Pagbabago ng fraction. Pag-convert ng decimal fraction sa prime fraction at vice versa

Sa artikulong ito titingnan natin kung paano pag-convert ng mga fraction sa mga decimal, at isaalang-alang din ang reverse na proseso - pag-convert ng mga decimal fraction sa mga ordinaryong fraction. Dito namin iaanunsyo ang mga patakaran para sa pag-convert ng mga fraction at pagbibigay mga detalyadong solusyon tipikal na mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Pag-convert ng mga fraction sa mga decimal

Tukuyin natin ang pagkakasunud-sunod na ating haharapin pag-convert ng mga fraction sa mga decimal.

Una, titingnan natin kung paano kinakatawan ang mga fraction na may mga denominador na 10, 100, 1,000, ... bilang mga decimal. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang mga decimal fraction ay mahalagang isang compact na anyo ng pagsulat ng mga ordinaryong fraction na may mga denominador na 10, 100, ....

Pagkatapos nito ay pupunta pa tayo at ipapakita kung paano karaniwang fraction(hindi lamang sa mga denominador na 10, 100, ...) na isinulat bilang isang decimal fraction. Kapag ang mga ordinaryong fraction ay ginagamot sa ganitong paraan, ang parehong mga finite decimal fraction at infinite periodic decimal fraction ay makukuha.

Ngayon pag-usapan natin ang lahat sa pagkakasunud-sunod.

Pag-convert ng mga karaniwang fraction na may mga denominador na 10, 100, ... sa mga decimal

Ang ilang mga wastong fraction ay nangangailangan ng "paunang paghahanda" bago ma-convert sa mga decimal. Nalalapat ito sa mga ordinaryong fraction, ang bilang ng mga digit sa numerator na mas mababa kaysa sa bilang ng mga zero sa denominator. Halimbawa, ang karaniwang fraction 2/100 ay dapat munang ihanda para sa conversion sa isang decimal fraction, ngunit ang fraction 9/10 ay hindi nangangailangan ng anumang paghahanda.

Ang "paunang paghahanda" ng wastong mga ordinaryong fraction para sa conversion sa decimal fraction ay binubuo ng pagdaragdag ng napakaraming zero sa kaliwa sa numerator na ang kabuuang bilang ng mga digit doon ay naging katumbas ng bilang ng mga zero sa denominator. Halimbawa, ang isang fraction pagkatapos magdagdag ng mga zero ay magmumukhang .

Kapag nakapaghanda ka na ng wastong fraction, maaari mong simulan ang pag-convert nito sa decimal.

Pagbigyan natin panuntunan para sa pag-convert ng wastong common fraction na may denominator na 10, o 100, o 1,000, ... sa isang decimal fraction. Binubuo ito ng tatlong hakbang:

isulat ang 0;
pagkatapos nito ay naglalagay kami ng decimal point;
Isinulat namin ang numero mula sa numerator (kasama ang mga idinagdag na zero, kung idinagdag namin ang mga ito).

Isaalang-alang natin ang paglalapat ng panuntunang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.

Halimbawa.

I-convert ang wastong fraction na 37/100 sa isang decimal.

Solusyon.

Ang denominator ay naglalaman ng numero 100, na may dalawang zero. Ang numerator ay naglalaman ng numero 37, ang notasyon nito ay may dalawang digit, samakatuwid, ang fraction na ito ay hindi kailangang ihanda para sa conversion sa isang decimal fraction.

Ngayon isulat namin ang 0, maglagay ng decimal point, at isulat ang numero 37 mula sa numerator, at makuha namin ang decimal fraction na 0.37.

Sagot:

0,37 .

Upang palakasin ang mga kasanayan sa pag-convert ng wastong mga ordinaryong fraction na may mga numerator 10, 100, ... sa mga decimal fraction, susuriin namin ang solusyon sa isa pang halimbawa.

Halimbawa.

Isulat mo tamang fraction 107/10,000,000 bilang isang decimal.

Solusyon.

Ang bilang ng mga digit sa numerator ay 3, at ang bilang ng mga zero sa denominator ay 7, kaya ang karaniwang fraction na ito ay kailangang ihanda para sa conversion sa isang decimal. Kailangan nating magdagdag ng 7-3=4 na zero sa kaliwa sa numerator upang ang kabuuang bilang ng mga digit doon ay maging katumbas ng bilang ng mga zero sa denominator. Nakukuha namin.

Ang natitira na lang ay lumikha ng kinakailangang decimal fraction. Upang gawin ito, una, sumulat kami ng 0, pangalawa, naglalagay kami ng kuwit, pangatlo, isinusulat namin ang numero mula sa numerator kasama ang mga zero 0000107, bilang isang resulta mayroon kaming isang decimal na bahagi na 0.0000107.

Sagot:

0,0000107 .

Ang mga hindi tamang fraction ay hindi nangangailangan ng anumang paghahanda kapag nagko-convert sa mga decimal. Ang mga sumusunod ay dapat sundin mga panuntunan para sa pag-convert ng mga improper fraction na may denominator na 10, 100, ... sa mga decimal:

isulat ang numero mula sa numerator;
magkahiwalay decimal point mayroong kasing daming digit sa kanan gaya ng mga zero sa denominator ng orihinal na fraction.

Tingnan natin ang paglalapat ng panuntunang ito kapag nilulutas ang isang halimbawa.

Halimbawa.

I-convert ang improper fraction na 56,888,038,009/100,000 sa decimal.

Solusyon.

Una, isinulat namin ang numero mula sa numerator 56888038009, at pangalawa, pinaghihiwalay namin ang 5 digit sa kanan gamit ang isang decimal point, dahil ang denominator ng orihinal na fraction ay may 5 zero. Bilang resulta, mayroon tayong decimal fraction na 568880.38009.

Sagot:

568 880,38009 .

Upang i-convert ang isang pinaghalong numero sa isang decimal fraction, ang denominator ng fractional na bahagi nito ay ang numero 10, o 100, o 1,000, ..., maaari mong i-convert ang pinaghalong numero sa isang hindi wastong ordinaryong fraction, at pagkatapos ay i-convert ang resultang fraction sa isang decimal fraction. Ngunit maaari mo ring gamitin ang sumusunod ang panuntunan para sa pag-convert ng mga magkahalong numero na may fractional denominator na 10, o 100, o 1,000, ... sa mga decimal fraction:

kung kinakailangan, nagsasagawa kami ng "paunang paghahanda" ng praksyonal na bahagi ng orihinal na pinaghalong numero sa pamamagitan ng pagdaragdag kinakailangang halaga mga zero sa kaliwa sa numerator;
isulat ang integer na bahagi ng orihinal na pinaghalong numero;
maglagay ng decimal point;
Isinulat namin ang numero mula sa numerator kasama ang mga idinagdag na mga zero.

Tingnan natin ang isang halimbawa kung saan kinukumpleto natin ang lahat ng kinakailangang hakbang upang kumatawan sa isang pinaghalong numero bilang isang decimal fraction.

Halimbawa.

Isalin halo-halong numero sa isang decimal fraction.

Solusyon.

Ang denominator ng fractional na bahagi ay may 4 na zero, ngunit ang numerator ay naglalaman ng numero 17, na binubuo ng 2 digit, samakatuwid, kailangan nating magdagdag ng dalawang zero sa kaliwa sa numerator upang ang bilang ng mga digit doon ay maging katumbas ng bilang ng mga zero sa denominator. Kapag nagawa ito, ang numerator ay magiging 0017.

Ngayon isulat namin ang integer na bahagi ng orihinal na numero, iyon ay, ang numero 23, maglagay ng decimal point, pagkatapos nito isulat namin ang numero mula sa numerator kasama ang mga idinagdag na zero, iyon ay, 0017, at makuha namin ang nais na decimal. fraction 23.0017.

Isulat natin nang maikli ang buong solusyon: .

Syempre, posibleng irepresenta muna ang mixed number bilang hindi tamang fraction at pagkatapos ay i-convert ito sa decimal fraction. Sa diskarteng ito, ang solusyon ay ganito ang hitsura: .

Sagot:

23,0017 .

Pag-convert ng mga fraction sa may hangganan at walang katapusang periodic decimal

Maaari mong i-convert hindi lamang ang mga ordinaryong fraction na may denominator na 10, 100, ... sa isang decimal fraction, kundi pati na rin ang mga ordinaryong fraction na may iba pang denominator. Ngayon ay malalaman natin kung paano ito ginagawa.

Sa ilang mga kaso, ang orihinal na ordinaryong fraction ay madaling nabawasan sa isa sa mga denominator na 10, o 100, o 1,000, ... (tingnan ang pagdadala ng isang ordinaryong fraction sa isang bagong denominator), pagkatapos nito ay hindi mahirap na katawanin ang resultang fraction. bilang isang decimal fraction. Halimbawa, malinaw na ang fraction 2/5 ay maaaring bawasan sa isang fraction na may denominator 10, para dito kailangan mong i-multiply ang numerator at denominator sa 2, na magbibigay ng fraction na 4/10, na, ayon sa mga panuntunang tinalakay sa nakaraang talata, ay madaling ma-convert sa decimal fraction 0, 4 .

Sa ibang mga kaso, kailangan mong gumamit ng isa pang paraan ng pag-convert ng isang ordinaryong fraction sa isang decimal, na ngayon ay isasaalang-alang namin.

Upang i-convert ang isang ordinaryong fraction sa isang decimal fraction, ang numerator ng fraction ay hinati sa denominator, ang numerator ay unang pinalitan ng isang pantay na decimal fraction na may anumang bilang ng mga zero pagkatapos ng decimal point (napag-usapan namin ito sa seksyon na katumbas at hindi pantay na decimal fraction). Sa kasong ito, ang paghahati ay ginagawa sa parehong paraan tulad ng paghahati sa pamamagitan ng isang hanay ng mga natural na numero, at sa quotient ay inilalagay ang isang decimal point kapag ang paghahati ng buong bahagi ng dibidendo ay nagtatapos. Ang lahat ng ito ay magiging malinaw mula sa mga solusyon sa mga halimbawang ibinigay sa ibaba.

Halimbawa.

I-convert ang fraction na 621/4 sa isang decimal.

Solusyon.

Katawanin natin ang numero sa numerator 621 bilang isang decimal fraction, pagdaragdag ng isang decimal point at ilang mga zero pagkatapos nito. Una, magdagdag tayo ng 2 digit 0, mamaya, kung kinakailangan, maaari tayong palaging magdagdag ng higit pang mga zero. So, meron tayong 621.00.

Ngayon, hatiin natin ang bilang na 621,000 sa 4 na may isang hanay. Ang unang tatlong hakbang ay hindi naiiba sa paghahati ng mga natural na numero sa pamamagitan ng isang hanay, pagkatapos ay dumating tayo sa sumusunod na larawan:

Ito ay kung paano tayo makarating sa decimal point sa dibidendo, at ang natitira ay iba sa zero. Sa kasong ito, naglalagay kami ng decimal point sa quotient at patuloy na naghahati sa isang column, hindi binibigyang pansin ang mga kuwit:

Kinukumpleto nito ang paghahati, at bilang resulta ay nakukuha natin ang decimal na fraction na 155.25, na tumutugma sa orihinal na ordinaryong fraction.

Sagot:

155,25 .

Upang pagsama-samahin ang materyal, isaalang-alang ang solusyon sa isa pang halimbawa.

Halimbawa.

I-convert ang fraction na 21/800 sa isang decimal.

Solusyon.

Upang i-convert ang karaniwang fraction na ito sa isang decimal, hinahati namin sa isang column ng decimal na fraction na 21,000... sa 800. Pagkatapos ng unang hakbang, kailangan nating maglagay ng decimal point sa quotient, at pagkatapos ay ipagpatuloy ang paghahati:

Sa wakas, nakuha namin ang natitirang 0, nakumpleto nito ang conversion ng karaniwang fraction 21/400 sa isang decimal fraction, at nakarating kami sa decimal fraction na 0.02625.

Sagot:

0,02625 .

Maaaring mangyari na kapag hinahati ang numerator sa denominator ng isang ordinaryong fraction, hindi pa rin tayo nakakakuha ng natitirang 0. Sa mga kasong ito, maaaring ipagpatuloy ang paghahati nang walang hanggan. Gayunpaman, simula sa isang tiyak na hakbang, ang mga natitira ay magsisimulang umulit nang pana-panahon, at ang mga numero sa quotient ay umuulit din. Nangangahulugan ito na ang orihinal na fraction ay na-convert sa isang walang katapusang periodic decimal fraction. Ipakita natin ito sa isang halimbawa.

Halimbawa.

Isulat ang fraction 19/44 bilang isang decimal.

Solusyon.

Upang i-convert ang isang karaniwang fraction sa isang decimal, magsagawa ng paghahati ayon sa column:

Malinaw na sa panahon ng paghahati ang mga nalalabi 8 at 36 ay nagsimulang ulitin, habang sa quotient ang mga numero 1 at 8 ay paulit-ulit. Kaya, ang orihinal na karaniwang fraction 19/44 ay na-convert sa isang periodic decimal fraction 0.43181818...=0.43(18).

Sagot:

0,43(18) .

Upang tapusin ang puntong ito, malalaman natin kung aling mga ordinaryong praksyon ang maaaring i-convert sa mga finite decimal fraction, at alin ang maaari lamang i-convert sa periodic na mga.

Magkaroon tayo ng hindi mababawasang ordinaryong fraction sa harap natin (kung mababawasan ang fraction, bawasan muna natin ang fraction), at kailangan nating alamin kung aling decimal fraction ang maaari itong i-convert - finite o periodic.

Malinaw na kung ang isang ordinaryong fraction ay maaaring bawasan sa isa sa mga denominator na 10, 100, 1,000, ..., kung gayon ang resultang fraction ay madaling ma-convert sa isang pangwakas na decimal fraction ayon sa mga tuntuning tinalakay sa nakaraang talata. Ngunit sa mga denominador na 10, 100, 1,000, atbp. Hindi lahat ng ordinaryong fraction ay ibinibigay. Ang mga praksyon lamang na ang mga denominador ay hindi bababa sa isa sa mga numerong 10, 100, ... ang maaaring bawasan sa gayong mga denominador. At anong mga numero ang maaaring maging divisors ng 10, 100, ...? Ang mga numerong 10, 100, ... ay magbibigay-daan sa amin na sagutin ang tanong na ito, at ang mga ito ay ang mga sumusunod: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1,000 = 2 2 2 5 5 5, .... Ito ay sumusunod na ang mga divisors ay 10, 100, 1,000, atbp. Maaari lamang magkaroon ng mga numero na ang mga decomposition sa prime factor ay naglalaman lamang ng mga numero 2 at (o) 5.

Ngayon ay maaari tayong gumawa ng pangkalahatang konklusyon tungkol sa pag-convert ng mga ordinaryong fraction sa mga decimal:

kung sa decomposition ng denominator sa prime factor ay ang mga numero 2 at (o) 5 lamang ang naroroon, kung gayon ang fraction na ito ay maaaring ma-convert sa isang final decimal fraction;
kung, bilang karagdagan sa dalawa at lima, may iba pa sa pagpapalawak ng denominator mga pangunahing numero, pagkatapos ang fraction na ito ay na-convert sa isang walang katapusang decimal periodic fraction.

Halimbawa.

Nang hindi nako-convert ang mga ordinaryong fraction sa mga decimal, sabihin sa akin kung alin sa mga fraction na 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 ang maaaring i-convert sa isang final decimal fraction, at kung alin ang maaari lamang i-convert sa periodic fraction.

Solusyon.

Ang denominator ng fraction na 47/20 ay isinasali sa prime factor bilang 20=2·2·5. Sa pagpapalawak na ito ay mayroon lamang dalawa at lima, kaya ang fraction na ito ay maaaring bawasan sa isa sa mga denominator na 10, 100, 1,000, ... (sa halimbawang ito, sa denominator na 100), samakatuwid, ay maaaring ma-convert sa isang pangwakas na decimal. maliit na bahagi.

Ang decomposition ng denominator ng fraction 7/12 sa prime factor ay may anyo na 12=2·2·3. Dahil naglalaman ito ng prime factor na 3, naiiba sa 2 at 5, hindi maaaring katawanin ang fraction na ito bilang isang finite decimal, ngunit maaaring ma-convert sa periodic decimal.

Maliit na bahagi 21/56 - contractile, pagkatapos ng contraction ay nasa form na 3/8. Ang pag-factor ng denominator sa prime factor ay naglalaman ng tatlong salik na katumbas ng 2, samakatuwid, ang karaniwang fraction na 3/8, at samakatuwid ay ang katumbas na fraction na 21/56, ay maaaring ma-convert sa isang huling decimal na fraction.

Sa wakas, ang pagpapalawak ng denominator ng fraction na 31/17 ay 17 mismo, samakatuwid ang fraction na ito ay hindi maaaring ma-convert sa isang finite decimal fraction, ngunit maaaring ma-convert sa isang infinite periodic fraction.

Sagot:

Ang 47/20 at 21/56 ay maaaring i-convert sa isang finite decimal fraction, ngunit ang 7/12 at 31/17 ay maaari lamang i-convert sa periodic fraction.

Ang mga ordinaryong fraction ay hindi nagko-convert sa walang katapusan na di-pana-panahong mga decimal

Ang impormasyon sa nakaraang talata ay nagbibigay ng tanong na: "Maaari bang magresulta ang paghahati ng numerator ng isang fraction sa denominator sa isang walang katapusang non-periodic fraction?"

Sagot: hindi. Kapag nagko-convert ng isang karaniwang fraction, ang resulta ay maaaring maging isang finite decimal fraction o isang infinite periodic decimal fraction. Ipaliwanag natin kung bakit ganito.

Mula sa theorem sa divisibility na may natitira, malinaw na ang natitira ay palaging mas mababa kaysa sa divisor, iyon ay, kung hahatiin natin ang ilang integer sa isang integer q, kung gayon ang natitira ay maaari lamang isa sa mga numero 0, 1, 2 , ..., q−1. Kasunod nito na pagkatapos makumpleto ng hanay ang paghahati ng integer na bahagi ng numerator ng isang karaniwang fraction ng denominator q, sa hindi hihigit sa q hakbang isa sa mga sumusunod na dalawang sitwasyon ay lilitaw:

o makakakuha tayo ng natitirang 0, tatapusin nito ang dibisyon, at makukuha natin ang panghuling bahagi ng decimal;
o makakakuha tayo ng natitira na lumitaw na dati, pagkatapos nito ay magsisimulang ulitin ang mga natitira tulad ng sa nakaraang halimbawa (mula noong hinati pantay na mga numero ang mga pantay na natitira ay nakukuha sa q, na sumusunod mula sa nabanggit na divisibility theorem), ito ay magreresulta sa isang walang katapusang periodic decimal fraction.

Hindi maaaring magkaroon ng anumang iba pang mga opsyon, samakatuwid, kapag nagko-convert ng isang ordinaryong fraction sa isang decimal fraction, hindi maaaring makuha ang isang walang katapusang non-periodic decimal fraction.

Mula sa pangangatwirang ibinigay sa talatang ito ay sumusunod din na ang haba ng panahon ng isang decimal fraction ay palaging mas mababa kaysa sa halaga ng denominator ng kaukulang ordinaryong fraction.

Pag-convert ng mga decimal sa mga fraction

Ngayon, alamin natin kung paano i-convert ang isang decimal fraction sa isang ordinaryong fraction. Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-convert ng mga huling decimal fraction sa mga ordinaryong fraction. Pagkatapos nito, isasaalang-alang namin ang isang paraan para sa pag-invert ng walang katapusang periodic decimal fraction. Sa konklusyon, sabihin natin ang tungkol sa imposibilidad ng pag-convert ng walang katapusang non-periodic decimal fraction sa mga ordinaryong fraction.

Pag-convert ng mga sumusunod na decimal sa mga fraction

Ang pagkuha ng isang fraction na nakasulat bilang panghuling decimal ay medyo simple. Ang panuntunan para sa pag-convert ng isang pangwakas na decimal fraction sa isang karaniwang fraction ay binubuo ng tatlong hakbang:

una, isulat ang ibinigay na decimal fraction sa numerator, na dati nang itinapon ang decimal point at lahat ng mga zero sa kaliwa, kung mayroon man;
pangalawa, isulat ang isa sa denominator at magdagdag ng maraming mga zero dito dahil may mga digit pagkatapos ng decimal point sa orihinal na decimal fraction;
pangatlo, kung kinakailangan, bawasan ang resultang fraction.

Tingnan natin ang mga solusyon sa mga halimbawa.

Halimbawa.

I-convert ang decimal 3.025 sa isang fraction.

Solusyon.

Kung aalisin natin ang decimal point mula sa orihinal na decimal fraction, makukuha natin ang numerong 3,025. Walang mga zero sa kaliwa na itatapon namin. Kaya, isinusulat namin ang 3,025 sa numerator ng nais na fraction.

Isinulat namin ang numero 1 sa denominator at magdagdag ng 3 zero sa kanan nito, dahil sa orihinal na bahagi ng decimal ay mayroong 3 digit pagkatapos ng decimal point.

Kaya nakuha namin ang karaniwang fraction na 3,025/1,000. Ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng 25, nakukuha natin .

Sagot:

Halimbawa.

I-convert ang decimal fraction 0.0017 sa isang fraction.

Solusyon.

Kung walang decimal point, ang orihinal na decimal fraction ay mukhang 00017, na itinatapon ang mga zero sa kaliwa ay makukuha natin ang numero 17, na siyang numerator ng nais na ordinaryong fraction.

Nagsusulat kami ng isa na may apat na zero sa denominator, dahil ang orihinal na decimal fraction ay may 4 na digit pagkatapos ng decimal point.

Bilang resulta, mayroon tayong ordinaryong fraction na 17/10,000. Ang fraction na ito ay hindi mababawasan, at kumpleto na ang conversion ng isang decimal fraction sa isang ordinaryong fraction.

Sagot:

Kailan buong bahagi ang orihinal na final decimal fraction ay iba sa zero, pagkatapos ay maaari itong agad na ma-convert sa isang mixed number, na lampasan ang common fraction. Pagbigyan natin panuntunan para sa pag-convert ng huling decimal fraction sa isang mixed number:

ang numero bago ang decimal point ay dapat na nakasulat bilang isang integer na bahagi ng nais na pinaghalong numero;
sa numerator ng fractional na bahagi kailangan mong isulat ang numerong nakuha mula sa fractional na bahagi ng orihinal na decimal fraction pagkatapos itapon ang lahat ng mga zero sa kaliwa;
sa denominator ng fractional na bahagi kailangan mong isulat ang numero 1, kung saan magdagdag ng maraming mga zero sa kanan dahil may mga digit pagkatapos ng decimal point sa orihinal na decimal fraction;
kung kinakailangan, bawasan ang fractional na bahagi ng nagresultang pinaghalong numero.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pag-convert ng decimal fraction sa mixed number.

Halimbawa.

Ipahayag ang decimal fraction na 152.06005 bilang isang halo-halong numero

May-akda sa Youtube: Anastasia Ivanova

DOWNLOAD Pag-convert ng mga fraction sa mga decimal at vice versa. Mga periodic fraction. Mga aralin sa video sa iba pang mga paksa, pati na rin sa paghahanda para sa Pinag-isang State Exam at State Exam, [...]

Mga komento para sa video na ito:

Pinakabagong komento sa site

Cheat para sa roblox (PASSING THROUGH WALLS) - Panoorin/i-download
⇒ “May nangako ba sa iyo na makakapag-download ka ng cheat dito :)”
Idinagdag - Bar ng pagpapatawa — Ideal na babae— Manood/mag-download
⇒ "Gustung-gusto ko ang duet nina Demis Karibidis at Andrey Skorokhod) Alam ng mga taong ito kung paano ka patawanin, lalo na gusto ko ang accent ni Karibidis) Pagod na ako sa Pashka Volya at Kharlamov, ngunit dito makikita mo ang mga sariwang, hindi hackneyed na mga biro. At ang Marina Kravets ay nasusunog din Sa pangkalahatan, sa tingin ko ay oras na upang baguhin ito ng kaunting format ng palabas, upang ipakilala ang ilang mga bagong elemento Sa bagay na ito, gusto ko ang Comedy Woman, ang lahat ay napaka-dynamic at moderno.
Idinagdag - London, paalam: ang mga takas na negosyante ay gustong bumalik sa Russia - Russia 24 - Manood/mag-download
⇒ “Oo, mas maniwala sa mga ganitong balita ang ating mga oligarko na naninirahan sa mga kastilyong Ingles ay naghihingalo na bumalik sa Russia; Uniong Sobyet. Araw-araw ay mas naiintindihan ko kung bakit nagiging zombie box ang TV, araw-araw tayo ay dinidiktahan kung ano ang dapat nating paniwalaan, hindi alintana kung ito ay totoo, kalokohan na ipinapataw sa populasyon, upang ipakita kung gaano kahusay. ito ay dito para sa amin, at kung gaano kasama ito para sa kanila doon impiyerno. "
Idinagdag – Druzhko Show #23 – Manood/mag-download
⇒ "Ito ay isang mahusay na pagpapalabas. Halos gaya ng dati. Gayunpaman, mayroon siyang sariling istilo at karisma, na talagang kaakit-akit."
Idinagdag - BINABATI NG MGA POLITIKO si PUTIN - Panoorin/i-download
⇒ “Well, well done, what can I say, everyone is such a respected person, how can I congratulate you I am happy to join in the congratulations.
Idinagdag -

I-convert ang decimal sa normal

Ang bawat decimal fraction ay maaaring katawanin bilang isang regular na fraction. Isulat lamang gamit ang denominator upang gawin ito.

Ang pangunahing panuntunan para sa pag-convert ng decimal sa isang regular na fraction ay basahin ang decimal, ngunit ito ay karaniwang nakasulat. Halimbawa:

2,3 - dalawang puntos sa tatlong sampu

Dahil kumpleto na ang fraction, maaari itong i-convert sa mixed number o irregular fraction:

Pag-convert ng tamang fraction sa decimal

Ang isang di-tradisyonal na fraction ay maaaring i-convert sa isang decimal, tulad ng para sa conventional decimal notation, ang denominator ay dapat na sundan ng isa o higit pang mga zero, tulad ng 10, 100, 1000, at iba pa.

Paano i-convert ang kabuuang fraction sa decimal

Kung palawakin natin ang naturang denominator gamit ang mga pangunahing salik, makukuha natin ang parehong bilang ng mga pagdodoble at lima:

100 = 10 10 = 2 5 2.5

1000 = 10 10 10 = 2 5 2 5 2 5

Iba pangunahing mga kadahilanan hindi, kaya hindi naglalaman ang mga extension na ito, kaya:

Ang isang regular na fraction ay maaaring katawanin bilang isang decimal lamang kung ang denominator nito ay walang mga salik maliban sa 2 at 5.

Makilahok tayo:

Kapag ang denominator ay pinalawak sa pangunahing mga kadahilanan, ang resulta ay isang produkto ng 2 2:

Kung i-multiply mo ito sa dalawang apat, i-equate ang bilang na lima hanggang dalawa, makakakuha ka ng isa sa mga kinakailangang denominator - 100.

Upang makakuha ng isang sipi na katumbas nito, ang counter ay dapat na i-multiply sa produkto ng dalawang lima:

Tingnan natin ang isa pang pangkat:

Kapag ang denominator ay pinalawak sa pangunahing mga kadahilanan, ang produkto ay 2.7, na naglalaman ng numero 7:

Ang isang factor ng 7 ay naroroon sa denominator upang i-multiply ito o ang mga integer, upang ang isang produkto na naglalaman lamang ng dalawa at lima ay hindi kailanman mangyayari.

Samakatuwid, ang fraction na ito ay hindi maaaring bawasan sa alinman sa mga kinakailangang denominator: 10, 100, 1000, atbp. Nangangahulugan ito na hindi ito maaaring katawanin bilang decimal na numero.

Ang isang regular na incompatible na fraction ay hindi maaaring katawanin bilang isang decimal na numero kung ang denominator nito ay naglalaman ng hindi bababa sa isa pangunahing salik mula isa hanggang dalawa.

Tandaan na ang panuntunan ay nagsasalita lamang tungkol sa mga hindi maibabalik na fraction, dahil ang ilang mga fraction ay maaaring katawanin bilang mga pagdadaglat ng decimal.

Tingnan natin ang dalawang bahagi:

Ngayon ang natitira na lang ay paramihin bilang phrasal fraction ng 5 upang makakuha ng 10 sa denominator, at maaari mong i-convert ang fraction sa isang decimal:

Paano i-convert ang isang decimal fraction sa isang karaniwang fraction

Mukhang ang pag-convert ng isang decimal fraction sa isang regular na fraction ay isang elementarya na paksa, ngunit maraming mga mag-aaral ang hindi naiintindihan ito!

Samakatuwid, ngayon ay titingnan namin ang isang detalyadong pagtingin sa ilang mga algorithm nang sabay-sabay, sa tulong kung saan mauunawaan mo ang anumang mga praksyon sa isang segundo lamang.

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na mayroong hindi bababa sa dalawang anyo ng pagsulat ng parehong fraction: karaniwan at decimal.

Ang mga desimal na praksiyon ay ang lahat ng uri ng mga konstruksyon ng anyong 0.75; 1.33; at kahit −7.41. Narito ang mga halimbawa ng mga ordinaryong fraction na nagpapahayag ng parehong mga numero:

Ngayon ay alamin natin ito: kung paano decimal notation pumunta sa normal?

At ang pinakamahalaga: paano ito gagawin sa lalong madaling panahon?

Pangunahing algorithm

Sa katunayan, mayroong hindi bababa sa dalawang mga algorithm. At titingnan natin ang dalawa ngayon. Magsimula tayo sa una - ang pinakasimple at naiintindihan.

Upang i-convert ang isang decimal sa isang fraction, kailangan mong sundin ang tatlong hakbang:

Isulat muli ang orihinal na fraction bilang bagong fraction: ang orihinal na decimal fraction ay mananatili sa numerator, at kailangan mong maglagay ng isa sa denominator. Sa kasong ito, ang tanda ng orihinal na numero ay inilalagay din sa numerator.
Halimbawa:
I-multiply ng 10 ang numerator at denominator ng resultang fraction hanggang sa mawala ang decimal point sa numerator. Paalalahanan kita: para sa bawat multiplikasyon sa 10, ang decimal point ay inililipat sa kanan ng isang lugar. Syempre, dahil pinarami din ang denominator, sa halip na numero 1 ay lalabas ang 10, 100, atbp.
Sa wakas, binabawasan namin ang resultang fraction ayon sa karaniwang scheme: hatiin ang numerator at denominator sa mga numero kung saan sila ay multiple. Halimbawa, sa unang halimbawa 0.75=75/100, at pareho ang 75 at 100 ay nahahati sa 25.
Samakatuwid, nakakakuha kami ng $0.75=\frac(75)(100)=\frac(3\cdot 25)(4\cdot 25)=\frac(3)(4)$ - iyon ang buong sagot :)

Mahalagang tala tungkol sa mga negatibong numero. Kung sa orihinal na halimbawa ay mayroong minus sign sa harap ng decimal fraction, sa output ay dapat ding mayroong minus sign sa harap ng common fraction.

Pag-convert ng isang fraction sa isang decimal

Narito ang ilan pang halimbawa:

Nais kong bigyang-pansin ang huling halimbawa. Tulad ng nakikita mo, ang fraction 0.0025 ay naglalaman ng maraming mga zero pagkatapos ng decimal point. Dahil dito, kailangan mong i-multiply ang numerator at denominator sa 10 hanggang apat na beses Posible bang gawing simple ang algorithm sa kasong ito?

Syempre kaya mo. At ngayon ay titingnan natin ang isang alternatibong algorithm - ito ay medyo mas mahirap na maunawaan, ngunit pagkatapos ng isang maliit na pagsasanay ito ay gumagana nang mas mabilis kaysa sa karaniwang isa.

Mas mabilis na paraan

Ang algorithm na ito ay mayroon ding 3 hakbang.

Upang makakuha ng isang fraction mula sa isang decimal, gawin ang mga sumusunod:

Bilangin kung ilang digit ang pagkatapos ng decimal point. Halimbawa, ang fraction 1.75 ay may dalawang tulad na mga digit, at 0.0025 ay may apat. Tukuyin natin ang dami na ito sa pamamagitan ng titik $n$.
Isulat muli ang orihinal na numero bilang isang fraction ng anyong $\frac(a)(((10)^(n)))$, kung saan ang $a$ ay ang lahat ng mga digit ng orihinal na fraction (nang walang "nagsisimula" na mga zero sa kaliwa, kung mayroon), at ang $n$ ay ang parehong bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point na aming kinakalkula sa unang hakbang.
Sa madaling salita, kailangan mong hatiin ang mga digit ng orihinal na fraction sa isa na sinusundan ng $n$ zero.
Kung maaari, bawasan ang resultang fraction.

Iyon lang! Sa unang sulyap, ang pamamaraan na ito ay mas kumplikado kaysa sa nauna. Ngunit sa katunayan ito ay parehong mas simple at mas mabilis. Maghusga para sa iyong sarili:

Tulad ng nakikita mo, sa fraction 0.64 mayroong dalawang digit pagkatapos ng decimal point - 6 at 4.

Samakatuwid $n=2$. Kung aalisin natin ang kuwit at mga zero sa kaliwa (sa kasong ito, isang zero lang), makukuha natin ang numerong 64. Lumipat tayo sa pangalawang hakbang: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, Samakatuwid, ang denominator ay eksaktong isang daan. Well, ang natitira na lang ay bawasan ang numerator at denominator :)

Isa pang halimbawa:

Narito ang lahat ay medyo mas kumplikado.

Una, mayroon nang 3 numero pagkatapos ng decimal point, i.e. $n=3$, kaya kailangan mong hatiin sa $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Pangalawa, kung aalisin natin ang kuwit mula sa decimal notation, makukuha natin ito: 0.004 → 0004. Tandaan na ang mga zero sa kaliwa ay dapat alisin, kaya sa katunayan mayroon tayong numero 4. Kung gayon ang lahat ay simple: hatiin, bawasan at kunin ang sagot.

Sa wakas, ang huling halimbawa:

Ang kakaiba ng fraction na ito ay ang pagkakaroon ng isang buong bahagi.

Samakatuwid, ang output na nakukuha namin ay isang hindi tamang bahagi ng 47/25. Maaari mong, siyempre, subukang hatiin ang 47 sa 25 sa isang natitira at sa gayon ay muling ihiwalay ang buong bahagi.

Ngunit bakit gawing kumplikado ang iyong buhay kung ito ay magagawa sa yugto ng pagbabago? Well, pag-isipan natin ito.

Ano ang gagawin sa buong bahagi

Sa katunayan, ang lahat ay napaka-simple: kung gusto nating makakuha ng tamang bahagi, kailangan nating alisin ang buong bahagi mula dito sa panahon ng pagbabago, at pagkatapos, kapag nakuha natin ang resulta, idagdag muli ito sa kanan bago ang linya ng fraction. .

Halimbawa, isaalang-alang ang parehong numero: 1.88. Puntos tayo ng isa (ang buong bahagi) at tingnan ang fraction na 0.88.

Madali itong ma-convert:

Pagkatapos ay naaalala namin ang tungkol sa "nawalang" unit at idagdag ito sa harap:

\[\frac(22)(25)\to 1\frac(22)(25)\]

Iyon lang! Ang sagot ay naging kapareho ng pagkatapos piliin ang buong bahagi noong huling pagkakataon. Ilan pang halimbawa:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\to 0.8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5).

Ito ang kagandahan ng matematika: kahit saang direksyon ka pumunta, kung tama ang lahat ng kalkulasyon, ang sagot ay palaging pareho :)

Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang isa pang pamamaraan na nakakatulong sa marami.

Mga pagbabago sa pamamagitan ng tainga

Isipin natin kung ano ang isang decimal.

Mas tiyak, kung paano natin ito binabasa. Halimbawa, ang bilang na 0.64 - nabasa natin ito bilang "zero point 64 hundredths", tama ba? Well, o "64 hundredths" lang. Ang pangunahing salita dito ay "hundredths", i.e. numero 100.

Paano ang tungkol sa 0.004? Ito ay "zero point 4 thousandths" o simpleng "four thousandths".

Anyway, keyword- "thousandths", i.e. 1000.

Kaya ano ang malaking bagay? At ang katotohanan ay ang mga numerong ito na sa huli ay "pop up" sa mga denominator sa ikalawang yugto ng algorithm. Yung. Ang 0.004 ay "four thousandths" o "4 na hinati sa 1000":

Subukang sanayin ang iyong sarili - ito ay napaka-simple. Ang pangunahing bagay ay basahin nang tama ang orihinal na bahagi. Halimbawa, ang 2.5 ay "2 buo, 5 tenths", kaya

At ang ilang 1.125 ay "1 buo, 125 thousandths", kaya

SA huling halimbawa, siyempre, may tututol, na nagsasabing hindi halata sa bawat estudyante na ang 1000 ay divisible ng 125.

Ngunit dito kailangan mong tandaan na 1000 = 103, at 10 = 2 ∙ 5, kaya

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Kaya, ang anumang kapangyarihan ng sampu ay maaaring mabulok lamang sa mga kadahilanan 2 at 5 - ito ang mga salik na ito na kailangang hanapin sa numerator upang sa huli ang lahat ay nabawasan.

Ito ang nagtatapos sa aralin.

Lumipat tayo sa isang mas kumplikadong reverse operation - tingnan ang "Transition from an ordinary fraction to a decimal."

Mga Fraction

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga "napakarami...")

Ang mga fraction ay hindi gaanong istorbo sa high school. Pansamantala. Hanggang sa makatagpo ka ng mga kapangyarihan na may mga rational exponents at logarithms. At doon... Pinindot mo at pinindot ang calculator, at ito ay nagpapakita ng buong pagpapakita ng ilang numero. Kailangan mong mag-isip gamit ang iyong ulo tulad ng sa ikatlong baitang.

Sa wakas, alamin natin ang mga fraction! Well, gaano ka malilito sa kanila!? Bukod dito, lahat ng ito ay simple at lohikal. Kaya, ano ang mga fraction?

Mga uri ng fraction. Mga pagbabago.

May mga fraction tatlong uri.

1. Mga karaniwang fraction , Halimbawa:

Minsan sa halip na pahalang na linya ay naglalagay sila ng slash: 1/2, 3/4, 19/5, well, at iba pa. Dito natin madalas gamitin ang spelling na ito. Ang pinakamataas na numero ay tinatawag numerator, mas mababa - denominador. Kung palagi mong nalilito ang mga pangalang ito (nangyayari ito...), sabihin sa iyong sarili ang parirala: " Zzzzz Tandaan! Zzzzz denominator - tingnan mo zzzzz uh!" Tingnan mo, lahat ay maaalala.)

Ang gitling, pahalang man o hilig, ay nangangahulugang dibisyon ang nangungunang numero (numerator) hanggang sa ibaba (denominator). Iyon lang! Sa halip na isang gitling, posible na maglagay ng isang tanda ng dibisyon - dalawang tuldok.

Kapag ang kumpletong paghahati ay posible, ito ay dapat gawin. Kaya, sa halip na ang fraction na "32/8" ay mas kaaya-aya na isulat ang numerong "4". Yung. Ang 32 ay hinati lamang ng 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Hindi ko man lang pinag-uusapan ang fraction na "4/1". Na "4" lang din. At kung hindi ito ganap na mahahati, iniiwan namin ito bilang isang fraction. Minsan kailangan mong gawin ang kabaligtaran na operasyon. I-convert ang isang buong numero sa isang fraction. Ngunit higit pa sa na mamaya.

2. Mga desimal , Halimbawa:

Nasa form na ito na kakailanganin mong isulat ang mga sagot sa mga gawain "B".

3. Pinaghalong numero , Halimbawa:

Ang mga mixed number ay halos hindi ginagamit sa high school. Upang gumana sa kanila, dapat silang i-convert sa mga ordinaryong fraction. Ngunit tiyak na kailangan mong magawa ito! Kung hindi, makakatagpo ka ng ganoong numero sa isang problema at mag-freeze... Out of nowhere. Ngunit tatandaan natin ang pamamaraang ito! Medyo mababa.

Pinaka maraming nalalaman mga karaniwang fraction. Magsimula tayo sa kanila. Sa pamamagitan ng paraan, kung ang isang fraction ay naglalaman ng lahat ng uri ng logarithms, sines at iba pang mga titik, hindi ito nagbabago ng anuman. In the sense na lahat Ang mga aksyon na may mga fractional na expression ay hindi naiiba sa mga aksyon na may mga ordinaryong fraction!

Ang pangunahing katangian ng isang fraction.

Kaya, tayo na! Upang magsimula, sorpresahin kita. Ang buong iba't ibang mga pagbabago sa fraction ay ibinibigay ng isang solong pag-aari! Yan ang tawag dun pangunahing katangian ng isang fraction. Tandaan: Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami (hinati) sa parehong numero, ang fraction ay hindi nagbabago. Yung:

Malinaw na maaari kang magpatuloy sa pagsusulat hanggang sa maging bughaw ka sa mukha. Huwag hayaang malito ka ng mga sine at logarithms, haharapin pa namin ang mga ito. Ang pangunahing bagay ay upang maunawaan na ang lahat ng iba't ibang mga expression ay ang parehong fraction . 2/3.

Kailangan ba natin ito, lahat ng pagbabagong ito? At kung paano! Ngayon ay makikita mo para sa iyong sarili. Upang magsimula, gamitin natin ang pangunahing katangian ng isang fraction para sa pagbabawas ng mga fraction. Ito ay tila isang bagay sa elementarya. Hatiin ang numerator at denominator sa parehong numero at iyon na! Imposibleng magkamali! Ngunit... ang tao ay isang malikhaing nilalang. Maaari kang magkamali kahit saan! Lalo na kung kailangan mong bawasan ang hindi isang fraction tulad ng 5/10, ngunit isang fractional expression na may lahat ng uri ng mga titik.

Kung paano tama at mabilis na bawasan ang mga fraction nang hindi gumagawa ng karagdagang trabaho ay mababasa sa espesyal na Seksyon 555.

Ang isang normal na estudyante ay hindi nag-abala sa paghahati ng numerator at denominator sa parehong numero (o expression)! Tinatawid lang niya ang lahat ng pareho sa itaas at sa ibaba! Dito ito nagtatago tipikal na pagkakamali, isang blooper, kung gusto mo.

Halimbawa, kailangan mong gawing simple ang expression:

Walang dapat isipin dito, ekis ang letrang "a" sa itaas at ang "2" sa ibaba! Nakukuha namin:

Lahat ay tama. Pero talagang hati kayo lahat numerator at lahat ang denominator ay "a". Kung nakasanayan mong tumawid lang, pagkatapos ay sa pagmamadali ay maaari mong i-cross out ang "a" sa expression

at kunin muli

Na kung saan ay tiyak na hindi totoo. Dahil dito lahat ang numerator sa "a" ay na hindi nagbabahagi! Ang fraction na ito ay hindi maaaring bawasan. Oo nga pala, ang ganitong pagbabawas ay, um... isang seryosong hamon para sa guro. Hindi ito pinatawad! naaalala mo ba Kapag binabawasan, kailangan mong hatiin lahat numerator at lahat denominador!

Ang pagbabawas ng mga fraction ay ginagawang mas madali ang buhay. Makakakuha ka ng fraction sa isang lugar, halimbawa 375/1000. Paano ko siya magpapatuloy sa trabaho ngayon? Nang walang calculator? Paramihin, sabihin, idagdag, parisukat!? At kung hindi ka masyadong tamad, at maingat na bawasan ito ng lima, at ng isa pang lima, at kahit... habang pinaikli ito, sa madaling salita. Kunin natin ang 3/8! Mas maganda, tama?

Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay nagbibigay-daan sa iyo upang i-convert ang mga ordinaryong fraction sa mga decimal at vice versa walang calculator! Mahalaga ito para sa Unified State Exam, tama ba?

Paano i-convert ang mga fraction mula sa isang uri patungo sa isa pa.

Sa mga decimal fraction ang lahat ay simple. Tulad ng narinig, gayon din ang nakasulat! Sabihin nating 0.25. Ito ay zero point twenty-five hundredths. Kaya sumulat kami: 25/100. Binabawasan namin (hinahati namin ang numerator at denominator sa 25), nakukuha namin ang karaniwang fraction: 1/4. Lahat. Nangyayari ito, at walang nabawasan. Tulad ng 0.3. Ito ay tatlong ikasampu, i.e. 3/10.

Paano kung ang mga integer ay hindi zero? ayos lang. Isinulat namin ang buong bahagi nang walang anumang kuwit sa numerator, at sa denominator - kung ano ang narinig. Halimbawa: 3.17. Ito ay tatlong punto labing pitong daan. Isinulat namin ang 317 sa numerator at 100 sa denominator Nakukuha namin ang 317/100. Walang nababawasan, that means everything. Ito ang sagot. Elementary Watson! Mula sa lahat ng nasabi, isang kapaki-pakinabang na konklusyon: anumang decimal fraction ay maaaring ma-convert sa isang common fraction .

Ngunit ang ilang mga tao ay hindi maaaring gawin ang reverse conversion mula sa ordinaryong hanggang decimal nang walang calculator. At ito ay kinakailangan! Paano mo isusulat ang sagot sa Unified State Exam!? Basahing mabuti at master ang prosesong ito.

Ano ang katangian ng isang decimal fraction? Ang denominator niya ay Laging nagkakahalaga ng 10, o 100, o 1000, o 10000 at iba pa. Kung ang iyong karaniwang fraction ay may denominator na tulad nito, walang problema. Halimbawa, 4/10 = 0.4. O 7/100 = 0.07. O 12/10 = 1.2. Paano kung ang sagot sa gawain sa seksyong "B" ay naging 1/2? Ano ang isusulat natin bilang tugon? Kinakailangan ang mga desimal...

Tandaan natin pangunahing katangian ng isang fraction ! Pinahihintulutan ka ng matematika na i-multiply ang numerator at denominator sa parehong numero. Kahit ano, by the way! Maliban sa zero, siyempre. Kaya't gamitin natin ang ari-arian na ito sa ating kalamangan! Ano ang maaaring i-multiply ng denominator, i.e. 2 upang ito ay maging 10, o 100, o 1000 (mas maliit ay mas mahusay, siyempre ...)? Sa 5, malinaw naman. Huwag mag-atubiling paramihin ang denominator (ito ay tayo kinakailangan) sa pamamagitan ng 5. Ngunit pagkatapos ay ang numerator ay dapat ding i-multiply sa 5. Ito ay na matematika hinihingi! Nakukuha namin ang 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5. Iyon lang.

Gayunpaman, ang lahat ng uri ng mga denominador ay nakikita. Makikita mo, halimbawa, ang fraction na 3/16. Subukan at alamin kung ano ang i-multiply ng 16 para maging 100, o 1000... Hindi ba ito gumagana? Pagkatapos ay maaari mo lamang hatiin ang 3 sa 16. Sa kawalan ng calculator, kakailanganin mong hatiin sa isang sulok, sa isang piraso ng papel, tulad ng itinuro nila sa elementarya. Nakukuha namin ang 0.1875.

At mayroon ding mga napakasamang denominador. Halimbawa, walang paraan upang gawing magandang decimal ang fraction na 1/3. Pareho sa calculator at sa isang piraso ng papel, nakakakuha tayo ng 0.3333333... Nangangahulugan ito na ang 1/3 ay isang eksaktong decimal fraction hindi nagsasalin. Katulad ng 1/7, 5/6 at iba pa. Marami sa kanila, hindi maisasalin. Dinadala tayo nito sa isa pang kapaki-pakinabang na konklusyon. Hindi lahat ng fraction ay maaaring i-convert sa isang decimal !

By the way, ito nakakatulong na impormasyon para sa self-test. Sa seksyong "B" kailangan mong isulat ang isang decimal fraction sa iyong sagot. At nakakuha ka, halimbawa, 4/3. Ang fraction na ito ay hindi nagko-convert sa isang decimal. Nangangahulugan ito na nagkamali ka sa isang lugar sa daan! Bumalik at suriin ang solusyon.

Kaya, nalaman namin ang mga ordinaryong at decimal na fraction. Ito ay nananatiling humarap sa magkahalong numero. Upang gumana sa kanila, dapat silang i-convert sa mga ordinaryong fraction. Paano ito gagawin? Maaari mong mahuli ang isang ika-anim na baitang at tanungin siya. Ngunit ang isang ikaanim na baitang ay hindi palaging nasa kamay... Kakailanganin mong gawin ito sa iyong sarili. Ito ay hindi mahirap. Kailangan mong i-multiply ang denominator ng fractional na bahagi sa buong bahagi at idagdag ang numerator ng fractional na bahagi. Ito ang magiging numerator karaniwang fraction. Paano ang denominator? Ang denominator ay mananatiling pareho. Mukhang kumplikado, ngunit sa katotohanan ang lahat ay simple. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Ipagpalagay na natakot ka nang makita ang numero sa problema:

Kalmado, walang gulat, sa tingin namin. Ang buong bahagi ay 1. Yunit. Ang fractional na bahagi ay 3/7. Samakatuwid, ang denominator ng fractional na bahagi ay 7. Ang denominator na ito ang magiging denominator ng ordinaryong fraction. Binibilang namin ang numerator. I-multiply namin ang 7 sa 1 (ang bahagi ng integer) at idagdag ang 3 (ang numerator ng bahaging praksyonal). Makakakuha tayo ng 10. Ito ang magiging numerator ng common fraction. Iyon lang. Mukhang mas simple sa mathematical notation:

Malinaw ba? Pagkatapos ay i-secure ang iyong tagumpay! I-convert sa mga ordinaryong fraction. Dapat kang makakuha ng 10/7, 7/2, 23/10 at 21/4.

Ang reverse operation - ang pag-convert ng hindi tamang fraction sa isang mixed number - ay bihirang kailanganin sa high school. Well, kung gayon... At kung wala ka sa high school, maaari mong tingnan ang espesyal na Seksyon 555. Oo nga pala, malalaman mo rin ang tungkol sa mga improper fraction doon.

Well, halos iyon lang. Naalala mo ang mga uri ng fraction at naunawaan mo Paano ilipat ang mga ito mula sa isang uri patungo sa isa pa. Ang tanong ay nananatili: Para saan gawin mo? Saan at kailan ilalapat ang malalim na kaalamang ito?

Sinagot ko. Ang anumang halimbawa mismo ay nagmumungkahi ng mga kinakailangang aksyon. Kung sa halimbawa ang mga ordinaryong praksyon, mga desimal, at maging ang mga pinaghalong numero ay pinagsama-sama, iko-convert natin ang lahat sa mga ordinaryong praksyon. Maaari itong palaging gawin. Well, kung ito ay may nakasulat na tulad ng 0.8 + 0.3, pagkatapos ay binibilang namin ito sa ganoong paraan, nang walang anumang pagsasalin. Bakit kailangan natin ng karagdagang trabaho? Pinipili namin ang solusyon na maginhawa tayo !

Kung ang gawain ay lahat ng decimal fraction, ngunit um... ilang uri ng masasama, pumunta sa mga ordinaryo at subukan ito! Tingnan mo, magiging maayos ang lahat. Halimbawa, kakailanganin mong i-square ang numerong 0.125. Hindi ganoon kadali kung hindi ka pa nasanay sa paggamit ng calculator! Hindi lang kailangan mong magparami ng mga numero sa isang column, kailangan mo ring isipin kung saan ilalagay ang kuwit! Tiyak na hindi ito gagana sa iyong ulo! Paano kung lumipat tayo sa isang ordinaryong fraction?

0.125 = 125/1000. Binabawasan namin ito ng 5 (ito ay para sa mga nagsisimula). Nakakuha kami ng 25/200. Once again by 5. Nakukuha namin ang 5/40. Naku, lumiliit pa! Bumalik sa 5! Nakakuha kami ng 1/8. Madali nating i-square ito (sa ating isip!) at makakuha ng 1/64. Lahat!

Ibuod natin ang araling ito.

1. May tatlong uri ng fraction. Karaniwan, decimal at halo-halong mga numero.

2. Mga desimal at pinaghalong numero Laging maaaring i-convert sa mga ordinaryong fraction. Baliktarin ang paglipat hindi laging magagamit.

3. Ang pagpili ng uri ng mga fraction na gagana sa isang gawain ay depende sa gawain mismo. Sa presensya ng iba't ibang uri mga fraction sa isang gawain, ang pinaka-maaasahang bagay ay ang lumipat sa mga ordinaryong fraction.

Ngayon ay maaari kang magsanay. Una, i-convert ang mga decimal fraction na ito sa mga ordinaryong fraction:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Dapat kang makakuha ng mga sagot tulad nito (sa gulo!):

Tapusin na natin dito. Sa araling ito na-refresh namin ang aming memorya sa mga pangunahing punto tungkol sa mga fraction. Nangyayari, gayunpaman, na walang espesyal na ire-refresh...) Kung ang isang tao ay lubusang nakakalimutan, o hindi pa nakakabisado nito... Pagkatapos ay maaari kang pumunta sa isang espesyal na Seksyon 555. Ang lahat ng mga pangunahing kaalaman ay sakop nang detalyado doon. Marami bigla intindihin ang lahat nagsisimula na. At nalulutas nila ang mga fraction sa mabilisang).

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Kung kailangan nating hatiin ang 497 sa 4, kung gayon kapag hinahati natin makikita natin na ang 497 ay hindi pantay na mahahati sa 4, i.e. ang natitira sa dibisyon ay nananatili. Sa ganitong mga kaso sinasabi na ito ay natapos paghahati sa natitira, at ang solusyon ay nakasulat tulad ng sumusunod:
497: 4 = 124 (1 natitira).

Ang mga bahagi ng paghahati sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay tinatawag na kapareho ng sa paghahati nang walang nalalabi: 497 - dibidendo, 4 - divider. Ang resulta ng paghahati kapag hinati sa isang natitira ay tinatawag hindi kumpletong pribado. Sa aming kaso, ito ang numero 124. At sa wakas, ang huling bahagi, na wala sa ordinaryong dibisyon, ay natitira. Sa mga kaso kung saan walang natitira, ang isang numero ay sinasabing nahahati sa isa pa walang bakas, o ganap. Ito ay pinaniniwalaan na sa naturang dibisyon ang natitira katumbas ng zero. Sa aming kaso, ang natitira ay 1.

Ang natitira ay palaging mas mababa kaysa sa divisor.

Maaaring suriin ang dibisyon sa pamamagitan ng pagpaparami. Kung, halimbawa, mayroong isang pagkakapantay-pantay 64: 32 = 2, kung gayon ang tseke ay maaaring gawin tulad nito: 64 = 32 * 2.

Kadalasan sa mga kaso kung saan ang paghahati sa isang natitira ay ginaganap, ito ay maginhawa upang gamitin ang pagkakapantay-pantay
a = b * n + r,
kung saan ang a ay ang dibidendo, ang b ay ang divisor, n ang hindi kumpletong quotient, ang r ay ang natitira.

Ang quotient ng natural na mga numero ay maaaring isulat bilang isang fraction.

Ang numerator ng isang fraction ay ang dibidendo, at ang denominator ay ang divisor.

Dahil ang numerator ng isang fraction ay ang dibidendo, at ang denominator ay ang divisor, naniniwala na ang linya ng isang fraction ay nangangahulugan ng aksyon ng paghahati. Minsan ito ay maginhawa upang isulat ang dibisyon bilang isang fraction nang hindi gumagamit ng ":" sign.

Ang quotient ng dibisyon ng mga natural na numero m at n ay maaaring isulat bilang isang fraction $\frac(m)(n)$, kung saan ang numerator m ay ang dibidendo, at ang denominator n ay ang divisor:
$m:n = \frac(m)(n) $

Ang mga sumusunod na patakaran ay totoo:

Upang makuha ang fraction $\frac(m)(n)$, kailangan mong hatiin ang isa sa n pantay na bahagi(nagbabahagi) at kumuha ng m gayong mga bahagi.

Upang makuha ang fraction $\frac(m)(n)$, kailangan mong hatiin ang numerong m sa bilang n.

Upang mahanap ang isang bahagi ng isang kabuuan, kailangan mong hatiin ang bilang na tumutugma sa kabuuan sa pamamagitan ng denominator at i-multiply ang resulta sa numerator ng fraction na nagpapahayag ng bahaging ito.

Upang makahanap ng isang buo mula sa bahagi nito, kailangan mong hatiin ang numero na naaayon sa bahaging ito sa pamamagitan ng numerator at i-multiply ang resulta sa denominator ng fraction na nagpapahayag ng bahaging ito.

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami ng parehong numero (maliban sa zero), ang halaga ng fraction ay hindi magbabago:
$\malaki \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) $

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay hinati sa parehong numero (maliban sa zero), ang halaga ng fraction ay hindi magbabago:
$\malaki \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) $
Ang ari-arian na ito ay tinatawag na pangunahing katangian ng isang fraction.

Ang huling dalawang pagbabago ay tinatawag pagbabawas ng isang fraction.

Kung ang mga fraction ay kailangang katawanin bilang mga fraction na may parehong denominator, kung gayon ang aksyon na ito ay tinatawag pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Wasto at hindi wastong mga praksiyon. Pinaghalong numero

Alam mo na na ang isang fraction ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paghahati ng isang kabuuan sa pantay na mga bahagi at pagkuha ng ilang mga bahagi. Halimbawa, ang fraction na $\frac(3)(4)$ ay nangangahulugan ng tatlong-kapat ng isa. Sa marami sa mga problema sa nakaraang talata, ang mga praksiyon ay ginamit upang kumatawan sa mga bahagi ng isang kabuuan. Common sense Iminumungkahi na ang bahagi ay dapat palaging mas mababa kaysa sa kabuuan, ngunit paano naman ang mga fraction tulad ng, halimbawa, $\frac(5)(5)$ o $\frac(8)(5)$? Malinaw na hindi na ito bahagi ng unit. Ito marahil ang dahilan kung bakit tinatawag ang mga fraction na ang numerator ay mas malaki kaysa o katumbas ng denominator mga hindi wastong fraction. Ang natitirang mga praksiyon, i.e. mga praksiyon na ang numerator ay mas mababa sa denominator, ay tinatawag na tamang fractions.

Tulad ng alam mo, anumang karaniwang fraction, parehong wasto at hindi wasto, ay maaaring isipin bilang resulta ng paghahati ng numerator sa denominator. Samakatuwid, sa matematika, hindi tulad ng ordinaryong wika, ang terminong "improper fraction" ay hindi nangangahulugan na may nagawa tayong mali, ngunit ang numerator ng fraction na ito ay mas malaki o katumbas ng denominator.

Kung ang isang numero ay binubuo ng isang integer na bahagi at isang fraction, kung gayon Ang mga fraction ay tinatawag na halo-halong.

Halimbawa:
$5:3 = 1\frac(2)(3) $ : 1 ang integer na bahagi, at ang $\frac(2)(3) $ ay ang fractional na bahagi.

Kung ang numerator ng fraction $\frac(a)(b) $ ay nahahati sa natural na numero n, kung gayon upang hatiin ang fraction na ito sa n, ang numerator nito ay dapat na hatiin sa numerong ito:
$\malaki \frac(a)(b): n = \frac(a:n)(b) $

Kung ang numerator ng fraction $\frac(a)(b) $ ay hindi nahahati sa natural na numero n, pagkatapos ay upang hatiin ang fraction na ito sa n, kailangan mong i-multiply ang denominator nito sa numerong ito:
$\malaki \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) $

Tandaan na ang pangalawang tuntunin ay totoo rin kapag ang numerator ay nahahati sa n. Samakatuwid, magagamit natin ito kapag mahirap matukoy sa unang tingin kung ang numerator ng isang fraction ay nahahati sa n o hindi.

Mga aksyon na may mga fraction. Pagdaragdag ng mga fraction.

Sa mga fractional na numero, tulad ng sa mga natural na numero, magagawa mo mga operasyon sa aritmetika. Tingnan muna natin ang pagdaragdag ng mga fraction. Madaling magdagdag ng mga fraction na may mga katulad na denominator. Hanapin natin, halimbawa, ang kabuuan ng $\frac(2)(7)$ at $\frac(3)(7)$. Madaling maunawaan na $\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) $

Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang denominator na pareho.

Gamit ang mga titik, ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga fraction na may mga katulad na denominator ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
$\malaki \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) $

Kung kailangan mong magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, dapat munang bawasan ang mga ito sa isang common denominator. Halimbawa:
$\malaki \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) $

Para sa mga fraction, tulad ng para sa mga natural na numero, ang commutative at associative na katangian ng karagdagan ay wasto.

Pagdaragdag ng mga mixed fraction

Ang mga notasyon gaya ng $2\frac(2)(3)$ ay tinatawag pinaghalong fraction. Sa kasong ito, ang numero 2 ay tinatawag buong bahagi mixed fraction, at ang numerong $\frac(2)(3)$ ay nito praksyonal na bahagi. Ang entry na $2\frac(2)(3)$ ay binabasa gaya ng sumusunod: “two and two thirds.”

Kapag hinahati ang numero 8 sa numero 3, makakakuha ka ng dalawang sagot: $\frac(8)(3)$ at $2\frac(2)(3)$. Nagpapahayag sila ng parehong fractional number, ibig sabihin, $\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)$

Kaya, ang hindi wastong fraction $\frac(8)(3)$ ay kinakatawan bilang isang mixed fraction $2\frac(2)(3)$. Sa ganitong mga kaso sinasabi nila na mula sa isang hindi tamang fraction itinampok ang buong bahagi.

Pagbabawas ng mga fraction (fractional number)

Ang pagbabawas ng mga fractional na numero, tulad ng mga natural na numero, ay tinutukoy batay sa pagkilos ng karagdagan: ang pagbabawas ng isa pa mula sa isang numero ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang numero na, kapag idinagdag sa pangalawa, ay nagbibigay ng una. Halimbawa:
$\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) $ mula noong $\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) $

Ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction na may katulad na denominator ay katulad ng panuntunan para sa pagdaragdag ng mga naturang fraction:
Upang mahanap ang pagkakaiba sa pagitan ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong ibawas ang numerator ng pangalawa mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na pareho.

Gamit ang mga titik, ang panuntunang ito ay isinusulat tulad nito:
$\malaki \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) $

Pagpaparami ng mga fraction

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang kanilang mga numerator at denominator at isulat ang unang produkto bilang numerator, at ang pangalawa bilang denominator.

Gamit ang mga titik, ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
$\malaki \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) $

Gamit ang formulated na panuntunan, maaari mong i-multiply ang isang fraction sa isang natural na numero, sa isang mixed fraction, at i-multiply din ang mga mixed fraction. Upang gawin ito, kailangan mong magsulat ng isang natural na numero bilang isang fraction na may denominator ng 1, at isang mixed fraction bilang isang hindi tamang fraction.

Ang resulta ng multiplikasyon ay dapat gawing simple (kung maaari) sa pamamagitan ng pagbabawas ng fraction at paghihiwalay sa buong bahagi ng hindi wastong fraction.

Para sa mga fraction, tulad ng para sa mga natural na numero, ang commutative at combinative na katangian ng multiplikasyon, pati na rin ang distributive property ng multiplikasyon na may kaugnayan sa karagdagan, ay wasto.

Dibisyon ng mga fraction

Kunin natin ang fraction na $\frac(2)(3)$ at "i-flip" ito, pinapalitan ang numerator at denominator. Nakukuha namin ang fraction $\frac(3)(2)$. Ang fraction na ito ay tinatawag reverse mga fraction $\frac(2)(3)$.

Kung "reverse" natin ngayon ang fraction $\frac(3)(2)$, makukuha natin ang orihinal na fraction $\frac(2)(3)$. Samakatuwid, ang mga fraction gaya ng $\frac(2)(3)$ at $\frac(3)(2)$ ay tinatawag magkabaligtaran.

Halimbawa, ang mga fraction na $\frac(6)(5) $ at $\frac(5)(6) $, $\frac(7)(18) $ at $\frac (18 )(7)$.

Gamit ang mga titik, ang mga reciprocal fraction ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: $\frac(a)(b) $ at $\frac(b)(a) $

Ito ay malinaw na ang produkto ng mga reciprocal fraction ay katumbas ng 1. Halimbawa: $\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 $

Gamit ang mga reciprocal fraction, maaari mong bawasan ang paghahati ng mga fraction sa multiplikasyon.

Ang panuntunan para sa paghahati ng isang fraction sa isang fraction ay:
Upang hatiin ang isang bahagi sa isa pa, kailangan mong i-multiply ang dibidendo sa pamamagitan ng kapalit ng divisor.

Gamit ang mga titik, ang panuntunan para sa paghahati ng mga fraction ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
$\malaki \frac(a)(b): \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) $

Kung ang dibidendo o divisor ay natural na numero o isang halo-halong fraction, kung gayon, upang magamit ang panuntunan para sa paghahati ng mga fraction, kailangan muna itong katawanin bilang isang hindi wastong fraction.

Mga materyales sa mga fraction at pag-aralan nang sunud-sunod. Sa ibaba para sa iyo Detalyadong impormasyon na may mga halimbawa at paliwanag.

1. Pinaghalong numero sa isang karaniwang fraction.Isulat natin ito pangkalahatang pananaw numero:

Naaalala namin ang isang simpleng panuntunan - pinarami namin ang buong bahagi ng denominator at idinagdag ang numerator, iyon ay:

Mga halimbawa:

2. Sa kabaligtaran, isang ordinaryong fraction sa isang halo-halong numero. *Siyempre, ito ay magagawa lamang sa hindi wastong bahagi(kapag ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator).

Sa "maliit" na mga numero, sa pangkalahatan, walang mga aksyon na kailangang gawin ang resulta ay "nakikita" kaagad, halimbawa, mga fraction:

*Higit pang mga detalye:

15:13 = 1 natitira 2

4:3 = 1 natitira 1

9:5 = 1 natitira 4

Ngunit kung ang mga numero ay higit pa, hindi mo magagawa nang walang mga kalkulasyon. Ang lahat ay simple dito - hatiin ang numerator sa denominator na may isang sulok hanggang ang natitira ay mas mababa sa divisor. Scheme ng dibisyon:

Halimbawa:

*Ang aming numerator ay ang dibidendo, ang denominator ay ang divisor.

Nakukuha namin ang buong bahagi (incomplete quotient) at ang natitira. Nagsusulat kami ng isang integer, pagkatapos ay isang fraction (ang numerator ay naglalaman ng natitira, ngunit ang denominator ay nananatiling pareho):

3. I-convert ang decimal sa ordinaryo.

Bahagyang sa unang talata, kung saan pinag-usapan natin ang tungkol sa mga decimal fraction, nahawakan na natin ito. Sinusulat namin ito habang naririnig namin ito. Halimbawa - 0.3; 0.45; 0.008; 4.38; 10.00015

Mayroon kaming unang tatlong fraction na walang integer na bahagi. At ang pang-apat at panglima ay mayroon nito, i-convert natin sila sa mga ordinaryong, alam na natin kung paano gawin ito:

*Nakikita namin na ang mga fraction ay maaari ding bawasan, halimbawa 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 at iba pa, ngunit hindi namin ito gagawin dito. Tungkol sa pagbabawas, makakahanap ka ng isang hiwalay na talata sa ibaba, kung saan susuriin namin ang lahat nang detalyado.

4. I-convert ang ordinaryo sa decimal.

Hindi ganoon kasimple. Sa ilang mga fraction ay agad na kitang-kita at malinaw kung ano ang gagawin dito upang ito ay maging isang decimal, halimbawa:

Ginagamit namin ang aming kahanga-hangang pangunahing pag-aari ng isang fraction - pinarami namin ang numerator at denominator sa 5, 25, 2, 5, 4, 2, ayon sa pagkakabanggit, at nakukuha namin ang:

Kung mayroong isang buong bahagi, kung gayon walang kumplikado:

I-multiply namin ang fractional na bahagi ng 2, 25, 2 at 5, ayon sa pagkakabanggit, at makuha ang:

At may mga kung saan walang karanasan imposibleng matukoy na maaari silang ma-convert sa mga decimal, halimbawa:

Anong mga numero ang dapat nating i-multiply ng numerator at denominator?

Narito muli ang isang napatunayang pamamaraan ay dumating sa pagsagip - paghahati sa pamamagitan ng isang sulok, isang unibersal na paraan, maaari mo itong palaging gamitin upang i-convert ang isang karaniwang fraction sa isang decimal:

Sa ganitong paraan maaari mong palaging matukoy kung ang isang fraction ay na-convert sa isang decimal. Ang katotohanan ay hindi lahat ng ordinaryong fraction ay maaaring ma-convert sa isang decimal, halimbawa, tulad ng 1/9, 3/7, 7/26 ay hindi na-convert. Ano kung gayon ang fraction na nakuha kapag hinahati ang 1 sa 9, 3 sa 7, 5 sa 11? Ang sagot ko ay walang katapusang decimal (napag-usapan namin ang mga ito sa talata 1). Hatiin natin:

Iyon lang! Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh.