Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya na may patunay. Mga coordinate at vector

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng patayo mula sa punto hanggang sa linya. Sa descriptive geometry, ito ay tinutukoy nang grapiko ayon sa algorithm sa ibaba.

Algorithm

1. Ang tuwid na linya ay inililipat sa isang posisyon kung saan ito ay magiging parallel sa anumang projection plane. Upang gawin ito, ilapat ang mga paraan ng pagbabago ng orthogonal projection.
2. Gumuhit ng patayo mula sa isang punto hanggang sa isang linya. Sa kaibuturan konstruksiyon na ito ay ang right angle projection theorem.
3. Ang haba ng isang patayo ay tinutukoy sa pamamagitan ng pag-convert ng mga projection nito o paggamit ng right triangle na paraan.

Ang sumusunod na figure ay nagpapakita ng isang kumplikadong pagguhit ng point M at line b na tinukoy ng line segment CD. Kailangan mong hanapin ang distansya sa pagitan nila.

Ayon sa aming algorithm, ang unang bagay na dapat gawin ay ilipat ang linya sa posisyon parallel sa eroplano projection. Mahalagang maunawaan na pagkatapos ng mga pagbabago, ang aktwal na distansya sa pagitan ng punto at linya ay hindi dapat magbago. Iyon ang dahilan kung bakit ito ay maginhawa upang gamitin ang paraan ng pagpapalit ng eroplano dito, na hindi nagsasangkot ng paglipat ng mga numero sa kalawakan.

Ang mga resulta ng unang yugto ng mga konstruksyon ay ipinapakita sa ibaba. Ang figure ay nagpapakita kung paano ang isang karagdagang frontal plane P 4 ay ipinakilala parallel sa b. Sa bagong sistema (P 1 , P 4) ang mga puntos C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 ay nasa parehong distansya mula sa X 1 axis bilang C"", D"", M"" mula sa axis x.

Ang pagsasagawa ng pangalawang bahagi ng algorithm, mula sa M"" 1 binababa namin ang patayo M"" 1 N"" 1 sa linya b"" 1, dahil ang tamang anggulo ng MND sa pagitan ng b at MN ay naka-project sa eroplano P 4 sa buong laki. Tinutukoy namin ang posisyon ng punto N" kasama ang linya ng komunikasyon at iguhit ang projection M"N" ng segment na MN.

Sa huling yugto, kinakailangan upang matukoy ang halaga ng segment na MN sa pamamagitan ng mga projection nito M"N" at M"" 1 N"" 1 . Para dito kami ay nagtatayo kanang tatsulok M"" 1 N"" 1 N 0 , na ang binti N"" 1 N 0 ay katumbas ng pagkakaiba (Y M 1 – Y N 1) ng pag-alis ng mga puntos na M" at N" mula sa X 1 axis. Ang haba ng hypotenuse M"" 1 N 0 ng triangle M"" 1 N"" 1 N 0 ay tumutugma sa nais na distansya mula M hanggang b.

Ang pangalawang paraan ng paglutas

• Parallel sa CD ipinakilala namin ang isang bagong frontal plane П 4 . Nag-intersect ito sa P 1 kasama ang X 1 axis, at X 1 ∥C"D". Alinsunod sa paraan ng pagpapalit ng mga eroplano, tinutukoy namin ang mga projection ng mga puntos na C "" 1, D"" 1 at M"" 1, tulad ng ipinapakita sa figure.
• Perpendikular sa C "" 1 D "" 1 bumuo kami ng karagdagang pahalang na eroplano P 5 kung saan ang tuwid na linya b ay inaasahang sa punto C" 2 \u003d b" 2.
• Ang distansya sa pagitan ng punto M at ang tuwid na linya b ay tinutukoy ng haba ng segment M "2 C" 2 na minarkahan ng pula.

Mga kaugnay na gawain:

Tinatalakay ng artikulong ito ang paksa « distansya mula sa punto hanggang linya », Ang mga kahulugan ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya ay isinasaalang-alang na may mga nakalarawang halimbawa sa pamamagitan ng paraan ng mga coordinate. Ang bawat bloke ng teorya sa dulo ay nagpakita ng mga halimbawa ng paglutas ng mga katulad na problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagtukoy ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang punto. Isaalang-alang natin nang mas detalyado.

Hayaang mayroong isang linya a at isang punto M 1 na hindi kabilang sa ibinigay na linya. Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan nito na nakabara patayo sa linya a. Kunin ang punto ng intersection ng mga linya bilang H 1. Nakukuha namin na ang M 1 H 1 ay isang patayo, na ibinaba mula sa puntong M 1 hanggang sa linya a.

Kahulugan 1

Distansya mula sa punto M 1 hanggang sa tuwid na linya a tinatawag na distansya sa pagitan ng mga puntos na M 1 at H 1 .

May mga talaan ng kahulugan na may pigura ng haba ng patayo.

Kahulugan 2

Distansya mula sa punto hanggang linya ay ang haba ng patayo na iginuhit mula sa isang ibinigay na punto hanggang sa isang ibinigay na linya.

Ang mga kahulugan ay katumbas. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Ito ay kilala na ang distansya mula sa isang punto sa isang tuwid na linya ay ang pinakamaliit sa lahat ng posible. Tingnan natin ito sa isang halimbawa.

Kung kukunin natin ang puntong Q na nakahiga sa linya a, hindi tumutugma sa puntong M 1, kung gayon makuha natin na ang segment na M 1 Q ay tinatawag na pahilig, na ibinaba mula sa M 1 hanggang sa linya a. Kinakailangang ipahiwatig na ang patayo mula sa puntong M 1 ay mas mababa kaysa sa anumang iba pang pahilig na iginuhit mula sa punto hanggang sa tuwid na linya.

Upang patunayan ito, isaalang-alang ang tatsulok na M 1 Q 1 H 1 , kung saan ang M 1 Q 1 ay ang hypotenuse. Ito ay kilala na ang haba nito ay palaging mas malaki kaysa sa haba ng alinman sa mga binti. Kaya, mayroon tayong M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Ang paunang data para sa paghahanap mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya ay nagbibigay-daan sa paggamit ng ilang mga paraan ng solusyon: sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, mga kahulugan ng sine, cosine, tangent ng isang anggulo, at iba pa. Karamihan sa mga gawain ng ganitong uri ay nalutas sa paaralan sa mga aralin sa geometry.

Kapag, kapag hinahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya, posible na magpasok ng isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate, pagkatapos ay ginagamit ang paraan ng coordinate. Sa talatang ito, isinasaalang-alang namin ang pangunahing dalawang pamamaraan para sa paghahanap ng nais na distansya mula sa isang naibigay na punto.

Ang unang pamamaraan ay nagsasangkot ng paghahanap ng distansya bilang isang patayo na iginuhit mula sa M 1 hanggang sa linya a. Ang pangalawang paraan ay gumagamit ng normal na equation ng tuwid na linya a upang mahanap ang kinakailangang distansya.

Kung mayroong isang punto sa eroplano na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1) na matatagpuan sa isang rectangular coordinate system, isang tuwid na linya a, at kailangan mong hanapin ang distansya M 1 H 1, maaari mong kalkulahin sa dalawang paraan. Isaalang-alang natin sila.

Unang paraan

Kung mayroong mga coordinate ng point H 1 na katumbas ng x 2, y 2, kung gayon ang distansya mula sa punto hanggang sa linya ay kinakalkula mula sa mga coordinate mula sa formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Ngayon ay magpatuloy tayo sa paghahanap ng mga coordinate ng punto H 1.

Ito ay kilala na ang isang tuwid na linya sa O x y ay tumutugma sa equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Gumawa tayo ng paraan upang tukuyin ang isang tuwid na linya a sa pamamagitan ng pagsulat ng isang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya o isang equation na may slope. Binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 1 patayo sa isang ibinigay na linya a. Tukuyin natin ang linya sa pamamagitan ng beech b . Ang H 1 ay ang intersection point ng mga linya a at b, kaya upang matukoy ang mga coordinate, dapat mong gamitin ang artikulo kung saan sa tanong sa mga coordinate ng mga punto ng intersection ng dalawang linya.

Makikita na ang algorithm para sa paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto M 1 (x 1, y 1) hanggang sa tuwid na linya a ay isinasagawa ayon sa mga puntos:

Kahulugan 3

• paghahanap ng pangkalahatang equation ng tuwid na linya a , pagkakaroon ng anyo A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, o isang equation na may koepisyent ng slope, na may anyo na y \u003d k 1 x + b 1;
• pagkuha ng pangkalahatang equation ng linya b, na may anyo A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 o isang equation na may slope y \u003d k 2 x + b 2 kung ang linya b ay nag-intersect sa punto M 1 at patayo sa ibinigay na linya a;
• pagpapasiya ng mga coordinate x 2, y 2 ng punto H 1, na siyang intersection point ng a at b, para dito ang system ay nalutas linear na equation A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 o y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• pagkalkula ng kinakailangang distansya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya, gamit ang formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Pangalawang paraan

Ang theorem ay maaaring makatulong sa pagsagot sa tanong ng paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang ibinigay na linya sa isang eroplano.

Teorama

Ang isang rectangular coordinate system ay may O x y na may punto M 1 (x 1, y 1), kung saan ang isang tuwid na linya ay iginuhit a sa eroplano, na ibinigay ng normal na equation ng eroplano, na may anyong cos α x + cos β y - p \u003d 0, katumbas ng modulo ang halaga na nakuha sa kaliwang bahagi ng normal na straight line equation, na kinakalkula sa x = x 1, y = y 1, ay nangangahulugan na ang M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Patunay

Ang linyang a ay tumutugma sa normal na equation ng eroplano, na may anyong cos α x + cos β y - p = 0, pagkatapos n → = (cos α , cos β) ay itinuturing na isang normal na vector ng linya a sa isang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa linya a na may mga p unit . Kinakailangan na ilarawan ang lahat ng data sa figure, magdagdag ng isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1) , kung saan ang radius vector ng punto M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang tuwid na linya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya, na aming tukuyin ng M 1 H 1 . Kinakailangang ipakita ang mga projection M 2 at H 2 ng mga puntos M 1 at H 2 papunta sa isang tuwid na linya na dumadaan sa punto O na may nakadirekta na vector ng form n → = (cos α , cos β) , at tinutukoy namin ang numerical projection ng vector bilang O M 1 → = (x 1 , y 1) sa direksyon n → = (cos α , cos β) bilang n p n → O M 1 → .

Ang mga pagkakaiba-iba ay nakasalalay sa lokasyon ng punto M 1 mismo. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Inaayos namin ang mga resulta gamit ang formula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Pagkatapos ay dinadala namin ang pagkakapantay-pantay sa form na ito M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p upang makuha ang n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Ang scalar product ng mga vectors ay nagreresulta sa isang transformed formula ng form n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , na isang produkto sa coordinate form ng anyo n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Kaya naman, nakuha natin na n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Kasunod nito na M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Napatunayan na ang theorem.

Nakukuha namin na upang mahanap ang distansya mula sa puntong M 1 (x 1, y 1) hanggang sa tuwid na linya a sa eroplano, maraming mga aksyon ang dapat gawin:

Kahulugan 4

• pagkuha ng normal na equation ng linyang a cos α · x + cos β · y - p = 0, sa kondisyon na wala ito sa gawain;
• pagkalkula ng expression na cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , kung saan ang resultang halaga ay tumatagal ng M 1 H 1 .

Ilapat natin ang mga pamamaraang ito upang malutas ang mga problema sa paghahanap ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano.

Halimbawa 1

Hanapin ang distansya mula sa puntong may mga coordinate M 1 (- 1 , 2) hanggang sa linyang 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Desisyon

Gamitin natin ang unang paraan upang malutas.

Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang pangkalahatang equation ng linya b, na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 1 (- 1 , 2) patayo sa linya 4 x - 3 y + 35 = 0 . Ito ay makikita mula sa kondisyon na ang linya b ay patayo sa linya a, kung gayon ang vector ng direksyon nito ay may mga coordinate na katumbas ng (4, - 3) . Kaya, mayroon kaming pagkakataon na isulat ang canonical equation ng linya b sa eroplano, dahil may mga coordinate ng punto M 1, ay kabilang sa linya b. Tukuyin natin ang mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya b . Nakukuha natin na x - (- 1) 4 = y - 2-3 ⇔ x + 1 4 = y - 2-3 . Ang resultang canonical equation ay dapat i-convert sa isang pangkalahatan. Pagkatapos makuha namin iyon

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Hanapin natin ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga linya, na kukunin natin bilang pagtatalaga H 1. Ang mga pagbabago ay ganito ang hitsura:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Mula sa itaas, mayroon tayong mga coordinate ng puntong H 1 ay (- 5; 5).

Kinakailangang kalkulahin ang distansya mula sa puntong M 1 hanggang sa tuwid na linya a. Mayroon kaming mga coordinate ng mga puntos na M 1 (- 1, 2) at H 1 (- 5, 5), pagkatapos ay pinapalitan namin ang formula para sa paghahanap ng distansya at nakuha namin iyon

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Ang pangalawang solusyon.

Upang malutas sa ibang paraan, kinakailangan upang makuha ang normal na equation ng isang tuwid na linya. Kinakalkula namin ang halaga ng normalizing factor at i-multiply ang magkabilang panig ng equation 4 x - 3 y + 35 = 0 . Mula dito nakuha natin na ang normalizing factor ay - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , at ang normal na equation ay magiging sa anyo - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Ayon sa algorithm ng pagkalkula, kinakailangan upang makuha ang normal na equation ng isang tuwid na linya at kalkulahin ito sa mga halaga x = - 1 , y = 2 . Pagkatapos makuha namin iyon

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Mula dito nakuha natin na ang distansya mula sa puntong M 1 (- 1 , 2) hanggang sa ibinigay na tuwid na linya 4 x - 3 y + 35 = 0 ay may halaga - 5 = 5 .

Sagot: 5 .

Nakikita na sa ang pamamaraang ito mahalagang gamitin ang normal na equation ng isang tuwid na linya, dahil ang paraang ito ang pinakamaikling. Ngunit ang unang paraan ay maginhawa dahil ito ay pare-pareho at lohikal, kahit na mayroon itong higit pang mga kalkulasyon.

Halimbawa 2

Sa eroplano mayroong isang hugis-parihaba na coordinate system O x y na may punto M 1 (8, 0) at isang tuwid na linya y = 1 2 x + 1. Hanapin ang distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa isang tuwid na linya.

Desisyon

Ang solusyon sa unang paraan ay nagpapahiwatig ng pagbawas ng isang ibinigay na equation na may isang slope coefficient sa isang pangkalahatang equation. Upang gawing simple, maaari mong gawin ito sa ibang paraan.

Kung ang produkto ng mga slope ng mga patayong linya ay - 1 , kung gayon ang slope ng linya na patayo sa ibinigay na y = 1 2 x + 1 ay 2 . Ngayon nakuha namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na may mga coordinate M 1 (8, 0) . Mayroon tayong y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nagpapatuloy kami sa paghahanap ng mga coordinate ng punto H 1, iyon ay, ang mga intersection point y \u003d - 2 x + 16 at y \u003d 1 2 x + 1. Bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation at makakuha ng:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Kasunod nito na ang distansya mula sa puntong may mga coordinate M 1 (8 , 0) hanggang sa linyang y = 1 2 x + 1 ay katumbas ng distansya mula sa simula at dulong punto na may mga coordinate M 1 (8 , 0) at H 1 (6 , 4) . Kalkulahin natin at kunin na M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Ang solusyon sa pangalawang paraan ay upang pumasa mula sa equation na may isang koepisyent sa normal na anyo nito. Iyon ay, nakukuha namin ang y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, kung gayon ang halaga ng normalizing factor ay magiging - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Ito ay sumusunod na ang normal na equation ng isang tuwid na linya ay nasa anyong - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Kalkulahin natin mula sa puntong M 1 8 , 0 hanggang sa isang tuwid na linya ng anyong - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Nakukuha namin:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Sagot: 2 5 .

Halimbawa 3

Kinakailangang kalkulahin ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 (- 2 , 4) hanggang sa mga tuwid na linya 2 x - 3 = 0 at y + 1 = 0 .

Desisyon

Nakukuha namin ang equation ng normal na anyo ng tuwid na linya 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Pagkatapos ay nagpapatuloy kami upang kalkulahin ang distansya mula sa puntong M 1 - 2, 4 hanggang sa tuwid na linya x - 3 2 = 0. Nakukuha namin:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Ang straight line equation na y + 1 = 0 ay may normalizing factor na may halaga na -1. Nangangahulugan ito na ang equation ay kukuha ng anyo - y - 1 = 0 . Nagpapatuloy kami upang kalkulahin ang distansya mula sa punto M 1 (- 2 , 4) hanggang sa tuwid na linya - y - 1 = 0 . Nakuha namin na ito ay katumbas ng - 4 - 1 = 5.

Sagot: 3 1 2 at 5 .

Isaalang-alang natin nang detalyado ang pagpapasiya ng distansya mula sa isang naibigay na punto ng eroplano hanggang sa mga coordinate axes O x at O ​​y.

Sa isang rectangular coordinate system, ang axis O y ay may equation ng isang tuwid na linya, na hindi kumpleto at may anyo na x \u003d 0, at O ​​x - y \u003d 0. Ang mga equation ay normal para sa mga coordinate axes, pagkatapos ay kinakailangan upang mahanap ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 x 1 , y 1 hanggang sa mga tuwid na linya. Ginagawa ito batay sa mga formula na M 1 H 1 = x 1 at M 1 H 1 = y 1 . Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Halimbawa 4

Hanapin ang distansya mula sa puntong M 1 (6, - 7) hanggang sa mga linya ng coordinate na matatagpuan sa O x y plane.

Desisyon

Dahil ang equation na y \u003d 0 ay tumutukoy sa linyang O x, mahahanap mo ang distansya mula sa M 1 na may ibinigay na mga coordinate, sa linyang ito, gamit ang formula. Nakukuha natin na 6 = 6 .

Dahil ang equation x \u003d 0 ay tumutukoy sa linya O y, mahahanap mo ang distansya mula M 1 hanggang sa linyang ito gamit ang formula. Pagkatapos ay makukuha natin iyon - 7 = 7 .

Sagot: ang distansya mula M 1 hanggang O x ay may halaga na 6, at mula M 1 hanggang O y ay may halaga na 7.

Kapag sa tatlong-dimensional na espasyo mayroon kaming isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1), kinakailangan upang mahanap ang distansya mula sa punto A hanggang sa linya a.

Isaalang-alang ang dalawang paraan na nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya na matatagpuan sa kalawakan. Isinasaalang-alang ng unang kaso ang distansya mula sa puntong M 1 hanggang sa linya, kung saan ang punto sa linya ay tinatawag na H 1 at ang base ng patayo na iginuhit mula sa puntong M 1 hanggang sa linya a. Ang pangalawang kaso ay nagmumungkahi na ang mga punto ng eroplanong ito ay dapat hanapin bilang taas ng paralelogram.

Unang paraan

Mula sa kahulugan, mayroon kaming na ang distansya mula sa puntong M 1 na matatagpuan sa tuwid na linya a ay ang haba ng patayo M 1 H 1, pagkatapos ay nakuha namin iyon sa natagpuang mga coordinate ng punto H 1, pagkatapos ay nakita namin ang distansya sa pagitan ng M 1 (x 1, y 1, z 1 ) at H 1 (x 1, y 1, z 1) batay sa formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Nakukuha namin na ang buong solusyon ay napupunta sa paghahanap ng mga coordinate ng base ng patayo na iginuhit mula sa M 1 hanggang sa linya a. Ginagawa ito tulad ng sumusunod: Ang H 1 ay ang punto kung saan ang linyang a ay bumalandra sa eroplano na dumadaan sa ibinigay na punto.

Nangangahulugan ito na ang algorithm para sa pagtukoy ng distansya mula sa puntong M 1 (x 1, y 1, z 1) hanggang sa tuwid na linya ng espasyo ay nagpapahiwatig ng ilang puntos:

Kahulugan 5

• pagguhit ng equation ng eroplano χ bilang isang equation ng eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa linya;
• pagpapasiya ng mga coordinate (x 2 , y 2 , z 2) na kabilang sa punto H 1 na siyang punto ng intersection ng linya a at ng eroplano χ;
• pagkalkula ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya gamit ang formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Pangalawang paraan

Mula sa kondisyon na mayroon tayong linya a, pagkatapos ay matutukoy natin ang direksyon ng vector a → = a x, a y, a z na may mga coordinate x 3, y 3, z 3 at isang tiyak na punto M 3 na kabilang sa linya a. Dahil sa mga coordinate ng mga puntos na M 1 (x 1 , y 1) at M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → ay maaaring kalkulahin:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Kinakailangang ipagpaliban ang mga vectors a → \u003d a x, a y, a z at M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 mula sa puntong M 3, kumonekta at kumuha isang paralelogram na pigura. Ang M 1 H 1 ay ang taas ng paralelogram.

Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Mayroon kaming na ang taas M 1 H 1 ay ang nais na distansya, pagkatapos ay kailangan mong hanapin ito gamit ang formula. Ibig sabihin, hinahanap namin ang M 1 H 1 .

Tukuyin ang lugar ng parallelogram sa pamamagitan ng titik S, ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula gamit ang vector a → = (a x , a y , a z) at M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Ang pormula ng lugar ay may anyong S = a → × M 3 M 1 → . Gayundin, ang lugar ng isang figure ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga gilid nito sa taas, nakuha namin na S \u003d a → M 1 H 1 na may → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, na siyang haba ng vector a → \u003d (a x, a y, a z) , na katumbas ng gilid ng parallelogram. Samakatuwid, ang M 1 H 1 ay ang distansya mula sa punto hanggang sa linya. Ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Upang mahanap ang distansya mula sa isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1) sa isang tuwid na linya a sa espasyo, kailangan mong magsagawa ng ilang mga punto ng algorithm:

Kahulugan 6

• pagpapasiya ng vector ng direksyon ng tuwid na linya a - a → = (a x , a y , a z) ;
• pagkalkula ng haba ng vector ng direksyon a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• pagkuha ng mga coordinate x 3 , y 3 , z 3 na kabilang sa punto M 3 na matatagpuan sa linya a;
• pagkalkula ng mga coordinate ng vector M 3 M 1 → ;
• paghahanap ng cross product ng mga vectors a → (a x, a y, a z) at M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 bilang a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 upang makuha ang haba ayon sa formula a → × M 3 M 1 → ;
• pagkalkula ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Paglutas ng mga problema sa paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa isang tuwid na linya sa espasyo

Hanapin ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 2 , - 4 , - 1 hanggang sa linyang x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Desisyon

Ang unang paraan ay nagsisimula sa pagsulat ng equation ng eroplano χ na dumadaan sa M 1 at patayo sa isang naibigay na punto. Nakakakuha kami ng expression tulad ng:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Kinakailangang hanapin ang mga coordinate ng punto H 1, na siyang punto ng intersection sa eroplano χ sa tuwid na linya na ibinigay ng kondisyon. Kinakailangang lumipat mula sa canonical form hanggang sa intersecting. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang sistema ng mga equation ng form:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Kinakailangang kalkulahin ang system x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 sa pamamagitan ng paraan ng Cramer, pagkatapos ay makuha natin iyon:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ 60 = 0

Kaya mayroon tayong H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Ang pangalawang paraan ay magsimula sa pamamagitan ng paghahanap ng mga coordinate sa canonical equation. Upang gawin ito, bigyang-pansin ang mga denominador ng fraction. Pagkatapos ang a → = 2 , - 1 , 5 ay ang vector ng direksyon ng linyang x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Kinakailangang kalkulahin ang haba gamit ang formula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Malinaw na ang linyang x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ay nagsalubong sa puntong M 3 (- 1 , 0 , - 5), kaya mayroon tayong vector na may pinagmulang M 3 (- 1 , 0). , - 5) at ang dulo nito sa puntong M 1 2 , - 4 , - 1 ay M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Nahanap namin produkto ng vector a → = (2 , - 1 , 5) at M 3 M 1 → = (3 , - 4 , 4) .

Nakakakuha tayo ng expression ng form a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

makuha natin na ang haba ng cross product ay isang → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Mayroon kaming lahat ng data upang magamit ang formula para sa pagkalkula ng distansya mula sa isang punto para sa isang tuwid na linya, kaya inilapat namin ito at makuha ang:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Sagot: 11 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa teksto, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Oh-oh-oh-oh-oh ... well, it's tinny, as if you read the sentence to yourself =) However, then relaxation will help, lalo na't bumili ako ng mga angkop na accessories ngayon. Samakatuwid, magpatuloy tayo sa unang seksyon, umaasa ako, sa pagtatapos ng artikulo ay mapanatili ko ang isang masayang kalooban.

Mutual arrangement ng dalawang tuwid na linya

Ang kaso kapag kumakanta ang bulwagan sa koro. Dalawang linya pwede:

1) tugma;

2) maging parallel: ;

3) o bumalandra sa isang punto: .

Tulong para sa mga dummies : mangyaring tandaan ang mathematical sign ng intersection , ito ay magaganap nang napakadalas. Ang entry ay nangangahulugan na ang linya ay bumalandra sa linya sa punto.

Paano matukoy ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya?

Magsimula tayo sa unang kaso:

Dalawang linya ang nagtutugma kung at kung ang kani-kanilang mga coefficient ay proporsyonal, iyon ay, mayroong isang bilang na "lambda" na ang mga pagkakapantay-pantay

Isaalang-alang natin ang mga tuwid na linya at bumuo ng tatlong equation mula sa kaukulang coefficient: . Mula sa bawat equation ay sumusunod na, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nag-tutugma.

Sa katunayan, kung ang lahat ng mga coefficient ng equation multiply sa -1 (pagbabago ng mga palatandaan), at lahat ng mga coefficient ng equation bawasan ng 2, makakakuha ka ng parehong equation: .

Ang pangalawang kaso kapag ang mga linya ay parallel:

Dalawang linya ay magkatulad kung at kung ang kanilang mga coefficient sa mga variable ay proporsyonal: , ngunit.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Sinusuri namin ang proporsyonalidad ng kaukulang coefficient para sa mga variable:

Gayunpaman, malinaw na .

At ang pangatlong kaso, kapag nagsalubong ang mga linya:

Dalawang linya ay nagsalubong kung at kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay HINDI proporsyonal, ibig sabihin, WALANG ganoong halaga ng "lambda" na natutupad ang mga pagkakapantay-pantay

Kaya, para sa mga tuwid na linya bubuo kami ng isang sistema:

Mula sa unang equation ito ay sumusunod na , at mula sa pangalawang equation: , samakatuwid, hindi pare-pareho ang sistema(walang solusyon). Kaya, ang mga coefficient sa mga variable ay hindi proporsyonal.

Konklusyon: nagsalubong ang mga linya

Sa mga praktikal na problema, maaaring gamitin ang scheme ng solusyon na isinasaalang-alang lamang. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay halos kapareho sa algorithm para sa pagsuri ng mga vectors para sa collinearity, na isinasaalang-alang namin sa aralin. Ang konsepto ng linear (non) dependence ng mga vectors. Batayang vector. Ngunit mayroong isang mas sibilisadong pakete:

Halimbawa 1

Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya:

Desisyon batay sa pag-aaral ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

a) Mula sa mga equation nakita natin ang mga vector ng direksyon ng mga linya: .

, kaya ang mga vector ay hindi collinear at ang mga linya ay nagsalubong.

Kung sakali, maglalagay ako ng bato na may mga pointer sa sangang-daan:

Ang natitira ay tumalon sa ibabaw ng bato at sumunod, diretso sa Kashchei na Walang Kamatayan =)

b) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector, na nangangahulugang sila ay kahanay o pareho. Dito hindi kailangan ang determinant.

Malinaw, ang mga coefficient ng mga hindi alam ay proporsyonal, habang .

Alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay:

kaya,

c) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Kalkulahin natin ang determinant, na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito:
, samakatuwid, ang mga vector ng direksyon ay collinear. Ang mga linya ay magkatulad o magkatugma.

Ang proportionality factor na "lambda" ay madaling makita nang direkta mula sa ratio ng mga vector ng collinear na direksyon. Gayunpaman, maaari rin itong matagpuan sa pamamagitan ng mga coefficient ng mga equation mismo: .

Ngayon, alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay. Ang parehong mga libreng termino ay zero, kaya:

Ang resultang halaga ay nakakatugon sa equation na ito (anumang numero sa pangkalahatan ay nakakatugon dito).

Kaya, ang mga linya ay nag-tutugma.

Sagot:

Sa lalong madaling panahon matututunan mo (o kahit na natutunan na) upang malutas ang itinuturing na problema sa literal na salita sa loob ng ilang segundo. Sa bagay na ito, wala akong nakikitang dahilan para mag-alok ng anuman malayang solusyon, mas mahusay na maglagay ng isa pang mahalagang brick sa geometric na pundasyon:

Paano gumuhit ng isang linya parallel sa isang ibinigay na isa?

Para sa kamangmangan sa pinakasimpleng gawaing ito, ang Nightingale the Robber ay mahigpit na nagpaparusa.

Halimbawa 2

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang parallel na linya na dumadaan sa punto.

Desisyon: Ipahiwatig ang hindi kilalang linya sa pamamagitan ng titik. Ano ang sinasabi ng kondisyon tungkol dito? Ang linya ay dumadaan sa punto. At kung ang mga linya ay magkatulad, kung gayon ito ay malinaw na ang nagdidirekta na vector ng linyang "ce" ay angkop din para sa pagtatayo ng linyang "te".

Inalis namin ang vector ng direksyon mula sa equation:

Sagot:

Ang geometry ng halimbawa ay mukhang simple:

Ang analytical na pag-verify ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:

1) Sinusuri namin na ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector (kung ang equation ng linya ay hindi maayos na pinasimple, kung gayon ang mga vector ay magiging collinear).

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.

Ang analytical na pag-verify sa karamihan ng mga kaso ay madaling gawin sa salita. Tingnan ang dalawang equation at marami sa inyo ang mabilis na malalaman kung paano magkatulad ang mga linya nang walang anumang pagguhit.

Ang mga halimbawa para sa paglutas sa sarili ngayon ay magiging malikhain. Dahil kailangan mo pang makipagkumpitensya sa Baba Yaga, at siya, alam mo, ay isang mahilig sa lahat ng uri ng mga bugtong.

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa isang punto na kahanay ng linya kung

Mayroong isang makatwiran at hindi masyadong makatwiran na paraan upang malutas. Ang pinakamaikling paraan ay nasa dulo ng aralin.

Gumawa kami ng kaunting trabaho na may mga parallel na linya at babalik sa kanila mamaya. Ang kaso ng magkasabay na mga linya ay hindi gaanong interesado, kaya isaalang-alang ang isang problema na pamilyar sa iyo mula sa kurikulum ng paaralan:

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng dalawang linya?

Kung diretso bumalandra sa punto , pagkatapos ang mga coordinate nito ay ang solusyon sistema ng mga linear na equation

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya? Lutasin ang sistema.

Eto para sayo geometriko na kahulugan mga sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam ay dalawang intersecting (pinaka madalas) tuwid na linya sa isang eroplano.

Halimbawa 4

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya

Desisyon: Mayroong dalawang paraan upang malutas - graphical at analytical.

Grapikong paraan ay ang simpleng pagguhit ng mga ibinigay na linya at alamin ang punto ng intersection nang direkta mula sa pagguhit:

Narito ang aming punto: . Upang suriin, dapat mong palitan ang mga coordinate nito sa bawat equation ng isang tuwid na linya, dapat silang magkasya doon at doon. Sa madaling salita, ang mga coordinate ng isang punto ay ang solusyon ng system . Sa katunayan, isinasaalang-alang namin ang isang graphical na paraan upang malutas sistema ng mga linear na equation na may dalawang equation, dalawang hindi alam.

Ang graphical na paraan, siyempre, ay hindi masama, ngunit may mga kapansin-pansing disadvantages. Hindi, ang punto ay hindi na ang mga ikapitong baitang ay nagpapasya sa ganitong paraan, ang punto ay kailangan ng oras upang makagawa ng tama at TAMANG pagguhit. Bilang karagdagan, ang ilang mga linya ay hindi gaanong madaling gawin, at ang intersection point mismo ay maaaring nasa isang lugar sa ika-tatlumpung kaharian sa labas ng notebook sheet.

Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na hanapin ang intersection point pamamaraang analitikal. Lutasin natin ang sistema:

Upang malutas ang sistema, ginamit ang paraan ng termwise na pagdaragdag ng mga equation. Upang mapaunlad ang mga kaugnay na kasanayan, bisitahin ang aralin Paano lutasin ang isang sistema ng mga equation?

Sagot:

Ang pag-verify ay walang halaga - ang mga coordinate ng intersection point ay dapat matugunan ang bawat equation ng system.

Halimbawa 5

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya kung magsalubong ang mga ito.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Ang gawain ay maaaring maginhawang nahahati sa maraming yugto. Ang pagsusuri sa kondisyon ay nagmumungkahi na ito ay kinakailangan:
1) Isulat ang equation ng isang tuwid na linya.
2) Isulat ang equation ng isang tuwid na linya.
3) Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya.
4) Kung magsalubong ang mga linya, hanapin ang punto ng intersection.

Ang pagbuo ng isang algorithm ng aksyon ay tipikal para sa maraming mga geometric na problema, at paulit-ulit kong tututuon ito.

Kumpletong Solusyon at ang sagot sa katapusan ng aralin:

Ang isang pares ng sapatos ay hindi pa napupuna, nang makarating kami sa ikalawang seksyon ng aralin:

Mga linyang patayo. Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.
Anggulo sa pagitan ng mga linya

Magsimula tayo sa isang tipikal at napakahalagang gawain. Sa unang bahagi, natutunan namin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa ibinigay, at ngayon ang kubo sa mga binti ng manok ay magiging 90 degrees:

Paano gumuhit ng isang linya na patayo sa isang ibinigay?

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang patayong linya na dumadaan sa isang punto.

Desisyon: Ito ay kilala sa pamamagitan ng pagpapalagay na . Masarap na hanapin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya. Dahil ang mga linya ay patayo, ang lansihin ay simple:

Mula sa equation ay "tinatanggal" namin ang normal na vector: , na siyang magiging direksyon ng vector ng tuwid na linya.

Binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang nagdidirekta na vector:

Sagot:

Buksan natin ang geometric sketch:

Hmmm... Orange na langit, orange na dagat, orange na kamelyo.

Analytical na pag-verify ng solusyon:

1) I-extract ang mga vector ng direksyon mula sa mga equation at sa tulong tuldok na produkto ng mga vector napagpasyahan namin na ang mga linya ay talagang patayo: .

Sa pamamagitan ng paraan, maaari kang gumamit ng mga normal na vector, mas madali ito.

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation .

Ang pag-verify, muli, ay madaling gawin sa salita.

Halimbawa 7

Hanapin ang punto ng intersection ng mga patayong linya, kung ang equation ay kilala at tuldok.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Mayroong ilang mga aksyon sa gawain, kaya ito ay maginhawa upang ayusin ang solusyon sa bawat punto.

Ang aming kapana-panabik na paglalakbay ay nagpapatuloy:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Sa harap namin ay isang tuwid na guhit ng ilog at ang aming gawain ay maabot ito sa pinakamaikling paraan. Walang mga hadlang, at ang pinakamainam na ruta ay ang paggalaw sa kahabaan ng patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng perpendicular segment.

Ang distansya sa geometry ay tradisyonal na tinutukoy ng letrang Griyego na "ro", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".

Distansya mula sa punto hanggang linya ay ipinahayag ng pormula

Halimbawa 8

Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya

Desisyon: ang kailangan mo lang ay maingat na palitan ang mga numero sa formula at gawin ang mga kalkulasyon:

Sagot:

Isagawa natin ang pagguhit:

Ang distansya na natagpuan mula sa punto hanggang sa linya ay eksaktong haba ng pulang segment. Kung gagawa ka ng drawing sa checkered na papel sa sukat na 1 unit. \u003d 1 cm (2 mga cell), kung gayon ang distansya ay maaaring masukat sa isang ordinaryong pinuno.

Isaalang-alang ang isa pang gawain ayon sa parehong pagguhit:

Ang gawain ay upang mahanap ang mga coordinate ng punto , na simetriko sa punto na may paggalang sa linya . Iminumungkahi kong gawin ang mga aksyon nang mag-isa, gayunpaman, ilalarawan ko ang algorithm ng solusyon na may mga intermediate na resulta:

1) Maghanap ng isang linya na patayo sa isang linya.

2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: .

Ang parehong mga aksyon ay tinalakay nang detalyado sa araling ito.

3) Ang punto ay ang midpoint ng segment. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Sa pamamagitan ng mga formula para sa mga coordinate ng gitna ng segment hanapin ang .

Hindi magiging kalabisan upang suriin na ang distansya ay katumbas din ng 2.2 na yunit.

Ang mga paghihirap dito ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon, ngunit sa tore ang isang microcalculator ay nakakatulong nang malaki, na nagpapahintulot sa iyo na magbilang mga karaniwang fraction. Nagpayo ng maraming beses at magrerekomenda muli.

Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya?

Halimbawa 9

Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya

Ito ay isa pang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon. Isang maliit na pahiwatig: mayroong walang katapusang maraming paraan upang malutas. Debriefing sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa palagay ko ay nagawa mong ikalat ang iyong talino.

Anggulo sa pagitan ng dalawang linya

Anuman ang sulok, pagkatapos ay ang hamba:


Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay kinukuha bilang MAS MALIIT na anggulo, kung saan awtomatiko itong sumusunod na hindi ito maaaring maging mahina. Sa figure, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi itinuturing na anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya. At ang "berde" nitong kapitbahay o kabaligtaran ang oriented pulang sulok.

Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng mga ito.

Paano naiiba ang mga anggulo? Oryentasyon. Una, ang direksyon ng "pag-scroll" sa sulok ay pangunahing mahalaga. Pangalawa, ang isang negatibong anggulo ay nakasulat na may minus sign, halimbawa, kung .

Bakit ko nasabi ito? Mukhang makakayanan mo ang karaniwang konsepto ng isang anggulo. Ang katotohanan ay na sa mga pormula kung saan makikita natin ang mga anggulo, ang isang negatibong resulta ay madaling makuha, at hindi ka dapat magtaka. Ang isang anggulo na may minus sign ay hindi mas masahol pa, at may napakaspesipikong geometric na kahulugan. Sa pagguhit para sa isang negatibong anggulo, kinakailangang ipahiwatig ang oryentasyon nito (clockwise) gamit ang isang arrow.

Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya? Mayroong dalawang gumaganang formula:

Halimbawa 10

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

Desisyon at Pamamaraan isa

Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang pananaw:

Kung diretso hindi patayo, pagkatapos nakatuon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Karamihan malapit na pansin bumaling sa denominator - ito ay eksakto produktong scalar mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:

Kung , kung gayon ang denominator ng formula ay mawawala, at ang mga vector ay magiging orthogonal at ang mga linya ay magiging patayo. Iyon ang dahilan kung bakit ginawa ang isang reserbasyon tungkol sa hindi perpendikularidad ng mga linya sa pagbabalangkas.

Batay sa nabanggit, ang solusyon ay maginhawang gawing pormal sa dalawang hakbang:

1) Kalkulahin produktong scalar mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:
kaya ang mga linya ay hindi patayo.

2) Nahanap namin ang anggulo sa pagitan ng mga linya sa pamamagitan ng formula:

Sa pamamagitan ng kabaligtaran na pag-andar madaling mahanap ang sulok mismo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakaiba ng arc tangent (tingnan ang Fig. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar):

Sagot:

Sa sagot, ipahiwatig eksaktong halaga, pati na rin ang isang tinatayang halaga (mas mabuti sa parehong mga degree at radian) na kinakalkula gamit ang isang calculator.

Well, minus, kaya minus, okay lang. Narito ang isang geometric na paglalarawan:

Hindi nakakagulat na ang anggulo ay naging negatibong oryentasyon, dahil sa kondisyon ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-twisting" ng anggulo ay nagsimula nang tumpak mula dito.

Kung gusto mo talagang makakuha ng positibong anggulo, kailangan mong palitan ang mga tuwid na linya, iyon ay, kunin ang mga coefficient mula sa pangalawang equation , at kunin ang mga coefficient mula sa unang equation . Sa madaling salita, kailangan mong magsimula sa isang direktang .

Unang antas

Mga coordinate at vector. Komprehensibong gabay (2019)

Sa artikulong ito, ikaw at ako ay magsisimula ng isang talakayan ng isang "magic wand" na magpapahintulot sa iyo na bawasan ang maraming problema sa geometry sa simpleng aritmetika. Ang "wand" na ito ay maaaring gawing mas madali ang iyong buhay, lalo na kapag nakakaramdam ka ng kawalan ng katiyakan sa pagbuo spatial figure, mga seksyon, atbp. Ang lahat ng ito ay nangangailangan ng isang tiyak na imahinasyon at praktikal na mga kasanayan. Ang pamamaraan, na sisimulan naming isaalang-alang dito, ay magbibigay-daan sa iyo na mag-abstract ng halos ganap mula sa lahat ng uri ng geometric na mga konstruksyon at pangangatwiran. Ang pamamaraan ay tinatawag "paraan ng coordinate". Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga sumusunod na tanong:

1. Coordinate na eroplano
2. Mga puntos at vector sa eroplano
3. Pagbuo ng isang vector mula sa dalawang puntos
4. Haba ng vector (distansya sa pagitan ng dalawang puntos).
5. Mga coordinate sa gitna
6. Produkto ng tuldok ng mga vector
7. Anggulo sa pagitan ng dalawang vector

Sa palagay ko nahulaan mo na kung bakit ang paraan ng coordinate ay tinatawag na? Totoo na nakakuha ito ng ganoong pangalan, dahil hindi ito gumagana sa mga geometric na bagay, ngunit sa kanilang mga numerical na katangian (coordinate). At ang mismong pagbabago, na ginagawang posible na lumipat mula sa geometry patungo sa algebra, ay binubuo sa pagpapakilala ng isang sistema ng coordinate. Kung ang orihinal na figure ay flat, kung gayon ang mga coordinate ay dalawang-dimensional, at kung ang figure ay tatlong-dimensional, kung gayon ang mga coordinate ay tatlong-dimensional. Sa artikulong ito, isasaalang-alang lamang natin ang dalawang-dimensional na kaso. At ang pangunahing layunin ng artikulo ay ituro sa iyo kung paano gumamit ng ilang mga pangunahing pamamaraan ng pamamaraan ng coordinate (kung minsan ay nagiging kapaki-pakinabang ang mga ito kapag nilulutas ang mga problema sa planimetry sa bahagi B ng Unified State Examination). Ang sumusunod na dalawang seksyon sa paksang ito ay nakatuon sa talakayan ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema C2 (ang problema ng stereometry).

Saan magiging lohikal na simulan ang pagtalakay sa paraan ng coordinate? Marahil ay may konsepto ng isang coordinate system. Alalahanin mo noong una mo siyang nakilala. Tila sa akin na sa ika-7 baitang, kapag nalaman mo ang tungkol sa pagkakaroon ng isang linear function, halimbawa. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na binuo mo ito sa bawat punto. naalala mo ba Pumili ka ng arbitrary na numero, pinalitan ito sa formula at nakalkula sa ganitong paraan. Halimbawa, kung, pagkatapos, kung, pagkatapos, atbp. Ano ang nakuha mo bilang isang resulta? At nakatanggap ka ng mga puntos na may mga coordinate: at. Pagkatapos ay gumuhit ka ng isang "krus" (coordinate system), pumili ng isang sukat dito (kung gaano karaming mga cell ang mayroon ka bilang isang solong segment) at minarkahan ang mga puntos na natanggap mo dito, na pagkatapos ay ikinonekta mo sa isang tuwid na linya, ang resultang linya ay ang graph ng function.

Mayroong ilang mga bagay na kailangang ipaliwanag sa iyo nang mas detalyado:

1. Pumili ka ng isang segment para sa mga kadahilanan ng kaginhawahan, upang ang lahat ay magkasya nang maayos at compact sa larawan

2. Ipinapalagay na ang axis ay napupunta mula kaliwa hanggang kanan, at ang axis ay mula sa ibaba hanggang sa itaas

3. Sila ay bumalandra sa isang tamang anggulo, at ang punto ng kanilang intersection ay tinatawag na pinagmulan. Ito ay minarkahan ng isang liham.

4. Sa talaan ng coordinate ng isang punto, halimbawa, sa kaliwa sa mga bracket ay ang coordinate ng punto kasama ang axis, at sa kanan, kasama ang axis. Sa partikular, nangangahulugan lamang na ang punto

5. Upang maitakda ang anumang punto sa coordinate axis, kailangan mong tukuyin ang mga coordinate nito (2 numero)

6. Para sa anumang puntong nakahiga sa axis,

7. Para sa anumang puntong nakahiga sa axis,

8. Ang axis ay tinatawag na x-axis

9. Ang axis ay tinatawag na y-axis

Ngayon gawin natin ang susunod na hakbang kasama mo: markahan ang dalawang puntos. Ikonekta ang dalawang puntong ito sa isang linya. At ilagay natin ang arrow na parang gumuguhit tayo ng isang segment mula sa punto hanggang punto: ibig sabihin, gagawin nating direksyon ang ating segment!

Tandaan kung ano ang isa pang pangalan para sa isang nakadirekta na segment? Tama, vector ang tawag dun!

Kaya, kung ikinonekta natin ang isang tuldok sa isang tuldok, at ang simula ay magiging punto A, at ang wakas ay magiging punto B, pagkatapos ay kumuha kami ng isang vector. Ginawa mo rin ang pagtatayo na ito noong ika-8 baitang, tandaan?

Lumalabas na ang mga vector, tulad ng mga puntos, ay maaaring tukuyin ng dalawang numero: ang mga numerong ito ay tinatawag na mga coordinate ng vector. Tanong: sa tingin mo ba sapat na para sa amin na malaman ang mga coordinate ng simula at dulo ng vector upang mahanap ang mga coordinate nito? Oo nga pala! At napakadaling gawin:

Kaya, dahil sa vector ang punto ay ang simula, at ang wakas, ang vector ay may mga sumusunod na coordinate:

Halimbawa, kung, pagkatapos ay ang mga coordinate ng vector

Ngayon gawin natin ang kabaligtaran, hanapin ang mga coordinate ng vector. Ano ang kailangan nating baguhin para dito? Oo, kailangan mong palitan ang simula at wakas: ngayon ang simula ng vector ay nasa isang punto, at ang dulo sa isang punto. Pagkatapos:

Tingnang mabuti, ano ang pagkakaiba ng mga vector at? Ang kanilang pagkakaiba lamang ay ang mga palatandaan sa mga coordinate. Magkatapat sila. Ang katotohanang ito ay nakasulat tulad nito:

Minsan, kung hindi partikular na nakasaad kung aling punto ang simula ng vector, at kung alin ang katapusan, ang mga vector ay hindi tinutukoy ng dalawa. malaking titik, ngunit isang maliit na titik, halimbawa: , atbp.

Ngayon ng kaunti pagsasanay at hanapin ang mga coordinate ng mga sumusunod na vectors:

Pagsusuri:

Ngayon lutasin ang problema nang medyo mas mahirap:

Ang isang vector torus na may on-cha-scrap sa isang punto ay may co-or-di-on-yo. Find-di-te abs-cis-su points.

Ang lahat ng pareho ay medyo prosaic: Hayaan ang mga coordinate ng punto. Pagkatapos

Inipon ko ang system sa pamamagitan ng pagtukoy kung ano ang mga coordinate ng isang vector. Pagkatapos ang punto ay may mga coordinate. Interesado kami sa abscissa. Pagkatapos

Sagot:

Ano pa ang maaari mong gawin sa mga vectors? Oo, halos lahat ay pareho sa ordinaryong numero(maliban kung hindi mo maaaring hatiin, ngunit maaari kang dumami sa dalawang paraan, ang isa ay tatalakayin natin dito sa ibang pagkakataon)

1. Maaaring isalansan ang mga vector sa isa't isa
2. Ang mga vector ay maaaring ibawas sa bawat isa
3. Maaaring i-multiply (o hatiin) ang mga vector sa isang arbitrary na hindi zero na numero
4. Maaaring i-multiply ang mga vector sa bawat isa

Ang lahat ng mga operasyong ito ay may medyo visual na geometric na representasyon. Halimbawa, ang tatsulok (o paralelogram) na panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas:

Ang isang vector ay umuunat o lumiliit o nagbabago ng direksyon kapag pinarami o hinati sa isang numero:

Gayunpaman, dito kami ay magiging interesado sa tanong kung ano ang mangyayari sa mga coordinate.

1. Kapag nagdadagdag (nagbabawas) ng dalawang vector, idinaragdag namin (ibawas) ang kanilang mga coordinate na elemento ayon sa elemento. I.e:

2. Kapag nagpaparami (naghahati) ng isang vector sa isang numero, ang lahat ng mga coordinate nito ay i-multiply (hinati) sa numerong ito:

Halimbawa:

· Hanapin-di-ang kabuuan ng ko-o-di-nat siglo-to-ra.

Hanapin muna natin ang mga coordinate ng bawat isa sa mga vectors. Pareho silang may iisang pinanggalingan - ang pinanggalingan. Magkaiba ang kanilang mga dulo. Pagkatapos, . Ngayon kinakalkula namin ang mga coordinate ng vector Pagkatapos ang kabuuan ng mga coordinate ng nagresultang vector ay katumbas ng.

Sagot:

Ngayon lutasin ang sumusunod na problema sa iyong sarili:

· Hanapin ang kabuuan ng mga coordinate ng vector

Sinusuri namin:

Isaalang-alang natin ngayon ang sumusunod na problema: mayroon tayong dalawang punto sa coordinate plane. Paano mahahanap ang distansya sa pagitan nila? Hayaan ang unang punto, at ang pangalawa. Tukuyin natin ang distansya sa pagitan nila bilang . Gawin natin ang sumusunod na pagguhit para sa kalinawan:

Ang aking nagawa? Nakipag-connect muna ako puntos at, a gumuhit din ng isang linya parallel sa axis mula sa punto, at gumuhit ng isang linya parallel sa axis mula sa punto. Nag-intersect ba sila sa isang punto, na bumubuo ng isang kahanga-hangang pigura? Bakit siya kahanga-hanga? Oo, halos alam mo at ako ang lahat tungkol sa right triangle. Well, ang Pythagorean theorem, sigurado. Ang nais na segment ay ang hypotenuse ng tatsulok na ito, at ang mga segment ay ang mga binti. Ano ang mga coordinate ng punto? Oo, ang mga ito ay madaling mahanap mula sa larawan: Dahil ang mga segment ay parallel sa mga axes at, ayon sa pagkakabanggit, ang kanilang mga haba ay madaling mahanap: kung tinutukoy namin ang mga haba ng mga segment, ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng, pagkatapos

Ngayon ay gamitin natin ang Pythagorean theorem. Alam natin ang haba ng mga binti, makikita natin ang hypotenuse:

Kaya, ang distansya sa pagitan ng dalawang punto ay ang root sum ng mga squared differences mula sa mga coordinate. O - ang distansya sa pagitan ng dalawang punto ay ang haba ng segment na nagkokonekta sa kanila. Madaling makita na ang distansya sa pagitan ng mga punto ay hindi nakasalalay sa direksyon. Pagkatapos:

Mula dito gumuhit kami ng tatlong konklusyon:

Magsanay tayo nang kaunti sa pagkalkula ng distansya sa pagitan ng dalawang punto:

Halimbawa, kung, kung gayon ang distansya sa pagitan ng at ay

O mag-iba tayo: hanapin ang mga coordinate ng vector

At hanapin ang haba ng vector:

Tulad ng nakikita mo, ito ay pareho!

Ngayon magsanay ng kaunti sa iyong sarili:

Gawain: hanapin ang distansya sa pagitan ng mga ibinigay na puntos:

Sinusuri namin:

Narito ang ilang higit pang mga problema para sa parehong formula, kahit na medyo naiiba ang mga ito:

1. Find-di-te ang parisukat ng haba ng eyelid-to-ra.

2. Nai-di-te square ng eyelid length-to-ra

I'm guessing madali mo silang mahawakan? Sinusuri namin:

1. At ito ay para sa pagkaasikaso) Nahanap na namin ang mga coordinate ng mga vectors bago: . Pagkatapos ang vector ay may mga coordinate. Ang parisukat ng haba nito ay magiging:

2. Hanapin ang mga coordinate ng vector

Kung gayon ang parisukat ng haba nito ay

Walang kumplikado, tama? Simpleng arithmetic, wala nang iba pa.

Ang mga sumusunod na palaisipan ay hindi maaaring malinaw na mauri, ang mga ito ay para sa pangkalahatang karunungan at ang kakayahang gumuhit ng mga simpleng larawan.

1. Hanapin-di-yung mga sine ng anggulo sa-clo-on-mula sa-cut, ikonekta-one-n-th-th point, na may abscissa axis.

at

Paano natin gagawin dito? Kailangan mong hanapin ang sine ng anggulo sa pagitan at ng axis. At saan natin hahanapin ang sine? Tama, nasa tamang tatsulok. Kaya ano ang kailangan nating gawin? Buuin ang tatsulok na ito!

Dahil ang mga coordinate ng punto at, pagkatapos ay ang segment ay pantay, at ang segment. Kailangan nating hanapin ang sine ng anggulo. Hayaan akong ipaalala sa iyo na ang sine ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse, kung gayon

Ano ang natitira nating gawin? Hanapin ang hypotenuse. Magagawa mo ito sa dalawang paraan: sa pamamagitan ng Pythagorean theorem (kilala ang mga binti!) Pupunta ako sa pangalawang paraan:

Sagot:

Ang susunod na gawain ay tila mas madali para sa iyo. Siya - sa mga coordinate ng punto.

Gawain 2. Mula sa punto, ang per-pen-di-ku-lar ay ibinababa sa abs-ciss axis. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Gumawa tayo ng drawing:

Ang base ng perpendicular ay ang punto kung saan ito nag-intersect sa x-axis (axis) para sa akin ito ay isang punto. Ipinapakita ng figure na mayroon itong mga coordinate: . Kami ay interesado sa abscissa - iyon ay, ang "X" na bahagi. Siya ay pantay.

Sagot: .

Gawain 3. Sa ilalim ng mga kondisyon ng nakaraang problema, hanapin ang kabuuan ng mga distansya mula sa punto hanggang sa mga coordinate axes.

Ang gawain ay karaniwang elementarya kung alam mo kung ano ang distansya mula sa isang punto hanggang sa mga palakol. Alam mo? Umaasa ako, ngunit ipinaaalala ko pa rin sa iyo:

Kaya, sa aking pagguhit, na matatagpuan medyo mas mataas, nailarawan ko na ang isang tulad na patayo? Anong axis ito? sa axis. At ano ang haba nito? Siya ay pantay. Ngayon gumuhit ng patayo sa axis sa iyong sarili at hanapin ang haba nito. Magiging pantay, tama? Pagkatapos ang kanilang kabuuan ay pantay.

Sagot: .

Gawain 4. Sa mga kondisyon ng gawain 2, hanapin ang ordinate ng punto, simetriko punto tungkol sa x-axis.

Sa tingin ko intuitively mong nauunawaan kung ano ang simetrya? Napakaraming bagay ang mayroon nito: maraming gusali, mesa, eroplano, marami mga geometric na numero: bola, silindro, parisukat, rhombus, atbp. Sa madaling salita, ang simetrya ay mauunawaan bilang mga sumusunod: ang isang pigura ay binubuo ng dalawa (o higit pa) magkaparehong kalahati. Ang simetrya na ito ay tinatawag na axial. Ano ang isang axis? Ito ang eksaktong linya kung saan ang pigura ay maaaring, medyo nagsasalita, ay "hiwain" sa magkatulad na mga kalahati (sa larawang ito, ang axis ng simetrya ay tuwid):

Ngayon ay bumalik tayo sa ating gawain. Alam namin na naghahanap kami ng isang punto na simetriko tungkol sa axis. Pagkatapos ang axis na ito ay ang axis ng simetrya. Kaya, kailangan nating markahan ang isang punto upang maputol ng axis ang segment sa dalawang pantay na bahagi. Subukang markahan ang gayong punto sa iyong sarili. Ngayon ihambing sa aking solusyon:

Ganoon din ba ang ginawa mo? Well! Sa nahanap na punto, kami ay interesado sa ordinate. Siya ay pantay

Sagot:

Ngayon sabihin sa akin, pagkatapos mag-isip ng isang segundo, ano ang magiging abscissa ng puntong simetriko sa point A tungkol sa y-axis? Ano ang iyong sagot? Tamang sagot: .

Sa pangkalahatan, ang panuntunan ay maaaring isulat tulad nito:

Ang isang puntong simetriko sa isang punto tungkol sa x-axis ay may mga coordinate:

Ang isang puntong simetriko sa isang punto tungkol sa y-axis ay may mga coordinate:

Well, ngayon ay talagang nakakatakot. gawain: Hanapin ang mga coordinate ng isang punto na simetriko sa isang punto, na nauugnay sa pinagmulan. Mag-isip ka muna para sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang aking pagguhit!

Sagot:

Ngayon problema sa paralelogram:

Gawain 5: Ang mga puntos ay ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te o-dee-on-tu na mga puntos.

Maaari mong lutasin ang problemang ito sa dalawang paraan: lohika at paraan ng coordinate. Ilalapat ko muna ang paraan ng coordinate, at pagkatapos ay sasabihin ko sa iyo kung paano ka makakapagpasya nang naiiba.

Ito ay lubos na malinaw na ang abscissa ng punto ay pantay. (ito ay namamalagi sa patayo na iginuhit mula sa punto hanggang sa x-axis). Kailangan nating hanapin ang ordinate. Samantalahin natin ang katotohanan na ang ating pigura ay isang paralelogram, na nangangahulugang iyon. Hanapin ang haba ng segment gamit ang formula para sa distansya sa pagitan ng dalawang puntos:

Ibinababa namin ang patayo na pagkonekta sa punto sa axis. Ang punto ng intersection ay tinutukoy ng isang titik.

Ang haba ng segment ay pantay. (hanapin ang problema sa iyong sarili, kung saan tinalakay natin ang sandaling ito), pagkatapos ay makikita natin ang haba ng segment gamit ang Pythagorean theorem:

Ang haba ng segment ay eksaktong kapareho ng ordinate nito.

Sagot: .

Isa pang solusyon (magbibigay lang ako ng isang larawan na naglalarawan nito)

Pag-unlad ng solusyon:

1. Gumastos

2. Maghanap ng mga coordinate ng punto at haba

3. Patunayan na.

Isa pa problema sa haba ng hiwa:

Ang mga puntos ay-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Hanapin ang haba ng kanyang midline, par-ral-lel-noy.

Naaalala mo ba kung ano ito gitnang linya tatsulok? Kung gayon para sa iyo ang gawaing ito ay elementarya. Kung hindi mo naaalala, pagkatapos ay ipapaalala ko sa iyo: ang gitnang linya ng isang tatsulok ay isang linya na nag-uugnay sa mga midpoint ng magkabilang panig. Ito ay kahanay sa base at katumbas ng kalahati nito.

Ang base ay isang segment. Kinailangan naming hanapin ang haba nito kanina, ito ay pantay. Pagkatapos ang haba ng midline ay kalahati ng haba at pantay.

Sagot: .

Komento: Ang problemang ito ay maaaring malutas sa ibang paraan, na tatalakayin natin sa ibang pagkakataon.

Pansamantala, narito ang ilang mga gawain para sa iyo, pagsasanay sa mga ito, ang mga ito ay medyo simple, ngunit nakakatulong ang mga ito na "ipasok ang iyong kamay" gamit ang paraan ng coordinate!

1. Lumilitaw ang mga puntos-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Hanapin ang haba ng midline nito.

2. Mga puntos at yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te o-dee-on-tu na mga puntos.

3. Hanapin ang haba mula sa hiwa, ikonekta ang pangalawang punto at

4. Hanapin-di-te ang lugar para sa-the-red-shen-noy fi-gu-ry sa ko-or-di-nat-noy plane.

5. Ang isang bilog na nakasentro sa na-cha-le ko-or-di-nat ay dumadaan sa isang punto. Hanapin-de-te ang kanyang ra-di-bigote.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, describe-san-noy near the right-angle-no-ka, the tops-shi-ny of something-ro-go have co-or - di-na-you co-from-reply-pero

Mga solusyon:

1. Alam na ang midline ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base nito. Ang base ay pantay, ngunit ang base. Pagkatapos

Sagot:

2. Ang pinakamadaling paraan upang malutas ang problemang ito ay mapansin iyon (parallelogram rule). Kalkulahin ang mga coordinate ng mga vector at hindi mahirap: . Kapag nagdadagdag ng mga vector, idinaragdag ang mga coordinate. Pagkatapos ay may mga coordinate. Ang punto ay may parehong mga coordinate, dahil ang simula ng vector ay isang punto na may mga coordinate. Interesado kami sa ordinate. Siya ay pantay.

Sagot:

3. Agad kaming kumilos ayon sa formula para sa distansya sa pagitan ng dalawang punto:

Sagot:

4. Tingnan ang larawan at sabihin, sa pagitan ng dalawang pigura ay "pinipit" ang may kulay na lugar? Ito ay nasa pagitan ng dalawang parisukat. Kung gayon ang lugar ng nais na pigura ay katumbas ng lugar ng malaking parisukat minus ang lugar ng maliit. Gilid maliit na parisukat ay isang segment ng linya na nag-uugnay sa mga punto at ang haba nito ay

Pagkatapos ang lugar ng maliit na parisukat ay

Ginagawa namin ang parehong sa isang malaking parisukat: ang gilid nito ay isang segment na nagkokonekta sa mga punto at ang haba nito ay katumbas ng

Pagkatapos ang lugar ng malaking parisukat ay

Ang lugar ng nais na figure ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Sagot:

5. Kung ang bilog ay may pinanggalingan bilang sentro nito at dumaan sa isang punto, ang radius nito ay magiging eksaktong katumbas ng haba ng segment (gumawa ng drawing at mauunawaan mo kung bakit ito ay halata). Hanapin ang haba ng segment na ito:

Sagot:

6. Ito ay kilala na ang radius ng isang bilog na nakapaligid sa isang parihaba ay katumbas ng kalahati ng dayagonal nito. Hanapin natin ang haba ng alinman sa dalawang diagonal (pagkatapos ng lahat, sa isang parihaba sila ay pantay!)

Sagot:

Well, nakaya mo ba ang lahat? Hindi naman ganoon kahirap intindihin iyon, di ba? Mayroon lamang isang panuntunan dito - upang makagawa ng isang visual na larawan at simpleng "basahin" ang lahat ng data mula dito.

Kaunti na lang ang natitira sa amin. Mayroong literal na dalawa pang punto na nais kong talakayin.

Subukan nating lutasin ang simpleng problemang ito. Hayaan ang dalawang puntos at ibigay. Hanapin ang mga coordinate ng gitna ng segment. Ang solusyon sa problemang ito ay ang mga sumusunod: hayaang ang punto ay ang nais na gitna, pagkatapos ay mayroon itong mga coordinate:

I.e: coordinate ng gitna ng segment = arithmetic mean ng katumbas na coordinate ng mga dulo ng segment.

Ang panuntunang ito ay napakasimple at kadalasan ay hindi nagdudulot ng kahirapan sa mga mag-aaral. Tingnan natin kung anong mga problema at kung paano ito ginagamit:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point and

2. Ang mga puntos ay yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Find-di-te or-di-na-tu points of re-re-se-che-niya ng kanyang dia-go-on-lei.

3. Hanapin-di-te abs-cis-su ng gitna ng bilog, ilarawan-san-noy malapit sa parihaba-no-ka, ang mga tuktok-shi-mayroon tayong something-ro-go co-or-di- na-you co-from-vet-stvenno-but.

Mga solusyon:

1. Ang unang gawain ay isang klasiko lamang. Agad kaming kumilos sa pamamagitan ng pagtukoy sa midpoint ng segment. Siya ay may mga coordinate. Ang ordinate ay pantay.

Sagot:

2. Madaling makita na ang ibinigay na quadrilateral ay isang paralelogram (kahit isang rhombus!). Maaari mong patunayan ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga haba ng mga gilid at paghahambing ng mga ito sa bawat isa. Ano ang alam ko tungkol sa paralelogram? Ang mga diagonal nito ay hinahati ng intersection point! Aha! Kaya ang punto ng intersection ng mga diagonal ay ano? Ito ang gitna ng alinman sa mga diagonal! Pipiliin ko, sa partikular, ang dayagonal. Pagkatapos ang punto ay may mga coordinate.Ang ordinate ng punto ay katumbas ng.

Sagot:

3. Ano ang gitna ng bilog na nakapaligid sa parihaba? Kasabay nito ang punto ng intersection ng mga diagonal nito. Ano ang alam mo tungkol sa mga dayagonal ng isang parihaba? Sila ay pantay at ang intersection point ay nahahati sa kalahati. Ang gawain ay nabawasan sa nauna. Kunin, halimbawa, ang dayagonal. At kung ang sentro ng circumscribed na bilog, kung gayon ang gitna. Naghahanap ako ng mga coordinate: Ang abscissa ay pantay.

Sagot:

Ngayon magsanay ng kaunti sa iyong sarili, ibibigay ko lamang ang mga sagot sa bawat problema upang masuri mo ang iyong sarili.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, describe-san-noy near the triangle-no-ka, the tops of someone-ro-go have ko-or-di -no misters

2. Hanapin-di-te o-di-na-tu ang gitna ng bilog, ilarawan ang san-noy malapit sa tatsulok-no-ka, ang tuktok-shi-mayroon tayong something-ro-go coordinates

3. Anong uri ng ra-di-y-sa ang dapat magkaroon ng isang bilog na may sentro sa isang punto upang mahawakan nito ang abs-ciss axis?

4. Find-di-te or-di-on-that point of re-re-se-che-ing of the axis and from-cut, connect-nya-yu-th-th point and

Mga sagot:

Nagtagumpay ba ang lahat? umaasa talaga ako! Ngayon - ang huling push. Ngayon mag-ingat lalo na. Ang materyal na ipapaliwanag ko ngayon ay direktang nauugnay hindi lamang sa mga simpleng gawain sa paraan ng coordinate mula sa bahagi B, ngunit nangyayari rin sa lahat ng dako sa problema C2.

Alin sa mga pangako ko ang hindi ko pa natutupad? Tandaan kung anong mga operasyon sa mga vector ang ipinangako kong ipakilala at alin ang ipinakilala ko sa kalaunan? Sigurado ba akong wala akong nakalimutan? Nakalimutan! Nakalimutan kong ipaliwanag kung ano ang ibig sabihin ng multiplication of vectors.

Mayroong dalawang paraan upang i-multiply ang isang vector sa isang vector. Depende sa napiling pamamaraan, makakakuha tayo ng mga bagay na may kakaibang kalikasan:

Ang produkto ng vector ay medyo nakakalito. Kung paano ito gagawin at kung bakit ito kinakailangan, tatalakayin namin sa iyo sa susunod na artikulo. At dito ay tututukan natin ang scalar product.

Mayroon nang dalawang paraan na nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ito:

Tulad ng iyong nahulaan, ang resulta ay dapat na pareho! Kaya tingnan muna natin ang unang paraan:

Dot produkto sa pamamagitan ng mga coordinate

Hanapin: - karaniwang notasyon para sa tuldok na produkto

Ang formula para sa pagkalkula ay ang mga sumusunod:

Iyon ay, ang tuldok na produkto = ang kabuuan ng mga produkto ng mga coordinate ng mga vectors!

Halimbawa:

Hanapin-dee-te

Desisyon:

Hanapin ang mga coordinate ng bawat isa sa mga vectors:

Kinakalkula namin ang scalar product sa pamamagitan ng formula:

Sagot:

Tingnan mo, ganap na walang kumplikado!

Well, ngayon subukan ito sa iyong sarili:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie century-to-ditch and

Inayos mo ba? Baka may napansin siyang maliit na pakulo? Suriin natin:

Vector coordinate, tulad ng sa nakaraang gawain! Sagot: .

Bilang karagdagan sa coordinate, mayroong isa pang paraan upang makalkula ang scalar na produkto, ibig sabihin, sa pamamagitan ng mga haba ng mga vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila:

Nagsasaad ng anggulo sa pagitan ng mga vector at.

Iyon ay, ang scalar product ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vectors at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila.

Bakit kailangan natin ang pangalawang formula na ito, kung mayroon tayong una, na mas simple, hindi bababa sa walang mga cosine sa loob nito. At kailangan natin ito upang mula sa una at pangalawang mga formula maaari nating mahihinuha kung paano hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector!

Hayaan Pagkatapos tandaan ang formula para sa haba ng isang vector!

Pagkatapos, kung isaksak ko ang data na ito sa formula ng produkto ng tuldok, makukuha ko ang:

Ngunit sa kabilang panig:

Kaya ano ang mayroon tayo? Mayroon na tayong formula para kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng dalawang vectors! Minsan, para sa maikli, ito ay nakasulat din ng ganito:

Iyon ay, ang algorithm para sa pagkalkula ng anggulo sa pagitan ng mga vectors ay ang mga sumusunod:

1. Kinakalkula namin ang scalar product sa pamamagitan ng mga coordinate
2. Hanapin ang mga haba ng mga vector at i-multiply ang mga ito
3. Hatiin ang resulta ng punto 1 sa resulta ng punto 2

Magsanay tayo sa mga halimbawa:

1. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng eyelids-to-ra-mi at. Ibigay ang iyong sagot sa antas.

2. Sa ilalim ng mga kondisyon ng nakaraang problema, hanapin ang cosine sa pagitan ng mga vectors

Gawin natin ito: Tutulungan kitang lutasin ang unang problema, at subukang gawin ang pangalawa sa iyong sarili! Sumasang-ayon ako? Pagkatapos ay magsimula tayo!

1. Ang mga vectors na ito ay ang mga dati nating kaibigan. Isinaalang-alang na namin ang kanilang scalar product at ito ay pantay. Ang kanilang mga coordinate ay: , . Pagkatapos ay makikita natin ang kanilang mga haba:

Pagkatapos ay hinahanap namin ang cosine sa pagitan ng mga vectors:

Ano ang cosine ng anggulo? Ito ang sulok.

Sagot:

Well, ngayon lutasin ang pangalawang problema sa iyong sarili, at pagkatapos ay ihambing! Magbibigay lang ako ng napakaikling solusyon:

2. may mga coordinate, may mga coordinate.

Hayaan ang anggulo sa pagitan ng mga vector at, pagkatapos

Sagot:

Dapat pansinin na ang mga gawain nang direkta sa mga vector at ang paraan ng mga coordinate sa bahagi B ng papel ng pagsusulit ay medyo bihira. Gayunpaman, ang karamihan sa mga problema sa C2 ay madaling malutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang coordinate system. Kaya't maaari mong isaalang-alang ang artikulong ito bilang isang pundasyon, sa batayan kung saan gagawa kami ng medyo nakakalito na mga konstruksyon na kakailanganin namin upang malutas ang mga kumplikadong problema.

MGA COORDINATES AT MGA VECTOR. INTERMEDIATE LEVEL

Ikaw at ako ay patuloy na nag-aaral ng paraan ng mga coordinate. Sa huling bahagi, nakuha namin ang ilang mahahalagang formula na nagbibigay-daan sa:

1. Maghanap ng mga coordinate ng vector
2. Hanapin ang haba ng isang vector (alternatibo: ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos)
3. Magdagdag, ibawas ang mga vector. I-multiply ang mga ito sa isang tunay na numero
4. Hanapin ang midpoint ng isang segment
5. Kalkulahin ang tuldok na produkto ng mga vector
6. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector

Siyempre, ang buong paraan ng coordinate ay hindi magkasya sa 6 na puntos na ito. Pinagbabatayan nito ang gayong agham bilang analytical geometry, na makikilala mo sa unibersidad. Gusto ko lang bumuo ng isang pundasyon na magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga problema sa isang estado. pagsusulit. Naisip namin ang mga gawain ng bahagi B sa Ngayon ay oras na upang magpatuloy sa kalidad bagong antas! Ang artikulong ito ay ilalaan sa isang paraan para sa paglutas ng mga problemang C2 kung saan makatuwirang lumipat sa paraan ng coordinate. Ang pagiging makatwiran na ito ay tinutukoy ng kung ano ang kailangang matagpuan sa problema, at kung anong numero ang ibinigay. Kaya, gagamitin ko ang coordinate method kung ang mga tanong ay:

1. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano
2. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano
3. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya
4. Hanapin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano
5. Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya
6. Hanapin ang distansya mula sa isang tuwid na linya hanggang sa isang eroplano
7. Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang linya

Kung ang figure na ibinigay sa kondisyon ng problema ay isang katawan ng rebolusyon (bola, silindro, kono ...)

Ang mga angkop na numero para sa paraan ng coordinate ay:

1. kuboid
2. Pyramid (triangular, quadrangular, hexagonal)

Gayundin sa aking karanasan hindi angkop na gamitin ang coordinate method para sa:

1. Paghahanap ng mga lugar ng mga seksyon
2. Pagkalkula ng mga volume ng katawan

Gayunpaman, dapat na agad na tandaan na ang tatlong "hindi kanais-nais" na mga sitwasyon para sa paraan ng coordinate ay medyo bihira sa pagsasanay. Sa karamihan ng mga gawain, maaari itong maging iyong tagapagligtas, lalo na kung hindi ka masyadong malakas sa mga three-dimensional na konstruksyon (na kung minsan ay medyo masalimuot).

Ano ang lahat ng mga figure na nakalista ko sa itaas? Hindi na sila flat, tulad ng isang parisukat, tatsulok, bilog, ngunit napakalaki! Alinsunod dito, kailangan nating isaalang-alang hindi ang isang two-dimensional, ngunit isang three-dimensional na coordinate system. Madali itong binuo: bilang karagdagan sa abscissa at ordinates, ipakikilala namin ang isa pang axis, ang applicate axis. Ang figure ay schematically na nagpapakita ng kanilang relatibong posisyon:

Ang lahat ng mga ito ay mutually perpendicular, intersect sa isang punto, na kung saan ay tatawagin natin ang pinagmulan. Ang abscissa axis, tulad ng dati, ay ide-denote, ang ordinate axis - , at ang ipinakilala na applicate axis - .

Kung mas maaga ang bawat punto sa eroplano ay nailalarawan sa pamamagitan ng dalawang numero - ang abscissa at ang ordinate, kung gayon ang bawat punto sa espasyo ay inilarawan na ng tatlong numero - ang abscissa, ang ordinate, ang applicate. Halimbawa:

Alinsunod dito, ang abscissa ng punto ay pantay, ang ordinate ay , at ang applicate ay .

Minsan ang abscissa ng isang punto ay tinatawag ding projection ng punto sa abscissa axis, ang ordinate ay ang projection ng punto sa ordinate axis, at ang applicate ay ang projection ng punto sa applicate axis. Alinsunod dito, kung ang isang punto ay ibinigay pagkatapos, isang punto na may mga coordinate:

tinatawag na projection ng isang punto sa isang eroplano

tinatawag na projection ng isang punto sa isang eroplano

Isang natural na tanong ang lumitaw: lahat ba ng mga formula na hinango para sa two-dimensional na kaso ay wasto sa kalawakan? Ang sagot ay oo, sila ay makatarungan at may parehong hitsura. Para sa isang maliit na detalye. Sa tingin ko nahulaan mo na kung alin. Sa lahat ng mga formula, kailangan nating magdagdag ng isa pang termino na responsable para sa applicate axis. Namely.

1. Kung ang dalawang puntos ay ibinigay: , kung gayon:

• Vector coordinate:
• Distansya sa pagitan ng dalawang puntos (o haba ng vector)
• Ang gitna ng segment ay may mga coordinate

2. Kung ang dalawang vector ay ibinigay: at, pagkatapos:

• Ang kanilang tuldok na produkto ay:
• Ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors ay:

Gayunpaman, ang espasyo ay hindi gaanong simple. Tulad ng naiintindihan mo, ang pagdaragdag ng isa pang coordinate ay nagpapakilala ng isang makabuluhang pagkakaiba-iba sa spectrum ng mga figure na "nabubuhay" sa espasyong ito. At para sa karagdagang pagsasalaysay, kailangan kong ipakilala ang ilan, sa halos pagsasalita, "paglalahat" ng tuwid na linya. Ang "generalization" na ito ay magiging isang eroplano. Ano ang alam mo tungkol sa eroplano? Subukan mong sagutin ang tanong, ano ang eroplano? Napakahirap sabihin. Gayunpaman, intuitive nating lahat na iniisip kung ano ang hitsura nito:

Sa halos pagsasalita, ito ay isang uri ng walang katapusang "dahon" na itinulak sa kalawakan. Ang "Infinity" ay dapat na maunawaan na ang eroplano ay umaabot sa lahat ng direksyon, iyon ay, ang lugar nito ay katumbas ng infinity. Gayunpaman, ang paliwanag na ito "sa mga daliri" ay hindi nagbibigay ng kaunting ideya tungkol sa istraktura ng eroplano. At magiging interesado kami dito.

Tandaan natin ang isa sa mga pangunahing axiom ng geometry:

• Ang isang tuwid na linya ay dumadaan sa dalawang magkaibang punto sa isang eroplano, bukod dito, isa lamang:

O ang analog nito sa espasyo:

Siyempre, naaalala mo kung paano kunin ang equation ng isang tuwid na linya mula sa dalawang ibinigay na mga punto, hindi ito mahirap: kung ang unang punto ay may mga coordinate: at ang pangalawa, kung gayon ang equation ng tuwid na linya ay ang mga sumusunod:

Naranasan mo ito noong ika-7 baitang. Sa espasyo, ang equation ng isang tuwid na linya ay ganito ang hitsura: magkaroon tayo ng dalawang puntos na may mga coordinate: , pagkatapos ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa kanila ay may anyo:

Halimbawa, ang isang linya ay dumadaan sa mga punto:

Paano ito dapat maunawaan? Dapat itong maunawaan bilang mga sumusunod: ang isang punto ay nasa isang linya kung ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa sumusunod na sistema:

Hindi tayo magiging interesado sa equation ng isang tuwid na linya, ngunit kailangan nating bigyang pansin ang napakahalagang konsepto ng nagdidirekta na vector ng isang tuwid na linya. - anumang di-zero na vector na nakahiga sa isang naibigay na linya o kahanay nito.

Halimbawa, ang parehong mga vector ay mga vector ng direksyon ng isang tuwid na linya. Hayaan ang isang punto na nakahiga sa isang tuwid na linya, at maging ang nagdidirekta na vector. Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo:

Muli, hindi ako magiging interesado sa equation ng isang tuwid na linya, ngunit kailangan ko talagang tandaan mo kung ano ang isang vector ng direksyon! muli: ito ay ANUMANG di-zero na vector na nakahiga sa isang linya, o kahanay nito.

Mag-withdraw three-point equation ng isang eroplano ay hindi na masyadong maliit, at kadalasan ang isyung ito ay hindi isinasaalang-alang sa kurso mataas na paaralan. Ngunit walang kabuluhan! Ang pamamaraan na ito ay mahalaga kapag gumagamit tayo ng coordinate method upang malutas ang mga kumplikadong problema. Gayunpaman, ipinapalagay ko na puno ka ng pagnanais na matuto ng bago? Bukod dito, mapapahanga mo ang iyong guro sa unibersidad kapag lumabas na alam mo na kung paano gamitin ang teknik na karaniwang pinag-aaralan sa kurso ng analytic geometry. Kaya simulan na natin.

Ang equation ng isang eroplano ay hindi masyadong naiiba mula sa equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano, ibig sabihin, mayroon itong anyo:

ilang mga numero (hindi lahat ay katumbas ng zero), ngunit mga variable, halimbawa: atbp. Tulad ng nakikita mo, ang equation ng isang eroplano ay hindi masyadong naiiba mula sa equation ng isang tuwid na linya (linear function). Gayunpaman, tandaan kung ano ang pinagtatalunan namin sa iyo? Sinabi namin na kung mayroon kaming tatlong puntos na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, kung gayon ang equation ng eroplano ay kakaibang naibalik mula sa kanila. Pero paano? Susubukan kong ipaliwanag sa iyo.

Dahil ang equation ng eroplano ay:

At ang mga puntos ay nabibilang sa eroplanong ito, pagkatapos kapag pinapalitan ang mga coordinate ng bawat punto sa equation ng eroplano, dapat nating makuha ang tamang pagkakakilanlan:

Kaya, may pangangailangan na lutasin ang tatlong equation na may mga hindi alam! Dilemma! Gayunpaman, maaari nating palaging ipagpalagay na (para dito kailangan nating hatiin sa pamamagitan ng). Kaya, nakakakuha tayo ng tatlong equation na may tatlong hindi alam:

Gayunpaman, hindi namin malulutas ang gayong sistema, ngunit isulat ang misteryosong expression na sumusunod mula dito:

Equation ng isang eroplano na dumadaan sa tatlong ibinigay na puntos

\[\kaliwa| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Tumigil ka! Ano pa ba ito? Ilang napaka hindi pangkaraniwang module! Gayunpaman, ang bagay na nakikita mo sa harap mo ay walang kinalaman sa modyul. Ang bagay na ito ay tinatawag na third-order determinant. Mula ngayon, kapag nakipag-usap ka sa paraan ng mga coordinate sa isang eroplano, madalas mong makikita ang parehong mga determinant na ito. Ano ang third order determinant? Kakatwa, ito ay isang numero lamang. Ito ay nananatiling maunawaan kung anong tiyak na numero ang ihahambing natin sa determinant.

Isulat muna natin ang third-order determinant sa mas pangkalahatang anyo:

Nasaan ang ilang mga numero. Bukod dito, sa pamamagitan ng unang index ang ibig sabihin namin ay ang numero ng hilera, at sa pamamagitan ng index - ang numero ng hanay. Halimbawa, nangangahulugan iyon binigay na numero nakatayo sa intersection ng pangalawang hilera at ikatlong hanay. Ibigay natin ang sumusunod na tanong: paano natin eksaktong kalkulahin ang gayong determinant? Ibig sabihin, anong tiyak na numero ang ihahambing natin dito? Para sa tiyak na determinant ng ikatlong pagkakasunud-sunod, mayroong isang heuristic (visual) triangle na panuntunan, ganito ang hitsura:

1. Ang produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal (mula sa kaliwa sa itaas hanggang sa ibabang kanan) ang produkto ng mga elemento na bumubuo sa unang tatsulok na "patayo" sa pangunahing dayagonal ang produkto ng mga elemento na bumubuo sa pangalawang tatsulok na "patayo" sa pangunahing dayagonal
2. Ang produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal (mula sa kanang itaas hanggang sa kaliwang ibaba) ang produkto ng mga elemento na bumubuo sa unang tatsulok na "patayo" sa pangalawang dayagonal ang produkto ng mga elemento na bumubuo sa pangalawang tatsulok na "patayo" sa ang pangalawang dayagonal
3. Kung gayon ang determinant ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga na nakuha sa hakbang at

Kung isusulat natin ang lahat ng ito sa mga numero, makukuha natin ang sumusunod na expression:

Gayunpaman, hindi mo kailangang kabisaduhin ang paraan ng pagkalkula sa form na ito, sapat na itago lamang ang mga tatsulok sa iyong ulo at ang mismong ideya ng kung ano ang idinagdag sa kung ano at kung ano ang ibawas mula sa kung ano).

Ilarawan natin ang pamamaraan ng tatsulok na may isang halimbawa:

1. Kalkulahin ang determinant:

Alamin natin kung ano ang idinaragdag at ibinabawas natin:

Mga tuntunin na may kasamang "plus":

Ito ang pangunahing dayagonal: ang produkto ng mga elemento ay

Ang unang tatsulok, "patayo sa pangunahing dayagonal: ang produkto ng mga elemento ay

Ang pangalawang tatsulok, "patayo sa pangunahing dayagonal: ang produkto ng mga elemento ay

Nagdagdag kami ng tatlong numero:

Mga tuntuning may kasamang "minus"

Ito ay isang side diagonal: ang produkto ng mga elemento ay

Ang unang tatsulok, "patayo sa pangalawang dayagonal: ang produkto ng mga elemento ay

Ang pangalawang tatsulok, "patayo sa pangalawang dayagonal: ang produkto ng mga elemento ay

Nagdagdag kami ng tatlong numero:

Ang kailangan lang gawin ay ibawas mula sa kabuuan ng mga plus terms ang kabuuan ng mga minus na termino:

kaya,

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado at supernatural sa pagkalkula ng mga determinant ng third-order. Mahalaga lamang na tandaan ang tungkol sa mga tatsulok at huwag pahintulutan mga error sa aritmetika. Ngayon subukang kalkulahin ang iyong sarili:

Sinusuri namin:

1. Ang unang tatsulok na patayo sa pangunahing dayagonal:
2. Ang pangalawang tatsulok na patayo sa pangunahing dayagonal:
3. Ang kabuuan ng plus terms:
4. Unang tatsulok na patayo sa gilid na dayagonal:
5. Ang pangalawang tatsulok, patayo sa gilid na dayagonal:
6. Ang kabuuan ng mga termino na may minus:
7. Kabuuan ng mga plus na termino na binawasan ng kabuuan ng mga minus na termino:

Narito ang ilang higit pang mga determinant para sa iyo, kalkulahin ang kanilang mga halaga sa iyong sarili at ihambing sa mga sagot:

Mga sagot:

Buweno, tumugma ba ang lahat? Mahusay, pagkatapos ay maaari kang magpatuloy! Kung may mga paghihirap, kung gayon ang payo ko ay ito: sa Internet mayroong isang grupo ng mga programa para sa pagkalkula ng determinant online. Ang kailangan mo lang ay magkaroon ng sarili mong determinant, kalkulahin ito mismo, at pagkatapos ay ihambing ito sa kung ano ang kinakalkula ng programa. At iba pa hanggang sa magsimulang magtugma ang mga resulta. Sigurado akong hindi magtatagal ang sandaling ito!

Ngayon bumalik tayo sa determinant na isinulat ko noong pinag-usapan ko ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlo. binigay na puntos:

Ang kailangan mo lang gawin ay direktang kalkulahin ang halaga nito (paraan ng tatsulok) at itakda ang resulta sa zero. Naturally, dahil ang mga ito ay mga variable, makakakuha ka ng ilang expression na nakasalalay sa kanila. Ang expression na ito ang magiging equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong ibinigay na mga punto na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya!

Ilarawan natin ito sa isang simpleng halimbawa:

1. Buuin ang equation ng eroplanong dumadaan sa mga puntos

Bumubuo kami ng determinant para sa tatlong puntong ito:

Pinapasimple:

Ngayon ay direktang kinakalkula namin ito ayon sa panuntunan ng mga tatsulok:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ kanan| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Kaya, ang equation ng eroplano na dumadaan sa mga puntos ay:

Ngayon subukang lutasin ang isang problema sa iyong sarili, at pagkatapos ay tatalakayin natin ito:

2. Hanapin ang equation ng eroplanong dumadaan sa mga puntos

Well, pag-usapan natin ang solusyon ngayon:

Gumagawa kami ng determinant:

At kalkulahin ang halaga nito:

Pagkatapos ang equation ng eroplano ay may anyo:

O, pagbabawas ng, makukuha natin:

Ngayon dalawang gawain para sa pagpipigil sa sarili:

1. Buuin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong puntos:

Mga sagot:

Nagtugma ba ang lahat? Muli, kung may ilang mga paghihirap, kung gayon ang payo ko ay ito: kumuha ka ng tatlong puntos mula sa iyong ulo (na may mataas na antas ng posibilidad na hindi sila magsisinungaling sa isang tuwid na linya), bumuo ng isang eroplano sa kanila. At pagkatapos ay suriin ang iyong sarili online. Halimbawa, sa site:

Gayunpaman, sa tulong ng mga determinant, gagawin namin hindi lamang ang equation ng eroplano. Tandaan, sinabi ko sa iyo na para sa mga vector, hindi lamang ang produkto ng tuldok ang tinukoy. Mayroon ding isang vector, pati na rin ang isang halo-halong produkto. At kung ang scalar product ng dalawang vector ay magiging isang numero, kung gayon ang vector product ng dalawang vector ay magiging isang vector, at ang vector na ito ay magiging patayo sa mga ibinigay:

Bukod dito, ang modulus nito ay magiging katumbas ng lugar ng paralelogram na binuo sa mga vectors at. Ang vector na ito kailangan nating kalkulahin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya. Paano natin makalkula ang cross product ng mga vectors at kung ang kanilang mga coordinate ay ibinigay? Ang determinant ng ikatlong order ay muling tumulong sa amin. Gayunpaman, bago ako lumipat sa algorithm para sa pagkalkula ng cross product, kailangan kong gumawa ng isang maliit na lyrical digression.

Ang paglihis na ito ay may kinalaman sa mga batayang vector.

Schematically ipinapakita ang mga ito sa figure:

Sa iyong palagay, bakit sila tinatawag na basic? Sa katotohanan ay :

O sa larawan:

Ang bisa ng formula na ito ay halata, dahil:

produkto ng vector

Ngayon ay maaari ko nang simulan ang pagpapakilala ng cross product:

Ang produkto ng vector ng dalawang vector ay isang vector na kinakalkula ayon sa sumusunod na panuntunan:

Ngayon magbigay tayo ng ilang halimbawa ng pagkalkula ng cross product:

Halimbawa 1: Hanapin ang cross product ng mga vectors:

Solusyon: Gumagawa ako ng determinant:

At kinakalkula ko ito:

Ngayon, mula sa pagsulat sa pamamagitan ng mga batayang vector, babalik ako sa karaniwang notasyon ng vector:

kaya:

Ngayon subukan.

handa na? Sinusuri namin:

At tradisyonal na dalawa mga gawain upang kontrolin:

1. Hanapin ang cross product ng mga sumusunod na vectors:
2. Hanapin ang cross product ng mga sumusunod na vectors:

Mga sagot:

Pinaghalong produkto ng tatlong vectors

Ang huling konstruksiyon na kailangan ko ay ang pinaghalong produkto ng tatlong vectors. Ito, tulad ng isang scalar, ay isang numero. Mayroong dalawang paraan upang makalkula ito. - sa pamamagitan ng determinant, - sa pamamagitan ng pinaghalong produkto.

Ibig sabihin, sabihin nating mayroon tayong tatlong vectors:

Pagkatapos ay ang pinaghalong produkto ng tatlong vectors, na tinutukoy ng ay maaaring kalkulahin bilang:

1. - ibig sabihin, ang pinaghalong produkto ay ang scalar product ng isang vector at ang vector product ng dalawang iba pang vectors

Halimbawa, ang pinaghalong produkto ng tatlong vectors ay:

Subukang kalkulahin ito sa iyong sarili gamit ang produkto ng vector at tiyaking tumutugma ang mga resulta!

At muli - dalawang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

Pagpili ng coordinate system

Well, ngayon ay mayroon na tayong lahat ng kinakailangang pundasyon ng kaalaman upang malutas ang mga kumplikadong stereometric na problema sa geometry. Gayunpaman, bago magpatuloy nang direkta sa mga halimbawa at algorithm para sa paglutas ng mga ito, naniniwala ako na magiging kapaki-pakinabang na pag-isipan ang sumusunod na tanong: kung paano eksaktong pumili ng coordinate system para sa isang partikular na figure. Pagkatapos ng lahat, ito ang pagpipilian Kaugnay na posisyon Ang mga coordinate system at mga numero sa kalawakan ay sa huli ay matukoy kung gaano kahirap ang mga kalkulasyon.

Ipinaaalala ko sa iyo na sa seksyong ito ay isinasaalang-alang namin ang mga sumusunod na hugis:

1. kuboid
2. Tuwid na prisma (tatsulok, heksagonal...)
3. Pyramid (triangular, quadrangular)
4. Tetrahedron (kapareho ng triangular pyramid)

Para sa isang cuboid o cube, inirerekomenda ko ang sumusunod na konstruksyon:

Iyon ay, ilalagay ko ang figure "sa sulok". Ang kubo at ang kahon ay napakagandang figure. Para sa kanila, madali mong mahahanap ang mga coordinate ng mga vertex nito. Halimbawa, kung (tulad ng ipinapakita sa larawan)

kung gayon ang mga coordinate ng vertex ay:

Siyempre, hindi mo kailangang tandaan ito, ngunit tandaan kung paano pinakamahusay na iposisyon ang kubo o kuboid- kanais-nais.

tuwid na prisma

Ang prism ay isang mas nakakapinsalang pigura. Maaari mo itong ayusin sa espasyo sa iba't ibang paraan. Gayunpaman, sa palagay ko ang sumusunod ay ang pinakamahusay na pagpipilian:

Triangular prism:

Iyon ay, inilalagay namin ang isa sa mga gilid ng tatsulok nang buo sa axis, at ang isa sa mga vertices ay tumutugma sa pinagmulan.

Hexagonal prism:

Iyon ay, ang isa sa mga vertices ay tumutugma sa pinagmulan, at ang isa sa mga gilid ay namamalagi sa axis.

Quadrangular at hexagonal pyramid:

Isang sitwasyon na katulad ng isang kubo: pinagsasama namin ang dalawang panig ng base na may mga coordinate axes, pinagsama namin ang isa sa mga vertices sa pinagmulan. Ang tanging maliit na kahirapan ay ang kalkulahin ang mga coordinate ng punto.

Para sa isang hexagonal pyramid - kapareho ng para sa isang hexagonal prism. Ang pangunahing gawain ay muli sa paghahanap ng mga coordinate ng vertex.

Tetrahedron (triangular pyramid)

Ang sitwasyon ay halos kapareho sa ibinigay ko para sa tatsulok na prisma: ang isang vertex ay nag-tutugma sa pinagmulan, ang isang panig ay namamalagi sa coordinate axis.

Well, ngayon ikaw at ako ay malapit nang magsimulang malutas ang mga problema. Mula sa sinabi ko sa pinakasimula ng artikulo, maaari mong gawin ang sumusunod na konklusyon: karamihan sa mga problema sa C2 ay nahahati sa 2 kategorya: mga problema para sa anggulo at mga problema para sa distansya. Una, isasaalang-alang namin ang mga problema para sa paghahanap ng isang anggulo. Sila naman, ay nahahati sa mga sumusunod na kategorya (habang tumataas ang pagiging kumplikado):

Mga problema sa paghahanap ng mga sulok

1. Paghahanap ng anggulo sa pagitan ng dalawang linya
2. Paghahanap ng anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano

Isaalang-alang natin ang mga problemang ito nang sunud-sunod: magsimula tayo sa paghahanap ng anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya. Halika, tandaan, nalutas mo na ba namin ang mga katulad na halimbawa dati? Naaalala mo, dahil mayroon na kaming katulad ... Naghahanap kami ng isang anggulo sa pagitan ng dalawang vectors. Ipinaaalala ko sa iyo, kung ang dalawang vector ay ibinigay: at, pagkatapos ay ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay matatagpuan mula sa kaugnayan:

Ngayon ay mayroon tayong layunin - ang paghahanap ng anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya. Lumiko tayo sa "flat na larawan":

Ilang anggulo ang makukuha natin kapag nagsalubong ang dalawang linya? Mga bagay na. Totoo, dalawa lamang sa kanila ang hindi pantay, habang ang iba ay patayo sa kanila (at samakatuwid ay nag-tutugma sa kanila). Kaya anong anggulo ang dapat nating isaalang-alang ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya: o? Narito ang panuntunan: ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay palaging hindi hihigit sa mga degree. Ibig sabihin, mula sa dalawang anggulo, lagi nating pipiliin ang anggulo na may pinakamaliit na sukat ng antas. Ibig sabihin, sa larawang ito, ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya ay pantay. Upang hindi mag-abala sa paghahanap ng pinakamaliit sa dalawang anggulo sa bawat oras, iminungkahi ng mga tusong mathematician ang paggamit ng modyul. Kaya, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay tinutukoy ng formula:

Ikaw, bilang isang matulungin na mambabasa, ay dapat may tanong: saan, sa katunayan, nakukuha natin ang mismong mga numerong ito na kailangan nating kalkulahin ang cosine ng isang anggulo? Sagot: kukunin namin sila mula sa mga vector ng direksyon ng mga linya! Kaya, ang algorithm para sa paghahanap ng anggulo sa pagitan ng dalawang linya ay ang mga sumusunod:

1. Inilapat namin ang formula 1.

O sa higit pang detalye:

1. Hinahanap namin ang mga coordinate ng vector ng direksyon ng unang tuwid na linya
2. Hinahanap namin ang mga coordinate ng vector ng direksyon ng pangalawang linya
3. Kalkulahin ang modulus ng kanilang scalar product
4. Hinahanap namin ang haba ng unang vector
5. Hinahanap namin ang haba ng pangalawang vector
6. I-multiply ang mga resulta ng point 4 sa mga resulta ng point 5
7. Hinahati namin ang resulta ng point 3 sa resulta ng point 6. Nakukuha namin ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga linya
8. Kung ang resultang ito ay nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ang anggulo nang eksakto, hinahanap namin ito
9. Kung hindi, sumulat kami sa pamamagitan ng arccosine

Kaya, ngayon ay oras na upang magpatuloy sa mga gawain: Ipapakita ko ang solusyon ng unang dalawa nang detalyado, ipapakita ko ang solusyon ng isa pa sa buod, at para sa huling dalawang problema ay magbibigay lang ako ng mga sagot, dapat mong isagawa ang lahat ng mga kalkulasyon para sa kanila mismo.

Mga gawain:

1. Sa tamang tet-ra-ed-re, hanapin-di-te ang anggulo sa pagitan ng you-so-that tet-ra-ed-ra at ng me-di-a-noy bo-ko-how side.

2. Sa right-forward six-coal-pi-ra-mi-de, ang daang-ro-na-os-no-va-niya ay kahit papaano ay pantay, at ang mga gilid na tadyang ay pantay, hanapin ang anggulo sa pagitan ng tuwid mga linya at.

3. Ang haba ng lahat ng gilid ng kanang kamay na four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy ay pantay-pantay sa isa't isa. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya at kung from-re-zok - you-so-that given pi-ra-mi-dy, the point is se-re-di-on her bo-ko- th rib

4. Sa gilid ng kubo mula-me-che-sa isang punto upang Hanapin-di-te ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya at

5. Point - se-re-di-sa mga gilid ng kubo Nai-di-te ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya at.

Ito ay hindi nagkataon na inilagay ko ang mga gawain sa ganitong pagkakasunud-sunod. Habang wala ka pang oras upang simulan ang pag-navigate sa paraan ng coordinate, ako mismo ay susuriin ang pinaka "problemadong" figure, at iiwan kita upang harapin ang pinakasimpleng kubo! Unti-unti kailangan mong matutunan kung paano magtrabaho kasama ang lahat ng mga figure, dagdagan ko ang pagiging kumplikado ng mga gawain mula sa paksa hanggang sa paksa.

Simulan natin ang paglutas ng mga problema:

1. Gumuhit ng tetrahedron, ilagay ito sa coordinate system gaya ng iminungkahi ko kanina. Dahil ang tetrahedron ay regular, ang lahat ng mga mukha nito (kabilang ang base) ay regular na mga tatsulok. Dahil hindi kami binibigyan ng haba ng gilid, kaya ko itong pantay-pantay. Sa tingin ko naiintindihan mo na ang anggulo ay hindi talaga magdedepende kung gaano kalaki ang magiging "stretch" ng ating tetrahedron ?. Iguguhit ko rin ang taas at median sa tetrahedron. Sa daan, iguguhit ko ang base nito (magagamit din ito para sa atin).

Kailangan kong hanapin ang anggulo sa pagitan ng at. Ano ang alam natin? Coordinate of the point lang ang alam natin. Kaya, kailangan nating makahanap ng higit pang mga coordinate ng mga puntos. Ngayon ay iniisip natin: ang isang punto ay isang punto ng intersection ng mga taas (o mga bisector o median) ng isang tatsulok. Ang isang tuldok ay isang nakataas na punto. Ang punto ay ang midpoint ng segment. Pagkatapos ay sa wakas kailangan nating hanapin: ang mga coordinate ng mga puntos: .

Magsimula tayo sa pinakasimpleng: point coordinates. Tingnan ang figure: Ito ay malinaw na ang applicate ng isang punto ay katumbas ng zero (ang punto ay namamalagi sa isang eroplano). Ang ordinate nito ay pantay (dahil ito ang median). Mas mahirap hanapin ang abscissa nito. Gayunpaman, ito ay madaling gawin batay sa Pythagorean theorem: Isaalang-alang ang isang tatsulok. Ang hypotenuse nito ay pantay, at ang isa sa mga binti ay pantay Pagkatapos:

Sa wakas mayroon kaming:

Ngayon, hanapin natin ang mga coordinate ng punto. Ito ay malinaw na ang applicate nito ay muling katumbas ng zero, at ang ordinate nito ay kapareho ng sa isang punto, iyon ay. Hanapin natin ang abscissa nito. Ito ay ginagawa sa halip na walang kabuluhan kung ang isa ay naaalala iyon taas equilateral triangle ang intersection point ay nahahati sa proporsyon pagbibilang mula sa itaas. Dahil:, kung gayon ang nais na abscissa ng punto, katumbas ng haba ng segment, ay katumbas ng:. Kaya, ang mga coordinate ng punto ay:

Hanapin natin ang mga coordinate ng punto. Malinaw na ang abscissa at ordinate nito ay kasabay ng abscissa at ordinate ng punto. At ang applique ay katumbas ng haba ng segment. - ito ay isa sa mga binti ng tatsulok. Ang hypotenuse ng isang tatsulok ay isang segment - isang binti. Hinahanap ito para sa mga dahilan na na-highlight ko nang naka-bold:

Ang punto ay ang midpoint ng segment. Pagkatapos ay kailangan nating tandaan ang formula para sa mga coordinate ng gitna ng segment:

Iyon lang, ngayon ay maaari nating hanapin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon:

Well, handa na ang lahat: pinapalitan namin ang lahat ng data sa formula:

kaya,

Sagot:

Hindi ka dapat matakot sa gayong "kakila-kilabot" na mga sagot: para sa mga problema C2 ito ay isang karaniwang kasanayan. Mas gugustuhin kong magulat sa "maganda" na sagot sa bahaging ito. Gayundin, tulad ng iyong nabanggit, halos hindi ako gumamit ng anumang bagay maliban sa Pythagorean theorem at ang pag-aari ng mga taas ng isang equilateral triangle. Iyon ay, upang malutas ang stereometric na problema, ginamit ko ang pinakamababang stereometry. Ang pakinabang dito ay bahagyang "napapatay" ng medyo masalimuot na mga kalkulasyon. Ngunit ang mga ito ay medyo algorithmic!

2. Gumuhit ng regular na hexagonal pyramid kasama ang coordinate system, pati na rin ang base nito:

Kailangan nating hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya at. Kaya, ang aming gawain ay nabawasan sa paghahanap ng mga coordinate ng mga puntos: . Hahanapin natin ang mga coordinate ng huling tatlo mula sa maliit na guhit, at makikita natin ang coordinate ng vertex sa pamamagitan ng coordinate ng punto. Maraming trabaho, ngunit kailangan mong magsimula!

a) Coordinate: malinaw na ang applicate at ordinate nito ay zero. Hanapin natin ang abscissa. Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang tamang tatsulok. Sa kasamaang palad, sa loob nito ay alam lamang natin ang hypotenuse, na katumbas ng. Susubukan naming hanapin ang binti (dahil malinaw na dalawang beses ang haba ng binti ay magbibigay sa amin ng abscissa ng punto). Paano natin siya hahanapin? Tandaan natin kung anong uri ng pigura ang mayroon tayo sa base ng pyramid? Ito ay isang regular na hexagon. Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na ang lahat ng panig at lahat ng mga anggulo ay pantay. Kailangan nating makahanap ng isang ganoong sulok. Anumang mga ideya? Mayroong maraming mga ideya, ngunit mayroong isang formula:

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang regular na n-gon ay .

Kaya, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang regular na hexagon ay mga degree. Pagkatapos ang bawat isa sa mga anggulo ay katumbas ng:

Tingnan natin muli ang larawan. Malinaw na ang segment ay ang bisector ng anggulo. Pagkatapos ang anggulo ay degrees. Pagkatapos:

Tapos saan.

Kaya mayroon itong mga coordinate

b) Ngayon ay madali nating mahahanap ang coordinate ng punto: .

c) Hanapin ang mga coordinate ng punto. Dahil ang abscissa nito ay tumutugma sa haba ng segment, ito ay pantay. Ang paghahanap ng ordinate ay hindi rin napakahirap: kung ikinonekta natin ang mga punto at at tukuyin ang punto ng intersection ng linya, sabihin para sa. (gawin mo ito sa iyong sarili simpleng konstruksiyon). Pagkatapos Kaya, ang ordinate ng point B ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga segment. Tingnan natin muli ang tatsulok. Pagkatapos

Then since Then may coordinate ang point

d) Ngayon hanapin ang mga coordinate ng punto. Isaalang-alang ang isang parihaba at patunayan na Kaya, ang mga coordinate ng punto ay:

e) Nananatili itong hanapin ang mga coordinate ng vertex. Malinaw na ang abscissa at ordinate nito ay kasabay ng abscissa at ordinate ng punto. Maghanap tayo ng app. Simula noon. Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok. Sa pamamagitan ng kondisyon ng problema, ang lateral edge. Ito ang hypotenuse ng aking tatsulok. Pagkatapos ang taas ng pyramid ay ang binti.

Pagkatapos ang punto ay may mga coordinate:

Iyon lang, mayroon akong mga coordinate ng lahat ng mga punto ng interes sa akin. Naghahanap ako ng mga coordinate ng nagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

Hinahanap namin ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito:

Sagot:

Muli, kapag nilutas ang problemang ito, hindi ako gumamit ng anumang sopistikadong mga trick, maliban sa formula para sa kabuuan ng mga anggulo ng isang regular na n-gon, pati na rin ang kahulugan ng cosine at sine ng isang right triangle.

3. Dahil muli kaming hindi binibigyan ng mga haba ng mga gilid sa pyramid, ituturing ko silang katumbas ng isa. Kaya, dahil ang LAHAT ng mga gilid, at hindi lamang ang mga gilid, ay pantay-pantay sa bawat isa, pagkatapos ay sa base ng pyramid at ako ay namamalagi ng isang parisukat, at ang mga gilid na mukha ay regular na mga tatsulok. Ilarawan natin ang gayong pyramid, pati na rin ang base nito sa isang eroplano, na minarkahan ang lahat ng data na ibinigay sa teksto ng problema:

Hinahanap namin ang anggulo sa pagitan ng at. Gagawa ako ng napakaikling mga kalkulasyon kapag hinahanap ko ang mga coordinate ng mga puntos. Kakailanganin mong "i-decrypt" ang mga ito:

b) - ang gitna ng segment. Ang kanyang mga coordinate:

c) Hahanapin ko ang haba ng segment gamit ang Pythagorean theorem sa isang tatsulok. Hahanapin ko sa pamamagitan ng Pythagorean theorem sa isang tatsulok.

Mga Coordinate:

d) - sa gitna ng segment. Ang mga coordinate nito ay

e) Mga coordinate ng vector

f) Vector coordinate

g) Naghahanap ng anggulo:

Ang kubo ay ang pinakasimpleng pigura. Sigurado ako na maaari mong malaman ito sa iyong sarili. Ang mga sagot sa mga problema 4 at 5 ay ang mga sumusunod:

Paghahanap ng anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano

Well, ang oras para sa mga simpleng puzzle ay tapos na! Ngayon ang mga halimbawa ay magiging mas mahirap. Upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano, magpapatuloy kami bilang mga sumusunod:

1. Gamit ang tatlong puntos, binubuo namin ang equation ng eroplano
   ,
   gamit ang third order determinant.
2. Sa pamamagitan ng dalawang puntos hinahanap namin ang mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya:
3. Inilapat namin ang formula upang kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano:

Tulad ng nakikita mo, ang formula na ito ay halos kapareho sa ginamit namin upang mahanap ang mga anggulo sa pagitan ng dalawang linya. Ang istraktura ng kanang bahagi ay pareho lamang, at sa kaliwa ay naghahanap kami ngayon ng isang sine, at hindi isang cosine, tulad ng dati. Well, isang pangit na aksyon ang idinagdag - ang paghahanap para sa equation ng eroplano.

Huwag tayong mag-shelve mga halimbawa ng paglutas:

1. Os-no-va-ni-em straight-my prize-we are-la-et-xia equal-but-poor-ren-ny triangle-nick you-with-na premyong-tayo ay pantay-pantay. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ng eroplano

2. Sa isang parihabang pa-ral-le-le-pi-pe-de mula sa Kanluran Nai-di-te ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ng eroplano

3. Sa kanang kamay na anim na coal prism, ang lahat ng mga gilid ay pantay. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ng eroplano.

4. Sa kanang tatsulok na pi-ra-mi-de na may os-but-va-ni-em mula sa kanluran ng tadyang Nai-di-te anggulo, ob-ra-zo-van -ny eroplano ng os -no-va-niya at straight-my, dumadaan sa se-re-di-na ng mga tadyang at

5. Ang mga haba ng lahat ng mga gilid ng kanang quadrangular pi-ra-mi-dy na may tuktok ay katumbas ng bawat isa. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ng eroplano, kung ang punto ay se-re-di-sa bo-ko-in-th na gilid ng pi-ra-mi-dy.

Muli, malulutas ko ang unang dalawang problema nang detalyado, ang pangatlo - sa madaling sabi, at iiwan ko ang huling dalawa para malutas mo nang mag-isa. Bilang karagdagan, kailangan mo nang harapin ang triangular at quadrangular pyramids, ngunit hindi pa sa prisms.

Mga solusyon:

1. Gumuhit ng isang prisma, pati na rin ang base nito. Pagsamahin natin ito sa coordinate system at markahan ang lahat ng data na ibinigay sa pahayag ng problema:

Humihingi ako ng paumanhin para sa ilang hindi pagsunod sa mga sukat, ngunit para sa paglutas ng problema na ito, sa katunayan, ay hindi napakahalaga. Ang eroplano ay "pader sa likod" lamang ng aking prisma. Sapat na hulaan lamang na ang equation ng naturang eroplano ay may anyo:

Gayunpaman, maaari rin itong direktang ipakita:

Pinipili namin ang arbitrary na tatlong punto sa eroplanong ito: halimbawa, .

Gawin natin ang equation ng eroplano:

Mag-ehersisyo para sa iyo: kalkulahin ang determinant na ito sa iyong sarili. Nagtagumpay ka ba? Pagkatapos ang equation ng eroplano ay may anyo:

O kaya lang

kaya,

Upang malutas ang halimbawa, kailangan kong hanapin ang mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya. Dahil ang punto ay nag-tutugma sa pinanggalingan, ang mga coordinate ng vector ay mag-tutugma lamang sa mga coordinate ng punto. Upang gawin ito, hahanapin muna natin ang mga coordinate ng punto.

Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang tatsulok. Gumuhit tayo ng taas (isa rin itong median at bisector) mula sa itaas. Dahil, kung gayon ang ordinate ng punto ay pantay. Upang mahanap ang abscissa ng puntong ito, kailangan nating kalkulahin ang haba ng segment. Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem mayroon tayo:

Pagkatapos ang punto ay may mga coordinate:

Ang isang tuldok ay isang "itinaas" sa isang tuldok:

Pagkatapos ang mga coordinate ng vector:

Sagot:

Tulad ng nakikita mo, walang pangunahing mahirap sa paglutas ng mga naturang problema. Sa katunayan, ang "straightness" ng isang figure tulad ng isang prism ay nagpapadali sa proseso ng kaunti pa. Ngayon ay lumipat tayo sa susunod na halimbawa:

2. Gumuhit kami ng isang parallelepiped, gumuhit ng isang eroplano at isang tuwid na linya sa loob nito, at hiwalay din na gumuhit ng mas mababang base nito:

sa simula hanapin ang equation eroplano: Ang mga coordinate ng tatlong puntos na nakahiga dito:

(ang unang dalawang coordinate ay nakuha sa isang malinaw na paraan, at madali mong mahanap ang huling coordinate mula sa larawan mula sa punto). Pagkatapos ay binubuo namin ang equation ng eroplano:

Kinakalkula namin:

Hinahanap namin ang mga coordinate ng vector ng direksyon: Malinaw na ang mga coordinate nito ay nag-tutugma sa mga coordinate ng punto, hindi ba? Paano makahanap ng mga coordinate? Ito ang mga coordinate ng punto, na nakataas sa kahabaan ng applicate axis ng isa! . Pagkatapos ay hinahanap namin ang nais na anggulo:

Sagot:

3. Gumuhit ng isang regular na hexagonal pyramid, at pagkatapos ay gumuhit ng isang eroplano at isang tuwid na linya sa loob nito.

Narito ito ay kahit na may problema upang gumuhit ng isang eroplano, hindi sa banggitin ang solusyon ng problemang ito, ngunit ang coordinate na paraan ay walang pakialam! Nasa kagalingan nito ang pangunahing bentahe nito!

Ang eroplano ay dumaan sa tatlong punto: . Hinahanap namin ang kanilang mga coordinate:

isa). Ipakita ang mga coordinate para sa huling dalawang puntos sa iyong sarili. Kakailanganin mong lutasin ang problema sa isang hexagonal pyramid para dito!

2) Binubuo namin ang equation ng eroplano:

Hinahanap namin ang mga coordinate ng vector: . (Tingnan muli ang triangular pyramid problem!)

3) Naghahanap kami ng isang anggulo:

Sagot:

Gaya ng nakikita mo, walang supernatural na mahirap sa mga gawaing ito. Kailangan mo lamang na maging maingat sa mga ugat. Sa huling dalawang problema, ibibigay ko lamang ang mga sagot:

Tulad ng nakikita mo, ang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema ay pareho sa lahat ng dako: ang pangunahing gawain ay upang mahanap ang mga coordinate ng mga vertex at palitan ang mga ito sa ilang mga formula. Nananatili para sa amin na isaalang-alang ang isa pang klase ng mga problema para sa pagkalkula ng mga anggulo, katulad:

Pagkalkula ng mga anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano

Ang algorithm ng solusyon ay ang mga sumusunod:

1. Para sa tatlong puntos hinahanap namin ang equation ng unang eroplano:
2. Para sa iba pang tatlong punto, hinahanap namin ang equation ng pangalawang eroplano:
3. Inilapat namin ang formula:

Tulad ng nakikita mo, ang formula ay halos kapareho sa naunang dalawa, sa tulong kung saan kami ay naghahanap ng mga anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya at sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano. Kaya't ang pag-alala sa isang ito ay hindi magiging mahirap para sa iyo. Pumunta tayo sa problema:

1. Ang isang daang-ro-sa batayan ng kanang tatsulok na prism ay pantay, at ang dia-go-nal ng gilid na mukha ay pantay. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng eroplano at ng eroplano ng base ng premyo.

2. Sa right-forward four-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de, ang lahat ng mga gilid ng isang tao ay pantay, hanapin ang sine ng anggulo sa pagitan ng eroplano at ng eroplano na Ko-Stu, na dumadaan ang punto ng per-pen-di-ku-lyar-but straight-my.

3. Sa isang regular na four-coal prism, ang mga gilid ng os-no-va-nia ay pantay, at ang mga gilid ng gilid ay pantay. Sa gilid from-me-che-to the point so that. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano at

4. Sa kanang quadrangular prism, ang mga gilid ng mga base ay pantay, at ang mga gilid na gilid ay pantay. Sa gilid mula-me-che-sa isang punto upang Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano at.

5. Sa kubo, hanapin ang co-si-nus ng anggulo sa pagitan ng mga eroplano at

Mga solusyon sa problema:

1. Gumuhit ako ng isang regular (sa base - isang equilateral triangle) na tatsulok na prisma at minarkahan dito ang mga eroplano na lumilitaw sa kondisyon ng problema:

Kailangan nating hanapin ang mga equation ng dalawang eroplano: Ang base equation ay nakuha nang walang kabuluhan: maaari mong gawin ang katumbas na determinant para sa tatlong puntos, ngunit gagawin ko kaagad ang equation:

Ngayon hanapin natin ang equation Point ay may mga coordinate Point - Dahil - ang median at ang taas ng tatsulok, ito ay madaling mahanap sa pamamagitan ng Pythagorean theorem sa isang tatsulok. Pagkatapos ang punto ay may mga coordinate: Hanapin ang applicate ng punto Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang tamang tatsulok

Pagkatapos ay nakuha namin ang mga sumusunod na coordinate: Binubuo namin ang equation ng eroplano.

Kinakalkula namin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano:

Sagot:

2. Paggawa ng drawing:

Ang pinakamahirap na bagay ay upang maunawaan kung anong uri ng misteryosong eroplano ito, na dumadaan sa isang punto nang patayo. Well, ang pangunahing bagay ay kung ano ito? Ang pangunahing bagay ay pagkaasikaso! Sa katunayan, ang linya ay patayo. Ang linya ay patayo din. Pagkatapos ang eroplanong dumadaan sa dalawang linyang ito ay magiging patayo sa linya, at, sa pamamagitan ng paraan, ay dadaan sa punto. Ang eroplanong ito ay dumadaan din sa tuktok ng pyramid. Pagkatapos ay ang nais na eroplano - At ang eroplano ay ibinigay na sa amin. Naghahanap kami ng mga coordinate ng mga puntos.

Nahanap namin ang coordinate ng punto sa pamamagitan ng punto. Mula sa maliit na guhit madaling mahihinuha na ang mga coordinate ng punto ay ang mga sumusunod: Ano ngayon ang natitira upang mahanap upang mahanap ang mga coordinate ng tuktok ng pyramid? Kailangan pa ring kalkulahin ang taas nito. Ginagawa ito gamit ang parehong Pythagorean theorem: una, patunayan iyon (trivially mula sa maliliit na triangles na bumubuo ng isang parisukat sa base). Dahil ayon sa kondisyon, mayroon kaming:

Ngayon handa na ang lahat: vertex coordinates:

Binubuo namin ang equation ng eroplano:

Dalubhasa ka na sa pagkalkula ng mga determinant. Madaling matatanggap mo ang:

O kung hindi man (kung i-multiply natin ang parehong bahagi sa ugat ng dalawa)

Ngayon hanapin natin ang equation ng eroplano:

(Hindi mo nakalimutan kung paano natin nakuha ang equation ng eroplano, di ba? Kung hindi mo naiintindihan kung saan nanggaling ang minus one na ito, bumalik ka sa definition ng equation ng eroplano! Lagi na lang pala ang aking ang eroplano ay kabilang sa pinanggalingan!)

Kinakalkula namin ang determinant:

(Maaari mong mapansin na ang equation ng eroplano ay tumutugma sa equation ng tuwid na linya na dumadaan sa mga punto at! Isipin kung bakit!)

Ngayon kinakalkula namin ang anggulo:

Kailangan nating hanapin ang sine:

Sagot:

3. Isang nakakalito na tanong: ano ang isang parihabang prisma, ano sa palagay mo? Isa lang itong kilalang parallelepiped sa iyo! Drawing agad! Maaari mo ring hindi hiwalay na ilarawan ang base, mayroong maliit na paggamit dito:

Ang eroplano, tulad ng nabanggit namin kanina, ay nakasulat bilang isang equation:

Ngayon gumawa kami ng eroplano

Agad naming binubuo ang equation ng eroplano:

Naghahanap ng anggulo

Ngayon ang mga sagot sa huling dalawang problema:

Kaya, ngayon na ang oras para magpahinga, dahil ikaw at ako ay mahusay at nakagawa ng isang mahusay na trabaho!

Mga coordinate at vector. Advanced na antas

Sa artikulong ito, tatalakayin namin sa iyo ang isa pang klase ng mga problema na maaaring malutas gamit ang coordinate method: mga problema sa distansya. Ibig sabihin, isasaalang-alang namin ang mga sumusunod na kaso:

1. Kinakalkula ang distansya sa pagitan ng mga skew na linya.

Iniutos ko ang mga ibinigay na gawain habang lumalaki ang kanilang pagiging kumplikado. Ang pinakamadaling hanapin ituro ang distansya ng eroplano at ang pinakamahirap na bahagi ay ang paghahanap distansya sa pagitan ng mga interseksyon na linya. Bagaman, siyempre, walang imposible! Huwag nating ipagpaliban at agad na magpatuloy sa pagsasaalang-alang sa unang klase ng mga problema:

Pagkalkula ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano

Ano ang kailangan natin upang malutas ang problemang ito?

1. Point coordinates

Kaya, sa sandaling makuha namin ang lahat ng kinakailangang data, inilalapat namin ang formula:

Dapat alam mo na kung paano namin binuo ang equation ng eroplano mula sa mga nakaraang problema na sinuri ko sa huling bahagi. Bumaba na tayo sa negosyo kaagad. Ang pamamaraan ay ang mga sumusunod: 1, 2 - Tinutulungan kitang magpasya, at sa ilang mga detalye, 3, 4 - tanging ang sagot, ikaw mismo ang gumawa ng desisyon at ihambing. Nagsimula na!

Mga gawain:

1. Binigyan ng kubo. Ang haba ng gilid ng kubo ay Hanapin-di-te ang distansya mula sa se-re-di-ny mula sa hiwa hanggang sa patag

2. Given the right-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe edge hundred-ro-on ang os-no-va-nia ay pantay. Hanapin-di-mga distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano kung saan - se-re-di-sa mga gilid.

3. Sa kanang tatsulok na pi-ra-mi-de na may os-but-va-ni-em, ang kabilang gilid ay pantay, at isang daang-ro-on os-no-va- niya ay pantay. Hanapin-di-mga distansya mula sa itaas hanggang sa eroplano.

4. Sa kanang kamay na anim na coal prism, lahat ng mga gilid ay pantay. Hanapin-di-mga distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano.

Mga solusyon:

1. Gumuhit ng isang kubo na may mga solong gilid, bumuo ng isang segment at isang eroplano, tukuyin ang gitna ng segment sa pamamagitan ng titik

.

Una, magsimula tayo sa isang madaling: hanapin ang mga coordinate ng isang punto. Simula noon (tandaan ang mga coordinate ng gitna ng segment!)

Ngayon binubuo namin ang equation ng eroplano sa tatlong puntos

\[\kaliwa| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Ngayon ay maaari kong simulan ang paghahanap ng distansya:

2. Nagsisimula kaming muli sa isang pagguhit, kung saan minarkahan namin ang lahat ng data!

Para sa isang pyramid, magiging kapaki-pakinabang na iguhit ang base nito nang hiwalay.

Kahit na ang katotohanan na gumuhit ako tulad ng isang paa ng manok ay hindi makakapigil sa amin na madaling malutas ang problemang ito!

Ngayon ay madali nang mahanap ang mga coordinate ng isang punto

Dahil ang mga coordinate ng punto

2. Dahil ang mga coordinate ng point a ay ang gitna ng segment, kung gayon

Madali nating mahahanap ang mga coordinate ng dalawa pang punto sa eroplano. Binubuo natin ang equation ng eroplano at pinasimple ito:

\[\kaliwa| (\kaliwa| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Dahil ang punto ay may mga coordinate: , pagkatapos ay kinakalkula namin ang distansya:

Sagot (napakabihirang!):

Well, naintindihan mo ba? Para sa akin, ang lahat ng bagay dito ay kasing teknikal tulad ng sa mga halimbawa na itinuring namin sa iyo sa nakaraang bahagi. Kaya sigurado ako na kung napag-aralan mo na ang materyal na iyon, hindi magiging mahirap para sa iyo na lutasin ang natitirang dalawang problema. Ibibigay ko lang sa iyo ang mga sagot:

Pagkalkula ng Distansya mula sa isang Linya patungo sa isang Eroplano

Sa totoo lang, wala namang bago dito. Paano matatagpuan ang isang linya at isang eroplano na may kaugnayan sa bawat isa? Nasa kanila ang lahat ng posibilidad: mag-intersect, o ang isang tuwid na linya ay kahanay sa eroplano. Ano sa palagay mo ang distansya mula sa linya hanggang sa eroplano kung saan nagsa-intersect ang ibinigay na linya? Tila sa akin ay malinaw na ang gayong distansya ay katumbas ng zero. Hindi kawili-wiling kaso.

Ang pangalawang kaso ay mas nakakalito: dito ang distansya ay hindi zero. Gayunpaman, dahil ang linya ay parallel sa eroplano, ang bawat punto ng linya ay katumbas ng layo mula sa eroplanong ito:

kaya:

At nangangahulugan ito na ang aking gawain ay nabawasan sa nauna: hinahanap namin ang mga coordinate ng anumang punto sa linya, hinahanap namin ang equation ng eroplano, kinakalkula namin ang distansya mula sa punto hanggang sa eroplano. Sa katunayan, ang mga ganitong gawain sa pagsusulit ay napakabihirang. Nakahanap lang ako ng isang problema, at ang data sa loob nito ay hindi masyadong naaangkop dito ang paraan ng coordinate!

Ngayon ay lumipat tayo sa isa pa, mas mahalagang klase ng mga problema:

Pagkalkula ng Distansya ng isang Punto sa isang Linya

Ano ang kakailanganin natin?

1. Ang mga coordinate ng punto kung saan namin hinahanap ang distansya:

2. Coordinates ng anumang punto na nakahiga sa isang tuwid na linya

3. Direction vector coordinates ng tuwid na linya

Anong formula ang ginagamit natin?

Ano ang ibig sabihin ng denominator ng fraction na ito para sa iyo at kaya dapat itong maging malinaw: ito ang haba ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya. Narito ang isang napaka nakakalito na numerator! Ang expression ay nangangahulugan ng module (haba) ng vector product ng mga vectors at Paano makalkula ang vector product, pinag-aralan namin sa nakaraang bahagi ng trabaho. I-refresh ang iyong kaalaman, ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang sa amin ngayon!

Kaya, ang algorithm para sa paglutas ng mga problema ay ang mga sumusunod:

1. Hinahanap namin ang mga coordinate ng punto kung saan hinahanap namin ang distansya:

2. Hinahanap namin ang mga coordinate ng anumang punto sa linya kung saan hinahanap namin ang distansya:

3. Pagbuo ng isang vector

4. Binubuo namin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya

5. Kalkulahin ang cross product

6. Hinahanap namin ang haba ng resultang vector:

7. Kalkulahin ang distansya:

Marami kaming trabaho, at ang mga halimbawa ay magiging kumplikado! Kaya ngayon ituon ang lahat ng iyong pansin!

1. Ang Dana ay isang kanang kamay na tatsulok na pi-ra-mi-da na may vertex. Isang daang-ro-on ang os-no-va-niya pi-ra-mi-dy ay pantay, you-so-ta ay pantay. Hanapin-di-mga distansiya mula sa se-re-di-ny ng bo-ko-th na gilid hanggang sa tuwid na linya, kung saan ang mga punto at ang se-re-di-ny ng ribs at co-from- vet -stven-pero.

2. Ang mga haba ng ribs at ang right-angle-no-para-ral-le-le-pi-pe-da ay pantay, ayon sa pagkakabanggit, at Find-di-te distance mula sa top-shi-ny hanggang straight-my

3. Sa kanang anim na coal prism, ang lahat ng mga gilid ng isang kuyog ay pantay na find-di-mga distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya

Mga solusyon:

1. Gumagawa kami ng maayos na pagguhit, kung saan minarkahan namin ang lahat ng data:

Marami kaming trabaho para sa iyo! Gusto ko munang ilarawan sa mga salita kung ano ang hahanapin natin at sa anong pagkakasunud-sunod:

1. Coordinates ng mga puntos at

2. Point coordinates

3. Coordinates ng mga puntos at

4. Coordinates ng mga vectors at

5. Ang kanilang cross product

6. Haba ng vector

7. Ang haba ng produkto ng vector

8. Distansya mula sa

Well, marami tayong gagawin! I-roll up natin ang ating manggas!

1. Upang mahanap ang mga coordinate ng taas ng pyramid, kailangan nating malaman ang mga coordinate ng punto.Ang applicate nito ay zero, at ang ordinate ay katumbas ng abscissa nito. Sa wakas, nakuha namin ang mga coordinate:

Point coordinates

2. - gitna ng segment

3. - gitna ng segment

gitnang punto

4. Coordinates

Vector coordinate

5. Kalkulahin ang produkto ng vector:

6. Ang haba ng vector: ang pinakamadaling paraan ay palitan na ang segment ay ang gitnang linya ng tatsulok, na nangangahulugang ito ay katumbas ng kalahati ng base. Kaya yun.

7. Isinasaalang-alang namin ang haba ng produkto ng vector:

8. Panghuli, hanapin ang distansya:

Phew, yun lang! Sa totoo lang, sasabihin ko sa iyo: ang paglutas ng problemang ito sa pamamagitan ng mga tradisyonal na pamamaraan (sa pamamagitan ng mga konstruksyon) ay magiging mas mabilis. Ngunit narito ko binawasan ang lahat sa isang handa na algorithm! Sa tingin ko ay malinaw sa iyo ang algorithm ng solusyon? Samakatuwid, hihilingin ko sa iyo na lutasin ang natitirang dalawang problema sa iyong sarili. Ihambing ang mga sagot?

Muli, inuulit ko: mas madali (mas mabilis) na lutasin ang mga problemang ito sa pamamagitan ng mga konstruksyon, sa halip na gumamit paraan ng coordinate. Ipinakita ko ang solusyong ito para lamang ipakita sa iyo unibersal na pamamaraan, na nagpapahintulot sa "walang kumpletuhin".

Sa wakas, isaalang-alang huling klase mga gawain:

Kinakalkula ang distansya sa pagitan ng mga skew na linya

Dito ang algorithm para sa paglutas ng mga problema ay magiging katulad ng nauna. Kung anong meron tayo:

3. Anumang vector na nagkokonekta sa mga punto ng una at pangalawang linya:

Paano natin mahahanap ang distansya sa pagitan ng mga linya?

Ang formula ay:

Ang numerator ay ang modulus pinaghalong produkto(ipinakilala namin ito sa nakaraang bahagi), at ang denominator - tulad ng sa nakaraang pormula (modulus ng produkto ng vector ng mga nagdidirekta na mga vector ng mga linya, ang distansya sa pagitan ng hinahanap namin).

Ipapaalala ko sayo yan

pagkatapos ang formula ng distansya ay maaaring muling isulat bilang:

Hatiin ang determinant na ito sa determinant! Bagaman, sa totoo lang, wala ako sa mood para sa mga biro dito! Ang formula na ito, sa katunayan, ay napakahirap at humahantong sa medyo kumplikadong mga kalkulasyon. Kung ako sa iyo, gagamitin ko lang ito bilang isang huling paraan!

Subukan nating lutasin ang ilang mga problema gamit ang pamamaraan sa itaas:

1. Sa kanang tatsulok na prism, ang lahat ng mga gilid ay kahit papaano ay pantay, hanapin ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya at.

2. Dahil sa isang kanang-harap na hugis tatsulok na prisma, ang lahat ng mga gilid ng os-no-va-niya ng isang tao ay katumbas ng Se-che-tion, na dumadaan sa kabilang tadyang at se-re-di-nu ribs ay yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie between straight-we-mi and

Ako ang magpapasya sa una, at batay dito, ikaw ang magpapasya sa pangalawa!

1. Gumuhit ako ng prisma at minarkahan ang mga linya at

Point C coordinate: pagkatapos

Point coordinates

Vector coordinate

Point coordinates

Vector coordinate

Vector coordinate

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1))) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Isinasaalang-alang namin ang cross product sa pagitan ng mga vectors at

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Ngayon ay isinasaalang-alang namin ang haba nito:

Sagot:

Ngayon subukang maingat na kumpletuhin ang pangalawang gawain. Ang sagot dito ay:.

Mga coordinate at vector. Maikling paglalarawan at mga pangunahing formula

Ang vector ay isang nakadirekta na segment. - ang simula ng vector, - ang dulo ng vector.
Ang vector ay tinutukoy ng o.

Ganap na halaga vector - ang haba ng segment na kumakatawan sa vector. Itinalaga bilang.

Vector coordinate:

,
nasaan ang mga dulo ng vector \displaystyle a .

Kabuuan ng mga vector: .

Ang produkto ng mga vectors:

tuldok na produkto ng mga vector:

Ang kakayahang mahanap ang distansya sa pagitan ng iba't ibang mga geometric na bagay ay mahalaga kapag kinakalkula ang ibabaw na lugar ng mga figure at ang kanilang mga volume. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang tanong kung paano hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya sa kalawakan at sa isang eroplano.

Matematika na paglalarawan ng isang tuwid na linya

Upang maunawaan kung paano hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya, dapat mong harapin ang tanong ng pagtutukoy sa matematika ng mga geometric na bagay na ito.

Ang lahat ay simple na may isang punto, ito ay inilarawan ng isang hanay ng mga coordinate, ang bilang nito ay tumutugma sa sukat ng espasyo. Halimbawa, sa isang eroplano ang mga ito ay dalawang coordinate, sa tatlong-dimensional na espasyo - tatlo.

Tulad ng para sa isang one-dimensional na bagay - isang tuwid na linya, maraming uri ng mga equation ang ginagamit upang ilarawan ito. Isaalang-alang natin ang dalawa lamang sa kanila.

Ang unang uri ay tinatawag na isang vector equation. Nasa ibaba ang mga expression para sa mga linya sa three-dimensional at two-dimensional na espasyo:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Sa mga expression na ito, ang mga coordinate na may zero na mga indeks ay naglalarawan sa punto kung saan dumadaan ang ibinigay na linya, ang hanay ng mga coordinate (a; b; c) at (a; b) ay ang tinatawag na mga vector ng direksyon para sa kaukulang linya, ang α ay isang parameter na maaaring tumagal ng anumang aktwal na halaga.

Ang equation ng vector ay maginhawa sa kahulugan na tahasang naglalaman ito ng vector ng direksyon ng tuwid na linya, ang mga coordinate na maaaring magamit sa paglutas ng mga problema ng parallelism o perpendicularity ng iba't ibang mga geometric na bagay, halimbawa, dalawang tuwid na linya.

Ang pangalawang uri ng equation na isasaalang-alang natin para sa isang tuwid na linya ay tinatawag na pangkalahatan. Sa kalawakan, ang view na ito ay ibinigay pangkalahatang equation dalawang eroplano. Sa isang eroplano, mayroon itong sumusunod na anyo:

A × x + B × y + C = 0

Kapag isinagawa ang pag-plot, madalas itong isinulat bilang pag-asa sa x / y, iyon ay:

y = -A / B × x +(-C / B)

Dito, ang libreng termino -C / B ay tumutugma sa coordinate ng intersection ng linya na may y-axis, at ang coefficient -A / B ay nauugnay sa anggulo ng linya sa x-axis.

Ang konsepto ng distansya sa pagitan ng isang linya at isang punto

Ang pagkakaroon ng pakikitungo sa mga equation, maaari kang direktang magpatuloy sa sagot sa tanong kung paano hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya. Sa ika-7 baitang, sinisimulan ng mga paaralan na isaalang-alang ang isyung ito sa pamamagitan ng pagtukoy ng naaangkop na halaga.

Ang distansya sa pagitan ng isang linya at isang punto ay ang haba ng segment na patayo sa linyang ito, na inalis mula sa puntong isinasaalang-alang. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng linya r at punto A. Ang asul na linya ay nagpapakita ng segment na patayo sa linya r. Ang haba nito ay ang kinakailangang distansya.

Narito ang isang 2D na kaso, gayunpaman depinisyon na ito valid din ang distansya para sa three-dimensional na problema.

Mga Kinakailangang Formula

Depende sa anyo kung saan isinulat ang equation ng isang tuwid na linya at sa kung anong espasyo ang problema ay nalulutas, dalawang pangunahing mga formula ang maaaring ibigay na sumasagot sa tanong kung paano hanapin ang distansya sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang punto.

Tukuyin ang kilalang punto sa pamamagitan ng simbolong P 2 . Kung ang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay sa vector form, pagkatapos ay para sa distansya d sa pagitan ng mga bagay na isinasaalang-alang, ang formula ay wasto:

d = || / |v¯|

Iyon ay, upang matukoy ang d, dapat kalkulahin ng isa ang module ng vector product ng direktang vector v¯ at ang vector P 1 P 2 ¯, ang simula nito ay nasa isang arbitrary point P 1 sa linya, at ang dulo ay sa puntong P 2 , pagkatapos ay hatiin ang modyul na ito sa haba v ¯. Ang formula na ito ay pangkalahatan para sa flat at three-dimensional na espasyo.

Kung ang problema ay isinasaalang-alang sa isang eroplano sa xy coordinate system at ang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay sa isang pangkalahatang anyo, kung gayon ang sumusunod na formula ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang distansya mula sa isang tuwid na linya hanggang sa isang punto tulad ng sumusunod:

Tuwid na linya: A × x + B × y + C = 0;

Punto: P 2 (x 2; y 2; z 2);

Distansya: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Ang formula sa itaas ay medyo simple, ngunit ang paggamit nito ay limitado ng mga kondisyon na nabanggit sa itaas.

Mga coordinate ng projection ng isang punto sa isang tuwid na linya at distansya

Maaari mo ring sagutin ang tanong kung paano hanapin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya sa ibang paraan na hindi kasama ang pagsasaulo ng mga formula sa itaas. Ang pamamaraang ito ay binubuo sa pagtukoy ng isang punto sa isang tuwid na linya, na isang projection ng orihinal na punto.

Ipagpalagay na mayroong isang punto M at isang linya r. Ang projection sa r ng point M ay tumutugma sa ilang point M 1 . Ang distansya mula M hanggang r ay katumbas ng haba ng vector MM 1 ¯.

Paano mahahanap ang mga coordinate ng M 1? Napakasimple. Sapat na alalahanin na ang line vector v¯ ay magiging patayo sa MM 1 ¯, ibig sabihin, ang kanilang scalar product ay dapat na sero. Pagdaragdag sa kundisyong ito ng katotohanan na ang mga coordinate M 1 ay dapat matugunan ang equation ng tuwid na linya r, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga simpleng linear equation. Bilang resulta ng solusyon nito, ang mga coordinate ng projection ng point M papunta sa r ay nakuha.

Ang pamamaraang inilarawan sa talatang ito para sa paghahanap ng distansya mula sa isang linya patungo sa isang punto ay maaaring gamitin para sa eroplano at para sa espasyo, ngunit ang aplikasyon nito ay nangangailangan ng kaalaman sa vector equation para sa linya.

Gawain sa isang eroplano

Ngayon ay oras na upang ipakita kung paano gamitin ang ipinakita na mathematical apparatus upang malutas ang mga tunay na problema. Ipagpalagay na ang isang punto M(-4; 5) ay ibinigay sa eroplano. Kinakailangang hanapin ang distansya mula sa puntong M hanggang sa tuwid na linya, na inilalarawan ng isang pangkalahatang equation:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

Ibig sabihin, hindi nagsisinungaling si M sa isang linya.

Dahil ang equation ng isang tuwid na linya ay hindi ibinigay sa isang pangkalahatang anyo, binabawasan namin ito sa paraang para magamit ang kaukulang formula, mayroon kaming:

y = 3 × x + 6

3 x x - y + 6 = 0

Ngayon ay maaari mong palitan ang mga kilalang numero sa formula para sa d:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3.48

Gawain sa kalawakan

Ngayon isaalang-alang ang kaso sa kalawakan. Hayaang ilarawan ang tuwid na linya ng sumusunod na equation:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

Ano ang distansya mula dito hanggang sa puntong M(0; 2; -3)?

Tulad ng sa nakaraang kaso, sinusuri namin kung ang M ay kabilang sa isang ibinigay na linya. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang mga coordinate sa equation at muling isulat ito nang tahasan:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;

Dahil ang iba't ibang mga parameter α ay nakuha, kung gayon ang M ay hindi nagsisinungaling sa linyang ito. Kinakalkula namin ngayon ang distansya mula dito hanggang sa tuwid na linya.

Upang gamitin ang formula para sa d, kumuha ng arbitrary na punto sa linya, halimbawa P(1; -1; 0), pagkatapos ay:

Kalkulahin natin ang cross product sa pagitan ng PM¯ at ang vector ng direksyon ng linya v¯. Nakukuha namin:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Ngayon pinapalitan namin ang mga module ng nahanap na vector at ang vector v¯ sa formula para sa d, nakukuha namin:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2.95

Maaaring makuha ang sagot na ito gamit ang pamamaraang inilarawan sa itaas, na kinabibilangan ng paglutas ng isang sistema ng mga linear equation. Sa ito at sa mga nakaraang problema, ang mga kinakalkula na halaga ng distansya mula sa linya hanggang sa punto ay ipinakita sa mga yunit ng kaukulang sistema ng coordinate.