Derivative ayon sa online lopital rule. Paglutas ng mga Limitasyon Online
Tutulungan ka ng online na calculator ng matematika na ito kung kailangan mo kalkulahin ang limitasyon ng pag-andar. Programa limitahan ang mga solusyon hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ito ay humahantong detalyadong solusyon na may mga paliwanag, ibig sabihin. ipinapakita ang progreso ng pagkalkula ng limitasyon.
Ang programang ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school pangkalahatang edukasyon na mga paaralan sa paghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag pagsubok ng kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang upang kontrolin ang solusyon ng maraming mga problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin math o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.
Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.
Magpasok ng expression ng functionKalkulahin ang Limitasyon
Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.
Dapat paganahin ang JavaScript para lumabas ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.
kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...
kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.
Ang aming mga laro, puzzle, emulator:
Medyo teorya.
Ang limitasyon ng function sa x-> x 0
Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa ilang set X at hayaan ang puntong \(x_0 \in X \) o \(x_0 \notin X \)
Kumuha mula sa X ng isang pagkakasunud-sunod ng mga puntos maliban sa x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
nagtatagpo sa x*. Ang mga halaga ng pag-andar sa mga punto ng sequence na ito ay bumubuo rin ng isang numerical sequence
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
at maaaring ibigay ng isa ang tanong ng pagkakaroon ng limitasyon nito.
Kahulugan. Ang numero A ay tinatawag na limitasyon ng function na f (x) sa puntong x \u003d x 0 (o sa x -> x 0), kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (1) ng mga halaga ng argumento x na nagko-converge sa x 0, naiiba sa x 0, ang katumbas na sequence (2) ng mga value ay nag-uugnay sa numerong A.
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = Isang $$
Ang function na f(x) ay maaaring magkaroon lamang ng isang limitasyon sa puntong x 0. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang pagkakasunod-sunod
(f(x n)) ay may isang limitasyon lamang.
May isa pang kahulugan ng limitasyon ng isang function.
Kahulugan Ang numero A ay tinatawag na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x = x 0 kung para sa anumang numero \(\varepsilon > 0 \) mayroong isang numerong \(\delta > 0 \) para sa lahat ng \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay \(|x-x_0| Gamit ang mga lohikal na simbolo, ang kahulugang ito ay maaaring isulat bilang
\((\forall \varepsilon > 0) (\umiiral \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Tandaan na ang mga hindi pagkakapantay-pantay \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Ang unang kahulugan ay batay sa konsepto ng limitasyon ng isang numeric sequence, kaya madalas itong tinatawag na "sequence language" definition. Ang pangalawang kahulugan ay tinatawag na "\(\varepsilon - \delta \)" kahulugan.
Ang dalawang kahulugan ng limitasyon ng isang function ay katumbas, at maaari mong gamitin ang alinman sa mga ito, depende sa kung alin ang mas maginhawa para sa paglutas ng isang partikular na problema.
Tandaan na ang kahulugan ng limitasyon ng isang function "sa wika ng mga sequence" ay tinatawag ding kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon kay Heine, at ang kahulugan ng limitasyon ng isang function "sa wika \(\varepsilon - \delta \)" ay tinatawag ding kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy.
Limitasyon sa paggana sa x->x 0 - at sa x->x 0 +
Sa mga sumusunod, gagamitin namin ang mga konsepto ng mga one-sided na limitasyon ng isang function, na tinukoy bilang mga sumusunod.
Kahulugan Ang numerong A ay tinatawag na kanang (kaliwa) na limitasyon ng function na f (x) sa puntong x 0 kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (1) na nagtatagpo sa x 0, na ang mga elementong xn ay mas malaki (mas mababa) kaysa sa x 0 , ang kaukulang sequence (2) nagtatagpo sa A.
Symbolically ito ay nakasulat tulad nito:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$
Ang isa ay maaaring magbigay ng katumbas na kahulugan ng isang panig na mga limitasyon ng isang function "sa wikang \(\varepsilon - \delta \)":
Kahulugan ang numerong A ay tinatawag na kanan (kaliwa) na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x 0 kung para sa alinmang \(\varepsilon > 0 \) mayroong \(\delta > 0 \) na para sa lahat ng x na kasiya-siya ang mga hindi pagkakapantay-pantay \(x_0 Symbolic entries:
Isipin ang isang kawan ng mga maya na may nakaumbok na mga mata. Hindi, hindi ito kulog, hindi bagyo, at hindi kahit isang batang lalaki na may tirador sa kanyang mga kamay. Kaya lang, isang napakalaking kanyon na bola ang lumilipad sa kakapalan ng mga sisiw. Eksakto lopital rules harapin ang mga limitasyon kung saan walang katiyakan o .
Ang mga patakaran ng L'Hopital ay isang napakalakas na paraan na nagbibigay-daan sa iyong mabilis at epektibong maalis ang mga kawalan ng katiyakan na ito, hindi nagkataon na sa mga koleksyon ng mga problema, sa kontrol sa trabaho, mga offset, madalas na matatagpuan ang isang matatag na selyo: "kalkulahin ang limitasyon, nang hindi gumagamit ng panuntunan ng L'Hopital". Ang pangangailangan sa naka-bold na uri ay maaaring maiugnay nang may malinis na budhi sa anumang limitasyon ng mga aralin Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon, Kapansin-pansin na mga Limitasyon. Limitahan ang Mga Paraan ng Paglutas, Mga Kahanga-hangang Pagtutumbas, kung saan nangyayari ang kawalan ng katiyakan na "zero to zero" o "infinity to infinity." Kahit na ang gawain ay nabalangkas sa madaling sabi - "kalkulahin ang mga limitasyon", kung gayon ito ay tahasang nauunawaan na gagamitin mo ang anumang gusto mo, ngunit hindi ang mga patakaran ng L'Hospital.
Mayroong dalawang tuntunin sa kabuuan, at halos magkapareho ang mga ito sa isa't isa, sa esensya at sa paraan ng paglalapat ng mga ito. Bilang karagdagan sa mga direktang halimbawa sa paksa, pag-aaralan din namin ang karagdagang materyal na magiging kapaki-pakinabang sa kurso ng karagdagang pag-aaral ng pagsusuri sa matematika.
Magsasagawa ako kaagad ng reserbasyon na ang mga patakaran ay ibibigay sa isang maigsi na "praktikal" na anyo, at kung kailangan mong ipasa ang teorya, inirerekomenda kong bumaling ka sa aklat-aralin para sa mas mahigpit na mga kalkulasyon.
Unang Panuntunan ng L'Hospital
Isaalang-alang ang mga function na walang katapusang maliit sa isang punto. Kung may limitasyon ang kanilang relasyon, kung gayon upang maalis ang kawalan ng katiyakan, maaari nating kunin dalawa derivatives- mula sa numerator at mula sa denominator. kung saan: 
, ibig sabihin.
Tandaan : ang limitasyon ay dapat ding umiiral, kung hindi, ang panuntunan ay hindi nalalapat.
Ano ang sumusunod mula sa itaas?
Una, kailangan mong mahanap derivatives ng mga function At mas mabuti, mas mabuti =)
Pangalawa, ang mga derivatives ay kinukuha ng HIWALAY mula sa numerator at HIWALAY mula sa denominator. Mangyaring huwag malito ang tuntunin ng pagkita ng kaibhan ng quotient 
!!!
At, pangatlo, ang "x" ay maaaring tumungo kahit saan, kabilang ang hanggang sa kawalang-hanggan - kung mayroon lamang kawalan ng katiyakan.
Bumalik tayo sa Halimbawa 5 ng unang artikulo tungkol sa mga limitasyon, na nagdulot ng sumusunod na resulta: 
Sa kawalan ng katiyakan 0:0, inilalapat namin ang unang panuntunan ng L'Hospital:
Tulad ng nakikita mo, ang pagkita ng kaibahan ng numerator at denominator ay humantong sa amin sa sagot na may kalahating pagliko: nakakita kami ng dalawang simpleng derivatives, pinalitan ang "dalawa" sa kanila, at lumabas na ang kawalan ng katiyakan ay nawala nang walang bakas!
Hindi karaniwan kapag ang mga tuntunin ng L'Hopital ay kailangang magkasunod na ilapat dalawa o malaking dami beses (nalalapat din ito sa pangalawang panuntunan). Ilabas natin ito para sa isang retro evening Halimbawa 2 mga aralin tungkol sa mga kahanga-hangang limitasyon:
Dalawang bagel ang nanlamig muli sa bunk bed. Ilapat natin ang panuntunan ng L'Hospital: 
Pakitandaan na sa unang hakbang, ang denominator ay kinuha derivative ng isang kumplikadong function. Pagkatapos nito, nagsasagawa kami ng isang bilang ng mga intermediate na pagpapasimple, lalo na, inaalis namin ang cosine, na nagpapahiwatig na ito ay may posibilidad na pagkakaisa. Ang kawalan ng katiyakan ay hindi naalis, kaya muli naming inilapat ang panuntunan ng L'Hopital (pangalawang linya).
Partikular kong pinili ang hindi ang pinakamadaling halimbawa upang makagawa ka ng kaunting self-testing. Kung hindi ito lubos na malinaw kung paano sila natagpuan derivatives, dapat mong palakasin ang iyong diskarte sa pagkita ng kaibhan, kung hindi mo naiintindihan ang cosine trick, mangyaring bumalik sa kahanga-hangang mga limitasyon. Wala akong masyadong nakikitang punto sa sunud-sunod na mga komento, dahil napag-usapan ko na ang tungkol sa mga derivatives at limitasyon sa sapat na detalye. Ang bagong bagay ng artikulo ay nakasalalay sa mga patakaran mismo at ilang mga teknikal na solusyon.
Tulad ng nabanggit na, sa karamihan ng mga kaso ang mga patakaran ng L'Hopital ay hindi kailangang gamitin, ngunit madalas na ipinapayong gamitin ang mga ito para sa isang magaspang na pagsusuri ng solusyon. Madalas, pero hindi palagi. Kaya, halimbawa, ito ay mas kumikita upang suriin ang halimbawa na isinasaalang-alang lamang na gamitin kahanga-hangang pagkakapareho.
Ang pangalawang tuntunin ng L'Hospital
Si Brother-2 ay nakikipaglaban sa dalawang natutulog na walo. Katulad nito:
Kung may limitasyon sa relasyon walang hanggan malaki sa function point: , pagkatapos ay upang maalis ang kawalan ng katiyakan, maaari naming gawin dalawang derivatives– HIWALAY mula sa numerator at HIWALAY mula sa denominator. kung saan: 
, ibig sabihin kapag iniiba ang numerator at denominator, ang halaga ng limitasyon ay hindi nagbabago.
Tandaan : dapat umiral ang limitasyon
Muli, sa iba't ibang praktikal na halimbawa maaaring magkaiba ang halaga, kabilang ang walang katapusan. Mahalaga na mayroong kawalan ng katiyakan.
Suriin natin ang Halimbawa #3 ng unang aralin: 
. Ginagamit namin ang pangalawang panuntunan ng L'Hospital:
Dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga higante, suriin natin ang dalawang kanonikal na limitasyon:
Halimbawa 1
Kalkulahin ang Limitasyon
Hindi madaling makakuha ng sagot sa pamamagitan ng "ordinaryong" pamamaraan, samakatuwid, upang ipakita ang kawalan ng katiyakan "infinity to infinity", ginagamit namin ang L'Hopital rule: 
Sa ganitong paraan, isang linear function ng isang mas mataas na pagkakasunud-sunod ng paglago kaysa sa isang logarithm na may base na mas malaki kaysa sa isa(atbp.). Siyempre, ang "x" sa mas matataas na kapangyarihan ay "huhila" din ng mga logarithms. Sa katunayan, ang pag-andar ay lumalaki nang mabagal at nito iskedyul ay mas banayad na nauugnay sa parehong "x".
Halimbawa 2
Kalkulahin ang Limitasyon
Isa pang kupas na frame. Upang maalis ang kawalan ng katiyakan, ginagamit namin ang panuntunang L'Hopital, bukod pa rito, dalawang beses sa isang hilera:
Isang exponential function, na may base na mas malaki sa isa(atbp.) mas mataas na pagkakasunud-sunod ng paglago kaysa function ng kapangyarihan na may positibong antas.
Ang mga katulad na limitasyon ay nararanasan habang full function study, ibig sabihin, kapag naghahanap asymptote ng mga graph. Nakikita rin ang mga ito sa ilang mga gawain sa teorya ng posibilidad. Ipinapayo ko sa iyo na tandaan ang dalawang halimbawa na isinasaalang-alang, ito ay isa sa ilang mga kaso kung saan walang mas mahusay kaysa sa pagkakaiba-iba ng numerator at denominator.
Dagdag pa sa teksto, hindi ko kikilalanin ang una at pangalawang tuntunin ng L'Hopital, ito ay ginawa lamang para sa layunin ng pagbubuo ng artikulo. Sa pangkalahatan, mula sa aking pananaw, ito ay medyo nakakapinsala sa mga over-number mathematical axioms, theorems, rules, properties, dahil ang mga parirala tulad ng "ayon sa Corollary 3 ayon sa Theorem 19 ..." ay nagbibigay-kaalaman lamang sa loob ng balangkas ng isa. o ibang aklat-aralin. Sa isa pang mapagkukunan ng impormasyon, pareho ang magiging "corollary 2 at theorem 3". Ang ganitong mga pahayag ay pormal at maginhawa para lamang sa mga may-akda mismo. Sa isip, ito ay mas mahusay na sumangguni sa kakanyahan ng isang matematikal na katotohanan. Ang pagbubukod ay mga terminong itinatag sa kasaysayan, halimbawa, unang kahanga-hangang limitasyon o pangalawang kahanga-hangang limitasyon.
Patuloy naming binuo ang paksa, na ibinato sa amin ng miyembro ng Paris Academy of Sciences, si Marquis Guillaume Francois de Lopital. Ang artikulo ay nakakakuha ng isang binibigkas na praktikal na pangkulay at sa isang medyo karaniwang gawain ito ay kinakailangan:
Upang magpainit, harapin natin ang ilang maliliit na maya:
Halimbawa 3
Ang limitasyon ay maaaring paunang pasimplehin sa pamamagitan ng pag-alis ng cosine, ngunit ipapakita namin ang paggalang sa kundisyon at agad naming iibahin ang numerator at denominator: 
Sa mismong proseso ng paghahanap ng mga derivatives, walang hindi pamantayan, halimbawa, ang karaniwang denominator ay ginagamit tuntunin sa pagkakaiba-iba gumagana 
.
Ang itinuturing na halimbawa ay nawasak at sa pamamagitan ng kahanga-hangang mga limitasyon, ang isang katulad na kaso ay tinalakay sa dulo ng artikulo Mga kumplikadong limitasyon.
Halimbawa 4
Kalkulahin ang limitasyon ayon sa tuntunin ng L'Hopital 
Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon. Magandang biro =)
Ang isang tipikal na sitwasyon ay kapag, pagkatapos ng pagkita ng kaibhan, ang tatlo o apat na palapag na fraction ay nakuha:
Halimbawa 5
Kalkulahin ang limitasyon gamit ang panuntunan ng L'Hospital
Pagmamakaawa para sa aplikasyon kapansin-pansing pagkakapareho, ngunit ang path ay hard-coded sa pamamagitan ng kundisyon:
Pagkatapos ng pagkita ng kaibhan, lubos kong inirerekumenda na alisin ang multi-storey fraction at magsagawa ng pinakamataas na pagpapasimple. Siyempre, maaaring laktawan ng mas advanced na mga mag-aaral ang huling hakbang at agad na isulat: 
, ngunit sa ilang mga limitasyon maging ang mahuhusay na mag-aaral ay malito.
Halimbawa 6
Kalkulahin ang limitasyon gamit ang panuntunan ng L'Hospital
Halimbawa 7
Kalkulahin ang limitasyon gamit ang panuntunan ng L'Hospital
Ito ay mga halimbawa ng tulong sa sarili. Sa Halimbawa 7, hindi mo maaaring pasimplehin ang anuman, ito ay naging napakasimple pagkatapos ng pagkakaiba ng fraction. Ngunit sa Halimbawa 8, pagkatapos ilapat ang panuntunan ng L'Hopital, lubos na kanais-nais na alisin ang tatlong-kuwento na istraktura, dahil ang mga kalkulasyon ay hindi magiging pinaka maginhawa. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Kung mayroon kang anumang mga problema - trigonometriko talahanayan para tumulong.
At, ang mga pagpapasimple ay talagang kinakailangan kapag, pagkatapos ng pagkita ng kaibhan, ang kawalan ng katiyakan hindi inalis.
Halimbawa 8
Kalkulahin ang limitasyon gamit ang panuntunan ng L'Hospital
Pumunta: 
Kapansin-pansin, ang paunang kawalan ng katiyakan pagkatapos ng unang pagkakaiba ay naging kawalan ng katiyakan , at ang panuntunan ng L'Hôpital ay inilapat nang higit pa. Pansinin din kung paano pagkatapos ng bawat "diskarte" ang apat na palapag na bahagi ay inaalis, at ang mga constant ay inaalis sa limit sign. Sa mas maraming mga simpleng halimbawa mas maginhawang huwag kumuha ng mga constant, ngunit kapag ang limitasyon ay kumplikado, pinapasimple namin ang lahat-lahat-lahat. Ang insidiousness ng nalutas na halimbawa ay nakasalalay din sa katotohanan na kapag 
, ngunit, samakatuwid, sa kurso ng pag-aalis ng mga sinus, hindi nakakagulat na malito sa mga palatandaan. Sa penultimate line, ang mga sinus ay hindi maaaring patayin, ngunit ang halimbawa ay medyo mabigat, mapapatawad.
Noong isang araw ay nakatagpo ako ng isang kawili-wiling gawain:
Halimbawa 9
Sa totoo lang, medyo nag-alinlangan ako kung ano ang magiging katumbas ng limitasyong ito. Tulad ng ipinakita sa itaas, ang "x" ay isang mas mataas na pagkakasunud-sunod ng paglago kaysa sa logarithm, ngunit ito ba ay "mahigitan" sa cubed logarithm? Subukan mong alamin para sa iyong sarili kung sino ang mananalo.
Oo, ang mga patakaran ng L'Hopital ay hindi lamang pagbaril sa mga maya mula sa isang kanyon, kundi pati na rin ang maingat na trabaho ....
Upang mailapat ang mga panuntunan ng L'Hôpital sa mga bagel o pagod na walo, ang mga kawalan ng katiyakan ng form ay nababawasan.
Ang pagharap sa kawalan ng katiyakan ay tinalakay nang detalyado sa Mga Halimbawa #9-13 ng aralin. Limitahan ang Mga Paraan ng Paglutas. Kumuha tayo ng isa pa para lang dito:
Halimbawa 10
Kalkulahin ang limitasyon ng isang function gamit ang panuntunan ng L'Hopital 
Sa unang hakbang, dinadala namin ang expression sa isang karaniwang denominator, sa gayon ay binabago ang kawalan ng katiyakan sa kawalan ng katiyakan. At pagkatapos ay sinisingil namin ang panuntunan ng L'Hopital: 
Dito, sa pamamagitan ng paraan, ay ang kaso kapag ito ay walang kabuluhan upang hawakan ang apat na palapag na expression.
Hindi rin lumalaban ang kawalan ng katiyakan na maging o:
Halimbawa 11
Kalkulahin ang limitasyon ng isang function gamit ang panuntunan ng L'Hopital
Ang limitasyon dito ay isang panig, at ang mga naturang limitasyon ay tinalakay na sa manwal Mga graph at katangian ng mga function. Tulad ng iyong natatandaan, ang graph ng "classical" logarithm ay hindi umiiral sa kaliwa ng axis, kaya maaari lamang tayong lumapit sa zero mula sa kanan.
Gumagana ang mga panuntunan ng L'Hôpital para sa mga one-sided na limitasyon, ngunit ang kawalan ng katiyakan ay kailangang harapin muna. Sa unang hakbang, ginagawa namin ang fraction na tatlong-kuwento, na nakukuha ang kawalan ng katiyakan , pagkatapos ang solusyon ay sumusunod sa template scheme: 
Pagkatapos pag-iba-ibahin ang numerator at denominator, aalisin natin ang apat na palapag na bahagi upang gumawa ng mga pagpapasimple. Bilang resulta, lumitaw ang kawalan ng katiyakan. Inuulit namin ang trick: muli naming ginagawa ang fraction na tatlong-kuwento at inilapat muli ang panuntunan ng L'Hopital sa nagresultang kawalan ng katiyakan:
handa na.
Maaaring subukan ng isa na bawasan ang paunang limitasyon sa dalawang donut: 
Ngunit, una, ang derivative sa denominator ay mas mahirap, at pangalawa, walang magandang mangyayari dito.
Sa ganitong paraan, bago lutasin ang mga katulad na halimbawa, kailangan mong pag-aralan(pasalita o sa isang draft) SA ANO ang kawalan ng katiyakan ay mas kumikita upang mabawasan - sa "zero sa zero" o sa "infinity to infinity".
Sa turn, ang mga kasama sa inuman at mas kakaibang mga kasama ay hinila sa liwanag. Ang paraan ng pagbabago ay simple at karaniwan.
Pagtuturo
Ang direktang pagkalkula ng mga limitasyon ay konektado, una sa lahat, sa mga limitasyon ng makatuwirang Qm(x)/Rn(x), kung saan ang Q at R ay mga polynomial. Kung ang limitasyon ay kinakalkula sa x → a (a ay isang numero), kung gayon ang kawalan ng katiyakan ay maaaring lumitaw, halimbawa. Upang maalis ito, hatiin ang numerator at denominator sa (x-a). Ulitin ang operasyon hanggang sa mawala ang kawalan ng katiyakan. Ang paghahati ng mga polynomial ay isinasagawa sa halos parehong paraan tulad ng paghahati ng mga numero. Ito ay batay sa katotohanan na ang paghahati at pagpaparami ay mga kabaligtaran na operasyon. Ang isang halimbawa ay ipinapakita sa fig. isa.
Paglalapat ng unang kapansin-pansing limitasyon. Ang formula para sa unang kapansin-pansing limitasyon ay ipinapakita sa fig. 2a. Upang magamit ito, dalhin ang iyong halimbawang expression sa naaangkop na anyo. Maaari itong palaging gawin nang puro algebraically o sa pamamagitan ng pagbabago ng variable. Ang pangunahing bagay - huwag kalimutan na kung ang sine ay mula sa kx, kung gayon ang denominator ay kx din. Ang isang halimbawa ay ipinapakita sa Fig. 2e. Bilang karagdagan, kung isasaalang-alang natin na ang tgx=sinx/cosx, cos0=1, kung gayon, bilang resulta, ito ay lilitaw (tingnan ang Fig. 2b). arcsin(sinx)=x at arctg(tgx)=x. Samakatuwid, may dalawa pang kahihinatnan (Larawan 2c at 2d). Ang isang medyo malawak na hanay ng mga pamamaraan ay lumitaw din.
Paglalapat ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon (tingnan ang Fig. 3a) Ang mga limitasyon ng ganitong uri ay ginagamit upang maalis ang uri . Upang malutas ang mga kaukulang problema, baguhin lamang ang kundisyon sa isang istraktura na naaayon sa uri ng limitasyon. Tandaan na kapag itinaas sa isang kapangyarihan ang isang expression na nasa kapangyarihan na, sila ay pinarami. Ang kaukulang isa ay ipinapakita sa Fig. 2e. Ilapat ang pagpapalit na α=1/x at makuha ang kinahinatnan ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon (Larawan 2b). Ang pagkuha ng logarithm sa base a, parehong bahagi ng corollary na ito, darating ka sa pangalawang corollary, sa at may isang \u003d e (tingnan ang Fig. 2c). Gawing a^x-1=y ang pagpapalit. Pagkatapos x=log(a)(1+y). Dahil ang x ay nagiging zero, ang y ay nagiging zero din. Samakatuwid, lumitaw din ang isang pangatlong kahihinatnan (tingnan ang Fig. 2d).
Paglalapat ng mga katumbas na infinitesimal. Ang walang katapusang maliliit na function ay katumbas ng x → a kung ang limitasyon ng kanilang ratio na α(x)/γ(x) ay katumbas ng isa. Kapag nagkalkula ng mga limitasyon gamit ang gayong mga infinitesimal, isulat lamang ang γ(x)=α(x)+o(α(x)). Ang o(α(x)) ay isang infinitesimal ng mas mataas na pagkakasunud-sunod ng kaliit kaysa sa α(x). Para dito lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Upang malaman ang equivalence, gamitin ang parehong kahanga-hanga mga limitasyon. Ang pamamaraan ay nagpapahintulot sa iyo na makabuluhang pasimplehin ang proseso, na ginagawa itong mas transparent.
Mga pinagmumulan:
- Shipachev V.S. Mas Mataas na Matematika. Proc. para sa mga unibersidad. - 3rd ed., nabura. - M.: Mas mataas. paaralan, 1996. - 496 p.: may sakit.
function ay isa sa mga pangunahing mga konsepto ng matematika. kanya limitasyon ay ang halaga kung saan ang argumento ay may kaugaliang tungkol sa limitasyon halaga. Maaari itong kalkulahin gamit ang ilang mga trick, halimbawa, ang panuntunang Bernoulli-L'Hopital.
Pagtuturo
Upang makalkula limitasyon sa ibinigay na punto x0, palitan ang halaga ng argument na ito sa expression ng function sa ilalim ng sign lim. Hindi naman kinakailangan na ang isang ito ay kabilang sa lugar ng limitasyon function. Kung limitasyon tungkol sa limitasyon en at pantay isang digit, kung gayon ang function ay sinasabing converge. Kung hindi siya pwede limitasyon tl, o walang katapusan sa isang partikular na punto, pagkatapos ay ang pagkakaiba.
Solusyon. Palitan ang value x = -2:lim (x² - 6 x - 14) / (2 x² + 3 x - 6) = -1/2 sa expression.
Ang solusyon ay hindi palaging napakalinaw at simple, lalo na kung ang pagpapahayag ay masyadong masalimuot. Sa kasong ito, dapat mo munang pasimplehin ang pagbabawas, pagpapangkat o pagpapalit ng variable: lim_(x→-8) (10 x - 1)/(2 x + ∛x) = [y= ∛x] = lim_(y→- 2) (10 y³ - 1) / (2 y³ + y) \u003d 9/2.
Kadalasan mga sitwasyon ng imposibilidad tungkol sa limitasyon eniya limitasyon a, lalo na kung ang argument ay may posibilidad na infinity o zero. Ang pagpapalit ay hindi nagdadala ng inaasahang resulta, na humahantong sa limitasyon mga halaga ng form o [∞/∞]. Pagkatapos ay naaangkop ang L'Hospital-Bernoulli, na kinabibilangan ng paghahanap ng unang derivative. Halimbawa, kalkulahin limitasyon lim (x² - 5 x -14) / (2 x² + x - 6) na may x → -2.
Solusyon.lim (x² - 5 x -14) / (2 x² + x - 6) =.
Hanapin ang derivative: lim (2 x - 5) / (4 x + 1) = 9/7.
lim (sinx/x) = 1 bilang x → 0, ang kabaligtaran ay totoo rin: lim (x/sinx) = 1; x → 0. Ang argument ay maaaring anumang konstruksiyon, ang pangunahing bagay ay ang halaga nito ay may posibilidad na zero: lim (x³ - 5 x² + x) / sin(x³ - 5 x² + x) = 1; x → 0.
Mga kaugnay na video
Teorya mga limitasyon ay isang medyo malawak na lugar ng pagsusuri sa matematika. Ang konseptong ito ay naaangkop sa isang function at ito ay isang pagbuo ng tatlong elemento: ang notation lim, ang expression sa ilalim ng limit sign, at ang limit na value ng argument.
Pagtuturo
Upang kalkulahin ang limitasyon, kailangan mo kung ano ang katumbas ng function sa puntong tumutugma sa halaga ng limitasyon ng argumento. Sa ilang mga kaso, wala itong pangwakas na solusyon, at ang pagpapalit sa halaga kung saan ang variable ay nagbibigay ng form na "zero by zero" o "infinity by infinity". Sa kasong ito, naaangkop ito, na hinango ni Bernoulli at L'Hopital, na nagpapahiwatig ng pagkuha ng unang derivative.
Tulad ng anumang limitasyon sa matematika, ang limitasyon ay maaaring maglaman ng function expression sa ilalim ng sign nito na masyadong mahirap o hindi maginhawa para sa isang simpleng pagpapalit. Pagkatapos ay kinakailangan muna na gawing simple ito, gamit ang karaniwang mga pamamaraan, pagpapangkat, pagkuha ng isang karaniwang kadahilanan at pagpapalit ng isang variable, kung saan nagbabago din ang limitasyon ng halaga ng argumento.
Maswerte ka, ang expression ng function ay may katuturan dahil sa limitasyon ng halaga ng argumento. Ito ang pinakasimpleng kaso ng pagkalkula ng limitasyon. Ngayon lutasin ang sumusunod na problema, na kinabibilangan ng hindi maliwanag na konsepto ng infinity: lim_(x→∞) (5 - x).
Panuntunan ng Bernoulli-L'Hopital: lim_(x→-2) (x^5 - 4 x³)/(x³ + 2 x²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = . Pag-iba-iba ang expression ng function: lim (5 x^4 - 12 x²) / (3 x² + 4 x) = (5 16 - 12 4) / (3 4 - 8) = 8.
Pagbabago ng variable: lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/ ( 125 + 5) = 27/26.
Ang letrang Griyego na π (pi, pi) ay ginagamit upang tukuyin ang ratio ng circumference ng isang bilog sa diameter nito. Ito numero, na orihinal na lumilitaw sa mga sinulat ng mga sinaunang geometer, nang maglaon ay naging napakahalaga sa napakaraming sangay ng matematika. Kaya, dapat itong makalkula.
Pagtuturo
π - hindi makatwiran numero. Ito ay hindi ito maaaring katawanin bilang isang fraction na may integer at denominator. Bukod dito, ang π ay transendente numero, ibig sabihin, hindi ito maaaring magsilbi bilang anumang algebraic equation. Sa ganitong paraan, eksaktong halaga ang bilang na π ay hindi maaaring isulat. Gayunpaman, may mga paraan upang makalkula ito sa anumang kinakailangang antas ng katumpakan.
Ang mga sinaunang ginamit ng mga geometer ng Greece at Egypt ay nagsasabi na ang π ay tinatayang katumbas ng parisukat na ugat sa 10 o fraction 256/81. Ngunit ang mga formula na ito ay nagbibigay ng halaga ng π katumbas ng 3.16, at ito ay malinaw na hindi sapat.
Sa pagbuo ng differential calculus at iba pang mga bagong disiplina sa matematika, isang bagong tool ang lumitaw sa pagtatapon ng mga siyentipiko - serye ng kapangyarihan. Natuklasan ni Gottfried Wilhelm Leibniz noong 1674 na ang serye
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
nagtatagpo sa limitasyon na katumbas ng π/4. Ang pagkalkula sa kabuuan na ito ay simple, ngunit nangangailangan ito ng maraming hakbang upang makamit ang sapat na katumpakan dahil ang serye ay napakabagal na nagtatagpo.
Kasunod nito, natuklasan ang iba pang serye ng kapangyarihan na naging posible upang makalkula ang π nang mas mabilis kaysa sa paggamit ng serye ng Leibniz. Halimbawa, alam na ang tg(π/6) = 1/√3, samakatuwid, arctg(1/√3) = π/6.
Ang arctangent function ay lumalawak sa serye ng kapangyarihan, at para sa itakda ang halaga nakukuha namin bilang isang resulta:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
Gamit ito at iba pang katulad na mga formula numeroπ ay nakalkula na sa loob ng milyun-milyong decimal na lugar.
tala
Mayroong maraming mga paraan upang makalkula ang pi. Ang pinakasimple at naiintindihan ay paraan ng numero Monte Carlo, ang kakanyahan nito ay nabawasan sa pinakasimpleng enumeration ng mga puntos sa parisukat. doble y=radius*radius-x*x; ibalik y; ) Ipinapakita ng programa ang halaga ng Pi depende sa radius at bilang ng mga puntos. Ang tanging bagay na natitira para sa mambabasa ay i-compile ito mismo at patakbuhin ito sa mga parameter na gusto niya.
Ngunit ang walang pagod na mga siyentipiko ay nagpatuloy at nagpatuloy sa pagkalkula ng mga decimal na lugar ng numerong pi, na talagang isang napakaliit na gawain, dahil hindi mo lamang ito makalkula sa isang hanay: ang bilang ay hindi lamang hindi makatwiran, ngunit din transendental (ang mga ito ay mga numero lamang na hindi kinakalkula ng mga simpleng equation). Nagawa ng mga siyentipiko sa Unibersidad ng Tokyo na magtakda ng world record sa pagkalkula ng numerong pi hanggang 12411 trilyong palatandaan.
Mga pinagmumulan:
- Kasaysayan ng Pi
Mga Paraan sa Matematika inilapat sa maraming larangan ng agham. Ang pahayag na ito ay may kinalaman, sa partikular, ang differential calculus. Halimbawa, kung kalkulahin natin ang pangalawa derivative function ng distansya mula sa variable ng oras, posible na mahanap ang acceleration ng materyal na punto.
Pagtuturo
Ang mga patakaran at paraan ng pagkita ng kaibhan ay pinapanatili para sa mga derivative na may mataas na pagkakasunud-sunod. Nalalapat ito sa ilan elementarya na pag-andar, mga operasyon ng karagdagan, at paghahati, pati na rin ang mga kumplikadong function ng anyong u(g(x)): u’ = C’ = 0 ay ang derivative ng isang constant; u’ = x’ = 1 ang pinakasimple sa isang argumento; u' = (x^a)' = a x^(a-1); u' = (a^x)' = a^x ln a - exponential function;
Arithmetic operations ng isang pares ng function na u(x) at g(x): (u + g)’ = u’ + g’; (u g)' = u' g + g' u; (u/g)’ = (u’ g – g’ u)/g².
Medyo mahirap segundo derivative kumplikadong pag-andar. Para dito, ang mga pamamaraan ng pagkita ng kaibhan, bagama't ang resulta ay tinatayang, mayroong tinatawag na error sa pagtatantya α: u''(x) = (u(x + h) - 2 u(x) + u(x - h) ) / h² + α (h²) - Newton's interpolation polynomial; – 2 h))/(12 h²) + α(h²) – Strilling.
Sa mga formula na ito mayroong isang tiyak na halaga h. Tinatawag itong approximation, ang pagpili kung saan dapat na pinakamainam upang mabawasan ang error sa pagkalkula. Pagpili tamang halaga h ay tinatawag na regulasyon sa pamamagitan ng hakbang: |u(х + h) – u(х)| > ε, kung saan ang ε ay infinitesimal.
Ang paraan para sa pagkalkula ng pangalawang derivative ay inilapat kapag kabuuang pagkakaiba pangalawang utos. Kasabay nito, pribado itong kinakalkula para sa bawat argumento at nakikilahok sa panghuling pagpapahayag bilang salik ng katumbas na kaugalian dx, dy, atbp.: /∂zd²z.
Halimbawa: hanapin ang pangalawa derivative mga function u \u003d 2 x sin x - 7 x³ + x ^ 5 / tg x.
Solusyon u' = 2 sin x + 2 x cos x - 21 x² + 5 x^4/tg x - x² / sin² x; u'' = 4 cos x - 2 x sin x - 42 x + 20 x³ / tg x - 5 x ^ 4 / sin² x - 2 x / sin² x + 2 x² cos x / sin³ x.
Ang mga pamamaraan ng differential calculus ay ginagamit sa pag-aaral ng kalikasan ng pag-uugali mga function sa mathematical analysis. Gayunpaman, hindi lamang ito ang lugar ng kanilang aplikasyon, madalas na kinakailangan upang mahanap derivative upang makalkula ang mga halaga ng limitasyon sa ekonomiya, upang makalkula ang bilis o acceleration sa pisika.
Pagsisiwalat ng mga kawalan ng katiyakan ng form 0/0 o ∞/∞ at ilang iba pang mga kawalan ng katiyakan na lumitaw sa pagkalkula limitasyon ang relasyon ng dalawang infinitesimal o infinitely large functions ay lubos na pinasimple sa tulong ng L'Hospital's rule (talagang dalawang rules and remarks on them).
kakanyahan mga patakaran ng L'Hospital ay na sa kaso kapag ang pagkalkula ng limitasyon ng mga ratios ng dalawang walang hanggan maliit o walang hanggan malaking function ay nagbibigay ng mga kawalan ng katiyakan ng form 0/0 o ∞/∞, ang limitasyon ng ratio ng dalawang function ay maaaring mapalitan ng limitasyon ng ang ratio ng kanilang derivatives at sa gayon ay makakuha ng isang tiyak na resulta.
Lumipat tayo sa pagbabalangkas ng mga panuntunan ng L'Hopital.
Ang Panuntunan ng L'Hopital para sa Kaso ng Limitasyon ng Dalawang Walang Hanggan na Maliit na Halaga. Kung functions f(x) At g(x aa, at sa lugar na ito g"(x a katumbas ng bawat isa at katumbas ng zero
(
).
Ang panuntunan ng L'Hôpital para sa kaso ng limitasyon ng dalawang walang katapusang malaking dami. Kung functions f(x) At g(x) ay naiba sa ilang kapitbahayan ng punto a, na may posibleng pagbubukod sa punto a, at sa lugar na ito g"(x)≠0 at kung at kung ang mga limitasyon ng mga function na ito bilang x ay may posibilidad sa halaga ng function sa punto a pantay sa isa't isa at katumbas ng infinity
(
),
pagkatapos ay ang limitasyon ng ratio ng mga function na ito katumbas ng limitasyon ratios ng kanilang mga derivatives
().
Sa madaling salita, para sa mga kawalan ng katiyakan ng form na 0/0 o ∞/∞, ang limitasyon ng ratio ng dalawang function ay katumbas ng limitasyon ng ratio ng kanilang mga derivatives, kung ang huli ay umiiral (finite o infinite).
Remarks.
1. Ang mga panuntunan ng L'Hopital ay naaangkop din kapag ang mga function f(x) At g(x) ay hindi tinukoy sa x = a.
2. Kung, kapag kinakalkula ang limitasyon ng ratio ng mga derivatives ng mga function f(x) At g(x) muli tayong dumating sa isang kawalan ng katiyakan ng form na 0/0 o ∞/∞, pagkatapos ang mga panuntunan ng L'Hopital ay dapat ilapat nang paulit-ulit (kahit dalawang beses).
3. Naaangkop din ang mga panuntunan ng L'Hopital kapag ang argumento ng mga function (x) ay may posibilidad na hindi may hangganang numero a, at hanggang sa kawalang-hanggan ( x → ∞).
Ang mga kawalan ng katiyakan ng iba pang mga uri ay maaari ding bawasan sa mga kawalan ng katiyakan ng mga uri 0/0 at ∞/∞.
Pagbubunyag ng mga kawalan ng katiyakan ng mga uri na "zero na hinati ng zero" at "infinity na hinati ng infinity"
Halimbawa 1
x=2 ay humahantong sa isang kawalan ng katiyakan ng form na 0/0. Samakatuwid, ang derivative ng bawat function at makuha namin
Sa numerator, ang derivative ng polynomial ay kinakalkula, at sa denominator - derivative ng isang kumplikadong logarithmic function. Bago ang huling equal sign, ang karaniwan limitasyon, pinapalitan ang isang deuce sa halip na x.
Halimbawa 2 Kalkulahin ang limitasyon ng ratio ng dalawang function gamit ang panuntunan ng L'Hospital:
Solusyon. Pagpapalit sa isang ibinigay na function ng halaga x
Halimbawa 3 Kalkulahin ang limitasyon ng ratio ng dalawang function gamit ang panuntunan ng L'Hospital:
Solusyon. Pagpapalit sa isang ibinigay na function ng halaga x=0 ay humahantong sa isang kawalan ng katiyakan ng form na 0/0. Samakatuwid, kinakalkula namin ang mga derivatives ng mga function sa numerator at denominator at makakuha ng:
Halimbawa 4 Kalkulahin
Solusyon. Ang pagpapalit ng halaga ng x na katumbas ng plus infinity sa isang ibinigay na function ay humahantong sa isang kawalan ng katiyakan ng form na ∞/∞. Samakatuwid, inilalapat namin ang panuntunan ng L'Hopital:
Magkomento. Lumipat tayo sa mga halimbawa kung saan ang panuntunan ng L'Hopital ay kailangang ilapat nang dalawang beses, iyon ay, upang makarating sa limitasyon ng ratio ng pangalawang derivatives, dahil ang limitasyon ng ratio ng mga unang derivatives ay isang kawalan ng katiyakan ng anyo. 0/0 o ∞/∞.
Ilapat ang panuntunan ng L'Hopital sa iyong sarili at pagkatapos ay tingnan ang solusyon
Pagbubunyag ng mga kawalan ng katiyakan ng anyong "zero multiplied by infinity"
Halimbawa 12. Kalkulahin
.
Solusyon. Nakukuha namin
Ang halimbawang ito ay gumagamit ng trigonometric identity.
Pagbubunyag ng mga kawalan ng katiyakan ng mga uri na "zero sa kapangyarihan ng zero", "infinity sa kapangyarihan ng zero" at "isa sa kapangyarihan ng infinity"
Mga kawalan ng katiyakan ng form , o kadalasang binabawasan sa form na 0/0 o ∞/∞ gamit ang logarithm ng isang function ng form
Upang kalkulahin ang limitasyon ng expression, dapat gamitin ng isa ang logarithmic identity, isang espesyal na kaso kung saan ang pag-aari ng logarithm 
.
Gamit ang logarithmic identity at ang continuity property ng function (upang lumampas sa sign ng limitasyon), ang limitasyon ay dapat kalkulahin tulad ng sumusunod:
Hiwalay, dapat mahanap ng isa ang limitasyon ng expression sa exponent at build e sa nahanap na antas.
Halimbawa 13
Solusyon. Nakukuha namin
.
.
Halimbawa 14 Kalkulahin gamit ang panuntunan ng L'Hopital
Solusyon. Nakukuha namin
Kalkulahin ang limitasyon ng expression sa exponent
.
.
Halimbawa 15 Kalkulahin gamit ang panuntunan ng L'Hopital
