Degree na may integer exponent na may mga fraction. Degree at mga katangian nito

Unang antas

Degree at mga katangian nito. Komprehensibong gabay (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan mo sila kailangan? Bakit kailangan mong maglaan ng oras sa pag-aaral ng mga ito?

Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman sa pang-araw-araw na buhay, basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang pag-alam sa mga degree ay maglalapit sa iyo sa matagumpay na paghahatid OGE o USE at para makapasok sa unibersidad na iyong pinapangarap.

Tara na... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung sa halip na mga formula ang nakikita mong kalokohan, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay ang parehong mathematical operation bilang karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon o paghahati.

Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao sa isang napaka mga simpleng halimbawa. Mag-ingat ka. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng isang paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakaisip sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa sa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

At anong iba pang nakakalito na trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sinabi ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong ito sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Naaalala ng mga mathematician na dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay. At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang isip - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Upang gawin ito, kailangan mo lamang tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag parisukat mga numero, at ang pangatlo kubo? Ano ang ibig sabihin nito? Isang napakagandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa sa totoong buhay #1

Magsimula tayo sa isang parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na metro bawat metro. Ang pool ay nasa iyong likod-bahay. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Ngunit ... isang pool na walang ilalim! Kinakailangan na takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang lugar ng ilalim ng pool.

Maaari mo lamang bilangin sa pamamagitan ng pagsundot ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng mga cube metro bawat metro. Kung ang iyong mga tile ay metro bawat metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Pero saan ka nakakita ng ganyang tile? Ang tile ay mas magiging cm sa cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri". Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool, magkakasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, din, mga tile. Kapag nagpaparami, makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na pinarami namin ang parehong numero nang mag-isa upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil ang parehong numero ay pinarami, maaari naming gamitin ang exponentiation technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa ring i-multiply o itaas sa power. Pero kung marami ka, mas madali ang pagtaas sa power at mas kaunti rin ang error sa kalkulasyon. Para sa pagsusulit, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang ikalawang antas ay magiging (). O maaari mong sabihin na tatlumpung squared ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo, bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang nasa chessboard gamit ang parisukat ng numero ... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang panig din. Upang mabilang ang kanilang bilang, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo, o ... kung mapapansin mo na ang isang chessboard ay isang parisukat na may gilid, maaari mong kuwadrado ang walo. Kumuha ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa sa totoong buhay #3

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa pamamagitan ng paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Hindi inaasahan, tama ba?) Gumuhit ng isang pool: isang ilalim na isang metro ang laki at isang metro ang lalim at subukang kalkulahin kung gaano karaming mga cube na may sukat na isang metro sa isang metro ang papasok sa iyong pool.

Ituro mo lang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo... Magkano ang naging resulta? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Sila ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube ... Mas madali, di ba?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung gagawin nilang napakadali. Binawasan ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami sa sarili nito ... At ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong gamitin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang isang daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlo sa isang cube ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito:

Nananatili lamang kabisaduhin ang talahanayan ng mga degree. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari mong patuloy na magbilang gamit ang iyong daliri.

Kaya, upang sa wakas ay makumbinsi ka na ang mga degree ay naimbento ng mga loafers at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa sa totoong buhay #4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, kumikita ka ng isa pang milyon para sa bawat milyon. Ibig sabihin, doble ang bawat isa sa iyong milyon sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri", kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at .. tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - dalawang beses dalawa ... sa ikalawang taon - kung ano ang nangyari, sa pamamagitan ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay pinarami ng sarili nitong isang beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang isang kumpetisyon at ang isa na mas mabilis na nagkalkula ay makakakuha ng mga milyon-milyong ito ... Ito ba ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga antas ng mga numero, ano sa palagay mo?

Halimbawa sa totoong buhay #5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, kikita ka pa ng dalawa sa bawat milyon. Ang galing diba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - multiply sa pamamagitan ng, pagkatapos ay ang resulta sa pamamagitan ng isa pa ... Ito ay nakababagot, dahil naiintindihan mo na ang lahat: tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang pang-apat na kapangyarihan ay isang milyon. Kailangan mo lang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan, gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Mga tuntunin at konsepto ... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan ...

Well, at the same time, ano tulad ng isang base ng degree? Kahit na mas simple ay ang numero na nasa ibaba, sa base.

Narito ang isang larawan para makasigurado ka.

Well at sa pangkalahatang pananaw para gawing pangkalahatan at mas matandaan ... Ang isang degree na may base na "" at isang exponent "" ay binabasa bilang "sa antas" at isinusulat tulad ng sumusunod:

Kapangyarihan ng isang numero na may natural na tagapagpahiwatig

Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, pero ano natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga item: isa, dalawa, tatlo ... Kapag nagbibilang kami ng mga item, hindi namin sinasabi: "minus five", "minus six", "minus seven". Hindi rin namin sinasabing "one third" o "zero point five tenths". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Ano sa palagay mo ang mga numerong ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at isang numero. Madaling maunawaan ang Zero - ito ay kapag wala. At ano ang ibig sabihin ng mga negatibong ("minus") na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang tukuyin ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang lahat ng mga fraction ay mga rational na numero. Paano sila nangyari, sa tingin mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na kulang sila natural na mga numero para sa pagsukat ng haba, timbang, lugar, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero… Kawili-wili, hindi ba?

meron pa ba hindi nakapangangatwiran numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, isang infinite decimal fraction. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwiran na numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (iyon ay, integer at positibo).

1. Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
2. Ang pag-square ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nito:
3. Ang pag-cube ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Magtaas ng numero sa natural na antas nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong beses:
.

Mga katangian ng degree

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin kung ano at ?

Sa pamamagitan ng kahulugan:

Ilang multiplier ang kabuuan?

Ito ay napaka-simple: nagdagdag kami ng mga kadahilanan sa mga kadahilanan, at ang resulta ay mga kadahilanan.

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ang antas ng isang numero na may exponent, iyon ay: , na kinakailangang patunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat pareho ang dahilan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon dapat mong isulat iyon.

2. ibig sabihin -ika-kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat?

Pero hindi totoo yun.

Degree na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang namin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging batayan?

Sa mga degree mula sa natural na tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero. Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung anong mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ? Sa una, ang lahat ay malinaw: gaano man karami mga positibong numero hindi kami nag-multiply sa isa't isa, magiging positive ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, natatandaan namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Pero kung paramihin tayo, lumalabas.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot na tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo.

Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na napakasimple!

6 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng solusyon 6 na halimbawa

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung sila ay pinagpalit, maaaring ilapat ang panuntunan.

Ngunit paano gawin iyon? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Ang mga termino ay nakapagpabago ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo pinangalanan namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang sign "") at ang numero.

positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, tinatanong natin ang ating sarili: bakit ganito?

Isaalang-alang ang ilang kapangyarihan na may base. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa pamamagitan ng, at nakuha ang parehong bilang ito ay -. Anong numero ang dapat i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito rin doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa kanyang sarili, makakakuha ka pa rin ng zero, ito ay malinaw. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero degree, dapat itong pantay. Kaya ano ang katotohanan nito? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero na kapangyarihan. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.

Tayo ay pumunta sa karagdagang. Bilang karagdagan sa mga natural na numero, kasama rin ang mga integer mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang isang negatibong antas, gawin natin ang katulad ng huling pagkakataon: minu-multiply natin ang ilang normal na numero sa pareho sa isang negatibong antas:

Mula dito madali nang ipahayag ang ninanais:

Ngayon pinalawak namin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, buuin natin ang panuntunan:

Ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras hindi maaaring null ang base:(dahil imposibleng hatiin).

Ibuod natin:

I. Ang pagpapahayag ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, ang mga numero ay nakakatakot, ngunit sa pagsusulit kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang solusyon kung hindi mo ito malutas at matututunan mo kung paano madaling harapin ang mga ito sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang hanay ng mga numerong "angkop" bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng iyon ay maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, bukod dito.

Upang maunawaan kung ano ang "fractional degree" Isaalang-alang natin ang isang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:

Ngayon tandaan ang panuntunan "degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas.

Iyon ay, ang ugat ng ika-degree ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation: .

Lumalabas na. Malinaw, ang espesyal na kaso na ito ay maaaring palawigin: .

Ngayon idagdag ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan ang panuntunan: anumang numero na itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang mga ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero!

At nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay hindi makatwiran.

Paano naman ang expression?

Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.

Ang numero ay maaaring kinakatawan bilang iba, pinababang mga fraction, halimbawa, o.

At ito ay lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, at ang mga ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit sa sandaling isulat namin ang tagapagpahiwatig sa ibang paraan, muli kaming nagkakaproblema: (iyon ay, nakakuha kami ng ganap na kakaibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang tanging positibong base exponent na may fractional exponent.

Kaya kung:

• - natural na numero;
• ay isang integer;

Mga halimbawa:

Ang mga kapangyarihan na may rational exponent ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:

5 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

Well, ngayon - ang pinakamahirap. Ngayon ay susuriin natin degree na may hindi makatwirang exponent.

Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa mga degree na may isang rational exponent, maliban sa

Sa katunayan, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga irrational na numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.

Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...walang kapangyarihan- ito ay, parang, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsimulang dumami, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid ang resulta ay isang tiyak na "blangko ng numero" , ibig sabihin ang numero;

...negatibong integer exponent- para bang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Nagkataon, sa agham, isang degree na may kumplikadong tagapagpahiwatig, ibig sabihin, ang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matutunan mo kung paano lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa dati nang panuntunan para sa pagpapataas ng degree sa isang degree:

Ngayon tingnan ang iskor. May naaalala ba siya sa iyo? Naaalala namin ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga parisukat:

Sa kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Dinadala namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong decimal o parehong ordinaryo. Nakukuha namin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Kahulugan ng degree

Ang antas ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

• — base ng degree;
• - exponent.

Degree na may natural na exponent (n = 1, 2, 3,...)

Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:

Power na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)

Kung ang exponent ay positibong integer numero:

paninigas sa zero na kapangyarihan:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.

Kung ang exponent ay integer negatibo numero:

(dahil imposibleng hatiin).

Isa pang beses tungkol sa nulls: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Degree na may rational exponent

• - natural na numero;
• ay isang integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng degree

Para mas madaling malutas ang mga problema, subukan nating unawain: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

Sa pamamagitan ng kahulugan:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito, ang sumusunod na produkto ay nakuha:

Ngunit ayon sa kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat may parehong batayan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon dapat kong isulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ayusin natin ito tulad nito:

Lumalabas na ang expression ay pinarami ng isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang -th na kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:!

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat? Pero hindi totoo yun.

Power na may negatibong base.

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lang natin kung ano ang dapat index degree. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa mga degree mula sa natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung anong mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, natatandaan namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Ngunit kung i-multiply natin sa (), makakakuha tayo ng -.

At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami, magbabago ang tanda. Posibleng bumalangkas ng ganoon simpleng tuntunin:

1. kahit degree, - numero positibo.
2. Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
3. Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
4. Zero sa anumang kapangyarihan sero.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot na tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung natatandaan mo iyon, ito ay nagiging malinaw na, na nangangahulugan na ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa bawat isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago i-disassemble huling tuntunin Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Kalkulahin ang mga halaga ng mga expression:

Mga solusyon :

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat!

Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano ito gagawin? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ay ganito ang hitsura:

Ang mga termino ay nakapagpabago ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket. Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago nang sabay-sabay! Hindi ito mapapalitan ng pagbabago lamang ng isang hindi kanais-nais na minus sa amin!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling panuntunan:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin:

Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Gaano karaming mga titik ang magkakaroon? beses sa pamamagitan ng multiplier - ano ang hitsura nito? Ito ay walang iba kundi ang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: total nagkaroon pala ng multipliers. Iyon ay, ito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent:

Halimbawa:

Degree na may hindi makatwirang exponent

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwirang tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero degree ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang i-multiply, na nangangahulugan na ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero", katulad ng isang numero; isang degree na may isang integer negatibong tagapagpahiwatig - ito ay parang isang tiyak na "reverse na proseso" ay naganap, iyon ay, ang numero ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwirang exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Sa halip, ito ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng isang antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, ang agham ay madalas na gumagamit ng isang degree na may isang kumplikadong exponent, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Mga sagot:

1. Tandaan ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .
2. Dinadala namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal, o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .
3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang mga katangian ng mga degree:

BUOD NG SEKSYON AT BATAYANG FORMULA

Degree ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

Degree na may integer exponent

degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (i.e. integer at positive).

Degree na may rational exponent

degree, ang indicator kung saan ay negatibo at fractional na mga numero.

Degree na may hindi makatwirang exponent

exponent na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.

Mga katangian ng degree

Mga tampok ng degree.

• Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
• Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
• Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
• Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
• Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.

NGAYON MAY SALITA KA NA...

Paano mo gusto ang artikulo? Ipaalam sa akin sa mga komento sa ibaba kung nagustuhan mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa mga katangian ng kapangyarihan.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!

Sa pagpapatuloy ng pag-uusap tungkol sa antas ng isang numero, makatuwirang harapin ang paghahanap ng halaga ng antas. Ang prosesong ito ay pinangalanan pagpaparami. Sa artikulong ito, pag-aaralan lang natin kung paano ginaganap ang exponentiation, habang hinahawakan ang lahat ng posibleng exponents - natural, integer, rational at irrational. At ayon sa tradisyon, isasaalang-alang namin nang detalyado ang mga solusyon sa mga halimbawa ng pagtaas ng mga numero sa iba't ibang antas.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng "exponentiation"?

Magsimula tayo sa pagpapaliwanag kung ano ang tinatawag na exponentiation. Narito ang nauugnay na kahulugan.

Kahulugan.

Exponentiation ay upang mahanap ang halaga ng kapangyarihan ng isang numero.

Kaya, ang paghahanap ng halaga ng kapangyarihan ng a na may exponent r at pagtaas ng bilang a sa kapangyarihan ng r ay ang parehong bagay. Halimbawa, kung ang gawain ay "kalkulahin ang halaga ng kapangyarihan (0.5) 5", maaari itong reformulated tulad ng sumusunod: "Itaas ang numero 0.5 sa kapangyarihan ng 5".

Ngayon ay maaari kang direktang pumunta sa mga panuntunan kung saan isinasagawa ang exponentiation.

Pagtaas ng numero sa natural na kapangyarihan

Sa pagsasagawa, ang pagkakapantay-pantay batay sa ay karaniwang inilalapat sa anyo . Iyon ay, kapag itinaas ang numero a sa isang fractional power m / n, ang ugat ng nth degree mula sa numero a ay unang nakuha, pagkatapos kung saan ang resulta ay itataas sa isang integer power m.

Isaalang-alang ang mga solusyon sa mga halimbawa ng pagtaas sa isang fractional power.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng antas.

Solusyon.

Nagpapakita kami ng dalawang solusyon.

Unang paraan. Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent. Kinakalkula namin ang halaga ng antas sa ilalim ng tanda ng ugat, pagkatapos ay kinuha namin ang ugat ng kubo: .

Ang pangalawang paraan. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may fractional exponent at batay sa mga katangian ng mga ugat, ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo . Ngayon kunin ang ugat Sa wakas, itataas namin sa isang integer na kapangyarihan .

Malinaw, ang nakuha na mga resulta ng pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan ay nagtutugma.

Sagot:

Tandaan na ang fractional exponent ay maaaring isulat bilang decimal fraction o halo-halong numero, sa mga kasong ito dapat itong palitan ng kaukulang ordinaryong fraction, pagkatapos kung saan dapat isagawa ang exponentiation.

Halimbawa.

Kalkulahin (44.89) 2.5 .

Solusyon.

Isinulat namin ang exponent sa anyo ng isang ordinaryong fraction (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo): . Ngayon nagsasagawa kami ng pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan:

Sagot:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Dapat ding sabihin na ang pagpapataas ng mga numero sa rational powers ay isang medyo matrabahong proseso (lalo na kapag ang numerator at denominator ng fractional exponent ay naglalaman ng sapat na malalaking numero), na kadalasang isinasagawa gamit ang teknolohiya ng computer.

Sa pagtatapos ng talatang ito, tatalakayin natin ang pagbuo ng numerong zero sa isang fractional power. Ibinigay namin ang sumusunod na kahulugan sa fractional degree ng zero ng form: dahil mayroon kami , habang ang zero sa kapangyarihan m/n ay hindi tinukoy. Kaya, ang zero sa isang positibong fractional power ay zero, halimbawa, . At ang zero sa isang fractional na negatibong kapangyarihan ay hindi makatwiran, halimbawa, ang mga expression at 0 -4.3 ay walang katuturan.

Pagtaas sa isang hindi makatwirang kapangyarihan

Minsan ito ay nagiging kinakailangan upang malaman ang halaga ng antas ng isang numero na may hindi makatwirang exponent. Sa kasong ito, para sa mga praktikal na layunin, kadalasan ay sapat na upang makuha ang halaga ng antas hanggang sa isang tiyak na tanda. Napansin namin kaagad na sa pagsasagawa ang halagang ito ay kinakalkula gamit ang electronic computing technology, dahil ang manu-manong pagtaas sa isang hindi makatwiran na kapangyarihan ay nangangailangan ng isang malaking bilang ng mga masalimuot na kalkulasyon. Gayunpaman, ilalarawan namin sa mga pangkalahatang tuntunin kakanyahan ng pagkilos.

Upang makakuha ng tinatayang halaga ng kapangyarihan ng a na may hindi makatwirang exponent, kinukuha ang ilang decimal approximation ng exponent, at kinakalkula ang halaga ng exponent. Ang halagang ito ay ang tinatayang halaga ng antas ng numero a na may hindi makatwirang exponent. Ang mas tumpak na decimal approximation ng isang numero ay kinukuha sa simula, mas marami eksaktong halaga degree ay makukuha sa dulo.

Bilang halimbawa, kalkulahin natin ang tinatayang halaga ng kapangyarihan ng 2 1.174367... . Kunin natin ang sumusunod na decimal approximation ng isang hindi makatwirang indicator: . Ngayon itinaas namin ang 2 sa isang makatwirang kapangyarihan na 1.17 (inilarawan namin ang kakanyahan ng prosesong ito sa nakaraang talata), nakukuha namin ang 2 1.17 ≈ 2.250116. Sa ganitong paraan, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Kung kukuha tayo ng mas tumpak na pagtatantya ng desimal ng isang hindi makatwirang exponent, halimbawa, , pagkatapos ay makakakuha tayo ng mas tumpak na halaga ng orihinal na degree: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematics Zh textbook para sa 5 cell. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang aklat-aralin para sa 7 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang aklat-aralin para sa 9 na mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).

1) Degree na may natural na indicator:

May mga problema sa lupain ng mga numero. Nagtipon ang mga astronomo upang kalkulahin ang laki ng nakikitang bahagi ng uniberso. Nagtalo sila na para dito kinakailangan na i-multiply ang bilang na 10 sa sarili nitong 25 beses. Dahil nangangailangan ito ng maraming espasyo, hiniling nila ang demolisyon ng Palasyo ng Eucis Algorithm, ang eksibisyon ng kambal na numero at marami pang ibang bagay. Bagama't gustong malaman ng lahat kung ano ang ating uniberso, walang gustong magsakripisyo ng ganoon kaganda at mahahalagang istruktura. Isang komisyon ang na-set up upang hanapin ang kinakailangang libreng espasyo, ngunit hindi nagtagal ay umabot sa dead end.

Sa hindi inaasahang posisyon ng multiplication table. Sinabi niya ang kanyang kuwento: - Ako ay naimbento upang hindi tupi malaking bilang ng ang parehong mga termino. Pagkatapos ng lahat, ngayon ay walang nagsusulat ng 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, ngayon ay sumusulat sila ng 3 x 7. Ito ay nakakatipid ng maraming espasyo. Mag-isip tayo ng katulad na bagay para sa multiplikasyon.

At naisip nila ito kaagad. Ang bilang ng mga kadahilanan ay nagsimulang isulat bilang isang maliit na numero sa likod ng numero:

Nagsimulang tawagin ang buong ekspresyon degree, ang bilang ng mga salik (ang maliit na bilang sa itaas) ay ang exponent, at ang salik mismo ay ang batayan ng antas.

Sa wala pang kalahating oras, isang bagong aksyon ang taimtim na ipinakilala - ang pagtaas sa isang kapangyarihan, habang ang 5 6, 17 4 at marami pang iba ay nagsimulang tumakbo sa buong bansa ng mga numero. Ngunit ang pagtakbo lamang ay hindi kawili-wili, gusto kong magsagawa ng karagdagan, pagpaparami, pagbabawas, iyon ay, upang kumilos tulad ng lahat ng mga disenteng numero. at lumitaw ang mga sumusunod na problema. Pagkatapos ng pagpapakilala ng mga aksyon, kailangan mong i-install mga tuntunin ng pagkilos upang hindi makagambala sa sinuman at hindi lumabag sa anumang batas.

Una sinubukan nilang magsagawa ng karagdagan, binuksan ang code ng mga batas at walang nakita. Hindi man lang nila inisip ang pagbabawas, at napakadali ng multiplikasyon, dahil ang bawat antas ay nakukuha mula sa mga salik, na nangangahulugan na kung kukuha tayo ng parehong mga batayan ng antas, kung gayon

Isang bagong tuntunin ang kaagad na isinulat sa kodigo ng mga batas:

Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ay nagdaragdag

Nagkaroon ng mga problema sa dibisyon. Tila sa lahat na kung ang paghahati ay kabaligtaran ng pagpaparami, kung gayon ang paghahati ay dapat ibawas, ngunit kung, at kung. Pagkatapos ay napagpasyahan (sa ilalim ng impluwensya ng konserbatibong minorya) na

, kung m>n, at kung n>m.

Iminungkahi na subukan ang mga bagong panuntunan 6 5 at 6 3:, at

Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base ang mga tagapagpahiwatig ay ibinabawas . at mahirap magbalangkas ng kumpletong tuntunin.

Nakipag-usap din kami sa mga degree na may iba't ibang mga base at parehong mga tagapagpahiwatig. Ang mga commutative at associative na batas ay dumating upang iligtas:, dahil;

Upang i-multiply ang mga kapangyarihan na may parehong exponent, i-multiply ang mga base at iwanan ang exponent na hindi nagbabago.

Upang hatiin ang mga degree na may parehong mga base, kinakailangan upang hatiin ang mga base, at iwanan ang exponent na hindi nagbabago.

Ito ay naka-out na maaari mo ring itaas ang mga degree sa isang kapangyarihan.

Dumating na ang public holiday. Lalo kong nagustuhan ang pagbabawas ng mga fraction, na nabubulok ang mga ito sa mga salik:

Ang regalo ay iniharap ng distributive law. Iminungkahi niya kung paano magdagdag ng pantay na kapangyarihan, Halimbawa, , , mga . maaari kang magdagdag ng mga coefficient.

At kung ang mga degree na may parehong mga base, ngunit may iba't ibang mga coefficient, maaari mong alisin ang karaniwang kadahilanan mula sa bracket:

2) mga degree na may negatibong tagapagpahiwatig:

Ang lahat ay nakasanayan na sa mga aksyon na may mga kapangyarihan na may mga natural na exponents (tinatawag silang gayon dahil ang mga exponent ay mga natural na numero).

At may mga hindi nasisiyahan, ang mga hindi nakikibahagi sa paglikha ng mga bagong numero.Ang mga rebolusyonaryong-isip na kinatawan ng mga negatibong numero ay nagpahayag na sila ay inapi, hindi pinahintulutan ang agham na umunlad,

Alam ng lahat na kapag ang pagbabawas, 0 ay maaaring makuha, pati na rin ang mga negatibong numero, sinabi nila at inayos ang isang kilusan bilang suporta sa mga degree na may negatibong tagapagpahiwatig.

Paano magkakaroon ng negatibong bilang ng mga kadahilanan? - nagulat ang mga natural na numero.

Ito ay kinakailangan upang matukoy, ito ay angkop lamang sa iyong panuntunan: .

At ang mga degree na may negatibong exponent upang matukoy kung paano (Z - - mga negatibong integer).

Halimbawa,

Pagkatapos ang formula para sa paghahati ng mga kapangyarihan ay nagiging simple

Buweno, - sabi ng mga tagapag-ingat ng Kodigo ng mga Batas, - pagkatapos ay patunayan na ang lahat ng mga patakaran para sa mga aksyon na may mga antas ay mapangalagaan kahit na ang mga antas na may mga negatibong tagapagpahiwatig ay ipinakilala.

Bukod dito, ang mga negatibong numero ay nag-aalok ng blueprint para sa pagpapatunay ng lahat ng theorems tungkol sa mga aksyon na may kapangyarihan.

1. Sa expression, ayon sa kahulugan, palitan ang degree ng negatibong indicator ng degree na may natural na indicator.

2. Magsagawa ng mga aksyon ayon sa mga tuntunin ng mga aksyon na may mga degree na may natural na mga tagapagpahiwatig

3. Sa pamamagitan ng kahulugan, lumipat mula sa mga degree na may natural na mga exponent patungo sa mga degree na may mga negatibong exponents.

Nagbigay din sila ng mga mapaglarawang halimbawa: , maaari kang sumulat ng mas maikli:

Kaya, lumabas na ang lahat ng mga patakaran ng pagkilos ay napanatili para sa mga degree na may mga negatibong tagapagpahiwatig.

3) degrees na may fractional indicator:

kapag kinukuha ang ugat mula sa degree, ang exponent ay nahahati sa root exponent, kung ang naturang dibisyon ay ganap na ginanap; halimbawa: √ a 4 = a 2 , 3 √x 9 = x 3 at iba pa. Sumang-ayon tayo ngayon na palawigin ang panuntunang ito sa mga kaso kung saan ang exponent ay hindi nahahati ng exponent ng root. Halimbawa, sumasang-ayon kaming tanggapin iyon

Sa pangkalahatan, sumasang-ayon kami na ang expression ay nangangahulugang ang ugat, ang exponent nito ay ang denominator, at ang exponent ng root number ay ang numerator ng fractional exponent (i.e. n √isang m ).

Sumang-ayon din tayo na payagan ang mga negatibong fractional exponents sa parehong kahulugan kung saan pinapayagan namin ang mga negatibong integer exponents; halimbawa, sabihin natin na

Magkomento. Ang mga fractional exponents ay ipinakilala sa algebra pangunahin ng Dutch engineer na si Simon Stevin noong unang bahagi ng ika-17 siglo Nang maglaon, sa huling bahagi ng ika-17 siglo, ang propesor ng Oxford na si John Wallis ay nagpakilala ng mga negatibong exponent.

259. Ang pangunahing katangian ng isang fractional indicator. Ang halaga ng degree na may fractional exponent ay hindi magbabago kung i-multiply o hahatiin natin sa parehong numero (maliban sa zero) ang numerator at denominator ng fractional exponent. Kaya:

Sa katunayan, ang denominator ng isang fractional indicator ay nangangahulugang ang tagapagpahiwatig ng ugat, at ang numerator nito ay nangangahulugang ang tagapagpahiwatig ng radikal na expression, at ang mga naturang tagapagpahiwatig, tulad ng nakita natin, ay maaaring i-multiply at hatiin sa parehong numero.

Batay sa ari-arian na ito, magagawa natin i-convert ang isang fractional exponent sa eksaktong parehong paraan tulad ng karaniwang fraction : halimbawa, maaari nating bawasan ang isang fractional indicator, o magdala ng ilang fractional indicator sa isang denominator.

Mga expression, conversion ng expression

Mga pagpapahayag ng kapangyarihan (mga ekspresyong may kapangyarihan) at ang kanilang pagbabago

Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa pagbabago ng mga expression na may mga kapangyarihan. Una, tututuon tayo sa mga pagbabagong ginagawa gamit ang anumang uri ng mga expression, kabilang ang mga power expression, gaya ng pagbubukas ng mga bracket, pagbabawas ng mga katulad na termino. At pagkatapos ay susuriin natin ang mga pagbabagong likas na partikular sa mga expression na may mga degree: nagtatrabaho sa base at exponent, gamit ang mga katangian ng mga degree, atbp.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang Power Expressions?

Ang terminong "mga expression ng kapangyarihan" ay halos hindi matatagpuan sa mga aklat-aralin sa matematika ng paaralan, ngunit madalas itong lumilitaw sa mga koleksyon ng mga problema, lalo na idinisenyo upang maghanda para sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri at ang OGE, halimbawa,. Pagkatapos suriin ang mga gawain kung saan kinakailangan na magsagawa ng anumang mga aksyon na may mga power expression, nagiging malinaw na ang mga power expression ay nauunawaan bilang mga expression na naglalaman ng mga degree sa kanilang mga entry. Samakatuwid, para sa iyong sarili, maaari mong kunin ang sumusunod na kahulugan:

Kahulugan.

Mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay mga ekspresyong naglalaman ng mga kapangyarihan.

Dalhin natin mga halimbawa ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Bukod dito, kakatawanin namin sila ayon sa kung paano nagaganap ang pagbuo ng mga pananaw mula sa isang antas na may natural na tagapagpahiwatig hanggang sa isang antas na may tunay na tagapagpahiwatig.

Tulad ng alam mo, una mong makikilala ang antas ng isang numero na may natural na exponent, sa yugtong ito ang unang pinakasimpleng mga expression ng kapangyarihan ng uri 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atbp.

Maya-maya, pinag-aralan ang kapangyarihan ng isang numero na may integer exponent, na humahantong sa paglitaw ng mga power expression na may negatibong integer na kapangyarihan, tulad ng sumusunod: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

Sa mga senior class, babalik sila sa degree muli. Doon, ipinakilala ang isang degree na may rational exponent, na humahantong sa paglitaw ng kaukulang mga expression ng kapangyarihan: , , atbp. Panghuli, ang mga degree na may mga hindi makatwirang exponent at mga expression na naglalaman ng mga ito ay isinasaalang-alang: , .

Ang usapin ay hindi limitado sa nakalistang mga expression ng kapangyarihan: lalo pang tumagos ang variable sa exponent, at mayroong, halimbawa, mga expression na 2 x 2 +1 o . At pagkatapos na makilala, ang mga expression na may mga kapangyarihan at logarithms ay nagsisimulang lumitaw, halimbawa, x 2 lgx −5 x lgx.

Kaya, nalaman namin ang tanong kung ano ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Susunod, matututunan natin kung paano baguhin ang mga ito.

Ang mga pangunahing uri ng mga pagbabagong-anyo ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan

Gamit ang mga power expression, maaari mong gawin ang alinman sa mga pangunahing pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression. Halimbawa, maaari mong buksan ang mga bracket, palitan mga numeric na expression kanilang mga halaga, nagdadala ng mga katulad na termino, atbp. Naturally, sa kasong ito kinakailangan na sundin ang tinatanggap na pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga aksyon. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng power expression 2 3 ·(4 2 −12) .

Solusyon.

Ayon sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon, ginagawa muna namin ang mga aksyon sa mga bracket. Doon, una, pinapalitan namin ang kapangyarihan ng 4 2 sa halaga nito na 16 (tingnan kung kinakailangan), at pangalawa, kinakalkula namin ang pagkakaiba 16−12=4 . Meron kami 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Sa resultang expression, pinapalitan namin ang kapangyarihan ng 2 3 sa halaga nito 8 , pagkatapos ay kalkulahin namin ang produkto 8·4=32 . Ito ang nais na halaga.

Kaya, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Sagot:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expressions 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Solusyon.

Malinaw, ang expression na ito ay naglalaman ng mga katulad na termino 3 · a 4 · b − 7 at 2 · a 4 · b − 7 , at maaari nating bawasan ang mga ito: .

Sagot:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Halimbawa.

Ipahayag ang isang pagpapahayag na may mga kapangyarihan bilang isang produkto.

Solusyon.

Upang makayanan ang gawain ay nagbibigay-daan sa representasyon ng numero 9 bilang isang kapangyarihan ng 3 2 at ang kasunod na paggamit ng pinaikling formula ng pagpaparami, ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Sagot:

Mayroon ding ilang magkakaparehong pagbabagong likas sa mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Susunod, susuriin natin ang mga ito.

Paggawa gamit ang base at exponent

Mayroong mga degree, sa batayan at / o tagapagpahiwatig na hindi lamang mga numero o variable, ngunit ilang mga expression. Bilang halimbawa, isulat natin ang (2+0.3 7) 5−3.7 at (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Kapag nagtatrabaho sa gayong mga expression, posibleng palitan ang parehong expression sa base ng degree at ang expression sa indicator na may magkaparehong pantay na expression sa DPV ng mga variable nito. Sa madaling salita, ayon sa mga patakaran na kilala sa amin, maaari naming hiwalay na i-convert ang base ng degree, at hiwalay - ang tagapagpahiwatig. Ito ay malinaw na bilang isang resulta ng pagbabagong ito, ang isang expression ay nakuha na kaparehong katumbas ng orihinal.

Ang ganitong mga pagbabago ay nagpapahintulot sa amin na pasimplehin ang mga expression na may mga kapangyarihan o makamit ang iba pang mga layunin na kailangan namin. Halimbawa, sa power expression (2+0.3 7) 5−3.7 na binanggit sa itaas, maaari kang magsagawa ng mga operasyon na may mga numero sa base at exponent, na magbibigay-daan sa iyong pumunta sa kapangyarihan ng 4.1 1.3. At pagkatapos buksan ang mga bracket at magdala ng mga katulad na termino sa base ng degree (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) mas nakakakuha tayo ng power expression simpleng anyo isang 2 (x+1) .

Paggamit ng Power Properties

Ang isa sa mga pangunahing tool para sa pagbabago ng mga expression na may kapangyarihan ay ang mga pagkakapantay-pantay na sumasalamin sa . Alalahanin natin ang mga pangunahing. Para sa anumang positibong numero a at b at arbitrary na tunay na mga numero r at s, ang mga sumusunod na katangian ng kapangyarihan ay nagtataglay:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Tandaan na para sa natural, integer, at positibong exponent, maaaring hindi masyadong mahigpit ang mga paghihigpit sa mga numerong a at b. Halimbawa, para sa mga natural na bilang na m at n, ang pagkakapantay-pantay na a m ·a n =a m+n ay totoo hindi lamang para sa positibong a , kundi pati na rin sa mga negatibo, at para sa a=0 .

Sa paaralan, ang pangunahing pansin sa pagbabagong-anyo ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay tiyak na nakatuon sa kakayahang pumili ng naaangkop na pag-aari at ilapat ito nang tama. Sa kasong ito, ang mga base ng mga degree ay karaniwang positibo, na nagpapahintulot sa iyo na gamitin ang mga katangian ng mga degree nang walang mga paghihigpit. Ang parehong naaangkop sa pagbabagong-anyo ng mga expression na naglalaman ng mga variable sa mga base ng mga degree - ang lugar pinahihintulutang halaga Ang mga variable ay kadalasang tulad nito na ang mga base ay kumukuha lamang ng mga positibong halaga, na nagpapahintulot sa iyo na malayang gamitin ang mga katangian ng mga degree. Sa pangkalahatan, kailangan mong patuloy na tanungin ang iyong sarili kung posible bang mag-aplay ng anumang ari-arian ng mga degree sa kasong ito, dahil ang hindi tumpak na paggamit ng mga ari-arian ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng ODZ at iba pang mga problema. Ang mga puntong ito ay tinalakay nang detalyado at may mga halimbawa sa artikulong pagbabago ng mga expression gamit ang mga katangian ng mga degree. Dito ikukulong natin ang ating sarili sa ilang simpleng halimbawa.

Halimbawa.

Ipahayag ang expression na a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 bilang isang kapangyarihan na may base a .

Solusyon.

Una, binabago natin ang pangalawang kadahilanan (a 2) -3 sa pamamagitan ng pag-aari ng pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Sa kasong ito, ang paunang pagpapahayag ng kapangyarihan ay kukuha ng anyong 2.5 ·a −6:a −5.5 . Malinaw, nananatili itong gamitin ang mga katangian ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan sa parehong base, meron kami
isang 2.5 a -6:a -5.5 =
a 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Sagot:

isang 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

Ginagamit ang mga power properties kapag binabago ang mga power expression mula kaliwa pakanan at mula kanan papuntang kaliwa.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng pagpapahayag ng kapangyarihan.

Solusyon.

Ang pagkakapantay-pantay (a·b) r =a r ·b r , na inilapat mula kanan pakaliwa, ay nagbibigay-daan sa iyong pumunta mula sa orihinal na expression patungo sa produkto ng form at higit pa. At kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga tagapagpahiwatig ay nagdaragdag: .

Posibleng isagawa ang pagbabago ng orihinal na expression sa ibang paraan:

Sagot:

.

Halimbawa.

Dahil sa power expression a 1.5 −a 0.5 −6 , magpasok ng bagong variable t=a 0.5 .

Solusyon.

Ang degree na a 1.5 ay maaaring katawanin bilang isang 0.5 3 at higit pa sa batayan ng pag-aari ng degree sa degree (a r) s =a r s na inilapat mula kanan pakaliwa, i-convert ito sa form (a 0.5) 3 . Sa ganitong paraan, a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. Ngayon ay madaling magpakilala ng bagong variable t=a 0.5 , nakukuha natin ang t 3 −t−6 .

Sagot:

t 3 −t−6 .

Pag-convert ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan

Ang mga power expression ay maaaring maglaman ng mga fraction na may kapangyarihan o kumakatawan sa mga naturang fraction. Ang alinman sa mga pangunahing pagbabago ng fraction na likas sa mga fraction ng anumang uri ay ganap na naaangkop sa mga naturang fraction. Iyon ay, ang mga fraction na naglalaman ng mga degree ay maaaring bawasan, bawasan sa isang bagong denominator, gumana nang hiwalay sa kanilang numerator at hiwalay sa denominator, atbp. Upang ilarawan ang mga salita sa itaas, isaalang-alang ang mga solusyon ng ilang mga halimbawa.

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expression .

Solusyon.

Ang power expression na ito ay isang fraction. Gawin natin ang numerator at denominator nito. Sa numerator, binubuksan namin ang mga bracket at pinasimple ang expression na nakuha pagkatapos nito gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, at sa denominator ay nagpapakita kami ng mga katulad na termino:

At binabago din namin ang tanda ng denominator sa pamamagitan ng paglalagay ng minus sa harap ng fraction: .

Sagot:

.

Ang pagbabawas ng naglalaman ng mga kapangyarihan ng mga fraction sa isang bagong denominator ay isinasagawa katulad ng pagbabawas sa isang bagong denominator rational fractions. Kasabay nito, ang isang karagdagang kadahilanan ay matatagpuan din at ang numerator at denominator ng fraction ay pinarami nito. Kapag ginagawa ang pagkilos na ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang pagbawas sa isang bagong denominator ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng DPV. Upang maiwasang mangyari ito, kinakailangan na ang karagdagang kadahilanan ay hindi maglaho para sa anumang mga halaga ng mga variable mula sa mga variable ng ODZ para sa orihinal na expression.

Halimbawa.

Dalhin ang mga fraction sa isang bagong denominator: a) sa denominator a, b) sa denominator.

Solusyon.

a) Sa kasong ito, medyo madaling malaman kung anong karagdagang kadahilanan ang nakakatulong upang makamit ang ninanais na resulta. Isa itong multiplier a 0.3, dahil isang 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a . Tandaan na sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng variable a (ito ang hanay ng lahat ng positibong tunay na numero), ang degree na 0.3 ay hindi naglalaho, samakatuwid, may karapatan tayong i-multiply ang numerator at denominator ng ibinigay na fraction sa pamamagitan ng karagdagang salik na ito:

b) Sa mas malapit na pagtingin sa denominator, makikita natin iyon

at ang pagpaparami ng expression na ito sa ay magbibigay ng kabuuan ng mga cube at , iyon ay, . At ito ang bagong denominator kung saan kailangan nating dalhin ang orihinal na fraction.

Kaya nakakita kami ng karagdagang kadahilanan. Ang expression ay hindi nawawala sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable na x at y, samakatuwid, maaari nating i-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan nito:

Sagot:

a) , b) .

Wala ring bago sa pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga degree: ang numerator at denominator ay kinakatawan bilang isang tiyak na bilang ng mga kadahilanan, at ang parehong mga kadahilanan ng numerator at denominator ay nababawasan.

Halimbawa.

Bawasan ang fraction: a) , b).

Solusyon.

a) Una, ang numerator at denominator ay maaaring bawasan ng mga numerong 30 at 45, na katumbas ng 15. Gayundin, malinaw naman, maaari mong bawasan ng x 0.5 +1 at ng . Narito ang mayroon tayo:

b) Sa kasong ito, ang parehong mga kadahilanan sa numerator at denominator ay hindi agad makikita. Upang makuha ang mga ito, kailangan mong magsagawa ng mga paunang pagbabago. Sa kasong ito, binubuo sila sa pag-decomposing ng denominator sa mga kadahilanan ayon sa pagkakaiba ng formula ng mga parisukat:

Sagot:

a)

b) .

Ang pagbabawas ng mga fraction sa isang bagong denominator at pagbabawas ng mga fraction ay pangunahing ginagamit upang magsagawa ng mga operasyon sa mga fraction. Ang mga aksyon ay isinasagawa ayon sa mga kilalang panuntunan. Kapag nagdadagdag (nagbabawas) ng mga fraction, ang mga ito ay binabawasan sa isang karaniwang denominator, pagkatapos ay ang mga numerator ay idinagdag (binawas), at ang denominator ay nananatiling pareho. Ang resulta ay isang fraction na ang numerator ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominador. Ang paghahati sa isang fraction ay multiplikasyon sa pamamagitan ng katumbas nito.

Halimbawa.

Sundin ang mga hakbang .

Solusyon.

Una, ibawas natin ang mga fraction sa mga bracket. Upang gawin ito, dinadala namin ang mga ito sa isang karaniwang denominator, na , pagkatapos ay ibawas ang mga numerator:

Ngayon kami ay nagpaparami ng mga fraction:

Malinaw, ang pagbawas ng kapangyarihan x 1/2 ay posible, pagkatapos nito ay mayroon na tayo .

Maaari mo ring gawing simple ang power expression sa denominator sa pamamagitan ng paggamit ng difference ng squares formula: .

Sagot:

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expression .

Solusyon.

Malinaw, ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng (x 2.7 +1) 2, ito ay nagbibigay ng fraction . Malinaw na may ibang kailangang gawin sa mga kapangyarihan ng x. Upang gawin ito, kino-convert namin ang resultang fraction sa isang produkto. Nagbibigay ito sa amin ng pagkakataong gamitin ang pag-aari ng paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan: . At sa dulo ng proseso na ating pinagdaraanan huling gawain sa fraction.

Sagot:

.

At idinagdag namin na posible at sa maraming mga kaso ay kanais-nais na ilipat ang mga kadahilanan na may mga negatibong exponent mula sa numerator patungo sa denominator o mula sa denominator patungo sa numerator sa pamamagitan ng pagbabago ng sign ng exponent. Ang ganitong mga pagbabago ay kadalasang nagpapasimple ng mga karagdagang aksyon. Halimbawa, ang isang power expression ay maaaring palitan ng .

Pag-convert ng mga expression na may mga ugat at kapangyarihan

Kadalasan sa mga expression kung saan kinakailangan ang ilang pagbabago, kasama ang mga degree na may mga fractional exponents, mayroon ding mga ugat. Upang i-convert ang gayong expression sa nais na anyo, sa karamihan ng mga kaso ito ay sapat na upang pumunta lamang sa mga ugat o lamang sa mga kapangyarihan. Ngunit dahil ito ay mas maginhawa upang gumana sa mga degree, sila ay karaniwang lumipat mula sa mga ugat hanggang sa mga degree. Gayunpaman, ipinapayong magsagawa ng gayong paglipat kapag ang ODZ ng mga variable para sa orihinal na expression ay nagbibigay-daan sa iyo na palitan ang mga ugat ng mga degree nang hindi kinakailangang i-access ang module o hatiin ang ODZ sa ilang mga agwat (tinalakay namin ito nang detalyado sa artikulo, ang paglipat mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan at kabaligtaran Pagkatapos makilala ang antas na may makatwirang exponent isang degree na may hindi makatwiran na tagapagpahiwatig ay ipinakilala, na ginagawang posible na magsalita ng isang degree na may arbitrary na tunay na tagapagpahiwatig. Sa yugtong ito, ang nagsisimulang mag-aral ang paaralan exponential function, na kung saan ay analytically ibinigay sa pamamagitan ng antas, sa batayan ng kung saan mayroong isang numero, at sa indicator - isang variable. Kaya tayo ay nahaharap sa mga expression ng kapangyarihan na naglalaman ng mga numero sa base ng antas, at sa exponent - mga expression na may mga variable, at natural na ang pangangailangan ay lumitaw upang maisagawa ang mga pagbabagong-anyo ng naturang mga expression.

Dapat sabihin na ang pagbabagong-anyo ng mga expression ng ipinahiwatig na uri ay karaniwang kailangang isagawa kapag nagresolba mga exponential equation at exponential inequalities, at ang mga pagbabagong ito ay medyo simple. Sa karamihan ng mga kaso, ang mga ito ay nakabatay sa mga katangian ng antas at higit na naglalayong magpakilala ng bagong variable sa hinaharap. Ang equation ay magpapahintulot sa amin na ipakita ang mga ito 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Una, ang mga exponents, kung saan ang mga exponents ay natagpuan ang kabuuan ng ilang variable (o expression na may mga variable) at isang numero, ay pinapalitan ng mga produkto. Nalalapat ito sa una at huling termino ng expression sa kaliwang bahagi:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Dagdag pa, ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ay nahahati sa expression na 7 2 x , na kumukuha lamang ng mga positibong halaga sa ODZ ng variable x para sa orihinal na equation (ito ay karaniwang pagtanggap paglutas ng mga equation ng ganitong uri, hindi ito tungkol sa kanya ngayon, kaya tumuon sa mga kasunod na pagbabagong-anyo ng mga expression na may mga kapangyarihan):

Ngayon ang mga fraction na may kapangyarihan ay kinansela, na nagbibigay .

Sa wakas, ang ratio ng mga kapangyarihan na may parehong mga exponents ay pinalitan ng mga kapangyarihan ng mga ratio, na humahantong sa equation , na katumbas ng . Ang mga pagbabagong ginawa ay nagpapahintulot sa amin na magpakilala ng isang bagong variable, na binabawasan ang solusyon ng orihinal na exponential equation sa solusyon ng quadratic equation

Ang exponent ay ginagamit upang gawing mas madaling isulat ang pagpapatakbo ng pagpaparami ng isang numero nang mag-isa. Halimbawa, sa halip na magsulat, maaari kang magsulat 4 5 (\displaystyle 4^(5))(Ang isang paliwanag ng naturang paglipat ay ibinigay sa unang seksyon ng artikulong ito). Pinapadali ng mga kapangyarihan ang pagsulat ng mahaba o kumplikadong mga expression o equation; gayundin, ang mga kapangyarihan ay madaling idinagdag at ibinabawas, na nagreresulta sa pagpapasimple ng isang expression o equation (halimbawa, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Tandaan: kung kailangan mong magdesisyon exponential equation(sa naturang equation ang hindi alam ay nasa exponent), basahin ang .

Mga hakbang

Paglutas ng mga simpleng problema gamit ang mga kapangyarihan

I-multiply ang base ng exponent sa sarili nitong ilang beses na katumbas ng exponent. Kung kailangan mong lutasin ang isang problema sa mga exponent nang manu-mano, muling isulat ang exponent bilang isang multiplication operation, kung saan ang base ng exponent ay pinarami ng sarili nito. Halimbawa, ibinigay ang degree 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Sa kasong ito, ang base ng degree 3 ay dapat na i-multiply sa sarili nitong 4 na beses: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Narito ang iba pang mga halimbawa:

Una, i-multiply ang unang dalawang numero. Halimbawa, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Huwag mag-alala - ang proseso ng pagkalkula ay hindi kasing kumplikado na tila sa unang tingin. I-multiply muna ang unang dalawang quadruples, at pagkatapos ay palitan ang mga ito ng resulta. Ganito:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. I-multiply ang resulta (16 sa ating halimbawa) sa susunod na numero. Ang bawat kasunod na resulta ay tataas nang proporsyonal. Sa aming halimbawa, i-multiply ang 16 sa 4. Tulad nito:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Patuloy na i-multiply ang resulta ng pagpaparami ng unang dalawang numero sa susunod na numero hanggang sa makuha mo ang panghuling sagot. Upang gawin ito, i-multiply ang unang dalawang numero, at pagkatapos ay i-multiply ang resulta sa susunod na numero sa pagkakasunud-sunod. Ang pamamaraang ito ay wasto para sa anumang antas. Sa aming halimbawa, dapat kang makakuha ng: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Lutasin ang mga sumusunod na suliranin. Suriin ang iyong sagot gamit ang isang calculator.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Sa calculator, hanapin ang key na may label na "exp", o " x n (\displaystyle x^(n))", o "^". Gamit ang key na ito, itataas mo ang isang numero sa isang kapangyarihan. Halos imposible na manu-manong kalkulahin ang degree na may malaking exponent (halimbawa, ang degree 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ngunit ang calculator ay madaling makayanan ang gawaing ito. Sa Windows 7, ang karaniwang calculator ay maaaring ilipat sa engineering mode; upang gawin ito, i-click ang "View" -\u003e "Engineering". Upang lumipat sa normal na mode, i-click ang "View" -\u003e "Normal".

   • Suriin ang natanggap na sagot gamit ang isang search engine (Google o Yandex). Gamit ang "^" key sa keyboard ng computer, ilagay ang expression sa search engine, na agad na magpapakita ng tamang sagot (at posibleng magmungkahi ng mga katulad na expression para sa pag-aaral).

   Pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami ng mga kapangyarihan

   1. Maaari kang magdagdag at magbawas ng mga kapangyarihan lamang kung mayroon silang parehong base. Kung kailangan mong magdagdag ng mga kapangyarihan na may parehong mga base at exponents, pagkatapos ay maaari mong palitan ang pagpapatakbo ng karagdagan ng isang pagpaparami. Halimbawa, ibinigay ang expression 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Tandaan na ang degree 4 5 (\displaystyle 4^(5)) maaaring katawanin bilang 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); kaya, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kung saan 1 +1 =2). Iyon ay, bilangin ang bilang ng mga katulad na degree, at pagkatapos ay i-multiply ang naturang degree at ang numerong ito. Sa aming halimbawa, itaas ang 4 sa ikalimang kapangyarihan, at pagkatapos ay i-multiply ang resulta sa 2. Tandaan na ang pagpapatakbo ng karagdagan ay maaaring mapalitan ng isang pagpaparami, halimbawa, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Narito ang iba pang mga halimbawa:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponents ay idinagdag (ang base ay hindi nagbabago). Halimbawa, ibinigay ang expression x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Sa kasong ito, kailangan mo lamang idagdag ang mga tagapagpahiwatig, na iniiwan ang base na hindi nagbabago. Sa ganitong paraan, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Narito ang isang visual na paliwanag ng panuntunang ito:

      Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami. Halimbawa, binigyan ng degree. Dahil ang mga exponents ay pinarami, kung gayon (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Ang kahulugan ng panuntunang ito ay paramihin mo ang kapangyarihan (x 2) (\displaystyle (x^(2))) sa sarili ng limang beses. Ganito:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Dahil ang base ay pareho, ang mga exponent ay nagdaragdag lamang: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Ang isang exponent na may negatibong exponent ay dapat i-convert sa isang fraction (sa inverse power). Hindi mahalaga kung hindi mo alam kung ano ang kapalit. Kung bibigyan ka ng degree na may negatibong exponent, halimbawa, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), isulat ang kapangyarihang ito sa denominator ng fraction (ilagay ang 1 sa numerator), at gawing positibo ang exponent. Sa aming halimbawa: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Narito ang iba pang mga halimbawa:

      Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas (ang base ay hindi nagbabago). Ang operasyon ng paghahati ay ang kabaligtaran ng pagpaparami. Halimbawa, ibinigay ang expression 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Ibawas ang exponent sa denominator mula sa exponent sa numerator (huwag baguhin ang base). Sa ganitong paraan, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Ang degree sa denominator ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Tandaan na ang fraction ay isang numero (power, expression) na may negatibong exponent.

   4. Nasa ibaba ang ilang expression upang matulungan kang matutunan kung paano lutasin ang mga problema sa kuryente. Ang mga ekspresyon sa itaas ay sumasaklaw sa materyal na ipinakita sa seksyong ito. Para makita ang sagot, i-highlight lang ang bakanteng espasyo pagkatapos ng equals sign.

   Paglutas ng mga problema sa fractional exponents

   Ang isang degree na may fractional exponent (halimbawa, ) ay na-convert sa isang root extraction operation. Sa aming halimbawa: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Hindi mahalaga kung anong numero ang nasa denominator ng fractional exponent. Halimbawa, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) ay ang ikaapat na ugat ng "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Kung ang exponent ay hindi wastong bahagi, kung gayon ang gayong kapangyarihan ay maaaring mabulok sa dalawang kapangyarihan upang gawing simple ang solusyon ng problema. Walang kumplikado tungkol dito - tandaan lamang ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan. Halimbawa, binigyan ng degree. Gawing ugat ang exponent na iyon na ang exponent ay katumbas ng denominator ng fractional exponent, at pagkatapos ay itaas ang ugat na iyon sa exponent na katumbas ng numerator ng fractional exponent. Upang gawin ito, tandaan iyon 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Sa aming halimbawa:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Ang ilang mga calculator ay may isang pindutan para sa pagkalkula ng mga exponent (unang kailangan mong ipasok ang base, pagkatapos ay pindutin ang pindutan, at pagkatapos ay ipasok ang exponent). Ito ay tinutukoy bilang ^ o x^y.
   3. Tandaan na ang anumang numero ay katumbas ng sarili nito sa unang kapangyarihan, halimbawa, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Bukod dito, ang anumang numero na pinarami o hinati sa isa ay katumbas ng sarili nito, halimbawa, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) at 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Alamin na ang degree na 0 0 ay hindi umiiral (ang ganoong degree ay walang solusyon). Kapag sinubukan mong lutasin ang ganoong antas sa isang calculator o sa isang computer, magkakaroon ka ng error. Ngunit tandaan na ang anumang numero sa kapangyarihan ng zero ay katumbas ng 1, halimbawa, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Sa mas mataas na matematika, na gumagana sa mga haka-haka na numero: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), saan i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e ay isang pare-pareho na humigit-kumulang katumbas ng 2.7; a ay isang arbitrary na pare-pareho. Ang patunay ng pagkakapantay-pantay na ito ay matatagpuan sa anumang aklat-aralin sa mas mataas na matematika.

   Mga babala

   • Habang tumataas ang exponent, tumataas nang husto ang halaga nito. Samakatuwid, kung ang sagot ay tila mali sa iyo, sa katunayan maaari itong maging totoo. Maaari mong suriin ito sa pamamagitan ng paglalagay ng anuman exponential function, halimbawa, 2 x .