Pagtataya ng mathematical na inaasahan ng isang random na variable. Pagtatantya ng mathematical na inaasahan at pagkakaiba para sa sample

Hayaang magkaroon ng random variable X na may inaasahan sa matematika m at pagpapakalat D, habang ang parehong mga parameter na ito ay hindi alam. Over magnitude X ginawa N mga independiyenteng eksperimento, na nagresulta sa isang set ng N mga resulta ng numero x 1 , x 2 , …, x N. Bilang pagtatantya inaasahan sa matematika natural na magmungkahi ng arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga

Dito bilang x i mga tiyak na halaga (mga numero) na nakuha bilang resulta ng N mga eksperimento. Kung kukuha tayo ng iba (independyente sa mga nauna) N mga eksperimento, kung gayon, malinaw naman, makakakuha tayo ng ibang halaga. Kung kukuha ka pa N mga eksperimento, makakakuha tayo ng isa pang bagong halaga . Tukuyin sa pamamagitan ng X i random variable na nagreresulta mula sa i ika-eksperimento, pagkatapos ay ang mga realisasyon X i ang mga numerong nakuha bilang resulta ng mga eksperimentong ito. Ito ay malinaw na ang random variable X i ay magkakaroon ng parehong probability distribution density gaya ng orihinal na random variable X. Ipinapalagay din namin na ang mga random na variable X i at Xj ay independyente sa i, hindi pantay j(iba't ibang independiyenteng kamag-anak sa bawat isa na mga eksperimento). Samakatuwid, muling isinusulat namin ang formula (1) sa ibang (statistikal) na anyo:

Ipakita natin na ang pagtatantya ay walang kinikilingan:

Kaya, ang mean mean value ay katumbas ng tunay na mean value. random variable m. Ito ay isang medyo predictable at naiintindihan na katotohanan. Samakatuwid, ang sample mean (2) ay maaaring kunin bilang isang pagtatantya ng inaasahan sa matematika ng isang random na variable. Ngayon ang tanong ay lumitaw: ano ang mangyayari sa pagkakaiba-iba ng pagtatantya ng inaasahan habang tumataas ang bilang ng mga eksperimento? Ipinapakita iyon ng mga analytical kalkulasyon

kung saan ang pagkakaiba ng pagtatantya ng inaasahan sa matematika (2), at D- tunay na pagkakaiba ng random variable X.

Mula sa itaas, ito ay sumusunod na may pagtaas N(bilang ng mga eksperimento) bumababa ang pagkakaiba ng pagtatantya, ibig sabihin. kung mas ibubuod natin ang mga independiyenteng pagpapatupad, mas malapit sa inaasahang halaga ang pagtatantya.

Mga pagtatantya ng pagkakaiba-iba ng matematika

Sa unang sulyap, tila ang pinaka-natural na pagtatantya

kung saan kinakalkula ng formula (2). Suriin natin kung ang pagtatantya ay walang kinikilingan. Ang formula (3) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Pinapalitan namin ang expression (2) sa formula na ito:

Hanapin natin ang mathematical na inaasahan ng variance estimate:

Dahil ang pagkakaiba-iba ng isang random na variable ay hindi nakasalalay sa kung ano ang inaasahan ng matematika ng random na variable, kukunin natin ang inaasahan sa matematika na katumbas ng 0, i.e. m = 0.

Mga pangunahing katangian ng mga pagtatantya ng punto

Upang ang isang pagtatasa ay maging praktikal na halaga, dapat itong magkaroon ng mga sumusunod na katangian.

1. Ang pagtatantya ng parameter ay tinatawag na walang kinikilingan kung ang inaasahan sa matematika nito ay katumbas ng tinantyang parameter, ibig sabihin.

Kung ang pagkakapantay-pantay (22.1) ay hindi nasiyahan, ang pagtatantya ay maaaring mag-overestimate sa halaga (M>) o maliitin ito (M<) . Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра брать несмещенные оценки для того, чтобы не делать систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

2. Ang pagtatantya ng isang parameter ay tinatawag na pare-pareho kung ito ay sumusunod sa batas ng malalaking numero, i.e. nagtatagpo sa probabilidad sa tinantyang parameter na may walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga eksperimento (obserbasyon) at, samakatuwid, nasiyahan ang sumusunod na pagkakapantay-pantay:

kung saan ang > 0 ay isang arbitraryong maliit na numero.

Para manatili ang (22.2), sapat na ang pagkakaiba ng pagtatantya ay nagiging zero bilang, ibig sabihin,

at higit pa rito, na ang estimator ay walang kinikilingan. Madaling ipasa mula sa formula (22.3) hanggang (22.2) kung gagamitin natin ang hindi pagkakapantay-pantay ng Chebyshev.

Kaya, ang pagkakapare-pareho ng pagtatantya ay nangangahulugan na sa isang sapat na malaking bilang ng mga eksperimento at may mas maraming kumpiyansa hangga't gusto mo, ang paglihis ng pagtatantya mula sa tunay na halaga ng parameter ay mas mababa kaysa sa anumang naitalagang halaga. Binibigyang-katwiran nito ang pagtaas sa laki ng sample.

Dahil ay isang random na variable, ang halaga nito ay nag-iiba-iba mula sa sample hanggang sa sample, kung gayon ang sukat ng dispersion nito sa paligid ng matematikal na inaasahan ay mailalarawan ng variance D. Hayaan at maging dalawang walang pinapanigan na pagtatantya ng parameter, i.e. M = at M = , ayon sa pagkakabanggit D at D at, kung D< D , то в качестве оценки принимают.

3. Ang isang walang pinapanigan na pagtatantya na may pinakamaliit na pagkakaiba sa lahat ng posibleng walang pinapanigan na mga pagtatantya ng parameter na kinakalkula mula sa mga sample na may parehong laki ay tinatawag na isang epektibong pagtatantya.

Sa pagsasagawa, kapag tinatantya ang mga parameter, hindi laging posible na sabay-sabay na matugunan ang mga kinakailangan 1, 2, 3. Gayunpaman, ang pagpili ng isang pagtatantya ay dapat palaging mauna sa kritikal na pagsusuri nito mula sa lahat ng punto ng view. Kapag pumipili ng mga praktikal na pamamaraan para sa pagproseso ng pang-eksperimentong data, kinakailangang magabayan ng mga nabuong katangian ng mga pagtatantya.

Pagtatantya ng mathematical na inaasahan at pagkakaiba para sa sample

Ang pinakamahalagang katangian ng isang random na variable ay ang mathematical expectation at variance. Isaalang-alang ang tanong kung aling mga sample na katangian ang pinakamahusay na magtantya ng inaasahan at pagkakaiba sa matematika sa mga tuntunin ng pagiging walang kinikilingan, kahusayan, at pagkakapare-pareho.

Teorama 23.1. Ang arithmetic mean na kinakalkula mula sa n independiyenteng mga obserbasyon sa isang random na variable na may matematikal na inaasahan M = , ay isang walang pinapanigan na pagtatantya ng parameter na ito.

Patunay.

Hayaan - n independiyenteng mga obserbasyon sa isang random na variable. Sa pamamagitan ng kundisyon M = , at mula noon ay mga random na variable at may parehong batas sa pamamahagi, kung gayon. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang arithmetic mean

Isaalang-alang ang mathematical na inaasahan ng arithmetic mean. Gamit ang pag-aari ng mathematical expectation, mayroon kaming:

mga. . Sa bisa ng (22.1) ay isang walang pinapanigan na pagtatantya. ?

Teorama 23.2 . Ang arithmetic mean na kinakalkula mula sa n independiyenteng mga obserbasyon sa isang random na variable na may M = u ay isang pare-parehong pagtatantya ng parameter na ito.

Patunay.

Hayaan - n independiyenteng mga obserbasyon sa isang random na variable. Pagkatapos, sa bisa ng Theorem 23.1, mayroon tayong M = .

Para sa arithmetic mean, isinusulat namin ang hindi pagkakapantay-pantay ng Chebyshev:

Gamit ang mga katangian ng pagpapakalat 4.5 at (23.1), mayroon tayong:

kasi ayon sa teorama.

Dahil dito,

Kaya, ang variance ng arithmetic mean ay n beses na mas mababa kaysa sa variance ng random variable. Pagkatapos

na nangangahulugang iyon ay pare-parehong pagtatantya.

Magkomento : 1 . Tinatanggap namin nang walang patunay ang isang resulta na napakahalaga para sa pagsasanay. Kung N (a,), kung gayon ang walang pinapanigan na pagtatantya ng inaasahan sa matematika a ay may pinakamababang pagkakaiba na katumbas ng, samakatuwid, ay isang epektibong pagtatantya ng parameter a. ?

Lumipat tayo sa pagtatantya para sa pagkakaiba at suriin ito para sa pagkakapare-pareho at walang kinikilingan.

Teorama 23.3 . Kung ang isang random na sample ay binubuo ng n independiyenteng mga obserbasyon sa isang random na variable na may

M = at D = , pagkatapos ay ang sample na pagkakaiba

ay hindi isang walang pinapanigan na pagtatantya ng D - pangkalahatang pagkakaiba.

Patunay.

Hayaan - n independiyenteng mga obserbasyon sa isang random na variable. May kondisyon at para sa lahat. Binabago namin ang formula (23.3) ng sample na pagkakaiba-iba:

Pasimplehin natin ang expression

Isinasaalang-alang ang (23.1), kung saan

Ang mathematical expectation ay ang probability distribution ng isang random variable

Pag-asa sa matematika, kahulugan, pag-asa sa matematika ng mga discrete at tuluy-tuloy na random na variable, selective, conditional expectation, kalkulasyon, mga katangian, mga gawain, pagtatantya ng inaasahan, pagkakaiba, distribution function, mga formula, mga halimbawa ng pagkalkula

Palawakin ang nilalaman

I-collapse ang nilalaman

Ang inaasahan sa matematika ay, ang kahulugan

Isa sa mga pinakamahalagang konsepto sa mga istatistika ng matematika at teorya ng posibilidad, na nagpapakilala sa pamamahagi ng mga halaga o probabilidad ng isang random na variable. Karaniwang ipinapahayag bilang weighted average ng lahat ng posibleng parameter ng random variable. Ito ay malawakang ginagamit sa teknikal na pagsusuri, pag-aaral ng serye ng numero, pag-aaral ng tuloy-tuloy at pangmatagalang proseso. Mahalaga ito sa pagtatasa ng mga panganib, paghula ng mga tagapagpahiwatig ng presyo kapag nangangalakal sa mga pamilihang pinansyal, at ginagamit sa pagbuo ng mga estratehiya at pamamaraan ng mga taktika sa laro sa teorya ng pagsusugal.

Ang inaasahan sa matematika ay ang ibig sabihin ng halaga ng isang random na variable, ang probability distribution ng isang random variable ay isinasaalang-alang sa probability theory.

Ang inaasahan sa matematika ay sukatan ng mean value ng isang random variable sa probability theory. Pag-asa sa matematika ng isang random na variable x denoted M(x).

Ang inaasahan sa matematika ay

Ang inaasahan sa matematika ay sa probability theory, ang weighted average ng lahat ng posibleng value na maaaring kunin ng random variable na ito.

Ang inaasahan sa matematika ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable sa pamamagitan ng mga probabilidad ng mga halagang ito.

Ang inaasahan sa matematika ay ang average na benepisyo mula sa isang partikular na desisyon, sa kondisyon na ang naturang desisyon ay maaaring isaalang-alang sa balangkas ng teorya ng malalaking numero at isang mahabang distansya.

Ang inaasahan sa matematika ay sa teorya ng pagsusugal, ang halaga ng mga panalo na maaaring kumita o matalo ng isang manlalaro, sa karaniwan, para sa bawat taya. Sa wika ng mga sugarol, ito ay tinatawag minsan na "gamer's edge" (kung positibo para sa player) o "house edge" (kung negatibo para sa player).

Ang inaasahan sa matematika ay Porsiyento ng tubo sa bawat panalo na pinarami ng average na kita na binawasan ang posibilidad ng pagkatalo na pinarami ng average na pagkatalo.

Pag-asa sa matematika ng isang random na variable sa teorya ng matematika

Isa sa mga mahalagang katangiang pang-numero ng isang random na variable ay ang mathematical expectation. Ipakilala natin ang konsepto ng isang sistema ng mga random na variable. Isaalang-alang ang isang hanay ng mga random na variable na mga resulta ng parehong random na eksperimento. Kung ito ay isa sa mga posibleng halaga ng system, kung gayon ang kaganapan ay tumutugma sa isang tiyak na posibilidad na nakakatugon sa mga axiom ng Kolmogorov. Ang isang function na tinukoy para sa anumang posibleng mga halaga ng mga random na variable ay tinatawag na joint distribution law. Binibigyang-daan ka ng function na ito na kalkulahin ang mga probabilidad ng anumang mga kaganapan mula sa. Sa partikular, ang magkasanib na batas ng pamamahagi ng mga random na variable at, na kumukuha ng mga halaga mula sa set at, ay ibinibigay ng mga probabilidad.

Ang terminong "expectation" ay ipinakilala ni Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) at nagmula sa konsepto ng "inaasahang halaga ng kabayaran", na unang lumitaw noong ika-17 siglo sa teorya ng pagsusugal sa mga gawa nina Blaise Pascal at Christian Huygens . Gayunpaman, ang unang kumpletong teoretikal na pag-unawa at pagsusuri ng konseptong ito ay ibinigay ni Pafnuty Lvovich Chebyshev (kalagitnaan ng ika-19 na siglo).

Ang batas ng pamamahagi ng mga random na numerical variable (ang distribution function at ang distribution series o probability density) ay ganap na naglalarawan ng gawi ng isang random variable. Ngunit sa isang bilang ng mga problema ay sapat na upang malaman ang ilang mga numerical na katangian ng dami na pinag-aaralan (halimbawa, ang average na halaga nito at posibleng paglihis mula dito) upang masagot ang tanong na ibinibigay. Ang pangunahing numerical na katangian ng mga random na variable ay ang mathematical expectation, variance, mode at median.

Ang pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga posibleng halaga nito at ang kanilang mga kaukulang probabilidad. Minsan ang inaasahan sa matematika ay tinatawag na weighted average, dahil ito ay humigit-kumulang katumbas ng arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng random variable sa malalaking numero mga eksperimento. Mula sa kahulugan ng mathematical expectation, sumusunod na ang halaga nito ay hindi bababa sa pinakamaliit na posibleng halaga ng isang random variable at hindi hihigit sa pinakamalaking. Ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable ay isang non-random (constant) variable.

Ang pag-asa sa matematika ay may isang simpleng pisikal na kahulugan: kung ang isang yunit ng masa ay inilalagay sa isang tuwid na linya, na naglalagay ng ilang masa sa ilang mga punto (para sa discrete distribution), o "pagpapahid" nito ng isang tiyak na density (para sa isang ganap na tuluy-tuloy na pamamahagi), kung gayon ang punto na tumutugma sa inaasahan sa matematika ay ang coordinate ng "center of gravity" ng tuwid na linya.

Ang average na halaga ng isang random na variable ay isang tiyak na numero, na kung saan ay, bilang ito ay, ang "kinatawan" nito at pinapalitan ito sa magaspang na tinatayang mga kalkulasyon. Kapag sinabi namin: "ang average na oras ng pagpapatakbo ng lamp ay 100 oras" o "ang average na punto ng epekto ay inilipat kaugnay sa target ng 2 m pakanan", ipinapahiwatig namin sa pamamagitan nito ang isang tiyak na numerical na katangian ng isang random na variable na naglalarawan nito lokasyon sa numerical axis, i.e. paglalarawan ng posisyon.

Sa mga katangian ng isang posisyon sa teorya ng posibilidad, ang pinakamahalagang papel ay ginagampanan ng matematikal na pag-asa ng isang random na variable, na kung minsan ay tinatawag lamang na average na halaga ng isang random na variable.

Isaalang-alang ang isang random na variable X, na may mga posibleng halaga x1, x2, …, xn may probabilidad p1, p2, …, pn. Kailangan nating kilalanin sa pamamagitan ng ilang numero ang posisyon ng mga halaga ng random na variable sa x-axis, na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang mga halagang ito ay may iba't ibang mga probabilidad. Para sa layuning ito, natural na gamitin ang tinatawag na "weighted average" ng mga halaga xi, at ang bawat halaga xi sa panahon ng pag-average ay dapat isaalang-alang na may "timbang" na proporsyonal sa posibilidad ng halagang ito. Kaya, kakalkulahin natin ang ibig sabihin ng random variable X, na ating tutukuyin M|X|:

Ang weighted average na ito ay tinatawag na mathematical expectation ng random variable. Kaya, ipinakilala namin bilang pagsasaalang-alang ang isa sa pinakamahalagang konsepto ng teorya ng probabilidad - ang konsepto ng pag-asa sa matematika. Ang inaasahan sa matematika ng isang random na variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable at ang mga probabilities ng mga halagang ito.

Hayaan itong mabuo N mga independiyenteng eksperimento, kung saan ang bawat isa ay may halaga X tumatagal ng isang tiyak na halaga. Ipagpalagay na ang halaga x1 lumitaw m1 beses, halaga x2 lumitaw m2 beses, pangkalahatang kahulugan xi lumitaw mi times. Kalkulahin natin ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng X, na, sa kaibahan sa inaasahan ng matematika M|X| kami ay magsasaad M*|X|:

Sa pagtaas ng bilang ng mga eksperimento N mga frequency pi lalapit (magtatagpo sa posibilidad) ang mga katumbas na probabilidad. Samakatuwid, ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng random variable M|X| na may pagtaas sa bilang ng mga eksperimento, ito ay lalapit (magtatagpo sa posibilidad) sa kanyang inaasahan sa matematika. Ang koneksyon sa pagitan ng arithmetic mean at ang mathematical expectation na binalangkas sa itaas ay bumubuo sa nilalaman ng isa sa mga anyo ng batas ng malalaking numero.

Alam na natin na ang lahat ng anyo ng batas ng malalaking numero ay nagsasaad ng katotohanan na ang ilang mga average ay matatag sa isang malaking bilang ng mga eksperimento. Dito nag-uusap kami tungkol sa katatagan ng arithmetic mean mula sa isang serye ng mga obserbasyon ng parehong halaga. Sa isang maliit na bilang ng mga eksperimento, ang arithmetic mean ng kanilang mga resulta ay random; na may sapat na pagtaas sa bilang ng mga eksperimento, ito ay nagiging "halos hindi random" at, nagpapatatag, lumalapit sa isang pare-parehong halaga - ang inaasahan sa matematika.

Ang pag-aari ng katatagan ng mga average para sa isang malaking bilang ng mga eksperimento ay madaling i-verify nang eksperimento. Halimbawa, ang pagtimbang ng anumang katawan sa laboratoryo sa tumpak na mga timbangan, bilang resulta ng pagtimbang ay nakakakuha tayo ng bagong halaga sa bawat oras; upang mabawasan ang pagkakamali ng pagmamasid, tinitimbang namin ang katawan ng ilang beses at ginagamit ang arithmetic mean ng mga nakuhang halaga. Madaling makita na sa isang karagdagang pagtaas sa bilang ng mga eksperimento (pagtimbang), ang arithmetic mean ay tumutugon sa pagtaas na ito nang mas kaunti, at sa isang sapat na malaking bilang ng mga eksperimento ay halos huminto sa pagbabago.

Dapat pansinin na ang pinakamahalagang katangian ng posisyon ng isang random na variable - ang inaasahan sa matematika - ay hindi umiiral para sa lahat ng mga random na variable. Posibleng gumawa ng mga halimbawa ng mga random na variable kung saan wala ang inaasahan sa matematika, dahil ang katumbas na kabuuan o integral ay nag-iiba. Gayunpaman, para sa pagsasanay, ang mga ganitong kaso ay hindi makabuluhang interes. Karaniwan, ang mga random na variable na ating kinakaharap ay may limitadong hanay ng mga posibleng halaga at, siyempre, may inaasahan.

Bilang karagdagan sa pinakamahalaga sa mga katangian ng posisyon ng isang random na variable - ang inaasahan sa matematika, ang iba pang mga katangian ng posisyon ay minsan ginagamit sa pagsasanay, sa partikular, ang mode at median ng random variable.

Ang mode ng isang random na variable ay ang pinaka-malamang na halaga nito. Ang terminong "malamang na halaga", sa mahigpit na pagsasalita, ay nalalapat lamang sa mga hindi tuloy-tuloy na dami; para sa tuloy-tuloy na dami, ang mode ay ang halaga kung saan ang probability density ay maximum. Ang mga numero ay nagpapakita ng mode para sa hindi tuloy-tuloy at tuluy-tuloy na mga random na variable, ayon sa pagkakabanggit.

Kung ang distribution polygon (distribution curve) ay may higit sa isang maximum, ang distribution ay sinasabing "polymodal".

Minsan may mga distribusyon na nasa gitna ay hindi isang maximum, ngunit isang minimum. Ang ganitong mga pamamahagi ay tinatawag na "antimodal".

Sa pangkalahatang kaso, ang mode at ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable ay hindi nagtutugma. Sa isang partikular na kaso, kapag ang distribusyon ay simetriko at modal (i.e. may mode) at mayroong matematikal na pag-asa, pagkatapos ito ay tumutugma sa mode at sa sentro ng simetrya ng pamamahagi.

Ang isa pang katangian ng posisyon ay madalas na ginagamit - ang tinatawag na median ng isang random na variable. Ang katangiang ito ay kadalasang ginagamit lamang para sa tuluy-tuloy na mga random na variable, bagama't maaari din itong pormal na tukuyin para sa isang di-tuloy na variable. Sa geometrically, ang median ay ang abscissa ng punto kung saan ang lugar na nalilimitahan ng distribution curve ay nahahati.

Sa kaso ng simetriko modal distribution, ang median ay tumutugma sa mean at mode.

Ang inaasahan sa matematika ay ang average na halaga ng isang random na variable - numerical na katangian probability distribution ng isang random variable. Sa pinaka-pangkalahatang paraan, ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable X(w) ay tinukoy bilang integral ng Lebesgue na may paggalang sa sukatan ng posibilidad R sa orihinal na puwang ng posibilidad:

Ang mathematical expectation ay maaari ding kalkulahin bilang Lebesgue integral ng X sa pamamagitan ng probability distribution px dami X:

Sa natural na paraan, maaaring tukuyin ng isa ang konsepto ng isang random na variable na may walang katapusang pag-asa sa matematika. Ang isang tipikal na halimbawa ay ang mga oras ng pagbalik sa ilang random na paglalakad.

Sa tulong ng mathematical expectation, maraming numerical at functional na mga katangian mga distribusyon (bilang ang matematikal na inaasahan ng kaukulang mga function ng isang random na variable), halimbawa, pagbuo ng function, katangian ng function, mga sandali ng anumang pagkakasunud-sunod, sa partikular na pagkakaiba-iba, covariance.

Ang pag-asa sa matematika ay isang katangian ng lokasyon ng mga halaga ng isang random na variable (ang average na halaga ng pamamahagi nito). Sa kapasidad na ito, ang mathematical expectation ay nagsisilbing ilang "typical" distribution parameter at ang papel nito ay katulad ng papel ng static moment - ang coordinate ng center of gravity ng mass distribution - sa mechanics. Mula sa iba pang mga katangian ng lokasyon, sa tulong ng kung saan ang pamamahagi ay inilarawan sa pangkalahatang mga termino - median, mga mode, ang matematikal na inaasahan ay naiiba sa mas malaking halaga na ito at ang kaukulang katangian ng scattering - pagpapakalat - mayroon sa limitasyon theorems ng probability theory . Sa pinakadakilang pagkakumpleto, ang kahulugan ng pag-asa sa matematika ay ipinahayag ng batas ng malalaking numero (hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev) at ang pinalakas na batas ng malalaking numero.

Pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable

Hayaang magkaroon ng ilang random na variable na maaaring tumagal ng isa sa ilang mga numerical value (halimbawa, ang bilang ng mga puntos sa isang die roll ay maaaring 1, 2, 3, 4, 5, o 6). Kadalasan sa pagsasagawa, para sa gayong halaga, ang tanong ay lumitaw: anong halaga ang kinukuha "sa karaniwan" na may malaking bilang ng mga pagsubok? Ano ang magiging average na kita (o pagkawala) natin mula sa bawat mapanganib na transaksyon?

Sabihin nating mayroong ilang uri ng lottery. Gusto naming maunawaan kung kumikita o hindi ang pakikilahok dito (o kahit na paulit-ulit, regular na pakikilahok). Sabihin nating ang bawat ikaapat na tiket ay mananalo, ang premyo ay magiging 300 rubles, at ang presyo ng anumang tiket ay magiging 100 rubles. Sa walang katapusang bilang ng mga kalahok, ito ang nangyayari. Sa tatlong-kapat ng mga kaso, matatalo tayo, bawat tatlong pagkalugi ay nagkakahalaga ng 300 rubles. Sa bawat ikaapat na kaso, mananalo kami ng 200 rubles. (premyo minus gastos), iyon ay, para sa apat na paglahok, nawalan kami ng isang average ng 100 rubles, para sa isa - isang average ng 25 rubles. Sa kabuuan, ang average na rate ng aming pagkasira ay magiging 25 rubles bawat tiket.

Naghahagis kami ng dice. Kung hindi ito panloloko (nang hindi inililipat ang sentro ng grabidad, atbp.), kung gaano karaming mga puntos ang mayroon tayo sa karaniwan sa isang pagkakataon? Dahil pare-pareho ang posibilidad ng bawat opsyon, kinukuha namin ang stupid arithmetic mean at nakakuha kami ng 3.5. Dahil ito ay AVERAGE, hindi na kailangang magalit na walang partikular na itapon ang magbibigay ng 3.5 puntos - mabuti, ang kubo na ito ay walang mukha na may ganoong numero!

Ngayon ay ibubuod natin ang ating mga halimbawa:

Tingnan natin ang larawan sa itaas. Sa kaliwa ay isang talahanayan ng pamamahagi ng isang random na variable. Ang halaga ng X ay maaaring tumagal ng isa sa n posibleng mga halaga (ibinigay sa itaas na hilera). Maaaring walang ibang mga halaga. Sa ilalim ng bawat posibleng halaga, ang posibilidad nito ay nilagdaan sa ibaba. Sa kanan ay isang formula, kung saan ang M(X) ay tinatawag na mathematical expectation. Ang kahulugan ng halagang ito ay na sa isang malaking bilang ng mga pagsubok (na may isang malaking sample), ang average na halaga ay may posibilidad na ito ay napaka-matematika na inaasahan.

Bumalik tayo sa parehong playing cube. Ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga puntos sa isang throw ay 3.5 (kalkulahin ang iyong sarili gamit ang formula kung hindi ka naniniwala dito). Sabihin nating inihagis mo ito ng ilang beses. Nahulog ang 4 at 6. Sa karaniwan, naging 5, iyon ay, malayo sa 3.5. Muli nilang inihagis, 3 ang nahulog, iyon ay, sa karaniwan (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... Kahit papaano malayo sa inaasahan ng matematika. Ngayon gumawa ng isang nakatutuwang eksperimento - igulong ang kubo ng 1000 beses! At kung ang average ay hindi eksaktong 3.5, kung gayon ito ay magiging malapit doon.

Kalkulahin natin ang mathematical na inaasahan para sa inilarawan sa itaas na lottery. Ang talahanayan ay magiging ganito:

Kung gayon ang pag-asa sa matematika ay magiging, tulad ng itinatag namin sa itaas.:

Isa pa, "on the fingers" din ito, kung walang formula, mahirap kung marami pang pagpipilian. Well, sabihin nating mayroong 75% na natalong mga tiket, 20% na nanalong mga tiket, at 5% na nanalong mga tiket.

Ngayon ang ilang mga katangian ng pag-asa sa matematika.

Madaling patunayan ito:

Ang isang pare-parehong multiplier ay maaaring alisin sa tanda ng inaasahan, iyon ay:

Ito ay isang espesyal na kaso ng linearity property ng mathematical expectation.

Isa pang kinahinatnan ng linearity ng mathematical expectation:

ibig sabihin, ang mathematical expectation ng sum ng random variables ay katumbas ng sum ng mathematical expectations ng random variables.

Hayaan ang X, Y na maging independent random variable, pagkatapos:

Madali din itong patunayan) XY mismo ay isang random na variable, habang kung ang mga paunang halaga ay maaaring tumagal n at m mga halaga, ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos XY maaaring kumuha ng mga halaga ng nm. Ang posibilidad ng bawat isa sa mga halaga ay kinakalkula batay sa katotohanan na ang mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan ay pinarami. Bilang resulta, nakukuha namin ito:

Pag-asa sa matematika ng isang tuluy-tuloy na random na variable

Ang mga tuluy-tuloy na random na variable ay may katangian tulad ng density ng pamamahagi (probability density). Ito, sa katunayan, ay nagpapakilala sa sitwasyon na ang isang random na variable ay kumukuha ng ilang mga halaga mula sa hanay ng mga tunay na numero nang mas madalas, ang ilan - mas madalas. Halimbawa, isaalang-alang ang tsart na ito:

Dito X- talagang isang random na variable, f(x)- density ng pamamahagi. Sa paghusga sa graph na ito, sa panahon ng mga eksperimento, ang halaga X kadalasan ay isang numerong malapit sa zero. mga pagkakataong lumampas 3 o maging mas kaunti -3 sa halip ay puro teoretikal.

Hayaan, halimbawa, mayroong isang pare-parehong pamamahagi:

Ito ay medyo pare-pareho sa intuitive na pag-unawa. Sabihin nating kung makakakuha tayo ng maraming random na totoong numero na may pare-parehong pamamahagi, bawat isa sa mga segment |0; 1| , kung gayon ang arithmetic mean ay dapat na mga 0.5.

Ang mga katangian ng mathematical expectation - linearity, atbp., na naaangkop para sa mga discrete random variable, ay naaangkop din dito.

Ang kaugnayan ng pag-asa sa matematika sa iba pang mga istatistikal na tagapagpahiwatig

Sa pagtatasa ng istatistika, kasama ang pag-asa sa matematika, mayroong isang sistema ng magkakaugnay na mga tagapagpahiwatig na sumasalamin sa homogeneity ng mga phenomena at ang katatagan ng mga proseso. Kadalasan, ang mga tagapagpahiwatig ng pagkakaiba-iba ay walang independiyenteng kahulugan at ginagamit para sa karagdagang pagsusuri ng data. Ang pagbubukod ay ang koepisyent ng pagkakaiba-iba, na nagpapakilala sa homogeneity ng data, na isang mahalagang istatistikal na katangian.

Ang antas ng pagkakaiba-iba o katatagan ng mga proseso sa istatistikal na agham ay maaaring masukat gamit ang ilang mga tagapagpahiwatig.

Ang pinakamahalagang tagapagpahiwatig na nagpapakilala sa pagkakaiba-iba ng isang random na variable ay Pagpapakalat, na pinaka malapit at direktang nauugnay sa inaasahan sa matematika. Ang parameter na ito ay aktibong ginagamit sa iba pang mga uri ng istatistikal na pagsusuri (pagsusuri ng hypothesis, pagsusuri ng mga ugnayang sanhi-at-epekto, atbp.). Tulad ng ibig sabihin ng linear deviation, ang pagkakaiba ay sumasalamin din sa lawak kung saan kumalat ang data sa paligid katamtamang laki.

Kapaki-pakinabang na isalin ang wika ng mga palatandaan sa wika ng mga salita. Lumalabas na ang pagkakaiba ay ang average na parisukat ng mga paglihis. Iyon ay, ang average na halaga ay unang kinakalkula, pagkatapos ay ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat orihinal at average na halaga ay kinuha, kuwadrado, idinagdag at pagkatapos ay hinati sa bilang ng mga halaga sa populasyon na ito. Ang pagkakaiba sa pagitan ng indibidwal na halaga at ang ibig sabihin ay sumasalamin sa sukatan ng paglihis. Ito ay naka-squad upang matiyak na ang lahat ng mga paglihis ay magiging eksklusibong positibong mga numero at upang maiwasan ang magkaparehong pagkansela ng mga positibo at negatibong mga paglihis kapag ang mga ito ay pinagsama-sama. Pagkatapos, dahil sa mga squared deviations, kinakalkula lang namin ang arithmetic mean. Average - parisukat - deviations. Ang mga paglihis ay parisukat, at ang average ay isinasaalang-alang. Ang sagot sa magic word na "dispersion" ay tatlong salita lamang.

Gayunpaman, sa purong anyo, gaya ng arithmetic mean, o index, hindi ginagamit ang variance. Ito ay isang pantulong at intermediate na tagapagpahiwatig na ginagamit para sa iba pang mga uri ng istatistikal na pagsusuri. Wala man lang siyang normal na yunit ng sukat. Sa paghusga sa formula, ito ang parisukat ng orihinal na yunit ng data.

Sukatin natin ang isang random na variable N beses, halimbawa, sinusukat namin ang bilis ng hangin nang sampung beses at gustong hanapin ang average na halaga. Paano nauugnay ang mean value sa distribution function?

O maghahagis tayo ng dice malaking bilang ng minsan. Ang bilang ng mga puntos na mahuhulog sa die sa bawat paghagis ay isang random na variable at maaaring tumagal ng anumang natural na halaga mula 1 hanggang 6. N ito ay may posibilidad sa isang napaka-espesipikong numero - ang mathematical na inaasahan Mx. Sa kasong ito, Mx = 3.5.

Paano nangyari ang halagang ito? Papasukin N mga pagsubok n1 kapag bumaba ang 1 puntos, n2 beses - 2 puntos at iba pa. Pagkatapos ang bilang ng mga kinalabasan kung saan nahulog ang isang punto:

Katulad din para sa mga kinalabasan kapag nahulog ang 2, 3, 4, 5 at 6 na puntos.

Ipagpalagay natin ngayon na alam natin ang batas ng pamamahagi ng random variable x, iyon ay, alam natin na ang random variable x ay maaaring kumuha ng mga halaga x1, x2, ..., xk na may probabilities p1, p2, ... , pk.

Ang mathematical expectation Mx ng isang random variable x ay:

Ang inaasahan sa matematika ay hindi palaging isang makatwirang pagtatantya ng ilang random na variable. Kaya, upang tantyahin ang average sahod mas makatwirang gamitin ang konsepto ng median, iyon ay, ang halaga na ang bilang ng mga taong tumatanggap ng mas mababa kaysa sa median na suweldo at higit pa, ay pareho.

Ang probability p1 na ang random variable x ay mas mababa sa x1/2 at ang probability p2 na ang random variable x ay mas malaki kaysa sa x1/2 ay pareho at katumbas ng 1/2. Ang median ay hindi natatanging tinutukoy para sa lahat ng mga distribusyon.

Pamantayang o Standard Deviation sa statistics, tinatawag ang degree ng deviation ng observational data o sets mula sa AVERAGE value. Tinutukoy ng mga letrang s o s. Ang isang maliit na standard deviation ay nagpapahiwatig na ang data ay nakapangkat sa paligid ng mean, at ang isang malaking standard deviation ay nagpapahiwatig na ang paunang data ay malayo mula dito. Ang standard deviation ay katumbas ng square root ng isang quantity na tinatawag na variance. Ito ay ang average ng kabuuan ng mga squared na pagkakaiba ng paunang data na lumilihis mula sa mean. Ang standard deviation ng isang random variable ay ang square root ng variance:

Halimbawa. Sa ilalim ng mga kondisyon ng pagsubok kapag bumaril sa isang target, kalkulahin ang pagkakaiba at karaniwang paglihis ng isang random na variable:

pagkakaiba-iba- pagbabagu-bago, pagkakaiba-iba ng halaga ng katangian sa mga yunit ng populasyon. Ang hiwalay na mga numerical na halaga ng isang tampok na nangyayari sa pinag-aralan na populasyon ay tinatawag na mga variant ng mga halaga. Kakulangan ng average na halaga para sa kumpletong katangian ang pinagsama-samang ginagawa sa amin upang madagdagan ang mga average na halaga ng mga tagapagpahiwatig na nagbibigay-daan sa amin upang masuri ang tipikal ng mga average na ito sa pamamagitan ng pagsukat ng pagbabagu-bago (variation) ng katangian na pinag-aaralan. Ang koepisyent ng pagkakaiba-iba ay kinakalkula ng formula:

Pagbabago ng span(R) ay ang pagkakaiba sa pagitan ng maximum at minimum na halaga ng katangian sa pinag-aralan na populasyon. Ang tagapagpahiwatig na ito ay nagbibigay ng pinakamaraming Pangkalahatang ideya tungkol sa pagbabagu-bago ng katangian sa ilalim ng pag-aaral, dahil ipinapakita lamang nito ang pagkakaiba sa pagitan ng mga limitasyon ng mga halaga ng mga pagpipilian. Ang pag-asa sa matinding halaga ng katangian ay nagbibigay sa hanay ng pagkakaiba-iba ng hindi matatag, random na karakter.

Average na linear deviation ay ang arithmetic mean ng absolute (modulo) deviations ng lahat ng halaga ng nasuri na populasyon mula sa kanilang average na halaga:

Pag-asa sa matematika sa teorya ng pagsusugal

Ang inaasahan sa matematika ay ang average na halaga ng pera ng isang manlalaro pagsusugal maaaring manalo o matalo sa isang naibigay na taya. Ito ay isang napakahalagang konsepto para sa isang manlalaro, dahil ito ay mahalaga sa pagtatasa ng karamihan sa mga sitwasyon ng laro. Ang pag-asa sa matematika ay isa ring pinakamahusay na tool para sa pagsusuri ng mga pangunahing layout ng card at mga sitwasyon ng laro.

Sabihin nating naglalaro ka ng barya kasama ang isang kaibigan, gumagawa ng katumbas na $1 na taya sa bawat pagkakataon, anuman ang mangyari. Tails - panalo ka, ulo - talo ka. Ang mga pagkakataon na ito ay darating na mga buntot ay isa sa isa at ikaw ay tumataya ng $1 hanggang $1. Kaya, ang iyong inaasahan sa matematika ay zero, dahil Sa mathematically speaking, hindi mo malalaman kung mangunguna ka o matatalo pagkatapos ng dalawang roll o pagkatapos ng 200.

Ang iyong oras-oras na kita sero. Ang oras-oras na payout ay ang halaga ng pera na inaasahan mong manalo sa isang oras. Maaari kang mag-flip ng barya ng 500 beses sa loob ng isang oras, ngunit hindi ka mananalo o matatalo dahil ang iyong mga posibilidad ay hindi positibo o negatibo. Kung titingnan mo, mula sa punto ng view ng isang seryosong manlalaro, ang ganitong sistema ng pagtaya ay hindi masama. Pero sayang lang ang oras.

Ngunit ipagpalagay na may gustong tumaya ng $2 laban sa iyong $1 sa parehong laro. Pagkatapos ay mayroon kang positibong inaasahan na 50 cents mula sa bawat taya. Bakit 50 cents? Sa karaniwan, nanalo ka ng isang taya at matatalo ang pangalawa. Tumaya sa unang dolyar at matalo ng $1, tumaya sa pangalawa at manalo ng $2. Dalawang beses kang tumaya ng $1 at nauna ka ng $1. Kaya bawat isa sa iyong isang dolyar na taya ay nagbigay sa iyo ng 50 sentimo.

Kung ang coin ay bumagsak ng 500 beses sa isang oras, ang iyong oras-oras na kita ay magiging $250 na, dahil. sa karaniwan, natalo ka ng $1 250 beses at nanalo ng $2 250 beses. $500 minus $250 ay katumbas ng $250, na siyang kabuuang panalo. Tandaan na ang inaasahang halaga, na ang halagang napanalo mo sa average sa isang taya, ay 50 cents. Nanalo ka ng $250 sa pagtaya ng isang dolyar ng 500 beses, na katumbas ng 50 cents ng iyong taya.

Ang pag-asa sa matematika ay walang kinalaman sa mga panandaliang resulta. Ang iyong kalaban, na nagpasyang tumaya ng $2 laban sa iyo, ay maaaring talunin ka sa unang sampung sunod-sunod na paghagis, ngunit ikaw, na may 2-to-1 na kalamangan sa pagtaya, lahat ng iba ay pantay-pantay, gumawa ng 50 sentimo sa bawat $1 na taya sa ilalim ng anumang mga pangyayari. Hindi mahalaga kung manalo o matalo ka ng isang taya o ilang taya, ngunit sa kondisyon lamang na mayroon kang sapat na pera upang madaling mabayaran ang mga gastos. Kung patuloy kang tumaya sa parehong paraan, pagkatapos sa mahabang panahon ang iyong mga panalo ay aabot sa kabuuan ng inaasahang halaga sa mga indibidwal na roll.

Sa bawat oras na gumawa ka ng isang pinakamahusay na taya (isang taya na maaaring kumita sa mahabang panahon) kapag ang mga logro ay pabor sa iyo, ikaw ay tiyak na manalo ng isang bagay dito, matalo mo man ito o hindi sa isang ibinigay na kamay. Sa kabaligtaran, kung gumawa ka ng isang mas masahol na taya (isang taya na hindi kumikita sa katagalan) kapag ang mga logro ay hindi pabor sa iyo, may natatalo ka, manalo ka man o matalo sa kamay.

Tataya ka sa pinakamahusay na kinalabasan kung positibo ang iyong inaasahan, at positibo ito kung pabor sa iyo ang posibilidad. Sa pagtaya sa pinakamasamang kinalabasan, mayroon kang negatibong inaasahan, na nangyayari kapag ang mga posibilidad ay laban sa iyo. Ang mga seryosong manlalaro ay tumaya lamang na may pinakamahusay na kinalabasan, na may pinakamasama - sila ay tumiklop. Ano ang ibig sabihin ng mga posibilidad na pabor sa iyo? Maaari kang manalo ng higit pa kaysa sa aktwal na mga posibilidad na dala. Ang tunay na posibilidad ng pagtama ng mga buntot ay 1 hanggang 1, ngunit makakakuha ka ng 2 hanggang 1 dahil sa ratio ng pagtaya. Sa kasong ito, ang mga posibilidad ay pabor sa iyo. Siguradong makukuha mo ang pinakamahusay na kinalabasan na may positibong inaasahan na 50 cents bawat taya.

Narito pa kumplikadong halimbawa inaasahan sa matematika. Isinulat ng kaibigan ang mga numero mula isa hanggang lima at tumaya ng $5 laban sa iyong $1 na hindi mo pipiliin ang numero. Sumasang-ayon ka ba sa gayong taya? Ano ang inaasahan dito?

Sa karaniwan, magkakamali ka ng apat na beses. Batay dito, ang mga logro laban sa iyong hulaan ang numero ay magiging 4 hanggang 1. Ang posibilidad ay mawawalan ka ng isang dolyar sa isang pagsubok. Gayunpaman, nanalo ka ng 5 sa 1, na may posibilidad na matalo 4 sa 1. Samakatuwid, ang mga logro ay pabor sa iyo, maaari mong kunin ang taya at umaasa para sa pinakamahusay na resulta. Kung gagawin mo ang taya na ito ng limang beses, sa karaniwan ay matatalo ka ng apat na beses ng $1 at manalo ng $5 nang isang beses. Batay dito, para sa lahat ng limang pagtatangka ay makakakuha ka ng $1 na may positibong inaasahan sa matematika na 20 cents bawat taya.

Ang isang manlalaro na mananalo ng higit sa kanyang taya, tulad ng sa halimbawa sa itaas, ay nakakakuha ng mga posibilidad. Sa kabaligtaran, sinisira niya ang mga pagkakataon kapag inaasahan niyang manalo ng mas mababa kaysa sa kanyang taya. Ang taya ay maaaring magkaroon ng alinman sa positibo o negatibong inaasahan depende sa kung siya ay nakakakuha o sumisira sa mga posibilidad.

Kung tumaya ka ng $50 para manalo ng $10 na may 4 hanggang 1 na pagkakataong manalo, makakakuha ka ng negatibong inaasahan na $2, dahil sa karaniwan, ikaw ay mananalo ng apat na beses na $10 at matatalo ng $50 nang isang beses, na nagpapakita na ang talo sa bawat taya ay magiging $10. Ngunit kung tumaya ka ng $30 para manalo ng $10, na may parehong posibilidad na manalo ng 4 hanggang 1, sa kasong ito mayroon kang positibong inaasahan na $2, dahil muli kang manalo ng apat na beses na $10 at matatalo ng $30 nang isang beses, para sa tubo na $10. Ang mga halimbawang ito ay nagpapakita na ang unang taya ay masama at ang pangalawa ay mabuti.

Ang pag-asa sa matematika ay ang sentro ng anumang sitwasyon ng laro. Kapag hinikayat ng isang bookmaker ang mga tagahanga ng football na tumaya ng $11 para manalo ng $10, mayroon silang positibong inaasahan na 50 cents para sa bawat $10. Kung ang casino ay nagbabayad ng kahit na pera mula sa Craps pass line, ang positibong inaasahan ng bahay ay humigit-kumulang $1.40 para sa bawat $100; ang larong ito ay nakaayos upang ang lahat ng tumaya sa linyang ito ay matatalo ng 50.7% sa karaniwan at manalo ng 49.3% ng oras. Walang alinlangan, ito ang tila minimal na positibong inaasahan na nagdudulot ng malaking kita sa mga may-ari ng casino sa buong mundo. Gaya ng sinabi ng may-ari ng Vegas World casino na si Bob Stupak, “Ang isang ikalibo ng isang porsyento ng negatibong probabilidad sa isang mahabang distansya ay masisira. pinakamayamang tao sa mundo".

Pag-asa sa matematika kapag naglalaro ng poker

Ang laro ng Poker ay ang pinaka-nagsisiwalat at magandang halimbawa sa mga tuntunin ng paggamit ng teorya at mga katangian ng inaasahan sa matematika.

Ang Inaasahang Halaga sa Poker ay ang average na benepisyo mula sa isang partikular na desisyon, sa kondisyon na ang naturang desisyon ay maaaring isaalang-alang sa balangkas ng teorya ng malalaking numero at isang mahabang distansya. Ang matagumpay na poker ay tungkol sa palaging pagtanggap ng mga galaw na may positibong inaasahan sa matematika.

Ang mathematical na kahulugan ng mathematical expectation kapag naglalaro ng poker ay madalas tayong makatagpo ng mga random variable kapag gumagawa ng desisyon (hindi natin alam kung aling mga card ang nasa kamay ng kalaban, kung aling mga card ang darating sa mga susunod na round ng pagtaya). Dapat nating isaalang-alang ang bawat isa sa mga solusyon mula sa punto ng view ng teorya ng malalaking numero, na nagsasabing sa isang sapat na malaking sample, ang average na halaga ng isang random na variable ay may posibilidad sa kanyang inaasahan sa matematika.

Kabilang sa mga partikular na formula para sa pagkalkula ng mathematical na inaasahan, ang mga sumusunod ay pinaka-naaangkop sa poker:

Kapag naglalaro ng poker, ang mathematical expectation ay maaaring kalkulahin para sa parehong taya at tawag. Sa unang kaso, dapat isaalang-alang ang fold equity, sa pangalawa, ang sariling logro ng palayok. Kapag sinusuri ang mathematical expectation ng isang partikular na galaw, dapat tandaan na ang isang fold ay laging may zero na mathematical expectation. Kaya, ang pagtatapon ng mga card ay palaging magiging isang mas kumikitang desisyon kaysa sa anumang negatibong hakbang.

Sinasabi sa iyo ng pag-asa kung ano ang maaari mong asahan (kita o pagkawala) para sa bawat dolyar na iyong ipagsapalaran. Ang mga casino ay kumikita dahil ang mathematical na inaasahan ng lahat ng mga laro na ginagawa sa kanila ay pabor sa casino. Kapag sapat na mahabang serye ang mga laro ay maaaring asahan na ang kliyente ay mawawalan ng kanilang pera, dahil ang "probability" ay pabor sa casino. Gayunpaman, nililimitahan ng mga propesyonal na manlalaro ng casino ang kanilang mga laro sa maikling panahon, sa gayo'y nadaragdagan ang mga posibilidad na pabor sa kanila. Ganoon din sa pamumuhunan. Kung positibo ang iyong inaasahan, maaari kang kumita mas maraming pera paggawa ng maraming mga kalakalan sa isang maikling panahon. Ang inaasahan ay ang iyong porsyento ng kita sa bawat panalo sa iyong average na kita na binawasan ang iyong posibilidad ng pagkalugi sa iyong average na pagkalugi.

Ang poker ay maaari ding isaalang-alang sa mga tuntunin ng pag-asa sa matematika. Maaari mong ipagpalagay na ang isang tiyak na paglipat ay kumikita, ngunit sa ilang mga kaso ay maaaring hindi ito ang pinakamahusay, dahil ang isa pang paglipat ay mas kumikita. Sabihin nating naabot mo ang isang buong bahay limang card poker may palitan. Tumaya ang kalaban mo. Alam mo na kung ikaw ay tumatawag, siya ay tatawag. Kaya ang pagtataas ay mukhang ang pinakamahusay na taktika. Ngunit kung magtataas ka, siguradong tupitik ang natitirang dalawang manlalaro. Ngunit kung tatawagan mo ang taya, ikaw ay ganap na sigurado na ang iba pang dalawang manlalaro pagkatapos mong gawin ang parehong. Kapag tinaasan mo ang taya, makakakuha ka ng isang unit, at sa pamamagitan lamang ng pagtawag ay makakakuha ka ng dalawa. Kaya ang pagtawag ay nagbibigay sa iyo ng mas mataas na positibong inaasahang halaga at ito ang pinakamahusay na taktika.

Ang pag-asa sa matematika ay maaari ring magbigay ng ideya kung aling mga taktika ng poker ang hindi gaanong kumikita at kung alin ang mas kumikita. Halimbawa, kung naglalaro ka ng isang partikular na kamay at sa tingin mo ang iyong average na talo ay 75 cents kasama ang mga antes, dapat mong laruin ang kamay na iyon dahil ito ay mas mahusay kaysa sa pagtiklop kapag ang ante ay $1.

Ang isa pang mahalagang dahilan sa pag-unawa sa inaasahang halaga ay ang pagbibigay sa iyo ng kapayapaan ng isip kung nanalo ka sa isang taya o hindi: kung gumawa ka ng isang mahusay na taya o nakatiklop sa oras, malalaman mo na ikaw ay nakakuha o nag-save ng isang tiyak na halaga ng pera, na hindi mai-save ng isang mahinang manlalaro. Mas mahirap magtiklop kung ikaw ay bigo na ang iyong kalaban ay may mas mahusay na kamay sa draw. Iyon ay sinabi, ang pera na naipon mo sa pamamagitan ng hindi paglalaro, sa halip na pagtaya, ay idinagdag sa iyong magdamag o buwanang panalo.

Tandaan lamang na kapag nagpalipat-lipat ka ng kamay, tatawagan ka ng iyong kalaban, at tulad ng makikita mo sa artikulong Fundamental Theorem of Poker, ito ay isa lamang sa iyong mga pakinabang. Dapat kang magsaya kapag nangyari ito. Maaari ka ring matutong masiyahan sa pagkawala ng isang kamay, dahil alam mo na ang iba pang mga manlalaro sa iyong mga sapatos ay mas malulugi.

Gaya ng tinalakay sa halimbawa ng coin game sa simula, ang oras-oras na rate ng return ay nauugnay sa matematikal na inaasahan, at ang konseptong ito ay lalong mahalaga para sa mga propesyonal na manlalaro. Kapag ikaw ay maglalaro ng poker, dapat mong tantiyahin sa isip kung magkano ang maaari mong manalo sa isang oras ng paglalaro. Sa karamihan ng mga kaso, kakailanganin mong umasa sa iyong intuwisyon at karanasan, ngunit maaari ka ring gumamit ng ilang mathematical na kalkulasyon. Halimbawa, kung ikaw ay naglalaro ng draw lowball at nakakita ka ng tatlong manlalaro na tumaya ng $10 at pagkatapos ay gumuhit ng dalawang card, na isang napakasamang taktika, maaari mong kalkulahin para sa iyong sarili na sa tuwing tumaya sila ng $10 ay matatalo sila ng humigit-kumulang $2. Ginagawa ito ng bawat isa sa kanila ng walong beses sa isang oras, na nangangahulugan na ang tatlo ay nawawalan ng humigit-kumulang $48 kada oras. Isa ka sa natitirang apat na manlalaro, na humigit-kumulang pantay, kaya ang apat na manlalarong ito (at ikaw sa kanila) ay dapat magbahagi ng $48, at bawat isa ay kikita ng $12 kada oras. Ang iyong oras-oras na rate sa kasong ito ay ang iyong bahagi lamang sa halaga ng perang nawala ng tatlong masamang manlalaro kada oras.

Sa loob ng mahabang panahon, ang kabuuang mga panalo ng manlalaro ay ang kabuuan ng kanyang mga inaasahan sa matematika sa magkakahiwalay na distribusyon. Kapag mas marami kang naglalaro na may positibong pag-asa, mas panalo ka, at sa kabaligtaran, mas maraming kamay ang naglalaro sa negatibong pag-asa, mas matatalo ka. Bilang resulta, dapat mong bigyang-priyoridad ang isang laro na maaaring mapakinabangan ang iyong positibong inaasahan o pabayaan ang iyong negatibo upang ma-maximize mo ang iyong oras-oras na kita.

Positibong pag-asa sa matematika sa diskarte sa laro

Kung marunong kang magbilang ng mga baraha, maaari kang magkaroon ng kalamangan sa casino kung hindi ka nila mapapansin at sipain ka palabas. Gustung-gusto ng mga casino ang mga lasing na nagsusugal at hindi nila kayang magbilang ng mga baraha. Ang kalamangan ay magbibigay-daan sa iyo na manalo ng mas maraming beses kaysa sa natalo mo sa paglipas ng panahon. mabuting pamamahala kapital gamit ang mga pagkalkula ng inaasahan ay maaaring makatulong sa iyo na mapakinabangan ang iyong gilid at mabawasan ang iyong mga pagkalugi. Kung walang kalamangan, mas mabuting ibigay mo ang pera sa kawanggawa. Sa laro sa stock exchange, ang kalamangan ay ibinibigay ng sistema ng laro, na lumilikha ng higit na kita kaysa sa mga pagkalugi, mga pagkakaiba sa presyo at mga komisyon. Walang halaga ng pamamahala ng pera ang makakapagtipid sa isang masamang sistema ng paglalaro.

Ang isang positibong inaasahan ay tinutukoy ng isang halaga na mas mataas sa zero. Kung mas malaki ang bilang na ito, mas malakas ang inaasahan sa istatistika. Kung ang halaga ay mas mababa sa zero, ang mathematical na inaasahan ay magiging negatibo din. Kung mas malaki ang modulus ng isang negatibong halaga, mas malala ang sitwasyon. Kung zero ang resulta, break even ang expectation. Maaari ka lamang manalo kapag mayroon kang positibong inaasahan sa matematika, isang makatwirang sistema ng laro. Ang paglalaro sa intuwisyon ay humahantong sa kapahamakan.

Pag-asa sa matematika at pangangalakal ng stock

Ang pag-asa sa matematika ay isang medyo malawak na hinihiling at tanyag na tagapagpahiwatig ng istatistika sa exchange trading sa mga pamilihan sa pananalapi. Una sa lahat, ang parameter na ito ay ginagamit upang pag-aralan ang tagumpay ng pangangalakal. Ito ay hindi mahirap hulaan na ang higit pa binigay na halaga, ang mas maraming dahilan upang isaalang-alang ang pinag-aralan na kalakalan na matagumpay. Siyempre, ang pagsusuri ng gawain ng isang negosyante ay hindi maaaring isagawa lamang sa tulong ng parameter na ito. Gayunpaman, ang kinakalkula na halaga, kasama ng iba pang mga pamamaraan ng pagtatasa ng kalidad ng trabaho, ay maaaring makabuluhang taasan ang katumpakan ng pagsusuri.

Ang pag-asa sa matematika ay kadalasang kinakalkula sa mga serbisyo sa pagsubaybay sa trading account, na nagbibigay-daan sa iyong mabilis na suriin ang gawaing isinagawa sa deposito. Bilang mga eksepsiyon, maaari tayong magbanggit ng mga diskarte na gumagamit ng "overstaying" ng mga nawawalang trade. Ang isang negosyante ay maaaring mapalad sa loob ng ilang panahon, at samakatuwid, sa kanyang trabaho ay maaaring walang pagkalugi. Sa kasong ito, hindi posible na mag-navigate lamang sa pamamagitan ng inaasahan, dahil ang mga panganib na ginamit sa trabaho ay hindi isasaalang-alang.

Sa pangangalakal sa merkado, ang pag-asa sa matematika ay kadalasang ginagamit kapag hinuhulaan ang kakayahang kumita ng anuman diskarte sa pangangalakal o kapag hinuhulaan ang mga kita ng isang mangangalakal batay sa mga istatistika ng kanyang mga nakaraang trade.

Sa mga tuntunin ng pamamahala ng pera, napakahalagang maunawaan na kapag gumagawa ng mga pangangalakal na may negatibong inaasahan, walang pamamaraan sa pamamahala ng pera na tiyak na makapagbibigay ng mataas na kita. Kung patuloy mong laruin ang palitan sa ilalim ng mga kundisyong ito, kung paano mo pinamamahalaan ang iyong pera, mawawala ang iyong buong account, gaano man ito kalaki sa simula.

Ang axiom na ito ay hindi lamang totoo para sa mga negatibong expectation na laro o trade, totoo rin ito para sa even odds na mga laro. Samakatuwid, ang tanging kaso kung saan may pagkakataon kang makinabang sa katagalan ay kapag gumagawa ng mga deal na may positibong inaasahan sa matematika.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng negatibong pag-asa at positibong inaasahan ay ang pagkakaiba sa pagitan ng buhay at kamatayan. Hindi mahalaga kung gaano ka positibo o gaano ka negatibo ang inaasahan; ang mahalaga ay kung ito ay positibo o negatibo. Samakatuwid, bago isaalang-alang ang pamamahala ng pera, dapat kang makahanap ng isang laro na may positibong inaasahan.

Kung wala kang larong iyon, walang halaga ng pamamahala ng pera sa mundo ang magliligtas sa iyo. Sa kabilang banda, kung mayroon kang positibong pag-asa, posible, sa pamamagitan ng wastong pamamahala ng pera, na gawing exponential growth function. Hindi mahalaga kung gaano kaliit ang positibong inaasahan! Sa madaling salita, hindi mahalaga kung gaano kumikita ang isang sistema ng kalakalan batay sa isang kontrata. Kung mayroon kang system na nanalo ng $10 bawat kontrata sa isang trade (pagkatapos ng mga bayarin at slippage), maaari mong gamitin ang mga diskarte sa pamamahala ng pera upang gawin itong mas kumikita kaysa sa isang sistema na nagpapakita ng average na tubo na $1,000 bawat trade (pagkatapos ng bawas ng mga komisyon at pagkadulas).

Ang mahalaga ay hindi kung gaano kumikita ang sistema, ngunit kung gaano katiyak na masasabing ang sistema ay magpapakita ng kahit kaunting tubo sa hinaharap. Samakatuwid, ang pinakamahalagang paghahanda na maaaring gawin ng isang mangangalakal ay upang matiyak na ang sistema ay nagpapakita ng isang positibong inaasahang halaga sa hinaharap.

Upang magkaroon ng positibong inaasahang halaga sa hinaharap, napakahalagang huwag limitahan ang antas ng kalayaan ng iyong system. Ito ay nakakamit hindi lamang sa pamamagitan ng pag-aalis o pagbabawas ng bilang ng mga parameter na i-optimize, kundi pati na rin sa pamamagitan ng pagbabawas ng maraming mga panuntunan ng system hangga't maaari. Bawat parameter na idaragdag mo, bawat panuntunang gagawin mo, bawat maliliit na pagbabagong gagawin mo sa system ay binabawasan ang bilang ng mga antas ng kalayaan. Sa isip, gusto mong bumuo ng isang medyo primitive at simpleng sistema na patuloy na magdadala ng isang maliit na kita sa halos anumang merkado. Muli, mahalagang maunawaan mo na hindi mahalaga kung gaano kumikita ang isang sistema, basta ito ay kumikita. Ang perang kikitain mo sa pangangalakal ay kikitain sa pamamagitan ng epektibong pamamahala pera.

Ang sistema ng pangangalakal ay isang tool lamang na nagbibigay sa iyo ng positibong inaasahan sa matematika upang magamit ang pamamahala ng pera. Ang mga system na gumagana (nagpapakita ng hindi bababa sa kaunting kita) sa isa o ilang market lang, o may iba't ibang panuntunan o parameter para sa iba't ibang market, ay malamang na hindi gagana sa real time nang matagal. Ang problema sa karamihan ng mga trader na nakatuon sa teknikal ay ang gumugugol sila ng masyadong maraming oras at pagsisikap sa pag-optimize ng iba't ibang mga panuntunan at mga halaga ng parameter. sistema ng kalakalan. Nagbibigay ito ng ganap na kabaligtaran na mga resulta. Sa halip na mag-aksaya ng enerhiya at oras ng computer sa pagtaas ng kita ng sistema ng pangangalakal, idirekta ang iyong enerhiya sa pagtaas ng antas ng pagiging maaasahan ng pagkuha ng pinakamababang kita.

Dahil alam na ang pamamahala sa pera ay isang larong numero lamang na nangangailangan ng paggamit ng mga positibong inaasahan, maaaring huminto ang isang mangangalakal sa paghahanap para sa "holy grail" ng stock trading. Sa halip, maaari niyang simulan ang pagsubok sa kanyang paraan ng pangangalakal, alamin kung paano lohikal na tama ang pamamaraang ito, kung nagbibigay ito ng mga positibong inaasahan. Ang mga wastong paraan ng pamamahala ng pera na inilapat sa alinman, kahit na napakapangkaraniwan na mga pamamaraan ng pangangalakal, ay gagawa ng natitirang gawain.

Ang sinumang mangangalakal para sa tagumpay sa kanilang trabaho ay kailangang lutasin ang tatlong pinakamahalagang gawain: . Upang matiyak na ang bilang ng mga matagumpay na transaksyon ay lumampas sa hindi maiiwasang mga pagkakamali at maling kalkulasyon; I-set up ang iyong trading system upang ang pagkakataong kumita ng pera ay madalas hangga't maaari; Makamit ang isang matatag na positibong resulta ng iyong mga operasyon.

At dito, para sa amin, mga nagtatrabahong mangangalakal, ang mathematical expectation ay maaaring magbigay ng magandang tulong. Ang terminong ito sa teorya ng posibilidad ay isa sa mga susi. Gamit ito, maaari kang magbigay ng isang average na pagtatantya ng ilang random na halaga. Ang pag-asa sa matematika ng isang random na variable ay tulad ng sentro ng grabidad, kung akala natin ang lahat ng posibleng probabilidad bilang mga puntos na may iba't ibang masa.

Kaugnay ng isang diskarte sa pangangalakal, upang suriin ang pagiging epektibo nito, ang matematikal na pag-asa ng tubo (o pagkalugi) ay kadalasang ginagamit. Ang parameter na ito ay tinukoy bilang ang kabuuan ng mga produkto ng mga ibinigay na antas ng kita at pagkawala at ang posibilidad ng paglitaw ng mga ito. Halimbawa, ipinapalagay ng binuong diskarte sa pangangalakal na 37% ng lahat ng operasyon ay magdadala ng tubo, at ang natitira - 63% - ay hindi kumikita. Kasabay nito, ang average na kita mula sa isang matagumpay na transaksyon ay magiging $7, at ang average na pagkawala ay magiging $1.4. Kalkulahin natin ang mathematical na inaasahan ng pangangalakal gamit ang sumusunod na sistema:

Ano ang binigay na numero? Sinasabi nito na, sa pagsunod sa mga patakaran ng sistemang ito, sa karaniwan, makakatanggap kami ng 1.708 dolyar mula sa bawat saradong transaksyon. Dahil ang resultang pagtatantya ng kahusayan ay mas malaki kaysa sa zero, maaaring gamitin ang naturang sistema totoong trabaho. Kung, bilang isang resulta ng pagkalkula, ang pag-asa sa matematika ay lumalabas na negatibo, kung gayon ito ay nagpapahiwatig ng isang average na pagkalugi at ang naturang kalakalan ay hahantong sa pagkasira.

Ang halaga ng tubo sa bawat kalakalan ay maaari ding ipahayag bilang isang kamag-anak na halaga sa anyo ng %. Halimbawa:

– porsyento ng kita sa bawat 1 transaksyon - 5%;

– porsyento ng matagumpay na operasyon ng kalakalan - 62%;

– porsyento ng pagkawala sa bawat 1 kalakalan - 3%;

- ang porsyento ng mga hindi matagumpay na transaksyon - 38%;

Ibig sabihin, ang karaniwang transaksyon ay magdadala ng 1.96%.

Posibleng bumuo ng isang sistema na, sa kabila ng nangingibabaw na mga pagkatalo, ay magbibigay ng positibong resulta, dahil ang MO>0 nito.

Gayunpaman, hindi sapat ang paghihintay nang mag-isa. Mahirap kumita ng pera kung ang sistema ay nagbibigay ng napakakaunting mga signal ng kalakalan. Sa kasong ito, ang kakayahang kumita nito ay maihahambing sa interes ng bangko. Ipagpalagay na ang bawat transaksyon ay katamtaman lamang ng 0.5 dolyar, ngunit paano kung ang sistema ay nag-assume ng 1000 mga transaksyon bawat taon? Ito ay magiging isang napakaseryosong halaga sa medyo maikling panahon. Ito ay sumusunod na lohikal mula dito na ang isa pa tanda maaaring isaalang-alang ang isang mahusay na sistema ng kalakalan panandalian may hawak na mga posisyon.

Mga mapagkukunan at link

dic.academic.ru - akademikong online na diksyunaryo

mathematics.ru - pang-edukasyon na site sa matematika

Ang nsu.ru ay isang pang-edukasyon na website ng Novosibirsk Pambansang Unibersidad

Ang webmath.ru ay isang portal na pang-edukasyon para sa mga mag-aaral, aplikante at mga mag-aaral.

exponenta.ru website na pang-edukasyon sa matematika

en.tradimo.com - libre online na paaralan pangangalakal

crypto.hut2.ru - multidisciplinary na mapagkukunan ng impormasyon

poker-wiki.ru - libreng encyclopedia ng poker

sernam.ru - Scientific library ng mga piling publikasyong natural science

reshim.su - website SOLVE gawain kontrol coursework

unfx.ru – Forex sa UNFX: edukasyon, mga signal ng kalakalan, pamamahala ng tiwala

slovopedia.com - Malaki encyclopedic Dictionary Slovopedia

pokermansion.3dn.ru - Ang iyong gabay sa mundo ng poker

statanaliz.info – blog na nagbibigay-kaalaman « Pagsusuri ng istatistika data"

forex-trader.rf - portal ng Forex-Trader

megafx.ru - up-to-date na Forex analytics

fx-by.com - lahat para sa isang mangangalakal

Ang pangangailangang tantyahin ang inaasahan sa matematika batay sa mga resulta ng pagsusulit ay lumilitaw sa mga problema kung saan ang resulta ng eksperimento ay inilalarawan ng isang random na variable at ang tagapagpahiwatig ng kalidad ng bagay na pinag-aaralan ay itinuturing na matematikal na inaasahan ng random variable na ito. Halimbawa, ang mathematical expectation ng uptime ng isang system ay maaaring kunin bilang reliability indicator, at kapag sinusuri ang kahusayan ng produksyon, ang mathematical expectation ng bilang ng magagandang produkto, atbp.

Ang problema sa pagtantya ng inaasahan sa matematika ay binabalangkas tulad ng sumusunod. Ipagpalagay na upang matukoy ang hindi kilalang halaga ng random variable X, ito ay dapat na gumawa ng n independyente at libre mula sa mga sistematikong pagsukat ng mga error. X v X 2 ,..., X p. Kinakailangang piliin ang pinakamahusay na pagtatantya ng inaasahan sa matematika.

Ang pinakamahusay at pinakakaraniwang pagtatantya ng inaasahan sa matematika sa pagsasanay ay ang arithmetic mean ng mga resulta ng pagsusulit

tinatawag din istatistika o sample ibig sabihin.

Ipakita natin na ang pagtatantya t x natutugunan ang lahat ng mga kinakailangan para sa pagsusuri ng anumang parameter.

1. Ito ay sumusunod mula sa pagpapahayag (5.10) na

ibig sabihin, puntos t "x- walang pinapanigan na pagtatantya.

2. Ayon sa Chebyshev theorem, ang arithmetic mean ng mga resulta ng pagsubok ay nagtatagpo sa probabilidad sa mathematical expectation, i.e.

Dahil dito, ang pagtatantya (5.10) ay isang pare-parehong pagtatantya ng inaasahan.

3. Pagkakaiba-iba ng pagtatantya t x, pantay

Habang lumalaki ang laki ng sample, ang n ay bumababa nang walang katiyakan. Ito ay pinatunayan na kung ang isang random na variable X ay napapailalim sa normal na batas sa pamamahagi, kung gayon para sa alinman P ang pagkakaiba (5.11) ang magiging pinakamababang posible, at ang pagtatantya t x- epektibong pagtatantya ng inaasahan sa matematika. Ang pag-alam sa pagkakaiba-iba ng pagtatantya ay ginagawang posible na gumawa ng paghatol tungkol sa katumpakan ng pagtukoy sa hindi kilalang halaga ng inaasahan sa matematika gamit ang pagtatantya na ito.

Bilang pagtatantya ng inaasahan sa matematika, ang arithmetic mean ay ginagamit kung ang mga resulta ng pagsukat ay pantay na tumpak (variances D, i = 1, 2, ..., P ay pareho sa bawat dimensyon). Gayunpaman, sa pagsasagawa, ang isang tao ay kailangang harapin ang mga gawain kung saan ang mga resulta ng pagsukat ay hindi pantay (halimbawa, sa panahon ng pagsubok, ang mga pagsukat ay ginawa ng iba't ibang mga instrumento). Sa kasong ito, ang pagtatantya para sa inaasahan sa matematika ay may anyo

saan ay ang bigat ng i-th na pagsukat.

Sa formula (5.12), ang resulta ng bawat pagsukat ay kasama sa sarili nitong timbang MULA SA.. Samakatuwid, ang pagsusuri ng mga resulta ng pagsukat t x tinawag weighted average.

Maipapakita na ang pagtatantya (5.12) ay isang walang kinikilingan, pare-pareho, at mahusay na pagtatantya ng inaasahan. Ang pinakamababang pagkakaiba ng pagtatantya ay ibinibigay ng

Kapag nagsasagawa ng mga eksperimento sa mga modelo ng computer, ang mga katulad na problema ay lumitaw kapag ang mga pagtatantya ay natagpuan mula sa mga resulta ng ilang serye ng mga pagsubok at ang bilang ng mga pagsubok sa bawat serye ay naiiba. Halimbawa, dalawang serye ng mga pagsubok ang isinagawa na may dami p 1 at n 2 , ayon sa mga resulta kung saan ang mga pagtatantya t xi at t x _. Upang mapabuti ang katumpakan at pagiging maaasahan ng pagtukoy ng inaasahan sa matematika, ang mga resulta ng mga serye ng mga pagsubok na ito ay pinagsama. Upang gawin ito, gamitin ang expression (5.12)

Kapag kinakalkula ang mga coefficient C, sa halip na ang mga pagkakaiba-iba D, ang kanilang mga pagtatantya na nakuha mula sa mga resulta ng pagsubok sa bawat serye ay pinapalitan.

Ang isang katulad na diskarte ay ginagamit din sa pagtukoy ng posibilidad ng isang random na kaganapan na nagaganap batay sa mga resulta ng isang serye ng mga pagsubok.

Upang matantya ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable X, bilang karagdagan sa sample mean, maaaring gumamit ng iba pang mga istatistika. Kadalasan, ginagamit ang mga miyembro para sa layuning ito. serye ng pagkakaiba-iba, ibig sabihin, mga istatistika ng order , batay sa kung aling mga pagtatantya ang binuo,

na nagbibigay-kasiyahan sa pangunahing mga kinakailangan, lalo na ang pagkakapare-pareho at walang kinikilingan.

Ipagpalagay na naglalaman ang serye ng variation n = 2k mga miyembro. Pagkatapos, ang alinman sa mga average ay maaaring kunin bilang isang pagtatantya ng inaasahan sa matematika:

Kung saan sa-e karaniwan

ay walang iba kundi ang istatistikal na median ng distribusyon ng random variable X, dahil ang halatang pagkakapantay-pantay ay nagaganap

Ang bentahe ng istatistikal na median ay ito ay libre mula sa impluwensya ng mga maanomalyang obserbasyon, na hindi maiiwasan kapag ginagamit ang unang average, iyon ay, ang average ng pinakamaliit at pinakamalaking bilang ng mga serye ng pagkakaiba-iba.

Na may kakaibang laki ng sample P = 2k- 1 statistical median ang nito gitnang elemento, ibig sabihin. sa-ika-miyembro ng variation series Ako = x k.

May mga distribusyon kung saan ang arithmetic mean ay hindi isang epektibong pagtatantya ng inaasahan sa matematika, halimbawa, ang Laplace distribution. Maipapakita na para sa pamamahagi ng Laplace, ang epektibong pagtatantya ng mean ay ang sample median.

Napatunayan na kung ang isang random na variable X ay may normal na distribusyon, pagkatapos ay may sapat na malaking sukat ng sample, ang batas ng pamamahagi ng istatistikal na median ay malapit sa normal na may mga numerical na katangian.

Mula sa paghahambing ng mga pormula (5.11) at (5.14) sumusunod na ang dispersion ng statistical median ay 1.57 beses na mas malaki kaysa sa dispersion ng arithmetic mean. Samakatuwid, ang arithmetic mean bilang isang pagtatantya ng inaasahan sa matematika ay mas epektibo kaysa sa statistical median. Gayunpaman, dahil sa pagiging simple ng mga kalkulasyon, insensitivity sa mga maanomalyang resulta ng pagsukat ("kontaminasyon" ng sample), sa pagsasagawa, ang statistical median ay gayunpaman ay ginagamit bilang isang pagtatantya ng inaasahan sa matematika.

Dapat pansinin na para sa tuluy-tuloy na simetriko na distribusyon, ang mean at ang median ay pareho. Samakatuwid, ang istatistikal na median ay maaaring magsilbi bilang isang mahusay na pagtatantya ng inaasahan sa matematika para lamang sa isang simetriko na pamamahagi ng random na variable.

Para sa mga skewed distribution, ang statistical median Ako ay may makabuluhang bias na nauugnay sa inaasahan sa matematika, samakatuwid, ito ay hindi angkop para sa pagtatantya nito.

Mga parameter at istatistika ng pamamahagi

Anumang mga parameter ng pamamahagi ng isang random na variable, halimbawa, tulad ng inaasahan sa matematika o pagpapakalat, ay mga teoretikal na halaga na hindi direktang nasusukat, bagama't maaari silang matantya. Ang mga ito ay quantitative populasyon at maaari lamang matukoy ng kanilang mga sarili sa kurso ng teoretikal na pagmomolde bilang mga hypothetical na halaga, dahil inilalarawan nila ang mga tampok ng pamamahagi ng isang random na variable sa pangkalahatang populasyon mismo. Upang matukoy ang mga ito sa pagsasanay, ang mananaliksik na nagsasagawa ng eksperimento ay nagsasagawa ng kanilang piling pagsusuri. Ang nasabing pagtatasa ay nagsasangkot ng isang istatistikal na pagkalkula.

Mga istatistika ay kumakatawan sa isang quantitative na katangian ng mga pinag-aralan na parameter na nagpapakilala sa pamamahagi ng isang random na variable, na nakuha sa batayan ng isang pag-aaral ng mga sample na halaga. Ginagamit ang mga istatistika upang ilarawan ang sample mismo, o, na pinakamahalaga sa pangunahing pang-eksperimentong pag-aaral, upang matantya ang mga parameter ng pamamahagi ng isang random na variable sa pinag-aralan na pangkalahatang populasyon.

Paghihiwalay ng mga konsepto "parameter" at "mga istatistika" ay napakahalaga, dahil pinapayagan nito ang pag-iwas sa ilang mga error na nauugnay sa maling interpretasyon ng data na nakuha sa eksperimento. Ang katotohanan ay kapag tinantya namin ang mga parameter ng pamamahagi gamit ang istatistikal na data, nakakakuha kami ng mga halaga na malapit lamang sa tinantyang mga parameter. Halos palaging may ilang pagkakaiba sa pagitan ng mga parameter at istatistika, at karaniwan ay hindi namin masasabi kung gaano kalaki ang pagkakaibang ito. Sa teoryang, mas malaki ang sample, mas malapit ang tinantyang mga parameter sa kanilang mga katangian ng sample. Gayunpaman, hindi ito nangangahulugan na sa pamamagitan ng pagtaas ng laki ng sample, hindi maiiwasang lalapit tayo sa tinantyang parameter, bawasan ang pagkakaiba sa pagitan nito at ng mga nakalkulang istatistika. Sa pagsasagawa, ang mga bagay ay maaaring maging mas kumplikado.

Kung sa teorya ang inaasahang halaga ng istatistika ay tumutugma sa tinantyang parameter, kung gayon ang naturang pagtatantya ay tinatawag walang pinapanigan. Tinatawag ang isang pagtatantya kung saan ang inaasahang halaga ng tinantyang parameter ay naiiba sa mismong parameter sa ilang halaga displaced.

Kinakailangan din na makilala ang pagitan ng mga pagtatantya ng punto at pagitan ng mga parameter ng pamamahagi. may tuldok tinatawag na pagtatantya gamit ang ilang numero. Halimbawa, kung sasabihin namin na ang halaga ng spatial threshold ng tactile sensitivity para sa isang partikular na paksa sa ilalim ng mga partikular na kondisyon at sa isang partikular na lugar ng balat ay 21.8 mm, kung gayon ang naturang pagtatantya ay magiging isang pagtatantya ng punto. Katulad nito, nangyayari ang pagtatantya ng punto kapag sinabi sa amin ng ulat ng panahon na 25°C sa labas. Pagtatantya ng Pagitan nagsasangkot ng paggamit ng isang set o hanay ng mga numero sa pagsusuri. Ang pagtatasa sa spatial threshold ng tactile sensitivity, maaari nating sabihin na ito ay nasa saklaw mula 20 hanggang 25 mm. Katulad nito, maaaring iulat ng mga weather forecaster na ayon sa kanilang mga pagtataya, ang temperatura ng hangin ay aabot sa 22-24°C sa susunod na 24 na oras. Ang pagtatantya ng agwat ng isang random na variable ay nagbibigay-daan sa amin hindi lamang upang matukoy ang nais na halaga ng variable na ito, ngunit din upang itakda ang posibleng katumpakan para sa naturang pagtatantya.

Pag-asa sa matematika at pagsusuri nito

Balikan natin ang ating karanasan sa paghagis ng barya.

Subukan nating sagutin ang tanong: ilang beses dapat mahulog ang "agila" kung maghahagis tayo ng barya ng sampung beses? Ang sagot ay tila malinaw. Kung ang mga probabilidad ng bawat isa sa dalawang kinalabasan ay pantay, ang mga kinalabasan mismo ay dapat na pantay na ipamahagi. Sa madaling salita, kapag ang isang ordinaryong barya ay inihagis ng sampung beses, may karapatan tayong asahan na ang isa sa mga gilid nito, halimbawa, "mga ulo", ay mahuhulog nang eksaktong limang beses. Katulad nito, kapag ang isang barya ay inihagis ng 100 beses, ang mga ulo ay dapat mahulog nang eksakto ng 50 beses, at kung ang isang barya ay inihagis ng 4236 beses, kung gayon ang panig ng interes sa amin ay dapat na lumitaw ng 2118 beses, hindi hihigit at hindi bababa.

Kaya, ang teoretikal na halaga ng isang random na kaganapan ay karaniwang tinatawag inaasahan sa matematika. Ang inaasahan sa matematika ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpaparami ng teoretikal na posibilidad ng isang random na variable sa bilang ng mga pagsubok. Mas pormal, gayunpaman, ito ay tinukoy bilang isang sentral na sandali ng unang pagkakasunud-sunod. Kaya, ang matematikal na inaasahan ay ang halaga ng isang random na variable kung saan ito ay theoretically teoretikal sa panahon ng paulit-ulit na mga pagsubok, na may kaugnayan sa kung saan ito ay nag-iiba.

Malinaw na ang teoretikal na halaga ng inaasahan sa matematika bilang isang parameter ng pamamahagi ay hindi palaging katumbas ng empirikal na halaga random variable ng interes sa amin, na ipinahayag sa mga istatistika. Kung gagawa tayo ng eksperimento sa coin toss, malamang na sa sampung resulta, apat o tatlong beses lang lalabas ang mga ulo, o baka, sa kabaligtaran, lalabas ito ng walong beses, o maaaring hindi kailanman. Malinaw na ang ilan sa mga resultang ito ay mas malamang, ang ilan ay mas malamang. Kung gagamitin natin ang batas ng normal na pamamahagi, pagkatapos ay maaari nating tapusin na ang higit na resulta ay lumihis mula sa teoretikal na inaasahan, na ibinigay ng halaga ng inaasahan sa matematika, mas malamang na ito ay nasa pagsasanay.

Ipagpalagay pa na ginawa namin ang pamamaraang ito ng ilang beses at hindi kailanman naobserbahan ang theoretically inaasahang halaga. Kung magkagayon ay maaaring magkaroon tayo ng mga pagdududa tungkol sa pagiging tunay ng barya. Maaari naming ipagpalagay na ang aming barya ay hindi aktwal na may 50% na pagkakataon na magkaroon ng mga ulo. Sa kasong ito, maaaring kailanganin upang tantyahin ang posibilidad ng kaganapang ito at, nang naaayon, ang halaga ng inaasahan sa matematika. Ang ganitong pangangailangan ay lumitaw sa tuwing, sa isang eksperimento, sinisiyasat namin ang pamamahagi ng isang tuluy-tuloy na random na variable, tulad ng oras ng reaksyon, nang walang anumang teoretikal na modelo nang maaga. Bilang isang patakaran, ito ang unang obligadong hakbang sa kurso ng dami ng pagproseso ng mga resulta ng eksperimento.

Ang halaga ng inaasahan ay maaaring matantya sa tatlong paraan, na sa pagsasagawa ay maaaring magbigay ng bahagyang magkakaibang mga resulta, ngunit sa teorya ay tiyak na dapat tayong humantong sa halaga ng inaasahan sa matematika.

Ang lohika ng naturang pagtatasa ay inilalarawan sa Fig. 1.2. Ang inaasahan sa matematika ay maaaring ituring bilang isang sentral na ugali sa pamamahagi ng isang random na variable X, bilang ang pinaka-malamang at samakatuwid ay ang pinaka-madalas na halaga nito at bilang isang punto na naghahati sa pamamahagi sa dalawang pantay na bahagi.

kanin. 1.2.

Ipagpatuloy natin ang ating mga haka-haka na eksperimento gamit ang isang barya at magsagawa ng tatlong eksperimento na may sampung beses na paghagis ng barya. Ipagpalagay natin na sa unang eksperimento ang "agila" ay nahulog ng apat na beses, ang parehong bagay ay nangyari sa pangalawang eksperimento, sa ikatlong eksperimento ang "agila" ay nahulog ng higit sa isa at kalahating beses na mas madalas - pitong beses. Lohikal na ipagpalagay na ang matematikal na inaasahan ng kaganapan na interesado sa atin ay talagang nasa pagitan ng mga halagang ito.

Ang una, protozoan paraan ng pagtatasa mathematical expectation ay binubuo sa paghahanap ibig sabihin ng aritmetika. Pagkatapos ang pagtatantya ng inaasahang halaga batay sa tatlong sukat sa itaas ay magiging (4 + 4 + 7) / 3 = 5. Katulad nito, sa mga eksperimento na may oras ng reaksyon, ang inaasahang halaga ay maaaring matantya sa pamamagitan ng pagkalkula ng arithmetic mean ng lahat ng nakuhang halaga. X. Kaya kung gumastos tayo P mga sukat ng oras ng reaksyon X, pagkatapos ay maaari nating gamitin ang sumusunod na formula, na nagpapakita sa atin na upang kalkulahin ang arithmetic mean X kinakailangang magdagdag ng lahat ng mga empirikal na nakuhang halaga at hatiin ang mga ito sa bilang ng mga obserbasyon:

Sa formula (1.2), ang sukat ng inaasahan sa matematika ay karaniwang tinutukoy bilang ̅ X (basahin bilang "x na may linya"), bagama't kung minsan ay maaari itong tukuyin bilang M (mula sa English. ibig sabihin - karaniwan).

Ang arithmetic mean ay ang pinakakaraniwang ginagamit na pagtatantya ng inaasahan sa matematika. Sa ganitong mga kaso, ipinapalagay na ang pagsukat ng isang random na variable ay isinasagawa sa panukat sukat. Malinaw na ang resulta na nakuha ay maaaring tumugma o hindi sa tunay na halaga ng inaasahan sa matematika, na hindi natin alam. Gayunpaman, mahalaga na ang pamamaraang ito ay walang pinapanigan pagtatantya ng inaasahan sa matematika. Nangangahulugan ito na ang inaasahang halaga ng tinantyang halaga ay katumbas ng inaasahan nitong matematika: .

Ang pangalawang paraan ng pagsusuri Ang inaasahan sa matematika ay kunin ang pinakamadalas na nagaganap na halaga ng variable ng interes sa amin bilang halaga nito. Ang halagang ito ay tinatawag paraan ng pamamahagi. Halimbawa, sa kaso na isinasaalang-alang lamang sa paghuhugas ng barya, ang "apat" ay maaaring kunin bilang halaga ng inaasahan sa matematika, dahil sa tatlong pagsubok na isinagawa ang halagang ito ay lumitaw nang dalawang beses; kaya naman ang distribution mode sa kasong ito ay naging katumbas ng apat. Pangunahing ginagamit ang pagtatantya ng mode kapag ang eksperimento ay nakikitungo sa mga variable na kumukuha ng mga discrete value na ibinigay sa hindi panukat sukat.

Halimbawa, na naglalarawan sa pamamahagi ng mga marka ng mag-aaral sa isang pagsusulit, maaaring buuin ng isa pamamahagi ng dalas mga markang natanggap ng mga mag-aaral. Tinatawag itong frequency distribution histogram. Sa kasong ito, ang pinakakaraniwang pagtatantya ay maaaring kunin bilang ang halaga ng gitnang trend (pang-matematika na inaasahan). Sa pag-aaral ng mga variable na nailalarawan sa pamamagitan ng tuloy-tuloy na mga halaga, ang panukalang ito ay halos hindi ginagamit o bihirang ginagamit. Kung ang pamamahagi ng dalas ng mga nakuha na resulta ay gayunpaman ay itinayo, kung gayon, bilang isang patakaran, hindi ito nag-aalala sa mga halaga ng pinag-aralan na katangian na nakuha sa eksperimento, ngunit ang ilang mga agwat ng pagpapakita nito. Halimbawa, kapag sinusuri ang taas ng mga tao, makikita mo kung gaano karaming mga tao ang nahuhulog sa pagitan ng hanggang sa 150 cm ang taas, kung gaano karami ang nahulog sa pagitan mula 150 hanggang 155 cm, at iba pa. Sa kasong ito, ang mode ay maiuugnay sa mga halaga ng pagitan ng katangiang pinag-aaralan, sa kasong ito, paglago.

Malinaw na ang mode, tulad ng ibig sabihin ng aritmetika, ay maaaring tumugma o hindi sa aktwal na halaga ng inaasahan sa matematika. Ngunit tulad ng ibig sabihin ng aritmetika, ang mode ay isang walang pinapanigan na pagtatantya ng inaasahan sa matematika.

Idinagdag namin na kung ang dalawang mga halaga sa sample ay nangyayari nang pantay-pantay, kung gayon ang naturang pamamahagi ay tinatawag bimodal. Kung tatlo o higit pang mga halaga sa sample ang nangyayari nang pantay-pantay, kung gayon ang naturang sample ay sinasabing walang mode. Ang ganitong mga kaso na may sapat na malaking bilang ng mga obserbasyon, bilang panuntunan, ay nagpapahiwatig na ang data ay kinuha mula sa pangkalahatang populasyon, ang likas na katangian ng pamamahagi kung saan naiiba sa normal.

Sa wakas, ikatlong paraan ng pagsusuri Ang inaasahan sa matematika ay upang hatiin ang sample ng mga paksa ayon sa parameter ng interes sa amin nang eksakto sa kalahati. Ang halaga na nagpapakilala sa hangganang ito ay tinatawag panggitna pamamahagi.

Ipagpalagay na naroroon tayo sa isang kumpetisyon sa skiing at pagkatapos ng kanilang pagkumpleto gusto naming suriin kung alin sa mga atleta ang nagpakita ng resulta sa itaas ng average, at kung alin - sa ibaba. Kung ang komposisyon ng mga kalahok ay higit pa o mas kaunti, kung gayon kapag sinusuri ang average na resulta, lohikal na kalkulahin ang ibig sabihin ng aritmetika. Ipagpalagay, gayunpaman, na sa mga propesyonal na kalahok mayroong ilang mga amateurs. Hindi marami sa kanila, ngunit nagpapakita sila ng mga resulta na mas mababa kaysa sa iba. Sa kasong ito, maaaring lumabas na sa 100 kalahok sa kumpetisyon, halimbawa, 87 ang nagpakita ng resulta na mas mataas sa average. Malinaw na ang ganitong pagtatasa ng average na trend ay hindi palaging angkop sa amin. Sa kasong ito, lohikal na ipagpalagay na ang average na resulta ay ipinakita ng mga kalahok na kumuha sa isang lugar sa ika-50 o ika-51 na lugar. Ito ang magiging median ng pamamahagi. 49 na kalahok ang natapos bago ang 50th finalist, at 49 pagkatapos ng 51st. Siyempre, maaaring lumabas na natapos sila sa parehong oras. Tapos walang problema. Walang problema kahit na kakaiba ang bilang ng mga obserbasyon. Sa ibang mga kaso, gayunpaman, maaari mong gamitin ang pag-average ng mga resulta ng dalawang kalahok.

Ang median ay isang espesyal na kaso ng dami ng isang pamamahagi. dami ay bahagi ng pamamahagi. Sa pormal, maaari itong tukuyin bilang mahalagang halaga ng pamamahagi sa pagitan ng dalawang halaga ng variable x. Kaya, ang halaga X ang magiging median ng distribution kung ang integral value ng distribution (probability density) ay mula -∞ hanggang X ay katumbas ng integral value ng distribution mula sa X hanggang +∞. Katulad nito, ang pamamahagi ay maaaring hatiin sa apat, sampu o 100 bahagi. Ang nasabing mga quantile ay tinatawag na ayon sa pagkakabanggit quartile, decile at mga percentile. Mayroong iba pang mga uri ng quantiles.

Katulad ng dalawang naunang pamamaraan para sa pagtatantya ng mathematical na inaasahan, ang median ay isang walang pinapanigan na pagtatantya ng mathematical na inaasahan.

Sa teoryang, ipinapalagay na kung talagang nakikitungo tayo sa isang normal na distribusyon ng isang random na variable, ang lahat ng tatlong pagtatantya ng inaasahan sa matematika ay dapat magbigay ng parehong resulta, dahil lahat sila ay kumakatawan sa isang variant walang pinapanigan mga pagtatantya ng parehong parameter ng pamamahagi ng tinantyang random variable (tingnan ang Fig. 1.2). Gayunpaman, sa pagsasagawa, ito ay bihirang mangyari. Ito ay maaaring dahil, sa partikular, sa katotohanan na ang nasuri na pamamahagi ay naiiba mula sa normal. Ngunit ang pangunahing dahilan para sa gayong mga pagkakaiba, bilang panuntunan, ay, sa pamamagitan ng pagtatantya ng halaga ng inaasahan sa matematika, ang isa ay makakakuha ng isang halaga na lubhang naiiba sa tunay na halaga nito. Gayunpaman, tulad ng nabanggit sa itaas, napatunayan sa mga istatistika ng matematika na ang mas maraming independiyenteng mga pagsubok ng variable na isinasaalang-alang ay isinasagawa, mas malapit ang tinantyang halaga sa totoo.

Kaya, sa pagsasagawa, ang pagpili ng isang paraan para sa pagtantya ng inaasahan sa matematika ay natutukoy hindi sa pamamagitan ng pagnanais na makakuha ng isang mas tumpak at maaasahang pagtatantya ng parameter na ito, ngunit sa pamamagitan lamang ng mga pagsasaalang-alang ng kaginhawahan. Gayundin, ang isang tiyak na papel sa pagpili ng paraan para sa pagtantya ng inaasahan sa matematika ay nilalaro ng sukatan ng pagsukat, na sumasalamin sa mga obserbasyon ng tinantyang random variable.