na bahagi ng paggana ng bagay nang maayos. Ang ganap na pagkakatulad ay maaaring maganap lamang kapag ang isang bagay ay pinalitan ng isa pang eksaktong kapareho.

Ang lahat ng mga modelo ay maaaring nahahati sa dalawang klase:

1. tunay,

2. perpekto.

Sa turn, ang mga tunay na modelo ay maaaring nahahati sa:

1. natural,

2. pisikal,

3. matematikal.

Ang mga ideal na modelo ay maaaring nahahati sa:

1. visual,

2. iconic,

3. matematikal.

Ang mga tunay na full-scale na modelo ay mga tunay na bagay, proseso at sistema kung saan isinasagawa ang mga pang-agham, teknikal at pang-industriyang mga eksperimento.

Ang mga tunay na pisikal na modelo ay mga mock-up, dummies, reproducing pisikal na katangian mga orihinal (kinematic, dynamic, hydraulic, thermal, electrical, light models).

Ang tunay na matematika ay mga analog, structural, geometric, graphic, digital at cybernetic na mga modelo.

Ang mga ideal na visual na modelo ay mga diagram, mapa, drawing, graph, graph, analogues, structural at geometric na mga modelo.

Ang mga ideal na modelo ng sign ay mga simbolo, alpabeto, programming language, ordered notation, topological notation, network representation.

Ang mga ideal na modelo ng matematika ay analytical, functional, simulation, pinagsamang mga modelo.

Sa pag-uuri sa itaas, ang ilang mga modelo ay may dalawang kahulugan(halimbawa - analog). Ang lahat ng mga modelo, maliban sa mga full-scale, ay maaaring pagsamahin sa isang klase ng mga mental na modelo, dahil ang mga ito ay produkto ng abstract na pag-iisip ng tao.

Manatili tayo sa isa sa mga pinaka-unibersal na uri ng pagmomolde - matematika, na naglalagay sa pagsusulatan sa simulate na pisikal na proseso ng isang sistema ng mga relasyon sa matematika, ang solusyon na nagbibigay-daan sa iyo upang makakuha ng sagot sa tanong tungkol sa pag-uugali ng isang bagay nang walang paglikha ng isang pisikal na modelo, na kadalasang lumalabas na mahal at hindi epektibo.

Ang pagmomodelo ng matematika ay isang paraan ng pag-aaral ng isang tunay na bagay, proseso o sistema sa pamamagitan ng pagpapalit sa kanila ng isang modelong matematikal na mas maginhawa para sa pilot study sa tulong ng kompyuter.

Ang modelong matematikal ay isang tinatayang representasyon ng mga tunay na bagay, proseso o sistema, na ipinahayag sa mga terminong pangmatematika at pinapanatili ang mahahalagang katangian ng orihinal. Ang mga modelo ng matematika sa isang quantitative form, sa tulong ng lohikal at matematikal na mga konstruksyon, ay naglalarawan ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema, mga parameter nito, panloob at Pakikipag-ugnayang panlabas.

Sa pangkalahatang kaso, ang isang matematikal na modelo ng isang tunay na bagay, proseso o sistema ay kinakatawan bilang isang sistema ng mga paggana.

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

kung saan ang X ay isang vector ng mga variable ng input, X= t ,

Y - vector ng mga variable ng output, Y= t ,

Z - vector ng mga panlabas na impluwensya, Z= t ,

t - time coordinate.

Gusali matematikal na modelo ay binubuo sa pagtukoy ng mga link sa pagitan ng ilang mga proseso at phenomena, paglikha ng isang mathematical apparatus na nagbibigay-daan upang maipahayag sa quantitatively at qualitatively ang relasyon sa pagitan ng ilang mga proseso at phenomena, sa pagitan ng mga interesado sa isang espesyalista. pisikal na dami at mga salik na nakakaapekto sa huling resulta.

Kadalasan ay napakarami sa kanila na hindi posible na ipakilala ang kanilang buong hanay sa modelo. Kapag gumagawa ng isang modelo ng matematika, bago ang pagsasaliksik, ang gawain ay lumitaw upang tukuyin at ibukod mula sa pagsasaalang-alang na mga kadahilanan na hindi gaanong nakakaapekto sa pangwakas na resulta (ang isang modelo ng matematika ay karaniwang may kasamang mas maliit na bilang ng mga kadahilanan kaysa sa katotohanan). Batay sa pang-eksperimentong data, inilalagay ang mga hypotheses tungkol sa kaugnayan sa pagitan ng mga dami na nagpapahayag ng huling resulta at ang mga salik na ipinakilala sa modelong matematika. Ang ganitong koneksyon ay madalas na ipinahayag ng mga sistema ng mga differential equation sa mga partial derivatives (halimbawa, sa mga problema ng solid, liquid at gas mechanics, filtration theory, heat conduction, theory of electrostatic at electrodynamic fields).

Ang pangwakas na layunin ng yugtong ito ay ang pagbabalangkas ng isang problema sa matematika, ang solusyon kung saan, na may kinakailangang katumpakan, ay nagpapahayag ng mga resulta na interesado sa isang espesyalista.

Ang anyo at mga prinsipyo ng representasyon ng isang mathematical model ay nakasalalay sa maraming salik.

Ayon sa mga prinsipyo ng konstruksiyon, ang mga modelo ng matematika ay nahahati sa:

1. analitikal;

2. panggagaya.

Sa analytical na mga modelo, ang mga proseso ng paggana ng mga tunay na bagay, proseso o sistema ay nakasulat sa anyo ng mga tahasang functional dependencies.

Ang analytical model ay nahahati sa mga uri depende sa matematikal na problema:

1. mga equation (algebraic, transendental, differential, integral),

2. mga problema sa approximation (interpolation, extrapolation, numerical integration at differentiation),

3. mga problema sa pag-optimize,

4. stochastic na mga problema.

Gayunpaman, habang nagiging mas kumplikado ang object ng pagmomodelo, ang pagbuo ng isang analytical na modelo ay nagiging isang mahirap na problema. Pagkatapos ang mananaliksik ay napipilitang gumamit ng simulation modeling.

Sa simulation modeling, ang paggana ng mga bagay, proseso o system ay inilalarawan ng isang hanay ng mga algorithm. Ginagaya ng mga algorithm ang mga totoong elementarya na phenomena na bumubuo sa isang proseso o sistema habang pinapanatili ang kanilang lohikal na istraktura at pagkakasunud-sunod sa oras. Ginagawang posible ng simulation modeling na makakuha ng impormasyon tungkol sa mga estado ng isang proseso o system sa ilang partikular na oras mula sa paunang data, ngunit mahirap hulaan ang pag-uugali ng mga bagay, proseso o system. Masasabi nating ang mga modelo ng simulation ay mga eksperimento sa computational na nakabatay sa computer na may mga modelong pangmatematika na ginagaya ang pag-uugali ng mga tunay na bagay, proseso o system.

Depende sa likas na katangian ng pinag-aralan na mga tunay na proseso at sistema, ang mga modelo ng matematika ay maaaring:

1. deterministiko,

2. stochastic.

Sa mga deterministikong modelo, ipinapalagay na walang mga random na impluwensya, ang mga elemento ng modelo (mga variable, mga relasyon sa matematika) ay medyo maayos na naitatag, at ang pag-uugali ng system ay maaaring tumpak na matukoy. Kapag nagtatayo ng mga deterministikong modelo, ang pinakakaraniwang ginagamit algebraic equation, integral equation, matrix algebra.

Isinasaalang-alang ng stochastic na modelo ang random na katangian ng mga proseso sa mga bagay at sistemang pinag-aaralan, na inilalarawan ng mga pamamaraan ng probability theory at mathematical statistics.

Ayon sa uri ng impormasyon sa pag-input, ang mga modelo ay nahahati sa:

1. tuloy-tuloy,

2. discrete.

Kung ang impormasyon at mga parameter ay tuloy-tuloy, at ang mga relasyon sa matematika ay matatag, kung gayon ang modelo ay tuloy-tuloy. At kabaligtaran, kung ang impormasyon at mga parameter ay discrete, at ang mga koneksyon ay hindi matatag, kung gayon ang mathematical model ay discrete din.

Ayon sa pag-uugali ng mga modelo sa oras, nahahati sila sa:

1. static,

2. dinamiko.

Inilalarawan ng mga static na modelo ang pag-uugali ng isang bagay, proseso o sistema sa anumang punto ng oras. Sinasalamin ng mga dynamic na modelo ang pag-uugali ng isang bagay, proseso o system sa paglipas ng panahon.

Ayon sa antas ng pagsusulatan sa pagitan ng modelo ng matematika at ng tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga modelo ng matematika ay nahahati sa:

1. isomorphic (pareho ang hugis),

2. homomorphic (iba ang hugis).

Ang isang modelo ay tinatawag na isomorphic kung mayroong isang kumpletong elemento-by-element na pagsusulatan sa pagitan nito at isang tunay na bagay, proseso o sistema. Homomorphic - kung mayroong isang pagsusulatan lamang sa pagitan ng pinakamahalaga mga bahaging bumubuo bagay at modelo.

Sa hinaharap para sa maikling kahulugan uri ng modelo ng matematika sa pag-uuri sa itaas, gagamitin namin ang sumusunod na notasyon:

Unang titik:

D - deterministiko,

C - stochastic.

Pangalawang sulat:

H - tuloy-tuloy,

D - discrete.

ikatlong titik:

A - analitikal,

At - imitasyon.

1. Walang (mas tiyak, hindi ito isinasaalang-alang) ang impluwensya ng mga random na proseso, i.e. deterministikong modelo (D).

2. Ang impormasyon at mga parameter ay tuloy-tuloy, ibig sabihin. modelo - tuloy-tuloy (H),

3. Ang paggana ng modelo ng mekanismo ng crank ay inilarawan sa anyo ng mga non-linear transcendental equation, i.e. modelo - analytical (A)

2. Lecture: Mga tampok ng pagbuo ng mga modelo ng matematika

Inilalarawan ng panayam ang proseso ng pagbuo ng isang modelo ng matematika. Ang pandiwang algorithm ng proseso ay ibinigay.

Upang magamit ang mga computer sa paglutas ng mga inilapat na problema, una sa lahat, ang inilapat na problema ay dapat na "isalin" sa isang pormal na wikang matematika, i.e. para sa isang tunay na bagay, proseso o sistema, ang modelong pangmatematika nito ay dapat mabuo.

Ang mga modelo ng matematika sa isang quantitative form, sa tulong ng lohikal at matematikal na mga konstruksyon, ay naglalarawan ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema, mga parameter nito, panloob at panlabas na mga koneksyon.

Upang bumuo ng isang modelo ng matematika, kailangan mo:

1. maingat na pag-aralan ang isang tunay na bagay o proseso;

2. i-highlight ang pinakamahalagang katangian at katangian nito;

3. tukuyin ang mga variable, i.e. mga parameter na ang mga halaga ay nakakaapekto sa mga pangunahing tampok at katangian ng bagay;

4. ilarawan ang pag-asa ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema sa halaga ng mga variable gamit ang lohikal at matematikal na relasyon (mga equation, equalities, inequalities, logical at mathematical constructions);

5. i-highlight ang mga panloob na koneksyon ng isang bagay, proseso o sistema gamit ang mga paghihigpit, equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal at mathematical na mga konstruksyon;

6. tukuyin ang mga panlabas na relasyon at ilarawan ang mga ito gamit ang mga paghihigpit, equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal at mathematical na mga konstruksyon.

Ang pagmomodelo ng matematika, bilang karagdagan sa pag-aaral ng isang bagay, proseso o sistema at pagsasama-sama ng kanilang paglalarawan sa matematika, ay kinabibilangan din ng:

1. pagbuo ng isang algorithm na nagmomodelo ng gawi ng isang bagay, proseso o sistema;

2. pagpapatunay ng kasapatan ng modelo at bagay, proseso o sistema batay sa computational at natural na eksperimento;

3. pagsasaayos ng modelo;

4. paggamit ng modelo.

Ang matematikal na paglalarawan ng mga proseso at sistemang pinag-aaralan ay nakasalalay sa:

1. ang likas na katangian ng isang tunay na proseso o sistema at pinagsama-sama batay sa mga batas ng pisika, kimika, mekanika, thermodynamics, hydrodynamics, electrical engineering, theory of plasticity, theory of elasticity, atbp.

2. ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng pag-aaral at pag-aaral ng mga tunay na proseso at sistema.

Sa yugto ng pagpili ng isang modelo ng matematika, ang mga sumusunod ay itinatag: linearity at non-linearity ng isang bagay, proseso o sistema, dynamism o static, stationarity o non-stationarity, pati na rin ang antas ng determinism ng object o proseso sa ilalim pag-aaral. Sa pagmomodelo ng matematika, sadyang kumukuha ang isang tao mula sa partikular na pisikal na katangian ng mga bagay, proseso, o sistema at pangunahing nakatuon sa pag-aaral ng quantitative dependencies sa pagitan ng mga dami na naglalarawan sa mga prosesong ito.

Ang isang mathematical model ay hindi kailanman ganap na magkapareho sa itinuturing na bagay, proseso o sistema. Batay sa pagpapasimple, idealization, ito ay isang tinatayang paglalarawan ng bagay. Samakatuwid, ang mga resulta na nakuha sa pagsusuri ng modelo ay tinatayang. Ang kanilang katumpakan ay tinutukoy ng antas ng kasapatan (correspondence) ng modelo at ng bagay.

Ang pagbuo ng isang modelo ng matematika ay karaniwang nagsisimula sa pagbuo at pagsusuri ng pinakasimpleng, pinaka-magaspang na modelo ng matematika ng bagay, proseso o sistemang isinasaalang-alang. Sa hinaharap, kung kinakailangan, ang modelo ay pino, ang pagsusulatan nito sa bagay ay gagawing mas kumpleto.

Kumuha tayo ng isang simpleng halimbawa. Kailangan mong matukoy ang ibabaw na lugar ng desk. Karaniwan, para dito, ang haba at lapad nito ay sinusukat, at pagkatapos ay ang mga resultang numero ay pinarami. Ang gayong pamamaraan sa elementarya ay talagang nangangahulugan ng sumusunod: ang tunay na bagay (ibabaw ng talahanayan) ay pinalitan ng isang abstract na modelo ng matematika - isang parihaba. Ang mga sukat na nakuha bilang isang resulta ng pagsukat ng haba at lapad ng ibabaw ng talahanayan ay iniuugnay sa parihaba, at ang lugar ng naturang parihaba ay tinatayang kinuha bilang ang nais na lugar ng talahanayan.

Gayunpaman, ang modelo ng desk rectangle ay ang pinakasimple, pinaka-magaspang na modelo. Sa isang mas seryosong diskarte sa problema, bago gamitin ang rectangle model upang matukoy ang lugar ng talahanayan, kailangang suriin ang modelong ito. Maaaring isagawa ang mga pagsusuri tulad ng sumusunod: sukatin ang mga haba ng magkabilang panig ng talahanayan, pati na rin ang mga haba ng mga diagonal nito at ihambing ang mga ito sa bawat isa. Kung, sa kinakailangang antas ng katumpakan, ang mga haba ng magkabilang panig at ang mga haba ng mga dayagonal ay magkapares na magkapareho, kung gayon ang ibabaw ng talahanayan ay talagang maituturing na isang parihaba. Kung hindi, ang rectangle model ay kailangang tanggihan at palitan ng quadrilateral na modelo. pangkalahatang pananaw. Sa isang mas mataas na kinakailangan para sa katumpakan, maaaring kinakailangan upang pinuhin pa ang modelo, halimbawa, upang isaalang-alang ang pag-ikot ng mga sulok ng talahanayan.

Sa tulong nito isang simpleng halimbawa ipinakita na ang modelo ng matematika ay hindi natatanging tinutukoy ng bagay, proseso o sistemang pinag-aaralan. Para sa parehong talahanayan, maaari naming tanggapin ang alinman sa isang rectangle na modelo, o isang mas kumplikadong modelo ng isang pangkalahatang quadrilateral, o isang quadrilateral na may mga bilugan na sulok. Ang pagpili ng isa o ibang modelo ay tinutukoy ng pangangailangan ng katumpakan. Sa pagtaas ng katumpakan, ang modelo ay kailangang maging kumplikado, na isinasaalang-alang ang mga bago at bagong tampok ng bagay, proseso o sistemang pinag-aaralan.

Isaalang-alang ang isa pang halimbawa: ang pag-aaral ng paggalaw ng mekanismo ng crank (Larawan 2.1).

kanin. 2.1.

Para sa isang kinematic analysis ng mekanismong ito, una sa lahat, kinakailangan upang bumuo ng kinematic na modelo nito. Para dito:

1. Pinapalitan namin ang mekanismo ng kinematic scheme nito, kung saan ang lahat ng mga link ay pinapalitan ng mga matibay na link;

2. Gamit ang scheme na ito, nakukuha namin ang equation ng paggalaw ng mekanismo;

3. Ang pagkakaiba sa huli, nakukuha natin ang mga equation ng velocities at acceleration, na mga differential equation ng 1st at 2nd order.

Isulat natin ang mga equation na ito:

kung saan ang C 0 ay ang matinding kanang posisyon ng slider C:

r ay ang radius ng crank AB;

l ay ang haba ng connecting rod BC;

- anggulo ng pag-ikot ng pihitan;

Ang mga resultang transendental equation ay kumakatawan sa isang mathematical na modelo ng paggalaw ng isang flat axial crank na mekanismo batay sa mga sumusunod na nagpapasimpleng pagpapalagay:

1. Hindi kami interesado sa mga nakabubuo na anyo at pag-aayos ng masa na kasama sa mekanismo ng mga katawan, at pinalitan namin ang lahat ng mga katawan ng mekanismo ng mga segment ng linya. Sa katunayan, ang lahat ng mga link ng mekanismo ay may masa at medyo kumplikadong hugis. Halimbawa, ang isang connecting rod ay isang kumplikadong prefabricated na koneksyon, ang hugis at sukat nito, siyempre, ay makakaapekto sa paggalaw ng mekanismo;

2. kapag nagtatayo ng isang modelo ng matematika ng paggalaw ng mekanismong isinasaalang-alang, hindi rin namin isinasaalang-alang ang pagkalastiko ng mga katawan na kasama sa mekanismo, i.e. ang lahat ng mga link ay itinuturing na abstract ganap na mahigpit na katawan. Sa katotohanan, ang lahat ng mga katawan na kasama sa mekanismo ay nababanat na mga katawan. Kapag ang mekanismo ay gumagalaw, sila ay sa paanuman ay magiging deformed, nababanat na mga panginginig ng boses ay maaaring mangyari sa kanila. Ang lahat ng ito, siyempre, ay makakaapekto rin sa paggalaw ng mekanismo;

3. hindi namin isinasaalang-alang ang error sa pagmamanupaktura ng mga link, ang mga puwang sa mga kinematic na pares A, B, C, atbp.

Kaya, mahalagang bigyang-diin muli na kung mas mataas ang mga kinakailangan para sa katumpakan ng mga resulta ng paglutas ng problema, mas malaki ang pangangailangan na isaalang-alang ang mga tampok ng bagay, proseso o sistema na pinag-aaralan kapag gumagawa ng isang modelo ng matematika. Gayunpaman, mahalagang huminto dito sa oras, dahil ang isang kumplikadong modelo ng matematika ay maaaring maging isang mahirap na gawain.

Ang modelo ay pinakasimpleng binuo kapag ang mga batas na tumutukoy sa pag-uugali at mga katangian ng isang bagay, proseso o sistema ay kilala, at mayroong maraming praktikal na karanasan sa kanilang aplikasyon.

Higit pa isang mahirap na sitwasyon lumitaw kapag ang ating kaalaman tungkol sa bagay, proseso o sistemang pinag-aaralan ay hindi sapat. Sa kasong ito, kapag gumagawa ng isang modelo ng matematika, ang isa ay kailangang gumawa ng mga karagdagang pagpapalagay na nasa likas na katangian ng mga hypotheses, ang naturang modelo ay tinatawag na isang hypothetical. Ang mga konklusyon na nakuha mula sa pag-aaral ng naturang hypothetical na modelo ay may kondisyon. Upang mapatunayan ang mga konklusyon, kinakailangan upang ihambing ang mga resulta ng pag-aaral ng modelo sa isang computer sa mga resulta ng isang buong sukat na eksperimento. Kaya, ang tanong ng applicability ng isang partikular na modelo ng matematika sa pag-aaral ng bagay, proseso o sistemang isinasaalang-alang ay hindi isang tanong sa matematika at hindi malulutas ng mga pamamaraan ng matematika.

Ang pangunahing criterion ng katotohanan ay eksperimento, pagsasanay sa pinakadulo malawak na kahulugan itong salita.

Ang pagbuo ng isang modelo ng matematika sa mga inilapat na problema ay isa sa mga pinaka kumplikado at responsableng yugto ng trabaho. Ipinapakita ng karanasan na sa maraming mga kaso ang pagpili ng tamang modelo ay nangangahulugan ng paglutas ng problema sa pamamagitan ng higit sa kalahati. Ang kahirapan ng yugtong ito ay nangangailangan ito ng kumbinasyon ng matematika at espesyal na kaalaman. Samakatuwid, napakahalaga na, kapag nilutas ang mga inilapat na problema, ang mga mathematician ay may espesyal na kaalaman tungkol sa bagay, at ang kanilang mga kasosyo, mga espesyalista, ay may isang tiyak na kultura ng matematika, karanasan sa pananaliksik sa kanilang larangan, kaalaman sa mga computer at programming.

Lecture 3. Computer modeling at computational experiment. Paglutas ng mga modelo ng matematika

Computer simulation bilang bagong paraan ang siyentipikong pananaliksik ay batay sa:

1. pagbuo ng mga modelo ng matematika upang ilarawan ang mga prosesong pinag-aaralan;

2. gamit ang pinakabagong mga computer na may mataas na bilis (milyong operasyon bawat segundo) at may kakayahang magsagawa ng pakikipag-usap sa isang tao.

Ang kakanyahan ng simulation ng computer ay ang mga sumusunod: sa batayan ng isang modelo ng matematika, ang isang serye ng mga eksperimento sa computational ay isinasagawa sa tulong ng isang computer, i.e. ang mga katangian ng mga bagay o proseso ay pinag-aralan, ang kanilang pinakamainam na mga parameter at mga mode ng operasyon ay natagpuan, ang modelo ay pino. Halimbawa, ang pagkakaroon ng isang equation na naglalarawan sa kurso ng isang partikular na proseso, maaari mong baguhin ang mga coefficient nito, mga kondisyon ng paunang at hangganan, at siyasatin kung paano kikilos ang bagay sa kasong ito. Bukod dito, posible na mahulaan ang pag-uugali ng isang bagay sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon.

Ginagawang posible ng computational experiment na palitan ang isang mamahaling full-scale na eksperimento ng mga kalkulasyon sa computer. Ito ay nagpapahintulot sa maikling oras at walang makabuluhang gastos sa materyal para magsagawa ng pananaliksik isang malaking bilang mga pagpipilian para sa dinisenyo na bagay o proseso para sa iba't ibang mga mode ng operasyon nito, na makabuluhang binabawasan ang oras na kinakailangan para sa pagbuo ng mga kumplikadong sistema at ang kanilang pagpapakilala sa produksyon.

Computer simulation at computational experiment bilang isang bagong paraan siyentipikong pananaliksik pwersa upang mapabuti ang mathematical apparatus na ginagamit sa pagbuo ng mga mathematical na modelo, nagpapahintulot, gamit mga pamamaraan sa matematika, pinuhin, gawing kumplikado ang mga modelo ng matematika. Ang pinaka-promising para sa pagsasagawa ng computational experiment ay ang paggamit nito upang malutas ang mga pangunahing problemang pang-agham, teknikal at sosyo-ekonomiko sa ating panahon (pagdidisenyo ng mga reactor para sa mga nuclear power plant, pagdidisenyo ng mga dam at hydroelectric power plant, magnetohydrodynamic energy converters, at sa larangan ng ekonomiya. - pagbubuo ng balanseng plano para sa isang industriya, rehiyon, para sa bansa, atbp.).

Sa ilang mga proseso kung saan ang isang buong sukat na eksperimento ay mapanganib para sa buhay at kalusugan ng tao, isang computational na eksperimento ang tanging posible (thermonuclear fusion, space exploration, disenyo at pananaliksik ng kemikal at iba pang mga industriya).

Upang masuri ang kasapatan ng modelo ng matematika at ang tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga resulta ng pananaliksik sa isang computer ay inihahambing sa mga resulta ng isang eksperimento sa isang eksperimental na full-scale na sample. Ang mga resulta ng pag-verify ay ginagamit upang iwasto ang modelo ng matematika o ang tanong ng pagiging angkop ng binuo na modelo ng matematika sa disenyo o pag-aaral ng mga ibinigay na bagay, proseso o sistema ay napagpasyahan.

Sa konklusyon, binibigyang-diin namin muli na ang computer simulation at computational experiment ay ginagawang posible na bawasan ang pag-aaral ng isang "di-matematika" na bagay sa solusyon ng isang problema sa matematika. Binubuksan nito ang posibilidad ng paggamit ng isang mahusay na binuo na kasangkapang pang-matematika para sa pag-aaral nito kasama ng malakas na teknolohiya ng computer. Ito ang batayan para sa paggamit ng matematika at mga kompyuter para sa kaalaman sa mga batas ng totoong mundo at ang paggamit nito sa pagsasanay.

Sa mga gawain ng pagdidisenyo o pag-aaral ng pag-uugali ng mga tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga modelo ng matematika, bilang panuntunan, ay hindi linear, dahil dapat ipakita ng mga ito ang tunay na pisikal na nonlinear na proseso na nagaganap sa kanila. Kasabay nito, ang mga parameter (mga variable) ng mga prosesong ito ay magkakaugnay ng mga pisikal na nonlinear na batas. Samakatuwid, sa mga problema ng pagdidisenyo o pag-aaral ng pag-uugali ng mga tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga modelo ng matematika ng uri ng DND ay kadalasang ginagamit.

Ayon sa klasipikasyon na ibinigay sa lecture 1:

D - ang modelo ay deterministic, walang (mas tiyak, hindi ito isinasaalang-alang) ang impluwensya ng mga random na proseso.

H - tuloy-tuloy ang modelo, tuloy-tuloy ang impormasyon at mga parameter.

A - analytical model, ang paggana ng modelo ay inilarawan sa anyo ng mga equation (linear, nonlinear, system of equation, differential at integral equation).

Kaya, bumuo kami ng isang modelo ng matematika ng itinuturing na bagay, proseso o sistema, i.e. nagpakita ng isang inilapat na problema bilang isang matematikal. Pagkatapos nito, magsisimula ang ikalawang yugto ng paglutas ng inilapat na problema - ang paghahanap o pagbuo ng isang paraan para sa paglutas ng nabuong problema sa matematika. Ang pamamaraan ay dapat na maginhawa para sa pagpapatupad nito sa isang computer, magbigay ng kinakailangang kalidad ng solusyon.

Ang lahat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa matematika ay maaaring nahahati sa 2 grupo:

1. eksaktong paraan para sa paglutas ng mga problema;

2. numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema.

Sa eksaktong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa matematika, ang sagot ay maaaring makuha sa anyo ng mga formula.

Halimbawa, ang pagkalkula ng mga ugat quadratic equation:

o, halimbawa, ang pagkalkula ng mga derivative function:

o pagkalkula tiyak na integral:

Gayunpaman, ang pagpapalit ng mga numero sa formula sa anyo ng may hangganan decimal fractions, nakakakuha pa rin kami ng tinatayang mga halaga ng resulta.

Para sa karamihan ng mga problemang nakatagpo sa pagsasanay, ang mga eksaktong paraan ng solusyon ay hindi alam o nagbibigay ng napakahirap na mga formula. Gayunpaman, hindi sila palaging kinakailangan. Ang isang inilapat na problema ay maituturing na praktikal na nalutas kung malulutas natin ito nang may kinakailangang antas ng katumpakan.

Upang malutas ang mga naturang problema, ang mga pamamaraang pang-numero ay binuo kung saan ang solusyon ng mga kumplikadong problema sa matematika ay nabawasan sa sunud-sunod na pagpapatupad ng isang malaking bilang ng mga simpleng operasyon ng aritmetika. Direktang Pag-unlad numerical na pamamaraan nauugnay sa computational mathematics.

Ang isang halimbawa ng isang numerical na paraan ay ang paraan ng mga parihaba para sa tinatayang pagsasama, na hindi nangangailangan ng pagkalkula ng antiderivative para sa integrand. Sa halip na integral, kinakalkula ang panghuling kabuuan ng quadrature:

x 1 =a - ang mas mababang limitasyon ng pagsasama;

x n+1 =b – itaas na limitasyon ng pagsasama;

n ay ang bilang ng mga segment kung saan nahahati ang integration interval (a,b);

ay ang haba ng isang elementarya na segment;

Ang f(x i) ay ang value ng integrand sa mga dulo ng elementary segments ng integration.

Kung mas malaki ang bilang ng mga segment n kung saan nahahati ang integration interval, mas malapit ang tinatayang solusyon sa totoo, i.e. mas tumpak ang resulta.

Kaya, sa mga inilapat na problema, kapwa kapag gumagamit ng eksaktong mga pamamaraan ng solusyon at kapag gumagamit ng mga pamamaraan ng numerical na solusyon, ang mga resulta ng mga kalkulasyon ay tinatayang. Mahalaga lamang na matiyak na ang mga error ay magkasya sa loob ng kinakailangang katumpakan.

Ang mga numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa matematika ay kilala sa mahabang panahon, kahit na bago ang pagdating ng mga computer, ngunit bihirang ginagamit ang mga ito at sa medyo simpleng mga kaso lamang dahil sa matinding pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon. Ang malawakang paggamit ng mga numerical na pamamaraan ay naging posible salamat sa mga computer.

Pagmomodelo sa matematika

1. Ano ang mathematical modelling?

Mula noong kalagitnaan ng XX siglo. sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao, nagsimulang malawakang gamitin ang mga pamamaraan sa matematika at kompyuter. Ang mga bagong disiplina tulad ng "mathematical economics", "mathematical chemistry", "mathematical linguistics", atbp., ay lumitaw na nag-aaral ng mga modelo ng matematika ng mga katumbas na bagay at phenomena, gayundin ang mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga modelong ito.

Ang isang modelo ng matematika ay isang tinatayang paglalarawan ng anumang klase ng mga phenomena o mga bagay ng totoong mundo sa wika ng matematika. Ang pangunahing layunin ng pagmomodelo ay upang galugarin ang mga bagay na ito at hulaan ang mga resulta ng mga obserbasyon sa hinaharap. Gayunpaman, ang pagmomolde ay isa ring paraan ng pag-unawa sa nakapaligid na mundo, na ginagawang posible na kontrolin ito.

Ang pagmomodelo ng matematika at ang nauugnay na eksperimento sa computer ay kailangang-kailangan sa mga kaso kung saan imposible o mahirap ang isang buong sukat na eksperimento para sa isang kadahilanan o iba pa. Halimbawa, imposibleng mag-set up ng isang buong sukat na eksperimento sa kasaysayan upang suriin ang "ano ang mangyayari kung..." Imposibleng suriin ang kawastuhan nito o ng teoryang kosmolohikal na iyon. Sa prinsipyo, posible, ngunit halos hindi makatwiran, na mag-eksperimento sa pagkalat ng ilang uri ng sakit, tulad ng salot, o magsagawa ng nuklear na pagsabog upang pag-aralan ang mga kahihinatnan nito. Gayunpaman, ang lahat ng ito ay maaaring gawin sa isang computer, na dati nang nakagawa ng mga modelo ng matematika ng mga phenomena na pinag-aaralan.

2. Pangunahing yugto ng pagmomodelo ng matematika

1) Pagbuo ng modelo. Sa yugtong ito, ang ilang bagay na "di-matematika" ay tinukoy - isang natural na kababalaghan, konstruksiyon, planong pang-ekonomiya, proseso ng produksyon, atbp. Sa kasong ito, bilang panuntunan, ang isang malinaw na paglalarawan ng sitwasyon ay mahirap. Una, ang mga pangunahing tampok ng kababalaghan at ang ugnayan sa pagitan ng mga ito sa isang antas ng husay ay natukoy. Pagkatapos ang nahanap na qualitative dependencies ay binuo sa wika ng matematika, iyon ay, isang mathematical model ang binuo. Ito ang pinakamahirap na bahagi ng pagmomodelo.

2) Paglutas ng problemang pangmatematika na pinangungunahan ng modelo. Sa yugtong ito, maraming pansin ang binabayaran sa pagbuo ng mga algorithm at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng problema sa isang computer, sa tulong kung saan ang resulta ay matatagpuan sa kinakailangang katumpakan at sa loob ng isang katanggap-tanggap na oras.

3) Interpretasyon ng mga nakuhang kahihinatnan mula sa mathematical model. Ang mga kahihinatnan na nagmula sa modelo sa wika ng matematika ay binibigyang kahulugan sa wikang tinatanggap sa larangang ito.

4) Sinusuri ang kasapatan ng modelo. Sa yugtong ito, malalaman kung ang mga resulta ng eksperimento ay sumasang-ayon sa mga teoretikal na kahihinatnan mula sa modelo sa loob ng isang tiyak na katumpakan.

5) Pagbabago ng modelo. Sa yugtong ito, maaaring maging mas kumplikado ang modelo upang ito ay mas sapat sa katotohanan, o ito ay pinasimple upang makamit ang isang praktikal na katanggap-tanggap na solusyon.

3. Pag-uuri ng mga modelo

Maaaring uriin ang mga modelo ayon sa iba't ibang pamantayan. Halimbawa, ayon sa likas na katangian ng mga problemang nilulutas, ang mga modelo ay maaaring nahahati sa mga functional at structural. Sa unang kaso, ang lahat ng mga dami na nagpapakilala sa isang kababalaghan o bagay ay ipinahayag sa dami. Kasabay nito, ang ilan sa mga ito ay itinuturing na mga independiyenteng variable, habang ang iba ay itinuturing na mga function ng mga dami na ito. Ang isang mathematical model ay karaniwang isang sistema ng mga equation ng iba't ibang uri (differential, algebraic, atbp.) na nagtatatag ng quantitative na relasyon sa pagitan ng mga quantity na isinasaalang-alang. Sa pangalawang kaso, ang modelo ay nagpapakilala sa istraktura ng isang kumplikadong bagay, na binubuo ng magkahiwalay na mga bahagi, sa pagitan ng kung saan mayroong ilang mga koneksyon. Karaniwan, ang mga ugnayang ito ay hindi nasusukat. Upang makabuo ng gayong mga modelo, maginhawang gumamit ng teorya ng graph. Ang graph ay isang mathematical object, na isang set ng mga punto (vertices) sa isang eroplano o sa espasyo, na ang ilan ay konektado sa pamamagitan ng mga linya (mga gilid).

Ayon sa likas na katangian ng paunang data at mga resulta ng hula, ang mga modelo ay maaaring nahahati sa deterministic at probabilistic-statistical. Ang mga modelo ng unang uri ay nagbibigay ng tiyak, hindi malabo na mga hula. Ang mga modelo ng pangalawang uri ay batay sa istatistikal na impormasyon, at ang mga hula na nakuha sa kanilang tulong ay isang probabilistikong kalikasan.

4. Mga halimbawa ng mathematical models

1) Mga problema tungkol sa paggalaw ng projectile.

Isaalang-alang ang sumusunod na problema sa mekanika.

Ang projectile ay inilunsad mula sa Earth na may paunang bilis v 0 = 30 m/s sa isang anggulo a = 45° sa ibabaw nito; ito ay kinakailangan upang mahanap ang tilapon ng paggalaw nito at ang distansya S sa pagitan ng simula at pagtatapos na mga punto ng tilapon na ito.

Pagkatapos, tulad ng kilala mula sa kurso sa pisika ng paaralan, ang paggalaw ng projectile ay inilarawan ng mga pormula:

kung saan t - oras, g = 10 m / s 2 - libreng pagbagsak ng acceleration. Ang mga formula na ito ay nagbibigay ng mathematical model ng gawain. Ang pagpapahayag ng t sa mga tuntunin ng x mula sa unang equation at pinapalitan ito sa pangalawa, nakukuha natin ang equation para sa trajectory ng projectile:

Ang curve na ito (parabola) ay nag-intersect sa x-axis sa dalawang punto: x 1 \u003d 0 (ang simula ng trajectory) at (ang lugar kung saan nahulog ang projectile). Ang pagpapalit ng mga ibinigay na halaga v0 at a sa mga nakuhang formula, nakukuha namin

sagot: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Tandaan na ang ilang mga pagpapalagay ay ginamit sa pagbuo ng modelong ito: halimbawa, ipinapalagay na ang Earth ay patag, at ang hangin at pag-ikot ng Earth ay hindi nakakaapekto sa paggalaw ng projectile.

2) Ang problema ng isang tangke na may pinakamaliit na lugar sa ibabaw.

Kinakailangang hanapin ang taas h 0 at ang radius r 0 ng tangke ng lata na may volume na V = 30 m 3, na may hugis ng saradong pabilog na silindro, kung saan ang ibabaw na lugar nito S ay minimal (sa kasong ito, ang pinakamaliit na halaga ng lata ay mapupunta sa paggawa nito).

Isinulat namin ang mga sumusunod na formula para sa dami at lugar ng ibabaw ng isang silindro ng taas h at radius r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Ang pagpapahayag ng h sa mga tuntunin ng r at V mula sa unang formula at pinapalitan ang nagresultang expression sa pangalawa, nakukuha natin:

Kaya, mula sa isang matematikal na punto ng view, ang problema ay nabawasan sa pagtukoy ng halaga ng r kung saan ang function na S(r) ay umabot sa pinakamababa nito. Hanapin natin ang mga halagang iyon ng r 0 kung saan ang derivative

napupunta sa zero: Maaari mong suriin na ang pangalawang derivative ng function na S(r) ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus kapag ang argument r ay dumaan sa punto r 0 . Samakatuwid, ang function na S(r) ay may pinakamababa sa puntong r0. Ang katumbas na halaga h 0 = 2r 0 . Ang pagpapalit ng ibinigay na halaga V sa expression para sa r 0 at h 0, nakuha namin ang nais na radius at taas

3) Gawain sa transportasyon.

Mayroong dalawang bodega ng harina at dalawang panaderya sa lungsod. Araw-araw, 50 tonelada ng harina ang iniluluwas mula sa unang bodega, at 70 tonelada mula sa pangalawa hanggang sa mga pabrika, na may 40 tonelada sa una at 80 tonelada sa pangalawa.

Tukuyin sa pamamagitan ng a ij gastos sa pagdadala ng 1 toneladang harina mula sa i-th warehouse hanggang j-th halaman(i, j = 1.2). Hayaan

a 11 \u003d 1.2 p., a 12 \u003d 1.6 p., a 21 \u003d 0.8 p., a 22 = 1 p.

Paano dapat planuhin ang transportasyon upang ang kanilang gastos ay minimal?

Ibigay natin ang gawain anyong matematikal pagkakahanay. Tinutukoy namin sa pamamagitan ng x 1 at x 2 ang dami ng harina na dapat dalhin mula sa unang bodega hanggang sa una at pangalawang pabrika, at sa pamamagitan ng x 3 at x 4 - mula sa pangalawang bodega hanggang sa una at pangalawang pabrika, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Ang kabuuang halaga ng lahat ng transportasyon ay tinutukoy ng formula

f = 1.2x1 + 1.6x2 + 0.8x3 + x4.

Mula sa isang mathematical point of view, ang gawain ay maghanap ng apat na numero x 1 , x 2 , x 3 at x 4 na nakakatugon sa lahat ng ibinigay na kondisyon at nagbibigay ng pinakamababa sa function na f. Lutasin natin ang sistema ng mga equation (1) na may paggalang sa xi (i = 1, 2, 3, 4) sa pamamagitan ng paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam. Nakukuha namin iyon

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

at ang x 4 ay hindi maaaring matukoy nang natatangi. Dahil x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), sumusunod ito mula sa mga equation (2) na 30J x 4 J 70. Ang pagpapalit ng expression para sa x 1 , x 2 , x 3 sa formula para sa f, nakukuha natin

f \u003d 148 - 0.2x 4.

Madaling makita na ang minimum ng function na ito ay naabot sa maximum na posibleng halaga ng x 4, iyon ay, sa x 4 = 70. Ang mga katumbas na halaga ng iba pang hindi alam ay tinutukoy ng mga formula (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Ang problema ng radioactive decay.

Hayaang ang N(0) ay ang paunang bilang ng mga atomo ng radioactive substance, at ang N(t) ay ang bilang ng mga hindi nabubulok na atomo sa oras na t. Eksperimento na itinatag na ang rate ng pagbabago sa bilang ng mga atom na ito N "(t) ay proporsyonal sa N (t), iyon ay, N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 ay ang radioactivity constant ng isang naibigay na substance. Sa isang kurso sa paaralan sa pagsusuri sa matematika, ipinakita na ang solusyon dito differential equation ay may anyong N(t) = N(0)e –l t . Ang oras na T, kung saan ang bilang ng mga paunang atomo ay nahati, ay tinatawag na kalahating buhay, at ito ay isang mahalagang katangian ng radyaktibidad ng isang sangkap. Upang matukoy ang T, kinakailangang ilagay sa formula Pagkatapos Halimbawa, para sa radon l = 2.084 10–6, at samakatuwid T = 3.15 araw.

5) Ang problema sa naglalakbay na tindero.

Ang isang naglalakbay na tindero na naninirahan sa lungsod A 1 ay kailangang bumisita sa mga lungsod A 2 , A 3 at A 4 , bawat lungsod nang eksaktong isang beses, at pagkatapos ay bumalik sa A 1 . Nabatid na ang lahat ng mga lungsod ay konektado nang pares sa pamamagitan ng mga kalsada, at ang mga haba ng mga kalsada b ij sa pagitan ng mga lungsod A i at A j (i, j = 1, 2, 3, 4) ay ang mga sumusunod:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Ito ay kinakailangan upang matukoy ang pagkakasunud-sunod ng pagbisita sa mga lungsod, kung saan ang haba ng kaukulang landas ay minimal.

Ilarawan natin ang bawat lungsod bilang isang punto sa eroplano at markahan ito ng kaukulang label na Ai (i = 1, 2, 3, 4). Ikonekta natin ang mga puntong ito sa mga segment ng linya: ipapakita nila ang mga kalsada sa pagitan ng mga lungsod. Para sa bawat "kalsada", ipinapahiwatig namin ang haba nito sa kilometro (Larawan 2). Ang resulta ay isang graph - isang mathematical object na binubuo ng isang tiyak na hanay ng mga punto sa eroplano (tinatawag na vertices) at isang tiyak na hanay ng mga linya na nagkokonekta sa mga puntong ito (tinatawag na mga gilid). Bukod dito, ang graph na ito ay may label, dahil ang ilang mga label ay itinalaga sa mga vertice at mga gilid nito - mga numero (mga gilid) o mga simbolo (mga vertice). Ang cycle sa isang graph ay isang sequence ng vertices V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 na ang vertices V 1 , ..., V k ay magkaiba, at anumang pares ng vertices V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) at ang pares na V 1 , V k ay pinagdugtong ng isang gilid. Kaya, ang problemang isinasaalang-alang ay ang paghahanap ng ganoong cycle sa graph na dumadaan sa lahat ng apat na vertices kung saan ang kabuuan ng lahat ng edge weights ay minimal. Hanapin natin ang lahat ng iba't ibang cycle na dumadaan sa apat na vertices at simula sa A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Ngayon hanapin natin ang mga haba ng mga cycle na ito (sa km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Kaya, ang ruta ng pinakamaliit na haba ay ang una.

Tandaan na kung mayroong n vertices sa isang graph at lahat ng vertices ay konektado sa mga pares sa pamamagitan ng mga gilid (ang naturang graph ay tinatawag na kumpleto), kung gayon ang bilang ng mga cycle na dumadaan sa lahat ng vertices ay pantay. Samakatuwid, sa aming kaso mayroong eksaktong tatlong cycle .

6) Ang problema sa paghahanap ng koneksyon sa pagitan ng istraktura at mga katangian ng mga sangkap.

Isaalang-alang ang ilang mga kemikal na compound na tinatawag na normal na alkanes. Binubuo ang mga ito ng n carbon atoms at n + 2 hydrogen atoms (n = 1, 2 ...), na magkakaugnay tulad ng ipinapakita sa Figure 3 para sa n = 3. Hayaang malaman ang mga pang-eksperimentong halaga ng mga boiling point ng mga compound na ito:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Kinakailangang maghanap ng tinatayang kaugnayan sa pagitan ng punto ng kumukulo at ang bilang n para sa mga compound na ito. Ipinapalagay namin na ang pag-asa na ito ay may anyo

y » a n+b

saan a, b - mga constant na tutukuyin. Para sa paghahanap a at b pinapalitan natin ang formula na ito nang sunud-sunod n = 3, 4, 5, 6 at ang mga katumbas na halaga ng mga kumukulo. Meron kami:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

Upang matukoy ang pinakamahusay a at b marami iba't ibang pamamaraan. Gamitin natin ang pinakasimple sa kanila. Ipinapahayag namin ang b sa mga tuntunin ng a mula sa mga equation na ito:

b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Kunin natin bilang ninanais na b ang arithmetic mean ng mga halagang ito, ibig sabihin, inilalagay natin ang b » 16 - 4.5 a. Ipalit natin ang halagang ito b sa orihinal na sistema ng mga equation at, pagkalkula a, nakukuha namin para sa a ang mga sumusunod na halaga: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a ang average na halaga ng mga numerong ito, iyon ay, itinakda namin a» 34. Kaya, ang nais na equation ay may anyo

y » 34n – 139.

Suriin natin ang katumpakan ng modelo sa unang apat na compound, kung saan kinakalkula natin ang mga kumukulo gamit ang nakuha na formula:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Kaya, ang error sa pagkalkula ng property na ito para sa mga compound na ito ay hindi lalampas sa 5°. Ginagamit namin ang resultang equation upang kalkulahin ang boiling point ng isang compound na may n = 7, na hindi kasama sa paunang set, kung saan pinapalitan namin ang n = 7 sa equation na ito: y р (7) = 99°. Ang resulta ay naging tumpak: alam na ang pang-eksperimentong halaga ng punto ng kumukulo y e (7) = 98°.

7) Ang problema sa pagtukoy ng pagiging maaasahan ng electrical circuit.

Dito ay isinasaalang-alang namin ang isang halimbawa ng isang probabilistikong modelo. Una, magbigay tayo ng ilang impormasyon mula sa teorya ng probabilidad - isang matematikal na disiplina na nag-aaral sa mga pattern ng mga random na phenomena na naobserbahan sa paulit-ulit na pag-uulit ng isang eksperimento. Tawagin natin ang isang random na kaganapan A bilang isang posibleng resulta ng ilang karanasan. Ang mga kaganapan A 1 , ..., A k ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat kung ang isa sa mga ito ay kinakailangang mangyari bilang resulta ng eksperimento. Ang mga kaganapan ay tinatawag na hindi magkatugma kung hindi sila maaaring mangyari nang sabay-sabay sa parehong karanasan. Hayaang mangyari ang kaganapan A nang m beses sa panahon ng pag-uulit ng n-fold ng eksperimento. Ang dalas ng kaganapan A ay ang bilang na W = . Malinaw, ang halaga ng W ay hindi maaaring mahulaan nang eksakto hanggang sa isang serye ng n eksperimento ay natupad. Gayunpaman, ang likas na katangian ng mga random na kaganapan ay tulad na sa pagsasanay ang sumusunod na epekto ay minsan naobserbahan: sa pagtaas ng bilang ng mga eksperimento, ang halaga ay halos hindi na maging random at nagpapatatag sa paligid ng ilang hindi random na numerong P(A), na tinatawag na probabilidad ng kaganapan A. Para sa isang imposibleng kaganapan (na hindi kailanman nangyayari sa eksperimento) P(A)=0, at para sa isang partikular na kaganapan (na palaging nangyayari sa eksperimento) P(A)=1. Kung ang mga kaganapan A 1 , ..., A k ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga hindi magkatugmang mga kaganapan, kung gayon ang P(A 1)+...+P(A k)=1.

Hayaan, halimbawa, ang karanasan ay binubuo sa paghagis ng dice at pagmamasid sa bilang ng mga nalaglag na puntos X. Pagkatapos ay maaari nating ipakilala ang mga sumusunod na random na kaganapan A i =(X = i), i = 1, ..., 6. Nabubuo ang mga ito. isang kumpletong pangkat ng hindi magkatugma na pantay na posibleng mga kaganapan, samakatuwid P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Ang kabuuan ng mga kaganapan A at B ay ang kaganapan A + B, na binubuo sa katotohanan na kahit isa sa mga ito ay nangyari sa eksperimento. Ang produkto ng mga kaganapan A at B ay ang kaganapan AB, na binubuo sa sabay-sabay na paglitaw ng mga kaganapang ito. Para sa mga independiyenteng kaganapan A at B, ang mga formula ay totoo

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Isaalang-alang ngayon ang mga sumusunod gawain. Ipagpalagay na ang tatlong elemento ay konektado sa serye sa isang de-koryenteng circuit, na gumagana nang nakapag-iisa sa bawat isa. Ang mga probabilidad ng pagkabigo ng 1st, 2nd at 3rd elements ay ayon sa pagkakabanggit P 1 = 0.1, P 2 = 0.15, P 3 = 0.2. Isasaalang-alang namin ang circuit na maaasahan kung ang posibilidad na walang kasalukuyang sa circuit ay hindi hihigit sa 0.4. Ito ay kinakailangan upang matukoy kung ang ibinigay na chain ay maaasahan.

Dahil ang mga elemento ay konektado sa serye, walang kasalukuyang sa circuit (kaganapan A) kung hindi bababa sa isa sa mga elemento ay nabigo. Let A i be the event that i-ika elemento gumagana (i = 1, 2, 3). Pagkatapos P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8. Malinaw, ang A 1 A 2 A 3 ay ang kaganapan na ang lahat ng tatlong elemento ay gumagana nang sabay-sabay, at

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612.

Pagkatapos P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, kaya P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Sa konklusyon, tandaan namin na ang mga halimbawa sa itaas ng mga modelo ng matematika (kabilang kung saan mayroong mga functional at structural, deterministic at probabilistic na mga) ay naglalarawan at, malinaw naman, ay hindi nauubos ang buong iba't ibang mga modelo ng matematika na lumitaw sa natural at human sciences.

Ang mga computer ay matatag na pumasok sa ating buhay, at halos walang ganoong lugar ng aktibidad ng tao kung saan ang mga computer ay hindi gagamitin. Ang mga computer ay malawak na ngayong ginagamit sa proseso ng paglikha at pagsasaliksik ng mga bagong makina, mga bagong teknolohikal na proseso at ang paghahanap para sa kanilang mga pinakamainam na opsyon; kapag nilulutas ang mga problema sa ekonomiya, kapag nilutas ang mga problema ng pagpaplano at pamamahala ng produksyon sa iba't ibang antas. Ang paglikha ng malalaking bagay sa rocketry, pagtatayo ng sasakyang panghimpapawid, paggawa ng mga barko, pati na rin ang disenyo ng mga dam, tulay, atbp., Sa pangkalahatan ay imposible nang walang paggamit ng mga computer.

Upang gumamit ng isang computer sa paglutas ng mga inilapat na problema, una sa lahat, ang inilapat na problema ay dapat na "isalin" sa isang pormal na wikang matematika, i.e. para sa isang tunay na bagay, proseso o sistema, ang modelong pangmatematika nito ay dapat mabuo.

Ang salitang "Model" ay nagmula sa Latin na modus (kopya, larawan, balangkas). Ang pagmomodelo ay ang pagpapalit ng ilang bagay na A ng isa pang bagay na B. Ang pinalitang bagay na A ay tinatawag na orihinal o ang object ng pagmomodelo, at ang kapalit na B ay tinatawag na modelo. Sa madaling salita, ang isang modelo ay isang bagay-kapalit ng orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal.

Ang layunin ng pagmomodelo ay upang makakuha, magproseso, magpakita at gumamit ng impormasyon tungkol sa mga bagay na nakikipag-ugnayan sa isa't isa at sa panlabas na kapaligiran; at ang modelo dito ay gumaganap bilang isang paraan ng pag-alam ng mga katangian at pattern ng pag-uugali ng bagay.

Ang pagmomodelo ng matematika ay isang paraan ng pag-aaral ng isang tunay na bagay, proseso o sistema sa pamamagitan ng pagpapalit sa mga ito ng isang modelong matematikal na mas maginhawa para sa pang-eksperimentong pananaliksik gamit ang isang computer.

Ang pagmomodelo ng matematika ay ang proseso ng pagbuo at pag-aaral ng mga modelo ng matematika ng mga tunay na proseso at phenomena. Lahat natural at mga agham panlipunan, gamit ang mathematical apparatus, sa katunayan, ay nakikibahagi sa mathematical modelling: pinapalitan nila ang tunay na bagay ng modelo nito at pagkatapos ay pinag-aaralan ang huli. Tulad ng sa kaso ng anumang simulation, ang modelo ng matematika ay hindi ganap na naglalarawan sa hindi pangkaraniwang bagay na pinag-aaralan, at ang mga tanong tungkol sa applicability ng mga resulta na nakuha sa ganitong paraan ay lubhang makabuluhan. Ang modelong matematikal ay isang pinasimpleng paglalarawan ng paggamit ng katotohanan mga konsepto ng matematika.

Ang isang mathematical model ay nagpapahayag ng mga mahahalagang katangian ng isang bagay o proseso sa wika ng mga equation at iba pang mathematical na paraan. Sa mahigpit na pagsasalita, ang matematika mismo ay may utang sa pagkakaroon nito sa kung ano ang sinusubukan nitong ipakita, i.e. upang modelo, sa kanilang sariling partikular na wika, ang mga pattern ng nakapaligid na mundo.

Sa pagmomolde ng matematika ang pag-aaral ng bagay ay isinasagawa sa pamamagitan ng isang modelo na nabuo sa wika ng matematika gamit ang ilang mga pamamaraan sa matematika.

Ang landas ng pagmomodelo ng matematika sa ating panahon ay higit na komprehensibo kaysa natural na pagmomodelo. Ang isang malaking impetus sa pag-unlad ng matematikal na pagmomolde ay ibinigay sa pamamagitan ng pagdating ng mga computer, bagaman ang pamamaraan mismo ay ipinanganak nang sabay-sabay sa matematika libu-libong taon na ang nakalilipas.

Ang pagmomodelo ng matematika ay hindi palaging nangangailangan ng suporta sa computer. Ginagawa ng bawat espesyalista na propesyonal na nakikibahagi sa pagmomodelo ng matematika ang lahat ng posible para sa analytical na pag-aaral ng modelo. Ang mga analytical na solusyon (i.e., kinakatawan ng mga formula na nagpapahayag ng mga resulta ng pag-aaral sa pamamagitan ng paunang data) ay karaniwang mas maginhawa at nagbibigay-kaalaman kaysa sa mga numerical. Ang mga posibilidad ng analytical na pamamaraan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema sa matematika, gayunpaman, ay napakalimitado at, bilang panuntunan, ang mga pamamaraang ito ay mas kumplikado kaysa sa mga numerical.

Ang modelong matematikal ay isang tinatayang representasyon ng mga tunay na bagay, proseso o sistema, na ipinahayag sa mga terminong pangmatematika at pinapanatili ang mahahalagang katangian ng orihinal. Ang mga modelo ng matematika sa isang quantitative form, sa tulong ng mga lohikal at mathematical na mga konstruksyon, ay naglalarawan ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema, mga parameter nito, panloob at panlabas na mga koneksyon

Ang lahat ng mga modelo ay maaaring nahahati sa dalawang klase:

1. totoo,
2. perpekto.

Sa turn, ang mga tunay na modelo ay maaaring nahahati sa:

1. natural,
2. pisikal,
3. mathematical.

Ang mga ideal na modelo ay maaaring nahahati sa:

1. biswal,
2. iconic,
3. mathematical.

Ang mga tunay na full-scale na modelo ay mga tunay na bagay, proseso at sistema kung saan isinasagawa ang mga pang-agham, teknikal at pang-industriyang mga eksperimento.

Ang mga tunay na pisikal na modelo ay mga mock-up, mga modelong nagpaparami ng mga pisikal na katangian ng mga orihinal (kinematic, dynamic, hydraulic, thermal, electrical, light model).

Ang tunay na matematika ay mga analog, structural, geometric, graphic, digital at cybernetic na mga modelo.

Ang mga ideal na visual na modelo ay mga diagram, mapa, drawing, graph, graph, analogues, structural at geometric na mga modelo.

Ang mga ideal na modelo ng sign ay mga simbolo, alpabeto, programming language, ordered notation, topological notation, network representation.

Ang mga ideal na modelo ng matematika ay analytical, functional, simulation, pinagsamang mga modelo.

Sa pag-uuri sa itaas, ang ilang mga modelo ay may dobleng interpretasyon (halimbawa, analog). Ang lahat ng mga modelo, maliban sa mga full-scale, ay maaaring pagsamahin sa isang klase ng mga mental na modelo, dahil ang mga ito ay produkto ng abstract na pag-iisip ng tao.

Mga elemento ng teorya ng laro

Sa pangkalahatang kaso, ang paglutas ng laro ay medyo mahirap na gawain, at ang pagiging kumplikado ng problema at ang halaga ng mga kalkulasyon na kinakailangan para sa paglutas ay tumataas nang husto sa pagtaas . Gayunpaman, ang mga paghihirap na ito ay hindi isang pangunahing katangian at nauugnay lamang sa isang napakalaking dami ng mga kalkulasyon, na sa ilang mga kaso ay maaaring maging halos hindi magagawa. Ang pangunahing bahagi ng paraan ng paghahanap ng solusyon ay nananatili para sa anuman isa at pareho.

Ilarawan natin ito sa halimbawa ng isang laro. Bigyan natin ito ng geometric na interpretasyon - isa nang spatial. Ang tatlong diskarte natin, ipapakita natin na may tatlong puntos sa eroplano ; ang una ay namamalagi sa pinanggalingan (Larawan 1). ang pangalawa at pangatlo - sa mga palakol Oh At OU sa mga distansyang 1 mula sa pinanggalingan.

Ang mga Axes I-I, II-II at III-III ay iginuhit sa pamamagitan ng mga punto, patayo sa eroplano . Sa I-I axis, ang mga kabayaran para sa diskarte ay naka-plot sa mga axes II-II at III-III - ang mga kabayaran para sa mga estratehiya. Bawat diskarte ng kaaway kinakatawan ng isang eroplano na pumutol palakol I-I, II-II at III-III, mga segment na katumbas ng mga panalo

na may angkop na estratehiya at estratehiya . Sa pamamagitan ng paggawa ng lahat ng mga estratehiya ng kaaway, makakakuha tayo ng isang pamilya ng mga eroplano sa ibabaw ng isang tatsulok (Larawan 2).

Para sa pamilyang ito, posible ring bumuo ng mas mababang payoff bound, tulad ng ginawa namin sa kaso, at humanap ng punto N sa hangganang ito na may pinakamataas na taas sa eroplano. . Ang taas na ito ang magiging presyo ng laro.

Ang mga frequency ng mga diskarte sa pinakamainam na diskarte ay matutukoy ng mga coordinate (x, y) puntos N, ibig sabihin:

Gayunpaman, ang gayong geometric na konstruksiyon, kahit na para sa kaso, ay hindi madaling ipatupad at nangangailangan ng isang mahusay na pamumuhunan ng oras at imahinasyon. Sa pangkalahatang kaso ng laro, gayunpaman, ito ay inilipat sa -dimensional na espasyo at nawawala ang lahat ng kalinawan, bagaman ang paggamit ng geometric na terminolohiya sa ilang mga kaso ay maaaring maging kapaki-pakinabang. Kapag nilulutas ang mga laro sa pagsasanay, mas maginhawang gumamit ng hindi geometric na pagkakatulad, ngunit kinakalkula. Analytical pamamaraan, lalo na dahil ang mga pamamaraang ito ay ang tanging angkop para sa paglutas ng problema sa mga computer.

Ang lahat ng mga pamamaraan na ito ay mahalagang nabawasan sa paglutas ng problema sa pamamagitan ng sunud-sunod na mga pagsubok, ngunit ang pag-order ng pagkakasunud-sunod ng mga pagsubok ay nagbibigay-daan sa iyo na bumuo ng isang algorithm na humahantong sa isang solusyon sa pinaka-ekonomikong paraan.

Dito kami ay panandaliang tumira sa isang computational method para sa paglutas ng mga laro - sa tinatawag na "linear programming" na pamamaraan.

Upang gawin ito, nagbibigay muna kami ng pangkalahatang pahayag ng problema sa paghahanap ng solusyon sa laro . Hayaang ibigay ang laro T mga diskarte ng manlalaro A At n mga diskarte ng manlalaro SA at ang payoff matrix ay ibinigay

Kinakailangang maghanap ng solusyon sa laro, ibig sabihin, dalawang pinakamainam na pinaghalong estratehiya para sa mga manlalarong A at B

kung saan (ang ilan sa mga numero at maaaring katumbas ng zero).

Ang aming pinakamainam na diskarte S*A dapat magbigay sa atin ng kabayaran na hindi bababa sa , para sa anumang pag-uugali ng kaaway, at isang kabayarang katumbas ng , para sa kanyang pinakamainam na pag-uugali (diskarte S*B).Katulad din ang diskarte S*B dapat magbigay sa kaaway ng kawalan na hindi hihigit sa , para sa alinman sa ating pag-uugali at katumbas ng para sa ating pinakamainam na pag-uugali (diskarte S*A).

Ang halaga ng laro sa kasong ito ay hindi alam sa amin; ipagpalagay natin na ito ay katumbas ng ilan positibong numero. Kung ipagpalagay na ito, hindi namin nilalabag ang pangkalahatan ng pangangatwiran; upang maging > 0, malinaw na sapat na ang lahat ng elemento ng matrix ay hindi negatibo. Ito ay palaging makakamit sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang sapat na malaking positibong halaga L sa mga elemento; sa kasong ito, ang halaga ng laro ay tataas ng L, at ang solusyon ay hindi magbabago.

Piliin natin ang ating pinakamainam na diskarte S* A . Kung gayon ang aming average na kabayaran para sa diskarte ng kalaban ay magiging katumbas ng:

Ang aming pinakamainam na diskarte S*A ay may ari-arian na, para sa anumang pag-uugali ng kalaban, ito ay nagbibigay ng pakinabang na hindi bababa sa ; samakatuwid, ang alinman sa mga numero ay hindi maaaring mas mababa sa . Nakakakuha kami ng ilang kundisyon:

(1)

Hatiin ang mga hindi pagkakapantay-pantay (1) sa isang positibong halaga at ipahiwatig:

Pagkatapos ang kundisyon (1) ay maaaring isulat bilang

(2)

saan- di-negatibong mga numero. kasi ang dami ay nakakatugon sa kondisyon

Gusto naming gawin ang aming garantisadong panalo bilang mataas hangga't maaari; malinaw naman, habang kanang bahagi ang pagkakapantay-pantay (3) ay tumatagal ng pinakamababang halaga.

Kaya, ang problema sa paghahanap ng solusyon sa laro ay nabawasan sa sumusunod na problema sa matematika: tukuyin ang mga di-negatibong dami kasiya-siyang kondisyon (2), upang ang kanilang kabuuan

ay minimal.

Karaniwan, kapag nilulutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga matinding halaga (maximum at minima), ang pag-andar ay pinag-iba at ang mga derivative ay tinutumbas sa zero. Ngunit ang gayong pamamaraan ay walang silbi sa kasong ito, dahil ang function na Ф, kung saan kailangan minimize, ay linear, at ang mga derivatives nito na may paggalang sa lahat ng argumento ay katumbas ng isa, ibig sabihin, hindi sila nawawala kahit saan. Dahil dito, ang maximum ng function ay naabot sa isang lugar sa hangganan ng rehiyon ng pagbabago ng mga argumento, na natutukoy sa pamamagitan ng pangangailangan ng non-negatibiti ng mga argumento at kundisyon (2). Ang paraan ng paghahanap ng matinding mga halaga gamit ang pagkita ng kaibhan ay hindi rin angkop sa mga kasong iyon kapag ang maximum ng mas mababa (o pinakamababa sa itaas) na hangganan ng kabayaran ay tinutukoy para sa solusyon ng laro, tulad ng ginawa namin. halimbawa, ginawa nila ito sa paglutas ng mga laro. Sa katunayan, ang mas mababang hangganan ay binubuo ng mga seksyon ng mga tuwid na linya, at ang maximum ay naabot hindi sa punto kung saan ang derivative ay katumbas ng zero (walang ganoong punto sa lahat), ngunit sa hangganan ng pagitan o sa punto ng intersection ng mga tuwid na seksyon.

Upang malutas ang mga naturang problema, na madalas na nakatagpo sa pagsasanay, sa matematika, a espesyal na kagamitan linear programming.

Ang problema sa linear programming ay iniharap bilang mga sumusunod.

Dahil sa isang sistema ng mga linear na equation:

(4)

Kinakailangang maghanap ng mga di-negatibong halaga ng mga dami na nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon (4) at sa parehong oras ay pinaliit ang ibinigay na homogenous na linear function ng mga dami (linear form):

Madaling makita na ang problema sa teorya ng laro na ipinakita sa itaas ay isang partikular na kaso ng problema sa linear programming para sa

Sa unang tingin, maaaring mukhang ang mga kondisyon (2) ay hindi katumbas ng mga kondisyon (4), dahil sa halip na mga pantay na palatandaan ay naglalaman ang mga ito ng mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay. Gayunpaman, madaling alisin ang mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga bagong kathang-isip na hindi negatibong mga variable at mga kondisyon sa pagsulat (2) sa anyo:

(5)

Ang form na Ф, na dapat mabawasan, ay katumbas ng

Ang linear programming apparatus ay nagbibigay-daan, sa pamamagitan ng medyo maliit na bilang ng mga sunud-sunod na sample, na piliin ang mga halaga , nakakatugon sa mga kinakailangan. Para sa higit na kalinawan, dito namin ipapakita ang paggamit ng apparatus na ito nang direkta sa materyal ng paglutas ng mga partikular na laro.

Ano ang isang mathematical model?

Ang konsepto ng isang modelo ng matematika.

Ang isang modelo ng matematika ay isang napakasimpleng konsepto. At napakahalaga. Ito ay mga modelo ng matematika na nag-uugnay sa matematika at totoong buhay.

nagsasalita simpleng wika, ang isang mathematical model ay isang mathematical na paglalarawan ng anumang sitwasyon. At ayun na nga. Ang modelo ay maaaring primitive, maaari itong maging sobrang kumplikado. Ano ang sitwasyon, ano ang modelo.)

Sa alinmang (uulitin ko - sa anumang!) negosyo, kung saan kailangan mong kalkulahin ang isang bagay at kalkulahin - kami ay nakikibahagi sa pagmomolde ng matematika. Kahit hindi natin alam.)

P \u003d 2 CB + 3 CB

Ang rekord na ito ang magiging mathematical model ng mga gastos para sa aming mga pagbili. Hindi isinasaalang-alang ng modelo ang kulay ng packaging, petsa ng pag-expire, pagiging magalang ng mga cashier, atbp. Kaya siya modelo, hindi isang tunay na pagbili. Ngunit ang mga gastos, ibig sabihin. ang kailangan natin- malalaman natin sigurado. Kung tama ang modelo, siyempre.

Kapaki-pakinabang na isipin kung ano ang isang modelo ng matematika, ngunit hindi ito sapat. Ang pinakamahalagang bagay ay ang makabuo ng mga modelong ito.

Compilation (pagbuo) ng isang mathematical model ng problema.

Upang bumuo ng isang matematikal na modelo ay nangangahulugan na isalin ang mga kondisyon ng problema sa isang mathematical form. Yung. gawing equation, formula, inequality, atbp ang mga salita. Bukod dito, i-on ito upang ang matematika na ito ay mahigpit na tumutugma sa orihinal na teksto. Kung hindi, mapupunta tayo sa isang modelo ng matematika ng ilang iba pang problemang hindi natin alam.)

Mas partikular, kailangan mo

Mayroong walang katapusang bilang ng mga gawain sa mundo. Samakatuwid, upang imungkahi ang isang malinaw hakbang-hakbang na mga tagubilin sa pagguhit ng isang modelo ng matematika anuman ang mga gawain ay imposible.

Ngunit mayroong tatlong pangunahing punto na kailangan mong bigyang pansin.

1. Sa anumang gawain mayroong isang teksto, sapat na kakaiba.) Ang tekstong ito, bilang panuntunan, ay may tahasan, bukas na impormasyon. Mga numero, halaga, atbp.

2. Sa anumang gawain mayroon nakatagong impormasyon. Ito ay isang teksto na ipinapalagay ang pagkakaroon ng karagdagang kaalaman sa ulo. Kung wala sila - wala. Bilang karagdagan, ang impormasyon sa matematika ay madalas na nakatago sa likod sa simpleng salita at ... nawala sa atensyon.

3. Sa anumang gawain ay dapat ibigay komunikasyon sa pagitan ng data. Ang koneksyon na ito ay maaaring ibigay payak na teksto(something is equal to something), at maaaring nakatago sa likod ng mga simpleng salita. Ngunit ang mga simple at malinaw na katotohanan ay madalas na hindi pinapansin. At ang modelo ay hindi pinagsama-sama sa anumang paraan.

Dapat kong sabihin kaagad na upang mailapat ang tatlong puntong ito, ang problema ay kailangang basahin (at maingat!) ng ilang beses. Ang karaniwang bagay.

At ngayon - mga halimbawa.

Magsimula tayo sa isang simpleng problema:

Bumalik si Petrovich mula sa pangingisda at buong pagmamalaking ipinakita ang kanyang mga huli sa kanyang pamilya. Sa mas malapit na pagsusuri, lumabas na 8 isda ang nagmula sa hilagang dagat, 20% ng lahat ng isda ay nagmula sa timog na dagat, at walang isa mula sa lokal na ilog kung saan nangingisda si Petrovich. Ilang isda ang binili ni Petrovich sa tindahan ng Seafood?

Ang lahat ng mga salitang ito ay kailangang gawing isang uri ng equation. Upang gawin ito, inuulit ko, magtatag ng isang mathematical na relasyon sa pagitan ng lahat ng data ng problema.

Saan magsisimula? Una, kukunin namin ang lahat ng data mula sa gawain. Magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod:

Tumutok tayo sa unang punto.

Anong meron dito tahasan impormasyon sa matematika? 8 isda at 20%. Hindi marami, ngunit hindi namin kailangan ng marami.)

Bigyang-pansin natin ang pangalawang punto.

Hinahanap tago impormasyon. Nandito siya. Ito ang mga salita: "20% ng lahat ng isda". Dito kailangan mong maunawaan kung ano ang mga porsyento at kung paano sila kinakalkula. Kung hindi, ang gawain ay hindi malulutas. Ito ang eksaktong karagdagang impormasyon, na dapat nasa ulo.

Meron din dito mathematical impormasyon na ganap na hindi nakikita. Ito tanong sa gawain: "Ilang isda ang nabili mo... Isa rin itong numero. At kung wala ito, walang modelo ang mabubuo. Samakatuwid, tukuyin natin ang numerong ito sa pamamagitan ng titik "X". Hindi pa natin alam kung ano ang katumbas ng x, ngunit ang gayong pagtatalaga ay magiging lubhang kapaki-pakinabang sa atin. Para sa karagdagang impormasyon sa kung ano ang kukunin para sa x at kung paano ito haharapin, tingnan ang aralin na Paano lutasin ang mga problema sa matematika? Isulat natin ito kaagad:

x piraso - kabuuan isda.

Sa aming problema, ang southern fish ay binibigyan bilang porsyento. Kailangan nating isalin ang mga ito sa mga piraso. Para saan? Tapos anong meron anuman ang gawain ng modelo ay dapat na sa parehong laki. Mga piraso - kaya lahat ay pira-piraso. Kung tayo ay bibigyan, sabihin nating mga oras at minuto, isinasalin natin ang lahat sa isang bagay - maaaring mga oras lamang, o minuto lamang. Hindi mahalaga kung ano. Mahalaga iyon lahat ng mga halaga ay pareho.

Bumalik sa pagsisiwalat. Kahit sinong hindi nakakaalam kung ano ang porsyento ay hinding-hindi magbubunyag, oo ... At sino ang nakakaalam, sasabihin niya kaagad na ang interes dito ay mula sa kabuuang bilang binibigyan ng isda. Hindi namin alam ang numerong ito. Walang darating dito!

Ang kabuuang bilang ng mga isda (sa mga piraso!) ay hindi walang kabuluhan sa sulat "X" itinalaga. Hindi uubra ang pagbibilang ng mga isda sa timog, ngunit maaari ba nating isulat ito? Ganito:

0.2 x piraso - ang bilang ng mga isda mula sa katimugang dagat.

Ngayon na-download na namin ang lahat ng impormasyon mula sa gawain. Parehong tahasan at patago.

Bigyang-pansin natin ang ikatlong punto.

Hinahanap koneksyon sa matematika sa pagitan ng data ng gawain. Napakasimple ng koneksyon na ito kaya hindi napapansin ng marami... Madalas itong mangyari. Narito ito ay kapaki-pakinabang na isulat lamang ang nakolektang data sa isang bungkos, at tingnan kung ano.

Ano ang mayroon tayo? Kumain 8 piraso hilagang isda, 0.2 x piraso- katimugang isda at x isda- kabuuang halaga. Posible bang i-link ang data na ito kahit papaano nang magkasama? Oo Madali! kabuuang bilang ng isda katumbas kabuuan ng timog at hilaga! Well, sino ang mag-aakala ...) Kaya isulat namin:

x = 8 + 0.2x

Ito ang magiging equation mathematical model ng ating problema.

Mangyaring tandaan na sa problemang ito hindi kami hinihiling na magtiklop ng kahit ano! Kami mismo, sa labas ng aming mga ulo, na napagtanto na ang kabuuan ng timog at hilagang isda ay magbibigay sa amin ng kabuuang bilang. Ang bagay ay masyadong halata na ito slips lampas pansin. Ngunit kung wala ang katibayan na ito, ang isang mathematical model ay hindi maaaring i-compile. Ganito.

Ngayon ay maaari mong ilapat ang lahat ng kapangyarihan ng matematika upang malutas ang equation na ito). Ito ay kung ano ang mathematical model ay dinisenyo para sa. Malutas namin ang linear equation na ito at makuha ang sagot.

Sagot: x=10

Gumawa tayo ng mathematical model ng isa pang problema:

Tinanong si Petrovich: "Magkano ang pera mo?" Umiyak si Petrovich at sumagot: "Oo, kaunti lang. Kung gagastusin ko ang kalahati ng lahat ng pera, at kalahati ng natitira, magkakaroon na lang ako ng isang bag ng pera na natitira ..." Magkano ang pera ni Petrovich?

Muli, gumagawa kami ng punto sa punto.

1. Naghahanap kami ng tahasang impormasyon. Hindi mo agad mahahanap! Ang tahasang impormasyon ay isa bag ng pera. Mayroong ilang iba pang mga kalahati... Well, ayusin natin ito sa pangalawang talata.

2. Naghahanap kami ng nakatagong impormasyon. Ito ay mga kalahati. Ano? Hindi masyadong malinaw. Naghahanap ng higit pa. May isa pang isyu: "Magkano ang pera ni Petrovich?" Tukuyin natin ang halaga ng pera sa pamamagitan ng liham "X":

X- lahat ng pera

At basahin muli ang problema. Alam na ang Petrovich na iyon X pera. Dito gumagana ang mga halves! Sumulat kami:

0.5 x- kalahati ng lahat ng pera.

Ang natitira ay magiging kalahati din, i.e. 0.5 x. At kalahati ng kalahati ay maaaring isulat tulad nito:

0.5 0.5 x = 0.25x- kalahati ng natitira.

Ngayon ang lahat ng mga nakatagong impormasyon ay ipinahayag at naitala.

3. Naghahanap kami ng koneksyon sa pagitan ng naitala na data. Dito maaari mong basahin lamang ang mga paghihirap ni Petrovich at isulat ang mga ito sa matematika):

Kung gagastusin ko ang kalahati ng lahat ng pera...

Isulat natin ang prosesong ito. Lahat ng pera - X. kalahati - 0.5 x. Ang paggastos ay pag-alis. Ang parirala ay nagiging:

x - 0.5 x

at kalahati ng natitira...

Ibawas ang isa pang kalahati ng natitira:

x - 0.5 x - 0.25 x

pagkatapos ay isang bag na lamang ng pera ang mananatili sa akin ...

At mayroong pagkakapantay-pantay! Pagkatapos ng lahat ng mga pagbabawas, isang bag ng pera ang nananatili:

x - 0.5 x - 0.25x \u003d 1

Eto na, ang mathematical model! Ito ay muli ng isang linear equation, nalulutas namin, nakukuha namin:

Tanong para sa pagsasaalang-alang. Ano ang apat? Ruble, dolyar, yuan? At sa anong mga yunit mayroon tayong pera sa modelo ng matematika? Sa mga bag! Kaya apat bag Pera ni Petrovich. Magaling din.)

Ang mga gawain ay, siyempre, elementarya. Ito ay partikular na upang makuha ang kakanyahan ng pagguhit ng isang modelo ng matematika. Sa ilang mga gawain, maaaring mayroong higit pang data kung saan madaling malito. Madalas itong nangyayari sa tinatawag na. mga gawain sa kakayahan. Kung paano humugot ng mathematical content mula sa isang tumpok ng mga salita at numero ay ipinapakita kasama ng mga halimbawa

Isa pang tala. Sa klasikal mga gawain sa paaralan(pinupuno ng mga tubo ang pool, ang mga bangka ay naglalayag sa isang lugar, atbp.) Ang lahat ng data, bilang panuntunan, ay pinili nang maingat. Mayroong dalawang mga patakaran:
- may sapat na impormasyon sa problema upang malutas ito,
- walang karagdagang impormasyon sa gawain.

Ito ay isang pahiwatig. Kung mayroong ilang hindi nagamit na halaga sa mathematical model, isipin kung may error. Kung walang sapat na data sa anumang paraan, malamang, hindi lahat ng nakatagong impormasyon ay naihayag at naitala.

Sa kakayahan at iba pang mga gawain sa buhay, ang mga patakarang ito ay hindi mahigpit na sinusunod. wala akong hint. Ngunit ang mga ganitong problema ay maaari ding malutas. Maliban kung, siyempre, magsanay sa klasiko.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Lektura 1

MGA BATAYANG METODOLOHIKAL NG PAGMOMODEL

Ang kasalukuyang estado ng problema ng pagmomodelo ng system

Mga Konsepto ng Pagmomodelo at Simulation

Pagmomodelo ay maaaring ituring bilang isang kapalit ng inimbestigahang bagay (orihinal) sa pamamagitan ng kondisyonal na imahe, paglalarawan o ibang bagay, na tinatawag na modelo at pagbibigay ng pag-uugali na malapit sa orihinal sa loob ng ilang mga pagpapalagay at katanggap-tanggap na mga pagkakamali. Karaniwang ginagawa ang pagmomodelo na may layuning malaman ang mga katangian ng orihinal sa pamamagitan ng pagsusuri sa modelo nito, at hindi ang bagay mismo. Siyempre, ang simulation ay makatwiran sa kaso kapag ito mas madaling likhain ang orihinal mismo, o kapag ang huli, para sa ilang kadahilanan, ay mas mahusay na hindi lumikha ng lahat.

Sa ilalim modelo ang isang pisikal o abstract na bagay ay nauunawaan, ang mga katangian nito ay sa isang tiyak na kahulugan na katulad ng mga katangian ng bagay na pinag-aaralan. Sa kasong ito, ang mga kinakailangan para sa modelo ay tinutukoy ng problemang niresolba at ang magagamit na paraan. Mayroong ilang mga pangkalahatang kinakailangan para sa mga modelo:

2) pagkakumpleto - pagbibigay sa tatanggap ng lahat ng kinakailangang impormasyon

tungkol sa bagay;

3) flexibility - ang kakayahang magparami ng iba't ibang sitwasyon sa lahat ng bagay

saklaw ng pagbabago ng mga kondisyon at parameter;

4) ang pagiging kumplikado ng pag-unlad ay dapat na katanggap-tanggap para sa umiiral na

oras at software.

Pagmomodelo ay ang proseso ng pagbuo ng isang modelo ng isang bagay at pag-aaral ng mga katangian nito sa pamamagitan ng pagsusuri sa modelo.

Kaya, ang pagmomodelo ay nagsasangkot ng 2 pangunahing yugto:

1) pagbuo ng modelo;

2) pag-aaral ng modelo at pagguhit ng mga konklusyon.

Kasabay nito, sa bawat yugto, ang iba't ibang mga gawain ay nalutas at

iba't ibang paraan at paraan.

Sa pagsasagawa, mag-apply iba't ibang pamamaraan pagmomodelo. Depende sa paraan ng pagpapatupad, ang lahat ng mga modelo ay maaaring nahahati sa dalawang malalaking klase: pisikal at matematika.

Pagmomodelo sa matematika Nakaugalian na isaalang-alang ito bilang isang paraan ng pag-aaral ng mga proseso o phenomena sa tulong ng kanilang mga modelo ng matematika.

Sa ilalim pisikal na pagmomolde ay nauunawaan bilang ang pag-aaral ng mga bagay at phenomena sa mga pisikal na modelo, kapag ang prosesong pinag-aaralan ay ginawang muli sa pangangalaga ng pisikal na katangian nito o ibang pisikal na kababalaghan na katulad ng pinag-aaralan ang ginamit. Kung saan mga pisikal na modelo Bilang isang tuntunin, ipinapalagay nila ang tunay na embodiment ng mga pisikal na katangian ng orihinal na mahalaga sa isang partikular na sitwasyon. kapag nagpaplano ng isang gusali, ang mga arkitekto ay gumagawa ng isang layout na sumasalamin sa spatial na pag-aayos ng mga elemento nito. Sa bagay na ito, tinatawag din ang pisikal na pagmomolde prototyping.

Pagmomodelo ng HIL ay isang pag-aaral ng mga kinokontrol na sistema sa mga simulation complex na may kasamang tunay na kagamitan sa modelo. Kasama ng mga tunay na kagamitan, kasama sa saradong modelo ang mga simulator ng epekto at panghihimasok, mga modelo ng matematika ng panlabas na kapaligiran at mga proseso kung saan hindi alam ang isang sapat na tumpak na paglalarawan sa matematika. Ang pagsasama ng mga tunay na kagamitan o mga tunay na sistema sa circuit para sa pagmomodelo ng mga kumplikadong proseso ay ginagawang posible na bawasan ang isang priori na kawalan ng katiyakan at imbestigahan ang mga proseso kung saan walang eksaktong matematikal na paglalarawan. Sa tulong ng semi-natural na simulation, ang mga pag-aaral ay isinagawa na isinasaalang-alang ang maliit na mga constant ng oras at hindi linearity na likas sa totoong kagamitan. Sa pag-aaral ng mga modelo na may kasamang tunay na kagamitan, ginamit ang konsepto dynamic na simulation, sa pag-aaral ng mga kumplikadong sistema at phenomena - ebolusyonaryo, panggagaya At cybernetic simulation.

Malinaw, ang tunay na benepisyo ng pagmomodelo ay makukuha lamang kung ang dalawang kundisyon ay natutugunan:

1) ang modelo ay nagbibigay ng tamang (sapat) na pagpapakita ng mga katangian

ang orihinal, makabuluhan mula sa punto ng view ng operasyon sa ilalim ng pag-aaral;

2) ginagawang posible ng modelo na alisin ang mga problemang nakalista sa itaas, na likas

pagsasagawa ng pananaliksik sa mga tunay na bagay.

2. Pangunahing konsepto ng mathematical modelling

Ang solusyon ng mga praktikal na problema sa pamamagitan ng mga pamamaraang matematika ay patuloy na isinasagawa sa pamamagitan ng pagbabalangkas ng problema (pagbuo ng isang modelo ng matematika), pagpili ng isang pamamaraan para sa pag-aaral ng nakuhang modelo ng matematika, at pagsusuri sa nakuhang resulta ng matematika. Ang pormulasyon ng matematika ng problema ay karaniwang ipinakita sa anyo ng mga geometric na imahe, pag-andar, sistema ng mga equation, atbp. Ang paglalarawan ng isang bagay (phenomenon) ay maaaring katawanin gamit ang tuloy-tuloy o discrete, deterministic o stochastic at iba pang mga mathematical form.

Teorya ng pagmomolde ng matematika tinitiyak ang pagkakakilanlan ng mga regularidad sa kurso ng iba't ibang mga phenomena ng nakapaligid na mundo o ang pagpapatakbo ng mga system at device sa pamamagitan ng kanilang matematikal na paglalarawan at pagmomodelo nang walang mga pagsubok sa larangan. Sa kasong ito, ginagamit ang mga probisyon at batas ng matematika na naglalarawan sa mga simulate na phenomena, system o device sa isang tiyak na antas ng kanilang idealization.

Modelo ng Matematika (MM) ay isang pormal na paglalarawan ng isang sistema (o operasyon) sa ilang abstract na wika, halimbawa, sa anyo ng isang hanay ng mga relasyon sa matematika o isang algorithm scheme, i.e. e. tulad ng isang matematikal na paglalarawan na nagbibigay ng imitasyon ng pagpapatakbo ng mga system o device sa isang antas na sapat na malapit sa kanilang tunay na pag-uugali na nakuha sa panahon ng buong-scale na pagsubok ng mga system o device.

Ang anumang MM ay naglalarawan ng isang tunay na bagay, kababalaghan o proseso na may ilang antas ng pagtatantya sa katotohanan. Ang uri ng MM ay nakasalalay kapwa sa likas na katangian ng tunay na bagay at sa mga layunin ng pag-aaral.

Pagmomodelo sa matematika panlipunan, pang-ekonomiya, biyolohikal at pisikal na phenomena, mga bagay, mga sistema at iba't ibang mga aparato ay isa sa pinakamahalagang paraan ng pag-unawa sa kalikasan at pagdidisenyo ng malawak na iba't ibang mga sistema at kagamitan. May mga kilalang halimbawa ng mabisang paggamit ng pagmomodelo sa paglikha ng mga teknolohiyang nuklear, aviation at aerospace system, sa pagtataya ng atmospheric at oceanic phenomena, panahon, atbp.

Gayunpaman, ang mga ganitong seryosong bahagi ng pagmomodelo ay kadalasang nangangailangan ng mga supercomputer at taon ng trabaho ng malalaking pangkat ng mga siyentipiko upang maghanda ng data para sa pagmomodelo at pag-debug nito. Gayunpaman, sa kasong ito, ang pagmomodelo ng matematika ng mga kumplikadong sistema at aparato ay hindi lamang nakakatipid ng pera sa pananaliksik at pagsubok, ngunit maaari ring alisin ang mga sakuna sa kapaligiran - halimbawa, pinapayagan ka nitong talikuran ang pagsubok ng mga sandatang nuklear at thermonuclear sa pabor sa pagmomolde ng matematika nito. o pagsubok sa mga sistema ng aerospace bago ang kanilang mga tunay na paglipad. Kasabay nito, ang pagmomodelo ng matematika sa antas ng paglutas ng mga mas simpleng problema, halimbawa, mula sa larangan ng mekanika, electrical engineering, electronics, radio engineering at marami pang ibang larangan ng agham at teknolohiya, ay may ngayon ay magagamit upang gumanap sa mga modernong PC. At kapag gumagamit ng mga pangkalahatang modelo, nagiging posible na magmodelo ng medyo kumplikadong mga sistema, halimbawa, mga sistema ng telekomunikasyon at network, radar o mga sistema ng nabigasyon sa radyo.

Ang layunin ng pagmomolde ng matematika ay ang pagsusuri ng mga tunay na proseso (sa kalikasan o teknolohiya) sa pamamagitan ng mga pamamaraang matematika. Kaugnay nito, nangangailangan ito ng pormalisasyon ng proseso ng MM upang maimbestigahan. Ang modelo ay maaaring isang mathematical expression na naglalaman ng mga variable na ang pag-uugali ay katulad ng pag-uugali ng isang tunay na sistema. Ang modelo ay maaaring magsama ng mga elemento ng randomness na isinasaalang-alang ang mga probabilidad ng posibleng aksyon ng dalawa o higit pa"mga manlalaro", bilang, halimbawa, sa teorya ng laro; o maaari itong kumakatawan sa mga tunay na variable ng magkakaugnay na bahagi ng operating system.

Ang pagmomodelo ng matematika para sa pag-aaral ng mga katangian ng mga sistema ay maaaring nahahati sa analytical, simulation at pinagsama. Sa turn, ang MM ay nahahati sa simulation at analytical.

Analytical Modeling

Para sa analytical modelling Ito ay katangian na ang mga proseso ng paggana ng system ay nakasulat sa anyo ng ilang mga functional na relasyon (algebraic, differential, integral equation). Ang analytical model ay maaaring siyasatin sa pamamagitan ng mga sumusunod na pamamaraan:

1) analytical, kapag nagsusumikap silang makakuha sa pangkalahatang mga termino ng tahasang dependencies para sa mga katangian ng mga system;

2) numerical, kapag hindi posible na makahanap ng solusyon sa mga equation sa pangkalahatang anyo at nalutas ang mga ito para sa tiyak na paunang data;

3) husay, kapag, sa kawalan ng isang solusyon, ang ilan sa mga katangian nito ay matatagpuan.

Ang mga analytical na modelo ay maaaring makuha lamang para sa medyo simpleng mga sistema. Para sa mga kumplikadong sistema, madalas na lumitaw ang malalaking problema sa matematika. Upang mailapat ang analytical na pamamaraan, ang isa ay pupunta sa isang makabuluhang pagpapasimple ng orihinal na modelo. Gayunpaman, ang isang pag-aaral sa isang pinasimple na modelo ay nakakatulong upang makakuha lamang ng mga indikatibong resulta. Ang mga analytical na modelo ay wastong nagpapakita ng kaugnayan sa pagitan ng input at output na mga variable at parameter. Ngunit ang kanilang istraktura ay hindi sumasalamin sa panloob na istraktura ng bagay.

Sa analytical modelling, ang mga resulta nito ay ipinakita sa anyo ng analytical expression. Halimbawa, sa pamamagitan ng pagkonekta RC- circuit sa isang palaging pinagmumulan ng boltahe E(R, C At E ay ang mga bahagi ng modelong ito), maaari tayong gumawa ng isang analytical expression para sa pag-asa sa oras ng boltahe u(t) sa kapasitor C:

Ito ay isang linear differential equation (DE) at isang analytical na modelo ng simpleng linear circuit na ito. Ang analytical na solusyon nito, sa ilalim ng paunang kondisyon u(0) = 0 , ibig sabihin ay isang discharged capacitor C sa simula ng simulation, nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang kinakailangang pag-asa - sa anyo ng isang formula:

u(t) = E(1− exp(- t/RC)). (2)

Gayunpaman, kahit na sa pinakasimpleng halimbawang ito, ang ilang mga pagsisikap ay kinakailangan upang malutas ang differential equation (1) o mag-apply mga sistema ng matematika sa kompyuter(SCM) na may mga simbolikong kalkulasyon - mga computer algebra system. Para sa medyo maliit na kaso, ang solusyon sa problema ng pagmomodelo ng isang linear RC-ang circuit ay nagbibigay ng analytical expression (2) ng isang medyo pangkalahatang anyo - ito ay angkop para sa paglalarawan ng pagpapatakbo ng circuit para sa anumang mga rating ng bahagi R, C At E, at inilalarawan ang exponential charge ng capacitor C sa pamamagitan ng isang risistor R mula sa isang palaging pinagmumulan ng boltahe E.

Walang alinlangan, ang paghahanap ng mga analytical na solusyon sa analytical modeling ay lumalabas na lubhang mahalaga para sa pagbubunyag ng mga pangkalahatang teoretikal na batas ng mga simpleng linear circuit, system at device. Gayunpaman, ang pagiging kumplikado nito ay tumataas nang husto habang ang mga impluwensya sa modelo ay nagiging mas kumplikado at ang pagkakasunud-sunod at bilang ng mga mga equation ng estado na naglalarawan sa namodelong pagtaas ng bagay. Maaari kang makakuha ng higit pa o hindi gaanong nakikitang mga resulta kapag nagmomodelo ng mga bagay sa pangalawa o pangatlong pagkakasunud-sunod, ngunit kahit na may mas mataas na pagkakasunud-sunod, ang mga analytical na expression ay nagiging sobrang masalimuot, kumplikado at mahirap intindihin. Halimbawa, kahit na ang isang simpleng electronic amplifier ay kadalasang naglalaman ng dose-dosenang mga bahagi. Gayunpaman, maraming mga modernong SCM, tulad ng mga sistema ng simbolikong matematika Maple, Mathematica o Miyerkules MATLAB ay may kakayahang i-automate sa isang malaking lawak ang solusyon ng mga kumplikadong problema ng analytical modeling.

Ang isang uri ng pagmomolde ay numerical simulation, na binubuo sa pagkuha ng kinakailangang dami ng data tungkol sa pag-uugali ng mga system o device sa pamamagitan ng anumang angkop na paraan ng numero, gaya ng mga pamamaraan ng Euler o Runge-Kutta. Sa pagsasagawa, ang pagmomodelo ng mga nonlinear system at device gamit ang mga numerical na pamamaraan ay mas mahusay kaysa sa analytical modeling ng mga indibidwal na pribadong linear circuit, system o device. Halimbawa, upang malutas ang DE (1) o mga sistema ng mga DE mahirap na mga kaso ang solusyon sa isang analytical form ay hindi nakuha, ngunit ang numerical simulation data ay maaaring gamitin upang makakuha ng sapat na kumpletong data sa pag-uugali ng mga simulate na system at device, pati na rin upang mag-plot ng mga graph na naglalarawan sa gawi na ito ng mga dependency.

Simulation

Sa panggagaya Sa pagmomodelo, ang algorithm na nagpapatupad ng modelo ay muling gumagawa ng proseso ng system na gumagana sa oras. Ang mga elementarya na phenomena na bumubuo sa proseso ay ginagaya, na may pagpapanatili ng kanilang lohikal na istraktura at ang pagkakasunud-sunod ng daloy sa oras.

Ang pangunahing bentahe ng mga modelo ng simulation kumpara sa mga analytical ay ang kakayahang malutas ang mas kumplikadong mga problema.

Pinapadali ng mga modelo ng simulation na isaalang-alang ang pagkakaroon ng mga discrete o tuloy-tuloy na elemento, mga hindi linear na katangian, mga random na epekto, atbp. Samakatuwid, ang pamamaraang ito ay malawakang ginagamit sa yugto ng disenyo ng mga kumplikadong sistema. Ang pangunahing tool para sa pagpapatupad ng simulation modeling ay isang computer na nagbibigay-daan sa digital modeling ng mga system at signal.

Kaugnay nito, tinukoy namin ang pariralang " pagmomodelo ng kompyuter”, na lalong ginagamit sa panitikan. Ipagpalagay natin iyon pagmomodelo ng kompyuter- ito ay mathematical modeling gamit ang computer technology. Alinsunod dito, ang teknolohiya ng computer simulation ay nagsasangkot ng mga sumusunod na aksyon:

1) kahulugan ng layunin ng pagmomodelo;

2) pagbuo ng isang konseptwal na modelo;

3) pormalisasyon ng modelo;

4) pagpapatupad ng software ng modelo;

5) pagpaplano ng mga eksperimento sa modelo;

6) pagpapatupad ng plano ng eksperimento;

7) pagsusuri at interpretasyon ng mga resulta ng simulation.

Sa pagmomolde ng simulation ang ginamit na MM ay nagpaparami ng algorithm ("lohika") ng paggana ng system na pinag-aaralan sa oras para sa iba't ibang mga kumbinasyon ng mga halaga ng mga parameter ng system at kapaligiran.

Ang isang halimbawa ng pinakasimpleng analytical na modelo ay ang equation ng pare-parehong rectilinear motion. Kapag pinag-aaralan ang ganitong proseso sa tulong ng isang modelo ng simulation, ang pagmamasid sa pagbabago sa landas na nilakbay sa paglipas ng panahon ay dapat na ipatupad. Malinaw, sa ilang mga kaso, ang analytical modeling ay mas gusto, sa iba - simulation (o isang kumbinasyon ng pareho) . Upang makagawa ng isang mahusay na pagpili, dalawang tanong ang dapat masagot.

Ano ang layunin ng pagmomodelo?

Sa anong klase maaaring italaga ang simulate phenomenon?

Ang mga sagot sa parehong mga tanong na ito ay maaaring makuha sa panahon ng pagpapatupad ng unang dalawang yugto ng pagmomodelo.

Ang mga modelo ng simulation ay hindi lamang sa mga katangian, kundi pati na rin sa istraktura ay tumutugma sa bagay na ginagaya. Sa kasong ito, mayroong isang hindi malabo at tahasang pagsusulatan sa pagitan ng mga prosesong nakuha sa modelo at ng mga prosesong nagaganap sa bagay. Ang kawalan ng simulation modeling ay nangangailangan ng mahabang oras upang malutas ang problema upang makakuha ng mahusay na katumpakan.

Ang mga resulta ng simulation modelling ng pagpapatakbo ng isang stochastic system ay mga pagsasakatuparan mga random na variable o mga proseso. Samakatuwid, upang mahanap ang mga katangian ng system, maraming pag-uulit at kasunod na pagproseso ng data ay kinakailangan. Kadalasan, sa kasong ito, ginagamit ang isang uri ng simulation - istatistika

pagmomodelo(o ang Monte Carlo method), i.e. pagpaparami sa mga modelo ng mga random na kadahilanan, kaganapan, dami, proseso, mga patlang.

Ayon sa mga resulta ng statistical modeling, ang mga pagtatantya ng probabilistic na pamantayan ng kalidad, pangkalahatan at partikular, na nagpapakilala sa paggana at kahusayan ng kinokontrol na sistema ay tinutukoy. Ang pagmomodelo ng istatistika ay malawakang ginagamit upang malutas ang mga problemang pang-agham at inilapat sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya. Ang mga pamamaraan ng pagmomodelo ng istatistika ay malawakang ginagamit sa pag-aaral ng mga kumplikadong dynamic na sistema, pagsusuri ng kanilang paggana at kahusayan.

Ang huling yugto ng statistical modeling ay batay sa matematikal na pagproseso ng mga nakuhang resulta. Dito, ginagamit ang mga pamamaraan ng matematikal na istatistika (parametric at non-parametric estimation, hypothesis testing). Ang isang halimbawa ng isang parametric na pagtatasa ay ang sample mean ng isang sukatan ng pagganap. Kabilang sa mga nonparametric na pamamaraan, ang pinakamalawak na ginagamit paraan ng histogram.

Ang isinasaalang-alang na scheme ay batay sa maramihang mga istatistikal na pagsubok ng system at mga pamamaraan ng mga istatistika ng mga independiyenteng random na mga variable. Ang scheme na ito ay malayo sa palaging natural sa pagsasanay at pinakamainam sa mga tuntunin ng mga gastos. Ang pagbawas sa oras ng pagsubok ng system ay maaaring makamit sa pamamagitan ng paggamit ng mas tumpak na mga pamamaraan ng pagtatantya. Tulad ng nalalaman mula sa mga istatistika ng matematika, ang mga epektibong pagtatantya ay may pinakamataas na katumpakan para sa isang ibinigay na laki ng sample. Ang pinakamainam na pag-filter at ang maximum na paraan ng posibilidad ay nagbibigay pangkalahatang pamamaraan pagkuha ng mga naturang pagtatantya.Sa mga problema ng statistical modeling, ang pagproseso ng mga pagsasakatuparan ng mga random na proseso ay kinakailangan hindi lamang para sa pagsusuri ng mga proseso ng output.

Napakahalaga din na kontrolin ang mga katangian ng input random effects. Ang kontrol ay binubuo sa pagsuri kung ang mga pamamahagi ng mga nabuong proseso ay tumutugma sa mga ibinigay na pamamahagi. Ang gawaing ito ay madalas na binabalangkas bilang gawain sa pagsubok ng hypothesis.

Ang pangkalahatang trend sa computer-assisted simulation ng mga kumplikadong kinokontrol na system ay ang pagnanais na bawasan ang simulation time, gayundin ang magsagawa ng pananaliksik sa real time. Ang mga computational algorithm ay maginhawang kinakatawan sa isang paulit-ulit na anyo na nagbibigay-daan sa kanilang pagpapatupad sa bilis ng kasalukuyang impormasyon.

MGA PRINSIPYO NG ISANG SYSTEM APPROACH SA MODELING

Mga Batayan ng Teorya ng Sistema

Ang mga pangunahing probisyon ng teorya ng mga sistema ay lumitaw sa kurso ng pag-aaral ng mga dynamic na sistema at ang kanilang mga functional na elemento. Ang isang sistema ay nauunawaan bilang isang pangkat ng magkakaugnay na mga elemento na kumikilos nang sama-sama upang maisagawa ang isang paunang natukoy na gawain. Nagbibigay-daan sa iyo ang pagsusuri ng system na matukoy ang pinakamaraming bagay tunay na paraan pagsasakatuparan ng itinakdang gawain, tinitiyak ang pinakamataas na kasiyahan ng mga itinakdang kinakailangan.

Ang mga elemento na bumubuo ng batayan ng teorya ng mga sistema ay hindi nilikha sa tulong ng mga hypotheses, ngunit natuklasan sa eksperimentong paraan. Upang simulan ang pagbuo ng isang sistema, kinakailangan na magkaroon ng mga pangkalahatang katangian ng mga teknolohikal na proseso. Ang parehong ay totoo para sa mga prinsipyo ng paglikha ng mathematically formulated na pamantayan na ang isang proseso o ang teoretikal na paglalarawan nito ay dapat masiyahan. Ang pagmomodelo ay isa sa pinakamahalagang pamamaraan ng siyentipikong pananaliksik at eksperimento.

Kapag nagtatayo ng mga modelo ng mga bagay, ginagamit ang isang sistematikong diskarte, na isang pamamaraan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema, na batay sa pagsasaalang-alang ng isang bagay bilang isang sistema na tumatakbo sa isang tiyak na kapaligiran. Ang diskarte sa system ay nagsasangkot ng pagsisiwalat ng integridad ng bagay, ang pagkilala at pag-aaral ng panloob na istraktura nito, pati na rin ang mga koneksyon sa panlabas na kapaligiran. Sa kasong ito, ang bagay ay ipinakita bilang isang bahagi ng totoong mundo, na kinilala at pinag-aralan na may kaugnayan sa problema ng pagbuo ng isang modelo na nalutas. Bukod sa, diskarte sa mga sistema nagsasangkot ng pare-parehong paglipat mula sa pangkalahatan patungo sa partikular, kapag ang pagsasaalang-alang ay batay sa layunin ng disenyo, at ang bagay ay isinasaalang-alang na may kaugnayan sa kapaligiran.

Ang isang kumplikadong bagay ay maaaring nahahati sa mga subsystem, na mga bahagi ng bagay na nakakatugon sa mga sumusunod na kinakailangan:

1) ang subsystem ay isang functionally independent na bahagi ng object. Ito ay konektado sa iba pang mga subsystem, nakikipagpalitan ng impormasyon at enerhiya sa kanila;

2) para sa bawat subsystem, maaaring tukuyin ang mga function o katangian na hindi tumutugma sa mga katangian ng buong system;

3) bawat isa sa mga subsystem ay maaaring higit pang hatiin sa antas ng mga elemento.

Sa kasong ito, ang isang elemento ay nauunawaan bilang isang subsystem ng mas mababang antas, ang karagdagang dibisyon na kung saan ay hindi kapaki-pakinabang mula sa pananaw ng problemang nalutas.

Kaya, ang isang sistema ay maaaring tukuyin bilang isang representasyon ng isang bagay sa anyo ng isang hanay ng mga subsystem, elemento, at mga relasyon para sa layunin ng paglikha, pananaliksik, o pagpapabuti nito. Kasabay nito, ang isang pinalaki na representasyon ng system, na kinabibilangan ng mga pangunahing subsystem at koneksyon sa pagitan nila, ay tinatawag na isang macrostructure, at isang detalyadong pagsisiwalat ng panloob na istraktura ng system sa antas ng mga elemento ay tinatawag na microstructure.

Kasama ng system, karaniwang mayroong supersystem - isang sistema ng mas mataas na antas, na kinabibilangan ng bagay na isinasaalang-alang, at ang function ng anumang sistema ay maaari lamang matukoy sa pamamagitan ng supersystem.

Kinakailangang i-highlight ang konsepto ng kapaligiran bilang isang hanay ng mga bagay ng panlabas na mundo na makabuluhang nakakaapekto sa kahusayan ng system, ngunit hindi bahagi ng system at supersystem nito.

Kaugnay ng sistematikong diskarte sa pagbuo ng mga modelo, ginagamit ang konsepto ng imprastraktura, na naglalarawan sa kaugnayan ng system sa kapaligiran nito (kapaligiran). Sa kasong ito, ang pagpili, paglalarawan at pag-aaral ng mga katangian ng isang bagay na makabuluhan. sa loob ng isang tiyak na gawain ay tinatawag na pagsasapin-sapin ng isang bagay, at anumang modelo ng isang bagay ay ang pagsasapin-sapin nitong paglalarawan.

Para sa isang sistematikong diskarte, mahalagang matukoy ang istraktura ng system, i.e. hanay ng mga link sa pagitan ng mga elemento ng system, na sumasalamin sa kanilang pakikipag-ugnayan. Upang gawin ito, isaalang-alang muna natin ang mga structural at functional na diskarte sa pagmomodelo.

Sa isang diskarte sa istruktura, ang komposisyon ng mga napiling elemento ng system at ang mga link sa pagitan ng mga ito ay ipinahayag. Ang kabuuan ng mga elemento at koneksyon ay ginagawang posible upang hatulan ang istraktura ng system. Ang pinaka-pangkalahatang paglalarawan ng isang istraktura ay isang topological na paglalarawan. Binibigyang-daan ka nitong tukuyin ang mga bahagi ng system at ang kanilang mga ugnayan gamit ang mga graph. Ang hindi gaanong pangkalahatan ay ang functional na paglalarawan kapag ang mga indibidwal na function ay isinasaalang-alang, ibig sabihin, mga algorithm para sa pag-uugali ng system. Kasabay nito, ang isang functional na diskarte ay ipinatupad na tumutukoy sa mga function na ginagawa ng system.

Sa batayan ng isang sistematikong diskarte, ang isang pagkakasunud-sunod ng pagbuo ng modelo ay maaaring imungkahi, kapag ang dalawang pangunahing yugto ng disenyo ay nakikilala: macro-design at micro-design.

Sa yugto ng macro-design, ang isang modelo ng panlabas na kapaligiran ay binuo, ang mga mapagkukunan at mga hadlang ay natukoy, ang isang modelo ng system at pamantayan para sa pagtatasa ng kasapatan ay pinili.

Ang yugto ng microdesign ay higit na nakadepende sa partikular na uri ng modelong napili. Sa pangkalahatang kaso, ito ay nagsasangkot ng paglikha ng impormasyon, matematika, teknikal at suporta sa software para sa sistema ng pagmomolde. Sa yugtong ito, ang mga pangunahing teknikal na katangian ng nilikha na modelo ay itinatag, ang oras ng pagtatrabaho dito at ang halaga ng mga mapagkukunan upang makuha ang ibinigay na kalidad ng modelo ay tinatantya.

Anuman ang uri ng modelo, kapag itinatayo ito, kinakailangan na magabayan ng isang bilang ng mga prinsipyo ng isang sistematikong diskarte:

1) pare-parehong pag-unlad sa mga yugto ng paglikha ng isang modelo;

2) koordinasyon ng impormasyon, mapagkukunan, pagiging maaasahan at iba pang mga katangian;

3) ang tamang ratio ng iba't ibang antas ng pagbuo ng modelo;

4) ang integridad ng mga indibidwal na yugto ng disenyo ng modelo.