Ang terminong simetrya. relasyon - sa kawalaan ng simetrya

Nasanay tayo sa konsepto ng simetrya mula pagkabata. Alam natin na ang isang butterfly ay simetriko: ito ay may parehong kanan at kaliwang pakpak; ang isang gulong ay simetriko, ang mga sektor na kung saan ay pareho; simetriko pattern ng mga burloloy, mga bituin ng mga snowflake.

Tunay na walang hangganang panitikan ang nakatuon sa problema ng simetrya. Mula sa mga aklat-aralin at pang-agham na monograph hanggang sa mga gawa na hindi gaanong binibigyang pansin ang mga guhit at pormula kundi ang mga masining na larawan.

Ang mismong terminong "symmetry" sa Greek ay nangangahulugang "proporsyon", na naunawaan ng mga sinaunang pilosopo bilang isang espesyal na kaso ng pagkakaisa - ang koordinasyon ng mga bahagi sa loob ng balangkas ng kabuuan. Mula noong sinaunang panahon, maraming mga tao ang nagmamay-ari ng ideya ng simetrya sa isang malawak na kahulugan - bilang katumbas ng balanse at pagkakaisa.

Ang simetrya ay isa sa pinakapangunahing at isa sa pinakapangkalahatang batas ng uniberso: walang buhay, buhay na kalikasan at lipunan. Nakikita namin siya kahit saan. Ang konsepto ng simetrya ay tumatakbo sa buong siglo-lumang kasaysayan ng pagkamalikhain ng tao. Ito ay matatagpuan na sa pinagmulan ng kaalaman ng tao; malawak itong ginagamit ng lahat ng larangan ng modernong agham nang walang pagbubukod. Tunay na simetriko na mga bagay ang pumapalibot sa amin nang literal mula sa lahat ng panig, kami ay nakikitungo sa simetrya saanman mayroong anumang pagkakasunud-sunod. Lumalabas na ang simetrya ay balanse, kaayusan, kagandahan, pagiging perpekto. Ito ay magkakaiba, nasa lahat ng dako. Lumilikha siya ng kagandahan at pagkakaisa. Literal na tumatagos ang simetrya sa buong mundo sa paligid natin, kaya naman laging may kaugnayan ang napili kong paksa.

Ang simetrya ay nagpapahayag ng pangangalaga ng isang bagay na may ilang mga pagbabago o pag-iingat ng isang bagay, sa kabila ng pagbabago. Ang simetrya ay nagpapahiwatig ng hindi nababago hindi lamang ng bagay mismo, kundi pati na rin sa alinman sa mga katangian nito na may kaugnayan sa mga pagbabagong ginawa sa bagay. Ang immutability ng ilang mga bagay ay maaaring obserbahan na may kaugnayan sa iba't ibang mga operasyon - sa mga pag-ikot, paglilipat, kapwa pagpapalit ng mga bahagi, pagmuni-muni, atbp. Sa pagsasaalang-alang na ito, nakikilala nila iba't ibang uri simetriya. Isaalang-alang ang lahat ng mga uri nang mas detalyado.

AXIAL SYMMETRY.

Ang simetrya tungkol sa isang tuwid na linya ay tinatawag na axial symmetry (pagsalamin ng salamin tungkol sa isang tuwid na linya).

Kung ang punto A ay namamalagi sa axis l, kung gayon ito ay simetriko sa sarili nito, i.e. A coincides sa A1.

Sa partikular, kung ang figure F ay nagbabago sa sarili nito sa panahon ng pagbabagong-anyo ng simetrya na may paggalang sa l axis, kung gayon ito ay tinatawag na simetriko na may paggalang sa l axis, at ang l axis ay tinatawag na axis ng symmetry nito.

CENTRAL SYMMETRY.

Ang figure ay tinatawag na centrally symmetric kung mayroong isang punto kung saan ang bawat punto ng figure ay simetriko sa ilang punto ng parehong figure. Namely: isang kilusan na nagbabago ng mga direksyon sa magkasalungat na direksyon ay isang sentral na simetrya.

Ang punto O ay tinatawag na sentro ng simetrya at naayos. Ang pagbabagong ito ay walang iba pang mga nakapirming punto. Ang mga halimbawa ng mga figure na may sentro ng symmetry ay isang paralelogram, isang bilog, atbp.

Ang mga pamilyar na paniwala ng pag-ikot at pagsasalin ay ginagamit upang tukuyin ang tinatawag na translational symmetry. Isaalang-alang natin ang translational symmetry nang mas detalyado.

1. LUMIKOT

Ang isang pagbabagong-anyo kung saan ang bawat punto A ng isang pigura (katawan) ay umiikot sa parehong anggulo α sa paligid ng isang partikular na sentro O ay tinatawag na pag-ikot o pag-ikot ng eroplano. Ang puntong O ay tinatawag na sentro ng pag-ikot, at ang anggulo α ay tinatawag na anggulo ng pag-ikot. Ang Point O ay ang nakapirming punto ng pagbabagong ito.

Ang rotational symmetry ng isang circular cylinder ay kawili-wili. Mayroon itong walang katapusang bilang ng 2nd order rotary axes at isang infinitely high order rotary axis.

2. PARALLEL TRANSFER

Ang isang pagbabagong-anyo kung saan ang bawat punto ng isang pigura (katawan) ay gumagalaw sa parehong direksyon sa parehong distansya ay tinatawag na parallel na pagsasalin.

Upang tukuyin ang parallel translation transformation, sapat na upang tukuyin ang vector a.

3. SLIDING SYMMETRY

Ang isang sliding symmetry ay isang pagbabagong-anyo kung saan ang axial symmetry at parallel na pagsasalin ay sunud-sunod na isinasagawa. Ang sliding symmetry ay isang isometry ng Euclidean plane. Ang sliding symmetry ay isang komposisyon ng isang symmetry na may kinalaman sa ilang linya l at pagsasalin ng isang vector na kahanay ng l (maaaring zero ang vector na ito).

Ang isang sliding symmetry ay maaaring kinakatawan bilang isang komposisyon ng 3 axial symmetries (Schall's theorem).

SYMMETRY NG MIRROR

Ano ang maaaring higit na katulad ng aking kamay o aking tainga kaysa sa kanilang sariling repleksyon sa salamin? At gayon pa man ang kamay na nakikita ko sa salamin ay hindi maaaring ilagay sa lugar ng tunay na kamay.

Immanuel Kant.

Kung ang isang pagbabagong-anyo ng simetrya na may paggalang sa isang eroplano ay nagbabago ng isang pigura (katawan) sa sarili nito, kung gayon ang pigura ay tinatawag na simetriko na may paggalang sa eroplano, at ang ibinigay na eroplano ay tinatawag na eroplano ng simetrya ng figure na ito. Ang simetrya na ito ay tinatawag na mirror symmetry. Gaya ng ipinapakita ng pangalan mismo, ang mirror symmetry ay nauugnay sa isang bagay at sa repleksyon nito sa isang patag na salamin. Ang dalawang simetriko na katawan ay hindi maaaring "ipasok sa isa't isa", dahil, kung ihahambing sa mismong bagay, ang trans-mirror na katapat nito ay lumiliko sa loob palabas kasama ang direksyon na patayo sa eroplano ng salamin.

Ang mga simetriko na figure, para sa lahat ng kanilang pagkakatulad, ay naiiba nang malaki sa bawat isa. Ang dobleng naobserbahan sa salamin ay hindi eksaktong kopya ng mismong bagay. Ang salamin ay hindi lamang kinokopya ang bagay, ngunit pinapalitan (kumakatawan) ang mga bahagi ng bagay na nasa harap at likod na may paggalang sa salamin. Halimbawa, kung ang nunal mo ay nasa kanang pisngi mo, ang double mirror mo ay nasa kaliwa mo. Magdala ka ng libro sa salamin at makikita mo na parang nakaikot ang mga letra. Sa salamin, ang lahat ay muling inayos mula kanan hanggang kaliwa.

Nakasalamin pantay na katawan Ang mga katawan ay tinatawag kung, sa kanilang wastong pag-aalis, maaari silang bumuo ng dalawang halves ng isang mirror-symmetric body.

2.2 Simetrya sa kalikasan

Ang isang pigura ay may simetriya kung mayroong isang paggalaw (hindi magkatulad na pagbabagong-anyo) na nagbabago nito sa sarili nito. Halimbawa, ang isang figure ay may rotational symmetry kung ito ay isinalin sa sarili nito sa pamamagitan ng ilang pag-ikot. Ngunit sa kalikasan, sa tulong ng matematika, ang kagandahan ay hindi nilikha, tulad ng sa teknolohiya at sining, ngunit naayos lamang, ipinahayag. Ito ay hindi lamang nakalulugod sa mata at nagbibigay inspirasyon sa mga makata sa lahat ng panahon at mga tao, ngunit nagbibigay-daan sa mga buhay na organismo na mas mahusay na umangkop sa kanilang kapaligiran at simpleng mabuhay.

Ang batayan ng istraktura ng anumang buhay na anyo ay ang prinsipyo ng simetrya. Mula sa direktang pagmamasid maaari nating mahihinuha ang mga batas ng geometry at maramdaman ang kanilang walang katulad na pagiging perpekto. Ang pagkakasunud-sunod na ito, na isang likas na pangangailangan, dahil wala sa kalikasan ang nagsisilbing pulos mga layuning pampalamuti, ay tumutulong sa amin na mahanap ang karaniwang pagkakasundo kung saan nakabatay ang buong uniberso.

Nakikita natin na ang kalikasan ay nagdidisenyo ng anumang buhay na organismo ayon sa isang tiyak na geometriko na pattern, at ang mga batas ng uniberso ay may malinaw na katwiran.

Ang mga prinsipyo ng simetriya ay sumasailalim sa teorya ng relativity, quantum mechanics, solid state physics, atomic at nuclear physics, physics elementarya na mga particle. Ang mga prinsipyong ito ay pinaka-malinaw na ipinahayag sa mga katangian ng invariance ng mga batas ng kalikasan. Sa kasong ito, pinag-uusapan natin hindi lamang ang tungkol sa mga pisikal na batas, kundi pati na rin ang iba, halimbawa, mga biyolohikal.

Pinag-uusapan ang papel ng simetrya sa proseso siyentipikong kaalaman, dapat bigyang-diin ang paggamit ng paraang pagkakatulad. Ayon sa Pranses na matematiko na si D. Poya, "marahil walang mga pagtuklas alinman sa elementarya o mas mataas na matematika, o, marahil, sa anumang iba pang lugar na maaaring gawin nang walang mga pagkakatulad." Karamihan sa mga pagkakatulad na ito ay batay sa karaniwang mga ugat, pangkalahatang mga pattern na nagpapakita ng kanilang mga sarili sa parehong paraan sa iba't ibang antas ng hierarchy.

Kaya, sa modernong kahulugan, ang simetrya ay isang pangkalahatang siyentipiko kategoryang pilosopikal, na nagpapakilala sa istraktura ng organisasyon ng mga system. Ang pinakamahalagang pag-aari ng simetrya ay ang pangangalaga (invariance) ng ilang mga katangian (geometric, pisikal, biological, atbp.) na may paggalang sa mahusay na tinukoy na mga pagbabago. Ang mathematical apparatus para sa pag-aaral ng simetrya ngayon ay ang teorya ng mga grupo at ang teorya ng mga invariant.

Symmetry sa mundo ng halaman

Ang pagiging tiyak ng istraktura ng mga halaman ay tinutukoy ng mga katangian ng tirahan kung saan sila umaangkop. Anumang puno ay may base at tuktok, "itaas" at "ibaba" na gumaganap ng iba't ibang mga function. Ang kahalagahan ng pagkakaiba sa pagitan ng itaas at mas mababang mga bahagi, pati na rin ang direksyon ng gravity ay tumutukoy sa patayong oryentasyon ng "tree cone" rotary axis at symmetry planes. Sa tulong ng root system, ang isang puno ay sumisipsip ng kahalumigmigan at mga sustansya mula sa lupa, iyon ay, mula sa ibaba, at ang iba pang mahahalagang pag-andar ay ginagawa ng korona, iyon ay, sa tuktok. Kasabay nito, ang mga direksyon sa isang eroplano na patayo sa patayo ay halos hindi makilala para sa isang puno; sa lahat ng direksyong ito, ang hangin, liwanag, at kahalumigmigan ay pantay na ibinibigay sa puno.

Ang puno ay may vertical rotary axis (cone axis) at vertical planes ng symmetry.

Kapag gusto nating gumuhit ng isang dahon ng isang halaman o isang butterfly, kailangan nating isaalang-alang ang kanilang axial symmetry. Ang midrib para sa dahon ay nagsisilbing axis ng simetrya. Ang mga dahon, sanga, bulaklak, prutas ay may binibigkas na simetrya. Ang mga dahon ay salamin na simetriko. Ang parehong simetrya ay matatagpuan din sa mga bulaklak, gayunpaman, sa kanila, ang mirror symmetry ay madalas na lumilitaw kasama ng rotational symmetry. Kadalasan mayroong mga kaso ng makasagisag na simetrya (mga sanga ng akasya, abo ng bundok).

Sa magkakaibang mundo ng mga kulay, may mga umiikot na palakol ng iba't ibang mga order. Gayunpaman, ang 5th order rotational symmetry ang pinakakaraniwan. Ang simetrya na ito ay matatagpuan sa maraming ligaw na bulaklak (bellflower, forget-me-not, geranium, carnation, St. , bird cherry, mountain ash, wild rose, hawthorn), atbp.

Ipinapaliwanag ng akademya na si N. Belov ang katotohanang ito sa pamamagitan ng katotohanan na ang axis ng 5th order ay isang uri ng instrumento ng pakikibaka para sa pagkakaroon, "insurance laban sa petrification, crystallization, ang unang hakbang na kung saan ay ang kanilang pagkuha sa pamamagitan ng isang sala-sala." Sa katunayan, ang isang buhay na organismo ay walang kristal na istraktura sa kahulugan na kahit na ang mga indibidwal na organo nito ay walang spatial na sala-sala. Gayunpaman, ang mga nakaayos na istruktura ay napakalawak na kinakatawan dito.

Sa kanyang aklat na "This Right, Left World", isinulat ni M. Gardner: "Sa Earth, ang buhay ay nagmula sa spherically symmetrical form, at pagkatapos ay nagsimulang umunlad kasama ang dalawang pangunahing linya: ang mundo ng mga halaman na may cone symmetry ay nabuo, at ang mundo ng mga hayop na may bilateral symmetry."

Sa likas na katangian, may mga katawan na may helical symmetry, iyon ay, pagkakahanay sa kanilang orihinal na posisyon pagkatapos lumiko sa isang anggulo sa paligid ng isang axis, isang karagdagang paglilipat kasama ang parehong axis.

Kung ito ay isang rational na numero, kung gayon ang rotary axis ay ang translation axis din.

Ang mga dahon sa tangkay ay hindi nakaayos sa isang tuwid na linya, ngunit palibutan ang sangay sa isang spiral. Ang kabuuan ng lahat ng mga nakaraang hakbang ng spiral, simula sa itaas, ay katumbas ng halaga ng kasunod na hakbang A + B \u003d C, B + C \u003d D, atbp.

Ang helical symmetry ay sinusunod sa pag-aayos ng mga dahon sa mga tangkay ng karamihan sa mga halaman. Ang pagiging matatagpuan sa pamamagitan ng isang tornilyo sa kahabaan ng tangkay, ang mga dahon ay tila kumakalat sa lahat ng direksyon at hindi nakakubli sa isa't isa mula sa liwanag, na mahalaga para sa buhay ng halaman. Ang kagiliw-giliw na botanical phenomenon na ito ay tinatawag na phyllotaxis (literal na "leaf arrangement").

Ang isa pang pagpapakita ng phyllotaxis ay ang istraktura ng isang sunflower inflorescence o mga kaliskis ng isang spruce cone, kung saan ang mga kaliskis ay nakaayos sa anyo ng mga spiral at helical na linya. Ang kaayusan na ito ay lalong malinaw na nakikita sa pinya, na may higit pa o mas kaunting hexagonal na mga cell na bumubuo ng mga hilera na tumatakbo sa iba't ibang direksyon.

Symmetry sa mundo ng hayop

Ang kahalagahan ng anyo ng simetrya para sa isang hayop ay madaling maunawaan kung ilalagay natin ito na may kaugnayan sa paraan ng pamumuhay, mga kondisyon sa kapaligiran. Ang simetrya sa mga hayop ay nauunawaan bilang pagsusulatan sa laki, hugis at balangkas, pati na rin ang kamag-anak na lokasyon ng mga bahagi ng katawan na matatagpuan sa magkabilang panig ng linyang naghahati.

Ang rotational symmetry ng ika-5 order ay matatagpuan din sa kaharian ng hayop. Ito ay simetrya, kung saan ang bagay ay nakahanay sa sarili nito kapag pinaikot sa paligid ng rotation axis ng 5 beses. Ang mga halimbawa ay ang starfish at ang shell ng sea urchin. Ang buong balat ng mga isdang-bituin ay, kumbaga, na nababalutan ng maliliit na plato ng calcium carbonate, ang mga karayom ​​ay umaabot mula sa ilan sa mga plato, na ang ilan ay naitataas. Ang isang ordinaryong starfish ay may 5 eroplano ng symmetry at 1 axis ng pag-ikot ng ika-5 order (ito ang pinakamataas na simetrya sa mga hayop). Lumilitaw na ang kanyang mga ninuno ay may mas mababang simetrya. Ito ay pinatunayan, sa partikular, sa pamamagitan ng istraktura ng mga larvae ng bituin: sila, tulad ng karamihan sa mga nabubuhay na nilalang, kabilang ang mga tao, ay mayroon lamang isang eroplano ng simetrya. Ang starfish ay walang pahalang na simetrya: mayroon silang "itaas" at "ibaba". Ang mga sea urchin ay parang buhay na pincushions; ang kanilang spherical body ay nagdadala ng mahaba at mobile na karayom. Sa mga hayop na ito, ang mga calcareous plate ng balat ay pinagsama at nabuo ang isang spherical shell shell. May bibig sa gitna ng ilalim na ibabaw. Ang mga ambulacral na binti (aqueous vascular system) ay kinokolekta sa 5 banda sa ibabaw ng shell.

Gayunpaman, hindi tulad ng mundo ng halaman, ang rotational symmetry ay bihirang naobserbahan sa mundo ng hayop.

Ang mga insekto, isda, itlog, at hayop ay nailalarawan sa pamamagitan ng hindi tugmang pagkakaiba ng rotational symmetry sa pagitan ng pasulong at paatras na direksyon.

Ang direksyon ng paggalaw ay isang pangunahing kilalang direksyon, na may paggalang sa kung saan walang simetrya sa anumang insekto, anumang ibon o isda, anumang hayop. Sa direksyon na ito, ang hayop ay nagmamadali para sa pagkain, sa parehong direksyon na ito ay tumakas mula sa mga humahabol nito.

Bilang karagdagan sa direksyon ng paggalaw, ang simetrya ng mga nabubuhay na nilalang ay tinutukoy ng isa pang direksyon - ang direksyon ng grabidad. Ang parehong direksyon ay mahalaga; tinukoy nila ang eroplano ng simetrya ng nilalang.

Ang bilateral (mirror) symmetry ay isang katangian ng simetrya ng lahat ng mga kinatawan ng mundo ng hayop. Ang simetrya na ito ay malinaw na nakikita sa butterfly. Ang simetrya ng kaliwa at kanang pakpak ay lilitaw dito na may halos mathematical rigor.

Masasabi nating ang bawat hayop (pati na rin ang isang insekto, isda, ibon) ay binubuo ng dalawang enantiomorph - ang kanan at kaliwang kalahati. Ang mga enantiomorph ay ipinares din na mga bahagi, ang isa ay nahuhulog sa kanan at ang isa pa sa kaliwang kalahati ng katawan ng hayop. Kaya, ang mga enantiomorph ay ang kanan at kaliwang tainga, kanan at kaliwang mata, kanan at kaliwang sungay, atbp.

Ang pagpapasimple ng mga kondisyon ng pamumuhay ay maaaring humantong sa isang paglabag sa bilateral symmetry, at ang mga hayop mula sa bilaterally symmetrical ay nagiging radially symmetrical. Nalalapat ito sa mga echinoderms (starfish, sea urchin, sea lilies). Ang lahat ng mga hayop sa dagat ay may radial symmetry, kung saan ang mga bahagi ng katawan ay umaabot nang radial mula sa isang gitnang axis, tulad ng mga spokes ng isang gulong. Ang antas ng aktibidad ng mga hayop ay nauugnay sa kanilang uri ng simetrya. Ang radially symmetrical echinoderms ay kadalasang mahinang gumagalaw, mabagal na gumagalaw, o nakakabit sa seabed. Ang katawan ng isang starfish ay binubuo ng isang gitnang disk at 5-20 o higit pa mga sinag na lumalawak mula rito. Sa wikang matematika, ang simetrya na ito ay tinatawag na rotational symmetry.

Sa wakas, napapansin natin ang simetrya ng salamin ng katawan ng tao (pinag-uusapan natin ang panlabas na hitsura at istraktura ng balangkas). Ang simetrya na ito ay palaging naging at ito ang pangunahing pinagmumulan ng aming aesthetic na paghanga para sa maayos na katawan ng tao. Hindi pa natin mauunawaan kung mayroon nga bang ganap na simetriko na tao. Ang bawat tao'y, siyempre, ay magkakaroon ng nunal, isang hibla ng buhok, o ilang iba pang detalye na sumisira sa panlabas na simetrya. Ang kaliwang mata ay hindi kailanman eksaktong kapareho ng kanan, at ang mga sulok ng bibig ay magkaibang taas hindi bababa sa para sa karamihan ng mga tao. Gayunpaman, ito ay mga maliliit na hindi pagkakapare-pareho. Walang sinuman ang mag-aalinlangan na sa panlabas ang isang tao ay binuo nang simetriko: ang kaliwang kamay ay palaging tumutugma sa kanan at ang parehong mga kamay ay eksaktong pareho.

Alam ng lahat na ang pagkakatulad ng ating mga kamay, tenga, mata at iba pang bahagi ng katawan ay pareho sa pagitan ng isang bagay at ng repleksyon nito sa salamin. Ang mga isyu ng simetrya at salamin ng salamin ang binibigyang pansin dito.

Maraming artista ang nag-drawing malapit na pansin sa simetrya at proporsyon ng katawan ng tao, hindi bababa sa hangga't sila ay ginagabayan ng pagnanais na sundin ang kalikasan nang mas malapit hangga't maaari sa kanilang mga gawa.

AT modernong mga paaralan Sa pagpipinta, ang patayong sukat ng ulo ay kadalasang kinukuha bilang isang sukat. Sa isang tiyak na palagay, maaari nating ipagpalagay na ang haba ng katawan ay lumampas sa laki ng ulo ng walong beses. Ang laki ng ulo ay proporsyonal hindi lamang sa haba ng katawan, kundi pati na rin sa mga sukat ng iba pang bahagi ng katawan. Ang lahat ng mga tao ay itinayo ayon sa prinsipyong ito, kaya naman, sa pangkalahatan, tayo ay magkatulad sa isa't isa. Gayunpaman, ang aming mga proporsyon ay sumasang-ayon lamang sa humigit-kumulang, at samakatuwid ang mga tao ay magkatulad lamang, ngunit hindi pareho. Anyway, lahat tayo ay simetriko! Bilang karagdagan, ang ilang mga artista sa kanilang mga gawa ay lalo na binibigyang diin ang simetrya na ito.

Ang aming sariling simetrya ng salamin ay napaka-maginhawa para sa amin, pinapayagan kaming lumipat sa isang tuwid na linya at lumiko sa kanan at pakaliwa nang may pantay na kadalian. Pantay na maginhawang mirror symmetry para sa mga ibon, isda at iba pang aktibong gumagalaw na nilalang.

Ang bilateral symmetry ay nangangahulugan na ang isang bahagi ng katawan ng hayop ay isang salamin na imahe ng kabilang panig. Ang ganitong uri ng organisasyon ay katangian ng karamihan sa mga invertebrates, lalo na ang mga annelids at arthropod - mga crustacean, arachnid, insekto, butterflies; para sa mga vertebrates - isda, ibon, mammal. Sa unang pagkakataon, lumilitaw ang bilateral symmetry sa mga flatworm, kung saan ang anterior at posterior dulo ng katawan ay naiiba sa bawat isa.

Isaalang-alang ang isa pang uri ng simetrya na matatagpuan sa kaharian ng hayop. Ito ay helical o helical symmetry. Ang simetrya ng tornilyo ay simetrya na may paggalang sa isang kumbinasyon ng dalawang pagbabagong-anyo - pag-ikot at pagsasalin kasama ang axis ng pag-ikot, ibig sabihin, mayroong isang paggalaw sa kahabaan ng axis ng tornilyo at sa paligid ng axis ng tornilyo.

Ang mga halimbawa ng natural na turnilyo ay: ang tusk ng isang narwhal (isang maliit na cetacean na naninirahan sa hilagang dagat) - ang kaliwang turnilyo; snail shell - kanang tornilyo; ang mga sungay ng Pamir ram ay mga enantiomorph (ang isang sungay ay pinaikot sa kaliwa at ang isa sa kanang spiral). Ang spiral symmetry ay hindi perpekto, halimbawa, ang shell ng mga mollusk ay makitid o lumalawak sa dulo. Kahit na ang panlabas na helical symmetry ay bihira sa mga multicellular na hayop, maraming mahahalagang molekula kung saan nabuo ang mga buhay na organismo - mga protina, deoxyribonucleic acid - DNA, ay may helical na istraktura.

Symmetry sa walang buhay na kalikasan

Ang simetrya ng mga kristal ay ang pag-aari ng mga kristal na pinagsama sa kanilang mga sarili sa iba't ibang posisyon sa pamamagitan ng mga pag-ikot, pagmuni-muni, parallel na paglipat, o bahagi o kumbinasyon ng mga operasyong ito. Ang simetrya ng panlabas na hugis (faceting) ng isang kristal ay tinutukoy ng simetrya ng atomic na istraktura nito, na tumutukoy din sa simetrya ng mga pisikal na katangian ng kristal.

Isaalang-alang nang mabuti ang maraming anyo ng mga kristal. Una sa lahat, malinaw na ang mga kristal ng iba't ibang mga sangkap ay naiiba sa bawat isa sa kanilang mga hugis. Ang asin ng bato ay palaging mga cube; rock crystal - palaging hexagonal prisms, kung minsan ay may mga ulo sa anyo ng triangular o hexagonal pyramids; brilyante - kadalasang regular na octahedrons (octahedrons); yelo - hexagonal prisms, halos kapareho ng rock crystal, at ang mga snowflake ay palaging may anim na puntos na mga bituin. Ano ang nakakakuha ng iyong mata kapag tumitingin ka sa mga kristal? Una sa lahat, ang kanilang simetrya.

Maraming tao ang nag-iisip na ang mga kristal ay maganda, bihirang mga bato. Sila ay iba't ibang Kulay, kadalasang transparent at, kung ano ang pinaka-kapansin-pansin, ay may magandang regular na hugis. Kadalasan, ang mga kristal ay polyhedra, ang kanilang mga gilid (mukha) ay perpektong patag, ang mga gilid ay mahigpit na tuwid. Natutuwa sila sa mata na may kahanga-hangang paglalaro ng liwanag sa mga facet, isang kamangha-manghang kaayusan ng istraktura.

Gayunpaman, ang mga kristal ay hindi isang pambihira sa museo. Nakapaligid sa amin ang mga kristal. Mga solido kung saan tayo nagtatayo ng mga bahay at makina, mga sangkap na ginagamit natin sa pang-araw-araw na buhay - halos lahat ng mga ito ay nabibilang sa mga kristal. Bakit hindi natin ito nakikita? Ang katotohanan ay ang mga katawan ng kalikasan ay bihirang makita sa anyo ng mga hiwalay na solong kristal (o, gaya ng sinasabi nila, mga solong kristal). Kadalasan, ang sangkap ay nangyayari sa anyo ng matatag na nakadikit na mala-kristal na mga butil ng napakaliit na sukat - mas mababa sa isang ikalibo ng isang milimetro. Ang ganitong istraktura ay makikita lamang sa isang mikroskopyo.

Ang mga katawan na binubuo ng mala-kristal na butil ay tinatawag na fine-crystalline, o polycrystalline ("poly" - sa Greek "many").

Siyempre, ang mga fine-crystalline na katawan ay dapat ding uriin bilang mga kristal. Tapos halos lahat ng solid na katawan sa paligid natin ay kristal. Buhangin at granite, tanso at bakal, mga pintura - lahat ng ito ay mga kristal.

Mayroon ding mga pagbubukod; Ang salamin at plastik ay hindi binubuo ng mga kristal. Ang ganitong mga solid ay tinatawag na amorphous.

Ang pag-aaral ng mga kristal ay nangangahulugang pag-aralan ang halos lahat ng mga katawan sa paligid natin. Malinaw kung gaano ito kahalaga.

Ang mga solong kristal ay agad na nakikilala sa pamamagitan ng kawastuhan ng kanilang mga hugis. Ang mga patag na mukha at tuwid na mga gilid ay isang katangian ng isang kristal; ang kawastuhan ng anyo ay walang alinlangan na konektado sa kawastuhan ng panloob na istraktura ng kristal. Kung ang kristal ay lalo na pinahaba sa ilang direksyon, nangangahulugan ito na ang istraktura ng kristal sa direksyon na ito ay espesyal sa anumang paraan.

meron sentro ng simetrya at sa isang cube Asin, at sa octahedron ng brilyante, at sa bituin ng snowflake. Ngunit sa isang kristal na kuwarts ay walang sentro ng simetrya.

Ang pinaka-eksaktong simetrya ay natanto sa mundo ng mga kristal, ngunit kahit na dito ito ay hindi perpekto: ang mga bitak at mga gasgas na hindi nakikita ng mata ay palaging gumagawa ng pantay na mga mukha na bahagyang naiiba sa bawat isa.

Ang lahat ng mga kristal ay simetriko. Nangangahulugan ito na sa bawat mala-kristal na polyhedron ang isa ay makakahanap ng mga eroplanong simetrya, mga palakol ng symmetry, isang sentro ng simetrya o iba pang mga elemento ng simetrya upang ang mga magkatulad na bahagi ng polyhedron ay nakahanay sa isa't isa.

Ang lahat ng mga elemento ng simetrya ay inuulit ang parehong mga bahagi ng pigura, lahat ay nagbibigay ng simetriko na kagandahan at pagkakumpleto, ngunit ang sentro ng mahusay na proporsyon ay ang pinaka-kawili-wili. Hindi lamang ang hugis, kundi pati na rin ang maraming pisikal na katangian ng kristal ay maaaring depende sa kung mayroong isang sentro ng mahusay na proporsyon sa kristal o wala.

Ang mga pulot-pukyutan ay isang tunay na obra maestra ng disenyo. Binubuo ang mga ito ng isang serye ng mga hexagonal na selula. Ito ang pinakasiksik na pag-iimpake, na ginagawang posible na ilagay ang larva sa cell sa pinaka-kapaki-pakinabang na paraan at, na may pinakamataas na posibleng dami, upang magamit ang materyal na gusali ng waks sa pinaka-ekonomikong paraan.

III Konklusyon

Ang simetrya ay literal na tumagos sa lahat ng bagay sa paligid, na kumukuha, tila, ganap na hindi inaasahang mga lugar at bagay. Ito, na nagpapakita ng sarili sa mga pinaka-magkakaibang bagay ng materyal na mundo, walang alinlangan na sumasalamin sa pinaka-pangkalahatan, pinaka-pangunahing mga katangian. Ang mga prinsipyo ng simetrya ay may mahalagang papel sa pisika at matematika, kimika at biology, inhinyero at arkitektura, pagpipinta at iskultura, tula at musika.

Nakikita natin na ang kalikasan ay nagdidisenyo ng anumang buhay na organismo ayon sa isang tiyak na geometriko na pattern, at ang mga batas ng uniberso ay may malinaw na katwiran. Samakatuwid, ang pag-aaral ng simetrya ng iba't ibang mga likas na bagay at ang paghahambing ng mga resulta nito ay isang maginhawa at maaasahang kasangkapan para sa pag-unawa sa mga pangunahing batas ng pagkakaroon ng bagay.

Ang mga batas ng kalikasan na namamahala sa larawan ng mga phenomena, na hindi mauubos sa pagkakaiba-iba nito, ay sumusunod sa mga prinsipyo ng simetrya. Mayroong maraming mga uri ng simetrya, kapwa sa mga kaharian ng halaman at hayop, ngunit sa lahat ng pagkakaiba-iba ng mga buhay na organismo, ang prinsipyo ng simetrya ay palaging gumagana, at ang katotohanang ito ay muling binibigyang diin ang pagkakaisa ng ating mundo. Ang simetrya ay sumasailalim sa mga bagay at kababalaghan, na nagpapahayag ng isang bagay na karaniwan, katangian ng iba't ibang mga bagay, habang ang kawalaan ng simetrya ay nauugnay sa indibidwal na sagisag ng karaniwan na ito sa isang partikular na bagay.

Kaya, sa eroplano mayroon kaming apat na uri ng mga galaw na nagbabago sa figure F sa pantay na figure F1:

1) parallel transfer;

2) axial symmetry (pagsalamin mula sa isang tuwid na linya);

3) pag-ikot sa paligid ng isang punto (Partial case - central symmetry);

4) "sliding" reflection.

Sa espasyo, ang isang mirror symmetry ay idinagdag sa mga uri ng symmetry sa itaas.

Naniniwala ako na ang layunin na itinakda sa abstract ay nakamit. Kapag nagsusulat ng abstract, ang pinakamalaking kahirapan para sa akin ay ang sarili kong mga konklusyon. Sa tingin ko ang aking trabaho ay makakatulong sa mga mag-aaral na palawakin ang kanilang pang-unawa sa simetrya. Umaasa ako na ang aking sanaysay ay maisama sa metodolohikal na pondo ng silid-aralan sa matematika.

Symmetry ako Symmetry (mula sa Greek symmetria - proportionality)

sa matematika

1) simetriya (sa maliit na pagiisip), o pagmuni-muni (salamin) na nauugnay sa eroplano α sa kalawakan (kamag-anak sa tuwid a sa eroplano), ay ang pagbabago ng espasyo (eroplano), kung saan ang bawat punto M napupunta sa punto M" tulad na ang segment MM" patayo sa eroplano α (tuwid a) at gupitin ito sa kalahati. Eroplano α (tuwid a) ay tinatawag na eroplano (axis) C.

Ang pagninilay ay isang halimbawa ng pagbabagong orthogonal (Tingnan ang Orthogonal Transformation) na nagbabago ng oryentasyon (Tingnan ang Orthogonal) (kumpara sa tamang paggalaw). Ang anumang orthogonal na pagbabagong-anyo ay maaaring isagawa sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagpapatupad ng isang may hangganan na bilang ng mga reflection - ang katotohanang ito ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa pag-aaral ng simetrya ng mga geometric na figure.

2) Symmetry (sa isang malawak na kahulugan) - isang pag-aari ng isang geometric figure F, na nagpapakilala sa ilang regularidad ng form F, ang invariance nito sa ilalim ng pagkilos ng mga paggalaw at pagmumuni-muni. Mas tiyak, ang pigura F ay may S. (symmetric) kung mayroong isang hindi magkatulad na orthogonal na pagbabagong-anyo na nagmamapa sa figure na ito sa sarili nito. Ang set ng lahat ng orthogonal transformations na pinagsama ang isang figure F sa sarili nito, ay isang pangkat (Tingnan ang pangkat) na tinatawag na pangkat ng simetrya ng figure na ito (kung minsan ang mga pagbabagong ito mismo ay tinatawag na mga simetriko).

Kaya, ang isang flat figure na nagbabago sa sarili nito sa pagmuni-muni ay simetriko na may paggalang sa tuwid na linya - ang C axis. ( kanin. isa ); dito ang pangkat ng simetrya ay binubuo ng dalawang elemento. Kung ang pigura F sa eroplano ay tulad ng pag-ikot tungkol sa anumang punto O sa isang anggulo ng 360 ° / n, n- isang integer ≥ 2, isalin ito sa sarili nito, pagkatapos F may S. n-ika-utos na may paggalang sa punto O- center C. Ang isang halimbawa ng naturang mga figure ay regular polygons ( kanin. 2 ); pangkat S. dito - ang tinatawag na. paikot na pangkat n-ika-utos. Ang isang bilog ay may S. ng walang katapusang pagkakasunud-sunod (dahil ito ay pinagsama sa sarili nito sa pamamagitan ng pagliko sa anumang anggulo).

Ang pinakasimpleng mga uri ng spatial S., bilang karagdagan sa S. na nabuo ng mga reflection, ay gitnang S., axial S. at S. ng paglipat.

a) Sa kaso ng central symmetry (inversion) tungkol sa point O, ang figure Ф ay pinagsama sa sarili nito pagkatapos ng sunud-sunod na pagmuni-muni mula sa tatlong magkaparehong patayo na eroplano, sa madaling salita, ang point O ay ang gitna ng segment na nagkokonekta sa mga simetriko na punto Ф ( kanin. 3 ). b) Sa kaso ng axial symmetry, o S. na may kaugnayan sa isang tuwid na linya n ika-utos, ang figure ay nakapatong sa sarili nito sa pamamagitan ng pag-ikot sa ilang tuwid na linya (N-axis) sa isang anggulo na 360 ° / n. Halimbawa, ang isang kubo ay may linya AB axis C. ng ikatlong order, at isang tuwid na linya CD- C. axis ng ikaapat na order ( kanin. 3 ); sa pangkalahatan, ang regular at semiregular na polyhedra ay simetriko na may paggalang sa isang serye ng mga linya. Ang lokasyon, bilang, at pagkakasunud-sunod ng mga palakol ng pagkikristal ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa crystallography (tingnan ang Crystal symmetry), c) Isang figure na nakapatong sa sarili nito sa pamamagitan ng sunud-sunod na pag-ikot sa isang anggulo ng 360 k sa paligid ng isang tuwid na linya AB at ang pagmuni-muni sa isang eroplanong patayo dito, ay may salamin-axial C. Tuwid na linya AB, ay tinatawag na mirror-rotary axis C. ng order 2 k, ay ang C axis ng order k (kanin. 4 ). Ang isang mirror-axial line ng order 2 ay katumbas ng isang gitnang linya. d) Sa kaso ng translation symmetry, ang figure ay nakapatong sa sarili nito sa pamamagitan ng pagsasalin sa ilang tuwid na linya (transfer axis) sa ilang segment. Halimbawa, ang figure na may isang solong translation axis ay may walang katapusang bilang ng S. planes (dahil ang anumang pagsasalin ay maaaring isagawa sa pamamagitan ng dalawang sunud-sunod na pagmuni-muni mula sa mga eroplano na patayo sa translation axis) ( kanin. 5 ). Ang mga figure na may ilang mga transfer axes ay may mahalagang papel sa pag-aaral ng mga kristal na sala-sala.

Ang S. ay naging laganap sa sining bilang isa sa mga uri ng maayos na komposisyon (tingnan ang komposisyon). Ito ay katangian ng mga gawa ng arkitektura (pagiging isang kailangang-kailangan na kalidad, kung hindi sa buong istraktura sa kabuuan, kung gayon sa mga bahagi at detalye nito - plano, harapan, mga haligi, mga kapital, atbp.) at pandekorasyon at inilapat na sining. Ginagamit din ang S. bilang pangunahing pamamaraan para sa pagbuo ng mga hangganan at burloloy (mga flat figure, ayon sa pagkakabanggit, pagkakaroon ng isa o higit pang S. transfer kasama ng mga reflection) ( kanin. 6 , 7 ).

Ang mga kumbinasyong S. na nabuo sa pamamagitan ng mga pagmuni-muni at pag-ikot (nakakaubos ng lahat ng uri ng S. geometric na mga numero), pati na rin ang mga paglilipat, ay interesado at ang paksa ng pananaliksik sa iba't ibang larangan ng natural na agham. Halimbawa, ang helical S., na isinasagawa sa pamamagitan ng pag-ikot sa isang tiyak na anggulo sa paligid ng isang axis, na pupunan ng isang paglipat kasama ang parehong axis, ay sinusunod sa pag-aayos ng mga dahon sa mga halaman ( kanin. walo ) (para sa higit pang mga detalye, tingnan ang artikulong Symmetry sa biology). C. ang pagsasaayos ng mga molekula, na nakakaapekto sa kanilang pisikal at kemikal na mga katangian, ay mahalaga sa teoretikal na pagsusuri ng istruktura ng mga compound, ang kanilang mga katangian at pag-uugali sa iba't ibang reaksyon(tingnan ang Symmetry sa kimika). Sa wakas, sa mga pisikal na agham sa pangkalahatan, bilang karagdagan sa ipinahiwatig na geometric symmetry ng mga kristal at sala-sala, ang konsepto ng simetrya sa pangkalahatang kahulugan ay nakakakuha ng malaking kahalagahan (tingnan sa ibaba). Kaya, ang simetrya ng pisikal na espasyo-oras, na ipinahayag sa homogeneity at isotropy nito (tingnan ang Relativity theory), ay nagpapahintulot sa atin na itatag ang tinatawag na. mga batas sa konserbasyon; Ang pangkalahatang simetrya ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa pagbuo ng atomic spectra at sa pag-uuri ng mga elementarya na particle (tingnan ang Symmetry sa pisika).

3) Symmetry (sa pangkalahatang kahulugan) ay nangangahulugang ang invariance ng istruktura ng isang mathematical (o pisikal) na bagay na may paggalang sa mga pagbabago nito. Halimbawa, ang mga S. na batas ng teorya ng relativity ay tinutukoy ng kanilang invariance na may kinalaman sa mga pagbabagong Lorentz (Tingnan ang mga pagbabagong Lorentz). Kahulugan ng isang hanay ng mga pagbabagong-anyo na nag-iiwan sa lahat ng istrukturang relasyon ng bagay na hindi nagbabago, ibig sabihin, ang kahulugan ng isang pangkat G ang mga automorphism nito, ay naging gabay na prinsipyo ng modernong matematika at pisika, na nagbibigay-daan sa malalim na pananaw sa panloob na istraktura bagay sa kabuuan at mga bahagi nito.

Dahil ang naturang bagay ay maaaring katawanin ng mga elemento ng ilang espasyo R, na pinagkalooban ng isang naaangkop na istraktura ng katangian para dito, hangga't ang mga pagbabagong-anyo ng isang bagay ay mga pagbabagong-anyo R. yun. kumuha ng representasyon ng grupo G sa pangkat ng pagbabago R(o sa loob lang R), at ang pag-aaral ng S. ng bagay ay nabawasan sa pag-aaral ng aksyon G sa R at paghahanap ng mga invariant ng aksyon na ito. Sa parehong paraan, ang mga batas ng pisika na namamahala sa bagay na pinag-aaralan at karaniwang inilalarawan ng mga equation na nasiyahan sa mga elemento ng espasyo. R, ay tinutukoy ng aksyon G sa naturang mga equation.

Kaya, halimbawa, kung ang ilang equation ay linear sa isang linear na espasyo R at nananatiling invariant sa ilalim ng pagbabago ng ilang grupo G, pagkatapos ay ang bawat elemento g mula sa G tumutugma sa isang linear na pagbabago Tg sa linear space R mga solusyon sa equation na ito. Pagkakasundo g → Tg ay isang linear na representasyon G at ang kaalaman sa lahat ng gayong mga representasyon nito ay nagpapahintulot sa amin na magtatag ng iba't ibang katangian ng mga solusyon, at tumutulong din na mahanap sa maraming mga kaso (mula sa "mga pagsasaalang-alang ng simetrya") ang mga solusyon mismo. Ito, sa partikular, ay nagpapaliwanag ng pangangailangan para sa matematika at pisika ng isang binuo na teorya ng mga linear na representasyon ng mga grupo. Para sa mga partikular na halimbawa, tingnan ang Art. Symmetry sa pisika.

Lit.: Shubnikov A.V., Symmetry. (Mga batas ng simetriya at ang kanilang aplikasyon sa agham, teknolohiya at inilapat na sining), M. - L., 1940; Kokster G. S. M., Panimula sa geometry, trans. mula sa English, M., 1966; Weil G., Symmetry, trans. mula sa English, M., 1968; Wigner E., Etudes on Symmetry, trans. mula sa English, M., 1971.

M. I. Voitskhovsky.

kanin. 3. Isang cube na may linyang AB bilang third-order symmetry axis, line CD bilang fourth-order symmetry axis, point O bilang sentro ng symmetry. Ang mga puntong M at M" ng kubo ay simetriko pareho tungkol sa mga axes AB at CD, at tungkol sa sentro O.