Paano malutas ang kapangyarihan. Solusyon ng mga exponential equation

Ano ang isang exponential equation? Mga halimbawa.

Kaya, isang exponential equation... Isang bagong natatanging eksibit sa aming pangkalahatang eksibisyon ng iba't ibang uri ng mga equation!) Gaya ng halos palaging nangyayari, ang keyword ng anumang bagong termino sa matematika ay ang kaukulang pang-uri na nagpapakilala dito. Kaya eto din. keyword sa terminong "exponential equation" ay ang salita "nagpapakita". Ano ang ibig sabihin nito? Ang ibig sabihin ng salitang ito ay ang hindi alam na (x). sa mga tuntunin ng anumang antas. At doon lang! Ito ay lubhang mahalaga.

Halimbawa, ang mga simpleng equation na ito:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

O kahit na ang mga halimaw na ito:

2 sin x = 0.5

Hinihiling ko sa iyo na agad na bigyang-pansin ang isang mahalagang bagay: sa bakuran degrees (ibaba) - mga numero lamang. Ngunit sa mga tagapagpahiwatig degrees (itaas) - isang malawak na pagkakaiba-iba ng mga expression na may x. Ganap na anuman.) Ang lahat ay nakasalalay sa tiyak na equation. Kung, biglang, ang x ay lumabas sa equation sa ibang lugar, bilang karagdagan sa indicator (sabihin, 3 x \u003d 18 + x 2), kung gayon ang gayong equation ay magiging isang equation na. halo-halong uri. Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas. Samakatuwid, sa ang araling ito hindi natin sila isasaalang-alang. Sa kasiyahan ng mga mag-aaral.) Dito ay isasaalang-alang lamang natin ang mga exponential equation sa isang "dalisay" na anyo.

Sa pangkalahatan, kahit na ang mga purong exponential equation ay hindi malinaw na nalutas sa lahat ng kaso at hindi palaging. Ngunit sa lahat ng mayamang uri mga exponential equation Mayroong ilang mga uri na maaari at dapat matugunan. Ito ang mga uri ng equation na isasaalang-alang namin sa iyo. At tiyak na malulutas namin ang mga halimbawa.) Kaya't kami ay tumira nang kumportable at - sa kalsada! Tulad ng sa mga "shooters" ng computer, dadaan ang ating paglalakbay sa mga antas.) Mula elementarya hanggang simple, mula simple hanggang medium at mula medium hanggang complex. Sa daan, maghihintay ka rin para sa isang lihim na antas - mga trick at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi karaniwang halimbawa. Ang mga hindi mo mababasa sa karamihan ng mga aklat-aralin sa paaralan... Well, sa dulo, siyempre, ang panghuling boss ay naghihintay sa iyo sa anyo ng takdang-aralin.)

Level 0. Ano ang pinakasimpleng exponential equation? Solusyon ng pinakasimpleng exponential equation.

Upang magsimula, tingnan natin ang ilang lantad na elementarya. Kailangan mong magsimula sa isang lugar, tama? Halimbawa, ang equation na ito:

2 x = 2 2

Kahit na walang anumang mga teorya, sa pamamagitan ng simpleng lohika at bait malinaw na x = 2. Wala namang ibang paraan diba? Walang ibang halaga ng x ang mabuti ... Ngayon ay ibaling natin ang ating pansin sa rekord ng desisyon ang cool na exponential equation na ito:

2 x = 2 2

X = 2

Anong nangyari sa atin? At nangyari ang mga sumusunod. Kami, sa katunayan, ay kumuha at ... itinapon lamang ang parehong mga base (dalawa)! Ganap na itinapon. At, kung ano ang pleases, pindutin ang bull's-eye!

Oo nga, kung sa exponential equation sa kaliwa at kanan ay pareho mga numero sa anumang antas, kung gayon ang mga numerong ito ay maaaring itapon at itumbas lamang ang mga exponent. Pinapayagan ng matematika.) At pagkatapos ay maaari kang magtrabaho nang hiwalay sa mga tagapagpahiwatig at lutasin ang isang mas simpleng equation. Ang galing diba?

Narito ang pangunahing ideya ng paglutas ng anuman (oo, eksaktong anuman!) exponential equation: sa tulong ng magkatulad na pagbabago, kinakailangan upang matiyak na ang kaliwa at kanan sa equation ay pareho mga batayang numero sa iba't ibang kapangyarihan. At pagkatapos ay maaari mong ligtas na alisin ang parehong mga base at ipantay ang mga exponent. At gumana sa isang mas simpleng equation.

At ngayon naaalala natin ang panuntunang bakal: posibleng tanggalin ang parehong mga base kung at kung sa equation sa kaliwa at sa kanan ang mga base number ay sa ipinagmamalaking kalungkutan.

Ano ang ibig sabihin nito, sa napakagandang paghihiwalay? Nangangahulugan ito na walang anumang kapitbahay at coefficient. paliwanag ko.

Halimbawa, sa equation

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Hindi mo matatanggal ang triplets! Bakit? Dahil sa kaliwa mayroon kaming hindi lamang isang malungkot na tatlo sa antas, ngunit trabaho 3 3 x-5 . Isang dagdag na triple ang humahadlang: isang coefficient, naiintindihan mo.)

Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa equation

5 3 x = 5 2 x +5 x

Dito, din, ang lahat ng mga base ay pareho - lima. Ngunit sa kanan ay wala kaming isang antas ng lima: mayroong kabuuan ng mga degree!

Sa madaling salita, may karapatan kaming tanggalin ang parehong mga base lamang kapag ganito ang hitsura ng aming exponential equation at ganito lang:

af (x) = isang g (x)

Ang ganitong uri ng exponential equation ay tinatawag ang pinakasimple. O siyentipiko, kanonikal . At anuman ang baluktot na equation sa harap natin, sa isang paraan o iba pa, babawasan natin ito sa isang simpleng (canonical) na anyo. O, sa ilang mga kaso, sa pinagsama-samang mga equation ng ganitong uri. Pagkatapos ang aming pinakasimpleng equation ay maaaring nasa pangkalahatang pananaw isulat muli tulad nito:

F(x) = g(x)

At ayun na nga. Ito ang magiging katumbas na pagbabago. Kasabay nito, ganap na anumang mga expression na may x ay maaaring gamitin bilang f(x) at g(x). Kahit ano.

Marahil ay magtatanong ang isang partikular na matanong na mag-aaral: bakit sa mundo ay napakadali at simpleng itinatapon natin ang parehong mga base sa kaliwa at kanan at tinutumbasan ang mga exponent? Intuition sa pamamagitan ng intuwisyon, ngunit biglang, sa ilang equation at para sa ilang kadahilanan diskarteng ito mali pala? Ito ba ay palaging legal na magtapon ng parehong mga base? Sa kasamaang palad, para sa isang mahigpit na mathematical na sagot sa kawili-wiling tanong na ito, kailangan ng isang tao na pag-aralan nang malalim at seryoso ang pangkalahatang teorya ng istraktura at pag-uugali ng mga function. At medyo mas partikular - sa hindi pangkaraniwang bagay mahigpit na monotonicity. Sa partikular, ang mahigpit na monotonicity exponential function y= isang x. Dahil ang exponential function at ang mga katangian nito ang sumasailalim sa solusyon ng exponential equation, oo.) Ang isang detalyadong sagot sa tanong na ito ay ibibigay sa isang hiwalay na espesyal na aralin na nakatuon sa paglutas ng mga kumplikadong non-standard na equation gamit ang monotonicity ng iba't ibang function.)

Upang ipaliwanag ang puntong ito nang detalyado ngayon ay upang alisin lamang ang utak ng isang karaniwang mag-aaral at takutin siya nang maaga sa isang tuyo at mabigat na teorya. Hindi ko gagawin ito.) Para sa aming pangunahing sa sandaling ito gawain - matutong lutasin ang mga exponential equation! Ang pinakasimpleng! Samakatuwid, hanggang sa pawisan tayo at matapang na itapon ang parehong mga dahilan. Ito ay pwede, kunin ang aking salita para dito!) At pagkatapos ay nalutas na natin ang katumbas na equation na f (x) = g (x). Bilang isang tuntunin, ito ay mas simple kaysa sa orihinal na exponential.

Ipinapalagay, siyempre, na alam na ng mga tao kung paano lutasin ang hindi bababa sa , at mga equation, na wala nang x sa mga tagapagpahiwatig.) Sino ang hindi pa rin alam kung paano, huwag mag-atubiling isara ang pahinang ito, maglakad kasama ang naaangkop na mga link at punan ang ang mga lumang gaps. Kung hindi, mahihirapan ka, oo ...

Ako ay tahimik tungkol sa hindi makatwiran, trigonometriko at iba pang mga brutal na equation na maaari ding lumabas sa proseso ng pag-aalis ng mga base. Ngunit huwag mag-alala, sa ngayon ay hindi namin isasaalang-alang ang lantad na tin sa mga tuntunin ng mga degree: masyadong maaga. Kami ay magsasanay lamang sa karamihan simpleng equation.)

Ngayon isaalang-alang ang mga equation na nangangailangan ng ilang karagdagang pagsisikap upang bawasan ang mga ito sa pinakasimple. Upang makilala sila, tawagan natin sila simpleng exponential equation. Kaya't magpatuloy tayo sa susunod na antas!

Level 1. Mga simpleng exponential equation. Kilalanin ang mga degree! natural na mga tagapagpahiwatig.

Ang mga pangunahing tuntunin sa paglutas ng anumang mga exponential equation ay mga tuntunin sa pagharap sa mga degree. Kung wala ang kaalaman at kasanayang ito, walang gagana. Naku. Kaya, kung may mga problema sa mga degree, pagkatapos ay para sa isang panimula ay malugod kang tinatanggap. Bilang karagdagan, kailangan din natin. Ang mga pagbabagong ito (kasing dami ng dalawa!) ay ang batayan para sa paglutas ng lahat ng equation ng matematika sa pangkalahatan. At hindi lang showcases. Kaya, kung sino man ang nakalimutan, mamasyal din sa link: I put them on for a reason.

Ngunit ang mga aksyon lamang na may kapangyarihan at magkatulad na pagbabago ay hindi sapat. Nangangailangan din ito ng personal na pagmamasid at katalinuhan. Kailangan natin ng parehong batayan, hindi ba? Kaya't sinusuri namin ang halimbawa at hinahanap ang mga ito sa isang tahasan o disguised form!

Halimbawa, ang equation na ito:

3 2x – 27x +2 = 0

Unang tingin sa bakuran. Sila ay magkaiba! Tatlo at dalawampu't pito. Ngunit masyado pang maaga para mataranta at mawalan ng pag-asa. Oras na para tandaan iyon

27 = 3 3

Ang mga numero 3 at 27 ay magkamag-anak sa degree! At mga malapit.) Samakatuwid, mayroon kaming buong kanan isulat:

27 x +2 = (3 3) x+2

At ngayon ikinonekta namin ang aming kaalaman tungkol sa mga aksyon na may kapangyarihan(at binalaan kita!). Mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na formula:

(am) n = isang mn

Ngayon kung patakbuhin mo ito sa kurso, sa pangkalahatan ay magiging maayos ito:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Ang orihinal na halimbawa ay ganito na ngayon:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Mahusay, ang mga base ng mga degree ay nakahanay. Kung ano ang aming pinagsikapan. Ang kalahati ng trabaho ay tapos na.) At ngayon inilunsad namin ang pangunahing pagbabago ng pagkakakilanlan - inililipat namin ang 3 3 (x +2) sa kanan. Walang nagkansela ng elementarya na pagkilos ng matematika, oo.) Nakukuha namin ang:

3 2 x = 3 3(x +2)

Ano ang nagbibigay sa atin ng ganitong uri ng equation? At ang katotohanan na ngayon ang aming equation ay nabawasan sa canonical form: sa kaliwa at sa kanan ay ang parehong mga numero (triples) sa kapangyarihan. At parehong triplets - sa kahanga-hangang paghihiwalay. Matapang naming inalis ang triplets at makuha ang:

2x = 3(x+2)

Malutas namin ito at makakuha ng:

X=-6

Iyon lang ang mayroon. Ito ang tamang sagot.)

At ngayon naiintindihan na natin ang takbo ng desisyon. Ano ang nagligtas sa atin sa halimbawang ito? Kami ay nailigtas sa pamamagitan ng kaalaman sa mga antas ng triple. Paano eksakto? Kami nakilala number 27 naka-encrypt na tatlo! Ang trick na ito (pag-encrypt ng parehong base sa ilalim magkaibang numero) ay isa sa pinakasikat sa mga exponential equation! Maliban kung ito ang pinakasikat. Oo, at gayundin, sa pamamagitan ng paraan. Iyon ang dahilan kung bakit ang pagmamasid at ang kakayahang makilala ang mga kapangyarihan ng iba pang mga numero sa mga numero ay napakahalaga sa mga exponential equation!

Praktikal na payo:

Kailangan mong malaman ang kapangyarihan ng mga sikat na numero. Sa mukha!

Siyempre, kahit sino ay maaaring itaas ang dalawa sa ikapitong kapangyarihan o tatlo hanggang ikalima. Wala sa isip ko, kaya kahit sa draft. Ngunit sa mga exponential equation, mas madalas na kinakailangan na huwag itaas sa isang kapangyarihan, ngunit, sa kabaligtaran, upang malaman kung anong numero at hanggang saan ang nakatago sa likod ng numero, sabihin nating, 128 o 243. At ito ay higit pa kumplikado kaysa sa simpleng exponentiation, kita mo. Pakiramdam ang pagkakaiba, tulad ng sinasabi nila!

Dahil ang kakayahang makilala ang mga degree sa mukha ay kapaki-pakinabang hindi lamang sa antas na ito, kundi pati na rin sa mga sumusunod, narito ang isang maliit na gawain para sa iyo:

Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Mga sagot (siyempre nakakalat):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Oo Oo! Huwag magtaka na mas maraming sagot kaysa mga gawain. Halimbawa, ang 2 8 , 4 4 at 16 2 ay 256 lahat.

Antas 2. Mga simpleng exponential equation. Kilalanin ang mga degree! Negatibo at fractional exponents.

Sa antas na ito, ginagamit na natin nang lubusan ang ating kaalaman sa mga degree. Ibig sabihin, kinasasangkutan namin ang mga negatibo at fractional na tagapagpahiwatig sa kamangha-manghang prosesong ito! Oo Oo! Kailangan nating bumuo ng kapangyarihan, tama ba?

Halimbawa, ang kakila-kilabot na equation na ito:

Muli, tingnan muna ang mga pundasyon. Iba ang mga base! At sa pagkakataong ito ay hindi na sila magkatulad sa isa't isa! 5 at 0.04... At para maalis ang mga base, pareho ang kailangan... Ano ang gagawin?

ayos lang! Sa katunayan, ang lahat ay pareho, ang koneksyon sa pagitan ng lima at 0.04 ay hindi gaanong nakikita. Paano tayo lalabas? At lumipat tayo sa numerong 0.04 hanggang ordinaryong fraction! At doon, makikita mo, ang lahat ay nabuo.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Ang 0.04 pala ay 1/25! Well, sinong mag-aakala!)

Well, paano? Ngayon ang koneksyon sa pagitan ng mga numero 5 at 1/25 ay mas madaling makita? Iyon na iyon...

At ngayon, ayon sa mga patakaran ng mga pagpapatakbo na may mga kapangyarihan na may negatibong tagapagpahiwatig maaaring isulat gamit ang mahigpit na kamay:

Iyan ay mahusay. Kaya nakarating kami sa parehong base - lima. Pinapalitan namin ngayon ang hindi komportable na numero 0.04 sa equation ng 5 -2 at makuha ang:

Muli, ayon sa mga patakaran ng mga pagpapatakbo na may mga kapangyarihan, maaari na tayong sumulat:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Kung sakali, ipaalala ko sa iyo (bigla, sino ang hindi nakakaalam) na ang mga pangunahing panuntunan para sa mga aksyon na may mga degree ay wasto para sa anuman mga tagapagpahiwatig! Kasama ang para sa mga negatibo.) Kaya huwag mag-atubiling kunin at i-multiply ang mga indicator (-2) at (x-1) ayon sa kaukulang panuntunan. Ang aming equation ay nagiging mas mahusay at mas mahusay:

Lahat! Bukod sa mga lonely five sa mga degree sa kaliwa't kanan, wala nang iba. Ang equation ay nabawasan sa canonical form. At pagkatapos - kasama ang knurled track. Inalis namin ang lima at tinutumbasan ang mga tagapagpahiwatig:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Ang halimbawa ay halos tapos na. Ang elementarya na matematika ng mga gitnang klase ay nananatili - binubuksan namin (tama!) Ang mga bracket at kinokolekta ang lahat sa kaliwa:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Malutas namin ito at makakuha ng dalawang ugat:

x 1 = 1; x 2 = 3

Iyon lang.)

Ngayon isipin natin muli. Sa halimbawang ito, kailangan nating kilalanin muli ang parehong numero sa iba't ibang antas! Namely, upang makita ang naka-encrypt na limang sa numero 0.04. At sa pagkakataong ito, sa negatibong antas! Paano natin ito nagawa? Sa paglipat - walang paraan. Ngunit pagkatapos ng paglipat mula sa isang decimal na fraction ng 0.04 sa isang ordinaryong fraction ng 1/25, lahat ay naka-highlight! At pagkatapos ang buong desisyon ay naging parang orasan.)

Samakatuwid, isa pang berdeng praktikal na payo.

Kung mayroong mga decimal fraction sa exponential equation, pagkatapos ay pupunta tayo sa decimal fractions sa karaniwan. AT mga karaniwang fraction mas madaling makilala ang mga kapangyarihan ng maraming sikat na numero! Pagkatapos ng pagkilala, lumipat kami mula sa mga fraction patungo sa mga kapangyarihan na may mga negatibong exponent.

Tandaan na ang gayong pagkukunwari sa mga exponential equation ay nangyayari nang napakadalas! At ang tao ay wala sa paksa. Siya ay tumitingin, halimbawa, sa mga numerong 32 at 0.125 at nagagalit. Ito ay hindi alam sa kanya na ito ay ang parehong deuce, lamang sa iba't ibang antas ... Ngunit ikaw ay nasa paksa na!)

Lutasin ang equation:

Sa! Mukhang isang tahimik na horror ... Gayunpaman, ang mga pagpapakita ay mapanlinlang. Ito ang pinakasimpleng exponential equation, sa kabila ng nakakatakot hitsura. At ngayon ipapakita ko ito sa iyo.)

Una, nakikitungo kami sa lahat ng mga numero na nakaupo sa mga base at sa mga coefficient. Halatang magkaiba sila, oo. Ngunit kami pa rin ang kumuha ng panganib at sinusubukang gawin ang mga ito pareho! Subukan nating makarating sa ang parehong numero sa iba't ibang antas. At, mas mabuti, ang bilang ng pinakamaliit na posible. Kaya, simulan natin ang pag-decipher!

Well, ang lahat ay malinaw sa apat nang sabay-sabay - ito ay 2 2 . Kaya, mayroon na.)

Sa isang bahagi ng 0.25 - hindi pa ito malinaw. Kailangan mong alamin. Gumagamit kami ng praktikal na payo - mula sa decimal hanggang karaniwan:

0,25 = 25/100 = 1/4

Mas maganda na. Sa ngayon ay malinaw na nakikita na ang 1/4 ay 2 -2. Mahusay, at ang bilang na 0.25 ay katulad din ng isang deuce.)

So far so good. Ngunit ang pinakamasamang bilang ng lahat ay nananatili - ang square root ng dalawa! Ano ang gagawin sa paminta na ito? Maaari rin ba itong ilarawan bilang kapangyarihan ng dalawa? At sino ang nakakaalam...

Buweno, muli kaming umakyat sa aming kabang-yaman ng kaalaman tungkol sa mga degree! Sa pagkakataong ito, ikinonekta natin ang ating kaalaman tungkol sa mga ugat. Mula sa kurso ng ika-9 na baitang, ikaw at ako ay kailangang magtiis na ang anumang ugat, kung ninanais, ay palaging maaaring gawing isang degree na may isang fraction.

Ganito:

Sa kaso natin:

Paano! Lumalabas na ang square root ng dalawa ay 2 1/2. Ayan yun!

ayos lang yan! Ang lahat ng aming hindi komportable na mga numero ay talagang naging isang naka-encrypt na deuce.) Hindi ako nakikipagtalo, sa isang lugar na napaka sopistikadong naka-encrypt. Ngunit pinapataas din namin ang aming propesyonalismo sa paglutas ng mga naturang cipher! At saka halata na ang lahat. Pinapalitan namin ang mga numero 4, 0.25 at ang ugat ng dalawa sa aming equation na may kapangyarihan ng dalawa:

Lahat! Ang mga batayan ng lahat ng antas sa halimbawa ay naging pareho - dalawa. At ngayon ang mga karaniwang aksyon na may mga degree ay ginagamit:

isang misang n = isang m + n

a m:a n = a m-n

(am) n = isang mn

Para sa kaliwang bahagi makakakuha ka ng:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Para sa kanang bahagi ay magiging:

At ngayon ang aming masamang equation ay nagsimulang magmukhang ganito:

Para sa mga hindi pa nalaman kung paano eksaktong lumabas ang equation na ito, kung gayon ang tanong ay hindi tungkol sa mga exponential equation. Ang tanong ay tungkol sa mga aksyon na may kapangyarihan. I asked urgently to repeat sa mga may problema!

Narito ang linya ng pagtatapos! Ang canonical form ng exponential equation ay nakuha! Well, paano? Napaniwala ba kita na hindi ito nakakatakot? ;) Tinatanggal namin ang mga deuces at tinutumbasan ang mga tagapagpahiwatig:

Ito ay nananatiling lamang upang malutas ang linear equation na ito. paano? Sa tulong ng magkatulad na pagbabago, siyempre.) Lutasin kung ano ang mayroon na! I-multiply ang parehong bahagi ng dalawa (upang alisin ang fraction na 3/2), ilipat ang mga terminong may Xs sa kaliwa, nang walang Xs sa kanan, magdala ng mga katulad, bilangin - at ikaw ay magiging masaya!

Ang lahat ay dapat maging maganda:

X=4

Ngayon, pag-isipan nating muli ang desisyon. Sa halimbawang ito, kami ay nailigtas sa pamamagitan ng paglipat mula sa parisukat na ugat sa degree na may exponent 1/2. Bukod dito, ang gayong tusong pagbabago lamang ang nakatulong sa amin sa lahat ng dako upang maabot ang parehong batayan (deuce), na nagligtas sa sitwasyon! At, kung hindi dahil dito, magkakaroon tayo ng bawat pagkakataon na mag-freeze magpakailanman at hindi na makayanan ang halimbawang ito, oo ...

Samakatuwid, hindi namin pinababayaan ang susunod na praktikal na payo:

Kung mayroong mga ugat sa exponential equation, pagkatapos ay lumipat tayo mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan na may mga fractional exponent. Kadalasan, ang gayong pagbabago lamang ang nagpapaliwanag sa karagdagang sitwasyon.

Siyempre, ang mga negatibo at praksyonal na kapangyarihan ay mas mahirap. natural na grado. Hindi bababa sa mga tuntunin ng visual na pang-unawa at, lalo na, pagkilala mula kanan hanggang kaliwa!

Malinaw na ang direktang pagtaas, halimbawa, ang isang dalawa sa kapangyarihan ng -3 o isang apat sa kapangyarihan ng -3/2 ay hindi isang malaking problema. Para sa mga nakakaalam.)

Ngunit pumunta, halimbawa, agad na mapagtanto iyon

0,125 = 2 -3

O kaya

Dito lang ang practice at rich experience rule, oo. At, siyempre, isang malinaw na pananaw, Ano ang isang negatibo at isang fractional exponent. At din - praktikal na payo! Oo, oo, ang mga iyon berde.) Umaasa ako na gayunpaman ay makakatulong sila sa iyo na mas mahusay na mag-navigate sa lahat ng iba't ibang uri ng degree at makabuluhang taasan ang iyong mga pagkakataong magtagumpay! Kaya huwag natin silang pabayaan. hindi ako in vain sa berde Nagsusulat ako minsan.)

Sa kabilang banda, kung ikaw ay magiging "ikaw" kahit na may mga kakaibang kapangyarihan tulad ng negatibo at praksyonal, kung gayon ang iyong mga posibilidad sa paglutas ng mga exponential equation ay lalawak nang husto, at magagawa mo nang pangasiwaan ang halos anumang uri ng mga exponential equation. Well, kung wala man, 80 porsiyento ng lahat ng exponential equation - sigurado! Oo, oo, hindi ako nagbibiro!

Kaya, ang aming unang bahagi ng kakilala sa mga exponential equation ay dumating sa lohikal na konklusyon nito. At, bilang isang in-between workout, tradisyonal kong iminumungkahi na mag-solve ka nang mag-isa.)

Ehersisyo 1.

Upang ang aking mga salita tungkol sa pag-decipher ng mga negatibo at fractional na degree ay hindi walang kabuluhan, ipinapanukala kong maglaro ng kaunting laro!

Ipahayag ang numero bilang kapangyarihan ng dalawa:

Mga sagot (magulo):

Nangyari? ayos lang! Pagkatapos ay gumawa kami ng isang misyon ng labanan - nilulutas namin ang pinakasimple at simpleng mga exponential equation!

Gawain 2.

Lutasin ang mga equation (lahat ng sagot ay gulo!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Mga sagot:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Nangyari? Sa katunayan, mas madali!

Pagkatapos ay malulutas namin ang sumusunod na laro:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

Mga sagot:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

At ang mga halimbawang ito ng natitira? ayos lang! Lumalaki ka! Pagkatapos ay narito ang ilang higit pang mga halimbawa para sa iyong meryenda:

Mga sagot:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

At napagpasyahan ba ito? Well, respeto! Tinatanggal ko ang aking sumbrero.) Kaya, ang aralin ay hindi walang kabuluhan, at Unang antas ang paglutas ng mga exponential equation ay maituturing na matagumpay na pinagkadalubhasaan. Nauuna - ang mga susunod na antas at mas kumplikadong mga equation! At mga bagong diskarte at diskarte. At hindi karaniwang mga halimbawa. At mga bagong sorpresa.) Lahat ng ito - sa susunod na aralin!

May hindi gumana? Kaya, malamang, ang mga problema ay nasa . O sa . O pareho sa parehong oras. Dito ako ay walang kapangyarihan. Isang bagay lang ang maiaalok ko muli - huwag maging tamad at maglakad-lakad sa mga link.)

Itutuloy.)

Ang araling ito ay inilaan para sa mga nagsisimula pa lamang matuto ng mga exponential equation. Gaya ng nakasanayan, magsimula tayo sa isang kahulugan at mga simpleng halimbawa.

Kung binabasa mo ang araling ito, pinaghihinalaan ko na mayroon ka nang hindi bababa sa kaunting pag-unawa sa pinakasimpleng mga equation - linear at square: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ atbp. Upang malutas ang mga naturang konstruksiyon ay ganap na kinakailangan upang hindi "mag-hang" sa paksang tatalakayin ngayon.

Kaya, ang mga exponential equation. Hayaan akong bigyan ka ng ilang halimbawa:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Ang ilan sa kanila ay maaaring mukhang mas kumplikado sa iyo, ang ilan sa kanila, sa kabaligtaran, ay masyadong simple. Ngunit lahat ng mga ito ay pinagsama ng isang mahalagang tampok: naglalaman ang mga ito ng exponential function $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Kaya, ipinakilala namin ang kahulugan:

Ang exponential equation ay anumang equation na naglalaman ng exponential function, i.e. isang pagpapahayag ng anyong $((a)^(x))$. Bilang karagdagan sa tinukoy na function, ang mga naturang equation ay maaaring maglaman ng anumang iba pang mga algebraic constructions - polynomials, roots, trigonometry, logarithms, atbp.

Sige. Naunawaan ang kahulugan. Ngayon ang tanong ay: kung paano malutas ang lahat ng crap na ito? Ang sagot ay parehong simple at kumplikado sa parehong oras.

Magsimula tayo sa magandang balita: mula sa aking karanasan sa maraming estudyante, masasabi kong para sa karamihan sa kanila, ang mga exponential equation ay mas madali kaysa sa parehong logarithms, at higit pa sa trigonometrya.

Ngunit mayroon ding masamang balita: kung minsan ang mga nagtitipon ng mga problema para sa lahat ng uri ng mga aklat-aralin at pagsusulit ay binibisita ng "inspirasyon", at ang kanilang utak na namumula sa droga ay nagsisimulang gumawa ng mga malupit na equation na nagiging problema hindi lamang para sa mga mag-aaral na lutasin ang mga ito - kahit na maraming mga guro ang naipit sa mga ganitong problema.

Gayunpaman, huwag nating pag-usapan ang mga malungkot na bagay. At bumalik tayo sa tatlong equation na ibinigay sa pinakasimula ng kwento. Subukan nating lutasin ang bawat isa sa kanila.

Unang equation: $((2)^(x))=4$. Buweno, sa anong kapangyarihan dapat itaas ang numero 2 upang makuha ang numero 4? Marahil ang pangalawa? Pagkatapos ng lahat, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — at nakuha namin ang tama pagkakapantay-pantay ng numero, ibig sabihin. talaga $x=2$. Well, salamat, cap, ngunit ang equation na ito ay napakasimple na kahit na ang aking pusa ay malulutas ito. :)

Tingnan natin ang sumusunod na equation:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ngunit dito ito ay medyo mas mahirap. Alam ng maraming estudyante na ang $((5)^(2))=25$ ay ang multiplication table. Pinaghihinalaan din ng ilan na ang $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ ay mahalagang kahulugan ng mga negatibong exponent (katulad ng formula na $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Sa wakas, ilang pili lamang ang hulaan na ang mga katotohanang ito ay maaaring pagsamahin at ang output ay ang sumusunod na resulta:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Kaya, ang aming orihinal na equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

At ngayon ito ay ganap na nalutas na! Sa kaliwang bahagi ng equation mayroong isang exponential function, sa kanang bahagi ng equation mayroong isang exponential function, walang iba maliban sa kanila kahit saan pa. Samakatuwid, posible na "itapon" ang mga base at hangal na katumbas ng mga tagapagpahiwatig:

Nakuha namin ang pinakasimpleng linear equation na kayang lutasin ng sinumang mag-aaral sa loob lamang ng ilang linya. Okay, sa apat na linya:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Kung hindi mo naiintindihan kung ano ang nangyayari sa huling apat na linya, siguraduhing bumalik sa paksa " linear na equation' at ulitin ito. Dahil walang malinaw na asimilasyon ng paksang ito, masyadong maaga para sa iyo na kumuha ng mga exponential equation.

\[((9)^(x))=-3\]

Well, paano ka magdedesisyon? Unang naisip: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, kaya ang orihinal na equation ay maaaring muling isulat nang ganito:

\[((\kaliwa(((3)^(2)) \kanan))^(x))=-3\]

Pagkatapos ay naaalala namin na kapag nagtataas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang mga tagapagpahiwatig ay pinarami:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

At para sa ganoong desisyon, nakakakuha tayo ng isang matapat na nararapat na deuce. Para sa amin, na may equanimity ng isang Pokémon, nagpadala ng minus sign sa harap ng tatlo sa kapangyarihan nitong tatlong ito. At hindi mo magagawa iyon. At dahil jan. Tingnan mo iba't ibang grado triplets:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Noong kino-compile ang tablet na ito, hindi ako nag-pervert sa lalong madaling panahon: Itinuring ko ang mga positibong degree, at negatibo, at kahit fractional ... well, nasaan ang kahit isa isang negatibong numero? Siya ay hindi! At hindi ito maaaring, dahil ang exponential function na $y=((a)^(x))$, una, palaging kumukuha lamang ng mga positibong halaga (kahit gaano mo i-multiply ang isa o hatiin sa dalawa, ito ay magiging isang positibong numero), at pangalawa, ang base ng naturang function, ang numerong $a$, ay ayon sa kahulugan ay isang positibong numero!

Well, kung gayon paano malutas ang equation na $((9)^(x))=-3$? Hindi, walang mga ugat. At sa ganitong diwa, ang mga exponential equation ay halos kapareho sa mga quadratic - maaaring wala ring mga ugat. Ngunit kung sa quadratic equation ang bilang ng mga ugat ay tinutukoy ng discriminant (ang discriminant ay positibo - 2 ugat, negatibo - walang ugat), kung gayon sa mga exponential equation ang lahat ay nakasalalay sa kung ano ang nasa kanan ng pantay na tanda.

Kaya, binubuo namin ang pangunahing konklusyon: ang pinakasimpleng exponential equation ng form na $((a)^(x))=b$ ay may ugat kung at kung $b>0$ lamang. Alam ang simpleng katotohanang ito, madali mong matukoy kung ang equation na iminungkahi sa iyo ay may mga ugat o wala. Yung. sulit bang lutasin ito o agad na isulat na walang mga ugat.

Ang kaalamang ito ay makakatulong sa atin nang maraming beses kapag kailangan nating lutasin ang mas kumplikadong mga problema. Pansamantala, sapat na lyrics - oras na para pag-aralan ang pangunahing algorithm para sa paglutas ng mga exponential equation.

Paano malutas ang mga exponential equation

Kaya, bumalangkas tayo ng problema. Ito ay kinakailangan upang malutas ang exponential equation:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Ayon sa "naive" na algorithm na ginamit namin kanina, kinakailangang katawanin ang numerong $b$ bilang kapangyarihan ng numerong $a$:

Bilang karagdagan, kung sa halip na ang variable na $x$ mayroong anumang expression, makakakuha tayo ng isang bagong equation, na maaari nang malutas. Halimbawa:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

At kakatwa, gumagana ang scheme na ito sa halos 90% ng mga kaso. Paano ang iba pang 10% kung gayon? Ang natitirang 10% ay bahagyang "schizophrenic" exponential equation ng form:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Sa anong kapangyarihan kailangan mong itaas ang 2 upang makakuha ng 3? Sa una? Ngunit hindi: $((2)^(1))=2$ ay hindi sapat. Sa pangalawa? Ni: $((2)^(2))=4$ ay sobra. Ano ngayon?

Marahil ay nahulaan na ng mga maalam na mag-aaral: sa mga ganitong kaso, kapag imposibleng malutas ang "maganda", ang "mabigat na artilerya" ay konektado sa kaso - logarithms. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na gamit ang logarithms, anumang positibong numero ay maaaring katawanin bilang kapangyarihan ng anumang iba pa positibong numero(hindi kasama ang unit):

Tandaan ang formula na ito? Kapag sinabi ko sa aking mga mag-aaral ang tungkol sa logarithm, palagi kitang binabalaan: ang pormula na ito (ito rin ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan o, kung gusto mo, ang kahulugan ng logarithm) ay magmumulto sa iyo sa napakatagal na panahon at "lalabas" sa karamihan. mga hindi inaasahang lugar. Well, lumabas siya. Tingnan natin ang aming equation at ang formula na ito:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Kung ipagpalagay namin na ang $a=3$ ay ang aming orihinal na numero sa kanan, at ang $b=2$ ay ang pinaka-base ng exponential function na gusto naming bawasan kanang bahagi, pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Nakakuha kami ng medyo kakaibang sagot: $x=((\log )_(2))3$. Sa ilang iba pang gawain, sa ganoong sagot, marami ang magdududa at magsisimulang mag-double check sa kanilang solusyon: paano kung may pagkakamali sa isang lugar? Nagmamadali akong pasayahin ka: walang error dito, at ang logarithms sa mga ugat ng exponential equation ay isang pangkaraniwang sitwasyon. Kaya masanay ka na. :)

Ngayon malulutas namin sa pamamagitan ng pagkakatulad ang natitirang dalawang equation:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

yun lang! Sa pamamagitan ng paraan, ang huling sagot ay maaaring maisulat sa ibang paraan:

Kami ang nagpakilala ng multiplier sa argumento ng logarithm. Ngunit walang pumipigil sa amin na idagdag ang salik na ito sa base:

Sa kasong ito, ang lahat ng tatlong mga pagpipilian ay tama - ito ay lamang iba't ibang anyo mga talaan ng parehong numero. Alin ang pipiliin at isusulat sa desisyong ito ay nasa iyo.

Kaya, natutunan nating lutasin ang anumang exponential equation ng anyong $((a)^(x))=b$, kung saan ang mga numerong $a$ at $b$ ay mahigpit na positibo. Gayunpaman, ang malupit na katotohanan ng ating mundo ay ganoon mga simpleng gawain magkikita kami ng napakabihirang. Mas madalas makakatagpo ka ng ganito:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]

Well, paano ka magdedesisyon? Maaari ba itong malutas sa lahat? At kung gayon, paano?

Walang panic. Ang lahat ng mga equation na ito ay mabilis at madaling bumaba sa mga simpleng formula na napag-isipan na natin. Kailangan mo lang malaman upang matandaan ang ilang mga trick mula sa kursong algebra. At siyempre, walang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree dito. Pag-uusapan ko ang lahat ng ito ngayon. :)

Pagbabago ng mga exponential equation

Ang unang bagay na dapat tandaan ay ang anumang exponential equation, gaano man ito kakumplikado, ang isang paraan o iba pa ay dapat na bawasan sa pinakasimpleng mga equation - ang mismong mga napag-isipan na natin at alam natin kung paano lutasin. Sa madaling salita, ang scheme para sa paglutas ng anumang exponential equation ay ganito ang hitsura:

1. Isulat ang orihinal na equation. Halimbawa: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Gumawa ng ilang katangahan. O kahit ilang crap na tinatawag na "ibahin ang anyo ng equation";
3. Sa output, kunin ang pinakasimpleng expression tulad ng $((4)^(x))=4$ o iba pang katulad niyan. Bukod dito, ang isang paunang equation ay maaaring magbigay ng ilang ganoong mga expression nang sabay-sabay.

Sa unang punto, ang lahat ay malinaw - kahit na ang aking pusa ay maaaring isulat ang equation sa isang dahon. Sa ikatlong punto, masyadong, tila, ito ay higit pa o hindi gaanong malinaw - nalutas na natin ang isang buong grupo ng mga naturang equation sa itaas.

Ngunit ano ang tungkol sa pangalawang punto? Ano ang mga pagbabago? Ano ang iko-convert sa ano? At kung paano?

Well, pag-isipan natin ito. Una sa lahat, nais kong ituro ang mga sumusunod. Ang lahat ng exponential equation ay nahahati sa dalawang uri:

1. Ang equation ay binubuo ng mga exponential function na may parehong base. Halimbawa: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Ang formula ay naglalaman ng mga exponential function na may iba't ibang base. Mga halimbawa: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ at $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

Magsimula tayo sa mga equation ng unang uri - ang mga ito ang pinakamadaling lutasin. At sa kanilang solusyon ay tutulungan tayo ng isang pamamaraan tulad ng pagpili ng mga matatag na expression.

Nagha-highlight ng isang matatag na expression

Tingnan natin muli ang equation na ito:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ano ang nakikita natin? Ang apat ay itinaas sa iba't ibang antas. Ngunit ang lahat ng kapangyarihang ito ay mga simpleng kabuuan ng variable na $x$ sa iba pang mga numero. Samakatuwid, kinakailangang tandaan ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]

Sa madaling salita, ang pagdaragdag ng mga exponent ay maaaring ma-convert sa isang produkto ng mga kapangyarihan, at ang pagbabawas ay madaling ma-convert sa dibisyon. Subukan nating ilapat ang mga formula na ito sa mga kapangyarihan mula sa ating equation:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Isinulat namin muli ang orihinal na equation na isinasaalang-alang ang katotohanang ito, at pagkatapos ay kinokolekta namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -labing-isa; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Ang unang apat na termino ay naglalaman ng elementong $((4)^(x))$ — alisin natin ito sa bracket:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Ito ay nananatiling hatiin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng fraction na $-\frac(11)(4)$, i.e. mahalagang i-multiply sa baligtad na fraction - $-\frac(4)(11)$. Nakukuha namin:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

yun lang! Binawasan namin ang orihinal na equation sa pinakasimpleng at nakuha ang huling sagot.

Kasabay nito, sa proseso ng paglutas, natuklasan namin (at inalis pa sa bracket) ang karaniwang kadahilanan na $((4)^(x))$ - ito ang matatag na expression. Maaari itong italaga bilang isang bagong variable, o maaari mo lamang itong ipahayag nang tumpak at makakuha ng sagot. Anyway, pangunahing prinsipyo ang mga solusyon ay ang mga sumusunod:

Hanapin sa orihinal na equation ang isang stable na expression na naglalaman ng variable na madaling makilala sa lahat ng exponential function.

Ang mabuting balita ay halos lahat ng exponential equation ay umamin ng ganoong matatag na expression.

Ngunit mayroon ding masamang balita: ang gayong mga ekspresyon ay maaaring maging lubhang nakakalito, at maaaring maging mahirap na makilala ang mga ito. Kaya tingnan natin ang isa pang problema:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Marahil ay may magtatanong na ngayon: “Pasha, binato ka ba? Narito ang iba't ibang mga base - 5 at 0.2. Ngunit subukan nating i-convert ang isang kapangyarihan na may base na 0.2. Halimbawa, alisin natin ang decimal fraction, dalhin ito sa karaniwan:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\kaliwa(x+1 \kanan)))=((\kaliwa(\frac(2)(10) ) \kanan))^(-\kaliwa(x+1 \kanan)))=((\kaliwa(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kaliwa(x+1 \kanan)) )\]

Tulad ng makikita mo, ang numero 5 ay lumitaw pa rin, kahit na sa denominator. Kasabay nito, muling isinulat ang indicator bilang negatibo. At ngayon naaalala natin ang isa sa mahahalagang tuntunin magtrabaho kasama ang mga degree:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Dito, siyempre, dinaya ko ng kaunti. Dahil para sa isang kumpletong pag-unawa, ang pormula para sa pag-alis ng mga negatibong tagapagpahiwatig ay kailangang isulat tulad ng sumusunod:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\kaliwa(\frac(1)(a) \kanan))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ kanan))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Sa kabilang banda, walang pumigil sa amin na magtrabaho sa isang bahagi lamang:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ kanan))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Ngunit sa kasong ito, kailangan mong mapataas ang isang antas sa isa pang antas (Ipapaalala ko sa iyo: sa kasong ito, ang mga tagapagpahiwatig ay idinagdag). Ngunit hindi ko kailangang "i-flip" ang mga fraction - marahil para sa isang tao ay magiging mas madali ito. :)

Sa anumang kaso, ang orihinal na exponential equation ay muling isusulat bilang:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Kaya't lumalabas na ang orihinal na equation ay mas madaling malutas kaysa sa naunang isinasaalang-alang: dito hindi mo na kailangang mag-isa ng isang matatag na expression - lahat ay nabawasan nang mag-isa. Nananatili lamang na tandaan na $1=((5)^(0))$, kung saan natin makukuha:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

Iyan ang buong solusyon! Nakuha namin ang huling sagot: $x=-2$. Kasabay nito, nais kong tandaan ang isang trick na lubos na pinasimple ang lahat ng mga kalkulasyon para sa amin:

Sa mga exponential equation, siguraduhing alisin ang mga decimal fraction, isalin ang mga ito sa mga ordinaryong. Papayagan ka nitong makita ang parehong mga base ng mga degree at lubos na pasimplehin ang solusyon.

Ngayon ay lumipat tayo sa mas kumplikadong mga equation kung saan mayroong iba't ibang mga base, na sa pangkalahatan ay hindi mababawasan sa bawat isa gamit ang mga kapangyarihan.

Gamit ang exponent property

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na mayroon tayong dalawa pang partikular na malupit na equation:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]

Ang pangunahing kahirapan dito ay hindi malinaw kung ano at sa anong batayan ang mamumuno. Nasaan ang mga nakapirming expression? Nasaan ang mga karaniwang batayan? Walang ganito.

Ngunit subukan nating pumunta sa ibang paraan. Kung walang yari na magkaparehong base, maaari mong subukang hanapin ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasaliksik sa mga magagamit na base.

Magsimula tayo sa unang equation:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Ngunit pagkatapos ng lahat, maaari mong gawin ang kabaligtaran - gumawa ng numero 21 mula sa mga numero 7 at 3. Ito ay lalong madaling gawin ito sa kaliwa, dahil ang mga tagapagpahiwatig ng parehong mga degree ay pareho:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]

yun lang! Inalis mo ang exponent sa produkto at agad na nakakuha ng magandang equation na malulutas sa ilang linya.

Ngayon haharapin natin ang pangalawang equation. Narito ang lahat ay mas kumplikado:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Sa kasong ito, ang mga fraction ay naging hindi mababawasan, ngunit kung ang isang bagay ay maaaring mabawasan, siguraduhing bawasan ito. Madalas itong magreresulta sa mga kawili-wiling batayan na maaari mo nang gawin.

Sa kasamaang palad, wala kaming naisip. Ngunit nakikita namin na ang mga exponent sa kaliwa sa produkto ay kabaligtaran:

Paalalahanan kita: para maalis ang minus sign sa exponent, kailangan mo lang "i-flip" ang fraction. Kaya't muling isulat natin ang orihinal na equation:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

Sa pangalawang linya, na-bracket lang namin ang kabuuan mula sa produkto ayon sa panuntunang $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, at sa huli ay pinarami lang nila ang bilang na 100 sa isang fraction.

Ngayon tandaan na ang mga numero sa kaliwa (sa base) at sa kanan ay medyo magkatulad. paano? Oo, malinaw naman: sila ay mga kapangyarihan ng parehong bilang! Meron kami:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \kanan))^(2)). \\\end(align)\]

Kaya, ang aming equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \kanan))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \kanan))^(3\kaliwa(x-1 \kanan)))=((\kaliwa(\frac(10)(3) \kanan))^(3x-3))\]

Kasabay nito, sa kanan, maaari ka ring makakuha ng isang degree na may parehong base, kung saan sapat lamang na "i-flip" ang bahagi:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Sa wakas, ang aming equation ay kukuha ng anyo:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Iyan ang buong solusyon. Ang pangunahing ideya nito ay nagmumula sa katotohanan na kahit na may iba't ibang mga kadahilanan, sinusubukan naming bawasan ang mga kadahilanang ito sa parehong dahilan. Dito tayo ay tinutulungan ng mga elementarya na pagbabago ng mga equation at mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga kapangyarihan.

Ngunit anong mga patakaran at kailan gagamitin? Paano maiintindihan na sa isang equation kailangan mong hatiin ang magkabilang panig sa isang bagay, at sa isa pa - upang mabulok ang base ng exponential function sa mga kadahilanan?

Ang sagot sa tanong na ito ay darating na may karanasan. Subukan ang iyong kamay sa una sa mga simpleng equation, at pagkatapos ay unti-unting gawing kumplikado ang mga gawain - at sa lalong madaling panahon ang iyong mga kasanayan ay magiging sapat upang malutas ang anumang exponential equation mula sa parehong PAGGAMIT o anumang independiyenteng / pagsubok na trabaho.

At upang matulungan ka sa mahirap na gawaing ito, ipinapanukala kong mag-download sa aking website ng isang hanay ng mga equation para sa malayang solusyon. Ang lahat ng mga equation ay may mga sagot, kaya maaari mong palaging suriin ang iyong sarili.

Kagamitan:

• isang kompyuter,
• multimedia projector,
• screen,
• Appendix 1(slide presentation sa PowerPoint) "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation"
• Appendix 2(Solusyon ng isang equation tulad ng "Tatlong magkakaibang base ng mga degree" sa Word)
• Appendix 3(handout sa Word para sa Praktikal na trabaho).
• Appendix 4(handout sa Word para sa takdang-aralin).

Sa panahon ng mga klase

• mensahe ng paksa ng aralin (nakasulat sa pisara),
• ang pangangailangan para sa isang pangkalahatang aralin sa mga baitang 10-11:

Ang yugto ng paghahanda ng mga mag-aaral para sa aktibong asimilasyon ng kaalaman

Pag-uulit

Kahulugan.

Ang exponential equation ay isang equation na naglalaman ng variable sa exponent (sagot ng mag-aaral).

Tala ng guro. Ang mga exponential equation ay nabibilang sa klase ng transendental equation. Itong mahirap bigkasin na pangalan ay nagmumungkahi na ang mga naturang equation, sa pangkalahatan, ay hindi malulutas sa anyo ng mga formula.

Maaari lamang silang malutas sa pamamagitan ng humigit-kumulang numerical na pamamaraan sa mga computer. Ngunit ano ang tungkol sa mga tanong sa pagsusulit? Ang buong lansihin ay binubuo ng tagasuri ang problema sa paraang umamin lamang ito ng isang analytical na solusyon. Sa madaling salita, maaari mong (at dapat!) gawin ang mga katulad na pagbabagong-anyo na nagpapababa sa ibinigay na exponential equation sa pinakasimpleng exponential equation. Ito ang pinakasimpleng equation at tinatawag na: ang pinakasimpleng exponential equation. Ito ay nalutas logarithm.

Ang sitwasyon na may solusyon ng isang exponential equation ay kahawig ng isang paglalakbay sa isang maze, na espesyal na imbento ng compiler ng problema. Mula sa mga pangkalahatang pagsasaalang-alang na ito, sumusunod ang mga medyo tiyak na rekomendasyon.

1. Hindi lamang aktibong nakakaalam ng lahat ng exponential na pagkakakilanlan, ngunit nakakahanap din ng mga hanay ng mga halaga ng variable kung saan tinukoy ang mga pagkakakilanlan na ito, upang kapag ginagamit ang mga pagkakakilanlan na ito, ang isa ay hindi nakakakuha ng hindi kinakailangang mga ugat, at higit pa, hindi mawawala. mga solusyon sa equation.

2. Aktibong alam ang lahat ng exponential identity.

3. Malinaw, nang detalyado at walang mga pagkakamali, magsagawa ng mathematical transformations ng mga equation (maglipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa, hindi nakakalimutang baguhin ang sign, bawasan ang fraction sa isang common denominator, atbp.). Ito ay tinatawag na mathematical culture. Kasabay nito, ang mga kalkulasyon mismo ay dapat gawin nang awtomatiko sa pamamagitan ng mga kamay, at dapat isipin ng ulo ang pangkalahatang gabay na thread ng solusyon. Kinakailangang gumawa ng mga pagbabago nang maingat at detalyado hangga't maaari. Ito lang ang magagarantiya ng tama, walang error na solusyon. At tandaan: maliit error sa aritmetika ay maaari lamang lumikha ng isang transendental na equation, na sa prinsipyo ay hindi malulutas ng analytical. Naligaw ka pala at nabangga ka sa dingding ng labirint.

4. Alamin ang mga paraan ng paglutas ng mga problema (iyon ay, alamin ang lahat ng mga landas sa pamamagitan ng labirint ng solusyon). Para sa tamang oryentasyon sa bawat yugto, kakailanganin mong (sinasadya o intuitively!):

• tukuyin uri ng equation;
• tandaan ang kaukulang uri paraan ng solusyon mga gawain.

Ang yugto ng generalization at systematization ng pinag-aralan na materyal.

Ang guro, kasama ang mga mag-aaral, na may paglahok ng isang computer, ay nagsasagawa ng isang pangkalahatang-ideya na pag-uulit ng lahat ng mga uri ng mga exponential equation at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, at gumuhit ng isang pangkalahatang pamamaraan. (Gamit ang isang tutorial programa sa kompyuter L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000", ang may-akda ng pagtatanghal sa PowerPoint - T.N. Kuptsov.)

kanin. isa. Ang figure ay nagpapakita ng pangkalahatang scheme ng lahat ng uri ng exponential equation.

Tulad ng makikita mula sa diagram na ito, ang diskarte para sa paglutas ng mga exponential equation ay upang bawasan ang exponential equation na ito sa equation, una sa lahat, na may parehong mga base , at pagkatapos - at na may parehong exponents.

Ang pagkakaroon ng pagkuha ng isang equation na may parehong mga base at exponents, papalitan mo ang degree na ito ng isang bagong variable at makakuha ng isang simpleng algebraic equation (kadalasan, fractional rational o quadratic) na may kinalaman sa bagong variable na ito.

Sa pamamagitan ng paglutas ng equation na ito at paggawa ng inverse substitution, magkakaroon ka ng isang set ng mga simpleng exponential equation na nalutas sa pangkalahatang paraan gamit ang logarithms.

Magkahiwalay ang mga equation kung saan ang mga produkto lamang ng (pribadong) kapangyarihan ang nangyayari. Gamit ang mga exponential identity, posibleng dalhin agad ang mga equation na ito sa isang base, sa partikular, sa pinakasimpleng exponential equation.

Isaalang-alang kung paano nalulutas ang isang exponential equation na may tatlong magkakaibang base ng degree.

(Kung ang guro ay may pagtuturo sa computer program ni L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000", pagkatapos ay natural na nagtatrabaho kami sa disk, kung hindi, maaari mong i-print ang ganitong uri ng equation para sa bawat desk mula dito, na ipinakita sa ibaba .)

kanin. 2. Plano ng solusyon sa equation.

kanin. 3. Nagsisimulang lutasin ang equation

kanin. 4. Ang dulo ng solusyon ng equation.

Gumagawa ng praktikal na gawain

Tukuyin ang uri ng equation at lutasin ito.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Pagbubuod ng aralin

Pagmamarka ng isang aralin.

pagtatapos ng aralin

Para sa guro

Scheme ng mga sagot sa praktikal na gawain.

Pagsasanay: mula sa listahan ng mga equation, piliin ang mga equation ng tinukoy na uri (ilagay ang numero ng sagot sa talahanayan):

1. Tatlong magkakaibang base
2. Dalawang magkaibang base iba't ibang mga tagapagpahiwatig degree
3. Mga base ng kapangyarihan - kapangyarihan ng isang numero
4. Parehong base, iba't ibang exponent
5. Parehong exponent base - parehong exponent
6. Produkto ng mga kapangyarihan
7. Dalawang magkaibang base ng mga degree - ang parehong mga tagapagpahiwatig
8. Ang pinakasimpleng exponential equation

1. (produkto ng kapangyarihan)

2. (parehong base - magkaibang exponents)

Lecture: "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation."

1 . mga exponential equation.

Ang mga equation na naglalaman ng mga hindi alam sa exponent ay tinatawag na exponential equation. Ang pinakasimple sa mga ito ay ang equation na ax = b, kung saan ang a > 0 at a ≠ 1.

1) Para sa b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Para sa b > 0, gamit ang monotonicity ng function at ang root theorem, ang equation ay may iisang ugat. Upang mahanap ito, ang b ay dapat na kinakatawan bilang b = aс, ax = bс ó x = c o x = logab.

Ang mga exponential equation sa pamamagitan ng algebraic transformations ay humahantong sa karaniwang equation, na nalutas gamit ang mga sumusunod na pamamaraan:

1) paraan ng pagbabawas sa isang base;

2) paraan ng pagsusuri;

3) graphic na paraan;

4) ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable;

5) paraan ng factorization;

6) exponential - mga equation ng kapangyarihan;

7) exponential na may parameter.

2 . Paraan ng pagbabawas sa isang batayan.

Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na pag-aari ng mga degree: kung ang dalawang degree ay pantay at ang kanilang mga base ay pantay, kung gayon ang kanilang mga exponent ay pantay, ibig sabihin, ang equation ay dapat subukan na bawasan sa anyo

Mga halimbawa. Lutasin ang equation:

1 . 3x=81;

Katawanin natin ang kanang bahagi ng equation sa anyong 81 = 34 at isulat ang equation na katumbas ng orihinal na 3 x = 34; x = 4. Sagot: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> at pumunta sa equation para sa mga exponent na 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5 Sagot: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Tandaan na ang mga numerong 0.2, 0.04, √5, at 25 ay mga kapangyarihan ng 5. Samantalahin natin ito at baguhin ang orihinal na equation gaya ng sumusunod:

, kung saan ang 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, kung saan matatagpuan natin ang solusyon x = -1. Sagot: -1.

5. 3x = 5. Sa kahulugan ng logarithm, x = log35. Sagot: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Isulat muli ang equation bilang 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" width="181" height="49 src="> Samakatuwid x - 4 =0, x = 4. Sagot: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, isinusulat namin ang equation sa anyong e.x+1 = 2, x =1. Sagot: 1.

Bangko ng mga gawain No. 1.

Lutasin ang equation:

Pagsubok bilang 1.

Pagsubok #2

3 Paraan ng pagtatasa.

Ang root theorem: kung ang function na f (x) ay tumaas (bumababa) sa interval I, ang numero a ay anumang halaga na kinuha ng f sa interval na ito, kung gayon ang equation na f (x) = a ay may isang ugat sa interval I.

Kapag nilulutas ang mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagtatantya, ang teorama na ito at ang mga katangian ng monotonicity ng function ay ginagamit.

Mga halimbawa. Lutasin ang mga Equation: 1. 4x = 5 - x.

Desisyon. Isulat muli natin ang equation bilang 4x + x = 5.

1. kung ang x \u003d 1, kung gayon ang 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 ay totoo, kung gayon ang 1 ay ang ugat ng equation.

Ang function na f(x) = 4x ay tumataas sa R ​​at g(x) = x ay tumataas sa R ​​=> h(x)= f(x)+g(x) ay tumataas sa R ​​bilang ang kabuuan ng pagtaas ng mga function, kaya ang x = 1 ay ang tanging ugat ng equation na 4x = 5 – x. Sagot: 1.

2.

Desisyon. Muli naming isinusulat ang equation sa form .

1. kung x = -1, kung gayon , 3 = 3-totoo, kaya ang x = -1 ay ang ugat ng equation.

2. patunayan na ito ay natatangi.

3. Ang function na f(x) = - bumababa sa R, at g(x) = - x - bumababa sa R ​​=> h(x) = f(x) + g(x) - bumababa sa R, bilang kabuuan ng nagpapababa ng mga function. Kaya sa pamamagitan ng root theorem, x = -1 ang tanging ugat ng equation. Sagot: -1.

Bangko ng mga gawain No. 2. lutasin ang equation

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable.

Ang pamamaraan ay inilarawan sa seksyon 2.1. Ang pagpapakilala ng isang bagong variable (pagpapalit) ay karaniwang isinasagawa pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo (pagpapasimple) ng mga tuntunin ng equation. Isaalang-alang ang mga halimbawa.

Mga halimbawa. R kumain ng equation: 1. .

Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Desisyon. Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan:

Ipahiwatig ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - hindi angkop.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - hindi makatwirang equation. Pansinin natin iyon

Ang solusyon sa equation ay x = 2.5 ≤ 4, kaya 2.5 ang ugat ng equation. Sagot: 2.5.

Desisyon. Isulat muli natin ang equation sa anyo at hatiin ang magkabilang panig ng 56x+6 ≠ 0. Nakukuha natin ang equation

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, so..png" width="118" height="56">

Ang mga ugat ng quadratic equation - t1 = 1 at t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Desisyon . Muli naming isinusulat ang equation sa form

at tandaan na ito ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree.

Hatiin ang equation sa pamamagitan ng 42x, nakukuha natin

Palitan ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Sagot: 0; 0.5.

Task Bank #3. lutasin ang equation

b)

G)

Pagsubok #3 na may pagpipilian ng mga sagot. Pinakamababang antas.

Pagsubok #4 na may pagpipilian ng mga sagot. Pangkalahatang antas.

5. Paraan ng factorization.

1. Lutasin ang equation: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , saan galing

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Desisyon. Ilabas natin ang 6x sa kaliwang bahagi ng equation, at 2x sa kanang bahagi. Nakukuha namin ang equation na 6x(1+6) = 2x(1+2+4) o 6x = 2x.

Dahil 2x >0 para sa lahat ng x, maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 2x nang walang takot na mawala ang mga solusyon. Nakukuha namin ang 3x = 1ó x = 0.

3.

Desisyon. Lutasin namin ang equation sa pamamagitan ng factoring.

Pinipili namin ang parisukat ng binomial

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ang ugat ng equation.

Equation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Pagsubok #6 Pangkalahatang antas.

6. Exponential - mga equation ng kapangyarihan.

Ang tinatawag na exponential-power equation ay magkadugtong sa mga exponential equation, ibig sabihin, ang mga equation ng form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Kung alam na ang f(x)>0 at f(x) ≠ 1, kung gayon ang equation, tulad ng exponential, ay malulutas sa pamamagitan ng equating ng mga exponent g(x) = f(x).

Kung hindi ibinubukod ng kundisyon ang posibilidad ng f(x)=0 at f(x)=1, kailangan nating isaalang-alang ang mga kasong ito kapag nilulutas ang exponential power equation.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Desisyon. x2 +2x-8 - makatuwiran para sa anumang x, dahil isang polynomial, kaya ang equation ay katumbas ng set

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Exponential equation na may mga parameter.

1. Para sa anong mga halaga ng parameter p ang equation 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) ay may natatanging solusyon?

Desisyon. Ipakilala natin ang pagbabagong 2x = t, t > 0, pagkatapos ang equation (1) ay magkakaroon ng anyong t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Ang discriminant ng equation (2) ay D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ang equation (1) ay may natatanging solusyon kung ang equation (2) ay may isang positibong ugat. Posible ito sa mga sumusunod na kaso.

1. Kung D = 0, ibig sabihin, p = 1, ang equation (2) ay magkakaroon ng anyong t2 – 2t + 1 = 0, kaya t = 1, samakatuwid, ang equation (1) ay may natatanging solusyon x = 0.

2. Kung p1, pagkatapos ay 9(p – 1)2 > 0, kung gayon ang equation (2) ay may dalawang magkaibang ugat t1 = p, t2 = 4p – 3. Ang set ng mga sistema ay nakakatugon sa kondisyon ng problema

Ang pagpapalit ng t1 at t2 sa mga sistema, mayroon kami

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Desisyon. Hayaan ang equation (3) ay kukuha ng anyong t2 – 6t – a = 0. (4)

Hanapin natin ang mga halaga ng parameter a kung saan kahit isang ugat ng equation (4) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.

Ipakilala natin ang function f(t) = t2 – 6t – a. Posible ang mga sumusunod na kaso.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Kaso 2. Ang equation (4) ay may natatanging positibong solusyon kung

D = 0, kung a = – 9, ang equation (4) ay magkakaroon ng anyo (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Kaso 3. Ang equation (4) ay may dalawang ugat, ngunit ang isa sa mga ito ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay t > 0. Ito ay posible kung

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Kaya, sa a 0 equation (4) ay may isang positibong ugat . Pagkatapos ang equation (3) ay may natatanging solusyon

Para sa< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

kung ang< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
kung a = – 9, kung gayon x = – 1;

kung a  0, kung gayon

Ihambing natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation (1) at (3). Tandaan na kapag ang paglutas ng equation (1) ay binawasan sa isang quadratic equation, ang discriminant na kung saan ay isang full square; kaya, ang mga ugat ng equation (2) ay agad na kinakalkula ng formula ng mga ugat ng quadratic equation, at pagkatapos ay ginawa ang mga konklusyon tungkol sa mga ugat na ito. Ang equation (3) ay binawasan sa quadratic equation (4), na ang discriminant ay hindi buong parisukat, samakatuwid, kapag nilulutas ang equation (3), ipinapayong gumamit ng mga theorems sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial at isang graphical na modelo. Tandaan na ang equation (4) ay maaaring malutas gamit ang Vieta theorem.

Lutasin natin ang mas kumplikadong mga equation.

Gawain 3. Lutasin ang equation

Desisyon. ODZ: x1, x2.

Magpakilala tayo ng kapalit. Hayaan ang 2x = t, t > 0, pagkatapos, bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo, ang equation ay magkakaroon ng anyong t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Hanapin ang mga halaga ng a kung saan kahit isang ugat ng ang equation (*) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Sagot: kung a > - 13, a  11, a  5, kung gayon kung a - 13,

a = 11, a = 5, pagkatapos ay walang mga ugat.

Bibliograpiya.

1. Guzeev pundasyon ng teknolohiyang pang-edukasyon.

2. Teknolohiya ng Guzeev: mula sa pagtanggap hanggang sa pilosopiya.

M. "Punong Guro" Blg. 4, 1996

3. Guzeev at mga pormang pang-organisasyon pag-aaral.

4. Guzeev at ang pagsasagawa ng integral na teknolohiyang pang-edukasyon.

M. "Edukasyon ng mga tao", 2001

5. Guzeev mula sa mga anyo ng aralin - seminar.

Matematika sa paaralan Blg. 2, 1987, pp. 9 - 11.

6. Mga teknolohiyang pang-edukasyon ng Selevko.

M. "Edukasyon ng mga tao", 1998

7. Ang mga mag-aaral sa Episheva ay natututo ng matematika.

M. "Enlightenment", 1990

8. Ivanov upang maghanda ng mga aralin - mga workshop.

Matematika sa Paaralan Blg. 6, 1990, p. 37-40.

9. Smirnov modelo ng pagtuturo ng matematika.

Matematika sa Paaralan Blg. 1, 1997, p. 32-36.

10. Tarasenko paraan ng pag-aayos ng praktikal na gawain.

Mathematics at School No. 1, 1993, p. 27 - 28.

11. Tungkol sa isa sa mga uri ng indibidwal na gawain.

Mathematics at School No. 2, 1994, pp. 63 - 64.

12. Khazankin Mga malikhaing kasanayan mga mag-aaral.

Matematika sa Paaralan Blg. 2, 1989, p. sampu.

13. Scanavi. Publisher, 1997

14. et al. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Mga materyales sa didactic para sa

15. Mga gawain sa Krivonogov sa matematika.

M. "Una ng Setyembre", 2002

16. Cherkasov. Handbook para sa mga mag-aaral sa high school at

pagpasok sa mga unibersidad. "A S T - press school", 2002

17. Zhevnyak para sa mga aplikante sa mga unibersidad.

Minsk at RF "Repasuhin", 1996

18. Nakasulat D. Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika. M. Rolf, 1999

19. at iba pa.Pag-aaral na lutasin ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

M. "Intellect - Center", 2003

20. at iba pa. Mga materyales na pang-edukasyon at pagsasanay para sa paghahanda para sa E G E.

M. "Intellect - Center", 2003 at 2004

21 at iba pa. Mga variant ng CMM. Testing Center ng Ministry of Defense ng Russian Federation, 2002, 2003

22. Goldberg equation. "Quantum" No. 3, 1971

23. Volovich M. Paano matagumpay na magturo ng matematika.

Mathematics, 1997 No. 3.

24 Okunev para sa aralin, mga bata! M. Enlightenment, 1988

25. Yakimanskaya - oriented na edukasyon sa paaralan.

26. Nagtatrabaho si Liimets sa aralin. M. Kaalaman, 1975

Solusyon ng mga exponential equation. Mga halimbawa.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Ano exponential equation? Ito ay isang equation kung saan ang mga hindi alam (x) at mga expression na kasama nila ay nasa mga tagapagpahiwatig ilang degree. At doon lang! Ito ay mahalaga.

Nandyan ka lang pala mga halimbawa ng exponential equation:

3 x 2 x = 8 x + 3

Tandaan! Sa mga base ng degree (sa ibaba) - mga numero lamang. AT mga tagapagpahiwatig degrees (sa itaas) - isang malawak na pagkakaiba-iba ng mga expression na may x. Kung biglang lumitaw ang isang x sa equation sa isang lugar maliban sa indicator, halimbawa:

ito ay magiging isang mixed type equation. Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas. Hindi natin sila isasaalang-alang sa ngayon. Dito natin haharapin solusyon ng mga exponential equation sa pinakadalisay nitong anyo.

Sa katunayan, kahit na ang mga purong exponential equation ay hindi palaging malinaw na nalutas. Ngunit may ilang uri ng mga exponential equation na maaari at dapat lutasin. Ito ang mga uri na ating titingnan.

Solusyon ng pinakasimpleng exponential equation.

Magsimula tayo sa isang bagay na napakasimple. Halimbawa:

Kahit na walang anumang teorya, sa simpleng pagpili ay malinaw na ang x = 2. Wala na, diba!? Walang ibang x value rolls. At ngayon tingnan natin ang solusyon ng nakakalito na exponential equation na ito:

Ano'ng nagawa natin? Kami, sa katunayan, ay itinapon lamang ang parehong mga ilalim (triples). Ganap na itinapon. At, kung ano ang mangyaring, pindutin ang marka!

Sa katunayan, kung sa exponential equation sa kaliwa at sa kanan ay pareho mga numero sa anumang antas, ang mga numerong ito ay maaaring alisin at pantay na mga exponent. Pinapayagan ng matematika. Ito ay nananatiling upang malutas ang isang mas simpleng equation. Maganda naman diba?)

Gayunpaman, tandaan natin ang balintuna: maaari mong alisin ang mga base lamang kapag ang mga batayang numero ay nasa kaliwa at sa kanan sa napakagandang paghihiwalay! Nang walang anumang mga kapitbahay at coefficients. Sabihin natin sa mga equation:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , o

Hindi mo maalis ang mga doble!

Buweno, pinagkadalubhasaan namin ang pinakamahalagang bagay. Paano lumipat mula sa masasamang exponential expression patungo sa mas simpleng mga equation.

"Narito ang mga oras na iyon!" - sabi mo. "Sino ang magbibigay ng ganoong primitive sa control at exams!?"

Pilit pumayag. Walang sinuman. Ngunit ngayon alam mo na kung saan pupunta kapag nilulutas ang mga nakalilitong halimbawa. Kinakailangang dalhin ito sa form kapag ang parehong base number ay nasa kaliwa - sa kanan. Pagkatapos ang lahat ay magiging mas madali. Actually, ito ang classics ng mathematics. Kinukuha namin ang orihinal na halimbawa at binago namin ito sa ninanais sa amin isip. Ayon sa mga patakaran ng matematika, siyempre.

Isaalang-alang ang mga halimbawa na nangangailangan ng ilang karagdagang pagsisikap upang dalhin ang mga ito sa pinakasimple. Tawagan natin sila simpleng exponential equation.

Solusyon ng mga simpleng exponential equation. Mga halimbawa.

Kapag nilulutas ang mga exponential equation, ang mga pangunahing panuntunan ay mga aksyon na may kapangyarihan. Kung walang kaalaman sa mga pagkilos na ito, walang gagana.

Sa mga aksyon na may mga antas, dapat magdagdag ng personal na pagmamasid at talino sa paglikha. Kailangan ba natin ng parehong base number? Kaya't hinahanap namin ang mga ito sa halimbawa sa isang tahasang o naka-encrypt na form.

Tingnan natin kung paano ito ginagawa sa pagsasanay?

Bigyan tayo ng isang halimbawa:

2 2x - 8 x+1 = 0

Unang tingin sa bakuran. Sila... Iba sila! Dalawa at walo. Ngunit masyado pang maaga para panghinaan ng loob. Oras na para tandaan iyon

Ang dalawa at walo ay magkakamag-anak sa degree.) Posibleng isulat:

8 x+1 = (2 3) x+1

Kung aalalahanin natin ang formula mula sa mga aksyon na may kapangyarihan:

(a n) m = a nm ,

sa pangkalahatan ito ay mahusay na gumagana:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Ang orihinal na halimbawa ay ganito ang hitsura:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer kami 2 3 (x+1) sa kanan (walang kinansela ang elementarya na pagkilos ng matematika!), nakukuha namin:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Halos iyon lang. Pag-alis ng mga base:

Malutas namin ang halimaw na ito at makuha

Ito ang tamang sagot.

Sa halimbawang ito, nakatulong sa amin ang pag-alam sa kapangyarihan ng dalawa. Kami nakilala sa walo, ang naka-encrypt na deuce. Ang diskarteng ito (pag-encode ng mga karaniwang base sa ilalim ng iba't ibang numero) ay isang napakasikat na trick sa mga exponential equation! Oo, kahit sa logarithms. Dapat na makilala ng isa ang kapangyarihan ng iba pang mga numero sa mga numero. Napakahalaga nito para sa paglutas ng mga exponential equation.

Ang katotohanan ay ang pagtaas ng anumang numero sa anumang kapangyarihan ay hindi isang problema. I-multiply, kahit sa isang piraso ng papel, at iyon lang. Halimbawa, lahat ay maaaring magtaas ng 3 hanggang sa ikalimang kapangyarihan. 243 ay lalabas kung alam mo ang multiplication table.) Ngunit sa mga exponential equation, mas madalas na kinakailangan na huwag itaas sa isang kapangyarihan, ngunit kabaligtaran ... anong numero hanggang saan nagtatago sa likod ng numerong 243, o, sabihin nating, 343... Walang calculator ang tutulong sa iyo dito.

Kailangan mong malaman ang kapangyarihan ng ilang numero sa pamamagitan ng paningin, oo ... Magsasanay ba tayo?

Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Mga sagot (sa gulo, siyempre!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Kung titingnang mabuti, makikita mo ang isang kakaibang katotohanan. Mas maraming sagot kaysa mga tanong! Well, nangyayari ito... Halimbawa, 2 6 , 4 3 , 8 2 ay 64 lahat.

Ipagpalagay natin na napagtanto mo ang impormasyon tungkol sa kakilala sa mga numero.) Hayaan mong ipaalala ko rin sa iyo na para sa paglutas ng mga exponential equation, inilalapat namin ang kabuuan stock ng kaalaman sa matematika. Kabilang ang mula sa lower-middle classes. Hindi ka naman dumiretso ng high school diba?

Halimbawa, kapag nilulutas ang mga exponential equation, kadalasang nakakatulong ang paglalagay ng common factor sa mga bracket (hello sa grade 7!). Tingnan natin ang isang halimbawa:

3 2x+4 -11 9 x = 210

At muli, ang unang hitsura - sa bakuran! Ang mga base ng mga degree ay iba ... Tatlo at siyam. At gusto naming maging pareho sila. Well, sa kasong ito, ang pagnanais ay lubos na magagawa!) Dahil:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Ayon sa parehong mga patakaran para sa mga aksyon na may mga degree:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Iyan ay mahusay, maaari mong isulat:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Nagbigay kami ng isang halimbawa para sa parehong mga kadahilanan. Kaya, ano ang susunod!? Hindi maaaring itapon ang tatlo ... Dead end?

Hindi talaga. Pag-alala sa pinaka-unibersal at makapangyarihang tuntunin sa pagpapasya lahat mga gawain sa matematika:

Kung hindi mo alam ang gagawin, gawin mo ang iyong makakaya!

Tingnan mo, nabuo ang lahat).

Ano ang nasa exponential equation na ito pwede gawin? Oo, ang kaliwang bahagi ay direktang humihingi ng mga panaklong! Ang karaniwang kadahilanan ng 3 2x ay malinaw na nagpapahiwatig nito. Subukan natin, at pagkatapos ay makikita natin:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Ang halimbawa ay patuloy na nagiging mas mahusay at mas mahusay!

Naaalala namin na upang maalis ang mga base, kailangan namin ng isang purong antas, nang walang anumang mga coefficient. Ang numero 70 ay bumabagabag sa amin. Kaya hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 70, nakukuha namin:

Op-pa! Naging maayos ang lahat!

Ito ang huling sagot.

Nangyayari, gayunpaman, na ang pag-taxi sa parehong mga batayan ay nakuha, ngunit ang kanilang pagpuksa ay hindi. Nangyayari ito sa mga exponential equation ng ibang uri. Kunin natin ang ganitong uri.

Pagbabago ng variable sa paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa.

Lutasin natin ang equation:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Una - gaya ng dati. Lumipat tayo sa base. Sa deuce.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Nakukuha namin ang equation:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

At dito tayo mabibitin. Ang mga nakaraang trick ay hindi gagana, kahit paano mo ito iikot. Kakailanganin nating kumuha mula sa arsenal ng isa pang makapangyarihan at maraming nalalaman na paraan. Ang tawag dito variable na pagpapalit.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay nakakagulat na simple. Sa halip na isang kumplikadong icon (sa aming kaso, 2 x), nagsusulat kami ng isa pa, mas simple (halimbawa, t). Ang gayong tila walang kabuluhang kapalit ay humahantong sa mga kamangha-manghang resulta!) Ang lahat ay nagiging malinaw at naiintindihan!

Kaya hayaan

Pagkatapos ay 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Pinapalitan namin sa aming equation ang lahat ng kapangyarihan ng x ng t:

Aba, madaling araw na?) Quadratic equation hindi mo pa ba nakakalimutan? Malutas namin sa pamamagitan ng discriminant, nakukuha namin:

Dito, ang pangunahing bagay ay hindi huminto, tulad ng nangyayari ... Hindi pa ito ang sagot, kailangan natin ng x, hindi t. Bumalik kami sa Xs, i.e. paggawa ng kapalit. Una para sa t 1:

Yan ay,

Isang ugat ang natagpuan. Hinahanap namin ang pangalawa, mula sa t 2:

Um... Kaliwa 2 x, Kanan 1... Isang sagabal? Oo, hindi naman! Sapat na tandaan (mula sa mga aksyon na may mga antas, oo ...) na ang pagkakaisa ay anuman numero hanggang sero. Anuman. Anuman ang kailangan mo, ilalagay namin ito. Kailangan natin ng dalawa. Ibig sabihin:

Ngayon na lang. May 2 ugat:

Ito ang sagot.

Sa paglutas ng mga exponential equation sa dulo, minsan nakakakuha ng ilang awkward na expression. Uri:

Mula sa pito, ang isang deuce sa pamamagitan ng isang simpleng antas ay hindi gumagana. Hindi sila kamag-anak ... Paano ako narito? Maaaring may nalilito ... Ngunit ang taong nagbasa sa site na ito ng paksang "Ano ang logarithm?" , ngumiti lang ng matipid at isulat ng mahigpit na kamay ang ganap na tamang sagot:

Maaaring walang ganoong sagot sa mga gawain na "B" sa pagsusulit. Mayroong isang tiyak na numero na kinakailangan. Ngunit sa mga gawain na "C" - madali.

Ang araling ito ay nagbibigay ng mga halimbawa ng paglutas ng mga pinakakaraniwang exponential equation. I-highlight natin ang pangunahing isa.

Mga Praktikal na Tip:

1. Una sa lahat, tinitingnan natin bakuran degrees. Tingnan natin kung hindi nila magawa pareho. Subukan nating gawin ito sa pamamagitan ng aktibong paggamit mga aksyon na may kapangyarihan. Huwag kalimutan na ang mga numerong walang x ay maaari ding gawing kapangyarihan!

2. Sinusubukan naming dalhin ang exponential equation sa anyo kapag ang kaliwa at kanan ay pareho mga numero sa anumang antas. Ginagamit namin mga aksyon na may kapangyarihan at factorization. Ano ang mabibilang sa mga numero - binibilang namin.

3. Kung hindi gumana ang pangalawang payo, susubukan naming ilapat ang variable substitution. Ang resulta ay maaaring isang equation na madaling malutas. Kadalasan - parisukat. O fractional, na binabawasan din sa isang parisukat.

4. Upang matagumpay na malutas ang mga exponential equation, kailangan mong malaman ang mga antas ng ilang mga numero "sa pamamagitan ng paningin".

Gaya ng nakagawian, sa pagtatapos ng aralin ay inaanyayahan kang mag-solve ng kaunti.) Sa iyong sarili. Mula sa simple hanggang sa kumplikado.

Lutasin ang mga exponential equation:

Mas mahirap:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

Maghanap ng produkto ng mga ugat:

2 3-x + 2 x = 9

Nangyari?

Kung gayon ang pinakamahirap na halimbawa(nagpasya, gayunpaman, sa isip ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Ano ang mas kawili-wili? At narito ang isang masamang halimbawa para sa iyo. Medyo paghila sa tumaas na kahirapan. Ipapahiwatig ko na sa halimbawang ito, ang talino sa paglikha at ang pinaka-unibersal na panuntunan para sa paglutas ng lahat ng mga gawain sa matematika ay nakakatipid.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Ang isang halimbawa ay mas simple, para sa pagpapahinga):

9 2 x - 4 3 x = 0

At para sa panghimagas. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Oo Oo! Ito ay isang mixed type equation! Na hindi natin isinaalang-alang sa araling ito. At kung ano ang dapat isaalang-alang sa kanila, kailangan nilang malutas!) Ang araling ito ay sapat na upang malutas ang equation. Well, kailangan ang talino sa paglikha ... At oo, ang ikapitong baitang ay makakatulong sa iyo (ito ay isang pahiwatig!).

Mga sagot (magulo, pinaghihiwalay ng mga semicolon):

isa; 2; 3; 4; walang mga solusyon; 2; -2; -5; 4; 0.

Ang lahat ba ay matagumpay? ayos lang.

May problema? Walang problema! Sa Espesyal na Seksyon 555, lahat ng mga exponential equation na ito ay nalutas sa mga detalyadong paliwanag. Ano, bakit, at bakit. At, siyempre, mayroong karagdagang mahalagang impormasyon sa pagtatrabaho sa lahat ng uri ng mga exponential equation. Hindi lamang sa mga ito.)

Huli nakakatawang tanong para sa pagsasaalang-alang. Sa araling ito, nagtrabaho kami sa mga exponential equation. Bakit hindi ako nag salita tungkol sa ODZ dito? Sa mga equation, ito ay isang napakahalagang bagay, sa pamamagitan ng paraan ...

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.